Mnohé čísla nadobudli svoju veľkosť a poverčivý význam už v staroveku. V týchto dňoch k nim pribúdajú nové mýty. Existuje veľa legiend o čísle pí, slávne Fibonacciho čísla sú o niečo horšie ako jeho sláva. Ale možno najprekvapivejšie je číslo e, bez ktorých sa nezaobíde moderná matematika, fyzika a dokonca aj ekonómia.

Aritmetická hodnota e je približne 2,718. Prečo nie presne, ale približne? Pretože toto číslo je iracionálne a transcendentálne, nemôže byť vyjadrené ako zlomok s prirodzenými celými číslami alebo polynóm s racionálnymi koeficientmi. Pre väčšinu výpočtov postačuje špecifikovaná hodnota presnosti 2,718, hoci moderná úroveň výpočtovej techniky umožňuje určiť jej hodnotu s presnosťou na viac ako bilión desatinných miest.

Hlavnou črtou čísla e je, že derivácia jeho exponenciálnej funkcie f (x) = e x sa rovná hodnote samotnej funkcie e x. Žiadny iný matematický vzťah nemá takú nezvyčajnú vlastnosť. Povedzme si o tom trochu podrobnejšie.

Aký je limit

Najprv si predstavme koncept limitu. Zvážte nejaký matematický výraz, napríklad i = 1 / n. Vidím, že s nárastom „n“, Hodnota “i” bude klesať, a keďže “n” smeruje k nekonečnu (ktoré je označené ∞), “i “bude smerovať k limitnej hodnote (často nazývanej jednoducho limit) rovnej nule. Výraz pre limitu (označený ako lim) pre uvažovaný prípad možno napísať ako lim n → ∞ (1 / n) = 0.

Existujú rôzne limity pre rôzne výrazy. Jednou z týchto limitov, zahrnutou v sovietskych a ruských učebniciach ako druhý pozoruhodný limit, je výraz lim n → ∞ (1 + 1 / n) n. Už v stredoveku sa ustálilo, že limitom tohto výrazu je číslo e.

Prvá pozoruhodná hranica zahŕňa výraz lim n → ∞ (Sin n / n) = 1.

Ako nájsť deriváciu e x - v tomto videu.

Čo je derivácia funkcie

Aby sme odhalili koncept derivácie, mali by sme si pripomenúť, čo je funkcia v matematike. Aby sme text nezahlcovali zložitými definíciami, pozastavme sa pri intuitívnom matematickom koncepte funkcie, ktorý spočíva v tom, že jedna alebo viacero veličín v nej úplne určuje hodnotu inej veličiny, ak sú navzájom prepojené. Napríklad vo vzorci S = π ∙ r 2 plochy kruhu hodnota polomeru r úplne a jednoznačne určuje plochu kruhu S.

V závislosti od typu môžu byť funkcie algebraické, trigonometrické, logaritmické atď. Môžu v nich byť prepojené dva, tri alebo viac argumentov. Napríklad prejdená vzdialenosť S, ktorú objekt prekonal rovnomerne zrýchlenou rýchlosťou, je opísaná funkciou S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, kde „t“ je čas pohybu, argument „a“ je zrýchlenie (môže byť aj záporná hodnota) a "V" počiatočná rýchlosť pohybu. Prejdená vzdialenosť teda závisí od hodnôt troch argumentov, z ktorých dva („a“ a „V“) sú konštantné.

Ukážme si na tomto príklade elementárny pojem derivácie funkcie. Charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v danom bode. V našom príklade to bude rýchlosť objektu v určitom časovom okamihu. Pri konštantách "a" a "V" to závisí iba od času "t", to znamená, že vedecky povedané, musíte vziať deriváciu funkcie S vzhľadom na čas "t".

Tento proces sa nazýva diferenciácia, vykonáva sa tak, že sa vypočíta hranica pomeru rastu funkcie k rastu jej argumentu o zanedbateľnú hodnotu. Riešenie takýchto problémov pre jednotlivé funkcie je často zložité a nie je tu zahrnuté. Za zmienku tiež stojí, že niektoré funkcie v určitých bodoch takéto limity vôbec nemajú.

V našom príklade derivát S v čase "t" bude mať tvar S "= ds / dt = a ∙ t + V, z čoho je zrejmé, že rýchlosť S" sa mení lineárne v závislosti od "t".

