III stupeň

3.1. Hyperbola sa dotýka čiar 5 X – 6r – 16 = 0, 13X – 10r– – 48 = 0. Napíšte rovnicu hyperboly za predpokladu, že jej osi sa zhodujú so súradnicovými osami.

3.2. Napíšte rovnice dotyčníc k hyperbole

1) prechod cez bod A(4, 1), B(5, 2) a C(5, 6);

2) rovnobežne s priamkou 10 X – 3r + 9 = 0;

3) kolmo na priamku 10 X – 3r + 9 = 0.

parabola je ťažisko bodov v rovine, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu

Parametre paraboly:

Bodka F(p/2, 0) sa nazýva zameranie paraboly, magnitúda p – parameter , bodka O(0, 0) – summit . Zároveň ten priamy OF, okolo ktorej je parabola symetrická, vymedzuje os tejto krivky.

Hodnota kde M(X, r) je ľubovoľný bod paraboly, je tzv ohniskový polomer , rovný D: X = –p/2 – riaditeľka (nepretína vnútro paraboly). Hodnota sa nazýva excentricita paraboly.

Hlavná charakteristická vlastnosť paraboly: všetky body paraboly sú rovnako vzdialené od smerovej priamky a ohniska (obr. 24).

Existujú aj iné formy kanonickej rovnice paraboly, ktoré určujú ďalšie smery jej vetiev v súradnicovom systéme (obr. 25):

Pre parametrická definícia paraboly ako parameter t hodnotu ordináty bodu paraboly možno vziať:

kde t je ľubovoľné reálne číslo.

Príklad 1 Určte parametre a tvar paraboly z jej kanonickej rovnice:

Riešenie. 1. Rovnica r 2 = –8X definuje parabolu s vrcholom v bode O Vôl. Jeho vetvy sú nasmerované doľava. Porovnanie tejto rovnice s rovnicou r 2 = –2px, nájdeme: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Preto je ohnisko v bode F(–2; 0), priamková rovnica D: X= 2 (obr. 26).

2. Rovnica X 2 = –4r definuje parabolu s vrcholom v bode O(0; 0), symetrické okolo osi Oj. Jeho vetvy smerujú nadol. Porovnanie tejto rovnice s rovnicou X 2 = –2py, nájdeme: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Preto je ohnisko v bode F(0; –1), priamková rovnica D: r= 1 (obr. 27).

Príklad 2 Definujte parametre a typ krivky X 2 + 8X – 16r– 32 = 0. Urobte kresbu.

Riešenie.Ľavú stranu rovnice transformujeme metódou úplného štvorca:

X 2 + 8X– 16r – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16r – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16r – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(r + 3).

V dôsledku toho dostaneme

(X + 4) 2 = 16(r + 3).

Toto je kanonická rovnica paraboly s vrcholom v bode (–4; –3), parametrom p= 8, vetvy smerujúce nahor (), os X= -4. Dôraz je kladený na bod F(–4; –3 + p/2), t.j. F(–4; 1) Riaditeľka D je dané rovnicou r = –3 – p/2 alebo r= -7 (obr. 28).

Príklad 4 Zostavte rovnicu paraboly s vrcholom v bode V(3; –2) a zaostrite na bod F(1; –2).

Riešenie. Vrchol a ohnisko tejto paraboly leží na priamke rovnobežnej s osou Vôl(rovnaké súradnice), vetvy paraboly smerujú doľava (úsečka ohniska je menšia ako súradnica vrcholu), vzdialenosť od ohniska k vrcholu je p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Preto požadovaná rovnica

(r+ 2) 2 = –2 4( X– 3) alebo ( r + 2) 2 = = –8(X – 3).

Úlohy na samostatné riešenie

I úrovni

1.1. Určte parametre paraboly a zostrojte ju:

1) r 2 = 2X; 2) r 2 = –3X;

3) X 2 = 6r; 4) X 2 = –r.

1.2. Napíšte rovnicu paraboly s vrcholom na začiatku, ak viete, že:

1) parabola je umiestnená v ľavej polrovine symetricky podľa osi Vôl A p = 4;

2) parabola je umiestnená symetricky okolo osi Oj a prechádza cez bod M(4; –2).

3) smerová čiara je daná rovnicou 3 r + 4 = 0.

