संभाव्यता के लिए जोड़ और गुणा प्रमेय।
आश्रित और स्वतंत्र घटनाएं

शीर्षक डरावना लग रहा है, लेकिन यह वास्तव में बहुत आसान है। इस पाठ में, हम घटनाओं की प्रायिकताओं के योग और गुणन के प्रमेयों से परिचित होंगे, साथ ही विशिष्ट समस्याओं का विश्लेषण करेंगे, जो, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा की समस्यानिश्चित रूप से मिलेंगे या, अधिक संभावना है, आपके रास्ते में पहले ही मिल चुके हैं। इस लेख की सामग्री का प्रभावी ढंग से अध्ययन करने के लिए, आपको मूल शर्तों को जानना और समझना होगा। सिद्धांत संभावनाऔर सरलतम अंकगणितीय संक्रियाओं को करने में सक्षम हो। जैसा कि आप देख सकते हैं, बहुत कम की आवश्यकता है, और इसलिए संपत्ति में एक वसा प्लस लगभग गारंटी है। लेकिन दूसरी ओर, मैं फिर से व्यावहारिक उदाहरणों के लिए एक सतही रवैये के खिलाफ चेतावनी देता हूं - पर्याप्त सूक्ष्मताएं भी हैं। आपको कामयाबी मिले:

असंगत घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय: दो में से एक के प्रकट होने की प्रायिकता असंगतघटनाएँ या (कोई बात नहीं क्या), इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

एक समान तथ्य बड़ी संख्या में असंगत घटनाओं के लिए सही है, उदाहरण के लिए, तीन असंगत घटनाओं के लिए और:

स्वप्न प्रमेय =) हालांकि, ऐसा सपना भी प्रमाण के अधीन है, जो पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वी.ई. गमुरमैन।

आइए नए से परिचित हों, अभी तक पूरी नहीं हुई अवधारणाएँ:

आश्रित और स्वतंत्र घटनाएं

आइए स्वतंत्र घटनाओं से शुरू करें। घटनाएँ हैं स्वतंत्र यदि घटना की संभावना उनमें से कोई भी निर्भर नहीं करताविचाराधीन सेट की शेष घटनाओं की उपस्थिति / गैर-उपस्थिति से (सभी संभावित संयोजनों में)। ... लेकिन सामान्य वाक्यांशों को पीसने के लिए क्या है:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय: स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना और इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

आइए पहले पाठ के सबसे सरल उदाहरण पर वापस जाएं, जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएं:

- पहले सिक्के पर सिर गिराए जाएंगे;
- दूसरे सिक्के पर सिर गिराया जाएगा।

आइए घटना की प्रायिकता ज्ञात करें (पहले सिक्के पर एक चील दिखाई देगी तथादूसरे सिक्के पर एक चील दिखाई देगी - हमें याद है कि इसे कैसे पढ़ा जाता है घटनाओं का उत्पादन!) ... एक सिक्के पर चित आने की प्रायिकता किसी भी तरह से दूसरे सिक्के को फेंकने के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

इसी तरह:
- संभावना है कि पहला सिक्का पूंछ पर उतरेगा तथादूसरी पूंछ पर;
- संभावना है कि एक बाज 1 सिक्के पर दिखाई देता है तथादूसरी पूंछ पर;
- संभावना है कि पहले सिक्के पर पूंछ दिखाई देगी तथा 2 ईगल पर।

ध्यान दें कि घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:।

गुणन प्रमेय स्पष्ट रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र घटनाओं तक फैला हुआ है, इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो उनके संयुक्त होने की संभावना बराबर है:। आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

समस्या 3

तीन बक्सों में से प्रत्येक में 10 भाग होते हैं। पहले बॉक्स में 8 मानक भाग हैं, दूसरे में - 7, तीसरे में - 9। प्रत्येक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक भाग लिया जाता है। सभी विवरण मानक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान: किसी भी बॉक्स से एक मानक या गैर-मानक भाग को पुनः प्राप्त करने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कौन से हिस्से अन्य बॉक्स से प्राप्त किए गए हैं, इसलिए, समस्या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है। निम्नलिखित स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करें:

- पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया है;
- दूसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया है;
- तीसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया है।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
- संगत संभावनाएं।

हमारे लिए रुचि की घटना (पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाएगा तथादूसरी कक्षा से तथातीसरी कक्षा से)उत्पाद द्वारा व्यक्त किया गया।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:

- संभावना है कि तीन बक्से से एक मानक भाग हटा दिया जाएगा।

उत्तर: 0,504

बक्सों के साथ स्फूर्तिदायक अभ्यास के बाद, कोई कम दिलचस्प कलश हमारी प्रतीक्षा नहीं करता है:

समस्या 4

तीन कलशों में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से प्रत्येक कलश से एक गेंद ली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) तीनों गेंदें सफेद होंगी; b) तीनों गेंदें एक ही रंग की होंगी।

प्राप्त जानकारी के आधार पर अनुमान लगाएं कि "बीएच" बिंदु से कैसे निपटें ;-) सभी घटनाओं की विस्तृत सूची के साथ एक अकादमिक शैली में एक नमूना समाधान तैयार किया गया है।

आश्रित घटनाएं... घटना कहा जाता है लत लग यदि इसकी प्रायिकता निर्भर करता हैएक या अधिक घटनाओं से जो पहले ही घटित हो चुकी हैं। उदाहरण के लिए आपको दूर जाने की जरूरत नहीं है - यह निकटतम स्टोर पर जाने के लिए पर्याप्त है:

- कल 19.00 बजे ताज़ी ब्रेड बिक्री पर होगी।

इस घटना की संभावना कई अन्य घटनाओं पर निर्भर करती है: चाहे कल ताजी रोटी दी जाएगी, शाम 7 बजे से पहले बिक जाएगी या नहीं, आदि। विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर, यह घटना निश्चित या असंभव हो सकती है। तो घटना है लत लग.

रोटी ... और, जैसा कि रोमनों ने मांग की, चश्मा:

- छात्र को परीक्षा के लिए एक साधारण टिकट मिलेगा।

यदि आप पहले नहीं जाते हैं, तो घटना निर्भर होगी, क्योंकि इसकी संभावना इस बात पर निर्भर करेगी कि साथी छात्रों द्वारा कौन से टिकट पहले ही निकाले जा चुके हैं।

घटना निर्भरता/स्वतंत्रता को कैसे परिभाषित करें?