Exponentová derivácia

Exponenciálna funkcia sa nazýva exponenciálna funkcia, ktorej základom je číslo e. Zvyčajne sa zobrazuje ako F (x) = e x, kde exponent x je premenná. Táto funkcia je plne diferencovateľná v celom rozsahu reálnych čísel. Ako x rastie, neustále sa zvyšuje a je vždy väčšie ako nula. Jeho inverzná funkcia je logaritmus.

Slávny matematik Taylor dokázal túto funkciu rozšíriť v rade pomenovanom po ňom e x = 1 + x / 1! + x 2/2! + x 3/3! +… V rozsahu x od - ∞ do + ∞.

Zákon vychádza z tejto funkcie, sa nazýva exponenciálny. Opisuje:

• zvýšenie zloženého bankového úroku;
• zvýšenie populácie zvierat a populácie planéty;
• rigor mortis time a oveľa viac.

Zopakujme si ešte raz pozoruhodnú vlastnosť tejto závislosti – hodnota jej derivácie v ktoromkoľvek bode sa vždy rovná hodnote funkcie v tomto bode, teda (e x) "= e x.

Tu sú deriváty pre najvšeobecnejšie prípady exponentu:

• (e ax) "= a ∙ e ax;
• (e f (x)) "= f" (x) ∙ e f (x).

Pomocou týchto závislostí je ľahké nájsť deriváty pre iné konkrétne typy tejto funkcie.

Niekoľko zaujímavých faktov o čísle e

Toto číslo je spojené s menami vedcov ako Napier, Otred, Huygens, Bernoulli, Leibniz, Newton, Euler a ďalší. Ten v skutočnosti zaviedol pre toto číslo označenie e a našiel aj prvých 18 číslic, pričom na výpočet použil ním otvorenú sériu e = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! ...

Číslo e sa nachádza na najneočakávanejších miestach. Napríklad je zahrnutý v rovnici trolejového vedenia, ktorá opisuje priehyb lana vlastnou váhou, keď sú jeho konce upevnené na podperách.

Video

Témou video lekcie je derivácia exponenciálnej funkcie.

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu exponentu (e na mocninu x) a exponenciálnej funkcie (a na mocninu x). Príklady výpočtu derivácií e ^ 2x, e ^ 3x a e ^ nx. Odvodené vzorce vyššieho rádu.

Obsah

Pozri tiež: Exponenciálna funkcia - vlastnosti, vzorce, graf
Exponent, e mocnina x - vlastnosti, vzorce, graf

Základné vzorce

Derivácia exponentu sa rovná samotnému exponentu (derivácia e mocniny x sa rovná e mocniny x):
(1) (e x) ' = e x.

Derivácia exponenciálnej funkcie so základom stupňa a sa rovná samotnej funkcii vynásobenej prirodzeným logaritmom a:
(2) .

Exponent je exponenciálna funkcia, v ktorej sa základ mocniny rovná číslu e, čo je nasledujúca hranica:
.
Tu to môže byť prirodzené alebo skutočné číslo. Ďalej odvodíme vzorec (1) pre deriváciu exponentu.

Odvodenie vzorca derivačného exponentu

Zvážte exponent e k mocnine x:
y = e x.
Táto funkcia je definovaná pre každého. Nájdite jej deriváciu vzhľadom na premennú x. Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Na to potrebujeme nasledujúce fakty:
A) Vlastnosť exponentu:
(4) ;
b) Vlastnosť logaritmu:
(5) ;
V) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(6) .
Tu je nejaká funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
G) Význam druhej pozoruhodnej hranice:
(7) .

Tieto skutočnosti aplikujeme na naše limity (3). Používame nehnuteľnosť (4):
;
.

Urobme náhradu. Potom ; ...
Vzhľadom na kontinuitu exponentu,
.
Preto pre,. V dôsledku toho dostaneme:
.

Urobme náhradu. Potom . V , . A máme:
.

Použime vlastnosť logaritmu (5):
... Potom
.

Použime vlastnosť (6). Pretože existuje kladný limit a logaritmus je spojitý, potom:
.
Tu sme použili aj druhú pozoruhodnú hranicu (7). Potom
.

Takto sme získali vzorec (1) pre deriváciu exponenciály.

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie

Teraz odvodíme vzorec (2) pre deriváciu exponenciálnej funkcie so základom stupňa a. Veríme, že a. Potom exponenciálna funkcia
(8)
Definované pre každého.

