फ्रैक्टल ड्राइंग कला चिकित्सा के तरीकों में से एक है, जो एक बच्चे और एक वयस्क दोनों के लिए मनो-भावनात्मक और व्यक्तिगत स्थिति के सुधार और सामंजस्य के लिए सबसे सुलभ और प्रभावी है। यह के बीच संबंध पर आधारित है फ़ाइन मोटर स्किल्सव्यक्ति और उसका मानसिक स्थिति... फ्रैक्टल ड्राइंग विधि का प्रयोग किया जाता है व्यक्तिगत कामएक बच्चे (या एक वयस्क) के साथ मनो-भावनात्मक स्थिति के विकारों को ठीक करने के लिए - हानि की भावना का अनुभव करना, अनुकूलन अवधि, चिंता, तनाव, थकान से राहत।

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फ्रैक्टल ड्राइंग कला चिकित्सा के तरीकों में से एक है, जो एक बच्चे और एक वयस्क दोनों के लिए मनो-भावनात्मक और व्यक्तिगत स्थिति के सुधार और सामंजस्य के लिए सबसे सुलभ और प्रभावी है। बी मंडेलब्रॉट के वैज्ञानिक और अनुप्रयुक्त अनुसंधान के आधार पर फ्रैक्टल ड्राइंग विधि को 1991 में टी। जेड पॉलीयुयाख्तोवा द्वारा विकसित किया गया था,

ई. फैंडिश, एम. लुशेरा। यह किसी व्यक्ति के ठीक मोटर कौशल और उसकी मानसिक स्थिति के बीच संबंध पर आधारित है, क्योंकि चित्र मन और शरीर की स्थिति के बारे में जानकारी रखता है।

भावनात्मक स्थिति को ठीक करने के लिए फ्रैक्टल पेंटिंग का उपयोग करना

मनो-भावनात्मक स्थिति के विकारों को ठीक करने के लिए एक बच्चे (या एक वयस्क) के साथ व्यक्तिगत काम में फ्रैक्टल ड्राइंग विधि का उपयोग किया जा सकता है - हानि की भावना का अनुभव, अनुकूलन अवधि, चिंता, तनाव, थकान से राहत।

भग्न ( लैट फ्रैक्टस - कुचला हुआ, टूटा हुआ, बिखरा हुआ) "स्व-समानता" की संपत्ति के साथ एक जटिल ज्यामितीय आकृति है, जो कि कई भागों से बना है, जिनमें से प्रत्येक समग्र रूप से संपूर्ण आकृति के समान है।

बच्चों के साथ काम करने में तकनीक के उपयोग के लिए एक सापेक्ष contraindication पूर्वस्कूली उम्रन्यूनतम सेरेब्रल डिसफंक्शन (MMD) की उपस्थिति है। सक्रिय और प्रतिक्रियाशील प्रकार के एमएमडी वाले बच्चों के लिए लंबे समय तक एक काम करना बहुत मुश्किल होता है। समय के साथ कई "खिड़कियों" का रंग उन्हें परेशान करना शुरू कर देता है, कार्य को पूरा करने में रुचि जल्दी से कम हो जाती है, और विचलितता बढ़ जाती है (ये प्रक्रिया तब तक विकसित नहीं हो सकती जब तक कि मस्तिष्क सामान्य नहीं हो जाता)।

सुधारात्मक (या कार्यात्मक) चित्र सचेत रूप से किए जाते हैं, रेखाएँ बंद आँखों से खींची जाती हैं, फिर परीक्षण चित्र का विश्लेषण किया जाता है, समस्या को स्पष्ट किया जाता है और इसके समाधान के लिए एक तंत्र विकसित किया जाता है, रंग के लिए रंग का एक अनिवार्य विकल्प होता है।

2-3 सप्ताह के भीतर 21 रेखाचित्रों का अनिवार्य निष्पादन।

समस्या की गंभीरता को दूर करने के लिए, संकेतित स्थान के रंग को धीरे-धीरे संबंधित मध्य कोशिकाओं में फैलाने की सिफारिश की जाती है। और फिर अवांछित रंग वाली कोशिकाओं को केंद्र से चित्र की परिधि तक ले जाएं। उदाहरण के लिए, आप नीले, सियान, हरे, और . के संयोजन का उपयोग कर सकते हैं नारंगी फूल(कभी-कभी गुलाबी), जो समस्या के विकास और समाधान के लिए सकारात्मक गतिशीलता देता है।

समूह कार्य में फ्रैक्टल विधि का उपयोग करना

एक टीम (बच्चों और वयस्कों), संगतता समस्याओं, मनोवैज्ञानिक जलवायु में संबंधों का अध्ययन करने के लिए फ्रैक्टल ड्राइंग का उपयोग किया जा सकता है।

संगीत चिकित्सा के साथ संयोजन में फ्रैक्टल पेंटिंग विधि का उपयोग भारी कार्यभार की अवधि के दौरान तनाव और थकान को दूर करने के लिए स्वास्थ्य-संरक्षण तकनीक के रूप में किया जा सकता है।

परिशिष्ट 1

फ्रैक्टल ड्राइंग विधि

लक्ष्य: वयस्कों और बच्चों (5 वर्ष और अधिक) की मनो-भावनात्मक और शारीरिक स्थिति का निदान और सुधार।

संचालन का रूप... पुराने पूर्वस्कूली उम्र के बच्चों के साथ, वयस्कों के साथ - व्यक्तिगत और समूह दोनों रूपों में आचरण के एक व्यक्तिगत रूप की सिफारिश की जाती है।

आवश्यक सामग्री: रंगीन पेंसिल (महसूस-टिप पेन) का एक सेट जितना संभव हो उतने रंग के रंग, कागज की एक शीट (ए 4)।

पहली (परीक्षण) ड्राइंग के लिए निर्देश

बच्चे के लिए निर्देश

हम जादू के पैटर्न पेंट करेंगे। मैंने कागज और पेंसिल तैयार की (पूर्वस्कूली बच्चों के लिए पेंसिल का उपयोग करना बेहतर है).

शीट को क्षैतिज रूप से बिछाएं।

एक पेंसिल लें और उसे शीट पर कहीं भी रख दें।

अब आप अपनी आंखें बंद कर लें, मैं समय निकाल दूंगा, और आप एक सतत रेखा खींचना शुरू कर देंगे, जितना संभव हो सके शीट को भरने की कोशिश कर रहे हैं। रेखा स्पष्ट, अच्छी तरह से खींची जानी चाहिए। शांति से ड्रा करें, परिचित आकृतियों (घरों, पेड़ों, फूलों) को चित्रित न करें। सब साफ़? तो चलिए ड्राइंग शुरू करते हैं। (व्यक्तिगत विशेषताओं, ड्राइंग गति के आधार पर, ड्राइंग के लिए 30-45 सेकंड आवंटित किए जाते हैं)।

अपनी आँखें खोलो। आपके पास कितना दिलचस्प पैटर्न है, आपके ड्राइंग में कितनी अलग-अलग खिड़कियां हैं: गोल, चौकोर। सफेद पृष्ठभूमि को खाली छोड़ दें। लाइन की शुरुआत और अंत को संक्षेप में या निकटतम बिंदु तक गोल किया जाएगा।

अब देखो मेरे पास कितनी पेंसिलें हैं। अब हम अपनी खिड़कियों पर पेंट करेंगे। बंद आँखों से पेंसिल चुनना आवश्यक है।

एक लाइन द्वारा अलग की गई पड़ोसी विंडो को एक ही रंग से नहीं भरा जा सकता है। (अगर हाथ में एक ही रंग की पेंसिल आती है, तो कम से कम एक खिड़की को पेंट करना चाहिए। रंग समय असीमित है)।

ध्यान दें। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 5-6 वर्ष के बच्चे केवल बड़ी कोशिकाएं खींचते हैं। जो बच्चे आत्मविश्वासी नहीं हैं, "दलित" हैं या जो अच्छी तरह से अध्ययन नहीं करते हैं, एक नियम के रूप में, पर्याप्त बड़ी कोशिकाओं को खींचते हैं और उन पर ढीले रंग से पेंट करते हैं।

वयस्क निर्देश

कृपया बैठ जाइए, क्योंकि यह आपके लिए सुविधाजनक है। मेरे पास कागज, पेंसिल, मार्कर, रंगीन पेन हैं।

पेन की बॉल को शीट पर कहीं भी रखें। हम अपनी आँखें बंद करके एक सतत रेखा खींचेंगे, जितना हो सके शीट को भरने की कोशिश करें। हम 45-60 सेकंड के लिए पेंट करेंगे। रेखा स्पष्ट होनी चाहिए। संभाल की गति औसत है। बहुत सारे क्षैतिज, लंबवत और विकर्ण चौराहों के साथ ड्रा करें। हम गोलाकार, अंडाकार और अन्य आंदोलनों को करते हैं जो समान होते हैं ज्यामितीय आंकड़े... गोलाकार, लूप-आकार, 8-आकार और ज्यामितीय आकृतियों की बार-बार पुनरावृत्ति से बचने का प्रयास करें। अपनी आँखें बंद करें। हम पेंट करने लगे।

तस्वीर की सफेद पृष्ठभूमि को पूरी तरह से साफ रखना चाहिए। लाइन की शुरुआत और अंत को निकटतम चौराहे के बिंदु पर लाया या गोल किया जाना चाहिए।

अब आप अपने चित्र में रंग भरेंगे। पेंसिल को केवल बंद आँखों से ही लेना चाहिए। याद रखें कि एक पंक्ति द्वारा अलग की गई आसन्न कोशिकाओं को एक ही रंग से नहीं भरा जा सकता है। यदि कोशिकाएं केवल तिरछे स्पर्श करती हैं तो उन्हें भरा जा सकता है। (आप एक रंग से 1 से 10-15 कोशिकाओं तक पेंट कर सकते हैं। (अगर हाथ में एक ही रंग की पेंसिल आती है, तो कम से कम एक सेल को पेंट किया जाना चाहिए। केवल सबसे छोटी कोशिकाओं को पेन से पेंट करें।).

