कई संख्याओं ने पुरातनता में अपना परिमाण और अंधविश्वासी अर्थ प्राप्त कर लिया। आजकल उनके साथ नए-नए मिथक जुड़ते जा रहे हैं। संख्या पाई के बारे में कई किंवदंतियां हैं, प्रसिद्ध फाइबोनैचि संख्याएं थोड़ी कम प्रसिद्ध हैं। लेकिन शायद सबसे आश्चर्यजनक संख्या ई है, जिसके बिना नहीं किया जा सकता आधुनिक गणित, भौतिकी और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र भी।

e का अंकगणितीय मान लगभग 2.718 है। बिल्कुल क्यों नहीं, लेकिन लगभग? क्योंकि यह संख्या अपरिमेय और पारलौकिक है, इसे प्राकृतिक पूर्णांकों वाली भिन्न के रूप में या परिमेय गुणांक वाले बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। निर्दिष्ट सटीकता की अधिकांश गणनाओं के लिए, 2.718 का मान पर्याप्त है, हालांकि कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का वर्तमान स्तर आपको एक ट्रिलियन से अधिक दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ इसका मान निर्धारित करने की अनुमति देता है।

संख्या ई की मुख्य विशेषता यह है कि इसके घातीय फ़ंक्शन f (x) \u003d e x का व्युत्पन्न फ़ंक्शन e x के मान के बराबर है। किसी अन्य गणितीय संबंध में ऐसा असामान्य गुण नहीं है। आइए इस बारे में थोड़ा और विस्तार से बात करते हैं।

एक सीमा क्या है

सबसे पहले, आइए एक सीमा की अवधारणा से निपटें। कुछ गणितीय व्यंजकों पर विचार करें, उदाहरण के लिए, i = 1/n। देख सकता हूं, कि "n ." में वृद्धि के साथ", "i" का मान कम हो जाएगा, और जैसे ही "n" अनंत की ओर जाता है (जो कि चिह्न द्वारा इंगित किया गया है), "i" शून्य के बराबर सीमा मान (जिसे अक्सर केवल सीमा कहा जाता है) की ओर प्रवृत्त होगा। विचाराधीन मामले के लिए सीमा व्यंजक (lim के रूप में निरूपित) को lim n →∞ (1/ n) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

विभिन्न भावों के लिए अलग-अलग सीमाएँ हैं। दूसरी उल्लेखनीय सीमा के रूप में सोवियत और रूसी पाठ्यपुस्तकों में शामिल ऐसी सीमाओं में से एक अभिव्यक्ति lim n →∞ (1+1/ n) n है। पहले से ही मध्य युग में, यह स्थापित किया गया था कि इस अभिव्यक्ति की सीमा संख्या ई है।

पहली उल्लेखनीय सीमा में व्यंजक lim n →∞ (Sin n / n) = 1 . शामिल है.

इस वीडियो में व्युत्पन्न ई एक्स कैसे खोजें।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है

व्युत्पन्न की अवधारणा को प्रकट करने के लिए, किसी को यह याद रखना चाहिए कि गणित में एक फलन क्या है। जटिल परिभाषाओं के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, आइए हम एक फ़ंक्शन की सहज गणितीय अवधारणा पर ध्यान दें, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि इसमें एक या कई मात्राएँ पूरी तरह से दूसरी मात्रा के मूल्य को निर्धारित करती हैं, यदि वे परस्पर जुड़ी हुई हैं। उदाहरण के लिए, एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र S = r 2 में, त्रिज्या r का मान पूरी तरह से और विशिष्ट रूप से वृत्त S का क्षेत्रफल निर्धारित करता है।

प्रकार के आधार पर, फलन बीजीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक आदि हो सकते हैं। उनमें दो, तीन या अधिक तर्क परस्पर जुड़े हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूरी एस ने यात्रा की, जिसे वस्तु एक समान त्वरित गति से कवर करती है, फ़ंक्शन एस = 0.5 ए ∙ टी 2 + वी ∙ टी द्वारा वर्णित है, जहां "टी" आंदोलन का समय है, तर्क "ए "त्वरण है (या तो सकारात्मक या नकारात्मक मान हो सकता है) और "वी" आंदोलन की प्रारंभिक गति है। इस प्रकार, तय की गई दूरी की मात्रा तीन तर्कों के मूल्यों पर निर्भर करती है, जिनमें से दो ("ए" और "वी") स्थिर हैं।