Transformujme vzorec (8). Na to použijeme vlastnosti exponenciálnej funkcie a logaritmu.
;
.
Vzorec (8) sme teda transformovali do nasledujúceho tvaru:
.

Deriváty vyššieho rádu e na mocninu x

Teraz nájdeme deriváty vyšších rádov. Najprv sa pozrime na exponent:
(14) .
(1) .

Vidíme, že derivácia funkcie (14) sa rovná samotnej funkcii (14). Diferencovaním (1) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

Je teda zrejmé, že derivácia n-tého rádu sa tiež rovná pôvodnej funkcii:
.

Derivácie vyššieho rádu exponenciálnej funkcie

Teraz zvážte exponenciálnu funkciu s radixom stupňa a:
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(15) .

Diferencovaním (15) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

Vidíme, že každá diferenciácia vedie k násobeniu pôvodnej funkcie o. Preto má derivácia n-tého rádu nasledujúci tvar:
.

Pozri tiež:

Tu je súhrnná tabuľka pre pohodlie a prehľadnosť pri štúdiu témy.

Neustáley = C Mocninná funkcia y = x p (x p) "= p x p - 1	Exponenciálna funkciay = a x (a x) "= a x · ln a Najmä prea = emáme y = e x (e x) "= e x
Logaritmická funkcia (log a x) "= 1 x ln a Najmä prea = emáme y = ln x (ln x) "= 1 x	Goniometrické funkcie (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Inverzné goniometrické funkcie (a r c sin x) "= 1 1 - x 2 (a r c cos x)" = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) "= 1 1 + x 2 (a r c c t g x)" = - 1 1 + x 2	Hyperbolické funkcie (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c h x)" = - 1 h 2 x

Poďme analyzovať, ako sa získali vzorce tejto tabuľky, alebo, inými slovami, dokážeme odvodenie vzorcov pre derivácie pre každý typ funkcií.

Derivácia konštanty

Dôkaz 1

Aby sme odvodili tento vzorec, budeme brať za základ definíciu derivácie funkcie v bode. Používame x 0 = x, kde X nadobúda hodnotu akéhokoľvek reálneho čísla, alebo inými slovami, X je ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie f (x) = C. Napíšme limitu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu ako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Všimnite si, že výraz 0 ∆ x spadá pod limitné znamienko. Nie je to neistota „nula delená nulou“, keďže čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale je nula. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.

Derivácia konštantnej funkcie f (x) = C sa teda rovná nule v celom definičnom obore.

Príklad 1

Sú dané trvalé funkcie:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22, f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Riešenie

Opíšme si špecifikované podmienky. V prvej funkcii vidíme deriváciu prirodzeného čísla 3. V ďalšom príklade musíte vziať derivát z a, kde a- akékoľvek skutočné číslo. Tretí príklad nám dáva deriváciu iracionálneho čísla 4. 13 7 22, štvrtý je deriváciou nuly (nula je celé číslo). Nakoniec v piatom prípade máme deriváciu racionálneho zlomku - 8 7.

odpoveď: derivácie daných funkcií sú nulové pre akúkoľvek real X(v celej oblasti definície)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Derivácia mocninovej funkcie

Prejdeme k mocninovej funkcii a vzorcu pre jej deriváciu, ktorá má tvar: (x p) "= p x p - 1, kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.

Dôkaz 2

Dajme dôkaz vzorca, keď exponent je prirodzené číslo: p = 1, 2, 3, ...

Opäť sa spoliehame na definíciu derivátu. Zapíšme si hranicu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

(x p) "= lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Na zjednodušenie výrazu v čitateli používame Newtonov binomický vzorec:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 ... ... + + C pp - 1 x (∆ x) p - 1 + C pp (∆ x) p - xp = = C p 1 xp - 1 ∆ x + C p 2 xp - 2 x) 2 +. ... ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Touto cestou:

(xp) "= lim ∆ x → 0 ∆ (xp) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - xp ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 xp - 1 x + C p 2 xp - 2 (∆ x) 2 +.. + C pp - 1 x (∆ x) p - 1 + C pp x → 0 (C p 1 xp - 1 + C p 2 xp - 2 ∆ x +. + C pp - 1 x (∆ x) p - 2 + C pp - 1) = = C p 1 xp - 1 + 0 + 0 +.. + 0 = p! 1! (P - 1)! Xp - 1 = p xp - 1

Takže sme dokázali vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie, keď je exponent prirodzené číslo.