♦(पेंटिंग के अंत में, ड्राइंग प्रक्रिया में ग्राहक की भावनात्मक स्थिति की चर्चा करना आवश्यक है).

परिशिष्ट 2

तस्वीर के विश्लेषण में नैदानिक ​​​​मानदंड

रेखाओं की प्रकृति

स्पष्ट रूप से खींची गई रेखाएं आत्मविश्वास, ठोस चरित्र, उद्देश्यपूर्णता, स्वतंत्रता, सटीकता की बात करती हैं।

हर जगह एक ही दबाव नहीं होता है जब रेखा खींचते समय एक रचनात्मक व्यक्ति को लचीला चरित्र, भावनात्मक रूप से लचीला, कभी-कभी आत्मविश्वासी नहीं होता है।

बेहोशी से खींची गई रेखाएं एक दर्दनाक स्थिति की "बोलती हैं", आत्मविश्वास की उल्लेखनीय कमी।

भावनात्मक तनाव और तनाव की स्थिति में व्यक्ति में तीक्ष्ण, कोणीय रूप से खींची गई रेखाएं देखी जाती हैं।

चिकनी संक्रमण वाली रेखाएं एक सामंजस्यपूर्ण, स्थिर स्थिति का संकेत देती हैं।

एक संकेंद्रित वृत्त में रेखाओं की व्यवस्था या चित्र में वृत्ताकार दोहराव जुनूनी अवस्थाओं, न्यूरोसिस की प्रवृत्ति के साथ देखा जाता है।

चित्र का आकार और विन्यास

कम आत्म-सम्मान वाले, आत्म-केंद्रितता की प्रवृत्ति वाले लोगों में एक छोटा चित्र (शीट क्षेत्र का 1/3 से अधिक नहीं) पाया जाता है।

चित्र का औसत आकार (शीट क्षेत्र का लगभग 2/3) संतुलित चरित्र का सूचक है।

बड़ी ड्राइंग (पत्ती क्षेत्र के 2/3 से अधिक) - एक अस्थिर भावनात्मक स्थिति को इंगित करता है, कुछ मामलों में - एकाग्रता में अस्थिरता।

पैटर्न परिधि का आयताकार आकार सीधा लोगों में देखा जाता है, जिनमें अक्सर एक जटिल चरित्र होता है।

● परिधि के चारों ओर विचित्र रूप से व्यक्त "पूंछ" के साथ चित्र - एक उज्ज्वल व्यक्तित्व, विलक्षणता का प्रतिबिंब, कुछ मामलों में, चरित्र की अस्थिरता।

सेल विन्यास और आकार

भग्न चित्रण में कोशिकाएं

आकार से (बड़ा, मध्यम, छोटा);

आकार में (त्रिकोणीय, लूप के आकार का, गोल, लम्बा)।

चित्र के पूरे क्षेत्र पर कोशिकाओं के आकार का सामंजस्यपूर्ण संयोजन (1/3 बड़ा, 1/3 मध्यम, 1/3 छोटा) आत्मविश्वास, समर्पण, स्थिरता की बात करता है।

बड़ी संख्या में बड़ी कोशिकाएँ दयालु, खुली प्रकृति के चित्रों में पाई जाती हैं;

मध्य कोशिकाएं - कार्यकारी, साफ-सुथरे, कभी-कभी पांडित्यपूर्ण लोग, कुछ मामलों में खुद के बारे में अनिश्चित, लेकिन हमेशा साफ-सुथरे और मेहनती।

वृत्ताकार आकृतियों की अधिकता पुरानी न्यूरोसिस की प्रवृत्ति और जुनूनी अवस्थाओं की उपस्थिति को इंगित करती है; लूप जैसी रेखाएं - किसी व्यक्ति के लूपिंग के बारे में।

कम संख्या में ज्यामितीय आकृतियों वाली चिकनी, गोल कोशिकाओं को रचनात्मकता के प्रति झुकाव वाले उचित, शांत लोगों में देखा जाता है।

बड़ी संख्या में ज्यामितीय आंकड़े विश्लेषण के प्रति एक स्पष्ट झुकाव, आकलन में संदेह, एक सीधा सत्तावादी चरित्र और व्यावसायिक गुणों की उपस्थिति की बात करते हैं।

स्पष्ट रूप से उल्लिखित, कोणीय, असमान कोशिकाएं भावनात्मक अस्थिरता, जलन, तनाव का संकेत देती हैं।

दाग

एक बड़ा काला धब्बा थकान, तनाव का संकेत देता है।

बड़ा काला धब्बा एक गंभीर व्यक्तिगत समस्या का प्रतीक है।

बड़ी लाल कोशिकाएं जुनूनी राज्यों, चिंता के लिए एक प्रवृत्ति का संकेत देती हैं।

मध्यम आकार के लाल धब्बों की ध्यान देने योग्य संख्या तनाव, भावनाओं की अस्थिरता का सूचक है।

एक या एक से अधिक बड़ी भूरी कोशिकाएँ पारस्परिक संबंधों की लंबे समय से चली आ रही समस्याएँ हैं।

स्व-विनियमन की प्राकृतिक क्षमता वाले लोगों के चित्र में बड़ी संख्या में हरे रंग के रंग देखे जाते हैं।

एक या अधिक बड़ेबैंगनी कोशिकाएं- चिंता, आक्रामकता, तीव्र तनाव का एक मार्कर।

रंग

स्वच्छ, बिना धब्बे और धब्बे के, तस्वीर की सफेद पृष्ठभूमि - ध्यान की उच्च एकाग्रता, परिश्रम।

जानबूझकर खाली सफेद कोशिकाएं प्राकृतिक क्षमताओं के अपर्याप्त उपयोग का सूचक हैं।

कोशिकाओं की बड़ी संख्यापीला रंग : जिज्ञासा, स्वतंत्र, आत्मनिर्भर, मध्यम व्यर्थ।

हरा रंग : आत्म-सुधार के प्राकृतिक गुण, व्यावहारिक, भावनात्मक रूप से उत्तरदायी, वार्ताकार को सुनने और समझने में सक्षम।

घास हरा (मार्शो के करीब)): महान शारीरिक सहनशक्ति।

संयोजन: हरा + पीला = संवेदनशीलता में वृद्धि;

हरा + पीला + नीला = सामाजिकता, आंतरिक सद्भाव।

नीला रंग: शांति, स्थिरता के लिए प्रयास, संतुलन।

गहरा नीला (प्रधानता)): तनावपूर्ण भावनात्मक स्थिति, अवसाद में बदलना।

नीला + लाल, भूरा, काला= भावनात्मक वातावरण की नाखुशी जिसमें एक व्यक्ति है।

नीले रंग का सामंजस्यपूर्ण संयोजन+ नीला + हरा + नारंगी = विकास की सकारात्मक गतिशीलता देता है, किसी व्यक्ति के जीवन में दीर्घकालिक समस्या की संभावना। इस संयोजन का उपयोग अक्सर सुधार के दौरान किया जाता है।

नीला रंग: एक व्यक्ति अपने परिवार से प्यार करता है, सहवास, आराम की सराहना करता है; बड़ी संख्या में कोशिकाएं - स्पर्शशीलता, भेद्यता।

बैंगनी रंग : अक्सर सकारात्मक, संवाद करने में आसान; बड़ी राशि - सम्मान चाहने वाला घमंड; बच्चों और किशोरों के लिए आम।

बैंगनी : वर्कहोलिक्स, आत्म-अभिव्यक्ति महत्वपूर्ण है।

बैंगनी रंग: "उन्माद" बेकाबू ऊर्जा की उपस्थिति, आक्रामकता (मौखिक या शारीरिक) की अभिव्यक्ति, अक्सर बेकाबू।

लाल रंग: अलार्म का रंग। यदि चित्र में यह रंग बहुत अधिक है, तो यह संकट का संकेत है, लेखक अत्यंत अस्थिर, असंतुलित अवस्था में है। यदि लाल धब्बे मध्यम आकार के हैं और उनमें से कई हैं, तो यह एक अस्थिर मनो-भावनात्मक स्थिति, एक दमनकारी मनोदशा का संकेत है। आमतौर पर ये वर्तमान समस्याएं और परेशानियां हैं, हालांकि, अगर तस्वीर की सामान्य पृष्ठभूमि अंधेरा है, तो यह इंगित करता है कि व्यक्ति को स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता नहीं पता है। यदि अन्य रंगों के साथ व्यवस्थित रूप से जुड़ा हुआ है - एक काफी सामंजस्यपूर्ण व्यक्ति, गतिशील रूप से विकसित होने वाला, स्थिर जीवन वातावरण वाला।

