V skutočnosti sú vzorce (1) a (2) krátkym zápisom podmienenej pravdepodobnosti na základe kontingenčnej tabuľky znakov. Vráťme sa k uvažovanému príkladu (obr. 1). Predpokladajme, že sa dozvieme, že rodina si kúpi širokouhlý televízor. Aká je pravdepodobnosť, že si táto rodina skutočne kúpi takýto televízor?

Ryža. 1. Správanie kupujúcich v širokouhlej televízii

V tomto prípade musíme vypočítať podmienenú pravdepodobnosť P (nákup bol uskutočnený | nákup bol plánovaný). Keďže vieme, že rodina plánuje nákup, vzorový priestor netvorí všetkých 1 000 rodín, ale iba tie, ktoré si plánujú zaobstarať širokouhlý televízor. Z týchto 250 rodín si televízor skutočne kúpilo 200. Preto pravdepodobnosť, že si rodina skutočne kúpi širokouhlý televízor, ak to plánuje, sa dá vypočítať podľa nasledujúceho vzorca:

P (uskutočnený nákup | plánovaný nákup) = počet rodín, ktoré plánujú a kupujú širokouhlý televízor / počet rodín, ktoré si chcú kúpiť širokouhlý televízor = 200/250 = 0,8

Rovnaký výsledok je daný vzorcom (2):

kde je udalosť A je, že rodina plánuje kúpiť širokouhlý televízor a táto udalosť V.- je to, že to skutočne kúpi. Nahradením skutočných údajov do vzorca získame:

Rozhodovací strom

Na obr. 1 rodina je rozdelená do štyroch kategórií: tí, ktorí si plánovali kúpiť širokouhlý televízor a neplánovali, ako aj tí, ktorí si takýto televízor kúpili a nie. Podobnú klasifikáciu je možné vykonať pomocou rozhodovacieho stromu (obr. 2). Strom zobrazený na obr. 2 má dve pobočky, čo zodpovedá rodinám, ktoré plánovali nákup širokouhlej televízie, a rodinám, ktoré tak neurobili. Každá z týchto vetiev sa rozdelila na dve ďalšie vetvy, zodpovedajúce rodinám so širokouhlou televíziou a bez nej. Pravdepodobnosti zapísané na koncoch dvoch hlavných vetiev sú bezpodmienečnými pravdepodobnosťami udalostí A a A '... Pravdepodobnosti zapísané na koncoch štyroch ďalších vetiev sú podmienené pravdepodobnosti každej kombinácie udalostí A a V.... Podmienené pravdepodobnosti sa vypočítajú vydelením spoločnej pravdepodobnosti udalostí zodpovedajúcou bezpodmienečnou pravdepodobnosťou každej z nich.

Ryža. 2. Rozhodovací strom

Aby sa napríklad vypočítala pravdepodobnosť, že si rodina kúpi širokouhlý televízor, ak to plánuje, mala by sa určiť pravdepodobnosť udalosti. nákup je naplánovaný a dokončený a potom ho rozdeliť podľa pravdepodobnosti udalosti plánovaný nákup... Pohyb v rozhodovacom strome zobrazenom na obr. 2, dostaneme nasledujúcu (podobnú ako predchádzajúcu) odpoveď:

Štatistická nezávislosť

V prípade nákupu širokouhlého televízora je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina kúpila širokouhlý televízor, vzhľadom na to, že to plánuje, 200/250 = 0,8. Pripomeňme, že bezpodmienečná pravdepodobnosť, že náhodne vybraná rodina získala širokouhlý televízor, je 300/1000 = 0,3. Z toho vyplýva veľmi dôležitý záver. A priori informácia, ktorú rodina plánovala kúpiť, ovplyvňuje pravdepodobnosť samotného nákupu. Inými slovami, tieto dve udalosti na sebe závisia. Na rozdiel od tohto príkladu existujú štatisticky nezávislé udalosti, ktorých pravdepodobnosti sú na sebe nezávislé. Štatistická nezávislosť je vyjadrená identitou: P (A | B) = P (A), kde P (A | B)- pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že došlo k udalosti V., P (A)- bezpodmienečná pravdepodobnosť udalosti A.

Upozorňujeme, že udalosti A a V. P (A | B) = P (A)... Ak je v pohotovostnej tabuľke funkcií s veľkosťou 2 × 2 táto podmienka splnená aspoň pre jednu kombináciu udalostí A a V., bude to platiť pre akúkoľvek inú kombináciu. V našom prípade udalosti plánovaný nákup a uskutočnený nákup nie sú štatisticky nezávislé, pretože informácie o jednej udalosti ovplyvňujú pravdepodobnosť ďalšej.

Uvažujme o príklade, ktorý ukazuje, ako skontrolovať štatistickú nezávislosť dvoch udalostí. Opýtajme sa 300 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor, či sú s nákupom spokojné (obrázok 3). Zistite, či súvisí vaša spokojnosť s nákupom a typom televízora.

Ryža. 3. Údaje charakterizujúce mieru spokojnosti kupujúcich širokouhlých televízorov

Súdiac podľa týchto údajov,

V rovnakom čase,

P (zákazník spokojný) = 240/300 = 0,80

Preto je pravdepodobnosť, že zákazník je s nákupom spokojný a že rodina kúpila HDTV, rovnaká a tieto udalosti sú štatisticky nezávislé, pretože nijako nesúvisia.

Pravidlo pre znásobenie pravdepodobností

Vzorec na výpočet podmienenej pravdepodobnosti vám umožňuje určiť pravdepodobnosť spoločnej udalosti A a B.... Riešenie vzorca (1)

ohľadom spoločnej pravdepodobnosti P (A a B), získame všeobecné pravidlo pre násobenie pravdepodobností. Pravdepodobnosť udalosti A a B. rovná sa pravdepodobnosti udalosti A za predpokladu, že došlo k udalosti V. V.:

(3) P (A a B) = P (A | B) * P (B)

Ako príklad uveďme 80 rodín, ktoré si kúpili širokouhlý televízor HDTV (obrázok 3). Tabuľka ukazuje, že 64 rodín je s nákupom spokojných a 16 nie. Predpokladajme, že sú spomedzi nich náhodne vybraté dve rodiny. Stanovte pravdepodobnosť, že obaja zákazníci budú spokojní. Pomocou vzorca (3) získame:

P (A a B) = P (A | B) * P (B)

kde je udalosť A je, že druhá rodina je s nákupom a s udalosťou spokojná V.- že prvá rodina je s ich nákupom spokojná. Pravdepodobnosť, že je prvá rodina s nákupom spokojná, je 64/80. Pravdepodobnosť, že je s nákupom spokojná aj druhá rodina, však závisí od reakcie prvej rodiny. Ak sa prvá rodina po prieskume nevráti do vzorky (výber bez návratu), počet respondentov klesá na 79. Ak bola prvá rodina s nákupom spokojná, pravdepodobnosť, že bude šťastná aj druhá rodina, je 63/ 79, pretože vo vzorke ich ostalo iba 63. rodiny spokojné s nákupom. Nahradením konkrétnych údajov do vzorca (3) teda dostaneme nasledujúcu odpoveď:

P (A a B) = (63/79) (64/80) = 0,638.

Preto je pravdepodobnosť, že obe rodiny sú s nákupmi spokojné, 63,8%.

Predpokladajme, že po prieskume sa k vzorke vráti prvá rodina. Stanovte pravdepodobnosť, že obe rodiny budú s nákupom spokojné. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že obe rodiny sú spokojné s nákupom, rovnaká, rovná sa 64/80. Preto P (A a B) = (64/80) (64/80) = 0,64. Pravdepodobnosť, že obe rodiny budú so svojimi nákupmi spokojné, je teda 64,0%. Tento príklad ukazuje, že výber druhej rodiny nezávisí od výberu prvej rodiny. Nahradenie podmienenej pravdepodobnosti vo vzorci (3) P (A | B) pravdepodobnosť P (A), dostaneme vzorec na vynásobenie pravdepodobností nezávislých udalostí.

Pravidlo pre znásobenie pravdepodobností nezávislých udalostí. Ak udalosti A a V. sú štatisticky nezávislé, pravdepodobnosť udalosti A a B. rovná sa pravdepodobnosti udalosti A vynásobené pravdepodobnosťou udalosti V..

(4) P (A a B) = P (A) P (B)

Ak toto pravidlo platí pre udalosti A a V. preto sú štatisticky nezávislé. Existujú teda dva spôsoby, ako určiť štatistickú nezávislosť dvoch udalostí:

1. Vývoj A a V. sú na sebe štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P (A | B) = P (A).
2. Vývoj A a B sú na sebe štatisticky nezávislé vtedy a len vtedy P (A a B) = P (A) P (B).

Ak je v pohotovostnej tabuľke funkcií s veľkosťou 2 × 2 splnená jedna z týchto podmienok aspoň pre jednu kombináciu udalostí A a B, bude to platiť pre akúkoľvek inú kombináciu.

Bezpodmienečná pravdepodobnosť elementárnej udalosti

(5) P (A) = P (A | B 1) P (B 1) + P (A | B 2) P (B 2) + ... + P (A | B k) P (B k)

kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a sú vyčerpávajúce.

Ilustrujme aplikáciu tohto vzorca na príklade na obrázku 1. Pomocou vzorca (5) získame:

P (A) = P (A | B 1) P (B 1) + P (A | B 2) P (B 2)

kde P (A)- pravdepodobnosť, že nákup bol plánovaný, P (B 1)- pravdepodobnosť, že bol nákup uskutočnený, P (B 2)- pravdepodobnosť, že nákup nebol dokončený.

Bayesova veta

Podmienená pravdepodobnosť udalosti zohľadňuje informáciu, že nastala nejaká iná udalosť. Tento prístup je možné použiť na spresnenie pravdepodobnosti s prihliadnutím na novo prijaté informácie a na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovaný účinok je dôsledkom nejakej konkrétnej príčiny. Postup na spresnenie týchto pravdepodobností sa nazýva Bayesova veta. Prvýkrát ho vyvinul Thomas Bayes v 18. storočí.

Predpokladajme, že vyššie uvedená spoločnosť hľadá trh s novým modelom televízora. V minulosti bolo úspešných 40% televízorov vytvorených spoločnosťou a 60% modelov nedostalo uznanie. Pred uvedením nového modelu obchodníci starostlivo skúmajú trh a zachytávajú dopyt. V minulosti bolo 80% modelov, ktoré získali prijatie, predpovedané vopred, zatiaľ čo 30% priaznivých predpovedí bolo nesprávnych. Marketingové oddelenie poskytlo pre nový model priaznivý výhľad. Aká je pravdepodobnosť, že bude požadovaný nový televízny model?

Bayesovu vetu je možné odvodiť z definícií podmienenej pravdepodobnosti (1) a (2). Na výpočet pravdepodobnosti P (B | A) použite vzorec (2):

a namiesto P (A a B) nahraďte hodnotu zo vzorca (3):

P (A a B) = P (A | B) * P (B)

Nahradením vzorca (5) namiesto P (A) získame Bayesovu vetu:

kde udalosti B 1, B 2, ... B k sa navzájom vylučujú a sú vyčerpávajúce.

Predstavíme nasledujúci zápis: udalosť S - Televízia je žiadaná, diania '- Televízia nie je žiadaná, udalosť F - priaznivá prognóza, udalosť F '- nepriaznivá prognóza... Predpokladajme, že P (S) = 0,4, P (S ') = 0,6, P (F | S) = 0,8, P (F | S') = 0,3. Použitím Bayesovej vety získame:

Pravdepodobnosť dopytu po novom modeli televízie, vzhľadom na priaznivú predpoveď, je 0,64. Vzhľadom na priaznivú predpoveď je teda pravdepodobnosť žiadneho dopytu 1–0,64 = 0,36. Proces výpočtu je znázornený na obr. 4.

Ryža. 4. a) Bayesovské výpočty na odhad pravdepodobnosti televízneho dopytu; b) Rozhodovací strom pri skúmaní dopytu po novom modeli televízie

Uvažujme o príklade aplikácie Bayesovej vety na lekársku diagnostiku. Pravdepodobnosť, že osoba trpí konkrétnou chorobou, je 0,03. Lekársky test vám umožní skontrolovať, či je to tak. Ak je osoba skutočne chorá, pravdepodobnosť presnej diagnózy (ktorá uvádza, že osoba je chorá, keď je skutočne chorá) je 0,9. Ak je človek zdravý, pravdepodobnosť falošne pozitívnej diagnózy (v ktorej sa uvádza, že je chorý, keď je zdravý) je 0,02. Povedzme, že lekársky test je pozitívny. Aká je pravdepodobnosť, že je táto osoba skutočne chorá? Aká je pravdepodobnosť presnej diagnózy?

Predstavíme nasledujúci zápis: udalosť D - osoba je chorá, udalosť D '- človek je zdravý, udalosť T - pozitívna diagnóza, udalosť T '- negatívna diagnóza... Z tvrdenia o probléme vyplýva, že P (D) = 0,03, P (D ') = 0,97, P (T | D) = 0,90, P (T | D') = 0,02. Použitím vzorca (6) získame:

Pravdepodobnosť, že pri pozitívnej diagnóze je človek skutočne chorý, je 0,582 (pozri tiež obr. 5). Všimnite si toho, že menovateľ Bayesovho vzorca sa rovná pravdepodobnosti pozitívnej diagnózy, t.j. 0,0464.

