\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Obsah

Monotónnosť funkcie na intervale Ak na intervale \((a;b)\) pre ľubovoľnú dvojicu bodov, \((x_1) na tomto intervale narastá.

Ak je na intervale \((a;b)\) pre ľubovoľnú dvojicu bodov \((x_1)(f(x_2))\), potom funkcia \(f(x)\) klesajúci na tomto intervale.

Funkcia, ktorej graf je na obrázku, rastie na intervale \((a;b)\) a klesá na intervale \((b;c)\).

Dostatočné kritériá pre monotónnosť funkcie na intervale Dostatočné kritérium pre zvýšenie funkcie
Ak \(f"(x)>0\) vo všetkých bodoch \(x\in(a;b)\), potom funkcia \(f(x)\) rastie na intervale \((a;b) \) .

Dostatočné kritérium na zníženie funkcie
Ak \(f"(x)

Body lokálnych extrémov Ak v nejakom intervale \((a;b)\) obsahujúcom bod \(x_0\) pre všetky \(x\in(a;b)\) je nerovnosť \(f(x)\geqslant f(x_0)\ ), a v tomto intervale je bod \(x_1\) taký, že \(f(x_1)>f(x_0)\), potom \(x_0\) - miestny minimálny bod funkcie \(f(x)\).

Ak v nejakom intervale \((a;b)\) obsahujúcom bod \(x_0\) pre všetky \(x\in(a;b)\) nerovnosť \(f(x)\leqslant f(x_0)\ ), a v tomto intervale je bod \(x_1\) taký, že \(f(x_1) je bod lokálneho maxima funkcie \(f(x)\).

Nazývajú sa body lokálnych miním a maxím body lokálnych extrémov.

Na obrázku nižšie je znázornený graf funkcie \(f(x)\) a body jej lokálnych extrémov sú označené: \(x_1,\; x_2,\; x_3,\; x_4\).

\(x_1\) a \(x_3\) sú body lokálnych miním, \(x_2\) a \(x_4\) sú body lokálnych miním.
V bodoch \(x_1,\; x_3\) a \(x_4\) derivácia existuje a rovná sa nule - dotyčnice ku grafu (zobrazené ako červené čiary) sú v týchto bodoch rovnobežné s osou x.
V bode \(x_2\) nie je derivácia definovaná. V tomto bode nie je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu.

Známky vysokej a nízkej Ak je v bode \(x_0\) funkcia \(f\) spojitá a jej derivácia \(f'\) v tomto bode zmení znamienko z plus na mínus (to znamená, že existuje takýto interval \(( a;x_0)\ ) tak, že \(f'>0\) na \((a;x_0)\) a interval \((x_0;b)\) taký, že \(f'
Ak je v bode \(x_0\) funkcia \(f\) spojitá a jej derivácia \(f'\) v tomto bode zmení znamienko z mínus na plus (to znamená, že existuje taký interval \(( a;x_0)\ ), že \(f' 0\) na \((x_0;b)\)), potom \(x_0\) je minimálny bod funkcie \(f\).

Minimálne a maximálne body funkcie sú body domény definície tejto funkcie (to znamená hodnoty \(x\)). Hodnoty funkcií v týchto bodoch (hodnoty \(y\) zodpovedajúce týmto \(x\)) sa nazývajú minimá a výšky funkcie resp.

Napríklad pre funkciu \(y=x^2+1\): \(\;x=0\) je minimálny bod a \(y(0)=1\) je minimum.

Hľadanie minimálneho a maximálneho počtu bodov Na nájdenie minimálnych a maximálnych bodov spojitej funkcie \(f(x)\) potrebujete:

2) nájdite nuly derivácie (vyriešte rovnicu \(f"(x)=0\)) a body, kde derivácia nie je definovaná;

3) nájdite znamienka derivácie na každom z výsledných intervalov;

4) tie body, v ktorých je funkcia \(f\) spojitá a jej derivácia mení znamienko z „+“ na „-“ - body maxima tejto funkcie,

tie body, v ktorých je funkcia \(f\) spojitá a jej derivácia mení znamienko z „-“ na „+“ - minimálne body tejto funkcie.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na segmente Funkcia, ktorá je na segmente spojitá, dosahuje maximálne a minimálne hodnoty na tomto segmente.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty spojitej funkcie \(f(x)\) na segmente, potrebujete:

1) nájdite deriváciu \ (f "(x) \) tejto funkcie;

2) nájsť kritických bodov, teda nuly derivácie (riešte rovnicu \ (f "(x) = 0 \)) a body, v ktorých derivácia nie je definovaná;

3) nájdite hodnotu funkcie v kritických bodoch, ako aj na koncoch segmentu;

4) najväčšia zo získaných hodnôt bude najväčšia hodnota funkcie v tomto segmente,

najmenšia zo získaných hodnôt bude najmenšia hodnota funkcie v tomto segmente.

Maximálna hodnota funkcie \(f(x)\) na intervale \(\) je označená \(\max\limits_()f(x)\)

Najmenšiu hodnotu funkcie \(f(x)\) na intervale \(\) označíme \(\min\limity_()f(x)\)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=(7x^2-56x+56)e^x na intervale [-3; 2].

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie podľa vzorca pre deriváciu súčinu y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Vypočítajme nuly derivácie: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Umiestnime znamienka derivácie a určme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie na daný interval.

Z obrázku je zrejmé, že na segmente [-3; 0] pôvodná funkcia je rastúca a klesajúca na intervale. Najväčšia hodnota na intervale [-3; 2] sa dosiahne pri x=0 a rovná sa y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Odpoveď

Podmienka

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=12x-12tg x-18 na segmente \vľavo.

Zobraziť riešenie

Riešenie

y"= (12x)"-12(tgx)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. To znamená, že pôvodná funkcia nie je rastúca na uvažovanom intervale a nadobúda najväčšiu hodnotu na ľavom konci segmentu, to znamená na x=0. Najvyššia hodnota je y(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite minimálny bod funkcie y=(x+8)^2e^(x+52).

Zobraziť riešenie

Riešenie

Minimálny bod funkcie nájdeme pomocou derivácie. Nájdite deriváciu danej funkcie pomocou vzorcov pre deriváciu súčinu, deriváciu x^\alfa a e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Usporiadajme znamienka derivácie a určme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie. e^(x+52)>0 pre ľubovoľné x . y"=0 kedy x=-8, x = -10.

Obrázok ukazuje, že funkcia y=(x+8)^2e^(x+52) má jeden minimálny bod x=-8.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite maximálny bod funkcie y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Zobraziť riešenie

Riešenie

ODZ: x \geqslant 0. Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Vypočítajme nuly derivácie:

8-\sqrtx=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Usporiadajme znamienka derivácie a určme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie.

Z obrázku je vidieť, že bod x=64 je jediným maximálnym bodom danej funkcie.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=5x^2-12x+2\ln x+37 na segmente \left[\frac35; \frac75\vpravo].

Zobraziť riešenie

Riešenie

ODZ: x>0.

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Definujme nuly derivácie: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\vľavo[\frac35; \frac75\vpravo].

Usporiadame znamienka derivácie a určíme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie na uvažovanom intervale.

Z obrázku je vidieť, že na segmente \left[\frac35; 1\vpravo] pôvodná funkcia je klesajúca a na intervale \vľavo zvyšuje. Teda najmenšia hodnota na segmente \left[\frac35; \frac75\right] sa dosiahne pri x=1 a rovná sa y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. úroveň profilu. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=(x+4)^2(x+1)+19 na segmente [-5; -3].

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie pomocou vzorca pre deriváciu produktu.

Zvyšovanie, znižovanie a extrémy funkcie

Hľadanie intervalov nárastu, poklesu a extrémov funkcie je samostatnou úlohou a dôležitou súčasťou iných úloh, najmä plne funkčné štúdium. Počiatočné informácie o zvýšení, znížení a extrémoch funkcie sú uvedené v teoretická kapitola o deriváte, ktorú vrelo odporúčam na predbežné štúdium (alebo opakovanie)- aj z toho dôvodu, že nasledujúci materiál je založený na veľmi podstata derivátu je harmonickým pokračovaním tohto článku. Aj keď, ak sa kráti čas, je možné aj čisto formálne vypracovanie príkladov z dnešnej hodiny.

A dnes je vo vzduchu duch vzácnej jednomyseľnosti a ja priamo cítim, že všetci prítomní horia túžbou naučiť sa skúmať funkciu pomocou derivácie. Preto sa na obrazovkách vašich monitorov okamžite objaví rozumná dobrá večná terminológia.

Za čo? Jedným z najpraktickejších dôvodov je: aby bolo jasné, čo sa od vás pri konkrétnej úlohe všeobecne vyžaduje!

Monotónnosť funkcie. Extrémne body a funkčné extrémy

Uvažujme o nejakej funkcii. Zjednodušene to predpokladáme nepretržitý na celom číselnom rade:

Pre každý prípad sa okamžite zbavíme možných ilúzií, najmä tých čitateľov, ktorí sa nedávno zoznámili intervaly znamienkovej stálosti funkcie. Teraz my NEZAUJÍMA, ako je graf funkcie umiestnený vzhľadom na os (hore, dole, kde pretína os). Pre presvedčivosť mentálne vymažte osi a nechajte jeden graf. Pretože je o to záujem.

Funkcia zvyšuje na intervale, ak pre ľubovoľné dva body tohto intervalu súvisiaceho vzťahom je nerovnosť pravdivá. To znamená, že väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie a jej graf ide „zdola nahor“. Funkcia demo v priebehu intervalu rastie.

Rovnako aj funkcia klesajúci na intervale, ak pre ľubovoľné dva body daného intervalu, tak, že , nerovnosť je pravdivá. To znamená, že väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie a jej graf ide „zhora nadol“. Naša funkcia v intervaloch klesá .

Ak funkcia v intervale rastie alebo klesá, potom sa volá prísne monotónne na tomto intervale. Čo je monotónnosť? Berte to doslova – monotónnosť.

Je možné aj definovať neklesajúci funkcia (uvoľnený stav v prvej definícii) a nezväčšujúce sa funkcie (zmäkčený stav v 2. definícii). Neklesajúca alebo nerastúca funkcia na intervale sa nazýva monotónna funkcia na danom intervale (prísna monotónnosť je špeciálny prípad „len“ monotónnosti).

Teória zvažuje aj iné prístupy k určovaniu nárastu / poklesu funkcie, vrátane polovičných intervalov, segmentov, ale aby sme si nenaliali olej-olej-olej na hlavu, súhlasíme s tým, že budeme pracovať s otvorenými intervalmi s kategorickými definíciami - toto je jasnejšie a na riešenie mnohých praktických problémov úplne postačuje.

Touto cestou, v mojich článkoch sa takmer vždy skrýva formulácia „monotónnosť funkcie“. intervaloch prísna monotónnosť(prísne zvýšenie alebo prísne zníženie funkcie).

Bodové susedstvo. Slová, po ktorých sa žiaci rozutekali, kde sa len dalo, a s hrôzou sa schovávajú v kútoch. ...Aj keď po príspevku Cauchyho limity pravdepodobne sa už neskrývajú, ale len sa mierne chvejú =) Nebojte sa, teraz nebudú žiadne dôkazy teorémov matematickej analýzy - potreboval som, aby okolie formulovalo definície prísnejšie extrémne body. Pamätáme si:

Susedský bod pomenujte interval, ktorý obsahuje daný bod, pričom pre pohodlie sa interval často považuje za symetrický. Napríklad bod a jeho štandardné okolie:

V podstate definície:

Pointa sa volá prísny maximálny bod, ak existuje jej okolie, pre všetkých hodnoty, ktorých okrem samotného bodu je nerovnosť splnená. V našom konkrétnom príklade ide o bod.

Pointa sa volá prísny minimálny bod, ak existuje jej okolie, pre všetkých hodnoty, ktorých okrem samotného bodu je nerovnosť splnená. Na výkrese - bod "a".

Poznámka : požiadavka, aby okolie bolo symetrické, nie je vôbec potrebné. Okrem toho je to dôležité samotný fakt existencie susedstvo (hoci maličké, ba až mikroskopické), ktoré spĺňa stanovené podmienky

Bodky sa nazývajú body prísneho extrému alebo jednoducho extrémne body funkcie. To znamená, že ide o zovšeobecnený pojem pre maximálny počet bodov a minimálny počet bodov.

Ako rozumieť slovu „extrémne“? Áno, rovnako priamočiaro ako monotónnosť. Extrémne body horskej dráhy.

Rovnako ako v prípade monotónnosti, aj v teórii existujú a ešte bežnejšie sú neprísne postuláty (pod čo, samozrejme, spadajú uvažované prísne prípady!):

Pointa sa volá maximálny bod, ak existuje jeho okolia, napr pre všetkých
Pointa sa volá minimálny bod, ak existuje jeho okolia, napr pre všetkých hodnoty tohto susedstva, nerovnosť platí.

Všimnite si, že podľa posledných dvoch definícií sa každý bod konštantnej funkcie (alebo „plochá plocha“ nejakej funkcie) považuje za maximálny aj minimálny bod! Funkcia je mimochodom nezvyšujúca sa aj neklesajúca, to znamená monotónna. Tieto argumenty však nechávame na teoretikov, keďže v praxi takmer vždy uvažujeme nad tradičnými „kopcami“ a „dutinami“ (pozri nákres) s jedinečným „kráľom kopca“ alebo „močiarnou princeznou“. Ako odroda sa vyskytuje bod, smerujúce nahor alebo nadol, napríklad minimum funkcie v bode .

A keď už hovoríme o kráľovskej rodine:
- význam sa nazýva maximálne funkcie;
- význam sa nazýva minimálne funkcie.

Spoločný názov - extrémy funkcie.

Buďte opatrní so svojimi slovami!

extrémne body sú hodnoty "x".
Extrémy- "herné" hodnoty.

! Poznámka : niekedy sa uvedené pojmy vzťahujú na body „x-y“, ktoré ležia priamo na GRAFII funkcie.

Koľko extrémov môže mať funkcia?

Žiadne, 1, 2, 3 atď. do nekonečna. Napríklad sínus má nekonečný počet miním a maxím.

DÔLEŽITÉ! Termín "maximálna funkcia" nie identické pojem „maximálna hodnota funkcie“. Je ľahké vidieť, že hodnota je maximálna iba v miestnej štvrti a v ľavom hornom rohu sú „náhlejšie súdruhovia“. Rovnako "minimálna funkcia" nie je to isté ako "minimálna hodnota funkcie" a na výkrese vidíme, že hodnota je minimálna len v určitej oblasti. V tejto súvislosti sa nazývajú aj extrémne body miestne extrémne body, a extrémy lokálne extrémy. Chodia a túlajú sa a globálne bratia. Takže každá parabola má svoj vrchol globálne minimum alebo globálne maximum. Ďalej nebudem rozlišovať medzi typmi extrémov a vysvetlenie je vyslovené skôr na všeobecné vzdelávacie účely - ďalšie prídavné mená "miestny" / "globálny" by nemali byť prekvapené.

Zhrňme našu krátku odbočku do teórie kontrolným záberom: čo znamená úloha „nájsť intervaly monotónnosti a extrémne body funkcie“?

Formulácia vyzýva k nájdeniu:

- intervaly nárastu / poklesu funkcie (neklesajúce, nezvyšujúce sa objavujú oveľa menej často);

– maximálny počet bodov a/alebo minimálny počet bodov (ak existujú). No, je lepšie nájsť minimá / maximá sami z neúspechu ;-)

Ako toto všetko definovať? S pomocou derivačnej funkcie!

Ako nájsť intervaly nárastu, poklesu,
extrémne body a extrémy funkcie?

Mnohé pravidlá sú v skutočnosti už známe a pochopené lekcia o význame derivácie.

Tangentová derivácia prináša dobrú správu, že funkcia sa neustále zvyšuje domén.

S kotangensom a jeho derivátom situácia je presne opačná.

Arkussínus rastie na intervale - derivácia je tu kladná: .
Pre , funkcia je definovaná, ale nie je diferencovateľná. V kritickom bode je však pravostranná derivácia a pravostranná dotyčnica a na druhej hrane ich ľavostranné náprotivky.

Myslím si, že nebude pre vás ťažké vykonať podobné zdôvodnenie pre arckosínus a jeho deriváciu.

Všetky tieto prípady, z ktorých mnohé sú tabuľkové deriváty, pripomínam, nasledujte priamo z definície derivátu.

Prečo skúmať funkciu s deriváciou?

Pre lepšiu predstavu o tom, ako vyzerá graf tejto funkcie: kde to ide „zdola nahor“, kde to ide „zhora nadol“, kde dosahuje minimá vrcholov (ak vôbec). Nie všetky funkcie sú také jednoduché – vo väčšine prípadov o grafe konkrétnej funkcie vo všeobecnosti nemáme ani najmenšiu predstavu.

Je čas prejsť na zmysluplnejšie príklady a zvážiť algoritmus na hľadanie intervalov monotónnosti a extrémov funkcie:

Príklad 1

Nájdite rastúce/klesajúce intervaly a extrémy funkcie

Riešenie:

1) Prvým krokom je nájsť rozsah funkcie a tiež si všimnite body prerušenia (ak existujú). V tomto prípade je funkcia spojitá na celej skutočnej čiare a táto akcia je trochu formálna. Ale v niektorých prípadoch tu vzbĺknu vážne vášne, preto sa k paragrafu správajme bez zanedbávania.

2) Druhý bod algoritmu je splatný

nevyhnutná podmienka pre extrém:

Ak je v bode extrém, potom buď hodnota neexistuje.

Zmätený koncom? Extrém funkcie "modulo x" .

podmienka je nutná, ale nedostatočné a opak nie je vždy pravdou. Z rovnosti teda ešte nevyplýva, že funkcia dosiahne maximum alebo minimum v bode . Klasický príklad už bol osvetlený vyššie - toto je kubická parabola a jej kritický bod.

Ale nech je to akokoľvek, nevyhnutná podmienka pre extrém diktuje potrebu nájsť podozrivé body. Ak to chcete urobiť, nájdite deriváciu a vyriešte rovnicu:

Na začiatku prvého článku o funkčných grafoch Povedal som vám, ako rýchlo postaviť parabolu pomocou príkladu : "... zoberieme prvú deriváciu a prirovnáme ju k nule: ... Takže riešenie našej rovnice: - práve v tomto bode sa nachádza vrchol paraboly ...". Teraz si myslím, že každý chápe, prečo je vrchol paraboly presne v tomto bode =) Vo všeobecnosti by sme tu mali začať podobným príkladom, ale je príliš jednoduchý (aj na čajník). Okrem toho je na samom konci lekcie analóg derivačná funkcia. Takže poďme zvýšiť úroveň:

Príklad 2

Nájdite intervaly monotónnosti a extrémy funkcie

Toto je príklad „urob si sám“. Kompletné riešenie a približná konečná ukážka problému na konci hodiny.

Nastal dlho očakávaný okamih stretnutia s frakčnými racionálnymi funkciami:

Príklad 3

Preskúmajte funkciu pomocou prvej derivácie

Venujte pozornosť tomu, ako variantne možno preformulovať jednu a tú istú úlohu.

Riešenie:

1) Funkcia trpí nekonečnými prestávkami v bodoch.

2) Zisťujeme kritické body. Poďme nájsť prvú deriváciu a prirovnať ju k nule:

Poďme vyriešiť rovnicu. Zlomok je nula, keď je jeho čitateľ nula:

Dostaneme teda tri kritické body:

3) Odložte VŠETKY zistené body na číselnej osi a intervalová metóda definujte znaky DERIVÁTU:

Pripomínam, že musíte vziať nejaký bod intervalu, vypočítať hodnotu derivácie v ňom a určiť jej znamenie. Je výhodnejšie nepočítať, ale „odhadovať“ slovne. Vezmime si napríklad bod patriaci do intervalu a vykonajte substitúciu: .

Dve „plusy“ a jedno „mínus“ teda dávajú „mínus“, čo znamená, že derivácia je záporná v celom intervale.

Akcia, ako ste pochopili, sa musí vykonať pre každý zo šiestich intervalov. Mimochodom, všimnite si, že faktor čitateľa a menovateľ sú striktne kladné pre akýkoľvek bod akéhokoľvek intervalu, čo značne zjednodušuje úlohu.

Takže derivát nám povedal, že SAMA FUNKCIA sa zvyšuje o a zníži sa o . Intervaly rovnakého typu je vhodné upevniť ikonou spojenia .

V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum:
V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje minimum:

Zamyslite sa nad tým, prečo nemôžete prepočítať druhú hodnotu ;-)

Pri prechode bodom derivácia nemení znamienko, takže funkcia tam nemá ŽIADNY EXTRÉM - klesala aj klesala.

! Zopakujme si dôležitý bod: body sa nepovažujú za kritické – majú svoju funkciu nešpecifikované. Podľa toho tu extrémy v zásade nemôžu byť(aj keď derivácia zmení znamienko).

Odpoveď: funkcia sa zvýši o a klesá na V bode dosiahnutia maxima funkcie: , a v bode - minimum: .

Znalosť intervalov monotónnosti a extrémov, spojená s ustálenou asymptoty už dáva veľmi dobrú predstavu o vzhľade grafu funkcie. Priemerný človek je schopný verbálne určiť, že funkčný graf má dve vertikálne asymptoty a šikmú asymptotu. Tu je náš hrdina:

Skúste znova korelovať výsledky štúdie s grafom tejto funkcie.
V kritickom bode neexistuje extrém, ale je inflexia krivky(čo sa spravidla stáva v podobných prípadoch).

Príklad 4

Nájdite extrémy funkcie

Príklad 5

Nájdite intervaly monotónnosti, maximá a minimá funkcie

... len akési sviatky v kocke X-in-a-cobe dnes dopadnú ....
Taaaak, kto sa tam v galérii ponúkol na pitie za toto? =)

Každá úloha má svoje vlastné podstatné nuansy a technické jemnosti, ktoré sú na konci hodiny komentované.

Toto je pomerne zaujímavá časť matematiky, ktorej čelia úplne všetci postgraduálni študenti a študenti. Nie každému sa však matan páči. Niektorí nedokážu pochopiť ani základné veci, ako je zdanlivo štandardná štúdia funkcií. Cieľom tohto článku je napraviť toto prehliadnutie. Chcete sa dozvedieť viac o funkčnej analýze? Chceli by ste vedieť, čo sú extrémne body a ako ich nájsť? Potom je tento článok určený práve vám.

Skúmanie grafu funkcie

Na začiatok je potrebné pochopiť, prečo je potrebné graf vôbec analyzovať. Existujú jednoduché funkcie, ktoré sa dajú ľahko kresliť. Pozoruhodným príkladom takejto funkcie je parabola. Nie je ťažké nakresliť jej graf. Stačí jednoduchou transformáciou nájsť čísla, pri ktorých funkcia nadobúda hodnotu 0. A v zásade je to všetko, čo potrebujete vedieť, aby ste nakreslili parabolický graf.

Ale čo ak je funkcia, ktorú potrebujeme na graf, oveľa komplikovanejšia? Keďže vlastnosti komplexných funkcií sú dosť nejasné, je potrebné vykonať celú analýzu. Až potom je možné funkciu znázorniť graficky. Ako to spraviť? Odpoveď na túto otázku nájdete v tomto článku.

Plán analýzy funkcií

Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je vykonať povrchnú štúdiu funkcie, počas ktorej nájdeme doménu definície. Začnime teda pekne po poriadku. Doména definície je množina tých hodnôt, ktorými je funkcia definovaná. Jednoducho povedané, toto sú čísla, ktoré možno vo funkcii použiť namiesto x. Ak chcete určiť rozsah, stačí sa pozrieť na záznam. Napríklad je zrejmé, že funkcia y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 má doménu definície - množinu reálnych čísel. No s funkciou ako (x 2 - 2x) / x je všetko trochu iné. Keďže číslo v menovateli by sa nemalo rovnať 0, potom doménou tejto funkcie budú všetky reálne čísla okrem nuly.

Ďalej musíte nájsť takzvané nuly funkcie. Toto sú hodnoty argumentu, pre ktoré má celá funkcia hodnotu nula. Na to je potrebné prirovnať funkciu k nule, podrobne ju zvážiť a vykonať nejaké transformácie. Vezmime si už známu funkciu y(x) = (x 2 - 2x)/x. Zo školského kurzu vieme, že zlomok je 0, keď je čitateľ nula. Preto zahodíme menovateľa a začneme pracovať s čitateľom a prirovnáme ho k nule. Dostaneme x 2 - 2x \u003d 0 a vyberieme x zo zátvoriek. Preto x (x - 2) \u003d 0. V dôsledku toho zistíme, že naša funkcia sa rovná nule, keď sa x rovná 0 alebo 2.

Počas štúdia grafu funkcie sa mnohí stretávajú s problémom vo forme extrémnych bodov. A je to zvláštne. Koniec koncov, extrémy sú pomerne jednoduchá téma. neveríš? Presvedčte sa sami prečítaním tejto časti článku, v ktorej si povieme o minimálnom a maximálnom bode.

Na začiatok stojí za to pochopiť, čo je extrém. Extrém je hraničná hodnota, ktorú funkcia dosiahne v grafe. Z toho vyplýva, že existujú dve extrémne hodnoty - maximum a minimum. Pre prehľadnosť sa môžete pozrieť na obrázok vyššie. Na skúmanej ploche je bod -1 maximum funkcie y (x) \u003d x 5 - 5x a bod 1 je minimum.

Nezamieňajte si tiež pojmy medzi sebou. Extrémne body funkcie sú tie argumenty, pri ktorých daná funkcia nadobúda extrémne hodnoty. Na druhej strane, extrém je hodnota minima a maxima funkcie. Zvážte napríklad znova obrázok vyššie. -1 a 1 sú extrémne body funkcie a 4 a -4 sú samotné extrémy.

Hľadanie extrémnych bodov

Ale ako nájdete extrémne body funkcie? Všetko je celkom jednoduché. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je nájsť deriváciu rovnice. Povedzme, že sme dostali úlohu: "Nájdite extrémne body funkcie y (x), x je argument. Pre prehľadnosť si zoberme funkciu y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Poďme diferencovať a získajte nasledujúcu rovnicu: 3x 2 + 4x + 1. Výsledkom je štandardná kvadratická rovnica. Všetko, čo je potrebné urobiť, je prirovnať ju k nule a nájsť korene. Keďže diskriminant je väčší ako nula (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), táto rovnica je určená dvoma koreňmi. Nájdeme ich a získame dve hodnoty: 1/3 a -1. Toto budú extrémne body funkcie. Ako však môžete stále určiť kto je kto? Ktorý bod je maximum a ktorý minimum? Ak to chcete urobiť, musíte zobrať susedný bod a zistiť jeho hodnotu. Napríklad vezmime číslo -2, ktoré je vľavo pozdĺž súradnice riadok od -1. Túto hodnotu dosadíme do našej rovnice y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Výsledkom je kladné číslo. To znamená, že na intervale od 1/3 do -1 funkcia sa zvyšuje, čo zase znamená, že na intervaloch od min od nekonečna do 1/3 a od -1 do plus nekonečna funkcia klesá. Môžeme teda usúdiť, že číslo 1/3 je minimálny bod funkcie na skúmanom intervale a -1 je maximálny bod.

Za zmienku tiež stojí, že skúška si vyžaduje nielen nájsť extrémne body, ale aj vykonať s nimi nejakú operáciu (sčítanie, násobenie atď.). Z tohto dôvodu stojí za to venovať osobitnú pozornosť podmienkam problému. Nepozornosťou totiž môžete prísť o body.

Dôležitým pojmom v matematike je funkcia. S jeho pomocou môžete vizualizovať mnohé procesy prebiehajúce v prírode, odrážať vzťah medzi určitými veličinami pomocou vzorcov, tabuliek a obrázkov v grafe. Príkladom je závislosť tlaku vrstvy kvapaliny na teleso od hĺbky ponoru, zrýchlenie - od pôsobenia určitej sily na predmet, zvýšenie teploty - od odovzdanej energie a mnohé ďalšie procesy. Štúdium funkcie zahŕňa vykreslenie grafu, zistenie jej vlastností, definičného oboru a hodnôt, intervalov nárastu a poklesu. Dôležitým bodom v tomto procese je nájdenie extrémnych bodov. O tom, ako to urobiť správne, a konverzácia bude pokračovať.

O samotnom koncepte na konkrétnom príklade

Konštrukcia funkčného grafu môže v medicíne vypovedať o priebehu vývoja ochorenia v tele pacienta, čo jasne odráža jeho stav. Predpokladajme, že čas v dňoch je vynesený pozdĺž osi OX a teplota ľudského tela je vynesená pozdĺž osi OY. Obrázok jasne ukazuje, ako tento ukazovateľ prudko stúpa a potom klesá. Je tiež ľahké si všimnúť singulárne body, ktoré odrážajú momenty, keď funkcia, ktorá sa predtým zvýšila, začína klesať a naopak. Toto sú extrémne body, to znamená kritické hodnoty (maximum a minimum) v tomto prípade teploty pacienta, po ktorých nastanú zmeny v jeho stave.

Uhol sklonu

Z obrázku je ľahké určiť, ako sa derivácia funkcie mení. Ak priame čiary grafu časom stúpajú, je to pozitívne. A čím sú strmšie, tým väčšia je hodnota derivácie, pretože uhol sklonu sa zvyšuje. Počas periód poklesu táto hodnota nadobúda záporné hodnoty, v extrémnych bodoch sa mení na nulu a graf derivácie v druhom prípade je nakreslený rovnobežne s osou OX.

S akýmkoľvek iným procesom by sa malo zaobchádzať rovnakým spôsobom. Ale najlepší spôsob, ako o tomto koncepte povedať, je pohyb rôznych telies, ktorý je jasne znázornený na grafoch.

Pohyb

Predpokladajme, že sa nejaký objekt pohybuje v priamom smere a rovnomerne naberá rýchlosť. V tomto období zmena súradnice telesa graficky predstavuje určitú krivku, ktorú by matematik nazval vetvou paraboly. Zároveň sa funkcia neustále zvyšuje, pretože súradnicové ukazovatele sa menia každou sekundou rýchlejšie a rýchlejšie. Na grafe rýchlosti je znázornené správanie derivácie, ktorej hodnota tiež narastá. To znamená, že pohyb nemá žiadne kritické body.

Takto by to pokračovalo donekonečna. Čo ak sa však telo zrazu rozhodne spomaliť, zastaviť sa a začať sa pohybovať iným smerom? V tomto prípade začnú klesať súradnicové ukazovatele. A funkcia prekročí kritickú hodnotu a zmení sa z rastúcej na klesajúcu.

Na tomto príklade opäť pochopíte, že extrémne body na grafe funkcie sa objavujú v momentoch, keď prestáva byť monotónna.

Fyzikálny význam derivátu

To, čo bolo opísané skôr, jasne ukázalo, že derivácia je v podstate rýchlosť zmeny funkcie. Toto spresnenie obsahuje svoj fyzický význam. Extrémne body sú kritické oblasti na mape. Je možné ich zistiť a odhaliť výpočtom hodnoty derivácie, ktorá sa rovná nule.

Existuje ešte jeden znak, ktorý je postačujúcou podmienkou pre extrém. Derivácia v takýchto miestach inflexie mení svoje znamienko: z „+“ na „-“ v oblasti maxima a z „-“ na „+“ v oblasti minima.

Pohyb pod vplyvom gravitácie

Predstavme si inú situáciu. Deti hrajúce loptu hádzali tak, že sa začala pohybovať šikmo k horizontu. V počiatočnom momente bola rýchlosť tohto objektu najväčšia, ale vplyvom gravitácie začala klesať as každou sekundou o rovnakú hodnotu, rovnajúcu sa približne 9,8 m/s 2 . Ide o hodnotu zrýchlenia, ku ktorému dochádza vplyvom zemskej gravitácie pri voľnom páde. Na Mesiaci by bol asi šesťkrát menší.

Graf popisujúci pohyb telesa je parabola s vetvami smerujúcimi nadol. Ako nájsť extrémne body? V tomto prípade ide o vrchol funkcie, kde rýchlosť telesa (lopty) nadobúda nulovú hodnotu. Derivácia funkcie sa stane nulou. V tomto prípade sa smer a tým aj hodnota rýchlosti zmení na opačný. Teleso letí dole každou sekundou rýchlejšie a rýchlejšie a zrýchľuje sa o rovnakú rýchlosť - 9,8 m/s 2 .

Druhá derivácia

V predchádzajúcom prípade je graf rýchlostného modulu nakreslený ako priamka. Táto čiara smeruje najskôr nadol, pretože hodnota tejto veličiny neustále klesá. Po dosiahnutí nuly v jednom z časových bodov sa ukazovatele tejto hodnoty začnú zvyšovať a smer grafického znázornenia rýchlostného modulu sa dramaticky zmení. Teraz čiara smeruje nahor.

Rýchlosť, ktorá je deriváciou súradníc vzhľadom na čas, má tiež kritický bod. V tejto oblasti sa funkcia, spočiatku klesajúca, začína zvyšovať. Toto je miesto krajného bodu derivácie funkcie. V tomto prípade sa sklon dotyčnice stane nulovým. A zrýchlenie, ktoré je druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas, zmení znamienko z „-“ na „+“. A pohyb z rovnomerne pomalého sa stáva rovnomerne zrýchleným.

Graf zrýchlenia

Teraz zvážte štyri čísla. Každý z nich zobrazuje graf časovej zmeny takej fyzikálnej veličiny, akou je zrýchlenie. V prípade „A“ zostáva jeho hodnota kladná a konštantná. To znamená, že rýchlosť tela, rovnako ako jeho súradnice, sa neustále zvyšuje. Ak si predstavíme, že sa objekt bude takto pohybovať nekonečne dlho, funkcia odrážajúca závislosť súradnice od času sa ukáže ako neustále narastajúca. Z toho vyplýva, že nemá žiadne kritické regióny. Na grafe derivácie tiež nie sú žiadne extrémne body, to znamená lineárne sa meniaca rýchlosť.

To isté platí pre prípad „B“ s pozitívnym a neustále sa zvyšujúcim zrýchlením. Pravda, grafy pre súradnice a rýchlosť tu budú o niečo komplikovanejšie.

Keď zrýchlenie klesne na nulu

Pri pohľade na obrázok „B“ možno pozorovať úplne iný obrázok charakterizujúci pohyb tela. Jeho rýchlosť bude graficky znázornená ako parabola s vetvami smerujúcimi nadol. Ak budeme pokračovať v čiare opisujúcej zmenu zrýchlenia, až kým sa nepretne s osou OX a ďalej, potom si môžeme predstaviť, že až do tejto kritickej hodnoty, kde sa zrýchlenie rovná nule, sa rýchlosť objektu zvýši. stále pomalšie. Extrémny bod derivácie súradnicovej funkcie bude práve na vrchole paraboly, po ktorom telo radikálne zmení povahu pohybu a začne sa pohybovať iným smerom.

V druhom prípade, „G“, nie je možné presne určiť charakter pohybu. Tu vieme len to, že na nejaké uvažované obdobie nie je žiadne zrýchlenie. To znamená, že objekt môže zostať na svojom mieste alebo pohyb prebieha konštantnou rýchlosťou.

Úloha koordinovať sčítanie

Prejdime k úlohám, ktoré sa často stretávajú pri štúdiu algebry v škole a ponúkajú sa na prípravu na skúšku. Na obrázku nižšie je znázornený graf funkcie. Je potrebné vypočítať súčet extrémnych bodov.

Urobíme to pre os y určením súradníc kritických oblastí, kde je pozorovaná zmena charakteristík funkcie. Jednoducho povedané, nájdeme hodnoty pozdĺž osi x pre inflexné body a potom pokračujeme v pridávaní výsledných výrazov. Podľa grafu je zrejmé, že nadobúdajú nasledovné hodnoty: -8; -7; -5; -3; -2; jeden; 3. To je výsledok -21, čo je odpoveď.

Optimálne riešenie

Nie je potrebné vysvetľovať, aký dôležitý môže byť výber optimálneho riešenia pri plnení praktických úloh. Koniec koncov, existuje veľa spôsobov, ako dosiahnuť cieľ, a najlepší spôsob, ako sa dostať, je spravidla iba jeden. To je mimoriadne potrebné napríklad pri navrhovaní lodí, kozmických lodí a lietadiel, architektonických štruktúr, aby sa našla optimálna forma týchto umelých predmetov.

Rýchlosť vozidiel do značnej miery závisí od kompetentnej minimalizácie odporu, ktorý zažívajú pri pohybe vodou a vzduchom, od preťaženia vznikajúceho pod vplyvom gravitačných síl a mnohých ďalších ukazovateľov. Loď na mori potrebuje také vlastnosti, ako je stabilita počas búrky, pre riečnu loď je dôležitý minimálny ponor. Pri výpočte optimálneho návrhu môžu extrémne body na grafe vizuálne poskytnúť predstavu o najlepšom riešení zložitého problému. Úlohy takéhoto plánu sa často riešia v ekonomike, v ekonomických oblastiach, v mnohých iných životných situáciách.

Z dávnej histórie

Extrémne úlohy zamestnávali aj starých mudrcov. Grécki vedci úspešne odhalili záhadu plôch a objemov prostredníctvom matematických výpočtov. Ako prví pochopili, že na rovine rôznych útvarov s rovnakým obvodom má kruh vždy najväčšiu plochu. Podobne je guľa vybavená maximálnym objemom medzi ostatnými objektmi v priestore s rovnakou plochou. Riešeniu takýchto problémov sa venovali také známe osobnosti ako Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius. Pri hľadaní extrémnych bodov sa veľmi dobre darilo Heronovi, ktorý sa uchýlil k výpočtom a zostrojil dômyselné zariadenia. Patrili sem automatické stroje pohybujúce sa pomocou pary, čerpadlá a turbíny fungujúce na rovnakom princípe.

Výstavba Kartága

Existuje legenda, ktorej dej je založený na riešení jednej z extrémnych úloh. Výsledkom obchodného prístupu, ktorý predviedla fénická princezná, ktorá sa obrátila o pomoc na mudrcov, bola výstavba Kartága. Pozemok pre toto starobylé a slávne mesto predložil Didovi (tak sa volal vládca) vodca jedného z afrických kmeňov. Plocha pozemku sa mu spočiatku nezdala príliš veľká, pretože podľa zmluvy mala byť pokrytá volskou kožou. Ale princezná prikázala svojim vojakom, aby ho nakrájali na tenké pásiky a vytvorili z nich opasok. Ukázalo sa, že je taký dlhý, že pokrýval oblasť, kam sa zmestilo celé mesto.

Pôvod kalkulu

A teraz sa prenesme z dávnych čias do neskoršej doby. Zaujímavé je, že v 17. storočí Keplera podnietilo k pochopeniu základov matematickej analýzy stretnutie s predajcom vína. Obchodník sa vo svojej profesii vyznal tak dobre, že dokázal ľahko určiť objem nápoja v sude jednoduchým spustením železného turniketu. Vzhľadom na takúto zvedavosť sa slávnemu vedcovi podarilo vyriešiť túto dilemu pre seba. Ukazuje sa, že šikovní debnári tých čias dostali chuť vyrábať nádoby tak, aby pri určitej výške a polomere obvodu upevňovacích krúžkov mali maximálnu kapacitu.

To sa stalo pre Keplera príležitosťou na ďalšie úvahy. Bochars dospel k optimálnemu riešeniu dlhým hľadaním, chybami a novými pokusmi, odovzdávaním skúseností z generácie na generáciu. Ale Kepler chcel tento proces urýchliť a naučiť sa to isté v krátkom čase pomocou matematických výpočtov. Celý jeho vývoj, zachytený kolegami, sa zmenil na dnes známe vety Fermata a Newtona - Leibniza.

Problém nájsť maximálnu plochu

Predstavte si, že máme drôt, ktorého dĺžka je 50 cm Ako z neho urobiť obdĺžnik, ktorý má najväčšiu plochu?

Pri rozhodovaní by sa malo vychádzať z jednoduchých a dobre známych právd. Je jasné, že obvod našej postavy bude 50 cm.Tiež pozostáva z dvojnásobnej dĺžky oboch strán. To znamená, že po označení jedného z nich ako „X“ môže byť druhý vyjadrený ako (25 – X).

Odtiaľ dostaneme plochu rovnajúcu sa X (25 - X). Tento výraz môže byť reprezentovaný ako funkcia, ktorá nadobúda mnoho hodnôt. Riešenie úlohy si vyžaduje nájsť ich maximum, čo znamená, že by ste mali zistiť extrémne body.

Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu a prirovnáme ju k nule. Výsledkom je jednoduchá rovnica: 25 - 2X = 0.

Z nej sa dozvieme, že jedna zo strán je X = 12,5.

Preto ďalšie: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Ukazuje sa, že riešením problému bude štvorec so stranou 12,5 cm.

Ako zistiť maximálnu rýchlosť

Uvažujme ešte o jednom príklade. Predstavte si, že existuje teleso, ktorého priamočiary pohyb je opísaný rovnicou S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, kde prejdená vzdialenosť je vyjadrená v metroch a čas v sekundách. Je potrebné nájsť maximálnu rýchlosť. Ako to spraviť? Stiahnuté nájdite rýchlosť, teda prvú deriváciu.

Dostaneme rovnicu: V = - 3t 2 + 18t - 24. Teraz, aby sme úlohu vyriešili, musíme opäť nájsť extrémne body. Toto sa musí vykonať rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcej úlohe. Nájdeme prvú deriváciu rýchlosti a prirovnáme ju k nule.

Dostaneme: - 6t + 18 = 0. Preto t = 3 s. Toto je čas, keď rýchlosť tela nadobudne kritickú hodnotu. Získané údaje dosadíme do rýchlostnej rovnice a dostaneme: V = 3 m/s.

Ako však pochopiť, že ide presne o maximálnu rýchlosť, pretože kritickými bodmi funkcie môžu byť jej najväčšie alebo najmenšie hodnoty? Ak chcete skontrolovať, musíte nájsť druhú deriváciu rýchlosti. Vyjadruje sa ako číslo 6 so znamienkom mínus. To znamená, že nájdený bod je maximálny. A v prípade kladnej hodnoty druhej derivácie by ich bolo minimum. Nájdené riešenie bolo teda správne.

Úlohy uvedené ako príklad sú len časťou tých, ktoré možno vyriešiť tým, že dokážeme nájsť extrémne body funkcie. V skutočnosti je ich oveľa viac. A takéto poznanie otvára ľudskej civilizácii neobmedzené možnosti.