Trigonometrikus funkciókat időszakos, vagyis bizonyos idő elteltével ismétlődik. Ennek eredményeként elegendő a függvényt ezen az intervallumon tanulmányozni, és a felfedezett tulajdonságokat kiterjeszteni az összes többi periódusra.

Utasítás

1. Ha adunk egy primitív kifejezést, amelyben csak egy trigonometrikus függvény van (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), és a függvényen belüli szöget nem szorozzuk meg egyetlen számmal sem, és magát sem emeljük hatalom – használja a definíciót. A sin, cos, sec, cosec kifejezéseket tartalmazó kifejezéseknél állítsa be a periódust merészen 2P-re, és ha van tg, ctg az egyenletben, akkor P. Tegyük fel, hogy az y \u003d 2 sinx + 5 függvénynél a periódus 2P lesz. .

2. Ha egy trigonometrikus függvény előjele alatti x szöget megszorozzuk valamilyen számmal, akkor ennek a függvénynek a periódusának meghatározásához osszuk el ezzel a számmal a jellemző periódust. Tegyük fel, hogy adott egy y = sin 5x függvény. A szinusz tipikus periódusa 2P, elosztva 5-tel, 2P / 5-öt kapunk - ez a kifejezés kívánt periódusa.

3. A hatványra emelt trigonometrikus függvény periódusának meghatározásához értékelje a hatvány egyenletességét. Az egyenletes fok eléréséhez a mintavételi időszakot felére kell csökkenteni. Tegyük fel, hogy ha kapunk egy y \u003d 3 cos ^ 2x függvényt, akkor a tipikus 2P periódus 2-szeresére csökken, tehát a periódus egyenlő lesz P-vel. Vegye figyelembe, hogy a tg, ctg függvények P bármilyen mértékben periodikusak. .

4. Ha kapunk egy egyenletet, amely 2 trigonometrikus függvény szorzatát vagy hányadosát tartalmazza, először keresse meg mindegyik periódusát külön-külön. Ezután keresse meg azt a minimális számot, amely mindkét periódus egész számára illeszkedne. Tegyük fel, hogy az y=tgx*cos5x függvény adott. Az érintőnél a periódus P, a koszinusznál 5x a periódus 2P/5. A két periódushoz illeszkedő minimális szám 2P, tehát a kívánt periódus 2P.

5. Ha nehéznek találja a javasolt módot, vagy kételkedik az eredményben, próbálja meg definíció szerint megtenni. Vegyük T-t a függvény periódusának, nagyobb nullánál. Helyettesítsd be az egyenletben x helyett az (x + T) kifejezést, és oldd meg a kapott egyenlőséget úgy, mintha T egy paraméter vagy egy szám lenne. Ennek eredményeként megtalálja a trigonometrikus függvény értékét, és kiválaszthatja a legkisebb periódust. Tegyük fel, hogy a facilitáció eredményeként az azonosságbűn (T / 2) \u003d 0 értéket kapja. A T minimális értéke, amelynél végrehajtják, 2P, és ez lesz a feladat eredménye.

A periodikus függvény olyan függvény, amely bizonyos nem nulla periódus után megismétli az értékeit. A függvény periódusa olyan szám, amelynek a függvény argumentumához való hozzáadása nem változtatja meg a függvény értékét.

Szükséged lesz

• Az elemi matematika ismerete és a felmérés kezdetei.

Utasítás

1. Jelöljük az f(x) függvény periódusát K számmal. A feladatunk az, hogy megtaláljuk K-nek ezt az értékét. Ehhez képzeljük el, hogy az f(x) függvény egy periodikus függvény definícióját felhasználva egyenlő f-vel. (x+K)=f(x).

2. Megoldjuk a kapott egyenletet az ismeretlen K-re, mintha x konstans lenne. A K értékétől függően több lehetőség is lesz.

3. Ha K>0, akkor ez a függvény periódusa Ha K=0, akkor az f(x) függvény nem periodikus Ha az f(x+K)=f(x) egyenlet megoldása nem létezik ha bármely K nem egyenlő nullával, akkor egy ilyen függvényt aperiodikusnak nevezünk, és nincs is periódusa.

Kapcsolódó videók

Jegyzet!
Minden trigonometrikus függvény periodikus, és minden 2-nél nagyobb fokú polinomiális függvény aperiodikus.

Hasznos tanácsok
Egy 2 periodikus függvényből álló függvény periódusa e függvények periódusainak legkisebb közös többszöröse.

A trigonometrikus egyenletek olyan egyenletek, amelyek egy ismeretlen argumentum trigonometrikus függvényeit tartalmazzák (például: 5sinx-3cosx =7). Ahhoz, hogy megtanulja megoldani őket, ismernie kell néhány módszert erre.

Utasítás

1. Az ilyen egyenletek megoldása 2 lépésből áll: az első az egyenlet újraformálása, hogy elnyerje legegyszerűbb formáját. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket a következőképpen nevezzük: Sinx=a; cosx=a stb.

2. A második a kapott legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása. Az ilyen egyenletek megoldásának alapvető módjai vannak: Megoldás algebrai módon. Ez a módszer híres az iskolából, az algebra kurzusából. Más néven a változó helyettesítésének és helyettesítésének módszere. A redukciós képletek alkalmazásával átalakítjuk, cserét végzünk, majd megkeressük a gyökereket.

3. Az egyenlet faktorokra bontása. Először az összes kifejezést áthelyezzük balra, és faktorokra bontjuk.

4. Az egyenletet homogénné hozzuk. Az egyenleteket homogén egyenleteknek nevezzük, ha minden tag azonos fokú, a szinusz, koszinusz pedig azonos szögű.A megoldáshoz a következőket kell tenni: először minden tagját át kell vinni a jobb oldalról a bal oldalra; az összes gyakori tényezőt ki kell venni a zárójelekből; a tényezőket és a zárójeleket nullával egyenlővé tenni; az egyenértékű zárójelek kisebb fokú homogén egyenletet adnak, amelyet a cos-szal (vagy sin) nagyobb mértékben el kell osztani; oldja meg a kapott algebrai egyenletet tan.

