Mechanické vibrácie šíriace sa v elastickom médiu (tuhom, kvapalnom alebo plynnom) sa nazývajú mechanické alebo elastické vlny.

Proces šírenia kmitov v spojitom médiu sa nazýva vlnový proces alebo vlna. Častice média, v ktorom sa vlna šíri, nie sú vlnou zapojené do translačného pohybu. Kmitajú iba okolo svojich rovnovážnych polôh. Spolu s vlnou sa z častice do častice média prenáša iba stav vibračného pohybu a jeho energia. Preto hlavnou vlastnosťou všetkých vĺn, bez ohľadu na ich povahu, je prenos energie bez prenosu hmoty.

V závislosti od smeru vibrácií častíc vzhľadom na

do smeru, v ktorom sa vlna šíri, rozlišujte pro

zlomkový a priečny vlny.

Nazýva sa elastická vlna pozdĺžny ak k vibráciám častíc média dochádza v smere šírenia vĺn. Pozdĺžne vlny sú spojené s objemovou deformáciou v ťahu - stláčaním média, takže sa môžu šíriť v pevných látkach aj

v kvapalinách a plynných médiách.

Xšmyková deformácia. Túto vlastnosť majú iba pevné telesá.

λ Na obr. 1 uvádza harmónie

závislosť posunu všetkých častíc média od vzdialenosti od zdroja kmitov v danom čase. Hovorí sa vzdialenosť medzi najbližšími časticami vibrujúcimi v tej istej fáze vlnová dĺžka. Vlnová dĺžka sa tiež rovná vzdialenosti, na ktorú sa počas fázy oscilácie rozprestiera určitá fáza oscilácie

Nevibrujú iba častice umiestnené pozdĺž osi 0. NS, a množina častíc uzavretých v určitom objeme. Geometrická poloha bodov, ku ktorým v čase dosahujú výkyvy t sa volá pred vlnou... Predná časť vlny je povrch, ktorý oddeľuje časť priestoru už zapojeného do vlnového procesu od oblasti, v ktorej ešte kmity nevznikli. Lokus bodov oscilujúcich v tej istej fáze sa nazýva vlnový povrch... Povrch vlny môže byť prenášaný akýmkoľvek bodom v priestore pokrytom vlnovým procesom. Vlnové povrchy môžu mať akýkoľvek tvar. V najjednoduchších prípadoch majú formu roviny alebo gule. V súlade s tým sa vlna v týchto prípadoch nazýva plochá alebo sférická. V rovinnej vlne sú vlnové povrchy súborom navzájom rovnobežných rovín a v sférickej vlne súborom sústredných sfér.

Rovnica rovinnej vlny

Rovnica rovinnej vlny je výraz, ktorý dáva posun oscilačnej častice v závislosti od jej súradníc. X, r, z a času t

S=S(X,r,z,t).

(6.2.1)

Táto funkcia musí byť periodická vzhľadom na čas t a vzhľadom na súradnice X, r, z... Periodicita v čase vyplýva zo skutočnosti, že posunutie S opisuje vibrácie častice so súradnicami X, r, z, a periodicita v súradniciach vyplýva zo skutočnosti, že body vzdialené od seba vo vzdialenosti rovnajúcej sa vlnovej dĺžke vibrujú rovnako.

Predpokladajme, že kmity sú harmonické a os 0 NS sa zhoduje so smerom šírenia vlny. Potom budú vlnové povrchy kolmé na os 0 NS a od všetkých

body povrchu vlny vibrujú rovnakým spôsobom, posunutie S bude závisieť len od súradníc NS a času t

Nájdeme typ vibrácií bodov v rovine zodpovedajúci ľubovoľnej hodnote NS... Ísť cestou z lietadla NS= 0 do roviny NS, vlna potrebuje čas τ = X/ υ. V dôsledku toho vibrácie častíc ležiacich v rovine NS, bude v čase zaostávať o τ od oscilácií častíc v rovine NS= 0 a popísané rovnicou

S(X;t)=A cosω ( t− τ)+ϕ		= A cos	ω t −	X		+ϕ		. (6.2.4)
						υ

kde A- amplitúda vĺn; ϕ 0 - počiatočná fáza vlny (určená výberom pôvodu) NS a t).

Opravme nejakú hodnotu fázy ω ( t − Xυ) + ϕ 0 = konšt.