आइए हम इस उदाहरण का उपयोग किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की प्रारंभिक अवधारणा को दिखाने के लिए करें। यह किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। हमारे उदाहरण में, यह किसी विशेष समय बिंदु पर वस्तु की गति होगी। निरंतर "ए" और "वी" के साथ यह केवल समय "टी" पर निर्भर करता है, यानी वैज्ञानिक शब्दों में, आपको समय "टी" के संबंध में फ़ंक्शन एस का व्युत्पन्न लेना होगा।

यह प्रक्रिया, जिसे विभेदन कहा जाता है, किसी फ़ंक्शन के विकास के अनुपात की सीमा की गणना करके उसके तर्क की वृद्धि को नगण्य रूप से छोटी राशि से किया जाता है। व्यक्तिगत कार्यों के लिए ऐसी समस्याओं को हल करना अक्सर आसान काम नहीं होता है और यहां इस पर विचार नहीं किया जाता है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि कुछ बिंदुओं पर कुछ कार्यों में ऐसी कोई सीमा नहीं होती है।

हमारे उदाहरण में, व्युत्पन्न Sसमय में "t" S" = ds / dt = a t + V का रूप लेगा, जिससे यह देखा जा सकता है कि गति S" "t" के आधार पर रैखिक रूप से बदलती है।

घातांक का व्युत्पन्न

एक घातांक फ़ंक्शन को एक घातीय फ़ंक्शन कहा जाता है, जिसका आधार संख्या ई है। इसे आमतौर पर एफ (एक्स) \u003d ई एक्स के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जहां एक्सपोनेंट एक्स एक चर है। इस फ़ंक्शन में वास्तविक संख्याओं की संपूर्ण श्रेणी पर पूर्ण भिन्नता है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, यह लगातार बढ़ता जाता है और हमेशा शून्य से बड़ा होता है। इसका उलटा कार्य लघुगणक है।

प्रसिद्ध गणितज्ञ टेलर ने इस फलन को उनके नाम पर ई x = 1 + x/1! + x2/2! + एक्स 3/3! + ... x श्रेणी में - से + तक।

इस समारोह के आधार पर कानून, घातांक कहलाता है। वह वर्णन करता है:

• चक्रवृद्धि बैंक ब्याज में वृद्धि;
• जानवरों की आबादी और ग्रह की आबादी में वृद्धि;
• कठोर मोर्टिस समय और भी बहुत कुछ।

आइए एक बार फिर से इस निर्भरता की उल्लेखनीय संपत्ति को दोहराएं - किसी भी बिंदु पर इसके व्युत्पन्न का मूल्य हमेशा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर होता है, अर्थात (e x)" = e x ।

यहाँ घातांक के सबसे सामान्य मामलों के व्युत्पन्न हैं:

• (ई कुल्हाड़ी)" = एक ∙ ई कुल्हाड़ी;
• (ई एफ (एक्स))" = एफ "(एक्स) ई एफ (एक्स) ।

इन निर्भरताओं का उपयोग करके, इस फ़ंक्शन के अन्य विशेष प्रकारों के लिए व्युत्पन्न खोजना आसान है।

संख्या ई . के बारे में कुछ रोचक तथ्य

नेपियर, ओट्रेड, ह्यूजेन्स, बर्नौली, लाइबनिज़, न्यूटन, यूलर और अन्य जैसे वैज्ञानिकों के नाम इस संख्या से जुड़े हैं। उत्तरार्द्ध ने वास्तव में इस संख्या के लिए पदनाम ई की शुरुआत की, और गणना के लिए उनके द्वारा खोली गई श्रृंखला का उपयोग करते हुए पहले 18 वर्ण भी पाए ई \u003d 1 + 1/1! +2/2! + 3/3! …

संख्या ई सबसे अप्रत्याशित स्थानों में होती है। उदाहरण के लिए, यह कैटेनरी समीकरण में प्रवेश करता है, जो अपने स्वयं के वजन के तहत एक रस्सी की शिथिलता का वर्णन करता है जब इसके सिरे समर्थन पर तय होते हैं।

वीडियो

वीडियो पाठ का विषय घातांकीय फलन का व्युत्पन्न है।

घातांक (e से x की घात) और घातांक फलन (a से x की घात) के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का प्रमाण और व्युत्पत्ति। e^2x, e^3x और e^nx के व्युत्पन्नों की गणना के उदाहरण। उच्च आदेशों के डेरिवेटिव के लिए सूत्र।

विषय

यह सभी देखें: घातीय फलन - गुण, सूत्र, आलेख
घातांक, e x की घात के लिए - गुण, सूत्र, आलेख

मूल सूत्र

घातांक का व्युत्पन्न स्वयं घातांक के बराबर होता है (x की घात के लिए e का व्युत्पन्न, x के घात के बराबर होता है):
(1) (ई एक्स)′ = ई एक्स.

