\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

विषय

एक अंतराल पर एक समारोह की एकरसतायदि अंतराल पर \((a;b)\) बिंदुओं की किसी भी जोड़ी के लिए \((x_1) इस अंतराल पर बढ़ता है।

यदि अंतराल पर \((a;b)\) बिंदुओं के किसी भी युग्म के लिए \((x_1)(f(x_2))\), तो फलन \(f(x)\) कम हो जाती हैइस अंतराल पर।

वह फलन जिसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है, अंतराल \((a;b)\) पर बढ़ता है और अंतराल \((b;c)\) पर घटता है।

अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए पर्याप्त मानदंड कार्य बढ़ाने के लिए पर्याप्त मानदंड
यदि \(f"(x)>0\) सभी बिंदुओं पर \(x\in(a;b)\), तो अंतराल पर फलन \(f(x)\) बढ़ता है \((a;b) \) ।

किसी फ़ंक्शन के घटने के लिए पर्याप्त मानदंड
अगर \(f"(x)

स्थानीय चरम सीमाओं के बिंदुयदि कुछ अंतराल में \((a;b)\) जिसमें सभी \(x\in(a;b)\) के लिए बिंदु \(x_0\) है, असमानता \(f(x)\geqslant f(x_0)\ ), और इस अंतराल में एक बिंदु \(x_1\) ऐसा है कि \(f(x_1)>f(x_0)\), फिर \(x_0\) - स्थानीय न्यूनतम बिंदुफ़ंक्शन \(f(x)\)।

यदि कुछ अंतराल में \((a;b)\) जिसमें सभी के लिए \(x_0\) बिंदु है \(x\in(a;b)\) असमानता \(f(x)\leqslant f(x_0)\ ), और इस अंतराल में एक बिंदु \(x_1\) ऐसा है कि \(f(x_1) फ़ंक्शन के स्थानीय अधिकतम का बिंदु है \(f(x)\)।

स्थानीय मिनीमा और मैक्सिमा के बिंदु कहलाते हैं स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदु.

नीचे दिया गया आंकड़ा फ़ंक्शन का ग्राफ दिखाता है \(f(x)\) और इसके स्थानीय एक्स्ट्रेमा के बिंदु चिह्नित हैं: \(x_1,\; x_2,\; x_3,\; x_4\)।

\(x_1\) और \(x_3\) स्थानीय मिनीमा के बिंदु हैं, \(x_2\) और \(x_4\) स्थानीय मैक्सिमा के बिंदु हैं।
बिंदुओं पर \(x_1,\; x_3\) और \(x_4\) व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य के बराबर है - इन बिंदुओं पर ग्राफ के स्पर्शरेखा (लाल रेखाओं के रूप में दिखाए गए) x-अक्ष के समानांतर हैं।
बिंदु \(x_2\) पर अवकलज परिभाषित नहीं है। इस बिंदु पर, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती।

उच्च और निम्न के लक्षणयदि बिंदु \(x_0\) पर फलन \(f\) निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न \(f'\) इस बिंदु पर अपना चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है (अर्थात, ऐसा अंतराल है \(( a;x_0)\ ) ऐसा है कि \(f'>0\) पर \((a;x_0)\) और एक अंतराल \((x_0;b)\) ऐसा है कि \(f'
यदि बिंदु \(x_0\) पर फलन \(f\) निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न \(f'\) इस बिंदु पर अपना चिह्न माइनस से प्लस में बदल देता है (अर्थात ऐसा अंतराल है \(( a;x_0)\ ) कि \(f' 0\) पर \((x_0;b)\)), तो \(x_0\) फंक्शन \(f\) का न्यूनतम बिंदु है।

किसी फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु इस फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन के बिंदु हैं (अर्थात, मान \(x\))। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान (इन \(x\) के अनुरूप मान \(y\)) कहलाते हैं चढ़ावतथा उतारक्रमशः कार्य करता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए \(y=x^2+1\): \(\;x=0\) न्यूनतम बिंदु है, और \(y(0)=1\) न्यूनतम है।

न्यूनतम और अधिकतम अंक ढूँढनाएक सतत फलन \(f(x)\) के न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं को खोजने के लिए आपको चाहिए:

2) अवकलज के शून्य ज्ञात करें (समीकरण \(f"(x)=0\) हल करें और वे बिंदु जहां अवकलज परिभाषित नहीं है;

3) प्रत्येक परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों का पता लगाएं;

4) वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन \(f\) निरंतर है, और इसके व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करते हैं - इस फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु,

वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन \(f\) निरंतर है, और इसके व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं - इस फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मानएक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है।

एक खंड पर एक सतत फ़ंक्शन \(f(x)\) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1) इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न \ (f "(x) \) का पता लगाएं;

2) खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, अर्थात्, व्युत्पन्न के शून्य (समीकरण \ (f "(x) = 0 \) को हल करें) और ऐसे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न परिभाषित नहीं है;

3) महत्वपूर्ण बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें;

4) प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़ा इस खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य होगा,

प्राप्त मूल्यों में से सबसे छोटा इस खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान होगा।

अंतराल \(\) पर फ़ंक्शन \(f(x)\) का अधिकतम मान \(\max\limits_()f(x)\) द्वारा दर्शाया जाता है

अंतराल \(\) पर फ़ंक्शन \(f(x)\) का सबसे छोटा मान \(\min\limits_()f(x)\) द्वारा दर्शाया जाता है

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य खोजें y=(7x^2-56x+56)e^x खंड पर [-3; 2].

समाधान दिखाएं

समाधान

उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र द्वारा मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें वाई"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x।आइए व्युत्पन्न के शून्यों की गणना करें: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

आइए हम अवकलज के चिह्नों को रखें और दिए गए अंतराल पर मूल फलन की एकरसता के अंतरालों का निर्धारण करें।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-3; 0] मूल कार्य अंतराल पर बढ़ रहा है, और घट रहा है। इस प्रकार, अंतराल पर सबसे बड़ा मान [-3; 2] x=0 पर प्राप्त होता है और के बराबर होता है वाई(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

उत्तर

स्थि‍ति

फलन का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए y=12x-12tg x-18 खंड पर \बाएं।

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समाधान

वाई"= (12x)"-12(टीजीएक्स)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0.इसका अर्थ यह है कि मूल फलन विचाराधीन अंतराल पर गैर-बढ़ रहा है और खंड के बाएं छोर पर सबसे बड़ा मान लेता है, जो कि x = 0 पर है। उच्चतम मूल्य है वाई(0)= 12\cdot 0-12tg(0)-18= -18.

