त्रिकोणमितीय कार्यों सामयिकयानी एक निश्चित अवधि के बाद दोहराया जाता है। नतीजतन, इस अंतराल पर फ़ंक्शन का अध्ययन करना और खोजे गए गुणों को अन्य सभी अवधियों तक विस्तारित करना पर्याप्त है।

अनुदेश

1. यदि आपको एक आदिम व्यंजक दिया जाता है जिसमें केवल एक त्रिकोणमितीय फलन (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) होता है, और फलन के अंदर के कोण को किसी संख्या से गुणा नहीं किया जाता है, और यह स्वयं किसी भी संख्या तक नहीं उठाया जाता है। शक्ति - परिभाषा का प्रयोग करें। sin, cos, sec, cosec वाले भावों के लिए, साहसपूर्वक अवधि को 2P पर सेट करें, और यदि समीकरण में tg, ctg है, तो P. मान लें, फ़ंक्शन y \u003d 2 sinx + 5 के लिए, अवधि 2P होगी .

2. यदि किसी त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के नीचे के कोण x को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो इस फलन का आवर्त ज्ञात करने के लिए विशिष्ट आवर्त को इस संख्या से भाग दें। मान लीजिए कि आपको एक फलन y = sin 5x दिया गया है। एक ज्या के लिए विशिष्ट अवधि 2P है, इसे 5 से विभाजित करने पर, आपको 2P / 5 प्राप्त होता है - यह इस अभिव्यक्ति की वांछित अवधि है।

3. एक त्रिकोणमितीय फलन की अवधि ज्ञात करने के लिए, जो घात तक बढ़ा है, घात की समता का मूल्यांकन करें। एक समान डिग्री के लिए, नमूना अवधि को आधा कर दें। मान लीजिए, यदि आपको एक फ़ंक्शन y \u003d 3 cos ^ 2x दिया जाता है, तो सामान्य अवधि 2P 2 गुना कम हो जाएगी, इसलिए अवधि P के बराबर होगी। कृपया ध्यान दें कि फ़ंक्शन tg, ctg किसी भी हद तक आवधिक हैं। .

4. यदि आपको 2 त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल या भागफल वाला एक समीकरण दिया जाता है, तो पहले उन सभी के लिए अलग-अलग आवर्त ज्ञात कीजिए। उसके बाद, वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जो दोनों आवर्तों की पूर्ण संख्या में फिट हो। मान लें कि फ़ंक्शन y=tgx*cos5x दिया गया है। स्पर्शरेखा के लिए, अवधि P है, कोसाइन 5x के लिए, अवधि 2P/5 है। इन दोनों अवधियों में फिट होने की न्यूनतम संख्या 2P है, इसलिए वांछित अवधि 2P है।

5. यदि आपको प्रस्तावित तरीके से करना मुश्किल लगता है या परिणाम पर संदेह है, तो परिभाषा के अनुसार करने का प्रयास करें। T को फलन का आवर्त मान लें, यह शून्य से बड़ा है। समीकरण में x के स्थान पर व्यंजक (x + T) रखें और परिणामी समानता को ऐसे हल करें जैसे कि T एक पैरामीटर या एक संख्या हो। नतीजतन, आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान पाएंगे और सबसे छोटी अवधि चुनने में सक्षम होंगे। मान लीजिए, सुविधा के परिणामस्वरूप, आपको पाप (टी / 2) \u003d 0 की पहचान मिलती है। T का न्यूनतम मान जिस पर इसे किया जाता है वह 2P है, और यह कार्य का परिणाम होगा।

एक आवधिक कार्य एक ऐसा कार्य है जो कुछ गैर-शून्य अवधि के बाद अपने मूल्यों को दोहराता है। किसी फ़ंक्शन की अवधि एक संख्या है जिसके फ़ंक्शन के तर्क के अलावा फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है।

आपको चाहिये होगा

• प्रारंभिक गणित का ज्ञान और सर्वेक्षण की शुरुआत।

अनुदेश

1. आइए हम संख्या के द्वारा फ़ंक्शन f (x) की अवधि को निरूपित करें। हमारा कार्य K के इस मान को खोजना है। ऐसा करने के लिए, कल्पना करें कि फ़ंक्शन f (x), एक आवधिक फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, f को बराबर करता है। (एक्स + के) = एफ (एक्स)।

2. हम अज्ञात K के लिए परिणामी समीकरण को हल करते हैं, जैसे कि x एक स्थिरांक है। K के मान के आधार पर, कई विकल्प होंगे।

3. यदि K>0, तो यह आपके कार्य की अवधि है। यदि K=0, तो फलन f(x) आवर्त नहीं है। यदि समीकरण का हल f(x+K)=f(x) मौजूद नहीं है किसी भी K के लिए जो शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसे फलन को आवर्त कहते हैं और इसका कोई आवर्त भी नहीं होता है।

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ध्यान दें!
सभी त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, और 2 से अधिक घात वाले सभी बहुपद फलन अपरिवर्तिक होते हैं।

उपयोगी सलाह
एक फलन की अवधि जिसमें 2 आवर्त फलन होते हैं, इन फलनों की अवधियों का अल्पतम समापवर्त्य गुणज होता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें अज्ञात तर्क के त्रिकोणमितीय फलन होते हैं (उदाहरण के लिए: 5sinx-3cosx =7)। उन्हें हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको इसके लिए कुछ तरीकों को जानना होगा।

अनुदेश

1. इस तरह के समीकरणों के समाधान में 2 चरण होते हैं। सबसे पहले समीकरण का सबसे सरल रूप प्राप्त करने के लिए सुधार है। सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण निम्नलिखित कहलाते हैं: Sinx=a; cosx=a आदि

2. दूसरा प्राप्त सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है। इस तरह के समीकरणों को हल करने के बुनियादी तरीके हैं: बीजीय तरीके से हल करना। यह विधि स्कूल से, बीजगणित के पाठ्यक्रम से प्रसिद्ध है। इसे अन्यथा एक चर को बदलने और प्रतिस्थापित करने की विधि कहा जाता है। कमी सूत्रों को लागू करते हुए, हम बदलते हैं, एक प्रतिस्थापन करते हैं, जिसके बाद हम जड़ों को ढूंढते हैं।

3. कारकों में समीकरण का अपघटन। सबसे पहले, हम सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और कारकों में विघटित होते हैं।

4. समीकरण को सजातीय में लाना। समीकरण सजातीय समीकरण कहलाते हैं यदि सभी पद समान डिग्री के हों और साइन, कोज्या एक ही कोण के हों। इसे हल करने के लिए, आपको: पहले इसके सभी सदस्यों को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करना चाहिए; सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से हटा दें; कारकों और कोष्ठकों को शून्य के बराबर करना; समान कोष्ठक कम अंश का सजातीय समीकरण देते हैं, जिसे cos (या sin) से उच्च अंश में विभाजित किया जाना चाहिए; तन के लिए परिणामी बीजीय समीकरण को हल करें।

