तृतीय स्तर

3.1. हाइपरबोले लाइनों को छूता है 5 एक्स – 6आप – 16 = 0, 13एक्स – 10आप- - 48 = 0. अतिपरवलय का समीकरण लिखिए, बशर्ते कि इसके अक्ष निर्देशांक अक्षों से संपाती हों।

3.2. अतिपरवलय की स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए

1) एक बिंदु से गुजरना ए(4, 1), बी(5, 2) और सी(5, 6);

2) एक सीधी रेखा के समानांतर 10 एक्स – 3आप + 9 = 0;

3) सीधी रेखा के लंबवत 10 एक्स – 3आप + 9 = 0.

परवलयसमतल में बिंदुओं का स्थान है जिसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं

परवलय पैरामीटर:

दूरसंचार विभाग एफ(पी/2, 0) कहा जाता है केंद्र परवलय, परिमाण पी – पैरामीटर , डॉट हे(0, 0) – बैठक . साथ ही, प्रत्यक्ष का, जिसके बारे में परवलय सममित है, इस वक्र की धुरी को परिभाषित करता है।

मूल्य कहाँ पे एम(एक्स, आप) परवलय का एक मनमाना बिंदु है, कहलाता है फोकल त्रिज्या , सीधा डी: एक्स = –पी/2 – स्कूल की संचालिका (यह परवलय के आंतरिक भाग को नहीं काटता है)। मूल्य परवलय की उत्केन्द्रता कहलाती है।

एक परवलय की मुख्य विशेषता संपत्ति: परवलय के सभी बिंदु नियता और फोकस से समान दूरी पर हैं (चित्र 24)।

विहित परवलय समीकरण के अन्य रूप हैं जो समन्वय प्रणाली में इसकी शाखाओं की अन्य दिशाओं को निर्धारित करते हैं (चित्र 25):

के लिये एक परवलय की पैरामीट्रिक परिभाषा एक पैरामीटर के रूप में टीपरवलय के बिंदु की कोटि का मान लिया जा सकता है:

कहाँ पे टीएक मनमाना वास्तविक संख्या है।

उदाहरण 1इसके विहित समीकरण से परवलय के मापदंडों और आकार का निर्धारण करें:

समाधान। 1. समीकरण आप 2 = –8एक्सएक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय को परिभाषित करता है हे बैल. इसकी शाखाएं बाईं ओर निर्देशित हैं। इस समीकरण की समीकरण से तुलना करना आप 2 = –2पिक्सल, हम पाते हैं: 2 पी = 8, पी = 4, पी/2 = 2. इसलिए, फोकस बिंदु पर है एफ(-2; 0), डायरेक्ट्रिक्स समीकरण डी: एक्स= 2 (चित्र 26)।

2. समीकरण एक्स 2 = –4आपएक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय को परिभाषित करता है हे(0; 0), अक्ष के बारे में सममित ओए. इसकी शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। इस समीकरण की समीकरण से तुलना करना एक्स 2 = –2पीयू, हम पाते हैं: 2 पी = 4, पी = 2, पी/2 = 1. इसलिए, फोकस बिंदु पर है एफ(0; -1), डायरेक्ट्रिक्स समीकरण डी: आप= 1 (चित्र 27)।

उदाहरण 2मापदंडों और वक्र के प्रकार को परिभाषित करें एक्स 2 + 8एक्स – 16आप- 32 = 0. एक चित्र बनाएं।

समाधान।हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके समीकरण के बाईं ओर बदलते हैं:

एक्स 2 + 8एक्स– 16आप – 32 =0;

(एक्स + 4) 2 – 16 – 16आप – 32 =0;

(एक्स + 4) 2 – 16आप – 48 =0;

(एक्स + 4) 2 – 16(आप + 3).

परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

(एक्स + 4) 2 = 16(आप + 3).

यह एक परवलय का विहित समीकरण है जिसका शीर्ष बिंदु (-4; -3) पर है, पैरामीटर पी= 8, ऊपर की ओर इशारा करने वाली शाखाएँ (), अक्ष एक्स= -4। फोकस बिंदु पर है एफ(–4; –3 + पी/ 2), यानी। एफ(-4; 1) प्रधानाध्यापिका डीसमीकरण द्वारा दिया गया है आप = –3 – पी/2 या आप= -7 (चित्र 28)।

उदाहरण 4एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय के समीकरण की रचना करें वी(3; -2) और बिंदु पर ध्यान केंद्रित करें एफ(1; –2).

