Prvi zgodovinarji naše civilizacije - stari Grki - omenjajo Egipt kot rojstni kraj geometrije. Težko se ne strinjam z njimi, saj vemo, s kakšno osupljivo natančnostjo so postavili velikanske grobnice faraonov. Medsebojna razporeditev ravnin piramid, njihovi proporci, usmerjenost v kardinalne točke - ne bi si bilo mogoče zamisliti takšne popolnosti, ne da bi poznali osnove geometrije.

Sama beseda "geometrija" se lahko prevede kot "merjenje zemlje". Poleg tega se beseda "zemlja" ne pojavlja kot planet - del sončnega sistema, ampak kot ravnina. Označevanje kmetijskih površin je najverjetneje zelo izvirna podlaga znanosti o geometrijskih oblikah, njihovih vrstah in lastnostih.

Trikotnik je najpreprostejša prostorska figura planimetrije, ki vsebuje le tri točke - oglišča (nikoli jih ni manj). Morda je osnova temeljev, zakaj se v njem pojavi nekaj skrivnostnega in starodavnega. Vsevidno oko v trikotniku je eden prvih znanih okultnih znakov, geografija njegove razširjenosti in časovni okvir pa sta preprosto neverjetna. Od staroegipčanske, sumerske, asteške in drugih civilizacij do sodobnejših okultnih skupnosti, razpršenih po vsem svetu.

Kaj so trikotniki

Navaden vsestranski trikotnik je zaprta geometrijska figura, sestavljena iz treh segmentov različnih dolžin in treh kotov, od katerih nobeden ni pravi. Poleg njega obstaja več posebnih vrst.

Vsi trikotniki z ostrim kotom imajo manj kot 90 stopinj. Z drugimi besedami, vsi vogali takega trikotnika so ostri.

Pravokotni trikotnik, nad katerim so zaradi obilice izrekov ves čas jokali šolarji, ima en kot z magnitudo 90 stopinj ali, kot se imenuje tudi, ravno črto.

Tupi trikotnik se razlikuje po tem, da je eden od njegovih vogalov tup, to pomeni, da je njegova velikost več kot 90 stopinj.

Enakostranski trikotnik ima tri stranice enake dolžine. Za takšno sliko so vsi koti enaki.

In nazadnje, v enakokrakem trikotniku treh strani sta dve enaki drug drugemu.

Posebnosti

Lastnosti enakokrakega trikotnika določajo tudi njegovo glavno, glavno razliko - enakost obeh strani. Te enake strani se običajno imenujejo boki (ali pogosteje stranice), tretja stran pa se imenuje "osnova".

Na obravnavani sliki je a = b.

Drugi kriterij za enakokraki trikotnik izhaja iz izreka sinusov. Ker sta strani a in b enaki, so enaki tudi sinusi njihovih nasprotnih kotov:

a / sin γ = b / sin α, od kod imamo: sin γ = sin α.

Enakost sinusov pomeni enakost kotov: γ = α.

Torej, drugi znak enakokrakega trikotnika je enakost dveh kotov, ki mejijo na osnovo.

Tretji znak. V trikotniku se razlikujejo elementi, kot so višina, simetrala in mediana.

Če se pri reševanju problema izkaže, da v obravnavanem trikotniku kateri koli od teh elementov sovpadata: višina s simetralo; simetrala z mediano; mediana z višino - vsekakor lahko sklepamo, da je trikotnik enakokraki.

Geometrijske lastnosti figure

1. Lastnosti enakokrakega trikotnika. Ena od značilnosti figure je enakost kotov, ki mejijo na podlago:

<ВАС = <ВСА.

2. Zgoraj je bila obravnavana še ena lastnost: mediana, simetrala in višina v enakokrakem trikotniku sovpadajo, če so zgrajeni od njegovega vrha do osnove.

3. Enakost simetral, izvedenih iz točk na dnu:

Če je AE simetrala kota BAC, CD pa simetrala kota BCA, potem: AE = DC.