गुलाबी रंग: गर्म ऊर्जा का रंग, अधिकता ध्यान की कमी को इंगित करता है। ऐसे बच्चे को देखभाल, ध्यान, स्नेह की आवश्यकता होती है। सुधार प्रक्रिया (भावनात्मक समर्थन रंग) में गुलाबी का चिकित्सीय प्रभाव होता है।

क्रिमसन + स्कारलेट = चिंता, भावनात्मक स्थिति का तनाव, एक समस्या की उपस्थिति। क्रिमसन रंग आवेग और अप्रत्याशितता की बात करता है। जब एक सामंजस्यपूर्ण मानदंड में, यह प्रगति और समर्पण की लालसा को व्यक्त करता है।

मोटी बरगंडी, चेरी:ताकत का रंग, आक्रामक ऊर्जा।

नारंगी रंग: महत्वपूर्ण ऊर्जा। मध्य कोशिकाएं - लेखक बहुत हंसमुख है। यदि अधिक (बड़ी कोशिकाएं या बहुत सारे माध्यम वाले), तो यह किसी व्यक्ति की स्पष्ट कार्रवाई करने में असमर्थता और परिसरों की उपस्थिति का संकेत है।चित्र में इस रंग की अनुपस्थिति जीवन शक्ति में गिरावट का संकेत देती है।

रेतीला सुनहरा रंग:पवित्र ऊर्जा का रंग आध्यात्मिक धन और आध्यात्मिक विस्तार का प्रतीक है।

गहरा भूरा रंग:यह तर्क दिया जा सकता है कि एक व्यक्ति के पास एक गहरी छिपी हुई समस्या है, जिसे उसने इस्तीफा दे दिया और (उसकी राय में) वह सामना नहीं कर सकता।गहरा भूरा +लाल + गहरा लाल + बैंगनी + काला = एक गंभीर समस्या का संकेत, गंभीर स्थिति (विशेषकर बच्चों में)।

ग्रे रंग: एक राज्य से दूसरे राज्य में संक्रमण का रंग। डोमिनेंट एक सीमा रेखा की स्थिति, बेचैनी की भावना, भावनात्मक अस्थिरता और आत्म-संदेह का संकेत है।

एक व्यक्ति जो बड़ी कोशिकाओं को ग्रे रंग से रंगता है, उसे अत्यधिक ध्यान देने की आवश्यकता होती है (संभवतः एक डॉक्टर)।छोटे स्टील के रंग की कोशिकाएँ वर्तमान में ठोस परिवर्तन का प्रतीक हैं।

काला रंग: यदि बहुत छोटी कोशिकाओं को चित्रित किया जाता है, तो लेखक पहल, सक्रिय, गतिशील होता है। बड़ी संख्या में मध्यम और बड़ी कोशिकाओं का कहना है कि व्यक्ति मानसिक और शारीरिक रूप से जल्दी थक जाता है। यह पैटर्न पेशेवर बर्नआउट की स्थिति में लोगों के चित्र में देखा जाता है।

चित्रों की रंग सामग्री (रंग संयोजनों सहित) की अधिक पूर्ण और सटीक व्याख्या के लिए, आप "प्रोजेक्टिव पेंटिंग और आर्ट थेरेपी में संकेतों और व्याख्याओं का विश्वकोश" का उपयोग कर सकते हैं।

लेबेदेवा एल.डी., निकोनोरोवा यू.वी., तारकानोवा एन.ए. प्रोजेक्टिव ड्रॉइंग एंड आर्ट थेरेपी में संकेतों और व्याख्याओं का विश्वकोश।-पीबी: रेच, 2002।

राज्य के बजटीय शिक्षण संस्थान

समारा क्षेत्र माध्यमिक विद्यालय संख्या 6

शहर जिला ओट्राडनी, समारा क्षेत्र

संरचनात्मक उपखंड " बाल विहारनंबर 8 "

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मनो-भावनात्मक स्थिति के निदान और सुधार के लिए एक उपकरण के रूप में फ्रैक्टल ड्राइंग

शिक्षक-मनोवैज्ञानिक

फ़िलिपोवा ई.ए.

फ्रैक्टल्स ऐसी संरचनाएं हैं जो अराजकता सिद्धांत के समीकरणों से उत्पन्न होती हैं और उनकी अपनी कम प्रतियां (स्व-समानता) होती हैं। यानी यदि आप इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको लगभग एक समान लघुचित्र मिलता है।

फ्रैक्टल्स की खूबी यह है कि उनकी "अनंत" जटिलता अपेक्षाकृत सरल रेखाओं से बनती है। इनकी पुनरावृत्ति सुंदर और अद्वितीय पैटर्न बनाती है।

वायर्ड पत्रिका ने हमारे ग्रह पर पाए जाने वाले सबसे प्रभावशाली भग्नों को संकलित किया

नमक के मैदान

सैन फ़्रांसिस्को बे साल्ट फ़्लैट्स का उपयोग व्यावसायिक नमक उत्पादन के लिए एक सदी से भी अधिक समय से किया जा रहा है। नीचे दुनिया के सबसे बड़े नमक के मैदान की एक तस्वीर है, दक्षिणी बोलीविया में स्थित उयूनी साल्ट फ्लैट्स। नमक आश्चर्यजनक रूप से सुसंगत लेकिन यादृच्छिक पैटर्न बनाता है, भग्न की एक विशेषता।

Ammonites

65 मिलियन वर्ष पहले, अम्मोनी समुद्री सेफलोपोड थे जो कक्षीय सर्पिल गोले बनाते थे। कक्षों के बीच की दीवारें, जिन्हें सीम कहा जाता है, जटिल पुनरावर्ती वक्र हैं। स्टीफन जे गोल्ड ने उदाहरण के रूप में अम्मोनी सीमों की जटिलता का हवाला दिया कि कोई विकासवादी तेजी से जटिल पैटर्न नहीं है, और यह कि हम ब्रह्मांड में अकेले "शानदार दुर्घटना" हैं। अम्मोनाइट के गोले भी एक लघुगणकीय सर्पिल प्रदर्शित करते हैं जो प्रकृति में अक्सर होता है।

Ammonites

बार्सिलोना, स्पेन में कैथेड्रल सीढ़ी के निर्माण के लिए अम्मोनी प्रेरणा थे।

पहाड़ों

पहाड़ों

पर्वत पृथ्वी की पपड़ी को ऊपर की ओर धकेलने वाली विवर्तनिक प्रक्रियाओं का परिणाम हैं। परिणाम एक भग्न है।

फर्न्स

फ़र्न एक स्व-दोहराई जाने वाली पंक्ति का एक विशिष्ट उदाहरण है और उनके पैटर्न को गणितीय रूप से किसी भी पैमाने पर पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है। माइकल बार्न्सले के नाम पर फ़र्न का वर्णन करने वाला गणितीय सूत्र, यह इंगित करने वाले पहले लोगों में से एक था, जबकि अराजकता अप्रत्याशित है, यह अभी भी नॉनलाइनियर दोहराए जाने वाले समीकरणों के आधार पर कुछ नियमों का पालन करता है। दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक संख्याबार्न्सले फ़र्न सूत्र का उपयोग करके कई बार पुनरुत्पादित किया गया, अंततः फ़र्न के आकार में एक अनूठी वस्तु प्रस्तुत करता है।

बादलों

इन स्ट्रैटस बादलों को एक्वा उपग्रह द्वारा अफ्रीकी तट के दक्षिण अटलांटिक पश्चिम में रिकॉर्ड किया गया था। पुनरावर्ती पैटर्न विकर्ण इंडेंटेशन की एक श्रृंखला से बाधित होता है। नासा की अर्थ ऑब्जर्वेटरी के मुताबिक, बादल के भीतर इतनी स्पष्ट सीमा काफी दुर्लभ है। वैज्ञानिकों ने अभी तक इसकी व्याख्या नहीं की है।

बादलों

नीचे दिखाया गया है 320 किमी के भंवर बादल, यकीनन अब तक का सबसे लंबा पुनरावर्ती पैटर्न, नासा का दावा है। इंजीनियर और वैमानिकी विशेषज्ञ के बाद उन्हें वॉन कर्मन भंवर सड़कें भी कहा जाता है। बादल वाली सड़कें तब बनती हैं जब किसी वस्तु से कम बादल फटते हैं, जैसे कि किसी हवाई जहाज के पंख।

पत्ते

अजीब तरह से, राजमार्ग के किनारे वनों की कटाई भी एक भग्न है। नीचे पश्चिमी ब्राजील के रोन्डोनिया राज्य में अमेज़ॅन के "गंजे" क्षेत्रों में से एक की एक तस्वीर है।