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

स्थि‍ति

फलन का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए y=(x+8)^2e^(x+52)।

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समाधान

हम व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु पाएंगे। आइए उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का उपयोग करके दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें, x^\alpha और e^x का व्युत्पन्न:

वाई"(एक्स)= \बाएं((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

आइए हम व्युत्पन्न के संकेतों को व्यवस्थित करें और मूल कार्य की एकरसता के अंतराल को निर्धारित करें। e^(x+52)>0 किसी भी x के लिए। y"=0 जब एक्स = -8, एक्स = -10।

चित्र से पता चलता है कि फलन y=(x+8)^2e^(x+52) का एक न्यूनतम बिंदु x=-8 है।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

स्थि‍ति

फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु खोजें y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

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समाधान

ODZ: x \geqslant 0. मूल फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

आइए व्युत्पन्न के शून्य की गणना करें:

8-\sqrtx = 0;

\sqrtx=8;

एक्स = 64।

आइए हम व्युत्पन्न के संकेतों को व्यवस्थित करें और मूल कार्य की एकरसता के अंतराल को निर्धारित करें।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि बिंदु x=64 दिए गए फलन का एकमात्र अधिकतम बिंदु है।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

स्थि‍ति

फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए y=5x^2-12x+2\ln x+37 खंड पर \बाएं[\frac35; \frac75\दाएं]।

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समाधान

ओडीजेड: एक्स> 0।

मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

वाई"(एक्स)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x)।

आइए व्युत्पन्न के शून्य को परिभाषित करें: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\नोटिन\बाएं[\frac35; \frac75\दाएं],

x_2=1\में\बाएं[\frac35; \frac75\दाएं]।

हम व्युत्पन्न के संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और विचाराधीन अंतराल पर मूल फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल का निर्धारण करते हैं।

यह चित्र से देखा जा सकता है कि खंड पर \बाएं[\frac35; 1\दाएं]मूल कार्य घट रहा है, और अंतराल पर \बाएंबढ़ती है। इस प्रकार, खंड पर सबसे छोटा मान \बाएं[\frac35; \frac75\दाएं] x=1 पर पहुंच गया है और बराबर है वाई(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

स्थि‍ति

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य खोजें y=(x+4)^2(x+1)+19 खंड पर [-5; -3]।

समाधान दिखाएं

समाधान

उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

किसी फ़ंक्शन का बढ़ना, घटाना और चरम सीमा

किसी फलन के बढ़ने, घटने और चरम सीमा का पता लगाना एक स्वतंत्र कार्य और अन्य कार्यों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, विशेष रूप से, पूर्ण कार्य अध्ययन. फलन के बढ़ने, घटने और चरम सीमा के बारे में प्रारंभिक जानकारी में दी गई है व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक अध्याय, जिसकी मैं प्रारंभिक अध्ययन के लिए अत्यधिक अनुशंसा करता हूं (या दोहराव)- इस कारण से भी कि निम्नलिखित सामग्री बहुत पर आधारित है व्युत्पन्न का सारइस लेख की एक सामंजस्यपूर्ण निरंतरता होने के नाते। हालांकि, यदि समय समाप्त हो रहा है, तो आज के पाठ के उदाहरणों से पूरी तरह औपचारिक कार्य करना भी संभव है।

और आज हवा में दुर्लभ एकमत की भावना है, और मैं सीधे महसूस कर सकता हूं कि सभी उपस्थित लोग इच्छा से जल रहे हैं व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का पता लगाना सीखें. इसलिए, आपके मॉनिटर की स्क्रीन पर उचित अच्छी शाश्वत शब्दावली तुरंत दिखाई देती है।

किस लिए? सबसे व्यावहारिक कारणों में से एक है: यह स्पष्ट करने के लिए कि किसी विशेष कार्य में आम तौर पर आपके लिए क्या आवश्यक है!

समारोह एकरसता। चरम बिंदु और कार्य एक्स्ट्रेमा

आइए कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें। सरलता से, हम मानते हैं कि निरंतरपूरी संख्या रेखा पर:

बस मामले में, हम तुरंत संभावित भ्रम से छुटकारा पा लेंगे, खासकर उन पाठकों के लिए जो हाल ही में परिचित हुए हैं समारोह के संकेत स्थिरता के अंतराल. अब हम रुचि नहीं, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित होता है (ऊपर, नीचे, जहां यह अक्ष को पार करता है)। अनुनय के लिए, मानसिक रूप से कुल्हाड़ियों को मिटा दें और एक ग्राफ छोड़ दें। क्योंकि इसमें रुचि है।

समारोह बढ़ती हैएक अंतराल पर यदि संबंध से संबंधित इस अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, असमानता सत्य है। अर्थात्, तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ़ "नीचे से ऊपर तक" जाता है। डेमो फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है।

इसी तरह, समारोह कम हो जाती हैएक अंतराल पर यदि दिए गए अंतराल के किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, जैसे कि असमानता सत्य है। यही है, तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है, और इसका ग्राफ "ऊपर से नीचे तक" जाता है। अंतराल पर हमारा कार्य घट रहा है .

यदि कोई फलन एक अन्तराल पर बढ़ता या घटता है, तो उसे कहते हैं सख्ती से नीरसइस अंतराल पर। एकरसता क्या है? इसे शाब्दिक रूप से लें - एकरसता।

परिभाषित करना भी संभव है गैर घटतेसमारोह (पहली परिभाषा में आराम की स्थिति) और गैर बढ़तीसमारोह (दूसरी परिभाषा में नरम स्थिति)। एक अंतराल पर एक गैर-घटते या गैर-बढ़ते फ़ंक्शन को दिए गए अंतराल पर एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन कहा जाता है (सख्त एकरसता "बस" एकरसता का एक विशेष मामला है).

सिद्धांत एक फ़ंक्शन की वृद्धि / कमी को निर्धारित करने के लिए अन्य तरीकों पर भी विचार करता है, जिसमें आधे-अंतराल, खंड शामिल हैं, लेकिन आपके सिर पर तेल-तेल-तेल नहीं डालने के लिए, हम स्पष्ट परिभाषाओं के साथ खुले अंतराल के साथ काम करने के लिए सहमत हैं - यह स्पष्ट है, और कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए काफी है।

इस तरह, मेरे लेखों में, "फ़ंक्शन की एकरसता" शब्द लगभग हमेशा छिपा रहेगा अंतरालसख्त एकरसता(सख्त वृद्धि या समारोह की सख्त कमी)।

प्वाइंट पड़ोस। ऐसे शब्द जिसके बाद छात्र जहाँ भी जा सकते हैं बिखर जाते हैं, और डरावने कोनों में छिप जाते हैं। …हालांकि पोस्ट के बाद कॉची सीमाएंवे शायद अब और नहीं छिपते, लेकिन केवल थोड़ा कांपते हैं =) चिंता न करें, अब गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों का कोई प्रमाण नहीं होगा - मुझे परिभाषाओं को और अधिक सख्ती से तैयार करने के लिए पड़ोस की आवश्यकता थी चरम बिंदु. हम याद रखते हैं:

पड़ोस बिंदुउस अंतराल को नाम दें जिसमें दिए गए बिंदु हैं, जबकि सुविधा के लिए अंतराल को अक्सर सममित माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक बिंदु और उसका मानक पड़ोस:

मूल रूप से परिभाषाएँ:

बिंदु कहा जाता है सख्त अधिकतम बिंदु, यदि मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिनके मूल्य, बिंदु को छोड़कर, असमानता को पूरा करते हैं। हमारे विशेष उदाहरण में, यह एक बिंदु है।

बिंदु कहा जाता है सख्त न्यूनतम बिंदु, यदि मौजूदउसका पड़ोस, सभी के लिएजिनके मूल्य, बिंदु को छोड़कर, असमानता को पूरा करते हैं। ड्राइंग में - बिंदु "ए"।

टिप्पणी : पड़ोस के सममित होने की आवश्यकता बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, यह महत्वपूर्ण है अस्तित्व का वास्तविक तथ्यपड़ोस (यद्यपि छोटा, यहां तक ​​कि सूक्ष्म भी) जो निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करता है

डॉट्स कहलाते हैं सख्त चरम बिंदुया केवल चरम बिंदुकार्य। यानी यह अधिकतम अंक और न्यूनतम अंक के लिए एक सामान्यीकृत शब्द है।

"चरम" शब्द को कैसे समझें? हां, सीधे तौर पर एकरसता की तरह। रोलर कोस्टर के चरम बिंदु।

जैसा कि एकरसता के मामले में, सिद्धांत में और भी अधिक सामान्य गैर-सख्त अभिधारणाएं हैं (जिसके तहत, निश्चित रूप से, माना जाता है कि सख्त मामले आते हैं!):

बिंदु कहा जाता है अधिकतम बिंदु, यदि मौजूदइसके आसपास, जैसे कि सभी के लिए
बिंदु कहा जाता है न्यूनतम बिंदु, यदि मौजूदइसके आसपास, जैसे कि सभी के लिएइस पड़ोस के मूल्यों, असमानता रखती है।

ध्यान दें कि अंतिम दो परिभाषाओं के अनुसार, एक स्थिर कार्य के किसी भी बिंदु (या किसी फ़ंक्शन का "समतल क्षेत्र") को अधिकतम बिंदु और न्यूनतम बिंदु दोनों माना जाता है! फ़ंक्शन, वैसे, गैर-बढ़ती और गैर-घटती, यानी मोनोटोनिक दोनों है। हालाँकि, हम इन तर्कों को सिद्धांतकारों पर छोड़ देते हैं, क्योंकि व्यवहार में हम लगभग हमेशा पारंपरिक "पहाड़ियों" और "खोखले" (चित्र देखें) को एक अद्वितीय "पहाड़ी के राजा" या "मार्श राजकुमारी" के साथ मानते हैं। एक किस्म के रूप में, यह होता है बिंदु, ऊपर या नीचे निर्देशित, उदाहरण के लिए, बिंदु पर न्यूनतम फ़ंक्शन।

ओह, और रॉयल्टी की बात:
- अर्थ कहा जाता है ज्यादा से ज्यादाकार्य;
- अर्थ कहा जाता है न्यूनतमकार्य।

साधारण नाम - चरम सीमाओंकार्य।

कृपया अपने शब्दों से सावधान रहें!

चरम बिंदु"एक्स" मान हैं।
चरम- "खेल" मान।

! टिप्पणी : कभी-कभी सूचीबद्ध शब्द "x-y" बिंदुओं को संदर्भित करते हैं जो सीधे फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित होते हैं।

एक फंक्शन में कितने एक्स्ट्रेमा हो सकते हैं?

कोई नहीं, 1, 2, 3, आदि। अनंत की ओर। उदाहरण के लिए, साइन में न्यूनतम और अधिकतम की अनंत संख्या होती है।

महत्वपूर्ण!शब्द "अधिकतम कार्य" समान नहींशब्द "किसी फ़ंक्शन का अधिकतम मान"। यह देखना आसान है कि मूल्य केवल स्थानीय पड़ोस में अधिकतम है, और ऊपरी बाईं ओर "अधिक अचानक कामरेड" हैं। इसी तरह, "न्यूनतम फ़ंक्शन" "न्यूनतम फ़ंक्शन मान" के समान नहीं है, और ड्राइंग में हम देख सकते हैं कि मान केवल एक निश्चित क्षेत्र में न्यूनतम है। इस संबंध में, चरम बिंदुओं को भी कहा जाता है स्थानीय चरम बिंदु, और चरम स्थानीय चरम सीमा. वे चलते हैं और घूमते हैं और वैश्विकभाइयों। तो, किसी भी परवलय के शीर्ष पर होता है वैश्विक न्यूनतमया वैश्विक अधिकतम. इसके अलावा, मैं चरम के प्रकारों के बीच अंतर नहीं करूंगा, और स्पष्टीकरण सामान्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए अधिक आवाज उठाई गई है - अतिरिक्त विशेषण "स्थानीय" / "वैश्विक" को आश्चर्य से नहीं लिया जाना चाहिए।

आइए एक नियंत्रण शॉट के साथ सिद्धांत में हमारे संक्षिप्त विषयांतर को संक्षेप में प्रस्तुत करें: कार्य "एक फ़ंक्शन के एकरसता और चरम बिंदुओं के अंतराल को ढूंढता है" का क्या अर्थ है?

सूत्रीकरण खोजने के लिए प्रेरित करता है:

- फ़ंक्शन की वृद्धि / कमी के अंतराल (गैर-घटते, गैर-बढ़ते बहुत कम दिखाई देते हैं);

- अधिकतम अंक और/या न्यूनतम अंक (यदि कोई हो)। खैर, विफलता से खुद को मिनीमा / मैक्सिमा ढूंढना बेहतर है ;-)

यह सब कैसे परिभाषित करें?एक व्युत्पन्न समारोह की मदद से!

वृद्धि, कमी के अंतराल कैसे खोजें,
चरम बिंदु और समारोह के चरम?

कई नियम, वास्तव में, पहले से ही जाने और समझे जाते हैं व्युत्पन्न के अर्थ के बारे में सबक.

स्पर्शरेखा व्युत्पन्न अच्छी खबर यह है कि समारोह पूरे समय बढ़ रहा है डोमेन.