1.3. Napíšte rovnicu pre krivku, ktorej všetky body sú rovnako vzdialené od bodu (2; 0) a od priamky X = –2.

II stupeň

2.1. Definujte typ a parametre krivky.

Ostatným čitateľom navrhujem výrazne doplniť školské vedomosti o parabole a hyperbole. Hyperbola a parabola – je to jednoduché? ...nečakaj =)

Hyperbola a jej kanonická rovnica

Všeobecná štruktúra prezentácie materiálu bude pripomínať predchádzajúci odsek. Začnime všeobecným konceptom hyperboly a problémom jej konštrukcie.

Kanonická rovnica hyperboly má tvar , kde sú kladné reálne čísla. Všimnite si, že na rozdiel od elipsa, podmienka tu nie je uložená, to znamená, že hodnota „a“ môže byť menšia ako hodnota „be“.

Musím povedať, že celkom nečakane... rovnica „školskej“ hyperboly sa ani zďaleka nepodobá na kanonický záznam. Ale táto hádanka si na nás bude musieť ešte počkať, no poďme sa zatiaľ poškriabať na zátylku a spomeňme si, aké charakteristické črty má uvažovaná krivka? Rozprestrime to na obrazovke našej fantázie funkčný graf ….

Hyperbola má dve symetrické vetvy.

Dobrý pokrok! Akákoľvek hyperbola má tieto vlastnosti a teraz sa s nefalšovaným obdivom pozrieme na výstrih tejto línie:

Príklad 4

Zostrojte hyperbolu danú rovnicou

Riešenie: v prvom kroku uvedieme túto rovnicu do kanonického tvaru . Zapamätajte si prosím typický postup. Na pravej strane musíte získať „jedničku“, takže obe časti pôvodnej rovnice vydelíme 20:

Tu môžete znížiť obe frakcie, ale je optimálnejšie urobiť každú z nich trojposchodový:

A až potom vykonajte zníženie:

Vyberáme štvorce v menovateľoch:

Prečo je lepšie vykonávať transformácie týmto spôsobom? Koniec koncov, zlomky ľavej strany môžu byť okamžite znížené a získať. Faktom je, že v uvažovanom príklade sme mali trochu šťastia: číslo 20 je deliteľné 4 aj 5. Vo všeobecnosti takéto číslo nefunguje. Zoberme si napríklad rovnicu . Tu je s deliteľnosťou všetko smutnejšie a bez trojposchodové zlomky už nie je potrebné:

Využime teda ovocie našej práce – kanonickú rovnicu:

Ako vytvoriť hyperbolu?

Existujú dva prístupy ku konštrukcii hyperboly – geometrický a algebraický.
Z praktického hľadiska je kreslenie kružidlom ... dokonca by som povedal, že utopické, takže je oveľa výhodnejšie opäť priniesť na záchranu jednoduché výpočty.

Odporúča sa dodržiavať nasledujúci algoritmus, najskôr hotový výkres, potom komentáre:

V praxi sa často stretávame s kombináciou rotácie o ľubovoľný uhol a paralelnej translácie hyperboly. Táto situácia je diskutovaná v lekcii. Redukcia priamkovej rovnice 2. rádu na kanonickú formu.

Parabola a jej kanonická rovnica

Hotovo! Ona je najviac. Pripravený odhaliť mnohé tajomstvá. Kanonická rovnica paraboly má tvar , kde je reálne číslo. Je ľahké vidieť, že parabola vo svojej štandardnej polohe "leží na boku" a jej vrchol je v počiatku. V tomto prípade funkcia nastaví hornú vetvu tohto riadku a funkcia nastaví dolnú vetvu. Je zrejmé, že parabola je symetrická okolo osi. V skutočnosti, čo sa kúpať:

Príklad 6

Zostavte parabolu

Riešenie: vrchol je známy, nájdime ďalšie body. Rovnica určuje horný oblúk paraboly, rovnica určuje dolný oblúk.

Aby sme skrátili záznam, výpočty vykonáme „pod rovnakým štetcom“:

Pre kompaktnú notáciu by sa výsledky dali zhrnúť do tabuľky.

Pred vykonaním elementárneho bodového kreslenia formulujeme striktné

definícia paraboly:

Parabola je množina všetkých bodov v rovine rovnako vzdialených od daného bodu a danej priamky, ktorá bodom neprechádza.

Bod sa volá zameranie paraboly, priamka riaditeľka (písané s jedným "es") paraboly. Konštanta "pe" kanonickej rovnice sa nazýva ohniskový parameter, ktorá sa rovná vzdialenosti od ohniska po smerovú čiaru. V tomto prípade . V tomto prípade má ohnisko súradnice a smerová čiara je daná rovnicou.
V našom príklade:

Definícia paraboly je ešte ľahšie pochopiteľná ako definícia elipsy a hyperboly. Pre ktorýkoľvek bod paraboly sa dĺžka segmentu (vzdialenosť od ohniska k bodu) rovná dĺžke kolmice (vzdialenosť od bodu po priamku):

Gratulujem! Mnohí z vás dnes urobili skutočný objav. Ukazuje sa, že hyperbola a parabola nie sú vôbec grafmi „obyčajných“ funkcií, ale majú výrazný geometrický pôvod.

Je zrejmé, že so zvýšením ohniskového parametra sa vetvy grafu „rozšíria“ nahor a nadol a približujú sa k osi nekonečne blízko. S poklesom hodnoty "pe" sa začnú zmenšovať a rozťahovať pozdĺž osi

Excentricita akejkoľvek paraboly sa rovná jednej:

Rotácia a translácia paraboly

Parabola je jednou z najbežnejších línií v matematike a budete ju musieť stavať naozaj často. Venujte preto prosím osobitnú pozornosť poslednému odseku lekcie, kde rozoberiem typické možnosti umiestnenia tejto krivky.

! Poznámka : ako v prípadoch predchádzajúcich kriviek je správnejšie hovoriť o rotácii a paralelnom posunutí súradnicových osí, ale autor sa obmedzí na zjednodušenú verziu prezentácie, aby mal čitateľ elementárnu predstavu o ​tieto transformácie.

Funkcia formulára , kde je tzv kvadratickej funkcie.

Graf kvadratickej funkcie − parabola.

Zvážte prípady:

PRÍPAD I, KLASICKÁ PARABOLA

tj ,

Ak chcete zostaviť, vyplňte tabuľku dosadením hodnôt x do vzorca:

Označiť body (0;0); (1;1); (-1;1) atď. na súradnicovej rovine (čím menší krok vezmeme hodnoty x (v tomto prípade krok 1) a čím viac hodnôt x vezmeme, tým hladšia krivka), dostaneme parabolu:

Je ľahké vidieť, že ak vezmeme prípad , , , to znamená, že dostaneme parabolu, ktorá je symetrická podľa osi (x). Je ľahké to overiť vyplnením podobnej tabuľky:

PRÍPAD II, "a" ODLIŠNÉ OD JEDNÉHO

Čo sa stane, ak vezmeme , , ? Ako sa zmení správanie paraboly? S title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prvý obrázok (pozri vyššie) jasne ukazuje, že body z tabuľky pre parabolu (1;1), (-1;1) sa pretransformovali na body (1;4), (1;-4), tj. pri rovnakých hodnotách sa ordináta každého bodu vynásobí 4. Toto sa stane so všetkými kľúčovými bodmi pôvodnej tabuľky. Podobne argumentujeme aj v prípade obrázkov 2 a 3.

A keď sa parabola „stane širšou“ parabolou:

Poďme si to zrekapitulovať:

1)Znamienko koeficientu je zodpovedné za smer vetiev. S title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolútna hodnota koeficient (modul) je zodpovedný za „expanziu“, „stlačenie“ paraboly. Čím väčšia , tým užšia je parabola, tým menšie |a|, tým širšia parabola.

ZOBRAZÍ SA PRÍPAD III, „C“.

Teraz poďme do hry (to znamená, že uvažujeme o prípade, keď ), budeme uvažovať o parabolách tvaru . Je ľahké uhádnuť (vždy sa môžete pozrieť na tabuľku), že parabola sa bude pohybovať nahor alebo nadol pozdĺž osi v závislosti od znamienka:

ZOBRAZÍ SA IV PRÍPAD, „b“.

Kedy sa parabola „odtrhne“ od osi a konečne „prejde“ po celej súradnicovej rovine? Keď to prestane byť rovné.

Tu, aby sme vytvorili parabolu, potrebujeme vzorec na výpočet vrcholu: , .

Takže v tomto bode (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu, ktorá je už v našich silách. Ak sa zaoberáme prípadom, tak zhora vyčleníme jeden jediný segment doprava, jeden nahor, - výsledný bod je náš (podobne, krok doľava, krok hore je náš bod); ak máme do činenia napríklad s, potom zhora odložíme jeden segment doprava, dva hore atď.

Napríklad vrchol paraboly:

Teraz treba hlavne pochopiť, že v tomto vrchole postavíme parabolu podľa šablóny paraboly, pretože v našom prípade.

Pri konštrukcii paraboly po zistení súradníc vrcholu je veľmiJe vhodné zvážiť nasledujúce body:

1) parabola musí prejsť cez bod . Skutočne, dosadením x=0 do vzorca dostaneme, že . To znamená, že ordináta priesečníka paraboly s osou (oy), to je. V našom príklade (vyššie) parabola pretína os y v , pretože .

2) os symetrie paraboly je priamka, takže všetky body paraboly budú okolo nej symetrické. V našom príklade okamžite zoberieme bod (0; -2) a postavíme parabolu symetrickú podľa osi súmernosti, dostaneme bod (4; -2), cez ktorý bude parabola prechádzať.

3) Rovnaké k , zistíme priesečníky paraboly s osou (ox). Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu. V závislosti od diskriminantu dostaneme jeden (, ), dva ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V predchádzajúcom príklade máme koreň diskriminantu - nie celé číslo, pri vytváraní pre nás nemá zmysel hľadať korene, ale jasne vidíme, že budeme mať dva priesečníky s ( oh) axis (keďže title = "(!LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tak poďme cvičiť

Algoritmus na zostavenie paraboly, ak je daný vo forme

1) určiť smer vetiev (a>0 - hore, a<0 – вниз)

2) nájdite súradnice vrcholu paraboly podľa vzorca , .

3) priesečník paraboly s osou (oy) nájdeme voľným členom, postavíme bod symetrický k danému vzhľadom na os súmernosti paraboly (treba si uvedomiť, že sa stáva, že je nerentabilné označiť tento bod, napríklad, pretože hodnota je veľká ... tento bod preskočíme ...)

4) V nájdenom bode - vrchole paraboly (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Nájdeme priesečníky paraboly s osou (oy) (ak sa samy ešte „nevynorili“) a vyriešime rovnicu

Príklad 1

Príklad 2

Poznámka 1. Ak dostaneme parabolu na začiatku v tvare , kde sú nejaké čísla (napríklad ), potom bude ešte jednoduchšie ju postaviť, pretože súradnice vrcholu sme už dostali. prečo?

Zoberme si štvorcovú trojčlenku a označme v nej celý štvorec: Pozri, tu to máme , . Predtým sme nazývali vrchol paraboly, teda teraz.

Napríklad, . Na rovine označíme vrchol paraboly, chápeme, že vetvy smerujú nadol, parabola je (relatívne) rozšírená. To znamená, že vykonáme kroky 1; 3; 4; 5 z algoritmu na konštrukciu paraboly (pozri vyššie).

Poznámka 2. Ak je parabola daná v podobnom tvare (t. j. reprezentovaná ako súčin dvoch lineárnych faktorov), okamžite vidíme priesečníky paraboly s osou (x). V tomto prípade - (0;0) a (4;0). Vo zvyšku konáme podľa algoritmu a otvárame zátvorky.

6. Veta o rozklade determinantu na súčet determinantov a jej dôsledky.

7. Veta o rozklade determinantu z hľadiska prvkov riadku (stĺpca) a dôsledkov z toho.

8. Operácie s maticami a ich vlastnosti. Dokážte jeden z nich.

9. Maticová transpozičná operácia a jej vlastnosti.

10. Definícia inverznej matice. Dokážte, že každá invertibilná matica má iba jednu inverziu.

13. Blokové matice. Sčítanie a násobenie blokových matíc. Veta o determinante kvázi trojuholníkovej matice.

14. Veta o determinante súčinu matíc.

15. Veta o existencii inverznej matice.

16. Určenie hodnosti matice. Základná vedľajšia veta a jej dôsledok.

17. Pojem lineárnej závislosti riadkov a stĺpcov matice. Veta o poradí matice.

18. Metódy výpočtu hodnosti matice: metóda ohraničenia maloletých, metóda elementárnych transformácií.

19. Aplikácia elementárnych transformácií iba riadkov (iba stĺpcov) na nájdenie inverznej matice.

20. Sústavy lineárnych rovníc. Kritérium kompatibility a kritérium istoty.

21. Riešenie spoločnej sústavy lineárnych rovníc.

22. Homogénne sústavy lineárnych rovníc. Veta o existencii fundamentálneho systému riešení.

23. Lineárne operácie s vektormi a ich vlastnosti. Dokážte jeden z nich.

24. Určenie rozdielu dvoch vektorov. Dokážte, že pre všetky vektory a rozdiel existuje a je jedinečný.

25. Definícia bázy, súradnice vektora v báze. Veta o expanzii vektora z hľadiska bázy.

26. Lineárna závislosť vektorov. Vlastnosti pojmu lineárna závislosť, dokážte jednu z nich.

28. Kartézske súradnicové sústavy v priestore, na rovine a na priamke. Veta o lineárnej kombinácii vektorov a dôsledky z nej.

29. Odvodenie vzorcov vyjadrujúcich súradnice bodu v jednej dsk cez súradnice toho istého bodu v inej dsk.

30. Skalárny súčin vektorov. Definícia a základné vlastnosti.

31. Vektorový súčin vektorov. Definícia a základné vlastnosti.

32. Zmiešaný súčin vektorov. Definícia a základné vlastnosti.

33. Dvojitý krížový súčin vektorov. Definícia a vzorec pre výpočet (bez dôkazu).

34. Algebraické čiary a plochy. Vety o invariancii (invariancii).

35. Všeobecné rovnice roviny a priamky.

36. Parametrické rovnice priamky a roviny.

37. Prechod od všeobecných rovníc roviny a priamky na rovine k ich parametrickým rovniciam. Geometrický význam koeficientov a, b, c (a, b) vo všeobecnej rovnici roviny (priamka na rovine).

38. Vylúčenie parametra z parametrických rovníc na rovine (v priestore), kanonické rovnice priamky.

39. Vektorové rovnice priamky a roviny.

40. Všeobecné rovnice priamky v priestore, redukcia na kanonickú formu.

41. Vzdialenosť od bodu k rovine. Vzdialenosť od bodu k čiare. Ďalšie problémy s čiarami a rovinami.

42. Definícia elipsy. Kanonická rovnica elipsy. Parametrické rovnice elipsy. Výstrednosť elipsy.

44. Definícia paraboly. Odvodenie rovnice kanonickej paraboly.

45. Krivky druhého rádu a ich klasifikácia. Hlavná veta o kvp.

45. Povrchy druhého rádu a ich klasifikácia. Hlavná veta o pvp. Povrchy revolúcie.

47. Definícia lineárneho priestoru. Príklady.

49. Definícia euklidovského priestoru. Dĺžka vektora. Uhol medzi vektormi. Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť. Príklad.

50. Definícia euklidovského priestoru. Pytagorova veta. Príklad trojuholníkovej nerovnosti.

44. Definícia paraboly. Odvodenie rovnice kanonickej paraboly.

Definícia: Parabola je ťažisko bodov v rovine, pre ktorú sa vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F tejto roviny rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke. Bod F sa nazýva ohnisko paraboly a pevná čiara sa nazýva priamka paraboly.

Na odvodenie rovnice zostrojíme:

OD podľa definície:

Pretože 2 >=0, potom parabola leží v pravej polrovine. Ako x rastie od 0 do nekonečna
. Parabola je symetrická vzhľadom na Ox. Priesečník paraboly s jej osou symetrie sa nazýva vrchol paraboly.

45. Krivky druhého rádu a ich klasifikácia. Hlavná veta o kvp.

Existuje 8 typov KVP:

1.elipsy

2.hyperboly

3.paraboly

Krivky 1,2,3 sú kanonické rezy. Ak kužeľ pretneme rovinou rovnobežnou s osou kužeľa, dostaneme hyperbolu. Ak je rovina rovnobežná s tvoriacou čiarou, ide o parabolu. Všetky roviny neprechádzajú cez vrchol kužeľa. Ak akákoľvek iná rovina, potom elipsa.

4. dvojica rovnobežných priamok y 2 + a 2 =0, a0

5. pár pretínajúcich sa čiar y 2 -k 2 x 2 \u003d 0

6.jeden riadok y 2 = 0

7.jeden bod x 2 + y 2 =0

8. prázdna množina - prázdna krivka (kr. bez bodov) x 2 + y 2 +1=0 alebo x 2 + 1=0

Veta (hlavná veta o KVP): Typ rovnice

a 11 X 2 + 2a 12 x y + a 22 r 2 + 2a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

môže predstavovať iba krivku jedného z týchto ôsmich typov.

Myšlienka dôkazu je prejsť do takého súradnicového systému, v ktorom rovnica KVP nadobudne najjednoduchšiu formu, keď bude zrejmý typ krivky, ktorú predstavuje. Veta sa dokazuje otočením súradnicového systému o taký uhol, pri ktorom člen so súčinom súradníc zaniká. A to pomocou paralelného prekladu súradnicového systému, v ktorom zanikne buď člen s premennou x, alebo člen s premennou y.

Prechod na nový súradnicový systém: 1. Paralelný prenos

2. Otočte

45. Povrchy druhého rádu a ich klasifikácia. Hlavná veta o pvp. Povrchy revolúcie.

P VP - množina bodov, ktorých pravouhlé súradnice spĺňajú rovnicu 2. stupňa: (1)

Predpokladá sa, že aspoň jeden z koeficientov v štvorcoch alebo v súčinoch je odlišný od 0. Rovnica je pri výbere súradnicového systému invariantná.

Veta Akákoľvek rovina pretína PVP pozdĺž PVP, okrem špeciálneho prípadu, keď rez obsahuje celú rovinu (PVP môže byť rovina alebo dvojica rovín).

Existuje 15 typov PVP. Uvádzame ich uvedením rovníc, ktorými sú dané vo vhodných súradnicových sústavách. Tieto rovnice sa nazývajú kanonické (jednoduché). Zostavte geometrické obrazy zodpovedajúce kanonickým rovniciam metódou rovnobežných rezov: Prejdite povrch so súradnicovými rovinami a rovinami rovnobežnými s nimi. Výsledkom sú časti a krivky, ktoré dávajú predstavu o tvare povrchu.

1. elipsoidný.

Ak a=b=c potom dostaneme guľu.

2. Hyperboloidy.

jeden). Jednovrstvový hyperboloid:

Rez jednovrstvovým hyperboloidom súradnicovými rovinami: XOZ:
- hyperbola.

YOZ:
- hyperbola.

Lietadlo XOY:
- elipsa.

2). Dvojvrstvový hyperboloid.

Počiatok súradníc je bod symetrie.

Súradnicové roviny sú roviny symetrie.

Lietadlo z = h pretína hyperboloid v elipse
, t.j. lietadlo z = h začína pretínať hyperboloid v | h |  c. Prierez hyperboloidom rovinami X = 0 A r = 0 sú hyperbola.

Čísla a,b,c v rovniciach (2),(3),(4) sa nazývajú poloosi elipsoidov a hyperboloidov.

3. Paraboloidy.

jeden). Eliptický paraboloid:

Úsek roviny z = h jesť
, kde
. Z rovnice je zrejmé, že z  0 je nekonečná misa.

Priesečník roviny r = h A X= h
je parabola a

2). Hyperbolický paraboloid:

Je zrejmé, že roviny XOZ a YOZ sú rovinami symetrie a os z je osou paraboloidu. Priesečník paraboloidu s rovinou z = h- hyperbola:
,
. Lietadlo z=0 pretína hyperbolický paraboloid pozdĺž dvoch osí
ktoré sú asymptoty.

4. Kužeľ a valce druhého rádu.

jeden). Kužeľ je povrch
. Kužeľ je orámovaný priamkami prechádzajúcimi počiatkom 0 (0, 0, 0). Rez kužeľa je elipsa s poloosami
.

2). Valce druhého rádu.

Je to eliptický valec
.

Bez ohľadu na to, akú čiaru pretíname elipsy a je rovnobežná s osou Oz, potom spĺňa túto rovnicu. Pohybom tejto čiary okolo elipsy dostaneme plochu.

G hyperbolický valec:

V rovine AKO je to hyperbola. Čiaru pretínajúcu hyperbolu posúvame rovnobežne s Oz pozdĺž hyperboly.

Parabolický valec:

H a rovina AKO je parabola.

Valcové plochy sú tvorené priamkou (generátor) pohybujúcou sa rovnobežne so sebou pozdĺž určitej priamky (vodidla).

