V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve vektorové operácie: vektorový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžite odkaz, kto to potrebuje)... Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, chce to viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto by mohol mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto sekcii vyššej matematiky je spravidla málo palivového dreva, okrem toho, že je ho dosť na Buratino. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý skalárny produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEMÝLIŤ SA VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné znalosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktických prácach

Ako vás hneď potešiť? Keď som bola malá, vedela som žonglovať s dvoma alebo aj tromi loptičkami. Obratne sa ukázalo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a rovinné vektory s dvomi súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnakým spôsobom ako v prípade bodového produktu, zahŕňa dva vektory... Nech sú to nehynúce písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať vektorový súčin vektorov tak, v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zahrnuté dva vektory a aj tu sa dva vektory vynásobia v čom je rozdiel? Zjavný rozdiel je predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom bodového súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom vektorového súčinu vektorov je VEKTOR:, čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu aj označenia líšiť, ja použijem písm.

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: Podľa vektorového produktu nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí s názvom VECTOR, dĺžkačo číselne rovná ploche rovnobežníka postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberáme definíciu podľa kostí, existuje veľa zaujímavých vecí!

Preto je možné zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Pôvodné vektory, podľa definície označené červenými šípkami nie kolineárne... O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Zoberú sa vektory v presne stanovenom poradí: – "A" sa vynásobí "bh", a nie "bh" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora) sa numericky rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a, samozrejme, nominálna dĺžka krížového produktu sa nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi... Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký to má praktický význam? A význam je, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Zoberme si druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj. ... Samozrejme, opačne nasmerovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka... Mentálne spojiť ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prsteník a malíček stlačte ho do dlane. Ako výsledok palec- krížový produkt sa pozrie hore. Toto je správne orientovaný základ (na obrázku je to ono). Teraz zmeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa palec na niektorých miestach rozvinie a krížový produkt sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: čo je základom ľavicovej orientácie? "Priradiť" rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získajte ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora)... Obrazne povedané, tieto základne „krútia“ alebo orientujú priestor rôznymi smermi. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení najbežnejším zrkadlom a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, potom vo všeobecnom prípade nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)

Krížový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne analyzovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, tak sa môžu nachádzať na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nulová.

Teda ak, tak a ... Všimnite si, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že je tiež nulový.

Špeciálnym prípadom je samotný vektorový súčin vektora:

Pomocou krížového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov možno budete potrebovať trigonometrická tabuľka nájsť z neho sínusové hodnoty.

Tak si zapálime:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, schválne som urobil počiatočné údaje vo vetách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa podmienky je potrebné nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže otázka bola položená na dĺžku, potom v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.

b) Podľa podmienky je potrebné nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujem, že odpoveď o vektorovom súčine vôbec neprichádza do úvahy, pýtali sa nás oblasť postavy, respektíve rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napäté otravovanie - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že človek nerozumie jednoduchým veciam a / alebo nerozumie podstate úlohy. Tento moment treba mať stále pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne zapichnúť do riešenia, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez krížový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky vás vo všeobecnosti dokážu potrápiť.

Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:

Vlastnosti vektorového produktu

Niektoré vlastnosti krížového produktu sme už zvážili, ale zahrniem ich do tohto zoznamu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií táto položka zvyčajne nie je zvýraznená vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) - o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť... Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) - kombinácia resp asociatívne zákony vektorového produktu. Konštanty sa bez problémov odstránia mimo vektorového súčinu. Naozaj, čo by tam mali robiť?

4) - distribúcia resp distributívny zákony vektorového produktu. Problémy nie sú ani s rozširovaním držiakov.

Ako ukážku zvážte krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podľa stavu je opäť potrebné nájsť dĺžku krížového produktu. Napíšeme si našu miniatúru:

(1) Podľa asociačných zákonov posúvame konštanty mimo delenia vektorového súčinu.

(2) Konštantu presunieme von z modulu, pričom modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Čo nasleduje, je jasné.

Odpoveď:

Je čas priložiť drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Oblasť trojuholníka sa nájde podľa vzorca ... Háčik je v tom, že samotné vektory "tse" a "de" sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady 3 a 4 lekcie Bodový súčin vektorov... Pre prehľadnosť rozdeľme riešenie do troch etáp:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt ako vektorový produkt, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora... O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Náhradné vektorové výrazy.

(2) Pomocou distributívnych zákonov rozširujeme zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty mimo vektorových súčinov. S trochou skúseností možno akcie 2 a 3 vykonávať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli príjemnej vlastnosti. V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

Výsledkom bolo, že vektor bol vyjadrený ako vektor, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia sa podobá príkladu 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Rozhodnutia 2. až 3. etapy by mohli byť dokončené v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testovacích dokumentoch celkom bežný, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Pozrime sa, aký pozorný si bol pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Vektorový súčin vektorov v súradniciach

podávané na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „dáme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vektory vynásobiť v inom poradí, riadky by sa mali vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b)

Riešenie: Kontrola je založená na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin sa rovná nule (nulový vektor): .

a) Nájdite krížový produkt:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite krížový produkt:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože nie je veľa úloh, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Zoradili sa teda s malým vláčikom a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa im to podarí.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí sa volá objem rovnobežnostena, postavená na daných vektoroch, vybavená znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.

Dokončíme výkres. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Zoberú sa vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, neprejde bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO:. V náučnej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvyknem označovať zmiešané dielo a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

Podľa definície zmiešaný produkt je objem rovnobežnostena postavené na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu tohto rovnobežnostena.

Poznámka : výkres je schematický.

4) Netrápme sa nanovo pojmom základne a orientácie priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešané dielo môže byť negatívne:.

Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a, b a c v uvedenom poradí tvoria pravý triplet, ak od konca tretieho vektora c je najkratšia rotácia od prvého vektora a k druhému vektoru b proti smeru hodinových ručičiek a vľavo, ak je v smere hodinových ručičiek (pozri obr. . šestnásť).

Vektorový súčin vektora a vektorom b je vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), tzn.

3. Vektory a, b a c tvoria pravotočivý triplet.

Krížový produkt je označený a x b alebo [a, b]. Definícia vektorového súčinu priamo implikuje nasledujúce vzťahy medzi vektormi i, j a k(pozri obr. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokážme to napríklad i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, ale | i x j| = | i | J | sin (90°) = 1;

3) vektory i, ja k tvoria pravostrannú trojicu (pozri obr. 16).

7.2. Vlastnosti vektorového produktu

1. Keď sú faktory preusporiadané, vektorový súčin zmení znamienko; a xb = (b xa) (pozri obr. 19).

Vektory a xb a b sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale opačné smery (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). To jest a xb = -(b xa).

2. Vektorový súčin má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, tj l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Nech je l> 0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a) x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l a ležia v rovnakej rovine). Preto tie vektory l(a xb) a ( l a) x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:

Takže l(a хb) = l a xb. Podobne sa to dá dokázať aj pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a b kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich krížový súčin rovná nulovému vektoru, t. j. a || b<=>a xb = 0.

Konkrétne i * i = j * j = k * k = 0.

4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Prijmeme to bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového súčinu pomocou súradníc

Použijeme tabuľku krížových súčinov vektorov i, j a k:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak nie, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech sú dané dva vektory a = a x i + a y j+ a z k a b = b x i+ b y j+ b z k... Nájdite krížový súčin týchto vektorov a vynásobte ich ako polynómy (podľa vlastností krížového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte kratšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie vektorovej práce

Stanovenie kolineárnych vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície vektorového súčinu vektorov a a b | a xb | =| a | * | b | sin g, teda S párov = | a x b |. A preto D S = 1/2 | a x b |.

Určenie momentu sily vzhľadom na bod

Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že moment sily F vzhľadom na bod O sa nazýva vektor M, ktorý ide cez bod O a:

1) kolmá na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily na rameno

3) tvorí pravý triplet s vektormi OA a AB.

Preto M = OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v = w хr, kde r = ОМ, kde О je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

Predtým, ako uvedieme pojem vektorového súčinu, prejdime k otázke orientácie usporiadanej trojice vektorov a →, b →, c → v trojrozmernom priestore.

Odložme na začiatok vektory a →, b →, c → z jedného bodu. Orientácia trojice a →, b →, c → môže byť pravá alebo ľavá, v závislosti od smeru samotného vektora c →. Zo smeru, v ktorom je najkratšia rotácia vektora a → do b → od konca vektora c →, sa určí tvar trojice a →, b →, c →.

Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov a →, b →, c → správny ak v smere hodinových ručičiek - vľavo.

Ďalej zoberte dva nekolineárne vektory a → a b →. Odložme potom vektory A B → = a → a A C → = b → z bodu A. Zostrojíme vektor A D → = c →, ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C →. Takže pri konštrukcii samotného vektora A D → = c → môžeme urobiť dve veci, pričom mu dáme jeden alebo opačný smer (pozri obrázok).

Usporiadaná trojica vektorov a →, b →, c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá, v závislosti od smeru vektora.

Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu krížového produktu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov a → a b → budeme volať taký vektor daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:

• ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude to nula;
• bude kolmá na vektor a → aj vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• jeho dĺžka je určená vzorcom: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• trojica vektorov a →, b →, c → má rovnakú orientáciu ako daný súradnicový systém.

Vektorový súčin vektorov a → a b → má nasledujúci zápis: a → × b →.

Vektorové súradnice produktu

Keďže akýkoľvek vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, môžete zadať druhú definíciu krížového súčinu, ktorá vám umožní nájsť jeho súradnice podľa daných súradníc vektorov.

Definícia 2

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → = (a x; a y; a z) a b → = (b x; b y; b z) vektor nazývaný c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, kde i →, j →, k → sú súradnicové vektory.

Vektorový súčin možno znázorniť ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok sú vektory jednotkových vektorov i →, j →, k →, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a →, a tretí sú súradnice vektora b → v danom pravouhlom súradnicovom systéme tento determinant matice vyzerá takto: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnosť: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vlastnosti vektorového produktu

Je známe, že vektorový súčin v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, potom na zákl. vlastnosti determinantu matice zobrazí nasledovné Vlastnosti vektorového produktu:

1. antikomutivita a → × b → = - b → × a →;
2. distributivita a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. asociativita λ a → × b → = λ a → × b → alebo a → × (λ b →) = λ a → × b →, kde λ je ľubovoľné reálne číslo.

Tieto vlastnosti nie je ťažké dokázať.

Ako príklad môžeme dokázať antikomutatívnu vlastnosť vektorového produktu.

Dôkaz antikomutatívnosti

Podľa definície a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. A ak sa dva riadky matice preusporiadajú, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, preto a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, čo a dokazuje antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia

Vo väčšine prípadov ide o tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sa zvyčajne udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi, ale musíte nájsť dĺžku krížového produktu. V tomto prípade použite nasledujúci vzorec c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Príklad 1

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a → a b → ak poznáte a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Riešenie

Určením dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → vyriešime tento problém: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

odpoveď: 15 2 2 .

Úlohy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, v nich krížovým súčinom, jeho dĺžkou atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → = (a x; a y; a z) a b → = (b x; b y; b z) .

Pre tento typ úloh môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nemožno uviesť súradnice vektorov a → a b →, ale ich expanzie v súradnicových vektoroch tvaru b → = b x i → + b y j → + b z k → a c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, alebo môžu byť špecifikované vektory a → a b → podľa súradníc ich začiatočných a koncových bodov.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú dané dva vektory a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Nájdite ich krížový produkt.

Riešenie

Podľa druhej definície nájdeme vektorový súčin dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Ak vektorový súčin zapíšeme cez determinant matice, potom riešenie tohto príkladu vyzerá takto: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

odpoveď: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Príklad 3

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k →, kde i →, j →, k → sú jednotkové vektory pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie

Najprv nájdeme súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1; - 1; 0) a (1; 1; 1). Nájdite dĺžku vektorového súčinu pomocou determinantu matice, potom máme i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Preto vektorový súčin i → - j → × i → + j → + k → má súradnice (- 1; - 1; 2) v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme podľa vzorca (pozri časť o hľadaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Príklad 4

V pravouhlej karteziánskej súradnicovej sústave sú uvedené súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.

Riešenie

Vektory A B → a A C → majú nasledujúce súradnice (- 1; 2; 2) a (0; 4; 1). Po nájdení vektorového súčinu vektorov A B → a A C → je zrejmé, že ide o kolmý vektor podľa definície k A B → aj A C →, to znamená, že je riešením nášho problému. Nájdeme to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k →. - jeden z kolmých vektorov.

Problémy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po jeho aplikácii získame riešenie daného problému.

Príklad 5

Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžky sú 3 a 4. Nájdite dĺžku vektorového súčinu 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Riešenie

Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Vlastnosťou asociatívnosti posunieme číselné koeficienty mimo znamienka vektorových súčinov v poslednom výraze: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorové produkty a → × a → a b → × b → sú 0, pretože a → × a → = a → a → sin 0 = 0 a b → × b → = b → b → sin 0 = 0, potom 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Antikomutivita vektorového produktu implikuje - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Podľa hypotézy sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je π 2. Teraz zostáva len nahradiť nájdené hodnoty do zodpovedajúcich vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = = 5 a → × b → = 5 a → b → · hriech (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dĺžka vektorového súčinu vektorov podľa usporiadania sa rovná a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Pretože je už známe (zo školského kurzu), že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. Preto sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, konkrétne súčinu strán vo forme vektorov a → a b →, vyčlenených z jedného bodu, o sínus uhol medzi nimi sin ∠ a →, b →.

Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

Fyzikálny význam vektorového produktu

V mechanike, jednom z odvetví fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vzhľadom na bod v priestore.

Definícia 3

Momentom sily F → pôsobiacej na bod B vo vzťahu k bodu A rozumieme nasledujúci vektorový súčin A B → × F →.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

ZMIEŠANÝ PRODUKT TROCH VEKTOROV A JEHO VLASTNOSTI

Zmiešaná práca tri vektory sa nazývajú číslo rovné. Označené ... Tu sa prvé dva vektory vynásobia vektorovo a výsledný vektor sa potom skalárne vynásobí tretím vektorom. Je zrejmé, že takýto produkt je určitý počet.

Zvážte vlastnosti zmiešaného produktu.

1. Geometrický význam zmiešaná práca. Zmiešaný súčin 3 vektorov až po znamienko sa rovná objemu kvádra postaveného na týchto vektoroch, ako na hranách, t.j. ...

   Takto a .

   

   Dôkaz... Odložte vektory zo spoločného počiatku a postavte na nich rovnobežnosten. Označme a všimnime si to. Podľa definície bodového produktu

   Za predpokladu, že a označovať tým h výšku rovnobežnostena, nájdeme.

   Teda pre

   Ak, tak a. Preto, .

   Spojením oboch týchto prípadov dostaneme resp.

   Z dôkazu tejto vlastnosti najmä vyplýva, že ak je triplet vektorov pravý, potom ide o zmiešaný súčin, a ak je ľavý, potom.

2. Pre všetky vektory,, rovnosť

   Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z vlastnosti 1. Vskutku, je ľahké ukázať, že a. Okrem toho sa znamienka "+" a "-" berú súčasne, pretože uhly medzi vektormi a a a sú ostré alebo tupé.

3. Pri permutácii akýchkoľvek dvoch faktorov zmiešaný produkt zmení znamienko.

   Ak totiž uvažujeme o zmiešanom diele, tak napríklad príp

4. Zmiešaný súčin vtedy a len vtedy, ak je jeden z faktorov nula alebo sú vektory koplanárne.

   Dôkaz.

   Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre koplanaritu 3 vektorov je teda rovnosť k nule ich zmiešaného produktu. Okrem toho z toho vyplýva, že tri vektory tvoria základ v priestore, ak.

   Ak sú vektory uvedené v súradnicovej forme, potom je možné ukázať, že ich zmiešaný produkt sa nachádza podľa vzorca:

   .

   Zmiešaný súčin sa teda rovná determinantu tretieho rádu, v ktorom prvý riadok obsahuje súradnice prvého vektora, druhý riadok obsahuje súradnice druhého vektora a tretí riadok obsahuje tretí vektor.

   Príklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIA V PRIESTORE

Rovnica F (x, y, z)= 0 definuje v priestore Oxyz nejaký povrch, t.j. lokus bodov, ktorých súradnice x, y, z splniť túto rovnicu. Táto rovnica sa nazýva rovnica povrchu a x, y, z- aktuálne súradnice.

Často však povrch nie je špecifikovaný rovnicou, ale ako množina bodov v priestore, ktoré majú tú či onú vlastnosť. V tomto prípade je potrebné nájsť rovnicu povrchu na základe jeho geometrických vlastností.

PLANE (lietadlo).

NORMÁLNY ROVINNÝ VEKTOR.

ROVNICE PRE LIETADLO, KTORÉ PREJDE DANÝM BODOM

Uvažujme ľubovoľnú rovinu σ v priestore. Jeho poloha je určená špecifikovaním vektora kolmého na túto rovinu a nejakého pevného bodu M 0(x 0, y 0, z 0) ležiace v rovine σ.

Vektor kolmý na rovinu σ sa nazýva normálne vektor tejto roviny. Nech má vektor súradnice.

Odvoďme rovnicu roviny σ prechádzajúcej daným bodom M 0 a majúci normálny vektor. Za týmto účelom zoberte ľubovoľný bod v rovine σ M (x, y, z) a zvážte vektor.

Za akýkoľvek bod MÎ σ je vektor, preto je ich skalárny súčin rovný nule. Táto rovnosť je podmienkou, že bod MÎ σ. Platí pre všetky body tejto roviny a porušuje sa hneď po bode M bude mimo roviny σ.

Ak označíme polomerovým vektorom bodu M, Je vektor polomeru bodu M 0, potom možno rovnicu zapísať aj v tvare

Táto rovnica sa nazýva vektor rovnica roviny. Zapíšme si to v súradnicovom tvare. Odvtedy

Dostali sme teda rovnicu roviny prechádzajúcej týmto bodom. Na vytvorenie rovnice roviny teda potrebujete poznať súradnice normálového vektora a súradnice nejakého bodu ležiaceho v rovine.

Všimnite si, že rovnica roviny je rovnicou 1. stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice x, y a z.

Príklady.

VŠEOBECNÁ ROVNICE LIETADLA

Dá sa ukázať, že akákoľvek rovnica prvého stupňa vzhľadom na karteziánske súradnice x, y, z je rovnica určitej roviny. Táto rovnica je napísaná takto:

Ax + By + Cz + D=0

a volal všeobecná rovnica rovinu a súradnice A, B, C tu sú súradnice normálového vektora roviny.

Zvážte špeciálne prípady všeobecnej rovnice. Poďme zistiť, ako je rovina umiestnená vzhľadom na súradnicový systém, ak jeden alebo niekoľko koeficientov rovnice zmizne.

A je dĺžka priamky prerezanej rovinou na osi Vôl... Podobne sa to dá ukázať b a c- dĺžky segmentov odrezaných príslušnou rovinou na osiach Oj a Oz.

Na konštrukciu rovín je vhodné použiť rovinnú rovnicu v úsečkách.

V tomto článku sa budeme venovať konceptu krížového súčinu dvoch vektorov. Dáme potrebné definície, napíšeme vzorec na zistenie súradníc vektorového súčinu, vymenujeme a zdôvodníme jeho vlastnosti. Potom sa zastavíme pri geometrickom význame vektorového súčinu dvoch vektorov a zvážime riešenia rôznych typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia krížového produktu.

Pred definovaním vektorového súčinu zistime orientáciu usporiadanej trojice vektorov v trojrozmernom priestore.

Odložte vektory z jedného bodu. V závislosti od smeru vektora môže byť trojica pravá alebo ľavá. Pozrime sa od konca vektora na to, ako dôjde k najkratšej rotácii z vektora do. Ak dôjde k najkratšej rotácii proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov správny, inak - vľavo.

Teraz vezmeme dva nekolineárne vektory a. Nechajme bokom vektory a z bodu A. Zostrojme nejaký vektor kolmý na obe a a. Je zrejmé, že pri konštrukcii vektora môžeme urobiť dve veci a dať mu jeden alebo opačný smer (pozri obrázok).

V závislosti od smeru vektora môže byť usporiadaná trojica vektorov pravá alebo ľavá.

Takže sa blížime k definícii vektorového produktu. Udáva sa pre dva vektory, dané v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia.

Vektorový súčin dvoch vektorov a daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru sa nazýva vektor taký, že

Vektorový súčin vektorov a je označený ako.

Vektorové súradnice produktu.

Teraz uveďme druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá umožňuje nájsť jeho súradnice podľa súradníc daných vektorov a.

Definícia.

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru krížový súčin dvoch vektorov a je vektor, kde sú súradnicové vektory.

Táto definícia nám dáva krížový súčin v súradnicovej forme.

Vektorový súčin je vhodné reprezentovať vo forme determinantu štvorcovej matice tretieho rádu, ktorej prvý riadok sú jednotkové vektory, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a tretí súradnice vektor v danom pravouhlom súradnicovom systéme:

Ak tento determinant rozšírime o prvky prvého riadku, dostaneme rovnosť z definície vektorového produktu v súradniciach (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Je potrebné poznamenať, že súradnicová forma krížového produktu je plne v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Okrem toho sú tieto dve definície krížového produktu ekvivalentné. Dôkaz o tejto skutočnosti môžete vidieť v knihe uvedenej na konci článku.

Vlastnosti vektorového produktu.

Keďže krížový súčin v súradniciach môže byť reprezentovaný vo forme maticového determinantu, nasledujúce sú ľahko odôvodnené na základe vlastnosti vektorového produktu:

Ako príklad ukážme antikomutatívnu vlastnosť vektorového produktu.

Podľa definície a ... Vieme, že hodnota determinantu matice je obrátená, ak sa vymenia dva riadky, preto , čo dokazuje vlastnosť antikomutativity vektorového súčinu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia.

V zásade existujú tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sa udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi a je potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. V tomto prípade sa použije vzorec .

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a ak je známy .

Riešenie.

Z definície vieme, že dĺžka vektorového súčinu vektorov a je rovná súčinu dĺžok vektorov a sínusu uhla medzi nimi, teda, .

odpoveď:

.

Problémy druhého typu sú spojené so súradnicami vektorov, v ktorých sa cez súradnice daných vektorov hľadá krížový súčin, jeho dĺžka alebo niečo iné. a .

Tu je možných veľa rôznych možností. Napríklad nie súradnice vektorov a môžu byť špecifikované, ale ich rozšírenie v súradnicových vektoroch formulára a, alebo vektory a môžu byť špecifikované súradnicami ich počiatočného a koncového bodu.

Uvažujme o typických príkladoch.

Príklad.

V pravouhlom súradnicovom systéme sú uvedené dva vektory ... Nájdite ich krížový produkt.

Riešenie.

Podľa druhej definície sa krížový súčin dvoch vektorov v súradniciach zapíše ako:

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by bol krížový súčin zapísaný v zmysle determinantu

odpoveď:

.

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a kde sú jednotkové vektory pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie.

Najprv nájdeme súradnice vektorového súčinu v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Pretože vektory a majú súradnice a podľa toho (ak je to potrebné, pozrite si súradnice článku vektora v pravouhlom súradnicovom systéme), potom druhou definíciou krížového súčinu máme

Teda krížový produkt má súradnice v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc (tento vzorec pre dĺžku vektora sme získali v časti o hľadaní dĺžky vektora):

odpoveď:

.

Príklad.

Súradnice troch bodov sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor, ktorý je kolmý a zároveň.

Riešenie.

Vektory a majú súradnice resp. (pozri článok o hľadaní súradníc vektora pomocou súradníc bodov). Ak nájdeme vektorový súčin vektorov a podľa definície je to vektor kolmý na k aj k, čiže je to riešenie nášho problému. Nájdi to

odpoveď:

- jeden z kolmých vektorov.

V úlohách tretieho typu sa testuje zručnosť využitia vlastností vektorového súčinu vektorov. Po použití vlastností sa použijú zodpovedajúce vzorce.

Príklad.

Vektory a sú kolmé a ich dĺžka je 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu .

Riešenie.

Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme písať

Kvôli kombinačnej vlastnosti vyberáme číselné koeficienty mimo znamienka vektorových súčinov v poslednom výraze:

Vektorové súčiny a sú rovné nule, pretože a , potom .

Pretože krížový produkt je antikomutatívny, potom.

Použitím vlastností vektorového súčinu sme sa teda dostali k rovnosti .

Podľa podmienky sú vektory a kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovnaký. To znamená, že máme všetky údaje, aby sme našli požadovanú dĺžku

odpoveď:

.

Geometrický význam vektorového súčinu.

Podľa definície je dĺžka vektorového súčinu vektorov ... A z kurzu geometrie na strednej škole vieme, že plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžok dvoch strán trojuholníka a sínusu uhla medzi nimi. V dôsledku toho sa dĺžka vektorového produktu rovná dvojnásobku plochy trojuholníka s vektormi a stranami, ak sú oddelené od jedného bodu. Inými slovami, dĺžka vektorového súčinu vektorov a je rovná ploche rovnobežníka so stranami a uhlom medzi nimi sa rovná. Toto je geometrický význam vektorového produktu.