Profesionálny tipujúci by sa mal v kurzoch dobre vyznať, rýchlo a správne odhadnite pravdepodobnosť udalosti pomocou koeficientu a v prípade potreby byť schopný prevádzať kurzy z jedného formátu do druhého... V tejto príručke budeme hovoriť o tom, aké typy koeficientov sú, a pomocou príkladov analyzujeme, ako môžete vypočítajte pravdepodobnosť známym koeficientom a naopak.

Aké sú druhy kurzov?

Stávkové kancelárie ponúkajú hráčom tri hlavné typy kurzov: desatinné kurzy, zlomkové šance(anglicky) a Americké kurzy... Najbežnejšie kurzy v Európe sú desatinné. Americké kurzy sú v Severnej Amerike obľúbené. Frakčné kurzy sú najtradičnejším typom a okamžite odrážajú informácie o tom, koľko musíte staviť, aby ste získali určitú čiastku.

Desatinné kurzy

Desatinné alebo sa im aj hovorí Európske šance- toto je obvyklý formát čísla reprezentovaný desatinným zlomkom s presnosťou na stotiny a niekedy dokonca na tisíciny. Príklad desatinných kurzov je 1,91. Výpočet zisku v prípade desatinných kurzov je veľmi jednoduchý, stačí, ak výšku svojej stávky vynásobíte týmito kurzami. Napríklad v zápase medzi Manchesterom United a Arsenalom vyhráva Manchester United s kurzom 2,05, remíza s kurzom 3,9 a Arsenal s výhrou 2,95. Povedzme, že sme si istí, že United vyhrajú a stavili sme na nich 1 000 dolárov. Potom sa náš možný príjem vypočíta nasledovne:

2.05 * $1000 = $2050;

Nič zložité, však? Rovnako sa počíta možný výnos pri tipovaní remízy a výhry pre Arsenal.

Kresliť: 3.9 * $1000 = $3900;
Výhra Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti podľa desatinných kurzov?

Predstavte si teraz, že potrebujeme určiť pravdepodobnosť udalosti podľa desatinných kurzov, ktoré stávková kancelária stanovila. To sa robí rovnakým veľmi jednoduchým spôsobom. Za týmto účelom vydelíme jednotku týmto koeficientom.

Zoberme si údaje, ktoré už máme, a vypočítajme pravdepodobnosť každej udalosti:

Víťazstvo Manchestru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Kresliť: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Výhra Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Frakčné kurzy (angličtina)

Ako naznačuje názov zlomkový faktor reprezentovaný obyčajným zlomkom. Príkladom anglického kurzu je 5/2. Čitateľ zlomku obsahuje číslo, ktoré je potenciálnym súčtom čistého zisku, a menovateľ obsahuje číslo, ktoré označuje sumu, ktorú je potrebné vsadiť, aby bolo možné získať túto výhru. Jednoducho povedané, musíme staviť 2 doláre, aby sme vyhrali 5 dolárov. Koeficient 3/2 znamená, že na to, aby sme získali 3 čisté výhry, budeme musieť uzavrieť stávku vo výške 2 doláre.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov?

Nie je tiež ťažké vypočítať pravdepodobnosť udalosti zlomkovými koeficientmi, stačí rozdeliť menovateľa na súčet čitateľa a menovateľa.

Pre zlomok 5/2 vypočítame pravdepodobnosť: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pre zlomok 3/2 vypočítajte pravdepodobnosť:

Americké kurzy

Americké kurzy v Európe nepopulárny, ale veľmi vyrovnaný aj v Severnej Amerike. Možno je tento typ kurzov najťažší, ale je to len na prvý pohľad. V skutočnosti nie je na tomto type koeficientov nič zložité. Teraz to poďme pekne po poriadku.

Hlavnou črtou amerických kurzov je, že môžu byť ako pozitívne a negatívne... Príklad amerických kurzov je (+150), (-120). Americké kurzy (+150) znamenajú, že na to, aby sme zarobili 150 dolárov, musíme staviť 100 dolárov. Inými slovami, kladný koeficient USA odzrkadľuje potenciálny čistý zisk vo výške 100 USD. Záporný americký kurz odráža výšku stávky, ktorú je potrebné vykonať, aby ste získali čistú výhru 100 dolárov. Koeficient (- 120) nám napríklad hovorí, že tipovaním 120 dolárov vyhráme 100 dolárov.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou amerických kurzov?

Pravdepodobnosť udalosti podľa amerického koeficientu sa vypočíta podľa nasledujúcich vzorcov:

(- (M)) / ((- (M)) + 100), kde M je negatívny americký koeficient;
100 / (P + 100), kde P je kladný americký koeficient;

Máme napríklad koeficient (-120), potom sa pravdepodobnosť vypočíta nasledovne:

(- (M)) / ((- (M)) + 100); namiesto „M“ nahraďte hodnotu (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (-120) je teda 54,5%.

Máme napríklad koeficient (+150), potom sa pravdepodobnosť vypočíta nasledovne:

100 / (P + 100); nahraďte hodnotu (+150) namiesto „P“;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Pravdepodobnosť udalosti s americkou šancou (+150) je teda 40%.

Ako zistiť percento pravdepodobnosti, ktoré ho má previesť na desatinný koeficient?

Aby ste mohli vypočítať desatinný koeficient pre známe percento pravdepodobnosti, musíte vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Ak je napríklad pravdepodobnosť udalosti 55%, desatinný koeficient tejto pravdepodobnosti bude 1,81.

100 / 55% = 1,81

Ako to, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť na zlomkový koeficient?

Aby ste mohli vypočítať zlomkový koeficient pre známe percento pravdepodobnosti, musíte ho odpočítať od delenia 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Ak napríklad máme percento pravdepodobnosti 40%, potom zlomkový koeficient tejto pravdepodobnosti bude 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Frakčný faktor je 1,5 / 1 alebo 3/2.

Ako zistiť percento pravdepodobnosti, ktoré ho má preložiť do amerického koeficientu?

Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná podľa vzorca:

- ((V) / (100 - V)) * 100, kde V je pravdepodobnosť;

Ak napríklad máme pravdepodobnosť udalosti 80%, americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50%, výpočet sa vykoná podľa vzorca:

((100 - V) / V) * 100, kde V je pravdepodobnosť;

Ak napríklad máme 20% pravdepodobnosť udalosti, americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Ako môžem previesť koeficient do iného formátu?

Sú chvíle, keď je potrebné previesť kurzy z jedného formátu do druhého. Máme napríklad zlomkový faktor 3/2 a musíme ho previesť na desatinné miesto. Aby sme previedli zlomkové kurzy na desatinné, najskôr určíme pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým kurzom a potom túto pravdepodobnosť prevedieme na desatinné.

Pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým faktorom 3/2 je 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Teraz premeníme pravdepodobnosť udalosti na desatinný koeficient, na to delíme 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách:

100 / 40% = 2.5;

Čiastkové kurzy 3/2 sa teda rovnajú desatinným kurzom 2,5. Podobne sú napríklad americké koeficienty prepočítané na zlomkové, desatinné na americké atď. Najťažšie na tom všetkom sú práve výpočty.

„Nehody nie sú náhodné“ ... Znie to, ako povedal filozof, ale v skutočnosti je to veľká veda o matematike, ktorá študuje náhodnosť. V matematike sa teória náhod zaoberá náhodnosťou. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy.

Čo je to teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktoré skúmajú náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uvedieme malý príklad: ak mincu obrátite, môže padnúť „na hlavu“ alebo „na chvost“. Pokiaľ je minca vo vzduchu, sú možné obe tieto možnosti. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1: 1. Ak vytiahnete jednu z balíčka s 36 kartami, pravdepodobnosť bude označená 1:36. Zdá sa, že najmä pomocou matematických vzorcov nie je čo skúmať a predpovedať. Ak však určitú akciu opakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na jeho základe predpovedať výsledok udalostí za iných podmienok.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili vo vzdialenom stredoveku, keď sa prvýkrát uskutočnili pokusy o predpovedanie výsledku kartových hier.

Teória pravdepodobnosti pôvodne nemala nič spoločné s matematikou. Vychádzal z empirických faktov alebo vlastností udalosti, ktorú je možné reprodukovať v praxi. Prvé práce z tejto oblasti ako matematickej disciplíny sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazard a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christian Huygens, aj keď nebol oboznámený s výsledkami výskumu Pascala a Fermata. Predstavil pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sú považované za prvé v histórii disciplíny.

Významné sú aj práce Jacoba Bernoulliho, Laplaceovej a Poissonovej vety. Teóriu pravdepodobnosti urobili viac ako matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómom. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jednou z matematických vetiev.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Vývoj

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

• Dôveryhodné. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• Nemožné. Udalosti, ktoré sa nestanú za žiadneho scenára (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodne. Tí, ktorí sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzické vlastnosti mince, jej tvar, počiatočná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou P, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

• A = "študenti prišli na prednášku."
• Ā = "študenti neprišli na prednášku."

V praktických cvičeniach je zvykom zapisovať si udalosti slovami.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnosť príležitostí. To znamená, že ak hodíte mincou, všetky varianty počiatočného pádu sú možné, kým nespadne. Ale ani udalosti nie sú rovnako možné. K tomu dôjde, keď niekto konkrétne ovplyvní výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti sú tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti sa navzájom nevylučujú. Napríklad:

• A = "na prednášku prišiel študent."
• B = "študent prišiel na prednášku."

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a vzhľad jednej z nich nemá vplyv na vzhľad druhej. Nekompatibilné udalosti sú určené skutočnosťou, že vzhľad jedného vylučuje vzhľad druhého. Ak hovoríme o tej istej minci, potom vypadávajúce „chvosty“ znemožňujú, aby sa „hlavy“ objavili v tom istom experimente.

Opatrenia pri udalostiach

Udalosti je možné znásobiť a doplniť, respektíve sa v disciplíne zavádzajú logické spojenia „A“ a „ALEBO“.

Suma je určená skutočnosťou, že buď udalosť A, alebo B alebo dve môžu nastať súčasne. V prípade, že sú nekompatibilné, je posledná možnosť nemožná, buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva vo vzhľade A a B súčasne.

Teraz môžete uviesť niekoľko príkladov, aby ste si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov ďalej.

Cvičenie 1: Firma sa zúčastňuje výberového konania na zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = "firma dostane prvú zmluvu."
• A 1 = „Firma nedostane prvú zmluvu“.
• B = "firma dostane druhú zmluvu."
• B 1 = „Firma nedostane druhú zmluvu“
• C = „Firma dostane tretiu zmluvu.“
• C 1 = „Firma nedostane tretiu zmluvu.“

Pokúsme sa pomocou akcií na udalostiach vyjadriť nasledujúce situácie:

• K = „firma dostane všetky zmluvy“.

V matematickej forme bude rovnica vyzerať takto: K = ABC.

• M = „firma nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A 1 B 1 C 1.

Komplikovanie úlohy: H = „firma dostane jednu zmluvu“. Pretože nie je známe, akú zmluvu firma získa (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celú sériu možných udalostí:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

1 BC 1 je séria udalostí, kedy firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Príslušné metódy zaznamenali ďalšie možné udalosti. Symbol υ v disciplíne označuje odkaz „ALEBO“. Ak preložíme daný príklad do ľudského jazyka, spoločnosť dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú alebo prvú. Podobne si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

V tejto matematickej disciplíne je pravdepodobne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobností. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. stupeň) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré uprednostňujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P (A) = m / n.

A je vlastne udalosť. Ak existuje prípad opačný k A, môže byť zapísaný ako Ā alebo A 1.

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu srdcového obleku“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sú srdiečka. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P (A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho je pravdepodobnosť vytiahnutia karty obleku z balíčka 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia úloh, s ktorými sa stretávajú v školských osnovách. Teória pravdepodobnosti sa však nachádza aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a komplexných vzorcov.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať sa učiť vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup neprotirečí klasickému, ale mierne ho rozširuje. Ak v prvom prípade bolo potrebné určiť, s akou mierou pravdepodobnosti sa udalosť vyskytne, potom je pri tejto metóde potrebné uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu je zavedený nový koncept „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predpovedanie počíta klasický vzorec, potom štatistický - podľa výsledkov experimentu. Vezmite si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Zo 100 produktov boli 3 zistené, že majú zlú kvalitu. Ako zistíte pravdepodobnosť frekvencie kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného výrobku“.

W n (A) = 97/100 = 0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 položiek, ktoré boli skontrolované, boli 3 zistené ako nekvalitné. Od 100 odčítame 3, dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak určitý výber A možno vykonať m rôznymi spôsobmi a výber B - n rôznymi spôsobmi, potom je možné výber A a B vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C existujú 4 spôsoby. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4 = 20, to znamená, že sa môžete dostať z bodu A do bodu C dvadsiatimi rôznymi spôsobmi.

Skomplikujme si úlohu. Koľkými spôsobmi je možné hrať karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odpočítať“ jednu kartu od počiatočného bodu a vynásobiť ju.

