इस पाठ में, हम दो और सदिश संक्रियाओं को देखेंगे: वैक्टर का वेक्टर उत्पादतथा वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (तुरंत लिंक, किसे चाहिए)... कोई बात नहीं, कई बार ऐसा भी होता है कि पूर्ण सुख के लिए इसके अलावा वैक्टर का डॉट उत्पाद, यह अधिक से अधिक लेता है। ऐसी है वेक्टर लत। किसी को यह आभास हो सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में प्रवेश कर रहे हैं। यह सच नहीं है। उच्च गणित के इस खंड में, आमतौर पर पर्याप्त जलाऊ लकड़ी नहीं होती है, सिवाय इसके कि बुराटिनो के लिए पर्याप्त है। वास्तव में, सामग्री बहुत सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक जटिल अदिश उत्पाद, और भी कम विशिष्ट कार्य होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जितने लोग आश्वस्त होंगे या पहले ही आश्वस्त हो चुके हैं, गणना में गलती नहीं करना है। मंत्र के रूप में दोहराएं, और आप खुश होंगे =)

यदि वेक्टर कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरू करें डमी के लिए वेक्टरवैक्टर के बुनियादी ज्ञान को पुनर्प्राप्त करने या पुनः प्राप्त करने के लिए। अधिक तैयार पाठक जानकारी से चुनिंदा रूप से परिचित हो सकते हैं, मैंने उदाहरणों का सबसे पूरा संग्रह एकत्र करने की कोशिश की जो अक्सर व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं

आपको तुरंत कैसे खुश करें? जब मैं छोटा था, मुझे पता था कि दो या तीन गेंदों से कैसे खेलना है। चतुराई से यह निकला। अब आपको हथकंडा नहीं लगाना पड़ेगा, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल स्थानिक वैक्टर, और दो निर्देशांक वाले समतल सदिश छोड़े जाएंगे। क्यों? इस तरह इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वैक्टर के वेक्टर और मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। यह पहले से ही आसान है!

यह ऑपरेशन, उसी तरह जैसे डॉट उत्पाद में होता है दो वैक्टर... यह अविनाशी अक्षर हों।

कार्रवाई ही लक्षितइस अनुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं इस तरह से वैक्टर के वेक्टर उत्पाद को एक क्रॉस के साथ वर्ग कोष्ठक में निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

और तुरंत प्रश्न: मैं फ़िन वैक्टर का डॉट उत्पाददो वैक्टर शामिल हैं, और यहां भी, दो वैक्टर गुणा किए जाते हैं, फिर क्या अंतर है? सबसे पहले, परिणाम में स्पष्ट अंतर है:

वैक्टर के डॉट उत्पाद का परिणाम NUMBER है:

सदिशों के सदिश गुणनफल का परिणाम सदिश होता है:, यानी हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब। दरअसल, इसलिए ऑपरेशन का नाम। विभिन्न शैक्षिक साहित्य में, पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं, मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले तस्वीर के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणी।

परिभाषा: वेक्टर उत्पाद द्वारा गैर समरेखवैक्टर, इस क्रम में लिया, वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबरइन वैक्टर पर बनाया गया; वेक्टर ओर्थोगोनल से सदिश, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

हम हड्डियों द्वारा परिभाषा का विश्लेषण करते हैं, कई दिलचस्प चीजें हैं!

तो, निम्नलिखित आवश्यक बिंदुओं पर प्रकाश डाला जा सकता है:

1) मूल सदिश, लाल तीरों द्वारा, परिभाषा के अनुसार समरेखीय नहीं... संरेखीय सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) सदिशों को लिया जाता है कड़ाई से परिभाषित क्रम में: – "ए" को "बीएच" से गुणा किया जाता है, और "बीएच" से "ए" नहीं। वेक्टर गुणन का परिणामवेक्टर है, जो नीले रंग में चिह्नित है। यदि वैक्टर को उल्टे क्रम में गुणा किया जाता है, तो हमें लंबाई में बराबर और दिशा में विपरीत (क्रिमसन रंग) एक वेक्टर मिलता है। यानी समानता सत्य है .

3) अब आइए सदिश उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है। आकृति में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग में छायांकित है।

ध्यान दें : चित्र योजनाबद्ध है, और निश्चित रूप से, क्रॉस उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करते हैं: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है... इसलिए, उपरोक्त के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र में हम वेक्टर की लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक बिंदु क्या है? और इसका अर्थ यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र अक्सर एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

आइए दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करें। समांतर चतुर्भुज (लाल बिंदीदार रेखा) का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, वैक्टर (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

4) एक समान रूप से महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि सदिश, सदिशों के लिए ओर्थोगोनल है, अर्थात, ... बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (क्रिमसन तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ओर्थोगोनल है।

5) सदिश को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है कि आधारयह है अधिकारअभिविन्यास। पाठ में . के बारे में एक नए आधार पर संक्रमणमैंने के बारे में पर्याप्त विस्तार से बात की विमान अभिविन्यास, और अब हम यह पता लगाएंगे कि अंतरिक्ष का उन्मुखीकरण क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दायाँ हाथ... मानसिक रूप से गठबंधन तर्जनी अंगुलीवेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ। अनामिका और पिंकीइसे अपने हाथ की हथेली में दबाएं। नतीजतन अंगूठे- क्रॉस उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह सही-उन्मुख आधार है (आंकड़े में यह है)। अब वैक्टर बदलें ( तर्जनी और मध्यमा उँगलियाँ) स्थानों में, परिणामस्वरूप, अंगूठा खुल जाएगा, और क्रॉस उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी एक सही-उन्मुख आधार है। शायद आपके पास एक प्रश्न है: वामपंथी अभिविन्यास का आधार क्या है? एक ही उंगलियों को "असाइन करें" बायां हाथवैक्टर, और अंतरिक्ष के बाएं आधार और बाएं अभिविन्यास प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा)... लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, ये आधार अलग-अलग दिशाओं में अंतरिक्ष को "मोड़" या उन्मुख करते हैं। और इस अवधारणा को दूर की कौड़ी या सार के रूप में नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष का उन्मुखीकरण सबसे साधारण दर्पण द्वारा बदल दिया जाता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दिखने वाले कांच से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य मामले में इसे "मूल" के साथ जोड़ना संभव नहीं होगा। वैसे, तीन अंगुलियों को आईने में लाएं और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