घाटियां

एरिज़ोना में कैन्यन डेस शे की झूठी रंगीन छवि। इसे राष्ट्रीय उद्यान सेवा द्वारा उत्तरी अमेरिका में सबसे लंबे समय तक लगातार रहने वाले क्षेत्रों में से एक के रूप में नामित किया गया है।

आपने शायद कई रंगों और "कर्ल" के साथ ऐसे प्रभावशाली डिज़ाइन कई बार देखे होंगे ...
उनमें से कई नियमित आकृतियों की बार-बार नकल करके बनाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक एक बड़े आभूषण की लघु प्रति है।
यह ट्यूटोरियल आपको एडोब फोटोशॉप में समान पैटर्न बनाना सिखाएगा।

हम जो करने जा रहे हैं उसका अंतिम परिणाम यहां दिया गया है:


स्टेप 1
भग्न(लैटिन फ्रैक्टस - क्रश्ड) एक शब्द है जिसका अर्थ है एक ज्यामितीय आकृति जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, जो कि कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है। व्यापक अर्थों में, फ्रैक्टल को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं के सेट के रूप में समझा जाता है, जिसमें एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में) होता है, या एक मीट्रिक आयाम टोपोलॉजिकल एक से सख्ती से बड़ा होता है। © विकिपीडिया
खैर, चलिए शुरू करते हैं। सबसे पहले, 1600x1200 पिक्सल के आकार के साथ एक नया दस्तावेज़ बनाएं और दस्तावेज़ के केंद्र में गाइड लाइन (रूलर (Ctrl + R)) रखें। फिर पृष्ठभूमि को केंद्र से सख्ती से एक गोलाकार ढाल # 095261 - # 000000 से भरें।


चरण दो
अब एक साधारण वृत्त बनाते हैं ... हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ, यह सब एक साधारण वृत्त से शुरू होता है। इसे Ellipse Tool "a से ड्रा करें, Shift पकड़े हुए। मेरा इमेज के बीच में 83x83 पिक्सल है। इसके बाद, फ्रैक्टल लेयर फोल्डर बनाएं और सर्कल लेयर को वहां रखें।


चरण 3
आइए सर्कल में कुछ गहराई जोड़ें:

चरण 4
अब सर्कल लेयर (Ctrl + J) को डुप्लिकेट करें, इसका आकार बदलें और इसे नीचे की छवि में दिखाए अनुसार सेट करें:

सफेद त्रिकोण मेरे लिए मंडलियों को स्थानांतरित करने के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है :)
चरण 5
यहीं से सबसे मजेदार हिस्सा शुरू होता है। हमारे पैटर्न के आधार के साथ परत को डुप्लिकेट करें (पहले परतों को मंडलियों से जोड़ा गया है) और मुक्त परिवर्तन मोड में प्रवेश करने के लिए Ctrl + Alt + T दबाएं।


चरण 6
Shift दबाए रखते हुए, पैटर्न को कुछ डिग्री दक्षिणावर्त घुमाएं और इसे थोड़ा सिकोड़ें। फिर हम परिवर्तन केंद्र को बाईं ओर और अपने पैटर्न के नीचे ले जाते हैं (दिशा आपकी आवश्यकताओं पर निर्भर करती है)। हम एंटर दबाते हैं।

चरण 7
अब यह एक शॉर्टकट (Ctrl + Shift + Alt + T) के साथ एक छोटी सी ट्रिक का समय है। हम इस जादुई कुंजी संयोजन को दबाते हैं। क्या हुआ? फ़ोटोशॉप ने नई वस्तु पर समान परिवर्तन विकल्प लागू किए। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक हम इस चरण को कई बार दोहराएंगे।

चरण 8
फ्रैक्टल फ़ोल्डर को डुप्लिकेट करें और इसे एक परत में मर्ज करने के लिए Ctrl + E दबाएं। मूल फ़ोल्डर छुपाएं। परिणामी पैटर्न को हमारे दस्तावेज़ के निचले दाएं क्षेत्र में रखें।

चरण 9
परिणामी परत का चयन करें, इसे डुप्लिकेट करें और दस्तावेज़ के मध्य में परिवर्तन केंद्र के ऑफसेट के साथ इसमें एक निःशुल्क परिवर्तन लागू करें। पैटर्न 120 डिग्री का विस्तार करें।

चरण 10
तीसरे पहलू के लिए भी ऐसा ही करें। फिर परतों का एक फ़ोल्डर बनाएं और सभी 3 परिणामी पैटर्न वहां रखें। फ़ोल्डर को डुप्लिकेट करें और इसकी सामग्री को एक परत (Ctrl + E) में मर्ज करें।

चरण 11
परत को डुप्लिकेट करें और इसे रूपांतरित करें:

चरण 12
छवि-समायोजन-ह्यू / संतृप्ति मेनू पर जाएं और निम्नलिखित पैरामीटर सेट करें:

चरण 13
हम अंक 11 और 12 (12 अन्य मापदंडों के साथ) दोहराते हैं:

चरण 14
हम इस तकनीक को कई बार तब तक लागू करते हैं जब तक हम एक समान परिणाम प्राप्त नहीं कर लेते। सभी परिणामी परतों को एक नए फ़ोल्डर में रखें, इसे डुप्लिकेट करें और फिर से इसकी सामग्री को एक परत में मर्ज करें (पहले बनाई गई हर चीज को छिपाया जा सकता है)।


चरण 15
छाया जोड़ें।

चरण 16
हम परिणामी आभूषण के साथ पैराग्राफ 5 में वर्णित युद्धाभ्यास करते हैं।




निष्कर्ष
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस तकनीक का उपयोग करके कई सुंदर अमूर्त डिजाइन बनाए जा सकते हैं। आपके प्रयासों के लिए शुभकामनाएं! :)

विज्ञान में सबसे सरल खोज मानव जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती है। आविष्कार किया गया टीका लाखों लोगों को बचा सकता है, हथियारों का निर्माण, इसके विपरीत, इन लोगों की जान ले लेता है। हाल ही में (मानव विकास के पैमाने पर) हमने बिजली को "वश में" करना सीखा है - और अब हम बिजली का उपयोग करने वाले इन सभी सुविधाजनक उपकरणों के बिना जीवन की कल्पना नहीं कर सकते हैं। लेकिन ऐसी खोजें भी हैं जिन्हें बहुत कम लोग महत्व देते हैं, हालाँकि वे हमारे जीवन को भी बहुत प्रभावित करती हैं।

इन "अदृश्य" खोजों में से एक फ्रैक्टल है। आपने शायद यह आकर्षक शब्द सुना होगा, लेकिन क्या आप जानते हैं कि इसका क्या मतलब है और इस शब्द में कितनी दिलचस्प बातें छिपी हैं?

प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, अपने आसपास की दुनिया के बारे में जानने की इच्छा होती है। और इस प्रयास में व्यक्ति अपने निर्णयों में तर्क का पालन करने का प्रयास करता है। अपने आस-पास हो रही प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह जो हो रहा है उसकी निरंतरता का पता लगाने और कुछ नियमितता निकालने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इस कार्य में व्यस्त हैं। मोटे तौर पर, वैज्ञानिक एक ऐसे पैटर्न की तलाश में हैं जहां यह नहीं होना चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी, आप घटनाओं के बीच संबंध पा सकते हैं। और यह संबंध एक भग्न है।

हमारी छोटी बेटी, साढ़े चार साल की, अब उस अद्भुत उम्र में है जब प्रश्नों की संख्या "क्यों?" वयस्कों के पास जितने उत्तर देने के लिए समय है, उससे कई गुना अधिक है। अभी कुछ समय पहले, मेरी बेटी ने जमीन से उठी एक शाखा की जांच करते हुए अचानक देखा कि टहनियों और शाखाओं वाली यह शाखा अपने आप में एक पेड़ की तरह दिखती है। और, ज़ाहिर है, सामान्य प्रश्न "क्यों?" का पालन किया, जिसके लिए माता-पिता को एक सरल स्पष्टीकरण की तलाश करनी पड़ी जिसे बच्चा समझ सके।

एक बच्चे द्वारा खोजे गए पूरे पेड़ के साथ एक ही शाखा की समानता एक बहुत ही सटीक अवलोकन है, जो एक बार फिर प्रकृति में पुनरावर्ती आत्म-समानता के सिद्धांत की गवाही देता है। प्रकृति में कई कार्बनिक और अकार्बनिक रूप इसी तरह से बनते हैं। बादल, समुद्र के गोले, एक घोंघे का "घर", पेड़ों की छाल और मुकुट, संचार प्रणाली, और इसी तरह - इन सभी वस्तुओं के यादृच्छिक आकार को फ्रैक्टल एल्गोरिदम द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

बेनोइट मंडेलब्रॉट: फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक

"फ्रैक्टल" शब्द ही शानदार वैज्ञानिक बेनोइट बी मंडेलब्रॉट के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ।