कभी-कभी यह सीधे समस्या कथन में कहा जाता है, लेकिन अधिक बार आपको एक स्वतंत्र विश्लेषण करना पड़ता है। यहां कोई स्पष्ट संदर्भ बिंदु नहीं है, और घटनाओं की निर्भरता या स्वतंत्रता का तथ्य प्राकृतिक तार्किक तर्क से आता है।

सब कुछ एक साथ न मिलाने के लिए, आश्रित घटनाओं के लिए कार्यमैं निम्नलिखित पाठ पर प्रकाश डालूंगा, लेकिन अभी के लिए हम अभ्यास में सबसे सामान्य प्रमेयों के एक समूह पर विचार करेंगे:

असंगति की प्रायिकता के लिए जोड़ प्रमेयों पर समस्या
और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करना

मेरे व्यक्तिपरक आकलन के अनुसार, यह अग्रानुक्रम विचाराधीन विषय पर लगभग 80% कार्यों में काम करता है। हिट हिट और प्रायिकता सिद्धांत के वास्तविक क्लासिक्स:

समस्या 5

दो शूटरों ने निशाने पर एक गोली मारी। पहले निशानेबाज के लिए हिट की संभावना 0.8 है, दूसरे के लिए - 0.6। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

ए) केवल एक शूटर लक्ष्य को हिट करता है;
बी) निशानेबाजों में से कम से कम एक लक्ष्य को हिट करता है।

समाधान: एक शूटर को मारने / लापता होने की संभावना स्पष्ट रूप से दूसरे शूटर के प्रदर्शन पर निर्भर नहीं करती है।

घटनाओं पर विचार करें:
- पहला शूटर निशाने पर लगा;
- दूसरा शूटर लक्ष्य को हिट करता है।

शर्त के अनुसार: .

आइए विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का पता लगाएं - कि संबंधित तीर छूट जाएंगे:

ए) घटना पर विचार करें: - केवल एक शूटर लक्ष्य को हिट करता है। इस घटना में दो असंगत परिणाम होते हैं:

पहला शूटर हिट तथादूसरा चूक जाएगा
या
पहली याद आएगी तथादूसरा हिट होगा।

भाषा में घटना बीजगणितइस तथ्य को निम्नलिखित सूत्र द्वारा लिखा जाएगा:

सबसे पहले, हम असंगत घटनाओं की संभावनाओं के योग के प्रमेय का उपयोग करते हैं, फिर स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय का उपयोग करते हैं:

- संभावना है कि केवल एक हिट होगी।

बी) घटना पर विचार करें: - निशानेबाजों में से कम से कम एक लक्ष्य को हिट करता है।

सबसे पहले, आइए सोचें - "कम से कम एक" शर्त का क्या अर्थ है? इस मामले में, इसका मतलब है कि या तो पहला शूटर हिट करेगा (दूसरा चूक जाएगा) यादूसरा (पहली चूक) यादोनों तीर एक साथ - कुल 3 असंगत परिणाम।

विधि एक: पिछले पैराग्राफ की तैयार संभावना को देखते हुए, घटना को निम्नलिखित असंगत घटनाओं के योग के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

एक मिल जाएगा (एक घटना जिसमें 2 असंगत परिणाम होते हैं) या
दोनों तीर हिट होंगे - आइए इस घटना को एक पत्र के साथ नामित करें।

इस तरह:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:
- संभावना है कि पहला शूटर मारा जाएगा तथादूसरा शूटर हिट।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के प्रमेय द्वारा:
- लक्ष्य पर कम से कम एक हिट की संभावना।

विधि दो: विपरीत घटना पर विचार करें: - दोनों तीर छूट जाते हैं।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:

नतीजतन:

दूसरी विधि पर विशेष ध्यान दें - सामान्य तौर पर, यह अधिक तर्कसंगत है।

इसके अलावा, संयुक्त घटनाओं को जोड़ने के प्रमेय के आधार पर हल करने का एक वैकल्पिक, तीसरा तरीका है, जिसका ऊपर उल्लेख नहीं किया गया था।

! यदि आप पहली बार सामग्री पढ़ रहे हैं, तो भ्रम से बचने के लिए, अगले पैराग्राफ को छोड़ना बेहतर है।

विधि तीन : घटनाएं संयुक्त हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग घटना को व्यक्त करता है "कम से कम एक शूटर लक्ष्य को हिट करता है" (देखें। घटनाओं का बीजगणित) द्वारा संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेयऔर स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय:

आइए देखें: घटनाएं और (क्रमशः 0, 1 और 2 हिट)एक पूरा समूह बनाएं, इसलिए उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

उत्तर:

संभाव्यता के सिद्धांत के गहन अध्ययन के साथ, आप सैन्य सामग्री के दर्जनों कार्यों में आएंगे, और, जो कि विशिष्ट है, उसके बाद आप किसी को गोली नहीं मारना चाहेंगे - कार्य लगभग उपहार देने वाले हैं। टेम्पलेट को भी सरल क्यों नहीं करते? आइए प्रविष्टि को छोटा करें:

समाधान: शर्त के अनुसार :, संबंधित निशानेबाजों को मारने की प्रायिकता है। तो उनके चूकने की प्रायिकताएँ हैं:

ए) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के असंगत और गुणन की संभावनाओं को जोड़ने के सिद्धांत के अनुसार:
- संभावना है कि केवल एक निशानेबाज ही निशाने पर लगेगा।

बी) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:
- संभावना है कि दोनों निशानेबाज चूक जाएंगे।

तब:- कम से कम एक निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता।

उत्तर:

व्यवहार में, आप किसी भी डिज़ाइन विकल्प का उपयोग कर सकते हैं। बेशक, वे बहुत अधिक बार शॉर्टकट जाते हैं, लेकिन किसी को पहली विधि को नहीं भूलना चाहिए - हालांकि यह लंबी है, यह अधिक सार्थक है - इसमें यह स्पष्ट है, क्या, क्यों और क्योंजोड़ता और गुणा करता है। कुछ मामलों में, एक संकर शैली उपयुक्त होती है, जब केवल कुछ घटनाओं को बड़े अक्षरों में निर्दिष्ट करना सुविधाजनक होता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए समान कार्य:

समस्या 6

फायर अलार्म के लिए, दो स्वतंत्र रूप से काम करने वाले सेंसर स्थापित हैं। आग लगने की स्थिति में सेंसर के चालू होने की संभावना क्रमशः पहले और दूसरे सेंसर के लिए 0.5 और 0.7 है। आग लगने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

ए) दोनों सेंसर विफल हो जाएंगे;
b) दोनों सेंसर काम करेंगे।
सी) का उपयोग करना पूरे समूह को बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय, आग लगने की स्थिति में केवल एक सेंसर के चालू होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। इस संभावना की सीधे गणना करके परिणाम की जाँच करें (जोड़ और गुणन प्रमेयों का उपयोग करके).

