लघुगणकीय समीकरणएक समीकरण कहा जाता है जिसमें अज्ञात (x) और इसके साथ भाव एक लघुगणक समारोह के संकेत के तहत होते हैं। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना यह मानता है कि आप और से पहले से ही परिचित हैं।
लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल करें?

सरलतम समीकरण है लॉग ए एक्स = बी, जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं, x अज्ञात है।
लघुगणकीय समीकरण को हल करना x = a b प्रदान किया गया है: a> 0, a 1।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि x लघुगणक के बाहर कहीं है, उदाहरण के लिए लॉग 2 x \u003d x-2, तो ऐसे समीकरण को पहले से ही मिश्रित कहा जाता है और इसे हल करने के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

आदर्श मामला तब होता है जब आप एक समीकरण में आते हैं जिसमें केवल संख्याएँ लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत होती हैं, उदाहरण के लिए x + 2 \u003d log 2 2। यहाँ इसे हल करने के लिए लघुगणक के गुणों को जानना पर्याप्त है। लेकिन ऐसा भाग्य अक्सर नहीं होता है, इसलिए अधिक कठिन चीजों के लिए तैयार रहें।

लेकिन पहले, आइए सरल समीकरणों के साथ शुरू करें। उन्हें हल करने के लिए, लघुगणक का सबसे सामान्य विचार होना वांछनीय है।

सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करना

इनमें लॉग 2 x \u003d लॉग 2 16 जैसे समीकरण शामिल हैं। यह नग्न आंखों से देखा जा सकता है कि लघुगणक के चिह्न को छोड़ कर हमें x \u003d 16 मिलता है।

एक अधिक जटिल लॉगरिदमिक समीकरण को हल करने के लिए, आमतौर पर एक साधारण बीजगणितीय समीकरण के समाधान के लिए या सबसे सरल लॉगरिदमिक समीकरण के समाधान के लिए x = b लॉग करें। सबसे सरल समीकरणों में, यह एक गति में होता है, यही कारण है कि उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।

लघुगणक को छोड़ने की उपरोक्त विधि लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक है। गणित में, इस संक्रिया को विभव कहते हैं। इस तरह के संचालन के लिए कुछ नियम या प्रतिबंध हैं:

• लघुगणक के समान संख्यात्मक आधार होते हैं
• समीकरण के दोनों भागों में लघुगणक मुक्त हैं, अर्थात बिना किसी गुणांक और अन्य विभिन्न प्रकार के भावों के।

मान लीजिए कि समीकरण लॉग 2 x \u003d 2लॉग 2 (1- x) में, पोटेंशिएशन लागू नहीं है - दाईं ओर गुणांक 2 अनुमति नहीं देता है। निम्नलिखित उदाहरण में, लॉग 2 एक्स + लॉग 2 (1 - एक्स) = लॉग 2 (1 + एक्स) प्रतिबंधों में से एक भी संतुष्ट नहीं है - बाईं ओर दो लघुगणक हैं। वह एक होगा - एक पूरी तरह से अलग मामला!

सामान्य तौर पर, आप लघुगणक को केवल तभी हटा सकते हैं जब समीकरण का रूप हो:

लॉग ए (...) = लॉग ए (...)

बिल्कुल कोई भी भाव कोष्ठक में हो सकता है, यह पोटेंशिएशन ऑपरेशन को बिल्कुल प्रभावित नहीं करता है। और लघुगणक के उन्मूलन के बाद, एक सरल समीकरण बना रहेगा - रैखिक, द्विघात, घातीय, आदि, जो आप पहले से ही, मुझे आशा है, जानते हैं कि कैसे हल करना है।

आइए एक और उदाहरण लें:

लॉग 3 (2x-5) = लॉग 3 एक्स

पोटेंशिएशन लागू करने पर, हमें मिलता है:

लॉग 3 (2x-1) = 2

लघुगणक की परिभाषा के आधार पर, अर्थात्, लघुगणक वह संख्या है जिसके आधार को एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए जो कि लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है, अर्थात। (4x-1), हम प्राप्त करते हैं:

हमें फिर से एक अच्छा जवाब मिला। यहां हमने लॉगरिदम के उन्मूलन के बिना किया, लेकिन पोटेंशिएशन यहां भी लागू होता है, क्योंकि लॉगरिदम किसी भी संख्या से बनाया जा सकता है, और ठीक वही जिसकी हमें आवश्यकता है। लघुगणकीय समीकरणों और विशेषकर असमिकाओं को हल करने में यह विधि बहुत सहायक है।

आइए हमारे लॉगरिदमिक समीकरण लॉग 3 (2x-1) = 2 को पोटेंशिएशन का उपयोग करके हल करें:

आइए संख्या 2 को एक लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें, उदाहरण के लिए, ऐसे लॉग 3 9, क्योंकि 3 2 =9।

फिर log 3 (2x-1) = log 3 9 और फिर से हमें वही समीकरण 2x-1 = 9 मिलता है। मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है।

इसलिए हमने देखा कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जो वास्तव में बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि लघुगणकीय समीकरणों का समाधान, यहां तक ​​कि सबसे भयानक और टेढ़े-मेढ़े भी, अंत में हमेशा सबसे सरल समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

हमने ऊपर जो कुछ भी किया है, उसमें हमने एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात को नज़रअंदाज़ कर दिया है, जो भविष्य में निर्णायक भूमिका निभाएगी। तथ्य यह है कि किसी भी लघुगणकीय समीकरण का समाधान, यहां तक ​​कि सबसे प्रारंभिक भी, दो समान भागों से बना होता है। पहला समीकरण का समाधान है, दूसरा स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र (ओडीवी) के साथ काम कर रहा है। यह केवल पहला भाग है जिसमें हमें महारत हासिल है। उपरोक्त उदाहरणों में, ODD किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए हमने इस पर विचार नहीं किया।

आइए एक और उदाहरण लें:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

बाह्य रूप से, यह समीकरण प्राथमिक एक से अलग नहीं है, जिसे बहुत सफलतापूर्वक हल किया गया है। लेकिन यह वैसा नहीं है। नहीं, निश्चित रूप से हम इसे हल कर लेंगे, लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि यह गलत होगा, क्योंकि इसमें एक छोटा सा घात है, जिसमें सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र दोनों तुरंत गिर जाते हैं। आइए इसे करीब से देखें।

मान लीजिए कि आपको समीकरण की जड़ या जड़ों का योग खोजने की आवश्यकता है, यदि कई हैं:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

हम पोटेंशिएशन लागू करते हैं, यहां इसकी अनुमति है। नतीजतन, हम सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं।

हम समीकरण की जड़ें पाते हैं:

दो जड़ें हैं।

उत्तर: 3 और -1

पहली नजर में सबकुछ सही है। लेकिन आइए परिणाम की जांच करें और इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

चलिए x 1 = 3 से शुरू करते हैं:

लॉग 3 6 = लॉग 3 6

जाँच सफल रही, अब कतार x 2 = -1:

लॉग 3 (-2) = लॉग 3 (-2)

हाँ, रुक जाओ! बाह्य रूप से, सब कुछ परिपूर्ण है। एक क्षण - ऋणात्मक संख्याओं से कोई लघुगणक नहीं है! और इसका मतलब है कि जड़ x \u003d -1 हमारे समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। और इसलिए सही उत्तर 3 होगा, 2 नहीं, जैसा कि हमने लिखा है।

यहीं पर ODZ ने अपनी घातक भूमिका निभाई, जिसे हम भूल गए।

मैं आपको याद दिला दूं कि स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र के तहत, x के ऐसे मान स्वीकार किए जाते हैं जो मूल उदाहरण के लिए अनुमत या समझ में आते हैं।

ODZ के बिना, किसी भी समीकरण का कोई भी समाधान, यहां तक ​​कि बिल्कुल सही भी, लॉटरी में बदल जाता है - 50/50।

प्रतीत होने वाले प्रारंभिक उदाहरण को हल करते समय हम कैसे पकड़े जा सकते हैं? और यहाँ यह पोटेंशिएशन के क्षण में है। लघुगणक चले गए हैं, और उनके साथ सभी सीमाएं।

ऐसे में क्या करें? लघुगणकों को हटाने से इंकार? और इस समीकरण के हल को पूरी तरह छोड़ दें?