कोटैंजेंट और उसके व्युत्पन्न के साथ स्थिति ठीक इसके विपरीत है।

आर्क्सिन अंतराल पर बढ़ता है - व्युत्पन्न यहां सकारात्मक है: .
के लिए, फ़ंक्शन परिभाषित है लेकिन अवकलनीय नहीं है। हालांकि, महत्वपूर्ण बिंदु पर दाएं हाथ की व्युत्पन्न और दाएं हाथ की स्पर्शरेखा होती है, और दूसरी तरफ, उनके बाएं हाथ के समकक्ष होते हैं।

मुझे लगता है कि चाप कोसाइन और इसके व्युत्पन्न के लिए समान तर्क करना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा।

ये सभी मामले, जिनमें से कई हैं सारणीबद्ध व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिलाता हूं, से सीधे अनुसरण करें व्युत्पन्न की परिभाषा.

व्युत्पन्न के साथ फ़ंक्शन का अन्वेषण क्यों करें?

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है, इसका बेहतर अंदाजा लगाने के लिए: जहां यह "नीचे से ऊपर" जाता है, जहां यह "ऊपर से नीचे" जाता है, जहां यह ऊंचे स्तर (यदि बिल्कुल भी) तक पहुंचता है। सभी फ़ंक्शन इतने सरल नहीं होते हैं - ज्यादातर मामलों में, हमें आमतौर पर किसी विशेष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में थोड़ी सी भी जानकारी नहीं होती है।

यह अधिक सार्थक उदाहरणों पर आगे बढ़ने और विचार करने का समय है एक समारोह के एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के बढ़ते/घटते अंतराल और एक्स्ट्रेमा का पता लगाएं

समाधान:

1) पहला कदम खोजना है समारोह का दायरा, और ब्रेकप्वाइंट (यदि वे मौजूद हैं) पर भी ध्यान दें। इस मामले में, फ़ंक्शन संपूर्ण वास्तविक रेखा पर निरंतर है, और यह क्रिया कुछ हद तक औपचारिक है। लेकिन कुछ मामलों में, गंभीर जुनून यहां भड़क उठते हैं, तो आइए बिना उपेक्षा के पैराग्राफ का इलाज करें।

2) एल्गोरिथ्म का दूसरा बिंदु देय है

एक चरम के लिए आवश्यक शर्त:

यदि बिंदु पर कोई चरम है, तो या तो मान मौजूद नहीं है.

अंत से भ्रमित? फ़ंक्शन का चरम "मॉड्यूलो एक्स" .

शर्त जरूरी है, लेकिन पर्याप्त नहीं, और इसका विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है। तो, यह अभी तक समानता से पालन नहीं करता है कि फ़ंक्शन बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम तक पहुंचता है। एक उत्कृष्ट उदाहरण पहले ही ऊपर प्रकाशित किया जा चुका है - यह एक घन परवलय और इसका महत्वपूर्ण बिंदु है।

लेकिन जैसा भी हो, एक चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्त संदिग्ध बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता को निर्देशित करती है। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें और समीकरण को हल करें:

पहले लेख की शुरुआत में फ़ंक्शन ग्राफ़ के बारे मेंमैंने आपको एक उदाहरण का उपयोग करके जल्दी से एक परवलय बनाने का तरीका बताया था : "... हम पहला व्युत्पन्न लेते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं: ... तो, हमारे समीकरण का समाधान: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है ..."। अब, मुझे लगता है कि हर कोई समझता है कि परवलय का शीर्ष इस बिंदु पर क्यों है =) सामान्य तौर पर, हमें यहां एक समान उदाहरण से शुरू करना चाहिए, लेकिन यह बहुत सरल है (एक चायदानी के लिए भी)। इसके अलावा, पाठ के अंत में के बारे में एक एनालॉग है व्युत्पन्न कार्य. तो चलिए स्तर बढ़ाते हैं:

उदाहरण 2

एक फ़ंक्शन के मोनोटोनिसिटी अंतराल और एक्स्ट्रेमा खोजें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में समस्या का एक पूर्ण समाधान और अनुमानित परिष्करण नमूना।

भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के साथ बैठक का लंबे समय से प्रतीक्षित क्षण आ गया है:

उदाहरण 3

पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का अन्वेषण करें

इस बात पर ध्यान दें कि कैसे एक और एक ही कार्य को विभिन्न प्रकार से सुधारा जा सकता है।

समाधान:

1) फ़ंक्शन को बिंदुओं पर अनंत विराम का सामना करना पड़ता है।

2) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाते हैं। आइए पहले व्युत्पन्न को खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

आइए समीकरण को हल करें। एक अंश शून्य होता है जब उसका अंश शून्य होता है:

इस प्रकार, हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं:

3) संख्या रेखा पर सभी ज्ञात बिंदुओं को अलग रखें और अंतराल विधिव्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करें:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि आपको अंतराल के कुछ बिंदु लेने की जरूरत है, इसमें व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें और उसके चिन्ह का निर्धारण करें। गिनना भी नहीं, बल्कि मौखिक रूप से "अनुमान" करना अधिक लाभदायक है। उदाहरण के लिए, अंतराल से संबंधित एक बिंदु लें, और प्रतिस्थापन करें: .

दो "प्लस" और एक "माइनस" एक "माइनस" देते हैं, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न पूरे अंतराल पर नकारात्मक है।

जैसा कि आप समझते हैं, क्रिया को छह अंतरालों में से प्रत्येक के लिए किया जाना चाहिए। वैसे, ध्यान दें कि अंश कारक और हर किसी भी अंतराल के किसी भी बिंदु के लिए सख्ती से सकारात्मक हैं, जो कार्य को बहुत सरल करता है।

तो, व्युत्पन्न ने हमें बताया कि FUNCTION ITSELF बढ़ जाता है और घट जाती है। यूनियन आइकन के साथ एक ही प्रकार के अंतराल को बन्धन करना सुविधाजनक है।

इस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है:
उस बिंदु पर फ़ंक्शन अपने न्यूनतम तक पहुंच जाता है:

इस बारे में सोचें कि आप दूसरे मूल्य की पुनर्गणना क्यों नहीं कर सकते ;-)

एक बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न नहीं बदलता है, इसलिए फ़ंक्शन का वहां कोई चरम नहीं है - यह दोनों घटते और घटते रहे।

! आइए एक महत्वपूर्ण बिंदु दोहराएँ: अंक महत्वपूर्ण नहीं माने जाते - उनका एक कार्य होता है निर्धारित नहीं है. तदनुसार, यहाँ चरम सिद्धांत सिद्धांत रूप में नहीं हो सकते हैं(भले ही व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न)।

उत्तर: फ़ंक्शन बढ़ जाता है और कम हो जाता है उस बिंदु पर अधिकतम फ़ंक्शन तक पहुंच जाता है: , और बिंदु पर - न्यूनतम: .

