गणितीय ओलंपियाड और ओलंपियाड की समस्याएं। पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना

28.09.2019

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परिचय।

अध्ययन की वस्तु।

अनुसंधान संख्या सिद्धांत के सबसे दिलचस्प क्षेत्रों में से एक है - पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना।

अध्ययन का विषय।

एक से अधिक अज्ञात में पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरणों के पूर्णांकों में समाधान सबसे कठिन और प्राचीन गणितीय समस्याओं में से एक है और स्कूल गणित पाठ्यक्रम में इसका गहराई से प्रतिनिधित्व नहीं किया जाता है। अपने काम में, मैं पूर्णांकों में समीकरणों का एक पूर्ण पूर्ण विश्लेषण प्रस्तुत करूंगा, इन समीकरणों को हल करने के तरीकों द्वारा वर्गीकरण, उनके समाधान के लिए एल्गोरिदम का विवरण, साथ ही पूर्णांक में समीकरणों को हल करने के लिए प्रत्येक विधि का उपयोग करने के व्यावहारिक उदाहरण।

लक्ष्य।

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना सीखें।

कार्य:

शैक्षिक और संदर्भ साहित्य का अध्ययन करें;

समीकरणों को कैसे हल करें, इस पर सैद्धांतिक सामग्री एकत्र करें;

इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का विश्लेषण करें;

समाधान का वर्णन करें;

इन विधियों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

परिकल्पना:

ओलंपियाड कार्यों में पूर्णांकों में समीकरणों का सामना करते हुए, मैंने मान लिया कि उन्हें हल करने में कठिनाइयाँ इस तथ्य के कारण हैं कि उन्हें हल करने के सभी तरीके मुझे ज्ञात नहीं हैं।

प्रासंगिकता:

यूएसई कार्यों के अनुमानित संस्करणों को हल करते हुए, मैंने देखा कि पूर्णांक में पहली और दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए अक्सर कार्य होते हैं। इसके अलावा, विभिन्न स्तरों के ओलंपियाड कार्यों में पूर्णांक में समीकरण या समस्याएँ भी होती हैं जिन्हें पूर्णांक में समीकरणों को हल करने के कौशल का उपयोग करके हल किया जाता है। पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने का तरीका जानने का महत्व मेरे शोध की प्रासंगिकता को निर्धारित करता है।

तलाश पद्दतियाँ

पूर्णांकों में समीकरणों पर वैज्ञानिक साहित्य डेटा का सैद्धांतिक विश्लेषण और सामान्यीकरण।

समीकरणों को उनके हल की विधियों द्वारा पूर्णांकों में वर्गीकृत करना।

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के तरीकों का विश्लेषण और सामान्यीकरण।

शोध का परिणाम

पेपर समीकरणों को हल करने के तरीकों का वर्णन करता है, फर्मेट के प्रमेय की सैद्धांतिक सामग्री पर विचार करता है, पाइथागोरस प्रमेय, यूक्लिड के एल्गोरिदम, जटिलता के विभिन्न स्तरों की समस्याओं और समीकरणों के समाधान के उदाहरण प्रस्तुत करता है।

2. पूर्णांकों में समीकरणों का इतिहास

डायोफैंटस - वैज्ञानिक - प्राचीन ग्रीस के बीजगणित, कुछ स्रोतों के अनुसार वह 364 ईस्वी तक जीवित रहे। इ। उन्होंने पूर्णांकों में समस्याओं को हल करने में विशेषज्ञता हासिल की। यहीं से डायोफैंटाइन समीकरण नाम आता है। डायोफैंटस द्वारा हल की गई सबसे प्रसिद्ध, "दो वर्गों में अपघटन" की समस्या है। इसके समकक्ष प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय है। डायोफैंटस का जीवन और कार्य अलेक्जेंड्रिया में आगे बढ़े, उन्होंने प्रसिद्ध को एकत्र किया और हल किया और नई समस्याओं के साथ आए। बाद में उन्होंने उन्हें "अंकगणित" नामक एक बड़े काम में मिला दिया। तेरह पुस्तकों में से जो "अंकगणित" का हिस्सा थीं, केवल छह मध्य युग तक जीवित रहीं और पुनर्जागरण के गणितज्ञों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गईं। "अंकगणित" डायोफैंटस समस्याओं का एक संग्रह है, प्रत्येक में एक समाधान और आवश्यक स्पष्टीकरण शामिल है। संग्रह में विभिन्न प्रकार के कार्य शामिल हैं, और उनका समाधान अक्सर अत्यंत सरल होता है। डायोफैंटस केवल सकारात्मक संपूर्ण और तर्कसंगत निर्णयों में रुचि रखता है। वह तर्कहीन समाधान "असंभव" कहता है और ध्यान से गुणांक का चयन करता है ताकि वांछित सकारात्मक, तर्कसंगत समाधान प्राप्त हो सकें।

Fermat की प्रमेय पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए लागू की जाती है। जिसके प्रमाण का इतिहास काफी रोचक है। कई प्रख्यात गणितज्ञों ने ग्रेट थ्योरम के पूर्ण प्रमाण पर काम किया है, और इन प्रयासों से आधुनिक संख्या सिद्धांत में कई परिणाम सामने आए हैं। यह माना जाता है कि झूठे प्रमाणों की संख्या के मामले में प्रमेय पहले आता है।

उल्लेखनीय फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट ने कहा कि पूर्णांक n 3 के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांक x, y, z में कोई हल नहीं है (xyz = 0 को x, y, z की सकारात्मकता से बाहर रखा गया है। मामले n = 3 के लिए, यह मध्य एशियाई गणितज्ञ अल-खोजंडी को साबित करने के लिए 10 वीं शताब्दी में प्रमेय की कोशिश की गई थी, लेकिन उसका प्रमाण नहीं बचा है। कुछ समय बाद, फ़र्मेट ने स्वयं n = 4 के लिए एक विशेष मामले का प्रमाण प्रकाशित किया।

1770 में यूलर ने मामले n = 3 के लिए प्रमेय को सिद्ध किया, 1825 में n = 5 के लिए डिरिचलेट और लेजेन्ड्रे, n = 7 के लिए लैम। कुमेर ने दिखाया कि प्रमेय 100 से कम के सभी प्राइम्स के लिए सही है, संभावित अपवाद 37 के साथ, 59, 67.

