दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें। अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करना: विधियाँ, LCM ज्ञात करने के उदाहरण

21.10.2019

सामान्य गुणक

सीधे शब्दों में कहें, कोई भी पूर्णांक जो दी गई संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य है, है सामान्य बहुदिए गए पूर्णांक।

आप दो या दो से अधिक पूर्णांकों का उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 1

दो संख्याओं के सामान्य गुणक की गणना करें: $2$ और $5$।

समाधान.

परिभाषा के अनुसार, $2$ और $5$ का सामान्य गुणज $10$ है, क्योंकि यह $2$ और $5$ का गुणज है:

$2$ और $5$ की संख्याओं के सार्व गुणज भी संख्याएँ $–10, 20, -20, 30, -30$, आदि होंगी, क्योंकि वे सभी $2$ और $5$ से विभाज्य हैं।

टिप्पणी 1

शून्य गैर-शून्य पूर्णांकों की किसी भी संख्या का एक सामान्य गुणक है।

विभाज्यता के गुणों के अनुसार, यदि एक निश्चित संख्या कई संख्याओं का एक सामान्य गुणक है, तो संकेत में विपरीत संख्या भी दी गई संख्याओं का एक सामान्य गुणक होगी। यह विचार किए गए उदाहरण से देखा जा सकता है।

दिए गए पूर्णांकों के लिए, आप हमेशा उनके सार्व गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 2

$111$ और $55$ के सामान्य गुणज की गणना करें।

समाधान.

दी गई संख्याओं को गुणा करें: $111\div 55=6105$। यह जांचना आसान है कि संख्या $6105$ संख्या $111$ और संख्या $55$ से विभाज्य है:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$।

इस प्रकार, $6105$ $111$ और $55$ का एक सामान्य गुणक है।

उत्तर: $111$ और $55$ का सामान्य गुणज $6105$ है।

लेकिन, जैसा कि हम पिछले उदाहरण से देख चुके हैं, यह उभयनिष्ठ गुणज एक नहीं है। अन्य सामान्य गुणज $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$, इत्यादि होंगे। इस प्रकार, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे हैं:

टिप्पणी 2

पूर्णांकों के किसी भी समुच्चय में उभयनिष्ठ गुणजों की अनंत संख्या होती है।

व्यवहार में, वे केवल सकारात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्याओं के सामान्य गुणकों को खोजने तक सीमित हैं, क्योंकि किसी दी गई संख्या के गुणजों के समुच्चय और इसके विपरीत संपाती।

कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना

बहुधा, किसी दी गई संख्या के सभी गुणजों में से अल्पतम समापवर्तक (LCM) का प्रयोग किया जाता है।

परिभाषा 2

दिए गए पूर्णांकों में सबसे छोटा धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज है आम एकाधिकये नंबर।

उदाहरण 3

$4$ और $7$ की संख्याओं का LCM परिकलित करें।

समाधान.

इसलिये इन संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो $LCM(4,7)=28$।

उत्तर: $LCM(4,7)=28$।

एनओडी . के माध्यम से एनओसी का पता लगाना

इसलिये एलसीएम और जीसीडी के बीच एक संबंध है, इसकी सहायता से गणना करना संभव है दो धनात्मक पूर्णांकों का LCM:

टिप्पणी 3

उदाहरण 4

$232$ और $84$ की संख्याओं का LCM परिकलित करें।

समाधान.

आइए GCD के माध्यम से LCM खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

$एलसीडी (ए,बी)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके $232$ और $84$ की संख्याओं का gcd खोजें:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

वे। $जीसीडी (232, 84)=4$।

आइए $LCM (232, 84)$ खोजें:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

उत्तर: $NOK(232.84)=4872$।

उदाहरण 5

$LCM (23, 46)$ की गणना करें।

समाधान.