Dôkaz 3

Podať dôkaz pre prípad, kedy p - akékoľvek iné reálne číslo ako nula, používame logaritmickú deriváciu (tu treba chápať rozdiel od derivácie logaritmickej funkcie). Pre úplnejšie pochopenie je žiaduce študovať deriváciu logaritmickej funkcie a dodatočne pochopiť deriváciu implicitne definovanej funkcie a deriváciu komplexnej funkcie.

Zvážte dva prípady: kedy X pozitívne a kedy X negatívne.

Takže x> 0. Potom: x p > 0. Logaritmujte rovnosť y = x p so základom e a použite vlastnosť logaritmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

V tejto fáze sme dostali implicitne špecifikovanú funkciu. Definujme jeho derivát:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x ⇒ y "= p y x = p x p x = p x p - 1

Teraz zvážime prípad, kedy X - záporné číslo.

Ak indikátor p je párne číslo, potom je pre x definovaná aj mocninná funkcia< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Potom x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ak p je nepárne číslo, potom je funkcia mocniny definovaná aj pre x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) = (- (- x) p)" = - ((- x) p) "= - p (- x) p - 1 (- x)" = = p (- x) p - 1 = p xp - 1

Posledný prechod je možný vďaka tomu, že ak p je teda nepárne číslo p - 1 buď párne číslo alebo nula (pre p = 1), teda pre zápor X platí rovnosť (- x) p - 1 = x p - 1.

Dokázali sme teda vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie pre akékoľvek reálne p.

Príklad 2

Funkcie sú dané:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Určte ich deriváty.

Riešenie

Časť daných funkcií transformujeme do tabuľkového tvaru y = x p na základe vlastností stupňa a potom použijeme vzorec:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 "( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivácia exponenciálnej funkcie

Dôkaz 4

Odvoďme vzorec pre derivát, pričom za základ vezmeme definíciu:

(ax) "= lim ∆ x → 0 ax + ∆ x - ax ∆ x = lim ∆ x → 0 ax (a ∆ x - 1) ∆ x = ax lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Dostali sme sa do neistoty. Na jej rozšírenie si zapíšeme novú premennú z = a ∆ x - 1 (z → 0 ako ∆ x → 0). V tomto prípade a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a. Pre posledný prechod sa použije vzorec na prechod na nový základ logaritmu.

Nahradíme v pôvodnom limite:

(ax) "= ax lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = ax ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = ax ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = ax ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Pripomeňme si druhú pozoruhodnú limitu a potom dostaneme vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Príklad 3

Uvádzajú sa indikatívne funkcie:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Je potrebné nájsť ich deriváty.

Riešenie

Na deriváciu exponenciálnej funkcie a vlastnosti logaritmu používame vzorec:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 ex "= 1 ex ln 1 e = 1 ex ln e - 1 = - 1 ex

Derivácia logaritmickej funkcie

Dôkaz 5

Uveďme dôkaz vzorca pre deriváciu logaritmickej funkcie pre ľubovoľnú X v oblasti definície a akýchkoľvek prípustných hodnôt základu a logaritmu. Na základe definície derivátu dostaneme:

(log ax) "= lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log ax ∆ x = lim ∆ x → 0 log ax + ∆ xx ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ xx = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ xx 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ xx 1 ∆ x xx = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ xx x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ xxx ∆ x = 1 x log ae = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Zo špecifikovaného reťazca rovnosti je vidieť, že transformácie boli založené na vlastnosti logaritmu. Rovnosť lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e platí podľa druhej pozoruhodnej limity.

Príklad 4

Logaritmické funkcie sú dané:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Je potrebné vypočítať ich deriváty.

Riešenie

Aplikujme odvodený vzorec:

f1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x · ln e = 1 x

Takže derivácia prirodzeného logaritmu je jedna delená X.

Derivácie goniometrických funkcií

Dôkaz 6

Využime niektoré goniometrické vzorce a prvú pozoruhodnú limitu na odvodenie vzorca pre deriváciu goniometrickej funkcie.

Podľa definície derivácie funkcie sínus dostaneme:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Vzorec sínusového rozdielu nám umožní urobiť nasledovné:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Nakoniec použijeme prvý veľký limit:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Takže derivácia funkcie hriech x bude cos x.