समाधान।इस परवलय का शीर्ष और फोकस अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित है बैल(समान निर्देशांक), परवलय की शाखाएं बाईं ओर निर्देशित होती हैं (फोकस का भुज शीर्ष के भुज से कम होता है), फोकस से शीर्ष तक की दूरी है पी/2 = 3 – 1 = 2, पी= 4. इसलिए, वांछित समीकरण

(आप+ 2) 2 = -2 4( एक्स- 3) या ( आप + 2) 2 = = –8(एक्स – 3).

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

मैं स्तर

1.1. परवलय के पैरामीटर निर्धारित करें और इसकी रचना करें:

1) आप 2 = 2एक्स; 2) आप 2 = –3एक्स;

3) एक्स 2 = 6आप; 4) एक्स 2 = –आप.

1.2. यदि आप जानते हैं कि मूल पर शीर्ष के साथ एक परवलय का समीकरण लिखें:

1) परवलय अक्ष के बारे में सममित रूप से बाएं आधे तल में स्थित है बैलतथा पी = 4;

2) परवलय अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थित है ओएऔर बिंदु से गुजरता है एम(4; –2).

3) डायरेक्ट्रिक्स समीकरण 3 . द्वारा दिया गया है आप + 4 = 0.

1.3. एक वक्र के लिए एक समीकरण लिखें, जिसके सभी बिंदु बिंदु (2; 0) और सीधी रेखा से समान दूरी पर हों एक्स = –2.

द्वितीय स्तर

2.1. वक्र के प्रकार और मापदंडों को परिभाषित करें।

बाकी पाठकों के लिए, मैं उनके स्कूली ज्ञान को परवलय और अतिपरवलय के बारे में महत्वपूर्ण रूप से फिर से भरने का प्रस्ताव करता हूं। अतिपरवलय और परवलय - क्या यह सरल है? ... रुको मत =)

अतिपरवलय और उसके विहित समीकरण

सामग्री की प्रस्तुति की सामान्य संरचना पिछले पैराग्राफ के समान होगी। आइए हाइपरबोला की सामान्य अवधारणा और इसके निर्माण की समस्या से शुरू करें।

हाइपरबोला के विहित समीकरण का रूप है, जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। ध्यान दें, विपरीत अंडाकार, यहाँ शर्त नहीं लगाई गई है, अर्थात "a" का मान "be" के मान से कम हो सकता है।

मुझे कहना होगा, काफी अप्रत्याशित रूप से ... "स्कूल" अतिशयोक्ति का समीकरण विहित रिकॉर्ड के समान भी नहीं है। लेकिन इस पहेली को अभी भी हमारे लिए इंतजार करना होगा, लेकिन अभी के लिए हम अपने सिर के पिछले हिस्से को खरोंचते हैं और याद करते हैं कि विचाराधीन वक्र की क्या विशेषता है? आइए इसे अपनी कल्पना के पर्दे पर फैलाएं फंक्शन ग्राफ ….

हाइपरबोला की दो सममित शाखाएँ होती हैं।

अच्छी प्रगति! किसी भी अतिशयोक्ति में ये गुण होते हैं, और अब हम इस रेखा की नेकलाइन पर वास्तविक प्रशंसा के साथ देखेंगे:

उदाहरण 4

समीकरण द्वारा दिए गए अतिपरवलय की रचना कीजिए

समाधान: पहले चरण में, हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं। कृपया सामान्य प्रक्रिया याद रखें। दाईं ओर, आपको "एक" प्राप्त करने की आवश्यकता है, इसलिए हम मूल समीकरण के दोनों भागों को 20 से विभाजित करते हैं:

यहां आप दोनों भिन्नों को कम कर सकते हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक को बनाना अधिक इष्टतम है तीन मंजिला:

और उसके बाद ही कटौती करने के लिए:

हम हर में वर्गों का चयन करते हैं:

इस तरह से परिवर्तन करना बेहतर क्यों है? आखिरकार, बाईं ओर के अंशों को तुरंत कम किया जा सकता है और प्राप्त किया जा सकता है। तथ्य यह है कि विचाराधीन उदाहरण में, हम थोड़े भाग्यशाली थे: संख्या 20, 4 और 5 दोनों से विभाज्य है। सामान्य स्थिति में, ऐसी संख्या काम नहीं करती है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। यहाँ, विभाज्यता के साथ, सब कुछ दुखद और बिना है तीन मंजिला अंशअब जरूरत नहीं:

तो, आइए हमारे परिश्रम के फल का उपयोग करें - विहित समीकरण:

हाइपरबोले का निर्माण कैसे करें?