5. अगला तरीका आधे कोने में जाना है। कहते हैं, समीकरण हल करें: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. आइए आधे कोण पर चलते हैं: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (एक्स / 2) + 5 पाप? (एक्स / 2) = 7sin? (एक्स / 2) + 7 कॉस? (x/2) , जिसके बाद हम सभी पदों को एक भाग (अन्यथा दाईं ओर) में घटाते हैं और समीकरण को हल करते हैं।

6. सहायक कोने में प्रवेश। जब हम पूर्णांक मान cos(a) या sin(a) को प्रतिस्थापित करते हैं। संकेत "ए" एक सहायक कोण है।

7. किसी उत्पाद को योग में पुन: स्वरूपित करने का एक तरीका। यहां आपको उपयुक्त सूत्रों को लागू करने की आवश्यकता है। मान लीजिए दिया गया है: 2 sin x sin 3x = cos 4x। हम इसे बाईं ओर को योग में परिवर्तित करके हल करते हैं, अर्थात: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, एक्स = पी / 16 + पीके / 8।

8. अंतिम तरीका, जिसे मल्टीफ़ंक्शन प्रतिस्थापन कहा जाता है। हम व्यंजक को रूपांतरित करते हैं और एक प्रतिस्थापन करते हैं, मान लीजिए Cos(x/2)=u, जिसके बाद हम पैरामीटर u के साथ समीकरण को हल करते हैं। कुल प्राप्त करते समय, हम मूल्य को विपरीत में अनुवाद करते हैं।

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यदि हम एक वृत्त पर स्थित बिंदुओं पर विचार करें, तो बिंदु x, x + 2π, x + 4π, आदि बिंदु हैं। एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। तो त्रिकोणमितीय कार्योंएक सीधी रेखा पर समय-समयउनका अर्थ दोहराएं। यदि काल प्रसिद्ध है कार्यों, इस अवधि में एक समारोह बनाने और इसे दूसरों पर दोहराने की अनुमति है।

अनुदेश

1. अवधि एक संख्या T है जैसे कि f(x) = f(x+T)। आवर्त ज्ञात करने के लिए, x और x + T को तर्क के रूप में प्रतिस्थापित करते हुए, संगत समीकरण को हल करें। इस मामले में, कार्यों के लिए प्रसिद्ध अवधियों का उपयोग किया जाता है। ज्या और कोज्या फलनों के लिए, अवधि 2π है, और स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए, यह है।

2. मान लीजिए फलन f(x) = sin^2(10x) दिया गया है। व्यंजक sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) पर विचार करें। डिग्री कम करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. फिर 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) या cos 20x = cos (20x+20T) प्राप्त करें। यह जानते हुए कि कोज्या का आवर्त 2π, 20T = 2π है। इसलिए, टी = /10। टी न्यूनतम सही अवधि है, और फ़ंक्शन को 2T के बाद, और 3T के बाद, और अक्ष के साथ दूसरी दिशा में दोहराया जाएगा: -T, -2T, आदि।

उपयोगी सलाह
किसी फ़ंक्शन की डिग्री को कम करने के लिए सूत्रों का उपयोग करें। यदि आप कुछ कार्यों की अवधि से अधिक परिचित हैं, तो मौजूदा फ़ंक्शन को ज्ञात कार्यों तक कम करने का प्रयास करें।

सम और विषम के लिए एक फलन खोजने से फलन का एक ग्राफ बनाने और उसके व्यवहार की प्रकृति को समझने में मदद मिलती है। इस शोध के लिए, आपको "x" तर्क और "-x" तर्क के लिए लिखे गए फ़ंक्शन की तुलना करने की आवश्यकता है।

अनुदेश

1. वह फ़ंक्शन लिखें जिसे आप y=y(x) के रूप में एक्सप्लोर करना चाहते हैं।

2. फ़ंक्शन तर्क को "-x" से बदलें। इस तर्क को एक कार्यात्मक अभिव्यक्ति में बदलें।

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

4. इस प्रकार, आपको "x" और "-x" तर्कों के लिए एक ही फ़ंक्शन लिखा गया है। इन दो प्रविष्टियों को देखें। यदि y(-x)=y(x), तो यह एक सम फलन है। यदि y(-x)=-y(x) है, तो यह एक विषम फलन है। यदि यह असंभव है फ़ंक्शन के बारे में कहें कि y (-x)=y(x) या y(-x)=-y(x), तो, समता की संपत्ति से, यह सार्वभौमिक रूप का एक कार्य है। यानी यह न तो सम है और न ही विषम।

5. अपने परिणाम लिखें। अब आप उनका उपयोग किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ को प्लॉट करने में या किसी फ़ंक्शन के गुणों के लिए भविष्य की विश्लेषणात्मक खोज में कर सकते हैं।

6. उस स्थिति में सम और विषम कार्यों के बारे में बात करना भी संभव है जब फ़ंक्शन का ग्राफ़ अधिक बारीकी से परिभाषित होता है। मान लीजिए कि ग्राफ एक भौतिक प्रयोग का परिणाम था। यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है, तो y(x) एक सम फलन है। यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ x-अक्ष के बारे में सममित है, तब x(y) एक सम फलन है। x(y) y(x) का प्रतिलोम फलन है। यदि फलन का ग्राफ मूल बिन्दु (0,0) के सापेक्ष सममित है, तो y(x) एक विषम फलन है। प्रतिलोम फलन x(y) भी विषम होगा।

7. यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि सम और विषम फलनों की अवधारणा का फलन के क्षेत्र से सीधा संबंध है। यदि, मान लीजिए, x=5 के लिए एक सम या विषम फलन मौजूद नहीं है, तो यह x=-5 के लिए मौजूद नहीं है, जो कि सामान्य रूप के एक फलन के बारे में कहना असंभव है। सम और विषम की स्थापना करते समय, फ़ंक्शन के डोमेन पर ध्यान दें।

8. सम और विषम कार्यों की खोज फ़ंक्शन मानों के सेट को खोजने से संबंधित है। किसी सम फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने के लिए, फ़ंक्शन का आधा, दाईं ओर या शून्य के बाईं ओर देखने के लिए पर्याप्त है। यदि x>0 के लिए एक सम फलन y(x) A से B तक मान लेता है, तो यह x के लिए समान मान लेगा<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 विषम फ़ंक्शन y(x) A से B तक मानों की श्रेणी लेता है, फिर x . के लिए<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"त्रिकोणमितीय" को एक बार ऐसे फ़ंक्शन कहा जाने लगा, जो इसके पक्षों की लंबाई पर एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों की निर्भरता से निर्धारित होते हैं। इन कार्यों में शामिल हैं, सबसे पहले, साइन और कोसाइन, और दूसरी बात, सेकेंट और कोसेकेंट, जो इन कार्यों के विपरीत हैं, उनके स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट डेरिवेटिव, साथ ही व्यस्त कार्य आर्क्साइन, आर्ककोसाइन इत्यादि। यह है ऐसे कार्यों के "समाधान" के बारे में नहीं, बल्कि उनकी "गणना" के बारे में बात करना अधिक सकारात्मक है, अर्थात संख्यात्मक मान खोजने के बारे में।