यहां, उपकरणों की स्वतंत्रता को सीधे स्थिति में लिखा गया है, जो कि, एक महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण है। नमूना समाधान एक अकादमिक शैली में बनाया गया है।

क्या होगा यदि एक समान समस्या में समान संभावनाएं दी जाती हैं, उदाहरण के लिए, 0.9 और 0.9? आपको ठीक उसी तरह से निर्णय लेने की आवश्यकता है! (जो, वास्तव में, उदाहरण में दो सिक्कों के साथ पहले ही प्रदर्शित किया जा चुका है)

समस्या 7

पहले निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। पहले और दूसरे बंदूकधारियों द्वारा एक गोली चलाए जाने के बाद लक्ष्य पर निशाना नहीं लगने की प्रायिकता 0.08 है। दूसरे निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता क्या है?

और यह एक छोटी सी पहेली है, जिसे संक्षेप में तैयार किया गया है। स्थिति को और अधिक संक्षिप्त रूप से सुधारा जा सकता है, लेकिन मैं मूल को फिर से नहीं करूंगा - व्यवहार में, आपको अधिक अलंकृत निर्माणों में तल्लीन करना होगा।

मिलो - वह वह है जिसने आपके लिए बिना मापी गई राशि का विवरण दिया है =):

समस्या 8

एक कार्यकर्ता तीन मशीनों का संचालन करता है। संभावना है कि शिफ्ट के दौरान पहली मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी 0.3 है, दूसरी 0.75 है, और तीसरी 0.4 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पारी के दौरान:

ए) सभी मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी;
बी) केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी;
ग) कम से कम एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

समाधान: चूंकि शर्त एक तकनीकी प्रक्रिया के बारे में कुछ नहीं कहती है, इसलिए प्रत्येक मशीन के काम को अन्य मशीनों के काम से स्वतंत्र माना जाना चाहिए।

समस्या संख्या 5 के अनुरूप, यहां आप उन घटनाओं पर विचार कर सकते हैं जिन्हें संबंधित मशीनों को शिफ्ट के दौरान समायोजन की आवश्यकता होगी, संभावनाओं को लिखें, विपरीत घटनाओं की संभावनाएं खोजें, आदि। लेकिन तीन वस्तुओं के साथ, मैं वास्तव में इस तरह के कार्य को डिजाइन नहीं करना चाहता - यह लंबा और थकाऊ हो जाएगा। इसलिए, यहां "तेज़" शैली का उपयोग करना अधिक लाभदायक है:

शर्त के अनुसार: - संभावना है कि शिफ्ट के दौरान संबंधित मशीनों को टिंचर की आवश्यकता होगी। तब प्रायिकताएँ कि उन्हें ध्यान देने की आवश्यकता नहीं होगी:

पाठकों में से एक को यहाँ एक अच्छा टाइपो मिला, मैं इसे ठीक भी नहीं करूँगा =)

ए) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:
- संभावना है कि शिफ्ट के दौरान तीनों मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी।

बी) घटना "शिफ्ट के दौरान, केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी" में तीन असंगत परिणाम होते हैं:

1) पहली मशीन आवश्यकता होगीध्यान तथादूसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी तथातीसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी
या:
2) पहली मशीन आवश्यकता नहीं होगीध्यान तथादूसरी मशीन आवश्यकता होगी तथातीसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी
या:
3) पहली मशीन आवश्यकता नहीं होगीध्यान तथादूसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी तथातीसरी मशीन आवश्यकता होगी.

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने और गुणा करने की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेयों के अनुसार:

- संभावना है कि एक शिफ्ट के दौरान केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

मुझे लगता है कि अब तक आपको यह स्पष्ट हो जाना चाहिए कि अभिव्यक्ति कहाँ से आई है

ग) हम इस संभावना की गणना करते हैं कि मशीनों को समायोजन की आवश्यकता नहीं होगी, और फिर - विपरीत घटना की संभावना:
- कि कम से कम एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

उत्तर:

आइटम "वी" को राशि के माध्यम से भी हल किया जा सकता है, जहां संभावना है कि शिफ्ट के दौरान केवल दो मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी। इस घटना में, बदले में, 3 असंगत परिणाम शामिल हैं, जो "बी" खंड के साथ सादृश्य द्वारा हस्ताक्षरित हैं। समानता का उपयोग करके पूरी समस्या का परीक्षण करने के लिए स्वयं संभावना खोजने का प्रयास करें।

समस्या 9

तीन बंदूकों ने निशाने पर एक वॉली फायर किया। केवल पहली बंदूक से एक शॉट मारने की संभावना 0.7 है, दूसरे से - 0.6, तीसरे से - 0.8। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: 1) कम से कम एक प्रक्षेप्य लक्ष्य से टकराएगा; 2) केवल दो प्रक्षेप्य लक्ष्य को मारेंगे; 3) लक्ष्य को कम से कम दो बार मारा जाएगा।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

और फिर से संयोगों के बारे में: इस घटना में, कि स्थिति के अनुसार, प्रारंभिक संभावनाओं के दो या सभी मान मेल खाते हैं (उदाहरण के लिए, 0.7; 0.7 और 0.7), तो आपको बिल्कुल उसी समाधान एल्गोरिथ्म का पालन करना चाहिए।

लेख के अंत में, आइए एक और सामान्य पहेली को देखें:

समस्या 10

शूटर प्रत्येक शॉट के साथ समान संभावना के साथ लक्ष्य को हिट करता है। यह प्रायिकता क्या है यदि तीन शॉट के साथ कम से कम एक हिट की प्रायिकता 0.973 है।

समाधान: द्वारा निरूपित - प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना।
और उसके बाद - प्रत्येक शॉट के साथ चूक की संभावना।

और फिर भी, आइए घटनाओं को लिखें:
- 3 शॉट्स के साथ, शूटर कम से कम एक बार निशाने पर लगेगा;
- शूटर 3 बार चूक जाएगा।

शर्त के अनुसार, तब विपरीत घटना की प्रायिकता है:

दूसरी ओर, स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय द्वारा:

इस तरह:

- प्रत्येक शॉट के साथ चूक की संभावना।

नतीजतन:
- प्रत्येक शॉट के साथ हिट की संभावना।

उत्तर: 0,7

सरल और सुरुचिपूर्ण।

विचाराधीन समस्या में, केवल एक हिट की संभावना, केवल दो हिट, और लक्ष्य पर तीन हिट की संभावना के बारे में अतिरिक्त प्रश्न पूछे जा सकते हैं। समाधान योजना बिल्कुल पिछले दो उदाहरणों की तरह ही होगी:

हालाँकि, मूलभूत वास्तविक अंतर यह है कि दोहराया स्वतंत्र परीक्षण, जो क्रमिक रूप से, एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से और परिणामों की समान संभावना के साथ किए जाते हैं।

घटनाओं की निर्भरता को समझा जाता है संभाव्यभावना, कार्यात्मक नहीं। इसका मतलब यह है कि किसी एक आश्रित घटना की उपस्थिति से दूसरे की उपस्थिति का स्पष्ट रूप से न्याय करना असंभव है। प्रायिकता का अर्थ है कि किसी एक आश्रित घटना के घटित होने से केवल दूसरी के घटित होने की संभावना बदल जाती है। यदि यह संभावना नहीं बदलता है, तो घटनाओं को स्वतंत्र माना जाता है।

परिभाषा: चलो - एक मनमाना संभाव्यता स्थान, - कुछ यादृच्छिक घटनाएँ। वे कहते हैं कि प्रतिस्पर्धा एघटना पर निर्भर नहीं है वी , यदि इसकी सशर्त संभावना बिना शर्त संभावना के साथ मेल खाती है:

.

अगर , तो वे कहते हैं कि घटना एघटना पर निर्भर करता है वी.

स्वतंत्रता की अवधारणा सममित है, अर्थात यदि कोई घटना है एघटना पर निर्भर नहीं है वी, फिर घटना वीघटना पर निर्भर नहीं है ए... दरअसल, चलो ... फिर ... इसलिए, वे केवल यह कहते हैं कि घटनाएँ एतथा वीस्वतंत्र।

घटनाओं की स्वतंत्रता की निम्नलिखित सममित परिभाषा संभावनाओं के गुणन के नियम का अनुसरण करती है।

परिभाषा: आयोजन एतथा वी,समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित कहलाते हैं स्वतंत्र, अगर

अगर फिर घटनाएं एतथा वीकहा जाता है आश्रित.

ध्यान दें कि यह परिभाषा उस स्थिति में भी मान्य है जब या .

स्वतंत्र घटनाओं के गुण।

1. यदि घटनाएं एतथा वीस्वतंत्र हैं, तो घटनाओं के निम्नलिखित जोड़े भी स्वतंत्र हैं:।

आइए हम साबित करें, उदाहरण के लिए, घटनाओं की स्वतंत्रता। एक घटना की कल्पना करें एजैसा: । चूँकि घटनाएँ असंगत हैं, तब, और घटनाओं की स्वतंत्रता के कारण एतथा वीहमें वह मिलता है। इसलिए, जिसका अर्थ है स्वतंत्रता। मैं

2. यदि घटना एघटनाओं पर निर्भर नहीं है पहले मेंतथा मे 2जो असंगत हैं () , वह घटना एराशि पर भी निर्भर नहीं करता है।

▲ वास्तव में, घटना की संभाव्यता और स्वतंत्रता की योगात्मकता के स्वयंसिद्ध का उपयोग करना एघटनाओं से पहले मेंतथा मे 2, अपने पास:

स्वतंत्रता और असंगति की अवधारणाओं के बीच संबंध।

होने देना एतथा वी- शून्येतर संभावना वाली कोई भी घटना :, ताकि ... यदि एक ही समय में घटनाओं एतथा वीअसंगत हैं (), और इसलिए समानता कभी नहीं हो सकती। इस तरह, असंगत घटनाएं निर्भर हैं.

जब एक ही समय में दो से अधिक घटनाओं पर विचार किया जाता है, तो उनकी जोड़ीदार स्वतंत्रता पूरे समूह की घटनाओं के बीच संबंध को पर्याप्त रूप से नहीं दर्शाती है। इस मामले में, समुच्चय में स्वतंत्रता की अवधारणा पेश की जाती है।

परिभाषा: समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित घटनाएँ कहलाती हैं सामूहिक रूप से स्वतंत्रअगर किसी के लिए 2 £m £nऔर सूचकांकों का कोई भी संयोजन समानता सत्य है:

पर एम = 2समुच्चय में स्वतंत्रता का तात्पर्य घटनाओं की जोड़ीदार स्वतंत्रता से है। इसका उलट सत्य नहीं है।

उदाहरण। (बर्नस्टीन एस.एन.)

एक यादृच्छिक प्रयोग में एक नियमित टेट्राहेड्रोन (टेट्राहेड्रॉन) को उछालना शामिल है। एक पहलू ऊपर से नीचे की ओर गिरता हुआ दिखाई देता है। टेट्राहेड्रोन के चेहरे इस प्रकार रंगे हैं: 1 चेहरा - सफेद, 2 चेहरा - काला,
3 चेहरा - लाल, 4 चेहरा - सभी रंग शामिल हैं।

घटनाओं पर विचार करें:

ए= (सफेद छोड़ दें); बी= (काला छोड़ दें);

सी= (लाल छोड़ दें)।

फिर ;

इसलिए घटनाएं ए, वीतथा साथजोड़ीदार स्वतंत्र हैं।

लेकिन, .

इसलिए घटनाएं ए, वीतथा साथसामूहिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं।

व्यवहार में, एक नियम के रूप में, घटनाओं की स्वतंत्रता को परिभाषा द्वारा जाँच करके स्थापित नहीं किया जाता है, बल्कि इसके विपरीत: घटनाओं को किसी भी बाहरी विचारों से स्वतंत्र माना जाता है या एक यादृच्छिक प्रयोग की परिस्थितियों को ध्यान में रखते हुए, और स्वतंत्रता का उपयोग खोजने के लिए किया जाता है। घटनाओं के उत्पाद की संभावनाएं।

प्रमेय (स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभावनाओं का गुणन)।

यदि समान प्रायिकता स्थान पर परिभाषित घटनाएँ समुच्चय में स्वतंत्र हैं, तो उनके उत्पाद की प्रायिकता प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है:

प्रमेय का प्रमाण कुल में घटनाओं की स्वतंत्रता की परिभाषा या संभावनाओं के गुणन के सामान्य प्रमेय से होता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि इस मामले में

उदाहरण 1 (सशर्त संभावनाओं को खोजने का एक विशिष्ट उदाहरण, स्वतंत्रता की अवधारणा, संभावनाओं के योग का प्रमेय)।

विद्युत सर्किट में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं। प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएं समान रूप से बराबर होती हैं।

1) परिपथ के विफल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

2) सर्किट विफल होने के लिए जाना जाता है।

क्या संभावना है कि उसने मना कर दिया:

ए) पहला तत्व; बी) तीसरा तत्व?