... यह कितना अच्छा है कि अब आप इसके बारे में जानते हैं दाएं और बाएं उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास में परिवर्तन के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान भयानक हैं =)

संरेखीय सदिशों का क्रॉस उत्पाद

परिभाषा का विस्तार से विश्लेषण किया गया है, यह पता लगाना बाकी है कि जब सदिश संरेखीय होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश समरेखीय हैं, तो वे एक सीधी रेखा पर स्थित हो सकते हैं और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "फोल्ड" होता है। ऐसे का क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य है। वही सूत्र से निकलता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र शून्य है।

इस प्रकार, यदि, तो तथा ... ध्यान दें कि क्रॉस उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य है।

एक विशेष मामला अपने आप में एक वेक्टर का वेक्टर उत्पाद है:

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की समरूपता की जांच कर सकते हैं, और हम इस समस्या का विश्लेषण भी करेंगे।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको आवश्यकता हो सकती है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या मान ज्ञात करने के लिए।

अच्छा, चलो आग जलाते हैं:

उदाहरण 1

a) सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि

b) सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

समाधान: नहीं, यह टाइपो नहीं है, मैंने जानबूझकर शर्त के खंडों में प्रारंभिक डेटा को समान बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) शर्त के अनुसार, यह खोजना आवश्यक है लंबाईवेक्टर (वेक्टर उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

चूंकि प्रश्न लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो उत्तर में हम आयाम - इकाइयों को इंगित करते हैं।

बी) शर्त के अनुसार, यह खोजना आवश्यक है वर्गवैक्टर पर बनाया गया एक समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद के बारे में उत्तर बिल्कुल भी सवाल से बाहर है, हमसे इस बारे में पूछा गया था आंकड़ा क्षेत्र, क्रमशः, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा देखते हैं कि स्थिति के अनुसार क्या पाया जाना चाहिए, और इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टउत्तर। यह साहित्यवाद की तरह लग सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच पर्याप्त साहित्यकार हैं, और अच्छे अवसरों वाला कार्य पुनरीक्षण के लिए वापस आ जाएगा। हालांकि यह विशेष रूप से तनावपूर्ण नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो व्यक्ति को यह आभास हो जाता है कि व्यक्ति सरल चीजों को नहीं समझता है और / या कार्य के सार को नहीं समझता है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते हुए इस क्षण को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, यह अतिरिक्त रूप से समाधान में फंस सकता है, लेकिन रिकॉर्डिंग को छोटा करने के लिए, मैंने नहीं किया। मुझे उम्मीद है कि हर कोई इसे समझता है और एक ही चीज़ का एक पदनाम है।

स्वयं करें समाधान के लिए लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण 2

सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि

क्रॉस उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा के लिए टिप्पणियों में दिया गया है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

व्यवहार में, कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है, त्रिभुज आमतौर पर आपको यातना दे सकते हैं।

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए, हमें चाहिए:

वेक्टर उत्पाद गुण

हमने पहले ही क्रॉस उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार किया है, हालांकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूंगा।

मनमाना वैक्टर और एक मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण मान्य हैं:

1) सूचना के अन्य स्रोतों में, इस मद को आमतौर पर गुणों में हाइलाइट नहीं किया जाता है, लेकिन व्यावहारिक रूप से यह बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो।

2) - संपत्ति की भी ऊपर चर्चा की गई है, कभी-कभी इसे कहा जाता है प्रतिकम्यूटेटिविटी... दूसरे शब्दों में, वैक्टर का क्रम मायने रखता है।

3) - संयोजन या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद के नियम। वेक्टर उत्पाद के बाहर स्थिरांक मूल रूप से हटा दिए जाते हैं। दरअसल, उन्हें वहां क्या करना चाहिए?

4) - वितरण या विभाजित करनेवालावेक्टर उत्पाद के नियम। ब्रैकेट के विस्तार के साथ भी कोई समस्या नहीं है।

एक प्रदर्शन के रूप में, एक संक्षिप्त उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 3

खोजें अगर

समाधान:शर्त के अनुसार, फिर से क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। आइए अपना थंबनेल लिखें:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के विभाजन से बाहर ले जाते हैं।

(2) हम स्थिरांक को मॉड्यूल से बाहर ले जाते हैं, जबकि मॉड्यूल ऋण चिह्न को "खाता है"। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

(3) आगे क्या स्पष्ट है।

उत्तर:

कुछ लकड़ी को आग लगाने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

सदिशों पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें यदि

समाधान: त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है ... पकड़ यह है कि वैक्टर "tse" और "de" को स्वयं वैक्टर के योग के रूप में दर्शाया जाता है। यहाँ एल्गोरिथ्म मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण 3 और 4 की याद दिलाता है वैक्टर का डॉट उत्पाद... स्पष्टता के लिए, आइए समाधान को तीन चरणों में विभाजित करें:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के रूप में व्यक्त करते हैं, वास्तव में, वेक्टर को वेक्टर के रूप में व्यक्त करें... लंबाई के बारे में अभी एक शब्द नहीं है!