हाइपरबोला के निर्माण के दो तरीके हैं - ज्यामितीय और बीजीय।
व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक कंपास के साथ ड्राइंग ... मैं यूटोपियन भी कहूंगा, इसलिए बचाव के लिए सरल गणनाओं को फिर से लाना अधिक लाभदायक है।

निम्नलिखित एल्गोरिथम का पालन करना उचित है, पहले तैयार ड्राइंग, फिर टिप्पणियाँ:

व्यवहार में, एक मनमाना कोण के माध्यम से घूर्णन का संयोजन और एक अतिपरवलय के समानांतर अनुवाद का अक्सर सामना किया जाता है। पाठ में इस स्थिति पर चर्चा की गई है। द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

परवलय और उसके विहित समीकरण

यह हो चुका है! वह सबसे ज्यादा है। कई राज खोलने को तैयार हैं। एक परवलय के विहित समीकरण का रूप होता है, जहाँ एक वास्तविक संख्या होती है। यह देखना आसान है कि अपनी मानक स्थिति में परवलय "अपनी तरफ स्थित है" और इसका शीर्ष मूल में है। इस मामले में, फ़ंक्शन इस लाइन की ऊपरी शाखा को सेट करता है, और फ़ंक्शन निचली शाखा को सेट करता है। जाहिर है, परवलय अक्ष के बारे में सममित है। दरअसल, क्या नहाएं:

उदाहरण 6

एक परवलय बनाएँ

समाधान: शीर्ष ज्ञात है, आइए अतिरिक्त बिंदु खोजें। समीकरण परवलय के ऊपरी चाप को निर्धारित करता है, समीकरण निचले चाप को निर्धारित करता है।

रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, हम "उसी ब्रश के नीचे" गणना करेंगे:

कॉम्पैक्ट नोटेशन के लिए, परिणामों को एक तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है।

प्राथमिक बिंदु-दर-बिंदु आरेखण करने से पहले, हम एक सख्त . तैयार करते हैं

एक परवलय की परिभाषा:

एक परवलय एक विमान में सभी बिंदुओं का समूह होता है जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर होते हैं और एक दी गई रेखा जो बिंदु से नहीं गुजरती है।

बिंदु कहा जाता है केंद्रपरवलय, सीधी रेखा स्कूल की संचालिका (एक "es" के साथ लिखा)परवलय विहित समीकरण के स्थिर "पे" को कहा जाता है फोकल पैरामीटर, जो फोकस से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी के बराबर है। इस मामले में । इस मामले में, फोकस में निर्देशांक होते हैं, और निर्देश समीकरण द्वारा दिया जाता है।
हमारे उदाहरण में:

एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय की परिभाषाओं की तुलना में एक परवलय की परिभाषा को समझना और भी आसान है। परवलय के किसी भी बिंदु के लिए, खंड की लंबाई (फोकस से बिंदु तक की दूरी) लंबवत की लंबाई (बिंदु से दिशा की दूरी) के बराबर होती है:

बधाई हो! आप में से कई लोगों ने आज एक वास्तविक खोज की है। यह पता चला है कि हाइपरबोला और परबोला "साधारण" कार्यों के सभी ग्राफ़ पर नहीं हैं, लेकिन एक स्पष्ट ज्यामितीय मूल है।

जाहिर है, फोकल पैरामीटर में वृद्धि के साथ, ग्राफ की शाखाएं ऊपर और नीचे "फैल" जाएंगी, अक्ष के असीम रूप से करीब आ जाएंगी। "पे" के मूल्य में कमी के साथ, वे धुरी के साथ सिकुड़ना और खिंचाव करना शुरू कर देंगे

किसी भी परवलय की विलक्षणता एक के बराबर होती है:

परवलय का घूर्णन और अनुवाद

परवलय गणित में सबसे आम पंक्तियों में से एक है, और आपको इसे वास्तव में अक्सर बनाना होगा। इसलिए, कृपया पाठ के अंतिम पैराग्राफ पर विशेष ध्यान दें, जहां मैं इस वक्र के स्थान के लिए विशिष्ट विकल्पों का विश्लेषण करूंगा।

! टिप्पणी : जैसा कि पिछले वक्रों के मामलों में, समन्वय अक्षों के रोटेशन और समानांतर अनुवाद के बारे में बात करना अधिक सही है, लेकिन लेखक खुद को प्रस्तुति के सरलीकृत संस्करण तक सीमित कर देगा ताकि पाठक के पास प्रारंभिक विचार हो ये परिवर्तन।

प्रपत्र का कार्य, जहां कहा जाता है द्विघात फंक्शन.