4. Lastnosti enakokrakega trikotnika določajo tudi enakost višin, ki so vlečene iz točk na dnu.

Če iz točk A in C sestavimo višine trikotnika ABC (kjer je AB = BC), bosta pridobljena odseka CD in AE enaka.

5. Enake bodo tudi mediane, potegnjene iz vogalov na dnu.

Torej, če sta AE in DC mediani, to je AD = DB in BE = EC, potem je AE = DC.

Višina enakokrakega trikotnika

Enakost stranic in kotov pri njih uvaja nekatere posebnosti pri izračunu dolžin elementov zadevne figure.

Višina v enakokrakem trikotniku deli sliko na 2 simetrična pravokotna trikotnika, katerih stranice štrlijo s hipotenuzami. Višina je v tem primeru določena v skladu s Pitagorinim izrekom, kot krak.

Trikotnik ima lahko vse tri strani enake, potem se bo imenoval enakostranični. Višina v enakostraničnem trikotniku je določena na enak način, le za izračune je dovolj poznati le eno vrednost - dolžino stranice tega trikotnika.

Višino lahko določite na drug način, na primer, če poznate osnovo in kot, ki meji nanjo.

Sredina enakokrakega trikotnika

Obravnavani tip trikotnika je zaradi svojih geometrijskih značilnosti preprosto rešen z minimalnim nizom začetnih podatkov. Ker je mediana v enakokrakem trikotniku enaka njegovi višini in njegovi simetrali, se algoritem za njeno določanje ne razlikuje od vrstnega reda izračuna teh elementov.

Na primer, lahko določite dolžino mediane po znani stranski strani in vrednosti kota vrha.

Kako določiti obod

Ker sta obe strani obravnavane planimetrične figure vedno enaki, je dovolj, da poznamo dolžino osnove in dolžino ene od strani, da določimo obod.

Razmislite o primeru, ko morate določiti obod trikotnika iz znane osnove in višine.

Obod je enak vsoti osnove in dvakratni dolžini stranice. Stranska stran je s Pitagorjevim izrekom definirana kot hipotenuza pravokotnega trikotnika. Njegova dolžina je enaka kvadratnemu korenu vsote kvadrata višine in kvadrata polovice osnove.

Območje enakokrakega trikotnika

Praviloma ni težko izračunati površine enakokrakega trikotnika. V našem primeru seveda velja univerzalno pravilo za določanje površine trikotnika kot polovice produkta osnove in njegove višine. Vendar lastnosti enakokrakega trikotnika olajšajo nalogo.

Predpostavimo, da sta višina in kot, ki meji na osnovo, znana. Treba je določiti območje figure. To je mogoče storiti na ta način.

Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika 180 °, ni težko določiti vrednosti kota. Nato se z deležem, sestavljenim po izreku sinusov, določi dolžina osnove trikotnika. Na voljo je vse, osnova in višina - dovolj podatkov za določitev območja.

Druge lastnosti enakokrakega trikotnika

Položaj središča kroga, opisanega okoli enakokrakega trikotnika, je odvisen od velikosti kota vrha. Torej, če je enakokraki trikotnik pod ostrim kotom, se središče kroga nahaja znotraj figure.

Središče kroga, ki je opisano okoli tupega enakokrakega trikotnika, leži zunaj njega. In končno, če je kot na vrhu 90 °, središče leži točno na sredini osnove, premer kroga pa skozi samo podlago.

Za določitev polmera kroga, opisanega okoli enakokrakega trikotnika, zadostuje, da se dolžina stranske stranice deli z dvakratnim kosinusom, ki je polovica vrednosti kota vrha.