(1) स्थानापन्न सदिश व्यंजक।

(2) वितरण नियमों का उपयोग करते हुए, हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक का विस्तार करते हैं।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम सभी स्थिरांक को सदिश उत्पादों के बाहर ले जाते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, क्रिया 2 और 3 को एक साथ किया जा सकता है।

(4) सुखद गुण के कारण प्रथम और अंतिम पद शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं। दूसरे कार्यकाल में, हम वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी संपत्ति का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

नतीजतन, वेक्टर को वेक्टर के रूप में व्यक्त किया गया था, जिसे हासिल करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें उस सदिश उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है जिसकी हमें आवश्यकता होती है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान होती है:

3) अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

चरण 2-3 निर्णय एक पंक्ति में पूरे किए जा सकते हैं।

उत्तर:

परीक्षण पत्रों में विचार की गई समस्या काफी सामान्य है, यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

खोजें अगर

ट्यूटोरियल के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने सावधान थे ;-)

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल

एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दिया गया, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया:

सूत्र वास्तव में सरल है: निर्धारक की शीर्ष पंक्ति में हम निर्देशांक वैक्टर लिखते हैं, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में हम वैक्टर के निर्देशांक "डालते" हैं, और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले वेक्टर "वी" के निर्देशांक, फिर वेक्टर "डबल-वे" के निर्देशांक। यदि वैक्टर को एक अलग क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो लाइनों की अदला-बदली की जानी चाहिए:

उदाहरण 10

जाँच करें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी)

समाधान: चेक इस पाठ में दिए गए कथनों में से एक पर आधारित है: यदि वेक्टर संरेख हैं, तो उनका क्रॉस उत्पाद शून्य (शून्य वेक्टर) के बराबर है: .

ए) क्रॉस उत्पाद खोजें:

इस प्रकार, सदिश संरेख नहीं होते हैं।

बी) क्रॉस उत्पाद खोजें:

उत्तर: ए) समरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के बारे में सभी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि ऐसे कई कार्य नहीं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ काम करने वाले फ़ार्मुलों पर टिका होगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल तीन सदिशों का गुणनफल होता है:

इसलिए वे एक छोटी ट्रेन के साथ लाइन में खड़े हैं और इंतजार कर रहे हैं, वे पता लगाने के लिए इंतजार नहीं कर सकते।

सबसे पहले, फिर से परिभाषा और तस्वीर:

परिभाषा: मिश्रित कार्य गैर समतलीयवैक्टर, इस क्रम में लियाकहा जाता है एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन, दिए गए वैक्टर पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न के साथ आपूर्ति की जाती है, और यदि आधार छोड़ दिया जाता है तो "-" चिह्न प्रदान किया जाता है।

आइए ड्राइंग को पूरा करें। हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ एक बिंदीदार रेखा से खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में गोता लगाएँ:

2) सदिशों को लिया जाता है एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टर का क्रमपरिवर्तन, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणाम के बिना नहीं गुजरता है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं एक स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: वैक्टर का मिश्रित उत्पाद एक NUMBER . है:. शैक्षिक साहित्य में, डिजाइन कुछ अलग हो सकता है, मेरा उपयोग मिश्रित कार्य के माध्यम से और "पे" अक्षर द्वारा गणना के परिणाम को दर्शाने के लिए किया जाता है।

परिभाषा से मिश्रित उत्पाद एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन हैवैक्टर पर बनाया गया है (यह आंकड़ा लाल वैक्टर और काली रेखाओं के साथ खींचा गया है)। यानी संख्या इस समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

ध्यान दें : ड्राइंग योजनाबद्ध है।

4) आइए आधार और अंतरिक्ष अभिविन्यास की अवधारणा के साथ नए सिरे से परेशान न हों। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, मिश्रित कार्य नकारात्मक हो सकता है:।

वैक्टर पर बने समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना करने का सूत्र सीधे परिभाषा से आता है।

7.1 एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

तीन गैर-समतलीय सदिश a, b और c, संकेतित क्रम में लिए गए, एक दायां त्रिक बनाते हैं यदि तीसरे वेक्टर c के अंत से पहले वेक्टर a से दूसरे वेक्टर b तक सबसे छोटा घुमाव वामावर्त देखा जाता है, और बाईं ओर , यदि दक्षिणावर्त (अंजीर देखें। सोलह)।

एक सदिश a बटा a सदिश b का सदिश गुणनफल एक सदिश c है, जो:

1. सदिश a और b के लंबवत, अर्थात् c ^ a और c ^ बी;

2. इसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर a और . पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती हैबीपक्षों के रूप में (अंजीर देखें। 17), यानी।

3. सदिश a, b और c दाहिने हाथ के त्रिक बनाते हैं।

क्रॉस उत्पाद को एक एक्स बी या [ए, बी] दर्शाया गया है। एक सदिश उत्पाद की परिभाषा का सीधा मतलब है कि सदिशों के बीच निम्नलिखित संबंध हैं i, जेतथा क(अंजीर देखें। 18):

मैं एक्स जे = के, जे एक्स के = आई, के एक्स आई = जे।
आइए हम साबित करें, उदाहरण के लिए, किमैं j = के.

1) के ^ आई, के ^ जे;

2) | कश्मीर | = 1, लेकिन | मैं एक्स जे| = | मैं | | जे | पाप (90 °) = 1;

3) सदिश i, j और कएक दाहिने हाथ का त्रिक बनाएं (चित्र 16 देखें)।

7.2. वेक्टर उत्पाद गुण

1. जब कारकों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो वेक्टर उत्पाद संकेत बदलता है; a xb = (b xa) (चित्र 19 देखें)।

सदिश a xb और b संरेख हैं, एक ही मापांक है (समांतर चतुर्भुज क्षेत्र अपरिवर्तित रहता है), लेकिन विपरीत दिशाएं (विपरीत अभिविन्यास के ट्रिपल a, b, a xb और a, b, b x a)। अर्थात् एक एक्सबी = -(बी एक्सए).

