विश्वास अंतरालसांख्यिकीय मात्रा के सीमित मूल्य हैं, जो एक निश्चित विश्वास संभावना γ के साथ, इस अंतराल में एक बड़े नमूना आकार के साथ होंगे। P(θ - ε के रूप में निरूपित। व्यवहार में, विश्वास संभावना γ को मानों से चुना जाता है γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 एकता के काफी करीब।

सेवा कार्य. यह सेवा परिभाषित करती है:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल, विचरण के लिए विश्वास्यता अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल;

परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा जाता है (उदाहरण देखें)। नीचे प्रारंभिक डेटा कैसे भरना है, इस पर एक वीडियो निर्देश है।

उदाहरण 1। एक सामूहिक खेत पर, 1,000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण के अधीन किया गया था। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ 4.2 किलोग्राम की औसत ऊन कतरनी स्थापित की गई। 0.99 की प्रायिकता के साथ निर्धारित करें कि प्रति भेड़ औसत ऊन कतरनी का निर्धारण करने में नमूने की मानक त्रुटि और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है।
उदाहरण #2। मास्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के बैच से, उत्पाद "ए" के 20 नमूने यादृच्छिक पुन: नमूने के क्रम में लिए गए थे। जाँच के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी की मात्रा स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी की मात्रा की सीमा 0.683 की संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण #3। 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला है कि प्रति शैक्षणिक वर्ष में उनके द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या 6 हो गई। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की संख्या 6 के बराबर मानक विचलन के साथ एक सामान्य वितरण कानून है, ज्ञात कीजिए। : ए) इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए 0.99 अंतराल अनुमान की विश्वसनीयता के साथ; बी) किस संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति सेमेस्टर में एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या, इस नमूने के लिए गणना की गई, गणितीय अपेक्षा से पूर्ण मूल्य में 2 से अधिक नहीं है।

विश्वास अंतराल का वर्गीकरण

मूल्यांकन किए जा रहे पैरामीटर के प्रकार से:

नमूना प्रकार से:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

प्रतिचयन को पुन: प्रतिचयन कहते हैं, यदि चयनित वस्तु अगले को चुनने से पहले सामान्य आबादी को वापस कर दी जाती है। नमूने को गैर-दोहराव कहा जाता है।यदि चयनित वस्तु सामान्य जनसंख्या में वापस नहीं आती है। व्यवहार में, आमतौर पर गैर-दोहराए जाने वाले नमूनों से संबंधित होता है।

यादृच्छिक चयन के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना

नमूने से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों और सामान्य जनसंख्या के संबंधित मापदंडों के बीच विसंगति को कहा जाता है प्रतिनिधित्व त्रुटि.
सामान्य और नमूना जनसंख्या के मुख्य मापदंडों का पदनाम।

नमूना माध्य त्रुटि सूत्र
पुनर्चयन		गैर-दोहराव चयन
मध्य के लिए	शेयर के लिए	मध्य के लिए	शेयर के लिए

नमूना त्रुटि सीमा (Δ) के बीच का अनुपात कुछ संभावना के साथ गारंटीकृत है पी (टी),और औसत नमूनाकरण त्रुटि का रूप है: या Δ = t μ, जहां टी- विश्वास गुणांक, अभिन्न लैपलेस फ़ंक्शन की तालिका के अनुसार संभाव्यता पी (टी) के स्तर के आधार पर निर्धारित किया गया है।

उचित यादृच्छिक चयन पद्धति के साथ नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र

मन न केवल ज्ञान में है, बल्कि व्यवहार में ज्ञान को लागू करने की क्षमता में भी है। (अरस्तू)

विश्वास अंतराल

सामान्य समीक्षा

आबादी से एक नमूना लेते हुए, हम अपने लिए ब्याज के पैरामीटर का एक बिंदु अनुमान प्राप्त करेंगे और अनुमान की सटीकता को इंगित करने के लिए मानक त्रुटि की गणना करेंगे।

हालांकि, ज्यादातर मामलों के लिए, मानक त्रुटि इस तरह स्वीकार्य नहीं है। जनसंख्या पैरामीटर के अंतराल अनुमान के साथ परिशुद्धता के इस माप को जोड़ना अधिक उपयोगी है।

यह पैरामीटर के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल (CI - कॉन्फिडेंस इंटरवल, CI - कॉन्फिडेंस इंटरवल) की गणना करने के लिए सैंपल स्टेटिस्टिक (पैरामीटर) के सैद्धांतिक संभाव्यता वितरण के ज्ञान का उपयोग करके किया जा सकता है।

सामान्य तौर पर, विश्वास अंतराल दोनों दिशाओं में अनुमानों को मानक त्रुटि (किसी दिए गए पैरामीटर के) के कुछ गुणकों द्वारा बढ़ाता है; अंतराल को परिभाषित करने वाले दो मान (आत्मविश्वास सीमा) आमतौर पर अल्पविराम से अलग होते हैं और कोष्ठक में संलग्न होते हैं।

माध्य के लिए विश्वास अंतराल

सामान्य वितरण का उपयोग करना

यदि नमूना आकार बड़ा है तो नमूना माध्य का सामान्य वितरण होता है, इसलिए नमूना माध्य पर विचार करते समय सामान्य वितरण का ज्ञान लागू किया जा सकता है।

विशेष रूप से, नमूना साधनों के वितरण का 95% जनसंख्या माध्य के 1.96 मानक विचलन (एसडी) के भीतर है।

जब हमारे पास केवल एक नमूना होता है, तो हम इसे माध्य (SEM) की मानक त्रुटि कहते हैं और माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना इस प्रकार करते हैं:

यदि इस प्रयोग को कई बार दोहराया जाता है, तो अंतराल में वास्तविक जनसंख्या माध्य 95% समय होगा।

यह आमतौर पर एक विश्वास अंतराल है, जैसे मूल्यों की श्रेणी जिसके भीतर वास्तविक जनसंख्या माध्य (सामान्य माध्य) 95% विश्वास स्तर के साथ स्थित है।

हालांकि यह काफी सख्त नहीं है (जनसंख्या का मतलब एक निश्चित मूल्य है और इसलिए इससे संबंधित संभावना नहीं हो सकती है) इस तरह से विश्वास अंतराल की व्याख्या करने के लिए, यह अवधारणात्मक रूप से समझना आसान है।

प्रयोग टी-वितरण

यदि आप जनसंख्या में भिन्नता का मान जानते हैं तो आप सामान्य वितरण का उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, जब नमूना आकार छोटा होता है, तो नमूना माध्य एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है यदि जनसंख्या के अंतर्गत डेटा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।

यदि जनसंख्या में अंतर्निहित डेटा सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है और/या सामान्य भिन्नता (जनसंख्या भिन्नता) अज्ञात है, तो नमूना माध्य का पालन करता है छात्र का टी-वितरण.

जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल की गणना इस प्रकार करें:

कहाँ - प्रतिशत बिंदु (प्रतिशतक) टी-(n-1) स्वतंत्रता की डिग्री के साथ छात्र वितरण, जो 0.05 की दो-पुच्छीय संभावना देता है।

सामान्य तौर पर, यह सामान्य वितरण का उपयोग करते समय की तुलना में एक व्यापक अंतराल प्रदान करता है, क्योंकि यह उस अतिरिक्त अनिश्चितता को ध्यान में रखता है जो जनसंख्या मानक विचलन और/या छोटे नमूना आकार के कारण पेश की जाती है।

जब नमूना आकार बड़ा होता है (100 या अधिक के क्रम में), दो वितरणों के बीच का अंतर ( टी छात्रऔर सामान्य) नगण्य है। हालाँकि, हमेशा उपयोग करें टी-विश्वास अंतराल की गणना करते समय वितरण, भले ही नमूना आकार बड़ा हो।

आमतौर पर 95% सीआई दिया जाता है। अन्य कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की गणना की जा सकती है, जैसे कि माध्य के लिए 99% CI।

मानक त्रुटि और तालिका मान के उत्पाद के बजाय टी-वितरण जो 0.05 की दो-पुच्छ प्रायिकता से मेल खाता है, इसे (मानक त्रुटि) उस मान से गुणा करें जो 0.01 की दो-पुच्छीय प्रायिकता से मेल खाती है। यह 95% मामले की तुलना में एक व्यापक विश्वास अंतराल है क्योंकि यह बढ़े हुए विश्वास को दर्शाता है कि अंतराल वास्तव में जनसंख्या माध्य को शामिल करता है।

अनुपात के लिए विश्वास अंतराल

अनुपातों के प्रतिचयन बंटन में द्विपद बंटन होता है। हालांकि, अगर नमूना आकार एनयथोचित रूप से बड़ा है, तो अनुपात नमूना वितरण माध्य के साथ लगभग सामान्य है।

नमूना अनुपात द्वारा अनुमान पी = आर / एन(कहाँ आर- हमारे लिए ब्याज की विशेषताओं के साथ नमूने में व्यक्तियों की संख्या), और मानक त्रुटि का अनुमान है:

अनुपात के लिए 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल अनुमानित है:

यदि नमूना आकार छोटा है (आमतौर पर कब एनपीया एन (1-पी)कम 5 ), तो सटीक विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए द्विपद वितरण का उपयोग किया जाना चाहिए।

ध्यान दें कि अगर पीप्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, फिर (1-पी)द्वारा प्रतिस्थापित (100पी).

विश्वास अंतराल की व्याख्या

विश्वास अंतराल की व्याख्या करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों में रुचि रखते हैं:

कॉन्फ़िडेंस इंटरवल कितना चौड़ा है?

एक व्यापक विश्वास अंतराल इंगित करता है कि अनुमान सटीक नहीं है; संकीर्ण एक अच्छा अनुमान दर्शाता है।

विश्वास अंतराल की चौड़ाई मानक त्रुटि के आकार पर निर्भर करती है, जो बदले में, नमूना आकार पर निर्भर करती है और, डेटा की परिवर्तनशीलता से एक संख्यात्मक चर पर विचार करते समय, एक बड़े डेटा सेट के अध्ययन की तुलना में व्यापक विश्वास अंतराल देती है। कुछ चरों का।

क्या सीआई में विशेष रुचि के कोई मूल्य शामिल हैं?

आप जांच कर सकते हैं कि जनसंख्या पैरामीटर के लिए संभावित मान विश्वास अंतराल के भीतर आता है या नहीं। यदि हाँ, तो परिणाम इस संभावित मान के अनुरूप हैं। यदि नहीं, तो यह संभावना नहीं है (95% विश्वास अंतराल के लिए, मौका लगभग 5% है) कि पैरामीटर में यह मान है।

पिछले उपखंडों में, हमने अज्ञात पैरामीटर का आकलन करने के प्रश्न पर विचार किया एएक नंबर। इस तरह के आकलन को "बिंदु" कहा जाता है। कई कार्यों में, न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता होती है एउपयुक्त संख्यात्मक मान, लेकिन इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का भी मूल्यांकन करें। यह जानना आवश्यक है कि पैरामीटर प्रतिस्थापन से क्या त्रुटियां हो सकती हैं एइसका बिंदु अनुमान एऔर किस हद तक विश्वास के साथ हम उम्मीद कर सकते हैं कि ये त्रुटियां ज्ञात सीमाओं से परे नहीं जाएंगी?

इस तरह की समस्याएं विशेष रूप से टिप्पणियों की एक छोटी संख्या के लिए प्रासंगिक होती हैं, जब बिंदु का अनुमान लगाया जाता है और मेंकाफी हद तक यादृच्छिक है और a द्वारा a के अनुमानित प्रतिस्थापन से गंभीर त्रुटियाँ हो सकती हैं।

अनुमान की सटीकता और विश्वसनीयता का अंदाजा लगाने के लिए ए,

गणितीय आँकड़ों में, तथाकथित कॉन्फिडेंस इंटरवल और कॉन्फिडेंस प्रायिकता का उपयोग किया जाता है।

चलो पैरामीटर के लिए एअनुभव से प्राप्त निष्पक्ष अनुमान एक।हम इस मामले में संभावित त्रुटि का अनुमान लगाना चाहते हैं। आइए हम कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी प्रायिकता p निर्दिष्ट करें (उदाहरण के लिए, p = 0.9, 0.95, या 0.99) ताकि प्रायिकता p वाली घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सके, और s का मान ज्ञात करें जिसके लिए

फिर त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा जो प्रतिस्थापित करते समय होती है एपर ए, ± s होगा; बड़ी निरपेक्ष त्रुटियाँ केवल एक छोटी संभावना a = 1 - p के साथ दिखाई देंगी। आइए (14.3.1) को इस रूप में फिर से लिखें:

समानता (14.3.2) का अर्थ है कि संभाव्यता पी के साथ पैरामीटर का अज्ञात मान एअन्तराल में पड़ता है

इस मामले में, एक परिस्थिति पर ध्यान दिया जाना चाहिए। पहले, हमने बार-बार एक यादृच्छिक चर के दिए गए गैर-यादृच्छिक अंतराल में गिरने की संभावना पर विचार किया। यहां स्थिति अलग है : एयादृच्छिक नहीं, बल्कि यादृच्छिक अंतराल / आर। इसके केंद्र द्वारा निर्धारित एक्स-अक्ष पर बेतरतीब ढंग से इसकी स्थिति ए; सामान्य तौर पर, अंतराल 2s की लंबाई भी यादृच्छिक होती है, क्योंकि s के मान की गणना, एक नियम के रूप में, प्रयोगात्मक डेटा से की जाती है। इसलिए, इस मामले में, p के मान की व्याख्या करना बेहतर होगा न कि बिंदु को "हिट" करने की संभावना के रूप में एअंतराल / पी में, लेकिन संभावना के रूप में कि एक यादृच्छिक अंतराल / पी बिंदु को कवर करेगा ए(चित्र 14.3.1)।

चावल। 14.3.1

प्रायिकता p कहलाती है आत्मविश्वास स्तर, और अंतराल / पी - विश्वास अंतराल।अंतराल की सीमाएँ अगर। एक एक्स \u003d एक-रेत एक 2 = एक +और कहलाते हैं भरोसे की सीमाएं।

आइए विश्वास अंतराल की अवधारणा को एक और व्याख्या दें: इसे पैरामीटर मानों के अंतराल के रूप में माना जा सकता है ए,प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत और उनका खंडन नहीं। वास्तव में, यदि हम एक संभावना के साथ एक घटना पर विचार करने के लिए सहमत हैं = 1-पी व्यावहारिक रूप से असंभव है, तो पैरामीटर के वे मान जिनके लिए ए - ए> s को प्रायोगिक डेटा के विपरीत माना जाना चाहिए, और जिनके लिए |a - एएक टी ना 2।

चलो पैरामीटर के लिए एएक निष्पक्ष अनुमान है एक।यदि हम मात्रा के वितरण के नियम को जानते थे ए, विश्वास अंतराल खोजने की समस्या काफी सरल होगी: इसके लिए s का मान ज्ञात करना पर्याप्त होगा

कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि अनुमान का वितरण कानून एमात्रा के वितरण के नियम पर निर्भर करता है एक्सऔर, फलस्वरूप, इसके अज्ञात मापदंडों पर (विशेष रूप से, पैरामीटर पर ही ए)।

इस कठिनाई को हल करने के लिए, मोटे तौर पर अनुमानित चाल लागू कर सकते हैं: अज्ञात पैरामीटर को उनके बिंदु अनुमानों के साथ एस के लिए अभिव्यक्ति में बदलें। अपेक्षाकृत बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ पी(लगभग 20 ... 30) यह तकनीक आमतौर पर सटीकता के मामले में संतोषजनक परिणाम देती है।

एक उदाहरण के रूप में, गणितीय अपेक्षा के लिए कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की समस्या पर विचार करें।

उत्पादन करने दें पी एक्स,जिनकी विशेषताएं गणितीय अपेक्षाएं हैं टीऔर विचरण डी- अज्ञात। इन मापदंडों के लिए, निम्नलिखित अनुमान प्राप्त किए गए थे:

गणितीय अपेक्षा के लिए, विश्वास संभाव्यता р के अनुरूप एक विश्वास अंतराल / р बनाना आवश्यक है टीमात्रा एक्स।

इस समस्या को हल करने में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि मात्रा टीयोग है पीस्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक्स एचऔर पर्याप्त रूप से बड़े के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार पीइसका वितरण कानून सामान्य के करीब है। व्यवहार में, यहां तक ​​​​कि अपेक्षाकृत कम संख्या में (10 ... 20 के क्रम में), राशि के वितरण कानून को लगभग सामान्य माना जा सकता है। हम मान लेंगे कि मूल्य टीसामान्य कानून के अनुसार वितरित। इस कानून की विशेषताएं - गणितीय अपेक्षा और विचरण - क्रमशः समान हैं टीऔर

(अध्याय 13 उपखंड 13.3 देखें)। आइए मान लें कि मूल्य डीहमारे लिए जाना जाता है और हम ऐसा मूल्य ईपी पाएंगे जिसके लिए

अध्याय 6 के सूत्र (6.3.5) को लागू करते हुए, हम सामान्य वितरण समारोह के संदर्भ में (14.3.5) के बाईं ओर संभावना व्यक्त करते हैं

अनुमान का मानक विचलन कहां है टी।

समीकरण से

एसपी मूल्य खोजें:

जहां आर्ग Ф* (x) Ф* का व्युत्क्रम फलन है (एक्स),वे। तर्क का ऐसा मान जिसके लिए सामान्य बंटन फलन बराबर होता है एक्स।

फैलाव डी,जिसके माध्यम से मूल्य व्यक्त किया जाता है ए 1P, हम ठीक से नहीं जानते; इसके अनुमानित मूल्य के रूप में, आप अनुमान का उपयोग कर सकते हैं डी(14.3.4) और लगभग डाल दिया:

इस प्रकार, एक विश्वास अंतराल के निर्माण की समस्या लगभग हल हो गई है, जो इसके बराबर है:

जहाँ gp को सूत्र (14.3.7) द्वारा परिभाषित किया गया है।

एसपी की गणना करते समय फ़ंक्शन एफ * (एल) की तालिकाओं में रिवर्स इंटरपोलेशन से बचने के लिए, एक विशेष तालिका (तालिका 14.3.1) को संकलित करना सुविधाजनक है, जो मात्रा के मूल्यों को सूचीबद्ध करता है

आर पर निर्भर करता है। मूल्य (पी सामान्य कानून के लिए मानक विचलन की संख्या निर्धारित करता है जिसे फैलाव केंद्र के दाएं और बाएं तरफ सेट किया जाना चाहिए ताकि परिणामी क्षेत्र में गिरने की संभावना पी के बराबर हो।

7 पी के मान के माध्यम से, विश्वास अंतराल को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

तालिका 14.3.1

उदाहरण 1. मान पर 20 प्रयोग किए गए एक्स;परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं। 14.3.2।

तालिका 14.3.2

मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए का अनुमान लगाना आवश्यक है एक्सऔर कॉन्फिडेंस लेवल p = 0.8 के अनुरूप कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाएं।

समाधान।अपने पास:

मूल n के लिए चयन: = 10, तीसरे सूत्र (14.2.14) के अनुसार हम निष्पक्ष अनुमान पाते हैं डी :

तालिका के अनुसार 14.3.1 हम पाते हैं

विश्वास सीमा:

विश्वास अंतराल:

पैरामीटर मान टी,इस अंतराल में पड़ी तालिका में दिए गए प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत हैं। 14.3.2।

इसी तरह, विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण किया जा सकता है।

उत्पादन करने दें पीएक यादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्सअज्ञात पैरामीटर के साथ और ए, और भिन्नता के लिए डीनिष्पक्ष अनुमान प्राप्त किया जाता है:

विचरण के लिए लगभग एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है।

सूत्र (14.3.11) से यह देखा जा सकता है कि मूल्य डीका प्रतिनिधित्व करता है

मात्रा पीप्रपत्र के यादृच्छिक चर। ये मान नहीं हैं

स्वतंत्र, क्योंकि उनमें से किसी में मात्रा शामिल है टी,हर किसी पर निर्भर। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि के रूप में पीउनकी राशि का वितरण कानून भी सामान्य के करीब है। लगभग पर पी= 20...30 इसे पहले से ही सामान्य माना जा सकता है।

आइए मान लें कि ऐसा है, और इस कानून की विशेषताओं को खोजें: गणितीय अपेक्षा और विचरण। स्कोर के बाद से डी- निष्पक्ष, फिर एम [डी] = डी।

भिन्न गणना डी डीअपेक्षाकृत जटिल गणनाओं से जुड़ा है, इसलिए हम इसकी व्युत्पत्ति के बिना इसकी अभिव्यक्ति देते हैं:

कहाँ पे सी 4 - मात्रा का चौथा केंद्रीय क्षण एक्स।

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करने के लिए, आपको इसमें 4 के मान को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है और डी(कम से कम अनुमानित)। के बजाय डीआप मूल्यांकन का उपयोग कर सकते हैं डी।सिद्धांत रूप में, चौथा केंद्रीय क्षण भी इसके अनुमान से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, फॉर्म के मान से:

लेकिन इस तरह के प्रतिस्थापन से बेहद कम सटीकता मिलेगी, क्योंकि सामान्य तौर पर, सीमित संख्या में प्रयोगों के साथ, उच्च-क्रम के क्षणों को बड़ी त्रुटियों के साथ निर्धारित किया जाता है। हालाँकि, व्यवहार में अक्सर ऐसा होता है कि मात्रा के वितरण कानून का रूप एक्सपहले से ज्ञात: केवल इसके पैरामीटर अज्ञात हैं। तब हम u4 को व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं डी।

आइए सबसे आम मामला लें, जब मूल्य एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित। फिर इसका चौथा केंद्रीय क्षण विचरण के रूप में व्यक्त किया जाता है (अध्याय 6 उपखंड 6.2 देखें);

और सूत्र (14.3.12) देता है या

(14.3.14) में अज्ञात को बदलना डीउसका आकलन डी, हम प्राप्त करते हैं: जहाँ से

पल यू 4 के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है डीकुछ अन्य मामलों में भी, जब मात्रा का वितरण एक्ससामान्य नहीं है, लेकिन इसका स्वरूप ज्ञात है। उदाहरण के लिए, समान घनत्व के नियम के लिए (अध्याय 5 देखें) हमारे पास है:

जहां (ए, पी) अंतराल है जिस पर कानून दिया गया है।

इस तरह,

सूत्र (14.3.12) के अनुसार हमें मिलता है: जहाँ से हम लगभग पाते हैं

ऐसे मामलों में जहां 26 के मूल्य के वितरण के कानून का रूप अज्ञात है, ए / के मूल्य का आकलन करते समय यह अभी भी सूत्र (14.3.16) का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, अगर यह विश्वास करने के लिए कोई विशेष आधार नहीं है कानून सामान्य से बहुत अलग है (ध्यान देने योग्य सकारात्मक या नकारात्मक कुर्तोसिस है)।

यदि a /) का अनुमानित मान एक या दूसरे तरीके से प्राप्त किया जाता है, तो वैरियंस के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का निर्माण उसी तरह से संभव है, जैसे हमने इसे गणितीय अपेक्षा के लिए बनाया था:

जहां दी गई प्रायिकता p के आधार पर मान तालिका में पाया जाता है। 14.3.1।

उदाहरण 2. एक यादृच्छिक चर के प्रसरण के लिए लगभग 80% विश्वास अंतराल का पता लगाएं एक्सउदाहरण 1 की शर्तों के तहत, यदि यह ज्ञात है कि मूल्य एक्ससामान्य के करीब एक कानून के अनुसार वितरित।

समाधान।मान तालिका के समान ही रहता है। 14.3.1:

सूत्र के अनुसार (14.3.16)

सूत्र (14.3.18) के अनुसार हम विश्वास अंतराल पाते हैं:

मानक विचलन के मूल्यों की संगत श्रेणी: (0.21; 0.29)।

14.4। सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीके

पिछले उपभाग में, हमने माध्य और प्रसरण के लिए विश्वास अंतरालों के निर्माण के लिए मोटे तौर पर अनुमानित विधियों पर विचार किया था। यहां हम उसी समस्या को हल करने के सटीक तरीकों का विचार देते हैं। हम इस बात पर जोर देते हैं कि कॉन्फिडेंस इंटरवल को सटीक रूप से खोजने के लिए, मात्रा के वितरण के कानून के रूप को पहले से जानना नितांत आवश्यक है। एक्स,जबकि अनुमानित विधियों के अनुप्रयोग के लिए यह आवश्यक नहीं है।

विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीकों का विचार इस प्रकार है। कुछ असमानताओं की पूर्ति की संभावना को व्यक्त करने वाली स्थिति से कोई विश्वास अंतराल पाया जाता है, जिसमें हमारे लिए ब्याज का अनुमान शामिल है एक।ग्रेड वितरण कानून एसामान्य स्थिति में मात्रा के अज्ञात मापदंडों पर निर्भर करता है एक्स।हालांकि, कभी-कभी यादृच्छिक चर से असमानताओं को पास करना संभव होता है एदेखे गए मूल्यों के किसी अन्य कार्य के लिए एक्स पी एक्स 2, ..., एक्स पी।जिसका वितरण नियम अज्ञात प्राचलों पर निर्भर न होकर केवल प्रयोगों की संख्या और मात्रा के वितरण नियम के स्वरूप पर निर्भर करता है। एक्स।इस प्रकार के यादृच्छिक चर गणितीय आँकड़ों में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं; मात्रा के सामान्य वितरण के मामले में उनका सबसे अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है एक्स।

उदाहरण के लिए, यह साबित हो गया है कि मात्रा के सामान्य वितरण के तहत एक्सयादृच्छिक मूल्य

तथाकथित के अधीन छात्र वितरण कानूनसाथ पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री; इस कानून के घनत्व का रूप है

जहाँ G(x) ज्ञात गामा फलन है:

यह भी सिद्ध होता है कि यादृच्छिक चर

के साथ "वितरण% 2" है पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री (अध्याय 7 देखें), जिसका घनत्व सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

वितरण (14.4.2) और (14.4.4) की व्युत्पत्तियों पर ध्यान दिए बिना, हम यह दिखाएंगे कि मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करते समय उन्हें कैसे लागू किया जा सकता है टाई डी।

उत्पादन करने दें पीएक यादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्स,अज्ञात मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित टीआईओ।इन मापदंडों के लिए, अनुमान

कॉन्फिडेंस प्रायिकता p के अनुरूप दोनों पैरामीटर्स के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाना आवश्यक है।

आइए पहले हम गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें। इस अंतराल को सममित रूप से लेना स्वाभाविक है टी; अंतराल की आधी लंबाई को sp से निरूपित करें। एसपी का मूल्य चुना जाना चाहिए ताकि स्थिति

आइए एक यादृच्छिक चर से समानता (14.4.5) के बाईं ओर पारित करने का प्रयास करें टीएक यादृच्छिक चर के लिए टी,छात्र के कानून के अनुसार वितरित। ऐसा करने के लिए, हम असमानता के दोनों भागों को |m-w?| गुणा करते हैं

एक सकारात्मक मूल्य के लिए: या, अंकन (14.4.1) का उपयोग करके,

आइए हम एक संख्या / p ज्ञात करें जैसे कि मान / p स्थिति से पाया जा सकता है

यह सूत्र (14.4.2) से देखा जा सकता है कि (1) एक सम फलन है, इसलिए (14.4.8) देता है

समानता (14.4.9) पी के आधार पर मूल्य / पी निर्धारित करती है। यदि आपके पास अभिन्न मूल्यों की एक तालिका है

तो मूल्य / पी तालिका में रिवर्स इंटरपोलेशन द्वारा पाया जा सकता है। हालाँकि, अग्रिम में मानों / p की तालिका संकलित करना अधिक सुविधाजनक है। ऐसी तालिका परिशिष्ट (तालिका 5) में दी गई है। यह तालिका विश्वास संभाव्यता पी और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के आधार पर मान दिखाती है पी- 1. तालिका के अनुसार निर्धारित / पी। 5 और मान लेना

हम विश्वास अंतराल / पी की आधी चौड़ाई और स्वयं अंतराल पाते हैं

उदाहरण 1. एक यादृच्छिक चर पर 5 स्वतंत्र प्रयोग किए गए एक्स,सामान्य रूप से अज्ञात मापदंडों के साथ वितरित टीऔर के बारे में। प्रयोगों के परिणाम तालिका में दिए गए हैं। 14.4.1।

तालिका 14.4.1

एक अनुमान खोजें टीगणितीय अपेक्षा के लिए और इसके लिए 90% विश्वास अंतराल / पी का निर्माण करें (यानी, विश्वास संभावना p \u003d 0.9 के अनुरूप अंतराल)।

समाधान।अपने पास:

आवेदन की तालिका 5 के अनुसार पी - 1 = 4 और p = 0.9 हम पाते हैं कहाँ

कॉन्फिडेंस इंटरवल होगा

उदाहरण 2। उपखंड 14.3 के उदाहरण 1 की शर्तों के लिए, मूल्य मानते हुए एक्ससामान्य रूप से वितरित, सटीक विश्वास अंतराल का पता लगाएं।

समाधान।आवेदन की तालिका 5 के अनुसार, हम पाते हैं पी - 1 = 19ir =

0.8 / पी = 1.328; यहाँ से

उपधारा 14.3 (e p = 0.072) के उदाहरण 1 के समाधान से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि विसंगति बहुत कम है। यदि हम सटीकता को दूसरे दशमलव स्थान तक रखते हैं, तो सटीक और अनुमानित विधियों द्वारा प्राप्त विश्वास अंतराल समान होते हैं:

आइए विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल बनाने की ओर बढ़ते हैं। निष्पक्ष विचरण अनुमान पर विचार करें

और यादृच्छिक चर व्यक्त करें डीमूल्य के माध्यम से वी(14.4.3) वितरण x 2 (14.4.4):

मात्रा के वितरण नियम को जानना वी,अंतराल / (1) का पता लगाना संभव है जिसमें यह दी गई प्रायिकता p के साथ आता है।

वितरण कानून के एन _ एक्स (वी) I 7 का मान अंजीर में दिखाया गया है। 14.4.1।

चावल। 14.4.1

सवाल उठता है: अंतराल / पी कैसे चुनें? यदि मात्रा का वितरण नियम वीसममित था (एक सामान्य कानून या छात्र के वितरण की तरह), गणितीय अपेक्षा के संबंध में अंतराल/पी सममित लेना स्वाभाविक होगा। इस मामले में कानून के एन _ एक्स (वी)असममित। आइए हम अंतराल / पी चुनने के लिए सहमत हों ताकि मात्रा के उत्पादन की संभावनाएं वीअंतराल के बाहर दाएं और बाएं (चित्र 14.4.1 में छायांकित क्षेत्र) समान और समान थे

इस गुण के साथ एक अंतराल / p बनाने के लिए, हम तालिका का उपयोग करते हैं। 4 एप्लिकेशन: इसमें नंबर होते हैं वाई)ऐसा है कि

मात्रा के लिए वी,स्वतंत्रता की आर डिग्री के साथ एक्स 2-वितरण। हमारे मामले में आर = एन- 1. ठीक करें आर = एन- 1 और तालिका की संगत पंक्ति में खोजें। 4 दो मान एक्स 2 -एक प्रायिकता के अनुरूप दूसरा - प्रायिकताएँ आइए हम इन्हें निरूपित करें

मान दो परऔर एक्स्ट्रा लार्ज?अंतराल है वाई 2,उसकी बाईं ओर, और य~दाहिना छोर।

अब हम सीमा D, और के साथ विचरण के लिए आवश्यक विश्वास अंतराल / | पाते हैं डी2,जो बिंदु को कवर करता है डीप्रायिकता पी के साथ:

आइए हम एक ऐसा अंतराल / (, = (?> b A) बनाएं, जो बिंदु को कवर करता है डीअगर और केवल अगर मूल्य वीअंतराल / आर में पड़ता है। आइए दिखाते हैं कि अंतराल

इस शर्त को पूरा करता है। दरअसल, असमानताएं असमानताओं के बराबर हैं

और ये असमानताएँ प्रायिकता p के साथ हैं। इस प्रकार, फैलाव के लिए विश्वास अंतराल पाया जाता है और सूत्र (14.4.13) द्वारा व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 3। उपखंड 14.3 के उदाहरण 2 की शर्तों के तहत भिन्नता के लिए विश्वास अंतराल का पता लगाएं, यदि यह ज्ञात है कि मूल्य एक्ससामान्य रूप से वितरित।

समाधान।अपने पास . आवेदन की तालिका 4 के अनुसार

हम पर पाते हैं आर = एन - 1 = 19

सूत्र (14.4.13) के अनुसार हम फैलाव के लिए विश्वास अंतराल पाते हैं

मानक विचलन के लिए संगत अंतराल: (0.21; 0.32)। यह अंतराल अनुमानित विधि द्वारा उपधारा 14.3 के उदाहरण 2 में प्राप्त अंतराल (0.21; 0.29) से थोड़ा ही अधिक है।

• चित्र 14.3.1 एक विश्वास अंतराल पर विचार करता है जो a के बारे में सममित है। सामान्य तौर पर, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह आवश्यक नहीं है।

आइए विचरण के ज्ञात मूल्य के मामले में वितरण के औसत मूल्य का अनुमान लगाने के लिए MS EXCEL में एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें।

बेशक चुनाव विश्वास का स्तरपूरी तरह से हाथ में काम पर निर्भर करता है। इस प्रकार, विमान की विश्वसनीयता में हवाई यात्री के विश्वास की डिग्री, निश्चित रूप से, प्रकाश बल्ब की विश्वसनीयता में खरीदार के विश्वास की डिग्री से अधिक होनी चाहिए।

कार्य निरूपण

से मान लेते हैं जनसंख्यालिया है नमूनाआकार एन। यह मान लिया है कि मानक विचलनयह वितरण ज्ञात है। इसके आधार पर आवश्यक है नमूनेअज्ञात का मूल्यांकन करें वितरण माध्य(μ, ) और संगत का निर्माण करें द्विपक्षीय विश्वास अंतराल.

बिंदु अनुमान

जैसा कि से ज्ञात होता है आंकड़े(चलिए इसे कहते हैं एक्स सीएफ) है माध्य का निष्पक्ष अनुमानयह जनसंख्याऔर इसका वितरण N(μ;σ 2 /n) है।

टिप्पणी: क्या होगा अगर आपको निर्माण करने की आवश्यकता है विश्वास अंतरालवितरण के मामले में, जो क्या नहीं है सामान्य?इस मामले में, बचाव के लिए आता है, जो कहता है कि काफी बड़े आकार के साथ नमूनेएन वितरण से न सामान्य, आँकड़ों का नमूना वितरण Х ए.वीइच्छा लगभगअनुरूप सामान्य वितरणपैरामीटर एन (μ; σ 2 /n) के साथ।

इसलिए, बिंदु लागत मध्य वितरण मानहमारे पास है नमूना माध्य, अर्थात। एक्स सीएफ. अब चलो व्यस्त हो जाओ विश्वास अंतराल।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण

आमतौर पर, वितरण और उसके मापदंडों को जानने के बाद, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक यादृच्छिक चर एक दिए गए अंतराल से एक मान लेगा। अब इसके विपरीत करते हैं: वह अंतराल ज्ञात करें जिसमें यादृच्छिक चर दी गई प्रायिकता के साथ गिरता है। उदाहरण के लिए, गुणों से सामान्य वितरणयह ज्ञात है कि 95% की संभावना के साथ, एक यादृच्छिक चर वितरित किया गया सामान्य कानून, अंतराल के भीतर लगभग +/- 2 से गिर जाएगा औसत मूल्य(के बारे में लेख देखें)। यह अंतराल हमारे प्रोटोटाइप के रूप में काम करेगा विश्वास अंतराल.

अब देखते हैं कि क्या हम वितरण जानते हैं , इस अंतराल की गणना करने के लिए? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें वितरण के रूप और उसके मापदंडों को निर्दिष्ट करना होगा।

हम जानते हैं कि वितरण का रूप है सामान्य वितरण(याद रखें कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं नमूने का वितरण आंकड़े एक्स सीएफ).

पैरामीटर μ हमारे लिए अज्ञात है (इसे केवल अनुमान लगाने की आवश्यकता है विश्वास अंतराल), लेकिन हमारे पास इसका अनुमान है एक्स सीएफ,के आधार पर गणना की गई नमूना,जिसका उपयोग किया जा सकता है।

दूसरा पैरामीटर है नमूना मतलब मानक विचलन जाना जाएगा, यह σ/√n के बराबर है।

क्योंकि हम μ नहीं जानते हैं, तो हम अंतराल +/- 2 का निर्माण करेंगे मानक विचलनइससे नहीं औसत मूल्य, लेकिन इसके ज्ञात अनुमान से एक्स सीएफ. वे। गणना करते समय विश्वास अंतरालहम यह नहीं मानेंगे एक्स सीएफअंतराल +/- 2 के भीतर गिर जाएगा मानक विचलनμ से 95% की संभावना के साथ, और हम मान लेंगे कि अंतराल +/- 2 है मानक विचलनसे एक्स सीएफ 95% की संभावना के साथ μ को कवर करेगा - सामान्य जनसंख्या का औसत,किस से नमूना. ये दो कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन हमें निर्माण करने की अनुमति देता है विश्वास अंतराल.

इसके अलावा, हम अंतराल को परिष्कृत करते हैं: एक यादृच्छिक चर वितरित किया गया सामान्य कानून, 95% संभावना के साथ अंतराल +/- 1.960 के भीतर आता है मानक विचलन,नहीं +/- 2 मानक विचलन. इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), सेमी। नमूना फ़ाइल शीट रिक्ति.

अब हम एक संभाव्य कथन तैयार कर सकते हैं जो हमें बनाने में मदद करेगा विश्वास अंतराल:
"संभावना है कि आबादी मतलबसे स्थित है नमूना औसत 1.960 के भीतर" नमूना माध्य के मानक विचलन", 95% के बराबर है।

कथन में उल्लिखित प्रायिकता मान का एक विशेष नाम है , जिससे जुड़ा हुआ हैमहत्व स्तर α (अल्फा) एक साधारण अभिव्यक्ति द्वारा विश्वास स्तर =1 -α . हमारे मामले में महत्वपूर्ण स्तर α =1-0,95=0,05 .

अब, इस संभाव्य कथन के आधार पर, हम परिकलन के लिए एक व्यंजक लिखते हैं विश्वास अंतराल:

जहां Zα/2 – मानक सामान्य वितरण(एक यादृच्छिक चर का ऐसा मान जेड, क्या पी(जेड>=Zα/2 )=α/2).

टिप्पणी: ऊपरी α/2-मात्रात्मकचौड़ाई को परिभाषित करता है विश्वास अंतरालवी मानक विचलन नमूना माध्य। ऊपरी α/2-मात्रात्मक मानक सामान्य वितरणहमेशा 0 से बड़ा होता है, जो बहुत सुविधाजनक है।

हमारे मामले में, α=0.05 पर, ऊपरी α/2-मात्रात्मक 1.960 के बराबर है। अन्य महत्वपूर्ण स्तरों के लिए α (10%; 1%) ऊपरी α/2-मात्रात्मक Zα/2 सूत्र \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) या, यदि ज्ञात हो, का उपयोग करके गणना की जा सकती है विश्वास स्तर, =NORM.ST.OBR((1+आत्मविश्वास स्तर)/2).

आमतौर पर निर्माण करते समय माध्य का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतरालकेवल उपयोग ऊपरी α/2-मात्राऔर उपयोग न करें निचला α/2-मात्रा. ऐसा इसलिए संभव है मानक सामान्य वितरणएक्स-अक्ष के बारे में सममित ( इसके वितरण का घनत्वके बारे में सममित औसत, यानी 0). इसलिए हिसाब लगाने की जरूरत नहीं है निचला α/2-मात्रात्मक(इसे केवल α कहा जाता है /2-मात्रात्मक), क्योंकि यह बराबर है ऊपरी α/2-मात्रामाइनस साइन के साथ।

याद रखें कि, x के वितरण के आकार की परवाह किए बिना, संगत यादृच्छिक चर एक्स सीएफवितरित लगभग अच्छा N(μ;σ 2 /n) (इसके बारे में लेख देखें)। इसलिए, सामान्य तौर पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए विश्वास अंतरालकेवल अनुमानित है। अगर एक्स वितरित किया जाता है सामान्य कानून N(μ;σ 2 /n), तो के लिए व्यंजक विश्वास अंतरालसही है।

एमएस एक्सेल में विश्वास अंतराल की गणना

आइए समस्या का समाधान करें।
इनपुट सिग्नल के लिए इलेक्ट्रॉनिक घटक का प्रतिक्रिया समय डिवाइस की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। एक इंजीनियर 95% के विश्वास स्तर पर औसत प्रतिक्रिया समय के लिए एक विश्वास अंतराल की साजिश करना चाहता है। इंजीनियर पिछले अनुभव से जानता है कि प्रतिक्रिया समय का मानक विचलन 8 एमएस है। यह ज्ञात है कि प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाने के लिए इंजीनियर ने 25 माप किए, औसत मूल्य 78 एमएस था।

समाधान: एक इंजीनियर एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रतिक्रिया समय जानना चाहता है, लेकिन वह समझता है कि प्रतिक्रिया समय निश्चित नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक चर है जिसका अपना वितरण है। इसलिए वह सबसे अच्छी उम्मीद कर सकता है कि वह इस वितरण के मापदंडों और आकार को निर्धारित करे।

दुर्भाग्य से, समस्या की स्थिति से, हम प्रतिक्रिया समय के वितरण के रूप को नहीं जानते हैं (यह होना जरूरी नहीं है) सामान्य). , यह वितरण भी अज्ञात है। वह ही जाना जाता है मानक विचलनσ=8. इसलिए, जबकि हम संभावनाओं की गणना और निर्माण नहीं कर सकते हैं विश्वास अंतराल.

हालांकि, हालांकि हम वितरण नहीं जानते हैं समय अलग प्रतिक्रिया, हम जानते हैं कि के अनुसार सीपीटी, नमूने का वितरण औसत प्रतिक्रिया समयलगभग है सामान्य(हम मान लेंगे कि शर्तें सीपीटीकिया जाता है, क्योंकि आकार नमूनेकाफी बड़ा (एन = 25)) .

इसके अतिरिक्त, औसतयह वितरण बराबर है औसत मूल्यइकाई प्रतिक्रिया वितरण, अर्थात μ। ए मानक विचलनइस वितरण (σ/√n) की गणना =8/ROOT(25) सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

यह भी ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्राप्त किया बिंदु लागतपैरामीटर μ 78 एमएस (एक्स सीएफ) के बराबर। इसलिए, अब हम संभावनाओं की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हम वितरण प्रपत्र जानते हैं ( सामान्य) और इसके पैरामीटर (Х ср और σ/√n)।

इंजीनियर जानना चाहता है अपेक्षित मूल्यप्रतिक्रिया समय वितरण का μ। जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह μ के बराबर है औसत प्रतिक्रिया समय के नमूना वितरण की अपेक्षा. अगर हम इस्तेमाल करते हैं सामान्य वितरण N(X cf; σ/√n), तो वांछित μ लगभग 95% की संभावना के साथ +/-2*σ/√n की सीमा में होगा।

महत्वपूर्ण स्तर 1-0.95=0.05 के बराबर है।

अंत में, बाएँ और दाएँ सीमा का पता लगाएं विश्वास अंतराल.
वाम सीमा: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) = 74,864
दायां बॉर्डर: \u003d 78 + नॉर्म। एसटी। ओबीआर (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) \u003d 81.136

वाम सीमा: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
दायां बॉर्डर: =NORM.INV(1-0.05/2, 78, 8/SQRT(25))

उत्तर: विश्वास अंतरालपर 95% विश्वास स्तर और σ=8msecके बराबर होती है 78+/-3.136ms

में शीट सिग्मा पर उदाहरण फ़ाइलज्ञात ने गणना और निर्माण के लिए एक फॉर्म बनाया द्विपक्षीय विश्वास अंतरालमनमानी के लिए नमूनेदिए गए σ और के साथ महत्वपूर्ण स्तर.

Confidence.NORM() फ़ंक्शन

यदि मान नमूनेरेंज में हैं बी 20: बी 79 , ए महत्वपूर्ण स्तर 0.05 के बराबर; फिर एमएस एक्सेल फॉर्मूला:
=औसत(B20:B79)-विश्वास(0.05,σ, काउंट(B20:B79))
बाईं सीमा वापस कर देंगे विश्वास अंतराल.

सूत्र का उपयोग करके उसी सीमा की गणना की जा सकती है:
=औसत(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

टिप्पणी: TRUST.NORM() फ़ंक्शन MS EXCEL 2010 में दिखाई दिया। MS EXCEL के पुराने संस्करण TRUST() फ़ंक्शन का उपयोग करते थे।

सांख्यिकी के क्षेत्र से कॉन्फिडेंस इंटरवल हमारे पास आया। यह एक परिभाषित सीमा है जो उच्च स्तर की विश्वसनीयता के साथ एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाने का काम करती है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण के साथ है।

मान लीजिए कि आपको कुछ यादृच्छिक चर की जांच करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, क्लाइंट अनुरोध के लिए सर्वर की प्रतिक्रिया की गति। हर बार जब कोई उपयोगकर्ता किसी विशेष साइट के पते में टाइप करता है, तो सर्वर एक अलग दर पर प्रतिक्रिया करता है। इस प्रकार, जांच की गई प्रतिक्रिया समय में एक यादृच्छिक चरित्र होता है। तो, विश्वास अंतराल आपको इस पैरामीटर की सीमाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है, और फिर यह दावा करना संभव होगा कि 95% की संभावना के साथ सर्वर हमारे द्वारा गणना की गई सीमा में होगा।

या आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कितने लोग कंपनी के ब्रांड के बारे में जानते हैं। जब विश्वास अंतराल की गणना की जाती है, उदाहरण के लिए, यह कहना संभव होगा कि 95% संभावना के साथ उपभोक्ताओं का हिस्सा जो इसके बारे में जानता है वह 27% से 34% की सीमा में है।

इस शब्द से निकटता से संबंधित ऐसा मूल्य है जैसे आत्मविश्वास का स्तर। यह संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि वांछित पैरामीटर विश्वास अंतराल में शामिल है। यह मान निर्धारित करता है कि हमारी वांछित सीमा कितनी बड़ी होगी। यह जितना बड़ा मान लेता है, कॉन्फिडेंस इंटरवल उतना ही संकरा होता जाता है, और इसके विपरीत। आमतौर पर यह 90%, 95% या 99% पर सेट होता है। 95% का मूल्य सबसे लोकप्रिय है।

यह सूचक प्रेक्षणों के प्रसरण से भी प्रभावित होता है और इसकी परिभाषा इस धारणा पर आधारित है कि अध्ययन के तहत विशेषता का पालन होता है। इस कथन को गॉस के नियम के रूप में भी जाना जाता है। उनके अनुसार, एक सतत यादृच्छिक चर की सभी संभावनाओं का ऐसा वितरण, जिसे प्रायिकता घनत्व द्वारा वर्णित किया जा सकता है, सामान्य कहलाता है। यदि सामान्य वितरण की धारणा गलत निकली, तो अनुमान गलत हो सकता है।

सबसे पहले, आइए जानें कि कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना कैसे करें यहां, दो मामले संभव हैं। फैलाव (एक यादृच्छिक चर के प्रसार की डिग्री) ज्ञात हो भी सकता है और नहीं भी। यदि यह ज्ञात है, तो हमारे विश्वास अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एक्सएसआर - टी * σ / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - साइन,

टी लाप्लास वितरण तालिका से एक पैरामीटर है,

σ परिक्षेपण का वर्गमूल है।

यदि विचरण अज्ञात है, तो इसकी गणना की जा सकती है यदि हम वांछित विशेषता के सभी मूल्यों को जानते हैं। इसके लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

σ2 = х2ср - (хр)2, जहां

х2ср - अध्ययन के तहत विशेषता के वर्गों का औसत मूल्य,

(xsr)2 इस फीचर का वर्ग है।

सूत्र जिसके द्वारा इस मामले में विश्वास अंतराल की गणना की जाती है, थोड़ा बदल जाता है:

एक्सएसआर - टी * एस / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - नमूना मतलब,

α - साइन,

t एक पैरामीटर है जो छात्र वितरण तालिका t \u003d t (ɣ; n-1) का उपयोग करके पाया जाता है,

sqrt(n) कुल नमूना आकार का वर्गमूल है,

s विचरण का वर्गमूल है।

इस उदाहरण पर विचार करें। मान लें कि, 7 मापों के परिणामों के आधार पर, अध्ययन के तहत विशेषता 30 और नमूना विचरण 36 के बराबर निर्धारित किया गया था। 99% की संभावना के साथ, एक विश्वास अंतराल को खोजना आवश्यक है जिसमें सही मूल्य शामिल है मापा पैरामीटर।

सबसे पहले, आइए निर्धारित करें कि टी बराबर क्या है: टी \u003d टी (0.99; 7-1) \u003d 3.71। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एक्सएसआर - टी * एस / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (वर्ग(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना एक ज्ञात माध्य के मामले में की जाती है और जब गणितीय अपेक्षा पर कोई डेटा नहीं होता है, और केवल विचरण के निष्पक्ष बिंदु अनुमान का मान ज्ञात होता है। हम इसकी गणना के सूत्र यहां नहीं देंगे, क्योंकि वे काफी जटिल हैं और यदि वांछित है, तो वे हमेशा नेट पर पाए जा सकते हैं।

हम केवल यह ध्यान देते हैं कि एक्सेल प्रोग्राम या नेटवर्क सेवा का उपयोग करके विश्वास अंतराल निर्धारित करना सुविधाजनक है, जिसे ऐसा कहा जाता है।