• apotem- višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena z njenega vrha (poleg tega je apotem dolžina navpičnice, ki je s sredine pravilnega mnogokotnika spuščena na 1 od njegovih stranic);
• stranske ploskve (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikotniki, ki se stekajo na vrhu;
• stranska rebra ( AS , BS , CS , D.S. ) - skupne stranice stranskih ploskev;
• vrh piramide (v. S) - točka, ki povezuje stranske robove in ki ne leži v ravnini osnove;
• višina ( TAKO ) - segment navpičnice, ki je potegnjen skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca takega segmenta bosta vrh piramide in osnova navpičnice);
• diagonalni prerez piramide- odsek piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo osnove;
• bazo (ABCD) je mnogokotnik, ki mu vrh piramide ne pripada.

lastnosti piramide.

1. Ko so vsi stranski robovi enake velikosti, potem:

• blizu dna piramide je enostavno opisati krog, medtem ko bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga;
• stranska rebra tvorijo enake kote z osnovno ravnino;
• poleg tega velja tudi obratno, tj. ko stranski robovi tvorijo enake kote z osnovno ravnino ali ko je mogoče opisati krog blizu dna piramide in bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga, potem imajo vsi stranski robovi piramide enake velikosti.

2. Ko imajo stranske ploskve naklonski kot na ravnino osnove enake vrednosti, potem:

• blizu dna piramide je enostavno opisati krog, medtem ko bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga;
• višine stranskih ploskov so enake dolžine;
• površina stranske površine je ½ zmnožka oboda osnove in višine stranske ploskve.

3. V bližini piramide lahko opišemo kroglo, če je osnova piramide mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo točka presečišča ravnin, ki potekajo skozi središča robov piramide, pravokotne nanje. Iz tega izreka sklepamo, da je kroglo mogoče opisati tako okoli katere koli trikotne kot okrog katere koli pravilne piramide.

4. V piramido lahko vpišemo kroglo, če se simetralni ravnini notranjih diedrskih kotov piramide sekata v 1. točki (potreben in zadosten pogoj). Ta točka bo postala središče krogle.

Najpreprostejša piramida.

Glede na število vogalov osnove piramide jih delimo na trikotne, štirikotne itd.

Piramida bo trikotni, štirikotni, in tako naprej, ko je osnova piramide trikotnik, štirikotnik itd. Trikotna piramida je tetraeder - tetraeder. Štirikotnik - pentaeder in tako naprej.

Študentje se s pojmom piramide srečajo že dolgo pred študijem geometrije. Kriviti slavna velika egipčanska čudesa sveta. Zato si večina študentov, ki začnejo preučevati ta čudovit polieder, to že jasno predstavlja. Vse zgoraj navedene znamenitosti so v pravilni obliki. Kaj se je zgodilo desna piramida, in kakšne lastnosti ima in o katerih bomo še razpravljali.

V stiku z

Opredelitev

Obstaja veliko definicij piramide. Že od antičnih časov je zelo priljubljena.

Na primer, Euclid ga je definiral kot trdno figuro, sestavljeno iz ravnin, ki se, začenši z ene, zbližajo na določeni točki.

Heron je zagotovil natančnejšo formulacijo. Vztrajal je, da je to številka, ki ima osnovo in ravnine v obliki trikotnikov, konvergirajo na eni točki.

Na podlagi sodobne interpretacije je piramida predstavljena kot prostorski polieder, sestavljen iz določenega k-kotnika in k ravnih trikotnih figur, ki imajo eno skupno točko.

Poglejmo si pobliže, Iz katerih elementov je sestavljena?

• k-gon velja za osnovo figure;
• 3-kotne figure štrlijo kot stranice stranskega dela;
• zgornji del, iz katerega izvirajo stranski elementi, se imenuje vrh;
• vsi segmenti, ki povezujejo oglišče, se imenujejo robovi;
• če je ravna črta spuščena od vrha do ravnine figure pod kotom 90 stopinj, je njen del, zaprt v notranjem prostoru, višina piramide;
• v katerem koli stranskem elementu na strani našega poliedra lahko narišete pravokotno, imenovano apotema.

Število robov se izračuna po formuli 2*k, kjer je k število stranic k-kotnika. Koliko obrazov ima polieder, kot je piramida, lahko določimo z izrazom k + 1.

Pomembno! Piramida pravilne oblike je stereometrična figura, katere osnovna ravnina je k-kotnik z enakimi stranicami.

Osnovne lastnosti

Pravilna piramida ima veliko lastnosti ki so zanjo edinstvene. Naštejmo jih:

1. Osnova je figura pravilne oblike.
2. Robovi piramide, ki omejujejo stranske elemente, imajo enake številčne vrednosti.
3. Stranski elementi so enakokraki trikotniki.
4. Osnova višine figure pade v središče mnogokotnika, hkrati pa je osrednja točka vpisanega in opisanega.
5. Vsa stranska rebra so nagnjena k osnovni ravnini pod enakim kotom.
6. Vse stranske površine imajo enak kot naklona glede na podlago.

Zahvaljujoč vsem naštetim lastnostim je izvedba izračunov elementov močno poenostavljena. Na podlagi zgornjih lastnosti smo pozorni na dva znaka:

1. V primeru, ko se poligon prilega krogu, bodo imele stranske ploskve enake kote z osnovo.
2. Ko opisujemo krog okoli mnogokotnika, bodo imeli vsi robovi piramide, ki izhajajo iz vrha, enako dolžino in enake kote z osnovo.

Kvadrat je osnovan

Pravilna štirikotna piramida - polieder, ki temelji na kvadratu.

Ima štiri stranske ploskve, ki so po videzu enakokrake.

Na ravnini je upodobljen kvadrat, vendar temeljijo na vseh lastnostih pravilnega štirikotnika.

Na primer, če je treba stran kvadrata povezati z njegovo diagonalo, se uporabi naslednja formula: diagonala je enaka zmnožku stranice kvadrata in kvadratnega korena iz dveh.

Na podlagi pravilnega trikotnika

Pravilna trikotna piramida je polieder, katerega osnova je pravilen 3-kotnik.

Če je osnova pravilen trikotnik in so stranski robovi enaki robovima osnove, potem je takšna številka imenujemo tetraeder.

Vse ploskve tetraedra so enakostranični 3-kotniki. V tem primeru morate poznati nekaj točk in ne izgubljati časa na njih pri izračunu:

• kot nagiba reber do katere koli podlage je 60 stopinj;
• vrednost vseh notranjih ploskev je tudi 60 stopinj;
• vsak obraz lahko deluje kot osnova;
• narisani znotraj slike so enaki elementi.

Odseki poliedra

V katerem koli poliedru obstajajo več vrst odsekov letalo. Pogosto v šolskem tečaju geometrije delajo z dvema:

• aksialni;
• vzporedna osnova.

Aksialni prerez dobimo tako, da polieder presekamo z ravnino, ki poteka skozi vrh, stranske robove in os. V tem primeru je os višina, potegnjena iz vrha. Rezalna ravnina je omejena s presečnimi črtami z vsemi ploskvami, kar ima za posledico trikotnik.

Pozor! V pravilni piramidi je osni prerez enakokraki trikotnik.

Če rezalna ravnina poteka vzporedno z osnovo, je rezultat druga možnost. V tem primeru imamo v kontekstu figuro, podobno osnovi.

Na primer, če je osnova kvadrat, bo tudi odsek, ki je vzporeden z osnovo, kvadrat, le manjše velikosti.

Pri reševanju problemov pod tem pogojem se uporabljajo znaki in lastnosti podobnosti figur, temelji na Thalesovem izreku. Najprej je treba določiti koeficient podobnosti.

Če je ravnina narisana vzporedno z osnovo in odreže zgornji del poliedra, dobimo v spodnjem delu pravilno okrnjeno piramido. Potem pravimo, da so osnove okrnjenega poliedra podobni mnogokotniki. V tem primeru so stranske ploskve enakokraki trapezi. Aksialni prerez je prav tako enakokraki.

Za določitev višine okrnjenega poliedra je potrebno višino narisati v aksialnem prerezu, torej v trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi, ki jih je treba rešiti pri šolskem predmetu geometrije, so iskanje površine in prostornine piramide.

Obstajata dve vrsti površin:

• območje stranskih elementov;
• celotno površino.

Že iz naslova je jasno, za kaj gre. Stranska površina vključuje samo stranske elemente. Iz tega sledi, da ga želite najti, preprosto morate sešteti površine stranskih ravnin, torej območja enakokrakih 3-kotnikov. Poskusimo izpeljati formulo za površino stranskih elementov:

1. Območje enakokrakega 3-kotnika je Str=1/2(aL), kjer je a stranica osnove, L je apotem.
2. Število stranskih ravnin je odvisno od vrste k-kotnika na dnu. Na primer, pravilna štirikotna piramida ima štiri stranske ravnine. Zato je treba sešteti površine štirih številk Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izraz je na ta način poenostavljen, ker je vrednost 4a=POS, kjer je POS obseg osnove. In izraz 1/2 * Rosn je njegov polobod.
3. Torej sklepamo, da je površina stranskih elementov pravilne piramide enaka zmnožku pol oboda osnove in apotema: Sside \u003d Rosn * L.

Površina polne površine piramide je sestavljena iz vsote površin stranskih ravnin in osnove: Sp.p. = Sside + Sbase.

Kar zadeva površino osnove, se tukaj uporablja formula glede na vrsto poligona.

Prostornina pravilne piramide je enak zmnožku površine osnovne ravnine in višine, deljene s tri: V=1/3*Sbase*H, kjer je H višina poliedra.

Kaj je pravilna piramida v geometriji

Lastnosti pravilne štirikotne piramide

štirikotna piramida Polieder se imenuje polieder, katerega osnova je kvadrat, vse stranske strani pa so enaki enakokraki trikotniki.

Ta polieder ima veliko različnih lastnosti:

• Njena stranska rebra in sosednji diedrski koti so med seboj enaki;
• Površine stranskih ploskev so enake;
• Na dnu pravilne štirikotne piramide leži kvadrat;
• Višina, spuščena z vrha piramide, seka s točko presečišča diagonal osnove.

Vse te lastnosti olajšajo iskanje. Vendar pa je precej pogosto poleg tega potrebno izračunati prostornino poliedra. Če želite to narediti, uporabite formulo za prostornino štirikotne piramide:

To pomeni, da je prostornina piramide enaka tretjini zmnožka višine piramide in površine osnove. Ker je enak zmnožku njegovih enakih stranic, takoj vnesemo formulo kvadratne površine v izraz prostornine.
Razmislite o primeru izračuna prostornine štirikotne piramide.

Naj je podana štirikotna piramida, na dnu katere leži kvadrat s stranico a = 6 cm Stranska ploskev piramide je b = 8 cm. Poiščite prostornino piramide.

Da bi našli prostornino danega poliedra, potrebujemo dolžino njegove višine. Zato ga bomo našli z uporabo Pitagorejskega izreka. Najprej izračunajmo dolžino diagonale. V modrem trikotniku bo hipotenuza. Prav tako je vredno zapomniti, da so diagonale kvadrata enake druga drugi in so na presečišču razdeljene na polovico:


Zdaj iz rdečega trikotnika najdemo višino, ki jo potrebujemo h. To bo enako:

Zamenjajte zahtevane vrednosti in poiščite višino piramide:

Zdaj, ko poznamo višino, lahko nadomestimo vse vrednosti v formuli za prostornino piramide in izračunamo zahtevano vrednost:

Tako smo ob poznavanju nekaj preprostih formul lahko izračunali prostornino pravilne štirikotne piramide. Ne pozabite, da se ta vrednost meri v kubičnih enotah.

Formule za prostornino, stransko površino in skupno površino piramide

piramide

Razmislite o poljubni ravnini α, poljubnem konveksnem n-kotniku A 1 A 2 ... A n , ki se nahaja v tej ravnini, in točka S, ki ne leži v ravnini α .

Opredelitev 1. Piramida ( n - premogovna piramida) imenujemo lik, ki ga tvorijo segmenti, ki povezujejo točko S z vsemi točkami mnogokotnika A 1 A 2 ... A n (slika 1) .

Opomba 1. Spomnimo se, da je mnogokotnik A 1 A 2 ... A n je sestavljena iz zaprte lomljene črte A 1 A 2 ... A n in del ravnine, ki ga omejuje.

Opredelitev 2.

Tetraedri. Pravilni tetraedri

Definicija 5. Poljubna trikotna piramida se imenuje tetraeder.

Izjava. Za vsako pravilno trikotno piramido so nasprotni robovi v parih pravokotni.

Dokaz. Razmislite o pravilni trikotni piramidi SABC in paru njenih nasprotnih robov, kot sta AC in BS. Naj D označuje središče roba AC. Ker sta odseka BD in SD mediani v enakokrakih trikotnikih ABC in ASC , sta BD in SD pravokotni na rob AC (slika 4).

kjer črka D označuje središče roba AC (slika 6).

Po Pitagorejevem izreku iz trikotnika BSO najdemo

Odgovori.

Formule za prostornino, stransko in skupno površino piramide

Uvajamo naslednji zapis

Potem drži naslednje formule za izračun prostornine, površine bočne in polne površine piramide:

prost