2. सदिश गुणनफल में अदिश गुणनखंड के संबंध में संयोजक गुण होते हैं, अर्थात् l (а b) = (l а) х b = а (l b)।

चलो एल> 0। सदिश l (a xb) सदिश a और b के लंबवत है। वेक्टर ( मैंए) एक्स बीसदिश a और . के लंबवत भी है बी(वेक्टर ए, मैंऔर एक ही विमान में लेट जाओ)। इसलिए वैक्टर मैं(ए एक्सबी) और ( मैंए) एक्स बीसमरेख। जाहिर है, उनकी दिशाएं मेल खाती हैं। समान लंबाई रखें:

इसलिए मैं(ए хबी) = मैंएक एक्सबी। इसे इसी तरह साबित किया जा सकता है मैं<0.

3. दो शून्येतर सदिश a और बीसमरेख यदि और केवल यदि उनका क्रॉस उत्पाद शून्य वेक्टर के बराबर है, अर्थात a || b<=>एक एक्सबी = 0.

विशेष रूप से, i * i = j * j = k * k = 0।

4. वेक्टर उत्पाद में वितरण संपत्ति होती है:

(ए + बी)एक्ससी = एक एक्ससी + बीएक्ससी

हम इसे बिना सबूत के स्वीकार कर लेंगे।

7.3. निर्देशांक के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद की अभिव्यक्ति

हम सदिश i की क्रॉस उत्पाद तालिका का उपयोग करेंगे, जेऔर कश्मीर:

यदि पहले वेक्टर से दूसरे तक सबसे छोटे पथ की दिशा तीर की दिशा के साथ मेल खाती है, तो उत्पाद तीसरे वेक्टर के बराबर है, यदि नहीं, तो तीसरा वेक्टर ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।

मान लीजिए कि दो सदिश a = a x i + a y . दिए गए हैं जे+ एक z कऔर बी = बी एक्स मैं+ बी y जे+ बी जेड क... आइए इन वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को बहुपद के रूप में गुणा करें (क्रॉस उत्पाद के गुणों के अनुसार):

परिणामी सूत्र को और भी छोटा लिखा जा सकता है:

चूंकि समानता का दायां पक्ष (7.1) पहली पंक्ति के तत्वों के संदर्भ में तीसरे क्रम के निर्धारक के विस्तार से मेल खाता है। समानता (7.2) को याद रखना आसान है।

7.4. वेक्टर कार्य के कुछ अनुप्रयोग

संरेखीय सदिशों की स्थापना

एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के अनुसार एऔर बी |ए एक्सबी | =|ए | * | b | sin g, यानी S जोड़े = | a x b |। और, इसलिए, डी एस = 1/2 | ए एक्स बी |।

एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण का निर्धारण

मान लीजिए कि बिंदु A पर बल लगाया जाता है एफ = एबीजाने दो हे- अंतरिक्ष में कुछ बिंदु (चित्र 20 देखें)।

भौतिकी से ज्ञात होता है कि बल का क्षण एफ बिंदु के सापेक्ष हेवेक्टर कहा जाता है एम,जो बिंदु के माध्यम से जाता है हेतथा:

1) बिन्दुओं से गुजरने वाले तल के लंबवत् ओ, ए, बी;

2) संख्यात्मक रूप से प्रति कंधे बल के उत्पाद के बराबर

3) सदिश OA और AB के साथ एक सम त्रिक बनाता है।

इसलिए, एम = ओए एक्स एफ।

घूर्णन की रैखिक गति ज्ञात करना

स्पीड वीकोणीय वेग से घूमते हुए एक कठोर पिंड का बिंदु M वूएक निश्चित अक्ष के चारों ओर, यूलर सूत्र v = w r द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां r = , जहां अक्ष का कुछ निश्चित बिंदु है (चित्र 21 देखें)।

एक सदिश उत्पाद की अवधारणा देने से पहले, आइए हम सदिशों के क्रमित त्रिक a →, b →, c → के त्रिविमीय समष्टि में उन्मुखीकरण के प्रश्न की ओर मुड़ें।

आइए शुरुआत के लिए एक बिंदु से वैक्टर a →, b →, c → को अलग रखें। ट्रिपल ए →, बी →, सी → का उन्मुखीकरण वेक्टर सी → की दिशा के आधार पर दाएं या बाएं हो सकता है। जिस दिशा में वेक्टर a → से b → सदिश c → के अंत से सबसे छोटा घुमाव बनाया जाता है, ट्रिपल a →, b →, c → का रूप निर्धारित किया जाएगा।

यदि सबसे छोटा घूर्णन वामावर्त है, तो सदिश a →, b →, c → के त्रिक को कहा जाता है अधिकारयदि दक्षिणावर्त - बाएं.

इसके बाद, दो असंरेखीय सदिश a → और b → लें। आइए फिर बिंदु A से सदिश A B → = a → और A C → = b → को स्थगित करें। हम एक सदिश A D → = c → की रचना करते हैं, जो A B → और A C → दोनों के साथ-साथ लंबवत है। इस प्रकार, सदिश का निर्माण करते समय A D → = c → हम दो चीजें कर सकते हैं, इसे या तो एक दिशा दे सकते हैं या विपरीत (चित्रण देखें)।

वेक्टर की दिशा के आधार पर, जैसा कि हमने पाया, वेक्टर ए →, बी →, सी → का क्रमबद्ध ट्रिपल हो सकता है।

ऊपर से, हम एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा पेश कर सकते हैं। यह परिभाषा त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टरों के लिए दी गई है।

परिभाषा 1

दो सदिशों a → और b → . का सदिश गुणनफल हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए ऐसे वेक्टर को कॉल करेंगे जैसे कि:

• यदि सदिश a → और b → संरेख हैं, तो यह शून्य होगा;
• यह सदिश a → और सदिश b → दोनों के लंबवत होगा, अर्थात। ∠ ए → सी → = ∠ बी → सी → = π 2;
• इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: c → = a → b → sin a →, b →;
• सदिशों के त्रिक a →, b →, c → में दिए गए निर्देशांक प्रणाली के समान अभिविन्यास है।

वैक्टर a → और b → के वेक्टर उत्पाद में निम्नलिखित संकेतन है: a → × b →।

वेक्टर उत्पाद निर्देशांक

चूंकि किसी भी वेक्टर के निर्देशांक प्रणाली में कुछ निर्देशांक होते हैं, आप क्रॉस उत्पाद की दूसरी परिभाषा दर्ज कर सकते हैं, जो आपको वैक्टर के दिए गए निर्देशांक द्वारा इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देगा।

परिभाषा 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद a → = (a x; a y; a z) और b → = (b x; b y; b z) सदिश c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → कहा जाता है, जहाँ i →, j →, k → निर्देशांक सदिश हैं।

वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां पहली पंक्ति इकाई वैक्टर i →, j →, k → के वैक्टर हैं, दूसरी पंक्ति में वेक्टर a → के निर्देशांक होते हैं, और तीसरे में किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में वेक्टर b → के निर्देशांक शामिल हैं, मैट्रिक्स का यह निर्धारक इस तरह दिखता है: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

पहली पंक्ति के तत्वों पर इस सारणिक का विस्तार करने पर, हम समानता प्राप्त करते हैं: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

वेक्टर उत्पाद गुण

यह ज्ञात है कि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद को मैट्रिक्स c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z के निर्धारक के रूप में दर्शाया जाता है, फिर आधार पर मैट्रिक्स के निर्धारक के गुणनिम्नलिखित प्रदर्शित करता है: वेक्टर उत्पाद गुण:

1. एंटीकम्यूटेटिविटी ए → × बी → = - बी → × ए →;
2. वितरण a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → या a → × b (1) → + b (2) → = a → × बी (1) → + ए → × बी (2) →;
3. साहचर्यता λ a → × b → = λ a → × b → या a → × (λ b →) = a → × b →, जहाँ एक मनमाना वास्तविक संख्या है।

इन गुणों को सिद्ध करना कठिन नहीं है।

एक उदाहरण के रूप में, हम एक वेक्टर उत्पाद की कम्यूटेटिविटी-विरोधी संपत्ति को साबित कर सकते हैं।

Anticommutativity का सबूत

परिभाषा के अनुसार, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z और b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z। और यदि मैट्रिक्स की दो पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो मैट्रिक्स के सारणिक का मान विपरीत में बदल जाना चाहिए, इसलिए, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, जो वेक्टर उत्पाद की कम्यूटेटिविटी को साबित करता है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान

ज्यादातर मामलों में, तीन प्रकार के कार्य होते हैं।

पहले प्रकार की समस्याओं में, दो वैक्टर की लंबाई और उनके बीच का कोण आमतौर पर दिया जाता है, लेकिन आपको क्रॉस उत्पाद की लंबाई खोजने की आवश्यकता होती है। इस मामले में, निम्न सूत्र c → = a → b → sin ∠ a →, b → का उपयोग करें।

उदाहरण 1

यदि आप a → = 3, b → = 5, a →, b → = 4 जानते हैं, तो सदिश a → और b → के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान

वैक्टर a → और b → के वेक्टर उत्पाद की लंबाई निर्धारित करके हम इस समस्या को हल करेंगे: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2।

उत्तर: 15 2 2 .

दूसरे प्रकार की समस्याओं का संबंध वैक्टर के निर्देशांक से है, उनमें क्रॉस उत्पाद, इसकी लंबाई आदि। दिए गए सदिशों के ज्ञात निर्देशांकों के माध्यम से खोजे जाते हैं ए → = (ए एक्स; ए वाई; ए जेड) तथा बी → = (बी एक्स; बी वाई; बी जेड) .

इस प्रकार के कार्य के लिए, आप कार्यों के लिए बहुत सारे विकल्प हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वैक्टर a → और b → के निर्देशांक नहीं दिए जा सकते हैं, लेकिन फॉर्म के निर्देशांक वैक्टर में उनके विस्तार बी → = बी एक्स आई → + बी वाई जे → + बी जेड के → और c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, या वैक्टर a → और b → निर्दिष्ट किया जा सकता है उनके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा।

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, दो सदिश a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) दिए गए हैं। उनका क्रॉस उत्पाद खोजें।

समाधान

दूसरी परिभाषा के अनुसार, हम दिए गए निर्देशांक में दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद पाते हैं: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx) ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 मैं → - 2 जे → - 2 के →।

यदि हम मैट्रिक्स के निर्धारक के माध्यम से वेक्टर उत्पाद लिखते हैं, तो इस उदाहरण का समाधान इस तरह दिखता है: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 मैं → - 2 जे → - 2 के →।

उत्तर: ए → × बी → = - 2 मैं → - 2 जे → - 2 के →।

उदाहरण 3

सदिश i → - j → और i → + j → + k → के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात कीजिए, जहाँ i →, j →, k → एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के इकाई सदिश हैं।

समाधान

सबसे पहले, हम दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दिए गए वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के निर्देशांक पाते हैं।

यह ज्ञात है कि वैक्टर i → - j → और i → + j → + k → में क्रमशः निर्देशांक (1; - 1; 0) और (1; 1; 1) होते हैं। आइए मैट्रिक्स के सारणिक का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं, फिर हमारे पास i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - जे → + 2 के → ...

इसलिए, दिए गए निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के निर्देशांक (- 1; - 1; 2) हैं।

हम सूत्र द्वारा वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाते हैं (एक वेक्टर की लंबाई खोजने पर अनुभाग देखें): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

उदाहरण 4

एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, तीन बिंदुओं A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) के निर्देशांक दिए गए हैं। एक ही समय में A B → और A C → पर लंबवत कुछ सदिश खोजें।

समाधान

सदिश A B → और A C → में क्रमशः निम्नलिखित निर्देशांक (- 1; 2; 2) और (0; 4; 1) हैं। वैक्टर A B → और A C → के वेक्टर उत्पाद को खोजने के बाद, यह स्पष्ट है कि यह A B → और A C → दोनों की परिभाषा के अनुसार एक लंबवत वेक्टर है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। आइए इसे A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → खोजें।

उत्तर: - 6 मैं → + जे → - 4 के →। - लंबवत वैक्टरों में से एक।

तीसरे प्रकार की समस्याएं वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करने पर केंद्रित हैं। जिसे लागू करने के बाद, हम दी गई समस्या का समाधान प्राप्त करेंगे।

उदाहरण 5

सदिश a → और b → लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। सदिश गुणनफल 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → की लंबाई ज्ञात कीजिए। + 3 ए → × - 2 बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 बी →।

समाधान

एक सदिश उत्पाद के वितरण के गुण से, हम लिख सकते हैं 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ए → × ए → + 3 ए → × - 2 बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 बी →

साहचर्यता की संपत्ति से, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के संकेत के बाहर संख्यात्मक गुणांक को स्थानांतरित करते हैं: 3 ए → × ए → + 3 ए → × - 2 बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 बी → = = 3 ए → × ए → + 3 (- 2) ए → × बी → + (- 1) बी → × ए → + (- 1) (- 2) बी → × बी → = = 3 ए → × ए → - 6 ए → × बी → - बी → × ए → + 2 बी → × बी →

वेक्टर उत्पाद a → × a → और b → × b → 0 हैं क्योंकि a → × a → = a → a → sin 0 = 0 और b → × b → = b → b → sin 0 = 0, फिर 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →। ...

वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी का तात्पर्य है - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →। ...

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = - 5 ए → × बी → प्राप्त करते हैं।

परिकल्पना के अनुसार, सदिश a → और b → लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच का कोण π 2 है। अब यह केवल पाए गए मानों को संबंधित सूत्रों में प्रतिस्थापित करने के लिए रहता है: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = - 5 ए → × बी → = = 5 ए → × बी → = 5 ए → बी → · पाप (ए →, बी →) = 5 · 3 · 4 · पाप π 2 = 60।

उत्तर: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = 60।

क्रम से सदिश गुणनफल की लंबाई a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → के बराबर होती है। चूंकि यह पहले से ही (स्कूल के पाठ्यक्रम से) ज्ञात है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके दोनों पक्षों की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा होता है। इसलिए, वेक्टर उत्पाद की लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है - दोगुना त्रिभुज, अर्थात् वैक्टर के रूप में पक्षों का उत्पाद ए → और बी →, एक बिंदु से, की साइन द्वारा प्लॉट किया जाता है उनके बीच का कोण sin ∠ a →, b →.

यह वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी में, भौतिकी की शाखाओं में से एक, वेक्टर उत्पाद के लिए धन्यवाद, आप अंतरिक्ष में एक बिंदु के सापेक्ष बल के क्षण को निर्धारित कर सकते हैं।

परिभाषा 3

बिंदु A के सापेक्ष बिंदु B पर लागू होने वाले बल F → के क्षण से हमारा तात्पर्य निम्नलिखित वेक्टर उत्पाद A B → × F → से है।

यदि आपको टेक्स्ट में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे चुनें और Ctrl + Enter दबाएं

तीन वैक्टर और उसके गुणों का मिश्रित उत्पाद

मिश्रित कार्यतीन सदिशों को समान संख्या कहा जाता है। लक्षित ... यहाँ पहले दो सदिशों को सदिशीय रूप से गुणा किया जाता है और फिर परिणामी सदिश को तीसरे सदिश से अदिश गुणा किया जाता है। जाहिर है, ऐसा उत्पाद एक निश्चित संख्या है।

मिश्रित उत्पाद के गुणों पर विचार करें।

1. ज्यामितीय अर्थमिश्रित कार्य। 3 वैक्टर का मिश्रित उत्पाद, एक चिन्ह तक, इन वैक्टरों पर बने समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है, जैसे कि किनारों पर, यानी। ...

   इस प्रकार, और .

   

   सबूत... वैक्टर को सामान्य मूल से अलग रखें और उन पर एक समानांतर चतुर्भुज का निर्माण करें। आइए हम इसे निरूपित करें और नोट करें। डॉट उत्पाद की परिभाषा के अनुसार

   यह मानते हुए और द्वारा निरूपित एचसमानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई, हम पाते हैं।

   इस प्रकार, के लिए

   अगर, तो और। इसलिये, ।

   इन दोनों स्थितियों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं या।

   विशेष रूप से, इस गुण के प्रमाण से यह पता चलता है कि यदि सदिशों का त्रिक सही है, तो यह एक मिश्रित उत्पाद है, और यदि इसे छोड़ दिया जाता है, तो।

2. किसी भी वैक्टर के लिए, समानता

   इस संपत्ति का प्रमाण संपत्ति 1 से मिलता है। वास्तव में, यह दिखाना आसान है और। इसके अलावा, संकेत "+" और "-" एक साथ लिए जाते हैं, क्योंकि सदिशों और तथा तथा के बीच के कोण न्यून या अधिक हैं।

3. किन्हीं दो कारकों के क्रमपरिवर्तन पर, मिश्रित उत्पाद परिवर्तन का संकेत देता है।

   वास्तव में, यदि हम मिश्रित कार्य पर विचार करें, तो, उदाहरण के लिए, या

4. मिश्रित उत्पाद यदि और केवल यदि कारकों में से एक शून्य है या सदिश समतलीय हैं।

   सबूत.

   इस प्रकार, 3 सदिशों की समतलीयता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके मिश्रित उत्पाद के शून्य की समानता है। इसके अलावा, यह इस प्रकार है कि तीन वैक्टर अंतरिक्ष में आधार बनाते हैं, अगर।

   यदि सदिशों को निर्देशांक रूप में दिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि उनका मिश्रित उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:

   .