समाधान।घटनाओं पर विचार करें = (अस्वीकार) कवें तत्व), और घटना ए= (योजना अस्वीकृत)। फिर घटना एप्रपत्र में प्रस्तुत किया गया है:

.

1) चूँकि घटनाएँ और असंगत नहीं हैं, प्रायिकता P3 की योगात्मकता का अभिगृहीत अनुपयुक्त है और प्रायिकता ज्ञात करने के लिए प्रायिकता के योग के सामान्य प्रमेय का उपयोग करना चाहिए, जिसके अनुसार

आश्रित और स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाएँ।
संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए बुनियादी सूत्र

यादृच्छिक घटनाओं की निर्भरता और स्वतंत्रता की अवधारणा। सशर्त संभाव्यता। आश्रित और स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाओं के लिए संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए सूत्र। कुल संभाव्यता सूत्र और बेयस सूत्र।

संभाव्यता जोड़ प्रमेय

आइए हम घटनाओं के योग और (उनकी अनुकूलता या असंगति मानकर) की प्रायिकता ज्ञात करें।

प्रमेय 2.1. असंगत घटनाओं की एक सीमित संख्या के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है:

उदाहरण 1।संभावना है कि स्टोर 44 आकार में पुरुषों के जूते की एक जोड़ी बेचेगा 0.12 है; 45वां - 0.04; 46वां और अधिक - 0.01। कम से कम 44 आकार के पुरुषों के जूतों की एक जोड़ी बेचे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।वांछित घटना तब होगी जब आकार 44 (ईवेंट) या आकार 45 (इवेंट) के जूते की एक जोड़ी बेची जाती है, या कम से कम 46 (ईवेंट), यानी इवेंट घटनाओं का योग है। घटनाएँ, और असंगत हैं। इसलिए, संभावनाओं के योग पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2।उदाहरण 1 की शर्तों के तहत, संभावना है कि जूते की अगली जोड़ी 44 आकार से कम बेची जाएगी।

समाधान।इवेंट "अगले में 44वें आकार से कम के जूतों की एक जोड़ी बेची जाएगी" और "जूते की एक जोड़ी कम से कम 44 आकार में बेची जाएगी" विपरीत हैं। अतः सूत्र (1.2) के अनुसार वांछित घटना के घटित होने की प्रायिकता

क्योंकि, जैसा कि उदाहरण 1 में पाया गया था।

संभावनाओं के योग का प्रमेय 2.1 केवल असंगत घटनाओं के लिए मान्य है। संयुक्त घटनाओं की संभावना का पता लगाने के लिए इसका उपयोग करने से गलत और कभी-कभी बेतुके निष्कर्ष निकल सकते हैं, जिसे निम्नलिखित उदाहरण में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। बता दें कि इलेक्ट्रा लिमिटेड के ऑर्डर की समय पर पूर्ति का अनुमान 0.7 की संभावना के साथ लगाया जाता है। क्या संभावना है कि फर्म समय पर तीन आदेशों में से कम से कम एक को पूरा करेगी? घटनाएँ जो फर्म समय पर पहले, दूसरे, तीसरे आदेशों को पूरा करेगी, तदनुसार नामित की जाएगी। यदि हम वांछित प्रायिकता ज्ञात करने के लिए प्रायिकताओं के योग के प्रमेय 2.1 को लागू करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है। घटना की संभावना एक से अधिक निकली, जो असंभव है। ऐसा इसलिए है क्योंकि घटनाएं संयुक्त हैं। दरअसल, पहले आदेश की समय पर पूर्ति अन्य दो की समय पर पूर्ति को बाहर नहीं करती है।

आइए हम दो संयुक्त घटनाओं के मामले में संभावनाओं को जोड़ने के लिए एक प्रमेय तैयार करें (उनके संयुक्त होने की संभावना को ध्यान में रखा जाएगा)।

प्रमेय 2.2. दो संयुक्त घटनाओं के योग की प्रायिकता इन दोनों घटनाओं के संयुक्त होने की प्रायिकता के बिना प्रायिकता के योग के बराबर होती है:

आश्रित और स्वतंत्र घटनाएँ। सशर्त संभाव्यता

आश्रित और स्वतंत्र घटनाओं के बीच भेद। दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना की संभावना को नहीं बदलती है। उदाहरण के लिए, यदि एक कार्यशाला में दो स्वचालित लाइनें हैं, जो उत्पादन की स्थिति से परस्पर जुड़ी नहीं हैं, तो इन लाइनों के स्टॉप स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

उदाहरण 3.सिक्का दो बार फेंका जाता है। पहले परीक्षण (घटना) में "हथियारों के कोट" की उपस्थिति की संभावना दूसरे परीक्षण (घटना) में "हथियारों के कोट" की उपस्थिति पर निर्भर नहीं करती है। बदले में, दूसरे परीक्षण में "हथियारों के कोट" की उपस्थिति की संभावना पहले परीक्षण के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है। इस प्रकार, घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

कई घटनाओं को कहा जाता है सामूहिक रूप से स्वतंत्रयदि उनमें से कोई भी किसी अन्य घटना पर और दूसरों के किसी संयोजन पर निर्भर नहीं है।

घटनाओं को कहा जाता है आश्रितयदि उनमें से एक दूसरे की संभावना को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, दो उत्पादन इकाइयाँ एक तकनीकी चक्र से जुड़ी हुई हैं। फिर उनमें से एक की विफलता की संभावना दूसरे की स्थिति पर निर्भर करती है। एक घटना की प्रायिकता की गणना दूसरी घटना के घटित होने की धारणा पर की जाती है, कहलाती है सशर्त संभाव्यताघटनाओं और इंगित किया गया है।

घटना से घटना की स्वतंत्रता की शर्त रूप में लिखी जाती है, और इसकी निर्भरता के लिए शर्त - रूप में। आइए किसी घटना की सशर्त संभावना की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 4.बॉक्स में 5 इंसुलेटर होते हैं: दो खराब हो चुके और तीन नए। कृन्तकों के लगातार दो अर्क होते हैं। दूसरे निष्कर्षण पर एक घिसे हुए कटर की उपस्थिति की सशर्त संभावना निर्धारित करें, बशर्ते कि पहली बार निकाला गया कटर बॉक्स में वापस न आए।

समाधान।आइए पहले मामले में एक घिसे हुए कटर के निष्कर्षण को निरूपित करें, और - एक नए का निष्कर्षण। फिर । चूंकि हटाए गए कटर को बॉक्स में वापस नहीं किया जाता है, इसलिए पहना और नए कटर की संख्या के बीच का अनुपात बदल जाता है। इसलिए, दूसरे मामले में एक घिसे हुए कटर को हटाने की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि इससे पहले क्या घटना हुई थी।