To znamená, že 36x35x34x33x32 ... x2x1 = výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho môžete jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že sa medzi sebou znásobí celý rad čísel.

V kombinatorike existujú pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná zbierka prvkov sady sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok je možné použiť viackrát. A žiadne opakovanie, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa zúčastňujú umiestnenia. Vzorec pre umiestnenie bez opakovaní by bol:

A n m = n! / (N-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to je: P n = n!

Kombinácie n prvkov podľa m sú také zlúčeniny, v ktorých je dôležité, ktoré prvky to boli a aký bol ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n! / M! (N-m)!

Bernoulliho vzorec

Teória pravdepodobnosti, rovnako ako v každej disciplíne, má práce vynikajúcich vedcov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť, že k určitej udalosti dôjde za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od toho, či sa rovnaká udalosť vyskytla alebo neobjavila v predchádzajúcich alebo nasledujúcich testoch.

Bernoulliho rovnica:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) sa pri každom pokuse nemení. Pravdepodobnosť, že k situácii dôjde presne m krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vzorca uvedeného vyššie. V dôsledku toho vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p niekoľkokrát, nemusí k nej dôjsť. Jeden je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že sa udalosť nestane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti). Ďalej budeme uvažovať o príkladoch riešenia problémov (prvá úroveň).

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. 6 návštevníkov vstúpilo do obchodu nezávisle. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Pretože nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = "návštevník uskutoční nákup."

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). Podľa toho q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v obchode je 6 zákazníkov). Číslo m sa zmení z 0 (žiadny zákazník neuskutoční nákup) na 6 (všetci návštevníci obchodu si niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky o tom, kam zmizli C a p. Čo sa týka p, číslo k moci 0 bude rovné jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! / m! (n-m)!

Pretože v prvom prípade m = 0, respektíve C = 1, čo v zásade nemá vplyv na výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť, že si dvaja návštevníci kúpia tovar.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet nepravdepodobných náhodných situácií.

Základný vzorec:

P n (m) = λ m / m! × e (-λ).

Navyše λ = n x p. Tu je taký jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov budeme ďalej zvažovať.

Úloha 3: Továreň vyrobila diely v množstve 100 000 kusov. Vadný vzhľad súčiastky = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov tohto druhu sa nelíšia od ostatných úloh disciplíny, potrebné údaje nahradíme v danom vzorci:

A = "Náhodne vybraný diel bude chybný."

p = 0,0001 (podľa stavu úlohy).

n = 100000 (počet dielov).

m = 5 (chybné diely). Nahradíme údaje do vzorca a dostaneme:

P 100 000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, s ktorými je napísané vyššie, Poissonova rovnica má neznáme e. V skutočnosti ho možno nájsť podľa vzorca:

е -λ = lim n -> ∞ (1 -λ / n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet testov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach je rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A určitý počet krát v sérii testov možno zistiť pomocou Laplaceov vzorec:

Рn (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady problémov, ktoré vám pomôžu nižšie.

Najprv nájdeme X m, nahradíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a získame 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ (0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje vo vzorci:

R 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Takže pravdepodobnosť, že leták vystrelí presne 267 -krát, je 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnicou, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré s ňou môžu byť spojené. Základný vzorec vyzerá takto:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A a B sú konkrétne udalosti.

P (A | B) - podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B | A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Záverečnou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, ktoré sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli prinesené telefóny troch spoločností. Súčasne je časť telefónov, ktoré sa vyrábajú v prvom závode, 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4%a v treťom - 1%. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón sa ukáže ako chybný.

A = "náhodne vybraný telefón."

B 1 - telefón, ktorý bol vyrobený v prvej továrni. Podľa toho bude vstup B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu fabriku).

V dôsledku toho dostaneme:

P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - našli sme teda pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, tj pravdepodobnosť chybných výrobkov vo firmách:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B2) = 0,04;

P (A / B3) = 0,01.

Teraz zapojíme údaje do Bayesovho vzorca a dostaneme:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale je to len špička ľadovca rozsiahlej disciplíny. A po tom všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je teória pravdepodobnosti v živote potrebná. Bežnému človeku je ťažké odpovedať, je lepšie sa na to opýtať toho, kto s jeho pomocou viackrát trafil jackpot.

Teória pravdepodobnosti je pomerne rozsiahlym nezávislým odvetvím matematiky. V školskom kurze je teória pravdepodobnosti braná veľmi povrchne, na skúške a GIA sú však úlohy na túto tému. Riešenie problémov školského kurzu však nie je také ťažké (prinajmenšom pokiaľ ide o aritmetické operácie) - tu nemusíte počítať deriváty, brať integrály a riešiť zložité trigonometrické transformácie - hlavnou vecou je vedieť zvládnuť prvočísla a zlomky.

Teória pravdepodobnosti - základné pojmy

Hlavnými pojmami teórie pravdepodobnosti sú pokus, výsledok a náhodná udalosť. Test z teórie pravdepodobnosti je experiment - hod mincou, vytiahnutie karty, žrebovanie - to všetko sú testy. Výsledok testu, uhádli ste, sa nazýva výsledok.

A aká je náhodnosť udalosti? V teórii pravdepodobnosti sa predpokladá, že test sa vykonáva viac ako raz a existuje veľa výsledkov. Mnoho výsledkov pokusu sa nazýva náhodná udalosť. Ak napríklad hodíte mincou, môžu sa stať dve náhodné udalosti - hlavy alebo chvosty.

Nezamieňajte si koncepty výsledku a náhodnej udalosti. Výsledok je jedným výsledkom jedného pokusu. Náhodná udalosť je súbor možných výsledkov. Mimochodom, existuje taký termín ako nemožná udalosť. Napríklad udalosť „číslo 8“ na štandardnej hracej kocke nie je možná.

Ako zistíte pravdepodobnosť?

Všetci zhruba chápeme, čo je pravdepodobnosť, a dosť často toto slovo používame vo svojej slovnej zásobe. Okrem toho môžeme dokonca vyvodiť určité závery týkajúce sa pravdepodobnosti tejto alebo tej udalosti, napríklad ak je za oknom sneh, s najväčšou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že teraz nie je leto. Ako však možno tento predpoklad vyjadriť číselne?

Aby sme zaviedli vzorec na nájdenie pravdepodobnosti, zavedieme ešte jeden koncept - priaznivý výsledok, to znamená výsledok, ktorý je priaznivý pre konkrétnu udalosť. Definícia je dosť nejednoznačná, samozrejme, podľa stavu problému je vždy zrejmé, ktorý z výstupov je priaznivý.

Napríklad: V triede je 25 ľudí, traja z nich sú Katya. Učiteľ vymenuje Olyu do služby a ona potrebuje partnera. Aká je pravdepodobnosť, že sa Katya stane partnerom?

V tomto prípade je priaznivým výsledkom partnerka Katya. Tento problém vyriešime o niečo neskôr. Najprv však pomocou dodatočnej definície zavedieme vzorec na nájdenie pravdepodobnosti.

• P = A / N, kde P je pravdepodobnosť, A je počet priaznivých výsledkov, N je celkový počet výsledkov.

Všetky školské problémy sa točia okolo tohto jedného vzorca a hlavný problém zvyčajne spočíva v nájdení výsledkov. Niekedy je ľahké ich nájsť, niekedy nie úplne jednoduché.

Ako vyriešiť pravdepodobnosti?

Problém 1

Teraz teda vyriešime vyššie položený problém.

Počet priaznivých výsledkov (učiteľ vyberie Katyu) je tri, pretože v triede sú tri Katyi a celkovo 24 výsledkov (25-1, pretože Olya už bola vybratá). Potom je pravdepodobnosť: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Pravdepodobnosť, že Katya bude Olyiným partnerom, je teda 12,5%. Nie je to ťažké, však? Pozrime sa na niečo trochu komplikovanejšie.

Problém 2

Minca bola hodená dvakrát, aká je pravdepodobnosť kombinácie: jedna hlava a jeden chvost?

Zvážte teda celkové výsledky. Ako môžu mince padať - hlavy / hlavy, chvosty / chvosty, hlavy / chvosty, chvosty / hlavy? To znamená, že celkový počet výsledkov je 4. Koľko priaznivých výsledkov? Dve hlavy / chvosty a chvosty / hlavy. Pravdepodobnosť získania kombinácie hlavy a chvosta je teda:

• P = 2/4 = 0,5 alebo 50 percent.

Teraz sa pozrime na nasledujúci problém. Máša má vo vrecku 6 mincí: dve - 5 rubľov a štyri - 10 rubľov. Máša dala 3 mince do ďalšieho vrecka. Aká je pravdepodobnosť, že 5-rubľové mince skončia v rôznych vreckách?

Pre jednoduchosť označme mince s číslami - 1,2 - päťrubleové mince, 3,4,5,6 - desaťrubleové mince. Ako teda môžu byť mince vo vrecku? Existuje celkom 20 kombinácií:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že niektoré kombinácie zmizli, napríklad 231, ale v našom prípade sú kombinácie 123, 231 a 321 ekvivalentné.

Teraz spočítame, koľko priaznivých výsledkov máme. Berieme pre nich tie kombinácie, v ktorých je buď číslo 1, alebo číslo 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Je ich 12. , pravdepodobnosť je:

• P = 12/20 = 0,6 alebo 60%.

Tu uvedené problémy v teórii pravdepodobnosti sú dosť jednoduché, ale nemyslite si, že teória pravdepodobnosti je jednoduchým odvetvím matematiky. Ak sa rozhodnete pokračovať v štúdiu na univerzite (s výnimkou humanitných odborov), určite budete mať dvojice vo vyššej matematike, kde vás zoznámia so zložitejšími pojmami tejto teórie a problémy tam budú oveľa ťažšie .

Vo svojom blogu preklad ďalšej prednášky kurzu „Zásady rovnováhy hier“ od herného dizajnéra Jana Schreibera, ktorý pracoval na projektoch ako Marvel Trading Card Game a Playboy: The Mansion.

Doteraz bolo takmer všetko, o čom sme hovorili, deterministické a minulý týždeň sme sa podrobne pozreli na tranzitívnu mechaniku a rozobrali ju tak podrobne, ako to len dokážem vysvetliť. Ale doteraz sme nevenovali pozornosť iným aspektom mnohých hier, konkrétne nedeterministickým momentom - inými slovami náhodnosti.

Pochopenie podstaty náhodnosti je pre tvorcov hier veľmi dôležité. Vytvárame systémy, ktoré ovplyvňujú užívateľský zážitok v danej hre, preto potrebujeme vedieť, ako tieto systémy fungujú. Ak v systéme existuje náhodnosť, musíte pochopiť povahu tejto náhodnosti a vedieť, ako ju zmeniť, aby ste dosiahli požadované výsledky.

Kocky

Začnime niečím jednoduchým - hodom kockou. Keď väčšina ľudí myslí na kocky, vybaví sa im šesťstranná kocka známa ako d6. Väčšina hráčov však videla mnoho ďalších kociek: štvorstranné (d4), oktaedrálne (d8), dvanásťstranné (d12), dvadsaťstranné (d20). Ak ste skutočný geek, niekde môžete mať 30-stranné alebo 100-stranné kosti.

Ak túto terminológiu nepoznáte, d znamená raznicu a číslo za ňou je počet jej okrajov. Ak číslo príde pred d, znamená to počet kociek, ktoré sa majú hodiť. Napríklad v Monopoly hodíte 2d6.

V tomto prípade je teda fráza „kocky“ konvenčným označením. Existuje obrovské množstvo ďalších generátorov náhodných čísel, ktoré nevyzerajú ako plastové figúrky, ale vykonávajú rovnakú funkciu - generujú náhodné číslo od 1 do n. Bežnú mincu možno tiež reprezentovať ako dihedrálnu kocku.

Videl som dva návrhy sedemstranných kociek: jedna vyzerala ako kocky a druhá vyzerala skôr ako sedemstranná drevená ceruzka. Tetrahedrálny dreidel, známy tiež ako titotum, je analógom tetraedrickej kosti. Hracie pole so točivou šípkou v hre Chutes & Ladders, kde môže byť výsledok od 1 do 6, zodpovedá hexadecimálnej kocke.

Generátor náhodných čísel v počítači môže vytvoriť ľubovoľné číslo od 1 do 19, ak návrhár dá taký príkaz, aj keď počítač nemá 19-stranné kocky (vo všeobecnosti budem hovoriť podrobnejšie o pravdepodobnosti získania čísel. na počítači budúci týždeň). Všetky tieto položky vyzerajú odlišne, ale v skutočnosti sú ekvivalentné: máte rovnakú šancu na každý z niekoľkých možných výsledkov.

Kocky majú niekoľko zaujímavých vlastností, o ktorých musíme vedieť. Po prvé, pravdepodobnosť vypadnutia akejkoľvek tváre je rovnaká (predpokladám, že hádzate kockami správneho geometrického tvaru). Ak chcete poznať priemernú hodnotu zvitku (pre tých, ktorí majú radi teóriu pravdepodobnosti, je známa ako matematické očakávanie), spočítajte hodnoty na všetkých hranách a vydeľte toto číslo počtom hrán.