अनुदेश

1. यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क अज्ञात है, तो इन कार्यों की परिभाषाओं के आधार पर एक अप्रत्यक्ष विधि द्वारा इसके मूल्य की गणना करने की अनुमति है। ऐसा करने के लिए, आपको त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई जानने की जरूरत है, त्रिकोणमितीय फलन जिसमें से एक कोण की गणना करना चाहते हैं। मान लीजिए, परिभाषा के अनुसार, समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या इस कोण के विपरीत पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए इन दोनों भुजाओं की लंबाई जानना ही काफी है। एक समान परिभाषा कहती है कि एक न्यून कोण की ज्या इस कोण से सटे पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। एक तीव्र कोण के स्पर्शरेखा की गणना विपरीत पैर की लंबाई को आसन्न एक की लंबाई से विभाजित करके की जा सकती है, और कोटेंजेंट को आसन्न पैर की लंबाई को विपरीत की लंबाई से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। एक तीव्र कोण के छेदक की गणना करने के लिए, आपको आवश्यक कोण से सटे पैर की लंबाई के लिए कर्ण की लंबाई का अनुपात खोजने की आवश्यकता है, और कोसेकेंट को कर्ण की लंबाई और लंबाई के अनुपात से निर्धारित किया जाता है। विपरीत पैर की।

2. यदि त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क किया जाता है, तो त्रिभुज के पक्षों की लंबाई जानने की आवश्यकता नहीं है - इसे मूल्यों की तालिका या त्रिकोणमितीय कार्यों के कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुमति है। ऐसा कैलकुलेटर विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम के मानक कार्यक्रमों में से एक है। इसे चलाने के लिए, आप विन + आर कुंजी संयोजन दबा सकते हैं, कैल्क कमांड दर्ज कर सकते हैं और ओके बटन पर क्लिक कर सकते हैं। प्रोग्राम इंटरफ़ेस में, "देखें" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" आइटम का चयन करें। बाद में, इसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क को पेश करने की अनुमति है। साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के कार्यों की गणना करने के लिए, मान दर्ज करने के बजाय, संबंधित इंटरफ़ेस बटन (sin, cos, tg) पर क्लिक करें, और आर्क्साइन, आर्ककोसाइन और आर्कटेंजेंट के उनके व्युत्क्रमों को खोजने के लिए, पहले से Inv चेकबॉक्स को चेक करें।

3. वैकल्पिक तरीके भी हैं। उनमें से एक है निगमा या गूगल सर्च इंजन की साइट पर जाना और वांछित फ़ंक्शन और उसके तर्क (जैसे, पाप 0.47) को एक खोज क्वेरी के रूप में दर्ज करना है। इन सर्च इंजनों में बिल्ट-इन कैलकुलेटर होते हैं, इसलिए, इस तरह के अनुरोध को भेजने के बाद, आपको आपके द्वारा दर्ज किए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान प्राप्त होगा।

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टिप 7: त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य का पता कैसे लगाएं

त्रिकोणमितीय कार्य पहली बार अपने पक्षों की लंबाई पर एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों के परिमाण की निर्भरता की अमूर्त गणितीय गणना के लिए उपकरण के रूप में दिखाई दिए। अब वे मानव गतिविधि के वैज्ञानिक और तकनीकी दोनों क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। दिए गए तर्कों से त्रिकोणमितीय कार्यों की उपयोगितावादी गणना के लिए, इसे विभिन्न उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति है - कुछ विशेष रूप से सुलभ लोगों का वर्णन नीचे किया गया है।

अनुदेश

1. ऑपरेटिंग सिस्टम के साथ डिफ़ॉल्ट रूप से इंस्टॉल किए गए कैलकुलेटर प्रोग्राम का उपयोग करें। यह "सभी कार्यक्रम" अनुभाग में स्थित "विशिष्ट" उपखंड से "उपयोगिताएँ" फ़ोल्डर में "कैलकुलेटर" आइटम का चयन करके खुलता है। इस अनुभाग को "प्रारंभ" बटन पर क्लिक करके ऑपरेटिंग सिस्टम के मुख्य मेनू को खोलकर पाया जा सकता है। यदि आप विंडोज 7 संस्करण का उपयोग कर रहे हैं, तो आप मुख्य मेनू के "प्रोग्राम और फाइलों का पता लगाएं" फ़ील्ड में "कैलकुलेटर" शब्द दर्ज कर सकते हैं, और फिर खोज परिणामों में उपयुक्त लिंक पर क्लिक कर सकते हैं।

2. उस कोण का मान दर्ज करें जिसके लिए आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करना चाहते हैं, और फिर इस फ़ंक्शन के अनुरूप बटन पर क्लिक करें - sin, cos या tan। यदि आप व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों (आर्क्साइन, आर्ककोसाइन या आर्कटेंजेंट) के बारे में चिंतित हैं, तो पहले Inv लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - यह कैलकुलेटर के नियंत्रण बटन को सौंपे गए कार्यों को उलट देता है।

3. OS के पुराने संस्करणों (जैसे, Windows XP) में, त्रिकोणमितीय कार्यों को एक्सेस करने के लिए, आपको कैलकुलेटर मेनू में "व्यू" सेक्शन को खोलना होगा और "इंजीनियरिंग" लाइन को प्राथमिकता देनी होगी। इसके अलावा, प्रोग्राम के पुराने संस्करणों के इंटरफ़ेस में आमंत्रण बटन के बजाय, उसी शिलालेख के साथ एक चेकबॉक्स है।

4. यदि आपके पास इंटरनेट है तो आप कैलकुलेटर के बिना भी कर सकते हैं। वेब पर कई सेवाएं हैं जो अलग-अलग संगठित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कैलकुलेटर प्रदान करती हैं। एक विशेष रूप से आसान विकल्प निगमा सर्च इंजन में बनाया गया है। इसके मुख्य पृष्ठ पर जाने के बाद, प्रारंभिक रूप से वह मान दर्ज करें जो आपको खोज क्वेरी फ़ील्ड में उत्तेजित करता है - कहते हैं, "30 डिग्री का चाप स्पर्शरेखा"। "डिस्कवर!" दबाने के बाद! खोज इंजन गणना के परिणाम की गणना करेगा और दिखाएगा - 0.482347907101025।

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त्रिकोणमिति उन कार्यों को समझने के लिए गणित की एक शाखा है जो कर्ण पर न्यून कोणों के परिमाण पर एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की विभिन्न निर्भरता को व्यक्त करते हैं। इस तरह के कार्यों को त्रिकोणमितीय कहा जाता है, और उनके साथ काम करने की सुविधा के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों को व्युत्पन्न किया गया था। पहचान .