आइए एक ऐसी घटना को नामित करें जिसका अर्थ है दूसरे मामले में एक घिसे-पिटे कटर को हटाना। इस घटना की संभावनाएं इस प्रकार हो सकती हैं:

इसलिए, किसी घटना की संभावना इस बात पर निर्भर करती है कि घटना हुई है या नहीं।

प्रायिकता गुणन सूत्र

घटनाओं को स्वतंत्र होने दें, और इन घटनाओं की संभावनाओं को जाना जाता है। आइए हम संयोग की घटनाओं की संभावना का पता लगाएं और।

प्रमेय 2.3. दो स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

कोरोलरी 2.1. कई घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना, कुल में स्वतंत्र, इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 5.तीन बक्सों में प्रत्येक में 10 भाग होते हैं। पहले बॉक्स में 8 मानक भाग हैं, दूसरे में - 7, तीसरे में - 9। प्रत्येक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक भाग निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि हटाए गए सभी तीन भाग मानक होंगे।

समाधान।संभावना है कि पहले बॉक्स से एक मानक भाग (घटना) लिया जाता है। दूसरे बॉक्स से एक मानक भाग (घटना) लिए जाने की प्रायिकता। संभावना है कि तीसरे बॉक्स से एक मानक भाग (घटना) लिया जाता है। चूँकि घटनाएँ समुच्चय में स्वतंत्र हैं, वांछित प्रायिकता (गुणा प्रमेय द्वारा)

घटनाओं और आश्रितों और संभावनाओं को ज्ञात होने दें। आइए हम इन घटनाओं के गुणनफल की प्रायिकता ज्ञात करें, अर्थात् घटना और घटना दोनों के प्रकट होने की प्रायिकता।

प्रमेय 2.4. दो आश्रित घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना द्वारा उनमें से एक की संभावना के उत्पाद के बराबर है, इस धारणा के तहत गणना की जाती है कि पहली घटना पहले ही हो चुकी है:

कोरोलरी 2.2. कई आश्रित घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना अन्य सभी की सशर्त संभावनाओं द्वारा उनमें से एक की संभावना के उत्पाद के बराबर है, और प्रत्येक बाद की घटना की संभावना की गणना इस धारणा पर की जाती है कि पिछली सभी घटनाएं पहले ही हो चुकी हैं .

उदाहरण 6.कलश में 5 सफेद गेंदें, 4 काली और 3 नीली गेंदें हैं। प्रत्येक परीक्षण में यह तथ्य शामिल होता है कि एक गेंद को कलश में लौटाए बिना यादृच्छिक रूप से लिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले परीक्षण में एक सफेद गेंद (घटना) दिखाई देगी, दूसरे में - एक काली (घटना) और तीसरी - नीली (घटना) में।

समाधान।पहले परीक्षण में सफेद गेंद के आने की प्रायिकता। दूसरे टेस्ट में काली गेंद के आने की प्रायिकता की गणना इस धारणा पर की जाती है कि पहले टेस्ट में एक सफेद गेंद दिखाई दी, यानी एक सशर्त संभावना। तीसरे परीक्षण में एक नीली गेंद के आने की प्रायिकता की गणना इस धारणा पर की जाती है कि पहले परीक्षण में एक सफेद गेंद और दूसरे में एक काली गेंद दिखाई दी। संभावना की तलाश

कुल संभावना सूत्र

प्रमेय 2.5. यदि कोई घटना केवल तभी घटित होती है जब घटनाओं में से कोई एक असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाता है, तो घटना की संभावना घटना की संबंधित सशर्त संभावना द्वारा प्रत्येक घटना की संभावनाओं के उत्पादों के योग के बराबर होती है। :

इस मामले में, घटनाओं को परिकल्पना कहा जाता है, और संभावनाओं को प्राथमिकता कहा जाता है। इस सूत्र को कुल संभाव्यता सूत्र कहा जाता है।

उदाहरण 7.असेंबली लाइन तीन मशीनों से पुर्जे प्राप्त करती है। मशीनों की उत्पादकता समान नहीं है। पहली मशीन पर, सभी भागों का 50%, दूसरे पर - 30%, तीसरे पर - 20% का उत्पादन होता है। पहली, दूसरी और तीसरी मशीन पर बने हिस्से का उपयोग करते समय एक उच्च-गुणवत्ता वाली असेंबली की संभावना, क्रमशः 0.98, 0.95 और 0.8, इस संभावना को निर्धारित करें कि असेंबली लाइन से निकलने वाली असेंबली उच्च गुणवत्ता की है।

समाधान।आइए एक घटना को नामित करें जिसका अर्थ है इकट्ठे इकाई की वैधता; , और - घटनाओं का अर्थ है कि भागों को क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी मशीन पर बनाया गया है। फिर

संभावना की तलाश

बेयस फॉर्मूला

इस सूत्र का उपयोग व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जब कोई घटना घटित होती है, जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है और परिकल्पना की संभावनाओं को मात्रात्मक रूप से पुनर्मूल्यांकन करने की आवश्यकता होती है। एक प्राथमिकता (प्रयोग से पहले) संभावनाओं को जाना जाता है। पश्च (प्रयोग के बाद) संभावनाओं की गणना करना आवश्यक है, अर्थात, संक्षेप में, आपको सशर्त संभावनाओं को खोजने की आवश्यकता है। एक परिकल्पना के लिए, बेयस का सूत्र इस तरह दिखता है।

समस्या का सामान्य सूत्रीकरण: कुछ घटनाओं की संभावनाओं को जाना जाता है, लेकिन इन घटनाओं से जुड़ी अन्य घटनाओं की संभावनाओं की गणना की जानी चाहिए। इन कार्यों में, प्रायिकताओं पर प्रायिकताओं के योग और गुणन जैसी क्रियाओं की आवश्यकता होती है।

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, दो गोलियां चलाई जाती हैं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना बी- दूसरे शॉट से मारा। फिर घटनाओं का योग एतथा बी- पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा।

एक अलग प्रकार के कार्य। कई घटनाएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि या तो हथियारों का कोट तीनों बार गिराया जाएगा, या कि हथियारों का कोट कम से कम एक बार खींचा जाएगा। यह संभावनाओं को गुणा करने की समस्या है।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ना

संभाव्यताओं के योग का उपयोग तब किया जाता है जब आपको किसी संघ की संभाव्यता या यादृच्छिक घटनाओं के तार्किक योग की गणना करने की आवश्यकता होती है।

घटनाओं का योग एतथा बीनिरूपित ए + बीया ए ∪ बी... दो घटनाओं का योग एक घटना है जो तब घटित होती है जब और केवल तभी जब कम से कम एक घटना घटित होती है। इसका मतलब है कि ए + बी- एक घटना जो तब होती है जब और केवल जब कोई घटना अवलोकन के दौरान हुई हो एया घटना बी, या एक ही समय में एतथा बी.