Med vsemi trikotniki obstajata dve posebni vrsti: pravokotni trikotniki in enakokraki trikotniki. Zakaj so te vrste trikotnikov tako posebne? No, prvič, takšni trikotniki se zelo pogosto izkažejo za glavne junake nalog USE v prvem delu. In drugič, probleme v zvezi s pravokotnimi in enakokrakimi trikotniki je veliko lažje rešiti kot druge probleme v geometriji. Poznati morate le nekaj pravil in lastnosti. Vse najbolj zanimive stvari o desnih trikotnikih so obravnavane v, zdaj pa bomo obravnavali enakokrake trikotnike. In predvsem, kaj je enakokraki trikotnik. Ali, kot pravijo matematiki, kakšna je definicija enakokrakega trikotnika?

Poglejte, kako izgleda:

Enakokraki trikotnik ima tako kot pravokotni trikotnik posebna imena za stranice. Kličemo dve enaki strani stranske stranice in tretja oseba je osnove.

In še enkrat bodite pozorni na sliko:

Seveda je lahko takole:

Zato bodite previdni: stran - ena od dveh enakih strani v enakokrakem trikotniku in baza je tretja oseba.

Zakaj je enakokraki trikotnik tako dober? Da bi to razumeli, narišimo višino do osnove. Se spomnite, kakšna je višina?

Kaj se je zgodilo? Iz enega enakokrakega trikotnika sta se izkazala dva pravokotna.

To je že dobro, a tako se bo izkazalo v vsakem, najbolj "kulscen" trikotniku.

Kakšna je razlika med sliko za enakokraki trikotnik? Poglej še enkrat:

No, najprej seveda ni dovolj, da ti čudni matematiki preprosto vidijo - vsekakor morajo dokazati. In nenadoma so ti trikotniki nekoliko drugačni, vendar jih bomo imeli za enake.

Ampak ne skrbite: v tem primeru je dokazovanje skoraj tako enostavno kot videti.

Začnimo? Pozorno poglejte, imamo:

In to pomeni! Zakaj? Ja, pravkar najdemo in in iz Pitagorinega izreka (obenem se spomnimo tega)

Ste se prepričali? No, zdaj imamo

In na treh straneh - najlažji (tretji) znak enakosti trikotnikov.

No, naš enakokraki trikotnik se je razdelil na dva enaka pravokotnika.

Vidite, kako zanimivo je? Izkazalo se je, da:

Kako je običajno, da se o tem govori med matematiki? Gremo po vrsti:

(Ne pozabite, da je mediana črta, potegnjena iz oglišča, ki stran deli na polovico, simetrala pa kot.)

No, tukaj smo razpravljali, kaj je dobrega videti, če dobimo enakokraki trikotnik. Ugotovili smo, da so koti na dnu enakokrakega trikotnika enaki, višina, simetrala in mediana, potegnjeni na osnovo, pa sovpadata.

In zdaj se pojavi drugo vprašanje: kako prepoznati enakokraki trikotnik? To je, kot pravijo matematiki, kaj je znaki enakokrakega trikotnika?

In izkazalo se je, da morate le "obrniti" vse trditve nasprotno. To seveda ni vedno tako, a enakokraki trikotnik je še vedno odlična stvar! Kaj se zgodi po "prevračanju"?

No, poglej:
Če višina in mediana sovpadata, potem:

Če višina in simetrala sovpadata, potem:


Če simetrala in mediana sovpadata, potem:

No, ne pozabite in uporabite:

• Če imate enakokraki trikotni trikotnik, lahko narišete višino, dobite dva pravokotna trikotnika in rešite nalogo o pravokotnem trikotniku.
• Če je to podano dva kota sta enaka nato trikotnik točno enakokraki in lahko zadržite višino in .... (Hiša, ki jo je zgradil Jack ...).
• Če se izkaže, da se višina na strani prepolovi, je trikotnik enakokraki z vsemi naslednjimi bonusi.
• Če se izkaže, da je višina kot razdelila na tla - enakokraki!
• Če je simetrala stran razdelila na polovico ali je mediana kota, se to tudi zgodi samo v enakokrakem trikotniku

Poglejmo, kako to izgleda v nalogah.