Tento výraz definuje vzťah medzi časom t a to miesto NS, v ktorom má fáza fixnú hodnotu. Rozlišovaním tohto výrazu dostaneme

Dajme rovnici rovinnej vlny symetrickú vzhľadom na

zhoda NS a t vyhliadka. Za týmto účelom uvádzame hodnotu k= 2 λ π, ktoré sa nazýva

je číslo vlny, ktorý môže byť reprezentovaný ako

Predpokladali sme, že amplitúda vibrácií nezávisí od NS... Pri rovinnej vlne sa to pozoruje v prípade, keď energia vlny nie je absorbovaná médiom. Pri šírení v médiu absorbujúcom energiu intenzita vlny postupne klesá so vzdialenosťou od zdroja kmitov, to znamená, že vlna je zoslabená. V homogénnom prostredí k takémuto tlmeniu dochádza exponenciálne

zákon A = A 0 e −β X... Potom má rovnica rovinnej vlny pre absorbujúce médium tvar

kde r r - vektor polomeru, body vlny; k = k ⋅n r - vlnový vektor; n r je jednotkový normálový vektor k povrchu vlny.

Vektor vlny Je vektor rovný magnitúde číslu vlny k a majúci smer normály k povrchu vlny na-

zavolal.
Prejdeme od vektora polomeru bodu k jeho súradniciam X, r, z
r	r	(6.3.2)
k	⋅r=k x x+k y y+k z z.
Potom má rovnica (6.3.1) tvar
S(X,r,z;t)=A cos (ω t−k x x−k y y−k z z+ϕ 0).	(6.3.3)

Stanovme tvar vlnovej rovnice. Aby sme to urobili, nájdeme druhé parciálne deriváty vzhľadom na súradnice a časové vyjadrenie (6.3.3)

∂ 2 S

r

r

∂t

= −ω A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ 0) = −ω S;

∂ 2 S

r

r

∂X

= − k x A cos (ω t − k

⋅r

+ϕ 0) = − k x S

.

(6.3.4)

∂ 2 S

r

r

∂r

= − k y A cos

(ω t − k ⋅ r

+ϕ 0) = − k y S;

∂ 2 S

r

r

∂z

= − k z A cos (ω t − k

⋅r

+ϕ 0) = − k z S

Sčítaním derivátov vzhľadom na súradnice a s prihliadnutím na deriváciu

časom sa dočkáme

∂

2

2

∂

2

∂

2

S 2

+ ∂

S 2

+

S 2

= − (k x 2 + k y 2 + k z 2)S

= − k 2 S =

k

S 2 .

(6.3.5)

∂t

∂X

∂r

∂z

ω

2

Vyrobíme náhradu

k

=

ω 2

=

a dostaneme vlnovú rovnicu

ω

υ

ω

υ

∂ 2 S

+

∂ 2 S

+

∂ 2 S

=

1 ∂ 2 S

alebo

S=

1 ∂ 2 S

,

(6.3.6)

∂X 2

∂r 2

∂z 2

υ 2 ∂ t 2

υ 2 ∂ t 2

kde =

∂ 2

+

∂ 2

+

∂ 2

- Laplaceov operátor.

∂X 2

∂r 2

∂z 2

Predstavujeme vašu pozornosť video tutoriál na tému „Šírenie vibrácií v elastickom médiu. Pozdĺžne a priečne vlny “. V tejto lekcii budeme študovať problémy súvisiace s šírením vibrácií v elastickom médiu. Dozviete sa, čo je vlna, ako sa prejavuje, ako je charakterizovaná. Študujme vlastnosti a rozdiely pozdĺžnych a priečnych vĺn.

Obraciame sa na štúdium problémov spojených s vlnami. Porozprávajme sa o tom, čo je vlna, ako sa prejavuje a ako je charakterizovaná. Ukazuje sa, že okrem iba oscilačného procesu v úzkej oblasti vesmíru je možné aj šírenie týchto oscilácií v médiu, je to práve také šírenie, ktoré je pohybom vĺn.

Prejdeme k diskusii o tejto distribúcii. Aby sme diskutovali o možnosti existencie oscilácií v médiu, musíme definovať, čo je husté médium. Husté médium sa nazýva médium, ktoré pozostáva z veľkého počtu častíc, ktorých interakcia je veľmi blízka pružnosti. Zvážte nasledujúci myšlienkový experiment.