अगर घटनाएं एतथा बीपरस्पर असंगत हैं और उनकी प्रायिकताएँ दी गई हैं, तो प्रायिकता के योग का उपयोग करके एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक घटना घटित होने की प्रायिकता की गणना की जाती है।

संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय।दो परस्पर असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, दो गोलियां चलाई जाती हैं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना वी- दूसरे शॉट से हिट, घटना ( ए+ वी) - पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा। तो अगर दो घटनाएं एतथा वी- असंगत घटनाएँ, तब ए+ वी- इनमें से कम से कम एक घटना या दो घटनाओं की शुरुआत।

उदाहरण 1।बॉक्स में समान आकार की 30 गेंदें हैं: 10 लाल, 5 नीली और 15 सफेद। इस संभावना की गणना करें कि एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद बिना देखे ही ली जाएगी।

समाधान। आइए मान लें कि घटना ए- "लाल गेंद ली जाती है", और घटना वी- "एक नीली गेंद ली जाती है।" फिर घटना है "एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद ली जाती है"। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए:

और घटनाएं वी:

आयोजन एतथा वी- परस्पर असंगत, क्योंकि यदि एक गेंद ली जाती है, तो आप विभिन्न रंगों की गेंदें नहीं ले सकते। इसलिए, हम संभावनाओं के जोड़ का उपयोग करते हैं:

कई असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं के योग का प्रमेय।यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा समूह बनाती हैं, तो उनकी प्रायिकताओं का योग 1 है:

विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग भी 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं, और घटनाओं के एक पूरे सेट की संभावना 1 है।

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं को आमतौर पर छोटे अक्षरों में दर्शाया जाता है पीतथा क्यू... विशेष रूप से,

जिससे विपरीत घटनाओं की प्रायिकता के लिए निम्नलिखित सूत्र अनुसरण करते हैं:

उदाहरण 2।शूटिंग रेंज में लक्ष्य को 3 जोनों में बांटा गया है। संभावना है कि एक निश्चित शूटर पहले क्षेत्र में लक्ष्य पर गोली मारेगा 0.15, दूसरे क्षेत्र में - 0.23, तीसरे क्षेत्र में - 0.17। निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता और निशानेबाज के निशाने से चूकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर निशाने पर लगेगा:

आइए इस प्रायिकता का पता लगाएं कि शूटर लक्ष्य से चूक गया है:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

पारस्परिक रूप से संगत घटनाओं की संभावनाओं का जोड़

दो यादृच्छिक घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि एक घटना की घटना एक ही अवलोकन में दूसरी घटना की घटना को बाहर नहीं करती है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकते समय, घटना एसंख्या 4 का पतन माना जाता है, और घटना वी- एक सम संख्या छूट गई। चूँकि संख्या 4 एक सम संख्या है, इसलिए दोनों घटनाएँ संगत हैं। व्यवहार में, पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं में से एक की संभावनाओं की गणना के लिए कार्य हैं।

संयुक्त घटनाओं के लिए संभाव्यता जोड़ प्रमेय।संयुक्त घटनाओं में से एक होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है, जिसमें से दोनों घटनाओं की सामान्य घटना की संभावना घटा दी जाती है, यानी संभावनाओं का उत्पाद। संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सूत्र इस प्रकार है:

घटनाओं के बाद से एतथा वीसंगत, घटना ए+ वीतब होता है जब तीन संभावित घटनाओं में से एक होता है: या अब... असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, हम निम्नानुसार गणना करते हैं:

आयोजन एदो असंगत घटनाओं में से एक होने पर घटित होगा: या अब... हालाँकि, कई असंगत घटनाओं में से एक घटना के घटित होने की प्रायिकता इन सभी घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

इसी तरह:

व्यंजकों (6) और (7) को व्यंजक (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संयुक्त घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र प्राप्त करते हैं:

सूत्र (8) का उपयोग करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि घटनाएं एतथा वीशायद:

• परस्पर स्वतंत्र;
• परस्पर आश्रित।

परस्पर स्वतंत्र घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

परस्पर निर्भर घटनाओं के लिए प्रायिकता सूत्र:

अगर घटनाएं एतथा वीअसंगत हैं, तो उनका संयोग एक असंभव मामला है और इस प्रकार, पी(अब) = 0. असंगत घटनाओं के लिए चौथा प्रायिकता सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 3.कार रेस में, पहली कार चलाते समय, दूसरी कार में ड्राइविंग करते समय जीतने का मौका होता है। पाना:

• दोनों कारों के जीतने की संभावना;
• संभावना है कि कम से कम एक कार जीत जाएगी;

1) पहली कार के जीतने की प्रायिकता दूसरी कार के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएं ए(पहली कार जीतती है) और वी(दूसरी कार जीतती है) - स्वतंत्र घटनाएँ। आइए दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें:

2) आइए दो कारों में से एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करें:

अधिक कठिन कार्य जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

संभाव्यता जोड़ समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.दो सिक्के फेंके जाते हैं। आयोजन ए- पहले सिक्के पर हथियारों के कोट से गिरना। आयोजन बी- दूसरे सिक्के पर हथियारों के कोट से गिरना। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए सी = ए + बी .

संभावनाओं का गुणन

घटनाओं के तार्किक उत्पाद की संभावना की गणना करते समय प्रायिकता गुणन का उपयोग किया जाता है।

इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाएं स्वतंत्र होनी चाहिए। दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना की घटना दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के लिए गुणन प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता एतथा वीइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण 5.सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि भुजाओं का कोट तीनों बार गिराया जाएगा।

समाधान। संभावना है कि सिक्के के पहले उछाल पर हथियारों का कोट दूसरी बार, तीसरी बार दिखाई देगा। आइए प्रायिकता ज्ञात करें कि भुजाओं का कोट तीनों बार खींचा जाएगा:

प्रायिकता गुणन समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6.नौ नई टेनिस गेंदों का एक बॉक्स शामिल है। खेल के लिए तीन गेंदें ली जाती हैं, खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया जाता है। गेंदों का चयन करते समय, खेले और न खेले गए भेद नहीं किए जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन गेम के बाद बॉक्स में कोई गेंद नहीं बचेगी?