एकरसता अंतराल और एक्स्ट्रेमा का ज्ञान, स्थापित के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुखपहले से ही फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उपस्थिति का एक बहुत अच्छा विचार देता है। एक औसत व्यक्ति मौखिक रूप से यह निर्धारित करने में सक्षम होता है कि एक फ़ंक्शन ग्राफ़ में दो लंबवत स्पर्शोन्मुख और एक तिरछा स्पर्शोन्मुख होता है। यहाँ हमारा नायक है:

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ अध्ययन के परिणामों को सहसंबंधित करने का पुनः प्रयास करें।
महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है, लेकिन वहाँ है वक्र विभक्ति(जो, एक नियम के रूप में, समान मामलों में होता है)।

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा ज्ञात करें

उदाहरण 5

एक फ़ंक्शन के मोनोटोनिसिटी अंतराल, मैक्सिमा और मिनिमा खोजें

... बस किसी तरह का एक्स-इन-ए-क्यूब हॉलिडे आज निकला ....
सू, गैलरी में किसने इसके लिए पीने की पेशकश की? =)

प्रत्येक कार्य की अपनी मूल बारीकियाँ और तकनीकी बारीकियाँ होती हैं, जिन पर पाठ के अंत में टिप्पणी की जाती है।

यह गणित का एक दिलचस्प खंड है जिसका सामना सभी स्नातक छात्र और छात्र करते हैं। हालांकि, सभी को मटन पसंद नहीं होता है। कुछ तो बुनियादी बातों को भी समझने में असफल हो जाते हैं जैसे प्रतीत होता है कि मानक प्रकार्य अध्ययन। इस लेख का उद्देश्य इस भूल को ठीक करना है। फ़ंक्शन विश्लेषण के बारे में अधिक जानना चाहते हैं? क्या आप जानना चाहेंगे कि चरम बिंदु क्या हैं और उन्हें कैसे खोजा जाए? तब तो यह लेख तुम्हारे लिए है।

एक समारोह के ग्राफ की जांच

शुरू करने के लिए, यह समझने योग्य है कि चार्ट का विश्लेषण करना क्यों आवश्यक है। ऐसे सरल कार्य हैं जिन्हें आकर्षित करना आसान है। इस तरह के एक समारोह का एक उल्लेखनीय उदाहरण परवलय है। उसका चार्ट बनाना मुश्किल नहीं है। केवल एक साधारण परिवर्तन का उपयोग करके, उन संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है, जिन पर फ़ंक्शन 0 का मान लेता है। और सिद्धांत रूप में, एक परवलय ग्राफ खींचने के लिए आपको बस इतना ही जानना होगा।

लेकिन क्या होगा यदि हमें जिस फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने की आवश्यकता है वह अधिक जटिल है? चूंकि जटिल कार्यों के गुण स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए संपूर्ण विश्लेषण करना आवश्यक है। तभी फलन को आलेखीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। यह कैसे करना है? इस सवाल का जवाब आप इस लेख में पा सकते हैं।

कार्य विश्लेषण योजना

पहली बात यह है कि फ़ंक्शन का सतही अध्ययन करना है, जिसके दौरान हम परिभाषा का क्षेत्र पाएंगे। तो, चलिए क्रम से शुरू करते हैं। परिभाषा का डोमेन उन मानों का समूह है जिनके द्वारा फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है। सीधे शब्दों में कहें, तो ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग x के बजाय फ़ंक्शन में किया जा सकता है। दायरा निर्धारित करने के लिए, आपको केवल प्रविष्टि को देखने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 में परिभाषा का एक डोमेन है - वास्तविक संख्याओं का समूह। खैर, (x 2 - 2x) / x जैसे फ़ंक्शन के साथ, सब कुछ थोड़ा अलग है। चूंकि हर में संख्या 0 के बराबर नहीं होनी चाहिए, तो इस फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं होंगी।

अगला, आपको फ़ंक्शन के तथाकथित शून्य को खोजने की आवश्यकता है। ये उस तर्क के मान हैं जिसके लिए संपूर्ण फ़ंक्शन मान शून्य लेता है। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करना आवश्यक है, इस पर विस्तार से विचार करें और कुछ परिवर्तन करें। आइए पहले से ही परिचित फलन y(x) = (x 2 - 2x)/x लें। स्कूल के पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि अंश 0 होता है जब अंश शून्य होता है। इसलिए, हम हर को त्याग देते हैं और अंश के साथ काम करना शुरू करते हैं, इसे शून्य के बराबर करते हैं। हमें x 2 - 2x \u003d 0 मिलता है और x को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। इसलिए x (x - 2) \u003d 0. परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि हमारा कार्य शून्य के बराबर है जब x 0 या 2 के बराबर है।

किसी फलन के ग्राफ के अध्ययन के दौरान कई लोगों को चरम बिन्दुओं के रूप में समस्या का सामना करना पड़ता है। और यह अजीब है। आखिरकार, चरम सीमा एक साधारण विषय है। विश्वास मत करो? लेख के इस भाग को पढ़कर आप स्वयं देख लें, जिसमें हम न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं के बारे में बात करेंगे।

आरंभ करने के लिए, यह समझने योग्य है कि एक चरम सीमा क्या है। एक एक्सट्रीम वह सीमा मान है जो एक फ़ंक्शन ग्राफ़ पर पहुंचता है। इससे यह पता चलता है कि दो चरम मूल्य हैं - अधिकतम और न्यूनतम। स्पष्टता के लिए, आप ऊपर दी गई तस्वीर को देख सकते हैं। जांच किए गए क्षेत्र पर, बिंदु -1 अधिकतम फ़ंक्शन y (x) \u003d x 5 - 5x है, और बिंदु 1, क्रमशः न्यूनतम है।

इसके अलावा, अवधारणाओं को एक दूसरे के साथ भ्रमित न करें। किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे तर्क होते हैं जिन पर दिया गया फ़ंक्शन चरम मान प्राप्त करता है। बदले में, एक्सट्रीम फंक्शन के मिनिमा और मैक्सिमा का मान है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए चित्र पर फिर से विचार करें। -1 और 1 फ़ंक्शन के चरम बिंदु हैं, और 4 और -4 स्वयं चरम हैं।