डिग्री के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वयं फ़ंक्शन के बराबर होता है, जिसे प्राकृतिक लघुगणक से गुणा किया जाता है:
(2) .

घातांक एक घातांकीय फलन है जिसका घातांक आधार संख्या e के बराबर है, जो निम्न सीमा है:
.
यहां यह या तो प्राकृतिक या वास्तविक संख्या हो सकती है। इसके बाद, हम घातांक के अवकलज के लिए सूत्र (1) प्राप्त करते हैं।

घातांक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

x की घात के घातांक, e पर विचार करें:
वाई = ई एक्स।
यह फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित किया गया है। आइए x के संबंध में इसका अवकलज ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न निम्नलिखित सीमा है:
(3) .

आइए इस अभिव्यक्ति को ज्ञात गणितीय गुणों और नियमों में कम करने के लिए रूपांतरित करें। इसके लिए हमें निम्नलिखित तथ्यों की आवश्यकता है:
लेकिन)घातांक संपत्ति:
(4) ;
बी)लघुगणक गुण:
(5) ;
पर)निरंतर कार्य के लिए लघुगणक और सीमाओं की संपत्ति की निरंतरता:
(6) .
यहां, कुछ फ़ंक्शन हैं जिनकी एक सीमा है और यह सीमा सकारात्मक है।
जी)दूसरी अद्भुत सीमा का अर्थ:
(7) .

हम इन तथ्यों को अपनी सीमा (3) पर लागू करते हैं। हम संपत्ति का उपयोग करते हैं (4):
;
.

आइए एक प्रतिस्थापन करें। फिर ; .
प्रतिपादक की निरंतरता के कारण,
.
इसलिए, पर, . परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.

आइए एक प्रतिस्थापन करें। फिर । पर , । और हमारे पास है:
.

हम लघुगणक (5) की संपत्ति को लागू करते हैं:
. फिर
.

आइए हम संपत्ति (6) लागू करें। चूँकि एक धनात्मक सीमा है और लघुगणक सतत है, तो:
.
यहां हमने दूसरी उल्लेखनीय सीमा (7) का भी इस्तेमाल किया। फिर
.

इस प्रकार, हमने घातांक के अवकलज के लिए सूत्र (1) प्राप्त किया है।

घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब हम डिग्री a के आधार के साथ घातांकीय फलन के अवकलज के लिए सूत्र (2) प्राप्त करते हैं। हम मानते हैं कि और। फिर घातीय कार्य
(8)
सभी के लिए परिभाषित।

आइए हम सूत्र (8) को रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम घातांक फ़ंक्शन और लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हैं।
;
.
इसलिए, हमने सूत्र (8) को निम्नलिखित रूप में बदल दिया है:
.

ई के उच्च क्रम व्युत्पन्न x . की शक्ति के लिए

अब आइए उच्च ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें। आइए पहले घातांक को देखें:
(14) .
(1) .

हम देखते हैं कि फलन का अवकलज (14) स्वयं फलन (14) के बराबर होता है। विभेदित (1), हम दूसरे और तीसरे क्रम के डेरिवेटिव प्राप्त करते हैं:
;
.

इससे पता चलता है कि nth ऑर्डर व्युत्पन्न भी मूल फ़ंक्शन के बराबर है:
.

घातीय फ़ंक्शन के उच्च क्रम व्युत्पन्न

अब डिग्री के आधार के साथ एक घातीय कार्य पर विचार करें:
.
हमने इसका पहला ऑर्डर व्युत्पन्न पाया:
(15) .

विभेदित करना (15), हम दूसरे और तीसरे क्रम के डेरिवेटिव प्राप्त करते हैं:
;
.

हम देखते हैं कि प्रत्येक विभेदन मूल फलन के गुणन की ओर ले जाता है। इसलिए, nवें व्युत्पन्न का निम्नलिखित रूप है:
.