प्रतिनिधित्व पहचानगणित में एक समानता को दर्शाता है जो इसमें शामिल कार्यों के तर्कों के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट है। त्रिकोणमितीय पहचान- ये त्रिकोणमितीय कार्यों की समानताएं हैं, त्रिकोणमितीय सूत्रों के साथ काम को सरल बनाने के लिए पुष्टि और स्वीकृत। त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कर्ण पर तीव्र कोण के परिमाण पर एक समकोण त्रिभुज के पैरों में से एक की निर्भरता का एक प्राथमिक कार्य है। अधिक बार नहीं, छह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग किया जाता है: पाप (साइन), कॉस (कोसाइन), टीजी (स्पर्शरेखा), सीटीजी (कोटैंजेंट), सेक (सेकेंट) और कोसेक (कोसेकेंट)। इन कार्यों को प्रत्यक्ष कहा जाता है, व्युत्क्रम कार्य भी होते हैं, कहते हैं, साइन - आर्क्साइन, कोसाइन - आर्ककोसाइन, आदि। प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों को ज्यामिति में प्रतिबिंब मिला, उसके बाद वे विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में फैल गए: भौतिकी, रसायन विज्ञान, भूगोल, प्रकाशिकी , संभाव्यता सिद्धांत, साथ ही ध्वनिकी, संगीत सिद्धांत, ध्वन्यात्मकता, कंप्यूटर ग्राफिक्स और कई अन्य। अब इन कार्यों के बिना गणितीय गणनाओं की कल्पना करना अधिक कठिन है, हालांकि सुदूर अतीत में उनका उपयोग केवल खगोल विज्ञान और वास्तुकला में किया जाता था। पहचानलंबे त्रिकोणमितीय सूत्रों के साथ काम को सरल बनाने और उन्हें सुपाच्य रूप में लाने के लिए उपयोग किया जाता है। छह बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान हैं, वे सीधे त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े हैं: टीजी? = पाप? / क्योंकि ?; पाप^2? + क्योंकि^2? = 1; 1 + टीजी^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/टीजी^2? = 1/पाप^2?; पाप (? / 2 -?) \u003d क्योंकि?; cos (? / 2 -?) \u003d पाप?। ये पहचानएक समकोण त्रिभुज में भुजाओं और कोणों के अनुपात के गुणों से पुष्टि करना आसान है: sin ? = बीसी/एसी = बी/सी; क्योंकि? = एबी/एसी = ए/सी; टीजी? = बी/ए पहली पहचान टीजी? = पाप? / क्योंकि? त्रिभुज में भुजाओं के अनुपात से और पाप को cos से विभाजित करने पर भुजा c (कर्ण) के अपवर्जन से होता है। उसी तरह, पहचान ctg को परिभाषित किया गया है? = क्योंकि?/पाप?, क्योंकि सीटीजी? = 1/tg ?. पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, a^2 + b^2 = c^2। इस समानता को c^2 से विभाजित करें, हमें दूसरी पहचान मिलती है: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + क्योंकि^2 ? = 1.तीसरा और चौथा पहचानक्रमशः b^2 और a^2 से विभाजित करके प्राप्त होता है: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/पाप^? या 1 + सीटीजी^2? \u003d 1 / पाप ^ 2?। पांचवां और छठा मुख्य पहचानएक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग निर्धारित करके सिद्ध किया जाता है, जो 90 ° या? / 2 के बराबर होता है। अधिक कठिन त्रिकोणमितीय पहचान: तर्क जोड़ने के लिए सूत्र, डबल और ट्रिपल कोण, डिग्री कम करना, कार्यों के योग या उत्पाद में सुधार, साथ ही त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र, अर्थात् आधे कोण के संदर्भ में मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के भाव tg: sin ?= (2 * टीजी? / 2) / (1 + टीजी^2?/2); क्योंकि? = (1 - टीजी^2?/2)/(1 = टीजी^2?/2);टीजी? = (2*tg ?/2)/(1 - tg^2 ?/2)।

न्यूनतम खोजने की आवश्यकता अर्थगणितीय कार्योंअर्थशास्त्र में लागू समस्याओं को हल करने में वास्तविक रुचि है। विशाल अर्थउद्यमशीलता गतिविधि के लिए घाटे को कम करना है।

अनुदेश

1. न्यूनतम खोजने के लिए अर्थ कार्यों, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि तर्क x0 के किस मान पर असमानता y(x0) संतुष्ट होगी? वाई (एक्स), जहां एक्स? x0. हमेशा की तरह, इस समस्या को एक निश्चित अंतराल पर या मूल्यों की प्रत्येक श्रेणी में हल किया जाता है कार्यों, अगर कोई सेट नहीं है। समाधान का एक पहलू निश्चित बिंदुओं का पता लगाना है।

2. स्थिर बिंदु कहलाता है अर्थतर्क है कि व्युत्पन्न कार्योंशून्य पर जाता है। फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार, यदि एक अवकलनीय फलन एक अति अर्थकिसी बिंदु पर (इस मामले में, एक स्थानीय न्यूनतम), तो यह बिंदु स्थिर है।

3. न्यूनतम अर्थफ़ंक्शन अक्सर इस बिंदु पर बिल्कुल ठीक होता है, हालांकि, इसे हमेशा निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि न्यूनतम क्या है कार्योंया वह एक असीम रूप से छोटा स्वीकार करता है अर्थ. फिर, हमेशा की तरह, वे उस सीमा को ढूंढते हैं जिस पर वह घटते समय गुरुत्वाकर्षण करता है।

4. न्यूनतम निर्धारित करने के लिए अर्थ कार्यों, चार चरणों वाली क्रियाओं का एक क्रम करना आवश्यक है: परिभाषा के क्षेत्र को खोजना कार्यों, निश्चित बिंदुओं का अधिग्रहण, मूल्यों का अवलोकन कार्योंइन बिंदुओं पर और अंतराल के सिरों पर, न्यूनतम का पता लगाना।

5. यह पता चला है कि बिंदु ए और बी पर सीमाओं के साथ अंतराल पर कुछ फ़ंक्शन y(x) दिया जाता है। इसकी परिभाषा का डोमेन खोजें और पता लगाएं कि अंतराल इसका सबसेट है या नहीं।

6. व्युत्पन्न की गणना करें कार्यों. परिणामी व्यंजक को शून्य के बराबर कीजिए और समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए। जांचें कि क्या ये स्थिर बिंदु अंतराल के भीतर आते हैं। यदि नहीं, तो अगले चरण में उन पर ध्यान नहीं दिया जाता है।

7. सीमाओं के प्रकार के लिए अंतराल देखें: खुला, बंद, यौगिक, या आयाम रहित। यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप न्यूनतम कैसे पाते हैं अर्थ. मान लें कि खंड [ए, बी] एक बंद अंतराल है। उन्हें फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें और मानों की गणना करें। स्थिर बिंदु के साथ भी ऐसा ही करें। सबसे छोटा योग चुनें।

8. खुले और असीमित अंतराल के साथ, स्थिति कुछ अधिक कठिन होती है। यहां हमें एकतरफा सीमाओं की तलाश करनी है, जो हमेशा एक स्पष्ट परिणाम नहीं देते हैं। मान लीजिए, एक बंद और एक छिद्रित सीमा [ए, बी] के साथ अंतराल के लिए, किसी को x = A पर एक फ़ंक्शन और x पर एक तरफा सीमा lim y मिलनी चाहिए? बी-0.

असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करना:

बी) संख्या अक्ष पर संख्याओं के सेट पर विचार करें जो असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:

इस सेट को बनाने वाले खंडों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए।

7. सबसे सरल सूत्र

3 में हमने न्यून कोण α के लिए निम्नलिखित सूत्र स्थापित किया:

			sin2α + cos2α = 1।
				एक ही सूत्र			कब,
				जब α कोई हो			डे-
				ले, मान लीजिए M त्रिकोणमिति पर एक बिंदु है
				के अनुरूप calic वृत्त
				संख्या α (चित्र। 7.1)। फिर		एम के पास सह-
				निर्देशांक x = cos α, y
				हालाँकि, प्रत्येक बिंदु (x; y) पर पड़ा हुआ है
				केंद्र के साथ इकाई त्रिज्या के वृत्त
				मूल पर ट्रॉम, संतोषजनक
				समीकरण x2 + y2 . को हल करता है		1, कहा से
				cos2 α + sin2 α = 1, आवश्यकतानुसार।

तो, सूत्र cos2 α + sin2 α = 1 वृत्त समीकरण से अनुसरण करता है। ऐसा लग सकता है कि इस तरह हमने न्यून कोणों के लिए इस सूत्र का एक नया प्रमाण दिया है (इसकी तुलना में 3 में दर्शाया गया है, जहां हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया था)। हालांकि, अंतर पूरी तरह से बाहरी है: सर्कल समीकरण x2 + y2 = 1 प्राप्त करते समय, वही पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

न्यून कोणों के लिए, हमने अन्य सूत्र भी प्राप्त किए, उदाहरण के लिए

प्रतीक, दायां पक्ष हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जबकि बाईं ओर अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है। सभी α के लिए सूत्र के सत्य होने के लिए, इसे चुकता किया जाना चाहिए। हमें समानता मिलती है: cos2 α = 1/(1 + tg2 α)। आइए हम सिद्ध करें कि यह सूत्र सभी α:1 . के लिए सत्य है

1/(1 + टीजी2			sin2α			cos2α	Cos2α।
			cos2α			sin2α + cos2α

समस्या 7.1. नीचे दिए गए सभी सूत्रों को परिभाषाओं और सूत्र sin2 α + cos2 α = 1 से प्राप्त करें (हम उनमें से कुछ को पहले ही साबित कर चुके हैं):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

टीजी α सीटीजी α = 1;

cos2α

1 + टीजी2α

सीटीजी2α

सीटीजी2

cos2α =

1 + सीटीजी2α

पाप2

ये सूत्र किसी दिए गए नंबर के त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक के मूल्य को जानने की अनुमति देते हैं, लगभग बाकी सभी को खोजने के लिए

हाँ। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि sin x = 1/2। तब cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, इसलिए cos x या तो 3/2 या − 3/2 है। यह पता लगाने के लिए कि इन दो संख्याओं में से कौन सी संख्या x के बराबर है, अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता है।

समस्या 7.2. उदाहरणों के साथ दिखाएँ कि उपरोक्त दोनों स्थितियाँ संभव हैं।

समस्या 7.3। क) मान लीजिए tgx = -1 है। sinx का पता लगाएं। इस समस्या के कितने उत्तर हैं?

बी) माना, बिंदु ए की शर्तों के अलावा), हम जानते हैं कि पाप x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 जिसके लिए tg α परिभाषित किया गया है, अर्थात cos α 6=0.

समस्या 7.4. माना पाप x = 3/5, x [π/2; 3π/2]। टीजीएक्स खोजें।

समस्या 7.5. माना tg x = 3, cos x > sin x। cos x, sin x ज्ञात कीजिए।

समस्या 7.6। माना tgx = 3/5. sin x + 2 cos x ज्ञात कीजिए। cos x -3 पाप x

समस्या 7.7. पहचान साबित करें:

tgα - sinα

ग) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

समस्या 7.8. अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α - cos α)2 ; बी) (टीजी α + सीटीजी α)2 + (टीजी α - सीटीजी α)2;

ग) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) -5 cos α।

8. त्रिकोणमितीय फलनों की अवधि

संख्याएँ x, x+2π, x−2π त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक ही बिंदु से मेल खाती हैं (यदि आप त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ एक अतिरिक्त वृत्त पास करते हैं, तो आप वहीं आएंगे जहां आप थे)। इसका तात्पर्य निम्नलिखित पहचानों से है, जिन पर पहले से ही 5 में चर्चा की गई थी:

sin(x + 2π) = sin(x - 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

इन पहचानों के संबंध में, हम पहले ही "अवधि" शब्द का उपयोग कर चुके हैं। अब हम सटीक परिभाषा देते हैं।

परिभाषा। संख्या T 6= 0 को फलन f का आवर्त कहा जाता है यदि f(x - T) = f(x + T) = f(x) सभी x के लिए सत्य हैं (यह माना जाता है कि x + T और x - T को फ़ंक्शन के डोमेन में शामिल किया जाता है, यदि इसमें x शामिल है)। एक फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है यदि इसकी अवधि (कम से कम एक) हो।

आवधिक कार्य स्वाभाविक रूप से दोलन प्रक्रियाओं के विवरण में उत्पन्न होते हैं। इन प्रक्रियाओं में से एक पर पहले ही 5 में चर्चा की जा चुकी है। यहां और उदाहरण दिए गए हैं:

1) मान लीजिए = (t) घड़ी के झूलते लोलक का क्षण t पर ऊर्ध्वाधर से विचलन का कोण है। तब t का आवर्त फलन है।

2) एक एसी आउटलेट में दो सॉकेट के बीच वोल्टेज ("संभावित अंतर," एक भौतिक विज्ञानी के रूप में कहेंगे), es-

क्या इसे समय का एक फलन मानना ​​एक आवर्ती फलन है1.

3) आइए सुनते हैं संगीतमय ध्वनि। तब किसी दिए गए बिंदु पर वायुदाब समय का एक आवर्त फलन होता है।

यदि किसी फ़ंक्शन की अवधि T है, तो इस फ़ंक्शन की अवधि भी संख्याएं −T , 2T , −2T होगी। . . - एक शब्द में, सभी संख्याएँ nT , जहाँ n एक पूर्णांक है जो शून्य के बराबर नहीं है। वास्तव में, आइए जाँच करें, उदाहरण के लिए, कि f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x)।

परिभाषा। फ़ंक्शन f की सबसे कम सकारात्मक अवधि है - शब्दों के शाब्दिक अर्थ के अनुसार - एक सकारात्मक संख्या T जैसे कि T, f की अवधि है और T से कम कोई सकारात्मक संख्या अब f की अवधि नहीं है।

एक आवर्त फलन के लिए सबसे छोटा धनात्मक आवर्त होना आवश्यक नहीं है (उदाहरण के लिए, एक स्थिरांक वाला फलन सामान्य रूप से किसी भी संख्या का आवर्त होता है और इसलिए, इसमें सबसे छोटी धनात्मक अवधि नहीं होती है)। उदाहरण गैर-स्थिर आवधिक कार्यों के भी दिए जा सकते हैं जिनमें सबसे छोटी सकारात्मक अवधि नहीं होती है। फिर भी, अधिकांश दिलचस्प मामलों में, आवधिक कार्यों में सबसे छोटी सकारात्मक अवधि होती है।

1 जब वे कहते हैं कि "नेटवर्क में वोल्टेज 220 वोल्ट है", तो उनका मतलब इसका "आरएमएस मान" है, जिसके बारे में हम 21 में बात करेंगे। वोल्टेज हर समय बदलता रहता है।