Problem 1(najpreprostejši)

V trikotniku sta strani in enaki, in. Najti.

Odločimo se:

Najprej risba.

Kaj je tukaj osnova? Seveda, .

Spomnimo se, da če, potem in.

Posodobljena risba:

Označimo z. Kolikšna je vsota kotov trikotnika? ?

Uporabljamo:

To je to odgovor: .

Ni težko, kajne? Tudi višina ni bila potrebna.

Problem 2(Tudi ni zelo težavno, vendar morate temo ponoviti)

V trikotniku ,. Najti.

Odločimo se:

Trikotnik je enakokraki! Narišemo višino (to je zvijača, s pomočjo katere bo zdaj vse rešeno).

Zdaj "izbrišemo iz življenja", upoštevajte le.

Torej, imamo:

Spomnite se tabelarnih vrednosti kosinusov (no, ali gledate goljufanje ...)

Še vedno je treba najti :.

Odgovor: .

Upoštevajte, da imamo tukaj zelo potrebno znanje o pravokotnem trikotniku ter "tabelarnih" sinusih in kosinusih. Zelo pogosto se to zgodi: teme, "enakokraki trikotnik" in v ugankah gredo v svežnje, vendar z drugimi temami niso zelo prijazni.

Enakokraki trikotnik. Povprečna raven.

Te dve enaki strani se imenujejo stranske stranice, a tretja stran je osnova enakokrakega trikotnika.

Poglejte sliko: in - stranice, - osnova enakokrakega trikotnika.

Na eni sliki razumejmo, zakaj je temu tako. Narišimo višino od točke.

To pomeni, da imajo enake vse ustrezne elemente.

Vse! V enem zamahu (višina) so dokazali vse trditve hkrati.

In zapomnite si: za rešitev problema enakokrakega trikotnika je pogosto zelo koristno znižati višino na osnovo enakokrakega trikotnika in ga razdeliti na dva enaka pravokotna trikotnika.

Znaki enakokrakega trikotnika

Resnične so tudi izjave:

Skoraj vse te trditve je mogoče znova dokazati "naenkrat".

1. Torej, not in so bili enaki in.

Narišemo višino. Potem

2.a) Sedaj vnesite nek trikotnik višina in simetrala se ujemata.

2.b) In če višina in mediana sovpadata? Vse je skoraj enako, nič bolj zapleteno!

- na dveh nogah

2.c) Če pa ni višine, ki se spusti na osnovo enakokrakega trikotnika, potem sprva ni pravokotnih trikotnikov. Hudo!

Obstaja pa izhod - preberite ga na naslednji stopnji teorije, saj je dokaz tukaj bolj zapleten, a za zdaj se spomnite le, da če bosta mediana in simetrala sovpadali, bo tudi trikotnik enakokraki, višina pa bo še vedno sovpadata s to simetralo in mediano.

Naj povzamemo:

1. Če je trikotnik enakokraki, so koti na dnu enaki, višina, simetrala in mediana, ki so narisani na osnovo, pa sovpadajo.
2. Če sta v nekem trikotniku dva enaka kota ali pa dve od treh črt (simetrala, mediana, višina) sovpadata, je tak trikotnik enakokraki.

Enakokraki trikotnik. Kratek opis in osnovne formule

Enakokraki trikotnik je trikotnik z dvema enakima stranicama.

Znaki enakokrakega trikotnika:

1. Če sta v nekem trikotniku dva kota enaka, potem je enakokraki.
2. Če v nekem trikotniku sovpadata:
   a) višina in simetrala ali
   b) višina in mediana ali
   v) mediana in simetrala,
   potegnjeno na eno stran, potem je tak trikotnik enakokraki.

Pri katerih sta obe strani po dolžini enaki. Enake stranice se imenujejo stranske, zadnja neenaka stran pa osnova. Enakostranični trikotnik je po definiciji enakokraki, vendar obratno ne drži.

Terminologija

Če ima trikotnik dve enaki strani, se te stranice imenujejo stranice, tretja stran pa osnova. Kot, ki ga tvorijo stranice, imenujemo kotni vrh, in vogali, katerih ena stran je osnova, se imenujejo vogali na dnu.

Lastnosti

• Kota nasproti enakih strani enakokrakega trikotnika sta med seboj enaka. Tudi simetrale, mediane in višine iz teh kotov so enake.
• Simetrala, mediana, višina in pravokotno na osnovo sovpadata. Središča vpisanih in opisanih krogov ležijo na tej črti.

Naj bo a- dolžini dveh enakih strani enakokrakega trikotnika, b- dolžino tretje strani, h- višina enakokrakega trikotnika

• $a\; =\; \backslash \; frac\; b\; (2\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha)$(posledica kosinusnega izreka);
• $b\; =\; a\; \backslash \; sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta))$(posledica kosinusnega izreka);
• $b\; =\; 2a\; \backslash \; sin\; \backslash \; frac\; \backslash \; beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\; \backslash \; cos\; \backslash \; alfa$(izrek projekcije)

Polmer vpisanega kroga je mogoče izraziti na šest načinov, odvisno od tega, katera dva parametra enakokrakega trikotnika sta znana:

• $r\; =\; \backslash \; frac\; b2\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (2a-b)\; (2a\; +\; b))$
• $r\; =\; \backslash \; frac\; (bh)\; (b\; +\; \backslash \; sqrt\; (4h\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2))$
• $r\; =\; \backslash \; frac\; (h)\; (1+\; \backslash \; frac\; (a)\; (\backslash \; sqrt\; (a\; ^\; 2-h\; ^\; 2)))$
• $r\; =\; \backslash \; frac\; b2\; \backslash \; operatorname\; (tg)\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; alpha)\; (2)\; \backslash \; right)$
• $r\; =\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ime\; operaterja\; (tg)\; \backslash \; levo\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; alpha)\; (2)\; \backslash \; desno)$

Vogali se lahko izrazi na naslednje načine:

• $\backslash \; alpha\; =\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi\; -\; \backslash \; beta)\; 2;$
• $\backslash \; beta\; =\; \backslash \; pi\; -\; 2\; \backslash \; alpha;$
• $\backslash \; alpha\; =\; \backslash \; arcsin\; \backslash \; frac\; a\; (2R),\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; arcsin\; \backslash \; frac\; b\; (2R)$(sinusni izrek).
• Kotiček lahko najdete tudi brez $(\backslash \; pi)$ in $R$... Mediana trikotnika deli na polovico in na prejel dva enaka pravokotna trikotnika se izračunata kota:

$y\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; frac\; (b)\; (c),\; \backslash \; arccos\; y\; =\; x$

Obseg enakokraki trikotnik najdemo na naslednje načine:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(a-priory);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; beta)$(posledica sinusnega izreka).

Kvadrat trikotnik najdemo na naslednje načine:

$S\; =\; \backslash \; frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; a\; ^\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; frac\; (b\; ^\; 2)\; (4\; \backslash \; tan\; \backslash \; frac\; \backslash \; beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; levo\; (a\; +\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \; desno)\; \backslash \; levo\; (a\; -\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \; desno));$ $S\; =\; \backslash \; frac\; 2\; 1\; a\; \backslash \; sqrt\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; frac\; (b\; ^\; 1)\; (2\; \backslash \; sin\; \backslash \; frac\; \backslash \; beta\; 1);$

Poglej tudi

Napišite recenzijo članka "Ravnokraki trikotnik"

Opombe (uredi)

Odlomek, ki označuje enakokraki trikotnik

Na Marijo Dmitrievno, čeprav so se je bali, so v Peterburgu gledali kot na šaljivca, zato so iz besed, ki jih je izrekla, opazili le nesramno besedo in si jo šepeto ponavljali, ob predpostavki, da je ta beseda celotna bistvo povedanega.
Princ Vasilij, ki je pred kratkim še posebej pogosto pozabil, kaj govori, in isto ponovil stokrat, je vsakič, ko je slučajno zagledal svojo hčerko, rekel.
- Helene, j "ai un mot a vous dire," ji je rekel, jo potegnil na stran in potegnil roko navzdol. - J "ai eu vent de certains projets relatifs a ... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c? Ur de pere se rejouit do vous savoir ... Vous avez tant souffert ... Mais, chere enfant ... ne consultez que votre c? Ur. C "est tout ce que je vous dis. [Helen, nekaj ti moram povedati. Slišal sem o nekaterih vrstah o ... veš. No, moj dragi otrok, veš, da je očetovo srce veselo, da si .. . Toliko si zdržal ... Ampak, dragi otrok ... Naredi tako, kot ti pove srce. To je ves moj nasvet.] - In, vedno skrivajoč isto navdušenje, je pritisnil lice k hčerki in odšel.
Bilibin, ki ni izgubil slovesa najpametnejšega človeka in je bil nezainteresiran Helenin prijatelj, eden tistih prijateljev, ki imajo vedno briljantne ženske, prijatelje moških, ki nikoli ne morejo iti v vlogo ljubimcev, je Bilibin nekoč izrazil svoji prijateljici Helen v petit comite [majhen intimni krog] vaš pogled na celoto.
- Ecoutez, Bilibine (Helen je prijatelje kot Bilibin vedno klicala po priimkih), - in se je z belo obročasto roko dotaknila rokava njegovega fraka. - Dites moi comme vous diriez a une s? Ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Poslušaj, Bilibin: povej mi, kako bi sestri povedala, kaj naj naredi? Kateri od obeh?]
Bilibin je zbral kožo nad obrvmi in z nasmehom na ustnicah premišljeval.
"Vous ne me prenez pas en is bad, vous savez," je dejal. - Comme res ami j "ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (to je bil mladenič), - je upognil prst, - vous perdez pour toujours la chance d" epouser l "autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il ya une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand ... le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Ne boste me presenetili, saj veste. Kot pravi prijatelj sem dolgo premišljeval o vašem primeru. Vidite: če se poročite s princem, ste za vedno prikrajšani priložnost biti žena drugega, poleg tega pa bo sodišče nezadovoljno. (Saj veste, navsezadnje gre za sorodstvo.) In če se poročite s starim grofom, potem boste nadoknadili srečo njegovih zadnjih dni in potem ... ne bo več ponižujoče, da se princ poroči z vdovo plemiča.] - in Bilibin mu je zrahljal kožo.
- Voila un res ami! - je žarela Helen in se še enkrat z roko dotaknila Bilibipovega rokava. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Glej pravi prijatelj! Ampak obožujem oboje in nikogar ne bi rad razburil. Za srečo obeh bi bila pripravljena žrtvovati svoje življenje.] - je dejala.
Bilibin je skomignil z rameni in izrazil, da niti on ne more več pomagati pri takšni žalosti.
»Une maitresse femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois." - je pomislil Bilibin.

Trikotnik z dvema stranicama, ki sta med seboj enaka, se imenuje enakokraki. Te strani se imenujejo stranske, tretja stran pa osnova. V tem članku vam bomo povedali o lastnostih enakokrakega trikotnika.

Izrek 1

Koti blizu osnove enakokrakega trikotnika so med seboj enaki

Dokaz izreka.

Recimo, da imamo enakokraki trikotnik ABC, katerega osnova je AB. Oglejmo si trikotnik BAC. Ti trikotniki so po prvem znaku enaki drug drugemu. Tako je, ker BC = AC, AC = BC, kot ACB = kot ACB. Iz tega sledi, da je kot BAC = kot ABC, ker so to ustrezni koti naših enakih trikotnikov. Tu je lastnost kotov enakokrakega trikotnika.

Izrek 2

Mediana v enakokrakem trikotniku, ki je vlečena na njegovo osnovo, je tudi višina in simetrala

Dokaz izreka.

Recimo, da imamo enakokraki trikotnik ABC, katerega osnova je AB, CD pa je mediana, ki smo jo narisali na njeno osnovo. V trikotnikih ACD in BCD je kot CAD = kot CBD, kot tudi ustrezni koti na dnu enakokrakega trikotnika (izrek 1). Stran AC = stran BC (po definiciji enakokrakega trikotnika). Stran AD = stran BD, ker točka D deli segment AB na enake dele. Od tod sledi, da je trikotnik ACD = trikotnik BCD.

Iz enakosti teh trikotnikov imamo enakost ustreznih kotov. To je kot ACD = kot BCD in kot ADC = kot BDC. Enakost 1 pomeni, da je CD simetrala. Kot ADC in kot BDC sta sosednja kota in iz enakosti 2 se izkaže, da sta oba prava. Izkazalo se je, da je CD višina trikotnika. To je lastnost mediane enakokrakega trikotnika.

In zdaj malo o znakih enakokrakega trikotnika.

Izrek 3

Če sta dva kota v trikotniku enaka drug drugemu, je tak trikotnik enakokraki

Dokaz izreka.

Recimo, da imamo trikotnik ABC, v katerem je kot CAB = kot CBA. Trikotnik ABC = Trikotnik BAC za drugi znak enakosti med trikotniki. Dejansko je AB = BA; kot CBA = kot CAB, kot CAB = kot CBA. Iz te enakosti trikotnikov imamo enakost ustreznih strani trikotnika - AC = BC. Potem se izkaže, da je trikotnik ABC enakokraki.

Izrek 4

Če je v katerem koli trikotniku njegova sredina tudi njegova višina, potem je tak trikotnik enakokraki

Dokaz izreka.

V trikotniku ABC narišemo mediano CD. To bo tudi višina. Pravokotni trikotnik ACD = pravokotni trikotnik BCD, saj jim je krak CD skupen in noga AD = krak BD. Iz tega sledi, da so njihove hipotenuze med seboj enake, kot ustrezni deli enakih trikotnikov. To pomeni, da je AB = BC.

Izrek 5

Če so tri strani trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so ti trikotniki enaki

Dokaz izreka.

Recimo, da imamo trikotnik ABC in trikotnik A1B1C1, tako da sta strani AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Dokaz tega izreka upoštevajte v nasprotju.

Recimo, da si ti trikotniki niso enaki. Tako imamo, da kot BAC ni enak kotu B1A1C1, kot ABC ni enak kotu A1B1C1, kot ACB hkrati ni enak kotu A1C1B1. V nasprotnem primeru bi bili ti trikotniki enaki na podlagi zgoraj navedenega.

Denimo, da je trikotnik A1B1C2 = trikotnik ABC. V trikotniku leži vrh C2 z ogliščem C1 glede na ravno črto A1B1 v eni pol ravnini. Predvidevali smo, da se točki C2 in C1 ne ujemata. Recimo, da je točka D sredina odseka C1C2. Tako imamo enakokrake trikotnike B1C1C2 in A1C1C2, ki imata skupno osnovo C1C2. Izkazalo se je, da sta njuni višini tudi mediani B1D in A1D. To pomeni, da sta ravna črta B1D in ravna črta A1D pravokotna na ravno črto C1C2.

B1D in A1D imata različni točki B1 in A1, zato ne moreta sovpadati. Toda skozi točko D črte C1C2 lahko potegnemo samo eno črto, pravokotno nanjo. Imamo protislovje.

Zdaj veste, kakšne so lastnosti enakokrakega trikotnika!