नहीं, हम बस, एक मशहूर गाने के असली नायकों की तरह घूमेंगे!

किसी लघुगणकीय समीकरण को हल करने से पहले हम ODZ लिखेंगे। लेकिन उसके बाद, आप हमारे समीकरण के साथ जो चाहें कर सकते हैं। उत्तर प्राप्त करने के बाद, हम बस उन जड़ों को बाहर फेंक देते हैं जो हमारे ODZ में शामिल नहीं हैं, और अंतिम संस्करण लिख दें।

अब तय करते हैं कि ODZ कैसे लिखना है। ऐसा करने के लिए, हम मूल समीकरण की सावधानी से जांच करते हैं और उसमें संदिग्ध स्थानों की तलाश करते हैं, जैसे कि x द्वारा विभाजन, एक समान डिग्री की जड़, आदि। जब तक हमने समीकरण को हल नहीं किया है, तब तक हम नहीं जानते हैं कि x किसके बराबर है, लेकिन हम यह सुनिश्चित करने के लिए जानते हैं कि ऐसे x, जो प्रतिस्थापित करते समय, 0 से विभाजन देंगे या किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालेंगे, स्पष्ट रूप से उपयुक्त नहीं हैं उत्तर के लिए। इसलिए, ऐसे एक्स अस्वीकार्य हैं, जबकि बाकी ओडीजेड का गठन करेंगे।

आइए फिर से उसी समीकरण का उपयोग करें:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 0 से कोई विभाजन नहीं है, कोई वर्गमूल भी नहीं है, लेकिन लघुगणक के शरीर में x के साथ व्यंजक हैं। हम तुरंत याद करते हैं कि लघुगणक के अंदर का व्यंजक हमेशा > 0 होना चाहिए। यह स्थिति ODZ के रूप में लिखी जाती है:

वे। हमने अभी तक कुछ भी हल नहीं किया है, लेकिन हमने पहले ही संपूर्ण उपलघुगणकीय अभिव्यक्ति के लिए एक अनिवार्य शर्त लिख दी है। घुंघराले ब्रेस का मतलब है कि इन शर्तों को एक ही समय में पूरा किया जाना चाहिए।

ODZ लिख दिया गया है, लेकिन परिणामी असमानताओं की प्रणाली को हल करना भी आवश्यक है, जो हम करेंगे। हमें उत्तर x> v3 मिलता है। अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि कौन सा x हमें सूट नहीं करेगा। और फिर हम लघुगणकीय समीकरण को ही हल करना शुरू करते हैं, जो हमने ऊपर किया था।

उत्तर x 1 \u003d 3 और x 2 \u003d -1 प्राप्त करने के बाद, यह देखना आसान है कि केवल x1 \u003d 3 हमारे लिए उपयुक्त है, और हम इसे अंतिम उत्तर के रूप में लिखते हैं।

भविष्य के लिए, निम्नलिखित को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है: हम किसी भी लघुगणकीय समीकरण को 2 चरणों में हल करते हैं। पहला - हम समीकरण को ही हल करते हैं, दूसरा - हम ODZ की स्थिति को हल करते हैं। दोनों चरणों को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से निष्पादित किया जाता है और केवल उत्तर लिखते समय तुलना की जाती है, अर्थात। हम सभी अनावश्यक को त्याग देते हैं और सही उत्तर लिखते हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम दृढ़ता से वीडियो देखने की सलाह देते हैं:

वीडियो में, लॉग हल करने के अन्य उदाहरण। समीकरण और अभ्यास में अंतराल की विधि का काम करना।

इस विषय पर, लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल करेंसब कुछ तक। अगर लॉग के निर्णय के अनुसार कुछ। समीकरण अस्पष्ट या समझ से बाहर रहे, अपने प्रश्न टिप्पणियों में लिखें।

नोट: सामाजिक शिक्षा अकादमी (केएसयूई) नए छात्रों को स्वीकार करने के लिए तैयार है।

लघुगणकीय समीकरण। सरल से जटिल तक।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

लघुगणकीय समीकरण क्या है?

यह लघुगणक के साथ एक समीकरण है। मैं हैरान था, है ना?) फिर मैं स्पष्ट करूँगा। यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक हैं लघुगणक के अंदर।और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं लघुगणकीय समीकरण:

लॉग 3 एक्स = लॉग 3 9

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

लॉग एक्स + 1 (एक्स 2 + 3x-7) = 2

एलजी 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

खैर, आप विचार समझ गए... )

टिप्पणी! एक्स के साथ सबसे विविध भाव स्थित हैं विशेष रूप से लघुगणक के अंदर।अगर अचानक कहीं समीकरण में x मिल जाए बाहर, उदाहरण के लिए:

लॉग 2 x = 3+x,

यह मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के स्पष्ट नियम नहीं होते। अभी हम उन पर विचार नहीं करेंगे। वैसे, वहाँ समीकरण हैं जहाँ लघुगणक के अंदर केवल संख्याएँ. उदाहरण के लिए:

मुझे क्या कहना चाहिए? यदि आप इस पार आ गए तो आप भाग्यशाली हैं! संख्याओं के साथ लघुगणक है कुछ संख्या।और बस। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए लघुगणक के गुणों को जानना पर्याप्त है। विशेष नियमों का ज्ञान, विशेष रूप से हल करने के लिए अनुकूलित तकनीकें लघुगणकीय समीकरण,यहाँ की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, एक लघुगणकीय समीकरण क्या है- ढ़ूँढ निकाला।

लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल करें?

समाधान लघुगणकीय समीकरण- एक बात, सामान्य तौर पर, बहुत सरल नहीं है। तो हमारे पास जो खंड है वह चार के लिए है ... सभी प्रकार के संबंधित विषयों पर ज्ञान की एक अच्छी आपूर्ति की आवश्यकता है। इसके अलावा, इन समीकरणों में एक विशेष विशेषता है। और यह सुविधा इतनी महत्वपूर्ण है कि इसे लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में सुरक्षित रूप से मुख्य समस्या कहा जा सकता है। हम अगले पाठ में इस समस्या से विस्तार से निपटेंगे।

अब, चिंता मत करो। हम सही रास्ते पर चलेंगे सरल से जटिल तक।विशिष्ट उदाहरणों पर। मुख्य बात यह है कि सरल चीजों में तल्लीन करना और लिंक का पालन करने में आलस्य न करें, मैंने उन्हें एक कारण के लिए रखा है... और आप सफल होंगे। अनिवार्य रूप से।

आइए सबसे प्रारंभिक, सबसे सरल समीकरणों से शुरू करें। उन्हें हल करने के लिए, लघुगणक के बारे में एक विचार होना वांछनीय है, लेकिन इससे अधिक कुछ नहीं। बस पता नहीं लोगारित्मनिर्णय लें लघुगणकसमीकरण - किसी भी तरह शर्मनाक ... बहुत बोल्ड, मैं कहूंगा)।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण।

ये रूप के समीकरण हैं:

1. लॉग 3 एक्स = लॉग 3 9

2. लॉग 7 (2x-3) = लॉग 7 एक्स

3. लॉग 7 (50x-1) = 2

समाधान प्रक्रिया कोई लघुगणकीय समीकरणलघुगणक वाले समीकरण से उनके बिना समीकरण में संक्रमण शामिल है। सरलतम समीकरणों में, यह संक्रमण एक चरण में किया जाता है। इसलिए यह सरल है।)

और ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को आश्चर्यजनक रूप से सरलता से हल किया जाता है। अपने लिए देखलो।

आइए पहले उदाहरण को हल करें:

लॉग 3 एक्स = लॉग 3 9

इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको लगभग कुछ भी जानने की ज़रूरत नहीं है, हाँ ... शुद्ध अंतर्ज्ञान!) हम क्या करते हैं विशेष रूप सेयह उदाहरण पसंद नहीं है? कुछ... मुझे लघुगणक पसंद नहीं है! सही। यहां हम उनसे छुटकारा पा लेते हैं। हम उदाहरण को करीब से देखते हैं, और हमारे अंदर एक स्वाभाविक इच्छा पैदा होती है ... सर्वथा अप्रतिरोध्य! लघुगणकों को सामान्य रूप से लें और निकाल दें। और क्या मनभावन है कर सकनाकरना! गणित अनुमति देता है। लघुगणक गायब हो जाते हैंजवाब है:

यह बहुत अच्छा है, है ना? यह (और चाहिए) हमेशा किया जा सकता है। लॉगरिदम को इस तरह से हटाना लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक है। गणित में इस संक्रिया को कहते हैं शक्ति।बेशक, इस तरह के परिसमापन के लिए उनके अपने नियम हैं, लेकिन वे बहुत कम हैं। याद करना:

आप बिना किसी डर के लघुगणकों को समाप्त कर सकते हैं यदि उनके पास:

ए) समान संख्यात्मक आधार

c) बाएँ-दाएँ लघुगणक स्पष्ट हैं (बिना किसी गुणांक के) और शानदार अलगाव में हैं।

मुझे आखिरी बिंदु समझाएं। समीकरण में, कहते हैं

लॉग 3 x = 2लॉग 3 (3x-1)

लघुगणक को हटाया नहीं जा सकता। दाईं ओर ड्यूस अनुमति नहीं देता है। गुणांक, आप जानते हैं ... उदाहरण में

लॉग 3 एक्स + लॉग 3 (एक्स + 1) = लॉग 3 (3 + एक्स)

समीकरण को प्रबल नहीं किया जा सकता है। बाईं ओर कोई अकेला लघुगणक नहीं है। उनमें से दो.

संक्षेप में, आप लघुगणक को हटा सकते हैं यदि समीकरण ऐसा दिखता है और केवल यह:

लॉग ए (.....) = लॉग ए (.....)

कोष्ठक में, जहाँ दीर्घवृत्त हो सकता है किसी भी प्रकार की अभिव्यक्ति।सरल, सुपर जटिल, जो भी हो। जो कुछ भी। महत्वपूर्ण बात यह है कि लघुगणकों को समाप्त करने के बाद, हमारे पास शेष रह जाता है एक सरल समीकरण।बेशक, यह माना जाता है कि आप पहले से ही जानते हैं कि बिना लघुगणक के रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक, चरघातांकी और अन्य समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।)

अब आप दूसरा उदाहरण आसानी से हल कर सकते हैं:

लॉग 7 (2x-3) = लॉग 7 एक्स

दरअसल, यह दिमाग में है। हम प्रबल करते हैं, हमें मिलता है:

खैर, क्या यह बहुत मुश्किल है?) जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणकसमीकरण के समाधान का हिस्सा है केवल लघुगणक के विलोपन में...और फिर उनके बिना शेष समीकरण का समाधान आता है। फालतू का धंधा।

हम तीसरा उदाहरण हल करते हैं:

लॉग 7 (50x-1) = 2

हम देखते हैं कि लघुगणक बाईं ओर है:

हम याद करते हैं कि यह लघुगणक कुछ संख्या है जिसके लिए आधार (अर्थात सात) को उपलघुगणकीय अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए, अर्थात (50x-1)।

लेकिन वह संख्या दो है! समीकरण के अनुसार। वह है:

वह, संक्षेप में, सब है। लोगारित्म गायब हुआहानिरहित समीकरण बना रहता है:

हमने केवल लघुगणक के अर्थ के आधार पर इस लघुगणकीय समीकरण को हल किया है। क्या लॉगरिदम को खत्म करना आसान है?) मैं सहमत हूं। वैसे, अगर आप दो में से एक लघुगणक बनाते हैं, तो आप इस उदाहरण को परिसमापन के माध्यम से हल कर सकते हैं। आप किसी भी संख्या से लघुगणक ले सकते हैं। और जिस तरह से हमें इसकी आवश्यकता है। लघुगणकीय समीकरणों और (विशेष रूप से!) असमानताओं को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी तकनीक।

क्या आप जानते हैं कि किसी संख्या से लघुगणक कैसे बनाया जाता है? कोई बात नहीं। धारा 555 इस तकनीक का विस्तार से वर्णन करती है। आप इसमें महारत हासिल कर सकते हैं और इसे पूरी तरह से लागू कर सकते हैं! यह त्रुटियों की संख्या को बहुत कम करता है।

चौथा समीकरण बिल्कुल उसी तरह हल किया गया है (परिभाषा के अनुसार):

इसके लिए यही सब कुछ है।

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। हमने उदाहरणों का उपयोग करते हुए सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों के हल पर विचार किया। बहुत जरुरी है। और केवल इसलिए नहीं कि ऐसे समीकरण नियंत्रण-परीक्षा पर हैं। तथ्य यह है कि सबसे बुरे और भ्रमित समीकरण भी आवश्यक रूप से सरलतम समीकरणों में बदल जाते हैं!

दरअसल, सरलतम समीकरण समाधान का अंतिम भाग होते हैं कोईसमीकरण। और इस अंतिम भाग को विडंबना से समझना चाहिए! और आगे। इस पेज को अंत तक अवश्य पढ़ें। एक आश्चर्य है...

आइए हम खुद फैसला करें। हम हाथ भरते हैं, इसलिए बोलने के लिए ...)

समीकरणों की जड़ (या जड़ों का योग, यदि कई हैं) खोजें:

एलएन(7x+2) = एलएन(5x+20)

लॉग 2 (x 2 +32) = लॉग 2 (12x)

लॉग 16 (0.5x-1.5) = 0.25

लॉग 0.2 (3x-1) = -3

एलएन (ई 2 + 2x-3) \u003d 2

लॉग 2 (14x) = लॉग 2 7 + 2

उत्तर (बेशक अव्यवस्था में): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

क्या काम नहीं करता है? ह ाेती है। शोक न करें! धारा 555 में, इन सभी उदाहरणों का समाधान स्पष्ट रूप से और विस्तार से वर्णित किया गया है। आपको वहां जरूर पता चलेगा। इसके अलावा, आप उपयोगी व्यावहारिक तकनीकों को सीखेंगे।

सब कुछ काम कर गया !? "एक बाएं" के सभी उदाहरण?) बधाई हो!

यह कड़वा सच आपके सामने प्रकट करने का समय है। इन उदाहरणों का सफल समाधान अन्य सभी लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में सफलता की गारंटी नहीं देता है। ऐसे साधारण भी। काश।

मुद्दा यह है कि किसी भी लघुगणकीय समीकरण (यहां तक ​​​​कि सबसे प्राथमिक एक!) का समाधान होता है दो बराबर भाग।समीकरण का हल, और ODZ के साथ कार्य करें। एक भाग - समीकरण का समाधान ही - हमें महारत हासिल है। इतना भी मुश्किल नहीं हैसही?

इस पाठ के लिए मैंने विशेष रूप से ऐसे उदाहरण चुने हैं जिनमें ODZ किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं करता है। लेकिन हर कोई मेरे जैसा दयालु नहीं है, है ना?...)

इसलिए दूसरे हिस्से पर भी महारत हासिल करना जरूरी है। ओडीजेड। लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में यह मुख्य समस्या है। और इसलिए नहीं कि यह मुश्किल है - यह हिस्सा पहले वाले से भी आसान है। लेकिन क्योंकि वे केवल ODZ के बारे में भूल जाते हैं। या वे नहीं जानते। अथवा दोनों)। और औंधे मुंह गिर जाते हैं...

अगले पाठ में हम इस समस्या से निपटेंगे। तब आत्मविश्वास से निर्णय लेना संभव होगा कोईसरल लॉगरिदमिक समीकरण और काफी ठोस कार्यों के करीब पहुंचें।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

प्राथमिक कक्षाओं के समीकरणों से हम सभी परिचित हैं। वहां भी हमने सबसे सरल उदाहरणों को हल करना सीखा, और यह माना जाना चाहिए कि वे उच्च गणित में भी अपना आवेदन पाते हैं। वर्ग वाले सहित समीकरणों के साथ सब कुछ सरल है। यदि आपको इस विषय के साथ कोई समस्या है, तो हम दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं कि आप इसे पुनः प्रयास करें।

लघुगणक आप शायद पहले ही पार कर चुके हैं। फिर भी, हम यह बताना महत्वपूर्ण समझते हैं कि यह उन लोगों के लिए क्या है जो अभी तक नहीं जानते हैं। लघुगणक उस शक्ति के बराबर होता है जिस तक संख्या को लघुगणक के चिह्न के दाईं ओर लाने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए। आइए एक उदाहरण देते हैं, जिसके आधार पर आपको सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

यदि आप 3 को चौथी शक्ति तक बढ़ाते हैं, तो आपको 81 मिलते हैं। अब संख्याओं को सादृश्य द्वारा प्रतिस्थापित करें, और अंत में आप समझ जाएंगे कि लघुगणक कैसे हल किए जाते हैं। अब यह केवल दो विचारित अवधारणाओं को मिलाने के लिए रह गया है। प्रारंभ में, स्थिति बेहद कठिन लगती है, लेकिन करीब से जांच करने पर वजन कम हो जाता है। हमें यकीन है कि इस छोटे से लेख के बाद आपको परीक्षा के इस भाग में कोई समस्या नहीं होगी।

आज ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। हम यूएसई कार्यों के मामले में सबसे सरल, सबसे प्रभावी और सबसे अधिक लागू होने के बारे में बात करेंगे। लघुगणकीय समीकरणों को हल करना सबसे सरल उदाहरण से शुरू होना चाहिए। सरलतम लघुगणकीय समीकरण में एक फलन और एक चर होता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि x तर्क के अंदर है। ए और बी नंबर होने चाहिए। इस मामले में, आप केवल एक शक्ति में एक संख्या के संदर्भ में कार्य को व्यक्त कर सकते हैं। यह इस तरह दिख रहा है।

बेशक, इस तरह से लॉगरिदमिक समीकरण को हल करने से आपको सही उत्तर मिल जाएगा। लेकिन इस मामले में अधिकांश छात्रों की समस्या यह है कि वे यह नहीं समझ पाते हैं कि यह क्या और कहां से आता है। नतीजतन, आपको गलतियों को सहना पड़ता है और वांछित अंक नहीं मिलते हैं। यदि आप अक्षरों को स्थानों पर मिलाते हैं तो सबसे आक्रामक गलती होगी। इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको इस मानक विद्यालय सूत्र को याद करने की आवश्यकता है, क्योंकि इसे समझना कठिन है।

इसे आसान बनाने के लिए, आप दूसरी विधि का सहारा ले सकते हैं - विहित रूप। विचार अत्यंत सरल है। कार्य पर फिर से ध्यान दें। याद रखें कि अक्षर a एक संख्या है, कोई फ़ंक्शन या चर नहीं है। A एक के बराबर नहीं है और शून्य से बड़ा है। बी पर कोई प्रतिबंध नहीं है। अब सभी सूत्रों में से, हम एक को याद करते हैं। बी को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

इससे यह पता चलता है कि लघुगणक के साथ सभी मूल समीकरणों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

अब हम लघुगणकों को त्याग सकते हैं। नतीजा एक साधारण निर्माण है, जिसे हम पहले ही देख चुके हैं।

इस फॉर्मूले की सुविधा इस तथ्य में निहित है कि इसका उपयोग विभिन्न मामलों में किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल डिजाइनों के लिए।

ओओएफ के बारे में चिंता मत करो!

कई अनुभवी गणितज्ञ देखेंगे कि हमने परिभाषा के क्षेत्र पर ध्यान नहीं दिया है। नियम इस तथ्य पर खरा उतरता है कि F(x) आवश्यक रूप से 0 से बड़ा है। नहीं, हम इस बिंदु से चूके नहीं हैं। अब हम विहित रूप के एक और गंभीर लाभ के बारे में बात कर रहे हैं।

यहां कोई अतिरिक्त जड़ें नहीं होंगी। यदि चर केवल एक ही स्थान पर होगा, तो दायरा आवश्यक नहीं है। यह अपने आप चलता है। इस निर्णय को सत्यापित करने के लिए, कुछ सरल उदाहरणों को हल करने पर विचार करें।

विभिन्न आधारों वाले लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल करें

ये पहले से ही जटिल लघुगणकीय समीकरण हैं, और उनके समाधान के लिए दृष्टिकोण विशेष होना चाहिए। यहां खुद को कुख्यात विहित रूप तक सीमित रखना शायद ही संभव हो। चलिए शुरू करते हैं हमारी विस्तृत कहानी। हमारे पास निम्नलिखित निर्माण है।

अंश पर ध्यान दें। इसमें लघुगणक होता है। यदि आप इसे कार्य में देखते हैं, तो यह एक दिलचस्प चाल को याद रखने योग्य है।

इसका मतलब क्या है? प्रत्येक लघुगणक को एक सुविधाजनक आधार के साथ दो लघुगणकों के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। और इस सूत्र का एक विशेष मामला है जो इस उदाहरण पर लागू होता है (हमारा मतलब है अगर सी = बी)।

ठीक यही हम अपने उदाहरण में देखते हैं। इस प्रकार।

वास्तव में, उन्होंने अंश को पलट दिया और अधिक सुविधाजनक अभिव्यक्ति प्राप्त की। इस एल्गोरिथम को याद रखें!

अब हमें आवश्यकता है कि लघुगणकीय समीकरण में भिन्न आधार न हों। आधार को भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं।

गणित में एक नियम है, जिसके आधार पर आप डिग्री को आधार से निकाल सकते हैं। यह निम्नलिखित निर्माण निकला।

ऐसा लगता है कि अब हमें अपनी अभिव्यक्ति को एक विहित रूप में बदलने और इसे प्राथमिक रूप से हल करने से क्या रोकता है? इतना आसान नहीं। लघुगणक से पहले कोई अंश नहीं होना चाहिए। आइए इस स्थिति को ठीक करें! एक अंश को डिग्री के रूप में निकालने की अनुमति है।

क्रमश।

यदि आधार समान हैं, तो हम लघुगणकों को हटा सकते हैं और स्वयं व्यंजकों की बराबरी कर सकते हैं। तो स्थिति पहले से कई गुना आसान हो जाएगी। एक प्रारंभिक समीकरण होगा जिसे हम में से प्रत्येक जानता था कि 8वीं या 7वीं कक्षा में कैसे हल करना है। आप गणना स्वयं कर सकते हैं।

हमें इस लघुगणकीय समीकरण का एकमात्र सही मूल मिला है। लघुगणकीय समीकरण को हल करने के उदाहरण काफी सरल हैं, है ना? अब आप स्वतंत्र रूप से परीक्षा की तैयारी करने और पास करने के सबसे कठिन कार्यों को भी स्वतंत्र रूप से करने में सक्षम होंगे।

इसका परिणाम क्या है?

किसी भी लघुगणकीय समीकरण के मामले में, हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम से आगे बढ़ते हैं। अभिव्यक्ति को सबसे सरल रूप में लाने के लिए इस तरह से कार्य करना आवश्यक है। इस मामले में, आपके पास न केवल समस्या को सही ढंग से हल करने के लिए, बल्कि इसे सबसे सरल और सबसे तार्किक तरीके से करने के अधिक मौके होंगे। इसी तरह गणितज्ञ हमेशा काम करते हैं।

हम दृढ़ता से अनुशंसा नहीं करते हैं कि आप कठिन रास्तों की तलाश करें, विशेष रूप से इस मामले में। कुछ सरल नियमों को याद रखें जो आपको किसी भी अभिव्यक्ति को बदलने की अनुमति देंगे I उदाहरण के लिए, एक ही आधार पर दो या तीन लघुगणक लाएँ, या आधार से एक शक्ति लें और उस पर जीत हासिल करें।

यह भी याद रखने योग्य है कि लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में आपको लगातार प्रशिक्षित करने की आवश्यकता है। धीरे-धीरे, आप अधिक से अधिक जटिल संरचनाओं की ओर बढ़ेंगे, और यह आपको परीक्षा में समस्याओं के सभी विकल्पों को आत्मविश्वास से हल करने की ओर ले जाएगा। अपनी परीक्षाओं की तैयारी पहले से ही कर लें, और शुभकामनाएँ!

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा करते हैं, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय कानून आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ वीरसेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहाँ बोझिल गुणन को सरल जोड़ में सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप की एक अभिव्यक्ति है: log a b = c, अर्थात, किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का लघुगणक (अर्थात, कोई धनात्मक) "b" को उसके आधार "a" के अनुसार "c" की शक्ति माना जाता है। ", जिसके लिए आधार "ए" को उठाना आवश्यक है, ताकि अंत में "बी" मूल्य प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति लॉग 2 8 है। उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी डिग्री खोजने की आवश्यकता है कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8. आपके दिमाग में कुछ गणनाएँ करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही तो है, क्योंकि 2 की घात 3 उत्तर में 8 अंक देती है।

लघुगणक की किस्में

कई छात्रों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझें और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखें। लघुगणकीय व्यंजकों के तीन अलग-अलग प्रकार हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. आधार a>1 के लिए किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें सरलीकरण, कमी और लॉगरिदमिक प्रमेय का उपयोग करके एक लॉगरिदम में बाद में कमी शामिल है। लघुगणकों के सही मान प्राप्त करने के लिए, उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम डिग्री का मूल निकालना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि कैसे लंबे और कैपेसिटिव लॉगरिदमिक एक्सप्रेशंस के साथ भी काम करना है:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से अधिक होना चाहिए, और एक ही समय में 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री के लिए हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से अधिक होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने के लिए कार्य दिया गया था। यह बहुत आसान है, आपको ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है, जो संख्या दस को बढ़ाकर हमें 100 मिलती है। यह निश्चित रूप से 10 है 2 \u003d 100।

अब आइए इस व्यंजक को लघुगणकीय व्यंजक के रूप में निरूपित करें। हमें log 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए लघुगणक का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम करना है। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है, तो कुछ प्रतिपादकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, बड़े मूल्यों के लिए एक पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c = b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, 10 नंबर वाली पहली सेल लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो कि हमारी दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, प्रतिपादक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 = 81 को आधार 3 पर 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 प्राप्त होता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब देखते हैं कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की एक अभिव्यक्ति दी गई है: log 2 (x-1) > 3 - यह एक लघुगणकीय असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = √9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की श्रेणी स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। नतीजतन, उत्तर अलग-अलग संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, लेकिन एक निरंतर श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुण ज्ञात नहीं हो सकते हैं। हालाँकि, जब लघुगणकीय समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लघुगणक के सभी मूल गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक संपत्ति का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल सर्वसमिका इस प्रकार दिखाई देती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो, और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2। इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: d, s 1 और s 2 > 0; एक≠1। आप लघुगणक के इस सूत्र की उपपत्ति उदाहरणों और हल के साथ दे सकते हैं। मान लीजिए log a s 1 = f 1 और log a s 2 = f 2 , तो a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: log a (s 1 *s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log as 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्न रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री की संपत्ति" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्रियों के गुणों से मिलता-जुलता है, और इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सारा गणित नियमित अभिधारणाओं पर टिका होता है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t होने दें, यह t \u003d b निकला। यदि आप दोनों भागों की घात m: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए log a q b n = (n*t)/t, तो log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे सामान्य प्रकार की लघुगणक समस्याएँ समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश लेने या गणित में प्रवेश परीक्षा पास करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, तथापि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल या सामान्य रूप में कम किया जा सकता है। यदि आप उनके गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं, तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए जल्द ही उनके बारे में जानें।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक अभिव्यक्ति के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या एक दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य पर उबलता है कि आपको उस डिग्री को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिस पर आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणकों के समाधान के लिए, किसी को लघुगणकीय सर्वसमिकाओं या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के एक बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को फ़ैक्टराइज़ करना और फिर लघुगणक के चिह्न से घातांक मानों को निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में लघुगणकीय समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (परीक्षा का सबसे आसान परीक्षण भाग) में मौजूद होते हैं, बल्कि भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी मौजूद होते हैं। परीक्षा में "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान शामिल है।

परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से उदाहरण और समस्या समाधान लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. हल:
लॉग 2 (2x-1) = 2 2 , लघुगणक की परिभाषा के अनुसार इसे थोड़ा सरल करते हुए, हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं, हम पाते हैं कि 2x-1 = 2 4 , इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणकों को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रामक न हो।
• लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत सभी भावों को धनात्मक के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए, व्यंजक के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के अंतर्गत बची हुई अभिव्यक्ति धनात्मक होनी चाहिए।

इस वीडियो के साथ, मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूँ। अब आपके पास एक साथ तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सरलतम कार्यों को हल करना सीखेंगे, जिन्हें ऐसा कहा जाता है - प्रोटोजोआ.

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग इन करें एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि चर x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, यानी केवल फलन f(x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में वेरिएबल x वाले फ़ंक्शंस नहीं हैं।

मूल समाधान के तरीके

ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल में अधिकांश शिक्षक इस तरह से सुझाव देते हैं: सूत्र का उपयोग करके फलन f ( x ) को तुरंत व्यक्त करें एफ( एक्स) = एक ख। यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण पूरा करते हैं, तो आप अतिरिक्त कार्यों और निर्माणों के बिना तुरंत समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हां, निश्चय ही निर्णय सही निकलेगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आया है और वास्तव में हम अक्षर a को अक्षर b में क्यों बढ़ाते हैं।

नतीजतन, मैं अक्सर बहुत आक्रामक त्रुटियों का निरीक्षण करता हूं, उदाहरण के लिए, इन अक्षरों को आपस में बदल दिया जाता है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या याद रखना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुचित और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में त्रुटियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षा आदि में।

यही कारण है कि मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल के फार्मूले को छोड़ने और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जैसा कि आपने शायद नाम से अनुमान लगाया है, कहा जाता है कानूनी फॉर्म.

विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपने कार्य को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास log a है, जबकि अक्षर a का अर्थ बिल्कुल संख्या है, और किसी भी स्थिति में चर x वाले फ़ंक्शन नहीं है। इसलिए, यह पत्र लघुगणक के आधार पर लगाए गए सभी प्रतिबंधों के अधीन है। अर्थात्:

1 ≠ ए > 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से, हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या b के बराबर होना चाहिए, और इस अक्षर पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि फ़ंक्शन f(x) क्या मान लेता है।

और यहाँ हम अपने अद्भुत नियम को याद करते हैं कि किसी भी संख्या b को आधार a से b की शक्ति के लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए बी

इस सूत्र को कैसे याद करें? हाँ, बहुत ही सरल। आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

बेशक, इस मामले में, वे सभी प्रतिबंध जो हमने शुरुआत में लिखे थे, उत्पन्न होते हैं। और अब हम लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करते हैं, और कारक b को a की शक्ति के रूप में दर्ज करते हैं। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए बी

नतीजतन, मूल समीकरण निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जाएगा:

log a f (x) = log a b → f (x) = a b

बस इतना ही। नए फ़ंक्शन में अब लघुगणक नहीं है और इसे मानक बीजगणितीय तकनीकों द्वारा हल किया गया है।

बेशक, अब कोई आपत्ति करेगा: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, दो अतिरिक्त अनावश्यक कदम क्यों उठाएं, यदि मूल निर्माण से तुरंत अंतिम सूत्र तक जाना संभव था? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह सूत्र कहां से आता है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियां करते हैं।

लेकिन क्रियाओं का ऐसा क्रम, जिसमें तीन चरण होते हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आप यह नहीं समझते हों कि वह अंतिम सूत्र कहां से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग इन एफ (एक्स) = लॉग ए बी

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लघुगणकीय समीकरणों के एक बहुत व्यापक वर्ग को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल उन सबसे सरल समीकरणों के लिए जिन पर हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान उदाहरण

अब आइए वास्तविक उदाहरण देखें। तो चलिए तय करते हैं:

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लॉग 0.5 (3x − 1) = लॉग 0.5 0.5 −3

कई छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमें जो घात मिला है, उस संख्या को तुरंत 0.5 तक बढ़ाने की कोशिश करते हैं। और वास्तव में, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत इस चरण को कर सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो बेहतर है कि कहीं भी जल्दबाजी न करें, ताकि आपत्तिजनक गलतियाँ न हों। तो हमारे पास विहित रूप है। अपने पास:

3x - 1 = 0.5 -3

यह अब लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए सबसे पहले संख्या 0.5 की घात -3 से निपटें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय सभी दशमलवों को भिन्नों में बदलें।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x - 1 = 8
3x = 9
एक्स = 3

हम सभी को जवाब मिल गया। पहला कार्य हल हो गया है।

दूसरा कार्य

चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं है। यदि केवल इसलिए कि अंतर बाईं ओर है, और एक आधार में एक लघुगणक नहीं है।

इसलिए, आपको किसी तरह इस अंतर से छुटकारा पाने की जरूरत है। इस मामले में सब कुछ बेहद सरल है। आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर मूल के नीचे की संख्या है:

सामान्य सिफारिश: सभी लॉगरिदमिक समीकरणों में, रेडिकल्स से छुटकारा पाने की कोशिश करें, अर्थात, जड़ों के साथ प्रविष्टियों से और शक्ति कार्यों पर आगे बढ़ें, क्योंकि इन शक्तियों के घातांक आसानी से लघुगणक के चिह्न से बाहर हो जाते हैं और अंततः, ऐसे एक संकेतन गणनाओं को बहुत सरल और गति देता है। आइए इसे इस प्रकार लिखें:

अब हम लघुगणक की उल्लेखनीय संपत्ति को याद करते हैं: तर्क से, साथ ही आधार से, आप डिग्री निकाल सकते हैं। ठिकानों के मामले में, निम्न होता है:

लॉग ए के बी = 1/के लॉग बी

दूसरे शब्दों में, आधार की डिग्री में खड़ी संख्या को आगे लाया जाता है और उसी समय उलट दिया जाता है, अर्थात यह संख्या का व्युत्क्रम बन जाता है। हमारे मामले में, 1/2 के संकेतक के साथ आधार की डिग्री थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लॉग 5 x - लॉग 5 x = 18
10 लॉग 5 x - लॉग 5 x = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी स्थिति में आपको इस चरण पर लघुगणकों से छुटकारा नहीं पाना चाहिए। ग्रेड 4-5 के गणित और संक्रियाओं के क्रम पर विचार करें: गुणा पहले किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक ही तत्व घटाते हैं:

9 लॉग 5 x = 18
लॉग 5 एक्स = 2

अब हमारा समीकरण ऐसा दिखता है जैसे इसे होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:

लॉग 5 एक्स = लॉग 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरी समस्या हल हो गई है।

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

निम्नलिखित सूत्र को याद करें:

लॉग बी = लॉग 10 बी

यदि किसी कारण से आप lg b लिखने में भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय, आप केवल log 10 b लिख सकते हैं। आप दशमलव लघुगणक के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे अन्य के साथ: शक्तियों को निकालें, जोड़ें, और lg 10 के रूप में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करें।

यह ठीक यही गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल गुण नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

आरंभ करने के लिए, ध्यान दें कि lg 5 से पहले का कारक 2 डाला जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाता है। इसके अलावा, मुक्त शब्द 3 को लघुगणक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे अंकन से निरीक्षण करना बहुत आसान है।

खुद के लिए न्यायाधीश: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लॉग 10 10 3 = लॉग 10 3

प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 + एलजी 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 25 000

हमारे सामने फिर से विहित रूप है, और हमने इसे परिवर्तनों के चरण को दरकिनार कर प्राप्त किया, अर्थात, सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण हमारे साथ कहीं नहीं आया।

पाठ की शुरुआत में मैं यही बात कर रहा था। अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिए गए मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में कैनोनिकल फॉर्म समस्याओं की एक व्यापक श्रेणी को हल करने की अनुमति देता है।

बस इतना ही, हम दशमलव लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पा लेते हैं, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

एक्स + 3 = 25,000
एक्स = 24997

सभी! समस्या हल हो गई।

गुंजाइश के बारे में एक नोट

यहाँ मैं परिभाषा के क्षेत्र के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहता हूँ। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक हैं जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ भावों को हल करते हैं, तो यह याद रखना अत्यावश्यक है कि तर्क f (x) शून्य से अधिक होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: किसी भी मानी हुई समस्या में हमें इस असमानता को संतुष्ट करने की आवश्यकता क्यों नहीं पड़ी?

चिंता न करें। इन मामलों में कोई अतिरिक्त जड़ें दिखाई नहीं देंगी। और यह एक और बढ़िया ट्रिक है जो आपको समाधान को तेज करने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में चर x केवल एक ही स्थान पर होता है (अधिक सटीक रूप से, एक और केवल लघुगणक के एक और एकमात्र तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और चर x नहीं है, तो डोमेन लिखें कोई ज़रुरत नहीं हैक्योंकि यह अपने आप चलेगा।

खुद जज करें: पहले समीकरण में, हमें वह 3x - 1 मिला, यानी, तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वतः मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ, हम लिख सकते हैं कि दूसरी स्थिति में, x को 5 2 के बराबर होना चाहिए, अर्थात यह निश्चित रूप से शून्य से अधिक है। और तीसरे मामले में, जहाँ x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित है, लेकिन केवल अगर x केवल एक लघुगणक के तर्क में होता है।

सरल समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। केवल यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ मिलकर, आपको बहुत व्यापक प्रकार की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: अंत में इस तकनीक को समझने के लिए, लॉगरिदमिक समीकरण के विहित रूप को कैसे लागू किया जाए, यह जानने के लिए, यह केवल एक वीडियो सबक देखने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसलिए, अभी, एक स्वतंत्र समाधान के लिए विकल्प डाउनलोड करें जो इस वीडियो ट्यूटोरियल से जुड़े हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने की तुलना में बहुत अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह पाठ लघुगणकीय समीकरणों को समझने में आपकी सहायता करेगा। विहित रूप लागू करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी कार्य से डरेंगे नहीं। और मेरे पास आज के लिए बस इतना ही है।

कार्यक्षेत्र पर विचार

अब आइए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के डोमेन के बारे में बात करते हैं, साथ ही साथ यह लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। फॉर्म के निर्माण पर विचार करें

लॉग इन करें एफ (एक्स) = बी

इस तरह की अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसका केवल एक कार्य होता है, और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ होती हैं, और किसी भी स्थिति में एक ऐसा कार्य नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। यह बहुत ही सरलता से हल किया जाता है। आपको केवल सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब हम अपनी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

लॉग इन एफ (एक्स) = लॉग ए बी

एफ (एक्स) = ए बी

यह पहले से ही स्कूल पाठ्यपुस्तकों का एक परिचित सूत्र है। कई छात्रों के पास शायद एक प्रश्न होगा: चूंकि मूल अभिव्यक्ति में फलन f ( x ) लॉग चिन्ह के अंतर्गत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

एफ (एक्स)> 0

यह प्रतिबंध मान्य है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद इस सीमा के कारण, आपको जवाबों के लिए एक चेक पेश करना चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है?

नहीं, सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों में, एक अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = ए बी

तथ्य यह है कि संख्या किसी भी मामले में 0 से अधिक है - यह आवश्यकता भी लघुगणक द्वारा लगाई गई है। संख्या ए आधार है। इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि कोई भी डिग्री हम एक सकारात्मक संख्या बढ़ाते हैं, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वचालित रूप से पूरी हो जाती है।

लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का दायरा वास्तव में जांच के लायक क्या है। काफी जटिल डिजाइन हो सकते हैं, और उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, आपको निश्चित रूप से उनका पालन करना चाहिए। आइए एक नजर डालते हैं।

पहला कार्य:

पहला चरण: अंश को दाईं ओर परिवर्तित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पा लेते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला हमें सूट करता है, क्योंकि दूसरी जड़ शून्य से कम है। एकमात्र उत्तर संख्या 9 होगी। बस इतना ही, समस्या हल हो गई है। लघुगणक चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, इसकी कोई अतिरिक्त जाँच आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह केवल 0 से अधिक नहीं है, बल्कि समीकरण की स्थिति के अनुसार यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक" स्वचालित रूप से है संतुष्ट।

चलिए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहां हर एक चीज़ समान है। हम निर्माण को फिर से लिखते हैं, ट्रिपल की जगह:

हम लघुगणक के चिह्नों से छुटकारा पा लेते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों भागों को चौकोर करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

हम विवेचक के माध्यम से परिणामी समीकरण को हल करते हैं:

डी \u003d 49 - 24 \u003d 25

एक्स 1 = -1

एक्स 2 \u003d -6

लेकिन x = −6 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि अगर हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें यह मिलता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में, बराबर हो। लेकिन x = -1 हमें सूट करता है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = -1 है। बस इतना ही उपाय है। आइए हमारी गणनाओं की शुरुआत में वापस जाएं।

इस पाठ से मुख्य निष्कर्ष यह है कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फलन की सीमाओं की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान की प्रक्रिया में सभी बाधाएँ अपने आप क्रियान्वित हो जाती हैं।

हालाँकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप सत्यापन के बारे में पूरी तरह से भूल सकते हैं। एक लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अपरिमेय में बदल सकता है, जिसकी अपनी सीमाएं और दाईं ओर की आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।

ऐसी समस्याओं को बेझिझक हल करें और अगर तर्क में कोई जड़ है तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणकीय समीकरण

हम लॉगरिदमिक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और दिलचस्प ट्रिक्स का विश्लेषण करते हैं जिसके साथ अधिक जटिल संरचनाओं को हल करना फैशनेबल है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल कार्य कैसे हल किए जाते हैं:

लॉग इन करें एफ (एक्स) = बी

इस अंकन में, ए और बी सिर्फ संख्याएं हैं, और फ़ंक्शन एफ (एक्स) में चर एक्स मौजूद होना चाहिए, और केवल वहां, यानी एक्स केवल तर्क में होना चाहिए। हम ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को विहित रूप का उपयोग करके रूपांतरित करेंगे। इसके लिए हम यह नोट करते हैं

बी = लॉग ए बी

और ए बी सिर्फ एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को निम्नानुसार फिर से लिखें:

लॉग इन एफ (एक्स) = लॉग ए बी

यह वही है जिसे हम प्राप्त करने का प्रयास कर रहे हैं, ताकि बायीं और दायीं ओर आधार a का लघुगणक हो। इस मामले में, हम आलंकारिक रूप से बोल सकते हैं, लॉग के संकेतों को पार कर सकते हैं, और गणित के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों की बराबरी करते हैं:

एफ (एक्स) = ए बी

नतीजतन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है जिसे हल करना बहुत आसान हो जाएगा। आइए आज इस नियम को अपने कार्यों में लागू करें।

तो पहला डिजाइन:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक अंश है, जिसका भाजक लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो यह लघुगणक की अद्भुत संपत्ति को याद रखने योग्य है:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार सी के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक, 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष स्थिति है जब चर c चर के बराबर है बी। इस मामले में, हमें फॉर्म का निर्माण मिलता है:

यह वह निर्माण है जिसे हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को log a b से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की है। इसके बजाय, हमें भिन्न को पलटना था।

हमें याद है कि निम्न नियम के अनुसार किसी भी डिग्री को आधार से बाहर निकाला जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो कि आधार की डिग्री है, को एक उल्टे अंश के रूप में निकाला जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में निकालते हैं:

भिन्नात्मक कारक को सामने नहीं छोड़ा जा सकता है, क्योंकि इस मामले में हम इस प्रविष्टि को एक विहित रूप के रूप में प्रस्तुत करने में सक्षम नहीं होंगे (आखिरकार, विहित रूप में, दूसरे लघुगणक के सामने कोई अतिरिक्त कारक नहीं है)। इसलिए, अंश 1/4 को तर्क में एक शक्ति के रूप में रखते हैं:

अब हम उन तर्कों की बराबरी करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे पास वास्तव में समान आधार हैं), और लिखते हैं:

एक्स + 5 = 1

एक्स = -4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणकीय समीकरण का उत्तर मिल गया। ध्यान दें: मूल समस्या में, चर x केवल एक लॉग में होता है, और यह इसके तर्क में होता है। इसलिए, डोमेन की जाँच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = -4 वास्तव में उत्तर है।

अब चलिए दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

यहां, सामान्य लॉगरिदम के अलावा, हमें एलजी एफ (एक्स) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? एक अप्रस्तुत छात्र को यह लग सकता है कि यह किसी प्रकार का टिन है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक रूप से हल हो गया है।

एलजी 2 लॉग 2 7 शब्द को ध्यान से देखें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ संकेत मिलने चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से डिग्री कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग ए बी एन = एनलॉग ए बी

दूसरे शब्दों में, तर्क में संख्या b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने ही एक कारक बन जाता है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति एलजी 2 लॉग 2 7 पर लागू करें। एलजी 2 से डरो मत - यह सबसे आम अभिव्यक्ति है। आप इसे इस तरह दोबारा लिख ​​सकते हैं:

उसके लिए, किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की शक्ति में पेश किया जा सकता है। चलो लिखते है:

बहुत बार, खाली बिंदु वाले छात्र इस क्रिया को नहीं देखते हैं, क्योंकि एक लॉग को दूसरे के चिह्न के तहत दर्ज करना अच्छा नहीं होता है। वास्तव में इसमें कुछ भी अपराधी नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको कोई महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा और इसके गुणों में से एक के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को परिवर्तित करते हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी तरह जानना चाहिए जैसे किसी संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि समान चिह्न के दाईं ओर पहला शब्द केवल lg 7 के बराबर होगा। हमारे पास:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए lg 7 को बाईं ओर ले जाएँ, हमें मिलता है:

एलजी 56 - एलजी 7 = -3 एलजी (एक्स + 4)

हम बाईं ओर के भावों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = -3 एलजी (एक्स + 4)

अब हमें जो समीकरण मिला है, उस पर करीब से नज़र डालते हैं। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक -3 है। आइए इसे सही lg तर्क में रखें:

एलजी 8 = एलजी (एक्स + 4) -3

हमारे सामने लघुगणकीय समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम lg के चिह्नों को पार करते हैं और तर्कों की बराबरी करते हैं:

(एक्स + 4) -3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणकीय समीकरण हल किया है। इस मामले में, कोई अतिरिक्त जाँच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

मुझे इस पाठ के मुख्य बिंदुओं को दोबारा याद करने दें।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में जिस मुख्य सूत्र का अध्ययन किया गया है, वह विहित रूप है। और इस तथ्य से विचलित न हों कि अधिकांश स्कूल पाठ्यपुस्तकें आपको सिखाती हैं कि इस प्रकार की समस्याओं को अलग तरीके से कैसे हल किया जाए। यह उपकरण बहुत कुशलता से काम करता है और आपको हमारे पाठ की शुरुआत में अध्ययन की गई सबसे सरल समस्याओं की तुलना में बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए, मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

1. एक आधार पर जाने का सूत्र और एक विशेष मामला जब हम लॉग फ्लिप करते हैं (यह पहले कार्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
2. लघुगणक के चिह्न के नीचे से शक्तियाँ लाने और निकालने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और बिंदु-रिक्त नहीं देखते हैं कि बाहर निकाली गई और लाई गई शक्ति स्वयं लॉग f (x) को समाहित कर सकती है। उसमें कोी बुराई नहीं है। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल कर सकते हैं, जो कि हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में दायरे की जांच करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक संकेत में मौजूद है, और साथ ही साथ इसके तर्क में है। परिणामस्वरूप, सभी डोमेन आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

चर आधार के साथ समस्याएँ

आज हम लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक प्रतीत होते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। हम उन भावों के बारे में बात कर रहे हैं जो संख्याओं पर नहीं, बल्कि चर और यहां तक ​​​​कि कार्यों पर आधारित हैं। हम इस तरह के निर्माणों को हमारी मानक तकनीक का उपयोग करके हल करेंगे, अर्थात्, विहित रूप के माध्यम से।

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि सरलतम समस्याओं को कैसे हल किया जाता है, जो साधारण संख्याओं पर आधारित होती हैं। तो, सबसे सरल निर्माण कहा जाता है

लॉग इन करें एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग इन एफ (एक्स) = लॉग ए बी

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं, अर्थात हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = ए बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पा लेते हैं और सामान्य समस्या का समाधान करते हैं। इस स्थिति में, हल में प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, रिकॉर्ड, जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक पर होते हैं, तो इसे विहित रूप कहा जाता है। यह इस रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के निर्माणों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला कार्य:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 को log x − 2 (x − 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं, वास्तव में वह संख्या b है, जो बराबर चिह्न के दाईं ओर थी। तो चलिए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं। हम पाते हैं:

लॉग एक्स - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लॉग एक्स - 2 (एक्स - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लघुगणकीय समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से तर्कों की बराबरी कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

लेकिन समाधान वहाँ समाप्त नहीं होता है, क्योंकि यह समीकरण मूल के समतुल्य नहीं है। आखिरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे कार्य होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह परिभाषित नहीं होते हैं और हमेशा नहीं।

इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए समझदार न हों और पहले सभी आवश्यकताओं को लिख लें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से अधिक होना चाहिए:

2x 2 − 13x + 18 > 0

एक्स - 2> 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि 1 से भिन्न भी होना चाहिए:

एक्स - 2 ≠ 1

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लघुगणकीय समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को बहुत सरल बनाया जा सकता है।

खुद के लिए न्यायाधीश: एक ओर, हमें यह आवश्यक है कि द्विघात फलन शून्य से अधिक हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन कुछ रेखीय व्यंजक के बराबर है, जिसकी आवश्यकता यह भी है कि यह शून्य से अधिक हो।

इस स्थिति में, यदि हमें आवश्यकता है कि x − 2 > 0, तो आवश्यकता 2x 2 − 13x + 18 > 0 स्वतः ही संतुष्ट हो जाएगी। इसलिए, हम द्विघात फलन वाली असमानता को सुरक्षित रूप से पार कर सकते हैं। इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित भावों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, हम रैखिक असमानता को भी पार कर सकते हैं, यानी x - 2> 0 को पार कर सकते हैं और इसके लिए 2x 2 - 13x + 18> 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आपको यह स्वीकार करना होगा कि सबसे सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज़ और आसान है, द्विघात की तुलना में, भले ही इस संपूर्ण प्रणाली को हल करने के परिणामस्वरूप हमें समान जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणकीय समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को पार करें।

आइए हमारे सिस्टम को फिर से लिखें:

यहाँ तीन भावों की एक ऐसी प्रणाली है, जिनमें से दो, वास्तव में, हम पहले ही समझ चुके हैं। आइए अलग से द्विघात समीकरण लिखें और इसे हल करें:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

हमारे सामने एक घटा हुआ वर्ग ट्रिनोमियल है और इसलिए, हम वीटा के सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स - 5) (एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 5

एक्स 2 = 2

अब, हमारे सिस्टम पर वापस, हम पाते हैं कि x = 2 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि हमें x को 2 से अधिक होना आवश्यक है।

लेकिन x \u003d 5 हमें बहुत अच्छी तरह से सूट करता है: संख्या 5 2 से अधिक है, और साथ ही 5 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, इस प्रणाली का एकमात्र समाधान x \u003d 5 होगा।

ODZ को ध्यान में रखते हुए, सब कुछ, कार्य हल हो गया है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। यहाँ हम और अधिक रोचक और सार्थक गणनाओं की प्रतीक्षा कर रहे हैं:

पहला कदम: पिछली बार की तरह, हम इस पूरे व्यवसाय को एक प्रामाणिक रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जड़ के साथ आधार को छुआ नहीं जा सकता, लेकिन तर्क को रूपांतरित करना बेहतर है। आइए एक परिमेय घातांक के साथ मूल से घात की ओर बढ़ते हैं। चलो लिखते है:

मुझे हमारे पूरे बड़े लॉगरिदमिक समीकरण को दोबारा नहीं लिखना चाहिए, लेकिन तुरंत तर्कों को समान करना चाहिए:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम फिर से कम किए गए वर्ग ट्रिनोमियल हैं, हम वीटा के सूत्रों का उपयोग करेंगे और लिखेंगे:

(एक्स + 3) (एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

इसलिए, हमें जड़ें मिलीं, लेकिन किसी ने भी हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणकीय समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना होगा, लेकिन पूरे निर्माण की बोझिलता के कारण, मैंने अलग से परिभाषा के डोमेन की गणना करने का फैसला किया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के डोमेन द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

हम तुरंत ध्यान देते हैं कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक दूसरे के बराबर करते हैं, हम उनमें से किसी को भी पार कर सकते हैं। आइए पहले वाले को हटा दें क्योंकि यह दूसरे वाले की तुलना में अधिक खतरनाक दिखता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं के समाधान समान सेट होंगे (किसी संख्या का घन शून्य से अधिक है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से अधिक है; इसी तरह तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएँ हैं पूरी तरह से समान, इसलिए उनमें से एक को हम काट सकते हैं)।

लेकिन तीसरी असमानता के साथ यह काम नहीं करेगा। आइए बाईं ओर रेडिकल के चिह्न से छुटकारा पाएं, जिसके लिए हम दोनों भागों को घन तक बढ़ाते हैं। हम पाते हैं:

तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएँ मिलती हैं:

-2 ≠ x > -3

हमारी कौन सी जड़ें: x 1 = -3 या x 2 = -1 इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। कुल मिलाकर, अपनी समस्या पर लौटते हुए, हमें एक मूल मिलता है: x = -1। बस, समस्या हल हो गई।

एक बार फिर इस कार्य के प्रमुख बिंदु:

1. विहित रूप का उपयोग करके लघुगणकीय समीकरणों को बेझिझक लागू करें और हल करें। जो छात्र इस तरह का रिकॉर्ड बनाते हैं, और मूल समस्या से सीधे log af (x) = b जैसे निर्माण पर नहीं जाते हैं, उन लोगों की तुलना में बहुत कम गलतियाँ करते हैं जो कहीं जल्दी में हैं, गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़ देते हैं;
2. जैसे ही लघुगणक में एक चर आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल हो जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्कों को शून्य से अधिक होना चाहिए, और आधारों को न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि उन्हें 1 के बराबर भी नहीं होना चाहिए।

आप अंतिम आवश्यकताओं को अंतिम उत्तरों पर विभिन्न तरीकों से लागू कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सभी डोमेन आवश्यकताओं वाली एक संपूर्ण प्रणाली को हल करना संभव है। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र के बारे में याद कर सकते हैं, इसे एक प्रणाली के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।

किसी विशेष लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय कौन सा तरीका चुनना है यह आप पर निर्भर है। किसी भी मामले में, उत्तर वही होगा।