1980 के दशक में, समस्या को हल करने के लिए एक नया दृष्टिकोण उभरा। मोर्डेल अनुमान से, 1983 में फाल्टिंग्स द्वारा सिद्ध किया गया, यह इस प्रकार है कि समीकरण

n> 3 के लिए इसमें केवल सीमित संख्या में कोप्राइम समाधान हो सकते हैं।

प्रमेय के प्रमाण में अंतिम, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण कदम सितंबर 1994 में विल्स द्वारा लिया गया था। उनका 130 पन्नों का प्रमाण एनालॉफ मैथमेटिक्स जर्नल में प्रकाशित हुआ था। प्रमाण जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्राई की इस धारणा पर आधारित है कि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय तानियामा-शिमुरा अनुमान का परिणाम है (यह धारणा केन रिबेट द्वारा जे.पी. सेरे की भागीदारी के साथ साबित हुई थी।) विल्स ने पहला प्रकाशित किया। 1993 में उनके प्रमाण का संस्करण (7 साल की कड़ी मेहनत के बाद), लेकिन इसने जल्द ही एक गंभीर अंतर का खुलासा किया; रिचर्ड लॉरेंस टेलर की मदद से यह अंतर जल्दी से बंद हो गया। 1995 में, अंतिम संस्करण प्रकाशित किया गया था। 15 मार्च, 2016 को एंड्रयू विल्स को एबेल पुरस्कार मिला। प्रीमियम वर्तमान में नॉक 6 मिलियन या लगभग 50 मिलियन रूबल है। विल्स के अनुसार, यह पुरस्कार उनके लिए "एक पूर्ण आश्चर्य" था।

3. पूर्णांकों में रैखिक समीकरण

रेखीय समीकरण सभी डायोफैंटाइन समीकरणों में सबसे सरल हैं।

ax = b के रूप का एक समीकरण, जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं, और x एक अज्ञात चर है, एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण कहलाता है। यहां समीकरण के केवल संपूर्ण समाधान खोजने की आवश्यकता है। यह ध्यान दिया जा सकता है कि यदि a 0 है, तो समीकरण का पूर्णांक हल तभी होगा जब b, a से पूरी तरह से विभाज्य हो और यह समाधान x = b / f हो। यदि a = 0 है, तो समीकरण का एक पूर्णांक हल होगा जब b = 0 हो और इस स्थिति में x कोई संख्या हो।

जबसे 12, 4 से विभाज्य है, तो

चूंकि a = o और b = 0, तो x कोई भी संख्या है

चूंकि 7 10 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, तो कोई समाधान नहीं है।

4. विकल्पों की गणना करने की विधि.

विकल्पों की गणना करने की विधि में, संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है, परिमित गणना की समानता के लिए सभी संभावित विकल्पों पर विचार करना। इन समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति को लागू किया जा सकता है:

№1 प्राकृत संख्याओं के उन सभी युग्मों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जो समीकरण 49x + 69y = 602 . का हल हैं

हम समीकरण x = से व्यक्त करते हैं

चूंकि x और y प्राकृत संख्याएँ हैं, तो x = 1, हम हर से छुटकारा पाने के लिए पूरे समीकरण को 49 से गुणा करते हैं:

602 को बाईं ओर ले जाएँ:

51y 553, व्यक्त y, y = 10

विकल्पों की पूरी गणना से पता चलता है कि समीकरण के प्राकृतिक समाधान x = 5, y = 7 हैं।

उत्तर: (5.7) .-

№2 समस्या का समाधान करें

अंक 2, 4, 7 से आपको तीन अंकों की एक संख्या बनानी चाहिए, जिसमें किसी भी अंक को दो बार से अधिक दोहराया नहीं जा सकता है।

संख्या 2 से शुरू होने वाली सभी तीन अंकों वाली संख्याओं की संख्या ज्ञात करें: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - उनमें से 8 हैं।

इसी तरह, हम 4 और 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477) से शुरू होने वाली सभी तीन अंकों की संख्या पाते हैं।

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ये भी 8 अंक हैं। केवल 24 संख्याएँ हैं।

उत्तर: 24 नंबर।

5. सतत भिन्न और यूक्लिड का एल्गोरिथम

एक सतत भिन्न रूप में एक साधारण भिन्न का व्यंजक है

जहाँ q 1 एक पूर्णांक है और q 2,…, qn प्राकृत संख्याएँ हैं। इस तरह के व्यंजक को निरंतर (परिमित निरंतर) भिन्न कहा जाता है। परिमित और अनंत निरंतर भिन्नों के बीच अंतर करें।

परिमेय संख्याओं के लिए, निरंतर भिन्न का एक परिमित रूप होता है। इसके अलावा, अनुक्रम ए मैं अंशों का ठीक अनुक्रम है जो यूक्लिडियन एल्गोरिदम को अंश के अंश और हर पर लागू करके प्राप्त किया जाता है।

निरंतर भिन्न के साथ समीकरणों को हल करते हुए, मैंने पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने की इस पद्धति के लिए क्रियाओं का एक सामान्य एल्गोरिदम बनाया।

कलन विधि

1) अज्ञात के साथ गुणांकों का अनुपात भिन्न के रूप में बनाइए

2) व्यंजक को अनुचित भिन्न में बदलें

3) अनुचित भिन्न के पूरे भाग का चयन करें

4) सही भिन्न को समान भिन्न से बदलें

5) हर में प्राप्त गलत भिन्न के साथ 3.4 करो

6) अंतिम परिणाम के लिए 5 दोहराएं

7) परिणामी व्यंजक में, निरंतर भिन्न की अंतिम कड़ी को त्यागें, परिणामी नई निरंतर भिन्न को अभाज्य में बदल दें और इसे मूल भिन्न से घटा दें।

उदाहरण1 समीकरण 127x- 52y + 1 = 0 . को पूर्णांकों में हल कीजिए

हम अज्ञात के लिए गुणांक के अनुपात को बदलते हैं।

सबसे पहले, आइए अनियमित भिन्न के पूरे भाग का चयन करें; = 2 +

नियमित भिन्न को समान भिन्न से बदलें।

कहाँ = 2+

आइए हर में प्राप्त गलत अंश के साथ समान परिवर्तन करें।

अब मूल भिन्न रूप लेगा: भिन्न के लिए समान तर्क को दोहराते हुए, हम प्राप्त करेंगे अनुचित भिन्न के पूरे भाग को अलग करके, हम अंतिम परिणाम पर आएंगे:

हमें एक व्यंजक मिलता है जिसे परिमित निरंतर या निरंतर भिन्न कहा जाता है। इस निरंतर भिन्न के अंतिम लिंक को छोड़कर - एक-पांचवां, परिणामी नए निरंतर अंश को एक अभाज्य में बदल दें और इसे मूल अंश से घटा दें:

आइए हम परिणामी व्यंजक को एक सामान्य हर में कम करें और इसे त्याग दें।

जहां से 127 9-52 22 + 1 = 0. समीकरण 127x- 52y + 1 = 0 के साथ प्राप्त समानता की तुलना करने पर, यह निम्नानुसार है कि x = 9, y = 22 मूल समीकरण का समाधान है, और प्रमेय के अनुसार, इसके सभी समाधान प्रगति x = में निहित होंगे। 9+ 52t, y = 22+ 127t, जहां t = (0; ± 1; ± 2 ... ..) प्राप्त परिणाम से पता चलता है कि सामान्य स्थिति में, समीकरण ax + by + c = का हल खोजने के लिए 0, अज्ञात के गुणांकों के अनुपात को एक निरंतर अंश में विस्तारित करना आवश्यक है, इसके अंतिम लिंक को त्यागें और ऊपर दिए गए लोगों के समान गणना करें।

इस धारणा को सिद्ध करने के लिए, हमें निरंतर भिन्नों के कुछ गुणों की आवश्यकता है।

एक अपरिवर्तनीय अंश पर विचार करें। हम भागफल q 1 से और r 2 से a को b से भाग देने पर शेषफल को निरूपित करते हैं। तब हमें मिलता है:

फिर बी = क्यू 2 आर 2 + आर 3,

एक जैसा

आर 2 = क्यू 3 आर 3 + आर 4,;

आर 3 = क्यू 4 आर 4 + आर 5,;

………………………………..

मात्राएँ q 1, q 2, ... अपूर्ण भागफल कहलाती हैं। अधूरी निजी शिक्षा की उपरोक्त प्रक्रिया को कहते हैं यूक्लिड का एल्गोरिथम... विभाजन के शेष भाग r 2, r 3, ... असमानताओं को संतुष्ट करते हैं

वे। घटती हुई गैर-ऋणात्मक संख्याओं की एक श्रृंखला बनाएँ।

उदाहरण # 2 पूर्णांकों में समीकरण 170x + 190y = 3000 हल करें

10 से कम करने के बाद, समीकरण इस तरह दिखता है,

एक विशेष समाधान खोजने के लिए, हम निरंतर भिन्न विस्तार का उपयोग करते हैं

इसके लिए उपयुक्त अंतिम अंश को साधारण में संक्षिप्त करना

इस समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप है

एक्स 0 = (-1) 4300 ∙ 9 = 2700, वाई 0 = (- 1) 5300 ∙ 8 = -2400,

और कुल सूत्र द्वारा दिया गया है

x = 2700-19k, y = -2400 + 17k।

जहां से हम पैरामीटर k . पर शर्त प्राप्त करते हैं

वे। के = 142, एक्स = 2, वाई = 14. ...

6. फैक्टरिंग विधि

विकल्पों की गणना करने की विधि एक असुविधाजनक तरीका है, क्योंकि ऐसे मामले हैं जब गणना द्वारा पूर्ण समाधान खोजना असंभव है, क्योंकि ऐसे समाधानों की अनंत संख्या है। गुणनखंडन विधि एक बहुत ही रोचक तकनीक है और यह प्राथमिक गणित और उच्च गणित दोनों में पाई जाती है।

सार समान परिवर्तन है। किसी भी समान परिवर्तन का अर्थ है किसी अभिव्यक्ति को उसके सार को संरक्षित करते हुए एक अलग रूप में लिखना। आइए इस विधि अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

№1 पूर्णांक y . में समीकरण को हल करें 3 - एक्स 3 = 91.

संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण के दाईं ओर का कारक बनाते हैं:

(y - x) (y 2 + xy + x 2) = 91

हम संख्या 91 के सभी भाजक लिखते हैं: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

ध्यान दें कि किसी भी पूर्णांक x और y के लिए संख्या

वाई 2 + वाईएक्स + एक्स 2 ≥ वाई 2 - 2 | वाई || एक्स | + x 2 = (| y | - | x |) 2 0,

इसलिए, समीकरण के बाईं ओर दोनों कारक सकारात्मक होने चाहिए। तब मूल समीकरण समीकरणों के सिस्टम के एक सेट के बराबर होता है:

सिस्टम को हल करने के बाद, हम उन जड़ों का चयन करते हैं जो पूर्णांक हैं।

हमें मूल समीकरण का हल मिलता है: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (- 4; 3)।

उत्तर: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4; 3)।

№2 समीकरण x . को संतुष्ट करने वाली प्राकृत संख्याओं के सभी युग्म ज्ञात कीजिए 2 -यो 2 = 69

समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें और समीकरण को रूप में लिखें

चूंकि संख्या 69 के भाजक संख्या 1, 3, 23 और 69 हैं, तो 69 को दो तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है: 69 = 1 · 69 और 69 = 3 · 23। उस x-y> 0 को ध्यान में रखते हुए, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त होती हैं, जिन्हें हल करके हम आवश्यक संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं:

एक चर को व्यक्त करने और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरणों की जड़ों को ढूंढते हैं। पहली प्रणाली का समाधान x = 35; y = 34 है, और दूसरी प्रणाली का समाधान x = 13, y = 10 है।

उत्तर: (35; 34), (13; 10)।

№3 समीकरण x + y = xy को पूर्णांकों में हल करें:

हम समीकरण को रूप में लिखते हैं

समीकरण के बाईं ओर फैक्टर करें। हम पाते हैं

दो पूर्णांकों का गुणनफल केवल दो स्थितियों में 1 के बराबर हो सकता है: यदि दोनों 1 या -1 के बराबर हों। हमें दो सिस्टम मिलते हैं:

पहली प्रणाली में एक समाधान x = 2, y = 2 है, और दूसरी प्रणाली का समाधान x = 0, y = 0 है। उत्तर: (2; 2), (0; 0)।

№4 सिद्ध कीजिए कि समीकरण (x - y) 3 + (वाई - जेड) 3 + (जेड - एक्स) 3 = 30 का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

हम समीकरण के बाईं ओर को कारकों में विभाजित करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करते हैं, परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है:

(एक्स - वाई) (वाई - जेड) (जेड - एक्स) = 10

10 के भाजक ± 1, ± 2, ± 5, ± 10 संख्याएं हैं। यह भी ध्यान दें कि समीकरण के बाईं ओर के कारकों का योग 0 है। यह जांचना आसान है कि गुणनफल में 10 देने वाले 10 के भाजक के सेट में से किन्हीं तीन संख्याओं का योग 0 के बराबर नहीं होगा। इसलिए, मूल समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

7. अवशेषों की विधि

विधि का मुख्य कार्य प्राप्त परिणामों के आधार पर समीकरण के दोनों पक्षों को एक पूर्णांक से विभाजित करने के शेष भाग को खोजना है। अक्सर प्राप्त जानकारी समीकरण के समाधान के सेट की संभावनाओं को कम कर देती है। आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

№1 सिद्ध कीजिए कि समीकरण x 2 = 3y + 2 का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

सबूत।

उस स्थिति पर विचार करें जब x, y N. दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने के बाद शेष पर विचार करें। समीकरण का दाहिना पक्ष y के किसी भी मान के लिए 3 से विभाजित करने पर शेष 2 देता है। बाईं ओर, जो एक प्राकृत संख्या का वर्ग है, जब 3 से विभाजित किया जाता है तो हमेशा 0 या 1 शेषफल मिलता है। इसके आधार पर, हम पाते हैं कि प्राकृत संख्याओं में इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

उस स्थिति पर विचार करें जब संख्याओं में से एक 0 है। तब, जाहिर है, कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं।

जिस स्थिति में y एक ऋणात्मक पूर्णांक है, उसका कोई हल नहीं है, क्योंकि दाहिना भाग ऋणात्मक होगा और बायाँ भाग धनात्मक होगा।

वह स्थिति जब x एक ऋणात्मक पूर्णांक है, उसका भी कोई हल नहीं है, क्योंकि इस तथ्य के कारण पहले से विचार किए गए मामलों में से एक के अंतर्गत आता है कि (-x) 2 = (x) 2.

यह पता चला है कि संकेतित समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, जिसे साबित करना आवश्यक था।

№2 पूर्ण संख्याओं में हल करें 3 एक्स = 1 + y 2 .

यह देखना आसान है कि (0; 0) इस समीकरण का हल है। यह साबित करना बाकी है कि समीकरण की कोई अन्य अभिन्न जड़ें नहीं हैं।

आइए मामलों पर विचार करें:

1) यदि x∈N, y∈N, तो 3 बिना शेष के तीन से विभाज्य है, और 1 + y 2 को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है

शेष या तो 1 या 2 है। नतीजतन, प्राकृतिक के लिए समानता

मान x, y असंभव है।

2) यदि x एक ऋणात्मक पूर्णांक है, y∈Z, तो 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

समानता भी असंभव है। इसलिए, (0; 0) ही एकमात्र . है

उत्तर: (0; 0)।

№3 2x समीकरण हल करें 2 -2xy + 9x + y = 2 पूर्णांकों में:

आइए हम समीकरण से उस अज्ञात को व्यक्त करें जो इसमें शामिल है केवल पहली डिग्री, यानी चर y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, कहाँ से

आइए बहुपद को बहुपद "कोण" से विभाजित करने के नियम का उपयोग करके भिन्न के पूरे भाग का चयन करें। हम पाते हैं:

जाहिर है, 2x-1 का अंतर केवल -3, -1, 1 और 3 के मान पर ही हो सकता है।

इन चार मामलों को सुलझाना बाकी है, जिसके परिणामस्वरूप हमें समाधान मिलते हैं: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (-1; 3)

उत्तर: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (-1; 3)

8 पूर्णांकों में दो चर वाले समीकरणों को एक चर के संबंध में वर्गों के रूप में हल करने का एक उदाहरण

№1 पूर्णांकों में 5x समीकरण हल करें 2 +5वर्ष 2 + 8xy + 2y-2x + 2 = 0

इस समीकरण को गुणनखंडन विधि द्वारा हल किया जा सकता है, लेकिन इस समीकरण के संबंध में यह विधि काफी समय लेने वाली है। आइए अधिक तर्कसंगत तरीके पर विचार करें।

हम समीकरण को चर x के संबंध में एक वर्ग के रूप में लिखते हैं:

5x 2 + (8y-2) x + 5y 2 + 2y + 2 = 0

हम इसकी जड़ें खोजते हैं।

इस समीकरण का एक हल है यदि और केवल यदि विवेचक

इस समीकरण का शून्य के बराबर है, अर्थात। - 9 (y + 1) 2 = 0, इसलिए y = - 1।

यदि y = -1, तो x = 1।

उत्तर: (1; - 1)।

9. पूर्णांकों में समीकरणों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने का एक उदाहरण।

№ 1. प्राकृत संख्याओं में समीकरण को हल करें : जहां एन> एम

आइए वेरिएबल n को वेरिएबल m के पदों में व्यक्त करें:

संख्या 625 के भाजक ज्ञात कीजिए: यह 1 है; 5; 25; 125; 625

1) यदि एम-25 = 1, तो एम = 26, एन = 25 + 625 = 650

2) एम-25 = 5, फिर एम = 30, एन = 150

3) एम-25 = 25, फिर एम = 50, एन = 50

4) एम-25 = 125, फिर एम = 150, एन = 30

5) एम-25 = 625, फिर एम = 650, एन = 26

उत्तर: एम = 150, एन = 30

№ 2. समीकरण को प्राकृत संख्याओं में हल करें: mn +25 = 4m

हल: एमएन +25 = 4 एम

1) चर 4m को n के रूप में व्यक्त करें:

2) 25 के प्राकृतिक भाजक ज्ञात कीजिए: यह 1 है; 5; 25

यदि 4-n = 1, तो n = 3, m = 25

4-एन = 5, फिर एन = -1, एम = 5; 4-एन = 25, फिर एन = -21, एम = 1 (बाहरी जड़ें)

उत्तर: (25; 3)

पूर्णांकों में समीकरण को हल करने के कार्यों के अलावा, इस तथ्य को साबित करने के लिए भी कार्य हैं कि समीकरण की कोई अभिन्न जड़ें नहीं हैं।

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, विभाज्यता के निम्नलिखित गुणों को याद रखना आवश्यक है:

1) यदि एन जेड; n 2 से विभाज्य है, तो n = 2k, k Z।

2) यदि एन जेड; n 2 का गुणज नहीं है, तो n = 2k + 1, k Z।

3) यदि एन जेड; n 3 से विभाज्य है, तो n = 3k, k Z।

4) यदि एन जेड; n 3 का गुणज नहीं है, तो n = 3k ± 1, k Z.

5) यदि एन जेड; n 4 से विभाज्य नहीं है, तो n = 4k + 1; एन = 4k + 2; एन = 4k + 3. के जेड.

6) यदि एन जेड; n (n + 1) 2 से विभाज्य है, तो n (n + 1) (n + 2) 2; 3; 6 से विभाज्य है।

7) एन; n + 1 कोप्राइम हैं।

№3 सिद्ध कीजिए कि समीकरण x 2 - 3y = 17 का कोई पूर्ण हल नहीं है।

सबूत:

मान लीजिए x; y - समीकरण के समाधान

x 2 = 3 (y + 6) -1 क्योंकि y ∈ Z तो y + 6 ∈ Z, इसलिए 3 (y + 6) 3 से विभाज्य है, इसलिए, 3 (y + 6) -1, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, x 2 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, x, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए x = 3k ± 1, k Z।

आइए इसे मूल समीकरण में प्लग करें।

हमें एक विरोधाभास मिला। इसका मतलब है कि समीकरण का कोई संपूर्ण समाधान नहीं है, जिसे साबित करना आवश्यक था।

10. फॉर्मूला चुनें

पिक के सूत्र की खोज ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ जॉर्ज पाइक ने 1899 में की थी। सूत्र पूर्णांकों में समीकरणों से संबंधित है जिसमें केवल संपूर्ण नोड्स बहुभुज से लिए जाते हैं, जैसे समीकरणों में पूर्णांक।

इस सूत्र का उपयोग करके, आप एक सेल (त्रिकोण, वर्ग, समलम्ब, आयत, बहुभुज) में एक शीट पर बनी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

इस सूत्र में, हम बहुभुज के अंदर और उसकी सीमा पर पूर्णांक बिंदु पाएंगे।

परीक्षा में होने वाले कार्यों में कार्यों का एक पूरा समूह होता है जिसमें एक सेल में एक शीट पर बहुभुज बनाया जाता है और प्रश्न क्षेत्र खोजने के बारे में होता है। एक सेल का पैमाना एक वर्ग सेंटीमीटर होता है।

उदाहरण 1

एम - त्रिभुज की सीमा पर नोड्स की संख्या (पक्षों और कोने पर)

N त्रिभुज के अंदर नोड्स की संख्या है।

* "नोड्स" के तहत हमारा मतलब लाइनों के प्रतिच्छेदन से है। आइए त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

आइए नोड्स को चिह्नित करें:

एम = 15 (लाल रंग में चिह्नित)

एन = 34 (नीले रंग में चिह्नित)

उदाहरण संख्या 2

आइए बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: आइए नोड्स को चिह्नित करें:

एम = 14 (लाल रंग में चिह्नित)

एन = 43 (नीले रंग में चिह्नित)

12. वंश विधि

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के तरीकों में से एक, अवरोही विधि, फ़र्मेट के प्रमेय पर आधारित है।

अवरोही विधि एक ऐसी विधि है जिसमें असीमित रूप से घटते धनात्मक z वाले समाधानों के असंख्य अनुक्रमों के लिए एक समाधान का निर्माण होता है।

आइए हम एक विशिष्ट समीकरण को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के एल्गोरिदम पर विचार करें।

उदाहरण 1. समीकरण को पूर्णांक 5x + 8y = 39 में हल कीजिए।

1) आइए सबसे छोटे गुणांक वाले अज्ञात को चुनें (हमारे मामले में यह x है), और इसे दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करें:

2) आइए पूर्णांक भाग का चयन करें: स्पष्ट रूप से, x पूर्णांक होगा यदि व्यंजक पूर्णांक बन जाता है, जो बदले में तब होगा जब संख्या 4 - 3y शेष के बिना 5 से विभाज्य है।

3) आइए एक अतिरिक्त पूर्णांक चर z को निम्नानुसार प्रस्तुत करें: 4 -3y = 5z। नतीजतन, हमें मूल के समान प्रकार का समीकरण मिलता है, लेकिन कम गुणांक के साथ।

4) हम इसे पहले से ही चर y के संबंध में हल करते हैं, उसी तरह से बहस करते हैं जैसे कि आइटम 1, 2 में: पूर्णांक भाग को अलग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

5) पिछले एक के समान तर्क करते हुए, हम एक नया चर u: 3u = 1 - 2z पेश करते हैं।

6) आइए अज्ञात को सबसे छोटे गुणांक से व्यक्त करें, इस स्थिति में चर z:। इसके पूर्ण होने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 - u = 2v, जहाँ से u = 1 - 2v। कोई और भिन्न नहीं हैं, अवरोहण समाप्त हो गया है (हम प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि अगले चर के व्यंजक में कोई भिन्न न हो)।

7) अब आपको "ऊपर जाने" की जरूरत है। हम चर v के माध्यम से पहले z, फिर y और फिर x व्यक्त करते हैं:

8) सूत्र x = 3 + 8v और y = 3 - 5v, जहाँ v एक मनमाना पूर्णांक है, पूर्णांकों में मूल समीकरण के सामान्य हल का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इस प्रकार, अवरोही विधि पहले एक परिवर्तन की दूसरे के माध्यम से अनुक्रमिक अभिव्यक्ति का अनुमान लगाती है जब तक कि चर के प्रतिनिधित्व में कोई अंश नहीं छोड़ा जाता है, और फिर, समीकरण के सामान्य समाधान को प्राप्त करने के लिए समानता की श्रृंखला के साथ अनुक्रमिक "चढ़ाई"।

12.निष्कर्ष

अध्ययन के परिणामस्वरूप, परिकल्पना की पुष्टि की गई थी कि पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने में कठिनाइयाँ इस तथ्य के कारण हैं कि उनके समाधान के सभी तरीके मुझे ज्ञात नहीं थे। शोध के दौरान, मैं पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए अल्पज्ञात तरीकों को खोजने और उनका वर्णन करने में सक्षम था, उन्हें उदाहरणों के साथ चित्रित करें। मेरे शोध के परिणाम गणित में रुचि रखने वाले सभी छात्रों के लिए उपयोगी हो सकते हैं।

13 ग्रंथ सूची

पुस्तक संसाधन:

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9. डायोफैंटाइन समीकरणों का इतिहास http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. डायोफैंटस का इतिहास http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

पूर्णांक अज्ञात समस्याएं

पावलोव्स्काया नीना मिखाइलोव्ना,

गणित के शिक्षक MBOU "माध्यमिक विद्यालय संख्या 92 ."

केमरोवो

बीजगणितीय समीकरण या बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली जिसमें पूर्णांक गुणांक वाले समीकरणों की संख्या से अधिक अज्ञात होते हैं, और जिसके लिए पूर्णांक या तर्कसंगत समाधान मांगे जाते हैं, कहलाते हैं डायोफैंटाइन समीकरण .

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने की समस्या केवल एक अज्ञात के साथ समीकरणों के लिए, पहली डिग्री के समीकरणों के लिए और दो अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री के समीकरणों के लिए पूरी तरह से हल हो गई है। दो या दो से अधिक अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री से ऊपर के समीकरणों के लिए, पूर्णांक समाधानों के अस्तित्व को साबित करने की समस्या भी मुश्किल है। इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि कोई एकल एल्गोरिथ्म नहीं है जो पूर्णांकों में मनमाने ढंग से डायोफैंटाइन समीकरणों को चरणों की एक सीमित संख्या में हल करने की अनुमति देता है।

सरलतम डायोफैंटाइन समीकरण फॉर्म के समीकरण हैं

कुल्हाड़ी + बाय = सी , ए 0; बी 0

अगर सी = 0 , तो हल स्पष्ट है x = 0, y = 0।

अगर एस 0 , और समाधान (एक्स 0 ; पर 0 ) , फिर एक पूर्णांक

कुल्हाड़ी 0 + द्वारा 0 द्वारा विभाजित डी = (ए; बी) , इसीलिए साथ एक सामान्य भाजक द्वारा भी विभाज्य होना चाहिए ए और बी .

उदाहरण के लिए: 3x + 6y = 5 का कोई पूर्णांक हल नहीं है, क्योंकि (3; 6) = 3, और c = 5 शेषफल के बिना 3 से विभाज्य नहीं है।

अगर समीकरण कुल्हाड़ी + बाय = सी एक समाधान है (एक्स 0 ; पर 0 ) , तथा (ए; बी) = 1 , तो समीकरण के सभी समाधान सूत्रों द्वारा दिए गए हैं एक्स = एक्स 0 + बीएन; वाई = वाई 0 - एक, जहाँ n कोई पूर्णांक हल है।

उदाहरण के लिए: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, इसलिए समीकरण के अपरिमित रूप से कई हल हैं, एक्स 0 = 1; पर 0 =2

फ़र्मेट का महान (महान) प्रमेय कहता है: रूप के समीकरण का कोई प्राकृतिक हल नहीं होता है।

यह प्रमेय 300 साल से भी पहले इतालवी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट द्वारा तैयार किया गया था, और यह केवल 1993 में सिद्ध हुआ था।

फैक्टरिंग विधि .

1) समीकरण को पूर्णांकों में हल करें

एक्स + वाई = एक्सवाई।

समाधान। हम समीकरण को रूप में लिखते हैं

(एक्स -1) (वाई -1) = 1।

दो पूर्णांकों का गुणनफल केवल 1 के बराबर हो सकता है यदि वे दोनों 1 के बराबर हों। अर्थात, मूल समीकरण संयोजन के बराबर है

समाधान (0,0) और (2,2) के साथ।

2. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें:

3x² + 4xy - 7y² = 13.

समाधान: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² = 13,

3x (x - y) + 7y (x - y) = 13,

(एक्स - वाई) (3x + 7y) = 13.

चूँकि 13 में पूर्णांक भाजक ± 1 और ± 13 हैं,

1.x - y = 1, 7x - 7y = 7, x = 2,

3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; जहां से y = 1

2.x - y = 13, 7x - 7y = 91, x = 9.2,

3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; जहाँ से y = - 3.8.

3 . x - y = -1, 7x - 7y = -7, x = -2,

3x + 7y = -13; 3x + 7y = -13; जहां से वाई = -1।

4.x - y = -13, 7x - 7y = -91, x = -9.2,

3x + 7y = -1; 3x + 7y = -1; जहाँ से y = 3.8.

इसलिए समीकरण के पूर्णांकों में दो हल हैं: (2; 1) और (-2; -1)

3 . समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें:

9x² + 4x - xy + 3y = 88.

समाधान: 9x² + 4x - 88 = xy - 3y,

9x² + 4x - 88 = y (x - 3)

चूँकि 5 में पूर्णांक भाजक ± 1 और ± 5 हैं, तो

पूर्णांक समीकरणदो या दो से अधिक अज्ञात चर और पूर्णांक गुणांक वाले बीजीय समीकरण हैं। इस तरह के समीकरण के समाधान सभी पूर्णांक (कभी-कभी प्राकृतिक या तर्कसंगत) अज्ञात चर के मूल्यों के सेट होते हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। ऐसे समीकरणों को भी कहा जाता है डायोफैंटाइन, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ के सम्मान में जिन्होंने हमारे युग से पहले भी कुछ प्रकार के ऐसे समीकरणों की जांच की थी।

हम एक फ्रांसीसी गणितज्ञ के लिए डायोफैंटाइन समस्याओं के आधुनिक निरूपण के ऋणी हैं। यह वह था जिसने यूरोपीय गणितज्ञों को केवल पूर्णांकों में अनिश्चित समीकरणों को हल करने का प्रश्न रखा था। पूर्णांकों में सबसे प्रसिद्ध समीकरण फ़र्मेट का महान प्रमेय है: समीकरण

सभी प्राकृतिक संख्याओं n> 2 के लिए कोई शून्येतर परिमेय समाधान नहीं है।

पूर्णांकों में समीकरणों में सैद्धांतिक रुचि काफी बड़ी है, क्योंकि ये समीकरण संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं से निकटता से संबंधित हैं।

1970 में, लेनिनग्राद गणितज्ञ यूरी व्लादिमीरोविच मतियासेविच ने साबित कर दिया कि चरणों की एक सीमित संख्या में पूर्णांकों में मनमानी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। इसलिए, आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों के लिए अपने स्वयं के समाधान विधियों का चयन करना चाहिए।

पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं में समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित विधियों को पारंपरिक रूप से प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

विकल्पों की गणना करने की विधि;

यूक्लिडियन एल्गोरिथम का अनुप्रयोग;

निरंतर (निरंतर) अंशों के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व;

गुणनखंडन;

किसी भी चर के सापेक्ष वर्ग (या अन्य) के रूप में पूर्णांकों में समीकरणों का समाधान;

अवशेषों की विधि;

अनंत वंश विधि।

समाधान के साथ समस्या

1. पूर्णांकों में समीकरण x 2 - xy - 2y 2 = 7 हल कीजिए।

समीकरण को (x - 2y) (x + y) = 7 के रूप में फिर से लिखें।

चूँकि x, y पूर्णांक हैं, हम मूल समीकरण का हल निम्नलिखित चार प्रणालियों के हल के रूप में पाते हैं:

1) x - 2y = 7, x + y = 1;

2) x - 2y = 1, x + y = 7;

3) x - 2y = -7, x + y = -1;

4) x - 2y = -1, x + y = -7।

इन प्रणालियों को हल करने के बाद, हम समीकरण के समाधान प्राप्त करते हैं: (3; -2), (5; 2), (-3; 2) और (-5; -2)।

उत्तर: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2)।

ए) 20x + 12y = 2013;

बी) 5x + 7y = 19;

ग) 201x - 1999y = 12.

a) चूँकि x और y के किसी भी पूर्णांक मान के लिए समीकरण का बायाँ पक्ष दो से विभाज्य है, और दायाँ पक्ष एक विषम संख्या है, पूर्णांकों में समीकरण का कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

बी) आइए पहले हम कुछ विशिष्ट समाधान चुनें। इस मामले में, यह सरल है, उदाहरण के लिए,

एक्स 0 = 1, वाई 0 = 2।

5x 0 + 7y 0 = 19,

5 (एक्स - एक्स 0) + 7 (वाई - वाई 0) = 0,

5 (x - x 0) = -7 (y - y 0)।

चूँकि संख्याएँ 5 और 7 सहअभाज्य हैं, तो

x - x 0 = 7k, y - y 0 = -5k।

तो सामान्य समाधान है:

एक्स = 1 + 7k, y = 2 - 5k,

जहाँ k एक मनमाना पूर्णांक है।

उत्तर: (1 + 7k; 2-5k), जहां k एक पूर्णांक है।

ग) इस मामले में चयन द्वारा एक विशिष्ट समाधान खोजना काफी कठिन है। आइए 1999 और 201 के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथम का उपयोग करें:

जीसीडी (1999, 201) = जीसीडी (201, 190) = जीसीडी (190, 11) = जीसीडी (11, 3) = जीसीडी (3, 2) = जीसीडी (2, 1) = 1.

आइए इस प्रक्रिया को उल्टे क्रम में लिखें:

1 = 2 - 1 = 2 - (3 - 2) = 2 2 - 3 = 2 (11 - 3 3) - 3 = 2 11 - 7 3 = 2 11 - 7 (190 - 11 17) =

121 11 - 7 190 = 121 (201 - 190) - 7 190 = 121 201 - 128 190 =

121 201 - 128 (1999 - 9 201) = 1273 201 - 128 1999।

अत: युग्म (1273, 128) समीकरण 201x - 1999y = 1 का हल है। तब संख्याओं का युग्म

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

समीकरण 201x - 1999y = 12 का हल है।

इस समीकरण का सामान्य हल के रूप में लिखा गया है

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, जहाँ k एक पूर्णांक है,

या, पुन: पदनाम के बाद (हम उस 15276 = 1283 + 7 · 1999, 1536 = 129 + 7 · 201 का उपयोग करते हैं),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, जहाँ n एक पूर्णांक है।

उत्तर: (1283 + 1999n, 129 + 201n), जहाँ n एक पूर्णांक है।

3. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

क) x 3 + y 3 = 3333333;

बी) एक्स 3 + वाई 3 = 4 (एक्स 2 वाई + एक्सवाई 2 + 1)।

a) चूँकि x 3 और y 3 को 9 से भाग देने पर केवल शेषफल 0, 1 और 8 मिलता है (अनुभाग में तालिका देखें), तो x 3 + y 3 केवल शेषफल 0, 1, 2, 7 दे सकता है और 8. लेकिन संख्या 3333333 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल 3 होता है। इसलिए, मूल समीकरण का कोई पूर्ण संख्या समाधान नहीं है।

b) मूल समीकरण को (x + y) 3 = 7 (x 2 y + xy 2) + 4 के रूप में फिर से लिखें। चूंकि पूर्णांकों के घनों को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 0, 1 और 6 मिलता है, लेकिन 4 नहीं, समीकरण पूर्णांकों में हल नहीं है।

उत्तर: कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं।

क) अभाज्य संख्याओं में, समीकरण x 2 - 7x - 144 = y 2 - 25y;

ख) पूर्णांकों में समीकरण x + y = x 2 - xy + y 2।

ए) हम इस समीकरण को चर y के संबंध में एक वर्ग के रूप में हल करते हैं। हम पाते हैं

वाई = एक्स + 9 या वाई = 16 - एक्स।

चूँकि विषम x के लिए संख्या x + 9 सम है, अभाज्य संख्याओं का एकमात्र युग्म जो पहली समानता को संतुष्ट करता है (2; 11) है।

चूँकि x, y सरल हैं, तो समानता y = 16 - x से हमारे पास है

2 एक्स 16, 2 पर 16.

विकल्पों की गणना करके, हम शेष समाधान ढूंढते हैं: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)।

उत्तर: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)।

बी) इस समीकरण को x के लिए द्विघात समीकरण के रूप में मानें:

एक्स 2 - (वाई + 1) एक्स + वाई 2 - वाई = 0।

इस समीकरण का विभेदक -3y 2 + 6y + 1 है। यह केवल y: 0, 1, 2 के निम्नलिखित मानों के लिए सकारात्मक है। इनमें से प्रत्येक मान के लिए, मूल समीकरण से हमें x के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। , जो आसानी से हल हो जाता है।

उत्तर: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2)।

5. क्या पूर्णांक x, y, z के त्रिगुणों की ऐसी अनंत संख्या है कि x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

आइए ऐसे त्रिगुणों का चयन करने का प्रयास करें, जहां y = –z. तब y 3 और z 3 हमेशा परस्पर सत्यानाश करेंगे, और हमारे समीकरण का रूप होगा

x 2 + 2y 2 = x 3

या अन्यथा,

x 2 (x - 1) = 2y 2.

इस शर्त को पूरा करने के लिए पूर्णांकों (x; y) की एक जोड़ी के लिए, यह पर्याप्त है कि संख्या x - 1 एक पूर्णांक के वर्ग का दोगुना है। ऐसी असंख्य संख्याएँ हैं, अर्थात् ये सभी संख्याएँ 2n 2 +1 के रूप की हैं। ऐसी संख्या को x 2 (x - 1) = 2y 2 में प्रतिस्थापित करने पर, साधारण परिवर्तन के बाद हम प्राप्त करते हैं:

वाई = एक्सएन = एन (2एन 2 +1) = 2एन 3 + एन।

इस तरह से प्राप्त सभी त्रिगुणों का रूप (2n 2 +1; 2n 3 + n; -2n 3 - n) होता है।

उत्तर: मौजूद है।

6. पूर्णांक x, y, z, u इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu हो।

संख्या x 2 + y 2 + z 2 + u 2 सम है, इसलिए, संख्याओं x, y, z, u में विषम संख्याओं की एक सम संख्या होती है।

यदि सभी चार संख्याएँ x, y, z, u विषम हैं, तो x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4 से विभाज्य है, लेकिन 2xyzu 4 - बेमेल से विभाज्य नहीं है।

यदि x, y, z, u में से दो संख्याएँ विषम हैं, तो x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4 से विभाज्य नहीं है, और 2xyzu 4 से विभाज्य है - फिर से एक बेमेल।

इसलिए, सभी संख्याएँ x, y, z, u सम हैं। तब हम लिख सकते हैं कि

x = 2x 1, y = 2y 1, z = 2z 1, u = 2u 1,

और मूल समीकरण रूप लेता है

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1.

अब ध्यान दें कि (2k + 1) 2 = 4k (k + 1) + 1 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है। इसलिए, यदि सभी संख्याएँ x 1, y 1, z 1, u 1 विषम हैं, तो x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 8 से विभाज्य नहीं है। और यदि इनमें से ठीक दो संख्याएँ विषम हैं, तो x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 4 से भी विभाज्य नहीं है। इसलिये,

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

और हमें समीकरण मिलता है

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2.

उसी तर्क को फिर से दोहराते हुए, हम पाते हैं कि x, y, z, u सभी प्राकृतिक n के लिए 2 n से विभाज्य हैं, जो केवल x = y = z = u = 0 के लिए संभव है।

उत्तर: (0; 0; 0; 0)।

7. सिद्ध कीजिए कि समीकरण

(एक्स - वाई) 3 + (वाई - जेड) 3 + (जेड - एक्स) 3 = 30

कोई पूर्णांक समाधान नहीं है।

आइए निम्नलिखित पहचान का उपयोग करें:

(एक्स - वाई) 3 + (वाई - जेड) 3 + (जेड - एक्स) 3 = 3 (एक्स - वाई) (वाई - जेड) (जेड - एक्स)।

तब मूल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(एक्स - वाई) (वाई - जेड) (जेड - एक्स) = 10।

हम a = x - y, b = y - z, c = z - x को निरूपित करते हैं और परिणामी समानता को रूप में लिखते हैं

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि a + b + c = 0। यह सत्यापित करना आसान है कि, एक क्रमपरिवर्तन तक, यह समानता abc = 10 का अनुसरण करता है कि संख्याएँ | a |, | b |, | c | या तो 1, 2, 5, या 1, 1, 10 हैं। लेकिन इन सभी मामलों में, a, b, c के किसी भी विकल्प के लिए, योग a + b + c गैर-शून्य है। इस प्रकार, मूल समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

8. समीकरण 1 को पूर्णांकों में हल करें! + 2! +. ... ... + एक्स! = वाई 2।

जाहिर सी बात है

यदि x = 1, तो y 2 = 1,

यदि x = 3, तो y 2 = 9।

संख्याओं के निम्नलिखित जोड़े इन मामलों के अनुरूप हैं:

एक्स 1 = 1, वाई 1 = 1;

एक्स 2 = 1, वाई 2 = -1;

एक्स 3 = 3, वाई 3 = 3;

एक्स 4 = 3, वाई 4 = -3।

ध्यान दें कि x = 2 के लिए हमारे पास 1 है! + 2! = 3, x = 4 के लिए हमारे पास 1 है! + 2! +3! +4! = 33 और न तो 3 और न ही 33 पूर्णांकों के वर्ग हैं। यदि x> 5, तब से

5! +6! +. ... ... + एक्स! = 10एन,

हम लिख सकते हैं कि

एक! + 2! +3! +4! +5! +. ... ... + एक्स! = 33 + 10एन।

चूँकि 33 + 10n अंक 3 पर समाप्त होने वाली एक संख्या है, यह एक पूर्णांक का वर्ग नहीं है।

उत्तर: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3)।

9. प्राकृतिक संख्याओं में समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

ए 3 - बी 3 - सी 3 = 3 एबीसी, ए 2 = 2 (बी + सी)।

3abc> 0, फिर a 3> b 3 + c 3;

इस प्रकार हमारे पास है

इन असमानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं कि

अंतिम असमानता को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं कि

लेकिन निकाय का दूसरा समीकरण यह भी दर्शाता है कि a एक सम संख्या है। इस प्रकार, ए = 2, बी = सी = 1।

उत्तर: (2; 1; 1)

10. पूर्णांक x और y के सभी युग्म ज्ञात कीजिए जो समीकरण x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y को संतुष्ट करते हैं।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का गुणनखंड करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स (एक्स + 1) = वाई (वाई + 1) (वाई 2 + 1),

एक्स (एक्स + 1) = (वाई 2 + वाई) (वाई 2 + 1)

ऐसी समानता संभव है यदि बाएँ और दाएँ पक्ष शून्य के बराबर हों, या दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हों। इसलिए, कुछ कारकों को शून्य के बराबर करते हुए, हमें चर के वांछित मूल्यों के 4 जोड़े मिलते हैं:

एक्स 1 = 0, वाई 1 = 0;

एक्स 2 = 0, वाई 2 = -1;

एक्स 3 = -1, वाई 3 = 0;

एक्स 4 = -1, वाई 4 = -1।

गुणनफल (y 2 + y) (y 2 + 1) को केवल y = 2 के लिए दो क्रमागत अशून्य पूर्णांकों का गुणनफल माना जा सकता है। इसलिए, x (x + 1) = 30, जहाँ से x 5 = 5, x 6 = -6। इसलिए, पूर्णांकों के दो और जोड़े हैं जो मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

एक्स 5 = 5, वाई 5 = 2;

एक्स 6 = -6, वाई 6 = 2।

उत्तर: (0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1), (5; 2), (-6; 2.)