पृथ्वी को कैसे मापना है इसका ज्ञान पुरातनता में प्रकट हुआ और धीरे-धीरे ज्यामिति के विज्ञान में आकार लिया। ग्रीक भाषा से, इस शब्द का अनुवाद "भूमि सर्वेक्षण" के रूप में किया गया है।

लंबाई और चौड़ाई में पृथ्वी के किसी समतल क्षेत्र की लंबाई का माप क्षेत्रफल है। गणित में, इसे आमतौर पर लैटिन अक्षर S (अंग्रेजी "वर्ग" - "क्षेत्र", "वर्ग") या ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) से दर्शाया जाता है। एस एक विमान या शरीर की सतह क्षेत्र पर एक आकृति के क्षेत्र को दर्शाता है, और σ भौतिकी में एक तार का क्रॉस-आंशिक क्षेत्र है। ये मुख्य प्रतीक हैं, हालांकि अन्य भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, सामग्री की ताकत के क्षेत्र में, ए प्रोफ़ाइल का क्रॉस-आंशिक क्षेत्र है।

गणना सूत्र

सरल आंकड़ों के क्षेत्रों को जानने के बाद, आप अधिक जटिल लोगों के पैरामीटर पा सकते हैं।. प्राचीन गणितज्ञों ने ऐसे सूत्र विकसित किए जिनके द्वारा उनकी गणना आसानी से की जा सकती है। ऐसी आकृतियाँ एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, एक बहुभुज, एक वृत्त हैं।

एक जटिल समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इसे कई सरल आकृतियों जैसे त्रिभुज, समलम्बाकार, या आयतों में तोड़ा जाता है। फिर गणितीय विधियाँ इस आकृति के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र प्राप्त करती हैं। इसी तरह की विधि का उपयोग न केवल ज्यामिति में किया जाता है, बल्कि गणितीय विश्लेषण में वक्रों से घिरे आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

त्रिकोण

आइए सबसे सरल आकार से शुरू करें - एक त्रिभुज। वे आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु हैं। भुजाओं AB=a, BC=b और AC=c (∆ ABC) वाला कोई त्रिभुज ABC लीजिए। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आइए स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से ज्ञात साइन और कोसाइन के प्रमेयों को याद करें। सभी गणनाओं को छोड़ते हुए, हम निम्नलिखित सूत्र पर पहुँचते हैं:

• S=√ - हीरोन का सूत्र सभी को ज्ञात है, जहाँ p=(a+b+c)/2 - त्रिभुज का आधा परिमाप;
• S=a h/2, जहाँ h a की ओर नीचे की गई ऊँचाई है;
• S=a b (sin γ)/2, जहाँ γ भुजाओं a और b के बीच का कोण है;
• S=a b/2 अगर ∆ ABC आयताकार है (यहाँ a और b पैर हैं);
• S=b² (sin (2 β))/2 यदि ∆ ABC समद्विबाहु है (यहाँ b "कूल्हों" में से एक है, β त्रिभुज के "कूल्हों" के बीच का कोण है);
• S=a² √¾ यदि ∆ ABC समबाहु है (यहाँ a त्रिभुज की भुजा है)।

चतुष्कोष

माना एक चतुर्भुज ABCD है जिसमें AB=a, BC=b, CD=c, AD=d है। एक मनमाने 4-गॉन का क्षेत्रफल S ज्ञात करने के लिए, इसे एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करना आवश्यक है, जिनके क्षेत्रफल S1 और S2 आम तौर पर समान नहीं हैं।

फिर, सूत्रों का उपयोग करते हुए, उनकी गणना करें और उन्हें जोड़ें, अर्थात S=S1+S2। हालाँकि, यदि क्वाड एक निश्चित वर्ग से संबंधित है, तो इसका क्षेत्रफल पहले से ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

• S=(a+c) h/2=e h, यदि क्वाड एक ट्रेपेज़ॉइड है (यहाँ a और c आधार हैं, e ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, h ट्रेपेज़ॉइड के आधारों में से एक की ऊँचाई कम है ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, यदि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है (यहाँ φ भुजाओं a और b के बीच का कोण है, h भुजा a, d1 और d2 विकर्ण हैं) की ऊँचाई है;
• S=a b=d²/2 यदि ABCD एक आयत है (d एक विकर्ण है);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 यदि ABCD एक समचतुर्भुज है (a समचतुर्भुज की एक भुजा है, φ इसका एक कोना है, P परिधि है);
• S=a²=P²/16=d²/2 यदि ABCD एक वर्ग है।

बहुभुज

एक एन-गॉन का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, गणितज्ञ इसे सबसे सरल समान त्रिभुजों में तोड़ते हैं, उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं। लेकिन यदि बहुभुज नियमित वर्ग से संबंधित है, तो सूत्र का उपयोग किया जाता है:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, जहां n बहुभुज के कोने (या पक्षों) की संख्या है, a n-gon का पक्ष है, P इसकी परिधि है, h एपोटेम है , यानी बहुभुज के केंद्र से 90° के कोण पर इसकी एक भुजा पर खींचा गया खंड।

घेरा

एक वृत्त अनंत भुजाओं वाला एक पूर्ण बहुभुज है।. हमें बहुभुज क्षेत्र सूत्र में दाईं ओर की अभिव्यक्ति की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है जिसमें भुजाओं की संख्या n अनंत की ओर हो। इस स्थिति में, बहुभुज का परिमाप त्रिज्या R के एक वृत्त की लंबाई में बदल जाएगा, जो हमारे वृत्त की सीमा होगी, और P=2 π R के बराबर हो जाएगा। उपरोक्त सूत्र में इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें। हमें मिल जाएगा:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n))।

आइए इस व्यंजक की सीमा n→∞ के रूप में ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम ध्यान में रखते हैं कि n→∞ के लिए lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 के बराबर है (lim सीमा का चिह्न है), और lim = lim n→∞ के लिए है 1/π के बराबर (हमने π रेड = 180° के अनुपात का उपयोग करके डिग्री माप को रेडियन में अनुवादित किया है, और पहली उल्लेखनीय सीमा लिम (sin x)/x=1 को x→∞ पर लागू किया है)। प्राप्त मूल्यों को S के लिए अंतिम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्रसिद्ध सूत्र पर पहुँचते हैं:

एस=π² आर² 1 (1/π)=π आर²।

इकाइयों

माप की प्रणालीगत और गैर-प्रणाली इकाइयाँ लागू की जाती हैं. सिस्टम इकाइयों को एसआई (सिस्टम इंटरनेशनल) कहा जाता है। यह एक वर्ग मीटर (वर्ग मीटर, वर्ग मीटर) और इससे प्राप्त इकाइयाँ हैं: mm², cm², km²।

वर्ग मिलीमीटर (मिमी²) में, उदाहरण के लिए, वे विद्युत इंजीनियरिंग में तारों के क्रॉस-आंशिक क्षेत्र को वर्ग सेंटीमीटर (सेमी²) में मापते हैं - संरचनात्मक यांत्रिकी में एक बीम का क्रॉस सेक्शन, वर्ग मीटर (एम²) में ) - एक अपार्टमेंट या घर, वर्ग किलोमीटर (किमी²) में - भूगोल में एक क्षेत्र।

हालांकि, माप की गैर-प्रणालीगत इकाइयों का कभी-कभी उपयोग किया जाता है, जैसे: बुनाई, अर (ए), हेक्टेयर (हेक्टेयर) और एकड़ (एसी)। हम निम्नलिखित अनुपात देते हैं:

• 1 बुनाई \u003d 1 ए \u003d 100 वर्ग मीटर \u003d 0.01 हेक्टेयर;
• 1 हेक्टेयर = 100 a = 100 एकड़ = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 as;
• 1 एसी = 4046.856 वर्ग मीटर = 40.47 ए = 40.47 एकड़ = 0.405 हेक्टेयर।

ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र दो-आयामी अंतरिक्ष में उनके आकार की विशेषता वाले संख्यात्मक मान हैं। यह मान सिस्टम और गैर-सिस्टम इकाइयों में मापा जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, क्षेत्र की एक ऑफ-सिस्टम इकाई एक सौ, एक हेक्टेयर है। यह मामला है यदि मापी गई सतह भूमि का एक टुकड़ा है। क्षेत्र की प्रणाली इकाई लंबाई का वर्ग है। एसआई प्रणाली में, यह माना जाता है कि एक सपाट सतह के क्षेत्रफल की इकाई एक वर्ग मीटर है। सीजीएस में, क्षेत्र की इकाई वर्ग सेंटीमीटर में व्यक्त की जाती है।

ज्यामिति और क्षेत्र सूत्र अटूट रूप से जुड़े हुए हैं। यह संबंध इस तथ्य में निहित है कि समतल आकृतियों के क्षेत्रों की गणना ठीक उनके अनुप्रयोग पर आधारित है। कई आकृतियों के लिए कई विकल्प निकाले जाते हैं, जिनके अनुसार उनके वर्गाकार आकार की गणना की जाती है। समस्या कथन के आंकड़ों के आधार पर, हम इसे हल करने का सबसे आसान तरीका निर्धारित कर सकते हैं। यह गणना की सुविधा देता है और गणना त्रुटियों की संभावना को कम करता है। ऐसा करने के लिए, ज्यामिति में आंकड़ों के मुख्य क्षेत्र पर विचार करें।

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र कई प्रकार से प्रस्तुत किये जाते हैं:

1) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार a और ऊँचाई h से की जाती है। आधार उस आकृति का पक्ष है जिस पर ऊंचाई कम की जाती है। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

2) एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ठीक उसी तरह से की जाती है यदि कर्ण को आधार माना जाए। यदि, हालांकि, पैर को आधार के रूप में लिया जाता है, तो समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल आधे पैरों के उत्पाद के बराबर होगा।

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के सूत्र यहीं समाप्त नहीं हो जाते। एक अन्य व्यंजक में भुजाएँ a, b और a और b के बीच के कोण γ का साइनसोइडल फलन है। ज्या का मान सारणियों में पाया जाता है। इसे कैलकुलेटर का उपयोग करके भी पाया जा सकता है। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

इस समानता के अनुसार, आप यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों की लंबाई से निर्धारित होता है। क्योंकि कोण γ एक समकोण है, इसलिए एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना साइन फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए बिना की जाती है।

3) एक विशेष मामले पर विचार करें - एक नियमित त्रिभुज, जिसमें पक्ष a को स्थिति से जाना जाता है या हल करते समय इसकी लंबाई पाई जा सकती है। ज्योमेट्री प्रॉब्लम में फिगर के बारे में ज्यादा कुछ नहीं पता है। फिर इस स्थिति में क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस स्थिति में, एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लागू होता है:

आयत

एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें और उन भुजाओं के आयामों का उपयोग कैसे करें जिनमें एक सामान्य शीर्ष है? गणना के लिए अभिव्यक्ति है:

यदि आप एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए विकर्णों की लंबाई का उपयोग करना चाहते हैं, तो आपको उनके प्रतिच्छेद करने पर बनने वाले कोण के साइन फ़ंक्शन की आवश्यकता होगी। एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है:

वर्ग

एक वर्ग के क्षेत्र को पार्श्व लंबाई की दूसरी शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है:

प्रमाण इस परिभाषा से मिलता है कि एक आयत को एक वर्ग कहा जाता है। वर्ग बनाने वाली सभी भुजाओं के आयाम समान होते हैं। इसलिए, इस तरह के एक आयत के क्षेत्र की गणना एक को दूसरे से गुणा करने के लिए कम कर दी जाती है, अर्थात पक्ष की दूसरी शक्ति तक। और एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र वांछित रूप लेगा।

एक वर्ग का क्षेत्रफल दूसरे तरीके से पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि आप एक विकर्ण का उपयोग करते हैं:

एक वृत्त से बंधे हुए समतल के एक भाग से बनी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें? क्षेत्र की गणना करने के लिए, सूत्र हैं:

चतुर्भुज

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, सूत्र में पक्ष, ऊंचाई और गणितीय ऑपरेशन - गुणन के रैखिक आयाम होते हैं। यदि ऊँचाई अज्ञात है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? गणना करने का एक और तरीका है। एक निश्चित मूल्य की आवश्यकता होती है, जो आसन्न भुजाओं के साथ-साथ उनकी लंबाई से बने कोण के त्रिकोणमितीय कार्य द्वारा लिया जाएगा।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र हैं:

विषमकोण

समचतुर्भुज नामक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? एक रोम्बस का क्षेत्र विकर्णों के साथ सरल गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि d1 और d2 पर विकर्ण खंड समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। ज्याओं की तालिका दर्शाती है कि एक समकोण के लिए, यह फलन एक के बराबर होता है। इसलिए, एक रोम्बस के क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल दूसरे तरीके से भी ज्ञात किया जा सकता है। इसे सिद्ध करना भी मुश्किल नहीं है, यह देखते हुए कि इसकी भुजाएँ लंबाई में समान हैं। फिर उनके गुणनफल को समान्तर चतुर्भुज के समान व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आखिरकार, इस विशेष आकृति का एक विशेष मामला एक समचतुर्भुज है। यहाँ γ समचतुर्भुज का आंतरिक कोण है। एक रोम्बस का क्षेत्र निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

ट्रापेज़

आधारों (ए और बी) के माध्यम से ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, यदि उनकी लंबाई समस्या में इंगित की गई है? यहां, ऊंचाई लंबाई एच के ज्ञात मूल्य के बिना, इस तरह के ट्रैपेज़ॉयड के क्षेत्र की गणना करना संभव नहीं होगा। क्योंकि इस मान में गणना के लिए अभिव्यक्ति है:

एक आयताकार चतुर्भुज के वर्ग आकार की गणना भी उसी तरह की जा सकती है। इसी समय, यह ध्यान में रखा जाता है कि एक आयताकार ट्रेपोजॉइड में ऊंचाई और पक्ष की अवधारणाएं संयुक्त होती हैं। इसलिए, एक आयताकार चतुर्भुज के लिए, आपको ऊंचाई के बजाय भुजा की लंबाई निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

सिलेंडर और समानांतर चतुर्भुज

विचार करें कि पूरे सिलेंडर की सतह की गणना करने के लिए क्या आवश्यक है। इस आकृति का क्षेत्रफल हलकों की एक जोड़ी है, जिसे आधार कहा जाता है, और एक पार्श्व सतह है। वृत्त बनाने वाले वृत्तों की त्रिज्या लंबाई r के बराबर होती है। एक बेलन के क्षेत्रफल के लिए, निम्नलिखित गणना होती है:

एक समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसमें तीन जोड़े चेहरे हों? इसकी माप एक विशेष जोड़ी के अनुरूप होती है। जो चेहरे विपरीत हैं उनके पैरामीटर समान हैं। पहले एस(1), एस(2), एस(3) - असमान चेहरों के वर्ग आयाम खोजें। फिर समांतर चतुर्भुज का सतह क्षेत्र:

अँगूठी

एक सामान्य केंद्र वाले दो वृत्त एक वलय बनाते हैं। वे रिंग के क्षेत्र को भी सीमित करते हैं। इस स्थिति में, दोनों गणना सूत्र प्रत्येक वृत्त के आयामों को ध्यान में रखते हैं। पहले वाला, जो रिंग के क्षेत्र की गणना करता है, में बड़ा R और छोटा r त्रिज्या होता है। अधिक बार उन्हें बाहरी और आंतरिक कहा जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, रिंग क्षेत्र की गणना बड़े डी और छोटे डी व्यास का उपयोग करके की जाती है। इस प्रकार, ज्ञात त्रिज्या के अनुसार वलय के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

व्यास की लंबाई का उपयोग करके रिंग का क्षेत्र निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

बहुभुज

उस बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसका आकार सही नहीं है? ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल का कोई सामान्य सूत्र नहीं है। लेकिन अगर इसे एक समन्वय विमान पर दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए, यह चेकर पेपर हो सकता है, तो इस मामले में सतह क्षेत्र कैसे खोजें? यहां वे एक ऐसी विधि का उपयोग करते हैं जिसके लिए आकृति को लगभग मापने की आवश्यकता नहीं होती है। वे ऐसा करते हैं: यदि उन्हें ऐसे बिंदु मिलते हैं जो सेल के कोने में आते हैं या पूर्णांक निर्देशांक होते हैं, तो केवल उन्हें ध्यान में रखा जाता है। फिर यह पता लगाने के लिए कि क्षेत्र क्या है, पिक द्वारा सिद्ध सूत्र का उपयोग करें। पॉलीलाइन के अंदर स्थित बिंदुओं की संख्या को आधे बिंदुओं के साथ जोड़ना और एक घटाना आवश्यक है, अर्थात इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

जहाँ C, D - क्रमशः अंदर और पूरी पॉलीलाइन पर स्थित बिंदुओं की संख्या।

यदि आप स्वयं मरम्मत करने की योजना बनाते हैं, तो आपको निर्माण और परिष्करण सामग्री के लिए अनुमान लगाने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, आपको उस कमरे के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होगी जिसमें आप मरम्मत करने की योजना बना रहे हैं। इसमें मुख्य सहायक एक विशेष रूप से तैयार किया गया सूत्र है। कमरे का क्षेत्र, अर्थात् इसकी गणना, आपको निर्माण सामग्री पर बहुत पैसा बचाने और जारी किए गए वित्तीय संसाधनों को अधिक आवश्यक दिशा में निर्देशित करने की अनुमति देगा।

कमरे का ज्यामितीय आकार

किसी कमरे के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सीधे उसके आकार पर निर्भर करता है। घरेलू संरचनाओं के लिए सबसे विशिष्ट आयताकार और वर्गाकार कमरे हैं। हालाँकि, पुनर्विकास के दौरान, मानक रूप विकृत हो सकता है। कमरे हैं:

• आयताकार।
• वर्ग।
• जटिल विन्यास (उदाहरण के लिए, गोल)।
• निचे और लेज के साथ।

उनमें से प्रत्येक की अपनी गणना विशेषताएं हैं, लेकिन, एक नियम के रूप में, एक ही सूत्र का उपयोग किया जाता है। किसी भी आकार और आकार के एक कमरे का क्षेत्रफल, एक तरह से या किसी अन्य की गणना की जा सकती है।

आयताकार या चौकोर कमरा

एक आयताकार या वर्ग कक्ष के क्षेत्र की गणना करने के लिए, स्कूल ज्यामिति के पाठों को याद रखना पर्याप्त है। इसलिए, आपके लिए कमरे का क्षेत्र निर्धारित करना मुश्किल नहीं होना चाहिए। गणना सूत्र ऐसा दिखता है:

एस कमरे = ए * बी, जहां

ए कमरे की लंबाई है।

B कमरे की चौड़ाई है।

इन मूल्यों को मापने के लिए, आपको एक नियमित टेप उपाय की आवश्यकता होगी। सबसे सटीक गणना प्राप्त करने के लिए, दोनों तरफ की दीवार को मापना उचित है। यदि मान अभिसरण नहीं करते हैं, तो परिणामी डेटा का औसत आधार के रूप में लें। लेकिन याद रखें कि किसी भी गणना की अपनी त्रुटियाँ होती हैं, इसलिए सामग्री को मार्जिन के साथ खरीदा जाना चाहिए।

एक जटिल विन्यास वाला कमरा

यदि आपका कमरा "विशिष्ट" की परिभाषा के अंतर्गत नहीं आता है, अर्थात। एक वृत्त, त्रिकोण, बहुभुज का आकार है, तो आपको गणना के लिए एक अलग सूत्र की आवश्यकता हो सकती है। आप सशर्त रूप से कमरे के क्षेत्र को इस तरह की विशेषता के साथ आयताकार तत्वों में विभाजित करने और मानक तरीके से गणना करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि आपके लिए यह संभव नहीं है, तो निम्न विधियों का उपयोग करें:

• किसी वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:

एस कमरा \u003d π * आर 2, जहाँ

R कमरे की त्रिज्या है।

• त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:

एस कमरा = √ (पी (पी - ए) एक्स (पी - बी) एक्स (पी - सी)), जहां

P त्रिभुज की अर्ध-परिधि है।

A, B, C इसकी भुजाओं की लंबाई हैं।

इसलिए पी \u003d ए + बी + सी / 2

यदि गणना करने की प्रक्रिया में आपको कोई कठिनाई होती है, तो बेहतर है कि आप खुद को यातना न दें और पेशेवरों की ओर मुड़ें।

लेज और निचे के साथ कमरा क्षेत्र

अक्सर दीवारों को सजावटी तत्वों के साथ विभिन्न आलों या किनारों के रूप में सजाया जाता है। इसके अलावा, उनकी उपस्थिति आपके कमरे के कुछ अनैच्छिक तत्वों को छिपाने की आवश्यकता के कारण हो सकती है। आपकी दीवार पर लेज या निचे की उपस्थिति का मतलब है कि गणना चरणों में की जानी चाहिए। वे। सबसे पहले, दीवार के एक सपाट खंड का क्षेत्र पाया जाता है, और फिर इसमें एक आला या कगार का क्षेत्र जोड़ा जाता है।

दीवार का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है:

एस दीवारें \u003d पी एक्स सी, जहां

पी - परिधि

सी - ऊंचाई

आपको खिड़कियों और दरवाजों की उपस्थिति पर भी विचार करना होगा। उनके क्षेत्र को परिणामी मूल्य से घटाया जाना चाहिए।

बहु-स्तरीय छत वाला कमरा

एक बहु-स्तरीय छत गणना को उतना जटिल नहीं करती है जितना पहली नज़र में लगता है। यदि इसका एक सरल डिज़ाइन है, तो दीवारों के क्षेत्र को निचे और लेज द्वारा जटिल खोजने के सिद्धांत पर गणना की जा सकती है।

हालांकि, यदि आपकी छत के डिजाइन में धनुषाकार और लहरदार तत्व हैं, तो फर्श क्षेत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्र को निर्धारित करना अधिक उपयुक्त है। इसके लिए आपको चाहिए:

1. दीवारों के सभी सीधे वर्गों के आयाम खोजें।
2. फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
3. लंबवत वर्गों की लंबाई और ऊंचाई गुणा करें।
4. फर्श क्षेत्र के साथ परिणामी मूल्य का योग करें।

कुल का निर्धारण करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश

उपलब्ध ज़मीन पर निर्माण योग्य क्षेत्रफल

1. कमरे को अनावश्यक चीजों से मुक्त करें। मापने की प्रक्रिया में, आपको अपने कमरे के सभी क्षेत्रों में मुफ्त पहुंच की आवश्यकता होगी, इसलिए आपको इसमें हस्तक्षेप करने वाली हर चीज से छुटकारा पाने की जरूरत है।
2. नेत्रहीन रूप से कमरे को नियमित और अनियमित आकार के वर्गों में विभाजित करें। यदि आपके कमरे का आकार सख्ती से चौकोर या आयताकार है, तो इस कदम को छोड़ दिया जा सकता है।
3. कमरे का मनमाना लेआउट बनाएं। इस चित्र की आवश्यकता है ताकि सारा डेटा हमेशा आपकी उंगलियों पर रहे। साथ ही, यह आपको कई मापों में भ्रमित होने का अवसर नहीं देगा।
4. माप कई बार लिया जाना चाहिए। गणना में त्रुटियों से बचने के लिए यह एक महत्वपूर्ण नियम है। इसके अलावा यदि आप उपयोग कर रहे हैं तो सुनिश्चित करें कि बीम दीवार की सतह पर सपाट है।
5. कमरे का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एक कमरे के कुल क्षेत्रफल का सूत्र कमरे के अलग-अलग वर्गों के सभी क्षेत्रों का योग ज्ञात करना है। वे। एस कुल = एस दीवारें + एस फर्श + एस छतें

ज्यामितीय क्षेत्र- इस आकृति के आकार को दर्शाने वाली एक ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता (इस आकृति के एक बंद समोच्च द्वारा बंधी सतह का हिस्सा)। क्षेत्र का आकार इसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊंचाई के लिए त्रिभुज क्षेत्र सूत्र
   त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल और इस ओर खींची गई ऊँचाई की लंबाई के बराबर
   
2. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र तीन भुजाएँ और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है
   
3. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र तीन भुजाएँ और एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या दी गई है
   त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की अर्ध-परिधि और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है।
   
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
- त्रिकोण की ऊंचाई,
- पक्षों के बीच का कोण और,
- खुदा चक्र की त्रिज्या,
आर - परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या,

वर्ग क्षेत्र सूत्र

1. एक भुजा की लंबाई दिए गए वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   वर्ग क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर है।
2. एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र जिसके विकर्ण की लंबाई दी गई है
   वर्ग क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।
   

   एस =	1	2
   	2

जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
वर्ग की भुजा की लंबाई है,
वर्ग के विकर्ण की लंबाई है।

आयत क्षेत्र सूत्र

आयताकार क्षेत्रइसके दो आसन्न पक्षों की लंबाई के उत्पाद के बराबर है

जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
आयत की भुजाओं की लंबाई हैं।

एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र

1. पार्श्व लंबाई और ऊंचाई के लिए समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र
   समांतर चतुर्भुज क्षेत्र
2. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया है
   समांतर चतुर्भुज क्षेत्रइसके पक्षों की लंबाई के गुणनफल के बराबर है जो उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किया जाता है।
   

   ए बी पाप α

जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण है।

एक रोम्बस के क्षेत्र के लिए सूत्र

1. समचतुर्भुज क्षेत्र सूत्र पक्ष की लंबाई और ऊंचाई दी गई है
   रोम्बस क्षेत्रइसके किनारे की लंबाई और इस तरफ की ऊंचाई की लंबाई के उत्पाद के बराबर है।
2. समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र भुजा की लंबाई और कोण दिया गया है
   रोम्बस क्षेत्रसमचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या और उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के गुणनफल के बराबर है।
3. इसके विकर्णों की लंबाई से एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   रोम्बस क्षेत्रइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर है।
जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्र है,
- रोम्बस के किनारे की लंबाई,
- रोम्बस की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र सूत्र

1. ट्रेपेज़ॉइड के लिए हीरोन का सूत्र

   जहाँ S ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र है,
   - चतुर्भुज के आधारों की लंबाई,
   - चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
   

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल के सभी सूत्र

एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र

1. भुजाओं और कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

सी - समान भुजाएँ

α - निचले आधार पर कोण

पक्षों के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्र के लिए सूत्र, (S):

भुजाओं और कोणों के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

2. उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र

आर- खुदा सर्कल के त्रिज्या

डी- उत्कीर्ण सर्कल का व्यास

ओ - उत्कीर्ण वृत्त केंद्र

एच- ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई

α, β - ट्रैपेज़ॉयड कोण

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्र के लिए सूत्र, (S):

FAIR, एक समद्विबाहु समलम्बाकार में खुदा हुआ वृत्त के लिए:

3. विकर्णों और उनके बीच के कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र

ट्रेपेज़ॉइड का डी-विकर्ण

α,β- विकर्णों के बीच कोण

विकर्णों और उनके बीच के कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

4. आधार पर मध्य रेखा, पार्श्व पक्ष और कोण के माध्यम से एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्र के लिए सूत्र

सी-साइड

म- ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा

α, β - आधार पर कोण

मध्य रेखा, पार्श्व पक्ष और आधार पर कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्र के लिए सूत्र,

(एस):

5. आधार और ऊंचाई के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

एच - ट्रेपोज़ाइड की ऊंचाई

आधारों और ऊँचाई के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

एक भुजा और दो कोण दिए हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल, सूत्र।

a, b, c - त्रिभुज की भुजाएँ

α, β, γ - विपरीत कोण

एक भुजा और दो कोणों (S) से त्रिभुज का क्षेत्रफल:

एक नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - बहुभुज पक्ष

एन - पक्षों की संख्या

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल, (S):

अर्ध-परिधि (S) के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए (हेरोनियन) सूत्र:

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के सूत्र।

a - त्रिभुज की भुजा

एच - ऊंचाई

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?

बी - त्रिकोण का आधार

ए - बराबर पक्ष

एच - ऊंचाई

3. चार भुजाओं के संदर्भ में एक समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

सी, डी - पक्ष

पक्षों और विकर्णों पर समलम्बाकार के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

ए - ट्रैपेज़ियम के किनारे

सी - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

डी - विकर्ण

एच - ऊंचाई

समलम्बाकार के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, (आर)

पक्षों के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं को जानने के बाद, आप इस त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

a, b - त्रिभुज की भुजाएँ

एक समद्विबाहु त्रिभुज (R) के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या:

एक षट्भुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

ए - षट्भुज की ओर

एक षट्भुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या, (r):

एक रोम्बस में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

आर - उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या

ए - रोम्बस की तरफ

डी, डी - विकर्ण

एच - हीरे की ऊंचाई

एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

सी - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

ए - पक्ष

एच - ऊंचाई

एक समकोण त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

ए, बी - त्रिकोण के पैर

सी - कर्ण

एक समद्विबाहु त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

a, b - त्रिभुज की भुजाएँ

सिद्ध कीजिए कि अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

\/(पी - ए) (पी - बी) (पी - सी) (पी - डी),

जहाँ p अर्ध-परिधि है और a, b, c और d चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

1/2 (ab + cb) sin α, जहाँ a, b, c और d चतुर्भुज की भुजाएँ हैं और α भुजाओं a और b के बीच का कोण है।

एस = √ [एक ƀ सी डी] पाप ½ (α + β)। - FB.ru पर और पढ़ें:

एक मनमाना चतुर्भुज (चित्र। 1.13) का क्षेत्रफल इसके पक्षों ए, बी, सी और विपरीत कोणों की एक जोड़ी के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

जहाँ p चतुर्भुज की अर्द्धपरिधि है।

एक वृत्त () (चित्र 1.14, क) में खुदे हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना ब्रह्मगुप्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

और वर्णित (चित्र। 1.14, बी) () - सूत्र के अनुसार

यदि चतुर्भुज खुदा हुआ है और एक ही समय में वर्णित है (चित्र 1.14, सी), तो सूत्र काफी सरल हो जाता है:

पीक फॉर्मूला

चेकर पेपर पर एक बहुभुज के क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है कि यह बहुभुज कितनी कोशिकाओं को कवर करता है (हम एक इकाई के रूप में सेल का क्षेत्र लेते हैं)। अधिक सटीक रूप से, यदि S बहुभुज का क्षेत्र है, तो बहुभुज के अंदर पूरी तरह से स्थित कोशिकाओं की संख्या है, और उन कोशिकाओं की संख्या है जिनमें बहुभुज के आंतरिक भाग के साथ कम से कम एक सामान्य बिंदु है।

नीचे हम केवल ऐसे बहुभुजों पर विचार करेंगे, जिनके सभी शीर्ष चेकर्ड पेपर के नोड्स पर स्थित हैं - उनमें जहां ग्रिड लाइनें प्रतिच्छेद करती हैं। यह पता चला है कि ऐसे बहुभुजों के लिए, आप निम्न सूत्र निर्दिष्ट कर सकते हैं:

क्षेत्र कहां है, आर नोड्स की संख्या है जो बहुभुज के अंदर सख्ती से स्थित है।

1899 में इसकी खोज करने वाले गणितज्ञ के नाम पर इस सूत्र को "शिखर सूत्र" कहा जाता है।