Súčet hodnôt všetkých plôch pre štandardnú šesťhrannú matricu je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Rozdeľte 21 počtom plôch a získame priemernú hodnotu zvitku: 21/6 = 3,5 . Je to špeciálny prípad, pretože predpokladáme, že všetky výsledky sú rovnako pravdepodobné.

Čo keď máte špeciálne kocky? Videl som napríklad hru so šesťhrannými kockami so špeciálnymi nálepkami na okrajoch: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže sa správa ako zvláštna trojstranná kocka, ktorá má väčšiu šancu získať číslo 1 ako 2. a je väčšia pravdepodobnosť, že hodí 2 ako 3. Aká je priemerná hodnota hodu pre túto matricu? Takže 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, delené 6 - ukazuje sa 5/3 alebo približne 1,66. Ak teda máte špeciálnu kocku a hráči hodia tromi kockami a potom zrátajú výsledky, viete, že súčet ich hodu bude asi 5 a na základe tohto predpokladu môžete hru vyrovnať.

Kocky a nezávislosť

Ako som už povedal, vychádzame z predpokladu, že každá tvár rovnako pravdepodobne vypadne. Nezáleží na tom, koľko kociek hodíte. Každý kotúč matrice je nezávislý - to znamená, že predchádzajúce kotúče neovplyvňujú výsledky nasledujúcich valcov. Pri dostatočnom počte pokusov si určite všimnete sériu čísel - napríklad vypadávajúcich z väčšinou väčších alebo menších hodnôt - alebo iné vlastnosti, ale to neznamená, že kocky sú „horúce“ alebo „studené“. O tom si povieme neskôr.

Ak hodíte štandardnými šesťstrannými kockami a číslo 6 sa objaví dvakrát za sebou, pravdepodobnosť, že nasledujúci hod bude mať hodnotu 6, je tiež 1/6. Pravdepodobnosť sa nezvyšuje zo skutočnosti, že kocky sú „ rozcvičený “. Pravdepodobnosť sa zároveň neznižuje: je nesprávne tvrdiť, že číslo 6 už dvakrát za sebou vypadlo, čo znamená, že teraz by mala vypadnúť iná tvár.

Samozrejme, ak hodíte kockou dvadsaťkrát a vždy, keď príde číslo 6, šanca, že dvadsiaty prvý raz hodíte šestkou, je dosť vysoká: možno máte len nesprávne kocky. Ale ak je kocka správna, pravdepodobnosť zhodenia každej tváre je rovnaká bez ohľadu na výsledky ostatných hodov. Môžete si tiež predstaviť, že vymieňame matricu zakaždým: ak sa číslo 6 objaví dvakrát za sebou, vyberte horúcu matricu z hry a nahraďte ju novou. Ospravedlňujem sa, ak niekto z vás o tom už vedel, ale potreboval som to objasniť, než budem pokračovať.

Ako prinútiť kocky padať viac -menej náhodne

Porozprávajme sa o tom, ako dosiahnuť rôzne výsledky na rôznych kockách. Ak hodíte kockami iba raz alebo viackrát, hra bude pôsobiť náhodnejšie, keď má kocka viac hrán. Čím častejšie kockou hádzate a čím viac kockou hádzate, tým viac sa výsledky približujú priemeru.

Napríklad v prípade 1d6 + 4 (to znamená, ak hodíte štandardnou hexadecimálnou kockou raz a k výsledku pripočítate 4), priemer bude 5 až 10. Ak hodíte 5d2, priemer bude tiež 5 až 10. Hod 5d2 bude mať väčšinou za následok čísla 7 a 8, zriedka iné hodnoty. Rovnaká séria, dokonca rovnaká priemerná hodnota (7,5 v oboch prípadoch), ale charakter náhodnosti je odlišný.

Počkaj minútu. Nepovedal som len, že kocky „neohrievajú“ ani „neochladzujú“? Teraz hovorím, ak hodíte veľa kockami, výsledky hodov sa blížia k priemeru. Prečo?

Nechaj ma vysvetliť. Ak hodíte jednou kockou, pravdepodobnosť zhodenia každej tváre je rovnaká. To znamená, že ak hodíte veľa kociek za určitý čas, každá tvár vypadne približne rovnako často. Čím viac kociek hodíte, tým viac sa kumulatívny výsledok priblíži k priemeru.

Nie je to tak preto, že vypadnuté číslo „urobí“ ďalšie číslo, ktoré ešte nevypadlo. Ale pretože malá séria čísla 6 (alebo 20, alebo iného čísla) na konci výsledok až tak neovplyvní, ak kockou hodíte ešte desaťtisíckrát a v zásade priemerná hodnota vypadne. Teraz získate niekoľko veľkých čísel a neskôr niekoľko malých - a postupom času sa budú približovať k priemernej hodnote.

Nie je to tak preto, že predchádzajúce hody majú vplyv na kocky (vážne, kocky sú vyrobené z plastu a nemá mozog si myslieť: „Ach, už dlho sa nehádzalo“), ale preto, že sa to zvyčajne stáva pri veľkých kockách. počet hodov kockou.

Je teda celkom jednoduché vykonať výpočty pre jeden náhodný hod kockami - vypočítať aspoň priemernú hodnotu hodu. Existujú aj spôsoby, ako vypočítať, „ako náhodne“ sa niečo stane, a povedať, že výsledky hádzania 1d6 + 4 budú „náhodnejšie“ ako 5d2. Pri 5d2 budú valcované výsledky rovnomernejšie rozložené. Aby ste to urobili, musíte vypočítať štandardnú odchýlku: čím väčšia je hodnota, tým budú výsledky náhodnejšie. Nechcel by som dnes dávať toľko výpočtov, túto tému vysvetlím neskôr.

Jediná vec, ktorú vás požiadam, aby ste si to zapamätali, je, že spravidla platí, že čím menej kociek hodíte, tým väčšia je náhodnosť. A ešte viac, čím viac kociek má kociek, tým väčšia je náhodnosť, pretože existuje viac možných variantov hodnoty.

Ako vypočítať pravdepodobnosť počítaním

Možno vás zaujíma: ako môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť získania určitého výsledku? V skutočnosti je to pre mnoho hier dosť dôležité: ak spočiatku hodíte kockami, pravdepodobne dôjde k optimálnemu výsledku. Odpoveď je: musíme spočítať dve hodnoty. Po prvé, celkový počet výsledkov pri hodení kockou, a po druhé, počet priaznivých výsledkov. Vydelením druhej hodnoty prvou získate požadovanú pravdepodobnosť. Ak chcete získať percento, vynásobte svoj výsledok 100.

Príklady

Tu je veľmi jednoduchý príklad. Chcete, aby prišla 4 a vyššia a hodili šesťhrannou kockou raz. Maximálny počet výstupov je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho sú 3 výsledky (4, 5, 6) priaznivé. Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť, delte 3 šiestimi a získajte 0,5 alebo 50%.

Tu je príklad, ktorý je trochu komplikovanejší. Chcete, aby na hode 2d6 vyšlo párne číslo. Maximálny počet výsledkov je 36 (6 možností pre každú kocku, jedna kocka neovplyvňuje druhú, preto vynásobíme 6 šiestimi a dostaneme 36). Problém pri tomto type otázky spočíva v tom, že je ľahké dvakrát počítať. Napríklad pri hode 2d6 existujú dva výsledky 3: 1 + 2 a 2 + 1. Vyzerajú rovnako, ale rozdiel je v tom, ktoré číslo je zobrazené na prvej kocke a ktoré na druhej.

Môžete si tiež predstaviť, že kocky sú rôznych farieb: napríklad v tomto prípade je jedna kocka červená a druhá modrá. Potom spočítajte počet možností na získanie párneho čísla:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ukazuje sa, že existuje 18 možností priaznivého výsledku z 36 - rovnako ako v predchádzajúcom prípade je pravdepodobnosť 0,5 alebo 50%. Možno nečakané, ale celkom presné.

Simulácia Monte Carlo

Čo keď máte príliš veľa kociek na spočítanie? Chcete napríklad vedieť, aká je pravdepodobnosť, že na hod 8d6 bude hodených 15 alebo viac kusov. Existuje toľko rôznych výsledkov pre osem kociek a ich manuálne počítanie bude trvať veľmi dlho - aj keď nájdeme nejaké dobré riešenie na zoskupenie rôznych sérií kociek.

V tomto prípade nie je najľahšie nepočítať ručne, ale používať počítač. Na počítači existujú dva spôsoby výpočtu pravdepodobnosti. Na získanie presnej odpovede je možné použiť prvú metódu, ale zahŕňa trochu programovania alebo skriptovania. Počítač sa pozrie na každú príležitosť, odhadne a spočíta celkový počet iterácií a počet iterácií, ktoré zodpovedajú požadovanému výsledku, a potom poskytne odpovede. Váš kód môže vyzerať takto:

Ak nie ste oboznámení s programovaním a nepotrebujete presnú, ale približnú odpoveď, môžete túto situáciu simulovať v programe Excel, kde niekoľko tisíc krát hodíte 8d6 a dostanete odpoveď. Ak chcete hodiť 1d6 v programe Excel, použite vzorec = PODLAHA (RAND () * 6) +1.

Existuje názov pre situáciu, keď nepoznáte odpoveď a len to skúšate znova a znova - simulácia Monte Carlo. Toto je skvelé riešenie, keď je výpočet pravdepodobnosti príliš ťažký. Ide o to, že v tomto prípade nepotrebujeme porozumieť tomu, ako matematický výpočet funguje, a vieme, že odpoveď bude „celkom dobrá“, pretože, ako už vieme, čím viac roliek, tým viac sa výsledok blíži priemerná hodnota.

Ako skombinovať nezávislé testy

Ak sa pýtate na viac opakujúcich sa, ale nezávislých výziev, výsledok jedného hodu neovplyvní výsledok ostatných hodov. Existuje ďalšie jednoduchšie vysvetlenie tejto situácie.

Ako rozlíšiť niečo závislé a nezávislé? V zásade platí, že ak dokážete rozlíšiť každý hod (alebo sériu hodov) kockami ako samostatnú udalosť, je nezávislý. Napríklad hodíme 8d6 a chceme celkom 15. Túto udalosť nemožno rozdeliť na viacero nezávislých hodov kockami. Ak chcete získať výsledok, vypočítate súčet všetkých hodnôt, takže výsledok, ktorý padne na jednu kocku, ovplyvní výsledky, ktoré by mali padnúť na ostatné.

Tu je príklad nezávislých hodov: hráte s kockami a niekoľkokrát hodíte šesťstrannými kockami. Aby ste v hre zostali, musí byť prvý hod 2 alebo vyšší. Pri druhom hode 3 a viac. Tretí vyžaduje 4 a vyššie, štvrtý vyžaduje 5 alebo vyšší a piaty vyžaduje 6. Ak sú všetky päť hodov úspešné, vyhrávate. V tomto prípade sú všetky kotúče nezávislé. Áno, ak je jeden hod neúspešný, ovplyvní to výsledok celej hry, ale jeden hod nemá vplyv na druhý. Ak je napríklad váš druhý hod kockou veľmi úspešný, neznamená to, že ďalšie hody budú rovnako dobré. Preto môžeme zvážiť pravdepodobnosť každého hodu kockou zvlášť.

Ak máte nezávislé pravdepodobnosti a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dôjde k všetkým udalostiam, definujete každú jednotlivú pravdepodobnosť a vynásobíte ju. Ďalší spôsob: Ak použijete na opísanie niekoľkých podmienok spojku „a“ (napríklad aká je pravdepodobnosť nejakej náhodnej udalosti a nejakej ďalšej nezávislej náhodnej udalosti?) - spočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a vynásobte ich.

Nezáleží na tom, čo si myslíte - nikdy nesčítajte nezávislé pravdepodobnosti. Toto je bežná chyba. Aby ste pochopili, prečo je to nesprávne, predstavte si situáciu, pri ktorej si hodíte mincou a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dvakrát za sebou „hlava“. Pravdepodobnosť vypadnutia každej strany je 50%. Ak pripočítate tieto dve pravdepodobnosti, získate 100% šancu, že získate hlavy, ale vieme, že to nie je pravda, pretože dvakrát za sebou by to mohlo prísť ako prvé. Ak namiesto toho vynásobíte tieto dve pravdepodobnosti, získate 50% * 50% = 25% - to je správna odpoveď na výpočet pravdepodobnosti zasiahnutia hláv dvakrát za sebou.

Príklad

Vráťme sa k šesťstrannej hre s kockami, kde chcete, aby sa najskôr objavilo číslo väčšie ako 2, potom viac ako 3 a tak ďalej až do 6. Aké sú šance, že všetky výsledky budú v danom prípade priaznivé séria piatich hodov?

Ako je uvedené vyššie, jedná sa o nezávislé testy, takže vypočítame pravdepodobnosti pre každý jednotlivý hod a potom ich vynásobime. Pravdepodobnosť, že výsledok prvého hodu bude priaznivý, je 5/6. Druhý je 4/6. Tretí je 3/6. Štvrtý - 2/6, piaty - 1/6. Všetky výsledky navzájom vynásobíme a dostaneme asi 1,5%. Výhry v tejto hre sú pomerne zriedkavé, takže ak do hry pridáte tento prvok, budete potrebovať pomerne veľký jackpot.

