Trigonometrické funkcie periodické, to znamená, že sa po určitom období opakujú. Vo výsledku stačí naštudovať funkciu na tomto intervale a objavené vlastnosti rozšíriť na všetky ostatné obdobia.

Inštrukcie

1. Ak dostanete primitívny výraz, v ktorom existuje iba jedna goniometrická funkcia (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) a uhol vo vnútri funkcie nie je vynásobený žiadnym číslom a sám nie je zvýšený na žiadne moc - použite definíciu. Pre výrazy obsahujúce sin, cos, sec, cosec odvážne nastavte periódu 2P a ak rovnica obsahuje tg, ctg - tak P. Povedzme, že pre funkciu y = 2 sinx + 5 bude perióda 2P.

2. Ak je uhol x pod znamienkom goniometrickej funkcie vynásobený nejakým číslom, potom, aby ste našli periódu tejto funkcie, vydeľte typickú periódu týmto číslom. Povedzme, že máte funkciu y = sin 5x. Typická perióda pre sínus je 2R, vydelením 5 dostanete 2R / 5 - to je požadovaná perióda tohto výrazu.

3. Ak chcete nájsť periódu goniometrickej funkcie umocnenej na mocninu, vyhodnoťte rovnomernosť mocniny. Pre rovnomerný stupeň znížte typické obdobie na polovicu. Povedzme, že ak dostanete funkciu y = 3 cos ^ 2x, potom sa typická perióda 2P zníži 2-krát, čiže perióda sa bude rovnať P. Všimnite si, že funkcie tg, ctg sú periodické P.

4. Ak dostanete rovnicu obsahujúcu súčin alebo kvocient 2 goniometrických funkcií, najskôr nájdite periódu pre všetky z nich samostatne. Potom nájdite minimálny počet, ktorý by vyhovoval celému počtu oboch období. Povedzme, že je daná funkcia y = tgx * cos5x. Pre dotyčnicu perióda P, pre kosínus 5x perióda 2P / 5. Minimálny počet, do ktorého sa môžu zmestiť obe tieto obdobia, je 2P, teda požadované obdobie je 2P.

5. Ak je pre vás ťažké vykonať navrhovaný spôsob alebo pochybujete o výsledku, skúste to urobiť podľa definície. Vezmite T ako periódu funkcie; je väčšia ako nula. Dosaďte do rovnice výraz (x + T) namiesto x a vyriešte výslednú rovnosť, ako keby T bol parameter alebo číslo. Výsledkom je, že nájdete hodnotu goniometrickej funkcie a budete môcť nájsť najmenšiu periódu. Povedzme, že v dôsledku úľavy dostanete sin identity (T / 2) = 0. Minimálna hodnota T, pri ktorej sa vykonáva, sa rovná 2P, to bude výsledok úlohy.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitej nenulovej perióde. Perióda funkcie je číslo, ktoré po pridaní do argumentu funkcie nemení hodnotu funkcie.

Budete potrebovať

• Znalosť elementárnej matematiky a začiatok prieskumu.

Inštrukcie

1. Označme periódu funkcie f (x) cez číslo K. Našou úlohou je nájsť túto hodnotu K. Na to vyjadrujeme, že funkcia f (x) pomocou definície periodickej funkcie rovná f (x + K) = f (x).

2. Výslednú rovnicu pre neznámu K riešime, ako keby x bola konštanta. V závislosti od hodnoty K získate niekoľko možností.

3. Ak K> 0, potom je to perióda vašej funkcie. Ak K = 0, funkcia f (x) nie je periodická. Ak riešenie rovnice f (x + K) = f (x) neexistuje pre akékoľvek K, ktoré sa nerovná nule, sa takáto funkcia nazýva aperiodická a tiež nemá periódu.

Podobné videá

Poznámka!
Všetky goniometrické funkcie sú periodické a všetky polynómy so stupňami väčšími ako 2 sú aperiodické.

Užitočné rady
Perióda funkcie pozostávajúcej z 2 periodických funkcií je najmenší univerzálny násobok periód týchto funkcií.

Goniometrické rovnice sú rovnice, ktoré obsahujú goniometrické funkcie neznámeho dôvodu (napríklad: 5sinx-3cosx = 7). Aby ste sa naučili, ako ich vyriešiť, musíte na to poznať niekoľko metód.

Inštrukcie

1. Riešenie takýchto rovníc pozostáva z 2 etáp: prvou je reforma rovnice, aby získala svoju najjednoduchšiu formu. Najjednoduchšie goniometrické rovnice sú pomenované takto: Sinx = a; Cosx = a atď.

2. Druhým je riešenie získanej najjednoduchšej goniometrickej rovnice. Existujú základné spôsoby riešenia rovníc tohto druhu: Riešenie algebraickou metódou. Táto metóda je známa už zo školy, z kurzu algebry. Nazýva sa aj metóda variabilnej substitúcie a substitúcie. Použitím redukčných vzorcov transformujeme, vytvoríme náhradu a neskôr nájdeme korene.

3. Faktorizácia rovnice. Najprv presunieme všetky výrazy doľava a rozpočítame ich.

4. Redukcia rovnice na homogénnu. Rovnice sa nazývajú homogénne rovnice, ak všetky členy majú rovnaký stupeň a sínus, kosínus rovnakého uhla. Aby sme to vyriešili, musíme: najprv presunúť všetky jej členy z pravej strany na ľavú; presunúť všetky spoločné faktory mimo zátvoriek; prirovnať multiplikátory a zátvorky k nule; ekvivalentné zátvorky poskytujú homogénnu rovnicu menšieho stupňa, ktorá by sa mala deliť cos (alebo sin) v najvyššom stupni; vyriešiť výslednú algebraickú rovnicu pre tan.

