Fraktalno risanje je ena izmed metod umetniške terapije, najbolj dostopna in učinkovita za popravljanje in harmonizacijo psihoemotionalnega in osebnega stanja tako otroka kot odraslega. Temelji na razmerju med fine motorične sposobnosti osebo in njegovo duševno stanje... Metoda fraktalne risanja se uporablja v individualno delo z otrokom (ali odraslim) za odpravo motenj psihoemocionalnega stanja - doživljanje občutka izgube, prilagoditveno obdobje, lajšanje tesnobe, napetosti, utrujenosti.

Prenesi:

Predogled:

Fraktalno risanje je ena izmed metod umetniške terapije, najbolj dostopna in učinkovita za popravljanje in harmonizacijo psihoemotionalnega in osebnega stanja tako otroka kot odraslega. Metodo fraktalne risanja je leta 1991 razvila T. Z Polyuyakhtova na podlagi znanstvenih in uporabnih raziskav B. Mandelbrota,

E. Fandysh, M. Lushera. Temelji na razmerju med finimi motoričnimi sposobnostmi človeka in njegovim duševnim stanjem, saj risba nosi informacije o stanju duha in telesa.

Uporaba fraktalne slike za popravljanje čustvenega stanja

Metoda fraktalne risanja se lahko uporablja pri individualnem delu z otrokom (ali odraslim) za odpravo motenj psihoemotionalnega stanja - doživljanje občutka izgube, obdobje prilagajanja, lajšanje tesnobe, napetosti, utrujenosti.

fraktal ( lat fractus - zdrobljen, zlomljen, razbit) je zapletena geometrijska figura z lastnostjo "samopodobnosti", torej sestavljena iz več delov, od katerih je vsak podoben celotni figuri kot celoti.

Relativna kontraindikacija za uporabo tehnike pri delu z otroki predšolska starost je prisotnost minimalne cerebralne disfunkcije (MMD). Otrokom z MMD aktivnih in reaktivnih tipov je zelo težko dolgo delati eno stvar. Barvanje mnogih "oken" jih sčasoma začne dražiti, zanimanje za dokončanje naloge se hitro zmanjša, raztresenost pa se poveča (ti procesi se ne morejo razviti, dokler se možgani ne normalizirajo).

Korekcijske (ali funkcionalne) risbe se izvajajo zavestno, črte se rišejo z zaprtimi očmi, nato se analizira testna risba, razjasni se problem in se razvije mehanizem za njegovo rešitev, opravi se obvezna izbira barve za barvanje.

Obvezna izvedba 21 risb v 2-3 tednih.

Da bi odpravili resnost težave, je priporočljivo postopoma razširiti barvo označenega mesta na ustrezne srednje celice. Nato premaknite celice z neželeno barvo od središča do oboda slike. Uporabite lahko na primer kombinacijo modre, cian, zelene in oranžnimi cvetovi(včasih roza), kar daje pozitivno dinamiko za razvoj in rešitev problema.

Uporaba fraktalne metode pri skupinskem delu

Fraktalno risanje se lahko uporablja za preučevanje odnosov v skupini (otroci in odrasli), težav z združljivostjo, psihološke klime.

Metoda fraktalne slike v kombinaciji z glasbeno terapijo se lahko uporablja kot tehnologija za ohranjanje zdravja za lajšanje stresa in utrujenosti v obdobjih težkega dela.

Priloga 1

Metoda fraktalne risanja

Cilj: diagnostika in korekcija psihoemotionalnega in fiziološkega stanja odraslih in otrok (5 let in več).

Oblika vodenja... Pri otrocih starejše predšolske starosti je priporočljiva individualna oblika vedenja, pri odraslih - tako individualna kot skupinska oblika.

Potreben material: komplet barvnih svinčnikov (flomasteri) čim več barvnih odtenkov, list papirja (A4).

Navodila za prvo (testno) risbo

Navodila za otroka

Slikali bomo čarobne vzorce. Pripravila sem papir in svinčnike (za predšolske otroke je bolje uporabiti svinčnike).

♦ List položite vodoravno.

♦ Vzemite svinčnik in ga položite kamor koli na list.

♦ Zdaj zaprite oči, meril bom čas, vi pa boste začeli risati neprekinjeno črto in poskušali zapolniti čim več lista. Črta mora biti jasna, dobro narisana. Rišite mirno, ne upodabljajte znanih figur (hiše, drevesa, rože). Vse jasno? Nato začnimo risati. (Za risanje je namenjenih 30-45 sekund, odvisno od posameznih značilnosti, hitrosti risanja).

♦ Odprite oči. Kako zanimiv vzorec imaš, koliko različnih oken imaš na svoji risbi: okrogla, kvadratna. Pustite belo ozadje prazno. Začetek in konec vrstice se povzameta ali zaokrožita na najbližjo točko.

♦ Zdaj pa poglej, koliko svinčnikov imam. Zdaj bomo pobarvali naša okna. Treba je izbrati svinčnike z zaprtimi očmi.

Sosednjih oken, ločenih s črto, ni mogoče zapolniti z isto barvo. (V primeru, da v rokah pride svinčnik iste barve, je treba prebarvati vsaj eno okno. Čas barvanja je neomejen).

Opomba. Treba je opozoriti, da otroci, stari 5-6 let, rišejo le velike celice. Otroci, ki niso samozavestni, »zatrti« ali se slabo učijo, praviloma narišejo dovolj velike celice in jih ohlapno prebarvajo.

Navodila za odrasle

Sedite, prosim, kot vam ustreza. Imam papir, svinčnike, flomastre, barvna pisala.

♦ Postavite kroglico svinčnika kamor koli na list. Z zaprtimi očmi bomo risali neprekinjeno črto, poskušali zapolniti čim več lista. Barvali bomo 45-60 sekund. Črta mora biti jasna. Hitrost ročaja je povprečna. Narišite z veliko vodoravnimi, navpičnimi in diagonalnimi križišči. Izvajamo krožne, ovalne in druge gibe, ki so podobni geometrijske figure... Poskusite se izogniti pogostim ponovitvam krožnih, zank, 8-oblik in geometrijskih oblik. Zapri oči. Začeli smo slikati.

♦ Belo ozadje slike mora biti popolnoma čisto. Začetek in konec črte je treba približati ali zaokrožiti do najbližjega križišča.

♦ Zdaj boste obarvali svojo risbo. Svinčnike je treba jemati le z zaprtimi očmi. Ne pozabite, da sosednjih celic, ločenih s črto, ni mogoče zapolniti z isto barvo. Izpolnijo se lahko, če se celice dotikajo le diagonalno. (Z eno barvo lahko pobarvate od 1 do 10-15 celic. (V primeru, da v rokah pride svinčnik iste barve, je treba prebarvati vsaj eno celico. S peresom barvajte samo najmanjše celice.).

♦(Ob koncu slikanja je potrebno opraviti pogovor o čustvenem stanju naročnika v procesu risanja).

Dodatek 2

Diagnostična merila pri analizi slike

Narava vrstic

● Jasno zarisane črte govorijo o samozavestnem, trdnem značaju, namenskosti, neodvisnosti, natančnosti.

● Ne povsod enak pritisk pri risanju črte najpogosteje zaznamuje ustvarjalno osebo s prilagodljivim značajem, čustveno labilno, včasih nesamozavestno.

● Rahlo zarisane črte »govorijo« o bolečem stanju, opaznem pomanjkanju samozavesti.

● Pri osebi, ki je v čustvenem stresu in stresu, opazimo ostre, kotno zarisane črte.

● Črte z gladkimi prehodi kažejo na harmonično, stabilno stanje.

● Razporeditev črt v koncentričnem krogu ali krožno ponavljanje na risbi opazimo s težnjo k obsesivnim stanjem, nevrozam.

Velikost in konfiguracija slike

● Majhna risba (ne več kot 1/3 površine lista) najdemo pri ljudeh z nizko samopodobo, nagnjenih k sebičnosti.

● Povprečna velikost (približno 2/3 površine lista) slike je pokazatelj uravnoteženega značaja.

● Velika risba (veliko več kot 2/3 površine listov) - kaže na nestabilno čustveno stanje, v nekaterih primerih - na nestabilnost koncentracije.

● Pri pravokotnih ljudeh opazimo pravokotno obliko oboda vzorca, ki ima pogosto kompleksen značaj.

● Risba z bizarno izraženimi "repi" po obodu - odraz svetle individualnosti, ekscentričnosti, v nekaterih primerih nestabilnosti značaja.

Konfiguracija in velikosti celic

Celice v fraktalni ilustraciji

Po velikosti (velike, srednje, majhne);

Po obliki (trikotna, zankasta, okrogla, podolgovata).

Harmonična kombinacija velikosti celic na celotnem območju slike (1/3 velike, 1/3 srednje, 1/3 majhne) govori o samozavesti, predanosti, stabilnosti.

V risbah prijaznih, odprtih narav najdemo veliko število velikih celic;

srednje celice - izvršni, čedni, včasih pedantni ljudje, v nekaterih primerih negotovi vase, a vedno čedni in pridni.

Preobilje krožnih oblik kaže na nagnjenost k kroničnim nevrozam in prisotnost obsesivnih stanj; zanke podobne črte - o zankanju osebe.

Gladke, zaobljene celice z majhnim številom geometrijskih oblik opazimo pri razumnih, mirnih ljudeh, nagnjenih k ustvarjalnosti.

Veliko število geometrijskih figur govori o izraziti nagnjenosti k analizi, skepticizmu pri ocenah, neposrednem avtoritarnem značaju in prisotnosti poslovnih lastnosti.

Ostro začrtane, oglate, neenakomerne celice kažejo na čustveno nestabilnost, draženje, stres.

Madeži

Velika črna pika kaže na utrujenost, stres.

Velika temna lisa je simbol akutne osebne težave.

Velike rdeče celice kažejo na nagnjenost k obsesivnim stanjem, tesnobi.

Opazno število srednje velikih rdečih pik je pokazatelj napetosti, nestabilnosti čustev.

Ena ali več velikih rjavih celic so dolgoletni problemi medosebnih odnosov.

Na risbah ljudi z naravno sposobnostjo samoregulacije opazimo veliko število odtenkov zelene.

Ena ali več velikihvijolične celice- označevalec tesnobe, agresije, akutnega stresa.

Barva

Čisto, brez madežev in madežev, belo ozadje slike - visoka koncentracija pozornosti, skrbnost.

Namerno prazne bele celice so pokazatelj nezadostne uporabe naravnih sposobnosti.

Veliko število celic rumena barva: radovednost, neodvisen, samozavesten, zmerno zaman.

zelena barva: naravne lastnosti samopopravljanja, pronicljiv, čustveno odziven, sposoben poslušati in razumeti sogovornika.

Travnato zelena (bližje močvirju): velika fizična vzdržljivost.

Kombinacija: zelena + rumena = povečana občutljivost;

Zelena + rumena + modra = družabnost, notranja harmonija.

modra barva: mir, prizadevanje za stabilnost, ravnovesje.

Temno modra (prevladuje): napeto čustveno stanje, ki se spremeni v depresijo.

Modra + rdeča, rjava, črna= nesrečnost čustvenega okolja, v katerem se človek nahaja.

Harmonična kombinacija modre barve+ modra + zelena + oranžna = daje pozitivno dinamiko razvoja, možnost dolgotrajne težave v človekovem življenju. Ta kombinacija se pogosto uporablja med korekcijo.

Modra barva: človek ljubi svojo družino, ceni udobje, udobje; veliko število celic - občutljivost, ranljivost.

Vijolična barva : največkrat pozitiven, enostaven za komuniciranje; velika količina - nečimrnost, ki išče čast; pogosta za otroke in mladostnike.

vijolična : deloholiki, pomembno je samoizražanje.

vijolična barva: prisotnost "besne" neobvladljive energije, manifestacija agresije (verbalne ali fizične), pogosto neobvladljive.

rdeča barva: barva alarma. Če je te barve na sliki veliko, je to signal v stiski, avtor je v izredno nestabilnem, neuravnoteženem stanju. Če so rdeče lise srednje velikosti in jih je veliko, je to znak nestabilnega psihoemocionalnega stanja, zatirajočega razpoloženja. Običajno so to trenutne težave in težave, če pa je splošno ozadje slike temno, to pomeni, da oseba ne pozna izhoda iz situacije. Če je organsko prepleten z drugimi barvami - dokaj harmonična oseba, ki se dinamično razvija, ima stabilno življenjsko okolje.

Roza barva: barva tople energije, preobilje kaže na pomanjkanje pozornosti. Tak otrok potrebuje skrb, pozornost, naklonjenost. Roza ima terapevtski učinek v procesu korekcije (čustvena podporna barva).

Škrlatna + škrlatna = tesnoba, napetost čustvenega stanja, prisotnost težave. Grimizna barva govori o impulzivnosti in nepredvidljivosti. Ko je v harmonični normi, pooseblja željo po napredku in predanosti.

Debela bordo, češnja:barva moči, agresivne energije.

Oranžna barva: Vitalna energija. Srednje celice - avtor je zelo vesel. Če je presežek (velike celice ali veliko srednjih), je to znak nezmožnosti osebe, da sprejme jasne ukrepe in prisotnost kompleksov.Odsotnost te barve na sliki kaže na upad vitalnosti.

Peščeno zlate barve:barva svete energije je znak duhovnega bogastva in duhovne širine.

Temno rjava barva:lahko trdimo, da ima človek globoko skrit problem, s katerim se je sprijaznil in se mu (po njegovem mnenju) ne more spopasti.Temno rjava + rdeča + temno rdeča + vijolična + črna = signal akutne težave, kritičnega stanja (zlasti pri otrocih).

Siva barva: barva prehoda iz enega stanja v drugo. Dominanta je znak mejnega stanja, občutka nelagodja, čustvene nestabilnosti in dvoma vase.

Oseba, ki pobarva velike celice s sivo, zahteva največjo pozornost (morda zdravnika).Majhne celice jeklene barve simbolizirajo konkretne spremembe v sedanjosti.

Črna barva: če so prebarvane zelo drobne celice, je avtor iniciativen, aktiven, dinamičen. Veliko število srednjih in velikih celic pove, da se človek hitro duševno in fizično utrudi. Ta vzorec opazimo na risbah ljudi v stanju profesionalne izgorelosti.

Za popolnejšo in natančnejšo interpretacijo barvne vsebine risb (vključno z barvnimi kombinacijami) lahko uporabite »Enciklopedijo znakov in interpretacij v projektivnem slikarstvu in likovni terapiji«.

Lebedeva L.D., Nikonorova Yu.V., Tarakanova N.A. Enciklopedija znakov in interpretacij v projektivni risbi in likovni terapiji.-Pb .: Reč, 2002.

Državna proračunska izobraževalna ustanova

Srednja šola v regiji Samara številka 6

mestno okrožje Otradny, regija Samara

Strukturni pododdelek" vrtecšt. 8"

___________________________________________________________________

Fraktalno risanje kot orodje za diagnostiko in korekcijo psihoemotionalnega stanja

Pedagog-psiholog

Filippova E.A.

Fraktali so strukture, ki izhajajo iz enačb teorije kaosa in vsebujejo lastne reducirane kopije (samopodobnost). To pomeni, da če ga razdelite na dele, dobite skoraj identično miniaturo.

Lepota fraktalov je v tem, da njihovo "neskončno" kompleksnost tvorijo razmeroma preproste črte. Ponavljanje teh ustvarja čudovite in edinstvene vzorce.

Revija Wired je zbrala najbolj impresivne fraktale, ki jih najdemo na našem planetu

Solne ravnice

Salt Flats v zalivu San Francisco se že več kot stoletje uporablja za komercialno proizvodnjo soli. Spodaj je fotografija največje slane ravnine na svetu, soline Uyuni, ki se nahaja v južni Boliviji. Sol nariše presenetljivo dosleden, a naključen vzorec, značilnost fraktalov.

Amoniti

Pred 65 milijoni let so bili amoniti morski glavonožci, ki so gradili spiralne školjke s komorami. Stene med komorami, imenovane šivi, so kompleksne rekurzivne krivulje. Stephen Jay Gould je kot primer navedel kompleksnost amonitnih šivov, da ni evolucijsko vse bolj zapletenega vzorca in da smo samo "veličastna nesreča" v vesolju. Amonitne lupine kažejo tudi logaritemsko spiralo, ki se pogosto pojavlja v naravi.

Amoniti

Amoniti so bili navdih za gradnjo stopnišča katedrale v Barceloni v Španiji.

Gore

Gore

Gore so posledica tektonskih procesov, ki potiskajo zemeljsko skorjo navzgor. Rezultat je fraktal.

Praproti

Praproti so tipičen primer samoponavljajoče se vrstice in njihov vzorec je mogoče matematično reproducirati v katerem koli obsegu. Matematična formula, ki opisuje praproti, poimenovana po Michaelu Barnsleyju, je bila ena prvih, ki je pokazala, da čeprav je kaos nepredvidljiv, še vedno sledi določenim pravilom, ki temeljijo na nelinearnih ponavljajočih se enačbah. Z drugimi besedami, naključna števila večkrat reproducirani s formulo Barnsley Fern, na koncu predstavljajo edinstven predmet v obliki praproti.

Oblaki

Te stratusne oblake je posnel satelit Aqua nad južnim Atlantikom zahodno od afriške obale. Rekurzivni vzorec je prekinjen z nizom diagonalnih zarez. Po podatkih Nasinega observatorija Zemlje je tako jasna meja znotraj oblaka precej redka. Znanstveniki tega še niso razložili.

Oblaki

Spodaj je prikazanih 320 km vrtinčnih oblakov, kar je verjetno najdaljši rekurzivni vzorec, ki je bil kdaj dokumentiran, trdi NASA. Imenujejo se tudi von Karmanove vrtinčne ulice, po inženirju in letalskem specialistu. Oblačne ulice nastanejo, ko nizke oblake razbije predmet, kot so krila letala.

Listje

Nenavadno je, da je krčenje gozdov ob avtocesti tudi fraktal. Spodaj je fotografija ene od "plešastih" regij Amazonije v zvezni državi Rondonia v zahodni Braziliji.

Kanjoni

Lažna barvna slika Canyon des Shay v Arizoni. Služba narodnih parkov ga imenuje za eno najdaljših neprekinjeno naseljenih območij v Severni Ameriki.

Verjetno ste že večkrat videli tako impresivne modele s številnimi barvami in "kodri" ...
Mnogi od njih so zgrajeni z večkratnim kopiranjem pravilnih oblik, od katerih je vsaka miniaturna kopija velikega ornamenta.
Ta vadnica vas bo naučila, kako narediti podobne vzorce v Adobe Photoshopu.

Tukaj je končni rezultat tega, kar bomo naredili:


Korak 1
Fraktal(latinsko fractus - zdrobljen) je izraz, ki pomeni geometrijski lik, ki ima lastnost samopodobnosti, torej sestavljen iz več delov, od katerih je vsak podoben celotni figuri kot celoti. V širšem smislu fraktale razumemo kot nize točk v evklidskem prostoru, ki imajo delno metrično dimenzijo (v smislu Minkowskega ali Hausdorffa) ali metrično dimenzijo, ki je strogo večja od topološke. © Wikipedia
No, pa začnimo. Najprej ustvarite nov dokument z velikostjo 1600x1200 slikovnih pik in postavite vodilne črte (ravnala (Ctrl + R)) na sredino dokumenta. Nato napolnite ozadje s krožnim gradientom # 095261 - # 000000 strogo od središča.


2. korak
Zdaj pa narišemo navaden krog ... Ja, ne šalim se, vse se začne s preprostim krogom. Narišite ga z orodjem Ellipse "a, pri čemer držite tipko Shift. Moja je 83 x 83 slikovnih pik na sredini slike. Nato ustvarite mapo fraktalnega sloja in tam postavite sloj kroga.


3. korak
Dodajmo krogu nekaj globine:

4. korak
Sedaj podvojite sloj kroga (Ctrl + J), mu spremenite velikost in ga nastavite, kot je prikazano na spodnji sliki:

Beli trikotnik mi služi kot vodilo za premikanje krogov :)
5. korak
Tu se začne najbolj smešen del. Podvojite plast z osnovo našega vzorca (predhodno ste povezali plasti s krogi) in pritisnite Ctrl + Alt + T, da vstopite v način brezplačne transformacije.


6. korak
Medtem ko držite tipko Shift, zavrtite vzorec za nekaj stopinj v smeri urinega kazalca in ga nekoliko skrčite. Nato premaknemo transformacijski center v levo in pod naš vzorec (smer je odvisna od vaših potreb). Pritisnemo Enter.

7. korak
Zdaj je čas za majhen trik z eno bližnjico (Ctrl + Shift + Alt + T). Pritisnemo to čarobno kombinacijo tipk. Kaj se je zgodilo? Photoshop je uporabil enake možnosti preoblikovanja za nov predmet. Ta korak bomo večkrat ponovili, dokler ne dosežemo želenega rezultata.

8. korak
Podvojite mapo Fractal in pritisnite Ctrl + E, da jo združite v eno plast. Skrij izvirno mapo. Nastali vzorec postavite v spodnji desni sektor našega dokumenta.

9. korak
Izberite nastalo plast, jo podvojite in nanjo uporabite brezplačno transformacijo z odmikom središča transformacije na sredino dokumenta. Razširite vzorec za 120 stopinj.

10. korak
Enako storite za tretjo stran. Nato ustvarite mapo s plastmi in vanjo postavite vse 3 nastale vzorce. Podvojite mapo in združite njeno vsebino v eno plast (Ctrl + E).

11. korak
Podvojite plast in jo preoblikujte:

12. korak
Pojdite v meni Image-Adjustments-Hue/Saturation in nastavite naslednje parametre:

13. korak
Ponovimo točki 11 in 12 (12 z drugimi parametri):

14. korak
To tehniko uporabljamo večkrat, dokler ne dosežemo podobnega rezultata. Vse nastale plasti postavite v novo mapo, jo podvojite in ponovno združite njeno vsebino v eno plast (vse, kar je bilo prej ustvarjeno, je mogoče skriti).


15. korak
Dodajte senco.

16. korak
Z nastalim ornamentom izvedemo manevre, opisane v 5. odstavku.




Zaključek
Kot lahko vidite, je s to tehniko mogoče ustvariti veliko lepih abstraktnih modelov. Vso srečo pri vaših prizadevanjih! :)

Najbolj iznajdljiva odkritja znanosti lahko korenito spremenijo človeško življenje. Izumljeno cepivo lahko reši milijone ljudi, ustvarjanje orožja, nasprotno, vzame ta življenja. Še pred kratkim (na lestvici človeške evolucije) smo se naučili »ukrotiti« elektriko – in zdaj si ne moremo predstavljati življenja brez vseh teh priročnih naprav, ki uporabljajo elektriko. So pa tudi takšna odkritja, ki jim malokdo pripisuje pomen, čeprav močno vplivajo tudi na naše življenje.

Eno od teh "nevidnih" odkritij so fraktali. Verjetno ste že slišali to privlačno besedo, a veste, kaj pomeni in koliko zanimivih stvari se skriva v tem izrazu?

Vsak človek ima naravno radovednost, željo po spoznavanju sveta okoli sebe. In v tem prizadevanju se človek poskuša držati logike v svojih sodbah. Z analizo procesov, ki se dogajajo okoli njega, poskuša najti doslednost dogajanja in izpeljati neko pravilnost. Največji umi na planetu so zaposleni s to nalogo. Grobo rečeno, znanstveniki iščejo vzorec tam, kjer ne bi smel biti. Kljub temu lahko tudi v kaosu najdete povezavo med dogodki. In ta povezava je fraktal.

Naša hčerka, stara štiri leta in pol, je zdaj v tisti čudoviti starosti, ko se število vprašanj "Zakaj?" je večkrat večje od števila odgovorov, ki jih imajo odrasli čas dati. Ne tako dolgo nazaj je moja hči pri pregledovanju veje, dvignjene od tal, nenadoma opazila, da je ta veja z vejicami in vejami sama po sebi podobna drevesu. In seveda je sledilo običajno vprašanje »Zakaj?«, na katerega so morali starši poiskati preprosto razlago, ki bi jo otrok razumel.

Podobnost ene veje s celim drevesom, ki ga je odkril otrok, je zelo natančno opazovanje, ki še enkrat priča o načelu rekurzivne samopodobnosti v naravi. Na podoben način nastajajo številne organske in anorganske oblike v naravi. Oblaki, morske školjke, polžja "hiša", lubje in krošnje dreves, cirkulacijski sistem in tako naprej - naključne oblike vseh teh predmetov lahko opišemo s fraktalnim algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: oče fraktalne geometrije

Sama beseda "fraktal" se je pojavila po zaslugi briljantnega znanstvenika Benoîta B. Mandelbrota.

Sam je izraz skoval v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja, pri čemer si je besedo fractus izposodil iz latinščine, kjer dobesedno pomeni »zlomljen« ali »zdrobljen«. Kaj je to? Danes se najpogosteje razume beseda "fraktal". grafična slika struktura, ki je sama sebi podobna v večjem obsegu.

Matematični temelji za nastanek teorije fraktalov so bili postavljeni mnogo let pred rojstvom Benoita Mandelbrota, vendar se je lahko razvil šele s prihodom računalniških naprav. Na začetku svoje znanstvene kariere je Benoit delal v IBM-ovem raziskovalnem centru. Takrat so se zaposleni v centru ukvarjali s prenosom podatkov na daljavo. Med raziskavami so se znanstveniki soočili s problemom velikih izgub zaradi motenj hrupa. Benoit je bil soočen s težko in zelo pomembno nalogo - razumeti, kako napovedati pojav motenj hrupa v elektronskih vezjih, ko je statistična metoda neučinkovita.

Ob pogledu na rezultate meritev hrupa je Mandelbrot opazil en čuden vzorec - grafi hrupa na različnih lestvicah so bili videti enaki. Opažen je bil enak vzorec, ne glede na to, ali je šlo za graf hrupa za en dan, teden ali uro. Takoj, ko se je merilo grafa spremenilo, se je slika vsakič ponovila.

Benoit Mandelbrot je v času svojega življenja večkrat dejal, da se ni ukvarjal s formulami, ampak se je preprosto igral s slikami. Ta človek je razmišljal zelo figurativno in je vsak algebraični problem prenesel na področje geometrije, kjer je po njegovem pravilen odgovor vedno očiten.

Ni presenetljivo, da je prav oseba s tako bogato prostorsko domišljijo postala oče fraktalne geometrije. Konec koncev, razumevanje bistva fraktalov pride točno takrat, ko začnete preučevati risbe in razmišljati o pomenu čudnih vrtinčnih vzorcev.

Fraktalna risba nima enakih elementov, je pa podobna v katerem koli merilu. Zgradite takšno sliko s visoka stopnja ročna podrobnost je bila prej preprosto nemogoča, zahtevala je velika količina izračuni. Na primer, francoski matematik Pierre Joseph Louis Fatou je ta niz opisal več kot sedemdeset let pred odkritjem Benoita Mandelbrota. Če govorimo o načelih samopodobnosti, so bili omenjeni v delih Leibniza in Georga Cantorja.

Ena najzgodnejših risb fraktala je bila grafična interpretacija Mandelbrotovega niza, ki se je rodila iz raziskav Gastona Mauricea Julia.

Gaston Julia (vedno z masko - travma iz prve svetovne vojne)

Ta francoski matematik se je spraševal, kako bi izgledal niz, če bi ga zgradili na podlagi preproste formule, ki se ponovi v zanki povratne informacije... Če to razložimo »na prste«, to pomeni, da za določeno število po formuli najdemo novo vrednost, nato jo zamenjamo nazaj v formulo in dobimo drugo vrednost. Rezultat je veliko zaporedje številk.

Če želite dobiti popolno sliko takšnega nabora, morate narediti ogromno izračunov - na stotine, tisoče, milijone. Ročno je bilo preprosto nerealno. Ko pa so se matematikom pojavile zmogljive računalniške naprave, so si lahko na nov pogled ogledali formule in izraze, ki so jih že dolgo zanimali. Mandelbrot je bil prvi, ki je uporabil računalnik za izračun klasičnega fraktala. Po obdelavi zaporedja, sestavljenega iz velikega števila vrednosti, je Benoit rezultate prenesel v graf. Evo, kaj je dobil.

Kasneje je bila ta slika obarvana (na primer ena od metod barvanja z barvo - glede na število ponovitev) in je postala ena najbolj priljubljenih slik, ki jih je kdajkoli ustvaril človek.

Kot pravi starodavni pregovor, ki ga pripisujejo Heraklitu iz Efeza: "Ne moreš dvakrat vstopiti v isto reko." Najbolj primeren je za razlago geometrije fraktalov. Ne glede na to, kako podrobno si ogledamo fraktalno sliko, bomo ves čas videli podoben vzorec.

Tisti, ki želijo videti, kako bo slika Mandelbrotovega prostora videti pri več povečavah, lahko to storijo tako, da prenesejo animirani GIF.

⇡ Lauren Carpenter: umetnost, ki jo je ustvarila narava

Teorija fraktalov je kmalu našla praktično uporabo. Ker je tesno povezan z vizualizacijo sebi podobnih slik, ni presenetljivo, da je prvi sprejel algoritme in principe gradnje. nenavadne oblike, tam so bili umetniki.

Bodoči soustanovitelj legendarnega Pixar Studios Loren C. Carpenter se je leta 1967 pridružil podjetju Boeing Computer Services, ki je bil eden od oddelkov slavne korporacije, ki se je ukvarjala z razvojem novih letal.

Leta 1977 je ustvaril predstavitve s prototipi letečih modelov. Laurenine odgovornosti so vključevale razvoj slik projiciranih letal. Ustvariti je moral slike novih modelov, ki prikazujejo bodoča letala iz različnih zornih kotov. V nekem trenutku je prišlo na misel bodočemu ustanovitelju Pixar Animation Studios kreativna ideja uporabite podobo gora kot ozadje. Danes lahko vsak šolar reši tak problem, toda v poznih sedemdesetih letih prejšnjega stoletja se računalniki niso mogli spopasti s tako zapletenimi izračuni - ni bilo grafičnih urejevalnikov, da ne omenjam aplikacij za tridimenzionalno grafiko. Leta 1978 je Lauren v trgovini po naključju videla knjigo Benoita Mandelbrota Fraktali: oblika, naključnost in dimenzija. V tej knjigi je njegovo pozornost pritegnilo dejstvo, da je Benoit dal veliko primerov fraktalnih oblik v resnično življenje in trdili, da jih je mogoče opisati z matematičnimi izrazi.

Te analogije matematik ni izbral po naključju. Dejstvo je, da se je moral takoj, ko je objavil svojo raziskavo, soočiti z navalom kritik. Glavna stvar, ki so mu jo kolegi očitali, je bila neuporabnost teorije, ki se razvija. »Da,« so rekli, »to je lepe slike, vendar ne več. Teorija fraktalov nima praktične vrednosti. Bili so tudi tisti, ki so na splošno menili, da so fraktalni vzorci le stranski produkt dela »hudičevih strojev«, ki so se v poznih sedemdesetih marsikomu zdeli nekaj preveč zapletenega in neraziskanega, da bi jim popolnoma zaupali. Mandelbrot je poskušal najti očitno uporabo fraktalne teorije, vendar mu na splošno tega ni bilo treba storiti. Privrženci Benoita Mandelbrota so v naslednjih 25 letih dokazali ogromne koristi te »matematične radovednosti« in Lauren Carpenter je bila ena prvih, ki je fraktalno metodo uporabila v praksi.

Po preučevanju knjige je bodoči animator resno preučeval načela fraktalne geometrije in začel iskati način, kako jo implementirati v računalniško grafiko. V samo treh dneh dela je Lauren na svojem računalniku uspel upodobiti realistično podobo gorskega sistema. Povedano drugače, s pomočjo formul je naslikal povsem prepoznavno gorsko pokrajino.

Načelo, ki ga je Lauren uporabila za dosego svojega cilja, je bilo zelo preprosto. Vključevala je razdelitev večje geometrijske figure na majhne elemente, ti pa so bili razdeljeni na podobne številke manjši.

Z uporabo večjih trikotnikov jih je Carpenter razdelil na štiri manjše in nato ta postopek ponavljal znova in znova, dokler ni dobil realistične gorate pokrajine. Tako mu je uspelo postati prvi umetnik, ki je uporabil fraktalni algoritem za konstruiranje slik v računalniški grafiki. Takoj, ko je bilo znano za opravljeno delo, so navdušenci po vsem svetu prevzeli idejo in začeli uporabljati fraktalni algoritem za simulacijo realističnih naravnih oblik.

Ena prvih 3D vizualizacij z uporabo fraktalnega algoritma

Le nekaj let pozneje je Lauren Carpenter lahko uporabila svoj razvoj v veliko večjem projektu. Animator je ustvaril dvominutni demo video, Vol Libre, ki je bil predvajan na Siggraphu leta 1980. Ta video je šokiral vse, ki so ga videli, Lauren pa je prejela povabilo Lucasfilma.

Animacija je bila upodobljena na računalniku VAX-11/780 podjetja Digital Equipment Corporation s taktno hitrostjo pet megahercev, pri čemer je vsak okvir potreboval približno pol ure za upodabljanje.

V podjetju Lucasfilm Limited je animator ustvaril 3D pokrajine na enak način za drugo celovečerni film sage Zvezdne steze... V The Wrath of Khan je Carpenter lahko ustvaril celoten planet z uporabo istega principa modeliranja fraktalnih površin.

Dandanes vsi priljubljene aplikacije za ustvarjanje tridimenzionalnih pokrajin se uporablja podoben princip ustvarjanja naravnih objektov. Terragen, Bryce, Vue in drugi urejevalniki 3D se zanašajo na fraktalni algoritem za modeliranje površin in tekstur.

⇡ Fraktalne antene: manj je bolje

V zadnjih pol stoletja se je življenje začelo hitro spreminjati. Večina nas sprejema dosežke sodobne tehnologije samoumevno. Zelo hitro se navadiš na vse, kar naredi življenje bolj udobno. Redkokdo se vpraša: "Od kod prihaja?" in "Kako deluje?" Mikrovalovna pečica pogreje zajtrk – no, super, pametni telefon omogoča pogovor z drugo osebo – odlično. To se nam zdi očitna možnost.

Toda življenje bi lahko bilo povsem drugačno, če človek ne bi iskal razlage za dogodke, ki se dogajajo. Vzemite na primer mobilne telefone. Se spomnite izvlečnih anten na prvih modelih? Vmešali so se, povečali velikost naprave, na koncu so se pogosto zlomili. Verjamemo, da so za vedno potonili v pozabo, delno pa so za to krivi ... fraktali.

Fraktalne risbe očarajo s svojimi vzorci. Vsekakor spominjajo na slike predmetov v vesolju – meglice, kopice galaksij itd. Zato je povsem naravno, da so njegove raziskave, ko je Mandelbrot izrazil svojo teorijo fraktalov, vzbudile večje zanimanje tistih, ki so študirali astronomijo. Eden od teh amaterjev po imenu Nathan Cohen je po obisku predavanja Benoita Mandelbrota v Budimpešti vznemiril idejo o praktični uporabi pridobljenega znanja. Res je, to je storil intuitivno in naključje je igralo pomembno vlogo pri njegovem odkritju. Kot radioamater si je Nathan prizadeval ustvariti anteno z najvišjo možno občutljivostjo.

Edini način za izboljšanje parametrov antene, ki je bil takrat znan, je bilo povečanje njenih geometrijskih dimenzij. Vendar je lastnik doma v središču Bostona, ki ga je najel Nathan, ostro nasprotoval namestitvi velikih naprav na strehi. Nato je Nathan začel eksperimentirati z različnimi oblikami anten, s katerimi je poskušal doseči največji rezultat minimalne dimenzije... Kot pravijo, je Cohen, ki je bil navdušen nad idejo fraktalnih oblik, iz žice naključno izdelal enega najbolj znanih fraktalov - "Kochovo snežinko". To krivuljo je leta 1904 izumil švedski matematik Helge von Koch. Dobimo ga tako, da razdelimo odsek črte na tri dele in zamenjamo srednji segment z enakostraničnim trikotnikom brez stranice, ki sovpada s tem segmentom. Definicijo je malo težko razumeti, a na sliki je vse jasno in preprosto.

Obstajajo tudi druge različice "Kochove krivulje", vendar približna oblika krivulje ostaja podobna

Ko je Nathan priključil anteno na radijski sprejemnik, je bil zelo presenečen - občutljivost se je močno povečala. Po vrsti poskusov je bodoči profesor na univerzi v Bostonu ugotovil, da ima antena, izdelana iz fraktalnih vzorcev, visoko učinkovitost in pokriva veliko širše Frekvenčni razpon v primerjavi s klasičnimi rešitvami. Poleg tega lahko oblika antene v obliki fraktalne krivulje znatno zmanjša geometrijske dimenzije. Nathan Cohen je celo pripravil izrek, ki dokazuje, da je za ustvarjanje širokopasovne antene dovolj, da jo oblikujemo v samopodobno fraktalno krivuljo.

Avtor je patentiral svoje odkritje in ustanovil podjetje za razvoj in oblikovanje fraktalnih anten Fractal Antenna Systems, pri čemer je upravičeno verjel, da se bodo v prihodnosti, zahvaljujoč njegovemu odkritju, mobilni telefoni lahko znebili obsežnih anten in postali bolj kompaktni.

Načeloma se je zgodilo tole. Res je, da je Nathan še danes v pravdi z velikimi korporacijami, ki nezakonito uporabljajo njegovo odkritje za proizvodnjo kompaktnih komunikacijskih naprav. Nekateri znani proizvajalci mobilnih naprav, kot je Motorola, so se že sporazumno dogovorili z izumiteljem fraktalne antene.

⇡ Fraktalne dimenzije: um ne more razumeti

Benoit si je to vprašanje izposodil od slavnega ameriškega znanstvenika Edwarda Kasnerja.

Slednji, tako kot mnogi drugi znani matematiki, rad je komuniciral z otroki, jim postavljal vprašanja in dobival nepričakovane odgovore. Včasih je to povzročilo presenetljive posledice. Na primer, devetletni nečak Edwarda Kasnerja je izumil zdaj dobro znano besedo "googol", kar pomeni ena, ki ji sledi sto ničel. Toda nazaj k fraktalom. Ameriški matematik je rad zastavil vprašanje, kakšna je dolžina obale Združenih držav. Po poslušanju mnenja sogovornika je Edward sam povedal pravilen odgovor. Če merite dolžino na zemljevidu s lomljenimi črtami, bo rezultat netočen, saj ima obala veliko število nepravilnosti. Kaj se zgodi, če ga izmerite čim bolj natančno? Upoštevati boste morali dolžino vsake nepravilnosti – izmeriti boste morali vsak rt, vsak zaliv, skalo, dolžino skalnate police, kamna na njej, zrno peska, atom itd. Ker se število nepravilnosti nagiba k neskončnosti, se bo izmerjena dolžina obale z vsako novo nepravilnostjo povečala v neskončnost.

Manjša kot je mera, daljša je izmerjena dolžina

Zanimivo je, da so otroci po Edwardovih navodilih veliko hitreje povedali pravilno odločitev kot odrasli, medtem ko so slednji imeli težave pri sprejemanju tako neverjetnega odgovora.

Mandelbrot je na primeru tega problema predlagal nov pristop k meritvam. Ker je obala blizu fraktalne krivulje, to pomeni, da se zanjo lahko uporabi značilni parameter - tako imenovana fraktalna dimenzija.

Vsakdo lahko razume, kakšna je običajna dimenzija. Če je dimenzija enaka eni, dobimo ravno črto, če dve - ravno figuro, tri - prostornino. Vendar to razumevanje dimenzionalnosti v matematiki ne deluje pri fraktalnih krivuljah, kjer ima ta parameter delno vrednost. Fraktalno dimenzijo v matematiki lahko konvencionalno obravnavamo kot "neenakomernost". Večja kot je hrapavost krivulje, večja je njena fraktalna dimenzija. Krivulja, ki ima po Mandelbrotu fraktalno dimenzijo višjo od njene topološke dimenzije, ima približno dolžino, ki ni odvisna od števila meritev.

Trenutno znanstveniki iščejo vedno več področij za uporabo teorije fraktalov. S pomočjo fraktalov lahko analiziramo nihanja cen delnic, raziskujemo vse vrste naravnih procesov, kot so nihanja števila vrst, ali simuliramo dinamiko tokov. Fraktalni algoritmi se lahko uporabljajo za stiskanje podatkov, kot je stiskanje slik. In mimogrede, da bi dobili čudovit fraktal na zaslonu računalnika, vam ni treba doktorirati.

⇡ Fraktal v brskalniku

Morda je eden od najlažjih načinov za ustvarjanje fraktalnih vzorcev uporaba spletnega urejevalnika vektorjev nadarjenega mladega programerja Tobyja Schachmana. Nabor orodij tega preprostega grafičnega urejevalnika temelji na istem principu samopodobnosti.

Na voljo imate le dve preprosti obliki - štirikotnik in krog. Lahko jih dodate na platno, povečate (za prilagoditev velikosti vzdolž ene od osi, držite tipko Shift) in zavrtite. Ti najpreprostejši elementi, ki se prekrivajo po principu logističnih operacij seštevanja, tvorijo nove, manj trivialne oblike. Nato je mogoče te nove oblike dodati projektu in program bo generiranje teh slik ponavljal neskončno. Na kateri koli stopnji dela na fraktalu se lahko vrnete na katero koli komponento kompleksne oblike in uredite njen položaj in geometrijo. Razburljiva dejavnostše posebej, če menite, da je edino orodje, ki ga potrebujete za ustvarjalnost, brskalnik. Če ne razumete načela dela s tem rekurzivnim urejevalnikom vektorjev, vam svetujemo, da si ogledate videoposnetek na uradni spletni strani projekta, ki podrobno prikazuje celoten postopek ustvarjanja fraktala.

⇡ XaoS: fraktali za vsak okus

veliko grafični urejevalnik imajo vgrajena orodja za ustvarjanje fraktalnih vzorcev. Vendar so ta orodja običajno sekundarna in ne omogočajo natančne nastavitve ustvarjenega fraktalnega vzorca. V primerih, ko je treba zgraditi matematično natančen fraktal, bo na pomoč priskočil urejevalnik za več platform XaoS. Ta program omogoča ne samo izgradnjo sebi podobne slike, temveč tudi izvajanje različnih manipulacij z njo. Na primer, v realnem času se lahko "sprehodite" po fraktalu tako, da spremenite njegovo lestvico. Animirano gibanje vzdolž fraktala je mogoče shraniti kot datoteko XAF in nato reproducirati v samem programu.

XaoS lahko naloži naključni nabor parametrov, pa tudi za sliko uporablja različne filtre za naknadno obdelavo – dodaja zamegljeno gibanje, gladke ostre prehode med fraktalnimi točkami, simulira 3D sliko itd.

⇡ Fraktalni zoomer: kompakten fraktalni generator

V primerjavi z drugimi generatorji slik fraktalov ima več prednosti. Prvič, je zelo majhna in ne zahteva namestitve. Drugič, izvaja zmožnost definiranja barvne palete slike. Izberete lahko odtenke v barvnih modelih RGB, CMYK, HVS in HSL.

Prav tako je zelo priročno uporabiti možnost naključnega izbora. barvni odtenki in funkcija za invertiranje vseh barv na sliki. Za prilagoditev barve obstaja funkcija cikličnega naštevanja odtenkov - ko je ustrezen način vklopljen, program animira sliko in ciklično spreminja barve na njej.

Fractal Zoomer lahko vizualizira 85 različnih fraktalnih funkcij, formule pa so jasno prikazane v programskem meniju. V programu so filtri za naknadno obdelavo slik, čeprav v majhnem številu. Vsak dodeljeni filter lahko kadar koli prekličete.

⇡ Mandelbulb3D: 3D urejevalnik fraktalov

Ko se uporablja izraz "fraktal", najpogosteje pomeni ravno dvodimenzionalno sliko. Vendar fraktalna geometrija presega 2D dimenzijo. V naravi lahko najdete tako primere ravnih fraktalnih oblik, recimo geometrijo strele, kot tridimenzionalne volumetrične figure. Fraktalne površine so lahko tridimenzionalne in ena izmed zelo ilustrativnih ilustracij 3D fraktalov v Vsakdanje življenje- glava zelja. Fraktale je verjetno najbolje videti v Romanescu, hibridu cvetače in brokolija.

Ta fraktal lahko tudi jeste.

Program Mandelbulb3D lahko ustvari tridimenzionalne objekte s podobno obliko. Za pridobitev 3D površine z uporabo fraktalnega algoritma sta avtorja te aplikacije, Daniel White in Paul Nylander, pretvorila Mandelbrotov niz v sferične koordinate. Program Mandelbulb3D, ki so ga ustvarili, je pravi tridimenzionalni urejevalnik, ki modelira fraktalne površine različne oblike... Ker v naravi pogosto opazujemo fraktalne vzorce, se zdi umetno ustvarjen fraktalni tridimenzionalni objekt neverjetno realističen in celo "živ".

Lahko spominja na rastlino, lahko spominja na čudno žival, planet ali kaj drugega. Ta učinek je okrepljen z naprednim algoritmom upodabljanja, ki omogoča pridobivanje realističnih odsevov, izračun prosojnosti in senc, simulacijo učinka globinske ostrine itd. Mandelbulb3D ima ogromno nastavitev in možnosti upodabljanja. Nadzirate lahko odtenke svetlobnih virov, izberete ozadje in stopnjo podrobnosti modeliranega predmeta.

Fraktalni urejevalnik Incendia podpira dvojno zmanjševanje slike, vsebuje knjižnico petdesetih različnih tridimenzionalnih fraktalov in ima ločen modul za urejanje osnovnih oblik.

Aplikacija uporablja fraktalne skripte, s katerimi lahko samostojno opišete nove vrste fraktalnih struktur. Incendia ima urejevalnike tekstur in materialov, stroj za upodabljanje pa vam omogoča uporabo volumetričnih učinkov megle in različnih senčil. Program izvaja možnost shranjevanja medpomnilnika med dolgotrajnim upodabljanjem, podprto je ustvarjanje animacij.

Incendia vam omogoča, da svoj fraktalni model izvozite v priljubljene 3D grafične formate - OBJ in STL. Incendia vključuje majhen pripomoček Geometrica, posebno orodje za konfiguriranje izvoza fraktalne površine v 3D model. S tem pripomočkom lahko določite ločljivost 3D površine, določite število fraktalnih ponovitev. Izvoženi modeli se lahko uporabljajo v 3D projektih pri delu z urejevalniki 3D, kot so Blender, 3ds max in drugi.

V novejši čas delo na projektu Incendia je nekoliko zastalo. Vklopljeno ta trenutek avtor išče sponzorje, ki bi mu pomagali pri razvoju programa.

Če nimate dovolj domišljije, da bi v tem programu narisali čudovit tridimenzionalni fraktal, to ni problem. Uporabite knjižnico parametrov, ki se nahaja v mapi INCENDIA_EX \ parametri. Z datotekami PAR lahko hitro najdete najbolj nenavadne fraktalne oblike, vključno z animiranimi.

⇡ Zvočno: kako pojejo fraktali

Ponavadi ne govorimo o projektih, ki jih šele delamo, v tem primeru pa moramo narediti izjemo, to je zelo nenavadna aplikacija. Projekt z imenom Aural je izumil ista oseba kot Incendia. Res je, tokrat program fraktalne množice ne vizualizira, ampak jo oglaša in spremeni v elektronsko glasbo. Ideja je zelo zanimiva, še posebej glede na nenavadne lastnosti fraktalov. Aural je avdio urejevalnik, ki ustvarja melodije z uporabo fraktalnih algoritmov, torej je v resnici avdio sintetizator-sekvencer.

Zaporedje zvokov, ki jih proizvaja ta program, je nenavadno in ... lepo. Morda je uporaben za pisanje sodobnih ritmov in je po našem mnenju še posebej primeren za ustvarjanje zvočnih posnetkov za ohranjevalnike zaslona televizijskih in radijskih oddaj ter glasbenih "zank" v ozadju za računalniške igre... Ramiro še ni ponudil demo različice svojega programa, vendar obljublja, da mu, ko bo to storil, za delo z Auralom ne bo treba študirati teorije fraktalov - samo igrati se morate s parametri algoritma za generiranje zaporedje opomb. Poslušajte, kako zvenijo fraktali itd.

Fraktali: glasbena pavza

Pravzaprav vam fraktali lahko pomagajo pisati glasbo tudi brez programske opreme. Toda to lahko stori le nekdo, ki je resnično prežet z idejo naravne harmonije in se hkrati ni spremenil v nesrečnega "piflarca". Smiselno je vzeti za primer glasbenika po imenu Jonathan Coulton, ki med drugim piše skladbe za revijo Popular Science. In za razliko od drugih izvajalcev, Colton vsa svoja dela objavlja pod licenco Creative Commons Attribution-Nekomercialna licenca, ki (če se uporablja v nekomercialne namene) omogoča brezplačno kopiranje, distribucijo, prenos dela drugim, pa tudi njegovo spreminjanje (ustvarjanje izpeljanih del), da ga prilagodite svojim nalogam.

Jonathan Colton ima seveda pesem o fraktalih.

⇡ Zaključek

V vsem, kar nas obdaja, pogosto vidimo kaos, a v resnici to ni naključje, ampak idealna oblika, ki nam jo fraktali pomagajo razbrati. Narava je najboljši arhitekt, idealen graditelj in inženir. Urejeno je zelo logično, in če nekje ne vidimo vzorca, to pomeni, da ga moramo iskati v drugem merilu. Ljudje to vse bolje razumejo in poskušajo posnemati na več načinov. naravne oblike... Inženirji oblikujejo lupine zvočnikov, ustvarjajo antene z geometrijo snežinke itd. Prepričani smo, da fraktali še vedno skrivajo številne skrivnosti in veliko jih bodo ljudje šele odkrili.