Sčítacie a násobiace vety pre pravdepodobnosti.
Závislé a nezávislé udalosti

Titulok vyzerá strašidelne, no v skutočnosti je veľmi jednoduchý. V tejto lekcii sa zoznámime s teorémami sčítania a násobenia pravdepodobnosti udalostí, ako aj analyzujeme typické problémy, ktoré spolu s problém klasickej definície pravdepodobnosti určite stretnete alebo, čo je pravdepodobnejšie, ste sa už stretli na vašej ceste. Ak chcete efektívne študovať materiály tohto článku, musíte poznať a pochopiť základné pojmy. teória pravdepodobnosti a vedieť vykonávať najjednoduchšie aritmetické operácie. Ako vidíte, vyžaduje sa veľmi málo, a preto je tučné plus v majetku takmer zaručené. Ale na druhej strane opäť varujem pred povrchným postojom k praktickým príkladom – jemností je tiež dosť. Veľa štastia:

Veta o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí: pravdepodobnosť výskytu jedného z týchto dvoch nekonzistentné udalosti resp (nezáleží na tom čo), sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Podobná skutočnosť platí pre veľký počet nekonzistentných udalostí, napríklad pre tri nekonzistentné udalosti a:

Snová veta =) Aj takýto sen však podlieha dokazovaniu, ktoré nájdeme napríklad u V.E. Gmurman.

Poďme sa zoznámiť s novými, doteraz nepoznanými pojmami:

Závislé a nezávislé udalosti

Začnime nezávislými udalosťami. Udalosti sú nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu hociktorý z nich nezávisí od objavenia sa/neobjavenia sa zostávajúcich udalostí posudzovaného súboru (vo všetkých možných kombináciách). ... Ale načo omieľať všeobecné frázy:

Multiplikačná veta pre pravdepodobnosti nezávislých udalostí: pravdepodobnosť spoločného výskytu nezávislých udalostí a rovná sa súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Vráťme sa k najjednoduchšiemu príkladu z 1. lekcie, v ktorom sa hádže dvoma mincami a nasledujúcimi udalosťami:

- hlavy budú padať na 1. minci;
- hlavy budú padať na 2. minci.

Nájdite pravdepodobnosť udalosti (na 1. minci sa objaví orol a na 2. minci sa objaví orol - pamätáme si, ako sa číta produkcia podujatí!) ... Pravdepodobnosť získania hláv na jednej minci nijako nezávisí od výsledku hodu inej mince, preto sú udalosti nezávislé.

Podobne:
- pravdepodobnosť, že 1. minca pristane na chvoste a na 2. chvostoch;
- pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objaví orol a na 2. chvostoch;
- pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objavia chvosty a na 2. orla.

Všimnite si, že udalosti sa tvoria celá skupina a súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:.

Veta o násobení sa samozrejme vzťahuje na veľký počet nezávislých udalostí, takže napríklad, ak sú udalosti nezávislé, pravdepodobnosť ich spoločného výskytu sa rovná:. Poďme si to precvičiť na konkrétnych príkladoch:

Problém 3

Každá z troch krabičiek obsahuje 10 dielov. V prvom boxe je 8 štandardných dielov, v druhom - 7, v treťom - 9. Z každého boxu sa náhodne vyberie jeden diel. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky podrobnosti budú štandardné.

Riešenie: pravdepodobnosť získania štandardnej alebo neštandardnej časti z ľubovoľného boxu nezávisí od toho, ktoré diely sú získané z iných boxov, preto sa problém týka nezávislých udalostí. Zvážte nasledujúce nezávislé udalosti:

- z 1. krabice bola odstránená štandardná časť;
- z 2. krabice bola odstránená štandardná časť;
- z 3. krabice bola odstránená štandardná časť.

Podľa klasickej definície:
- zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Udalosť, ktorá nás zaujíma (štandardná časť bude odstránená z 1. boxu a od 2. štandardu a od 3. štandardu) vyjadrené produktom.

Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že jedna štandardná časť bude odstránená z troch škatúľ.

Odpoveď: 0,504

Po povzbudzujúcich cvičeniach s krabicami nás čakajú nemenej zaujímavé urny:

Problém 4

Tri urny obsahujú 6 bielych a 4 čierne gule. Z každej urny sa náhodne vyberie jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) všetky tri loptičky budú biele; b) všetky tri loptičky budú rovnakej farby.

Na základe získaných informácií hádajte, ako naložiť s bodom „byť“ ;-) Príklad riešenia je navrhnutý v akademickom štýle s podrobným zoznamom všetkých podujatí.

Závislé udalosti... Podujatie sa volá závislý ak je jeho pravdepodobnosť závisí z jednej alebo viacerých udalostí, ktoré sa už vyskytli. Pre príklady nemusíte chodiť ďaleko – stačí sa dostať do najbližšieho obchodu:

- Zajtra o 19.00 bude v predaji čerstvý chlieb.

Pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od mnohých ďalších udalostí: či zajtra bude doručený čerstvý chlieb, či bude vypredaný do 19:00 alebo nie atď. V závislosti od rôznych okolností môže byť táto udalosť istá alebo nemožná. Udalosť teda je závislý.

Chlieb ... a, ako Rimania požadovali, okuliare:

- študent dostane jednoduchý lístok na skúšku.

Ak nepôjdete prvý, potom bude udalosť závisieť, pretože jej pravdepodobnosť bude závisieť od toho, ktoré lístky už vyžrebovali spolužiaci.

Ako definovať závislosť / nezávislosť udalosti?

Niekedy je to priamo uvedené vo vyhlásení o probléme, ale častejšie musíte vykonať nezávislú analýzu. Neexistuje tu jednoznačný referenčný bod a skutočnosť závislosti alebo nezávislosti udalostí vyplýva z prirodzeného logického uvažovania.

Aby sa všetko nehádzalo dokopy, úlohy pre závislé udalosti Zdôrazním nasledujúcu lekciu, ale zatiaľ zvážime najbežnejšie v praxi veľa teorémov:

Problémy o adičných teorémoch pre pravdepodobnosti nekonzistentných
a znásobením pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Tento tandem podľa môjho subjektívneho hodnotenia funguje asi v 80% úloh na zvažovanú tému. Hity a skutočná klasika teórie pravdepodobnosti:

Problém 5

Dvaja strelci vypálili jednu strelu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu pre prvého strelca je 0,8, pre druhého - 0,6. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) terč zasiahne iba jeden strelec;
b) aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

Riešenie: Pravdepodobnosť zasiahnutia/minutia jedného strelca zjavne nezávisí od výkonu druhého strelca.

Zvážte udalosti:
- prvý strelec zasiahne cieľ;
- 2. strelec zasiahne cieľ.

Podľa podmienok: .

Nájdite pravdepodobnosť opačných udalostí - že zodpovedajúce šípky nebudú chýbať:

a) Zvážte udalosť: - terč zasiahne iba jeden strelec. Táto udalosť pozostáva z dvoch nekonzistentných výsledkov:

Prvý strelec zasiahne a 2. bude chýbať
alebo
1. bude chýbať a 2. zasiahne.

V jazyku algebry udalostí táto skutočnosť sa zapíše do nasledujúceho vzorca:

Najprv použijeme vetu o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí, potom vetu o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že bude iba jeden zásah.

b) Zvážte udalosť: - aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

V prvom rade SA ZAMYSLEME – čo znamená podmienka „Aspoň JEDEN“? V tomto prípade to znamená, že buď zasiahne 1. strelec (druhý minie) alebo 2. (prvá chyba) alebo obe šípky naraz - spolu 3 nekonzistentné výsledky.

Metóda jedna: vzhľadom na pohotovosť z predchádzajúceho odseku je vhodné prezentovať udalosť ako súčet nasledujúcich nekonzistentných udalostí:

jeden dostane (udalosť pozostávajúca postupne z 2 nekonzistentných výsledkov) alebo
zasiahnu obe šípky - označme túto udalosť písmenom.

Touto cestou:

Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že zasiahne 1. strelec a 2. strelec zasiahne.

Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných udalostí:
- pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu do cieľa.

Metóda dva: zvážte opačnú udalosť: - obe šípky minuli.

Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

Ako výsledok:

Venujte zvláštnu pozornosť druhej metóde - vo všeobecnosti je racionálnejšia.

Okrem toho existuje alternatívny, tretí spôsob riešenia, založený na teoréme sčítania spoločných udalostí, ktorý nebol spomenutý vyššie.

! Ak čítate materiál prvýkrát, je lepšie preskočiť nasledujúci odsek, aby ste sa vyhli nejasnostiam.

Metóda tri : udalosti sú spoločné, čo znamená, že ich súčet vyjadruje udalosť "aspoň jeden strelec zasiahne cieľ" (viď. algebra udalostí). Autor: sčítacia veta pre pravdepodobnosti spoločných udalostí a veta o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

Pozrime sa: udalosti a (0, 1 a 2 prístupy v tomto poradí) tvoria úplnú skupinu, takže súčet ich pravdepodobností by sa mal rovnať jednej:
, ktorý bolo potrebné overiť.

Odpoveď:

Pri dôkladnom štúdiu teórie pravdepodobnosti narazíte na desiatky úloh militaristického obsahu, a čo je typické, po nich už nebudete chcieť nikoho zastreliť - úlohy sú priam darčekové. Prečo nezjednodušiť aj šablónu? Skrátime zápis:

Riešenie: podľa podmienky:, je pravdepodobnosť zasiahnutia zodpovedajúcich strelcov. Potom sú pravdepodobnosti ich nezdaru:

a) Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nekonzistentných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že len jeden strelec zasiahne cieľ.

b) Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že obaja strelci netrafia.

Potom: - pravdepodobnosť, že aspoň jeden zo strelcov zasiahne cieľ.

Odpoveď:

V praxi môžete použiť akúkoľvek možnosť dizajnu. Samozrejme, oveľa častejšie chodia skratkou, ale netreba zabúdať na 1. spôsob - je síce dlhší, ale je zmysluplnejší - je v ňom prehľadnejší, čo, prečo a prečo sčítava a násobí. V niektorých prípadoch je vhodný hybridný štýl, keď je vhodné označiť len niektoré udalosti veľkými písmenami.

Podobné úlohy pre nezávislé riešenie:

Problém 6

Pre požiarny poplach sú nainštalované dva nezávisle fungujúce senzory. Pravdepodobnosť, že sa senzor spustí v prípade požiaru, je 0,5 a 0,7 pre prvý a druhý senzor. Nájdite pravdepodobnosť, že v prípade požiaru:

a) oba snímače zlyhajú;
b) oba snímače budú fungovať.
c) Používanie teorém o sčítaní pravdepodobností udalostí tvoriacich úplnú grupu nájdite pravdepodobnosť, že v prípade požiaru sa spustí iba jeden senzor. Skontrolujte výsledok priamym výpočtom tejto pravdepodobnosti (pomocou vety o sčítaní a násobení).

Tu je nezávislosť zariadení priamo vyjadrená v stave, čo je mimochodom dôležité objasnenie. Vzorové riešenie je navrhnuté v akademickom štýle.

Čo ak sú v podobnom probléme uvedené rovnaké pravdepodobnosti, napríklad 0,9 a 0,9? Musíte sa rozhodnúť presne rovnakým spôsobom! (čo už bolo v skutočnosti demonštrované na príklade s dvoma mincami)

Problém 7

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvým strelcom jednou ranou je 0,8. Pravdepodobnosť, že cieľ nebude zasiahnutý po tom, čo prvý a druhý strelec vystrelili jeden výstrel, je 0,08. Aká je pravdepodobnosť, že druhý strelec zasiahne cieľ jednou ranou?

A toto je malý hlavolam, ktorý je orámovaný krátkym spôsobom. Podmienka sa dá preformulovať aj výstižnejšie, ale nebudem prerábať originál – v praxi sa musíte hrabať v vyšperkovanejších výmysloch.

Zoznámte sa - je to ten, kto vám nastavil nemerateľné množstvo detailov =):

Problém 8

Pracovník obsluhuje tri stroje. Pravdepodobnosť, že počas zmeny bude prvý stroj vyžadovať nastavenie, je 0,3, druhý je 0,75 a tretí 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že počas zmeny:

a) všetky stroje budú vyžadovať nastavenie;
b) nastavenie bude vyžadovať iba jeden stroj;
c) aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.

Riešenie: keďže podmienka nehovorí nič o jedinom technologickom procese, potom treba prácu každého stroja považovať za nezávislú od práce ostatných strojov.

Analogicky k úlohe č. 5 tu môžete brať do úvahy udalosti, ktoré si príslušné stroje budú vyžadovať počas zmeny úpravy, zapísať pravdepodobnosti, nájsť pravdepodobnosti opačných udalostí atď. Ale s tromi objektmi sa mi veľmi nechce navrhovať úlohu takto - ukáže sa to ako zdĺhavé a únavné. Preto je tu oveľa výhodnejšie použiť „rýchly“ štýl:

Podľa podmienky: - pravdepodobnosť, že počas zmeny budú príslušné stroje vyžadovať tinktúru. Potom pravdepodobnosti, že nebudú vyžadovať pozornosť, sú:

Jeden z čitateľov tu našiel super preklep, ani ho nebudem opravovať =)

a) Podľa vety o násobení pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
- pravdepodobnosť, že počas zmeny budú všetky tri stroje vyžadovať nastavenie.

b) Udalosť „Počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj“ pozostáva z troch nekonzistentných výsledkov:

1) 1. stroj bude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
2) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj bude vyžadovať a 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
3) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť a 2. stroj nebude vyžadovať a 3. stroj bude vyžadovať.

Podľa teorémov na sčítanie pravdepodobností nekonzistentných a násobenia pravdepodobností nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že iba jeden stroj bude vyžadovať nastavenie počas zmeny.

Myslím, že už by vám malo byť jasné, odkiaľ ten výraz pochádza

c) Vypočítame pravdepodobnosť, že stroje nebudú vyžadovať úpravu, a potom - pravdepodobnosť opačnej udalosti:
- že aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.

Odpoveď:

Položku „ve“ je možné riešiť aj cez množstvo, kde je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú vyžadovať úpravu len dva stroje. Táto udalosť zase obsahuje 3 nekonzistentné výsledky, ktoré sú podpísané analogicky s klauzulou „byť“. Pokúste sa sami nájsť pravdepodobnosť, že otestujete celý problém pomocou rovnosti.

Problém 9

Tri delá vystrelili salvu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu jednou ranou iba z prvej zbrane je 0,7, od druhej - 0,6, od tretej - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že: 1) aspoň jeden projektil zasiahne cieľ; 2) iba dva projektily zasiahnu cieľ; 3) cieľ bude zasiahnutý aspoň dvakrát.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A opäť o náhodách: v prípade, že sa podľa podmienky zhodujú dve alebo dokonca všetky hodnoty počiatočných pravdepodobností (napríklad 0,7; 0,7 a 0,7), potom by ste sa mali držať presne rovnakého algoritmu riešenia.

Na konci článku sa pozrime na ďalšiu spoločnú hádanku:

Problém 10

Strelec pri každom výstrele zasiahne cieľ s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je táto pravdepodobnosť, ak pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu tromi výstrelmi je 0,973.

Riešenie: označuje - pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele.
a po - pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

A ešte si zapíšme udalosti:
- pri 3 výstreloch strelec zasiahne terč aspoň raz;
- strelec 3 krát minie.

Podľa podmienky je potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:

Na druhej strane, pomocou násobiacej vety pre pravdepodobnosti nezávislých udalostí:

Touto cestou:

- pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

Ako výsledok:
- pravdepodobnosť zásahu pri každom výstrele.

Odpoveď: 0,7

Jednoduché a elegantné.

V uvažovanom probléme je možné položiť ďalšie otázky o pravdepodobnosti iba jedného zásahu, iba dvoch zásahov a pravdepodobnosti troch zásahov do cieľa. Schéma riešenia bude presne rovnaká ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch:

Zásadný podstatný rozdiel je však v tom opakované nezávislé testy, ktoré sa vykonávajú postupne, nezávisle od seba a s rovnakou pravdepodobnosťou výsledkov.

Závislosť udalostí sa chápe v pravdepodobnostný zmysel, nefunkčné. To znamená, že podľa výskytu jednej zo závislých udalostí nie je možné jednoznačne posúdiť vzhľad druhej. Pravdepodobnosť znamená, že výskyt jednej zo závislých udalostí mení iba pravdepodobnosť výskytu inej. Ak sa tým nezmení pravdepodobnosť, udalosti sa považujú za nezávislé.

Definícia: Nech - ľubovoľný pravdepodobnostný priestor, - nejaké náhodné udalosti. To hovoria udalosť A nezávisí od udalosti V , ak sa jej podmienená pravdepodobnosť zhoduje s nepodmienenou pravdepodobnosťou:

.

Ak , potom hovoria, že udalosť A závisí od udalosti V.

Pojem nezávislosti je symetrický, teda ak ide o udalosť A nezávisí od udalosti V, potom udalosť V nezávisí od udalosti A... Skutočne, nech ... Potom ... Preto jednoducho hovoria, že udalosti A a V nezávislý.

Nasledujúca symetrická definícia nezávislosti udalostí vyplýva z pravidla násobenia pravdepodobností.

Definícia: Diania A a V, definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore sa nazývajú nezávislý, ak

Ak potom udalosti A a V sa volajú závislý.

Upozorňujeme, že táto definícia platí aj v prípade, keď alebo .

Vlastnosti nezávislých udalostí.

1. Ak udalosti A a V sú nezávislé, potom sú nezávislé aj nasledujúce dvojice udalostí:.

▲ Dokážme napríklad nezávislosť udalostí. Predstavte si udalosť A ako: . Keďže udalosti sú nekonzistentné, potom a kvôli nezávislosti udalostí A a V chápeme to. To znamená nezávislosť. ■

2. Ak udalosť A nezávisí od udalostí V 1 a V 2 ktoré sú nekonzistentné () , tej udalosti A nezávisí ani od sumy.

▲ V skutočnosti pomocou axiómy aditivity pravdepodobnosti a nezávislosti udalosti A z udalostí V 1 a V 2, máme:

Vzťah medzi pojmami nezávislosti a nezlučiteľnosti.

Nechaj A a V- všetky udalosti s nenulovou pravdepodobnosťou:, takže ... Ak sa zároveň udalosti A a V sú nekonzistentné (), a preto k rovnosti nikdy nemôže dôjsť. Touto cestou, nekonzistentné udalosti sú závislé.

Keď sa zohľadňujú viac ako dve udalosti súčasne, potom ich párová nezávislosť dostatočne necharakterizuje spojenie medzi udalosťami celej skupiny. V tomto prípade sa zavádza pojem nezávislosti v súhrne.

Definícia: Vyvolajú sa udalosti definované na rovnakom pravdepodobnostnom priestore kolektívne nezávislý ak pre nejaké 2 £ m £ n a pri akejkoľvek kombinácii indexov platí rovnosť:

o m = 2 nezávislosť v súhrne znamená párovú nezávislosť udalostí. Opak nie je pravdou.

Príklad. (Bernstein S.N.)

Náhodný pokus spočíva v hádzaní pravidelného štvorstenu (štvorstenu). Pozoruje sa, že fazeta vypadáva zhora nadol. Plochy štvorstenu sú sfarbené takto: 1 plocha - biela, 2 plochy - čierna,
3 tvár - červená, 4 tvár - obsahuje všetky farby.

Zvážte udalosti:

A= (vypadnúť biele); B= (vypadnúť čierne);

C= (vypadne červená).

Potom ;

Preto tie udalosti A, V a S sú párovo nezávislé.

Ale, .

Preto udalosti A, V a S nie sú kolektívne nezávislé.

V praxi sa spravidla nezávislosť udalostí nestanovuje kontrolou podľa definície, ale naopak: udalosti sa považujú za nezávislé od akýchkoľvek vonkajších faktorov alebo s prihliadnutím na okolnosti náhodného experimentu a nezávislosť sa používa na zistenie pravdepodobnosti produktu udalostí.

Veta (násobenie pravdepodobností pre nezávislé udalosti).

Ak sú udalosti definované v rovnakom pravdepodobnostnom priestore súhrnne nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčinu rovná súčinu pravdepodobností:

▲ Dôkaz vety vyplýva z definície nezávislosti udalostí v súhrne alebo zo všeobecnej vety o násobení pravdepodobností, berúc do úvahy, že v tomto prípade

Príklad 1 (typický príklad hľadania podmienených pravdepodobností, pojem nezávislosti, veta o sčítaní pravdepodobností).

Elektrický obvod pozostáva z troch nezávisle fungujúcich prvkov. Pravdepodobnosť zlyhania každého z prvkov je zodpovedajúcim spôsobom rovnaká.

1) Nájdite pravdepodobnosť zlyhania obvodu.

2) Je známe, že obvod zlyhal.

Aká je pravdepodobnosť, že odmietol:

a) 1. prvok; b) 3. prvok?

Riešenie. Zvážte udalosti = (Odmietnuté k prvok) a udalosť A= (Schéma zamietnutá). Potom udalosť A uvádza sa vo forme:

.

1) Keďže udalosti a nie sú nekonzistentné, axióma aditivity pravdepodobnosti P3) je neaplikovateľná a na nájdenie pravdepodobnosti treba použiť všeobecnú vetu o sčítaní pravdepodobností, podľa ktorej

Závislé a nezávislé náhodné udalosti.
Základné vzorce na sčítanie a násobenie pravdepodobností

Koncepty závislosti a nezávislosti náhodných udalostí. Podmienená pravdepodobnosť. Vzorce na sčítanie a násobenie pravdepodobností pre závislé a nezávislé náhodné udalosti. Vzorec celkovej pravdepodobnosti a Bayesov vzorec.

Pravdepodobnostné teorémy sčítania

Nájdite pravdepodobnosť súčtu udalostí a (za predpokladu ich kompatibility alebo nekompatibility).

Veta 2.1. Pravdepodobnosť súčtu konečného počtu nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností:

Príklad 1 Pravdepodobnosť, že obchod predá pár pánskych topánok veľkosti 44 je 0,12; 45. - 0,04; 46. ​​a viac - 0,01. Nájdite pravdepodobnosť, že sa predá pár pánskych topánok aspoň veľkosti 44.

Riešenie. Požadovaná udalosť nastane, ak sa predá pár topánok veľkosti 44 (akcia) alebo veľkosti 45 (akcia), alebo aspoň 46 (akcia), to znamená, že udalosť je súčtom udalostí. Udalosti a sú nekonzistentné. Preto podľa vety o súčte pravdepodobností získame

Príklad 2 Za podmienok príkladu 1 nájdite pravdepodobnosť, že ďalší pár topánok sa bude predávať menej ako veľkosť 44.

Riešenie. Udalosti „následne sa budú predávať topánky menšie ako 44. veľkosť“ a „budú sa predávať topánky minimálne veľkosti 44“ sú opačné. Preto podľa vzorca (1.2) pravdepodobnosť výskytu požadovanej udalosti

pretože, ako sa zistilo v príklade 1.

Veta 2.1 o sčítaní pravdepodobností platí len pre nekonzistentné udalosti. Jeho použitie na nájdenie pravdepodobnosti spoločných udalostí môže viesť k nesprávnym a niekedy až absurdným záverom, čo je jasne vidieť na nasledujúcom príklade. Nechajte včas odhadnúť vybavenie objednávky Electra Ltd s pravdepodobnosťou 0,7. Aká je pravdepodobnosť, že firma zrealizuje aspoň jednu z troch objednávok včas? Udalosti, ktoré firma splní včas prvá, druhá, tretia objednávka, budú podľa toho označené. Ak použijeme vetu 2.1 o sčítaní pravdepodobností na nájdenie požadovanej pravdepodobnosti, dostaneme. Pravdepodobnosť udalosti sa ukázala byť viac ako jedna, čo je nemožné. Je to preto, že udalosti sú spoločné. Splnenie prvej objednávky načas totiž nevylučuje splnenie ďalších dvoch včas.

Formulujme vetu na sčítanie pravdepodobností v prípade dvoch spoločných udalostí (bude sa brať do úvahy pravdepodobnosť ich spoločného výskytu).

Veta 2.2. Pravdepodobnosť súčtu dvoch spoločných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto dvoch udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu:

Závislé a nezávislé udalosti. Podmienená pravdepodobnosť

Rozlišujte medzi závislými a nezávislými udalosťami. Dve udalosti sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej. Napríklad, ak sú v dielni dve automatické linky, ktoré nie sú vzájomne prepojené výrobnými podmienkami, potom sú zastávky týchto liniek nezávislými udalosťami.

Príklad 3 Minca sa hodí dvakrát. Pravdepodobnosť výskytu „erbu“ v prvom procese (podujatí) nezávisí od toho, či sa „erb“ objaví v druhom procese (podujatí), alebo nie. Pravdepodobnosť výskytu „erbu“ v druhom pokuse zase nezávisí od výsledku prvého pokusu. Udalosti sú teda nezávislé.

Je tzv kolektívne nezávislý ak niektorý z nich nezávisí od žiadnej inej udalosti a od akejkoľvek kombinácie ostatných.

Udalosti sú tzv závislý ak jeden z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť toho druhého. Napríklad dve výrobné jednotky sú spojené jedným technologickým cyklom. Potom pravdepodobnosť zlyhania jedného z nich závisí od stavu druhého. Pravdepodobnosť jednej udalosti vypočítaná za predpokladu výskytu inej udalosti sa nazýva podmienená pravdepodobnosť udalosti a je indikovaný.

Podmienka nezávislosti udalosti od udalosti je napísaná vo formulári a podmienka jej závislosti - vo formulári. Uvažujme o príklade výpočtu podmienenej pravdepodobnosti udalosti.

Príklad 4 Krabička obsahuje 5 rezákov: dva opotrebované a tri nové. Existujú dve po sebe nasledujúce extrakcie rezákov. Určte podmienenú pravdepodobnosť výskytu opotrebovaného rezača pri druhej extrakcii za predpokladu, že rezačka vytiahnutá prvýkrát sa nevráti do škatule.

Riešenie. Označme extrakciu opotrebovanej frézy v prvom prípade a - extrakciu novej. Potom . Keďže vybratá fréza sa nevracia do krabice, mení sa pomer medzi počtom opotrebovaných a nových fréz. Preto pravdepodobnosť odstránenia opotrebovanej frézy v druhom prípade závisí od toho, aká udalosť sa odohrala pred tým.

Označme udalosť, ktorá v druhom prípade znamená odstránenie opotrebovanej frézy. Pravdepodobnosť tejto udalosti môže byť nasledovná:

Pravdepodobnosť udalosti teda závisí od toho, či udalosť nastala alebo nie.

Vzorce na násobenie pravdepodobnosti

Nech sú udalosti nezávislé a pravdepodobnosti týchto udalostí sú známe. Nájdite pravdepodobnosť zhodujúcich sa udalostí a.

Veta 2.3. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Dôsledok 2.1. Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých udalostí, nezávislých v súhrne, sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Príklad 5. Tri krabice obsahujú 10 dielov. V prvom boxe je 8 štandardných dielov, v druhom - 7, v treťom - 9. Z každého boxu sa náhodne vyberie jeden diel. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky tri odstránené časti budú štandardné.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že štandardná časť (udalosť) je prevzatá z prvého poľa. Pravdepodobnosť, že štandardná časť (udalosť) je prevzatá z druhého poľa. Pravdepodobnosť, že štandardná časť (udalosť) je prevzatá z tretieho poľa. Keďže udalosti sú v súhrne nezávislé, požadovaná pravdepodobnosť (podľa multiplikačnej vety)

Nech sú známe udalosti a závislé a pravdepodobnosti. Nájdite pravdepodobnosť súčinu týchto udalostí, teda pravdepodobnosť, že sa udalosť aj udalosť objavia.

Veta 2.4. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch závislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala:

Dôsledok 2.2. Pravdepodobnosť spoločného výskytu niekoľkých závislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienených pravdepodobností všetkých ostatných a pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa vypočíta za predpokladu, že všetky predchádzajúce udalosti sa už vyskytli. .

Príklad 6. Urna obsahuje 5 bielych loptičiek, 4 čierne a 3 modré. Každý test spočíva v tom, že sa náhodne vyberie jedna loptička bez vrátenia do urny. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom teste sa objaví biela guľa (udalosť), pri druhom - čierna (udalosť) a pri treťom - modrá (udalosť).

Riešenie. Pravdepodobnosť výskytu bielej gule pri prvom pokuse. Pravdepodobnosť výskytu čiernej gule v druhom teste vypočítaná za predpokladu, že sa v prvom teste objavila biela guľa, teda podmienená pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť výskytu modrej gule v treťom pokuse vypočítaná za predpokladu, že v prvom pokuse sa objavila biela guľa a v druhom pokuse čierna guľa. Hľadá sa pravdepodobnosť

Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Veta 2.5. Ak udalosť nastane iba vtedy, ak sa objaví jedna z udalostí, ktoré tvoria úplnú skupinu nezlučiteľných udalostí, potom sa pravdepodobnosť udalosti rovná súčtu súčinov pravdepodobností každej udalosti a zodpovedajúcej podmienenej pravdepodobnosti udalosti. :

V tomto prípade sa udalosti nazývajú hypotézy a pravdepodobnosti sa nazývajú a priori. Tento vzorec sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti.

Príklad 7. Montážna linka dostáva diely z troch strojov. Produktivita strojov nie je rovnaká. Na prvom stroji sa vyrába 50% všetkých dielov, na druhom - 30%, na treťom - 20%. Pravdepodobnosť kvalitnej montáže pri použití dielu vyrobeného na prvom, druhom a treťom stroji 0,98, 0,95 a 0,8, Určte pravdepodobnosť, že zostava schádzajúca z montážnej linky je kvalitná.

Riešenie. Označme udalosť, ktorá znamená platnosť zostaveného celku; a - udalosti, čo znamená, že diely sú vyrobené na prvom, druhom a treťom stroji. Potom

Hľadá sa pravdepodobnosť

Bayesov vzorec

Tento vzorec sa používa na riešenie praktických problémov, keď nastala udalosť vyskytujúca sa spolu s niektorou z udalostí, ktoré tvoria úplnú skupinu udalostí, a je potrebné kvantitatívne prehodnotiť pravdepodobnosti hypotéz. A priori (pred experimentom) pravdepodobnosti sú známe. Je potrebné vypočítať zadné (po experimente) pravdepodobnosti, to znamená, že v podstate musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti. Pre hypotézu vyzerá Bayesov vzorec takto.

Všeobecná formulácia problému: pravdepodobnosti niektorých udalostí sú známe, ale je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené. V týchto úlohách sú potrebné také akcie týkajúce sa pravdepodobností, ako je sčítanie a násobenie pravdepodobností.

Napríklad pri love padnú dva výstrely. Udalosť A- zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event B- zásah z druhého výstrelu. Potom súčet udalostí A a B- zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov.

Úlohy iného typu. Uvádza sa niekoľko udalostí, napríklad trikrát sa hodí minca. Je potrebné zistiť, aká je pravdepodobnosť, že buď erb padne všetky tri razy, alebo že erb bude vyžrebovaný aspoň raz. Ide o problém násobenia pravdepodobností.

Pridanie pravdepodobnosti nekonzistentných udalostí

Sčítanie pravdepodobností sa používa, keď potrebujete vypočítať pravdepodobnosť spojenia alebo logického súčtu náhodných udalostí.

Súčet udalostí A a B označovať A + B alebo A ∪ B... Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, keď nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, keď sa udalosť vyskytla počas pozorovania A alebo udalosť B, alebo súčasne A a B.

Ak udalosti A a B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pomocou súčtu pravdepodobností vypočíta pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane v dôsledku jedného testu.

Veta o sčítaní pravdepodobností. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Napríklad pri love padnú dva výstrely. Udalosť A- zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event V- zásah z druhého výstrelu, udalosť ( A+ V) - zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti A a V- potom nezlučiteľné udalosti A+ V- začiatok aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.

Príklad 1 V krabici je 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zoberiete bez toho, aby ste sa pozreli.

Riešenie. Predpokladajme, že udalosť A- "červená guľa sa berie" a udalosť V- "berie sa modrá guľa." Potom je udalosťou „berie sa farebná (nie biela) loptička“. Nájdite pravdepodobnosť udalosti A:

a udalostiach V:

Diania A a V- vzájomne nekompatibilné, pretože ak sa vezme jedna loptička, nemôžete si vziať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:

Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nekonzistentných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom súčet ich pravdepodobnosti je 1:

Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:

Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.

Pravdepodobnosti opačných udalostí sa zvyčajne označujú malými písmenami p a q... najmä

z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:

Príklad 2 Terč v strelnici je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec vystrelí na terč v prvom pásme, je 0,15, v druhom pásme - 0,23, v treťom pásme - 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.

Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:

Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minie cieľ:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy o sčítaní a násobení pravdepodobností".

Sčítanie pravdepodobností vzájomne kompatibilných udalostí

Dve náhodné udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou, event A uvažuje sa pád čísla 4 a event V- vypadlo párne číslo. Keďže číslo 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi existujú úlohy na výpočet pravdepodobnosti jednej zo vzájomne spoločných udalostí.

Pravdepodobná veta sčítania pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčinu pravdepodobností. Vzorec pre pravdepodobnosti spoločných udalostí je nasledujúci:

Od udalostí A a V kompatibilný, event A+ V nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB... Podľa vety o sčítaní nekompatibilných udalostí vypočítame takto:

Udalosť A nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nekonzistentných udalostí: alebo AB... Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:

Podobne:

Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:

Pri použití vzorca (8) treba mať na pamäti, že udalosti A a V možno:

• vzájomne nezávislé;
• vzájomne závislé.

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:

Ak udalosti A a V sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekonzistentné udalosti je takýto:

Príklad 3 V automobilových pretekoch je pri jazde s prvým autom šanca na výhru, pri jazde v druhom aute. Nájsť:

• pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
• pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;

1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí A(vyhráva prvé auto) a V(vyhráva druhé auto) - nezávislé udalosti. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:

2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy o sčítaní a násobení pravdepodobností".

Vyriešte problém sčítania pravdepodobnosti sami a potom si pozrite riešenie

Príklad 4 Hodia sa dve mince. Udalosť A- vypadnutie z erbu na prvej minci. Udalosť B- vypadnutie z erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .

Násobenie pravdepodobností

Násobenie pravdepodobnosti sa používa pri výpočte pravdepodobnosti logického súčinu udalostí.

Náhodné udalosti musia byť navyše nezávislé. Dve udalosti sa nazývajú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.

Veta o násobení pravdepodobností pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí A a V sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:

Príklad 5. Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že erb padne všetky tri krát.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že pri prvom hode mincou sa objaví erb, druhýkrát, tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb bude nakreslený všetky trikrát:

Vyriešte problémy s násobením pravdepodobnosti sami a potom uvidíte riešenie

Príklad 6. Obsahuje krabicu s deviatimi novými tenisovými loptičkami. Na hru sa odoberú tri loptičky, po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt sa nerozlišujú odohrané a neodohrané. Aká je pravdepodobnosť, že po troch hrách nezostanú v krabici žiadne loptičky?

Príklad 7. Na kartách delenej abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vyberie päť kariet za sebou a umiestnia sa na stôl v poradí, v akom sa objavili. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.

Príklad 8. Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty sú rôznych farieb.

Príklad 9. Rovnaký problém ako v príklade 8, ale po vybratí sa každá karta vráti späť do balíčka.

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie aj násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí – na stránke „Rôzne úlohy o sčítaní a násobení pravdepodobností“.

Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať tak, že od 1 sa odpočíta súčin pravdepodobnosti opačných udalostí, teda pomocou vzorca.

Nezávislé udalosti

Pri praktickej aplikácii pravdepodobnostno-štatistických metód rozhodovania sa neustále používa pojem nezávislosti. Napríklad pri použití štatistických metód riadenia kvality výrobkov hovoria o nezávislých meraniach hodnôt kontrolovaných parametrov pre výrobné jednotky zahrnuté vo vzorke, o nezávislosti výskytu chýb jedného typu od vzhľadu. vád iného druhu a pod. Nezávislosť náhodných udalostí sa v pravdepodobnostných modeloch chápe v nasledujúcom zmysle.

Definícia 2. Diania A a V sa nazývajú nezávislé ak P (AB) = P (A) P (B). Viaceré udalosti A, V, S, ... sa nazývajú nezávislé, ak sa pravdepodobnosť ich spoločnej realizácie rovná súčinu pravdepodobností, že sa každá z nich vyskytne samostatne: R(ABC…) = R(A)R(V)R(S)…

Táto definícia zodpovedá intuitívnej myšlienke nezávislosti: implementácia alebo nenaplnenie jednej udalosti by nemalo ovplyvniť implementáciu alebo nenaplnenie inej. Niekedy pomer R(AB) = R(A) R(V|A) = P(B)P(A|B), ktorá platí pre P(A)P(B) > 0, sa nazýva aj teorém násobenia pravdepodobnosti.

Vyhlásenie 1. Nechajte udalosti A a V nezávislý. Potom sú udalosti nezávislé, udalosti a V nezávislé, udalosti A a nezávislé (tu je opačná udalosť A, a je opačnou udalosťou V).

Z vlastnosti c) v (3) totiž vyplýva, že pre udalosti S a D ktorých produkt je prázdny, P(C+ D) = P(C) + P(D). Od križovatky AB a V prázdna, ale únia je V, potom P (AB) + P (B) = P (B). Keďže A a B sú nezávislé P (B) = P (B) - P (AB) = P (B) - P (A) P (B) = P (B) (1 - P (A)). Všimnite si teraz, že zo vzťahov (1) a (2) vyplýva, že P() = 1 - P (A). znamená, P (B) = P () P (B).

Odvodzovanie rovnosti P (A) = P (A) P () od predchádzajúceho sa líši len tým, že všade nahrádza A na V, a V na A.

Dokázať nezávislosť a využijeme fakt, že udalosti AB, B, A, nemajú párovo spoločné prvky, ale v súčte tvoria celý priestor elementárnych dejov. teda R(AB) + P (B) + P (A) + P () = 1. Pomocou predtým dokázaných vzťahov získame to P (B) = 1 -R(AB) – P (B) ( 1 - P (A)) - P (A) ( 1 - P (B)) = ( 1 – P (A)) ( 1 – P (B)) = P () P (), podľa potreby.

Príklad 3 Uvažujme o experimente, ktorý spočíva v hádzaní kockou s číslami 1, 2, 3, 4, 5,6 napísanými na okrajoch. Veríme, že všetky tváre majú rovnakú šancu byť na vrchole. Zostrojme zodpovedajúci pravdepodobnostný priestor. Ukážme, že udalosti „navrchu – tvár s párnym číslom“ a „navrchu – tvár s číslom deliteľným 3“ sú nezávislé.

Analýza príkladu. Priestor elementárnych výstupov pozostáva zo 6 prvkov: "hore - líc s 1", "hore - líc s 2", ..., "hore - líc s 6". Udalosť „navrchu – tvár s párnym číslom“ pozostáva z troch základných udalostí – keď sú navrchu 2, 4 alebo 6. Všetky tváre majú rovnakú šancu byť navrchu, potom musia mať všetky základné udalosti rovnakú pravdepodobnosť. Keďže existuje celkovo 6 základných udalostí, každá z nich má pravdepodobnosť 1/6. Podľa definície 1 má udalosť „navrchu je tvár s párnym číslom“ pravdepodobnosť ½ a udalosť „navrchu je tvár s číslom deliteľným 3“ má pravdepodobnosť 1/3. Súčin týchto udalostí pozostáva z jednej elementárnej udalosti „navrchu – na okraji so 6“, a preto má pravdepodobnosť 1/6. Keďže 1/6 = ½ x 1/3, posudzované udalosti sú nezávislé v súlade s definíciou nezávislosti.