चरम बिंदु ढूँढना

लेकिन आप किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु कैसे ढूंढते हैं? सब कुछ काफी सरल है। पहली बात यह है कि समीकरण के व्युत्पन्न को खोजना है। मान लीजिए कि हमें कार्य मिला है: "फ़ंक्शन y (x) के चरम बिंदु खोजें, x तर्क है। स्पष्टता के लिए, आइए फ़ंक्शन y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54 लें। आइए अंतर करें और निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करें: 3x 2 + 4x + 1. परिणामस्वरूप, हमें मानक द्विघात समीकरण मिला। केवल इतना करने की आवश्यकता है कि इसे शून्य के बराबर करें और मूल खोजें। चूंकि विवेचक शून्य से बड़ा है (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), यह समीकरण दो जड़ों द्वारा निर्धारित किया जाता है। हम उन्हें ढूंढते हैं और दो मान प्राप्त करते हैं: 1/3 और -1। ये फ़ंक्शन के चरम बिंदु होंगे। हालाँकि, आप अभी भी कैसे निर्धारित कर सकते हैं कौन है? कौन सा बिंदु अधिकतम है और कौन सा न्यूनतम है? ऐसा करने के लिए, आपको एक पड़ोसी बिंदु लेना होगा और उसका मान ज्ञात करना होगा। उदाहरण के लिए, आइए संख्या -2 लें, जो निर्देशांक के साथ बाईं ओर है -1 से रेखा। हम इस मान को अपने समीकरण y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5 में प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, हमें एक सकारात्मक संख्या मिली। इसका मतलब है कि 1/3 से -1 के अंतराल पर फलन बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि मिनट से अंतराल पर अनंत से 1/3 तक और -1 से प्लस अनंत तक, फ़ंक्शन घटता है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जांच किए गए अंतराल पर संख्या 1/3 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, और -1 अधिकतम बिंदु है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि परीक्षा में न केवल चरम बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता होती है, बल्कि उनके साथ किसी प्रकार का ऑपरेशन (जोड़ना, गुणा करना, आदि) करना भी आवश्यक है। यही कारण है कि समस्या की स्थितियों पर विशेष ध्यान देना उचित है। आखिरकार, असावधानी के कारण आप अंक खो सकते हैं।

गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा एक फलन है। इसकी मदद से आप प्रकृति में होने वाली कई प्रक्रियाओं की कल्पना कर सकते हैं, एक ग्राफ पर सूत्रों, तालिकाओं और छवियों का उपयोग करके कुछ मात्राओं के बीच संबंध को प्रतिबिंबित कर सकते हैं। एक उदाहरण विसर्जन की गहराई पर एक शरीर पर तरल परत के दबाव की निर्भरता है, त्वरण - किसी वस्तु पर एक निश्चित बल की क्रिया पर, तापमान में वृद्धि - संचरित ऊर्जा पर, और कई अन्य प्रक्रियाएं। एक फलन के अध्ययन में एक ग्राफ बनाना, उसके गुणों का पता लगाना, परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, वृद्धि और कमी के अंतराल शामिल हैं। इस प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण बिंदु चरम बिंदुओं का पता लगाना है। इसे सही तरीके से कैसे करें, और बातचीत जारी रहेगी।

एक विशिष्ट उदाहरण पर ही अवधारणा के बारे में

चिकित्सा में, एक फ़ंक्शन ग्राफ़ का निर्माण रोगी के शरीर में रोग के विकास के बारे में बता सकता है, स्पष्ट रूप से उसकी स्थिति को दर्शाता है। आइए मान लें कि दिनों में समय ओएक्स अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है, और मानव शरीर का तापमान ओए अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है। आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि यह संकेतक कैसे तेजी से बढ़ता है, और फिर गिरता है। एकवचन बिंदुओं को नोटिस करना भी आसान है जो उन क्षणों को दर्शाते हैं जब फ़ंक्शन, पहले से बढ़ रहा है, घटने लगता है, और इसके विपरीत। ये चरम बिंदु हैं, यानी रोगी के तापमान के इस मामले में महत्वपूर्ण मूल्य (अधिकतम और न्यूनतम), जिसके बाद उसकी स्थिति में परिवर्तन होता है।

टिल्ट एंगल

आकृति से यह निर्धारित करना आसान है कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे बदलता है। यदि ग्राफ की सीधी रेखाएं समय के साथ ऊपर जाती हैं, तो यह धनात्मक होती है। और वे जितने तेज होते हैं, व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही अधिक होता है, जैसे-जैसे झुकाव का कोण बढ़ता है। कमी की अवधि के दौरान, यह मान नकारात्मक मान लेता है, चरम बिंदुओं पर शून्य हो जाता है, और बाद के मामले में व्युत्पन्न का ग्राफ ओएक्स अक्ष के समानांतर खींचा जाता है।

किसी भी अन्य प्रक्रिया को उसी तरह से व्यवहार किया जाना चाहिए। लेकिन इस अवधारणा के बारे में बताने का सबसे अच्छा तरीका विभिन्न निकायों की गति है, जो स्पष्ट रूप से रेखांकन पर दिखाया गया है।

ट्रैफ़िक

मान लीजिए कि कोई वस्तु एक समान गति प्राप्त करते हुए एक सीधी रेखा में गति करती है। इस अवधि के दौरान, शरीर के निर्देशांक में परिवर्तन एक निश्चित वक्र का रेखांकन करता है, जिसे गणितज्ञ परवलय की एक शाखा कहेगा। उसी समय, फ़ंक्शन लगातार बढ़ रहा है, क्योंकि समन्वय संकेतक हर सेकंड के साथ तेजी से और तेजी से बदलते हैं। गति ग्राफ व्युत्पन्न के व्यवहार को दर्शाता है, जिसका मूल्य भी बढ़ता है। इसका मतलब है कि आंदोलन में कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।

यह अनिश्चित काल तक जारी रहेगा। लेकिन क्या होगा अगर शरीर अचानक धीमा होने, रुकने और एक अलग दिशा में आगे बढ़ने का फैसला करता है? इस मामले में, समन्वय संकेतक कम होने लगेंगे। और फ़ंक्शन एक महत्वपूर्ण मान पास करेगा और बढ़ने से घटने में बदल जाएगा।

इस उदाहरण में, आप फिर से समझ सकते हैं कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर चरम बिंदु उस समय दिखाई देते हैं जब यह नीरस होना बंद हो जाता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

जो पहले वर्णित किया गया था वह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है। इस शोधन में इसका भौतिक अर्थ है। चरम बिंदु चार्ट पर महत्वपूर्ण क्षेत्र हैं। व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करके उनका पता लगाना और उनका पता लगाना संभव है, जो शून्य के बराबर हो जाता है।

एक और संकेत है, जो एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति है। विभक्ति के ऐसे स्थानों में व्युत्पन्न अपना संकेत बदलता है: अधिकतम के क्षेत्र में "+" से "-" तक और न्यूनतम के क्षेत्र में "-" से "+" तक।

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में आंदोलन

आइए एक और स्थिति की कल्पना करें। गेंद खेल रहे बच्चों ने उसे इस तरह फेंका कि वह एक कोण पर क्षितिज की ओर बढ़ने लगी। प्रारंभिक क्षण में, इस वस्तु की गति सबसे बड़ी थी, लेकिन गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, यह घटने लगी, और प्रत्येक सेकंड के साथ समान मूल्य, लगभग 9.8 मीटर / सेकंड 2 के बराबर। यह उस त्वरण का मान है जो मुक्त रूप से गिरने के दौरान पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है। चंद्रमा पर, यह लगभग छह गुना छोटा होगा।