Dokážme presne vzorec pre deriváciu kosínusu:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Tie. derivácia funkcie cos x bude - hriech x.

Vzorce pre derivácie tangens a kotangens odvodíme na základe pravidiel diferenciácie:

tg "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 xctg "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin" x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x hriech 2 x = - 1 hriech 2 x

Derivácie inverzných goniometrických funkcií

Časť o derivácii inverzných funkcií poskytuje komplexné informácie o dôkaze vzorcov pre derivácie inverzného sínusu, inverzného kosínusu, arkustangensu a inverzného kotangensu, preto tu látku nebudeme duplikovať.

Deriváty hyperbolických funkcií

Dôkaz 7

Odvodenie vzorcov pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu sa vykonáva pomocou pravidla diferenciácie a vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

sh "x = ex - e - x 2" = 1 2 ex "- e - x" = = 1 2 ex - - e - x = ex + e - x 2 = chxch "x = ex + e - x 2" = 1 2 ex "+ e - x" = = 1 2 ex + - e - x = ex - e - x 2 = shxth "x = shxchx" = sh "x chx - shx ch" xch 2 x = ch 2 x - sh 2 xch 2 x = 1 kanál 2 xcth "x = chxshx" = ch "x shx - chx sh" xsh 2 x = sh 2 x - ch 2 xsh 2 x = - 1 sh 2 x

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Základné pojmy

Pred preskúmaním otázky derivácie exponentu na mocninu $ x $ si pripomeňte definície

1. funkcie;
2. sekvenčný limit;
3. derivát;
4. vystavovateľov.

Je to potrebné pre jasné pochopenie derivácie exponentu na mocninu $ x $.

Definícia 1

Funkcia je vzťah medzi dvoma premennými.

Vezmite $ y = f (x) $, kde $ x $ a $ y $ sú premenné. $ x $ sa tu nazýva argument a $ y $ funkcia. Argumentom môžu byť ľubovoľné hodnoty. Na druhej strane sa premenná $ y $ mení podľa určitého zákona v závislosti od argumentu. To znamená, že argument $ x $ je nezávislá premenná a funkcia $ y $ je závislá premenná. Akákoľvek hodnota $ x $ má jedinú hodnotu, $ y $.

Ak je každé prirodzené číslo $ n = 1, 2, 3, ... $ spojené nejakým zákonom s číslom $ x_n $, potom hovoria, že je definovaná postupnosť čísel $ x_1, x_2, ..., x_n $ . V opačnom prípade sa takáto postupnosť zapíše ako $ \ (x_n \) $. Všetky čísla $ x_n $ sa nazývajú členy alebo prvky postupnosti.

Definícia 2

Limita postupnosti sa nazýva koniec alebo bod nekonečna číselnej osi. Limit je napísaný takto: $ \ lim x_n = \ lim \ limity_ (n \ až \ infty) x_n = a $. Tento zápis znamená, že premenná $ x_n $ má tendenciu k $ a $ $ x_n \ k $.

Derivácia funkcie $ f $ v bode $ x_0 $ sa nazýva nasledujúca limita:

$ \ lim \ limity_ (x \ až x_0) \ frac (f (x) - f (x_o)) (x-x_o) $. Označuje sa ako $ f "(x_0) $.

Číslo $ e $ sa rovná nasledujúcemu limitu:

$ e = \ lim \ limity_ (x \ až \ infty) (1+ \ frac (1) (n)) \ približne 2,718281828459045 ... $

V tomto limite je $ n $ prirodzené alebo reálne číslo.

Keď poznáme pojmy limita, derivácia a exponenciála, môžeme pristúpiť k dôkazu vzorca $ (e ^ x) "= e ^ x $.

Odvodenie derivácie exponentu na mocninu $ x $

Máme $ e ^ x $, kde $ x: - \ infty

$ y "= \ lim \ limity _ (\ Delta x \ až 0) \ frac (e ^ (x + \ Delta x) -e ^ x) (\ Delta x) $.

Vlastnosťou exponentu $ e ^ (a + bx) = e ^ a * e ^ b $ môžeme transformovať čitateľa limity:

$ e ^ (x + \ Delta x) -e ^ x = e ^ x * e ^ (\ Delta x) -e ^ x = e ^ x (e ^ (\ Delta x) -1) $.