यह सभी देखें:

विषय का अध्ययन करते समय सुविधा और स्पष्टता के लिए यहां एक सारांश तालिका दी गई है।

नियतवाई = सी शक्ति फलन y = x p (एक्स पी)" = पी एक्स पी - 1	घातांक प्रकार्यवाई = एक्स (ए एक्स)" = ए एक्स एलएन ए विशेष रूप से, जबए = ईअपने पास वाई = ई एक्स (ई एक्स)" = ई एक्स
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन (लॉग ए एक्स) "= 1 एक्स एलएन ए विशेष रूप से, जबए = ईअपने पास वाई = लॉग एक्स (एलएन एक्स)" = 1 एक्स	त्रिकोणमितीय कार्य (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
उलटा त्रिकोणमितीय कार्य (ए आर सी पाप एक्स) "= 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी कॉस एक्स)" = - 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी टी जी एक्स) "= 1 1 + एक्स 2 (ए आर सी सी टी जी एक्स)" = - 1 1 + एक्स 2	अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य (एस एच एक्स) "= सी एच एक्स (सी एच एक्स)" = एस एच एक्स (टी एच एक्स) "= 1 सी एच 2 एक्स (सी टी एच एक्स)" = - 1 एस एच 2 एक्स

आइए विश्लेषण करें कि निर्दिष्ट तालिका के सूत्र कैसे प्राप्त किए गए थे, या, दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक प्रकार के फ़ंक्शन के लिए डेरिवेटिव के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति साबित करेंगे।

स्थिरांक का व्युत्पन्न

सबूत 1

इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए, हम एक बिंदु पर किसी फलन के अवकलज की परिभाषा को आधार के रूप में लेते हैं। हम x 0 = x का प्रयोग करते हैं, जहाँ एक्सकिसी वास्तविक संख्या का मान लेता है, या, दूसरे शब्दों में, एक्सफलन f (x) = C के प्रांत से कोई संख्या है। आइए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क के वेतन वृद्धि के रूप में ∆ x → 0 के रूप में लिखें:

लिम ∆ एक्स → 0 ∆ एफ (एक्स) ∆ एक्स = लिम ∆ एक्स → 0 सी - सी ∆ एक्स = लिम ∆ एक्स → 0 0 ∆ एक्स = 0

कृपया ध्यान दें कि व्यंजक 0 x सीमा चिह्न के अंतर्गत आता है। यह "शून्य से विभाजित शून्य" की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में कोई अतिसूक्ष्म मान नहीं, बल्कि शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फ़ंक्शन की वृद्धि हमेशा शून्य होती है।

तो, अचर फलन f (x) = C का अवकलज, परिभाषा के पूरे क्षेत्र में शून्य के बराबर है।

उदाहरण 1

निरंतर कार्यों को देखते हुए:

एफ 1 (एक्स) = 3, एफ 2 (एक्स) = ए, ए ∈ आर, एफ 3 (एक्स) = 4। 13 7 22, f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

फेसला

आइए दी गई शर्तों का वर्णन करें। पहले फलन में हम प्राकृत संख्या 3 का अवकलज देखते हैं। निम्नलिखित उदाहरण में, आपको का व्युत्पन्न लेना होगा ए, कहाँ पे ए- कोई वास्तविक संख्या। तीसरा उदाहरण हमें अपरिमेय संख्या 4 का अवकलज देता है। 13 7 22 , चौथा - शून्य का अवकलज (शून्य एक पूर्णांक है)। अंत में, पांचवें मामले में, हमारे पास परिमेय भिन्न का व्युत्पन्न है - 8 7 ।

जवाब:दिए गए फलनों के अवकलज किसी भी वास्तविक के लिए शून्य होते हैं एक्स(परिभाषा के पूरे क्षेत्र में)

एफ 1 "(एक्स) = (3)" = 0, एफ 2 "(एक्स) = (ए)" = 0, ए आर, एफ 3 "(एक्स) = 4। 13 7 22" = 0, एफ 4 "(एक्स) = 0" = 0, एफ 5 "(एक्स) = - 8 7" = 0

पावर फ़ंक्शन व्युत्पन्न

हम पावर फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न के सूत्र की ओर मुड़ते हैं, जिसका रूप है: (x p) "= p x p - 1, जहां घातांक पीकोई वास्तविक संख्या है।

सबूत 2

यहाँ सूत्र का प्रमाण है जब घातांक एक प्राकृतिक संख्या है: पी = 1 , 2 , 3 ,…

फिर से, हम एक व्युत्पन्न की परिभाषा पर भरोसा करते हैं। आइए तर्क की वृद्धि के लिए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

(एक्स पी) "= लिम ∆ एक्स → 0 = ∆ (एक्स पी) ∆ एक्स = लिम ∆ एक्स → 0 (एक्स + ∆ एक्स) पी - एक्स पी ∆ एक्स

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करते हैं:

(एक्स + ∆ एक्स) पी - एक्स पी = सी पी 0 + एक्स पी + सी पी 1 एक्स पी -1 ∆ एक्स + सी पी 2 एक्स पी - 2 (∆ एक्स) 2 +। . . + + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी - एक्स पी = = सी पी 1 एक्स पी - 1 ∆ एक्स + सी पी 2 एक्स पी - 2 (∆ एक्स) 2 + । . . + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी

इस प्रकार:

(एक्स पी) "= लिम ∆ एक्स → 0 ∆ (एक्स पी) ∆ एक्स = लिम ∆ एक्स → 0 (एक्स + ∆ एक्स) पी - एक्स पी ∆ एक्स = = लिम ∆ एक्स → 0 (सी पी 1 एक्स पी - 1 ∆ एक्स + सी पी 2 एक्स पी - 2 (∆ एक्स) 2 + ... + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी) ∆ एक्स = = लिम ∆ एक्स → 0 (सी पी 1 एक्स पी - 1 + सी पी 2 एक्स पी - 2 एक्स + ... + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 2 + सी पी पी (∆ एक्स) पी - 1) = सी पी 1 एक्स पी - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = पी! 1! (पी -1)! एक्स पी - 1 = पी एक्स पी - 1

इसलिए, जब घातांक एक प्राकृत संख्या है, तब हमने घात फलन के अवकलज के सूत्र को सिद्ध किया है।

सबूत 3

मामले का सबूत देने के लिए जब पी-शून्य के अलावा कोई भी वास्तविक संख्या, हम लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं (यहां हमें लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से अंतर को समझना चाहिए)। अधिक पूर्ण समझ रखने के लिए, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अध्ययन करना वांछनीय है और इसके अतिरिक्त एक निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निपटना है।

दो मामलों पर विचार करें: जब एक्ससकारात्मक और कब एक्सनकारात्मक हैं।

तो एक्स> 0। तब: x p > 0 । हम समानता के लघुगणक y \u003d x p को आधार e पर लेते हैं और लघुगणक की संपत्ति को लागू करते हैं:

वाई = एक्स पी एलएन वाई = एलएन एक्स पी एलएन वाई = पी एलएन एक्स

इस स्तर पर, एक अंतर्निहित परिभाषित कार्य प्राप्त किया गया है। आइए इसके व्युत्पन्न को परिभाषित करें:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x y " = p y x = p x p x = p x p - 1

अब हम उस मामले पर विचार करते हैं जब एक्स-एक ऋणात्मक संख्या।

यदि संकेतक पीएक सम संख्या है, तो x . के लिए घात फलन भी परिभाषित किया जाता है< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

फिर xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

यदि एक पीएक विषम संख्या है, तो x . के लिए पावर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) पी - 1 = पी एक्स पी - 1

अंतिम संक्रमण संभव है क्योंकि यदि पीएक विषम संख्या है, तो पी - 1या तो एक सम संख्या या शून्य (p = 1 के लिए), इसलिए ऋणात्मक के लिए एक्ससमानता (- x) p-1 = x p-1 सत्य है।

इसलिए, हमने किसी वास्तविक p के लिए घात फलन के अवकलज के सूत्र को सिद्ध कर दिया है।

उदाहरण 2

दिए गए कार्य:

एफ 1 (एक्स) = 1 एक्स 2 3, एफ 2 (एक्स) = एक्स 2 - 1 4, एफ 3 (एक्स) = 1 एक्स लॉग 7 12

उनके डेरिवेटिव का निर्धारण करें।

फेसला

हम डिग्री के गुणों के आधार पर दिए गए कार्यों के हिस्से को एक सारणीबद्ध रूप y = x p में बदलते हैं, और फिर सूत्र का उपयोग करते हैं:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x लॉग 7 12 = x - लॉग 7 12 f 3 " (x) = - लघुगणक 7 12 x - लघुगणक 7 12 - 1 = - लघुगणक 7 12 x - लघुगणक 7 12 - लघुगणक 7 7 = - लघुगणक 7 12 x - लघुगणक 7 84

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

सबूत 4

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

(ए एक्स) "= लिम ∆ एक्स → 0 ए एक्स + ∆ एक्स - ए एक्स ∆ एक्स = लिम ∆ एक्स → 0 ए एक्स (ए ∆ एक्स -1) ∆ एक्स = ए एक्स लिम ∆ एक्स → 0 ए ∆ एक्स - 1 ∆ एक्स = 0 0

हमें अनिश्चितता मिली। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया चर z = a x - 1 (z → 0 के रूप में x → 0) लिखते हैं। इस स्थिति में a x = z + 1 ⇒ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a । अंतिम संक्रमण के लिए, लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