शरीर की गति का वर्णन करने वाला ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इशारा करती हैं। चरम बिंदु कैसे खोजें? इस मामले में, यह फ़ंक्शन का शीर्ष है, जहां शरीर की गति (गेंद) शून्य मान लेती है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य हो जाता है। इस मामले में, दिशा, और इसलिए गति का मान विपरीत दिशा में बदल जाता है। शरीर हर सेकंड तेजी से और तेजी से नीचे की ओर उड़ता है, और उसी मात्रा से गति करता है - 9.8 m/s 2 ।

दूसरा व्युत्पन्न

पिछले मामले में, वेग मापांक का प्लॉट एक सीधी रेखा के रूप में खींचा जाता है। इस रेखा को पहले नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, क्योंकि इस राशि का मान लगातार घट रहा है। किसी एक समय बिंदु पर शून्य पर पहुंचने के बाद, इस मान के संकेतक बढ़ने लगते हैं, और गति मॉड्यूल के चित्रमय प्रतिनिधित्व की दिशा नाटकीय रूप से बदल जाती है। अब रेखा इशारा कर रही है।

वेग, समय के संबंध में निर्देशांक का व्युत्पन्न होने के कारण, एक महत्वपूर्ण बिंदु भी है। इस क्षेत्र में, प्रारंभ में कम होने वाला कार्य बढ़ना शुरू हो जाता है। यह फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के चरम बिंदु का स्थान है। इस मामले में, स्पर्शरेखा का ढलान शून्य हो जाता है। और त्वरण, समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न होने के कारण, संकेत को "-" से "+" में बदल देता है। और समान रूप से धीमी गति से गति समान रूप से तेज हो जाती है।

त्वरण ग्राफ

अब चार आंकड़ों पर विचार करें। उनमें से प्रत्येक त्वरण के रूप में ऐसी भौतिक मात्रा के समय के साथ परिवर्तन का एक ग्राफ प्रदर्शित करता है। "ए" के मामले में, इसका मान सकारात्मक और स्थिर रहता है। इसका मतलब है कि शरीर की गति, उसके समन्वय की तरह, लगातार बढ़ रही है। यदि हम कल्पना करते हैं कि वस्तु इस तरह से लंबे समय तक चलती रहेगी, तो समय पर समन्वय की निर्भरता को दर्शाने वाला कार्य लगातार बढ़ रहा होगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका कोई महत्वपूर्ण क्षेत्र नहीं है। व्युत्पन्न के ग्राफ पर कोई चरम बिंदु भी नहीं होते हैं, अर्थात एक रैखिक रूप से बदलती गति।

सकारात्मक और लगातार बढ़ते त्वरण के साथ "बी" के मामले में भी यही बात लागू होती है। सच है, निर्देशांक और गति के रेखांकन यहां कुछ अधिक जटिल होंगे।

जब त्वरण शून्य हो जाता है

आकृति "बी" को देखते हुए, शरीर की गति को दर्शाने वाली एक पूरी तरह से अलग तस्वीर देखी जा सकती है। इसकी गति को नीचे की ओर इशारा करते हुए शाखाओं के साथ एक परवलय के रूप में चित्रित किया जाएगा। यदि हम त्वरण में परिवर्तन का वर्णन करने वाली रेखा को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेद न करे, और आगे, हम कल्पना कर सकते हैं कि इस महत्वपूर्ण मान तक, जहां त्वरण शून्य के बराबर हो जाता है, वस्तु की गति बढ़ जाएगी अधिक से अधिक धीरे-धीरे। समन्वय समारोह के व्युत्पन्न का चरम बिंदु परवलय के शीर्ष पर होगा, जिसके बाद शरीर आंदोलन की प्रकृति को मौलिक रूप से बदल देगा और एक अलग दिशा में आगे बढ़ना शुरू कर देगा।

बाद के मामले में, "जी", आंदोलन की प्रकृति को ठीक से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यहां हम केवल यह जानते हैं कि विचाराधीन कुछ अवधि के लिए कोई त्वरण नहीं है। इसका अर्थ है कि वस्तु यथावत रह सकती है या गति स्थिर गति से होती है।

समन्वय जोड़ कार्य

आइए उन कार्यों पर आगे बढ़ते हैं जो अक्सर स्कूल में बीजगणित का अध्ययन करते समय सामना करते हैं और परीक्षा की तैयारी के लिए पेश किए जाते हैं। नीचे दिया गया चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। चरम बिंदुओं के योग की गणना करना आवश्यक है।

हम इसे y-अक्ष के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्रों के निर्देशांक निर्धारित करके करेंगे जहां फ़ंक्शन की विशेषताओं में परिवर्तन देखा जाता है। सीधे शब्दों में कहें, हम विभक्ति बिंदुओं के लिए x-अक्ष के साथ मान पाते हैं, और फिर परिणामी शब्दों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। ग्राफ के अनुसार, यह स्पष्ट है कि वे निम्नलिखित मान लेते हैं: -8; -7; -5; -3; -2; एक; 3. यह -21 तक जोड़ता है, जो उत्तर है।

सर्वोतम उपाय

व्यावहारिक कार्यों के निष्पादन में इष्टतम समाधान का चुनाव कितना महत्वपूर्ण हो सकता है, इसकी व्याख्या करना आवश्यक नहीं है। आखिरकार, लक्ष्य प्राप्त करने के कई तरीके हैं, और सबसे अच्छा तरीका, एक नियम के रूप में, केवल एक ही है। यह अत्यंत आवश्यक है, उदाहरण के लिए, इन मानव निर्मित वस्तुओं का इष्टतम रूप खोजने के लिए जहाजों, अंतरिक्ष यान और विमान, वास्तुशिल्प संरचनाओं को डिजाइन करते समय।

वाहनों की गति काफी हद तक गुरुत्वाकर्षण बलों और कई अन्य संकेतकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाले अधिभार पर, पानी और हवा के माध्यम से चलते समय उनके द्वारा अनुभव किए जाने वाले प्रतिरोध के सक्षम न्यूनीकरण पर निर्भर करती है। समुद्र में एक जहाज को तूफान के दौरान स्थिरता जैसे गुणों की आवश्यकता होती है; नदी के जहाज के लिए, न्यूनतम ड्राफ्ट महत्वपूर्ण है। इष्टतम डिज़ाइन की गणना करते समय, ग्राफ़ पर चरम बिंदु नेत्रहीन रूप से एक जटिल समस्या के सर्वोत्तम समाधान का विचार दे सकते हैं। ऐसी योजना के कार्यों को अक्सर अर्थव्यवस्था में, आर्थिक क्षेत्रों में, कई अन्य जीवन स्थितियों में हल किया जाता है।