उन्होंने खुद पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में लैटिन से फ्रैक्टस शब्द उधार लिया था, जहां इसका शाब्दिक अर्थ "टूटा हुआ" या "कुचल" होता है। यह क्या है? आज, "फ्रैक्टल" शब्द को अक्सर अर्थ में लिया जाता है ग्राफिक छविएक संरचना जो बड़े पैमाने पर स्वयं के समान होती है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत के उद्भव के लिए गणितीय नींव बेनोइट मंडेलब्रॉट के जन्म से कई साल पहले रखी गई थी, लेकिन यह केवल कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन के साथ ही विकसित हो सका। अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत में, बेनोइट ने आईबीएम रिसर्च सेंटर में काम किया। उस समय केंद्र के कर्मचारी दूर-दूर तक डाटा ट्रांसमिट करने का काम कर रहे थे। शोध के दौरान वैज्ञानिकों को शोर के हस्तक्षेप से होने वाले उच्च नुकसान की समस्या का सामना करना पड़ा। बेनोइट को एक कठिन और बहुत महत्वपूर्ण कार्य का सामना करना पड़ा - यह समझने के लिए कि सांख्यिकीय पद्धति अप्रभावी होने पर इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर हस्तक्षेप की घटना की भविष्यवाणी कैसे करें।

शोर माप के परिणामों को देखते हुए, मैंडलब्रॉट ने एक अजीब पैटर्न देखा - विभिन्न पैमानों पर शोर के रेखांकन समान दिखते थे। एक समान पैटर्न देखा गया, चाहे वह एक दिन, एक सप्ताह या एक घंटे के लिए शोर का ग्राफ हो। जैसे ही ग्राफ का पैमाना बदला गया, चित्र हर बार दोहराया गया।

अपने जीवनकाल के दौरान, बेनोइट मंडेलब्रॉट ने बार-बार कहा कि वह सूत्रों से नहीं निपटते थे, बल्कि केवल चित्रों के साथ खेलते थे। इस आदमी ने बहुत लाक्षणिक रूप से सोचा, और उसने किसी भी बीजीय समस्या को ज्यामिति के क्षेत्र में स्थानांतरित कर दिया, जहां, उसके अनुसार, सही उत्तर हमेशा स्पष्ट होता है।

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि यह इतनी समृद्ध स्थानिक कल्पना वाला व्यक्ति था जो फ्रैक्टल ज्यामिति का जनक बना। आखिरकार, भग्न के सार की समझ ठीक तब आती है जब आप चित्र का अध्ययन करना शुरू करते हैं और अजीब भंवर पैटर्न के अर्थ पर विचार करते हैं।

एक फ्रैक्टल ड्राइंग में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन यह किसी भी पैमाने पर समान होता है। के साथ ऐसी छवि बनाएं उच्च डिग्रीमैन्युअल विवरण पहले बस असंभव था, इसकी आवश्यकता थी बड़ी राशिगणना। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे जोसेफ लुई फतो ने बेनोइट मैंडलब्रॉट की खोज से सत्तर साल पहले इस सेट का वर्णन किया था। यदि हम आत्म-समानता के सिद्धांतों के बारे में बात करते हैं, तो उनका उल्लेख लाइबनिज़ और जॉर्ज कैंटर के कार्यों में किया गया था।

फ्रैक्टल के शुरुआती चित्रों में से एक मंडेलब्रॉट सेट की एक ग्राफिकल व्याख्या थी, जो गैस्टन मौरिस जूलिया के शोध से पैदा हुई थी।

गैस्टन जूलिया (हमेशा एक मुखौटा पहने हुए - प्रथम विश्व युद्ध से आघात)

इस फ्रांसीसी गणितज्ञ ने सोचा कि यदि आप एक लूप पर पुनरावृत्त एक साधारण सूत्र के आधार पर इसे बनाते हैं तो एक सेट कैसा दिखाई देगा प्रतिक्रिया... यदि हम इसे "उंगलियों पर" समझाते हैं, तो इसका मतलब है कि किसी विशेष संख्या के लिए हमें सूत्र द्वारा एक नया मान मिलता है, फिर हम इसे वापस सूत्र में बदल देते हैं और दूसरा मान प्राप्त करते हैं। परिणाम संख्याओं का एक बड़ा अनुक्रम है।

इस तरह के एक सेट की पूरी तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आपको बड़ी मात्रा में गणना करने की आवश्यकता है - सैकड़ों, हजारों, लाखों। इसे मैन्युअल रूप से करना अवास्तविक था। लेकिन जब गणितज्ञों के पास शक्तिशाली कंप्यूटिंग उपकरण दिखाई दिए, तो वे उन सूत्रों और अभिव्यक्तियों पर नए सिरे से विचार करने में सक्षम थे जो लंबे समय से रुचिकर थे। मैंडलब्रॉट शास्त्रीय फ्रैक्टल की गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। बड़ी संख्या में मानों वाले अनुक्रम को संसाधित करने के बाद, बेनोइट ने परिणामों को ग्राफ़ में स्थानांतरित कर दिया। यहाँ उसे क्या मिला है।

इसके बाद, यह छवि रंगीन हो गई (उदाहरण के लिए, रंग के साथ रंग भरने के तरीकों में से एक - पुनरावृत्तियों की संख्या के अनुसार) और सबसे लोकप्रिय छवियों में से एक बन गई जो अब तक मनुष्य द्वारा बनाई गई है।

जैसा कि इफिसुस के हेराक्लिटस के लिए जिम्मेदार प्राचीन कहावत कहती है, "आप एक ही नदी में दो बार प्रवेश नहीं कर सकते।" यह भग्नों की ज्यामिति की व्याख्या करने के लिए सबसे उपयुक्त है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम भग्न छवि को कितना विस्तृत देखते हैं, हम हर समय एक समान पैटर्न देखेंगे।

जो लोग यह देखना चाहते हैं कि मंडेलब्रॉट स्पेस की एक छवि कई आवर्धन पर कैसे दिखेगी, वे एनिमेटेड जीआईएफ डाउनलोड करके ऐसा कर सकते हैं।

लॉरेन कारपेंटर: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

भग्न के सिद्धांत को जल्द ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से निकटता से संबंधित है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि एल्गोरिदम और निर्माण के सिद्धांतों को अपनाने वाले पहले व्यक्ति असामान्य आकार, कलाकार थे।

दिग्गज के भविष्य के सह-संस्थापक पिक्सर स्टूडियोलॉरेन सी. कारपेंटर 1967 में बोइंग कंप्यूटर सर्विसेज में शामिल हुए, जो नए विमानों के विकास में लगे एक प्रसिद्ध निगम के डिवीजनों में से एक था।

1977 में उन्होंने प्रोटोटाइप फ्लाइंग मॉडल के साथ प्रस्तुतियां दीं। लॉरेन की जिम्मेदारियों में अनुमानित विमान की छवियों का विकास शामिल था। उन्हें विभिन्न कोणों से भविष्य के विमानों को दिखाते हुए नए मॉडलों की तस्वीरें बनानी थीं। कुछ बिंदु पर, यह पिक्सर एनिमेशन स्टूडियो के भावी संस्थापक के साथ हुआ रचनात्मक विचारपृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की छवि का उपयोग करें। आज, कोई भी स्कूली बच्चा इस तरह की समस्या को हल कर सकता है, लेकिन पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक के उत्तरार्ध में, कंप्यूटर ऐसी जटिल गणनाओं का सामना नहीं कर सके - कोई ग्राफिक संपादक नहीं थे, त्रि-आयामी ग्राफिक्स के लिए अनुप्रयोगों का उल्लेख नहीं करना था। 1978 में, लॉरेन ने गलती से बेनोइट मैंडेलब्रॉट की पुस्तक फ्रैक्टल्स: फॉर्म, रैंडमनेस एंड डायमेंशन को एक स्टोर में देखा। इस पुस्तक में, उनका ध्यान इस तथ्य से आकर्षित हुआ कि बेनोइट ने फ्रैक्टल आकृतियों के बहुत सारे उदाहरण दिए असली जीवनऔर तर्क दिया कि उन्हें गणितीय शब्दों में वर्णित किया जा सकता है।

इस सादृश्य को गणितज्ञ ने संयोग से नहीं चुना था। तथ्य यह है कि जैसे ही उन्होंने अपना शोध प्रकाशित किया, उन्हें आलोचनाओं की झड़ी लगानी पड़ी। मुख्य बात यह है कि उनके सहयोगियों ने उन्हें विकसित किए जा रहे सिद्धांत की बेकारता के लिए फटकार लगाई थी। "हाँ," उन्होंने कहा, "यह है सुंदर चित्र, लेकिन अधिक नहीं। फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है ”। ऐसे लोग भी थे जो आम तौर पर मानते थे कि फ्रैक्टल पैटर्न "शैतान मशीनों" के काम का एक उप-उत्पाद था, जो सत्तर के दशक के अंत में कई लोगों को पूरी तरह से भरोसा करने के लिए बहुत जटिल और अस्पष्ट लग रहा था। मैंडलब्रॉट ने भग्न सिद्धांत का एक स्पष्ट अनुप्रयोग खोजने की कोशिश की, लेकिन, कुल मिलाकर, उन्हें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं थी। अगले 25 वर्षों में बेनोइट मंडेलब्रॉट के अनुयायियों ने इस "गणितीय जिज्ञासा" के भारी लाभों को साबित किया, और लॉरेन कारपेंटर फ्रैक्टल पद्धति को व्यवहार में लाने वाले पहले लोगों में से एक थे।