Negácia

Tu je ďalšia užitočná rada: niekedy je ťažké vypočítať pravdepodobnosť, že sa udalosť stane, ale je jednoduchšie určiť šance, že sa udalosť nestane. Predpokladajme napríklad, že máme inú hru: hodíte 6d6 a vyhráte, ak hodíte najmenej 6. Aká je pravdepodobnosť výhry?

V tomto prípade existuje veľa možností, ktoré je potrebné zvážiť. Možno jedno číslo 6 vypadne, to znamená, že jedna z kociek bude mať číslo 6 a ostatné budú mať čísla od 1 do 5, potom existuje 6 možností, pre ktoré z kociek bude 6. Môžete získať číslo 6 na dve kocky. kosti, alebo tri, alebo dokonca viac, a zakaždým, keď potrebujete urobiť samostatné počítanie, takže sa tu môžete ľahko zamotať.

Pozrime sa však na problém z druhej strany. Prehráte, ak žiadna z kociek nepríde s číslom 6. V tomto prípade máme 6 nezávislých pokusov. Pravdepodobnosť, že každej z kociek padne iné číslo ako 6, je 5/6. Vynásobte ich a získate asi 33%. Pravdepodobnosť prehry je teda jedna z troch. Preto je pravdepodobnosť výhry 67% (alebo dvoch až troch).

Z tohto príkladu je zrejmé, že ak vezmete do úvahy pravdepodobnosť, že sa udalosť nestane, musíte výsledok odpočítať od 100%. Ak je pravdepodobnosť výhry 67%, potom je pravdepodobnosť prehry 100%mínus 67%alebo 33%a naopak. Ak je ťažké vypočítať jednu pravdepodobnosť, ale je ľahké vypočítať opak, vypočítajte opak a potom toto číslo odpočítajte od 100%.

Kombinácia podmienok pre jeden nezávislý test

Hneď vyššie som povedal, že by ste nikdy nemali zhrnúť pravdepodobnosti v nezávislých skúškach. Existujú nejaké prípady, kedy je možné zhrnúť pravdepodobnosti? Áno, v jednej zvláštnej situácii.

Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť pre niekoľko nesúvisiacich priaznivých výsledkov toho istého pokusu, pridajte pravdepodobnosti každého priaznivého výsledku. Napríklad pravdepodobnosť získania čísiel 4, 5 alebo 6 na 1d6 sa rovná súčtu pravdepodobnosti získania čísla 4, pravdepodobnosti získania čísla 5 a pravdepodobnosti získania čísla 6. Táto situácia môže byť reprezentovaný nasledovne: ak v otázke o pravdepodobnosti použijete spojku „alebo“ (napríklad aká je pravdepodobnosť konkrétneho výsledku jednej náhodnej udalosti?) - vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a zhrňte ich.

Upozorňujeme, že keď vypočítate všetky možné výsledky hry, súčet pravdepodobností ich výskytu sa musí rovnať 100%, inak bol váš výpočet vykonaný nesprávne. Je to dobrý spôsob, ako si znova skontrolovať výpočty. Analyzovali ste napríklad pravdepodobnosť, že v pokri zasiahnete všetky ruky. Ak spočítate všetky výsledky, ktoré získate, mali by ste skončiť s presne 100% (alebo aspoň hodnotou celkom blízkou 100%: ak používate kalkulačku, môže dôjsť k malej zaokrúhľovacej chybe, ale ak pridáte presnú čísla ručne, všetko by malo fungovať)). Ak sa súčet nesčítava, znamená to, že ste s najväčšou pravdepodobnosťou nevzali do úvahy niektoré kombinácie alebo ste nesprávne vypočítali pravdepodobnosti niektorých kombinácií a výpočty je potrebné znova skontrolovať.

Nerovnomerné pravdepodobnosti

Doteraz sme predpokladali, že každá tvár kocky vypadáva s rovnakou frekvenciou, pretože takto kocky fungujú. Niekedy sa však môžete stretnúť so situáciou, kde sú možné rôzne výsledky a majú rôzne šance, že vás niekto opustí.

Napríklad v jednom z doplnkov kartovej hry Nuclear War je ihrisko so šípkou, od ktorého závisí výsledok štartu rakety. Najčastejšie spôsobí bežné poškodenie, silnejšie alebo slabšie, ale niekedy poškodenie zdvojnásobí alebo strojnásobí, alebo raketa exploduje na štartovacej ploche a ublíži vám, alebo sa stane iná udalosť. Na rozdiel od rady Arrow v hre Chutes & Ladders alebo A Game of Life sú výsledky rady Nuclear War nerovnomerné. Niektoré časti hracieho poľa sú väčšie a šípka sa na nich zastavuje oveľa častejšie, zatiaľ čo ostatné sekcie sú veľmi malé a šípka sa na nich zastavuje len zriedka.

Kosť teda na prvý pohľad vyzerá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - už sme o tom hovorili, je to niečo ako vážená 1d3. Preto musíme všetky tieto sekcie rozdeliť na rovnaké časti, nájsť najmenšiu mernú jednotku, deliteľ, na ktorý je všetko násobkom, a potom reprezentovať situáciu vo forme d522 (alebo nejakej inej), kde množina kociek tváre budú predstavovať rovnakú situáciu, ale s mnohými výsledkami. Toto je jeden zo spôsobov riešenia problému a je to technicky možné, ale existuje jednoduchšia možnosť.

Vráťme sa k našim štandardným hexadecimálnym kockám. Povedali sme, že na výpočet priemernej hodnoty valca pre normálnu matricu je potrebné spočítať hodnoty na všetkých okrajoch a rozdeliť ich počtom hrán, ale ako presne výpočet funguje? Môžete to dať aj inak. Pri hexagonálnych kockách je pravdepodobnosť vypadnutia každej tváre presne 1/6. Teraz vynásobíme výsledok každého aspektu pravdepodobnosťou tohto výsledku (v tomto prípade 1/6 pre každý aspekt) a potom pridáme výsledné hodnoty. Takže súčet (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , dostaneme rovnaký výsledok (3,5) ako vo výpočte vyššie. V skutočnosti to počítame vždy: každý výsledok vynásobíme pravdepodobnosťou tohto výsledku.

Môžeme urobiť rovnaký výpočet pre strelca na ihrisku v jadrovej vojne? Samozrejme, že môžeme. A keď spočítame všetky nájdené výsledky, dostaneme priemer. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať pravdepodobnosť každého výsledku pre šípku na tabuli a vynásobiť výslednou hodnotou.

Ďalší príklad

Uvedený spôsob výpočtu priemeru je vhodný aj vtedy, ak sú výsledky rovnako pravdepodobné, ale majú odlišné výhody - napríklad ak hodíte kockami a na niektorých hranách vyhráte viac ako ostatné. Vezmite si napríklad kasínovú hru: stavíte a hodíte 2k6. Ak vypadnú tri čísla s najnižšou hodnotou (2, 3, 4) alebo štyri čísla s najvyššou hodnotou (9, 10, 11, 12), vyhráte čiastku rovnajúcu sa vašej stávke. Čísla s najnižšou a najvyššou hodnotou sú špeciálne: ak príde číslo 2 alebo 12, vyhráte dvakrát toľko, ako je vaša stávka. Ak vypadne akékoľvek iné číslo (5, 6, 7, 8), svoju stávku prehráte. Je to celkom jednoduchá hra. Aká je však pravdepodobnosť výhry?

Začneme tým, že spočítame, koľkokrát môžete vyhrať. Maximálny počet výsledkov pri hode 2d6 je 36. Koľko úspešných výsledkov existuje?

• K dispozícii je 1 možnosť pre 2 a 1 možnosť pre 12.
• Existujú 2 možnosti, ktoré budú 3 a 2 možnosti, ktoré budú 11.
• Existujú 3 možnosti pre 4 a 3 možnosti pre 10.
• Budú zavedené 4 možnosti 9.

Keď zhrnieme všetky možnosti, dostaneme 16 priaznivých výsledkov z 36. Za normálnych podmienok teda vyhráte 16 -krát z 36 možných - pravdepodobnosť výhry je o niečo menšia ako 50%.

Ale v dvoch prípadoch z týchto šestnástich vyhráte dvakrát toľko - je to ako dvakrát vyhrať. Ak hráte túto hru 36 -krát, pričom každý deň stavíte 1 dolár a každý zo všetkých možných výsledkov sa objaví raz, vyhráte 18 dolárov (v skutočnosti vyhráte 16 -krát, ale dve z nich sa počítajú ako dve výhry). Ak hráte 36 -krát a vyhráte 18 dolárov, neznamená to, že sú šance rovnaké?

Neponáhľaj sa. Ak spočítate, koľkokrát môžete prehrať, získate 20, nie 18. Ak hráte 36 -krát a vsadíte zakaždým 1 dolár, vyhráte spolu 18 dolárov za všetky dobré výsledky. Ale stratíte celkom 20 dolárov za všetkých 20 nepriaznivých výsledkov. Vďaka tomu budete trocha zaostávať: v priemere prehráte 2 doláre na každých 36 hier (môžete tiež povedať, že denne prehráte v priemere 1/18 dolára). Teraz vidíte, aké ľahké je v tomto prípade urobiť chybu a vypočítať pravdepodobnosť nesprávne.

Permutácia

Doteraz sme predpokladali, že na poradí čísel pri hode kockou nezáleží. Rola 2 + 4 je rovnaká ako rolka 4 + 2. Vo väčšine prípadov počet dobrých výsledkov vypočítame ručne, ale niekedy je táto metóda nepraktická a je lepšie použiť matematický vzorec.

Príklad tejto situácie je z hry s kockami Farkle. Za každé nové kolo hodíte 6d6. Ak budete mať šťastie a získate všetky možné výsledky 1-2-3-4-5-6 (rovno), získate veľký bonus. Aká je pravdepodobnosť, že sa to stane? V tomto prípade existuje veľa možností pre túto kombináciu.

Riešenie vyzerá takto: jedna z kociek (a iba jedna) by mala mať číslo 1. Koľko variantov čísla 1 na jednej kocke? Existuje 6 možností, pretože existuje 6 kociek a každá z nich môže mať číslo 1. Podľa toho vezmite jednu kocku a odložte ju. Teraz by jedna zo zvyšných kociek mala mať číslo 2. Existuje na to 5 možností. Vezmite ďalšie kocky a odložte ich. Potom môžu 4 zvyšné kocky získať číslo 3, 3 zostávajúce kocky môžu získať číslo 4 a 2 kocky - číslo 5. V dôsledku toho vám zostane jedna kocka, na ktorú by malo padnúť číslo 6. (v druhom prípade je kocka jedna kosť a nie je na výber).

Na výpočet počtu priaznivých výsledkov pre priamu kombináciu vynásobíme všetky rôzne nezávislé možnosti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - zdá sa, že pre túto kombináciu existuje pomerne veľký počet možností.

Na výpočet pravdepodobnosti získania priameho komba musíme deliť 720 počtom všetkých možných výsledkov pre hod 6d6. Aký je počet všetkých možných výsledkov? Každá raznica má 6 tvárí, takže vynásobíme 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (oveľa viac ako predchádzajúca). Rozdelením 720 na 46656 získate pravdepodobnosť asi 1,5%. Ak by ste navrhovali túto hru, bolo by užitočné, keby ste vedeli, že si môžete vytvoriť vhodný systém bodovania. Teraz chápeme, prečo vo Farkle získate taký veľký bonus, ak získate priamu kombináciu: toto je dosť zriedkavá situácia.

Výsledok je zaujímavý aj z iného dôvodu. Príklad ukazuje, ako zriedkavo sa v krátkom období objaví výsledok zodpovedajúci pravdepodobnosti. Samozrejme, keby sme hodili niekoľko tisíc kociek, rôzne tváre kociek by dosť často vypadávali. Ale keď hodíme len šiestimi kockami, takmer nikdy sa nestane, že vypadne každá tvár. Je zrejmé, že je hlúpe očakávať, že teraz bude čiara, ktorá ešte nebola, pretože „číslo 6 už dávno nemáme“. Počúvajte, váš generátor náhodných čísel je poškodený.

To nás privádza k bežnej mylnej predstave, že všetky výsledky sa vyskytujú rovnako často v krátkom časovom období. Ak hodíme kockou niekoľkokrát, frekvencia každého z okrajov nebude rovnaká.

Ak ste niekedy pracovali na online hre s generátorom náhodných čísel, s najväčšou pravdepodobnosťou ste sa dostali do situácie, keď hráč napíše technickej podpore so sťažnosťou, že generátor náhodných čísel nezobrazuje náhodné čísla. Došiel k tomuto záveru, pretože zabil 4 príšery za sebou a dostal 4 úplne rovnaké odmeny a tieto odmeny by mali vypadnúť iba v 10% prípadov, takže k tomu by sa očividne nemalo takmer nikdy stať.

Robíte matematický výpočet. Pravdepodobnosť je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, to znamená, že 1 výsledok z 10 000 je dosť zriedkavý prípad. To sa vám hráč snaží povedať. Je v tomto prípade problém?