उदाहरण 7.विभाजित वर्णमाला के कार्डों पर रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर लिखे गए हैं। पांच कार्ड यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक निकाले जाते हैं और उपस्थिति के क्रम में मेज पर रखे जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अक्षर "अंत" शब्द बनाएंगे।

उदाहरण 8.ताश के पत्तों (52 शीट) के एक पूरे डेक से एक बार में चार पत्ते निकाले जाते हैं। इन चारों पत्तों के अलग-अलग सूटों के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9.उदाहरण 8 की तरह ही समस्या, लेकिन निकाले जाने के बाद, प्रत्येक कार्ड डेक पर वापस आ जाता है।

अधिक कठिन कार्य, जिसमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है, साथ ही साथ कई घटनाओं के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा पर विभिन्न समस्याएं"।

संभावना है कि परस्पर स्वतंत्र घटनाओं में से कम से कम एक घटित होगी, की गणना 1 से विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद को घटाकर की जा सकती है, अर्थात सूत्र का उपयोग करके।

स्वतंत्र कार्यक्रम

निर्णय लेने की संभाव्य-सांख्यिकीय विधियों के व्यावहारिक अनुप्रयोग में, स्वतंत्रता की अवधारणा का लगातार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पाद गुणवत्ता प्रबंधन के सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करते समय, वे नमूने में शामिल उत्पादन की इकाइयों के लिए नियंत्रित मापदंडों के मूल्यों के स्वतंत्र माप के बारे में बात करते हैं, उपस्थिति से एक प्रकार के दोषों की उपस्थिति की स्वतंत्रता के बारे में किसी अन्य प्रकार के दोष आदि के कारण यादृच्छिक घटनाओं की स्वतंत्रता को निम्नलिखित अर्थों में संभाव्य मॉडल में समझा जाता है।

परिभाषा 2.आयोजन एतथा वीस्वतंत्र कहलाते हैं यदि पी (एबी) = पी (ए) पी (बी)।कई घटनाएँ ए, वी, साथ, ... स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनके संयुक्त कार्यान्वयन की संभावना उनमें से प्रत्येक के अलग-अलग होने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है: आर(एबीसी…) = आर(ए)आर(वी)आर(साथ)…

यह परिभाषा स्वतंत्रता के सहज विचार से मेल खाती है: एक घटना के कार्यान्वयन या गैर-पूर्ति को दूसरे के कार्यान्वयन या गैर-पूर्ति को प्रभावित नहीं करना चाहिए। कभी-कभी अनुपात आर(अब) = आर(ए) आर(वी|ए) = पी(बी)पी(ए|बी), जो के लिए मान्य है पी(ए)पी(बी)> 0, प्रायिकता गुणन प्रमेय भी कहा जाता है।

कथन 1.चलो घटनाओं एतथा वीस्वतंत्र। तब घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, घटनाएँ और वीस्वतंत्र, घटनाओं एऔर स्वतंत्र (यहाँ विपरीत घटना है ए, और विपरीत घटना है वी).

दरअसल, संपत्ति से सी) में (3) यह इस प्रकार है कि घटनाओं के लिए साथतथा डीजिसका उत्पाद खाली है, पी(सी+ डी) = पी(सी) + पी(डी). चौराहे के बाद से अबतथा वीखाली, लेकिन संघ है वी, फिर पी (एबी) + पी (बी) = पी (बी)।चूँकि A और B स्वतंत्र हैं, तो पी (बी) = पी (बी) - पी (एबी) = पी (बी) - पी (ए) पी (बी) = पी (बी) (1 - पी (ए))।अब ध्यान दें कि यह संबंधों (1) और (2) से अनुसरण करता है कि पी () = 1 - पी (ए)।माध्यम, पी (बी) = पी () पी (बी)।

समानता व्युत्पत्ति पी (ए) = पी (ए) पी ()हर जगह बदलकर केवल पिछले वाले से अलग है एपर वी, ए वीपर ए.

स्वतंत्रता साबित करने के लिए तथा हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि घटनाएं एबी, बी, ए,जोड़ीवार सामान्य तत्व नहीं होते हैं, लेकिन कुल मिलाकर वे प्रारंभिक घटनाओं के पूरे स्थान को बनाते हैं। इसलिये, आर(एबी) + पी (बी) + पी (ए) + पी () = 1. पहले सिद्ध संबंधों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं कि पी (बी) = 1 -आर(एबी) - पी (बी) ( 1 - पी (ए)) - पी (ए) ( 1 - पी (बी)) = ( 1 – पी (ए)) ( 1 – पी (बी)) = पी () पी (),जैसी ज़रूरत।

उदाहरण 3.एक ऐसे प्रयोग पर विचार करें जिसमें किनारों पर संख्या 1, 2, 3, 4, 5.6 लिखा हुआ पासा फेंका गया हो। हमारा मानना ​​है कि सभी चेहरों के शीर्ष पर रहने का समान अवसर होता है। आइए इसी प्रायिकता स्थान का निर्माण करें। आइए हम दिखाते हैं कि घटनाएँ "शीर्ष पर - एक सम संख्या वाला फलक" और "शीर्ष पर - 3 से विभाज्य संख्या वाला एक चेहरा" स्वतंत्र हैं।

एक उदाहरण पार्स करना।प्राथमिक परिणामों के स्थान में 6 तत्व होते हैं: "शीर्ष पर - 1 के साथ चेहरा", "शीर्ष पर - 2 के साथ चेहरा", ..., "शीर्ष पर - 6 के साथ चेहरा"। घटना "शीर्ष पर - एक सम संख्या वाला एक चेहरा" में तीन प्राथमिक घटनाएं होती हैं - जब 2, 4, या 6 शीर्ष पर होते हैं। सभी चेहरों के शीर्ष पर होने की समान संभावना होती है, तो सभी प्राथमिक घटनाओं में होना चाहिए एक ही संभावना। चूँकि कुल 6 प्राथमिक घटनाएँ हैं, उनमें से प्रत्येक की 1/6 की प्रायिकता है। परिभाषा 1 के अनुसार, घटना "शीर्ष पर एक सम संख्या वाला एक चेहरा है" की संभावना ½ है, और घटना "शीर्ष पर एक चेहरा है जिसमें 3 से विभाज्य संख्या है" की संभावना 1/3 है। इन घटनाओं के उत्पाद में एक प्राथमिक घटना होती है "शीर्ष पर - किनारे पर 6", और इसलिए इसकी संभावना 1/6 है। चूँकि 1/6 = 1/2 x 1/3, मानी जाने वाली घटनाएँ स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार स्वतंत्र हैं।