5. Ďalším spôsobom je prejsť do polovičného rohu. Povedzme, že vyriešime rovnicu: 3 sin x - 5 cos x = 7 Prejdite na polovičný uhol: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos? (x / 2) + 5 hriechov? (x / 2) = 7 hriechov? (x / 2) + 7 cos? (x / 2), potom všetky členy prenesieme do jednej časti (rôznejšie vpravo) a vyriešime rovnicu.

6. Rohový vstup príslušenstva. Keď nahradíme celočíselnou hodnotu cos (a) alebo sin (a). Znamienko "a" je pomocný uholník.

7. Spôsob premeny diela na množstvo. Tu musíte použiť príslušné vzorce. Dané: 2 sin x sin 3x = cos 4x. Vyriešte to prevedením ľavej strany na súčet, teda: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. Posledný spôsob sa nazýva multifunkčné vyhľadávanie. Transformujeme výraz a urobíme zmenu, povedzme Cos (x / 2) = u, a potom rovnicu vyriešime s parametrom u. Pri získavaní súčtu hodnotu preložíme opačne.

Podobné videá

Ak uvažujeme body na kružnici, potom body x, x + 2π, x + 4π atď. zhodovať sa navzájom. Teda trigonometrické funkcie na priamke pravidelne zopakujte ich význam. Ak je obdobie slávne funkcie, je dovolené postaviť funkciu na tomto období a opakovať ho na iných.

Inštrukcie

1. Bodka je číslo T také, že f (x) = f (x + T). Ak chcete nájsť periódu, vyriešte zodpovedajúcu rovnicu a dosaďte x a x + T ako argument. Slávnejšie obdobia zároveň využívajú na funkcie. Pre funkcie sínus a kosínus je perióda 2π a pre tangens a kotangens je to π.

2. Nech je daná funkcia f (x) = sin ^ 2 (10x). Zvážte výraz sin ^ 2 (10x) = hriech ^ 2 (10 (x + T)). Použite vzorec na zníženie: sin ^ 2 (x) = (1 - cos 2x) / 2. Potom dostanete 1 - cos 20x = 1 - cos 20 (x + T) alebo cos 20x = cos (20x + 20T). S vedomím, že perióda kosínusu je 2π, 20T = 2π. Preto T = π / 10. T je minimálna správna perióda a funkcia sa zopakuje po 2T a po 3T a v opačnom smere pozdĺž osi: -T, -2T atď.

Užitočné rady
Použite vzorce na zníženie stupňa funkcie. Ak ste bližšie oboznámení s obdobiami niektorých funkcií, skúste existujúcu funkciu zredukovať na známe.

Nájdenie funkcie pre párnu a nepárnu paritu pomáha zostaviť graf funkcie a pochopiť povahu jej správania. Pre toto vyšetrovanie je potrebné porovnať danú funkciu napísanú pre argument "x" a pre argument "-x".

Inštrukcie

1. Napíšte funkciu, ktorú chcete skúmať, v tvare y = y (x).

2. Nahraďte argument funkcie znakom „-x“. Zapojte tento argument do funkčného výrazu.

3. Zjednodušte výraz.

4. Takže skončíte s rovnakou funkciou napísanou pre argumenty x a -x. Pozrite sa na tieto dva záznamy. Ak y (-x) = y (x), ide o párnu funkciu. Ak y (-x) = - y (x), ide o nepárnu funkciu. Ak sa nedá povedať o funkcii, že y (-x) = y (x) alebo y (-x) = - y (x), potom podľa vlastnosti parity ide o všeobecnú funkciu. To znamená, že nie je párne ani nepárne.

5. Zapíšte si výsledky, ktoré ste dosiahli. Teraz ich môžete použiť pri zostavovaní grafu funkcie alebo pri budúcom analytickom výskume vlastností funkcie.

6. O párnosti a nepárnosti funkcie je dovolené hovoriť aj v prípade, keď je graf funkcie bližšie nastavený. Povedzme, že graf je výsledkom fyzikálneho experimentu. Ak je graf funkcie symetrický podľa ordináty, potom y (x) je párna funkcia. Ak je graf funkcie symetrický podľa osi x, potom x (y ) je párna funkcia. x (y) je inverzia funkcie y (x) Ak je graf funkcie symetrický okolo počiatku (0,0), potom y (x) je nepárna funkcia. Inverzná funkcia x (y) bude tiež nepárna.

7. Je dôležité si uvedomiť, že myšlienka párnosti a nepárnosti funkcie priamo súvisí s doménou funkcie. Ak povedzme párna alebo nepárna funkcia neexistuje pri x = 5, potom neexistuje pri x = -5, čo sa nedá povedať o všeobecnej funkcii. Pri nastavovaní párnej a nepárnej parity venujte pozornosť doméne funkcie.

8. Nájdenie funkcie pre párnosť a nepárnosť koreluje s nájdením množiny hodnôt funkcie. Na nájdenie množiny hodnôt párnej funkcie stačí vidieť polovicu funkcie, vpravo alebo vľavo od nuly. Ak pre x> 0 párna funkcia y (x) nadobúda hodnoty od A do B, potom bude mať rovnaké hodnoty pre x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 nepárna funkcia y (x) má rozsah hodnôt od A do B, potom v x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometriou" sa kedysi začali nazývať funkcie, ktoré sú určené závislosťou ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku od dĺžok jeho strán. Tieto funkcie zahŕňajú predovšetkým sínus a kosínus, po druhé - sekantu a kosekans inverzné k týmto funkciám, tangens a kotangens z nich odvodené, ako aj inverzné funkcie arcsínus, inverzný kosínus atď. Pozitívnejšie je hovoriť nie o „riešení“ takýchto funkcií, ale o ich „výpočte“, teda o nájdení číselnej hodnoty.