प्राचीन इतिहास से

चरम कार्यों ने प्राचीन ऋषियों पर भी कब्जा कर लिया। ग्रीक वैज्ञानिकों ने गणितीय गणनाओं के माध्यम से क्षेत्रों और आयतनों के रहस्य को सफलतापूर्वक सुलझा लिया। उन्होंने यह समझने वाले पहले व्यक्ति थे कि समान परिधि वाले विभिन्न आकृतियों के तल पर, वृत्त का क्षेत्रफल हमेशा सबसे बड़ा होता है। इसी तरह, एक गेंद समान सतह क्षेत्र के साथ अंतरिक्ष में अन्य वस्तुओं के बीच अधिकतम मात्रा के साथ संपन्न होती है। आर्किमिडीज, यूक्लिड, अरस्तू, अपोलोनियस जैसी प्रसिद्ध हस्तियों ने ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए खुद को समर्पित कर दिया। बगुला चरम बिंदुओं को खोजने में बहुत सफल रहा, जिसने गणनाओं का सहारा लिया, सरल उपकरणों का निर्माण किया। इनमें भाप के माध्यम से चलने वाली स्वचालित मशीनें, एक ही सिद्धांत पर चलने वाले पंप और टर्बाइन शामिल थे।

कार्थेज का निर्माण

एक किंवदंती है, जिसका कथानक चरम कार्यों में से एक को हल करने पर आधारित है। फोनीशियन राजकुमारी द्वारा प्रदर्शित व्यावसायिक दृष्टिकोण का परिणाम, जो मदद के लिए संतों की ओर मुड़ा, कार्थेज का निर्माण था। इस प्राचीन और प्रसिद्ध शहर के लिए भूमि भूखंड अफ्रीकी जनजातियों में से एक के नेता द्वारा डिडो (जो शासक का नाम था) को प्रस्तुत किया गया था। आवंटन का क्षेत्र उसे पहले बहुत बड़ा नहीं लगता था, क्योंकि अनुबंध के अनुसार उसे ऑक्साइड से ढंकना पड़ता था। लेकिन राजकुमारी ने अपने सैनिकों को इसे पतली पट्टियों में काटने और उनमें से एक बेल्ट बनाने का आदेश दिया। यह इतना लंबा निकला कि इसने एक ऐसे क्षेत्र को कवर किया जहां पूरा शहर फिट बैठता था।

कलन की उत्पत्ति

और अब चलो प्राचीन काल से बाद के युग में चलते हैं। दिलचस्प बात यह है कि 17वीं शताब्दी में, केप्लर को एक शराब विक्रेता के साथ बैठक करके गणितीय विश्लेषण की नींव को समझने के लिए प्रेरित किया गया था। व्यापारी अपने पेशे में इतना पारंगत था कि वह आसानी से एक लोहे के टूर्निकेट को उसमें कम करके बैरल में पेय की मात्रा निर्धारित कर सकता था। इस तरह की जिज्ञासा पर विचार करते हुए, प्रसिद्ध वैज्ञानिक ने इस दुविधा को अपने लिए हल करने में कामयाबी हासिल की। यह पता चला है कि उस समय के कुशल कूपरों ने इस तरह से बर्तन बनाने का काम किया था कि, बन्धन के छल्ले की परिधि की एक निश्चित ऊंचाई और त्रिज्या पर, उनकी अधिकतम क्षमता होगी।

यह केप्लर के लिए और चिंतन का अवसर बन गया। पीढ़ी से पीढ़ी तक अपने अनुभव को पारित करते हुए, एक लंबी खोज, गलतियों और नए प्रयासों द्वारा बोचर्स इष्टतम समाधान के लिए आए। लेकिन केप्लर इस प्रक्रिया को तेज करना चाहते थे और गणितीय गणनाओं के माध्यम से कम समय में इसे करना सीखना चाहते थे। उनके सभी विकास, सहयोगियों द्वारा उठाए गए, फ़र्मेट और न्यूटन - लीबनिज़ के अब ज्ञात प्रमेयों में बदल गए।

अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या

कल्पना कीजिए कि हमारे पास एक तार है जिसकी लंबाई 50 सेमी है। इसमें से एक आयत कैसे बनाया जाए, जिसका क्षेत्रफल सबसे बड़ा है?

निर्णय की शुरुआत करते हुए, सरल और प्रसिद्ध सत्य से आगे बढ़ना चाहिए। यह स्पष्ट है कि हमारी आकृति का परिमाप 50 सेमी होगा। इसमें दोनों पक्षों की लंबाई भी दोगुनी है। इसका मतलब यह है कि, उनमें से एक को "X" के रूप में नामित करने पर, दूसरे को (25 - X) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यहाँ से हमें X (25 - X) के बराबर क्षेत्रफल प्राप्त होता है। इस अभिव्यक्ति को एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है जो कई मान लेता है। समस्या के समाधान के लिए उनमें से अधिकतम खोजने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आपको चरम बिंदुओं का पता लगाना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं। परिणाम एक साधारण समीकरण है: 25 - 2X = 0।

इससे हम सीखते हैं कि एक भुजा X = 12.5 है।

इसलिए, दूसरा: 25 - 12.5 \u003d 12.5।

यह पता चला है कि समस्या का समाधान 12.5 सेमी की भुजा वाला एक वर्ग होगा।

अधिकतम गति कैसे प्राप्त करें

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि एक पिंड है जिसकी सीधी गति को समीकरण S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 द्वारा वर्णित किया गया है, जहां तय की गई दूरी मीटर में व्यक्त की जाती है, और सेकंड में समय। अधिकतम गति ज्ञात करना आवश्यक है। यह कैसे करना है? डाउनलोड की गई गति का पता लगाएं, यानी पहला व्युत्पन्न।

हमें समीकरण मिलता है: V = - 3t 2 + 18t - 24। अब, समस्या को हल करने के लिए, हमें फिर से चरम बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है। यह पिछले कार्य की तरह ही किया जाना चाहिए। हम गति का पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

हम पाते हैं: - 6t + 18 = 0। इसलिए t = 3 s। यह वह समय है जब शरीर की गति महत्वपूर्ण मान लेती है। हम प्राप्त डेटा को वेग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: V = 3 m/s।

लेकिन कैसे समझें कि यह बिल्कुल अधिकतम गति है, क्योंकि फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके सबसे बड़े या सबसे छोटे मान हो सकते हैं? जांचने के लिए, आपको गति का दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है। इसे माइनस साइन के साथ संख्या 6 के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि पाया गया बिंदु अधिकतम है। और दूसरे व्युत्पन्न के सकारात्मक मूल्य के मामले में, न्यूनतम होगा। इसलिए, पाया गया समाधान सही था।

उदाहरण के रूप में दिए गए कार्य उन कार्यों का केवल एक हिस्सा हैं जिन्हें किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने में सक्षम होने से हल किया जा सकता है। वास्तव में, और भी बहुत कुछ हैं। और ऐसा ज्ञान मानव सभ्यता के लिए असीमित संभावनाएं खोलता है।