To znamená, $ y "= \ lim \ limity _ (\ Delta x \ na 0) \ frac (e ^ (x + \ Delta x) -e ^ x) (\ Delta x) = \ lim \ limity _ (\ Delta x \ až 0) \ frac (e ^ x (e ^ (\ Delta x) -1)) (\ Delta x) $.

Označte $ t = e ^ (\ Delta x) -1 $. Dostaneme $ e ^ (\ Delta x) = t + 1 $ a podľa vlastnosti logaritmu sa ukáže, že $ \ Delta x = ln (t + 1) $.

Keďže exponent je spojitý, máme $ \ lim \ limity _ (\ Delta x \ na 0) e ^ (\ Delta x) = e ^ 0 = 1. $ Ak teda $ \ Delta x \ na 0 $, potom $ t \ až 0 $.

V dôsledku toho ukážeme transformáciu:

$ y "= \ lim \ limity _ (\ Delta x \ až 0) \ frac (e ^ (\ Delta x) -1) (\ Delta x) = e ^ x \ lim \ limity_ (t \ až 0) \ frac (t) (ln (t + 1)) $.

Označte $ n = \ frac (1) (t) $, potom $ t = \ frac (1) (n) $. Ukazuje sa, že ak $ t \ až 0 $, potom $ n \ až \ infty $.

Transformujme náš limit:

$ y "= e ^ x \ lim \ limity_ (t \ až 0) \ frac (t) (ln (t + 1)) = e ^ x \ lim \ limity_ (n \ až \ infty) \ frac (1) (n \ cdot ln (\ frac (1) (n) +1) ^ n) $.

Vlastnosťou logaritmu $ b \ cdot ln c = ln c ^ b $ máme

$ n \ cdot ln (\ frac (1) (n) +1) = ln (\ frac (1) (n) +1) ^ n = ln (1+ \ frac (1) (n)) ^ n $ ...

Limit sa prevedie takto:

$ y "= e ^ x \ lim \ limity_ (n \ až \ infty) \ frac (1) (n \ cdot ln (\ frac (1) (n) +1)) = e ^ x \ lim \ limity_ ( n \ to \ infty) \ frac (1) (ln (\ frac (1) (n) +1) ^ n) = e ^ x \ frac (1) (\ lim \limits_ (n \ až \ infty) ln (\ frac (1) (n) +1) ^ n) $.

Podľa vlastnosti spojitosti logaritmu a vlastnosti limity pre spojitú funkciu: $ \ lim \ limity_ (x \ až x_0) ln (f (x)) = ln (\ lim \ limity_f (x)) $, kde $ f (x) $ má kladný limit $ \ lim \ limity_ (x \ až x_0) f (x) $. Takže vzhľadom na skutočnosť, že logaritmus je spojitý a existuje kladný limit $ \ lim \limits_ (n \ až \ infty) (\ frac (1) (n) +1) ^ n $, môžeme vypísať:

$ \ lim \ limity_ (n \ až \ infty) ln (1+ \ frac (1) (n)) ^ n = ln \ lim \ limity_ (n \ až \ infty) ln (1+ \ frac (1) ( n)) ^ n = ln e = 1 $.

Využime hodnotu druhej pozoruhodnej limity $ \ lim \ limity_ (n \ až \ infty) (1+ \ frac (1) (n)) ^ n = e $. Dostaneme:

$ y "= e ^ x \ frac (1) (\ lim \ limity_ (n \ až \ infty) ln (\ frac (1) (n) +1) ^ n) = e ^ x \ cdot \ frac (1 ) (ln e) = e ^ x \ cdot \ frac (1) (1) = e ^ x $.

Takto sme odvodili vzorec pre deriváciu exponentu a môžeme tvrdiť, že derivácia exponentu k mocnine $ x $ je ekvivalentná k mocnine $ x $:

Existujú aj iné spôsoby odvodenia tohto vzorca pomocou iných vzorcov a pravidiel.

Príklad 1

Uvažujme o príklade hľadania derivácie funkcie.

Podmienka: Nájdite deriváciu funkcie $ y = 2 ^ x + 3 ^ x + 10 ^ x + e ^ x $.

Riešenie: Na výrazy $ 2 ^ x, 3 ^ x $ a $ 10 ^ x $ použijeme vzorec $ (a ^ x) "= a ^ x \ cdot ln a $. Podľa odvodeného vzorca $ (e ^ x )" = e ^ x $ štvrtý člen $ e ^ x $ sa nemení.