5. A következő út a fél sarokig menni. Mondjuk, oldja meg az egyenletet: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Térjünk át a félszögre: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 bűn? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , ami után az összes tagot egy részre redukáljuk (egyébként jobbra), és megoldjuk az egyenletet.

6. Kisegítő sarokbejárat. Amikor lecseréljük a cos(a) vagy sin(a) egész értéket. Az "a" jel egy segédszög.

7. Egy termék összeggé formázásának módja. Itt kell alkalmazni a megfelelő képleteket. Tegyük fel, hogy adott: 2 sin x sin 3x = cos 4x. Oldjuk meg úgy, hogy a bal oldalt összeggé alakítjuk, azaz: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Az utolsó mód, az úgynevezett többfunkciós helyettesítés. Átalakítjuk a kifejezést és behelyettesítjük, mondjuk Cos(x/2)=u, ami után az u paraméterrel megoldjuk az egyenletet. A végösszeg megszerzésekor az értéket az ellenkezőjére fordítjuk.

Kapcsolódó videók

Ha a kör pontjait tekintjük, akkor az x, x + 2π, x + 4π stb. egyeznek egymással. Tehát a trigonometrikus funkciókat egyenes vonalon időszakosan ismételje meg a jelentésüket. Ha híres az időszak funkciókat, erre az időszakra fel lehet építeni egy függvényt, és meg lehet ismételni másokon.

Utasítás

1. A periódus egy T szám, amelyben f(x) = f(x+T). A periódus megtalálásához oldja meg a megfelelő egyenletet x és x + T behelyettesítésével argumentumként. Ebben az esetben a függvényekhez jól ismert periódusokat használjuk. A szinuszos és koszinuszfüggvényeknél a periódus 2π, az érintőnél és a kotangensnél pedig π.

2. Legyen adott az f(x) = sin^2(10x) függvény. Tekintsük a sin^2(10x) = sin^2(10(x+T) kifejezést). Használja a képletet a fok csökkentésére: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Ezután kapjon 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) vagy cos 20x = cos (20x+20T). Tudva, hogy a koszinusz periódusa 2π, 20T = 2π. Ezért T = π/10. T a minimális helyes periódus, és a függvény megismétlődik 2T és 3T után, valamint a másik irányban a tengely mentén: -T, -2T stb.

Hasznos tanácsok
Képletekkel csökkentheti a függvény mértékét. Ha jobban ismeri egyes függvények periódusait, próbálja meg a meglévő függvényt az ismertekre redukálni.

A páros és páratlan függvény keresése segít a függvény grafikonjának felépítésében, és megértheti viselkedésének természetét. Ehhez a kutatáshoz össze kell hasonlítani az „x” és a „-x” argumentumhoz írt függvényt.

Utasítás

1. Írja be a vizsgálni kívánt függvényt y=y(x) alakban.

2. Cserélje le a függvény argumentumát "-x"-re. Helyettesítse ezt az argumentumot egy funkcionális kifejezésre.

3. Egyszerűsítse a kifejezést.

4. Így ugyanazt a függvényt kapta az "x" és a "-x" argumentumokhoz. Nézd meg ezt a két bejegyzést. Ha y(-x)=y(x), akkor ez páros függvény. Ha y(-x)=-y(x), akkor ez egy páratlan függvény. Ha lehetetlen mondjuk a függvényről, hogy y (-x)=y(x) vagy y(-x)=-y(x), akkor ez a paritás tulajdonsága alapján univerzális alakú függvény. Vagyis se nem páros, se nem páratlan.

5. Írd le az eredményeidet. Most már használhatja őket függvénygráfok ábrázolásához vagy egy függvény tulajdonságainak jövőbeli analitikus kereséséhez.

6. Páros és páratlan függvényekről akkor is beszélhetünk, ha a függvény grafikonja közelebbről definiált. Tegyük fel, hogy a grafikon egy fizikai kísérlet eredménye.Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, akkor y(x) páros függvény. Ha a függvény grafikonja szimmetrikus az x tengelyre, akkor x(y) páros függvény. x(y) az y(x) inverz függvénye Ha a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (0,0), akkor y(x) páratlan függvény. Az x(y) inverz függvény is páratlan lesz.

7. Fontos megjegyezni, hogy a páros és páratlan függvények fogalma közvetlen kapcsolatban áll a függvény tartományával. Ha mondjuk nem létezik páros vagy páratlan függvény x=5-re, akkor x=-5-re nem létezik, ami egy általános alakú függvényről nem mondható el. A páros és páratlan létrehozásakor ügyeljen a függvény tartományára.

8. A páros és páratlan függvények keresése korrelál a függvényértékek halmazának megtalálásával. Egy páros függvény értékkészletének megtalálásához elegendő a függvény felét látni, a nullától jobbra vagy balra. Ha x>0 esetén egy páros függvény y(x) értéket vesz A-ból B-be, akkor ugyanazokat az értékeket veszi fel x-re is<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>A 0 páratlan y(x) függvény egy értéktartományt vesz fel A-tól B-ig, majd x-hez<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrikus" egykor olyan függvényeknek nevezték, amelyeket a derékszögű háromszög hegyesszögeinek oldalainak hosszától való függése határoz meg. Ezek közé a függvények közé tartozik mindenekelőtt a szinusz és koszinusz, másodsorban pedig a szekáns és koszekáns, amelyek inverzek ezekre a függvényekre, ezek tangens és kotangens származékai, valamint az inverz arszinusz, arccosinusz stb. függvények. pozitívabb, ha nem az ilyen függvények „megoldásáról”, hanem „számításukról”, vagyis a számérték megtalálásáról beszélünk.