Ryža. 1. Myšlienkový experiment

Guličku vložíme do elastického média. Lopta sa zmenší, zmenší a potom sa roztiahne ako tlkot srdca. Čo sa bude v tomto prípade dodržiavať? V tomto prípade častice, ktoré susedia s touto guľou, budú opakovať jej pohyb, t.j. odíďte, priblížte sa - tým budú vibrovať. Pretože tieto častice interagujú s inými časticami vzdialenejšími od gule, budú tiež kmitať, ale s určitým oneskorením. Častice, ktoré sú blízko tejto gule, vibrujú. Budú prenášané do iných častíc, vzdialenejších. Kývanie sa teda bude šíriť všetkými smermi. Všimnite si toho, že v tomto prípade sa bude stav oscilácie šíriť. Toto šírenie stavu kmitov nazývame vlna. Môžeme to povedať proces šírenia vibrácií v elastickom médiu v priebehu času sa nazýva mechanická vlna.

Poznámka: keď hovoríme o procese vzniku takýchto vibrácií, musíme povedať, že sú možné iba vtedy, ak dôjde k interakcii medzi časticami. Inými slovami, vlna môže existovať iba vtedy, ak existuje vonkajšia rušivá sila a sily, ktoré sú proti pôsobeniu rušivej sily. V tomto prípade ide o elastické sily. Proces šírenia bude v tomto prípade spojený s hustotou a silou interakcie medzi časticami daného média.

Všimnime si ešte jednu vec. Vlna nenesie látky... Koniec koncov, častice oscilujú okolo rovnovážnej polohy. Vlna však zároveň nesie energiu. Túto skutočnosť je možné ilustrovať na vlnách cunami. Hmotu nenesie vlna, ale vlna nesie takú energiu, že prináša veľké katastrofy.

Hovorme o druhoch vĺn. Existujú dva typy - pozdĺžne a priečne vlny. Čo pozdĺžne vlny? Tieto vlny môžu existovať vo všetkých prostrediach. A príklad s pulzujúcou guľou vo vnútri hustého média je len príkladom vzniku pozdĺžnej vlny. Takáto vlna je šírenie v priestore v priebehu času. Práve toto striedanie zhutnenia a vzácnosti predstavuje pozdĺžnu vlnu. Ešte raz opakujem, že takáto vlna môže existovať vo všetkých médiách - kvapalných, tuhých, plynných. Pozdĺžna sa nazýva vlna, pri šírení ktorej častice média vibrujú v smere šírenia vlny.

Ryža. 2. Pozdĺžna vlna

Pokiaľ ide o šmykovú vlnu, potom šmyková vlna môže existovať iba v tuhých látkach a na povrchu kvapaliny. Priečna vlna sa nazýva vlna, pri ktorej šírení častice média vibrujú kolmo na smer šírenia vlny.

Ryža. 3. Šmyková vlna

Rýchlosť šírenia pozdĺžnych a šmykových vĺn je rôzna, ale to je už téma ďalších lekcií.

Zoznam ďalšej literatúry:

Je vám pojem vlna taký známy? // kvant. - 1985. - č. 6. - S. 32-33. Fyzika: mechanika. 10. ročník: Učebnica. na hĺbkové štúdium fyziky / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky a ďalší; Ed. G.Ya. Myakisheva. - M.: Bustard, 2002. Základná učebnica fyziky. Ed. G.S. Landsberg. T. 3. - M., 1974.

Začnime definovaním elastického média. Ako naznačuje názov, elastické médium je médium, v ktorom pôsobia elastické sily. Pokiaľ ide o naše ciele, dodajme, že pre akékoľvek narušenie tohto prostredia (nie emocionálna násilná reakcia, ale odchýlka parametrov prostredia na nejakom mieste od rovnováhy) v ňom vznikajú sily, ktoré sa snažia vrátiť naše prostredie do jeho pôvodný rovnovážny stav. V tomto prípade zvážime rozšírené médiá. Vysvetlíme, ako dlho to bude v budúcnosti, ale zatiaľ budeme predpokladať, že to stačí. Predstavte si napríklad dlhý prameň pripevnený na oboch koncoch. Ak je na niektorom mieste pružiny stlačených niekoľko závitov, potom budú mať stlačené zákruty tendenciu sa rozširovať a susedné závitky, ktoré sa ukázali byť natiahnuté, budú mať tendenciu stláčať. Naše elastické médium - pružina sa teda pokúsi dostať do počiatočného pokojného (nerušeného) stavu.

Plyny, kvapaliny, tuhé látky sú elastické médiá. Dôležitou vecou v predchádzajúcom príklade je skutočnosť, že stlačená časť pružiny pôsobí na priľahlé sekcie, alebo z vedeckého hľadiska prenáša rozhorčenie. Podobne v plyne, ktorý na určitom mieste vytvára napríklad oblasť zníženého tlaku, susedné oblasti, pokúšajúce sa vyrovnať tlak, budú prenášať rušenie na svojich susedov, oni zase na svojich atď. .

Pár slov o fyzikálnych veličinách. V termodynamike je stav tela spravidla určený parametrami spoločnými pre celé telo, tlakom plynu, jeho teplotou a hustotou. Teraz nás bude zaujímať lokálna distribúcia týchto veličín.

Ak je oscilačné teleso (struna, membrána atď.) V elastickom médiu (plyn, ako už vieme, toto je elastické médium), potom uvedie častice média do kontaktu s ním do oscilačného pohybu. V dôsledku toho dochádza k periodickým deformáciám (napríklad stláčaniu a vybíjaniu) v prvkoch média susediaceho s telom. Pri týchto deformáciách sa v médiu objavia elastické sily, ktoré sa snažia vrátiť prvky média do počiatočných stavov rovnováhy; v dôsledku interakcie susedných prvkov média budú elastické deformácie prenášané z niektorých častí média do iných, vzdialenejších od kmitajúceho telesa.

Periodické deformácie spôsobené na nejakom mieste elastického média sa teda budú v médiu šíriť určitou rýchlosťou v závislosti od jeho fyzikálnych vlastností. V tomto prípade častice média vykonávajú oscilačné pohyby okolo rovnovážnych polôh; iba deformačný stav sa prenáša z niektorých častí média do iných.

Keď ryba „hryzie“ (ťahá za háčik), kruhy sa rozletia z plaváka na hladinu vody. Spolu s plavákom sú vytesnené častice vody, ktoré sú s ním v kontakte, ktoré do pohybu zapájajú ďalšie najbližšie častice a podobne.

K rovnakému javu dochádza aj pri časticiach natiahnutej gumovej šnúry, ak je jej jeden koniec nastavený na vibrácie (obr. 1.1).

Šírenie vibrácií v médiu sa nazýva vlnový pohyb. Pozrime sa podrobnejšie na to, ako vlna vzniká na šnúre. Ak fixujeme polohu šnúry každých 1/4 T (T je perióda, s ktorou ruka kmitá na obr. 1.1) po začiatku kmitov svojho prvého bodu, potom obrázok zobrazený na obr. 1,2, b-d. Poloha a zodpovedá začiatku oscilácie prvého bodu šnúry. Jeho desať bodov je označených číslami a bodkované čiary ukazujú, kde sa v rôznych časoch nachádzajú rovnaké body kábla.

Prostredníctvom 1/4 T po začiatku oscilácie bod 1 zaujíma extrémnu hornú polohu a bod 2 sa práve začína pohybovať. Pretože každý nasledujúci bod šnúry začína svoj pohyb neskôr ako predchádzajúci, v intervale sú umiestnené 1-2 body, ako je znázornené na obr. 1,2, b. Po ďalšej 1/4 T zaujme bod 1 polohu rovnováhy a posunie sa nadol a bod 2 (poloha b) zaujme hornú pozíciu. Bod 3 sa v tejto chvíli ešte len začína hýbať.

Po celú dobu sa vibrácie šíria do bodu 5 šnúry (poloha d). Na konci tretiny T, bod 1, pohyb hore, začne svoj druhý švih. Súčasne s ním sa bod 5 začne pohybovať nahor, čím dôjde k jeho prvej oscilácii. V budúcnosti budú mať tieto body rovnaké fázy oscilácie. Súhrn bodov šnúry v intervale 1-5 tvorí vlnu. Keď bod 1 skončí druhú osciláciu, do pohybu bude zapojených viac bodov 5-10 na šnúre, to znamená, že sa vytvorí druhá vlna.

Ak budete sledovať polohu bodov, ktoré majú rovnakú fázu, uvidíte, že fáza sa akoby presúva z bodu do bodu a pohybuje sa doprava. Skutočne, ak v polohe b fáza 1/4 má bod 1, potom v polohe v tej istej fáze má bod 2 atď.

Vlny, v ktorých sa fáza pohybuje určitou rýchlosťou, sa nazývajú putujúce vlny. Pri pozorovaní vĺn je viditeľné fázové šírenie, napríklad pohyb hrebeňa vlny. Všimnite si toho, že všetky body média vo vlne oscilujú okolo svojej rovnovážnej polohy a nepohybujú sa s fázou.

Proces šírenia vibračného pohybu v médiu sa nazýva vlnový proces alebo jednoducho vlna..

V závislosti od povahy výsledných elastických deformácií sa rozlišujú vlny pozdĺžny a priečny... V pozdĺžnych vlnách častice média vibrujú pozdĺž čiary, ktorá sa zhoduje so smerom šírenia vibrácií. V priečnych vlnách častice média vibrujú kolmo na smer šírenia vĺn. Na obr. 1.3 ukazuje umiestnenie častíc média (konvenčne znázornené ako čiarky) v pozdĺžnych (a) a priečnych (b) vlnách.

Tekuté a plynné médiá nemajú šmykovú elasticitu, a preto sú v nich excitované iba pozdĺžne vlny, ktoré sa šíria vo forme striedavej kompresie a vzácnosti média. Vlny vzrušené na povrchu ohniska sú priečne: za svoju existenciu vďačia gravitácii. V pevných látkach môžu byť generované pozdĺžne aj šmykové vlny; špeciálnym typom priečnej vôle sú torzné vzruchy v pružných tyčiach, na ktoré pôsobia torzné vibrácie.

Predpokladajme, že bodový zdroj vlny začal v čase vzbudzovať oscilácie v médiu t= 0; po uplynutí času t tieto vibrácie sa budú na diaľku šíriť rôznymi smermi RI =c i t, kde s i je rýchlosť vlny v danom smere.

Povrch, na ktorý oscilácia v určitom časovom bode dosiahne, sa nazýva predná časť vlny.

Je zrejmé, že čelo vlny (čelo vlny) sa v priestore pohybuje s časom.

Tvar čela vlny je určený konfiguráciou zdroja kmitania a vlastnosťami média. V homogénnych médiách je rýchlosť šírenia vlny všade rovnaká. Streda sa volá izotropné ak je táto rýchlosť rovnaká vo všetkých smeroch. Čelo vlny z bodového zdroja kmitov v homogénnom a izotropnom médiu má tvar gule; nazývajú sa také vlny sférické.

V nehomogénnom a neizotropnom ( anizotropné) do média, ako aj z bodových zdrojov kmitov má predná časť vlny zložitý tvar. Ak je čelo vlny rovinou a tento tvar je zachovaný pri šírení kmitov v médiu, potom sa vlna nazýva plochý... Malé časti prednej časti vlny zložitého tvaru možno považovať za rovinnú vlnu (ak vezmeme do úvahy malé vzdialenosti, ktoré táto vlna prekonala).

Pri opise vlnových procesov sa rozlišujú povrchy, v ktorých všetky častice vibrujú v rovnakej fáze; tieto „povrchy tej istej fázy“ sa nazývajú vlna alebo fáza.

Je zrejmé, že čelo vlny je predná plocha vlny, t.j. najvzdialenejšie od zdroja vytvárajú vlny a vlnové povrchy môžu byť tiež sférické, ploché alebo môžu mať zložitý tvar, v závislosti od konfigurácie zdroja kmitov a vlastností média. Na obr. 1.4 konvenčne znázornené: I - sférická vlna z bodového zdroja, II - vlna z oscilačnej dosky, III - eliptická vlna z bodového zdroja v anizotropnom prostredí, v ktorom je rýchlosť šírenia vlny s plynule sa mení so zvyšujúcim sa uhlom α, dosahujúc maximum v smere AA a minimum pozdĺž BB.

Predstavujeme vašu pozornosť video tutoriál na tému „Šírenie vibrácií v elastickom médiu. Pozdĺžne a priečne vlny “. V tejto lekcii budeme študovať problémy súvisiace s šírením vibrácií v elastickom médiu. Dozviete sa, čo je vlna, ako sa prejavuje, ako je charakterizovaná. Študujme vlastnosti a rozdiely pozdĺžnych a priečnych vĺn.

Obraciame sa na štúdium problémov spojených s vlnami. Porozprávajme sa o tom, čo je vlna, ako sa prejavuje a ako je charakterizovaná. Ukazuje sa, že okrem iba oscilačného procesu v úzkej oblasti vesmíru je možné aj šírenie týchto oscilácií v médiu, je to práve také šírenie, ktoré je pohybom vĺn.

Prejdeme k diskusii o tejto distribúcii. Aby sme diskutovali o možnosti existencie oscilácií v médiu, musíme definovať, čo je husté médium. Husté médium sa nazýva médium, ktoré pozostáva z veľkého počtu častíc, ktorých interakcia je veľmi blízka pružnosti. Zvážte nasledujúci myšlienkový experiment.

Ryža. 1. Myšlienkový experiment

Guličku vložíme do elastického média. Lopta sa zmenší, zmenší a potom sa roztiahne ako tlkot srdca. Čo sa bude v tomto prípade dodržiavať? V tomto prípade častice, ktoré susedia s touto guľou, budú opakovať jej pohyb, t.j. odíďte, priblížte sa - tým budú vibrovať. Pretože tieto častice interagujú s inými časticami vzdialenejšími od gule, budú tiež kmitať, ale s určitým oneskorením. Častice, ktoré sú blízko tejto gule, vibrujú. Budú prenášané do iných častíc, vzdialenejších. Kývanie sa teda bude šíriť všetkými smermi. Všimnite si toho, že v tomto prípade sa bude stav oscilácie šíriť. Toto šírenie stavu kmitov nazývame vlna. Môžeme to povedať proces šírenia vibrácií v elastickom médiu v priebehu času sa nazýva mechanická vlna.

Poznámka: keď hovoríme o procese vzniku takýchto vibrácií, musíme povedať, že sú možné iba vtedy, ak dôjde k interakcii medzi časticami. Inými slovami, vlna môže existovať iba vtedy, ak existuje vonkajšia rušivá sila a sily, ktoré sú proti pôsobeniu rušivej sily. V tomto prípade ide o elastické sily. Proces šírenia bude v tomto prípade spojený s hustotou a silou interakcie medzi časticami daného média.

Všimnime si ešte jednu vec. Vlna nenesie látky... Koniec koncov, častice oscilujú okolo rovnovážnej polohy. Vlna však zároveň nesie energiu. Túto skutočnosť je možné ilustrovať na vlnách cunami. Hmotu nenesie vlna, ale vlna nesie takú energiu, že prináša veľké katastrofy.

Hovorme o druhoch vĺn. Existujú dva typy - pozdĺžne a priečne vlny. Čo pozdĺžne vlny? Tieto vlny môžu existovať vo všetkých prostrediach. A príklad s pulzujúcou guľou vo vnútri hustého média je len príkladom vzniku pozdĺžnej vlny. Takáto vlna je šírenie v priestore v priebehu času. Práve toto striedanie zhutnenia a vzácnosti predstavuje pozdĺžnu vlnu. Ešte raz opakujem, že takáto vlna môže existovať vo všetkých médiách - kvapalných, tuhých, plynných. Pozdĺžna sa nazýva vlna, pri šírení ktorej častice média vibrujú v smere šírenia vlny.

Ryža. 2. Pozdĺžna vlna

Pokiaľ ide o šmykovú vlnu, potom šmyková vlna môže existovať iba v tuhých látkach a na povrchu kvapaliny. Priečna vlna sa nazýva vlna, pri ktorej šírení častice média vibrujú kolmo na smer šírenia vlny.

Ryža. 3. Šmyková vlna

Rýchlosť šírenia pozdĺžnych a šmykových vĺn je rôzna, ale to je už téma ďalších lekcií.

Zoznam ďalšej literatúry:

Je vám pojem vlna taký známy? // kvant. - 1985. - č. 6. - S. 32-33. Fyzika: mechanika. 10. ročník: Učebnica. na hĺbkové štúdium fyziky / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky a ďalší; Ed. G.Ya. Myakisheva. - M.: Bustard, 2002. Základná učebnica fyziky. Ed. G.S. Landsberg. T. 3. - M., 1974.