Inštrukcie

1. Ak je argument goniometrickej funkcie neznámy, potom je dovolené vypočítať jej hodnotu nepriamou metódou založenou na definíciách týchto funkcií. Na to potrebujete poznať dĺžky strán trojuholníka, ktorého goniometrickú funkciu pre jeden z uhlov chcete vypočítať. Povedzme, podľa definície, sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky nohy oproti tomuto uhlu k dĺžke prepony. Z toho vyplýva, že na nájdenie sínusu uhla stačí poznať dĺžky týchto 2 strán. Podobná definícia uvádza, že sínus ostrého uhla je pomer dĺžky nohy susediacej s týmto uhlom k dĺžke prepony. Tangenta ostrého uhla sa dá vypočítať vydelením dĺžky protiľahlého ramena dĺžkou susedného ramena a kotangens vyžaduje vydelenie dĺžky priľahlého ramena dĺžkou protiľahlého ramena. Na výpočet sekansu ostrého uhla je potrebné nájsť pomer dĺžky prepony k dĺžke nohy susediacej s požadovaným uhlom a kosekans je určený pomerom dĺžky prepony k prepone. dĺžka opačnej nohy.

2. Ak poznáme argument goniometrickej funkcie, potom nie je potrebné poznať dĺžky strán trojuholníka - je dovolené používať tabuľky hodnôt alebo kalkulačky goniometrických funkcií. Takáto kalkulačka patrí medzi štandardné programy operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, stlačte kombináciu klávesov Win + R, zadajte príkaz calc a kliknite na tlačidlo "OK". V rozhraní programu otvorte sekciu "Zobraziť" a uprednostnite položku "Inžinierstvo" alebo "Vedec". Neskôr je dovolené zaviesť argument goniometrickej funkcie. Ak chcete vypočítať funkcie sínus, kosínus a tangens, namiesto zadávania hodnoty, kliknite na príslušné tlačidlo rozhrania (sin, cos, tg) a ak chcete nájsť ich inverzný arcsínus, arkozínus a arkustangens, vopred začiarknite políčko Inv .

3. Existujú aj alternatívne metódy. Jedným z nich je prejsť na stránku vyhľadávača Nigma alebo Google a zadať požadovanú funkciu a jej argument ako vyhľadávací dopyt (povedzme hriech 0,47). Tieto vyhľadávače majú zabudované kalkulačky, preto po odoslaní takejto požiadavky dostanete hodnotu vami zadanej goniometrickej funkcie.

Podobné videá

Tip 7: Ako zistiť hodnotu goniometrických funkcií

Trigonometrické funkcie sa prvýkrát objavili ako nástroje na abstraktné matematické výpočty závislostí hodnôt ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku na dĺžkach jeho strán. Teraz sú široko používané vo vedeckých aj technických oblastiach ľudskej činnosti. Na utilitárne výpočty goniometrických funkcií z daných argumentov je dovolené použiť rôzne nástroje - nižšie sú popísané niektoré špeciálne dostupné z nich.

Inštrukcie

1. Použite, povedzme, program kalkulačky nainštalovaný štandardne s operačným systémom. Otvára sa výberom položky „Kalkulačka“ v priečinku „Systém“ v podsekcii „Typické“, ktorá sa nachádza v časti „Všetky programy“. Túto časť nájdete otvorením hlavnej ponuky operačného systému kliknutím na tlačidlo "Štart". Ak používate verziu systému Windows 7, máte možnosť primitívne zadať slovo „Kalkulačka“ do poľa „Nájsť programy a súbory“ v hlavnej ponuke a potom kliknúť na príslušný odkaz vo výsledkoch vyhľadávania.

2. Zadajte hodnotu uhla, pre ktorý chcete vypočítať goniometrickú funkciu, a potom kliknite na tlačidlo zodpovedajúce tejto funkcii - sin, cos alebo tan. Ak máte obavy z inverzných goniometrických funkcií (arksínus, arkozínus alebo arkustangens), potom najskôr kliknite na tlačidlo s nápisom Inv - zmení funkcie priradené ovládacím tlačidlám kalkulačky na opak.

3. V starších verziách operačného systému (povedzme Windows XP) na prístup k trigonometrickým funkciám otvorte časť „Zobraziť“ v ponuke kalkulačky a vyberte riadok „Inžinierstvo“. Okrem toho namiesto tlačidla Inv je v rozhraní zastaraných verzií programu začiarkavacie políčko s rovnakým nápisom.

4. Ak máte prístup na internet, je dovolené sa zaobísť bez kalkulačky. Na webe je veľa služieb, ktoré ponúkajú rôzne usporiadané kalkulačky goniometrických funkcií. Jedna obzvlášť pohodlná možnosť je zabudovaná do vyhľadávacieho nástroja Nigma. Keď prejdete na hlavnú stránku, primitívne zadajte hodnotu svojho záujmu do poľa vyhľadávacieho dopytu - povedzme „oblúkový tangens 30 stupňov“. Neskôr stlačte tlačidlo "Objaviť!" vyhľadávač vypočíta a zobrazí výsledok výpočtu - 0,482347907101025.

Podobné videá

Trigonometria je odvetvie matematiky na pochopenie funkcií, ktoré vyjadrujú rôzne závislosti strán pravouhlého trojuholníka od hodnôt ostrých uhlov pri prepone. Takéto funkcie sa nazývali trigonometrické a na uľahčenie ich práce trigonometrické identity .

zastupovanie identity v matematike označuje rovnosť, ktorá je splnená pre všetky hodnoty argumentov funkcií, ktoré sú v nej zahrnuté. Trigonometrické identity- ide o rovnosti goniometrických funkcií, potvrdené a prijaté na zjednodušenie práce s goniometrickými vzorcami Goniometrická funkcia je elementárna funkcia závislosti jednej z ramien pravouhlého trojuholníka na veľkosti ostrého uhla pri prepone. Bežne sa používa šesť základných goniometrických funkcií: sin (sínus), cos (kosínus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) a cosec (kosekant). Tieto funkcie sa nazývajú priame, existujú aj inverzné funkcie, povedzme, sínus - arksínus, kosínus - arkkozín atď. Pôvodne sa trigonometrické funkcie odrazili v geometrii, potom sa rozšírili do iných oblastí vedy: fyzika, chémia, geografia, optika, atď. teória pravdepodobnosti, ako aj akustika, hudobná teória, fonetika, počítačová grafika a mnohé ďalšie. Teraz je už ťažšie predstaviť si matematické výpočty bez týchto funkcií, hoci v dávnej minulosti sa používali len v astronómii a architektúre. identity slúžia na zjednodušenie práce s dlhými trigonometrickými vzorcami a ich uvedenie do stráviteľnej podoby. Existuje šesť hlavných goniometrických identít, ktoré sú spojené s priamymi goniometrickými funkciami: tg? = hriech? / čo?; hriech ^ 2? + čo ^ 2? = 1; 1 + tg ^ 2? = 1 / cos ^ 2 ?; 1 + 1 / tg ^ 2? = 1 / hriech ^ 2 ?; hriech (? / 2 -?) = cos?; cos (? / 2 -?) = hriech? identityľahko potvrdiť z vlastností pomeru strán a uhlov v pravouhlom trojuholníku: hriech? = BC / AC = b / c; pretože = AB/AC = a/c; tg? = b / a. Prvá identita je tg? = hriech? / pretože? vyplýva z pomeru strán v trojuholníku a vylúčenia strany c (hypotenúzy) pri delení hriechu cos. Ctg identity? = cos? / hriech?, z toho, že ctg? = 1 / tg?. Podľa Pytagorovej vety a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vydelíme túto rovnosť c ^ 2, dostaneme druhú identitu: a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => hriech ^ 2? + čo ^ 2? = 1.Tretia a štvrtá identity dostaneme delením b ^ 2 a a ^ 2: a ^ 2 / b ^ 2 + 1 = c ^ 2 / b ^ 2 => tg ^ 2? + 1 = 1 / cos^ 2?; 1 + b^ 2 / a^ 2 = c^ 2 / a^ 2 => 1 + 1 / tg^ 2? = 1 / hriech ^? alebo 1 + ctg ^ 2? = 1 / hriech ^ 2?. Piaty a šiesty hlavný identity sa dokazujú určením súčtu ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná 90° alebo?/2. Náročnejšie trigonometrické identity: vzorce na sčítanie argumentov, dvojitých a trojitých uhlov, znižovanie stupňa, reformovanie súčtu alebo súčinu funkcií, ako aj goniometrické substitučné vzorce, menovite vyjadrenia základných goniometrických funkcií z hľadiska tg polovičného uhla: sin? = (2 * tg? / 2) / (1 + tg ^ 2? / 2); cos? = (1 - tg^ 2? / 2) / (1 = tg^ 2? / 2); = (2 * tg? / 2) / (1 - tg ^ 2? / 2).

Potreba nájsť minimum význam matematický funkcie predstavuje skutočný záujem o riešenie aplikovaných problémov, povedzme v ekonómii. Obrovský význam pre podnikateľskú činnosť má minimalizáciu strát.

Inštrukcie

1. Aby ste objavili minimum význam funkcie, treba určiť, pri akej hodnote argumentu x0 bude platiť nerovnosť y (x0)? y (x), kde x? x0. Ako obvykle, tento problém sa rieši v určitom intervale alebo v každom rozsahu hodnôt funkcie ak nie je uvedené. Jedným z aspektov riešenia je nájsť pevné body.

2. Stacionárny bod sa nazýva význam argument, v ktorom je derivát funkcie mizne. Podľa Fermatovej vety, ak diferencovateľná funkcia naberá extrém význam v určitom bode (v tomto prípade miestne minimum), potom je tento bod stacionárny.

3. Minimum význam funkcia často trvá presne v tomto bode, nie je však dovolené definovať ju vždy. Okrem toho nie je vždy dovolené presne povedať, čo je minimum funkcie alebo akceptuje nekonečne malé význam... Potom, ako zvyčajne, nájdu hranicu, ku ktorej gravituje, keď klesá.

4. Aby bolo možné určiť minim význam funkcie, je potrebné vykonať postupnosť akcií pozostávajúcu zo štyroch etáp: nájdenie domény definície funkcie, získavanie pevných bodov, prehľad hodnôt funkcie v týchto bodoch a na koncoch medzery detekcia minima.

5. Ukazuje sa, že nech je daná nejaká funkcia y (x) na intervale s hranicami v bodoch A a B. Nájdite jej definičný obor a zistite, či je interval jej podmnožinou.

6. Vypočítajte deriváciu funkcie... Nastavte výsledný výraz na nulu a nájdite korene rovnice. Skontrolujte, či tieto stacionárne body nespadajú do medzery. Ak nie, potom sa v ďalšej fáze neberú do úvahy.

7. Zvážte medzeru pre typ hraníc: otvorené, uzavreté, zložené alebo nemerateľné. Záleží na tom, ako hľadáš minimum význam... Povedzme, že segment [A, B] je uzavretý interval. Zapojte ich do funkcie a vypočítajte hodnoty. Urobte to isté so stacionárnym bodom. Vyberte najmenší súčet.

8. S otvorenými a nemerateľnými medzerami sú veci trochu ťažšie. Tu budete musieť hľadať jednostranné limity, ktoré nedávajú vždy jednoznačný výsledok. Napríklad pre interval s jednou uzavretou a jednou prerušenou hranicou [A, B) by sme mali nájsť funkciu v x = A a jednostrannú limitnú hranicu y v x? B-0.

uspokojenie systému nerovností:

b) Uvažujme množinu čísel na číselnej osi, ktorá vyhovuje systému nerovností:

Nájdite súčet dĺžok segmentov, ktoré tvoria túto množinu.

§ 7. Najjednoduchšie formuly

V § 3 sme stanovili nasledujúci vzorec pre ostré uhly α:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Rovnaký vzorec			kedy,
				keď α je ľubovoľné			veľmi de-
				le, nech M je bod na trigonometrii-
				kruh zodpovedajúci
				číslo α (obr. 7.1). Potom		M má spolu-
				súradnice x = cos α, y
				avšak ľubovoľný bod (x; y), na ktorom leží
				kružnica s jednotkovým polomerom so stredom
				throm pri pôvode, uspokojujúci
				spĺňa rovnicu x2 + y2		1, odkiaľ
				cos2 α + sin2 α = 1, podľa potreby.

Takže vzorec cos2 α + sin2 α = 1 vyplýva z rovnice kruhu. Môže sa zdať, že sme tým poskytli nový dôkaz tohto vzorca pre ostré uhly (v porovnaní s tým, ktorý je uvedený v § 3, kde sme použili Pytagorovu vetu). Rozdiel je však čisto vonkajší: pri odvodení rovnice kruhu x2 + y2 = 1 sa používa rovnaká Pytagorova veta.

Pre ostré uhly sme získali iné vzorce, napr

ak rozumiete symbolu, pravá strana je vždy nezáporná, zatiaľ čo ľavá strana môže byť záporná. Aby vzorec platil pre všetky α, musí byť odmocnený. Rovnosť vyjde: cos2 α = 1 / (1 + tg2 α). Dokážme, že tento vzorec platí pre všetky α: 1

1 / (1 + tg2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Úloha 7.1. Všetky nižšie uvedené vzorce odvodzujte z definícií a vzorca sin2 α + cos2 α = 1 (niektoré z nich sme už dokázali):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tg2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + ctg2 α

hriech2

Tieto vzorce umožňujú, keď poznáme hodnotu jednej z goniometrických funkcií daného čísla, takmer všetky ostatné

áno. Predpokladajme napríklad, že vieme, že sin x = 1/2. Potom cos2 x =

1 − sin2 x = 3/4, takže cos x je buď 3/2 alebo - 3/2. Ak chcete zistiť, ktoré z týchto dvoch čísel je cos x, je potrebných viac informácií.

Úloha 7.2. Ukážte na príkladoch, že oba vyššie uvedené prípady sú možné.

Úloha 7.3. a) Nech tan x = −1. Nájdite hriech x. Koľko odpovedí má tento problém?

b) Predpokladajme, že okrem podmienok bodu a) vieme, že hriech x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1, pre ktoré je definované tan α, t.j. cos α 6 = 0.

Úloha 7.4. Nech sin x = 3/5, x [π / 2; 3π / 2]. Nájdite tg x.

Úloha 7.5. Nech tg x = 3, cos x> sin x. Nájdite cos x, hriech x.

Úloha 7.6. Nech tan x = 3/5. Nájdite hriech x + 2 cos x. cos x - 3 hriech x

Úloha 7.7. Dokážte totožnosť:

tg α - hriech α

c) sin α + cos α ctg α + sin α tan α + cos α =

Úloha 7.8. Zjednodušte výrazy:

a) (sin α + cos α) 2 + (sin α - cos α) 2; b) (tan a + ctg a)2 + (tan a - ctg a) 2;

c) sin α (2 + ctg α) (2 ctg α + 1) - 5 cos α.

§ 8. Periódy goniometrických funkcií

Čísla x, x + 2π, x − 2π zodpovedajú rovnakému bodu na trigonometrickej kružnici (ak prejdete extra kružnicu pozdĺž trigonometrickej kružnice, prídete tam, kde ste boli). Z toho vyplývajú tieto identity, o ktorých sa už hovorilo v § 5:

sin (x + 2π) = sin (x - 2π) = sin x; cos (x + 2π) = cos (x - 2π) = cos x.

V súvislosti s týmito identitami sme už použili výraz „obdobie“. Uveďme teraz presné definície.

Definícia. Číslo T 6 = 0 sa nazýva perióda funkcie f, ak pre všetky x platia rovnosti f (x - T) = f (x + T) = f (x) (predpokladá sa, že x + T a x - T sú zahrnuté v definičnom obore funkcie, ak obsahuje x). Funkcia sa nazýva periodická, ak má bodku (aspoň jednu).

Pri opise oscilačných procesov prirodzene vznikajú periodické funkcie. O jednom z takýchto procesov sa už hovorilo v § 5. Tu je niekoľko ďalších príkladov:

1) Nech ϕ = ϕ (t) je uhol odchýlky výkyvného kyvadla hodín od vertikály v okamihu t. Potom ϕ je periodická funkcia t.

2) Napätie ("potenciálny rozdiel", ako by povedal fyzik) medzi dvoma zásuvkami striedavého prúdu, ak

či sa to považuje za funkciu času, je periodická funkcia1.

3) Počúvajme hudobný zvuk. Potom je tlak vzduchu v danom bode periodickou funkciou času.

Ak má funkcia periódu T, potom čísla −T, 2T, −2T budú tiež periódami tejto funkcie. ... ... - jedným slovom všetky čísla nT, kde n je nenulové celé číslo. Skutočne, skontrolujme napríklad, že f (x + 2T) = f (x):

f (x + 2T) = f ((x + T) + T) = f (x + T) = f (x).

Definícia. Najmenšia kladná perióda funkcie f sa nazýva – v súlade s doslovným významom slov – kladné číslo T také, že T je perióda f a žiadne kladné číslo menšie ako T už nie je periódou f.

Periodická funkcia nemusí mať najmenšiu kladnú periódu (napríklad funkcia, ktorá je konštantná, má periódu ľubovoľného čísla, a preto nemá najmenšiu kladnú periódu). Môžeme uviesť príklady nekonštantných periodických funkcií, ktoré nemajú najmenšiu kladnú periódu. Napriek tomu vo väčšine zaujímavých prípadov majú periodické funkcie najmenšiu kladnú periódu.

1 Keď sa povie „napätie v sieti je 220 voltov“, myslia sa tým jeho „odmocnina“, o ktorej si povieme v § 21. Samotné napätie sa neustále mení.

Ryža. 8.1. Obdobie tangens a kotangens.

Najmä najmenšia kladná perióda sínusu aj kosínusu je 2π. Dokážme to napríklad pre funkciu y = sin x. Predpokladajme, že na rozdiel od toho, čo tvrdíme, sínus má periódu T takú, že 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Najmenšia kladná perióda funkcie popisujúcej fluktuácie (ako v našich príkladoch 1-3) sa jednoducho nazýva perióda týchto fluktuácií.

Keďže číslo 2π je perióda sínusu a kosínusu, bude to aj perióda dotyčnice a kotangensu. Pre tieto funkcie však 2π nie je najmenšia perióda: najmenšia kladná perióda dotyčnice a kotangensu bude π. Body zodpovedajúce číslam x a x + π na trigonometrickej kružnici sú totiž diametrálne opačné: z bodu x do bodu x + 2π je potrebné prejsť vzdialenosť π, ktorá sa presne rovná polovici kruhu. Teraz, ak použijeme definíciu tangens a kotangens pomocou osi tangens a kotangens, budú zrejmé rovnosti tan (x + π) = tan x a ctg (x + π) = ctg x (obrázok 8.1). Je ľahké skontrolovať (navrhneme to urobiť v úlohách), že π je skutočne najmenšia kladná perióda dotyčnice a kotangens.

Jedna poznámka k terminológii. Často sa slová „funkčné obdobie“ používajú vo význame „najmenšie kladné obdobie“. Ak sa vás teda na skúške opýtajú: „Je 100π perióda funkcie sínus?“, s odpoveďou sa neponáhľajte, ale ujasnite si, či máte na mysli najmenšiu kladnú periódu alebo len jednu z periód.

Goniometrické funkcie sú typickým príkladom periodických funkcií: každá „nie veľmi zlá“ periodická funkcia môže byť v istom zmysle vyjadrená ako goniometrické funkcie.

Úloha 8.1. Nájdite najmenšie kladné periódy funkcií:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos (1,01x).

Úloha 8.2. Závislosť napätia v AC sieti od času je daná vzorcom U = U0 sin ωt (tu t je čas, U je napätie, U0 a ω sú konštantné hodnoty). Frekvencia striedavého prúdu je 50 Hz (to znamená, že napätie robí 50 kmitov za sekundu).

a) Nájdite ω za predpokladu, že t sa meria v sekundách;

b) Nájdite (najmenšiu kladnú) periódu U ako funkciu t.

Úloha 8.3. a) Dokážte, že najmenšia kladná perióda kosínusu je 2π;

b) Dokážte, že najmenšia kladná perióda dotyčnice je π.

Úloha 8.4. Nech sa najmenšia kladná perióda funkcie f rovná T. Dokážte, že všetky jeho ostatné periódy majú tvar nT pre niektoré celé čísla n.

Úloha 8.5. Dokážte, že nasledujúce funkcie nie sú periodické.

>> Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicita funkcií y = sin x, y = cos x

V predchádzajúcich odsekoch sme použili sedem vlastností funkcie: doména definície, párna alebo nepárna parita, monotónnosť, ohraničenosť, najväčšie a najmenšie hodnoty, spojitosť, rozsah hodnôt funkcie. Tieto vlastnosti sme použili buď na vykreslenie grafu funkcie (ako to bolo napr. v § 9), alebo na prečítanie zostrojeného grafu (ako to bolo napr. v § 10). Teraz nadišla vhodná chvíľa na zavedenie ďalšej (ôsmej) vlastnosti funkcií, ktorá je dokonale viditeľná vo vyššie uvedenom grafy funkcie y = sin x (pozri obr. 37), y = cos x (pozri obr. 41).

Definícia. Funkcia sa nazýva periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z množín je dvojnásobok rovnosť:

Číslo T spĺňajúce túto podmienku sa nazýva perióda funkcie y = f (x).
Z toho vyplýva, že keďže pre ľubovoľné x sú rovnosti pravdivé:

potom funkcie y = sin x, y = cos x sú periodické a číslo 2 P slúži ako perióda oboch funkcií.
Periodicita funkcie je sľúbenou ôsmou vlastnosťou funkcií.

Teraz sa pozrite na graf funkcie y = sin x (obr. 37). Na vykreslenie sínusoidy stačí nakresliť jednu jej vlnu (na úsečku a následne túto vlnu po osi x posunúť o. Vo výsledku pomocou jednej vlny vykreslíme celý graf.

Pozrime sa z rovnakého uhla pohľadu na graf funkcie y = cos x (obr. 41). Aj tu vidíme, že na zostavenie grafu stačí najprv zostaviť jednu vlnu (napríklad na segmente

A potom ho posuňte pozdĺž osi x o
Keď to zhrnieme, urobíme nasledujúci záver.

Ak má funkcia y = f (x) periódu T, potom na vykreslenie grafu funkcie musíte najskôr postaviť vetvu (vlnu, časť) grafu na ľubovoľnom intervale dĺžky T (najčastejšie zaberajú interval s koncami v bodoch a potom posuňte túto vetvu pozdĺž osi x doprava a doľava o T, 2T, ZT atď.
Periodická funkcia má nekonečne veľa periód: ak T je perióda, potom 2T je perióda a ZT je perióda a -T je perióda; vo všeobecnosti je perióda ľubovoľné číslo v tvare KT, kde k = ± 1, ± 2, ± 3 ... Väčšinou sa snažia, ak je to možné, vybrať najmenšiu kladnú periódu, nazýva sa to hlavná perióda.
Takže ľubovoľné číslo v tvare 2nk, kde k = ± 1, ± 2, ± 3, je perióda funkcií y = sinn x, y = cos x; 2p je hlavná perióda oboch funkcií.

Príklad. Nájdite hlavnú periódu funkcie:

a) Nech T je hlavná perióda funkcie y = sin x. Dali sme

Aby číslo T bolo periódou funkcie, musí platiť identita Ho, keďže hovoríme o hľadaní hlavnej periódy, dostaneme
b) Nech T je hlavná perióda funkcie y = cos 0,5x. Dajte f (x) = cos 0,5x. Potom f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5 x + 0,5 T).

Aby číslo T bolo periódou funkcie, musí byť splnená identita cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

To znamená, že 0,5t = 2pp. Ale keďže hovoríme o hľadaní hlavnej periódy, dostaneme 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Zovšeobecnenie výsledkov získaných v príklade je nasledovné tvrdenie: hlavná perióda funkcie

A.G. Mordkovičova algebra 10. ročník

Obsah lekcie osnova lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Cvičte úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, úlohy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafy, tabuľky, schémy humor, vtipy, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavcov cheat sheets učebnice základná a doplnková slovná zásoba pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínopravy chýb v návode aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované lekcie

Argument x, potom sa nazýva periodický, ak existuje číslo T, ktoré pre ľubovoľné x F (x + T) = F (x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie.

Období môže byť niekoľko. Napríklad funkcia F = const pre všetky hodnoty argumentu má rovnakú hodnotu, a preto za jej periódu možno považovať akékoľvek číslo.

Zvyčajne je zaujímavá najmenšia nenulová perióda funkcie. Pre stručnosť sa tomu hovorí jednoducho obdobie.

Klasickým príkladom periodických funkcií je goniometrické: sínus, kosínus a tangens. Ich perióda je rovnaká a rovná sa 2π, teda sin (x) = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) atď. Samozrejme, goniometrické funkcie nie sú jediné periodické.

Pre relatívne jednoduché základné funkcie je jediný spôsob, ako určiť ich periodicitu alebo neperiodicitu, pomocou výpočtov. Ale pre zložité funkcie už existuje niekoľko jednoduchých pravidiel.

Ak je F (x) s periódou T a je pre ňu definovaná derivácia, potom táto derivácia f (x) = F ′ (x) je tiež periodická funkcia s periódou T. Koniec koncov, hodnota derivácie pri bod x sa v tomto bode rovná dotyčnici dotyčnice grafu jeho primitívnej osi k osi x, a keďže sa priraďovač periodicky opakuje, musí sa opakovať aj derivácia. Napríklad derivát sin (x) je cos (x) a je periodický. Ak vezmeme derivát cos (x), dostaneme –sin (x). Periodicita zostáva nezmenená.

Opak však nie je vždy pravdou. Takže funkcia f (x) = const je periodická, ale jej primitívna funkcia F (x) = const * x + C nie je.

Ak je F (x) periodická funkcia s periódou T, potom G (x) = a * F (kx + b), kde a, b a k sú konštanty a k nie je nula, je tiež periodická funkcia a jej obdobie je T/k. Napríklad sin (2x) je periodická funkcia a jej perióda je π. Dá sa to jasne znázorniť takto: vynásobením x nejakým číslom sa zdá, že graf funkcie horizontálne stlačíte presne toľkokrát

Ak sú F1 (x) a F2 (x) periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, potom súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Jeho obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom delenia T1 / T2 racionálne číslo, potom súčet funkcií je periodický a jeho perióda sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku (LCM) periód T1 a T2. Napríklad, ak je perióda prvej funkcie 12 a perióda druhej je 15, potom sa perióda ich súčtu bude rovnať LCM (12, 15) = 60.

Dá sa to jasne znázorniť takto: funkcie prichádzajú s rôznymi „šírkami krokov“, ale ak je pomer ich šírok racionálny, potom sa skôr či neskôr (alebo skôr presne cez LCM krokov) opäť vyrovnajú a ich suma začne nové obdobie.

Ak je však pomer období iracionálny, potom celková funkcia nebude vôbec periodická. Napríklad nech F1 (x) = x mod 2 (zostáva, keď x je delené 2) a F2 (x) = sin (x). T1 sa tu bude rovnať 2 a T2 sa bude rovnať 2π. Pomer periód sa rovná π - iracionálne číslo. Preto funkcia sin (x) + x mod 2 nie je periodická.

Cieľ: zhrnúť a systematizovať poznatky študentov na tému „Frekvencia funkcií“; rozvíjať zručnosti v uplatňovaní vlastností periodickej funkcie, hľadanie najmenšej kladnej periódy funkcie, vytváranie grafov periodických funkcií; podporovať záujem o štúdium matematiky; vychovávať k pozorovaniu, presnosti.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, kartičky s úlohami, diapozitívy, hodiny, okrasné stoly, prvky ľudových remesiel

"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov

Počas vyučovania

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Komunikácia témy a cieľov vyučovacej hodiny.

II. Kontrola domácej úlohy.

Domáce úlohy kontrolujeme vzorkami, diskutujeme o najťažších bodoch.

III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.

1. Ústna frontálna práca.

Otázky teórie.