आइए मूल सीमा में प्रतिस्थापन करें:

(ए एक्स) "= ए एक्स लिम ∆ एक्स → 0 ए एक्स - 1 ∆ एक्स = एक एक्स एलएन ए लिम ∆ एक्स → 0 1 1 जेड एलएन (जेड + 1) = = एक एक्स एलएन ए लिम ∆ एक्स → 0 1 एलएन (जेड + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

दूसरी अद्भुत सीमा को याद करें और फिर हमें घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र मिलता है:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

उदाहरण 3

घातीय कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = 2 3 एक्स, एफ 2 (एक्स) = 5 3 एक्स, एफ 3 (एक्स) = 1 (ई) एक्स

हमें उनके डेरिवेटिव खोजने की जरूरत है।

फेसला

हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और लघुगणक के गुणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

सबूत 5

हम किसी के लिए लघुगणकीय फलन के अवकलज के सूत्र का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं एक्सपरिभाषा के क्षेत्र में और लघुगणक के आधार a के किसी भी मान्य मान में। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

(लॉग ए एक्स) "= लिम ∆ एक्स → 0 लॉग ए (एक्स + ∆ एक्स) - लॉग ए एक्स एक्स = लिम ∆ एक्स → 0 लॉग ए एक्स + ∆ एक्स एक्स ∆ एक्स = = लिम ∆ एक्स → 0 1 ∆ एक्स लॉग ए 1 + x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + x x x x = = 1 x एक सीमा लॉग करें x → 0 1 + ∆ x x x x = 1 x लॉग a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

यह समानता की निर्दिष्ट श्रृंखला से देखा जा सकता है कि परिवर्तन लॉगरिदम संपत्ति के आधार पर बनाए गए थे। समता सीमा ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e दूसरी उल्लेखनीय सीमा के अनुसार सत्य है।

उदाहरण 4

लघुगणकीय कार्य दिए गए हैं:

f 1 (x) = लघुगणक लघुगणक 3 x , f 2 (x) = लघुगणक x

उनके डेरिवेटिव की गणना करना आवश्यक है।

फेसला

आइए व्युत्पन्न सूत्र लागू करें:

एफ 1 "(एक्स) = (लॉग एलएन 3 एक्स)" = 1 एक्स एलएन (एलएन 3); f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

तो प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न एक से विभाजित होता है एक्स.

त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न

सबूत 6

हम कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करते हैं।

साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

(पाप एक्स) "= लिम ∆ एक्स → 0 पाप (एक्स + ∆ एक्स) - पाप एक्स एक्स

ज्या अंतर का सूत्र हमें निम्नलिखित क्रियाओं को करने की अनुमति देगा:

(पाप x) "= लिम ∆ x → 0 पाप (x + x) - पाप x x = = lim x → 0 2 पाप x + ∆ x - x 2 cos x + x + x 2 x = = लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2

अंत में, हम पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करते हैं:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप xमर्जी क्योंकि x.

हम कोज्या अवकलज के सूत्र को भी इसी प्रकार सिद्ध करेंगे:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + x) - cos x x = = lim x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + x + x 2 ∆ x = = - लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 पाप x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - पाप x + 0 2 लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2 = - पाप x

वे। फलन cos x का अवकलज होगा - पाप x.

हम विभेदन के नियमों के आधार पर स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के व्युत्पन्न के सूत्र प्राप्त करते हैं:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न

व्युत्क्रम कार्यों के व्युत्पन्न पर अनुभाग आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटिक और आर्ककोटैंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्रों के प्रमाण पर व्यापक जानकारी देता है, इसलिए हम यहां सामग्री की नकल नहीं करेंगे।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न

सबूत 7

हम हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो विभेदन नियम और घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस एच "एक्स = ई एक्स - ई - एक्स 2" = 1 2 ई एक्स "- ई - एक्स" == 1 2 ई एक्स - - ई - एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2 = सी एच एक्स सी एच "एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2" = 1 2 ई एक्स "+ ई - एक्स" == 1 2 ई एक्स + - ई - एक्स = ई एक्स - ई - एक्स 2 = एस एच एक्स टी एच "एक्स = एस एच एक्स सी एच एक्स" = एस एच "एक्स सी एच एक्स - एस एच एक्स सी एच "एक्स सी एच 2 एक्स = सी एच 2 एक्स - एस एच 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