   अर्थात्, मिश्रित उत्पाद तीसरे क्रम के निर्धारक के बराबर होता है, जिसमें पहली पंक्ति में पहले वेक्टर के निर्देशांक होते हैं, दूसरी पंक्ति में दूसरे वेक्टर के निर्देशांक होते हैं, और तीसरी पंक्ति में तीसरा वेक्टर होता है।

   उदाहरण।

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति

समीकरण एफ (एक्स, वाई, जेड)= 0 अंतरिक्ष में परिभाषित करता है ऑक्सीज़ीकुछ सतह, अर्थात्। उन बिंदुओं का स्थान जिनके निर्देशांक एक्स, वाई, जेडइस समीकरण को संतुष्ट करें। इस समीकरण को सतह का समीकरण कहा जाता है, और एक्स, वाई, जेड- वर्तमान निर्देशांक।

हालांकि, अक्सर सतह को एक समीकरण द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक समूह के रूप में जिसमें एक या दूसरी संपत्ति होती है। इस मामले में, इसके ज्यामितीय गुणों के आधार पर सतह के समीकरण को खोजना आवश्यक है।

विमान।

सामान्य विमान वेक्टर।

दिए गए बिंदु से गुजरने वाले तल के लिए समीकरण

अंतरिक्ष में एक मनमाना विमान σ पर विचार करें। इसकी स्थिति इस विमान के लंबवत एक वेक्टर और कुछ निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है एम 0(एक्स 0, वाई 0, जेड 0) विमान में लेटा हुआ ।

विमान के लंबवत एक वेक्टर को कहा जाता है साधारणइस विमान का वेक्टर। बता दें कि वेक्टर के निर्देशांक हैं।

आइए हम दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण व्युत्पन्न करें एम 0और एक सामान्य वेक्टर होने। ऐसा करने के लिए, विमान पर एक मनमाना बिंदु लें एम (एक्स, वाई, जेड)और एक वेक्टर पर विचार करें।

किसी भी बिंदु के लिए एमएक सदिश है। इसलिए, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है। यह समानता शर्त है कि बिंदु एम. यह इस विमान के सभी बिंदुओं के लिए मान्य है और जैसे ही बिंदु का उल्लंघन किया जाता है एमविमान के बाहर होगा .

यदि हम बिंदु के त्रिज्या सदिश द्वारा निरूपित करते हैं एम, बिंदु की त्रिज्या सदिश है एम 0, तो समीकरण को रूप में भी लिखा जा सकता है

इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरविमान का समीकरण। आइए इसे समन्वय रूप में लिखें। तब से

तो, हमें इस बिंदु से गुजरने वाले तल का समीकरण प्राप्त हुआ। इस प्रकार, समतल का समीकरण बनाने के लिए, आपको अभिलंब सदिश के निर्देशांक और तल पर पड़े किसी बिंदु के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है।

ध्यान दें कि विमान का समीकरण वर्तमान निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री का समीकरण है एक्स, वाईतथा जेड.

उदाहरण।

विमान का सामान्य समीकरण

यह दिखाया जा सकता है कि कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री का कोई भी समीकरण एक्स, वाई, जेडएक निश्चित विमान का समीकरण है। यह समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी=0

और बुलाया सामान्य समीकरणविमान, और निर्देशांक ए, बी, सीयहाँ विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं।

सामान्य समीकरण के विशेष मामलों पर विचार करें। आइए जानें कि यदि समीकरण के एक या कई गुणांक गायब हो जाते हैं तो विमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष कैसे स्थित होता है।

A अक्ष पर समतल द्वारा काटी गई रेखा की लंबाई है ऑक्स... इसी तरह, कोई यह दिखा सकता है कि बीतथा सी- अक्षों पर विचाराधीन विमान द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई ओएतथा आउंस.

विमानों के निर्माण के लिए रेखाखंडों में समतल समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

इस लेख में, हम दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की अवधारणा पर ध्यान देंगे। हम आवश्यक परिभाषा देंगे, एक वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र लिखेंगे, सूची देंगे और इसके गुणों को सही ठहराएंगे। उसके बाद, हम दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ पर ध्यान देंगे और विभिन्न विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

एक क्रॉस उत्पाद की परिभाषा।

एक वेक्टर उत्पाद को परिभाषित करने से पहले, आइए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टरों के एक क्रमबद्ध ट्रिपलेट के उन्मुखीकरण को समझें।

वैक्टर को एक बिंदु से अलग सेट करें। वेक्टर की दिशा के आधार पर, त्रिक दाएं या बाएं हो सकता है। आइए वेक्टर के अंत से देखें कि वेक्टर से सबसे छोटा रोटेशन कैसे होता है। यदि सबसे छोटा घूर्णन वामावर्त होता है, तो सदिशों का त्रिक कहलाता है अधिकार, अन्यथा - बाएं.

अब हम दो असंरेखीय सदिश और लेते हैं। आइए हम सदिशों को अलग रखें और बिंदु A से। आइए और और दोनों पर लंबवत कुछ सदिश बनाते हैं। जाहिर है, एक वेक्टर का निर्माण करते समय, हम दो चीजें कर सकते हैं, इसे या तो एक दिशा या विपरीत दिशा दे सकते हैं (चित्रण देखें)।

सदिश की दिशा के आधार पर, सदिशों का क्रमित त्रिक दाएँ या बाएँ हो सकता है।

इसलिए हम एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के करीब आते हैं। यह दो सदिशों के लिए दिया गया है, जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दिया गया है।

परिभाषा।

दो सदिशों का सदिश गुणनफलऔर, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दिया गया, एक वेक्टर कहा जाता है जैसे कि

सदिशों के सदिश गुणनफल और को इस रूप में निरूपित किया जाता है।

वेक्टर उत्पाद निर्देशांक।

अब आइए एक वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा दें, जो आपको दिए गए वैक्टर के निर्देशांक द्वारा इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देता है और।

परिभाषा।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वैक्टर का क्रॉस उत्पाद तथा एक सदिश है, जहां निर्देशांक सदिश हैं।

यह परिभाषा हमें समन्वय रूप में क्रॉस उत्पाद देती है।

तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में वेक्टर उत्पाद का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है, जिसकी पहली पंक्ति इकाई वैक्टर है, दूसरी पंक्ति में वेक्टर के निर्देशांक होते हैं, और तीसरे में निर्देशांक होते हैं किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में वेक्टर:

यदि हम पहली पंक्ति के तत्वों द्वारा इस निर्धारक का विस्तार करते हैं, तो हमें निर्देशांक में एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से समानता मिलती है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्रॉस उत्पाद का समन्वय रूप इस लेख के पहले पैराग्राफ में दी गई परिभाषा के अनुरूप है। इसके अलावा, क्रॉस उत्पाद की ये दो परिभाषाएं समकक्ष हैं। इस तथ्य का प्रमाण आप लेख के अंत में दी गई पुस्तक में देख सकते हैं।

वेक्टर उत्पाद गुण।

चूंकि निर्देशांक में क्रॉस उत्पाद को मैट्रिक्स निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, निम्नलिखित के आधार पर निम्नलिखित को आसानी से उचित ठहराया जा सकता है वेक्टर उत्पाद गुण:

एक उदाहरण के रूप में, आइए हम एक वेक्टर उत्पाद की कम्यूटेटिविटी-विरोधी संपत्ति को साबित करें।

परिभाषा से तथा ... हम जानते हैं कि यदि दो पंक्तियों की अदला-बदली की जाती है, तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान उलट जाता है, इसलिए, , जो वेक्टर उत्पाद की एंटी-कम्यूटेटिविटी की संपत्ति को साबित करता है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान।

मूल रूप से तीन प्रकार के कार्य होते हैं।

पहले प्रकार की समस्याओं में, दो वैक्टर की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया जाता है, और वेक्टर उत्पाद की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है। इस मामले में, सूत्र का उपयोग किया जाता है .

उदाहरण।

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं और, यदि ज्ञात हो .

समाधान।

हम परिभाषा से जानते हैं कि वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई और वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण की साइन के उत्पाद के बराबर है, इसलिए, .

उत्तर:

.

दूसरे प्रकार की समस्याएं वैक्टर के निर्देशांक से जुड़ी होती हैं, जिसमें दिए गए वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से क्रॉस उत्पाद, इसकी लंबाई या कुछ और मांगा जाता है तथा .

यहां कई अलग-अलग विकल्प संभव हैं। उदाहरण के लिए, वैक्टर के निर्देशांक नहीं और निर्दिष्ट किए जा सकते हैं, लेकिन फॉर्म के समन्वय वैक्टर में उनका विस्तार और, या वैक्टर और उनके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किए जा सकते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दो सदिश दिए गए हैं ... उनका क्रॉस उत्पाद खोजें।

समाधान।

दूसरी परिभाषा के अनुसार, निर्देशांक में दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद इस प्रकार लिखा जाता है:

हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे यदि क्रॉस उत्पाद को निर्धारक के संदर्भ में लिखा गया हो

उत्तर:

.

उदाहरण।

वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाएं और, आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के यूनिट वेक्टर कहां हैं।

समाधान।

सबसे पहले, हम वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक पाते हैं किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में।

चूंकि वैक्टर और निर्देशांक हैं और, तदनुसार (यदि आवश्यक हो, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक वेक्टर के लेख निर्देशांक देखें), तो एक क्रॉस उत्पाद की दूसरी परिभाषा के अनुसार हमारे पास है

वह है, क्रॉस उत्पाद किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में निर्देशांक होते हैं।

हम वेक्टर उत्पाद की लंबाई को उसके निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में पाते हैं (हमने वेक्टर की लंबाई खोजने पर अनुभाग में वेक्टर की लंबाई के लिए यह सूत्र प्राप्त किया है):

उत्तर:

.

उदाहरण।

एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में तीन बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। कुछ सदिश खोजें जो लंबवत और एक ही समय में हों।

समाधान।

वैक्टर और निर्देशांक हैं और, क्रमशः (बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से एक वेक्टर के निर्देशांक खोजने पर लेख देखें)। यदि हम सदिशों का सदिश गुणनफल पाते हैं और परिभाषा के अनुसार यह k और k दोनों के लम्बवत सदिश है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। इसे खोजें

उत्तर:

- लंबवत वैक्टरों में से एक।

तीसरे प्रकार के कार्यों में, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करने के कौशल का परीक्षण किया जाता है। गुणों को लागू करने के बाद, संबंधित सूत्र लागू होते हैं।

उदाहरण।

सदिश और लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। क्रॉस उत्पाद की लंबाई पाएं .

समाधान।

एक सदिश उत्पाद के वितरण के गुण से, हम लिख सकते हैं

संयोजन संपत्ति के कारण, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के संकेत के बाहर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

वेक्टर उत्पाद और शून्य के बराबर हैं, क्योंकि तथा , फिर ।

चूंकि क्रॉस उत्पाद एंटीकम्यूटेटिव है, इसलिए।

तो, वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता पर आए .

शर्त के अनुसार सदिश और लंबवत होते हैं, अर्थात उनके बीच का कोण बराबर होता है। यही है, हमारे पास आवश्यक लंबाई खोजने के लिए सभी डेटा हैं

उत्तर:

.

वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ।

परिभाषा के अनुसार, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई है ... और एक हाई स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई का आधा गुणनफल होता है। नतीजतन, वेक्टर उत्पाद की लंबाई वैक्टर और पक्षों के साथ त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होती है, अगर उन्हें एक बिंदु से अलग रखा जाता है। दूसरे शब्दों में, वैक्टर के वेक्टर उत्पाद की लंबाई पक्षों के साथ एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है और उनके बीच का कोण बराबर होता है। यह एक वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।