Všetko závisí od okolností. Koľko hráčov je teraz na vašom serveri? Povedzme, že máte pomerne populárnu hru a každý deň ju hrá 100 000 ľudí. Koľko hráčov zabije štyri príšery za sebou? Možno všetky, niekoľkokrát denne, ale predpokladajme, že polovica z nich jednoducho vymieňa rôzne položky v aukciách, prepisuje na serveroch RP alebo vykonáva iné herné akcie - takže iba polovica z nich loví príšery. Aká je pravdepodobnosť, že niekto dostane rovnakú odmenu? V tejto situácii môžete očakávať, že sa to stane najmenej niekoľkokrát denne.

Mimochodom, preto sa zdá, že každých pár týždňov niekto vyhrá v lotérii, aj keď tým niekým nikdy nie ste vy alebo niekto, koho poznáte. Ak bude pravidelne hrať dostatok ľudí, je šanca, že niekde bude aspoň jeden šťastný človek. Ak však budete hrať lotériu sami, je nepravdepodobné, že by ste vyhrali, je pravdepodobnejšie, že budete pozvaní pracovať v Infinity Ward.

Mapy a závislosť

Diskutovali sme o nezávislých udalostiach, ako je hod kockou, a teraz poznáme mnoho výkonných nástrojov na analýzu náhodnosti v mnohých hrách. Vypočítanie pravdepodobnosti je trochu ťažšie, pokiaľ ide o vyberanie kariet z balíčka, pretože každá karta, ktorú vytiahneme, má vplyv na karty, ktoré zostanú v balíčku.

Ak máte štandardný balíček 52 kariet, vytiahnete z neho 10 sŕdc a chcete vedieť pravdepodobnosť, že ďalšia karta bude rovnakej farby - pravdepodobnosť sa zmenila oproti pôvodnej, pretože jednu kartu ste už odstránili srdcových oblekov z paluby. Každá karta, ktorú vyberiete, zmení pravdepodobnosť, že sa v balíčku objaví ďalšia karta. V tomto prípade predchádzajúca udalosť ovplyvňuje ďalšiu, preto túto pravdepodobnosť nazývame závislou.

Upozorňujeme, že keď hovorím „karty“, myslím tým akéhokoľvek herného mechanika, ktorý má sadu predmetov a jeden z nich odstránite bez toho, aby ste ho nahradili. „Balíček kariet“ je v tomto prípade analógom vrecka s čipmi, z ktorého vyberiete jeden čip, alebo urny, z ktorej sa vyberajú farebné loptičky (nikdy som nevidel hry s urnou, z ktorej boli odobraté farebné loptičky ale učitelia teórie pravdepodobnosti z tohto dôvodu uprednostňujú tento príklad).

Vlastnosti závislosti

Chcel by som objasniť, že pokiaľ ide o karty, predpokladám, že karty vytiahnete, pozriete sa na ne a vyberiete ich z balíčka. Každá z týchto akcií je dôležitou vlastnosťou. Ak by som mal balíček, povedzme, šiestich kariet s číslami od 1 do 6, zamiešal by som ich a vybral jednu kartu, potom by som zamiešal všetkých šesť kariet znova - bolo by to podobné ako pri hode šesťstrannými kockami, pretože jeden výsledok nemá vplyv na ďalšie. A ak vytiahnem karty a nevymením ich, potom vytiahnutím karty 1 zvýšim pravdepodobnosť, že nabudúce si vytiahnem kartu s číslom 6. Pravdepodobnosť sa bude zvyšovať, kým nakoniec nevyberiem túto kartu alebo nezamiešam balíček. .

Dôležitý je aj fakt, že sa pozeráme na karty. Ak vytiahnem kartu z balíčka a nepozriem sa na ňu, nebudem mať ďalšie informácie a v skutočnosti sa pravdepodobnosť nezmení. Môže to znieť neintuitívne. Ako môže jednoduché otočenie karty magicky zmeniť pravdepodobnosť? Ale je to možné, pretože pravdepodobnosť pre neznáme objekty môžete vypočítať iba na základe toho, čo poznáte.

Ak napríklad zamiešate štandardný balíček kariet, odhalíte 51 kariet a žiadna z nich nie je kráľovnou klubov, potom si môžete byť 100% istí, že zvyšná karta je kráľovnou klubov. Ak zamiešate štandardný balíček kariet a vytiahnete 51 kariet bez toho, aby ste sa na ne pozreli, pravdepodobnosť, že zostávajúcou kartou je kráľovná klubov, je stále 1/52. Otvorením každej karty získate ďalšie informácie.

Výpočet pravdepodobnosti pre závislé udalosti sa riadi rovnakými princípmi ako pre nezávislé udalosti, ibaže je to trochu komplikovanejšie, pretože pravdepodobnosti sa menia, keď otvoríte karty. Preto musíte namiesto vynásobenia rovnakej hodnoty vynásobiť mnoho rôznych hodnôt. V skutočnosti to znamená, že musíme všetky výpočty, ktoré sme urobili, spojiť do jednej kombinácie.

Príklad

Zamiešate štandardný balíček s 52 kartami a vytiahnete dve karty. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnete pár? Existuje niekoľko spôsobov, ako vypočítať túto pravdepodobnosť, ale asi najjednoduchší je nasledujúci: Aká je pravdepodobnosť, že sa vám nepodarí vytiahnuť pár vytiahnutím jednej karty? Táto pravdepodobnosť je nulová, takže nezáleží na tom, ktorú prvú kartu vytiahnete, pokiaľ sa zhoduje s druhou. Nezáleží na tom, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, stále máme šancu vytiahnuť pár. Preto je pravdepodobnosť vytiahnutia páru po vytiahnutí prvej karty 100%.

Aká je pravdepodobnosť, že druhá karta bude rovnaká ako prvá? V balíčku zostáva 51 kariet a 3 z nich sa zhodujú s prvou kartou (v skutočnosti by to boli 4 z 52, ale jednu z príslušných kariet ste už odstránili, keď ste vybrali prvú kartu), takže pravdepodobnosť je 1/ 17. Takže nabudúce, keď ten chlap oproti vám pri stole bude hrať Texas Hold'em, povie: „Super, ďalší pár? Dnes mám šťastie, “budete vedieť, že pravdepodobne blufuje.

Čo keď pridáme dvoch žolíkov, takže v balíčku máme 54 kariet a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť vybratia páru? Prvá karta môže byť žolík a potom bude v balíčku iba jedna zodpovedajúca karta, a nie tri. Ako v tomto prípade zistíte pravdepodobnosť? Pravdepodobnosti rozdelíme a každú možnosť znásobíme.

Našou prvou kartou môže byť žolík alebo iná karta. Pravdepodobnosť vytiahnutia žolíka je 2/54, pravdepodobnosť vytiahnutia inej karty je 52/54. Ak je prvou kartou žolík (2/54), potom pravdepodobnosť, že sa druhá karta zhoduje s prvou, je 1/53. Hodnoty vynásobíme (môžeme ich znásobiť, pretože ide o samostatné udalosti a chceme, aby sa stali obe udalosti) a dostaneme 1/1431 - menej ako jednu desatinu percenta.

Ak si najskôr vytiahnete inú kartu (52/54), pravdepodobnosť zhody s druhou kartou je 3/53. Vynásobte hodnoty a získajte 78/1431 (o niečo viac ako 5,5%). Čo urobíme s týmito dvoma výsledkami? Nekrižujú sa a my chceme vedieť pravdepodobnosť každého z nich, preto hodnoty sčítame. Získame konečný výsledok 79/1431 (stále asi 5,5%).

Ak by sme si chceli byť istí presnosťou odpovede, mohli by sme vypočítať pravdepodobnosť všetkých ostatných možných výsledkov: vytiahnutie žolíka a nesúlad druhej karty alebo vytiahnutie ďalšej karty a nesúlad druhej karty. Pri súhrne týchto pravdepodobností a pravdepodobnosti výhry by sme získali presne 100%. Nebudem tu dávať matematický výpočet, ale môžete ho skúsiť vypočítať a znova skontrolovať.

Paradox Monty Hall

Dostávame sa tak k pomerne známemu paradoxu, ktorý mnohým často zamotá hlavu - paradox Monty Hall. Paradox je pomenovaný po hostiteľovi televíznej šou Let 's Make a Deal. Pre tých, ktorí túto televíznu šou nikdy nevideli, poviem, že to bol opak The Price Is Right.

V The Price Is Right je hostiteľ (predtým hostiteľom bol Bob Barker, ktorý je teraz Drew Carey? Čokoľvek) váš priateľ. Chce, aby ste vyhrali peniaze alebo skvelé ceny. Snaží sa vám dať každú príležitosť na výhru za predpokladu, že dokážete odhadnúť, koľko položky nakúpené sponzormi skutočne stoja.

Monty Hall sa zachovala inak. Bol ako zlé dvojča Boba Barkera. Jeho cieľom bolo, aby ste v národnej televízii vyzerali ako idiot. Ak ste boli v šou, bol to váš súper, hrali ste proti nemu a pravdepodobnosť výhry bola v jeho prospech. Možno som príliš tvrdý, ale pri pohľade na show, do ktorej sa dostanem s väčšou pravdepodobnosťou, ak si oblečiem smiešny kostým, dospejem k presne takýmto záverom.

Jeden z najznámejších memov show bol tento: sú pred vami tri dvere, dvere číslo 1, dvere číslo 2 a číslo dverí 3. Môžete si vybrať akékoľvek jedny dvere zadarmo. Jeden z nich má veľkú cenu - napríklad nové osobné auto. Za ďalšími dvoma dverami nie sú žiadne ceny, pričom obe nemajú žiadnu hodnotu. Mali by vás ponížiť, a tak za nimi nie je len nič, ale niečo hlúpe, napríklad koza alebo obrovská tuba zubnej pasty - čokoľvek iné ako nové auto.

Vyberiete si jedny z dverí, Monty sa chystá otvoriť, aby ste zistili, či ste vyhrali alebo nie ... ale počkajte. Kým to zistíme, pozrime sa na jedny z tých dverí, ktoré ste si nevybrali. Monty vie, za akými dverami sa cena nachádza, a vždy dokáže otvoriť dvere, za ktorými cena nie je. „Vyberáte si dvere číslo 3? Potom otvorme dvere číslo 1, aby sme ukázali, že za nimi nie je žiadna cena. “ A teraz vám zo štedrosti ponúka možnosť vymenené dvere číslo 3 vymeniť za to, čo je za dverami číslo 2.

V tomto mieste vzniká otázka o pravdepodobnosti: zvyšuje táto príležitosť vašu pravdepodobnosť výhry alebo ju znižuje, alebo zostáva nezmenená? Co si myslis?

Správna odpoveď: možnosť vybrať si iné dvere zvyšuje pravdepodobnosť výhry z 1/3 na 2/3. To je nelogické. Ak ste sa s týmto paradoxom predtým nestretli, pravdepodobne si myslíte: počkajte, ako to je: otvorením jedných dverí sme magicky zmenili pravdepodobnosť? Ako sme videli na príklade máp, presne to sa stane, keď získame viac informácií. Je zrejmé, že pri prvom výbere je pravdepodobnosť výhry 1/3. Keď sa otvoria jedny dvere, vôbec to nezmení pravdepodobnosť výhry pre prvú voľbu: pravdepodobnosť je stále 1/3. Ale pravdepodobnosť, že ostatné dvere sú správne, je teraz 2/3.

Pozrime sa na tento príklad z inej perspektívy. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnosť výhry je 1/3. Navrhujem, aby ste prehodili ostatné dvoje dvere, čo robí Monty Hall. Samozrejme, že otvára jedny z dverí, aby ukázal, že za tým nie je žiadna cena, ale vždy to dokáže, takže to vlastne nič nemení. Samozrejme, budete chcieť vybrať iné dvere.

Ak v otázke nemáte celkom jasno a potrebujete presvedčivejšie vysvetlenie, kliknutím na tento odkaz prejdete na nádhernú malú aplikáciu Flash, ktorá vám umožní podrobnejšie preskúmať tento paradox. Môžete hrať od zhruba 10 dverí a potom postupne prejsť k hre s tromi dverami. K dispozícii je tiež simulátor, kde si môžete zahrať s akýmkoľvek počtom dverí od 3 do 50, alebo spustiť niekoľko tisíc simulácií a zistiť, koľkokrát by ste vyhrali, keby ste hrali.

Vyberte si jedny z troch dverí - pravdepodobnosť výhry je 1/3. Teraz máte dve stratégie: zmeniť voľbu po otvorení nesprávnych dverí alebo nie. Ak svoj výber nezmeníte, pravdepodobnosť zostane 1/3, pretože výber sa robí iba v prvej fáze a musíte hneď hádať. Ak sa zmeníte, potom môžete vyhrať, ak si najskôr vyberiete nesprávne dvere (potom otvoria ďalšie nesprávne dvere, tie správne zostanú - zmeníte svoje rozhodnutie, jednoducho to vezmete). Pravdepodobnosť nesprávneho výberu dverí na začiatku je 2/3 - ukazuje sa teda, že zmenou názoru zdvojnásobíte pravdepodobnosť výhry.

Pripomienka učiteľa vyššej matematiky a špecialistu na hernú rovnováhu Maxima Soldatova - Schreiber to samozrejme nemal, ale bez neho je dosť ťažké porozumieť tejto magickej transformácii

A opäť o paradoxe Monty Hall

Čo sa týka samotnej šou, aj keď súperi Montyho Halla neboli dobrí v matematike, dobre to vedel. Tu je to, čo urobil, aby trochu zmenil hru. Pokiaľ ste si vybrali dvere, za ktorými sa cena nachádzala, pričom pravdepodobnosť je 1/3, vždy vám ponúkol možnosť vybrať si ďalšie dvere. Vyberiete si osobné auto a potom ho vymeníte za kozu a vyzeráte dosť hlúpo - čo je presne to, čo potrebujete, pretože Hall je akýsi zlý chlap.

Ale ak si vyberiete dvere, za ktorými nebude žiadna cena, potom vám ponúkne, že si vyberiete inú iba polovicu času, alebo vám jednoducho ukáže vašu novú kozu, a vy odídete z pódia. Analyzujme túto novú hru, v ktorej sa Monty Hall môže rozhodnúť, či vám ponúkne šancu vybrať si iné dvere alebo nie.

Predpokladajme, že sa bude riadiť týmto algoritmom: ak si vyberiete dvere s cenou, vždy vám ponúkne možnosť vybrať si ďalšie dvere, inak vám rovnako pravdepodobne ponúkne vybrať si ďalšie dvere alebo vám dá kozu. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte?

V jednej z troch možností si ihneď vyberiete dvere, za ktorými sa cena nachádza, a hostiteľ vás pozýva na výber ďalších.

Zo zostávajúcich dvoch možností z troch (pôvodne si vyberiete dvere bez ceny) vám v polovici prípadov hostiteľ navrhne, aby ste si to rozmysleli, a v druhej polovici prípadov nie.

Polovica z 2/3 je 1/3, to znamená, že v jednom prípade z troch dostanete kozu, v jednom prípade z troch vyberiete nesprávne dvere a hostiteľ vám ponúkne, aby ste si vybrali ďalšie, a v jednom prípad z troch si vyberiete správne dvere, ale on opäť ponúkne ďalšie.

Ak sa vedúci ponúkne vybrať si iné dvere, už vieme, že ten jeden prípad z troch, keď nám dá kozu a odchádzame, sa nestal. Je to užitočná informácia: znamená to, že naše šance na výhru sa zmenili. Dva prípady z troch, keď máme možnosť vybrať si: v jednom prípade to znamená, že sme uhádli správne, a v druhom prípade, že sme hádali nesprávne, a preto ak nám bola ponúknutá možnosť vôbec si vybrať, potom pravdepodobnosť našej výhry je 1/2 a z pohľadu matematiky je jedno, či pri svojom výbere ostanete alebo si vyberiete iné dvere.

Rovnako ako poker, je to psychologická hra, nie matematická. Prečo vám Monty ponúkol výber? Myslí si, že ste hlupák, ktorý nevie, že vybrať si druhé dvere je „správne“ rozhodnutie, a bude sa tvrdohlavo držať svojho výberu (koniec koncov, je psychologicky ťažšie byť v situácii, keď ste si vybrali auto a potom stratiť to)?

Alebo vám on, keď sa rozhodne, že ste múdri a vyberiete si iné dvere, ponúkne túto šancu, pretože vie, že ste pôvodne uhádli správne a spadne na háčik? Alebo je pre seba netypický a tlačí vás, aby ste urobili niečo prospešné pre vás, pretože už dlho nedával autá a producenti tvrdia, že obecenstvo sa nudí a bolo by lepšie čoskoro dať veľkú cenu, takže že hodnotenia neklesli?

Montymu sa teda občas podarí ponúknuť možnosť výberu, pričom celková pravdepodobnosť výhry zostáva rovná 1/3. Nezabudnite, že pravdepodobnosť, že okamžite prehráte, je 1/3. Pravdepodobnosť, že ju získate hneď, je 1/3 a v 50% týchto prípadov vyhráte (1/3 x 1/2 = 1/6).

Pravdepodobnosť, že budete najskôr hádať zle, ale potom budete mať šancu vybrať si ďalšie dvere, je 1/3 a v polovici týchto prípadov vyhráte (tiež 1/6). Pridajte dve nezávislé šance na výhru a získate pravdepodobnosť 1/3, takže nezáleží na tom, či pri výbere ostanete alebo si vyberiete iné dvere - vaša celková šanca na výhru je 1/3 v celej hre.

Pravdepodobnosť nie je väčšia ako v situácii, keď ste uhádli dvere a moderátor vám jednoducho ukázal, čo sa za nimi skrýva, bez toho, aby sa ponúkol, že si vyberiete iné. Cieľom návrhu nie je zmeniť pravdepodobnosť, ale urobiť rozhodovací proces zábavnejším pre sledovanie televízie.

Mimochodom, to je jeden z dôvodov, prečo môže byť poker taký zaujímavý: vo väčšine formátov medzi jednotlivými kolami, keď sa uzatvárajú stávky (napríklad flop, turn a river v Texas Hold'em), sa karty postupne odhaľujú a ak máte na začiatku hry jednu šancu na výhru, potom sa po každom kole stávok, keď je otvorených viac kariet, táto pravdepodobnosť zmení.

Paradox chlapca a dievčaťa

To nás privádza k ďalšiemu známemu paradoxu, ktorý spravidla každému zamotá hlavu - paradoxu chlapca a dievčaťa. Jediná vec, o ktorej dnes píšem, ktorá priamo nesúvisí s hrami (aj keď predpokladám, že vás musím len postrčiť, aby ste vytvorili zodpovedajúcu hernú mechaniku). Toto je viac hádanka, ale zaujímavá, a aby ste to vyriešili, musíte pochopiť podmienenú pravdepodobnosť, o ktorej sme hovorili vyššie.

Problém: Mám priateľa s dvoma deťmi, najmenej jedno z nich je dievča. Aká je pravdepodobnosť, že druhé dieťa je tiež dievča? Predpokladajme, že v akejkoľvek rodine je šanca mať dievča a chlapca 50/50, a to platí pre každé dieťa.

V skutočnosti majú niektorí muži v sperme viac spermií s chromozómom X alebo Y, takže šance sa mierne líšia. Ak viete, že jedno dieťa je dievča, šance mať druhé dievča sú o niečo vyššie, navyše existujú aj ďalšie podmienky, ako je hermafroditizmus. Ale aby sme vyriešili tento problém, nebudeme to brať do úvahy a budeme predpokladať, že narodenie dieťaťa je nezávislá udalosť a narodenie chlapca a dievčaťa je rovnako pravdepodobné.

Pretože hovoríme o šanci 1/2, intuitívne očakávame, že odpoveď bude s najväčšou pravdepodobnosťou 1/2 alebo 1/4 alebo v menovateli bude nejaký iný násobok dvoch. Ale odpoveď je 1/3. Prečo?

Problém v tomto prípade spočíva v tom, že informácie, ktoré máme, znižujú počet možností. Predpokladajme, že rodičia sú fanúšikmi Sesame Street a bez ohľadu na pohlavie detí ich pomenovali A a B. Za normálnych podmienok existujú štyri rovnako pravdepodobné možnosti: A a B sú dvaja chlapci, A a B sú dve dievčatá, A je chlapec a B je dievča. A je dievča a B je chlapec. Keďže vieme, že najmenej jedno dieťa je dievča, môžeme vylúčiť možnosť, že A a B sú dvaja chlapci. Zostávajú nám teda tri možnosti - stále rovnako pravdepodobné. Ak sú všetky možnosti rovnako pravdepodobné a existujú tri z nich, potom pravdepodobnosť každej z nich je 1/3. Len v jednej z týchto troch možností sú obe deti dievčatá, takže odpoveď je 1/3.

A opäť o paradoxe chlapca a dievčaťa

Riešenie problému sa stáva ešte nelogickejším. Predstavte si, že môj priateľ má dve deti a jedným z nich je dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Predpokladajme, že za normálnych podmienok je rovnako pravdepodobné, že sa dieťa narodí v každý zo siedmich dní v týždni. Aká je pravdepodobnosť, že druhé dieťa je tiež dievča?

Môžete si myslieť, že odpoveď by bola stále 1/3: Na čom záleží utorok? Ale ani v tomto prípade nás intuícia zlyhá. Odpoveď je 13/27, čo nie je nielen intuitívne, ale veľmi zvláštne. Čo sa deje v tomto prípade?

Utorok v skutočnosti mení pravdepodobnosť, pretože nevieme, ktoré dieťa sa narodilo v utorok, alebo sa v utorok možno narodili obe. V tomto prípade používame rovnakú logiku: počítame všetky možné kombinácie, keď je aspoň jedno dieťa dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade predpokladajme, že deti sú pomenované A a B. Kombinácie vyzerajú takto:

• A - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B - chlapec (v tejto situácii je 7 možností, jedna pre každý deň v týždni, kedy sa mohol narodiť chlapec).
• B - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A - chlapec (tiež 7 možností).
• A - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B - dievča, ktoré sa narodilo v iný deň v týždni (6 možností).
• B - dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A - dievča, ktoré sa narodilo v utorok nie (tiež 6 pravdepodobností).
• A a B - dve dievčatá, ktoré sa narodili v utorok (1 možnosť, na to si musíte dať pozor, aby ste dvakrát nepočítali).

Zhrnieme a získame 27 rôznych rovnako možných kombinácií narodenia detí a dní s aspoň jednou možnosťou mať v utorok dievča. Z toho je 13 príležitostí, keď sa narodia dve dievčatá. Vyzerá to tiež úplne nelogicky - zdá sa, že táto úloha bola vynájdená len preto, aby spôsobila bolesť hlavy. Ak si stále lámete hlavu, stránka teoretika hier Jespera Yulea má na túto otázku dobré vysvetlenie.

Ak práve pracujete na hre

Ak v hre, ktorú navrhujete, existuje náhodnosť, je to skvelá príležitosť na analýzu. Vyberte prvok, ktorý chcete analyzovať. Najprv si položte otázku, akú očakávate pravdepodobnosť, že daný prvok bude v kontexte hry.

Ak napríklad staviate RPG a uvažujete o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť, že hráč porazí monštrum v bitke, položte si otázku, aké percento výhier sa vám zdá správne. V prípade konzolových RPG sa hráči pri prehre veľmi rozrušia, takže je lepšie, keď prehrávajú len zriedka - 10% času alebo menej. Ak ste dizajnér RPG, pravdepodobne to poznáte lepšie ako ja, ale musíte mať základnú predstavu o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť.

Potom sa opýtajte, či sú vaše pravdepodobnosti závislé (ako pri kartách) alebo nezávislé (ako pri kockách). Analyzujte všetky možné výsledky a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, že súčet všetkých pravdepodobností je 100%. A samozrejme, porovnajte výsledky s vašimi očakávaniami. Hodíte kockou alebo vyberiete karty tak, ako ste chceli, alebo vidíte, že je potrebné hodnoty upraviť. A samozrejme, ak nájdete nedostatky, môžete pomocou rovnakých výpočtov určiť, ako veľmi je potrebné hodnoty zmeniť.

Domáca úloha

Vaša „domáca úloha“ tento týždeň vám pomôže zdokonaliť svoje pravdepodobnostné schopnosti. Tu sú dve hry s kockami a kartová hra, ktoré budete analyzovať pomocou pravdepodobnosti, a tiež zvláštna herná mechanika, ktorú som kedysi vyvinul a ktorú môžete použiť na testovanie metódy Monte Carlo.

Hra číslo 1 - Dračie kosti

Jedná sa o kockovú hru, ktorú sme kedysi vymysleli s kolegami (vďaka Jeb Havensovi a Jessemu Kingovi) - zámerne vyberá ľuďom mozog svojou pravdepodobnosťou. Jedná sa o jednoduchú kasínovú hru s názvom „Dragon Bones“ a je to súťaž o kocky medzi hráčom a domom.

Dostanete obvyklú kocku 1d6. Cieľom hry je hodiť číslo vyššie ako dom. Tomovi je poskytnutá neštandardná 1d6-rovnaká ako vaša, ale na jednej z tvárí namiesto jednej-obrázku draka (kasíno má teda kocku drak-2-3-4-5-6) . Ak sa do domu dostane drak, automaticky vyhrá a vy prehráte. Ak obaja získajú rovnaké číslo, je remíza a znova hodíte kockou. Vyhráva ten, kto hodí najvyššie číslo.

Samozrejme, veci nejdú úplne v prospech hráča, pretože kasíno má výhodu vo forme dračieho okraja. Je to však skutočne tak? To je to, čo musíte zistiť. Najprv však skontrolujte svoju intuíciu.

Povedzme, že výhry sú 2 ku 1. Ak teda vyhráte, stávku ponecháte a dostanete dvojnásobok. Ak napríklad stavíte 1 dolár a vyhráte, ponecháte si tento dolár a získate ďalších 2 navrchu, spolu teda 3 doláre. Ak prehráte, prehráte iba svoju stávku. Zahrali by ste si? Intuitívne cítite, že pravdepodobnosť je väčšia ako 2 ku 1, alebo si stále myslíte, že je menšia? Inými slovami, očakávate v priemere v 3 hrách výhru viackrát, menej alebo raz?