Utasítás

1. Ha a trigonometrikus függvény argumentuma ismeretlen, akkor az értékét ezen függvények definíciói alapján indirekt módszerrel számíthatjuk ki. Ehhez ismerni kell a háromszög oldalainak hosszát, a trigonometrikus függvényt, amelynek valamelyik szögéhez ki akarunk számítani. Tegyük fel, hogy definíció szerint egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza az ezzel a szöggel ellentétes láb hosszának és a befogó hosszának az aránya. Ebből az következik, hogy egy szög szinuszának megtalálásához elegendő ennek a 2 oldalnak a hosszát ismerni. Egy hasonló definíció azt mondja, hogy a hegyesszög szinusza az ezzel a szöggel szomszédos láb hosszának és a hipotenusz hosszának az aránya. A hegyesszög érintője kiszámítható úgy, hogy a szemközti láb hosszát elosztjuk a szomszédos láb hosszával, a kotangenshez pedig el kell osztani a szomszédos láb hosszát a szemközti láb hosszával. Az akut szög szekánsának kiszámításához meg kell találnia a befogó hosszának és a kívánt szöggel szomszédos láb hosszának arányát, és a koszekánst a befogó hosszának a hosszhoz viszonyított aránya határozza meg. az ellenkező lábról.

2. Ha a trigonometrikus függvény argumentumát végrehajtják, akkor nem szükséges tudni a háromszög oldalainak hosszát - megengedett értéktáblázatok vagy trigonometrikus függvények számológépei. Egy ilyen számológép a Windows operációs rendszer szabványos programjai közé tartozik. A futtatáshoz nyomja meg a Win + R billentyűkombinációt, írja be a calc parancsot, és kattintson az OK gombra. A program felületén nyissa meg a "Nézet" részt, és válassza ki a "Műszaki" vagy a "Tudós" elemet. Később megengedett a trigonometrikus függvény argumentumának bevezetése. A szinusz, koszinusz és tangens függvények kiszámításához inkább az érték megadása után kattintson a megfelelő interfész gombra (sin, cos, tg), az arcszinusz, arccosinusz és arktangens reciprokának megkereséséhez pedig előzetesen jelölje be az Inv jelölőnégyzetet.

3. Vannak alternatív módszerek is. Az egyik ilyen, hogy a Nigma vagy a Google kereső oldalára lépve beírjuk a kívánt függvényt és annak argumentumát (mondjuk sin 0,47) keresési lekérdezésként. Ezek a keresők beépített számológépekkel rendelkeznek, ezért egy ilyen kérés elküldése után megkapja a beírt trigonometrikus függvény értékét.

Kapcsolódó videók

7. tipp: Hogyan lehet felismerni a trigonometrikus függvények értékét

A trigonometrikus függvények először a derékszögű háromszög oldalainak hosszában lévő hegyesszögek nagyságrendjének függésének absztrakt matematikai számításainak eszközeiként jelentek meg. Jelenleg széles körben használják az emberi tevékenység tudományos és műszaki területén egyaránt. A trigonometrikus függvények adott argumentumokból történő haszonelvű számításaihoz különféle eszközök használata megengedett – ezek közül néhányat az alábbiakban ismertetünk.

Utasítás

1. Használjon mondjuk egy, az operációs rendszerhez alapértelmezés szerint telepített számolóprogramot. Megnyílik a "Számológép" elem kiválasztásával a "Segédprogramok" mappában a "Tipikus" alszakaszban, amely az "Összes program" részben található. Ez a rész az operációs rendszer főmenüjének megnyitásával érhető el a "Start" gombra kattintva. Ha Windows 7 verziót használ, akkor primitíven beírhatja a "Számológép" szót a főmenü "Programok és fájlok észlelése" mezőjébe, majd kattintson a megfelelő hivatkozásra a keresési eredmények között.

2. Adja meg annak a szögnek az értékét, amelyhez a trigonometrikus függvényt ki szeretné számítani, majd kattintson a függvénynek megfelelő gombra - sin, cos vagy tan. Ha aggódik az inverz trigonometrikus függvények miatt (arcsine, arccosine vagy arctangens), akkor először kattintson az Inv feliratú gombra - ez megfordítja a számológép vezérlőgombjaihoz rendelt függvényeket.

3. Az operációs rendszer korábbi verzióiban (mondjuk Windows XP) a trigonometrikus függvények eléréséhez meg kell nyitni a „Nézet” részt a számológép menüjében, és előnyben kell részesíteni a „Műszaki” sort. Ezenkívül a program régi verzióinak felületén az Inv gomb helyett egy jelölőnégyzet található, amelyen ugyanaz a felirat található.

4. Számológép nélkül is megteheti, ha rendelkezik internet-hozzáféréssel. Az interneten számos szolgáltatás található, amelyek eltérően szervezett trigonometrikus függvényszámítókat kínálnak. Az egyik különösen praktikus lehetőség be van építve a Nigma keresőbe. Miután meglátogatta a főoldalt, primitíven írja be az Önt izgató értéket a keresési lekérdezési mezőbe - mondjuk „30 fokos ív érintője”. A "Fedezze fel!" a kereső kiszámítja és megjeleníti a számítás eredményét - 0,482347907101025.

Kapcsolódó videók

A trigonometria a matematikának egy olyan ága, amely olyan függvények megértésére szolgál, amelyek egy derékszögű háromszög oldalainak különböző függőségeit fejezik ki a hipotenusz hegyesszögeinek nagyságától. Az ilyen függvényeket trigonometrikusnak nevezik, és a velük való munka megkönnyítése érdekében trigonometrikus függvényeket származtattak. identitások .

Reprezentáció identitások a matematikában olyan egyenlőséget jelöl, amely teljesül a benne szereplő függvények argumentumainak bármely értékére. Trigonometrikus identitások- ezek a trigonometrikus függvények egyenlőségei, megerősítve és elfogadott a trigonometrikus képletekkel végzett munka egyszerűsítése érdekében A trigonometrikus függvény egy derékszögű háromszög egyik szára függésének elemi függvénye a befogópont hegyesszögének nagyságától. Leggyakrabban hat alapvető trigonometrikus függvényt használnak: sin (szinusz), cos (koszinusz), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (szekáns) és cosec (cosecant). Ezeket a függvényeket nevezzük direktnek, vannak inverz függvények is, mondjuk szinusz - arkoszinusz, koszinusz - arkkoszinusz stb. A trigonometrikus függvények kezdetben a geometriában találtak visszatükröződést, majd a tudomány más területeire is átterjedtek: fizika, kémia, földrajz, optika. , valószínűségszámítás , valamint akusztika, zeneelmélet, fonetika, számítógépes grafika és még sok más. Ma már nehezebb elképzelni a matematikai számításokat e függvények nélkül, bár régen csak a csillagászatban és az építészetben használták őket. identitások a hosszú trigonometrikus képletekkel végzett munka leegyszerűsítésére és emészthető formába hozására szolgálnak. Hat alapvető trigonometrikus azonosság létezik, ezek közvetlen trigonometrikus függvényekhez kapcsolódnak: tg ? = bűn?/cos?; bűn^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d bűn?. Ezek identitások derékszögű háromszög oldalai és szögei arányának tulajdonságaiból könnyen megerősíthető: sin ? = BC/AC = b/c; kötözősaláta? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Első azonosság tg ? = bűn?/cos? a háromszög oldalainak arányából és a c oldal (hipoténusz) kizárásából következik a sin cos-szal való osztásakor. Ugyanígy van meghatározva az azonosság ctg? = cos ?/sin ?, mert ctg ? = 1/tg ?. A Pitagorasz-tétel szerint a^2 + b^2 = c^2. Osszuk el ezt az egyenlőséget c^2-vel, megkapjuk a második azonosságot: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Harmadik és negyedik identitások b^2-vel és a^2-vel osztva kapja meg: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? vagy 1 + ctg^2? \u003d 1 / sin ^ 2?. Az ötödik és hatodik fő identitások egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összegének meghatározásával bizonyítjuk, amely egyenlő 90°-kal vagy? / 2. Nehezebb trigonometrikus identitások: formulák argumentumok összeadására, dupla és hármas szögekre, fokcsökkentésre, függvények összegének vagy szorzatának reformálására, valamint trigonometrikus helyettesítési képletek, nevezetesen a fő trigonometrikus függvények félszögben kifejezett kifejezései tg: sin ?= (2 *tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

A minimum megtalálásának szükségessége jelentése matematikai funkciókat ténylegesen érdekelt az alkalmazott problémák megoldásában, mondjuk a közgazdaságtanban. Hatalmas jelentése mert a vállalkozói tevékenység minimálisra csökkenti a veszteségeket.

Utasítás

1. A minimum megtalálása érdekében jelentése funkciókat, meg kell határozni, hogy az x0 argumentum mekkora értékénél teljesül az y(x0) egyenlőtlenség? y(x), ahol x ? x0. Mint általában, ez a probléma bizonyos időközönként vagy minden értéktartományban megoldódik funkciókat, ha nincs beállítva. A megoldás egyik aspektusa a fix pontok megtalálása.

2. Az állópontot ún jelentése az az érv, hogy a származék funkciókat nullára megy. Fermat tétele szerint, ha egy differenciálható függvény szélsőértéket vesz fel jelentése egy bizonyos ponton (jelen esetben egy lokális minimum), akkor ez a pont stacioner.

3. Minimális jelentése a függvény gyakran pontosan ezen a ponton veszi fel, azonban nem változatlanul meghatározható. Ráadásul nem mindig lehet pontosan megmondani, hogy mi a minimum funkciókat vagy elfogad egy végtelenül kicsi jelentése. Aztán szokás szerint csökkenéskor megtalálják azt a határt, ahová gravitál.

4. A minimum meghatározása érdekében jelentése funkciókat, négy szakaszból álló műveletsort kell végrehajtani: a definíciós tartomány megtalálása funkciókat, fix pontok megszerzése, értékek áttekintése funkciókat ezeken a pontokon és a rés végein minimum kimutatása.

5. Kiderül, hogy legyen adott y(x) függvény egy olyan intervallumon, amelynek határai az A és B pontban vannak. Keresse meg a definíciós tartományát, és nézze meg, hogy az intervallum a részhalmaza-e.

6. Számítsa ki a származékot funkciókat. Az eredményül kapott kifejezést nullával egyenlővé tesszük, és keressük meg az egyenlet gyökereit. Ellenőrizze, hogy ezek az állópontok az intervallumon belülre esnek-e. Ha nem, akkor a következő szakaszban ezeket nem veszik figyelembe.

7. Nézze meg a rést a határok típusához: nyitott, zárt, összetett vagy dimenzió nélküli. Attól függ, hogyan találja meg a minimumot jelentése. Tegyük fel, hogy az [A, B] szakasz egy zárt intervallum. Helyettesítse őket a függvénybe, és számítsa ki az értékeket. Tegye ugyanezt az álló ponttal. Válassza ki a legkisebb összeget.

8. Nyitott és határtalan időközök esetén valamivel nehezebb a helyzet. Itt egyoldalú korlátokat kell keresnünk, amelyek nem mindig adnak egyértelmű eredményt. Tegyük fel, hogy egy zárt és egy átszúrt határú intervallumhoz [A, B) keresni kell egy függvényt x = A pontban és egy egyoldali lim y határértéket x-ben? B-0.

az egyenlőtlenségek rendszerének kielégítése:

b) Tekintsük a számtengelyen azt a számhalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségrendszert:

Határozza meg a halmazt alkotó szakaszok hosszának összegét.

7. § A legegyszerűbb képletek

A 3. §-ban a következő képletet hoztuk létre az α hegyesszögekre:

			sin2α + cos2α = 1.
				Ugyanaz a képlet			mikor,
				amikor α bármely			de-
				le, legyen M egy pont a trigonometrián
				megfelelő kalic kör
				α szám (7.1. ábra). Azután		M-nek van társ-
				ordináták x = cos α, y
				Azonban minden pont (x; y) fekszik
				egységsugarú körök középponttal
				trom az eredetben, kielégítő
				megoldja az x2 + y2 egyenletet		1, honnan
				cos2 α + sin2 α = 1, szükség szerint.

Tehát a köregyenletből a cos2 α + sin2 α = 1 képlet következik. Úgy tűnhet, hogy ily módon új bizonyítást adtunk a hegyesszögek képletére (a 3. §-ban jelzetthez képest, ahol a Pitagorasz-tételt használtuk). A különbség azonban pusztán külső: az x2 + y2 = 1 köregyenlet levezetésénél ugyanazt a Pitagorasz-tételt alkalmazzuk.

A hegyesszögekre például más képleteket is kaptunk

szimbólum, a jobb oldal mindig nem negatív, míg a bal oldal lehet negatív. Ahhoz, hogy a képlet minden α-ra igaz legyen, négyzetre kell emelni. Megkapjuk az egyenlőséget: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Bizonyítsuk be, hogy ez a képlet minden α:1-re igaz

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sin2α + cos2α

Probléma 7.1. Vezesse le az alábbi képleteket a definíciókból és a sin2 α + cos2 α = 1 képletből (néhányat már bebizonyítottunk):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

bűn2

Ezek a képletek lehetővé teszik, hogy egy adott szám egyik trigonometrikus függvényének értékének ismeretében szinte megtaláljuk az összes többit

nye. Tudjuk például, hogy sin x = 1/2. Ekkor cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, tehát cos x vagy 3/2, vagy − 3/2. Ahhoz, hogy megtudjuk, e két szám közül melyik cos x egyenlő, további információkra van szükség.

7.2 probléma. Mutassuk meg példákkal, hogy mindkét fenti eset lehetséges.

Probléma 7.3. a) Legyen tgx = −1. Találd meg sinxet. Hány válasz van erre a problémára?

b) Tudjuk az a) pont feltételein túl, hogy sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Amire tg α definiálva van, azaz cos α 6= 0.

Probléma 7.4. Legyen sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Keresse meg a tgx-et.

7.5. probléma. Legyen tg x = 3, cos x > sin x. Keresse meg cos x, sin x.

7.6. probléma. Legyen tgx = 3/5. Keresse meg sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x

Probléma 7.7. Bizonyítsd be az azonosságokat:

tgα − sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Probléma 7.8. A kifejezések egyszerűsítése:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

8. § A trigonometrikus függvények periódusai

Az x, x+2π, x−2π számok a trigonometrikus kör ugyanazon pontjának felelnek meg (ha a trigonometrikus kör mentén egy plusz kört haladunk át, akkor oda kerülünk, ahol voltunk). Ez a következő azonosságokat jelenti, amelyekről az 5. §-ban már szó volt:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

Ezekkel az identitásokkal kapcsolatban már használtuk az „időszak” kifejezést. Most pontos meghatározásokat adunk.

Meghatározás. A T 6= 0 számot az f függvény periódusának nevezzük, ha az f(x − T) = f(x + T) = f(x) egyenlőségek igazak minden x-re (feltételezzük, hogy x + T és x) − T szerepelnek a függvény tartományában, ha benne van x). Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha van periódusa (legalább egy).

Az oszcillációs folyamatok leírásában természetesen felmerülnek a periodikus függvények. Az egyik ilyen folyamatot már tárgyaltuk az 5. §-ban. Íme, további példák:

1) Legyen ϕ = ϕ(t) az óra lengőingájának a függőlegestől való eltérési szöge t pillanatban. Ekkor ϕ t periodikus függvénye.

2) A feszültség („potenciálkülönbség”, ahogy egy fizikus mondaná) a váltakozó áramú konnektorban lévő két aljzat között,

hogy az idő függvényének tekintsük-e, az periodikus függvény1.

3) Halljuk a zenei hangot. Ekkor a légnyomás egy adott pontban az idő periodikus függvénye.

Ha egy függvénynek van T periódusa, akkor ennek a függvénynek a periódusai is a −T , 2T , −2T számok lesznek. . . - egyszóval minden nT szám, ahol n egy nullával nem egyenlő egész szám. Valóban, nézzük meg például, hogy f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Meghatározás. Az f függvény legkisebb pozitív periódusa - a szavak szó szerinti jelentésével összhangban - egy pozitív T szám úgy, hogy T az f periódusa, és egyetlen T-nél kisebb pozitív szám sem f periódusa.

Egy periodikus függvénynek nem kell a legkisebb pozitív periódussal rendelkeznie (például egy állandó függvénynek általában tetszőleges számú periódusa van, ezért nincs a legkisebb pozitív periódusa). Példákat hozhatunk olyan nem állandó periodikus függvényekre is, amelyeknek nincs a legkisebb pozitív periódusuk. Ennek ellenére a legtöbb érdekes esetben a periodikus függvényeknek van a legkisebb pozitív periódusuk.

1 Amikor azt mondják, hogy „a hálózat feszültsége 220 V”, akkor az „effektív effektív értékét” jelenti, amiről a 21. §-ban fogunk beszélni. Maga a feszültség folyamatosan változik.

Rizs. 8.1. Az érintő és a kotangens periódusa.

Különösen a szinusz és a koszinusz legkisebb pozitív periódusa a 2π. Bizonyítsuk be ezt például az y = sin x függvényre. Tegyük fel, hogy ellentétben azzal, amit mondunk, a szinusznak van olyan T periódusa, hogy 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Az oszcillációkat leíró függvény legkisebb pozitív periódusát (mint az 1-3. példánkban) egyszerűen e rezgések periódusának nevezzük.

Mivel a 2π szám a szinusz és a koszinusz periódusa, az érintő és a kotangens periódusa is lesz. Ezeknél a függvényeknél azonban nem 2π a legkisebb periódus: az érintő és a kotangens legkisebb pozitív periódusa π. Valójában a trigonometrikus körön az x és x + π számoknak megfelelő pontok szöges ellentétesek: az x ponttól az x + 2π pontig a π távolságot kell megtenni, ami pontosan egyenlő a kör felével. Ha most az érintő és a kotangens definícióját használjuk az érintők és kotangensek tengelyei segítségével, akkor nyilvánvalóvá válnak a tg (x + π) = tg x és ctg (x + π) = ctg x egyenlőségek (8.1. ábra). Könnyen ellenőrizhető (a feladatoknál ezt javasoljuk), hogy π valóban az érintő és a kotangens legkisebb pozitív periódusa.

Egy megjegyzés a terminológiáról. A "függvény periódusa" gyakran a "legkisebb pozitív periódus" értelmében használatos. Tehát ha a vizsgán megkérdezik: „100π a szinuszfüggvény periódusa?”, szánjon időt a válaszra, de tisztázza, hogy a legkisebb pozitív periódusra gondol, vagy csak az egyik periódusra.

A trigonometrikus függvények tipikus példái a periodikus függvényeknek: bármely "nem túl rossz" periodikus függvény valamilyen értelemben kifejezhető trigonometrikus függvényekkel.

Probléma 8.1. Keresse meg a függvények legkisebb pozitív periódusait:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos(1,01x).

Probléma 8.2. A váltakozó áramú hálózatban a feszültség időfüggőségét az U = U0 sin ωt képlet adja meg (itt t az idő, U feszültség, U0 és ω állandók). A váltakozó áram frekvenciája 50 Hertz (ez azt jelenti, hogy a feszültség másodpercenként 50 oszcillációt okoz).

a) Határozzuk meg ω-t, feltételezve, hogy t másodpercben mérjük;

b) Határozza meg a (legkisebb pozitív) U periódust t függvényében!

Probléma 8.3. a) Bizonyítsuk be, hogy a koszinusz legkisebb pozitív periódusa 2π;

b) Igazoljuk, hogy az érintő legkisebb pozitív periódusa π.

Probléma 8.4. Legyen az f függvény legkisebb pozitív periódusa egyenlő T-vel. Bizonyítsuk be, hogy néhány n egész szám esetén az összes többi periódus nT alakú.

8.5. probléma. Bizonyítsuk be, hogy a következő függvények nem periodikusak!

>> Függvények periodikussága y = sin x, y = cos x

11. § Az y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények periodikussága

Az előző bekezdésekben hét tulajdonságot használtunk funkciókat: tartomány, páros vagy páratlan, monotonitás, korlátosság, maximum és minimum értékek, folytonosság, függvénytartomány. Ezeket a tulajdonságokat vagy függvénygráf felépítésére használtuk (mint például a 9. §-ban), vagy a megszerkesztett gráf olvasásához (mint például a 10. §-ban). Most egy kedvező pillanat jött el a függvények egy újabb (nyolcadik) tulajdonságának bevezetésére, ami a fent konstruálton jól látható. diagramok függvények y \u003d sin x (lásd 37. ábra), y \u003d cos x (lásd 41. ábra).

Meghatározás. Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha létezik olyan T szám, amely nem nulla, így a halmazok bármely x-ére a dupla egyenlőség:

A jelzett feltételt kielégítő T számot az y \u003d f (x) függvény periódusának nevezzük.
Ebből következik, hogy mivel bármely x esetén az egyenlőségek igazak:

akkor az y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények periodikusak és a 2. P mindkét funkció időszakaként szolgál.
Egy függvény periodicitása a függvények ígért nyolcadik tulajdonsága.

Most nézze meg az y \u003d sin x függvény grafikonját (37. ábra). Egy szinuszos felépítéshez elég felépíteni az egyik hullámát (egy szegmensre, majd ezt a hullámot az x tengely mentén eltolni ennyivel. Ennek eredményeként egy hullám felhasználásával a teljes grafikont felépítjük.

Ugyanebből a szemszögből nézzük meg az y \u003d cos x függvény grafikonját (41. ábra). Azt látjuk, hogy itt is egy gráf ábrázolásához elegendő először egy hullámot ábrázolni (például a szegmensen

Ezután mozgassa az x tengely mentén eggyel
Összefoglalva a következő következtetést vonjuk le.

Ha az y \u003d f (x) függvénynek T periódusa van, akkor a függvény grafikonjának ábrázolásához először meg kell ábrázolnia a grafikon egy ágát (hullámát, részét) bármely T hosszúságú intervallumon (leggyakrabban pontokban végződő intervallum, majd tolja el ezt az ágat az x tengely mentén jobbra és balra T, 2T, ZT stb.
Egy periodikus függvénynek végtelen sok periódusa van: ha T egy periódus, akkor 2T egy periódus, és 3T egy periódus, és -T egy periódus; Általában a periódus tetszőleges KT alakú szám, ahol k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Általában, ha lehetséges, megpróbálják kiemelni a legkisebb pozitív periódust, ezt főperiódusnak nevezik.
Tehát tetszőleges 2pc alakú szám, ahol k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, az y \u003d sinn x, y \u003d cos x függvények periódusa; A 2p mindkét függvény fő periódusa.

Példa. Keresse meg egy függvény fő periódusát:

a) Legyen T az y \u003d sin x függvény fő periódusa. Tegyük fel

Ahhoz, hogy a T szám a függvény periódusa legyen, a Ho azonosságnak teljesülnie kell, mivel a főperiódus megtalálásáról beszélünk, kapjuk
b) Legyen T az y = cos 0,5x függvény főperiódusa. Legyen f(x)=cos 0,5x. Ezután f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Ahhoz, hogy a T szám legyen a függvény periódusa, a cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x azonosságnak teljesülnie kell.

Tehát 0,5t = 2pp. De mivel a főperiódus megtalálásáról beszélünk, 0,5T = 2 l, T = 4 l.

A példában kapott eredmények általánosítása a következő állítás: a függvény fő periódusa

A.G. Mordkovich algebra 10. évfolyam

Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek grafika, táblázatok, sémák humor, anekdoták, viccek, képregények példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv évre a vitaprogram módszertani ajánlásai Integrált leckék

Az x argumentum, akkor periodikusnak nevezzük, ha van olyan T szám, amelyre bármely x esetén F(x + T) = F(x). Ezt a T számot a függvény periódusának nevezzük.

Több időszak is lehet. Például az F = const függvény ugyanazt az értéket veszi fel az argumentum bármely értékére, ezért bármely szám tekinthető periódusának.

Általában a függvény legkisebb nem nulla periódusa érdekli. A rövidség kedvéért egyszerűen pontnak nevezzük.

A periodikus függvények klasszikus példája a trigonometrikus: szinusz, koszinusz és tangens. Periódusuk azonos és egyenlő 2π-vel, azaz sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) és így tovább. Természetesen nem a trigonometrikus függvények az egyedüli periodikusak.

Az egyszerű, alapvető függvények esetében csak számítással lehet megállapítani periodicitásukat vagy nem periodicitásukat. Az összetett funkciókhoz azonban már létezik néhány egyszerű szabály.

Ha F(x) T periódusú, és egy derivált van definiálva rá, akkor ez az f(x) = F′(x) derivált is egy T periódusú periodikus függvény. Végül is a derivált értéke a Az x pont egyenlő az antideriválta grafikonjának az x tengely ezen pontjában lévő érintőjével, és mivel az antiderivált periodikusan ismétlődik, a deriváltot is meg kell ismételni. Például a sin(x) függvény deriváltja cos(x), és periodikus. A cos(x) deriváltját véve -sin(x) kapod. A periodicitás változatlan marad.

Ennek fordítottja azonban nem mindig igaz. Így az f(x) = const függvény periodikus, de antideriváltja F(x) = const*x + C nem.

Ha F(x) egy T periódusú periodikus függvény, akkor G(x) = a*F(kx + b), ahol a, b és k állandók, és k nem egyenlő nullával - szintén periodikus függvény, időszaka pedig T/k. Például a sin(2x) egy periodikus függvény, és periódusa π. Vizuálisan ez a következőképpen ábrázolható: x-et valamilyen számmal megszorozva úgy tűnik, hogy a függvény grafikonját vízszintesen pontosan annyiszor tömörítjük

Ha F1(x) és F2(x) periodikus függvények, és periódusuk T1, illetve T2, akkor ezeknek a függvényeknek az összege is lehet periodikus. Ennek periódusa azonban nem a T1 és T2 periódusok egyszerű összege. Ha T1/T2 osztásának eredménye racionális szám, akkor a függvények összege periodikus, periódusa pedig egyenlő a T1 és T2 periódusok legkisebb közös többszörösével (LCM). Például, ha az első függvény periódusa 12, a másodiké pedig 15, akkor összegük periódusa LCM (12, 15) = 60 lesz.

Ez a következőképpen képzelhető el: a függvények különböző „lépésszélességekkel” érkeznek, de ha a szélességük aránya racionális, akkor előbb-utóbb (vagy inkább a lépések LCM-jén keresztül) újra egyenlővé válnak, és összegük új időszakot kezd.

Ha azonban a periódusok aránya irracionális, akkor a teljes függvény egyáltalán nem lesz periodikus. Például legyen F1(x) = x mod 2 (x maradéka osztva 2-vel), és F2(x) = sin(x). T1 itt 2 lesz, T2 pedig 2π. A periódusok aránya egyenlő π-vel - egy irracionális szám. Ezért a sin(x) + x mod 2 függvény nem periodikus.

Cél: a hallgatók ismereteinek általánosítása és rendszerezése a „Funkciók periodicitása” témában; készségek kialakítása a periodikus függvény tulajdonságainak alkalmazásában, a függvény legkisebb pozitív periódusának megtalálásában, a periodikus függvények ábrázolásában; ösztönözze az érdeklődést a matematika tanulmányozása iránt; megfigyelőképességet, pontosságot művelni.

Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, feladatkártyák, diák, órák, díszasztalok, népi kézműves elemek

"A matematika az, amit az emberek a természet és önmaguk irányítására használnak"
A.N. Kolmogorov

Az órák alatt

I. Szervezési szakasz.

A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése. Az óra témájának és célkitűzéseinek bemutatása.

II. Házi feladat ellenőrzése.

A házi feladatokat minták alapján ellenőrizzük, megbeszéljük a legnehezebb pontokat.

III. Az ismeretek általánosítása, rendszerezése.

1. Szóbeli frontális munka.

Elméleti kérdések.

1) Alakítsa ki a függvény periódusának meghatározását!
2) Mi az y=sin(x), y=cos(x) függvények legkisebb pozitív periódusa
3). Mi az y=tg(x), y=ctg(x) függvények legkisebb pozitív periódusa
4) Használja a kört az összefüggések helyességének bizonyítására:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Hogyan ábrázoljunk periodikus függvényt?

szóbeli gyakorlatok.

1) Igazolja a következő összefüggéseket!

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Bizonyítsuk be, hogy az 540º-os szög az y= cos(2x) függvény periódusainak egyike.

3. Igazolja, hogy a 360º-os szög az y=tg(x) függvény egyik periódusa.

4. Alakítsa át ezeket a kifejezéseket úgy, hogy a benne foglalt szögek abszolút értékben ne haladják meg a 90º-ot.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Hol találkoztál az IDŐSZAK, PERIODICITÁS szavakkal?

A hallgatók válaszai: A zenei időszak egy olyan konstrukció, amelyben egy többé-kevésbé teljes zenei gondolat megfogalmazódik. A geológiai időszak egy korszak része, és 35-90 millió éves korszakokra oszlik.

A radioaktív anyag felezési ideje. Periodikus tört. A folyóiratok olyan nyomtatott kiadványok, amelyek szigorúan meghatározott időpontokban jelennek meg. Mengyelejev periódusos rendszere.

6. Az ábrákon a periodikus függvények grafikonjainak részei láthatók. Határozza meg a függvény periódusát. Határozza meg a függvény periódusát!

Válasz: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Életed során hol találkoztál ismétlődő elemek felépítésével?

A tanulók válaszolnak: Díszelemek, népművészet.

IV. Kollektív problémamegoldás.

(Problémamegoldás a diákon.)

Tekintsük a függvény periodicitás vizsgálatának egyik módját.

Ez a módszer megkerüli azokat a nehézségeket, amelyek annak bizonyításával járnak, hogy egyik vagy másik periódus a legkisebb, és nincs szükség a periódusos függvények aritmetikai műveleteire és a komplex függvény periodicitására vonatkozó kérdésekre. Az érvelés csak egy periodikus függvény definícióján és a következő tényen alapul: ha T a függvény periódusa, akkor nT(n? 0) a periódusa.

1. feladat Keresse meg az f(x)=1+3(x+q>5) függvény legkisebb pozitív periódusát!

Megoldás: Tegyük fel, hogy ennek a függvénynek a T-periódusa. Ekkor f(x+T)=f(x) minden x ∈ D(f) esetén, azaz.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Legyen x=-0,25 kapjuk

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Megállapítottuk, hogy a vizsgált függvény összes periódusa (ha létezik) egész számok közé tartozik. Válassza ki ezek közül a számok közül a legkisebb pozitív számot. Ez 1 . Nézzük meg, hogy valóban egy időszakról van-e szó 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Mivel (T+1)=(T) bármely T esetén, akkor f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), azaz. 1 - f időszak. Mivel az 1 a legkisebb pozitív egész szám, akkor T=1.

2. feladat Mutassuk meg, hogy az f(x)=cos 2 (x) függvény periodikus, és keressük meg a főperiódusát!

3. feladat Keresse meg a függvény fő periódusát!

f(x)=sin(1,5x)+5 cos (0,75x)

Tegyük fel a függvény T-periódusát, majd bármelyikre x az arány

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ha x=0, akkor

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ha x=-T, akkor

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Összeadva a következőket kapjuk:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Válasszuk ki a periódusra vonatkozó „gyanús” számok közül a legkisebb pozitívat, és nézzük meg, hogy f-nek van-e pontja. Ez a szám

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Ezért az f függvény fő periódusa.

4. feladat Ellenőrizze, hogy az f(x)=sin(x) függvény periodikus-e!

Legyen T az f függvény periódusa. Akkor bármelyik x-hez

sin|x+T|=sin|x|

Ha x=0, akkor sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Tegyük fel. Hogy néhány n esetén a π n szám egy periódus

figyelembe vett π n>0 függvény. Ekkor sin|π n+x|=sin|x|

Ez azt jelenti, hogy n-nek egyszerre párosnak és páratlannak kell lennie, ami lehetetlen. Ezért ez a függvény nem periodikus.

5. feladat Ellenőrizze, hogy a függvény periodikus-e

f(x)=

Legyen T az f periódus

, tehát sinT=0, T=π n, n ∈ Z. Tegyük fel, hogy valamilyen n esetén a π n szám valóban az adott függvény periódusa. Ekkor a 2π n szám is pont lesz

Mivel a számlálók egyenlőek, így a nevezőik is egyenlőek, tehát

Ezért az f függvény nem periodikus.

Csoportmunka.

Feladatok az 1. csoportnak.

A 2. csoport feladatai.

Ellenőrizze, hogy az f függvény periodikus-e, és keresse meg a főperiódusát (ha létezik).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

A 3. csoport feladatai.

A munka végén a csoportok bemutatják megoldásaikat.

VI. Összegezve a tanulságot.

Visszaverődés.

A tanár rajzokkal ellátott kártyákat ad a tanulóknak, és felajánlja, hogy az első rajz egy részét fessék le, annak megfelelően, hogy – úgy tűnik – mennyire elsajátították a függvény periodicitás vizsgálatának módszereit, illetve a második rajz egy részét. , a leckében végzett munkához való hozzájárulásuknak megfelelően.

VII. Házi feladat

egy). Ellenőrizze, hogy az f függvény periodikus-e, és keresse meg a fő periódusát (ha létezik)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Az y=f(x) függvény periódusa T=2 és f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]. Keresse meg a -2f(-3)-4f(3,5) kifejezés értékét

Irodalom/

1. Mordkovich A.G. Algebra és az elemzés kezdete mélyreható tanulmányozással.
2. Matematika. Felkészülés a vizsgára. Szerk. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra és kezdeti elemzés 10-11.