10. Dvojica pretínajúcich sa rovín

11. Dvojica rovnobežných rovín

12.
- rovný

13. Rovná čiara - "valec" postavený na jednom bode

14.Jeden bod

15. Prázdna súprava

Hlavná veta o PVP: Každý PVP patrí k jednému z 15 typov diskutovaných vyššie. Neexistujú žiadne iné PVP.

Povrchy revolúcie. Nech je daný PDCS Oxyz av rovine Oyz priamka e definovaná rovnicou F(y,z)=0 (1). Zostavme rovnicu povrchu získanú rotáciou tejto priamky okolo osi Oz. Vezmite bod M(y, z) na priamke e. Keď sa rovina Oyz otáča okolo zeme Oz, bod M bude opisovať kružnicu. Nech N(X,Y,Z) je ľubovoľný bod tohto kruhu. Je jasné, že z=Z.

.

Dosadením nájdených hodnôt z a y do rovnice (1) získame správnu rovnosť:
tie. súradnice bodu N vyhovujú rovnici
. Akýkoľvek bod rotačnej plochy teda spĺňa rovnicu (2). Nie je ťažké dokázať, že ak bod N(x 1 ,y 1 ,z 1) spĺňa rovnicu (2), potom patrí do uvažovaného povrchu. Teraz môžeme povedať, že rovnica (2) je požadovaná rovnica pre rotačnú plochu.

"

Parabola je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialené od daného bodu F

a daná priamka dd neprechádza daným bodom. Táto geometrická definícia vyjadruje vlastnosť adresára parabola.

Vlastnosť adresára parabol

Bod F sa nazýva ohnisko paraboly, čiara d sa nazýva smerová čiara paraboly, stred O kolmice spadnutej z ohniska k smerovej čiare je vrchol paraboly, vzdialenosť p od ohniska k smerovej čiare je parameter paraboly a vzdialenosť p2 od vrcholu paraboly k jej ohnisku je ohnisková vzdialenosť. Priamka kolmá na smerovú čiaru a prechádzajúca ohniskom sa nazýva os paraboly (ohnisková os paraboly). Úsek FM spájajúci ľubovoľný bod M paraboly s jeho ohniskom sa nazýva ohniskový polomer bodu

M. Úsečka spájajúca dva body paraboly sa nazýva tetiva paraboly.

Pre ľubovoľný bod paraboly je pomer vzdialenosti k ohnisku k vzdialenosti k priamke rovný jednej. Porovnaním adresárových vlastností elipsy, hyperboly a paraboly sme dospeli k záveru, že excentricita paraboly sa podľa definície rovná jednej

Geometrická definícia paraboly, vyjadrujúci jeho adresárovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou paraboly:

Vlastnosti

• Má os symetrie tzv os paraboly. Os prechádza ohniskom a vrcholom kolmo na smerovú čiaru.
• optická vlastnosť. Lúč lúčov rovnobežných s osou paraboly, odrazených v parabole, sa zhromažďuje v jej ohnisku. Naopak, svetlo zo zdroja, ktorý je zaostrený, sa odráža parabolou do zväzku lúčov rovnobežných s jej osou.
• Ak sa ohnisko paraboly odráža vzhľadom na dotyčnicu, potom jej obraz bude ležať na priamke.
• Úsečka spájajúca stred ľubovoľnej tetivy paraboly a priesečník dotyčníc k nej na koncoch tejto tetivy je kolmá na priamku a jej stred leží na parabole.
• Parabola je antipodéra línie.
• Všetky paraboly sú podobné. Vzdialenosť medzi ohniskom a smerovou osou určuje mierku.

Funkcia jednej reálnej premennej: základné pojmy, príklady.

Definícia: Ak každá hodnota x číselnej množiny X podľa pravidla f zodpovedá jednému číslu množiny Y, potom hovoria, že funkcia y \u003d f (x) je daná na číselnej množine X, hodnoty ​z x sú určené množinou hodnôt zahrnutých v doméne definície funkcie (X).
V tomto prípade sa x nazýva argument a y sa nazýva hodnota funkcie. Množina X sa nazýva doména definície funkcie, Y sa nazýva množina hodnôt funkcie.
Často je toto pravidlo dané vzorcom; napríklad y \u003d 2x + 5. Uvedená metóda špecifikácie funkcie pomocou vzorca sa nazýva analytická.
Funkciu je možné nastaviť aj grafom - Graf funkcie y - f (x) je množina bodov v rovine, súradnice x, ktoré spĺňajú vzťah y \u003d f (x).