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बुनियादी अवधारणाओं

$x$ की घात के घातांक के अवकलज पर विचार करने से पहले, हम परिभाषाओं को याद करते हैं

1. कार्य;
2. अनुक्रम सीमा;
3. व्युत्पन्न;
4. प्रदर्शक।

$x$ की घात के घातांक के अवकलज की स्पष्ट समझ के लिए यह आवश्यक है।

परिभाषा 1

एक फ़ंक्शन दो चर के बीच का संबंध है।

आइए $y=f(x)$ लें, जहां $x$ और $y$ चर हैं। यहां $x$ को एक तर्क कहा जाता है और $y$ को एक फ़ंक्शन कहा जाता है। तर्क मनमाना मूल्य ले सकता है। बदले में, चर $y$ तर्क के आधार पर एक निश्चित कानून के अनुसार बदलता है। अर्थात्, तर्क $x$ स्वतंत्र चर है और फलन $y$ आश्रित चर है। $x$ का कोई भी मान $y$ के एकल मान से मेल खाता है।

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या $n=1, 2, 3, ...$ को किसी नियम के आधार पर $x_n$ दिया जाता है, तो हम कहते हैं कि संख्याओं का एक क्रम $x_1,x_2,...,x_n$ है परिभाषित। अन्यथा, ऐसा क्रम $\(x_n\)$ के रूप में लिखा जाता है। सभी संख्याएँ $x_n$ अनुक्रम के सदस्य या तत्व कहलाती हैं।

परिभाषा 2

अनुक्रम की सीमा वास्तविक रेखा पर अंत बिंदु या अनंत पर बिंदु है। सीमा इस प्रकार लिखी गई है: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$। इस प्रविष्टि का अर्थ है कि चर $x_n$ $a$ $x_n\ से a$ तक जाता है।

$x_0$ बिंदु पर फ़ंक्शन $f$ के व्युत्पन्न को निम्नलिखित सीमा कहा जाता है:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$। इसे $f"(x_0)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

संख्या $e$ निम्न सीमा के बराबर है:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\लगभग 2.718281828459045...$

दी गई सीमा में, $n$ एक प्राकृत या वास्तविक संख्या है।

सीमा, व्युत्पन्न और घातांक की अवधारणाओं को जानने के बाद, हम सूत्र $(e^x)"=e^x$ के प्रमाण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

$x$ . की शक्ति के लिए घातांक के व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति

हमारे पास $e^x$ है, जहां $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$।

घातांक $e^(a+bx)=e^a*e^b$ की संपत्ति से हम सीमा के अंश को बदल सकते हैं:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$।

वह है, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ से 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$।

निरूपित $t=e^(\Delta x)-1$। हमें $e^(\Delta x)=t+1$ मिलता है, और लघुगणक की संपत्ति से यह पता चलता है कि $\Delta x = ln(t+1)$।

चूंकि घातांक निरंतर है, हमारे पास $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ है इसलिए, यदि $\Delta x\to 0$, तो $ टी \ से $0.

परिणामस्वरूप, हम परिवर्तन दिखाते हैं:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (टी)(एलएन(टी+1))$।

निरूपित करें $n=\frac (1)(t)$, फिर $t=\frac(1)(n)$। यह पता चला है कि अगर $t\to\infty$, तो $n\to\infty$।

आइए अपनी सीमा को बदलें:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$।

लघुगणक की संपत्ति से $b\cdot ln c=ln c^b$ हमारे पास है

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

सीमा निम्नानुसार परिवर्तित की जाती है:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$।

लघुगणक की निरंतरता संपत्ति और एक सतत कार्य के लिए सीमाओं की संपत्ति के अनुसार: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, जहां $f(x)$ की सकारात्मक सीमा $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ है। तो, इस तथ्य के कारण कि लघुगणक निरंतर है और एक सकारात्मक सीमा है $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$, हम यह घटा सकते हैं:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( एन)) ^ एन = एलएन ई = 1 $।

आइए दूसरी अद्भुत सीमा $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$ के मूल्य का उपयोग करें। हम पाते हैं:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

इस प्रकार, हमने घातांक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त किया है और यह दावा कर सकते हैं कि $x$ की शक्ति के लिए घातांक का व्युत्पन्न $x$ की शक्ति के घातांक के बराबर है:

अन्य सूत्रों और नियमों का उपयोग करके इस सूत्र को प्राप्त करने के अन्य तरीके भी हैं।

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

स्थिति: फ़ंक्शन $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला: सूत्र $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ को $2^x, 3^x$ और $10^x$ के लिए लागू करें। व्युत्पन्न सूत्र $(e^x)"= के अनुसार e^x$ चौथा पद $e^x$ नहीं बदलता है।