1) Tvar definície funkčného obdobia
2) Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y = sin (x), y = cos (x)
3). Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y = tg (x), y = ctg (x)
4) Dokážte správnosť vzťahov pomocou kruhu:

y = hriech (x) = hriech (x + 360º)
y = cos (x) = cos (x + 360º)
y = tg (x) = tg (x + 18 0º)
y = ctg (x) = ctg (x + 180º)

tg (x + π n) = tgx, n € Z
ctg (x + π n) = ctgx, n € Z

sin (x + 2π n) = sinx, n € Z
cos (x + 2π n) = cosx, n € Z

5) Ako vykresliť periodickú funkciu?

Ústne cvičenia.

1) Dokážte nasledujúce vzťahy

a) hriech (740º) = hriech (20º)
b) cos (54º) = cos (-1026º)
c) hriech (-1000º) = hriech (80º)

2. Dokážte, že uhol pri 540º je jednou z periód funkcie y = cos (2x)

3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y = tg (x)

4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, FREKVENCIA?

Študent odpovedá: Obdobie v hudbe je štruktúra, v ktorej je prezentovaná viac-menej úplná hudobná myšlienka. Geologické obdobie je súčasťou éry a delí sa na epochy s obdobím od 35 do 90 miliónov rokov.

Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovený dátum. Mendelejevova periodická tabuľka.

6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Určite periódu funkcie. Určite periódu funkcie.

Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?

Odpoveď žiaka: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie problémov.

(Riešenie problémov na snímkach.)

Zvážte jeden zo spôsobov, ako preskúmať periodicitu funkcie.

Táto metóda sa vyhýba ťažkostiam spojeným s dokazovaním, že toto alebo toto obdobie je najmenšie, a tiež eliminuje potrebu dotýkať sa otázok aritmetických operácií s periodickými funkciami a periodicitou komplexnej funkcie. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT (n? 0) je jej perióda.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f (x) = 1 + 3 (x + q> 5)

Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda danej funkcie. Potom f (x + T) = f (x) pre všetky x ∈ D (f), teda

1 + 3 (x + T + 0,25) = 1 + 3 (x + 0,25)
(x + T + 0,25) = (x + 0,25)

Ak x = -0,25 dostaneme

(T) = 0<=>T = n, n € Z

Dostali sme, že všetky obdobia uvažovanej funkcie (ak existujú) sú medzi celými číslami. Z týchto čísel vyberme najmenšie kladné číslo. Toto 1 ... Pozrime sa, či to bude v skutočnosti obdobie 1 .

f (x + 1) = 3 (x + 1 + 0,25) +1

Keďže (T + 1) = (T) pre ľubovoľné T, potom f (x + 1) = 3 ((x + 0,25) +1) + 1 = 3 (x + 0,25) + 1 = f (x ), t.j. 1 - obdobie f. Keďže 1 je najmenšie zo všetkých kladných celých čísel, T = 1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f (x) = cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f (x) = hriech (1,5x) + 5cos (0,75x)

Predpokladajme, že T-perióda funkcie, potom pre ľubovoľnú X vzťah je pravdivý

sin1,5 (x + T) + 5cos0,75 (x + T) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x)

Ak x = 0, potom

sin (1,5T) + 5cos (0,75T) = sin0 + 5cos0

sin (1,5T) + 5cos (0,75T) = 5

Ak x = -T, potom

sin0 + 5cos0 = sin (-1,5T) + 5cos0,75 (-T)

5 = - sin (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)

sin (1,5T) + 5cos (0,75T) = 5 - sin (1,5T) + 5cos (0,75T) = 5

Keď to spočítame, dostaneme:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Zo všetkých čísel „podozrivých“ pre bodku vyberieme najmenšie kladné číslo a skontrolujeme, či ide o bodku pre f. Toto číslo

f (x +) = sin (1,5x + 4π) + 5cos (0,75x + 2π) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x) = f (x)

Preto - hlavné obdobie funkcie f.

Úloha 4. Skontrolujte, či periodická funkcia f (x) = sin (x)

Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x

hriech | x + T | = hriech | x |

Ak x = 0, potom sin | Т | = sin0, sin | Т | = 0 Т = π n, n € Z.

Predpokladajme. Že pre nejaké n je číslo π n bodka

uvažovanej funkcie π n> 0. Potom sin | π n + x | = hriech | x |

To znamená, že n musí byť párne aj nepárne súčasne, čo je nemožné. Preto táto funkcia nie je periodická.

Problém 5. Skontrolujte, či funguje periodická funkcia

f (x) =

Nech T je obdobie f

, teda sinT = 0, T = π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou danej funkcie. Potom číslo 2π n bude bodka

Keďže čitatelia sú si rovní, potom sú si rovní aj ich menovatelia

Preto funkcia f nie je periodická.

Skupinová práca.

Skupinové úlohy 1.

Úlohy pre skupinu 2.

Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje).

f (x) = cos (2x) + 2sin (2x)

Skupinové úlohy 3.

Na konci práce skupiny prezentujú svoje riešenia.

Vi. Zhrnutie lekcie.

Reflexia.

Učiteľ rozdá žiakom kartičky s obrázkami a ponúkne im, aby premaľovali časť prvej kresby podľa toho, do akej miery si myslia, že si osvojili metódy skúmania funkcie pre periodicitu, a časť druhej kresby - v súlade s s ich prispením k práci na vyučovacej hodine.

Vii. Domáca úloha

jeden). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje)

b). f (x) = x 2 - 2 x + 4

c). f (x) = 2 tg (3x + 5)

2). Funkcia y = f (x) má periódu T = 2 a f (x) = x 2 + 2x pre x € [-2; 0]. Nájdite význam výrazu -2f (-3) -4f (3,5)

Literatúra/

1. Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy hlbokého učenia.
2. Matematika. Príprava na skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a začiatok analýzy pre ročníky 10-11.