द्विघात फलन का ग्राफ − परवलय.

मामलों पर विचार करें:

केस I, शास्त्रीय परवलय

वह है , ,

बनाने के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:

अंक अंक (0;0); (1;1); (-1;1) आदि। समन्वय तल पर (हम जितना छोटा कदम x मान लेते हैं (इस मामले में, चरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेते हैं, वक्र उतना ही चिकना होता है), हमें एक परवलय मिलता है:

यह देखना आसान है कि यदि हम मामले को लेते हैं, अर्थात, तो हमें अक्ष (बैल) के बारे में एक परवलय सममित मिलता है। एक समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:

II केस, "ए" एक से अलग

क्या होगा अगर हम ले , , ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

पहली तस्वीर (ऊपर देखें) स्पष्ट रूप से दिखाती है कि परवलय (1;1), (-1;1) के लिए तालिका के बिंदु बिंदुओं (1;4), (1;-4) में बदल गए थे, अर्थात, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क देते हैं।

और जब परवलय "व्यापक हो जाता है" परवलय:

आओ पूर्वावलोकन कर लें:

1)गुणांक का चिन्ह शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार होता है। शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) निरपेक्ष मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार", "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा होगा, परवलय उतना ही छोटा होगा |a|, परवलय उतना ही चौड़ा होगा।

केस III, "सी" प्रकट होता है

अब चलो खेलते हैं (अर्थात, हम मामले पर विचार करते हैं जब), हम रूप के परवलय पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना आसान है (आप हमेशा तालिका का उल्लेख कर सकते हैं) कि परवलय अक्ष के साथ ऊपर या नीचे जाएगा, यह संकेत पर निर्भर करता है:

चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है

परवलय कब अक्ष से "फट जाएगा" और अंत में पूरे समन्वय विमान के साथ "चलेगा"? जब यह बराबर होना बंद हो जाता है।

यहाँ, एक परवलय बनाने के लिए, हमें चाहिए शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .

तो इस बिंदु पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो पहले से ही हमारी शक्ति के भीतर है। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो ऊपर से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर, एक ऊपर सेट करते हैं, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम ऊपर हमारा बिंदु है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर, आदि में सेट करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक परवलय का शीर्ष:

अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय टेम्पलेट के अनुसार एक परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।

एक परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक खोजने के बाद बहुत हैनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:

1) परवलय बिंदु से गुजरना होगा . वास्तव में, x=0 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि, यह है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय y-अक्ष को , क्योंकि , पर प्रतिच्छेद करता है।

2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और समरूपता की धुरी के बारे में एक परवलय सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है, जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।

3) के बराबर, हम अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विभेदक के आधार पर, हमें एक (,), दो (शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया) मिलेगा।" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, हमारे पास विवेचक की जड़ है - पूर्णांक नहीं, इसे बनाते समय, हमारे लिए जड़ों को खोजने का वास्तव में कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि हमारे पास चौराहे के दो बिंदु होंगे (ओह) अक्ष (शीर्षक के बाद से = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

तो चलिए वर्कआउट करते हैं

एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम यदि इसे फॉर्म में दिया गया है

1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - up, a<0 – вниз)

2) सूत्र द्वारा परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3) हम मुक्त पद से परवलय के अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं, हम परवलय की समरूपता के अक्ष के संबंध में दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि यह है इस बिंदु को चिह्नित करने के लिए लाभहीन, उदाहरण के लिए, क्योंकि मान बड़ा है ... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं ...)

4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) के रूप में), हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। अगर शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) हम अक्ष (ओए) के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं (यदि वे स्वयं अभी तक "सामने" नहीं आए हैं), समीकरण को हल करते हुए

उदाहरण 1

उदाहरण 2

टिप्पणी 1.यदि परवलय शुरू में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहाँ कुछ संख्याएँ हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें पहले ही शीर्ष के निर्देशांक दिए जा चुके हैं। क्यों?

आइए एक वर्ग ट्रिनोमियल लें और उसमें एक पूर्ण वर्ग चुनें: देखिए, हमें वह मिल गया है। हमने पहले परवलय के शीर्ष को बुलाया था, जो कि अब, है।

उदाहरण के लिए, । हम विमान पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय का विस्तार (अपेक्षाकृत) होता है। यही है, हम चरण 1 करते हैं; 3; चार; 5 एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम से (ऊपर देखें)।

टिप्पणी 2.यदि परवलय को इसी तरह के रूप में दिया जाता है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है), तो हम तुरंत (x) अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0)। बाकी के लिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं।

6. निर्धारक के योग के निर्धारकों और उसके परिणामों में अपघटन पर प्रमेय।

7. पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों और उससे होने वाले परिणामों के संदर्भ में सारणिक के अपघटन पर प्रमेय।

8. मैट्रिक्स और उनके गुणों पर संचालन। उनमें से एक साबित करो।

9. मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन ऑपरेशन और इसके गुण।

10. व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक व्युत्क्रमणीय आव्यूह का केवल एक व्युत्क्रमण होता है।

13. ब्लॉक मैट्रिक्स। ब्लॉक मेट्रिसेस का जोड़ और गुणा। अर्ध-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक पर प्रमेय।

14. मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक पर प्रमेय।

15. व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व पर प्रमेय।

16. मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना। मूल लघु प्रमेय और उसका परिणाम।

17. मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की रैखिक निर्भरता की अवधारणा। मैट्रिक्स रैंक प्रमेय।

18. मैट्रिक्स के रैंक की गणना के तरीके: नाबालिगों की सीमा की विधि, प्राथमिक परिवर्तनों की विधि।

19. व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए केवल पंक्तियों (केवल कॉलम) के प्राथमिक परिवर्तनों को लागू करना।

20. रैखिक समीकरणों की प्रणाली। अनुकूलता की कसौटी और निश्चितता की कसौटी।

21. रैखिक समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली का समाधान।

22. रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली। समाधान की एक मौलिक प्रणाली के अस्तित्व पर प्रमेय।

23. वैक्टर और उनके गुणों पर रैखिक संचालन। उनमें से एक साबित करो।

24. दो सदिशों के अंतर का निर्धारण। साबित करें कि किसी भी वैक्टर के लिए और अंतर मौजूद है और अद्वितीय है।

25. आधार की परिभाषा, आधार में वेक्टर के निर्देशांक। एक आधार के रूप में एक वेक्टर के विस्तार पर प्रमेय।

26. वैक्टर की रैखिक निर्भरता। रैखिक निर्भरता की अवधारणा के गुण, उनमें से एक साबित करें।

28. कार्तीय समन्वय प्रणाली अंतरिक्ष में, एक समतल पर और एक सीधी रेखा पर। सदिशों के रैखिक संयोजन पर प्रमेय और उससे होने वाले परिणाम।

29. एक बिंदु के निर्देशांक को एक dsk में उसी बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से दूसरे dsk में व्यक्त करने वाले सूत्रों की व्युत्पत्ति।

30. सदिशों का अदिश गुणन। परिभाषा और बुनियादी गुण।

31. वैक्टर के वेक्टर उत्पाद। परिभाषा और बुनियादी गुण।

32. वैक्टर का मिश्रित उत्पाद। परिभाषा और बुनियादी गुण।

33. वैक्टर का डबल क्रॉस उत्पाद। गणना के लिए परिभाषा और सूत्र (बिना प्रमाण के)।

34. बीजीय रेखाएँ और पृष्ठ। ऑर्डर इनवेरिएंस (इनवेरिएंस) प्रमेय।

35. समतल और सीधी रेखा के सामान्य समीकरण।

36. रेखा और तल के पैरामीट्रिक समीकरण।

37. समतल के सामान्य समीकरणों और समतल पर सीधी रेखा से उनके पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण। समतल के सामान्य समीकरण (तल पर सीधी रेखा) में गुणांक a, b, c (a, c) का ज्यामितीय अर्थ।

38. एक समतल (अंतरिक्ष में) पर पैरामीट्रिक समीकरणों से एक पैरामीटर का बहिष्करण, एक सीधी रेखा के विहित समीकरण।

39. एक सीधी रेखा और एक तल के सदिश समीकरण।

40. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण, विहित रूप में कमी।

41. एक बिंदु से एक समतल की दूरी। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी। लाइनों और विमानों के बारे में अन्य समस्याएं।

42. एक दीर्घवृत्त की परिभाषा। एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण। एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण। अंडाकार विलक्षणता।

44. एक परवलय की परिभाषा। विहित परवलय समीकरण की व्युत्पत्ति।

45. दूसरे क्रम के वक्र और उनका वर्गीकरण। केवीपी के बारे में मुख्य प्रमेय।

45. दूसरे क्रम के पृष्ठ और उनका वर्गीकरण। पीपीवी के बारे में मुख्य प्रमेय। क्रांति की सतह।

47. एक रैखिक स्थान की परिभाषा। उदाहरण।

49. यूक्लिडियन अंतरिक्ष की परिभाषा। वेक्टर की लंबाई। वैक्टर के बीच का कोण। कॉची-बन्याकोवस्की असमानता। उदाहरण।

50. यूक्लिडियन अंतरिक्ष की परिभाषा। पाइथागोरस प्रमेय। त्रिभुज असमानता उदाहरण।

44. एक परवलय की परिभाषा। विहित परवलय समीकरण की व्युत्पत्ति।

परिभाषा:एक परवलय एक तल में बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए इस तल के कुछ निश्चित बिंदु F की दूरी कुछ निश्चित सीधी रेखा की दूरी के बराबर होती है। बिंदु F को परवलय का फोकस कहा जाता है, और स्थिर रेखा को परवलय की नियता कहा जाता है।

समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम निर्माण करते हैं:

से परिभाषा से:

चूँकि 2 >=0, तो परवलय दाहिने आधे तल में स्थित है। जैसे-जैसे x 0 से अनंत तक बढ़ता जाता है
. परवलय ऑक्स के संबंध में सममित है। समरूपता के अक्ष के साथ एक परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है।

45. दूसरे क्रम के वक्र और उनका वर्गीकरण। केवीपी के बारे में मुख्य प्रमेय।

केवीपी 8 प्रकार के होते हैं:

1.दीर्घवृत्त

2.हाइपरबोलस

3.परवलय

वक्र 1,2,3 विहित खंड हैं। यदि हम शंकु को शंकु के अक्ष के समांतर समतल से काटते हैं, तो हमें एक अतिपरवलय प्राप्त होता है। यदि विमान जेनरेट्रिक्स के समानांतर है, तो एक परवलय। सभी तल शंकु के शीर्ष से नहीं गुजरते हैं। यदि कोई अन्य विमान है तो एक दीर्घवृत्त।

4. समांतर रेखाओं का युग्म y 2 + a 2 =0, a0

5. प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी y 2 -k 2 x 2 \u003d 0

6.एक पंक्ति y 2 = 0

7.एक बिंदु x 2 + y 2 = 0

8. खाली सेट - खाली वक्र (बिना अंकों के करोड़) x 2 + y 2 +1=0 या x 2 + 1=0

प्रमेय (केवीपी के बारे में मुख्य प्रमेय):समीकरण टाइप करें

एक 11 एक्स 2 + 2a 12 एक्स वाई + ए 22 आप 2 + 2a 1 एक्स + 2 ए 2 वाई+ए 0 = 0

केवल निर्दिष्ट आठ प्रकारों में से एक के वक्र का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

सबूत का विचारएक समन्वय प्रणाली की ओर बढ़ना है जिसमें KVP समीकरण अपने सरलतम रूप में तब होता है जब वह जिस प्रकार के वक्र का प्रतिनिधित्व करता है वह स्पष्ट हो जाता है। प्रमेय को निर्देशांक प्रणाली को ऐसे कोण से घुमाकर सिद्ध किया जाता है जिस पर निर्देशांक के गुणनफल वाला पद लुप्त हो जाता है। और निर्देशांक प्रणाली के समानांतर अनुवाद की मदद से, जिसमें या तो चर x वाला सदस्य या चर y वाला सदस्य गायब हो जाता है।

एक नई समन्वय प्रणाली में संक्रमण: 1. समानांतर स्थानांतरण

2. टर्न

45. दूसरे क्रम के पृष्ठ और उनका वर्गीकरण। पीपीवी के बारे में मुख्य प्रमेय। क्रांति की सतह।

पी वीपी - बिंदुओं का एक सेट जिसका आयताकार निर्देशांक दूसरी डिग्री के समीकरण को संतुष्ट करता है: (1)

यह माना जाता है कि वर्गों या उत्पादों में से कम से कम एक गुणांक 0 से भिन्न होता है। समन्वय प्रणाली की पसंद के संबंध में समीकरण अपरिवर्तनीय है।

प्रमेयकोई भी विमान पीवीपी को पीवीपी के साथ काटता है, विशेष मामले को छोड़कर जब अनुभाग में पूरा विमान होता है। (पीवीपी एक विमान या विमानों की एक जोड़ी हो सकती है)।

पीवीपी 15 प्रकार के होते हैं। हम उन्हें उन समीकरणों को इंगित करके सूचीबद्ध करते हैं जिनके द्वारा वे उपयुक्त समन्वय प्रणालियों में दिए गए हैं। इन समीकरणों को विहित (सरल) कहा जाता है। समानांतर वर्गों की विधि द्वारा विहित समीकरणों के अनुरूप ज्यामितीय छवियां बनाएं: सतह को समन्वयित विमानों और उनके समानांतर विमानों के साथ पार करें। परिणाम खंड और वक्र हैं जो सतह के आकार का एक विचार देते हैं।

1. दीर्घवृत्त।

अगर a=b=c तो हमें एक गोला मिलता है।

2. हाइपरबोलाइड्स।

एक)। एक शीट वाला हाइपरबोलॉइड:

निर्देशांक विमानों द्वारा एक-शीट वाले हाइपरबोलाइड का खंड: XOZ:
- अतिशयोक्ति।

योज़:
- अतिशयोक्ति।

विमान एक्सओवाई:
- अंडाकार।

2) दो शीट वाले हाइपरबोलाइड।

निर्देशांक की उत्पत्ति समरूपता का एक बिंदु है।

निर्देशांक तल सममिति के तल हैं।

विमान जेड = एचहाइपरबोलाइड को एक दीर्घवृत्त में काटता है
, अर्थात। विमान जेड = एचअतिपरवलयज को | . पर प्रतिच्छेद करना प्रारंभ करता है एच |  सी. विमानों द्वारा अतिपरवलयज का अनुप्रस्थ काट एक्स = 0 तथा आप = 0 अतिशयोक्तिपूर्ण हैं।

समीकरणों (2),(3),(4) में संख्या a,b,c को दीर्घवृत्ताकार और अतिपरवलय के अर्धअक्ष कहा जाता है।

3. पैराबोलॉइड।

एक)। अण्डाकार परवलयिक:

विमान खंड जेड = एचवहाँ है
, कहाँ पे
. यह समीकरण से देखा जा सकता है कि z 0 एक अनंत कटोरा है।

समतल चौराहा आप = एचतथा एक्स= एच
एक परवलय है और

2) हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड:

जाहिर है, XOZ और YOZ विमान समरूपता के विमान हैं, और z अक्ष परवलयिक की धुरी है। एक समतल के साथ एक परवलयिक का प्रतिच्छेदन जेड = एच- अतिशयोक्ति:
,
. विमान जेड=0 हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड को दो अक्षों के साथ प्रतिच्छेद करता है
जो असिम्प्टोट्स हैं।

4. दूसरे क्रम के शंकु और बेलन।

एक)। शंकु सतह है
. शंकु को मूल 0 (0, 0, 0) से गुजरने वाली सीधी रेखाओं द्वारा बनाया गया है। एक शंकु का खंड अर्ध-अक्ष के साथ एक दीर्घवृत्त है
.

2) दूसरे क्रम के सिलेंडर।

यह एक अण्डाकार सिलेंडर है
.

हम जो भी रेखा दीर्घवृत्त को काटती है और ओज अक्ष के समानांतर लेती है, वह इस समीकरण को संतुष्ट करती है। इस रेखा को दीर्घवृत्त के चारों ओर घुमाने पर हमें एक सतह प्राप्त होती है।

जी अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर:

हाउ प्लेन पर, यह एक अतिपरवलय है। हम अतिपरवलय के अनुदिश Oz के समानांतर अतिपरवलय को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को आगे बढ़ाते हैं।

परवलयिक सिलेंडर:

एच और हाउ प्लेन एक परवलय है।

बेलनाकार सतह एक सीधी रेखा (जनरेटर) द्वारा बनाई जाती है जो एक निश्चित सीधी रेखा (गाइड) के साथ समानांतर चलती है।

10. प्रतिच्छेद करने वाले तलों का एक जोड़ा

11. समांतर तलों का युग्म

12.
- सीधा

13. सीधी रेखा - एक बिंदु पर निर्मित "सिलेंडर"

14.एक बिंदु

15. खाली सेट

पीवीपी के बारे में मुख्य प्रमेय:प्रत्येक पीवीपी ऊपर चर्चा किए गए 15 प्रकारों में से एक से संबंधित है। कोई अन्य पीवीपी नहीं हैं।

क्रांति की सतह।मान लीजिए PDCS ऑक्सीज दिया गया है और समतल Oyz में रेखा e समीकरण F(y,z)=0 (1) द्वारा परिभाषित है। आइए हम इस रेखा के ओज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त सतह के समीकरण की रचना करें। रेखा e पर एक बिंदु M(y, z) लीजिए। जब विमान Oyz, Oz के चारों ओर घूमता है, तो बिंदु M एक वृत्त का वर्णन करेगा। मान लीजिए N(X,Y,Z) इस वृत्त का एक मनमाना बिंदु है। यह स्पष्ट है कि z=Z.

.

z और y के पाए गए मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम सही समानता प्राप्त करते हैं:
वे। बिंदु N निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं
. इस प्रकार, क्रांति की सतह का कोई भी बिंदु समीकरण (2) को संतुष्ट करता है। यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि यदि बिंदु N(x 1,y1,z1) समीकरण (2) को संतुष्ट करता है तो यह माना सतह से संबंधित है। अब हम कह सकते हैं कि समीकरण (2) क्रांति की सतह के लिए वांछित समीकरण है।

"

एक परवलय किसी दिए गए बिंदु F . से समान दूरी पर एक विमान में बिंदुओं का स्थान है

और दी गई रेखा dd दिए गए बिंदु से नहीं गुजरती है। यह ज्यामितीय परिभाषा व्यक्त करती है परवलय निर्देशिका संपत्ति.

परवलय की निर्देशिका संपत्ति

बिंदु F को परवलय का फोकस कहा जाता है, रेखा d को परवलय का निर्देश कहा जाता है, फोकस से डायरेक्ट्रिक्स तक गिराए गए लंबवत का मध्य बिंदु O परवलय का शीर्ष होता है, दूरी p फोकस से डायरेक्ट्रिक्स परवलय का पैरामीटर है, और दूरी p2 परवलय के शीर्ष से इसके फोकस तक फोकल लंबाई है। डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत और फोकस से गुजरने वाली सीधी रेखा को परवलय की धुरी (परवलय का फोकल अक्ष) कहा जाता है। परवलय के एक मनमाना बिंदु M को अपने फोकस से जोड़ने वाले खंड FM को बिंदु का फोकल त्रिज्या कहा जाता है

M. परवलय के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को परवलय की जीवा कहा जाता है।

परवलय के एक मनमाना बिंदु के लिए, दूरी का फोकस से दूरी और डायरेक्ट्रिक्स की दूरी का अनुपात एक के बराबर होता है। दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के निर्देशिका गुणों की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि परवलय विलक्षणतापरिभाषा के अनुसार एक के बराबर है

परवलय की ज्यामितीय परिभाषा, इसकी निर्देशिका संपत्ति को व्यक्त करते हुए, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - परवलय के विहित समीकरण द्वारा दी गई रेखा:

गुण

• इसमें समरूपता की एक धुरी होती है जिसे कहा जाता है परवलय अक्ष. अक्ष फोकस से होकर गुजरता है और वर्टेक्स डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत है।
• ऑप्टिकल संपत्ति। परवलय की धुरी के समानांतर किरणों की एक किरण, परवलय में परिलक्षित होती है, इसके फोकस पर एकत्र की जाती है। इसके विपरीत, एक स्रोत से प्रकाश जो फोकस में है, एक परवलय द्वारा अपनी धुरी के समानांतर किरणों की किरण में परावर्तित होता है।
• यदि परवलय का फोकस स्पर्शरेखा के सापेक्ष परावर्तित हो जाता है, तो उसका प्रतिबिम्ब नियता पर स्थित होगा।
• परवलय की एक मनमानी जीवा के मध्य बिंदु और इस जीवा के सिरों पर स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाला खंड डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत है, और इसका मध्य बिंदु परवलय पर स्थित है।
• परवलय रेखा का प्रतिपादक है।
• सभी परवलय समान हैं। फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी पैमाने को निर्धारित करती है।

एक वास्तविक चर का कार्य: बुनियादी अवधारणाएं, उदाहरण।

परिभाषा: यदि नियम f के अनुसार संख्यात्मक समुच्चय X का प्रत्येक मान x समुच्चय Y की एकल संख्या से मेल खाता है, तो वे कहते हैं कि फलन y \u003d f (x) संख्यात्मक समुच्चय X पर दिया गया है, मान​ x का मान फ़ंक्शन के डोमेन (X) में शामिल मानों के सेट द्वारा निर्धारित किया जाता है।
इस मामले में, x को तर्क कहा जाता है और y को फ़ंक्शन का मान कहा जाता है। सेट X को फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है, Y को फ़ंक्शन के मानों का सेट कहा जाता है।
अक्सर यह नियम एक सूत्र द्वारा दिया जाता है; उदाहरण के लिए, y \u003d 2x + 5. किसी सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की निर्दिष्ट विधि को विश्लेषणात्मक कहा जाता है।
फ़ंक्शन को ग्राफ़ द्वारा भी सेट किया जा सकता है - फ़ंक्शन का ग्राफ़ y - f (x) विमान में बिंदुओं का समूह है, निर्देशांक x, जो संबंध y \u003d f (x) को संतुष्ट करता है।