Odpoveď: $ y "= 2 ^ x \ cdot ln 2 + 3 ^ x \ cdot ln 3 + 10 ^ x \ cdot ln 10 + e ^ x $.

Odvodili sme teda vzorec $ (e ^ x) "= e ^ x $, pričom sme definovali základné pojmy, analyzovali sme príklad hľadania derivácie funkcie s exponentom ako jedným z pojmov.

Pri odvodení úplne prvého vzorca tabuľky budeme vychádzať z definície derivácie funkcie v bode. Vezmite kam X- akékoľvek reálne číslo, tj. X- ľubovoľné číslo z rozsahu funkcie. Napíšme limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu na:

Treba poznamenať, že pod medzným znakom sa získa výraz, ktorý nie je neistota nula delená nulou, pretože čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, konkrétne nulu. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.

Touto cestou, derivácia konštantnej funkciesa rovná nule v celej oblasti definície.

Derivácia mocninovej funkcie.

Vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie má tvar kde exponent p- akékoľvek skutočné číslo.

Dokážme najprv vzorec pre prirodzený exponent, teda pre p = 1, 2, 3, ...

Použijeme definíciu derivátu. Napíšme limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu:

Na zjednodušenie výrazu v čitateli sa obraciame na Newtonov binomický vzorec:

teda

To dokazuje vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie pre prirodzený exponent.

Derivácia exponenciálnej funkcie.

Odvodenie odvodeného vzorca je dané na základe definície:

Došlo k neistote. Na jej rozšírenie uvádzame novú premennú a pre. Potom . Pri poslednom prechode sme použili vzorec na prechod na nový základ logaritmu.

Nahradíme v pôvodnom limite:

Ak si spomenieme na druhú pozoruhodnú limitu, dostaneme sa k vzorcu pre deriváciu exponenciálnej funkcie:

Derivácia logaritmickej funkcie.

Dokážme vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie pre všetkých X z oblasti definície a všetkých prípustných hodnôt základu a logaritmus. Podľa definície derivátu máme:

Ako ste si všimli, v dôkaze boli transformácie vykonané pomocou vlastností logaritmu. Rovnosť pravdivé na základe druhého pozoruhodného limitu.

Derivácie goniometrických funkcií.

Aby sme odvodili vzorce pre derivácie goniometrických funkcií, budeme si musieť pripomenúť niektoré trigonometrické vzorce, ako aj prvú pozoruhodnú limitu.

Podľa definície derivácie pre funkciu sínus máme .

Použime vzorec pre rozdiel sínusov:

Zostáva sa obrátiť na prvý pozoruhodný limit:

Teda derivácia funkcie hriech x existuje cos x.

Vzorec pre deriváciu kosínusu je dokázaný presne rovnakým spôsobom.

Preto derivácia funkcie cos x existuje – Hriech x.

Odvodenie vzorcov tabuľky derivácií pre tangens a kotangens sa uskutoční pomocou osvedčených pravidiel diferenciácie (derivácia zlomku).

Deriváty hyperbolických funkcií.

Pravidlá diferenciácie a vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie z tabuľky derivácií umožňujú odvodiť vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Derivácia inverznej funkcie.

Aby sme sa vyhli zmätku v prezentácii, označme v dolnom indexe argument funkcie, pomocou ktorej sa derivácia vykonáva, to znamená, že ide o deriváciu funkcie. f (x) na X.

Teraz poďme formulovať pravidlo na nájdenie derivácie inverznej funkcie.

Nechajte funkcie y = f (x) a x = g (y) vzájomne inverzné, definované v intervaloch a, resp. Ak v určitom bode existuje konečná nenulová derivácia funkcie f (x), potom v bode existuje konečná derivácia inverznej funkcie g (y) a ... V inom zázname .

Toto pravidlo možno preformulovať pre kohokoľvek X z intervalu, potom dostaneme .

Overme si platnosť týchto vzorcov.

Nájdite inverznú funkciu pre prirodzený logaritmus (tu r Je funkciou a X- argument). Riešenie tejto rovnice pre X, dostaneme (tu X Je funkciou a r- jej argument). teda a vzájomne inverzné funkcie.

Z tabuľky derivátov to vidíme a .

Uistime sa, že vzorce na nájdenie derivácií inverznej funkcie nás vedú k rovnakým výsledkom: