• apotéma- výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, ktorá sa kreslí z jej vrcholu (navyše apotéma je dĺžka kolmice, ktorá je znížená zo stredu pravidelného mnohouholníka na 1 jeho stranu);
• bočné steny (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v hornej časti;
• bočné rebrá ( AS , BS , CS , D.S. ) - spoločné strany bočných plôch;
• vrchol pyramídy (v. S) - bod, ktorý spája bočné hrany a ktorý neleží v rovine základne;
• výška ( SO ) - segment kolmice, ktorý je pretiahnutý cez vrchol pyramídy do roviny jej základne (konce takéhoto segmentu budú vrcholom pyramídy a základňou kolmice);
• diagonálny rez pyramídy- časť pyramídy, ktorá prechádza vrcholom a uhlopriečkou podstavy;
• základňu (A B C D) je mnohouholník, do ktorého vrchol pyramídy nepatrí.

vlastnosti pyramídy.

1. Keď majú všetky bočné okraje rovnakú veľkosť, potom:

• v blízkosti základne pyramídy je ľahké opísať kruh, zatiaľ čo vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• bočné rebrá zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou;
• okrem toho platí aj obrátene, t.j. keď bočné hrany zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou alebo keď je možné opísať kruh v blízkosti základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premietne do stredu tejto kružnice, potom všetky bočné hrany pyramídy majú rovnakej veľkosti.

2. Keď majú bočné plochy uhol sklonu k rovine základne rovnakej hodnoty, potom:

• v blízkosti základne pyramídy je ľahké opísať kruh, zatiaľ čo vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• výšky bočných plôch sú rovnako dlhé;
• plocha bočnej plochy je ½ súčinu obvodu základne a výšky bočnej plochy.

3. V blízkosti pyramídy možno opísať guľu, ak základňou pyramídy je mnohouholník, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín, ktoré prechádzajú stredmi okrajov pyramídy, ktoré sú na ne kolmé. Z tejto vety usudzujeme, že guľu možno opísať okolo akéhokoľvek trojuholníka a okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy.

4. Guľu možno vpísať do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v 1. bode (nutná a postačujúca podmienka). Tento bod sa stane stredom gule.

Najjednoduchšia pyramída.

Podľa počtu rohov základne pyramídy sa delia na trojuholníkové, štvoruholníkové atď.

Pyramída bude trojuholníkový, štvoruholníkový, a tak ďalej, keď základňou pyramídy je trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvorhranný - päťsten a tak ďalej.

Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Obviňujte slávne veľké egyptské divy sveta. Preto si väčšina študentov už pri začatí štúdia tohto nádherného mnohostenu jasne predstavuje. Všetky vyššie uvedené mieridlá sú v správnom tvare. Čo sa stalo pravá pyramída a aké vlastnosti má a o ktorých sa bude ďalej diskutovať.

V kontakte s

Definícia

Existuje mnoho definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.

Napríklad Euclid to definoval ako pevnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa začínajúc od jednej zbiehajú v určitom bode.

Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že ide o postavu, ktorá má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.

Na základe modernej interpretácie je pyramída prezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.

Pozrime sa bližšie, Z akých prvkov sa skladá?

• k-uholník sa považuje za základ obrázku;
• 3-uholníkové postavy vyčnievajú ako boky bočnej časti;
• horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
• všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
• ak je priamka spustená zhora do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť uzavretá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
• v ktoromkoľvek bočnom prvku na stranu nášho mnohostenu môžete nakresliť kolmicu, nazývanú apotém.

Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, ako je pyramída, sa dá určiť výrazom k + 1.

Dôležité! Ihlan pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.

Základné vlastnosti

Správna pyramída má veľa vlastností ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:

1. Základom je postava správneho tvaru.
2. Okraje pyramídy, obmedzujúce bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
3. Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
4. Základňa výšky postavy spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
5. Všetky bočné rebrá sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.
6. Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.

Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je výkon výpočtov prvkov výrazne zjednodušený. Na základe vyššie uvedených vlastností dávame do pozornosti dva znaky:

1. V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky okraje pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.

Námestie je založené

Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten založený na štvorci.

Má štyri bočné strany, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.

V rovine je znázornený štvorec, ale sú založené na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.

Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom sa použije nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Na základe pravidelného trojuholníka

Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.

Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom je to také číslo nazývaný štvorsten.

Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:

• uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
• hodnota všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
• ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
• nakreslené vo vnútri obrázku sú rovnaké prvky.

Úseky mnohostenu

V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií lietadlo. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:

• axiálne;
• paralelný základ.

Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.

Pozor! V pravidelnej pyramíde je axiálnym rezom rovnoramenný trojuholník.

Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme v kontexte postavu podobnú základni.

Napríklad, ak je základňa štvorec, potom časť rovnobežná so základňou bude tiež štvorec, len s menšou veľkosťou.

Pri riešení problémov za tejto podmienky sa používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže hornú časť mnohostenu, v spodnej časti sa získa pravidelná zrezaná pyramída. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.

Aby bolo možné určiť výšku zrezaného mnohostenu, je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.

Plochy povrchu

Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.

Existujú dva typy povrchovej plochy:

• plocha bočných prvkov;
• celú plochu povrchu.

Už z názvu je jasné, o čo ide. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:

1. Plocha rovnoramenného 3-uholníka je Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
2. Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota 4a=POS, kde POS je obvod základne. A výraz 1/2 * Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside \u003d Rosn * L.

Plocha celého povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p. = Sside + Sbase.

Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.

Objem pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbase*H, kde H je výška mnohostenu.

Čo je pravidelná pyramída v geometrii

Vlastnosti pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy

štvorhranná pyramída Mnohosten sa nazýva mnohosten, ktorého základňa je štvorec a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.

Tento mnohosten má mnoho rôznych vlastností:

• Jeho bočné rebrá a priľahlé dihedrálne uhly sú navzájom rovnaké;
• Oblasti bočných plôch sú rovnaké;
• Na základni pravidelného štvorbokého ihlana leží štvorec;
• Výška znížená z vrcholu pyramídy sa pretína s priesečníkom uhlopriečok základne.

Všetky tieto vlastnosti uľahčujú vyhľadávanie. Pomerne často je však okrem toho potrebné vypočítať objem mnohostenu. Na tento účel použite vzorec pre objem štvorhrannej pyramídy:

To znamená, že objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu výšky pyramídy a plochy základne. Keďže sa rovná súčinu jej rovnakých strán, vzorec štvorcovej plochy ihneď zadáme do objemového vyjadrenia.
Zvážte príklad výpočtu objemu štvorhrannej pyramídy.

Nech je daný štvorhranný ihlan, na základni ktorého leží štvorec so stranou a = 6 cm Bočná strana ihlanu je b = 8 cm Nájdite objem ihlana.

Na zistenie objemu daného mnohostenu potrebujeme dĺžku jeho výšky. Nájdeme ho teda použitím Pytagorovej vety. Najprv vypočítajme dĺžku uhlopriečky. V modrom trojuholníku to bude prepona. Je tiež potrebné pripomenúť, že uhlopriečky štvorca sú rovnaké a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:


Teraz z červeného trojuholníka nájdeme výšku, ktorú potrebujeme h. Bude sa rovnať:

Nahraďte požadované hodnoty a nájdite výšku pyramídy:

Teraz, keď poznáme výšku, môžeme nahradiť všetky hodnoty vo vzorci pre objem pyramídy a vypočítať požadovanú hodnotu:

Takto, poznajúc niekoľko jednoduchých vzorcov, sme dokázali vypočítať objem pravidelnej štvorhrannej pyramídy. Nezabudnite, že táto hodnota sa meria v kubických jednotkách.

Vzorce pre objem, bočný povrch a celkový povrch pyramídy

pyramídy

Uvažujme ľubovoľnú rovinu α, ľubovoľný konvexný n-uholník A 1 A 2 ... A n , ktorý sa nachádza v tejto rovine, a bod S, ktorý neleží v rovine α .

Definícia 1. Pyramída ( n - uhoľná pyramída) nazvime útvar tvorený úsečkami spájajúcimi bod S so všetkými bodmi mnohouholníka A 1 A 2 ... A n (obr. 1).

Poznámka 1. Pripomeňme si, že polygón A 1 A 2 ... A n pozostáva z uzavretej prerušovanej čiary A 1 A 2 ... A n a časť roviny ňou ohraničená.

Definícia 2.

Tetrahedra. Pravidelný štvorsten

Definícia 5. Ľubovoľná trojuholníková pyramída sa nazýva štvorsten.

Vyhlásenie. Pre každú pravidelnú trojuholníkovú pyramídu sú protiľahlé hrany párovo kolmé.

Dôkaz. Zoberme si pravidelnú trojuholníkovú pyramídu SABC a pár jej protiľahlých hrán, ako sú AC a BS. Nech D označuje stred hrany AC . Keďže úsečky BD a SD sú mediány v rovnoramenných trojuholníkoch ABC a ASC , potom sú BD a SD kolmé na hranu AC (obr. 4).

kde písmeno D označuje stred hrany AC (obr. 6).

Pytagorovou vetou z trojuholníka BSO nájdeme

Odpoveď.

Vzorce pre objem, bočnú a celkovú plochu pyramídy

Uvádzame nasledujúci zápis

Potom platí nasledovné vzorce na výpočet objemu, plochy bočného a celého povrchu pyramídy:

zadarmo