Potom, čo ste zistili svoju intuíciu, použite matematiku. Existuje iba 36 možných polôh pre obe kocky, takže ich všetky môžete vypočítať bez problémov. Ak si nie ste istí touto vetou 2 na 1, zamyslite sa nad týmto: Predpokladajme, že ste hru hrali 36-krát (stávka 1 dolár zakaždým). Za každú výhru získate 2 doláre, za každú prehru 1 dolár a remíza na tom nič nezmení. Vypočítajte všetky svoje pravdepodobné výhry a prehry a rozhodnite sa, či prídete o nejakú čiastku dolárov alebo o zisk. Potom sa opýtajte, ako správne bola vaša intuícia. Potom si uvedomte, aký som zloduch.

A áno, ak ste sa už nad touto otázkou zamysleli - zámerne vás mätiem skresľovaním skutočnej mechaniky hier s kockami, ale som si istý, že túto prekážku dokážete prekonať len dobrým zamyslením. Skúste tento problém vyriešiť sami.

Hra č. 2 - Hod šťastia

Jedná sa o kockovú hazardnú hru s názvom Luck Roll (tiež Birdcage, pretože niekedy kocky nie sú hodené, ale umiestnené vo veľkej drôtenej klietke, ktorá pripomína klietku od Binga). Hra je jednoduchá, podstata je asi takáto: dajte, povedzme, 1 dolár na číslo od 1 do 6. Potom hodíte 3d6. Za každú kocku, ktorá padne na vaše číslo, dostanete 1 dolár (a ponecháte si pôvodný vklad). Ak sa vaše číslo nezobrazí na žiadnej z kociek, kasíno dostane váš dolár a vy nič. Ak teda stavíte na 1 a trikrát dostanete 1 na hrany, získate 3 doláre.

Intuitívne sa zdá, že táto hra má rovnaké šance. Každá kocka je šanca na výhru 1: 6, takže celkovo v troch hodoch je vaša šanca na výhru 3 až 6. Nezabudnite však, že skladáte tri samostatné kocky a pridať ich môžete iba vtedy, ak hovoríme o oddelených výherných kombináciách rovnakých kociek. Niečo, čo budete potrebovať na znásobenie.

Keď zistíte všetky možné výsledky (v Exceli to bude pravdepodobne jednoduchšie ako ručne, pretože ich je 216), hra stále vyzerá na prvý pohľad zvláštne a vyrovnane. V skutočnosti má kasíno stále viac šancí na výhru - o koľko viac? Konkrétne, koľko peňazí v priemere očakávate, že prídete o každé kolo hry?

Všetko, čo musíte urobiť, je sčítať víťazstvá a prehry všetkých 216 výsledkov a potom rozdeliť na 216, čo by malo byť celkom jednoduché. Ale, ako vidíte, tu môžete padnúť do niekoľkých pascí, a preto hovorím: ak sa vám zdá, že v tejto hre sú rovnaké šance na výhru, zle ste to pochopili.

Hra č. 3 - 5 Card Stud Poker

Ak ste sa zahriali v predchádzajúcich hrách, overme si, čo vieme o podmienenej pravdepodobnosti pri tejto kartovej hre. Predstavme si poker s balíkom 52 kariet. Predstavme si tiež 5 Card Stud, kde každý hráč dostane iba 5 kariet. Nemôžete zahodiť kartu, nemôžete vytiahnuť novú, žiadny spoločný balíček - získate iba 5 kariet.

Royal Flush je 10-J-Q-K-A v jednej ruke, existujú celkom štyri, takže existujú štyri možné spôsoby, ako získať Royal Flush. Vypočítajte pravdepodobnosť, že získate jednu takú kombináciu.

Musím vás varovať pred jednou vecou: nezabudnite, že týchto päť kariet môžete vytiahnuť v ľubovoľnom poradí. To znamená, že na začiatku môžete nakresliť eso alebo desať, na tom nezáleží. Pri výpočte teda majte na pamäti, že v skutočnosti existujú viac ako štyri spôsoby, ako získať Royal Flush, za predpokladu, že karty boli rozdané v poriadku.

Hra č. 4 - Lotéria MMF

Štvrtý problém nebude také ľahké vyriešiť pomocou metód, o ktorých sme si dnes hovorili, ale situáciu môžete ľahko simulovať pomocou programovania alebo Excelu. Práve na príklade tohto problému môžete vypracovať metódu Monte Carlo.

Už som spomenul hru Chron X, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tu jedna veľmi zaujímavá karta - lotéria MMF. Fungovalo to takto: použili ste to v hre. Po skončení kola boli karty prerozdelené a bola 10% pravdepodobnosť, že karta opustí hru a náhodný hráč dostane 5 jednotiek z každého druhu zdroja, ktorého token bol na tejto karte prítomný. Karta bola zaradená do hry bez jediného žetónu, ale zakaždým, keď zostala v hre na začiatku nasledujúceho kola, získala jeden žetón.

Bola teda 10% šanca, že ju uvediete do hry, kolo sa skončí, karta opustí hru a nikto nič nedostane. Ak sa tak nestane (s 90% pravdepodobnosťou), existuje 10% šanca (v skutočnosti 9%, pretože to je 10% z 90%), že v nasledujúcom kole hru opustí a niekto dostane 5 jednotiek zdrojov. Ak karta opustí hru po jednom kole (10%z dostupných 81%, takže pravdepodobnosť je 8,1%), niekto dostane 10 jednotiek, po ďalšom kole - 15, ďalších - 20 atď. Otázka: Aká je všeobecná očakávaná hodnota počtu zdrojov, ktoré získate z tejto karty, keď konečne opustí hru?

Obvykle by sme sa pokúsili vyriešiť tento problém vypočítaním možnosti každého výsledku a vynásobením počtom všetkých výsledkov. Existuje 10% šanca, že dostanete 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, že dostanete 5 jednotiek zdrojov (9% * 5 = 0,45 zdrojov). 8,1% z toho, čo získate 10 (8,1% * 10 = 0,81 zdrojov - vo všeobecnosti očakávaná hodnota). Atď. A potom by sme to všetko zrátali.

A teraz je vám problém zrejmý: vždy existuje šanca, že karta z hry neodíde, môže v hre zostať navždy, nekonečne veľa kôl, takže neexistuje spôsob, ako vypočítať všetku pravdepodobnosť. Metódy, ktoré sme sa dnes naučili, nám nedávajú schopnosť vypočítať nekonečnú rekurziu, takže ju budeme musieť vytvoriť umelo.

Ak ste dostatočne zruční v programovaní, napíšte program, ktorý simuluje túto kartu. Mali by ste mať časovú slučku, ktorá vráti premennú do pôvodnej nulovej polohy, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravdepodobnosťou premenná opustí slučku. V opačnom prípade pridá do premennej 5 a slučka sa zopakuje. Keď sa konečne vymyká slučke, zvýšte celkový počet skúšobných spustení o 1 a celkový počet zdrojov (o koľko závisí od toho, kde premenná skončila). Potom resetujte premennú a začnite odznova.

Spustite program niekoľko tisíc krát. Nakoniec vydelte celkové zdroje celkovým počtom behov - to bude vaša očakávaná hodnota v Monte Carle. Spustite program niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že čísla, ktoré získate, sú zhruba rovnaké. Ak je variácia stále veľká, zvyšujte počet opakovaní vo vonkajšej slučke, kým nezačnete získavať zápalky. Môžete si byť istí, že akékoľvek čísla, s ktorými skončíte, budú približne správne.

Ak nie ste oboznámení s programovaním (hoci aj keď sa vyznáte), tu je malé cvičenie, ktoré si preverí vaše znalosti Excelu. Ak ste herný dizajnér, tieto schopnosti nebudú nikdy nadbytočné.

Funkcie if a rand zatiaľ prídu vhod. Rand nevyžaduje hodnotu, ale generuje náhodné desatinné číslo medzi 0 a 1. Obvykle to kombinujeme s podlahou a plusom a mínusom, aby sme simulovali hod matrice, ktorý som už spomenul. Avšak v tomto prípade ponechávame iba 10% šancu, že karta z hry odíde, a tak si môžeme len skontrolovať, či je hodnota randu menšia ako 0,1 a už sa s tým neobťažovať.

Ak má tri významy. V poradí podmienka, ktorá je buď pravdivá alebo nie, potom hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka pravdivá, a hodnota, ktorá sa vráti, ak podmienka nie je pravdivá. Nasledujúca funkcia teda vráti 5% času a 0 ostatných 90% času: = IF (RAND ()<0.1,5,0) .

Existuje mnoho spôsobov, ako nastaviť tento príkaz, ale pre bunku, ktorá predstavuje prvé kolo, by som použil nasledujúci vzorec, povedzme, že je to bunka A1: = IF (RAND ()<0.1,0,-1) .

Tu používam zápornú premennú na označenie „táto karta neopustila hru a zatiaľ nedarovala žiadne zdroje“. Ak teda skončí prvé kolo a karta je mimo hry, A1 je 0; inak je –1.

Pre ďalšiu bunku predstavujúcu druhé kolo: = IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1)) ... Ak teda skončí prvé kolo a karta okamžite opustí hru, A1 je 0 (počet zdrojov) a táto bunka jednoducho skopíruje túto hodnotu. V opačnom prípade je A1 -1 (karta ešte neopustila hru) a táto bunka sa naďalej náhodne pohybuje: 10% času vráti 5 jednotiek zdrojov, po zvyšok času bude jeho hodnota stále byť rovná -1. Ak použijeme tento vzorec na ďalšie bunky, získame ďalšie kolá a bez ohľadu na to, ktorá bunka vám na konci padne, dostanete konečný výsledok (alebo –1, ak karta neopustila hru po všetkých kolách, ktoré ste hrali) .

Vezmite tento riadok buniek, ktorý je jediným kolom tejto karty, a skopírujte a prilepte niekoľko stoviek (alebo tisíc) riadkov. Možno nebudeme schopní vykonať nekonečný test programu Excel (v tabuľke je obmedzený počet buniek), ale aspoň dokážeme pokryť väčšinu prípadov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej umiestnite priemer výsledkov všetkých kôl - Excel na to láskavo poskytuje funkciu priemer ().

V systéme Windows môžete prinajmenšom stlačením klávesu F9 prepočítať všetky náhodné čísla. Rovnako ako predtým, urobte to niekoľkokrát a zistite, či získate rovnaké hodnoty. Ak je nátierka príliš široká, zdvojnásobte počet sérií a skúste to znova.

Neriešené úlohy

Ak náhodou máte diplom z teórie pravdepodobnosti a vyššie uvedené problémy sa vám zdajú príliš jednoduché - to sú dva problémy, nad ktorými som si lámal hlavu už roky, ale bohužiaľ, matematika na ich riešenie nie som dobrá.

Nevyriešený problém č. 1: Lotéria MMF

Prvým nevyriešeným problémom je predchádzajúca domáca úloha. Pokojne môžem použiť metódu Monte Carlo (pomocou C ++ alebo Excelu) a byť si istý odpoveďou na otázku „koľko zdrojov hráč získa“, ale neviem presne, ako poskytnúť presnú preukázateľnú odpoveď matematicky ( toto je nekonečná séria) ...

Nevyriešený problém č. 2: Poradie tvarov

Tento problém (taktiež ďaleko presahuje úlohy, ktoré sú vyriešené v tomto blogu) mi hodil známy hráč pred viac ako desiatimi rokmi. Pri hraní blackjacku vo Vegas si všimol jednu zaujímavú vlastnosť: pri vyberaní kariet z obuvi na 8 balíčkov videl desať figúrok za sebou (karta figúrky alebo figúrky - 10, žolík, kráľ alebo kráľovná, takže ich je 16. v štandardnom balíčku 52 kariet alebo 128 v obuvi pre 416 kariet).

Aká je pravdepodobnosť, že táto topánka obsahuje najmenej jednu sekvenciu desiatich alebo viacerých tvarov? Predpokladajme, že boli zamiešané poctivo, v náhodnom poradí. Alebo, ak sa vám to páči viac, aká je pravdepodobnosť, že sa sekvencia desiatich alebo viacerých tvarov nikde neobjaví?

Úlohu môžeme zjednodušiť. Tu je 416-dielna sekvencia. Každý kus má 0 alebo 1. V sekvencii je náhodne rozptýlených 128 jednotiek a 288 núl. Koľkými spôsobmi je možné náhodne prekladať 128 jednotiek s 288 nulami a koľkokrát týmito spôsobmi bude existovať najmenej jedna skupina desiatich alebo viacerých jednotiek?

Zakaždým, akonáhle som začal riešiť tento problém, sa mi to zdalo ľahké a zrejmé, ale akonáhle sa ponorím do podrobností, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa to jednoducho nemožné.

Neponáhľajte sa rozmazať odpoveď: sadnite si, dobre premýšľajte, naštudujte si podmienky, pokúste sa nahradiť skutočné čísla, pretože všetci ľudia, s ktorými som o tomto probléme hovoril (vrátane niekoľkých postgraduálnych študentov pracujúcich v tejto oblasti), reagovali približne rovnakým spôsobom: „Je to úplne zrejmé ... oh, nie, počkaj, nie je to vôbec zrejmé.“ To je prípad, keď nemám spôsob výpočtu všetkých možností. Problém by som samozrejme mohol spustiť pomocou metódy hrubej sily prostredníctvom počítačového algoritmu, ale bolo by oveľa zaujímavejšie poznať matematický spôsob jeho riešenia.