चावल। 8.1. स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अवधि।

विशेष रूप से, साइन और कोसाइन दोनों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि 2π है। आइए हम इसे सिद्ध करें, उदाहरण के लिए, फलन y = sin x के लिए। मान लीजिए, हम जो कहते हैं उसके विपरीत, ज्या का आवर्त T इस प्रकार होता है कि 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

दोलनों का वर्णन करने वाले फलन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि (जैसा कि हमारे उदाहरण 1-3 में है) को केवल इन दोलनों की अवधि कहा जाता है।

चूँकि संख्या 2π ज्या और कोज्या की अवधि है, इसलिए यह स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की अवधि भी होगी। हालांकि, इन कार्यों के लिए, 2π सबसे छोटी अवधि नहीं है: स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है। दरअसल, त्रिकोणमितीय वृत्त पर संख्या x और x + के संगत बिंदु एक दूसरे के विपरीत होते हैं: बिंदु x से बिंदु x + 2π तक व्यक्ति को की दूरी तय करनी चाहिए, बिल्कुल आधे वृत्त के बराबर। अब, यदि हम स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की कुल्हाड़ियों का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा का उपयोग करते हैं, तो समानताएं tg (x + ) = tg x और ctg (x + π) = ctg x स्पष्ट हो जाती हैं (चित्र 8.1)। यह जांचना आसान है (हम इसे समस्याओं में करने का प्रस्ताव करेंगे) कि वास्तव में स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है।

शब्दावली के बारे में एक नोट। अक्सर "एक फ़ंक्शन की अवधि" शब्द का प्रयोग "सबसे छोटी सकारात्मक अवधि" के अर्थ में किया जाता है। इसलिए यदि आपसे परीक्षा में पूछा जाता है: "क्या 100π साइन फंक्शन की अवधि है?", उत्तर के साथ अपना समय लें, लेकिन स्पष्ट करें कि क्या आपका मतलब सबसे छोटी सकारात्मक अवधि या सिर्फ एक अवधि है।

त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक कार्यों का एक विशिष्ट उदाहरण हैं: किसी भी "बहुत खराब नहीं" आवधिक कार्य को त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में कुछ अर्थों में व्यक्त किया जा सकता है।

समस्या 8.1. कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजें:

				ग) y = cos x;

d) y = cosx + cos(1.01x)।

समस्या 8.2. समय पर एसी नेटवर्क में वोल्टेज की निर्भरता सूत्र द्वारा दी जाती है यू = यू0 पाप ωt (यहाँ t समय है, U वोल्टेज है, U0 और स्थिरांक हैं)। प्रत्यावर्ती धारा की आवृत्ति 50 हर्ट्ज है (इसका मतलब है कि वोल्टेज प्रति सेकंड 50 दोलन करता है)।

ए) खोजें, यह मानते हुए कि टी सेकंड में मापा जाता है;

बी) टी के एक समारोह के रूप में (सबसे छोटी सकारात्मक) अवधि यू खोजें।

समस्या 8.3. क) सिद्ध कीजिए कि कोज्या का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त 2π है;

b) सिद्ध कीजिए कि स्पर्श रेखा का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त होता है।

समस्या 8.4। मान लें कि फलन f का न्यूनतम धनात्मक आवर्त T के बराबर है। सिद्ध कीजिए कि कुछ पूर्णांक n के लिए अन्य सभी आवर्त nT के रूप के हैं।

समस्या 8.5. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलन आवर्त नहीं हैं।

>> फलनों की आवर्तता y = sin x, y = cos x

§ 11. कार्यों की आवधिकता y \u003d sin x, y \u003d cos x

पिछले पैराग्राफ में, हमने सात गुणों का उपयोग किया है कार्यों: परिभाषा का क्षेत्र, सम या विषम, एकरसता, सीमा, अधिकतम और न्यूनतम मान, निरंतरता, कार्यों की श्रेणी। हमने इन गुणों का उपयोग या तो फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए किया था (जैसा कि, उदाहरण के लिए, 9 में था), या निर्मित ग्राफ़ को पढ़ने के लिए (जैसा कि यह था, उदाहरण के लिए, § 10 में)। अब कार्यों की एक और (आठवीं) संपत्ति पेश करने के लिए एक अनुकूल क्षण आ गया है, जो कि ऊपर-निर्मित पर पूरी तरह से दिखाई देता है चार्टकार्य y \u003d sin x (चित्र 37 देखें), y \u003d cos x (चित्र 41 देखें)।

परिभाषा।एक फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है यदि कोई गैर-शून्य संख्या T मौजूद है जैसे कि सेट में से किसी भी x के लिए, डबल समानता:

संकेतित स्थिति को संतुष्ट करने वाली संख्या T को फ़ंक्शन y \u003d f (x) की अवधि कहा जाता है।
यह इस प्रकार है कि, किसी भी x के लिए, समानताएं सत्य हैं:

तब कार्य y \u003d sin x, y \u003d cos x आवधिक हैं और संख्या 2 पीदोनों कार्यों की अवधि के रूप में कार्य करता है।
किसी फ़ंक्शन की आवधिकता कार्यों की वादा की गई आठवीं संपत्ति है।

अब फंक्शन y \u003d sin x (चित्र 37) के ग्राफ को देखें। एक साइनसॉइड बनाने के लिए, इसकी एक लहर (एक खंड पर और फिर इस तरंग को एक्स अक्ष के साथ स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है। परिणामस्वरूप, एक लहर का उपयोग करके, हम पूरे ग्राफ का निर्माण करेंगे।

आइए फ़ंक्शन y \u003d cos x (चित्र। 41) के ग्राफ पर उसी दृष्टिकोण से देखें। हम देखते हैं कि यहां भी, एक ग्राफ को प्लॉट करने के लिए, यह पहले एक तरंग को प्लॉट करने के लिए पर्याप्त है (उदाहरण के लिए, खंड पर

और फिर इसे x-अक्ष के अनुदिश द्वारा ले जाएँ
संक्षेप में, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) की अवधि T है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, आपको पहले लंबाई T के किसी भी अंतराल पर ग्राफ़ की एक शाखा (लहर, भाग) को प्लॉट करना होगा (सबसे अधिक बार, वे लेते हैं बिंदुओं पर सिरों के साथ एक अंतराल और फिर इस शाखा को x अक्ष के साथ दाएं और बाएं से T, 2T, ZT, आदि में स्थानांतरित करें।
एक आवर्त फलन में अपरिमित रूप से कई आवर्त होते हैं: यदि T एक आवर्त है, तो 2T एक आवर्त है, और 3T एक आवर्त है, और -T एक अवधि है; सामान्य तौर पर, एक अवधि केटी के रूप की कोई भी संख्या होती है, जहां के \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... आमतौर पर, यदि संभव हो तो, वे सबसे छोटी सकारात्मक अवधि को बाहर करने का प्रयास करते हैं, इसे मुख्य अवधि कहा जाता है।
तो, फॉर्म 2pc की कोई भी संख्या, जहां k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, कार्यों की अवधि y \u003d sinn x, y \u003d cos x है; 2p दोनों कार्यों की मुख्य अवधि है।

उदाहरण।किसी फ़ंक्शन की मुख्य अवधि ज्ञात करें:

लेकिन)मान लीजिए T फलन y \u003d sin x का मुख्य आवर्त है। चलो रखो

संख्या T के लिए फलन की अवधि होने के लिए, पहचान Ho को धारण करना चाहिए, क्योंकि हम मुख्य अवधि खोजने के बारे में बात कर रहे हैं, हम प्राप्त करते हैं
बी)मान लीजिए T फलन का मुख्य आवर्त है y = cos 0.5x। चलो f(x)=cos 0.5x। फिर f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T)।

संख्या T के लिए फलन की अवधि होने के लिए, पहचान cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x संतुष्ट होना चाहिए।

तो, 0.5t = 2pp। लेकिन, चूँकि हम मुख्य आवर्त ज्ञात करने की बात कर रहे हैं, हमें 0.5T = 2 l, T = 4l मिलता है।

उदाहरण में प्राप्त परिणामों का सामान्यीकरण निम्नलिखित कथन है: कार्य की मुख्य अवधि

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित ग्रेड 10

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तर्क x है, तो इसे आवर्त कहा जाता है यदि कोई संख्या T इस प्रकार हो कि किसी x F(x + T) = F(x) के लिए। इस संख्या T को फलन का आवर्त कहते हैं।

कई अवधि हो सकती है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F = const तर्क के किसी भी मान के लिए समान मान लेता है, और इसलिए किसी भी संख्या को इसकी अवधि माना जा सकता है।

आमतौर पर फ़ंक्शन की सबसे छोटी गैर-शून्य अवधि में रुचि रखते हैं। संक्षिप्तता के लिए, इसे केवल एक अवधि कहा जाता है।

आवधिक कार्यों का एक उत्कृष्ट उदाहरण त्रिकोणमितीय है: साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा। उनकी अवधि समान है और 2π के बराबर है, यानी पाप (एक्स) = पाप (एक्स + 2π) = पाप (एक्स + 4π) और इसी तरह। हालांकि, निश्चित रूप से, त्रिकोणमितीय कार्य केवल आवधिक नहीं हैं।

सरल, बुनियादी कार्यों के संबंध में, उनकी आवधिकता या गैर-आवधिकता स्थापित करने का एकमात्र तरीका गणना के माध्यम से है। लेकिन जटिल कार्यों के लिए पहले से ही कुछ सरल नियम हैं।

यदि F(x) अवधि T के साथ है, और इसके लिए एक व्युत्पन्न परिभाषित किया गया है, तो यह व्युत्पन्न f(x) = F′(x) भी अवधि T के साथ एक आवधिक कार्य है। आखिरकार, व्युत्पन्न का मान बिंदु x, इस बिंदु पर x-अक्ष पर इसके प्रतिअवकलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा की स्पर्शरेखा के बराबर है, और चूंकि प्रतिअवकलन को समय-समय पर दोहराया जाता है, इसलिए अवकलज को भी दोहराया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन sin(x) का व्युत्पन्न cos(x) है, और यह आवर्त है। cos(x) का अवकलज लेने से आपको -sin(x) प्राप्त होता है। आवधिकता अपरिवर्तित रहती है।

हालांकि, रिवर्स हमेशा सच नहीं होता है। इस प्रकार, फलन f(x) = const आवर्त है, लेकिन इसका प्रतिअवकलन F(x) = const*x + C नहीं है।

यदि F(x) अवधि T के साथ एक आवर्त फलन है, तो G(x) = a*F(kx + b), जहां a, b, और k अचर हैं और k शून्य के बराबर नहीं है - यह भी एक आवर्त फलन है, और इसकी अवधि T/k के बराबर है। उदाहरण के लिए sin(2x) एक आवर्त फलन है और इसका आवर्त है। नेत्रहीन, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: x को किसी संख्या से गुणा करके, आप फ़ंक्शन के ग्राफ़ को क्षैतिज रूप से उतनी ही बार संपीड़ित करते हैं जितना कि

यदि F1(x) और F2(x) आवर्त फलन हैं और उनके आवर्त क्रमशः T1 और T2 के बराबर हैं, तो इन फलनों का योग भी आवर्त हो सकता है। हालांकि, इसका आवर्त काल T1 और T2 का साधारण योग नहीं होगा। यदि T1/T2 को विभाजित करने का परिणाम एक परिमेय संख्या है, तो कार्यों का योग आवधिक होता है, और इसकी अवधि T1 और T2 की अवधि के कम से कम सामान्य गुणक (LCM) के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, यदि पहले फलन का आवर्त 12 और दूसरे का आवर्त 15 है, तो उनके योग का आवर्तकाल LCM (12, 15) = 60 होगा।

इसे निम्नानुसार देखा जा सकता है: फ़ंक्शन अलग-अलग "चरण चौड़ाई" के साथ आते हैं, लेकिन यदि उनकी चौड़ाई का अनुपात तर्कसंगत है, तो जल्दी या बाद में (या बल्कि, चरणों के एलसीएम के माध्यम से), वे फिर से समान हो जाएंगे, और उनकी राशि एक नई अवधि शुरू करेगी।

हालाँकि, यदि अवधियों का अनुपात अपरिमेय है, तो कुल फलन बिल्कुल भी आवर्त नहीं होगा। उदाहरण के लिए, मान लें कि F1(x) = x mod 2 (x का शेष भाग 2 से विभाजित है) और F2(x) = sin(x)। यहाँ T1 2 के बराबर होगा, और T2 2π के बराबर होगा। आवर्त का अनुपात π के बराबर है - एक अपरिमेय संख्या। इसलिए, फलन sin(x) + x mod 2 आवर्त नहीं है।

उद्देश्य: "कार्यों की अवधि" विषय पर छात्रों के ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करना; एक आवधिक समारोह के गुणों को लागू करने में कौशल बनाने के लिए, एक समारोह की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजने, आवधिक कार्यों की साजिश रचने के लिए; गणित के अध्ययन में रुचि को बढ़ावा देना; अवलोकन, सटीकता की खेती करें।

उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, टास्क कार्ड, स्लाइड, घड़ियां, आभूषण टेबल, लोक शिल्प तत्व

"गणित वह है जो लोग प्रकृति और खुद को नियंत्रित करने के लिए उपयोग करते हैं"
एक। Kolmogorov

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक चरण।

पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना। पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।

द्वितीय. गृहकार्य की जाँच करना।

हम नमूनों के अनुसार होमवर्क की जांच करते हैं, सबसे कठिन बिंदुओं पर चर्चा करते हैं।

III. ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।

1. ओरल फ्रंटल वर्क।

सिद्धांत के प्रश्न।

1) फ़ंक्शन की अवधि की परिभाषा तैयार करें
2) फलन y=sin(x), y=cos(x) की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है
3))। कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=tg(x), y=ctg(x)
4) संबंधों की शुद्धता साबित करने के लिए सर्कल का प्रयोग करें:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

टीजी(एक्स+π एन)=टीजीएक्स, एन ∈ जेड
सीटीजी(एक्स+π एन)=सीटीजीएक्स, एन ∈ जेड

sin(x+2π n)=sinx, n Z
cos(x+2π n)=cosx, n Z

5) पीरियोडिक फंक्शन को कैसे प्लॉट करें?

मौखिक व्यायाम।

1) निम्नलिखित संबंधों को सिद्ध कीजिए:

ए) पाप(740º) = पाप(20º)
बी) cos(54º) = cos(-1026º)
सी) पाप (-1000º) = पाप (80º)

2. सिद्ध कीजिए कि 540º का कोण फलन y=cos(2x) के आवर्तों में से एक है।

3. सिद्ध कीजिए कि 360º का कोण फलन y=tg(x) के आवर्तों में से एक है।

4. इन व्यंजकों को रूपांतरित करें ताकि उनमें शामिल कोण निरपेक्ष मान में 90º से अधिक न हों।

ए) टीजी375º
बी) सीटीजी530º
सी) पाप1268º
डी) cos(-7363º)

5. PERIOD, PERIODICITY शब्दों से आपकी मुलाकात कहां हुई?

छात्रों के उत्तर: संगीत में एक अवधि एक निर्माण है जिसमें एक कम या ज्यादा पूर्ण संगीत विचार कहा गया है। भूवैज्ञानिक काल एक युग का हिस्सा है और 35 से 90 मिलियन वर्षों की अवधि के साथ युगों में विभाजित है।

एक रेडियोधर्मी पदार्थ का आधा जीवन। आवधिक अंश। पत्रिकाएं मुद्रित प्रकाशन हैं जो कड़ाई से परिभाषित तिथियों पर दिखाई देते हैं। मेंडेलीव की आवधिक प्रणाली।

6. आंकड़े आवर्त फलनों के रेखांकन के कुछ हिस्सों को दिखाते हैं। समारोह की अवधि को परिभाषित करें। समारोह की अवधि निर्धारित करें।

उत्तर: टी = 2; टी = 2; टी = 4; टी = 8।

7. अपने जीवन में आप दोहराव वाले तत्वों के निर्माण से कहाँ मिले हैं?

छात्र उत्तर देते हैं: आभूषण के तत्व, लोक कला।

चतुर्थ। सामूहिक समस्या समाधान।

(स्लाइड पर समस्या का समाधान।)

आइए हम आवधिकता के लिए किसी फलन का अध्ययन करने के तरीकों में से एक पर विचार करें।

यह विधि यह साबित करने से जुड़ी कठिनाइयों को दूर करती है कि एक या दूसरी अवधि सबसे छोटी है, और साथ ही आवधिक कार्यों पर अंकगणितीय संचालन और एक जटिल कार्य की आवधिकता के बारे में प्रश्नों को छूने की आवश्यकता नहीं है। तर्क केवल एक आवर्त फलन की परिभाषा पर और निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है: यदि T फलन का आवर्त है, तो nT(n? 0) इसका आवर्त है।

समस्या 1. फलन f(x)=1+3(x+q>5) की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि ज्ञात कीजिए

हल: मान लेते हैं कि इस फलन का T-अवधि है। फिर f(x+T)=f(x) सभी x D(f) के लिए, अर्थात।

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(एक्स+टी+0.25)=(एक्स+0.25)

मान लीजिए x=-0.25 हमें मिलता है

(टी) = 0<=>टी = एन, एन जेड

हमने प्राप्त किया है कि माने गए फलन के सभी आवर्त (यदि वे मौजूद हैं) पूर्णांकों में से हैं। इन संख्याओं में से सबसे छोटी धनात्मक संख्या चुनें। इस 1 . आइए देखें कि क्या यह वास्तव में एक अवधि है 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

चूंकि (T+1)=(T) किसी भी T के लिए, फिर f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), अर्थात। 1 - अवधि एफ। चूँकि 1 सभी धनात्मक पूर्णांकों में सबसे छोटा है, तो T=1.

कार्य 2. दिखाएँ कि फलन f(x)=cos 2 (x) आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए।

कार्य 3. फ़ंक्शन की मुख्य अवधि ज्ञात करें

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

फ़ंक्शन की टी-अवधि मान लें, फिर किसी के लिए एक्सअनुपात

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

अगर एक्स = 0 तो

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

यदि x=-T, तो

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 - पाप(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

जोड़ने पर, हमें मिलता है:

10cos(0.75T)=10

2π एन, एन € Z

आइए सभी संख्याओं में से सबसे छोटी सकारात्मक अवधि के लिए "संदिग्ध" चुनें और जांचें कि यह एफ के लिए अवधि है या नहीं। यह नंबर

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

अत: फलन f का मुख्य आवर्त है।

कार्य 4. जाँच करें कि क्या फलन f(x)=sin(x) आवर्त है

माना T फलन f का आवर्त है। फिर किसी x . के लिए

पाप|एक्स+टी|=पाप|एक्स|

यदि x=0, तो sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n Z.

मान लीजिए। कि कुछ n के लिए संख्या n एक आवर्त है

माना कार्य n>0। फिर पाप|π n+x|=sin|x|

इसका तात्पर्य यह है कि n एक ही समय में सम और विषम दोनों होना चाहिए, जो असंभव है। इसलिए, यह फ़ंक्शन आवधिक नहीं है।

कार्य 5. जांचें कि क्या कार्य आवधिक है

एफ (एक्स) =

माना T आवर्त f है, तब

, इसलिए sinT=0, T=π n, n € Z। आइए मान लें कि कुछ n के लिए संख्या n वास्तव में दिए गए फ़ंक्शन की अवधि है। तब संख्या 2π n भी एक आवर्त होगा

चूँकि अंश समान हैं, इसलिए उनके हर भी हैं, इसलिए

अतः फलन f आवर्त नहीं है।

सामूहिक कार्य।

समूह 1 के लिए कार्य।

समूह 2 के लिए कार्य।

जाँच करें कि क्या फलन f आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए (यदि यह मौजूद है)।

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

समूह 3 के लिए कार्य।

काम के अंत में, समूह अपने समाधान प्रस्तुत करते हैं।

VI. पाठ को सारांशित करना।

प्रतिबिंब।

शिक्षक छात्रों को चित्र के साथ कार्ड देता है और पहली ड्राइंग के हिस्से पर पेंट करने की पेशकश करता है, जिस हद तक, जैसा कि उन्हें लगता है, उन्होंने आवधिकता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के तरीकों में महारत हासिल की है, और दूसरी ड्राइंग के हिस्से में , पाठ में कार्य में उनके योगदान के अनुसार।

सातवीं। होम वर्क

एक)। जाँच करें कि क्या फलन f आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए (यदि यह मौजूद है)

बी)। f(x)=x 2 -2x+4

सी)। f(x)=2tg(3x+5)

2))। फलन y=f(x) की अवधि T=2 है और f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]। व्यंजक -2f(-3)-4f(3,5) का मान ज्ञात कीजिए

साहित्य/

1. मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित और गहन अध्ययन के साथ विश्लेषण की शुरुआत।
2. गणित। परीक्षा की तैयारी। ईडी। लिसेंको एफ.एफ., कुलबुखोवा एस.यू.
3. शेरेमेतयेवा टी.जी. , तारासोवा ई.ए.बीजगणित और ग्रेड 10-11 के लिए प्रारंभिक विश्लेषण।