इसलिये $46$ $23$ से समान रूप से विभाज्य है, फिर $gcd(23, 46)=23$। आइए जानें एनओसी:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

उत्तर: $NOK(23.46)=46$।

इस प्रकार, कोई बना सकता है नियम:

टिप्पणी 4

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृत संख्या a एक प्राकृत संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए कि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सार्व भाजक का समुच्चय परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक में सबसे बड़ा है, जिसे संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है $a$ तथा $b$, और संकेतन का उपयोग इसे निरूपित करने के लिए किया जाता है:

$gcd \ (a;b) \ या \ D \ (a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

$48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$ के भाजक का सेट खोजें

आइए अब $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$ के भाजक का सेट खोजें

आइए इन सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - यह सेट $48$ और $60 की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ की संख्या होगी। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनओसी . की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सामान्य गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृत संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और इसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें
उन गुणनखंडों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या पर नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ की संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उन कारकों में जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के भाजक की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। जीसीडी खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृत संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम क्रमिक रूप से विचाराधीन संख्याओं को तब तक कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ . से विभाज्य है
अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$-प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य भाजक $D(a;b)$ . का भाजक है

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की एक श्रृंखला

इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो प्रत्येक 10 से कम होती हैं। यदि बड़ी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन तालिका में कई संख्याएँ पाई जा सकती हैं।
- उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं वे हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।
संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।
- उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 8 के गुणज हैं वे हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।
गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।योग ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटी संख्या है।
- उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणकों की श्रृंखला में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।
मुख्य दलाली
1. इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से बड़ी होती हैं। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।
  - उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।
2. पहली संख्या का गुणनखंड करें।यानी आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ढूंढनी होंगी, जिन्हें गुणा करने पर आपको एक दी गई संख्या मिलती है। अभाज्य गुणनखंडों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।
  - उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10. इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .
3. दूसरी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।इसे वैसे ही करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणन किया है, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या मिले।
  - उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .
4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जैसा कि आप प्रत्येक कारक को लिखते हैं, इसे दोनों अभिव्यक्तियों में पार करें (व्यंजक जो संख्याओं के अपघटन को प्रमुख कारकों में वर्णित करते हैं)।
  - उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\बार )और दोनों भावों में 2 को काट दें।
  - दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2)और दूसरे 2 को दोनों भावों में काट दें।
5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंडों को जोड़ें।ये वे गुणनखंड हैं जिन्हें दोनों व्यंजकों में काट नहीं दिया गया है, अर्थात ऐसे गुणनखंड जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ नहीं हैं।
  - उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\बार 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को पार नहीं किया गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5)
  - अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों ड्यूस (2) को भी काट दिया जाता है। गुणनखंड 7 और 3 को काटकर नहीं निकाला जाता है, इसलिए गुणन संक्रिया इस प्रकार लिखिए: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).
6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।
  - उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।
सामान्य भाजक ढूँढना
1. एक ग्रिड बनाएं जैसे आप टिक-टैक-टो के खेल के लिए करेंगे।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसका परिणाम तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में होगा (ग्रिड बहुत कुछ # चिह्न जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।
  - उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।
2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। अभाज्य भाजक की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है।
  - उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएं हैं, इसलिए उनका सामान्य भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।
3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखिए। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।
  - उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 9 अंडर 18 लिखें।
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), अत: 15 के अंतर्गत 30 लिखें।
4. दोनों भागफलों के लिए उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में भाजक लिखिए।
  - उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।
5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संबंधित भागफल के अंतर्गत लिखें।
  - उदाहरण के लिए, 9 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 अंडर 9 लिखें।
  - 15 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), इसलिए 5 अंडर 15 लिखें।
6. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल में एक सामान्य भाजक न हो।
7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं को सर्कल करें।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।
  - उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5).
8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करेगा।
  - उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।
यूक्लिड का एल्गोरिथम
1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बची है।
  - उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)विश्राम। 3:
    15 विभाज्य है
    6 भाजक है
    2 निजी है
    3 शेष है।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बीवह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएँ बिना शेषफल के विभाज्य हैं एऔर बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमऔर एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमऔर एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही साथ:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात हो, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और डी 1,...,डीकेऔर ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य विस्तार में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( ए,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम अपघटन में सभी प्रमुख कारक होते हैं जो संख्याओं के कम से कम एक अपघटन में दिखाई देते हैं। ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणक की गणना को दो संख्याओं के एलसीएम की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी गुणनफल (84) वह सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया था, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही साथ:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

फिर एलसीएम ( ए,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

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