पुस्तक का अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने भग्न ज्यामिति के सिद्धांतों का गंभीरता से अध्ययन किया और इसे कंप्यूटर ग्राफिक्स में लागू करने के तरीके की तलाश शुरू कर दी। केवल तीन दिनों के काम में, लॉरेन अपने कंप्यूटर पर पर्वतीय प्रणाली की एक यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में सक्षम थी। दूसरे शब्दों में, उन्होंने सूत्रों की मदद से एक पूरी तरह से पहचाने जाने योग्य पहाड़ी परिदृश्य को चित्रित किया।

लॉरेन अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए जिस सिद्धांत का प्रयोग करती थी वह बहुत सरल था। इसमें एक बड़ी ज्यामितीय आकृति को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल था, और ये बदले में, में विभाजित थे समान आंकड़ेछोटा।

बड़े त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, बढ़ई ने उन्हें चार छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया और फिर इस प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जब तक कि उनके पास एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं था। इस प्रकार, वह कंप्यूटर ग्राफिक्स में छवियों के निर्माण के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम लागू करने वाले पहले कलाकार बनने में सफल रहे। जैसे ही इसे किए गए काम के बारे में पता चला, दुनिया भर के उत्साही लोगों ने इस विचार को उठाया और यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों को अनुकरण करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करना शुरू कर दिया।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करने वाले पहले 3D विज़ुअलाइज़ेशन में से एक

कुछ ही साल बाद, लॉरेन कारपेंटर अपने विकास को एक बहुत बड़ी परियोजना में लागू करने में सक्षम था। एनिमेटर ने दो मिनट का डेमो वीडियो वॉल लिब्रे बनाया, जो 1980 में सिग्राफ पर प्रसारित हुआ। इस वीडियो ने इसे देखने वाले सभी को चौंका दिया और लॉरेन को लुकासफिल्म का निमंत्रण मिला।

एनीमेशन को डिजिटल उपकरण निगम के VAX-11/780 कंप्यूटर पर पांच मेगाहर्ट्ज़ की घड़ी की गति के साथ प्रस्तुत किया गया था, जिसमें प्रत्येक फ्रेम को प्रस्तुत करने में लगभग आधे घंटे का समय लगता था।

लुकासफिल्म लिमिटेड के लिए काम करते हुए, एनिमेटर ने दूसरे के लिए उसी तरह 3D परिदृश्य बनाए पूरी लंबाई वाली फिल्मकहानियों स्टार ट्रेक... खान के क्रोध में, बढ़ई भग्न सतह मॉडलिंग के समान सिद्धांत का उपयोग करके एक संपूर्ण ग्रह बनाने में सक्षम था।

आजकल हर कोई लोकप्रिय अनुप्रयोगत्रि-आयामी परिदृश्य बनाने के लिए, प्राकृतिक वस्तुओं को उत्पन्न करने के समान सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। Terragen, Bryce, Vue और अन्य 3D संपादक मॉडलिंग सतहों और बनावट के लिए एक फ्रैक्टल एल्गोरिथम पर भरोसा करते हैं।

फ्रैक्टल एंटेना: कम बेहतर है

पिछली आधी सदी में, जीवन तेजी से बदलना शुरू हो गया है। हम में से अधिकांश उपलब्धि को गले लगाते हैं आधुनिक तकनीकके लिए दी। आपको हर उस चीज़ की आदत हो जाती है जो जीवन को बहुत जल्दी और अधिक आरामदायक बनाती है। शायद ही कोई यह सवाल पूछता है कि "यह कहाँ से आया?" और यह कैसे काम करता है?" माइक्रोवेव नाश्ते को गर्म कर देता है - ठीक है, बढ़िया, स्मार्टफोन आपको किसी अन्य व्यक्ति से बात करने की अनुमति देता है - बढ़िया। यह हमारे लिए एक स्पष्ट संभावना की तरह लगता है।

लेकिन जीवन पूरी तरह से अलग हो सकता है यदि कोई व्यक्ति घटित होने वाली घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण नहीं मांगता। उदाहरण के लिए, सेल फोन लें। पहले मॉडल पर वापस लेने योग्य एंटेना याद रखें? उन्होंने हस्तक्षेप किया, डिवाइस का आकार बढ़ाया, अंत में, अक्सर टूट गया। हम मानते हैं कि वे हमेशा के लिए गुमनामी में डूब गए हैं, और आंशिक रूप से इसके लिए दोषी हैं ... भग्न।

भग्न चित्र उनके पैटर्न से मोहित करते हैं। वे निश्चित रूप से अंतरिक्ष में वस्तुओं की छवियों से मिलते जुलते हैं - नीहारिकाएं, आकाशगंगा समूह, और इसी तरह। इसलिए, यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि जब मंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल के अपने सिद्धांत को आवाज दी, तो उनके शोध ने खगोल विज्ञान का अध्ययन करने वालों में रुचि बढ़ाई। बुडापेस्ट में बेनोइट मंडेलब्रॉट के एक व्याख्यान में भाग लेने के बाद, नाथन कोहेन नाम के इन शौकीनों में से एक ने प्राप्त ज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के विचार को प्रज्वलित किया। सच है, उन्होंने इसे सहज रूप से किया, और मौके ने इसकी खोज में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। एक रेडियो शौकिया के रूप में, नाथन ने उच्चतम संभव संवेदनशीलता के साथ एक एंटीना बनाने का प्रयास किया।

एंटीना के मापदंडों में सुधार करने का एकमात्र तरीका, जो उस समय ज्ञात था, इसके ज्यामितीय आयामों को बढ़ाना था। हालांकि, बोस्टन शहर के मालिक, जिसे नाथन किराए पर ले रहा था, बड़े छत वाले उपकरणों को स्थापित करने का कड़ा विरोध कर रहा था। फिर नाथन ने विभिन्न एंटीना आकृतियों के साथ प्रयोग करना शुरू किया, जिसमें अधिकतम परिणाम प्राप्त करने की कोशिश की गई न्यूनतम आयाम... फ्रैक्टल आकृतियों के विचार के साथ, कोहेन, जैसा कि वे कहते हैं, बेतरतीब ढंग से तार से बाहर सबसे प्रसिद्ध फ्रैक्टल में से एक बना - "कोच स्नोफ्लेक"। स्वीडिश गणितज्ञ हेल्ज वॉन कोच ने 1904 में इस वक्र का आविष्कार किया था। यह एक रेखा खंड को तीन भागों में विभाजित करके और इस खंड के साथ मेल खाने वाली भुजा के बिना एक समबाहु त्रिभुज के साथ मध्य खंड को बदलकर प्राप्त किया जाता है। परिभाषा को समझना थोड़ा मुश्किल है, लेकिन तस्वीर में सब कुछ स्पष्ट और सरल है।

"कोच वक्र" की अन्य किस्में भी हैं, लेकिन वक्र का अनुमानित आकार समान रहता है

जब नाथन ने एंटीना को रेडियो रिसीवर से जोड़ा, तो वह बहुत हैरान हुआ - संवेदनशीलता नाटकीय रूप से बढ़ गई। प्रयोगों की एक श्रृंखला के बाद, बोस्टन विश्वविद्यालय के भविष्य के प्रोफेसर ने महसूस किया कि फ्रैक्टल पैटर्न से बने एंटीना में उच्च दक्षता होती है और यह बहुत व्यापक होता है आवृत्ति सीमाक्लासिक समाधानों की तुलना में। इसके अलावा, भग्न वक्र के रूप में एंटीना का आकार ज्यामितीय आयामों को काफी कम कर सकता है। नाथन कोहेन ने एक प्रमेय भी पेश किया जो यह साबित करता है कि एक ब्रॉडबैंड एंटीना बनाने के लिए, इसे एक स्व-समान फ्रैक्टल वक्र में आकार देने के लिए पर्याप्त है।

लेखक ने अपनी खोज का पेटेंट कराया और फ्रैक्टल एंटेना सिस्टम्स को विकसित और डिजाइन करने के लिए एक फर्म की स्थापना की, सही विश्वास करते हुए कि भविष्य में, उनकी खोज के लिए धन्यवाद, सेल फोन भारी एंटेना से छुटकारा पाने और अधिक कॉम्पैक्ट बनने में सक्षम होंगे।

सिद्धांत रूप में, यही हुआ। सच है, आज तक, नाथन बड़े निगमों के साथ मुकदमे में है जो अवैध रूप से कॉम्पैक्ट संचार उपकरणों के उत्पादन के लिए उसकी खोज का उपयोग करते हैं। मोबाइल उपकरणों के कुछ प्रसिद्ध निर्माता, जैसे कि मोटोरोला, पहले से ही फ्रैक्टल एंटीना के आविष्कारक के साथ एक सौहार्दपूर्ण समझौता कर चुके हैं।

भग्न आयाम: मन नहीं समझ सकता

बेनोइट ने यह प्रश्न प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक एडवर्ड कास्नर से लिया था।

उत्तरार्द्ध, कई अन्य लोगों की तरह प्रसिद्ध गणितज्ञ, बच्चों के साथ संवाद करना, उनसे प्रश्न पूछना और अप्रत्याशित उत्तर प्राप्त करना पसंद करते थे। कभी-कभी इसके आश्चर्यजनक परिणाम सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, एडवर्ड कास्नर के नौ वर्षीय भतीजे ने अब प्रसिद्ध शब्द "गूगोल" का आविष्कार किया, जिसका अर्थ है एक के बाद एक सौ शून्य। लेकिन वापस भग्न के लिए। अमेरिकी गणितज्ञ को यह प्रश्न पूछना अच्छा लगा कि संयुक्त राज्य अमेरिका की तटरेखा की लंबाई कितनी है। वार्ताकार की राय सुनने के बाद, एडवर्ड ने स्वयं सही उत्तर कहा। यदि आप मानचित्र पर टूटी हुई रेखाओं से लंबाई मापते हैं, तो परिणाम गलत होगा, क्योंकि समुद्र तट में बड़ी संख्या में अनियमितताएं हैं। यदि आप इसे यथासंभव सटीक रूप से मापते हैं तो क्या होगा? आपको प्रत्येक अनियमितता की लंबाई को ध्यान में रखना होगा - आपको हर प्रांत, हर खाड़ी, चट्टान, एक चट्टानी किनारे की लंबाई, उस पर एक पत्थर, रेत का एक कण, एक परमाणु, आदि को मापने की आवश्यकता होगी। चूंकि अनियमितताओं की संख्या अनंत तक जाती है, समुद्र तट की मापी गई लंबाई प्रत्येक नई अनियमितता के साथ अनंत तक बढ़ जाएगी।

माप जितना छोटा होगा, मापी गई लंबाई उतनी ही लंबी होगी

दिलचस्प बात यह है कि एडवर्ड के निर्देशों का पालन करते हुए, बच्चे वयस्कों की तुलना में सही निर्णय लेने में बहुत तेज थे, जबकि बाद वाले को इस तरह के अविश्वसनीय उत्तर को स्वीकार करने में समस्या थी।

एक उदाहरण के रूप में इस समस्या का उपयोग करते हुए, मैंडलब्रॉट ने माप के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित किया। चूंकि समुद्र तट एक फ्रैक्टल वक्र के करीब है, इसका मतलब है कि उस पर एक विशेषता पैरामीटर लागू किया जा सकता है - तथाकथित फ्रैक्टल आयाम।

कोई भी समझ सकता है कि सामान्य आयाम क्या है। यदि आयाम एक के बराबर है, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है, यदि दो - एक सपाट आकृति, तीन - आयतन। हालांकि, गणित में आयामीता की यह समझ फ्रैक्टल कर्व्स के साथ काम नहीं करती है, जहां इस पैरामीटर का एक भिन्नात्मक मान होता है। गणित में भग्न आयाम को पारंपरिक रूप से "असमानता" के रूप में माना जा सकता है। वक्र का खुरदरापन जितना अधिक होगा, उसका भग्न आयाम उतना ही अधिक होगा। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, एक वक्र, जिसका फ्रैक्टल आयाम अपने टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है, की अनुमानित लंबाई होती है जो माप की संख्या पर निर्भर नहीं करती है।

वर्तमान में, वैज्ञानिक फ्रैक्टल के सिद्धांत को लागू करने के लिए अधिक से अधिक क्षेत्रों की खोज कर रहे हैं। फ्रैक्टल्स की मदद से, स्टॉक की कीमतों में उतार-चढ़ाव का विश्लेषण किया जा सकता है, सभी प्रकार की प्राकृतिक प्रक्रियाओं का पता लगाया जा सकता है, जैसे कि प्रजातियों की संख्या में उतार-चढ़ाव, या प्रवाह की गतिशीलता का अनुकरण करना। डेटा को संपीड़ित करने के लिए फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है, जैसे छवियों को संपीड़ित करना। और वैसे, आपके कंप्यूटर स्क्रीन पर एक सुंदर फ्रैक्टल प्राप्त करने के लिए, आपको डॉक्टरेट की आवश्यकता नहीं है।

ब्राउज़र में फ्रैक्टल

शायद फ्रैक्टल पैटर्न बनाने के सबसे आसान तरीकों में से एक प्रतिभाशाली युवा प्रोग्रामर टोबी स्कैचमैन के ऑनलाइन वेक्टर संपादक का उपयोग करना है। इस साधारण ग्राफिक संपादक का टूलकिट स्व-समानता के समान सिद्धांत पर आधारित है।

आपके पास केवल दो सरल आकृतियाँ हैं - एक चतुर्भुज और एक वृत्त। आप उन्हें कैनवास में जोड़ सकते हैं, स्केल कर सकते हैं (कुल्हाड़ियों में से किसी एक के साथ स्केल करने के लिए, Shift कुंजी दबाए रखें) और घुमाएं। बूलियन जोड़ संचालन के सिद्धांत पर ओवरलैपिंग, ये सरल तत्व नए, कम तुच्छ रूप बनाते हैं। फिर इन नए आकृतियों को परियोजना में जोड़ा जा सकता है, और कार्यक्रम इन छवियों की पीढ़ी को दोहराएगा। फ्रैक्टल पर काम के किसी भी चरण में, आप जटिल आकार के किसी भी घटक पर वापस लौट सकते हैं और उसकी स्थिति और ज्यामिति को संपादित कर सकते हैं। एक रोमांचक गतिविधिविशेष रूप से जब आप समझते हैं कि रचनात्मक होने के लिए आपको केवल एक उपकरण की आवश्यकता है, वह है ब्राउज़र। यदि आप इस पुनरावर्ती वेक्टर संपादक के साथ काम करने के सिद्धांत को नहीं समझते हैं, तो हम आपको परियोजना की आधिकारिक वेबसाइट पर वीडियो देखने की सलाह देते हैं, जो फ्रैक्टल बनाने की पूरी प्रक्रिया को विस्तार से दिखाता है।

XaoS: हर स्वाद के लिए भग्न

बहुत ग्राफिक संपादकभग्न पैटर्न बनाने के लिए अंतर्निहित उपकरण हैं। हालांकि, ये उपकरण आमतौर पर द्वितीयक होते हैं और उत्पन्न फ्रैक्टल पैटर्न के ठीक ट्यूनिंग की अनुमति नहीं देते हैं। उन मामलों में जब गणितीय रूप से सटीक फ्रैक्टल बनाना आवश्यक हो, XaoS क्रॉस-प्लेटफ़ॉर्म संपादक बचाव में आएगा। यह कार्यक्रम न केवल एक समान छवि बनाने के लिए संभव बनाता है, बल्कि इसके साथ विभिन्न जोड़तोड़ भी करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समय में, आप भग्न का पैमाना बदलकर "चलना" ले सकते हैं। भग्न के साथ एनिमेटेड आंदोलन को XAF फ़ाइल के रूप में सहेजा जा सकता है और फिर प्रोग्राम में ही पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है।

XaoS मापदंडों का एक यादृच्छिक सेट लोड कर सकता है, साथ ही छवि के लिए विभिन्न पोस्ट-प्रोसेसिंग फ़िल्टर का उपयोग कर सकता है - धुंधली गति प्रभाव जोड़ें, फ्रैक्टल बिंदुओं के बीच चिकनी तेज संक्रमण, एक 3D चित्र का अनुकरण करें, और इसी तरह।

फ्रैक्टल जूमर: कॉम्पैक्ट फ्रैक्टल जनरेटर

फ्रैक्टल की छवियों के अन्य जनरेटर की तुलना में, इसके कई फायदे हैं। सबसे पहले, यह आकार में बहुत छोटा है और इसे स्थापना की आवश्यकता नहीं है। दूसरे, यह चित्र के रंग पैलेट को परिभाषित करने की क्षमता को लागू करता है। आप RGB, CMYK, HVS और HSL कलर मॉडल में टिंट चुन सकते हैं।

यादृच्छिक चयन विकल्प का उपयोग करना भी बहुत सुविधाजनक है। रंग रंगऔर चित्र में सभी रंगों को उलटने का कार्य। रंग को समायोजित करने के लिए, रंगों की चक्रीय गणना का एक कार्य होता है - जब संबंधित मोड चालू होता है, तो प्रोग्राम छवि को एनिमेट करता है, चक्रीय रूप से उस पर रंग बदलता है।

फ्रैक्टल जूमर 85 विभिन्न फ्रैक्टल कार्यों की कल्पना कर सकता है, और कार्यक्रम मेनू में सूत्र स्पष्ट रूप से दिखाए जाते हैं। कार्यक्रम में पोस्ट-प्रोसेसिंग छवियों के लिए फिल्टर हैं, हालांकि कम संख्या में। प्रत्येक असाइन किए गए फ़िल्टर को किसी भी समय रद्द किया जा सकता है।

⇡ मंडेलबुलब3डी: 3डी भग्न संपादक

जब "फ्रैक्टल" शब्द का उपयोग किया जाता है, तो इसका अर्थ अक्सर एक सपाट द्वि-आयामी छवि होता है। हालांकि, फ्रैक्टल ज्यामिति 2डी आयाम से आगे जाती है। प्रकृति में, आप फ्लैट फ्रैक्टल आकृतियों के दोनों उदाहरण पा सकते हैं, जैसे, बिजली की ज्यामिति, और त्रि-आयामी वॉल्यूमेट्रिक आंकड़े। फ्रैक्टल सतहें त्रि-आयामी हो सकती हैं, और 3डी फ्रैक्टल्स के बहुत ही निदर्शी चित्रों में से एक दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी- गोभी का सिर। रोमनेस्को, फूलगोभी और ब्रोकोली के एक संकर में फ्रैक्टल शायद सबसे अच्छी तरह से देखे जाते हैं।

आप इस फ्रैक्टल को भी खा सकते हैं।

Mandelbulb3D प्रोग्राम समान आकार के साथ त्रि-आयामी ऑब्जेक्ट बना सकता है। फ्रैक्टल एल्गोरिथम का उपयोग करके एक 3D सतह प्राप्त करने के लिए, इस एप्लिकेशन के लेखक, डैनियल व्हाइट और पॉल नाइलैंडर ने मैंडेलब्रॉट सेट को गोलाकार निर्देशांक में बदल दिया। उनके द्वारा बनाया गया Mandelbulb3D प्रोग्राम एक वास्तविक त्रि-आयामी संपादक है जो फ्रैक्टल सतहों को मॉडल करता है अलग - अलग रूप... चूंकि हम अक्सर प्रकृति में फ्रैक्टल पैटर्न देखते हैं, कृत्रिम रूप से निर्मित फ्रैक्टल त्रि-आयामी वस्तु अविश्वसनीय रूप से यथार्थवादी और यहां तक ​​​​कि "जीवित" भी लगती है।

यह एक पौधे जैसा हो सकता है, यह एक अजीब जानवर, ग्रह या कुछ और जैसा हो सकता है। यह प्रभाव एक उन्नत प्रतिपादन एल्गोरिथ्म द्वारा बढ़ाया जाता है जो यथार्थवादी प्रतिबिंब प्राप्त करना, पारदर्शिता और छाया की गणना करना, क्षेत्र की गहराई के प्रभाव का अनुकरण करना आदि संभव बनाता है। Mandelbulb3D में बड़ी संख्या में सेटिंग्स और रेंडरिंग विकल्प हैं। आप प्रकाश स्रोतों के रंगों को नियंत्रित कर सकते हैं, मॉडल की गई वस्तु की पृष्ठभूमि और विवरण के स्तर का चयन कर सकते हैं।

फ्रैक्टल एडिटर इन्सेडिया डबल इमेज एंटी-अलियासिंग का समर्थन करता है, इसमें पचास अलग-अलग त्रि-आयामी फ्रैक्टल का पुस्तकालय होता है और इसमें मूल आकृतियों को संपादित करने के लिए एक अलग मॉड्यूल होता है।

एप्लिकेशन फ्रैक्टल स्क्रिप्टिंग का उपयोग करता है, जिसके साथ आप स्वतंत्र रूप से नए प्रकार के फ्रैक्टल संरचनाओं का वर्णन कर सकते हैं। इंसेडिया में बनावट और सामग्री संपादक हैं, और रेंडरिंग इंजन आपको वॉल्यूमेट्रिक कोहरे प्रभाव और विभिन्न शेडर्स का उपयोग करने की अनुमति देता है। कार्यक्रम लंबी अवधि के प्रतिपादन के दौरान बफर को बचाने के विकल्प को लागू करता है, एनीमेशन निर्माण समर्थित है।

Incendia आपको अपने फ्रैक्टल मॉडल को लोकप्रिय 3D ग्राफ़िक्स प्रारूपों - OBJ और STL में निर्यात करने की अनुमति देता है। Incindia में जियोमेट्रिका नामक एक छोटी उपयोगिता शामिल है, जो एक फ्रैक्टल सतह के निर्यात को 3D मॉडल में कॉन्फ़िगर करने के लिए एक विशेष उपकरण है। इस उपयोगिता का उपयोग करके, आप एक 3D सतह का रिज़ॉल्यूशन निर्धारित कर सकते हैं, भग्न पुनरावृत्तियों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। 3D संपादकों जैसे ब्लेंडर, 3ds मैक्स और अन्य के साथ काम करते समय निर्यात किए गए मॉडल का उपयोग 3D प्रोजेक्ट में किया जा सकता है।

वी हाल ही मेंइंसेडिया परियोजना पर काम कुछ हद तक ठप हो गया है। पर इस पललेखक कार्यक्रम को विकसित करने में मदद करने के लिए प्रायोजकों की तलाश कर रहा है।

यदि आपके पास इस कार्यक्रम में एक सुंदर त्रि-आयामी फ्रैक्टल खींचने के लिए पर्याप्त कल्पना नहीं है, तो यह कोई समस्या नहीं है। पैरामीटर लाइब्रेरी का उपयोग करें, जो INCENDIA_EX \ पैरामीटर फ़ोल्डर में स्थित है। PAR फाइलों के साथ, आप एनिमेटेड सहित सबसे असामान्य फ्रैक्टल आकार जल्दी से ढूंढ सकते हैं।

कर्ण: भग्न कैसे गाते हैं

हम आमतौर पर उन परियोजनाओं के बारे में बात नहीं करते हैं जिन पर हम अभी काम कर रहे हैं, लेकिन इस मामले में हमें एक अपवाद बनाना चाहिए, यह एक बहुत ही असामान्य अनुप्रयोग है। ऑरल नामक परियोजना का आविष्कार उसी व्यक्ति द्वारा किया गया था जिसे इंसेडिया कहा जाता था। सच है, इस बार कार्यक्रम फ्रैक्टल सेट की कल्पना नहीं करता है, लेकिन इसे लगता है, इसे इलेक्ट्रॉनिक संगीत में बदल देता है। विचार बहुत दिलचस्प है, विशेष रूप से फ्रैक्टल के असामान्य गुणों को देखते हुए। ऑरल एक ऑडियो एडिटर है जो फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके धुन तैयार करता है, यानी वास्तव में, यह एक ऑडियो सिंथेसाइज़र-सीक्वेंसर है।

इस कार्यक्रम द्वारा निर्मित ध्वनियों का क्रम असामान्य और ... सुंदर है। यह आधुनिक लय लिखने के लिए उपयोगी हो सकता है और, हमारी राय में, टेलीविजन और रेडियो प्रसारण के स्क्रीनसेवर के लिए साउंडट्रैक बनाने के साथ-साथ पृष्ठभूमि संगीत "लूप" के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। कंप्यूटर गेम... रामिरो ने अभी तक अपने कार्यक्रम का एक डेमो संस्करण प्रदान नहीं किया है, लेकिन वादा करता है कि जब वह करता है, तो ऑरल के साथ काम करने के लिए, उसे फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का अध्ययन करने की आवश्यकता नहीं होगी - आपको केवल एल्गोरिथम के मापदंडों के साथ खेलना होगा नोटों का एक क्रम। सुनें कि भग्न कैसे ध्वनि करते हैं, आदि।

भग्न: संगीत विराम

दरअसल, फ्रैक्टल बिना सॉफ्टवेयर के भी संगीत लिखने में आपकी मदद कर सकते हैं। लेकिन यह केवल वही कर सकता है जो वास्तव में प्राकृतिक सद्भाव के विचार से प्रभावित है और साथ ही एक दुर्भाग्यपूर्ण "बेवकूफ" में नहीं बदल गया है। जोनाथन कूल्टन नामक संगीतकार से एक उदाहरण लेना समझ में आता है, जो अन्य बातों के अलावा, लोकप्रिय विज्ञान पत्रिका के लिए रचनाएं लिखता है। और अन्य कलाकारों के विपरीत, कोल्टन अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो (जब गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है) मुफ्त प्रतिलिपि, वितरण, दूसरों को काम के हस्तांतरण, साथ ही साथ इसके संशोधन के लिए प्रदान करता है। (व्युत्पन्न कार्यों का निर्माण) इसे अपने कार्यों के अनुकूल बनाने के लिए।

जोनाथन कोल्टन, निश्चित रूप से, फ्रैक्टल के बारे में एक गीत है।

⇡ निष्कर्ष

हमारे आस-पास की हर चीज में हम अक्सर अराजकता देखते हैं, लेकिन वास्तव में यह कोई दुर्घटना नहीं है, बल्कि एक आदर्श आकार है, जो फ्रैक्टल हमें समझने में मदद करता है। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। इसे बहुत तार्किक ढंग से व्यवस्थित किया गया है, और अगर कहीं हमें कोई पैटर्न नहीं दिखता है, तो इसका मतलब है कि हमें इसे एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। लोग इसे कई तरह से अनुकरण करने की कोशिश करते हुए इसे बेहतर और बेहतर समझते हैं। प्राकृतिक रूप... इंजीनियर शेल स्पीकर डिजाइन करते हैं, स्नोफ्लेक ज्योमेट्री के साथ एंटेना बनाते हैं, और इसी तरह। हमें यकीन है कि भग्न अभी भी कई रहस्य रखते हैं, और उनमें से कई अभी तक मनुष्यों द्वारा खोजे नहीं गए हैं।