ए.पी. स्टाखोव

"गोल्डन सेक्शन" के हस्ताक्षर के तहत:
छात्र के बेटे का बयान
अध्याय 4. संस्कृति के इतिहास में स्वर्णिम खंड।
4.8। लुका पैसिओली द्वारा "दिव्य अनुपात"

प्राचीन ग्रीस की संस्कृति और रोम और बीजान्टियम की संस्कृति आध्यात्मिक मूल्यों की दो शक्तिशाली धाराएँ हैं, जिनके विलय ने पुनर्जागरण के एक नए शीर्षक को जन्म दिया। लियोनार्डो दा विंची, माइकल एंजेलो, निकोलस कोपरनिकस, अल्बर्ट ड्यूरर, क्रिस्टोफर कोलंबस, अमेरिगो वेस्पुसी जैसे लोगों के लिए टाइटेनियम सबसे सटीक शब्द है। इस आकाशगंगा में गणितज्ञ लुका पैसिओली शामिल हैं।

उनका जन्म 1445 में बोर्गो सैन सेपोल्क्रो के प्रांतीय शहर में हुआ था, जिसका इतालवी से अनुवाद किया गया है, यह बहुत हर्षित नहीं लगता है: "पवित्र सेपुलचर का शहर।"

हम नहीं जानते कि भविष्य के गणितज्ञ कितने साल के थे जब उन्हें कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्को के स्टूडियो में अध्ययन के लिए भेजा गया था, जिसकी ख्याति पूरे इटली में फैली हुई थी। यह पहली मुलाकात थी युवा प्रतिभाएक महान व्यक्ति के साथ। पिएरो डेला फ्रांसेस्को एक कलाकार और गणितज्ञ थे, लेकिन शिक्षक के केवल दूसरे हाइपोस्टैसिस ने छात्र के दिल में एक प्रतिध्वनि पाई। यंग ल्यूक, ईश्वर के गणितज्ञ, संख्याओं की दुनिया से प्यार करते थे, संख्या उन्हें किसी प्रकार की सार्वभौमिक कुंजी लगती थी, साथ ही सत्य और सौंदर्य तक पहुंच खोलती थी।

लुका पैसिओली के जीवन पथ पर मिलने वाले दूसरे महान व्यक्ति लियोन बतिस्ता अल्बर्टी थे - एक वास्तुकार, वैज्ञानिक, लेखक, संगीतकार। अल्बर्ट के शब्द एल. पैसिओली के मन में गहरे उतर जाएंगे:

"सौंदर्य एक प्रकार का समझौता और भागों का सामंजस्य है, जिसमें वे भाग हैं, सख्त संख्या, सीमा और प्लेसमेंट के अनुरूप हैं, जिसके लिए सद्भाव की आवश्यकता होती है, अर्थात प्रकृति का पूर्ण और प्राथमिक सिद्धांत।"

संख्या की दुनिया के साथ प्यार में, एल पैसिओली पाइथागोरस के बाद इस विचार को दोहराएगा कि संख्या ब्रह्मांड को रेखांकित करती है।

1472 में, लुका पैसिओली को फ्रांसिस्कन आदेश के एक भिक्षु के रूप में मुंडाया गया, जिसने उन्हें विज्ञान में संलग्न होने का अवसर दिया। घटनाओं ने दिखाया कि उसने सही चुनाव किया। 1477 में उन्होंने पेरुगिया विश्वविद्यालय में प्रोफेसर की उपाधि प्राप्त की।

लुका पैसिओली

उस समय के लुका पैसिओली द्वारा निम्नलिखित चित्र वर्णन संरक्षित किया गया है:

"एक सुंदर, ऊर्जावान युवक: उभरे हुए और बल्कि चौड़े कंधे जन्मजात शारीरिक शक्ति, एक शक्तिशाली गर्दन और विकसित जबड़े, एक अभिव्यंजक चेहरा और आंखें जो बड़प्पन और बुद्धिमत्ता को दर्शाती हैं, चरित्र की ताकत पर जोर देती हैं। ऐसा प्रोफेसर लोगों को अपनी बात सुनने और अपने विषय का सम्मान करने के लिए मजबूर कर सकता है।

पैसिओली शैक्षणिक कार्य को वैज्ञानिक कार्य के साथ जोड़ता है: वह गणित पर एक विश्वकोशीय कार्य लिखना शुरू करता है। 1494 में, यह काम "अंकगणित, ज्यामिति, अनुपात और संबंधों के सिद्धांत का योग" शीर्षक के तहत प्रकाशित हुआ था। पुस्तक की संपूर्ण सामग्री को दो भागों में विभाजित किया गया है, पहला भाग अंकगणित और बीजगणित को समर्पित है, दूसरा ज्यामिति को। पुस्तक के खंडों में से एक व्यावसायिक मामलों में गणित के अनुप्रयोग के लिए समर्पित है, और इस भाग में उनकी पुस्तक फिबोनाची की प्रसिद्ध पुस्तक "लिबर अबाची" (1202) की निरंतरता है। संक्षेप में, 15वीं शताब्दी के अंत में एल. पैसिओली द्वारा लिखा गया यह गणितीय कार्य इतालवी पुनर्जागरण के गणितीय ज्ञान का सारांश है।

एल. पैसिओली के स्मारकीय मुद्रित कार्य ने निस्संदेह उनकी प्रसिद्धि में योगदान दिया। जब 1496 में इटली के सबसे बड़े शहर और राज्य मिलान में विश्वविद्यालय में गणित विभाग खोला गया, तो लुका पैसिओली को इसे लेने के लिए आमंत्रित किया गया।

उस समय, मिलान विज्ञान और कला का केंद्र था, उत्कृष्ट वैज्ञानिक और कलाकार इसमें रहते थे और काम करते थे - और उनमें से एक लियोनार्डो दा विंची थे, जो लुका पैसिओली के जीवन पथ पर मिलने वाले तीसरे महान व्यक्ति बने। लियोनार्डो दा विंची के प्रत्यक्ष प्रभाव में, उन्होंने अपना दूसरा लिखना शुरू किया महान किताब"डी डिवाइन प्रोपोरियोन" ("ओह दिव्य अनुपात»).

1509 में प्रकाशित एल. पैसिओली की पुस्तक का उनके समकालीनों पर ध्यान देने योग्य प्रभाव था। पैसिओली का फोलियो, क्वार्टो में प्रकाशित, इतालवी टाइपोग्राफी के पहले उत्कृष्ट उदाहरणों में से एक था। ऐतिहासिक अर्थपुस्तक यह थी कि यह पहला गणितीय कार्य था जो पूरी तरह से "गोल्डन सेक्शन" को समर्पित था। पुस्तक को लियोनार्डो दा विंची द्वारा स्वयं बनाए गए 60 (!) शानदार चित्रों के साथ चित्रित किया गया है। पुस्तक में तीन भाग होते हैं: पहला भाग स्वर्ण खंड के गुणों की रूपरेखा देता है, दूसरा भाग नियमित पॉलीहेड्रा के लिए समर्पित है, तीसरा - वास्तुकला में स्वर्ण खंड के अनुप्रयोग।

एल। पैसिओली, प्लेटो के "राज्य", "कानून", "टाइमियस" से अपील करते हुए, क्रमिक रूप से 12 (!) सुनहरे खंड के विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करता है। इन गुणों का वर्णन करते हुए, पैसिओली बहुत मजबूत विशेषणों का उपयोग करता है: "असाधारण", "सबसे उत्कृष्ट", "उल्लेखनीय", "लगभग अलौकिक", आदि। प्रकृति और कला दोनों में सुंदरता की पूर्णता को व्यक्त करने वाले एक सार्वभौमिक संबंध के रूप में इस अनुपात को प्रकट करते हुए, वह इसे "दिव्य" कहते हैं और इसे "सोचने का साधन", "सौंदर्यवादी कैनन", "एक सिद्धांत के रूप में" मानने के लिए इच्छुक हैं। दुनिया और प्रकृति ”।

लुका पैसिओली के दिव्य अनुपात का शीर्षक पृष्ठ

यह पुस्तक पहली गणितीय रचनाओं में से एक है जिसमें ब्रह्मांड के निर्माता के रूप में ईश्वर के ईसाई सिद्धांत को वैज्ञानिक औचित्य प्राप्त है। पैसिओली कॉल करता है सुनहरा अनुपात"दिव्य" और सुनहरे अनुपात के कई गुणों पर प्रकाश डाला गया है, जो उनकी राय में, स्वयं ईश्वर में निहित हैं:

"पहला यह है कि केवल एक ही है, और किसी भिन्न प्रकार के या किसी भी तरह से अलग अनुपात का उदाहरण देना असंभव है। यह विशिष्टता, राजनीतिक और दार्शनिक शिक्षाओं के अनुसार। स्वयं भगवान का उच्चतम गुण है। दूसरी संपत्ति पवित्र त्रिमूर्ति की संपत्ति है, अर्थात्, जिस प्रकार देवता में एक और एक ही सार तीन व्यक्तियों - पिता, पुत्र और पवित्र आत्मा में समाहित है, इसलिए इस प्रकार का समान अनुपात केवल तीन भावों के लिए हो सकता है , और क्योंकि कोई बड़ा या छोटा भाव नहीं है। तीसरी संपत्ति यह है कि, विस्तार से कैसे भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्द द्वारा समझाया जा सकता है, हमारे अनुपात को या तो हमारे लिए सुलभ संख्या द्वारा या किसी तर्कसंगत मात्रा द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और छिपा हुआ और एक रहस्य बना रहता है, और इसलिए गणितज्ञों द्वारा कहा जाता है तर्कहीन। चौथा गुण यह है कि जिस प्रकार ईश्वर कभी नहीं बदलता और प्रत्येक वस्तु को प्रत्येक वस्तु में और प्रत्येक वस्तु को उसके प्रत्येक अंश में निरूपित करता है, वैसे ही प्रत्येक निरंतर और निश्चित मात्रा के लिए हमारा अनुपात समान है, चाहे ये भाग बड़े हों या छोटे, किसी भी तरह से नहीं बदला जा सकता है। या अन्यथा मन द्वारा माना जाता है। इन गुणों के लिए, कोई भी पांचवीं संपत्ति को काफी हद तक जोड़ सकता है, जिसमें इस तथ्य को समाहित किया गया है कि, जिस तरह भगवान ने स्वर्गीय गुण को अस्तित्व में बुलाया, अन्यथा पांचवां पदार्थ कहा जाता है, और इसकी मदद से चार अन्य साधारण शरीर, अर्थात् चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि, और उनकी मदद से प्रकृति में सब कुछ अस्तित्व में आया, इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, प्लेटो के अनुसार अपने तिमाईस में, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे एक रूप के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है द्वादशफलक नामक शरीर, जिसे हमारे अनुपात के बिना नहीं बनाया जा सकता।

एल. पैसिओली की पुस्तक "डिवाइन प्रॉपोर्शन" के लिए लियोनार्डो दा विंची द्वारा तैयार किया गया डोडेकाहेड्रॉन

1510 में लुका पैसिओली 65 साल की हो गईं। वह थका हुआ और बूढ़ा है। बोलोग्ना विश्वविद्यालय के पुस्तकालय में एल। पैसिओली के अप्रकाशित कार्य "ऑन फोर्सेज एंड क्वांटिटीज" की पांडुलिपि है। प्रस्तावना में हमें दुखद वाक्यांश मिलता है: "मेरे जीवन के अंतिम दिन आ रहे हैं।" 1515 में उनकी मृत्यु हो गई और उन्हें उनके पैतृक शहर सैन सेपोलकोरो के कब्रिस्तान में दफनाया गया।

मृत्यु के बाद, महान गणितज्ञ के कार्यों को लगभग चार सदियों तक भुला दिया जाता है। और जब, 19वीं शताब्दी के अंत में, उनकी रचनाएँ विश्व प्रसिद्ध हो गईं, कृतज्ञ वंशजों ने, 370 वर्षों के गुमनामी के बाद, उनकी कब्र पर एक स्मारक बनवाया, जिस पर उन्होंने लिखा:

"लूस पैसिओली, जो लियोनार्डो दा विंची और लियोन बतिस्ता अल्बर्टी के मित्र और सलाहकार थे, जिन्होंने पहली बार बीजगणित को विज्ञान की भाषा और संरचना दी, जिन्होंने अपनी महान खोज को ज्यामिति में लागू किया, डबल-एंट्री बहीखाता पद्धति का आविष्कार किया, और गणितीय कार्यों की नींव रखी और बाद की पीढ़ियों के लिए अपरिवर्तनीय मानदंड"।

ए.पी. स्टाखोव, "गोल्डन सेक्शन" के हस्ताक्षर के तहत: एक छात्र बटालियन के बेटे की स्वीकारोक्ति। अध्याय 4. संस्कृति के इतिहास में स्वर्णिम खंड। 4.8। लुका पैसिओली द्वारा "दिव्य अनुपात" // "ट्रिनिटेरियनिज़्म की अकादमी", एम।, एल नंबर 77-6567, प्रकाशन 13547, 07/12/2006

जी.वी. गेडुक

मेरे शिक्षक लेखांकनकहा: "लेखांकन प्यार की तरह है, आप जानते हैं और महसूस करते हैं, लेकिन आप कह नहीं सकते।"

क्या आप जानते हैं, सज्जनों, कि आधुनिक दुनिया के लिए आवश्यक विज्ञान "ईश्वरीय अनुपात" और ज्योतिष के ज्ञान पर आधारित है। लेखांकन की शुरुआत में, इस तरह के सिद्धांत सबसे पहले लुका पैसिओली द्वारा तैयार किए गए थे, हालांकि ज्योतिष के लिए कोई दस्तावेजी सबूत और संदर्भ नहीं हैं, लेकिन उनके काम का विश्लेषण महान वैज्ञानिक पांडित्य की बात करता है, और मध्य युग में ज्योतिष एक बहुत ही सम्मानित विज्ञान था।

एक पेंटिंग का टुकड़ा। केंद्र में सेंट पिएरो शहीद है।

ऐसा माना जाता है कि शहीद को लुका पैसिओली के साथ चित्रित किया गया था।

वैसे, मोंटेफेल्ट्रो की वेदी में पीटर द शहीद का चेहरा, पिएरो डेला फ्रांसेस्का द्वारा एक फ्रेस्को पर एक समूह चित्र, एक देशवासी और कलाकार के मित्र, भिक्षु-गणितज्ञ लुका पैसिओली के चित्र के रूप में पहचाना जाता है। पोर्ट्रेट को वीएन ग्राशचेनकोव के काम "प्रारंभिक पुनर्जागरण की इतालवी पेंटिंग में पोर्ट्रेट" टैब में देखा जा सकता है। 216, या यहाँ:

लुका पैसिओली प्लेटो, यूक्लिड, लियोनार्डो पिसानो (फाइबोनैचि), पेलाकानी, पर्मा, रेजीओमोंटानस के कार्यों से परिचित थे। पैसिओली की पुस्तक "ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन" के लिए लियोनार्डो के चित्र में तथाकथित नियमित निकायों के चित्र शामिल हैं - पांच पॉलीहेड्रा, जिसे प्लेटो ने पांच प्राकृतिक तत्वों के रूपों के रूप में परिभाषित किया: एक पिरामिड - अग्नि, एक घन - पृथ्वी, एक डोडेकाहेड्रॉन - आकाश, एक अष्टफलक - वायु, एक समफलक - जल। दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर कुछ स्रोत पहले ही गायब हो चुके हैं, लेकिन जहाँ तक संभव हो, हम दिलचस्प लिंक प्रदान करेंगे।

"अल्बर्टी के शब्द पैसिओली के दिमाग में गहराई से डूब जाएंगे:" सौंदर्य एक निश्चित सामंजस्य और भागों का सामंजस्य है जो वे हैं "[लाज़रेव] [शायद बहीखाता पद्धति की सुंदरता उन खातों की "सहमति और सहमति" है जो शेष राशि का हिस्सा हैं।]".

सुनहरा अनुपात "प्रकृति और कला में मूल रूपात्मक कानून" है।

"अल्बर्ट ड्यूपॉन्ट, अपनी विशिष्ट रोमनस्क्यू कल्पना के साथ, उस समय के एक चित्र को देखते हुए, लुका पैसिओली का इस तरह वर्णन करता है:" एक सुंदर, ऊर्जावान युवक; उभरे हुए और बल्कि चौड़े कंधे जन्मजात शारीरिक शक्ति, एक शक्तिशाली गर्दन और एक विकसित जबड़ा, एक अभिव्यंजक चेहरा और आंखें जो बड़प्पन और बुद्धिमत्ता को दर्शाती हैं, चरित्र की ताकत पर जोर देती हैं। ऐसा प्रोफेसर उसे अपनी बात सुन सकता था और अपने विषय का सम्मान कर सकता था।

देखा और डाउनलोड किया जा सकता है

आइए हम पैसिओली के ग्रंथ सुम्मा डे अरिथमेटिका, जियोमेट्रिया, प्रोपोर्शिनी एट प्रॉपोरशनलिटा पर ध्यान दें "-" अंकगणित, ज्यामिति, अनुपात और संबंधों के सिद्धांत का योग।

पैसिओली की पुस्तक फोलियो में 300 शीटों पर छपी है, पृष्ठों पर पाठ दो स्तंभों में व्यवस्थित है, दाहिने पृष्ठ पर संख्याएँ केवल बाएँ और दाएँ पृष्ठों को संदर्भित करती हैं, अर्थात, विस्तारित शीट्स को क्रमांकित किया गया है। पुस्तक की संरचना कुछ जटिल है। प्रारंभ में इसे 5 भागों में बांटा गया था: 1 - अंकगणित और बीजगणित। 2 - व्यापार से संबंधित विभिन्न मामले (बिल और विनिमय लेनदेन सहित)। 3 - लेखा अभिलेखों और खातों को बनाए रखना। 4 - वजन, माप और प्रतिशत। 5 - ज्यामिति। तब पैसिओली ने माना कि इस तरह के निर्माण में कोई पूर्णता नहीं थी और "योग" के पाठ को दो भागों में विभाजित किया: पहला भाग अंकगणित और बीजगणित को समर्पित है, दूसरा - ज्यामिति को। आप शायद जानते हैं कि मध्य युग में, ज्योतिष को अक्सर ज्यामिति और अंकगणित के साथ पहचाना जाता था, इसलिए एक की बात करना दूसरे को भी निहित करता था। प्रस्तुति का क्रम वही रहता है। भागों में चादरों की संख्या स्वतंत्र है, पहली - 224 चादरों में, दूसरी - 76 में। (कुल 300 भाग, 60 पर्दे के पीछे रह गए)। प्रत्येक भाग को खंडों, खंडों में - ग्रंथों में, ग्रंथों में - अध्यायों में विभाजित किया गया है। पहला भाग; नौ खंड होते हैं, जिनमें से आठ अंकगणित और बीजगणित के प्रश्नों के लिए समर्पित होते हैं, और नौवां खंड (नौ नेपच्यून की संख्या है जिसके साथ रहस्य जुड़े हुए हैं) - व्यवसाय में गणित के अनुप्रयोग के लिए। अंतिम खंड शामिल है बारह ग्रंथ: I - कामरेड के बारे में, II किराए के बारे में, III - एक्सचेंज और विनिमय लेनदेन के बारे में, IV - बिल और बिल लेनदेन के बारे में, V - प्रतिशत गणना के बारे में ... XI - खातों और रिकॉर्ड के बारे में, XII - उपायों, वजन और सिक्कों के बारे में, व्यापारिक रीति-रिवाजों और स्थानों के बारे में जिनके साथ इटली व्यापार करता है। ग्रंथ XI, जो हमें रूचि देता है, में 36 अध्याय हैं।

यह वास्तव में लेखांकन पर एक ग्रंथ है, ग्यारहवीं कुंभ राशि के चिन्ह से मेल खाती है - लेखांकन में एक क्रांति। इसमें 36 अध्याय हैं - आप राशि चक्र के 36 अंशों के साथ सादृश्य बना सकते हैं।

उनकी दूसरी पांडुलिपि का भाग्य अधिक सफल रहा: “ईश्वरीय अनुपात। यह पुस्तक हर मर्मज्ञ और प्यासे मन के लिए बहुत उपयोगी है, जिससे हर कोई जो दर्शन, परिप्रेक्ष्य, चित्रकला, मूर्तिकला, वास्तुकला, संगीत या अन्य गणितीय विषयों का अध्ययन करता है, सुखद, विनोदी और आश्चर्यजनक रूप से योग्य जानकारी प्राप्त कर सकता है और विभिन्न मुद्दों पर मनोरंजन पा सकता है और सबसे अधिक गुप्त ज्ञान।

लियोनार्डो दा विंची के "दिव्य बाएं हाथ" द्वारा बनाए गए "ईश्वरीय अनुपात" को पांच नियमित और कई अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा से सजाया गया था।

"ईश्वरीय अनुपात" का पहला भाग "गोल्डन सेक्शन" को समर्पित है, दूसरा - नियमित पॉलीहेड्रा को, तीसरा - आर्किटेक्चर को।

लेकिन ये मास्टर के सभी कार्यों से बहुत दूर हैं, एल पैसिओली के अप्रकाशित कार्य की पांडुलिपि "डू विनबस क्वांटिटैटिस" - "ऑन फोर्सेस इन क्वांटिटी" बोलोग्ना विश्वविद्यालय के पुस्तकालय में संग्रहीत है। प्रस्तावना में हमें एक भयानक मुहावरा मिलता है: "... मेरे जीवन के अंतिम दिन आ रहे हैं।" "ऑन फोर्सेज इन क्वांटिटी" पुस्तक कभी प्रकाशित नहीं हुई, लेखक के पास बाधाओं को दूर करने के लिए पर्याप्त ताकत नहीं थी। इसी तरह, मंटुआ की गिनती और गिनती को समर्पित शतरंज के खेल पर ग्रंथ, दिन का प्रकाश नहीं देखा और यहां तक ​​​​कि खो गया।

एल. पैसिओली ने अपने कार्यों के पाठ में वेट्रूवियस की सलाह का अध्ययन किया और पेश किया, पाठकों से उनके प्रति चौकस रहने और लगन से उन्हें छापने का आग्रह किया। पूर्वज ज्ञान देते हैं, लेकिन, कौशल के अलावा, पैसिओली का मानना ​​था, किसी के पास लापता को फिर से भरने और अतिरिक्त को कम करने की प्रतिभा होनी चाहिए, जो परिस्थितियों पर निर्भर करता है, अर्थात। प्राचीन विरासत को रचनात्मक रूप से आत्मसात करने के लिए।

यूक्लिड के लेखन में पैसिओली ने कहा:

« जो कोई भी किसी कला, विज्ञान या पेशे को समझने की कोशिश करता है, उसे इस आधार (अनुपात) की ओर तेजी से बढ़ने दें, जिससे सभी जीवित ज्ञान प्रवाहित होते हैं। और तब उसका मन सितारों की ओर उड़ेगा ».

« जिस तरह आनंद के बिना भोजन उबाऊ भोजन में बदल जाता है, उसी तरह जुनून के बिना विज्ञान की खोज स्मृति को नुकसान पहुंचाती है, जो इसे पकड़ने में असमर्थ हो जाती है।».

« सभी सच्चे विज्ञानों में, अरस्तू और एवरोस के अनुसार, हमारे गणितीय विज्ञान सबसे सच्चे हैं और उनमें निश्चितता की पहली डिग्री है, अन्य सभी प्राकृतिक विज्ञान उनका अनुसरण करते हैं।».

अपेक्षाकृत हाल ही में, जापानी शोधकर्ताओं ने, पुरानी चर्च की पुस्तकों को देखने के बाद, एक रिकॉर्ड पाया जिससे यह स्पष्ट हो गया कि उनकी मृत्यु 19 जून, 1517 को हुई थी। लेकिन यह प्रविष्टि सैन सेपोल्क्रो की मठ की किताबों में नहीं, बल्कि फ्लोरेंस में होली क्रॉस के मठ की किताबों में की गई थी।

अकाउंटेंट, लुका पैसिओली ने क्या मूल्य सृजित किया? आधुनिक शोधकर्ता छह मुख्य बिंदुओं पर ध्यान देते हैं जो उन्होंने लेखांकन में लाए:

1. दोहरी प्रविष्टि की सैद्धांतिक व्याख्या। पैसिओली डेबिट और क्रेडिट जैसी अवधारणाओं को समझाने की कोशिश करने वाले पहले व्यक्ति थे, हालांकि वह इन शब्दों का उपयोग नहीं करते हैं। उन्होंने लेखांकन का मानवीकरण किया और इस तरह इसकी कानूनी व्याख्या की नींव रखी, जो पूरी तरह से ई. डेस्ग्रेंज और जे. सेर्बोनी के कार्यों में व्यक्त की गई थी। पी. गार्नियर, एक प्रमुख फ्रांसीसी एकाउंटेंट, अपनी पुस्तक को "लेखांकन - कानून का बीजगणित" कहेंगे, हालांकि वे कारण संबंधों (क्रेडिट-कारण, डेबिट-प्रभाव) के आधार पर दोहरी प्रविष्टि के सिद्धांत की व्याख्या करते हैं।

2. निजीकरण ने डेबिट और क्रेडिट जैसी सार लेखा श्रेणियों के स्वतंत्र विचार की संभावना को जन्म दिया। इस प्रकार, एक अलग विज्ञान में लेखांकन के आवंटन के लिए स्थितियां बनाई गईं।

3. लेखांकन को दोहरी प्रविष्टि के उपयोग के आधार पर एक स्वतंत्र पद्धति के रूप में माना जाता था, जिसमें व्यक्तिगत उद्यमों और उनके बाहर दोनों में व्यावसायिक प्रक्रियाओं को दर्शाने के लिए एक अनुप्रयोग होता है।

4. खातों पर दोहरी प्रविष्टि का प्रतिबिंब, जिन्हें लेखांकन की प्रणाली (योजना) के रूप में माना जाता है। प्रणाली (योजना) का संगठन स्थायी नहीं हो सकता है, लेकिन प्रशासन द्वारा अपनाए गए लक्ष्य पर निर्भर होना चाहिए।

5. पैसिओली पहले व्यक्ति थे जिन्होंने कॉम्बिनेटरिक्स पर आधारित मॉडलिंग को अकाउंटिंग में पेश किया (हम अध्यायों में अद्भुत उदाहरण पाते हैं)। इस दृष्टिकोण ने एक सामान्य मॉडल का निर्माण करना संभव बना दिया जिसमें किसी भी लेखा कार्य को एक विशेष मामले के रूप में व्याख्या किया गया।

6. अंतर्निहित रूप में, पैसिओली के कुछ लेखांकन सिद्धांत हैं, जिनमें से कुछ अभी भी प्रकट हैं।

अब मेरी अपनी कुछ टिप्पणियाँ।

यह कल्पना करना कठिन है कि लुका पैसिओली ज्योतिष विज्ञान के "ईश्वरीय अनुपात" के सिद्धांतों से परिचित नहीं थीं।

« संपूर्ण पद्धति की अधिक सही समझ के लिए, हम किसी ऐसे व्यक्ति का परिचय देंगे जो व्यापार शुरू करता है, और यह इंगित करेगा कि उसे अपने खातों और अभिलेखों को संकलित करने में कैसे कार्य करना चाहिए, ताकि वह उनके सामान्य कोड में सब कुछ आसानी से पा सके। यदि आप किसी चीज़ को उसके उचित स्थान पर नहीं रखते हैं, तो प्रसिद्ध कहावत के अनुसार, अपने स्वयं के मामलों में भ्रम होता है: "जहाँ कोई आदेश नहीं है, वहाँ अव्यवस्था शुरू होती है।"».

आइए स्पष्ट हों - दोहरी प्रविष्टि का सिद्धांत, या अपेक्षाकृत बोलना (क्रेडिट - कारण, डेबिट - प्रभाव) ग्रहों के बीच ज्योतिषीय पहलू का तंत्र है।

« तलाश करें कि खाते, ... हमेशा और सभी मामलों में, "देने" और "होने" दोनों में इन संस्थानों के खातों से सहमत हों».

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, जर्नल में दो भाव हैं: एक "से", दूसरा "से", और उनमें से प्रत्येक का अपना विशेष अर्थ है: "ऑन" का अर्थ हमेशा ऋणी (ऋणी) होता है - एक या कई, "से" ” - हमेशा लाभार्थी (लेनदार) - एक या कई »» .

और यहाँ ग्रहों की श्रृंखला और ग्रेडार्क्स से सबसे सटीक विवरण दिया गया है:

« इस प्रकार, सामान्य खाता बही के सभी लेख आपस में जुड़े हुए हैं, जैसे कि एक श्रृंखला द्वारा। इस सामान्य बहीखाता में, "दे" में कुछ भी दर्ज नहीं किया जा सकता है जो "है" में नहीं है, और "दे" में दर्ज नहीं की गई राशि को "है" में रखना असंभव है। तो "दे" और "हैव" के बीच एक संतुलन है, जो सामान्य खाता बही के समापन पर तैयार किया गया है। इसलिए, अंत में, सामान्य खाता बही का शेष "दे" में होना चाहिए जितना "हैव" में होना चाहिए।»»

ज्ञात खातों की तुलना ज्योतिषीय निर्णयों, उप-खातों के साथ कुंडली की शर्तों या डिग्री के साथ की जा सकती है।

उद्यम का संतुलन, भाई के भोलेपन के लिए खेद है, संपूर्ण कुंडली के चित्र का अंकगणित या योग घटक है।

« इस पुस्तक के साथ-साथ मुख्य एक में इन्वेंट्री आइटम स्थानांतरित करने के लिए, आपको अपने लिए दो अन्य भाव सीखने होंगे: उनमें से एक "कैशियर" है, और दूसरा "कैपिटल" है। "कैशियर" शब्द को नकद या अपने स्वयं के बटुए के रूप में समझा जाना चाहिए, और "पूंजी" शब्द के तहत - आपकी वास्तविक संपत्ति की समग्रता ".

यदि हमारा "कैशियर" या "इन्वेंट्री" ग्रहों के सिद्धांत को दर्शाता है, तो स्मारक एक (जो पहले से ही न केवल मात्रा, बल्कि गुणवत्ता और उद्देश्य को भी दर्शाता है) एक संकेत या घर में एक ग्रह के समान है। तो, पत्रिका सिद्धांत को विश्लेषणात्मक जानकारी प्रदान करनी चाहिए, ज्योतिष में किसी विशेष घर में किसी ग्रह के संबंधों के कार्यों के बारे में जानकारी का एक एनालॉग या घर या हस्ताक्षर करने वाले ग्रहों के साथ हस्ताक्षर करना चाहिए। उदाहरण के लिए, आधुनिक दूसरे क्रम की पत्रिका सभी बैंक खातों की जानकारी एकत्र करती है और कुंडली के दूसरे घर या वृषभ राशि के चिन्ह से मेल खाती है।

लुका पोचोली कहते हैं कि इन्वेंटरी (हमारी व्याख्या ग्रह है), और फिर 3 पुस्तकों के विश्लेषण के लिए मेमोरियल (संकेत और घर में ग्रह का विश्लेषण), जर्नल (गृह विश्लेषण), मुख्य (सभी सूचनाओं का संश्लेषण)।

« सबसे पहले, इसकी आवश्यकताओं के संबंध में सामान्य रूप से व्यापार के बारे में बात करते हैं। इन्वेंटरी के तुरंत बाद, मैं समझाता हूं कि आसानी और सुविधा के लिए, तीन पुस्तकों की आवश्यकता होती है: एक को मेमोरियल कहा जाता है, दूसरी को जर्नल और तीसरी को मेन कहा जाता है।».

लेकिन एक स्मारक और पत्रिका के आदेश के विचार को एक अन्य एकाउंटेंट और ज्योतिषी, सबसे महान गणितज्ञ और एक अद्भुत चिकित्सक द्वारा पूरी तरह से और विस्तार से वर्णित किया गया था, जिन्होंने अपने समकालीनों के बीच एक महान ज्योतिषी के रूप में प्रसिद्धि प्राप्त की (उन्होंने एडवर्ड की आसन्न मृत्यु की भविष्यवाणी की VI ट्यूडर [सभी बच्चे इस राजा को जानते हैं: वह एम. ट्वेन की कहानी "द प्रिंस एंड द पॉपर" का नायक है। भविष्य के राजा कार्डानो की प्रारंभिक मृत्यु की भविष्यवाणी करना एक ज्योतिषी के रूप में नहीं, बल्कि एक डॉक्टर के रूप में आसान था।]), - लेखक, जो मानते थे कि लेखांकन एक विज्ञान है जो गणित और काले जादू के जंक्शन पर स्थित है, - गिरोलामो कार्डानो.

1539 (द्वितीय संस्करण - 1663) में प्रकाशित एक पुस्तक में, दो अध्याय (60 और 68) लेखांकन के लिए समर्पित थे, जिसमें एक अध्याय पैसिओली की त्रुटियों की सूची थी। कार्डानो एक संचयी बयान के विचार को सामने रखता है: मेमोरियल में सजातीय लेनदेन जमा हुए थे, जिसके परिणामस्वरूप जर्नल और जनरल लेजर में प्रविष्टियां की गई थीं।

लेखांकन में कार्डानो का मूल नियम कुंडली के घरों के अनुसार साख को समूहीकृत करने के सिद्धांत का अनुप्रयोग है। आधुनिक लेखांकन में, पहला घर उद्यम की अचल संपत्तियों या उत्पादन क्षमताओं से मेल खाता है, दूसरा घर सभी बैंक खातों, स्टॉक आदि से मेल खाता है। आधुनिक वर्गीकरण इस सिद्धांत से थोड़ा विचलित हो गया है, अन्य कार्य, सब कुछ 12 वें भाव में चला गया है। लेकिन सज्जनों, ज्योतिष के सिद्धांतों के दृष्टिकोण से बैलेंस शीट का विस्तार करें, और आपको बहुत कुछ स्पष्ट हो जाएगा। आप सोलर और मिनी सोलर को याद कर सकते हैं, उन्हें वार्षिक बैलेंस शीट और मासिक रिपोर्ट से जोड़ सकते हैं। एक शब्द में, संख्याओं की एक सिम्फनी :)))))))।

और भी मज़ेदार चित्रदेश के बजट की व्याख्या करते समय देखा जा सकता है, जब सकल घरेलू उत्पाद बढ़ रहा है, लेकिन हम ध्यान नहीं देते। जीडीपी एक साबुन का बुलबुला है यदि छठे और ग्यारहवें घरों के लिए विकास बजट में कोई विकास नहीं है, क्योंकि छठा घर वास्तविक उत्पादन है, और 11वां घर सुधार कर रहा है, उत्पादन का आधुनिकीकरण कर रहा है, भविष्य पर ध्यान केंद्रित कर रहा है। लेकिन रूस में वास्तविक जीवन में बजट स्रोतों के वृषभ के अनुसार एक उपभोग, या आधार की चोरी (कुंभ राशि से चौथा संकेत) है।

मुझे बताओ, सज्जनों, दोहरे प्रविष्टि के सिद्धांतों पर आधारित लेखांकन वास्तविकता है या रहस्यवाद? ज्योतिष, जो सामंजस्य के अधिक सटीक सिद्धांतों पर निर्मित है, को कुछ लोगों द्वारा छद्म विज्ञान क्यों माना जाता है? एक ज्योतिषी, निश्चित रूप से, वह एक लेखाकार नहीं है, आर्थिक दृष्टि से वह एक लेखा परीक्षक है जो आपको बैलेंस शीट में त्रुटियों को खोजने में मदद करेगा, आपको बताएगा कि भंडार कहाँ छिपा है और धोखाधड़ी कहाँ है।

"पैसिओली की महानता इस तथ्य में ठीक थी कि उनके विचार ग्रंथ से स्वतंत्र रूप से जीते रहे, ये विचार एक" लोक गीत "बन गए, जिसे पूरी दुनिया ने" गाया, "अपने लेखक के बारे में भूल गए।"

लेकिन वे न केवल पैसिओली के बारे में भूल गए, वे अर्थशास्त्र और लेखा में दैवीय अनुपात के बारे में भूल गए, और इसलिए ज्योतिष के नियमों के बारे में। इससे ज्योतिष तो बच जाएगा, लेकिन क्या अर्थव्यवस्था बचेगी?

"हर कोई दावा करता है कि उसने जो आदेश स्थापित किया है वह दूसरों की तुलना में बेहतर है, और इसलिए बहुत बार इन संस्थानों में रिकॉर्ड इतने भ्रमित होते हैं कि पुस्तकों के समन्वय की कोई बात नहीं हो सकती है, और इस तरह के संस्थानों से निपटने वालों के लिए हाय। इसलिए, ऐसे लोगों के साथ व्यवहार करते समय हमेशा अपने कंधों पर सिर रखने की कोशिश करें, जो शायद सबसे अच्छे इरादों के साथ कार्य करते हैं, लेकिन फिर भी पूरी अज्ञानता प्रकट करते हैं।».

प्रतिलिपि

1 लुका पैसिओली और उनका ग्रंथ "ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन" ए. आई. शचेतनिकोव जीवनी रेखाचित्र लुका पैसिओली (लुका पैसिओली या पैसिओलो) का जन्म 1445 में तिबर के तट पर स्थित बोर्गो सैन सेपोलक्रो के छोटे से शहर में बार्टोलोमियो पैसिओली के एक गरीब परिवार में हुआ था। , टस्कनी और उम्ब्रिया की सीमा पर, और उस समय फ्लोरेंटाइन गणराज्य के थे। एक किशोर के रूप में, उन्हें प्रसिद्ध कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का (ओके) के स्टूडियो में अध्ययन करने के लिए भेजा गया था, जो उसी शहर में रहते थे। कार्यशाला में अध्ययन ने उन्हें एक कलाकार नहीं बनाया, लेकिन उन्होंने एक उत्कृष्ट स्वाद विकसित किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यहां उन्होंने पहली बार गणित में प्रवेश किया, जिसमें उनके शिक्षक की गहरी दिलचस्पी थी। अपने शिक्षक के साथ, LUCA अक्सर FEDERICO DE MONTEFELTRO, ड्यूक ऑफ अर्बिनो के दरबार में जाता था। यहाँ उनकी नज़र महान इतालवी वास्तुकार लियोन बतिस्ता अल्बर्टी () पर पड़ी, जिन्होंने 1464 में धनी वेनिस के व्यापारी एंटोनियो डी रोमपियान्ज़ी को गृह शिक्षक के रूप में युवक की सिफारिश की। वेनिस में, LUCA ने अपने संरक्षक के बेटों को पढ़ाया और खुद का अध्ययन किया, रियाल्टो स्कूल में प्रसिद्ध गणितज्ञ डोमेनिको ब्रागाडिनो के व्याख्यान में भाग लिया। 1470 में उन्होंने व्यावसायिक अंकगणित की अपनी पहली पुस्तक संकलित की। उसी वर्ष उन्होंने वेनिस छोड़ दिया और रोम चले गए, जहाँ उनका स्वागत अल्बर्टी ने किया और अपने घर में बस गए। हालांकि, दो साल बाद पैसिओली ने रोम छोड़ दिया और फ्रांसिस्कन बनकर मठवासी प्रतिज्ञा ली। टॉन्सिल लेने के बाद, भाई लुका कुछ समय के लिए सैन सेपोल्क्रो में अपनी मातृभूमि में रहता है। 1477 से 1480 तक उन्होंने पेरुगिया विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाया। फिर आठ साल तक वह ज़ारा (अब क्रोएशिया में ज़दर) में रहे, जहाँ उन्होंने धर्मशास्त्र और गणित का अध्ययन किया, कभी-कभी आदेश के व्यवसाय के लिए इटली के अन्य शहरों की यात्राएँ कीं। इन वर्षों के दौरान, पैसिओली ने अपने जीवन का मुख्य कार्य, अंकगणित, ज्यामिति, संबंध और अनुपात का विश्वकोश योग लिखना शुरू किया। 1487 में उन्हें फिर से पेरुगिया में कुर्सी लेने के लिए आमंत्रित किया गया। बाद के वर्षों में वह रोम, नेपल्स, पडुआ में रहता है। 12 अक्टूबर, 1492 को पिएरो डेला फ्रांसेस्का की मृत्यु हो गई। अगले साल, सम पर पचोली का काम आखिरकार पूरा हो गया। इस पांडुलिपि के साथ, वह वेनिस पहुंचता है, जहां नवंबर 1494 में यह पुस्तक, युवा GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO () को समर्पित है, जो अपने पिता की मृत्यु के बाद 1482 में उरबिनो के ड्यूक बने। यह उल्लेखनीय है कि पुस्तक सामान्य लैटिन में विद्वानों के कार्यों के लिए नहीं, बल्कि इतालवी में लिखी गई थी। कुछ लेखक पढ़ सकते हैं कि LUCA ने अपने ग्रंथ इतालवी में लिखे थे, क्योंकि उन्होंने उचित शिक्षा प्राप्त नहीं की थी और पूरी तरह से लैटिन नहीं बोलते थे। हालाँकि, वह धर्मशास्त्र का स्वामी था, और लैटिन धर्मशास्त्रीय ग्रंथों की एकमात्र भाषा थी; उन्होंने विभिन्न विश्वविद्यालयों में गणित पढ़ाया, और वहाँ सभी विषय लैटिन में पढ़े गए; और उन्होंने पूरे यूक्लिड का लैटिन से इतालवी में अनुवाद भी किया (हालांकि यह अनुवाद कभी प्रकाशित नहीं हुआ)। इसलिए, हालांकि वह मानवतावादी लैटिन नहीं बोलते थे, स्कूल लैटिन उनकी रोजमर्रा की भाषा थी। इसलिए, जिस कारण से उन्होंने लैटिन के लिए इतालवी को प्राथमिकता दी, वह एक अलग कारण था।

2 लुका पचोली और दिव्य अनुपात पर उनका उपचार, 2 होम। सुम्मा (इतालवी और लैटिन दोनों में लिखित) के प्रति अपने समर्पण में लुका खुद इस बारे में क्या कहता है: लैटिनवादियों के बीच कठिन शब्दों की सही समझ समाप्त हो गई है क्योंकि अच्छे शिक्षक दुर्लभ हो गए हैं। और यद्यपि योर डुकल हाइनेस के लिए सिसरो या इससे भी उच्च शैली बेहतर अनुकूल होगी, तथापि, मेरा मानना ​​है कि हर कोई वाक्पटुता के इस स्रोत का उपयोग करने में सक्षम नहीं होगा। इसलिए, आपके सम्मानित विषयों के सामान्य हित के हितों को ध्यान में रखते हुए, मैंने अपना काम उनकी मूल भाषा में लिखने का फैसला किया, ताकि शिक्षित और अशिक्षित दोनों समान रूप से इन गतिविधियों का आनंद ले सकें। सुम की प्रस्तावना में, पैसिओली उन लोगों के बारे में बात करते हैं, संचार के लिए धन्यवाद जिनके साथ उन्होंने यह दृढ़ विश्वास विकसित किया कि गणित "सभी चीजों पर लागू एक सार्वभौमिक कानून" मानता है। वह खगोल विज्ञान की बात करता है, विट्रूवियस और अल्बर्टी के लेखन में सन्निहित वास्तुकला के वैज्ञानिक दृष्टिकोण की, कई चित्रकारों की जिन्होंने परिप्रेक्ष्य की कला विकसित की, "जो, यदि आप ध्यान से देखें, तो गणितीय गणनाओं के उपयोग के बिना एक खाली जगह होगी उल्लेखनीय मूर्तिकारों के बारे में पिएरो डेला फ्रांसेस्का द्वारा "पेंटिंग में हमारे समय के राजा" के बीच खड़ा है। ये स्वामी हैं "जिन्होंने एक स्तर और कम्पास की मदद से अपने काम में गणना का उपयोग करते हुए उन्हें असाधारण पूर्णता तक पहुँचाया।" पैसिओली संगीत के लिए, ब्रह्मांड विज्ञान के लिए, व्यापार के लिए, यांत्रिक कला के लिए, सैन्य मामलों के लिए गणित के महत्व की भी बात करते हैं। अंकगणित, रेखागणित, अनुपात और अनुपात का योग 300 फोलियो शीट्स पर मुद्रित एक व्यापक विश्वकोषीय कार्य है। 224 शीट्स का पहला भाग अंकगणित और बीजगणित के लिए समर्पित है, दूसरा, ज्यामिति की 76 शीट्स का। दोनों भागों में चादरों की संख्या नए सिरे से शुरू होती है। प्रत्येक भाग को खंडों में विभाजित किया गया है, खंडों को ग्रंथों में, ग्रंथों को अध्यायों में विभाजित किया गया है। योग के अंकगणितीय भाग में, अंकगणितीय संक्रियाओं को करने की विधियों को रेखांकित किया गया है; यह हिस्सा अबेकस की कई किताबों पर आधारित है, जो विभिन्न लेखकों से संबंधित हैं। सुम्मा में हल की गई बीजगणितीय समस्याएँ रेखीय और द्विघात समीकरणों की समस्याओं की सीमा से परे नहीं जाती हैं, जिन्हें "बीजगणित और अलमुकाबला" पर अरबी ग्रंथों में माना जाता है; यूरोप में, इन कार्यों को पीसा () के लियोनार्डो द्वारा अबैकस की पुस्तक से जाना जाता था। बाद की पीढ़ियों के गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित करने वाली समस्याओं में से, एक अधूरे खेल में दांव को विभाजित करने की समस्या पर ध्यान दिया जाना चाहिए, जिसे लुका ने खुद गलत तरीके से हल किया। शायद पैसिओली का सबसे महत्वपूर्ण नवाचार सिंकोपेटेड बीजगणितीय संकेतन का व्यवस्थित उपयोग है, जो बाद के प्रतीकात्मक कलन का एक प्रकार का अग्रदूत है। पुस्तक में इटली के विभिन्न भागों में अपनाए गए सिक्कों, भारों और मापों की एक तालिका है, साथ ही विनीशियन डबल-एंट्री बहीखाता पद्धति के लिए एक गाइड भी है। योग के ज्यामितीय भाग के संबंध में, यह पीसा के लियोनार्डो की व्यावहारिक ज्यामिति का अनुसरण करता है। 90 के दशक की पहली छमाही में पैसिओली अर्बिनो में रहते हैं। जैकोपो डे बारबरी की पेंटिंग, जिसमें पचोली को एक अज्ञात युवक के साथ चित्रित किया गया है, इस युग से संबंधित है। इस युवक के व्यक्तित्व के संबंध में विभिन्न परिकल्पनाओं को सामने रखा गया है। सबसे प्रशंसनीय धारणा यह है कि यह पचोली के संरक्षक ड्यूक गुइडो उबाल्डो हैं।

3 लुका पचोली और उनका उपचार "ईश्वरीय अनुपात पर" 3 तस्वीर। 1. लुका पचोली और एक अनजान युवक का पोर्ट्रेट। JACOPO DE BARBARI (नेपल्स, राष्ट्रीय संग्रहालय) द्वारा चित्रकारी 1496 में, मिलान में गणित विभाग की स्थापना की गई, और पैसिओली ने इस पर कब्जा करने की पेशकश की। यहां वह छात्रों को शैक्षिक व्याख्यान देते हैं और सभी को सार्वजनिक व्याख्यान देते हैं। यहाँ, ड्यूक लोदोविको मोरो स्फोर्ज़ा () के दरबार में, वह लियोनार्डो दा विंची के करीबी बन गए। में नोटबुकलियोनार्डो ने नोट्स रखे: "Maestro LUCA से जड़ों का गुणन सीखें", "बोर्गो के एक भाई से आपको तराजू के बारे में एक किताब दिखाने के लिए कहें।" पैसिओली ने लियोनार्डो के लिए फ्रांसेस्को स्फोर्जा के विशाल अश्वारोही स्मारक के वजन की गणना का प्रदर्शन किया। मिलान में, पैसिओली ने ड्यूक लोदोविको स्फ़ोर्जा को संबोधित दैवीय अनुपात पर एक पत्र लिखा और लियोनार्डो ने इसके लिए चित्र बनाए। यह ग्रंथ 14 दिसंबर, 1498 को पूरा हुआ था। ग्रंथ की कई हस्तलिखित प्रतियाँ, शक्तिशाली लोगों को सौंपी गईं, नियमित पॉलीहेड्रा और अन्य ज्यामितीय ठोस पदार्थों के एक सेट के साथ थीं, जिनमें से भाई लुका का कहना है कि उन्होंने उन्हें अपने हाथों से बनाया था। (उन्होंने सुम्मा में नियमित पॉलीहेड्रा के मॉडल के बारे में लिखा।) इस ग्रंथ की दो पांडुलिपियों को संरक्षित किया गया है, एक जिनेवा में पब्लिक लाइब्रेरी में, दूसरी मिलान में एम्ब्रोसियन लाइब्रेरी में। 1499 में फ्रांसीसी सेना ने मिलान पर कब्जा कर लिया और स्फोर्ज़ा के ड्यूक भाग गए; लियोनार्डो और लुका ने जल्द ही शहर छोड़ दिया। बाद के वर्षों में, लुका पचोली ने पीसा (1500), पेरुगिया (1500), बोलोग्ना () और फ्लोरेंस () में व्याख्यान दिया। फ्लोरेंस में, उन्हें जीवन के लिए रिपब्लिक के गोंफालोनियर पिएत्रो सोदेरिनी द्वारा संरक्षण दिया जाता है। हालाँकि, पैसिओली की सभी रचनाएँ प्रकाशित नहीं हुई हैं, और इसलिए वह फिर से वेनिस जाता है। यहां 1508 में उन्होंने प्रकाशित किया लैटिन अनुवाद EUCLID, नोवारा के जियोवानी कैंपानो के स्वामित्व में है। 1259 में अरबी से वापस किया गया यह अनुवाद पहले से ही 1482 में प्रकाशित हुआ था और फिर कई बार पुनर्मुद्रित किया गया था, लेकिन संस्करण गलत छापों और त्रुटियों से भरा हुआ था। पचोली ने अनुवाद संपादित किया; इस संस्करण के अनुसार, कई टिप्पणियों से सुसज्जित, उन्होंने अपने विश्वविद्यालय के व्याख्यानों को पढ़ा। हालांकि, संस्करण लावारिस निकला, क्योंकि 1505 में बार्टोलोमियो ज़ाम्बर्टी ने शुरुआत का एक नया अनुवाद प्रकाशित किया, जो सीधे ग्रीक मूल से बना था। 1509 में पैसिओली की एक और किताब वेनिस में प्रकाशित हुई: डिविना प्रोपोर्शोन। ओपेरा ए टुट्टी ग्लिंगेग्नी पर्सिकासी और क्यूरियोसी आवश्यक है। फिलोसोफिया के स्टूडियो स्टूडियो में, प्रॉस्पेक्टिवा,

4 लुका पैसिओली और दैवीय अनुपात पर उनका उपचार 4 पिक्टुरा, स्कल्प्चर, आर्किटेक्चर, संगीत और अन्य गणित सुविसीमा सोटिल एड प्रशंसनीय सिद्धांत और चयनकर्ता विभिन्न प्रश्नों के रहस्यपूर्ण वैज्ञानिकता से दर्शन, परिप्रेक्ष्य, चित्रकला, मूर्तिकला, वास्तुकला, संगीत, या अन्य गणितीय विषय सबसे सुखद, मजाकिया और अद्भुत शिक्षण निकालेंगे, और सबसे गुप्त विज्ञान के विभिन्न प्रश्नों के साथ अपना मनोरंजन करेंगे। इस मुद्रित संस्करण में कई ग्रंथ शामिल हैं। प्रकाशन की शुरुआत फ्लोरेंटाइन गोंफालोनियर पिएत्रो सोदेरिनी से अपील के साथ की जाती है। पहले भाग (33 शीट्स) में दैवीय अनुपात पर एक संदेश है, साथ ही वास्तुकला पर एक ग्रंथ, मानव शरीर के अनुपात पर और लैटिन वर्णमाला के अक्षरों के निर्माण के सिद्धांत पर। इसके बाद नियमित ठोस (27 शीट) पर तीन अलग-अलग ग्रंथों में पुस्तक आती है, जिनमें से पहला ग्रंथ सपाट आकृतियों से संबंधित है, दूसरा नियमित ठोस एक गोले में खुदा हुआ है, तीसरा नियमित ठोस एक दूसरे में खुदा हुआ है। आगे शीट के एक तरफ मुद्रित ग्राफिक टेबल हैं: मानव चेहरे का अनुपात (1 शीट), लैटिन वर्णमाला (23 शीट) के अक्षरों के निर्माण का सिद्धांत, वास्तु तत्वों की छवियां (3 शीट), नियमित की छवियां और अन्य निकायों को लियोनार्डो के चित्र (58 शीट) के आधार पर बनाया गया है, और अंत में, "अनुपात और आनुपातिकता का पेड़" ड्राइंग, जिसे पचोली ने पहले ही योग (1 शीट) में उद्धृत किया है। दैवीय अनुपात पर संदेश में, लुका पचोली का कहना है कि यह उनके लिए एक बूढ़े व्यक्ति के रूप में आराम करने का समय है, "वर्षों को धूप वाली जगह पर गिनने के लिए।" उनके इस अनुरोध को सुना गया, और 1508 में वे अपने मूल सैन सेपोल्क्रो में मठ के ठिकाने बन गए। हालाँकि, दिसंबर 1509 में, उनके मठ के दो भिक्षुओं ने आदेश के जनरल को एक पत्र दिया जिसमें कहा गया था कि "Maestro LUCA दूसरों को प्रबंधित करने के लिए उपयुक्त व्यक्ति नहीं है" और अपने प्रशासनिक कर्तव्यों से मुक्त होने के लिए कहा। लेकिन उन्हें अधिकारियों से समर्थन नहीं मिला और फरवरी 1510 में, लुका पचोली अपने मूल मठ के पूर्ण पूर्व बन गए। हालाँकि, मठ के भीतर संघर्ष आगे भी जारी रहा। अपने जीवन के अंतिम वर्षों में, भाई लुका समय-समय पर व्याख्यान देते रहे; उन्हें 1510 में पेरुगिया और 1514 में रोम में आमंत्रित किया गया था, नए पोप लियो एक्स से आने वाले अंतिम निमंत्रण के साथ। लुका पचोली का 72 वर्ष की आयु में 19 जून, 1517 को फ्लोरेंस में निधन हो गया। "दिव्य अनुपात पर" संदेश का अवलोकन लुका पचोली के संदेश में दिव्य अनुपात पर, निम्नलिखित मूल भागों को प्रतिष्ठित किया गया है: परिचय (च। 14). किसी मान को मध्य और चरम अनुपात में विभाजित करने पर उत्पन्न होने वाले अनुपात के दैवीय गुण, परिभाषा और गणितीय गुण (अध्याय 5 23)। नियमित निकायों के बारे में, उनमें से पांच से अधिक क्यों नहीं हो सकते हैं, और उनमें से प्रत्येक क्षेत्र में कैसे फिट बैठता है (च।) नियमित शरीर एक दूसरे में कैसे फिट होते हैं (च।) के बारे में। इन निकायों में से प्रत्येक में एक गोला कैसे फिट बैठता है (अध्याय 47)। नियमित निकायों (च।) से कैसे काटे गए और निर्मित निकाय प्राप्त किए जाते हैं, इसके बारे में। गोले में अंकित अन्य पिंडों पर (च।) । क्षेत्र (अ.)। स्तंभों और पिरामिडों के बारे में (च।)। प्रस्तुत निकायों के भौतिक रूपों और उनकी परिप्रेक्ष्य छवियों पर (अध्याय 70)। शब्दावली (अध्याय 71)।

5 लुका पैसिओली और दैवीय अनुपात पर उसका उपचार 5 "ईश्वरीय अनुपात" के तहत, पचोली तीन मात्राओं के निरंतर ज्यामितीय अनुपात को समझता है, जिसे यूक्लिड "मध्य और चरम अनुपात में विभाजन" कहता है, और 19वीं शताब्दी में यह शुरू हुआ "गोल्डन सेक्शन" कहा जाता है। इस अनुपात को परिभाषित करने और इसके गुणों का वर्णन करने में पचोली यूक्लिड का अनुसरण करता है। यह अनुपात तब होता है जब पूरे को दो भागों में विभाजित किया जाता है, जब संपूर्ण बड़े हिस्से से संबंधित होता है क्योंकि बड़ा हिस्सा छोटे से संबंधित होता है। क्षेत्रों की समानता की भाषा में, समान अनुपात इस प्रकार दिया जाता है: अधिकांश भाग के लिए वर्ग आयत के बराबर होता है, जिसकी भुजाएँ संपूर्ण और छोटा भाग होती हैं। भाई LUKE विशेष मूल्य की पुष्टि करता है, एक आध्यात्मिक और धार्मिक प्रकृति के तर्कों के साथ, अन्य रिश्तों के बीच "ईश्वरीय अनुपात" संबंध को अलग करता है। इस अनुपात की विशिष्टता और अपरिवर्तनीयता की तुलना भगवान की विशिष्टता और अपरिवर्तनीयता के साथ की जाती है, इसके तीन सदस्य पवित्र त्रिमूर्ति के तीन अवतारों के साथ, भगवान की अतुलनीयता और अक्षमता के साथ संबंध की तर्कहीनता। लेकिन इन तर्कों के अलावा, एक और है: एक नियमित फ्लैट पेंटागन के निर्माण की प्रक्रियाएँ, और ठोस डोडेकाहेड्रॉन और इकोसैहेड्रॉन इस अनुपात से जुड़े हैं। लेकिन टिमियस में प्लेटो ने पांच नियमित निकायों को ब्रह्मांड बनाने वाले पांच तत्वों के रूप में माना। इस प्रकार, पैसिओली के आध्यात्मिक निर्माणों में ईसाई धर्मशास्त्र और प्लेटोनिक ब्रह्मांड विज्ञान के उद्देश्यों को संयुक्त किया गया है। ल्यूक आगे यूक्लिड के तत्वों XIII और XIV से ज्ञात "ईश्वरीय अनुपात" के विभिन्न गुणों को बताता है। कुल मिलाकर, वह इस तरह के तेरह गुणों पर विचार करता है, इस संख्या को अंतिम भोज में भाग लेने वालों की संख्या के साथ जोड़ता है। यहाँ इन गुणों में से एक का एक उदाहरण दिया गया है: "एक सीधी रेखा को एक मध्य और दो किनारों वाले अनुपात में विभाजित किया जाना चाहिए, फिर यदि पूरे आनुपातिक रूप से विभाजित रेखा के आधे हिस्से को बड़े हिस्से में जोड़ दिया जाए, तो यह निश्चित रूप से पता चलेगा कि योग का वर्ग हमेशा पाँच गुना होगा, अर्थात उक्त आधे के वर्ग से 5 गुना अधिक होगा। वह इन सभी गुणों के साथ एक ही संख्यात्मक उदाहरण के साथ आता है, जब पूरे खंड की लंबाई 10 है, और इसके हिस्से हैं: छोटे और बड़े। ABU KAMIL () और AL-KHOREZMI () से। इसी द्विघात समीकरण की जड़ों की बहुत गणना ग्रंथ में नहीं की गई है: यहाँ LUCA अपने स्वयं के योग को संदर्भित करता है, जहाँ यह परिणाम "बीजगणित और अलमुकाबला के नियमों के अनुसार" प्राप्त हुआ था। और सामान्य तौर पर, उनके द्वारा चुने गए संदेश की शैली इस तथ्य को पूर्व निर्धारित करती है कि पचोली बिना प्रमाण के सभी परिणाम देता है, हालांकि ये प्रमाण निस्संदेह उसे ज्ञात हैं। इसके बाद पैसिओली ने पांच प्लेटोनिक ठोस पदार्थों की जांच की। सबसे पहले, वह इस प्रमेय को सिद्ध करता है कि इनमें से पाँच शरीर हैं, और नहीं। फिर वह निम्नलिखित क्रम में इस क्षेत्र में अंकित सभी पांच पिंडों का निर्माण करता है: टेट्राहेड्रॉन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसैहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन। इसके अलावा, एक ही गोले में अंकित इन निकायों के पक्षों के बीच के अनुपात पर विचार किया जाता है, और उनकी सतहों के बीच संबंधों पर कई प्रमेय दिए जाते हैं। फिर कुछ तरीकों पर विचार किया जाता है जिसमें एक नियमित शरीर को दूसरे में अंकित किया जा सकता है। अंत में, इस प्रमेय पर चर्चा की गई है कि प्रत्येक नियमित पिंड में एक गोले को भी अंकित किया जा सकता है। अब पैसिओली यूक्लिड को कुछ समय के लिए छोड़ देता है और नई सामग्री की ओर बढ़ता है। अर्थात्, वह उन निकायों पर विचार करता है जिन्हें "ट्रंकेशन" या "सुपरस्ट्रक्चर" द्वारा नियमित निकायों से प्राप्त किया जा सकता है। ट्रंकेशन द्वारा नियमित निकायों से प्राप्त निकाय हैं

6 लुका पचोली और उनका उपचार "दिव्य अनुपात पर" 6 आर्किमिडीज के अर्ध-नियमित ठोस पदार्थों में से कुछ। कुल मिलाकर तेरह अर्ध-नियमित निकाय हैं, जो आर्किमिडीज़ द्वारा सिद्ध किए गए थे। लेकिन पचोली PAPP के लिए उपलब्ध ARCHIMEDES द्वारा इस कार्य की समीक्षा से परिचित नहीं थे। तेरह अर्ध-नियमित निकायों में से, वह छह पर विचार करता है: एक छोटा टेट्राहेड्रोन, एक क्यूबोक्टेहेड्रोन, एक छोटा ऑक्टाहेड्रोन, एक छोटा आईकोसाहेड्रॉन, एक इकोसिडोडेकाहेड्रॉन, और एक छोटा रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन। वह दो पिंडों से चूक गया - एक छोटा क्यूब और एक छोटा डोडेकाहेड्रॉन किसी अज्ञात कारण से, हालांकि उनका निर्माण एक छोटा टेट्राहेड्रॉन, क्यूब और आईकोसैहेड्रोन के निर्माण के समान है। काटे गए रोम्बिकुबोक्टाहेड्रॉन ("26 ठिकानों वाला शरीर") के लिए, पचोली ने स्पष्ट रूप से इसे स्वयं खोजा, और इस खोज पर बहुत गर्व था: यह यह शरीर है, जो पारदर्शी कांच की प्लेटों से बना है और पानी से आधा भरा हुआ है, जो ऊपरी भाग में दर्शाया गया है IACOPO पेंटिंग डे बारबरी का बायां हिस्सा। पचोली में बिल्ट-ऑन रेगुलर और बिल्ट-ऑन ट्रंकेटेड बॉडी बाद के गणित में अध्ययन किए गए तारे के आकार के केपलर पॉलीहेड्रा के समान नहीं हैं। मूल पॉलीहेड्रा के तलों को बढ़ाकर केप्लर ठोस प्राप्त किए जाते हैं; पचोली निकाय मूल बहुफलक के प्रत्येक फलक पर एक पिरामिड का निर्माण करते हैं जिसकी पार्श्व भुजाएँ समबाहु त्रिभुज हैं। पैसिओली एक दिलचस्प प्रमेय देता है कि एक बिल्ट-अप इकोसिडोडेकाहेड्रॉन में, त्रिकोणीय पिरामिड के पांच कोने और एक पंचकोणीय पिरामिड के शीर्ष एक ही तल में स्थित होते हैं; छोड़े गए प्रमाण को "बीजगणित और अलमुकाबला के बेहतरीन अभ्यास द्वारा एक दुर्लभ निशान तक उठाया गया है।" अगला, हम "72 ठिकानों वाले शरीर" पर विचार करते हैं, जिसे यूक्लिड ने शुरुआत की बारहवीं पुस्तक के अंतिम दो वाक्यों में एक सहायक के रूप में इस्तेमाल किया था; इस शरीर को कभी-कभी साहित्य में "कैम्पानो क्षेत्र" (चित्र 2) के रूप में संदर्भित किया जाता है। पैसिओली का दावा है कि इस शरीर का आकार रोम में पैंथियॉन के गुंबद और कई अन्य इमारतों के वाल्टों के लिए ज्यामितीय आधार के रूप में कार्य करता है। चावल। 2. अंजीर। 3. लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए चित्रों में से एक। ग्रंथ के मुद्रित संस्करण से उत्कीर्णन। इसके बाद, पैसिओली का कहना है कि ट्रंकेशन और अधिरचना द्वारा, पॉलीहेड्रल रूपों का एक असंख्य सेट प्राप्त किया जा सकता है, और गोले पर विचार करने के लिए आगे बढ़ता है, एक बार फिर इसमें नियमित निकायों के शिलालेख को छूता है।

7 लुका पचोली और दैवीय अनुपात पर उसका उपचार दैवीय अनुपात पर पत्र का अंतिम भाग हमें यूक्लिड की ओर वापस लाता है। यहां हम बहुफलकीय प्रिज्म और एक बेलन पर विचार करते हैं, फिर बहुफलकीय पिरामिड और एक शंकु, फिर छंटे हुए पिरामिड। पैसिओली इन सभी पिंडों के आयतन की गणना के लिए नियम देता है, और हर जगह यह संकेत देता है कि इनमें से कौन से नियम अनुमानित हैं और कौन से सटीक हैं। पैसिओली आगे लिखते हैं कि ड्यूक और उनके रिश्तेदारों को दिए गए ग्रंथ की हस्तलिखित प्रतियां लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाई गई परिप्रेक्ष्य रेखाचित्रों के साथ तालिकाओं के साथ-साथ इसमें वर्णित सभी निकायों के "भौतिक रूपों" के साथ हैं। पॉलीहेड्रॉन के चित्र और आकार दो संस्करणों में बनाए गए थे: ठोस, ठोस सपाट चेहरों के साथ, और खोखले, केवल किनारों के साथ। लियोनार्डो ने अपने चित्र विशुद्ध रूप से गणना द्वारा बनाए या प्रकृति से, हम नहीं जानते। कुछ रेखाचित्रों को आँख से दिखाई देने वाली त्रुटि के साथ बनाया गया है, लेकिन इसे गणना की अशुद्धि और उस बिंदु में परिवर्तन से समझाया जा सकता है जहाँ से चित्रित शरीर को देखा गया था। संदेश एक शब्दकोष के साथ समाप्त होता है, जो एक बार फिर पाठ में प्रयुक्त विशेष शब्दों की व्याख्या करता है। "प्राचीन" और "नए" सौंदर्यशास्त्र में सुनहरा अनुपात कला में अनुपात की समस्या पर कई लोकप्रिय और विशेष पुस्तकें और लेख सुनहरे अनुपात को "सबसे सही" अनुपात मानते हैं, और इस पूर्णता की व्याख्या इन पुस्तकों में मुख्य रूप से की गई है। मनोवैज्ञानिक रूप से: पार्टियों के "सुनहरे" अनुपात के साथ एक आयत को दृश्य धारणा आदि के लिए सबसे सुखद माना जाता है। इन प्रकाशनों में, विभिन्न प्रकार के कार्यों पर विचार करने की प्रथा है दृश्य कलाऔर पुरातनता और पुनर्जागरण के स्वामी द्वारा बनाए गए स्थापत्य स्मारक, इस थीसिस की पुष्टि करने वाले उदाहरण के रूप में। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पुरातनता से एक भी पाठ हमारे पास नहीं आया है, जिसमें मध्य और चरम अनुपात में परिमाण के विभाजन पर ललित कला और वास्तुकला में एक प्रारंभिक सिद्धांत के रूप में चर्चा की जाएगी। ऐसा प्रतीत होता है कि ऐसे ग्रंथ अस्तित्व में ही नहीं थे। तुलना के लिए, हम तथाकथित संगीत अनुपात 12:9 = 8:6 पर विचार कर सकते हैं, जो संगीत सद्भाव की संरचना निर्धारित करता है। पाइथागोरस द्वारा खोजे गए इस अनुपात का उल्लेख संगीत सिद्धांत के दर्जनों प्राचीन ग्रंथों में किया गया है, विशेष और सामान्य दार्शनिक दोनों। यह अजीब होगा अगर सुनहरे अनुपात ने वास्तुकला, मूर्तिकला और पेंटिंग में समान भूमिका निभाई, और प्राचीन लेखकों के पास इस बारे में एक भी सबूत नहीं था। माध्य और चरम अनुपात में परिमाण के विभाजन पर चर्चा करने वाले सभी प्राचीन ग्रंथ विशुद्ध रूप से गणितीय ग्रंथ हैं, जिसमें इस निर्माण को विशेष रूप से एक नियमित पेंटागन के निर्माण के संबंध में माना जाता है, साथ ही साथ दो नियमित प्लेटोनिक ठोस, आइकोसैड्रॉन और डोडेकाहेड्रॉन (इन पाठों की समीक्षा के लिए, हर्ज़-फिशलर 1998 देखें)। यह सच है कि नियमित निकायों में रुचि, और इस प्रकार सुनहरे अनुपात में, विशुद्ध रूप से गणितीय नहीं थी: आखिरकार, पाइथागोरस के बाद, प्लैटन ने, पांच नियमित निकायों को ब्रह्मांड की प्राथमिक नींव के रूप में मानना ​​​​शुरू कर दिया, टेट्राहेड्रॉन को लाइन में रखते हुए अग्नि, पृथ्वी के साथ घन, वायु के साथ अष्टफलक, जल के साथ समभुज, और उन्होंने समग्र रूप से ब्रह्मांड के साथ द्वादशफलक के आकार को जोड़ा। इस संबंध में, निश्चित रूप से, हम सुनहरे खंड के सौंदर्य महत्व के बारे में बात कर सकते हैं, जैसा कि ए.एफ. लोसेव ने अपने लेखन में किया था; लेकिन यह "सौंदर्यशास्त्र" स्वयं मनोवैज्ञानिक नहीं है, बल्कि ब्रह्माण्ड संबंधी है।

8 लुका पचोली और उनका उपचार "ईश्वरीय अनुपात पर" 8 पुनर्जागरण काल ​​में, द रिटर्न ने प्राचीन प्लैटोनिज़्म के ब्रह्माण्ड संबंधी चित्रों की वापसी देखी, और लुका पैसिओली का ग्रंथ ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन इस गणितीय-सट्टा दिशा का सबसे महत्वपूर्ण स्मारक है। LUKE अपने ग्रंथ के शुरुआती अध्यायों में "दिव्य अनुपात" गाता है, इसके गुणों को "प्राकृतिक नहीं, बल्कि वास्तव में दिव्य" कहता है। हालांकि, इस अनुपात के अर्थ पर उनके विचार प्लेटो के टिमियस के ब्रह्माण्ड विज्ञान से बंधे हुए हैं, और "सबसे बड़ा सामंजस्य" जिसके बारे में वह बोलते हैं, वह ब्रह्मांड का सामंजस्य है, और कोई नहीं। और यद्यपि पैसिओली ने मानव शरीर की वास्तुकला और अनुपात पर एक ग्रंथ को संदेश ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन से जोड़ा, उन्होंने इस ग्रंथ में सुनहरे खंड के बारे में एक शब्द भी नहीं कहा। इसलिए, उनके पास गणितीय और ब्रह्माण्ड संबंधी एक को छोड़कर सुनहरे अनुपात के बारे में कोई अन्य विचार नहीं था, और यह विचार कि स्वर्णिम अनुपात वास्तुकला और चित्रकला के कार्यों के मूल अनुपात के रूप में कार्य कर सकता है, बस उनके मन में नहीं आया। ठीक वही विचार जोहान केपलर और पुनर्जागरण के अन्य लेखकों की विशेषता है, जो "दुनिया के सद्भाव" में सुनहरे खंड और नियमित पॉलीहेड्रा की भूमिका में रुचि रखते थे। इसलिए कला के कार्यों के सौंदर्यशास्त्र से जुड़े उनके लेखन में सुनहरे अनुपात की कुछ अवधारणा की तलाश करना पूरी तरह से व्यर्थ व्यायाम है, क्योंकि यह वहां नहीं था। पैसिओली के लेखन का भाग्य। साहित्यिक चोरी का सवाल पैसिओली की मृत्यु के बाद, उनके लेखन को बहुत लंबे समय तक याद नहीं रखा गया। भव्य वैज्ञानिक उपलब्धियों का एक युग शुरू हो रहा था, जब विज्ञान में नए परिणामों को महत्व दिया जाने लगा, और पैसिओली की पुस्तकें पूर्व समय में किए गए कार्यों की समीक्षा थीं। GIROLAMO CARDANO () ने पचोली को एक संकलक कहा, जिसमें, उनके दृष्टिकोण से, वह काफी सही थे। हालाँकि, इस युग के एक अन्य उत्कृष्ट गणितज्ञ, राफेल बोम्बेली () ने कहा कि पचोली, पीसा के लियोनार्डो के बाद पहले थे, "जिन्होंने बीजगणित के विज्ञान पर प्रकाश डाला।" पैसिओली के व्यक्ति और लेखन में रुचि का पुनरुद्धार 1869 से शुरू होता है, जब यह राशि मिलानी गणित के प्रोफेसर ल्यूचिन के हाथों में आ गई, और उन्होंने इसमें खातों और अभिलेखों पर एक ग्रंथ की खोज की। इस खोज के बाद, वे पचोली को लेखांकन विज्ञान के संस्थापक के रूप में देखने लगे, और यह वह ग्रंथ था जो उनकी विरासत का सबसे अधिक मांग वाला हिस्सा बन गया, जिसका रूसी सहित अन्य भाषाओं में कई बार अनुवाद किया गया . हालांकि, लेखा और अभिलेख पर संधि के पहले प्रकाशन के तुरंत बाद, शोधकर्ताओं के बीच गरमागरम बहस छिड़ गई कि क्या लुका पचोली इसके असली लेखक थे। यह संदेह था कि क्या व्यावसायिक मामलों से दूर कोई व्यक्ति इस तरह के ग्रंथ की रचना कर सकता है। और अगर वह नहीं कर सका तो क्या यह नहीं मान लेना चाहिए कि यहां साहित्यिक चोरी की गई है? हालाँकि, ऐसा लगता है कि इस मामले में साहित्यिक चोरी का आरोप अक्षम्य है। पचोली कहीं नहीं कहते हैं कि उन्होंने ही डबल-एंट्री बहीखाता पद्धति का आविष्कार किया था; वह केवल "विनीशियन रिवाज के अनुसार" इसके मानदंडों का वर्णन करता है। लेकिन आखिरकार, यदि हम किसी भी आधुनिक लेखा नियमावली को खोलते हैं, तो यह पूर्ववर्तियों के संदर्भ के बिना बिल्कुल वैसा ही प्रामाणिक विवरण होगा। और अगर पचोली अपने द्वारा पढ़ी गई किसी पांडुलिपि के अनुसार लेखा प्रणाली का वर्णन करता है, तो आखिरकार, वह एक कॉलम में गुणा के नियमों के साथ नहीं आया, लेकिन इस मामले में कोई भी उस पर साहित्यिक चोरी का आरोप नहीं लगा सकता है

9 लुका पचोली और दैवीय अनुपात पर उनका इलाज 9 दिमाग में आता है। और वह अभ्यास में डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली से परिचित हो सकता था जब वह एक अमीर व्यापारी के घर में एक गृह शिक्षक था। 1550 की शुरुआत में पैसिओली के खिलाफ साहित्यिक चोरी का एक और गंभीर आरोप लगाया गया था, जब जॉर्ज वजारी () ने अपनी पुस्तक लाइव्स ऑफ फेमस पेंटर्स, स्कल्पटर्स एंड आर्किटेक्ट्स में, पिएरो डेला फ्रांसेस्का को समर्पित अध्याय में निम्नलिखित लिखा था: अपनी प्रसिद्धि और प्रसिद्धि को बढ़ाने के लिए अपनी पूरी ताकत से कोशिश करें, क्योंकि उसने वह सब कुछ सीखा जो वह उससे जानता था, कोशिश की, एक खलनायक और दुष्ट के रूप में, अपने गुरु, पिएरो के नाम को नष्ट करने के लिए, और अपने लिए उन सम्मानों को जब्त कर लिया जो किसी एक के होने चाहिए थे। पिएरो, अपने स्वयं के नाम के तहत, बोर्गो से भाई लुका, इस आदरणीय बूढ़े व्यक्ति के सभी मजदूरों को रिहा कर रहा है। पिएरो डेला फ्रांसेस्का के गणितीय लेखन को लंबे समय तक खोया हुआ माना जाता था। हालाँकि, 1903 में जे। पित्तरेली को वेटिकन लाइब्रेरी में पेट्री पिक्टोरिस बर्गेंसिस डी क्विंक कॉर्पोरिबस रेगुलरिबस ("पीटर, बोर्गो के चित्रकार, पांच नियमित निकायों पर") की एक पांडुलिपि मिली। कुछ समय बाद, पिएरो की दो और पांडुलिपियों की खोज की गई: पेंटिंग में परिप्रेक्ष्य (डी पर्सपेक्टिवा पिंगेंडी) और अबैकस के बारे में (डी अबाको)। साथ ही, यह स्थापित किया गया था कि मुद्रित संस्करण डी डिविना प्रोपोरियोन में पांच नियमित निकायों पर लैटिन पांडुलिपि और नियमित निकायों पर तीन इतालवी ग्रंथ एक ही पाठ के दो करीबी संस्करण हैं। पांच नियमित निकायों पर पिएरो द्वारा जीवित हस्तलिखित पुस्तक गुइडो उबाल्डो डे मोंटेफेल्ट्रो, उरबिनो के ड्यूक को समर्पित है। उन्होंने अपने पिता की मृत्यु के बाद 1482 में ड्यूक की उपाधि प्राप्त की। 1492 में पिएरो की मृत्यु हो गई। नतीजतन, पुस्तक की प्रति जो हमारे पास आई है, वर्षों के अंतराल में सफाई से फिर से लिखी गई थी। हालाँकि, पुस्तक पहले ही बनाई जा सकती थी। सुम्मा (VI, I, II) में LUCA PACIOLI का कहना है कि पिएरो ने इटालियन में परिप्रेक्ष्य पर पुस्तक लिखी थी, और उनके मित्र मैटेओ डल बोर्गो ने लैटिन अनुवाद किया था। इसी तरह, ऑन फाइव रेगुलर बॉडीज पुस्तक के लैटिन पाठ का जन्म हो सकता था। किसी भी मामले में, पचोली द्वारा बाद में प्रकाशित इतालवी पाठ को मूल के रूप में मानना ​​स्वाभाविक है। डिवाइन प्रॉपोर्शन संस्करण के परिशिष्ट में इस प्रकाशन के संबंध में, इसका पूरा शीर्षक है: लिबेलस इन ट्रेस पार्शियलिस ट्रैक्टेटस डिविसस क्विन्के कॉरपोर रेगुलरियम ई डिपेंडेंटियम एक्टिव पर स्क्रूटेशनिस। डी. पेट्रो सोडेरिनो सिद्धांत फ्लोरेंटिनिया को हमेशा के लिए पॉपुली बनाते हैं। एम. लुका पैसिओलो, बर्गेंस माइनोरिटानो स्पेशलिटर डाइकाटस, फेलिसिटर इनसिपिट ("एक किताब, तीन अलग-अलग ग्रंथों में विभाजित, पांच सही और आश्रित निकायों पर, उत्तराधिकार में विचार किया गया। फ्लोरेंटाइन लोगों के स्थायी नेता श्री पीटर सोडेरिनी को। एम [एस्ट्रो] लुका पचोली, बोर्गो से माइनोराइट, भागों में तय, खुशी से शुरू होता है")। इस ग्रंथ से पिएरो डेला फ्रांसेस्का के किसी भी संबंध के बारे में, यह शीर्षक वास्तव में कुछ नहीं कहता है। लेकिन पचोली अपने स्वयं के "लेखकत्व" को भी बहुत ही अजीब तरीके से दर्शाता है। अर्थात्, वह कहता है कि यह छोटी पुस्तक विशेष रूप से डिकैटस है, "भागों में (या आंशिक रूप से?) निर्धारित," और कुछ नहीं। वह आपको सोचने पर मजबूर करता है। आखिरकार, लुका पचोली अपने लेखन में ऐसे व्यक्ति की तरह बिल्कुल नहीं दिखते हैं, जो बेशर्मी से अन्य लोगों के परिणामों को उपयुक्त बनाने की आकांक्षा रखते हैं। इस प्रकार, सुम्मा के अध्याय I के खंड I में वे लिखते हैं:

10 लुका पचोली और उनका उपचार "ईश्वरीय अनुपात पर" 10 और चूंकि हम पीसा के अधिकांश एल. ग्रन्थकारिता दी गई है। दैवीय अनुपात के अध्याय IV में एक समान सूचना है: पहली बात जो मैंने नोटिस की है वह यह है कि जब भी मैं "पहले में पहला", "दूसरे में चौथा", "पांचवें में दसवां", "6 में 20" और इसी तरह लिखता हूं पंद्रहवीं तक, पहली संख्या को हमेशा वाक्य की संख्या के रूप में समझा जाना चाहिए, और हमारे दार्शनिक यूक्लिड की पुस्तक की दूसरी संख्या, जिसे हर कोई इस संकाय के प्रमुख के रूप में मान्यता देता है। इस प्रकार, पहली में पाँचवीं की बात करते हुए, मैं उनकी पहली पुस्तक के पाँचवें वाक्य की बात कर रहा हूँ, और अन्य अलग-अलग पुस्तकों की भी, जो अंकगणित और ज्यामिति के तत्वों और सिद्धांतों पर एक पूरी किताब बनाती हैं। लेकिन जब उनके किसी अन्य कार्य या किसी अन्य लेखक की पुस्तक का उल्लेख किया जाता है, तो उस कार्य या उस लेखक को नाम से संदर्भित किया जाता है। यह नहीं भूलना चाहिए कि उस अवधि के दौरान जब लुका अपने गृहनगर में रहता था, उसके पास सीधे पिएरो के साथ संवाद करने का अवसर था। यह सोचना स्वाभाविक है कि दो गणितज्ञों की बैठकें काफी बार-बार होती थीं, और उनका संचार सार्थक था। इन वार्तालापों में द फाइव राइट बॉडीज़ के विषयों पर लगभग निश्चित रूप से चर्चा की गई थी, इसलिए वे दोनों इसे कुछ हद तक अपने रूप में देख सकते थे, भले ही इसे अंतिम रूप किसने दिया हो। हम पिएरो डेला फ्रांसेस्का और लुका पचोली पर प्रभाव के बारे में भी कुछ नहीं जानते हैं, जो कि जर्मन खगोलशास्त्री और गणितज्ञ जोहान मुलर (), जिसे लैटिन नाम REGIOMONTANUS के नाम से जाना जाता है, का काम था। लेकिन वह इटली में बहुत अधिक समय तक रहे और रोम में उनकी मृत्यु हुई, ताकि इतालवी गणितज्ञ उनसे और उनकी पांडुलिपियों से परिचित हो सकें। उनके लेखन में डी क्विंक कॉरपोरिबस एक्विलेटेरिस, क्वाई वल्गो रेगुलरिया ननकुपंतूर, क्वाई विडेलिसेट ईओरम लोकम इंप्लीमेंट नेचुरलेम एट क्वाए नॉन कॉन्ट्रा कमेंटेटरेम अरिस्टोटेलिस एवरोएम ("पांच समबाहु निकायों पर, आमतौर पर नियमित कहा जाता है, अर्थात्, उनमें से कौन सा प्राकृतिक स्थान भरता है) , और जो AVERROES, अरस्तू के टीकाकार के विरुद्ध नहीं हैं")। यह आज तक नहीं बचा है, लेकिन REGIOMONTANUS अपने दूसरे काम में इसका एक सिंहावलोकन देता है। इस ग्रंथ ने नियमित निकायों के निर्माण, एक दूसरे में उनके परिवर्तन और उनकी मात्रा की गणना की। इसमें पचोली में पाया गया विचार भी शामिल था कि क्रमिक रूप से नियमित निकायों को बदलकर व्यक्ति असीमित संख्या में अर्ध-नियमित प्राप्त कर सकता है। इसके अलावा, गणित पर पहली मुद्रित पुस्तक 1475 में छपी। पिएरो डेला फ्रांसेस्का पांडुलिपियों की दुनिया में रहते थे, जबकि छोटी लुका पैसिओली ने अपने परिपक्व वर्षों को मुद्रित पुस्तकों की दुनिया में बिताया। पांडुलिपि को किसी और के स्वयं के उपयोग के लिए लिप्यंतरित किया जा सकता था, लेकिन हर बार एक प्रति में। इसका मुंशी केवल एक धर्मार्थ कार्य करता है क्योंकि वह पांडुलिपि के जीवन को बढ़ाता है, इसे नष्ट नहीं होने देता। जब एक संरक्षित पांडुलिपि को मुद्रित पुस्तक में बदल दिया जाता है तो यह सच होता है। अब हम साहित्यिक चोरी के प्रश्न पर एक आकलन के साथ लौट सकते हैं जो उस समय के विचारों की व्यवस्था के अनुरूप है। ऐसा लगता है कि उस युग में जब पिएरो डेला फ्रांसेस्का और लुका पचोली रहते थे, लेखकत्व का सवाल ही नहीं उठता था। (मध्य युग, वैसे, लेखकत्व को बिल्कुल नहीं जानता: क्या हम कह सकते हैं कि सुंदर का "लेखक" कौन था? गोथिक गिरजाघरों? प्रश्न स्वयं स्पष्ट रूप से अर्थहीन है। इसलिए यूक्लिड के सिद्धांतों में, अधिकांश परिणाम अन्य गणितीय पुस्तकों से कॉपी किए गए थे, लेकिन किसी कारण से हम इस पर नाराज नहीं हैं और ईयूसीएलआईडी पर साहित्यिक चोरी का आरोप नहीं लगाते हैं।) पिएरो खुद गणित में रुचि रखते थे, न कि भविष्य में महिमा। सदियों। पूर्व में-

11 लुका पचोली और उनका उपचार "दैवीय अनुपात पर" 11 अपनी लैटिन पुस्तक के शब्दों में, वह लिखते हैं कि यह उनके लिए "प्रतिज्ञा और एक स्मारक" होगा, लेकिन सामान्य रूप से वंशजों के लिए नहीं, बल्कि उनकी ड्यूकाल महारानी के लिए। इस तरह की और इस तरह की खोज करने वाले पहले व्यक्ति के संकेत के रूप में लेखकत्व के लिए, यहां सत्तामूलक क्षण महत्वपूर्ण है। गणितज्ञ कुछ अज्ञात पिंडों की खोज करता है, और उसी समय कोलंबस नए देशों की खोज करता है। लेकिन कोलंबस इन देशों के "लेखक" नहीं हैं, जैसे गणितज्ञ उनके द्वारा खोजे गए निकायों के "लेखक" नहीं हैं। और आखिरकार, जब कोलंबस ने अपने अभियान का आयोजन किया, तो उनका लक्ष्य स्वयं नए देश थे, न कि उनके वंशजों की स्मृति जो उन्होंने उन्हें खोजी थी। ल्यूका पैसिओली और विशेषज्ञता संस्थान का गठन, दिव्य अनुपात पर अपने संदेश में ड्यूक ऑफ मिलान लोडोविको स्फोर्ज़ा को संबोधित करते हुए, लुका पैसिओली कहीं भी खुद की सिफारिश इस प्रकार नहीं करते हैं: "मैं एक गणितज्ञ हूं क्योंकि मुझे नए गणितीय परिणाम मिल सकते हैं।" नहीं, वह अपने बारे में बिल्कुल अलग तरीके से बात करता है: "मैं एक गणितज्ञ हूं क्योंकि मैं गणित जानता हूं और इसे दूसरों को सिखा सकता हूं।" यहाँ डांटे है ईश्वरीय सुखान्तिकीअरस्तू को "उन लोगों का शिक्षक" कहा जाता है जो जानते हैं, और ल्यूक इस उद्धरण को एक कारण से उद्धृत करते हैं। इस तर्क को स्पष्ट करने के लिए, आइए हम निम्नलिखित तुलना करें। डॉक्टर दवा जानता है और इसलिए इलाज कर सकता है। एक वकील कानून जानता है और इसलिए एक वकील हो सकता है। क्या गणितज्ञ गणित जानता है, और आगे क्या है? क्या वह उसे पढ़ा सकता है? लेकिन आखिरकार, एक डॉक्टर और एक वकील दोनों ही अपने विज्ञान पढ़ा सकते हैं, यही कारण है कि विश्वविद्यालय में चिकित्सा और कानून संकाय हैं। लेकिन शिक्षा के क्षेत्र से बाहर गणितज्ञ कौन हो सकता है? कौन सा कौशल उसे अन्य लोगों से अलग करता है और किसी को उसकी आवश्यकता होती है? एक खगोलशास्त्री आकाशीय पिंडों की गति की गणना कर सकता है और कुण्डली बना सकता है। एक वास्तुकार एक सुंदर विला, एक सैन्य निर्माता एक अभेद्य किले का निर्माण करने में सक्षम है। कलाकार सुंदर कृतियों का निर्माण करते हैं जो आंख को प्रसन्न करती हैं। और किस तरह का गणितज्ञ उससे उपयोगी हो सकता है? आइए देखें कि LUCA स्वयं इस प्रश्न का उत्तर कैसे देता है। सबसे पहले, वह जोर देकर कहते हैं कि गणित, सबसे सटीक विज्ञान के रूप में, अन्य सभी विज्ञानों की नींव और कसौटी है। "[हमारे ग्रंथ] में हम ऊँचे और परिष्कृत चीजों की बात करते हैं, जो वास्तव में सभी परिष्कृत विज्ञानों और विषयों के लिए एक परीक्षण और परख क्रूसिबल के रूप में काम करते हैं: अन्य सभी सट्टा क्रियाओं के लिए, वैज्ञानिक, व्यावहारिक और यांत्रिक, उनसे प्रवाहित होते हैं; और उनके साथ प्रारंभिक परिचय के बिना, किसी व्यक्ति के लिए जानना या कार्य करना असंभव है, जैसा कि दिखाया जाएगा। अरिस्टोटल और एवररोस पुष्टि करते हैं, हमारे गणितीय विज्ञान सबसे सच्चे हैं और कठोरता के पहले स्तर पर खड़े हैं, और उनका पालन किया जाता है स्वाभाविक रूप से ”(अध्याय I)। गणित की इस तरह प्रशंसा करने से, वह गणितज्ञों की प्रशंसा करने के लिए आगे बढ़ता है: "विवेकपूर्ण कहावत को जानते हैं: ऑरम प्रोबेटर इग्नी एट इंजेनियम मैथमैटिकिस। अर्थात सोने की परीक्षा आग से होती है, और मन की अंतर्दृष्टि की परीक्षा गणितीय विद्याओं से होती है। यह कहावत आपको बताती है कि गणितज्ञों का अच्छा दिमाग हर विज्ञान के लिए सबसे अधिक खुला है, क्योंकि वे सबसे बड़ी अमूर्तता और सूक्ष्मता के आदी हैं, क्योंकि उन्होंने हमेशा इस बात पर विचार किया है कि बाहरी समझदार पदार्थ क्या है। जैसा कि टस्कन कहावत कहती है, ये वे हैं जो मक्खी पर बाल काटते हैं ”(अध्याय II)। लेकिन अपने आप में, "समझदार मामले के बाहर क्या है पर विचार" ल्यूक द्वारा संबोधित शासकों को शायद ही दिलचस्पी लेने में सक्षम है। इसलिए, वह आदर्श चीजों से वास्तविक चीजों की ओर बढ़ता है, और तर्क देता है कि गणित सैन्य कला और वास्तुकला का आवश्यक आधार है:

12 लुका पचोली और दैवीय अनुपात पर उनका उपचार 12 "आपकी ड्यूकल हाइनेस के पास अन्य अच्छी ख्याति भी है, जब करीबी रिश्तेदारों और आभारी विषयों को इस विश्वास में मजबूत किया जाता है कि वे आपके दैनिक अनुभव से उसके सर्वोच्च कब्जे में सभी हमलों से सुरक्षित हैं। डुकल हाइनेस यह छिपा नहीं है कि बड़े और छोटे गणराज्यों की रक्षा, जिसे युद्ध की कला भी कहा जाता है, ज्यामिति, अंकगणित और अनुपात के ज्ञान के बिना असंभव है, जो सम्मान और लाभ के साथ उत्कृष्ट रूप से संयुक्त हैं। और उन लोगों का कोई योग्य व्यवसाय नहीं है जिनके साथ इंजीनियर और नए यांत्रिकी सौदे [किले के] या एक लंबी रक्षा के लिए कब्जा करते हैं, जैसा कि वे करते हैं पुराने दिनसिरैक्यूज़ के महान भूगर्भीय आर्किमिडीज़ ने अभ्यास किया” (अध्याय II)। "वे खुद को आर्किटेक्ट कहते हैं, लेकिन मैंने कभी भी उनके हाथों में हमारे सबसे योग्य वास्तुकार और महान गणितज्ञ विट्रूवियस की उत्कृष्ट पुस्तक नहीं देखी, जिन्होंने किसी भी संरचना के सर्वोत्तम विवरणों के साथ वास्तुकला पर एक ग्रंथ संकलित किया। और जिन लोगों को मैं आश्चर्य करता हूं वे पानी पर लिखते हैं और रेत पर निर्माण करते हैं, जल्दबाजी में अपनी कला को बर्बाद कर रहे हैं: क्योंकि वे केवल नाम के आर्किटेक्ट हैं, क्योंकि वे बिंदु और रेखा के बीच अंतर नहीं जानते हैं, और कोणों के बीच अंतर नहीं जानते हैं, जिसके बिना अच्छी तरह से निर्माण करना असंभव है और जो हमारे गणितीय विषयों में आनंद लेते हैं, उपरोक्त विट्रियस के काम के अनुसार सभी इमारतों की सही दिशा का परिचय देते हैं। इससे विचलन ध्यान देने योग्य है यदि आप देखें कि हमारी इमारतें कैसी हैं, चर्च और धर्मनिरपेक्ष दोनों: कौन सी टेढ़ी है और कौन सी टेढ़ी है ”(अध्याय XLIV)। वर्तमान भाषा में बोलते हुए, LUCA खुद को एक विशेषज्ञ के रूप में ड्यूक की सिफारिश करता है, और ऐसे मामलों में जो वास्तव में गणितीय नहीं हैं (ड्यूक को ऐसे विशेषज्ञ की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है), लेकिन विशुद्ध रूप से लागू, शक्ति के संरक्षण के लिए सबसे सीधा संबंध है ( सैन्य मामले) और समृद्धि (वास्तुकला)। नए गणितीय परिणाम प्राप्त करने की क्षमता के लिए, इस युग में इसे अभी तक एक उच्च श्रेणी के गणितज्ञ की आवश्यक विशिष्ट गुणवत्ता के रूप में नहीं माना जाता था, शेष एक आकस्मिक, और उत्तरार्द्ध की एक अनिवार्य विशेषता नहीं थी। साहित्य GLUSHKOV FR, GLUSHKOV SS पैसिओली के "सुम्मा" का ज्यामितीय हिस्सा। इतिहास और कार्यप्रणाली प्राकृतिक विज्ञान, 29, 1982, कोलिन्स आर., रेस्टिवो एस. पाइरेट्स एंड पॉलिटिशियन्स इन मैथमैटिक्स के साथ। Otechestvennye zapiski, 2001, 7. OLSHKI L. नई भाषाओं में वैज्ञानिक साहित्य का इतिहास। 3 खंडों में। पुस्तक में: पचोली लुका। लेखा और अभिलेख पर ग्रंथ। एम .: सांख्यिकी, युसकेविच ए.पी. मध्य युग में गणित का इतिहास। मॉस्को: फ़िज़मतगिज़, अरिघी जी. पिएरो डेला फ्रांसेस्का ई लुका पैसिओली। प्लेगियो और नए मूल्यांकन के बारे में प्रश्न पूछें। अट्टी डेला फोंडाज़िओन जियोर्जियो रोंची, 23, 1968, पी बियागियोली एम। इतालवी गणितज्ञों की सामाजिक स्थिति, विज्ञान का इतिहास, 27, 1989, पी बर्टाटो एफएम। अनाइस डू वी सेमिनारियो नैशनल डे हिस्टोरिया डा माटेमैटिका, रियो क्लारो, बिगियोगेरो जीएम लुका पैसिओली और उसका दिव्य अनुपात। रेंडिकोंटी डेल "इस्टिटुटो लोम्बार्डो डी साइनेज़ ई लेटर, 94, 1960, पी कास्त्रुक्की एस लुका पैसिओली डा एल बोर्गो सैन सेपोल्क्रो। अल्पिग्नानो: टालोन, डेविस एम। डी। कॉर्पोरिबस रेगुलरिबस।" रवेना: लोंगो एडिटोर, फील्ड जेवी आर्किमिडीन पॉलीहेड्रा को फिर से खोज रहा है: पिएरो डेला फ्रांसेस्का, लुका पैसिओली, लियोनार्डो दा विंची, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर, डेनियल बारबारो और जोहान्स केप्लर। सटीक विज्ञान के इतिहास के लिए पुरालेख, 50, 1997, पी

13 लुका पचोली और दिव्य अनुपात पर उनका उपचार 13 हर्ज़-फिशलर आर। चरम और औसत अनुपात में विभाजन का एक गणितीय इतिहास। वाटरलू: विल्फ्रिड लॉरीयर यूनिवर्सिटी। प्रेस, 1987 (दूसरा संस्करण। एनवाई, डोवर, 1998)। लुकास डी बर्गो। सुम्मा डे अरिथमेटिका, जियोमेट्रिया, प्रोपोर्शिओन और प्रोपोरशनलिटा। वेनेशिया: पैगनिनो डी पगनीनिस, लुकास डे बर्गो। दिव्य अनुपात। वेनेशिया: पेगनिनो डे पागनिनीस, मैनसिनी जी. एल ओपेरा डी कॉर्पोरिबस रेगुलरिबस डी पिएत्रो फ्रांसेस्की डेटो डेला फ्रांसेस्का यूसुरपाटा दा फ्रा लुका पैसिओली। Accademia dei Lincei, Borgo San Sepolcro के MORISON S. Fra Luca Pacioli। न्यू यॉर्क, पिकुट्टी ई. लुका पैसिओली के साथ मुलाकात के लिए सुई लगी। ला साइनेज़, 246, 1989, पी पिएरो डेला फ्रांसेस्का। लिबेलस डी क्विंक कोरिबस रेगुलरिबस। एड। एम। डी। एमिलियानी ई। एक। फ्लोरेंस: गिउंटी, पिटारेली जी. लुका पैसिओली ने पिएरो डी फ्रांसेची के काम के लिए स्टेसो का अधिग्रहण किया? एटी IV कांग्रेसो इंटरनेशनल देई मटेमैटिकी, रोमा, 6 11 अप्रैल 1908, III। रोम, 1909, पी पोर्तोगेसी पी. लुका पैसिओली ई ला डिविना प्रॉपोरियोन। इन: सिविल्टा डेल मशीन, 1957, पी. रेजिओमोंटानस। कमेंसर। ईडी। ब्लाश्के डब्ल्यू., शोप्पे जी. विस्बाडेन: वर्लग डेर एकेडेमी डेर विसेनशाफ्टन अन डेर लिटरेचर इन मेंज, रिक्की आई.डी. Sansepolcro, ROSE P. L. गणित का इतालवी पुनर्जागरण। जिनेवा: लाइब्रेरी ड्रोज़, स्पेज़ियाली पी. लुका पैसिओली और बेटा ओउवरे। पुनर्जागरण के विज्ञान, पेरिस, 1973, पी टेलर आर.ई. नो रॉयल रोड: लुका पैसिओली और उनका समय। चैपल हिल यूनिवर्सिटी। नॉर्थ कैरोलिना प्रेस, विलियम्स के. प्लेगियरी इन द रेनेसां (लुका पैसिओली और पिएरो डेला फ्रांसेस्का)। मैथेमेटिकल इंटेलिजेंसर, 24, 2002, पृ

प्राचीन गणित AI SHCHETNIKOV में सुनहरा खंड 1. समस्या का विवरण। यह कहना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि संबंधों पर एक भी प्रकाशन स्वर्णिम अनुपात के मुद्दे पर चर्चा किए बिना नहीं कर सकता।

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2012 में यूआरएफयू के आवेदकों के लिए गणित में प्रवेश परीक्षा का कार्यक्रम बुनियादी गणितीय अवधारणाएँ और तथ्य 1. संख्या समुच्चय। संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ। प्राकृतिक संख्या (एन)।

उन्हें। स्मिर्नोवा, वी. ए. स्मिरनोव उपयोग के लिए तैयारी (ज्यामिति) अंतरिक्ष में अंकित और परिचालित आंकड़े मास्को 008 परिचय ज्यामिति परीक्षा की तैयारी कैसे करें और स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं को हल करना सीखें

1 विज्ञान और प्रकृति में संख्याओं का जादू मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी एम.वी. लोमोनोसोव, जीव विज्ञान संकाय, यांत्रिकी और गणित संकाय, रूस, 119899,

ग्रेड 0 में ज्यामिति में कार्य कार्यक्रम के लिए व्याख्यात्मक नोट प्रति सप्ताह कुल 2 घंटे प्रति वर्ष 72 घंटे। कार्य कार्यक्रम निम्नलिखित दस्तावेजों पर आधारित है: 0 राज्य का संघीय घटक

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय कोस्त्रोमा स्टेट यूनिवर्सिटी का नाम एन.ए.

नगरपालिका बजटीय शैक्षिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय 9 को अपनाया गया, शैक्षणिक परिषद के निर्णय द्वारा अनुमोदित

विषय वर्ग (समानांतर) 2013-2014 शैक्षणिक वर्ष के लिए कार्य कार्यक्रम ज्यामिति (मूल स्तर) 10 बी के लिए व्याख्यात्मक नोट ग्रेड 10 के लिए ज्यामिति में कार्य कार्यक्रम पर आधारित है

इवानोवा इन्ना वैलेन्टिनोव्ना ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]स्काइप: inna-iva68 संपर्क समय: गुरुवार 16.50। 19.00। ज्यामिति ग्रेड 10 पाठ्यपुस्तक: ज्यामिति 10-11, लेखक एल.एस. बुटुज़ोव, एसबी कदोमत्सेव

व्याख्यात्मक नोट कार्य कार्यक्रम गणित में माध्यमिक (पूर्ण) सामान्य शिक्षा के राज्य शैक्षिक मानक और अनुकरणीय कार्यक्रम के संघीय घटक पर आधारित है

नगर बजटीय शैक्षिक संस्थान "तातारस्तान गणराज्य के ज़ेलेनोडॉल्स्क नगरपालिका जिले का स्कूल 11" विषय पर शोध कार्य: द गोल्डन सेक्शन द्वारा पूरा किया गया: अख्मेतोवा ए.एम. पर्यवेक्षक:

अनुलग्नक 2.5.2। पाठ्यक्रम की अनुमानित योजना "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत" पाठ्यपुस्तक। 1. ए.जी. मोर्डकोविच, पी.वी. सेमेनोव। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (प्रोफ़ाइल स्तर)। ग्रेड 10

पुडोज़ शहर के नगरपालिका राज्य शैक्षिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय 3 को गणित और सूचना विज्ञान मंत्रालय की एक बैठक में माना जाता है, मिनट 1 दिनांक 29.08.2016 रक्षा मंत्रालय के प्रमुख कुपत्सोवा

सर्जेन्को पी.वाई. सद्भाव के गणित की शुरुआत। यूक्लिडा की समस्या (प्रस्ताव II.11) और इसके समाधान के लिए एल्गोरिथ्म मुझे प्रकाशनों द्वारा शीर्षक वाली समस्या को हल करने के लिए मेरे एल्गोरिदम को प्रदर्शित करने के लिए आमंत्रित किया गया था: एस.ए. यासिंस्की

निज़नी नोवगोरोड नगर बजटीय शैक्षिक संस्थान माध्यमिक विद्यालय 100 के शहर का प्रशासन व्यक्तिगत विषयों के गहन अध्ययन के साथ स्कूल 100 के निदेशक द्वारा अनुमोदित

व्याख्यात्मक नोट "ज्यामिति" पर कार्य कार्यक्रम सामान्य शिक्षा (2004) के लिए राज्य शैक्षिक मानक के संघीय घटक के अनुसार संकलित किया गया है। कार्यक्रम तैयार किया गया है

पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 10-11" के लिए कार्य कार्यक्रम, अतनासन एल.एस. एट अल।, 10 "ए" वर्ग (मूल स्तर), प्रति सप्ताह 2 घंटे व्याख्यात्मक नोट कार्य कार्यक्रम संघीय घटक पर आधारित है

व्याख्यात्मक नोट। 11 वीं सामाजिक और मानवीय वर्ग के लिए ज्यामिति में यह कार्य कार्यक्रम माध्यमिक शिक्षा के राज्य शैक्षिक मानक के संघीय घटक के अनुसार संकलित किया गया है।

ज्यामिति ग्रेड 10 के लिए कार्य कार्यक्रम व्याख्यात्मक नोट दस्तावेज़ की स्थिति ज्यामिति ग्रेड 10 के लिए कार्य कार्यक्रम मुख्य के राज्य मानक के संघीय घटक के आधार पर संकलित किया गया है

बुनियादी कौशल और क्षमताएं। आवेदक को सक्षम होना चाहिए: साधारण और दशमलव अंशों के रूप में दी गई संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन करना; आवश्यक सटीकता के साथ दी गई संख्याओं और परिणामों को गोल करें

उच्च शिक्षा के निजी संस्थान "राज्य प्रशासन संस्थान" पीआई वीओ "आईजीए" एवी के रेक्टर द्वारा अनुमोदित। तारकानोव "12" 11 20_15_जी। गणित प्रवेश परीक्षा तैयारी कार्यक्रम

व्याख्यात्मक नोट कार्य कार्यक्रम सामान्य शिक्षा के राज्य मानक के संघीय घटक के आधार पर संकलित किया गया है, बुनियादी सामान्य शिक्षा के लिए गणित में एक अनुकरणीय कार्यक्रम, लेखक का

ज्यामिति 11 कक्षा बाह्य कार्य कार्यक्रम ज्यामिति पर 11 कक्षा व्याख्यात्मक नोट

1 "ज्यामिति" विषय में कार्य कार्यक्रम की व्याख्या 10-11 ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति में यह कार्य कार्यक्रम निम्न पर आधारित है: राज्य शैक्षिक मानक का संघीय घटक

सामग्री: 1. व्याख्यात्मक नोट। 2. कार्यक्रम की मुख्य सामग्री। 5. शैक्षिक और पद्धतिगत समर्थन की सूची।

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय FSBEI HPE "सोचिन स्टेट यूनिवर्सिटी" "यूनिवर्सिटी कॉलेज ऑफ इकोनॉमिक्स एंड टेक्नोलॉजी" गणित प्रवेश परीक्षा कार्यक्रम

म्यूनिसिपल स्टेट एजुकेशनल इंस्टीट्यूशन "उसिशिंस्काया सेकेंडरी स्कूल 2" ज्योमेट्री क्लास बेसिक लेवल 68 घंटे के विषय पर कैलेंडर-विषयगत योजना। द्वारा संकलित: गणित के शिक्षक गडज़ीव

विषय गणित मॉड्यूल "बीजगणित", ग्रेड 7 शिक्षक अनास्तासिया वासिलिवेना रयबल्किना आपको गणित के पाठों में 7 वीं कक्षा में "सीखना" = अध्ययन करना है, मॉड्यूल "बीजगणित" में महारत हासिल करना है। 1) थीम्स (कार्यक्रम के अनुसार) I.

FKU IK-4 में राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान "शाम (शिफ्ट) सामान्य शिक्षा स्कूल 2" समूह परामर्श का विषय: "विषय पर समस्याओं का समाधान" पॉलीहेड्रॉन की मात्रा "पूर्ण

पुनर्जागरण के दौरान, मूर्तिकारों ने नियमित पॉलीहेड्रा के रूपों में बहुत रुचि दिखाई। आर्किटेक्ट, कलाकार।
लियोनार्डो दा विंची (1452 -1519), उदाहरण के लिए, पॉलीहेड्रा के सिद्धांत के शौकीन थे और अक्सर उन्हें अपने कैनवस पर चित्रित करते थे। उन्होंने भिक्षु लुका पैसिओली की पुस्तक "ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन" को नियमित और अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा के साथ चित्रित किया।
पैसिओली 15वीं शताब्दी के सबसे महान यूरोपीय बीजगणितियों में से एक थे और उन्होंने तथाकथित दोहरी प्रविष्टि के सिद्धांत का आविष्कार किया, जो अभी भी बिना किसी अपवाद के सभी लेखा प्रणालियों में उपयोग किया जाता है। इसलिए उन्हें सुरक्षित रूप से "आधुनिक लेखांकन का जनक" कहा जा सकता है। हालाँकि, आज तक पैसिओली का बल्कि रहस्यमय और विवादास्पद व्यक्तित्व विज्ञान के इतिहासकारों के बीच भयंकर बहस का कारण बनता है।
1472 में, Pacioli, Fra Luca di Borgo San Sepolcro के नाम से। 1496 में, उन्हें मिलान में व्याख्यान देने के लिए आमंत्रित किया गया, जहाँ उनकी मुलाकात लियोनार्डो दा विंची से हुई। लियोनार्डो ने "सम" पढ़ने के बाद, ज्यामिति पर अपनी स्वयं की पुस्तक पर काम छोड़ दिया और पैसिओली के नए काम "डिवाइन प्रॉपोर्शन" के लिए चित्र तैयार करना शुरू कर दिया।
लियोनार्डो दा विंची ने एक काटे गए आईकोसाहेड्रॉन के स्थानिक प्रतिनिधित्व का एक मूल तरीका प्रस्तावित किया।
उनके समकालीन, फ्रांसिस्कन भिक्षु और गणितज्ञ लुका पैसिओली (1445-1514) की पुस्तक "डिवाइन प्रॉपोर्शन" ("डी देविना प्रोपोरियोन") से इस खूबसूरत छवि का पुनरुत्पादन, लियोनार्डो द्वारा चित्रित, 1509 में प्रकाशित, अंजीर में दिखाया गया है। 1

पैसिओली की पुस्तक, जिसके लिए लियोनार्डो ने विभिन्न पॉलीहेड्रा के 59 चित्र बनाए, का उस समय की ज्यामिति के विकास पर बहुत प्रभाव पड़ा, विशेष रूप से, पॉलीहेड्रा की स्टीरियोमेट्री।

यह आकस्मिक नहीं है कि लियोनार्डो काटे गए आइकोसैहेड्रोन के अध्ययन में शामिल थे। पुनर्जागरण का टाइटन, चित्रकार, मूर्तिकार, वैज्ञानिक और आविष्कारक लियोनार्डो दा विंची (1452-1519) कला और विज्ञान की अविभाज्यता का प्रतीक है, और इसलिए, सामान्य रूप से उत्तल पॉलीहेड्रा और एक छोटा आईकोसाहेड्रॉन जैसी सुंदर चीजों में उनकी रुचि विशेष रूप से स्वाभाविक है। अंक 2।

लियोनार्डो के एक कटे हुए आईकोसैहेड्रोन (चित्र। 17) को चित्रित करने वाला एक उत्कीर्णन लैटिन योकोसेड्रोन एब्सिसस (ट्रंकेटेड आईकोसाहेड्रॉन) वैक्यूस में एक शिलालेख के साथ आता है। वैक्यूस शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि पॉलीहेड्रॉन के चेहरों को "खाली" के रूप में दर्शाया गया है - ठोस नहीं। कड़ाई से बोलना, किनारों को चित्रित नहीं किया गया है, वे केवल हमारी कल्पना में मौजूद हैं। दूसरी ओर, पॉलीहेड्रॉन के किनारों को ज्यामितीय रेखाओं (जो, जैसा कि आप जानते हैं, न तो चौड़ाई और न ही मोटाई है) द्वारा दर्शाया गया है, लेकिन कठोर त्रि-आयामी खंडों द्वारा दर्शाया गया है। इस उत्कीर्णन की ये दोनों विशेषताएं पॉलीहेड्रा के स्थानिक प्रतिनिधित्व की विधि का आधार हैं, जिसका आविष्कार लियोनार्डो ने लुका पैसिओली की पुस्तक को चित्रित करने के लिए किया था और जिसे आज कठोर (या ठोस) किनारों की विधि कहा जाता है। यह तकनीक दर्शकों को सबसे पहले, सटीक रूप से यह निर्धारित करने की अनुमति देती है कि कौन से किनारे सामने के हैं और कौन से पॉलीहेड्रॉन के पिछले चेहरे हैं (जो कि ज्यामितीय रेखाओं के साथ किनारों को चित्रित करते समय व्यावहारिक रूप से असंभव है), और, दूसरी बात, ज्यामितीय के माध्यम से देखने के लिए शरीर, इसे परिप्रेक्ष्य, गहराई में महसूस करने के लिए, जो ठोस चेहरे की तकनीक का उपयोग करते समय खो जाते हैं। लियोनार्डो द्वारा विकसित तकनीक ज्यामितीय चित्रण का एक शानदार उदाहरण है, एक नया तरीका है ग्राफिक छविवैज्ञानिक जानकारी। इस तकनीक का बाद में कलाकारों, मूर्तिकारों और वैज्ञानिकों द्वारा कई बार उपयोग किया गया।

अपने मूल की खोज उस मीठे फल का रस है जो दार्शनिकों के मन को इतना संतोष देता है।

लुका पैसिओली (1445-1517)
मानव जाति के इतिहास में केवल कुछ ही महान चित्रकार प्रतिभाशाली गणितज्ञ थे। हालांकि, अभिव्यक्ति "पुनर्जागरण आदमी" का अर्थ हमारे शब्दकोश में एक व्यक्ति है जिसने व्यापक दृष्टिकोण और शिक्षा के पुनर्जागरण आदर्श को अपनाया। यहाँ पुनर्जागरण के तीन सबसे प्रसिद्ध कलाकार हैं - इटालियंस पिएरो डेला फ्रांसेस्का (सी। 1412-1492) और लियोनार्डो दा विंची और जर्मन अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने भी गणित में बहुत महत्वपूर्ण योगदान दिया। शायद यह आश्चर्य की बात नहीं है कि तीनों का गणितीय शोध स्वर्णिम अनुपात से जुड़ा था। गुणों की इस शानदार तिकड़ी का सबसे सक्रिय गणितज्ञ पिएरो डेला फ्रांसेस्का था। एंटोनियो मारिया ग्राजियानी के लेखन, जो पिएरो के परपोते से संबंधित थे और कलाकार के घर को खरीदा था, इस बात की गवाही देते हैं कि पिएरो का जन्म 1412 में मध्य इटली के बोर्गो सेंसपोलक्रो में हुआ था। उनके पिता बेनेडेटो एक समृद्ध चर्मकार और मोची थे। पिएरो के बचपन के बारे में अधिक कुछ भी ज्ञात नहीं है, लेकिन हाल ही में दस्तावेजों की खोज की गई है, जिससे यह स्पष्ट है कि 1431 तक उन्होंने कुछ समय कलाकार एंटोनियो डी'अंघियारी के छात्र के रूप में बिताया, जिनके काम हमारे पास नहीं आए हैं। 1430 के दशक के अंत तक, पिएरो फ्लोरेंस चले गए, जहां उन्होंने कलाकार डोमेनिको वेनेज़ियानो के साथ सहयोग करना शुरू किया। फ्लोरेंस में, युवा कलाकार प्रारंभिक पुनर्जागरण कलाकारों के कार्यों से परिचित हुए - जिसमें फ्रा एंजेलिको और माशियासियो शामिल थे - और डोनाटेलो की मूर्तियों के साथ। वह विशेष रूप से धार्मिक विषयों पर फ्रा एंजेलिको के कार्यों की राजसी शांति से प्रभावित थे, और उनकी अपनी शैली इस प्रभाव को हर चीज में दर्शाती है जो छाया और रंग से संबंधित है। बाद के वर्षों में, पिएरो ने रिमिनी, अरेज़ो और रोम सहित विभिन्न शहरों में अथक रूप से काम किया। पिय्रोट के आंकड़े या तो उनकी वास्तुकला की कठोरता और स्मारकीयता से प्रतिष्ठित थे, जैसा कि क्राइस्ट के फ्लैगेलेशन में (अब पेंटिंग उरबिनो में नेशनल गैलरी मार्चे में रखी गई है; चित्र 45), या वे एक प्राकृतिक निरंतरता प्रतीत होते हैं पृष्ठभूमि, जैसा कि बपतिस्मा में है (वर्तमान में लंदन में नेशनल गैलरी में स्थित है, चित्र 46)। सबसे प्रसिद्ध चित्रकारों, मूर्तिकारों और आर्किटेक्ट्स के अपने जीवन में पहला कला इतिहासकार जियोर्जियो वासारी (1511-1574) लिखता है कि पिएरो ने शुरुआती युवाओं से उल्लेखनीय गणितीय क्षमताएं दिखाईं, और उन्हें "कई" गणितीय ग्रंथ लिखने का श्रेय दिया। उनमें से कुछ वृद्धावस्था में बनाए गए थे, जब कलाकार अपनी दुर्बलता के कारण चित्र नहीं बना सकता था। उरबिनो के ड्यूक गाइडोबाल्डो को एक समर्पित पत्र में, पिएरो ने अपनी एक पुस्तक का उल्लेख किया है, जिसकी रचना "ताकि उसका मन अनुपयोग से स्थिर न हो जाए।" गणित पर पिय्रोट के तीन कार्य हमारे सामने आए हैं: प्रॉस्पेक्टिवा पिंगेंडी"("पेंटिंग में परिप्रेक्ष्य"), " लिबेलस डी क्विंक कॉर्पोरिबस रेगुलरिबस"(" पांच नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में एक किताब ") और" ट्राटेटो डी ’अबको"("लेखा पर ग्रंथ")।

चावल। 45

चावल। 46
परिप्रेक्ष्य पर ग्रंथ (1470-1480 के दशक के मध्य) में यूक्लिड के तत्वों और प्रकाशिकी के कई संदर्भ शामिल हैं, जैसा कि पिएरो डेला फ्रांसेस्का ने यह साबित करने के लिए निर्धारित किया है कि पेंटिंग में परिप्रेक्ष्य प्रस्तुत करने की तकनीक पूरी तरह से दृश्य परिप्रेक्ष्य के गणितीय और भौतिक गुणों पर आधारित है। स्वयं कलाकार के चित्रों में, परिप्रेक्ष्य एक विशाल कंटेनर है, जो इसमें संलग्न आकृतियों के ज्यामितीय गुणों के पूर्ण अनुरूप है। वास्तव में, पिय्रोट के लिए, पेंटिंग को मुख्य रूप से "कम या बढ़े हुए आकार के समतल पिंडों पर दिखाना" तक सीमित कर दिया गया था। यह दृष्टिकोण "द फ्लैगेलेशन" (चित्र 45 और 47) के उदाहरण में पूरी तरह से दिखाई देता है: यह पुनर्जागरण के कुछ चित्रों में से एक है, जहाँ परिप्रेक्ष्य बनाया गया है और बहुत सावधानी से काम किया गया है। जैसा कि समकालीन कलाकार डेविड हॉकनी ने अपनी पुस्तक सीक्रेट नॉलेज में लिखा है ( डेविड हॉकनी. सीक्रेट नॉलेज, 2001), पिय्रोट ने "आंकड़ों को वैसे ही चित्रित किया है जैसा उनका मानना ​​है कि उन्हें होना चाहिए, न कि जैसा वह उन्हें देखते हैं।"

पिएरो की मृत्यु की 500 वीं वर्षगांठ के अवसर पर, रोम विश्वविद्यालय के वैज्ञानिक लौरा गिएटी और पीसा में राष्ट्रीय अनुसंधान परिषद के लुसियानो फ़ोर्टुनाटी ने कंप्यूटर का उपयोग करके फ्लैगेलेशन का विस्तृत विश्लेषण किया। उन्होंने पूरी तस्वीर को डिजिटाइज़ किया, सभी बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित किए, सभी दूरियों को मापा और बीजगणितीय गणनाओं के आधार पर एक संपूर्ण परिप्रेक्ष्य विश्लेषण संकलित किया। इसने उन्हें "गायब बिंदु" के सटीक स्थान को इंगित करने की अनुमति दी, जहां दर्शक चौराहे (चित्र। 47) से क्षितिज की ओर जाने वाली सभी रेखाएं, जिसके लिए पिएरो "गहराई" प्राप्त करने में सक्षम था जो इस तरह के एक मजबूत प्रभाव बनाता है। .

चावल। 47
परिप्रेक्ष्य पर पिएरो की पुस्तक, इसकी प्रस्तुति की स्पष्टता से प्रतिष्ठित, विमान के आंकड़े और ज्यामितीय ठोस बनाने का प्रयास करने वाले कलाकारों के लिए मानक मार्गदर्शिका बन गई, और इसके उन वर्गों को जो गणित के साथ अतिभारित नहीं थे (और अधिक समझने योग्य) पर बाद के कार्यों में शामिल किए गए थे परिप्रेक्ष्य। वसारी का दावा है कि पिएरो ने एक ठोस गणितीय शिक्षा प्राप्त की और इसलिए "किसी भी अन्य ज्यामिति से बेहतर समझ में आया कि नियमित ठोस में वृत्त कैसे खींचना है, और यह वह था जिसने इन सवालों पर प्रकाश डाला" ( यहाँ और आगे प्रति। ए। गैब्रीचेव्स्की और ए। बेनेडिक्टोव). अंजीर। 48.

एकाउंट्स पर ग्रंथ और फाइव रेगुलर पॉलीहेड्रा की पुस्तक दोनों में, पिय्रोट पेंटागन और पांच प्लेटोनिक ठोस से जुड़ी कई समस्याओं को हल करता है (और हल करता है)। यह भुजाओं और विकर्णों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की गणना करता है। कई निर्णय सुनहरे अनुपात पर आधारित होते हैं, और पिएरो की कुछ तकनीकें उनकी सरलता और सोच की मौलिकता की गवाही देती हैं।

चावल। 48
पिएरो, अपने पूर्ववर्ती फाइबोनैचि की तरह, मुख्य रूप से अपने समकालीन-व्यापारियों को अंकगणित "व्यंजनों" और ज्यामितीय नियमों के साथ प्रदान करने के लिए खातों पर ग्रंथ लिखा था। वाणिज्य की तत्कालीन दुनिया में न तो माप और भार की एक एकीकृत प्रणाली थी, न ही कंटेनरों के आकार और आकार पर समझौते भी थे, इसलिए आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता के बिना ऐसा करना असंभव था। हालाँकि, पिय्रोट की गणितीय जिज्ञासा उन्हें उन विषयों से बहुत आगे ले गई जो रोज़मर्रा की ज़रूरतों तक सिमट कर रह गए थे। इसलिए, उनकी पुस्तकों में हमें "बेकार" समस्याएं भी मिलती हैं - उदाहरण के लिए, एक क्यूब में खुदे हुए ऑक्टाहेड्रॉन के किनारे की लंबाई की गणना करना, या बड़े व्यास के एक चक्र में अंकित पांच छोटे वृत्तों का व्यास (चित्र। 49)। अंतिम समस्या को हल करने के लिए, एक नियमित पेंटागन का उपयोग किया जाता है, और इसलिए सुनहरा अनुपात।

चावल। 49
पिएरो के बीजगणितीय अनुसंधान को मुख्य रूप से उस पुस्तक में शामिल किया गया था जिसे लुका पैसिओली (1445-1517) ने "" शीर्षक के तहत प्रकाशित किया था। सुम्मा डे अरिथमेटिका, जियोमेट्रिया, प्रोपोर्शिनी एट प्रोपोरशनलिटा"("अंकगणित, ज्यामिति, अनुपात और आनुपातिकता में ज्ञान का शरीर")। लैटिन में लिखे गए पॉलीहेड्रा पर पिएरो की कृतियों का उसी लुका पैसिओली द्वारा इतालवी में अनुवाद किया गया था - और फिर से शामिल किया गया (अच्छी तरह से, या, इसे इतनी नाजुकता से नहीं रखा गया, बस चोरी हो गया) गोल्डन सेक्शन पर उनकी प्रसिद्ध पुस्तक में "ऑन द डिवाइन" कहा जाता है। अनुपात" (" दिव्य अनुपात »).

वह कौन था, यह विरोधाभासों से भरा गणितज्ञ लुका पैसिओली? गणित के इतिहास में सबसे बड़ा साहित्यिक चोरी करने वाला - या यह अब भी गणितीय विज्ञान का महान लोकप्रियकर्ता है?

पुनर्जागरण का गुमनाम नायक?

लुका पैसिओली का जन्म 1445 में बोर्गो संसेपोलक्रो के उसी टस्कन शहर में हुआ था, जहां उनका जन्म हुआ था और उन्होंने पिएरो डेला फ्रांसेस्का की कार्यशाला रखी थी। इसके अतिरिक्त, बुनियादी तालीमलुका ने इसे पिय्रोट की कार्यशाला में प्राप्त किया। हालांकि, पेंटिंग के लिए योग्यता दिखाने वाले अन्य छात्रों के विपरीत - उनमें से कुछ, जैसे कि पिएत्रो पेरुगिनो, को महान चित्रकार बनने के लिए नियत किया गया था - लुका का गणित के प्रति अधिक झुकाव था। पिएरो और पैसिओली ने भविष्य में मैत्रीपूर्ण संबंध बनाए रखा: इसका प्रमाण यह तथ्य है कि पिएरो ने मोंटेफेल्ट्रो अल्टार पर सेंट पीटर ऑफ वेरोना (पीटर द शहीद) के रूप में पैसिओली को चित्रित किया। पैसिओली अभी भी एक अपेक्षाकृत युवा व्यक्ति है, वेनिस चला गया और एक धनी व्यापारी के तीन बेटों का गुरु बन गया। वेनिस में, उन्होंने गणितज्ञ डोमेनिको ब्रागाडिनो के अधीन अपनी गणितीय शिक्षा जारी रखी और अंकगणित पर पहली पुस्तक लिखी।

1470 में, पैसिओली ने धर्मशास्त्र का अध्ययन किया और फ्रांसिस्कन साधु के रूप में पर्दा उठाया। तब से, उन्हें फ्रा लुका पैसिओली कहने का रिवाज हो गया। बाद के वर्षों में उन्होंने व्यापक रूप से यात्रा की, पेरुगिया, ज़दर, नेपल्स और रोम के विश्वविद्यालयों में गणित पढ़ाते रहे। उस समय, पैसिओली ने शायद कुछ समय के लिए गाइडोबाल्डो मोंटेफेल्ट्रो को भी पढ़ाया था, जो 1482 में उरबिनो के ड्यूक बने थे। शायद एक गणितज्ञ का सबसे अच्छा चित्र जैकोपो डी बारबरी (1440-1515) द्वारा बनाई गई एक पेंटिंग है जिसमें लुका पैसिओली को ज्यामिति में एक सबक देते हुए दिखाया गया है (चित्र 50, पेंटिंग नेपल्स में कैपोडिमोंटे संग्रहालय में है)। पैसिओली की किताब पर ही " सुम्मा»प्लेटोनिक ठोस पदार्थों में से एक - द्वादशफलक। पैसिओली खुद एक फ्रांसिस्कन कैसॉक में (एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के समान, यदि आप बारीकी से देखते हैं) यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक XIII से एक चित्र की नकल करते हैं। एक पारदर्शी पॉलीहेड्रॉन जिसे एक रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन कहा जाता है (आर्किमिडीयन ठोस में से एक, 26 चेहरों वाला एक पॉलीहेड्रॉन, जिनमें से 18 वर्ग हैं, और 8 समबाहु त्रिकोण हैं), हवा में लटका हुआ है और पानी से आधा भरा हुआ है, गणित की शुद्धता और अनंत काल का प्रतीक है। कलाकार एक ग्लास पॉलीहेड्रॉन में प्रकाश के अपवर्तन और प्रतिबिंब को व्यक्त करने में अद्भुत कौशल के साथ सफल हुआ। इस पेंटिंग में चित्रित पैसिओली के छात्र की पहचान विवाद का विषय रही है। विशेष रूप से, यह माना जाता है कि यह युवक स्वयं ड्यूक गाइडोबाल्डो है। 1993 में अंग्रेजी गणितज्ञ निक मैककिनोन ने एक दिलचस्प परिकल्पना सामने रखी। में प्रकाशित उनके लेख "फ्रा लुका पैसिओली का चित्र" में " गणितीय राजपत्र”और बहुत ठोस शोध के आधार पर, मैकिनॉन ने निष्कर्ष निकाला कि यह महान जर्मन चित्रकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर का चित्र है, जो ज्यामिति और परिप्रेक्ष्य दोनों में बहुत रुचि रखते थे (और हम थोड़ी देर बाद पैसिओली के साथ उनके संबंधों पर लौटेंगे)। दरअसल, छात्र का चेहरा ड्यूरर के स्व-चित्र के समान ही है।

चावल। 50
1489 में, पैसिओली पोप से कुछ विशेषाधिकार प्राप्त करते हुए, बोर्गो संसेपोलक्रो लौट आए, लेकिन स्थानीय धार्मिक प्रतिष्ठान द्वारा ईर्ष्यापूर्ण शत्रुता के साथ उनका स्वागत किया गया। करीब दो साल तक उन्हें पढ़ाने से भी मना किया गया। 1494 में पैसिओली अपनी किताब छापने के लिए वेनिस गए सुम्मा”, जिसे उन्होंने ड्यूक गाइडोबाल्डो को समर्पित किया। " सुम्मा”प्रकृति और कार्यक्षेत्र (लगभग 600 पृष्ठ) वास्तव में एक विश्वकोशीय कार्य है, जहां पैसिओली ने अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति के क्षेत्र में उस समय ज्ञात सभी चीजों को एक साथ लाया। अपनी पुस्तक में, पैसिओली आइकोसैहेड्रोन और डोडेकेहेड्रोन के बारे में पिएरो डेला फ्रांसेस्का के ग्रंथ से और ज्यामिति में अन्य समस्याओं के साथ-साथ बीजगणित में, फाइबोनैचि और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों से उधार लेने में संकोच नहीं करते (हालांकि वह आमतौर पर फाइबोनैचि और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों से आभार व्यक्त करते हैं) लेखक, जैसा होना चाहिए)। पैसिओली स्वीकार करते हैं कि उनका मुख्य स्रोत फाइबोनैचि है, और कहते हैं कि जहां किसी और का कोई संदर्भ नहीं है, वहां लेख पीसा के लियोनार्डो के हैं। एक दिलचस्प खंड सुम्मा"एक डबल-एंट्री अकाउंटिंग सिस्टम है, एक ऐसी विधि जो आपको यह ट्रैक करने की अनुमति देती है कि पैसा कहाँ से आया और कहाँ गया। इस प्रणाली का आविष्कार पैसिओली ने स्वयं नहीं किया था, वह केवल पुनर्जागरण के वेनिस के व्यापारियों की तकनीकों को एक साथ लाया था, लेकिन यह माना जाता है कि यह मानव जाति के इतिहास में लेखांकन पर पहली पुस्तक है। और ऐसा हुआ कि पैसिओली की "व्यवसायी को उसकी संपत्ति और वित्तीय दायित्वों के बारे में तुरंत जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देने" की इच्छा ने उसे "लेखांकन का पिता" उपनाम दिया, और 1994 में दुनिया भर के लेखाकारों ने 500 वीं वर्षगांठ मनाई " सुम्मा Sansepolcro में, जैसा कि अब शहर कहा जाता है।

1480 में, लुडोविको सोरज़ा ने वास्तव में मिलान के ड्यूक की जगह ली। वास्तव में, वह वास्तविक ड्यूक के लिए केवल रीजेंट था, जो उस समय केवल सात वर्ष का था; इस घटना ने राजनीतिक साज़िश और हत्या की अवधि को समाप्त कर दिया। लुडोविको ने कलाकारों और वैज्ञानिकों के साथ अपने दरबार को सजाने का फैसला किया और 1482 में उन्होंने लियोनार्डो दा विंची को "ड्यूकल इंजीनियरों के कॉलेजियम" में आमंत्रित किया। लियोनार्डो को ज्यामिति में बहुत रुचि थी, विशेष रूप से यांत्रिकी में इसके व्यावहारिक अनुप्रयोगों में। उनके अनुसार, "यांत्रिकी गणितीय विज्ञानों में स्वर्ग है, क्योंकि वही गणित के फलों को जन्म देती है।" और बाद में, 1496 में, यह लियोनार्डो थे, जिन्होंने सबसे अधिक संभावना यह सुनिश्चित की कि ड्यूक ने पैसिओली को गणित के शिक्षक के रूप में अदालत में आमंत्रित किया। लियोनार्डो ने निस्संदेह पैसिओली के साथ ज्यामिति का अध्ययन किया, और उनमें चित्रकला के प्रति प्रेम पैदा किया।

मिलान में अपने प्रवास के दौरान, पैसिओली ने तीन-खंडों के ग्रंथ ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन पर काम पूरा किया, जो 1509 में वेनिस में प्रकाशित हुआ था। पहला वॉल्यूम, Compendio de Divina Proportione"("ईश्वरीय अनुपात पर संग्रह") में सुनहरे अनुपात के सभी गुणों का एक विस्तृत सारांश शामिल है (पैसिओली इसे "ईश्वरीय अनुपात" कहते हैं) और प्लेटोनिक ठोस और अन्य पॉलीहेड्रा का अध्ययन। ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन के पहले पृष्ठ पर, पैसिओली ने कुछ हद तक धूमधाम से कहा कि यह "सभी जिज्ञासु, स्पष्ट मानव मन के लिए आवश्यक कार्य है, जिसमें कोई भी व्यक्ति जो दर्शन, परिप्रेक्ष्य, पेंटिंग, मूर्तिकला, वास्तुकला, संगीत और अन्य गणितीय विषयों का अध्ययन करना पसंद करता है बहुत सूक्ष्म, सुरुचिपूर्ण और आकर्षक शिक्षण मिलेगा और सभी गुप्त विज्ञानों को प्रभावित करने वाले विभिन्न प्रश्नों का आनंद लेंगे।

"दिव्य अनुपात पर" ग्रंथ का पहला खंड पैसिओली द्वारा लुडोविको सफ़ोरज़ा को समर्पित किया गया था, और पाँचवें अध्याय में उन्होंने पाँच कारणों की सूची दी है कि क्यों, उनकी राय में, सुनहरे अनुपात को केवल दैवीय अनुपात के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए।

1. "वह एक, एकजुट और सर्वव्यापी है।" पैसिओली सुनहरे अनुपात की विशिष्टता की तुलना इस तथ्य से करते हैं कि "एक" "स्वयं भगवान का सर्वोच्च विशेषण" है।

2. पैसिओली इस तथ्य के बीच एक समानता देखता है कि सुनहरे अनुपात की परिभाषा में ठीक तीन लंबाई (चित्र 24 में एसी, सीबी और एबी) और पवित्र त्रिमूर्ति - पिता, पुत्र और पवित्र आत्मा का अस्तित्व शामिल है।

3. पैसिओली के लिए, ईश्वर की अबोधगम्यता और तथ्य यह है कि सुनहरा अनुपात एक अपरिमेय संख्या है। यहाँ वह लिखता है: "जिस प्रकार भगवान को ठीक से परिभाषित नहीं किया जा सकता है और शब्दों द्वारा समझा नहीं जा सकता है, इसलिए हमारे अनुपात को सुबोध संख्याओं द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है और किसी भी तर्कसंगत राशि के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, यह हमेशा के लिए एक रहस्य बना रहेगा, जो सभी से छिपा हुआ है, और गणितज्ञ इसे तर्कहीन कहते हैं।

4. पैसिओली ईश्वर की सर्वव्यापकता और अपरिवर्तनीयता की आत्म-समानता से तुलना करता है, जो सुनहरे अनुपात से जुड़ा है: इसका मूल्य हमेशा अपरिवर्तित रहता है और खंड की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है, जो उचित अनुपात में विभाजित है, या पर एक नियमित पेंटागन का आकार, जिसमें लंबाई के अनुपात की गणना की जाती है।

5. पाँचवाँ कारण दर्शाता है कि पैसिओली ने स्वयं प्लेटो की तुलना में होने पर और भी अधिक प्लेटोनिक विचार रखे। पैसिओली का तर्क है कि जिस तरह भगवान ने द्वादशफलक में परिलक्षित सार के माध्यम से ब्रह्मांड को जीवन दिया, उसी तरह सुनहरे अनुपात ने द्वादशफलक को जीवन दिया, क्योंकि स्वर्ण खंड के बिना द्वादशफलक का निर्माण असंभव है। पैसिओली कहते हैं कि सुनहरे अनुपात पर भरोसा किए बिना बाकी प्लेटोनिक ठोस (जल, पृथ्वी, अग्नि और वायु के प्रतीक) की एक दूसरे के साथ तुलना करना असंभव है।
पुस्तक में ही, पैसिओली लगातार सुनहरे अनुपात के गुणों की शेखी बघारते हैं। वह क्रमिक रूप से "ईश्वरीय अनुपात" के 13 तथाकथित "प्रभावों" का विश्लेषण करता है और इन "प्रभावों" में से प्रत्येक को "अविभाज्य", "अद्वितीय", "अद्भुत", "उच्चतम", आदि जैसे गुण देता है। उदाहरण के लिए, वह "प्रभाव" " वह सुनहरा आयत एक icosahedron (चित्र 22) में अंकित किया जा सकता है, वह "समझ से बाहर" कहता है। वह 13 "प्रभावों" पर रहता है, यह निष्कर्ष निकालता है कि "आत्मा के उद्धार के लिए इस सूची को पूरा करना आवश्यक है", क्योंकि यह 13 लोग थे जो अंतिम भोज के दौरान मेज पर बैठे थे।

इसमें कोई संदेह नहीं है कि पैसिओली को पेंटिंग में बहुत रुचि थी, और "दिव्य अनुपात पर" ग्रंथ बनाने का उद्देश्य आंशिक रूप से ललित कलाओं के गणितीय आधार को तराशना था। किताब के पहले ही पन्ने पर, पैसिओली गोल्डन सेक्शन के माध्यम से हार्मोनिक रूपों के "रहस्य" को कलाकारों के सामने प्रकट करने की अपनी इच्छा व्यक्त करता है। अपने काम के आकर्षण को सुनिश्चित करने के लिए, पैसिओली ने किसी भी लेखक का सपना देख सकने वाले सर्वश्रेष्ठ चित्रकार की सेवाओं को सूचीबद्ध किया: लियोनार्डो दा विंची ने स्वयं "कंकाल" (चित्र 51) और दोनों के रूप में पॉलीहेड्रा के 60 चित्रों के साथ पुस्तक की आपूर्ति की। ठोस पिंडों का रूप (चित्र 52)। चीजें कृतज्ञता के लिए नहीं उठीं - पैसिओली ने लियोनार्डो और पुस्तक में उनके योगदान के बारे में इस प्रकार लिखा: "सर्वश्रेष्ठ चित्रकार और परिप्रेक्ष्य के स्वामी, सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, संगीतकार, सभी संभावित गुणों से संपन्न व्यक्ति लियोनार्डो दा विंची हैं, जिन्होंने नियमित ज्यामितीय निकायों की योजनाबद्ध छवियों के एक चक्र का आविष्कार किया और निष्पादित किया "। ईमानदार होने के लिए पाठ स्वयं, घोषित उदात्त लक्ष्यों को प्राप्त नहीं करता है। यद्यपि यह पुस्तक सनसनीखेज तीमारदारों के साथ शुरू होती है, इसके बाद गणितीय सूत्रों का एक सामान्य सेट है, जो दार्शनिक परिभाषाओं के साथ लापरवाही से पतला है।

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चावल। 52
"दिव्य अनुपात पर" ग्रंथ की दूसरी पुस्तक वास्तुकला पर सुनहरे खंड के प्रभाव और मानव शरीर की संरचना में इसकी अभिव्यक्तियों के लिए समर्पित है। पैसिओली का अधिकांश ग्रंथ रोमन वास्तुकार मार्कस विट्रुवियस पोलियो (सी. 70-25 ईसा पूर्व) के काम पर आधारित है। विटरुवियस ने लिखा:
बेशक, मानव शरीर का केंद्र बिंदु नाभि है। आखिरकार, यदि कोई व्यक्ति अपनी पीठ के बल लेट जाता है और अपने हाथ और पैर फैलाता है, और अपनी नाभि पर कम्पास लगाता है, तो उसकी उंगलियां और पैर की उंगलियां घेरे हुए घेरे को छू लेंगी। और जैसे मानव शरीर एक वर्तुल में फिट हो जाता है, वैसे ही आप इसमें से एक वर्ग प्राप्त कर सकते हैं। यदि हम तलवों से सिर के शीर्ष तक की दूरी को मापते हैं, और फिर इस माप को फैलाए हुए हाथों पर लागू करते हैं, तो यह पता चलेगा कि आकृति की चौड़ाई ऊँचाई के बराबर है, जैसा कि सपाट सतहों के मामले में होता है। जिनका आकार पूर्ण वर्गाकार होता है।
पुनर्जागरण के विद्वानों ने इस मार्ग को सुंदरता के प्राकृतिक और ज्यामितीय आधार के बीच संबंध का एक और प्रमाण माना, और इसने विट्रुवियन आदमी की अवधारणा का निर्माण किया, जिसे लियोनार्डो (चित्र 53, अब ड्राइंग) द्वारा बहुत खूबसूरती से चित्रित किया गया था। वेनिस में एकेडेमिया गैलरी में रखा गया है)। इसी तरह, पैसिओली की किताब मानव शरीर के अनुपात की चर्चा के साथ शुरू होती है, "चूंकि मानव शरीर में हर तरह के अनुपात पाए जा सकते हैं, प्रकृति के अंतरतम रहस्यों के माध्यम से परमप्रधान की इच्छा से पता चलता है।"

चावल। 53
साहित्य में, अक्सर ऐसे बयान मिल सकते हैं कि पैसिओली का मानना ​​​​था कि सुनहरा अनुपात कला के सभी कार्यों के अनुपात को निर्धारित करता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ ऐसा नहीं है। अनुपात और बाहरी व्यवस्था की बात करें तो पैसिओली मुख्य रूप से सरल (तर्कसंगत) अंशों पर आधारित विटरुवियन प्रणाली को संदर्भित करता है। लेखक रोजर हर्ट्ज-फिशलर ने आम गलत धारणा की उत्पत्ति का पता लगाया कि सुनहरा अनुपात पैसिओली के अनुपात का कैनन था: यह फ्रांसीसी गणितज्ञों जीन-एटियेन मोंटूकल और जेरोम द्वारा गणित के इतिहास के 1799 संस्करण में किए गए झूठे दावे पर वापस जाता है। डी ललांडे ( जीन एटिएन मोंटूक्ला, जेरोम डे ललांडे. हिस्टॉयर डी मैथेमेटिक्स)।

ग्रंथ "ऑन डिवाइन प्रोपोर्शन" (पांच नियमित ज्यामितीय ठोस पर तीन भागों में एक छोटी पुस्तक) का तीसरा खंड, संक्षेप में, लैटिन में लिखे गए पिएरो डेला फ्रांसेस्का के पांच नियमित पॉलीहेड्रा के इतालवी में एक शाब्दिक अनुवाद है। तथ्य यह है कि पैसिओली ने कभी उल्लेख नहीं किया कि वह केवल पुस्तक का अनुवादक है, कला इतिहासकार जियोर्जियो वसारी ने इसकी कड़ी निंदा की है। वसारी पिएरो डेला फ्रांसेस्का के बारे में लिखते हैं:

सही शरीर, साथ ही साथ अंकगणित और ज्यामिति की कठिनाइयों पर काबू पाने में एक दुर्लभ गुरु के रूप में सम्मानित, वह शारीरिक दृष्टि से अंधेपन से वृद्धावस्था में मारा गया, और फिर मृत्यु से, उसके पास अपने वीरतापूर्ण कार्यों और उनके द्वारा लिखी गई कई पुस्तकों को प्रकाशित करने का समय नहीं था। , जो अभी भी अपनी मातृभूमि बोर्गो में संग्रहीत हैं। जिसे अपनी प्रसिद्धि और प्रसिद्धि बढ़ाने के लिए अपनी सारी शक्ति के साथ प्रयास करना पड़ा, क्योंकि उसने वह सब कुछ सीखा जो वह उससे जानता था, एक खलनायक और दुष्ट के रूप में, अपने गुरु पिएरोट के नाम को नष्ट करने और खुद के लिए सम्मान जब्त करने की कोशिश की यह अकेले पिएरोट का होना चाहिए था, जो अपने ही नाम के तहत जारी किया गया था, अर्थात् बोर्गो के भाई लुका [पैसिओली], इस आदरणीय बूढ़े व्यक्ति के सभी मजदूर, जो उपर्युक्त विज्ञान के अलावा, एक उत्कृष्ट चित्रकार थे। ( प्रति। एम। ग्लोबाचेवा)
तो क्या पैसिओली को साहित्यिक चोरी माना जा सकता है? बहुत संभावना है, हालांकि अंदर सुम्मा"वह फिर भी पिएरो को श्रद्धांजलि अर्पित करता है, उसे" हमारे समय की पेंटिंग में एक सम्राट "और एक आदमी जो" चित्रकला की कला और परिप्रेक्ष्य में रेखा की शक्ति पर कई कार्यों से पाठक से परिचित है।

आर एम्मेट टेलर (1889-1956) ने 1942 में नो किंग्स वे नामक एक पुस्तक प्रकाशित की। लुका पैसिओली और उनका समय" ( आर एम्मेट टेलर. नो रॉयल रोड: लुका पैसिओली एंड हिज़ टाइम्स)। इस पुस्तक में, टेलर पैसिओली के साथ बड़ी सहानुभूति के साथ व्यवहार करता है और तर्क देता है कि, शैली के संदर्भ में, पैसिओली का शायद ग्रंथ ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन के तीसरे खंड से कोई लेना-देना नहीं है, और यह काम केवल उसके लिए जिम्मेदार है।

यह ऐसा है या नहीं, यह ज्ञात नहीं है, लेकिन यह निश्चित है कि यदि ऐसा नहीं होता मुद्रितपैसिओली के कार्य, पिएरो के विचार और गणितीय निर्माण, जो मुद्रित रूप में प्रकाशित नहीं हुए थे, शायद उन्हें वह प्रसिद्धि नहीं मिली होगी जो उन्हें इसके परिणामस्वरूप मिली थी। इसके अलावा, पैसिओली के समय तक, सुनहरे अनुपात को "चरम और औसत अनुपात" या "औसत और दो चरम सीमा वाले अनुपात" जैसे भयानक नामों से जाना जाता था, और यह अवधारणा केवल गणितज्ञों के लिए जानी जाती थी।

1509 में "ऑन द डिवाइन प्रॉपोर्शन" के प्रकाशन ने गोल्डन सेक्शन के विषय में रुचि का एक नया प्रकोप पैदा किया। अब अवधारणा पर विचार किया गया, जैसा कि वे कहते हैं, नए सिरे से: चूंकि इसके बारे में एक पुस्तक प्रकाशित हुई थी, इसका मतलब है कि यह सम्मान के योग्य है। सुनहरे खंड का बहुत नाम धार्मिक और दार्शनिक अर्थों से संपन्न है ( अलौकिकअनुपात), और इसने सुनहरे अनुपात को न केवल एक गणितीय प्रश्न बना दिया, बल्कि एक ऐसा विषय बना दिया, जिसमें सभी प्रकार के बुद्धिजीवी तल्लीन हो सकते थे, और यह विविधता केवल समय के साथ विस्तारित हुई। अंत में, पैसिओली के काम के आगमन के साथ, कलाकारों ने भी सुनहरे अनुपात का अध्ययन करना शुरू कर दिया, क्योंकि अब इसके बारे में न केवल खुलकर गणितीय ग्रंथों में बात की जाती थी - पैसिओली ने इसके बारे में इस तरह से बात की थी कि इस अवधारणा का उपयोग किया जा सके।

ग्रंथ "ऑन डिवाइन प्रोपोर्शन" के लिए लियोनार्डो के चित्र, (जैसा कि पैसिओली कहते हैं) "अपने अवर्णनीय बाएं हाथ से", पाठकों पर एक निश्चित प्रभाव पड़ा। ये संभवतः योजनाबद्ध, कंकाल के रूप में पॉलीहेड्रा का पहला प्रतिनिधित्व थे, जिससे उन्हें हर तरफ से कल्पना करना आसान हो गया। यह संभव है कि लियोनार्डो ने पॉलीहेड्रॉन को लकड़ी के मॉडल से बनाया हो, क्योंकि काउंसिल ऑफ फ्लोरेंस के दस्तावेजों से पता चलता है कि शहर ने उन्हें सार्वजनिक प्रदर्शन पर रखने के लिए पैसिओली लकड़ी के मॉडल का एक सेट हासिल किया था। लियोनार्डो ने न केवल पैसिओली की किताब के लिए चित्र बनाए, हम उनके नोट्स में हर जगह सभी प्रकार के पॉलीहेड्रा के रेखाचित्र देखते हैं। एक बिंदु पर, लियोनार्डो एक नियमित पेंटागन के निर्माण के लिए एक अनुमानित विधि देते हैं। दृश्य कलाओं के साथ गणित का सम्मिश्रण चरम पर है " ट्रट्टातो डेला पिटुरा” ("पेंटिंग पर ग्रंथ"), जिसे फ्रांसेस्को मेल्जी द्वारा संकलित किया गया था, जिन्होंने लियोनार्डो की पांडुलिपियों को अपने नोट्स के अनुसार विरासत में मिला था। ग्रंथ एक चेतावनी के साथ शुरू होता है: "वह जो गणितज्ञ नहीं है, उसे मेरी रचनाएँ न पढ़ने दें!" - ललित कला पर आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में आपको ऐसा कथन शायद ही मिल सके!

"ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन" ग्रंथ से ज्यामितीय निकायों के चित्र ने फ्रा जियोवानी दा वेरोना को प्रौद्योगिकी में काम करने के लिए प्रेरित किया intarsia. इंटारसिया लकड़ी पर एक विशेष प्रकार की लकड़ी की जड़ाई है, जो जटिल सपाट मोज़ाइक का निर्माण करती है। 1520 के बारे में, फ्रा जियोवानी ने आईकोसाहेड्रॉन को चित्रित करने वाले जड़े पैनल बनाए, और उन्होंने लगभग निश्चित रूप से एक मॉडल के रूप में लियोनार्डो के योजनाबद्ध चित्र का उपयोग किया।

दिव्य अनुपात पर ग्रंथ के पूरा होने के बाद भी लियोनार्डो और पैसिओली के रास्ते कई बार पार हो गए। अक्टूबर 1499 में, जब राजा लुई XII की फ्रांसीसी सेना ने मिलान पर कब्जा कर लिया तो दोनों भाग गए। फिर वे मंटुआ और वेनिस में कुछ समय के लिए रुके और कुछ समय के लिए फ्लोरेंस में बस गए। उस अवधि के दौरान जब वे दोस्त थे, पैसिओली ने गणित पर दो और रचनाएँ बनाईं जिन्होंने उनके नाम को गौरवान्वित किया - यूक्लिड की "बिगिनिंग्स" का लैटिन में अनुवाद और गणितीय मनोरंजन पर एक पुस्तक, जो अप्रकाशित रही। पैसिओली का एलिमेंट्स का अनुवाद जियोवन्नी कैम्पानो (1220-1296) के पहले के अनुवाद पर आधारित एक व्याख्यात्मक संस्करण था जो 1482 में वेनिस में छपा था (यह पहला था मुद्रितसंस्करण)। गणित और कहावतों में मनोरंजक समस्याओं के संग्रह के प्रकाशन को प्राप्त करने के लिए " डी वीरिबस क्वांटिटैटिस"("संख्या की क्षमताओं पर") पैसिओली अपने जीवनकाल के दौरान नहीं कर सका - 1517 में उसकी मृत्यु हो गई। यह काम पैसिओली और लियोनार्डो के बीच सहयोग का फल था, और लियोनार्डो के अपने नोट्स में ग्रंथ से काफी कुछ समस्याएं हैं " डी वीरिबस क्वांटिटैटिस ».

बेशक, यह वैज्ञानिक विचार की मौलिकता नहीं थी जिसने फ्रा लुका पैसिओली को महिमामंडित किया, लेकिन सामान्य रूप से गणित के विकास पर और विशेष रूप से सुनहरे खंड के इतिहास पर उनके प्रभाव और उनकी इन खूबियों को नकारा नहीं जा सकता।

उदासी

कलात्मक और गणितीय रुचियों का एक दिलचस्प संयोजन पुनर्जागरण के एक और महान विचारक - प्रसिद्ध जर्मन चित्रकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर की विशेषता थी।

ड्यूरर को अक्सर सबसे महान जर्मन पुनर्जागरण चित्रकार माना जाता है। उनका जन्म 21 मई, 1471 को नूर्नबर्ग के शाही शहर में एक जौहरी के परिवार में हुआ था, जिन्होंने अथक परिश्रम किया था। पहले से ही 19 साल की उम्र में, अल्ब्रेक्ट ने एक चित्रकार और वुडकार्वर के रूप में उल्लेखनीय प्रतिभा दिखाई और अपने शिक्षक, सर्वश्रेष्ठ नूर्नबर्ग चित्रकार और पुस्तक चित्रकार माइकल वोल्गेमुथ को पीछे छोड़ दिया। इसलिए, ड्यूरर ने चार साल तक यात्रा की और इस दौरान इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि गणित - "सभी विज्ञानों का सबसे सटीक, तार्किक और ग्राफिक रूप से सत्यापित" - दृश्य कला का एक महत्वपूर्ण हिस्सा होना चाहिए।

लौटकर, वह बहुत कम समय के लिए नूर्नबर्ग में रहे, लेकिन इस दौरान वह एक सफल कारीगर की बेटी एग्नेस फ्रे से शादी करने में कामयाब रहे, और फिर एक यात्रा पर गए - इटली - गणित में अपने क्षितिज का विस्तार करने के लिए और ललित कला में। जाहिर तौर पर, उन्होंने 1494-1495 में वेनिस की यात्रा के दौरान इस लक्ष्य को पूरी तरह से हासिल कर लिया। विनीशियन स्कूल ऑफ पेंटिंग के संस्थापक, जियोवन्नी बेलिनी (सी। 1426-1516) के साथ बैठक ने उत्पादन किया युवा कलाकारएक स्थायी छाप, उन्होंने अपने दिनों के अंत तक बेलिनी की प्रशंसा की। उसी समय, ड्यूरर ने जैकोपो डी बारबरी से भी मुलाकात की, जिसने लुका पसिओली (चित्र 50) के चित्र को चित्रित किया, और परिणामस्वरूप गणित पर पैसिओली के कार्यों और दृश्य कलाओं में इसके महत्व का अध्ययन किया। विशेष रूप से, डी बार्बरी ने ड्यूरर को दिखाया कि पुरुषों का निर्माण कैसे किया जाता है महिला आकृतिज्यामितीय विधियों का उपयोग करते हुए, और इसने ड्यूरर को मानव शरीर के अनुपात और गति का अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया।

शायद ड्यूरर पैसिओली से व्यक्तिगत रूप से मिला - यह इटली की अपनी दूसरी यात्रा (1501-1507) के दौरान बोलोग्ना में था। उस समय के एक पत्र में, उन्होंने उल्लेख किया है कि बोलोग्ना की यात्रा "कला के लिए की गई थी, क्योंकि वहाँ एक व्यक्ति है जो मुझे परिप्रेक्ष्य की गुप्त कला सिखाएगा।" कई दुभाषियों के अनुसार, रहस्यमय "बोलोग्ना का आदमी", ठीक पैसिओली है, हालांकि अन्य नामों का सुझाव दिया गया है, उदाहरण के लिए, उत्कृष्ट वास्तुकार डोनाटो डी एंजेलो ब्रैमांटे (1444-1514) और वास्तुशिल्प सिद्धांतकार सेबेस्टियानो सेर्लियो (1475-1554)। इटली की उसी यात्रा के दौरान, ड्यूरर फिर से जैकोपो डी बारबरी से मिले। हालांकि, ड्यूरर के लिए दूसरी यात्रा पागल संदेह से घिरी हुई थी: उन्हें डर था कि उनकी प्रसिद्धि से ईर्ष्या करने वाले अन्य कलाकार उन्हें नुकसान नहीं पहुंचाएंगे। विशेष रूप से, उन्होंने इस डर से रात्रिभोज के निमंत्रण को अस्वीकार कर दिया कि कोई उन्हें जहर देने की कोशिश करेगा।

1495 से, ड्यूरर ने गणित में गंभीर रुचि दिखाई है। उन्होंने लंबे समय तक तत्वों का अध्ययन किया (उन्होंने वेनिस में एक लैटिन अनुवाद प्राप्त किया, हालांकि वह लैटिन को बहुत अच्छी तरह से नहीं जानते थे), पैसिओली की गणित और ललित कलाओं पर काम करता है, और रोमन वास्तुकार विट्रुवियस द्वारा वास्तुकला, अनुपात और परिप्रेक्ष्य पर आधिकारिक काम करता है। इतालवी वास्तुकार और सिद्धांतकार लियोन बैप्टिस्टा अल्बर्टी (1404-1472)।

स्वर्णिम अनुपात के इतिहास में ड्यूरर का योगदान लिखित कार्यों और ललित कला के कार्यों दोनों में है। 1525 में उनका मुख्य ग्रंथ " मेसुंग मिट डेम ज़िर्कल एंड रिचचेचिट” (“ए ट्रीटीज ऑन मेजरमेंट विथ ए कंपास एंड स्ट्रेटेज”), जर्मनी में प्रकाशित गणित की पहली किताबों में से एक है। इस निबंध में, ड्यूरर शिकायत करता है कि इतने सारे कलाकार ज्यामिति से अनभिज्ञ हैं, "जिसके बिना कोई भी पूर्ण कलाकार नहीं हो सकता या नहीं बन सकता।" ग्रंथ बनाने वाली चार पुस्तकों में से पहली में, लॉगरिदमिक (समकोणीय) सर्पिल सहित विभिन्न वक्रों के निर्माण के बारे में विस्तृत सिफारिशें दी गई हैं, जैसा कि हमने पहले ही देखा है, सुनहरे अनुपात से निकटता से संबंधित है। दूसरी पुस्तक में विभिन्न बहुभुजों के निर्माण के लिए सटीक और अनुमानित तरीके शामिल हैं, जिसमें एक नियमित पेंटागन (एक सटीक, दूसरा अनुमानित) के निर्माण के दो तरीके शामिल हैं। चौथी किताब में प्लेटोनिक ठोस पदार्थों के साथ-साथ अन्य पॉलीहेड्रा पर चर्चा की गई है - जिनमें से कुछ ड्यूरर ने खुद का आविष्कार किया - और परिप्रेक्ष्य और क्रियोस्कोरो के सिद्धांत। ड्यूरर की पुस्तक ज्यामिति पर एक पाठ्यपुस्तक के रूप में अभिप्रेत नहीं है; विशेष रूप से, वह एक प्रमाण का केवल एक उदाहरण देता है। इसके विपरीत, ड्यूरर हमेशा साथ शुरू करता है व्यावहारिक अनुप्रयोग, और फिर सबसे बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी सूचीबद्ध करता है। पुस्तक में पॉलीहेड्रा के विकास के पहले उदाहरण भी शामिल हैं। एक विकास एक विमान पर एक चित्र है जहां एक पॉलीहेड्रॉन की सतह को इस तरह से चित्रित किया जाता है कि इसे परिणामी आकृति से त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन में काटा और मोड़ा जा सकता है। ड्यूरर द्वारा बनाई गई डोडकाहेड्रॉन (जैसा कि हम जानते हैं, सुनहरे अनुपात के साथ संबंधित) का एक चित्र, हम अंजीर में देखते हैं। 54.

चावल। 54
उत्कीर्णन और वुडकार्विंग में रुचि, गणित में रुचि के साथ, ड्यूरर के गूढ़ अलंकारिक कार्य मेलानचोलिया I (चित्र 55) में परिलक्षित होती है। यह तीन अति सुंदर नक्काशियों में से एक है (अन्य दो को "नाइट, डेथ एंड द डेविल" और "सेंट जेरोम इन हिज़ सेल") कहा जाता है। ऐसा माना जाता है कि ड्यूरर ने इस उत्कीर्णन को अपनी मां की मृत्यु के बाद उदासी के हमले के दौरान बनाया था। मेलांचोलिया की केंद्रीय आकृति एक पंख वाली महिला है जो पूरी निराशा और उदासीनता में एक पत्थर की मुंडेर पर बैठी है। में दांया हाथउसके पास एक कम्पास है, जिसके पैर माप के लिए भंग कर दिए गए हैं। इस उत्कीर्णन में दर्शाई गई लगभग हर चीज एक जटिल प्रतीकात्मक अर्थ से संपन्न है, और पूरे लेख इसकी व्याख्या के लिए समर्पित हैं। उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि मध्य में बाईं ओर चूल्हे पर बर्तन और शीर्ष पर तराजू कीमिया के प्रतीक हैं। शीर्ष दाईं ओर "मैजिक स्क्वायर" (यानी, वह वर्ग जिसमें प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ, तिरछे और चारों कोनों में संख्याओं का योग और चार केंद्रीय संख्याओं का योग 34 है - वैसे, यह फाइबोनैचि संख्या है), जाहिरा तौर पर गणित का प्रतीक है (चित्र। 56)। नीचे की पंक्ति में दो मध्य संख्याएं 1514 हैं, जिस दिन उत्कीर्णन बनाया गया था। संभवतः, जादुई वर्ग पैसिओली के प्रभाव का परिणाम है, क्योंकि पैसिओली के ग्रंथ में " डी वीरिबस»कई जादुई वर्ग हैं। जाहिरा तौर पर, अपने सभी ज्यामितीय आकृतियों, चाबियों, बल्ले, सीस्केप और अन्य चीजों के साथ उत्कीर्णन का मुख्य अर्थ कलाकार या विचारक को जकड़ने वाली उदासी है, जो वह क्या कर रहा है, इस बारे में संदेह और विचारों में डूबा हुआ है, और इस बीच समय ऊपर एक घंटे का चश्मा है - अभी भी खड़ा नहीं है।

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बीच में बाईं ओर अजीब बहुफलक काफी चर्चा और पुनर्निर्माण के विभिन्न प्रयासों का विषय रहा है। पहली नज़र में, यह एक घन जैसा दिखता है जिसके दो विपरीत कोने कटे हुए हैं (जिसने कुछ फ्रायडियन व्याख्याओं को उकसाया है), लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है। अधिकांश शोधकर्ता इस बात से सहमत हैं कि यह तथाकथित rhombohedron (छह चेहरों वाला एक ज्यामितीय निकाय है, जिनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज है, चित्र 57 देखें), इसे काट दिया जाता है ताकि इसे एक गोले में अंकित किया जा सके। यह त्रिकोणीय चेहरों में से एक पर टिकी हुई है, और इसका अग्र भाग सीधे जादुई वर्ग की ओर इशारा कर रहा है। बहुफलक के फलक के कोण भी विवाद का विषय रहे हैं। कई वैज्ञानिकों का सुझाव है कि वे 72 डिग्री थे, जो आंकड़े को सुनहरे अनुपात के साथ जोड़ देगा (चित्र 25 देखें), लेकिन डच क्रिस्टलोग्राफर सी. जी. मैकगिलवरी ने परिप्रेक्ष्य विश्लेषण से निष्कर्ष निकाला कि कोण 80 डिग्री हैं। 1982 में प्रकाशित टी। लिंच के एक लेख में इस ज्यामितीय निकाय के रहस्यमय गुणों का खूबसूरती से वर्णन किया गया है। वारबर्ग और कोर्टटॉल्ड संस्थानों का जर्नल"। यहाँ लेखक का निष्कर्ष है: “चूंकि पॉलीहेड्रा की छवि को परिप्रेक्ष्य ज्यामिति के मुख्य कार्यों में से एक माना जाता था, ड्यूरर, इस क्षेत्र में अपने ज्ञान को साबित करना चाहते थे, शायद ही इसके लिए इससे बेहतर तरीका ढूंढ सकते थे कि इसे अपने ऊपर रखा जाए। एक ज्यामितीय निकाय को उकेरना, इतना नया और, शायद अनोखा भी, और यह तय करने के लिए इसे अन्य जियोमीटर पर छोड़ दें कि यह क्या है और यह कहाँ से आया है।

चावल। 57
पैसिओली के आधिकारिक काम और गणित और ललित कला के चौराहे पर कलाकारों लियोनार्डो और ड्यूरर के शोध के अपवाद के साथ, 16 वीं शताब्दी में स्वर्ण खंड के इतिहास में विशेष रूप से कुछ भी नया नहीं हुआ। हालांकि कई गणितज्ञ, जिनमें राफेल बॉम्बेली (1526-1572) और फ्रांकोइस फॉक्स (फ्लूसेट्स) (1502-1594) शामिल हैं, नियमित पेंटागन और प्लेटोनिक ठोस से संबंधित समस्याओं सहित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए सुनहरे अनुपात पर भरोसा करते हैं। अनुप्रयोग हमारे सहसंबंध इस शताब्दी के अंत में ही दिखाई दिए। हालाँकि, पैसिओली, ड्यूरर और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों ने प्लेटो और पाइथागोरस की शिक्षाओं में रुचि को पुनर्जीवित किया। पुनर्जागरण के विचारकों ने अचानक प्लेटोनिक विश्वदृष्टि की भावना में गणित और तर्कसंगत तर्क को ब्रह्मांड की संरचना के साथ जोड़ने का एक वास्तविक अवसर देखा। "ईश्वरीय अनुपात" जैसी अवधारणाओं ने एक ओर, गणित और ब्रह्मांड की संरचना के बीच पुलों का निर्माण किया, और दूसरी ओर, भौतिकी, धर्मशास्त्र और तत्वमीमांसा के बीच एक कड़ी प्रदान की। और गणित और रहस्यवाद के इस करामाती मिश्रण को विशेष रूप से उनके विचारों और कार्यों में जोहान्स केपलर के अलावा किसी और ने स्पष्ट रूप से सन्निहित किया था।

मिस्टीरियम कॉस्मोग्राफिकम

जोहान्स केपलर को मुख्य रूप से एक उत्कृष्ट खगोलशास्त्री के रूप में याद किया जाता है, जिन्होंने अन्य बातों के अलावा, ग्रहों की गति के तीन नियमों को छोड़ दिया, जो उनके नाम पर हैं। हालाँकि, केपलर एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ, एक सूक्ष्म तत्वमीमांसा और एक विपुल लेखक भी थे। उनका जन्म महान राजनीतिक उथल-पुथल और धार्मिक युद्धों के समय हुआ था, जिसने उनकी शिक्षा, जीवन और सोच को मौलिक रूप से प्रभावित किया। केप्लर का जन्म 27 दिसंबर 1571 को जर्मनी में शाही शहर वेइल डेर स्टैड में अपने दादा सेबल्ड के घर में हुआ था। जोहान के पिता हेनरिक, एक भाड़े के सैनिक, ने अपने बेटे के बचपन के लगभग सभी अभियानों पर बिताए, और संक्षिप्त यात्राओं के दौरान, केपलर के अनुसार, उन्होंने "अपमानजनक, कठोर और अहंकारी" व्यवहार किया। जब केपलर लगभग सोलह वर्ष का था, उसके पिता ने घर छोड़ दिया और फिर कभी नहीं देखा गया। जाहिर तौर पर, उन्होंने नेपल्स साम्राज्य के बेड़े के हिस्से के रूप में किसी तरह के समुद्री अभियान में भाग लिया और घर के रास्ते में ही उनकी मृत्यु हो गई। नतीजतन, केपलर को मुख्य रूप से उसकी मां कथरीना ने पाला था, जो उस होटल में काम करती थी जिसे उसके पिता रखते थे। कैटरीना खुद एक अजीब महिला थीं, बल्कि अप्रिय, एकत्रित जड़ी-बूटियाँ थीं और उनके जादुई उपचार गुणों की कायल थीं। परिस्थितियों का एक संयोजन - व्यक्तिगत शिकायतें, दुर्भाग्यपूर्ण गपशप और लालच - अंततः इस तथ्य को जन्म दिया कि कथरीना, पहले से ही अपने बुढ़ापे में, 1620 में, जादू टोना के आरोप में गिरफ्तार किया गया था। उस समय, इस तरह के आरोप असामान्य नहीं थे, 1615 और 1629 के बीच कम से कम 38 महिलाओं को वेइल डेर स्टैड में जादू टोने के लिए मार डाला गया था। अपनी माँ की गिरफ्तारी के समय केप्लर पहले से ही एक प्रसिद्ध व्यक्ति थे, और उनकी माँ के मुकदमे की खबर ने उन्हें "अकथनीय दुःख" पहुँचाया। वास्तव में, उन्होंने अदालत में अपना बचाव संभाला और तुबिंगन विश्वविद्यालय के कानून संकाय की मदद ली। प्रक्रिया लंबी थी, लेकिन अंत में कैथरीना केपलर के खिलाफ आरोप हटा दिया गया, मुख्य रूप से धमकी के तहत दी गई अपनी गवाही के कारण। भयानक यातना: कटरीना ने अपने गुनाह से इनकार किया। यह कहानी उस माहौल को बताती है जिसमें केपलर का वैज्ञानिक कार्य हुआ और उस समय प्रचलित मानसिकता। केप्लर का जन्म एक ऐसे समाज में हुआ था जो मार्टिन लूथर के जाने से ठीक आधी सदी पहले ही बचा था कैथोलिक चर्चऔर उनका यह कथन कि ईश्वर को एक व्यक्ति से केवल एक चीज की आवश्यकता है, वह है विश्वास। यह समाज अभी तीस साल के युद्ध के खूनी पागलपन में डूबा हुआ था। कोई केवल आश्चर्य कर सकता है कि केप्लर, ऐसी पृष्ठभूमि का एक व्यक्ति, जिसके पास इतने उतार-चढ़ाव थे, इतना अशांत जीवन था, एक ऐसी खोज करने में कैसे कामयाब रहा जिसे कई लोग आधुनिक विज्ञान का सच्चा जन्म मानते हैं।

केपलर ने मौलब्रोन मठ में स्कूल में रहते हुए ही वैज्ञानिक अनुसंधान शुरू किया, और फिर, 1589 में, उन्होंने ड्यूक ऑफ वुर्टेमबर्ग से छात्रवृत्ति प्राप्त की और टूबिंगन विश्वविद्यालय में लूथरन सेमिनरी में भाग लेने का अवसर प्राप्त किया। उन्हें दो विषयों, धर्मशास्त्र और गणित में सबसे अधिक रुचि थी; उनके दिमाग में, वे घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए थे। उस समय खगोल विज्ञान को गणित का हिस्सा माना जाता था, और खगोल विज्ञान में केपलर के गुरु प्रख्यात वैज्ञानिक माइकल मेस्टलिन (1550-1631) थे; तुबिंगेन से उनके जाने के बाद भी केपलर ने उनके साथ संपर्क बनाए रखा। आधिकारिक कक्षाओं के दौरान, मेस्टलिन, निश्चित रूप से, केवल पारंपरिक टॉलेमिक पढ़ाते थे, भूकेंद्रीय प्रणालीजिसके अनुसार चंद्रमा, बुध, शुक्र, सूर्य, मंगल, बृहस्पति और शनि एक स्थिर पृथ्वी की परिक्रमा करते हैं। हालांकि, मेस्टलिन निकोलस कोपरनिकस की सहायक प्रणाली से अच्छी तरह वाकिफ थे, जिसके बारे में जानकारी 1543 में प्रकाशित हुई थी, और निजी बातचीत में अपने प्रिय छात्र केप्लर के साथ इस प्रणाली की खूबियों पर चर्चा की। कोपर्निकन प्रणाली के अनुसार, छह ग्रह (पृथ्वी सहित, लेकिन चंद्रमा को छोड़कर, जिसे अब एक ग्रह नहीं माना जाता था, बल्कि एक "उपग्रह") सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। ठीक उसी तरह जिस तरह एक चलती हुई कार से आप केवल अन्य कारों की सापेक्ष गति का निरीक्षण कर सकते हैं, कोपरनिकन प्रणाली में, ग्रहों की गति कई तरह से पृथ्वी की गति को ही दर्शाती है।

ऐसा लगता है कि केप्लर को कोपर्निकन प्रणाली तुरंत पसंद आ गई। इस ब्रह्माण्ड विज्ञान का मूल विचार जिसके अनुसार केंद्रीय सूर्य एक गोले से घिरा हुआ है निश्चित सितारे, और कुछ जगह सूर्य और गोले के बीच बनी हुई है, जो ब्रह्मांड के केप्लर के विचार के बिल्कुल अनुरूप है। केप्लर एक गहरा धार्मिक व्यक्ति था और उसका मानना ​​था कि ब्रह्मांड सृष्टिकर्ता का प्रतिबिंब है। सूर्य, सितारों और उनके बीच की जगह की एकता उनके लिए पवित्र त्रिमूर्ति - पिता, पुत्र और पवित्र आत्मा की प्रतीकात्मक समानता थी।

जब केपलर ने ललित कला संकाय से सम्मान के साथ स्नातक किया और अपनी धार्मिक शिक्षा पूरी करने वाले थे, एक घटना घटी जिसने उनके पेशे की पसंद को बदल दिया: वे एक पादरी के बजाय गणित के शिक्षक बन गए। ऑस्ट्रियाई शहर ग्राज़ में एक प्रोटेस्टेंट मदरसा ने टूबिंगन विश्वविद्यालय से अपने एक गणित के प्रोफेसर के लिए एक विकल्प की सिफारिश करने के लिए कहा, जिनकी अचानक मृत्यु हो गई थी, और विश्वविद्यालय ने केपलर को चुना। मार्च 1594 में, केपलर, अपनी इच्छा के विरुद्ध, ऑस्ट्रिया के स्टायरिया प्रांत में ग्राज़ की यात्रा पर निकल गया; वहां पहुंचने में पूरा एक महीना लग गया।

यह महसूस करते हुए कि भाग्य ने उन पर एक गणितज्ञ के रूप में करियर थोपा था, केपलर ने अपने ईसाई कर्तव्य को पूरा करने के लिए दृढ़ संकल्प किया था जैसा कि उन्होंने कल्पना की थी: प्रभु के निर्माण, ब्रह्मांड की संरचना को समझने के लिए। इसलिए, उन्होंने एलेक्जेंड्रिया के जियोमीटर एपोलोनियस और पप्पस के तत्वों और कार्यों के अनुवाद का अध्ययन किया। कोपर्निकन हेलियोसेंट्रिक सिस्टम के मूल सिद्धांत के आधार पर, केप्लर ने दो मुख्य सवालों के जवाब खोजने का फैसला किया: ठीक छह ग्रह क्यों हैं और ग्रहों की कक्षाओं के बीच इतनी दूरियां क्या निर्धारित करती हैं। खगोल विज्ञान में "क्यों" और "क्या" प्रश्न नए थे। अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत, जो केवल ग्रहों की देखी गई स्थितियों को नोट करने से संतुष्ट थे, केप्लर ने एक सिद्धांत विकसित करने की मांग की जो सब कुछ समझाए। केप्लर ने अपने नए दृष्टिकोण को बहुत खूबसूरती से समझाया, जिज्ञासा के एक नए स्तर तक पहुँचना:

किसी भी मानसिक शोध में, ऐसा होता है कि हम इंद्रियों पर प्रहार करने से शुरू करते हैं, और फिर, इसकी संरचना के लिए धन्यवाद, मन उच्चतम तक चढ़ जाता है, जिसे समझा नहीं जा सकता, चाहे हमारी भावनाएं कितनी भी तेज क्यों न हों। खगोलीय अध्ययनों में भी ऐसा ही होता है, जब हम सबसे पहले अपनी आंखों से अलग-अलग समय में ग्रहों की अलग-अलग स्थितियों को देखते हैं, और तब तर्क काम में आता है और इन अवलोकनों के आधार पर मन को ग्रहों की संरचना को समझने के लिए प्रेरित करता है। जगत।
हालाँकि, केप्लर ने खुद से एक और सवाल पूछा: भगवान ने अपने ब्रह्मांड को किस उपकरण से डिजाइन किया था? पहले विचार, जो बाद में ब्रह्मांडीय प्रश्नों के बिल्कुल शानदार उत्तरों में विकसित हुए, 19 जुलाई, 1595 को केपलर में आए, जब उन्होंने बाहरी ग्रहों - बृहस्पति और शनि के संयोजन की व्याख्या करने की कोशिश की (वह स्थिति जिसमें दो खगोलीय पिंड एक ही खगोलीय पिंड हैं) निर्देशांक)। सामान्य शब्दों में, केप्लर ने इसे समझा: यदि आप एक वृत्त में एक समबाहु त्रिभुज को अंकित करते हैं (ताकि इसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हों), और फिर इस त्रिभुज में एक अन्य वृत्त अंकित करें (ताकि यह भुजाओं के मध्यबिंदुओं को स्पर्श करे, चित्र देखें। 58), बड़े वृत्त की त्रिज्या का छोटे वृत्त की त्रिज्या से संबंध लगभग वैसा ही होगा जैसा कि शनि की कक्षा के आकार का बृहस्पति की कक्षा के आकार के अनुपात से है। उसी भावना में तर्क करना जारी रखते हुए, केप्लर ने फैसला किया कि मंगल की कक्षा (सूर्य के करीब अगला ग्रह) प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित ज्यामितीय आकृति, यानी एक वर्ग, एक छोटे वृत्त में अंकित करने की आवश्यकता है। हालाँकि, वांछित आकार काम नहीं आया। केप्लर ने हार नहीं मानी, और चूंकि वह पहले से ही प्लेटोनिक तरीके से सोचने के रास्ते पर पैर रख चुका था - वह आश्वस्त था कि "ईश्वर ज्यामितीय" - फिर, स्वाभाविक रूप से, उसने अगला ज्यामितीय कदम उठाया और त्रि-आयामी निकायों में बदल गया। इस मानसिक अभ्यास के परिणामस्वरूप, केप्लर ने सबसे पहले सुनहरे अनुपात से जुड़े ज्यामितीय ठोस पदार्थों का सहारा लिया।

चावल। 58
पहले दो सवालों का जवाब जो केप्लर ने अपने पहले ग्रंथ में दिया है जिसका शीर्षक है " मिस्टीरियम कॉस्मोग्राफिकम"(" कॉस्मोग्राफिक पहेली "), जो 1597 में प्रकाशित हुई थी। पुस्तक के शीर्षक पृष्ठ पर दिया गया पूरा शीर्षक (चित्र 59; हालांकि इसमें प्रकाशन की तिथि 1596 है, पुस्तक अगले वर्ष तक बाहर नहीं आई) पढ़ता है: "ब्रह्माण्ड संबंधी तर्क के लिए एक प्रारंभिक परिचय, जिसमें सार्वभौमिक पहेली शामिल है आकाशीय क्षेत्रों के रमणीय अनुपात, और सच्चे और वास्तविक कारण उनके आकार, मात्रा और आकाश की आवधिक गति, पाँच नियमित ज्यामितीय निकायों द्वारा सिद्ध।

चावल। 59
इस सवाल का जवाब कि वास्तव में छह ग्रह क्यों हैं, केप्लर को बहुत ही सरलता से दिया गया था: क्योंकि वास्तव में पाँच नियमित प्लेटोनिक ठोस हैं। यदि हम मान लें कि वे ग्रहों के बीच अंतराल निर्धारित करते हैं, तो हमें छह अंतराल मिलते हैं, बाहरी गोलाकार सीमा की गणना करते हुए - स्थिर सितारों वाला आकाश। इसके अलावा, केप्लर मॉडल को कक्षाओं के आकार के बारे में प्रश्न का उत्तर देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यहाँ बताया गया है कि वैज्ञानिक स्वयं कैसे लिखते हैं:
पार्थिव गोला अन्य सभी कक्षाओं का माप है। इसके चारों ओर द्वादशफलक का वर्णन कीजिए। इसके चारों ओर का गोला मंगल का गोला होगा। मंगल के चारों ओर चतुष्फलक का वर्णन कीजिए। इसके चारों ओर का गोला बृहस्पति का गोला होगा। बृहस्पति के चारों ओर एक घन का वर्णन कीजिए। इसके चारों ओर का गोला शनि का गोला होगा। अब आइकोसैहेड्रोन को पृथ्वी की कक्षा में फिट करें। इसमें अंकित गोला शुक्र ग्रह होगा। शुक्र की कक्षा में एक अष्टफलक अंकित करें। इसमें अंकित गोला बुध का गोला होगा। यहाँ ग्रहों की संख्या के लिए तर्क दिया गया है।
अंजीर पर। 60 "से आरेख दिखाता है" मिस्टीरियम कॉस्मोग्राफिकम, केप्लर के ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडल को दर्शाता हुआ। केप्लर विस्तार से बताते हैं कि क्यों वह प्लेटोनिक ठोस और ग्रहों के बीच उनके ज्यामितीय, ज्योतिषीय और आध्यात्मिक गुणों के आधार पर विशिष्ट समानताएं बनाते हैं। उन्होंने गोले के संबंध के आधार पर ज्यामितीय निकायों की व्यवस्था की, यह सुझाव दिया कि गोले और अन्य ज्यामितीय निकायों के बीच का अंतर निर्माता और निर्माण के बीच के अंतर को दर्शाता है। इसी प्रकार, घन की विशेषता है सिर्फ एककोण ठीक है। केप्लर के लिए, यह अकेलेपन का प्रतीक है जो शनि आदि से जुड़ा है। आम तौर पर बोलना, केप्लर के लिए ज्योतिष इतना महत्वपूर्ण था, क्योंकि "मनुष्य ब्रह्मांड और सारी सृष्टि का मुकुट है", और आध्यात्मिक दृष्टिकोण को इस तथ्य से उचित ठहराया गया था कि " गणितीय गुण भौतिक कारण हैं, क्योंकि समय की शुरुआत से ही ईश्वर ने गणितीय वस्तुओं को सरल दैवीय सार के रूप में समाहित किया है जो भौतिक स्तर पर विभिन्न मात्राओं के लिए प्रोटोटाइप के रूप में कार्य करता है। पृथ्वी की स्थिति को उन पिंडों से अलग करने के लिए चुना गया था जो सीधे खड़े हो सकते हैं (क्यूब, टेट्राहेड्रोन और डोडेकाहेड्रॉन) उन निकायों से जो "फ्लोट" (ऑक्टाहेड्रोन और आईकोसैहेड्रोन) हैं।

चावल। 60
इस मॉडल से प्राप्त ग्रहों के बीच की दूरी, कुछ मामलों में पूरी तरह से वास्तविकता से मेल खाती है, जबकि अन्य में वे स्पष्ट रूप से भिन्न थे, हालांकि, अंतर 10% से अधिक नहीं था। केप्लर अपने मॉडल की शुद्धता के बारे में अडिग रूप से आश्वस्त था और कक्षाओं को मापने में त्रुटियों के लिए विसंगतियों को जिम्मेदार ठहराया। उन्होंने अपनी पुस्तक की प्रतियां विभिन्न खगोलविदों को उनकी टिप्पणियों और सुझावों के लिए भेजीं; उनमें से उस समय के सबसे प्रमुख वैज्ञानिकों में से एक, डेन टायको ब्राहे (1546-1601) थे। एक प्रति महान गैलीलियो गैलीली (1564-1642) के हाथों में भी गिर गई, जिन्होंने केपलर को बताया कि उन्हें कोपर्निकन मॉडल की शुद्धता पर भी भरोसा था, लेकिन चिढ़ के साथ स्वीकार किया कि "लोगों की एक बड़ी संख्या के लिए, ऐसा है मूर्खों की संख्या", कोपरनिकस "उपहास और हूटिंग के लिए एक योग्य विषय लगता है।"

कहने की आवश्यकता नहीं है, केप्लर का ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडल, प्लेटोनिक ठोस पर आधारित, न केवल पूरी तरह से गलत था, बल्कि वैज्ञानिक के समकालीनों के मानकों से भी पागल था। 1781 में यूरेनस (शनि के बाद अगला ग्रह, सूर्य से गिना गया) और 1846 में नेपच्यून (यूरेनस के बाद अगला ग्रह) की खोज ने इस स्थिर विचार के ताबूत में अंतिम कील ठोंक दी। हालाँकि, विज्ञान के इतिहास में केप्लर मॉडल के महत्व को कम करके नहीं आंका जा सकता है। जैसा कि खगोलशास्त्री ओवेन जिंजरिच ने केपलर की जीवनी को समर्पित एक लेख में लिखा है: "इतिहास में ऐसा शायद ही कभी हुआ हो कि इस तरह की गलत किताब ने विज्ञान के आगे के पाठ्यक्रम को इस तरह की सही दिशा में निर्देशित किया हो।" केप्लर ब्रह्मांड के पाइथागोरस विचार पर निर्भर था, और गणितज्ञ इसे एक बड़ा कदम आगे कहेंगे। उसने विकसित किया गणित का मॉडलब्रह्माण्ड, जो एक ओर उस समय उपलब्ध प्रेक्षणात्मक आँकड़ों पर आधारित था, और दूसरी ओर, हो सकता था का खंडन कियाबाद के अवलोकन। यह "वैज्ञानिक पद्धति" की आवश्यक सामग्री है - प्रकृति के एक मॉडल के आधार पर देखे गए तथ्यों को समझाने के लिए एक संगठित दृष्टिकोण। आदर्श वैज्ञानिक विधितथ्यों के संग्रह के साथ शुरू होता है, फिर एक मॉडल प्रस्तावित किया जाता है, और फिर यह क्या भविष्यवाणी करता है या तो कृत्रिम प्रयोगों या आगे की टिप्पणियों में परीक्षण किया जाता है। कभी-कभी इस प्रक्रिया को तीन शब्दों में वर्णित किया जाता है: प्रेरण, कटौती, सत्यापन। 1610 में, गैलीलियो ने अपनी दूरबीन से सौर मंडल में चार और खगोलीय पिंडों की खोज की। यदि यह सिद्ध हो जाता कि ये ग्रह हैं, तो केप्लर के सिद्धांत को वैज्ञानिक के जीवनकाल में घातक झटका लगा होता। हालांकि, केप्लर को बहुत खुशी हुई, नए पिंड हमारे चंद्रमा की तरह बृहस्पति के उपग्रह निकले, न कि सूर्य की परिक्रमा करने वाले नए ग्रह।

सभी प्राथमिक (उपपरमाण्विक) कणों के अस्तित्व की व्याख्या करने के उद्देश्य से आधुनिक भौतिक सिद्धांत भी गणितीय समरूपता पर आधारित हैं और इस अर्थ में केपलर के सिद्धांत के समान हैं, जो प्लेटोनिक ठोस के सममित गुणों पर निर्भर थे। ग्रहों की संख्या और गुणों की व्याख्या करने के लिए। केप्लर के मॉडल का दूसरा मॉडल था आम लक्षणब्रह्मांड के आधुनिक मौलिक सिद्धांत के साथ: दोनों सिद्धांत स्वाभाविक हैं न्यूनकारीअर्थात्, वे बहुत कम संख्या में भौतिक नियमों के साथ अनेक परिघटनाओं की व्याख्या करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, केप्लर का मॉडल प्लेटोनिक ठोस से ग्रहों की संख्या और उनकी कक्षाओं के गुणों दोनों को प्राप्त करता है। इसी तरह, आधुनिक सिद्धांत - उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग सिद्धांत - मौलिक संस्थाओं (स्ट्रिंग्स) पर भरोसा करते हैं, बहुत छोटे (परमाणु नाभिक से एक अरब अरब गुना से अधिक छोटे), जिससे प्राथमिक कणों के सभी गुण प्राप्त होते हैं। तार - एक वायलिन स्ट्रिंग की तरह - कंपन और विभिन्न "टोन" को जन्म देते हैं, और सभी ज्ञात प्राथमिक कण केवल इन स्वरों को ग्रहण करते हैं।

ग्राज़ में अपने प्रवास के दौरान, केपलर को सुनहरे अनुपात में दिलचस्पी थी, जिसके कारण एक और दिलचस्प परिणाम सामने आया। अक्टूबर 1597 में, वैज्ञानिक ने उन्हें लिखा पूर्व शिक्षकनिम्नलिखित प्रमेय के बारे में मेस्टलिन: "यदि चरम और औसत अनुपात में विभाजित एक खंड पर एक समकोण त्रिभुज का निर्माण किया जाता है, ताकि समकोण पृथक्करण बिंदु पर खींचे गए लंब पर स्थित हो, तो छोटा पैर बड़े खंड के बराबर होगा विभाजित खंड का। इस प्रमेय के लिए चित्र अंजीर में दिखाया गया है। 61. खंड AB को सुनहरे खंड में बिंदु C से विभाजित किया गया है। केप्लर एक समकोण त्रिभुज की रचना करता है एशियाई विकास बैंककर्ण AB के साथ ताकि समकोण हो डीसुनहरे खंड बिंदु C से खींचे गए लंब पर स्थित है। फिर वह यह साबित करता है बी.डी(एक समकोण त्रिभुज का छोटा पैर) एसी के बराबर है (सुनहरे अनुपात में विभाजित एक खंड का लंबा खंड)। स्वर्ण खंड के उपयोग के अलावा, ऐसा त्रिभुज इस तथ्य के लिए भी उल्लेखनीय है कि 1855 में पिरामिड शोधकर्ता फ्रेडरिक रेबर ने पिरामिड के निर्माण में सुनहरे खंड के उपयोग का सुझाव देने वाले झूठे सिद्धांतों में से एक को साबित करते हुए इसका हवाला दिया। रेबर केपलर के कार्यों के बारे में नहीं जानते थे, लेकिन उन्होंने वास्तुकला में "ईश्वरीय अनुपात" की सबसे महत्वपूर्ण भूमिका के बारे में अपनी राय की पुष्टि करने के लिए एक समान निर्माण का उपयोग किया।

प्रकाशन " मिस्टीरियम कॉस्मोग्राफिकम"टाइको ब्राहे के साथ केप्लर के परिचित होने का कारण बना; सभा स्थल, जो 4 फरवरी, 1600 को हुआ था, प्राग था, उस समय पवित्र रोमन सम्राट का निवास था। इस बैठक के परिणामस्वरूप, उसी 1600 के अक्टूबर में, केपलर प्राग चले गए और टायको ब्राहे के सहायक बन गए (अपने लूथरन विश्वास के कारण, उन्हें कैथोलिक ग्राज़ छोड़ने के लिए मजबूर होना पड़ा)। 24 अक्टूबर, 1601 को ब्राहे की मृत्यु के बाद केपलर दरबारी गणितज्ञ बने।

टायको ने बहुत सारी टिप्पणियों को छोड़ दिया, विशेष रूप से मंगल ग्रह की कक्षा से संबंधित, और केपलर ने इन आंकड़ों पर भरोसा करते हुए, ग्रहों की गति के पहले दो कानूनों की खोज की, जिनका नाम उनके नाम पर रखा गया। केप्लर का पहला नियम बताता है कि सूर्य के चारों ओर ज्ञात ग्रहों की कक्षाएँ वृत्त नहीं हैं, लेकिन सूर्य के साथ दीर्घवृत्त हैं (चित्र 62; स्पष्टता के लिए, दीर्घवृत्त वास्तव में जितना है उससे कहीं अधिक विस्तारित है)। दीर्घवृत्त के दो बिंदु होते हैं, तथाकथित foci, जैसे कि दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु से दोनों नाभियों की दूरियों का योग हमेशा स्थिर होता है। केपलर के दूसरे नियम में कहा गया है कि एक ग्रह सूर्य के सबसे निकट होने पर सबसे तेज चलता है (इस बिंदु को उपसौर कहा जाता है) और सबसे दूर के बिंदु (अपसौर) पर सबसे धीमा होता है, ताकि ग्रह को सूर्य से मिलाने वाली रेखा बराबर क्षेत्र का वर्णन (व्यापक रूप से) करे समान अवधि के लिए (चित्र। 62)। केप्लर के नियम सत्य क्यों हैं, यह सवाल केप्लर द्वारा अपने कानूनों को प्रकाशित करने के लगभग सत्तर वर्षों के लिए विज्ञान का मुख्य अनसुलझा रहस्य था। इसहाक न्यूटन (1642-1727) की प्रतिभा ने यह निष्कर्ष निकाला कि ग्रह गुरुत्वाकर्षण द्वारा अपनी कक्षाओं में रखे जाते हैं। न्यूटन ने केपलर के नियमों को समीकरणों की मदद से समझाया, जहां पिंडों की गति का वर्णन करने वाले नियमों को सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के साथ जोड़ दिया गया। उन्होंने दिखाया कि चर गति वाली दीर्घवृत्तीय कक्षाएँ (केप्लर के नियमों के अनुसार) इन समीकरणों का एकमात्र संभव समाधान प्रदान करती हैं।

चावल। 61

चावल। 62
कई शोधकर्ताओं के अनुसार, मंगल ग्रह की कक्षा की गणना करने के लिए केप्लर के वीरतापूर्ण प्रयास (अंकगणितीय गणनाओं और उनकी व्याख्याओं की कई सैकड़ों शीट, जिसे उन्होंने खुद "मंगल के खिलाफ मेरा सैन्य अभियान" कहा था), आधुनिक विज्ञान के जन्म को चिह्नित करते हैं। विशेष रूप से, किसी बिंदु पर केपलर ने एक गोलाकार कक्षा की खोज की जो टायको ब्राहे के लगभग सभी अवलोकनों से मेल खाती थी। हालांकि, दो मामलों में इस कक्षा ने उन स्थितियों की भविष्यवाणी की जो टिप्पणियों से लगभग एक चौथाई कोणीय व्यास से भिन्न थीं पूर्णचंद्र. इसके बारे में, केपलर ने लिखा: "मुझे केवल यह मान लेना था कि हम इन आठ मिनटों [आर्क] की उपेक्षा कर सकते हैं और मैं इसी अध्याय 16 में अपनी परिकल्पना लिखूंगा। लेकिन चूंकि उनकी उपेक्षा करना असंभव है, यह पता चला है कि इन आठ मिनटों ने खगोल विज्ञान के पूर्ण सुधार का रास्ता दिखाया।

प्राग में केप्लर के वर्ष खगोल विज्ञान और गणित दोनों में फलदायी रहे। 1604 में, उन्होंने एक "नए" तारे की खोज की, जिसे अब केप्लर के सुपरनोवा के रूप में जाना जाता है। एक सुपरनोवा एक शक्तिशाली विस्फोट है जिसमें एक तारा, जिसका अंत निकट है, अपने बाहरी गोले गिराता है, जो एक ही समय में दसियों हज़ार किलोमीटर प्रति सेकंड की गति से चलते हैं। हमारी घरेलू आकाशगंगा मिल्की वे में, ऐसा प्रकोप, वैज्ञानिकों के अनुसार, औसतन हर सौ साल में एक बार होना चाहिए। दरअसल, टायको ब्राहे ने 1572 में एक सुपरनोवा (टाइको ब्राहे के सुपरनोवा) की खोज की और केपलर ने 1604 में अपनी खुद की खोज की। हालाँकि, तब से, अस्पष्ट कारणों से, मिल्की वे में कोई अन्य सुपरनोवा नहीं रहा है (सिवाय इसके कि, जाहिरा तौर पर, 1660 के दशक में टूट गया, लेकिन किसी का ध्यान नहीं गया)। खगोलविद मज़ाक करते हैं कि सुपरनोवा की इस अनुपस्थिति की सबसे अधिक संभावना इस तथ्य के कारण है कि टायको ब्राहे और केपलर के बाद कोई महान खगोलविद नहीं थे।

जून 2001 में, मैंने प्राग का दौरा किया, उस घर में जहां केप्लर रहता था, कार्लोवा स्ट्रीट पर, 4. अब यह एक व्यस्त शॉपिंग स्ट्रीट है, और नंबर 4 के ऊपर एक जंग लगी स्मारक पट्टिका है, जो कहती है कि केप्लर यहां 1605 से 1612 तक रहा, आसान अनदेखी करना। केप्लर के अपार्टमेंट के ठीक नीचे स्थित दुकान के मालिक को यह भी नहीं पता था कि इनमें से एक सबसे महान खगोलविदइतिहास में। सच है, सुनसान प्रांगण में केपलर के नाम के साथ एक छोटा सा शस्त्रागार क्षेत्र खड़ा है, और मेलबॉक्स के पास एक और पट्टिका लटकी हुई है। हालांकि, केपलर का अपार्टमेंट बिल्कुल भी चिह्नित नहीं है और जनता के लिए खुला नहीं है - अब यह सिर्फ एक आवासीय अपार्टमेंट है, जिसमें दुकानों के ऊपर ऊपरी मंजिलों पर कई हैं, और यह एक साधारण परिवार द्वारा कब्जा कर लिया गया है।

केपलर के गणितीय कार्यों ने सुनहरे खंड के इतिहास में कुछ उज्ज्वल स्पर्श जोड़े। केप्लर ने 1608 में लीपज़िग प्रोफेसर को लिखे एक पत्र के पाठ में, हम पाते हैं कि उन्होंने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध की खोज की। वह इस खोज को एक निबंध में भी बताता है जहां वह अध्ययन करता है कि बर्फ के टुकड़े छह-नुकीले आकार के क्यों होते हैं। केप्लर लिखते हैं:

दो नियमित ज्यामितीय पिंडों से - एक द्वादशफ़लक और एक आइकोसैहेड्रॉन ... ये दो नियमित बहुफलक और, वास्तव में, नियमित पंचकोण की संरचना स्वयं दैवीय अनुपात के बिना नहीं बनाई जा सकती, जैसा कि आधुनिक ज्यामिति इसे कहते हैं। इसे इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि प्रगति के दो छोटे सदस्य एक साथ मिलकर तीसरा बनाते हैं, और अंतिम दो, यदि जोड़े जाते हैं, तो उनके तुरंत बाद का निर्माण करते हैं, और इसी तरह एड इनफिनिटम, अगर इस अनुपात का उल्लंघन नहीं किया जाता है और जारी रखा जाता है ... हम पहले नंबर से जितना दूर जाते हैं, उदाहरण उतना ही सटीक होता जाता है। मान लीजिए सबसे छोटी संख्याएँ 1 और 1 हैं ... उन्हें जोड़ें और योग 2 होगा, इस संख्या को 1 के अंतिम में जोड़ें, आपको 3 मिलता है, इसमें 2 जोड़ें, आपको 5 मिलता है, तीन को जोड़ें, आपको 8 मिलता है; 5 से 8-13; 8 से 13-21। 5 से 8 और 8 से 13 दोनों लगभग हैं, और 8 से 13 और 13 से 21 दोनों लगभग हैं।
दूसरे शब्दों में, केपलर ने पाया कि उत्तरोत्तर फाइबोनैचि संख्याओं का अनुपात सुनहरे अनुपात में परिवर्तित हो जाता है। वास्तव में, उन्होंने फाइबोनैचि संख्याओं की एक और दिलचस्प संपत्ति की भी खोज की - कि अनुक्रम के किसी भी सदस्य का वर्ग अनुक्रम के दो पड़ोसी सदस्यों के उत्पाद से 1 से अधिक भिन्न नहीं होता है। उदाहरण के लिए, चूंकि फाइबोनैचि अनुक्रम 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... है, तो यदि हम 32 = 9 पर विचार करते हैं, तो 9 के दो सदस्यों के उत्पादों से केवल 1 भिन्न होता है 3: 2 × 5 = 10 से सटे क्रम। इसी तरह, 132 = 169 1 से 8 × 21 = 168, और इसी तरह अलग है। फाइबोनैचि संख्याओं की यह गुणवत्ता हमें एक अद्भुत विरोधाभास में लाती है जिसे पहली बार महान आविष्कारक द्वारा खोजा गया था। गणितीय पहेलियाँ, सैम लॉयड (1841-1911)।

अंजीर में भुजा 8 (क्षेत्रफल 82 = 64) के साथ एक वर्ग पर विचार करें। 63. अब इसे चिह्नित रेखाओं के साथ चार भागों में काट लें। इन चार टुकड़ों से आप 13 और 5 पक्षों के साथ एक आयत (चित्र 64) बना सकते हैं - अर्थात, 65 के क्षेत्रफल के साथ! अतिरिक्त वर्ग कहाँ से आया? इस विरोधाभास का उत्तर यह है कि पहेली के टुकड़े वास्तव में आयत के लंबे विकर्ण के साथ पूरी तरह से फिट नहीं होते हैं, बल्कि एक लंबा, संकीर्ण समांतर चतुर्भुज है जो अंजीर में लंबे विकर्ण का प्रतिनिधित्व करने वाली भारी रेखा के कारण दिखाई नहीं देता है। 64, और इसका क्षेत्रफल एक वर्ग इकाई के क्षेत्रफल के लिए पर्याप्त है। बेशक, 8 एक फाइबोनैचि संख्या है, और इसका वर्ग 82 = 64 दो आसन्न फाइबोनैचि संख्याओं (3 × 5 = 65) के गुणनफल से 1 भिन्न है: केप्लर द्वारा खोजी गई एक संपत्ति।

चावल। 63

चावल। 64
आपने शायद पहले ही ध्यान दिया होगा कि केप्लर सुनहरे अनुपात को "दैवीय अनुपात" कहते हैं, जैसा कि आधुनिक ज्यामिति इसे कहते हैं। केप्लर के सभी वैज्ञानिक अनुसंधान तर्कसंगत तर्क के साथ ईसाई विश्वासों के संयोजन से रंगीन हैं। केप्लर एक ईसाई प्रकृतिवादी थे और उन्होंने न केवल ब्रह्मांड की संरचना बल्कि इसके निर्माता के इरादों को भी समझना अपना कर्तव्य समझा। उन्होंने पाइथागोरस से अपनाई गई संख्या 5 के लिए एक मजबूत आकर्षण के प्रभाव में सौर मंडल के बारे में अपनी परिकल्पना का निर्माण किया और सुनहरे खंड के बारे में इस प्रकार लिखा:
इस अनुपात की ख़ासियत यह है कि पूरे और बड़े हिस्से से एक समान अनुपात बनाया जा सकता है, और जो बड़ा हिस्सा हुआ करता था वह अब छोटा हो जाता है, और जो पूरा हुआ करता था वह अब बड़ा हिस्सा बन जाता है, और योग उनके पास पूरे का अनुपात है। यह अनन्त तक चलता रहता है, और दैवीय अनुपात हमेशा बना रहता है। मेरा मानना ​​​​है कि इस ज्यामितीय अनुपात ने निर्माता के लिए एक विचार के रूप में कार्य किया जब उसने अपनी छवि और समानता में समान बनाया - और यह भी अनंत काल तक होता है। नंबर पांच मैं लगभग सभी फूलों में देखता हूं जो फल के लिए मार्ग प्रशस्त करते हैं, अर्थात् सृजन, और जो अपने लिए नहीं, बल्कि फलों के पालन के लिए मौजूद हैं। फलों के पेड़ों के लगभग सभी फूलों को यहाँ शामिल किया जा सकता है; नींबू और संतरे को शायद बाहर रखा जाना चाहिए, हालांकि मैंने उनके फूलों को नहीं देखा है और केवल फलों या जामुनों से न्याय किया है, जो पांच में नहीं, बल्कि सात, ग्यारह या नौ स्लाइस में विभाजित हैं। हालाँकि, ज्यामिति में संख्या पाँच का अवतार, यानी नियमित पेंटागन, ईश्वरीय अनुपात के माध्यम से बनाया गया है, जिसे मैं [संभावित रूप से] सृष्टि के प्रोटोटाइप पर विचार करना चाहूंगा। इसके अलावा, [यह] सूर्य की गति (या, जैसा कि मेरा मानना ​​​​है, पृथ्वी) और शुक्र के बीच भी देखा जाता है, जो 8 और 13 के अनुपात की उत्पादक शक्ति के चरम पर है, जिसे हम सुनेंगे , ईश्वरीय अनुपात के बहुत करीब आता है। अंत में, कोपरनिकस के अनुसार, पृथ्वी का गोला मंगल और शुक्र के क्षेत्रों के बीच में स्थित है। उनके बीच के अनुपात को द्वादशफलक और आइकोसैहेड्रोन से प्राप्त किया जा सकता है, दोनों ही ज्यामिति में दैवीय अनुपात से प्राप्त किए गए हैं - लेकिन निर्माण का कार्य हमारी पृथ्वी पर होता है।

आइए अब हम विचार करें कि कैसे पुरुष और स्त्री की छवियां दिव्य अनुपात से प्रवाहित होती हैं। मेरी राय में, पौधों का प्रजनन और जानवरों में जीनस की निरंतरता ज्यामितीय अनुपात के समान अनुपात में है, एक खंड के कुछ हिस्सों द्वारा व्यक्त अनुपात, या अंकगणितीय या संख्यात्मक रूप से व्यक्त अनुपात।

सीधे शब्दों में कहें, तो केपलर का ईमानदारी से मानना ​​था कि ब्रह्मांड बनाने के लिए सुनहरा अनुपात भगवान का मौलिक उपकरण था। इस परिच्छेद से यह भी पता चलता है कि केप्लर को पौधों की पंखुड़ियों की व्यवस्था में सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं की अभिव्यक्तियों के बारे में पता था।

प्राग में अपेक्षाकृत शांत और व्यावसायिक रूप से उत्पादक जीवन की अवधि 1611 में केपलर के लिए समाप्त हो गई, जब दुर्भाग्य की एक श्रृंखला उस पर आ पड़ी। सबसे पहले, उनके बेटे फ्रेडरिक की चेचक से मृत्यु हो गई, फिर उनकी पत्नी बारबरा ऑस्ट्रियाई आक्रमणकारियों द्वारा लाए गए एक संक्रामक बुखार से मर गईं। अंत में, सम्राट रुडोल्फ ने अपने भाई मथियास के पक्ष में त्याग दिया, जो प्रोटेस्टेंटों के प्रति असहिष्णु रवैये के लिए जाना जाता था। इसलिए, केप्लर को आधुनिक ऑस्ट्रिया के क्षेत्र में लिंज़ जाने के लिए मजबूर होना पड़ा।

लिंज़ में निर्मित केप्लर के काम की परिणति 1619 में ब्रह्माण्ड विज्ञान पर उनके दूसरे प्रमुख काम का प्रकाशन था - " हार्मोनिस मुंडी"(" विश्व सद्भाव ")।

याद रखें कि पाइथागोरस और पाइथागोरस के लिए, संगीत और सामंजस्य इस तथ्य के पक्ष में पहला तर्क था कि ब्रह्मांडीय घटनाओं को गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। व्यंजन स्वर केवल उन तारों को उत्पन्न करते हैं जिनकी लंबाई साधारण अंशों के अनुरूप होती है। अनुपात 2:3 पांचवें की तरह लग रहा था, 3: 4 चौथे की तरह, आदि। यह माना जाता था कि ग्रहों की एक समान हार्मोनिक व्यवस्था भी "गोले के संगीत" को जन्म देती है। गैलीलियो के पिता गैलीली विन्सेंज़ो की लगभग पूरी किताब, प्राचीन और आधुनिक संगीत पर संवाद पढ़ने के बाद, केप्लर इस अवधारणा से अच्छी तरह वाकिफ थे, हालाँकि वे विन्सेन्ज़ो के कुछ विचारों से सहमत नहीं थे। चूंकि उन्हें भी यकीन हो गया था कि उन्होंने एक व्यापक मॉडल तैयार कर लिया है सौर परिवार, मैं विभिन्न ग्रहों के लिए छोटे "मकसदों" की गणना करने में भी सक्षम था (चित्र 65)।

चावल। 65
चूंकि केप्लर को यकीन था कि "चीजों की शुरुआत से पहले भी, ज्यामिति दैवीय मन के रूप में शाश्वत थी," विश्व की सद्भावना अधिकांश भाग के लिए ज्यामिति के लिए समर्पित थी। इस काम का एक पहलू स्वर्ण खंड के इतिहास के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण था - मेरा मतलब है कि ज्यामितीय लकड़ी के क्षेत्र में केप्लर का शोध।

ज्यामिति में लकड़ी की छत एक पैटर्न या संरचना है जिसमें एक या एक से अधिक आकृतियों की "टाइलें" होती हैं जो पूरी तरह से विमान को कवर करती हैं, कोई अंतराल नहीं छोड़ती हैं - फर्श पर टाइलों की पच्चीकारी की तरह। अध्याय 8 में, हम देखेंगे कि इस तरह के परकेट्स में दिखाई देने वाली कुछ गणितीय अवधारणाएँ सुनहरे अनुपात से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। यद्यपि केप्लर लकड़ी की छत की सभी गणितीय पेचीदगियों के बारे में नहीं जानता था, विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के बीच संबंधों में उनकी रुचि और नियमित पेंटागन की पूजा, जो सबसे स्पष्ट रूप से दिव्य अनुपात का प्रतीक है, ने उन्हें लकड़ी की छत पर एक दिलचस्प काम बनाने की अनुमति दी। केप्लर विशेष रूप से ज्यामितीय आकृतियों और पॉलीहेड्रा और बहुभुज जैसे पिंडों की सर्वांगसमता ("एक दूसरे के लिए फिटिंग") में रुचि रखते थे। अंजीर पर। 66 विश्व के सद्भाव से एक उदाहरण दिखाता है। यह लकड़ी का पैटर्न चार आकृतियों से बना है - और ये सभी सुनहरे अनुपात से संबंधित हैं: ये नियमित पेंटागन, पेंटाग्राम, डेकागन और डबल डेकागन हैं। केप्लर के लिए, यह "सद्भाव" का अवतार है, क्योंकि ग्रीक में इस शब्द का अर्थ है "एक दूसरे के अनुरूप।"

चावल। 66
दिलचस्प बात यह है कि केपलर से पहले, दो और लोगों ने लकड़ियों में दिलचस्पी दिखाई, जिन्होंने स्वर्ण खंड के इतिहास में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाई (और हमारी पुस्तक के पन्नों पर पहले ही उल्लेख किया गया है): ये अबू-एल-वफ़ा और कलाकार हैं अल्ब्रेक्ट ड्यूरर। दोनों ने पांच-बीम समरूपता वाले आंकड़ों के पैटर्न पर विचार किया (ड्यूरर के रेखाचित्रों का एक उदाहरण चित्र 67 में दिखाया गया है)।

चावल। 67
"हार्मनी ऑफ द वर्ल्ड" की पांचवीं पुस्तक में केपलर के खगोलीय अनुसंधान का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम है - ग्रहों की गति का तीसरा नियम। यहाँ विभिन्न ग्रहों की कक्षाओं के आकार और सूर्य के चारों ओर उनकी परिक्रमा की अवधि के बारे में उनके सभी दर्दनाक विचार पूरी तरह से व्यक्त किए गए थे। पच्चीस वर्षों के कार्य को एक अत्यंत सरल नियम में केंद्रित किया गया है: सूर्य के चारों ओर ग्रहों की परिक्रमा की अवधि के वर्गों को ग्रहों की कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्षों के घनों के रूप में संबंधित किया जाता है, और यह अनुपात वही है सभी ग्रहों के लिए (अर्ध-प्रमुख अक्ष दीर्घवृत्त का आधा लंबा अक्ष है, चित्र देखें। 62)। केप्लर ने इस मौलिक कानून की खोज की, जिसने न्यूटन के लिए सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को तैयार करने के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया, जब द हार्मनी ऑफ द वर्ल्ड पहले से ही प्रिंट में था। अपने उल्लास पर लगाम लगाने में असमर्थ, वैज्ञानिक ने घोषणा की: "मैंने मिस्र से दूर अपने भगवान के लिए एक वेदी बनाने के लिए मिस्रियों के सोने के बर्तन चुरा लिए।" सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से कानून का सार स्वाभाविक रूप से अनुसरण करता है: गुरुत्वाकर्षण बल अधिक होता है, ग्रह सूर्य के जितना करीब होता है, यही कारण है कि जो ग्रह इसके करीब होते हैं उन्हें तेजी से घूमने के लिए मजबूर किया जाता है, अन्यथा वे गिर जाएंगे धूप मै।

चावल। 68
1626 में, केप्लर उल्म चले गए और वहां रूडोल्फ टेबल्स को पूरा किया, उस समय इतिहास में सबसे विस्तृत और सटीक खगोलीय टेबल। जब मैं जून 2001 में वियना विश्वविद्यालय में था, तो मुझे वेधशाला के पुस्तकालय में संग्रहीत तालिकाओं का पहला संस्करण दिखाया गया था (147 प्रतियाँ आज तक बची हुई हैं)। पुस्तक का अग्रभाग (चित्र। 68) खगोल विज्ञान के इतिहास को प्रतीकात्मक रूप से दर्शाता है, और निचले बाएँ कोने में, शायद, केपलर का एकमात्र स्व-चित्र है (चित्र। 69)। यह केपलर को अपने प्रमुख प्रकाशनों को सूचीबद्ध करने वाले एक विगनेट के तहत मोमबत्ती की रोशनी में काम करते हुए दिखाता है।

चावल। 69
केप्लर की मृत्यु 15 नवंबर, 1630 को दोपहर में हुई और उसे रेगेन्सबर्ग में दफनाया गया। मृत्यु के बाद भी भाग्य ने उसे अकेला नहीं छोड़ा, जैसे कि एक अशांत जीवन पर्याप्त नहीं था: युद्धों ने उसकी कब्र को पृथ्वी के चेहरे से मिटा दिया। सौभाग्य से, केप्लर के एक मित्र द्वारा बनाए गए मकबरे के एक स्केच को संरक्षित किया गया है, और इस पर वैज्ञानिक के लिए एक एपिटैफ़ भी है:
मैंने आकाश को नापा, अब मैं पृथ्वी की छाया को मापता हूं।

मेरी आत्मा स्वर्ग में रहती थी, परन्तु यहाँ शरीर की छाया पड़ी है।
आज केपलर जैसे मौलिक और विपुल वैज्ञानिक की कल्पना करना शायद असंभव है। यह समझा जाना चाहिए कि इस आदमी के लिए अकल्पनीय पीड़ा गिर गई: विशेष रूप से, 1617-1618 में, उसने छह महीने से भी कम समय में तीन बच्चों को खो दिया। शायद अंग्रेजी कवि जॉन डोने (1572-1631) ने अपने पैम्फलेट इग्नाटियस एंड हिज़ कॉन्क्लेव में इसे सबसे अच्छा कहा: केपलर ने "यह देखना अपना कर्तव्य बना लिया कि स्वर्ग में उनकी जानकारी के बिना कुछ भी नया नहीं हुआ।"