जवाब: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$।

इस प्रकार, हमने सूत्र $(e^x)"=e^x$ व्युत्पन्न किया है, बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा देते हुए, हमने एक घातांक के साथ एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को शब्दों में से एक के रूप में खोजने के एक उदाहरण का विश्लेषण किया है।

तालिका के पहले सूत्र को प्राप्त करते समय, हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे। चलो कहाँ ले एक्स- कोई भी वास्तविक संख्या, अर्थात्, एक्स- फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र से कोई भी संख्या। आइए हम फ़ंक्शन वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क वृद्धि पर लिखें:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमा के संकेत के तहत, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो शून्य से विभाजित शून्य की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक असीम मान नहीं होता है, लेकिन ठीक शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फ़ंक्शन की वृद्धि हमेशा शून्य होती है।

इस प्रकार, एक स्थिर कार्य का व्युत्पन्नपरिभाषा के पूरे क्षेत्र पर शून्य के बराबर है.

एक शक्ति समारोह का व्युत्पन्न।

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का रूप है , जहां घातांक पीकोई वास्तविक संख्या है।

आइए पहले प्राकृतिक घातांक के सूत्र को सिद्ध करें, अर्थात् पी = 1, 2, 3, ...

हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करेंगे। आइए हम तर्क की वृद्धि के लिए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र की ओर मुड़ते हैं:

इसलिये,

यह एक प्राकृतिक घातांक के लिए एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को साबित करता है।

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त करते हैं:

अनिश्चितता में आ गया। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया चर पेश करते हैं, और के लिए। फिर । पिछले संक्रमण में, हमने लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया था।

आइए मूल सीमा में प्रतिस्थापन करें:

यदि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद करते हैं, तो हम घातीय फलन के व्युत्पन्न के सूत्र पर आते हैं:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

आइए हम सभी के लिए लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध करें एक्सदायरे से और सभी मान्य आधार मान एलघुगणक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

जैसा कि आपने देखा, सबूत में, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके परिवर्तन किए गए थे। समानता दूसरी उल्लेखनीय सीमा के कारण मान्य है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव।

त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों के सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए, हमें कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों को याद करना होगा, साथ ही पहली उल्लेखनीय सीमा भी।

साइन फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है .

हम ज्या अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पहली उल्लेखनीय सीमा की ओर मुड़ना बाकी है:

तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप xवहाँ है क्योंकि x.

कोसाइन व्युत्पन्न का सूत्र ठीक उसी तरह सिद्ध होता है।

इसलिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्योंकि xवहाँ है -पाप x.

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए डेरिवेटिव की तालिका के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति भेदभाव के सिद्ध नियमों (एक अंश के व्युत्पन्न) का उपयोग करके की जाएगी।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न।

विभेदीकरण के नियम और डेरिवेटिव की तालिका से घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र हमें हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

प्रतिलोम फलन का व्युत्पन्न।

ताकि प्रस्तुति में कोई भ्रम न हो, आइए निचले सूचकांक में फ़ंक्शन के तर्क को निरूपित करें जिसके द्वारा विभेदन किया जाता है, अर्थात यह फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ (एक्स)पर एक्स.

अब हम बनाते हैं प्रतिलोम फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम।

कार्यों को करने दें वाई = एफ (एक्स)और एक्स = जी (वाई)पारस्परिक रूप से उलटा, अंतराल पर और क्रमशः परिभाषित। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का एक परिमित गैर-शून्य व्युत्पन्न मौजूद है एफ (एक्स), तो बिंदु पर प्रतिलोम फलन का एक परिमित अवकलज होता है जी (वाई), और . एक अन्य प्रविष्टि में .

इस नियम को किसी के लिए भी सुधारा जा सकता है एक्सअंतराल से, तो हम प्राप्त करते हैं .

आइए इन सूत्रों की वैधता की जाँच करें।

आइए प्राकृतिक लघुगणक के लिए व्युत्क्रम कार्य खोजें (यहाँ आपएक समारोह है, और एक्स- बहस)। के लिए इस समीकरण को हल करना एक्स, हमें मिलता है (यहाँ एक्सएक समारोह है, और आपउसका तर्क)। अर्थात, और परस्पर उलटा कार्य।

डेरिवेटिव की तालिका से, हम देखते हैं कि और .

आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजने के सूत्र हमें समान परिणामों की ओर ले जाते हैं: