Trigonometrična funkcije periodično, to je ponovitev po določenem obdobju. Posledično je dovolj, da preučimo funkcijo na tem intervalu in odkrite lastnosti razširimo na vsa ostala obdobja.

Navodilo

1. Če dobite primitiven izraz, v katerem je samo ena trigonometrična funkcija (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) in se kot znotraj funkcije ne pomnoži z nobenim številom in se sam ne dvigne na nobeno moč - uporabite definicijo. Za izraze, ki vsebujejo sin, cos, sec, cosec, krepko nastavite piko na 2P, in če je v enačbi tg, ctg, potem P. Recimo, za funkcijo y = 2 sinx + 5, bo točka 2P .

2. Če kot x pod znakom trigonometrične funkcije pomnožimo z neko številko, potem, da bi našli obdobje te funkcije, delimo tipično obdobje s to številko. Recimo, da vam je dana funkcija y = sin 5x. Tipična perioda za sinus je 2P, če ga delite s 5, dobite 2P / 5 - to je želeno obdobje tega izraza.

3. Če želite najti obdobje trigonometrične funkcije, dvignjene na potenco, ocenite enakomernost potenca. Za enakomerno stopnjo prepolovite vzorčno obdobje. Recimo, če vam je dana funkcija y = 3 cos ^ 2x, se bo tipična doba 2P zmanjšala za 2-krat, tako da bo obdobje enako P. Upoštevajte, da so funkcije tg, ctg periodične do katere koli mere P .

4. Če vam je dana enačba, ki vsebuje produkt ali količnik 2 trigonometričnih funkcij, najprej poiščite obdobje za vse posebej. Nato poiščite najmanjše število, ki bi ustrezalo celotnemu številu obeh obdobij. Recimo, da je podana funkcija y=tgx*cos5x. Za tangento je obdobje P, za kosinus 5x je obdobje 2P/5. Najmanjše število, ki lahko ustreza obema obdobjema, je 2P, zato je želeno obdobje 2P.

5. Če vam je težko narediti predlagani način ali dvomite v rezultat, poskusite narediti po definiciji. Vzemite T kot obdobje funkcije, večje je od nič. Nadomestite izraz (x + T) v enačbo namesto x in rešite nastalo enakost, kot da je T parameter ali število. Kot rezultat boste našli vrednost trigonometrične funkcije in lahko izbrali najmanjšo dobo. Recimo, da zaradi olajšanja dobite greh identitete (T / 2) = 0. Najmanjša vrednost T, pri kateri se izvaja, je 2P in to bo rezultat naloge.

Periodična funkcija je funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti po določeni periodi, ki ni nič. Obdobje funkcije je število, katerega dodatek k argumentu funkcije ne spremeni vrednosti funkcije.

Boste potrebovali

• Poznavanje osnovne matematike in začetki anketiranja.

Navodilo

1. Označimo obdobje funkcije f(x) s številom K. Naša naloga je najti to vrednost K. Če želite to narediti, si predstavljajte, da funkcija f(x) z uporabo definicije periodične funkcije enači f (x+K)=f(x).

2. Rešimo nastalo enačbo za neznano K, kot da je x konstanta. Glede na vrednost K bo na voljo več možnosti.

3. Če je K>0, potem je to obdobje vaše funkcije. Če je K=0, potem funkcija f(x) ni periodična. Če rešitev enačbe f(x+K)=f(x) ne obstaja za kateri koli K, ki ni enak nič, se takšna funkcija imenuje aperiodična in tudi nima obdobja.

Povezani videoposnetki

Opomba!
Vse trigonometrične funkcije so periodične, vse polinomske funkcije s stopnjo večjo od 2 pa aperiodične.

Koristni nasveti
Perioda funkcije, sestavljene iz 2 periodičnih funkcij, je najmanjši skupni večkratnik obdobij teh funkcij.

Trigonometrične enačbe so enačbe, ki vsebujejo trigonometrične funkcije neznanega argumenta (na primer: 5sinx-3cosx =7). Če se želite naučiti, kako jih rešiti, morate poznati nekaj metod za to.

Navodilo

1. Rešitev takšnih enačb je sestavljena iz 2 stopenj. Prva je reformiranje enačbe, da dobi svojo najpreprostejšo obliko. Najpreprostejše trigonometrične enačbe imenujemo naslednje: Sinx=a; cosx=a itd.

2. Druga je rešitev dobljene najpreprostejše trigonometrične enačbe. Obstajajo osnovni načini reševanja tovrstnih enačb: Reševanje na algebraični način. Ta metoda je znana iz šole, iz tečaja algebre. Drugače se imenuje metoda zamenjave spremenljivke in zamenjave. Z uporabo redukcijskih formul transformiramo, naredimo zamenjavo, po kateri najdemo korenine.

3. Razgradnja enačbe na faktorje. Najprej vse izraze prenesemo na levo in jih razstavimo na faktorje.

4. Enačbo približamo homogeni. Enačbe imenujemo homogene enačbe, če so vsi členi enake stopnje in sinus, kosinus enakega kota.Da bi jo rešili, morate: najprej prenesti vse njene člene z desne strani na levo stran; premaknite vse skupne dejavnike iz oklepajev; izenači faktorje in oklepaje na nič; izenačeni oklepaji dajejo homogeno enačbo nižje stopnje, ki jo je treba deliti s cos (ali sin) na višjo stopnjo; reši nastalo algebraično enačbo za tan.

5. Naslednji način je, da gremo do polovice vogala. Recimo, rešite enačbo: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Pojdimo na polovični kot: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 greh? (x / 2) = 7 sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , po katerem vse člene zmanjšamo na en del (sicer desno) in rešimo enačbo.

6. Pomožni kotni vhod. Ko zamenjamo celo število cos(a) ali sin(a). Znak "a" je pomožni kot.

7. Način preoblikovanja izdelka v vsoto. Tukaj morate uporabiti ustrezne formule. Recimo dano: 2 sin x sin 3x = cos 4x Rešimo ga tako, da levo stran pretvorimo v vsoto, to je: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. Končni način, imenovan večnamenska zamenjava. Izraz transformiramo in naredimo substitucijo, recimo Cos(x/2)=u, po kateri rešimo enačbo s parametrom u. Pri pridobivanju vsote vrednost prevedemo v nasprotno.

Povezani videoposnetki

Če upoštevamo točke na krogu, potem točke x, x + 2π, x + 4π itd. ujemajo med seboj. Torej trigonometrična funkcije na ravni črti občasno ponovijo njihov pomen. Če je obdobje slavno funkcije, je dovoljeno zgraditi funkcijo na tem obdobju in jo ponoviti na drugih.

Navodilo

1. Perioda je število T, tako da je f(x) = f(x+T). Če želite poiskati obdobje, rešite ustrezno enačbo, pri čemer kot argument nadomestite x in x + T. V tem primeru se uporabljajo dobro znane obdobja za funkcije. Za funkciji sinus in kosinus je obdobje 2π, za tangento in kotangens pa π.

2. Naj bo podana funkcija f(x) = sin^2(10x). Razmislite o izrazu sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Uporabite formulo za zmanjšanje stopnje: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Nato dobimo 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ali cos 20x = cos (20x+20T). Če vemo, da je period kosinusa 2π, je 20T = 2π. Zato je T = π/10. T je minimalna pravilna doba, funkcija pa se bo ponovila po 2T in po 3T ter v drugi smeri vzdolž osi: -T, -2T itd.

Koristni nasveti
Uporabite formule za znižanje stopnje funkcije. Če ste bolj seznanjeni z obdobji nekaterih funkcij, poskusite obstoječo funkcijo zmanjšati na znane.

Iskanje funkcije za sodo in liho pomaga zgraditi graf funkcije in razumeti naravo njenega vedenja. Za to raziskavo morate primerjati dano funkcijo, napisano za argument »x« in za argument »-x«.

Navodilo

1. Zapišite funkcijo, ki jo želite raziskati kot y=y(x).

2. Zamenjajte argument funkcije z "-x". Ta argument nadomestite s funkcionalnim izrazom.

3. Poenostavite izraz.

4. Tako ste dobili isto funkcijo, napisano za argumenta "x" in "-x". Poglejte ta dva vnosa. Če je y(-x)=y(x), potem je to soda funkcija. Če je y(-x)=-y(x), je to liha funkcija. Če je nemogoče o funkciji recimo, da je y (-x)=y(x) ali y(-x)=-y(x), potem je to po lastnosti parnosti funkcija univerzalne oblike. To pomeni, da ni niti sodo niti liho.

5. Zapišite svoje rezultate. Zdaj jih lahko uporabite pri risanju funkcijskega grafa ali pri prihodnjem analitičnem iskanju lastnosti funkcije.

6. O sodih in lihih funkcijah je mogoče govoriti tudi v primeru, ko je graf funkcije natančneje opredeljen. Recimo, da je bil graf rezultat fizičnega poskusa. Če je graf funkcije simetričen glede na os y, potem je y(x) soda funkcija. Če je graf funkcije simetričen glede na os x, potem je x(y) ) je enakomerna funkcija. x(y) je inverzna funkcija y(x).Če je graf funkcije simetričen glede na izvor (0,0), potem je y(x) liha funkcija. Inverzna funkcija x(y) bo prav tako liha.

7. Pomembno si je zapomniti, da je koncept sode in lihe funkcije neposredno povezan z domeno funkcije. Če recimo soda ali liha funkcija ne obstaja za x=5, potem ne obstaja za x=-5, kar je nemogoče reči o funkciji splošne oblike. Pri določanju sode in lihe bodite pozorni na domeno funkcije.

8. Iskanje sode in lihe funkcije je povezano z iskanjem niza funkcijskih vrednosti. Če želite najti nabor vrednosti sode funkcije, je dovolj, da vidite polovico funkcije, desno ali levo od nič. Če za x>0 soda funkcija y(x) prevzame vrednosti od A do B, potem bo vzela enake vrednosti za x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 liha funkcija y(x) vzame razpon vrednosti od A do B, nato za x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrični" so nekoč začeli imenovati funkcije, ki so določene z odvisnostjo ostrih kotov v pravokotnem trikotniku od dolžin njegovih stranic. Te funkcije vključujejo najprej sinus in kosinus, drugič, sekans in kosekans, ki sta inverzni tem funkcijam, njihove tangentne in kotangensne izpeljanke, pa tudi inverzne funkcije arksinus, arkkosinus itd. Bolj pozitiven je govoriti ne o "rešitvi" takšnih funkcij, ampak o njihovem "izračunu", torej o iskanju številske vrednosti.

Navodilo

1. Če argument trigonometrične funkcije ni znan, je dovoljeno izračunati njeno vrednost s posredno metodo na podlagi definicij teh funkcij. Če želite to narediti, morate poznati dolžine stranic trikotnika, trigonometrično funkcijo za enega od kotov, ki jih želite izračunati. Recimo, da je po definiciji sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med dolžino kraka nasproti temu kotu in dolžino hipotenuze. Iz tega sledi, da je za iskanje sinusa kota dovolj vedeti dolžine teh dveh strani. Podobna definicija pravi, da je sinus akutnega kota razmerje med dolžino kraka, ki meji na ta kot, in dolžino hipotenuze. Tangens akutnega kota lahko izračunamo tako, da dolžino nasprotnega kraka delimo z dolžino sosednjega, kotangens pa zahteva deljenje dolžine sosednjega kraka z dolžino nasprotnega. Če želite izračunati sekans akutnega kota, morate najti razmerje med dolžino hipotenuze in dolžino kraka, ki meji na zahtevani kot, kosekans pa je določen z razmerjem dolžine hipotenuze in dolžine nasprotne noge.

2. Če se izvede argument trigonometrične funkcije, potem ni potrebno poznati dolžine stranic trikotnika - dovoljena je uporaba tabel vrednosti​​ ali kalkulatorjev trigonometričnih funkcij. Tak kalkulator je med standardnimi programi operacijskega sistema Windows. Če ga želite zagnati, lahko pritisnete kombinacijo tipk Win + R, vnesete ukaz calc in kliknete gumb V redu. V vmesniku programa odprite razdelek »Pogled« in izberite postavko »Inženiring« ali »Znanstvenik«. Kasneje je dovoljeno uvesti argument trigonometrične funkcije. Če želite izračunati funkcije sinus, kosinus in tangenta, raje po vnosu vrednosti kliknite na ustrezen gumb vmesnika (sin, cos, tg) in da poiščete njihove recipročne vrednosti arksinusa, arkkosinusa in arktangenta, vnaprej označite potrditveno polje Inv.

3. Obstajajo tudi alternativne metode. Eden od njih je, da obiščete spletno mesto iskalnika Nigma ali Google in kot iskalno poizvedbo vnesete želeno funkcijo in njen argument (recimo sin 0,47). Ti iskalniki imajo vgrajene kalkulatorje, zato boste po pošiljanju takšne zahteve prejeli vrednost trigonometrične funkcije, ki ste jo vnesli.

Povezani videoposnetki

Nasvet 7: Kako zaznati vrednost trigonometričnih funkcij

Trigonometrične funkcije so se najprej pojavile kot orodja za abstraktne matematične izračune odvisnosti velikosti ostrih kotov v pravokotnem trikotniku od dolžin njegovih stranic. Zdaj se pogosto uporabljajo tako na znanstvenih kot tehničnih področjih človeške dejavnosti. Za utilitarne izračune trigonometričnih funkcij iz danih argumentov je dovoljena uporaba različnih orodij - nekaj najbolj dostopnih je opisanih spodaj.

Navodilo

1. Uporabite recimo program za kalkulator, ki je privzeto nameščen z operacijskim sistemom. Odpre se z izbiro elementa "Kalkulator" v mapi "Utilities" iz podrazdelka "Tipično", ki se nahaja v razdelku "Vsi programi". Ta razdelek najdete tako, da odprete glavni meni operacijskega sistema s klikom na gumb "Start". Če uporabljate različico Windows 7, lahko primitivno vnesete besedo "Kalkulator" v polje "Zaznaj programe in datoteke" glavnega menija in nato v rezultatih iskanja kliknete ustrezno povezavo.

2. Vnesite vrednost kota, za katerega želite izračunati trigonometrično funkcijo, in nato kliknite na gumb, ki ustreza tej funkciji - sin, cos ali tan. Če vas skrbijo inverzne trigonometrične funkcije (arksinus, arkkosinus ali arktangent), najprej kliknite gumb z oznako Inv - obrne funkcije, dodeljene kontrolnim gumbom kalkulatorja.

3. V starejših različicah operacijskega sistema (recimo Windows XP) morate za dostop do trigonometričnih funkcij odpreti razdelek »Pogled« v meniju kalkulatorja in dati prednost vrstici »Inženiring«. Poleg tega je namesto gumba Inv v vmesniku starih različic programa potrditveno polje z enakim napisom.

4. Če imate dostop do interneta, lahko brez kalkulatorja. Na spletu je veliko storitev, ki ponujajo različno organizirane kalkulatorje trigonometričnih funkcij. Ena posebej priročna možnost je vgrajena v iskalnik Nigma. Ko greste na njegovo glavno stran, v polje iskalne poizvedbe primitivno vnesite vrednost, ki vas vznemirja - recimo "ločni tangent 30 stopinj". Po pritisku na "Odkrij!" iskalnik bo izračunal in prikazal rezultat izračuna - 0,482347907101025.

Povezani videoposnetki

Trigonometrija je veja matematike za razumevanje funkcij, ki izražajo različne odvisnosti stranic pravokotnega trikotnika od velikosti ostrih kotov pri hipotenuzi. Takšne funkcije imenujemo trigonometrične in za lažje delo z njimi so bile izpeljane trigonometrične funkcije. identitete .

Zastopanje identitete v matematiki označuje enakost, ki je izpolnjena za vse vrednosti argumentov funkcij, ki so vanjo vključene. Trigonometrična identitete- to so enakosti trigonometričnih funkcij, potrjene in sprejete za poenostavitev dela s trigonometričnimi formulami Trigonometrična funkcija je elementarna funkcija odvisnosti enega od krakov pravokotnega trikotnika od velikosti ostrega kota pri hipotenuzi. Pogosteje se uporablja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangenta), ctg (kotangens), sec (sekans) in kosec (kosekans). Te funkcije se imenujejo direktne, obstajajo tudi inverzne funkcije, recimo sinus - arksinus, kosinus - arkkosinus itd. Sprva so se trigonometrične funkcije odražale v geometriji, nato pa so se razširile na druga področja znanosti: fiziko, kemijo, geografijo, optiko. , teorija verjetnosti , pa tudi akustika, glasbena teorija, fonetika, računalniška grafika in mnoge druge. Zdaj si je težje predstavljati matematične izračune brez teh funkcij, čeprav so jih v daljni preteklosti uporabljali le v astronomiji in arhitekturi. Trigonometrični identitete se uporabljajo za poenostavitev dela z dolgimi trigonometričnimi formulami in jih pripeljejo do prebavljive oblike. Obstaja šest osnovnih trigonometričnih identitet, ki so povezane z neposrednimi trigonometričnimi funkcijami: tg ? = greh?/cos?; greh^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/greh^2?; greh (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d sin?. Te identitete enostavno potrditi iz lastnosti razmerja stranic in kotov v pravokotnem trikotniku: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Prva identiteta tg ? = greh?/cos? izhaja iz razmerja stranic v trikotniku in izključitve stranic c (hipotenuze) pri delitvi sin s cos. Na enak način je definirana identiteta ctg? = cos ?/sin ?, ker ctg ? = 1/tg ?. Po Pitagorejevem izreku je a^2 + b^2 = c^2. To enakost delimo s c^2, dobimo drugo identiteto: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Tretji in četrti identitete dobi z deljenjem z b^2 oziroma a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/greh^ ? ali 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?. Peti in šesti glavni identitete se dokazujejo z določitvijo vsote ostrih kotov pravokotnega trikotnika, ki je enaka 90° ali?/2. Težje trigonometrično identitete: formule za seštevanje argumentov, dvojnih in trojnih kotov, znižanje stopnje, reformiranje vsote ali zmnožka funkcij, pa tudi trigonometrične substitucijske formule, in sicer izrazi glavnih trigonometričnih funkcij v smislu polovičnega kota tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Potreba po iskanju minimuma pomen matematični funkcije je dejansko zanimiv za reševanje aplikativnih problemov, recimo v ekonomiji. Ogromen pomen za podjetniško dejavnost ima minimalne izgube.

Navodilo

1. Da bi našli minimum pomen funkcije, je treba določiti, pri kateri vrednosti argumenta x0 bo izpolnjena neenakost y(x0)? y(x), kjer je x? x0. Kot običajno se ta problem rešuje v določenem intervalu ali v vsakem območju vrednosti funkcije, če ena ni nastavljena. Eden od vidikov rešitve je iskanje fiksnih točk.

2. Stacionarna točka se imenuje pomen argument, da izpeljanka funkcije gre na nulo. Po Fermatovem izreku, če diferenciabilna funkcija zavzame ekstremal pomen na neki točki (v tem primeru lokalni minimum), potem je ta točka stacionarna.

3. Najmanj pomen funkcija pogosto prevzame točno na tej točki, vendar jo je mogoče določiti ne vedno. Poleg tega ni vedno mogoče natančno reči, kaj je minimum funkcije ali pa sprejme neskončno majhno pomen. Nato kot običajno najdejo mejo, do katere gravitira, ko se zmanjša.

4. Za določitev minimalne pomen funkcije, je treba izvesti zaporedje dejanj, sestavljeno iz štirih stopenj: iskanje domene definicije funkcije, pridobivanje fiksnih točk, pregled vrednosti funkcije na teh točkah in na koncih vrzeli zaznavanje minimuma.

5. Izkazalo se je, da je neka funkcija y(x) podana na intervalu z mejami v točkah A in B. Poiščite njeno področje definicije in ugotovite, ali je interval njena podmnožica.

6. Izračunaj izpeljavo funkcije. Dobljeni izraz izenačite z nič in poiščite korenine enačbe. Preverite, ali te nepremične točke spadajo v interval. Če ne, se v naslednji fazi ne upoštevajo.

7. Poglejte vrzel za vrsto meja: odprte, zaprte, sestavljene ali brezdimenzionalne. Odvisno od tega, kako najdeš minimum pomen. Recimo, da je segment [A, B] zaprt interval. Zamenjajte jih v funkcijo in izračunajte vrednosti. Enako storite s stacionarno točko. Izberite najmanjšo vsoto.

8. Z odprtimi in brezmejnimi intervali je situacija nekoliko težja. Tu moramo iskati enostranske meje, ki ne dajejo vedno nedvoumnega rezultata. Recimo, da bi morali za interval z eno zaprto in eno preluknjano mejo [A, B) najti funkcijo pri x = A in enostransko mejo lim y pri x? B-0.

izpolnjevanje sistema neenakosti:

b) Razmislite o množici števil na številski osi, ki izpolnjujejo sistem neenakosti:

Poiščite vsoto dolžin segmentov, ki sestavljajo ta niz.

§ 7. Najenostavnejše formule

V § 3 smo vzpostavili naslednjo formulo za ostre kote α:

			sin2α + cos2α = 1.
				Ista formula			kdaj,
				kadar je α poljuben			de-
				le, naj je M točka na trigonometriji
				kalični krog, ki ustreza
				število α (slika 7.1). Potem		M ima so-
				ordinate x = cos α, y
				Vendar pa vsaka točka (x; y), ki leži na
				krogi enotnega polmera s središčem
				trom na izvoru, zadovoljivo
				rešuje enačbo x2 + y2		1, od koder
				cos2 α + sin2 α = 1, kot je zahtevano.

Torej, formula cos2 α + sin2 α = 1 sledi iz enačbe kroga. Morda se zdi, da smo na ta način podali nov dokaz te formule za ostre kote (v primerjavi s tistim iz 3. §, kjer smo uporabili Pitagorov izrek). Razlika pa je zgolj zunanja: pri izpeljanju krožne enačbe x2 + y2 = 1 se uporablja isti Pitagorejev izrek.

Za ostre kote smo dobili tudi druge formule, npr

simbol, desna stran je vedno nenegativna, medtem ko je leva stran lahko negativna. Da bi bila formula resnična za vse α, jo je treba kvadratirati. Dobimo enakost: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Dokažimo, da ta formula velja za vse α:1

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sin2α + cos2α

Problem 7.1. Vse spodnje formule izpeljite iz definicij in formule sin2 α + cos2 α = 1 (nekatere smo že dokazali):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

greh2

Te formule omogočajo, da poznamo vrednost ene od trigonometričnih funkcij določenega števila, da skoraj najdemo vse ostale

nye. Naj na primer vemo, da je sin x = 1/2. Potem cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, torej je cos x 3/2 ali −3/2. Da bi ugotovili, kateri od teh dveh števil je enak cos x, potrebujemo dodatne informacije.

Problem 7.2. S primeri pokažite, da sta možna oba zgornja primera.

Problem 7.3. a) Naj bo tgx = −1. Najdi sinx. Koliko odgovorov ima ta problem?

b) Naj poleg pogojev točke a) vemo, da je sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Za katerega je definiran tg α, to je cos α 6= 0.

Problem 7.4. Naj bo sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Poiščite tgx.

Problem 7.5. Naj je tg x = 3, cos x > sin x. Poiščite cos x, sin x.

Problem 7.6. Naj je tgx = 3/5. Poiščite sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x

Problem 7.7. Dokaži identitete:

tgα − sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Problem 7.8. Poenostavite izraze:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Obdobja trigonometričnih funkcij

Števila x, x+2π, x−2π ustrezajo isti točki na trigonometričnem krogu (če potegnete dodaten krog vzdolž trigonometričnega kroga, pridete tja, kjer ste bili). To pomeni naslednje identitete, ki so bile obravnavane že v § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

V zvezi s temi identitetami smo že uporabili izraz »obdobje«. Zdaj podajamo natančne definicije.

Opredelitev. Število T 6= 0 imenujemo obdobje funkcije f, če za vse x veljajo enakosti f(x − T) = f(x + T) = f(x) (predpostavlja se, da sta x + T in x − T so vključeni v domeno funkcije , če vključuje x). Funkcija se imenuje periodična, če ima piko (vsaj eno).

Pri opisu oscilatornih procesov se seveda pojavljajo periodične funkcije. Eden od teh procesov je bil že obravnavan v § 5. Tukaj je več primerov:

1) Naj bo ϕ = ϕ(t) kot odstopanja nihajnega nihala ure od navpičnice v trenutku t. Potem je ϕ periodična funkcija t.

2) Napetost (»potencialna razlika«, kot bi rekel fizik) med dvema vtičnicama v AC vtičnici, es-

ali ga obravnavati kot funkcijo časa, je periodična funkcija1.

3) Poslušajmo glasbeni zvok. Potem je zračni tlak v določeni točki periodična funkcija časa.

Če ima funkcija obdobje T , potem bodo tudi obdobja te funkcije števila −T , 2T , −2T . . . - z eno besedo vsa števila nT , kjer je n celo število, ki ni enako nič. Dejansko preverimo, na primer, da je f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Opredelitev. Najmanjša pozitivna doba funkcije f je – v skladu z dobesednim pomenom besed – pozitivno število T, tako da je T obdobje f in nobeno pozitivno število, manjše od T, ni obdobje f.

Ni potrebno, da ima periodična funkcija najmanjšo pozitivno obdobje (na primer, funkcija, ki je konstantna, ima na splošno poljubno obdobje in zato nima najmanjše pozitivne periode). Navedemo lahko tudi primere nekonstantnih periodičnih funkcij, ki nimajo najmanjše pozitivne periode. Kljub temu imajo periodične funkcije v najbolj zanimivih primerih najmanjšo pozitivno obdobje.

1 Ko pravijo »napetost v omrežju je 220 voltov«, mislijo na njeno »rms vrednost«, o kateri bomo govorili v § 21. Sama napetost se ves čas spreminja.

riž. 8.1. Obdobje tangente in kotangensa.

Zlasti najmanjša pozitivna obdobja tako sinusa kot kosinusa je 2π. Dokažimo to na primer za funkcijo y = sin x. Naj ima sinus v nasprotju s tem, kar pravimo, tako obdobje T, da je 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Najmanjša pozitivna doba funkcije, ki opisuje nihanja (kot v naših primerih 1-3), preprosto imenujemo obdobje teh nihanj.

Ker je število 2π obdobje sinusa in kosinusa, bo tudi obdobje tangente in kotangensa. Vendar za te funkcije 2π ni najmanjša doba: najmanjša pozitivna obdobja tangente in kotangensa je π. Dejansko sta točki, ki ustrezata številkama x in x + π na trigonometričnem krogu, diametralno nasprotni: od točke x do točke x + 2π mora iti razdalja π, ki je natanko enaka polovici kroga. Zdaj, če uporabimo definicijo tangente in kotangensa z uporabo osi tangent in kotangens, postaneta enakosti tg (x + π) = tg x in ctg (x + π) = ctg x očitne (slika 8.1). Preprosto je preveriti (to bomo predlagali v nalogah), da je π res najmanjša pozitivna obdobja tangente in kotangensa.

Ena opomba o terminologiji. Pogosto se besede "obdobje funkcije" uporabljajo v pomenu "najmanjše pozitivne dobe". Če vas torej na izpitu vprašajo: »Ali je 100π obdobje funkcije sinusa?«, si vzemite čas z odgovorom, vendar pojasnite, ali mislite na najmanjšo pozitivno obdobje ali samo eno od obdobij.

Trigonometrične funkcije so tipičen primer periodičnih funkcij: vsako "ni zelo slabo" periodično funkcijo je mogoče v nekem smislu izraziti v smislu trigonometričnih funkcij.

Problem 8.1. Poiščite najmanjše pozitivne periode funkcij:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos(1,01x).

Problem 8.2. Odvisnost napetosti v izmeničnem omrežju od časa je podana s formulo U = U0 sin ωt (tu je t čas, U napetost, U0 in ω sta konstanti). Frekvenca izmeničnega toka je 50 Hertz (to pomeni, da napetost naredi 50 nihanj na sekundo).

a) Poiščite ω ob predpostavki, da se t meri v sekundah;

b) Poiščite (najmanjšo pozitivno) obdobje U kot funkcijo t.

Problem 8.3. a) Dokaži, da je najmanjša pozitivna perioda kosinusa 2π;

b) Dokaži, da je najmanjša pozitivna perioda tangente π.

Problem 8.4. Naj je najmanjša pozitivna perioda funkcije f enaka T . Dokaži, da so vse druge periode oblike nT za nekatera cela števila n.

Problem 8.5. Dokaži, da naslednje funkcije niso periodične.

>> Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodičnost funkcij y \u003d sin x, y \u003d cos x

V prejšnjih odstavkih smo uporabili sedem lastnosti funkcije: domena, sodo ali liho, monotonost, omejenost, največje in minimalne vrednosti, kontinuiteta, obseg funkcij. Te lastnosti smo uporabili bodisi za konstruiranje funkcijskega grafa (kot je bilo na primer v § 9) bodisi za branje zgrajenega grafa (kot je bilo na primer v § 10). Zdaj je nastopil ugoden trenutek, da uvedemo še eno (osmo) lastnost funkcij, ki je odlično vidna na zgoraj konstruiranem grafikoni funkcije y = sin x (glej sliko 37), y = cos x (glej sliko 41).

Opredelitev. Funkcija se imenuje periodična, če obstaja število T, ki ni nič, tako da je za kateri koli x iz množic dvojni enakost:

Število T, ki izpolnjuje navedeni pogoj, se imenuje obdobje funkcije y \u003d f (x).
Iz tega sledi, da so enakosti za kateri koli x resnične:

potem so funkcije y \u003d sin x, y \u003d cos x periodične in število 2 P služi kot obdobje obeh funkcij.
Periodičnost funkcije je obljubljena osma lastnost funkcij.

Zdaj si oglejte graf funkcije y \u003d sin x (slika 37). Za izgradnjo sinusoide je dovolj, da zgradimo enega od njenih valov (na segmentu in nato ta val premaknemo vzdolž osi x za), Posledično bomo z uporabo enega vala zgradili celoten graf.

Oglejmo si z istega zornega kota graf funkcije y = cos x (slika 41). Vidimo, da je tudi tukaj za izris grafa dovolj, da najprej narišemo en val (npr. na segmentu

Nato ga premaknite vzdolž osi x
Če povzamemo, naredimo naslednji zaključek.

Če ima funkcija y \u003d f (x) obdobje T, potem morate za izris grafa funkcije najprej narisati vejo (val, del) grafa na katerem koli intervalu dolžine T (najpogosteje vzamejo interval s konci na točkah in nato to vejo pomaknite vzdolž osi x v desno in levo na T, 2T, ZT itd.
Periodična funkcija ima neskončno veliko obdobij: če je T obdobje, potem je 2T obdobje, 3T pa je obdobje in -T je obdobje; na splošno je obdobje katero koli število v obliki KT, kjer je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Običajno, če je mogoče, poskušajo izpostaviti najmanjšo pozitivno obdobje, imenujemo ga glavno obdobje.
Torej, poljubno število v obliki 2pc, kjer je k = ± 1, ± 2, ± 3, obdobje funkcij y = sinn x, y = cos x; 2p je glavno obdobje obeh funkcij.

Primer. Poiščite glavno obdobje funkcije:

a) Naj bo T glavno obdobje funkcije y = sin x. Postavimo

Da je število T obdobje funkcije, mora veljati identiteta Ho, ker govorimo o iskanju glavne periode, dobimo
b) Naj bo T glavna perioda funkcije y = cos 0,5x. Naj bo f(x)=cos 0,5x. Potem je f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5 T).

Da je število T obdobje funkcije, mora biti izpolnjena identiteta cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Torej, 0,5t = 2pp. Ker pa govorimo o iskanju glavne periode, dobimo 0,5T = 2 l, T = 4l.

Posplošitev rezultatov, dobljenih v primeru, je naslednja izjava: glavno obdobje funkcije

A.G. Mordkovich algebra 10 razred

Vsebina lekcije povzetek lekcije podporni okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samopreverjanje delavnice, treningi, primeri, naloge domača naloga razprava vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetke in večpredstavnost fotografije, slike, grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripi, prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki povzetkičlanki čipi za radovedne varalice učbeniki osnovni in dodatni slovarček izrazov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodabljanje fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti v lekciji zamenjava zastarelo znanje z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za leto metodološka priporočila razpravnega programa Integrirane lekcije

Argument x, potem se imenuje periodičen, če obstaja število T tako, da je za kateri koli x F(x + T) = F(x). To število T imenujemo obdobje funkcije.

Obdobij je lahko več. Na primer, funkcija F = const prevzame enako vrednost za katero koli vrednost argumenta, zato se lahko katero koli število šteje za njeno obdobje.

Običajno zanima najmanjša neničelna doba funkcije. Zaradi kratkosti se preprosto imenuje točka.

Klasičen primer periodičnih funkcij je trigonometrični: sinus, kosinus in tangent. Njihova doba je enaka in enaka 2π, to je sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) in tako naprej. Seveda pa trigonometrične funkcije niso edine periodične.

V zvezi s preprostimi, osnovnimi funkcijami je edini način za ugotavljanje njihove periodičnosti ali neperiodičnosti z izračuni. Toda za zapletene funkcije že obstaja nekaj preprostih pravil.

Če je F(x) z obdobjem T in je zanj definiran izpeljanka, potem je ta izpeljanka f(x) = F′(x) tudi periodična funkcija s periodo T. Konec koncev je vrednost izpeljanke pri točka x je enaka tangentu tangente grafa njenega antiderivata na tej točki na os x, in ker se antiderivat periodično ponavlja, je treba tudi izpeljanko ponoviti. Na primer, izpeljanka funkcije sin(x) je cos(x) in je periodična. Če vzamete izpeljanko cos(x), dobite -sin(x). Periodičnost ostaja nespremenjena.

Vendar obratno ni vedno res. Tako je funkcija f(x) = const periodična, njen antiderivat F(x) = const*x + C pa ne.

Če je F(x) periodična funkcija s periodo T, potem je G(x) = a*F(kx + b), kjer so a, b in k konstante in k ni enak nič - tudi periodična funkcija, in njegova doba je enaka T/k. Na primer sin(2x) je periodična funkcija in njena perioda je π. Vizualno je to mogoče predstaviti na naslednji način: z množenjem x z neko številko se zdi, da graf funkcije vodoravno stisnete natanko tolikokrat

Če sta F1(x) in F2(x) periodični funkciji in sta njuni periodi enaki T1 oziroma T2, je lahko tudi vsota teh funkcij periodična. Vendar njegovo obdobje ne bo preprosta vsota obdobij T1 in T2. Če je rezultat delitve T1/T2 racionalno število, potem je vsota funkcij periodična, njena doba pa je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku (LCM) obdobij T1 in T2. Na primer, če je obdobje prve funkcije 12 in obdobje druge 15, bo obdobje njune vsote LCM (12, 15) = 60.

Vizualno je to mogoče predstaviti na naslednji način: funkcije prihajajo z različnimi "širinami korakov", če pa je razmerje med njihovimi širinami racionalno, potem bodo prej ali slej (oziroma natančno skozi LCM korakov) spet postale enake , njihova vsota pa bo začela novo obdobje.

Če pa je razmerje obdobij iracionalno, potem celotna funkcija sploh ne bo periodična. Naj na primer F1(x) = x mod 2 (preostanek x deljeno z 2) in F2(x) = sin(x). T1 bo tukaj enak 2, T2 pa 2π. Razmerje obdobij je enako π - iracionalno število. Zato funkcija sin(x) + x mod 2 ni periodična.

Namen: posplošiti in sistematizirati znanje učencev na temo "Periodičnost funkcij"; oblikovati veščine uporabe lastnosti periodične funkcije, iskanja najmanjše pozitivne periode funkcije, risanja periodičnih funkcij; spodbujati zanimanje za študij matematike; gojiti opaznost, natančnost.

Oprema: računalnik, multimedijski projektor, naloge, diapozitivi, ure, okrasne mize, elementi ljudske obrti

"Matematika je tisto, kar ljudje uporabljajo za nadzor narave in sebe"
A.N. Kolmogorov

Med poukom

I. Organizacijska faza.

Preverjanje pripravljenosti učencev za pouk. Predstavitev teme in ciljev pouka.

II. Preverjanje domače naloge.

Preverjamo domače naloge po vzorcih, razpravljamo o najtežjih točkah.

III. Posploševanje in sistematizacija znanja.

1. Ustno frontalno delo.

Teoretična vprašanja.

1) Oblikujte definicijo obdobja funkcije
2) Kakšna je najmanjša pozitivna obdobja funkcij y=sin(x), y=cos(x)
3). Kakšna je najmanjša pozitivna doba funkcij y=tg(x), y=ctg(x)
4) S krogom dokažite pravilnost razmerij:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako narisati periodično funkcijo?

ustne vaje.

1) Dokaži naslednje relacije

a) sin (740º) = sin (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokaži, da je kot 540º ena od obdobij funkcije y= cos(2x)

3. Dokaži, da je kot 360º ena od obdobij funkcije y=tg(x)

4. Te izraze preoblikujte tako, da koti, vključeni v njih, ne presegajo 90º v absolutni vrednosti.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kje ste se srečali z besedami OBDOBJE, PERIODIČNOST?

Odgovori učencev: Obdobje v glasbi je konstrukcija, v kateri je izražena bolj ali manj popolna glasbena misel. Geološko obdobje je del ere in je razdeljeno na epohe z obdobjem od 35 do 90 milijonov let.

Razpolovna doba radioaktivne snovi. Periodični ulomek. Periodične publikacije so tiskane publikacije, ki izhajajo na strogo določene datume. Periodični sistem Mendelejeva.

6. Slike prikazujejo dele grafov periodičnih funkcij. Določite obdobje funkcije. Določite obdobje funkcije.

Odgovori: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kje ste se v življenju srečali s konstrukcijo ponavljajočih se elementov?

Učenci odgovarjajo: Elementi ornamentov, ljudska umetnost.

IV. Kolektivno reševanje problemov.

(Reševanje problemov na diapozitivih.)

Poglejmo si enega od načinov za preučevanje funkcije za periodičnost.

Ta metoda zaobide težave, povezane z dokazovanjem, da je ena ali druga perioda najmanjša, prav tako pa se ni treba dotikati vprašanj o aritmetičnih operacijah na periodične funkcije in o periodičnosti kompleksne funkcije. Sklep temelji le na definiciji periodične funkcije in na naslednjem dejstvu: če je T obdobje funkcije, potem je nT(n? 0) njena perioda.

Problem 1. Poiščite najmanjšo pozitivno obdobje funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rešitev: Predpostavimo, da je T-obdobje te funkcije. Potem je f(x+T)=f(x) za vse x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Naj dobimo x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo, da so vse obdobja obravnavane funkcije (če obstajajo) med celimi števili. Med temi številkami izberite najmanjše pozitivno število. tole 1 . Preverimo, ali je dejansko obdobje 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Ker je (T+1)=(T) za kateri koli T, potem je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 - točka f. Ker je 1 najmanjše od vseh pozitivnih celih števil, potem je T=1.

Naloga 2. Pokažite, da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična in poiščite njeno glavno obdobje.

Naloga 3. Poišči glavno obdobje funkcije

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpostavimo T-obdobje funkcije, nato za katero koli X razmerje

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Če je x=0, potem

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Če je x=-T, potem

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Če dodamo, dobimo:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Izberimo med vsemi številkami, ki so "sumljive" za obdobje, najmanjše pozitivno in preverimo, ali gre za obdobje za f. Ta številka

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Zato je glavna doba funkcije f.

Naloga 4. Preverite, ali je funkcija f(x)=sin(x) periodična

Naj bo T obdobje funkcije f. Potem za kateri koli x

sin|x+T|=sin|x|

Če je x=0, potem sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Recimo. Da je za neko n število π n točka

obravnavana funkcija π n>0. Potem sin|π n+x|=sin|x|

To pomeni, da mora biti n hkrati sodo in liho, kar je nemogoče. Zato ta funkcija ni periodična.

Naloga 5. Preverite, ali je funkcija periodična

f(x)=

Naj bo T torej obdobje f

, torej sinT=0, T=π n, n € Z. Predpostavimo, da je za neko n število π n dejansko obdobje dane funkcije. Potem bo tudi število 2π n pika

Ker so števci enaki, so enaki tudi njihovi imenovalci, torej

Funkcija f torej ni periodična.

Skupinsko delo.

Naloge za skupino 1.

Naloge za skupino 2.

Preverite, ali je funkcija f periodična, in poiščite njeno glavno obdobje (če obstaja).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Naloge za skupino 3.

Ob koncu dela skupine predstavijo svoje rešitve.

VI. Povzetek lekcije.

Odsev.

Učitelj daje učencem kartice z risbami in ponudi, da del prve risbe prebarvajo v skladu s tem, v kolikšni meri, kot se jim zdi, obvladajo metode preučevanja funkcije za periodičnost, del druge risbe pa , v skladu s svojim prispevkom k delu pri pouku.

VII. Domača naloga

ena). Preverite, ali je funkcija f periodična in poiščite njeno glavno obdobje (če obstaja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima obdobje T=2 in f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Poiščite vrednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovich A.G. Algebra in začetek analize s poglobljenim študijem.
2. matematika. Priprava na izpit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra in začetna analiza za 10.-11. razrede.