की विशाल विविधता से सेटविशेष रुचि के तथाकथित हैं संख्या सेट, अर्थात्, समुच्चय जिसके अवयव संख्याएँ हैं। यह स्पष्ट है कि उनके साथ आराम से काम करने के लिए आपको उन्हें लिखने में सक्षम होना चाहिए। अंकन और संख्यात्मक समुच्चय लिखने के सिद्धांतों के साथ, हम इस लेख की शुरुआत करेंगे। और फिर हम इस बात पर विचार करेंगे कि निर्देशांक रेखा पर संख्यात्मक समुच्चयों को कैसे दर्शाया जाता है।

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संख्यात्मक सेट लिखना

आइए स्वीकृत संकेतन से शुरू करें। जैसा कि ज्ञात है, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग सेटों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। संख्यात्मक सेट, सेट के एक विशेष मामले के रूप में भी निरूपित होते हैं। उदाहरण के लिए, हम संख्यात्मक सेट A , H , W , आदि के बारे में बात कर सकते हैं। प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, सम्मिश्र संख्याओं आदि के समुच्चय विशेष महत्व के हैं, जिनके लिए उनके स्वयं के पदनामों को अपनाया गया था:

• N सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है;
• Z पूर्णांकों का समुच्चय है;
• Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय है;
• J अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है;
• R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है;
• C सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

इससे यह स्पष्ट है कि दो संख्याओं 5 और −7 वाले समुच्चय को Q के रूप में दर्शाना आवश्यक नहीं है, यह पदनाम भ्रामक होगा, क्योंकि अक्षर Q आमतौर पर सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। निर्दिष्ट संख्यात्मक सेट को नामित करने के लिए, किसी अन्य "तटस्थ" अक्षर का उपयोग करना बेहतर होता है, उदाहरण के लिए, ए।

चूँकि हम अंकन की बात कर रहे हैं, यहाँ हम एक रिक्त समुच्चय के अंकन को भी याद करते हैं, अर्थात् एक ऐसा समुच्चय जिसमें अवयव नहीं होते हैं। इसे चिन्ह से दर्शाया जाता है।

आइए हम एक सेट में एक तत्व की सदस्यता और गैर-सदस्यता के पदनाम को भी याद करें। ऐसा करने के लिए, संकेतों का उपयोग करें - संबंधित है और ∉ - संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि 5∈N का अर्थ है कि संख्या 5 प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है, और 5.7∉Z - दशमलव अंश 5.7 पूर्णांकों के समूह से संबंधित नहीं है।

आइए हम एक सेट को दूसरे में शामिल करने के लिए अपनाए गए संकेतन को भी याद करें। यह स्पष्ट है कि समुच्चय N के सभी अवयव समुच्चय Z में सम्मिलित हैं, अतः समुच्चय N को Z में सम्मिलित किया जाता है, इसे N⊂Z के रूप में दर्शाया जाता है। आप नोटेशन Z⊃N का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि सभी पूर्णांक Z के सेट में सेट N शामिल है। संबंध शामिल नहीं हैं और शामिल नहीं हैं, क्रमशः ⊄ और , द्वारा निरूपित किए जाते हैं। फॉर्म और के गैर-सख्त समावेशन संकेतों का भी उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है, क्रमशः, शामिल या मेल खाता है और शामिल है या मेल खाता है।

हमने अंकन के बारे में बात की, आइए संख्यात्मक सेटों के विवरण पर चलते हैं। इस मामले में, हम केवल उन मुख्य मामलों को स्पर्श करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

आइए संख्यात्मक सेटों से शुरू करें जिनमें एक सीमित और छोटी संख्या में तत्व होते हैं। तत्वों की एक सीमित संख्या वाले संख्यात्मक सेटों को उनके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके आसानी से वर्णित किया जा सकता है। सभी संख्या तत्वों को अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है और इसमें संलग्न किया जाता है, जो सामान्य के अनुरूप है विवरण नियम सेट करें. उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं 0 , −0.25 और 4/7 वाले समुच्चय को (0, −0.25, 4/7) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

कभी-कभी, जब एक संख्यात्मक सेट के तत्वों की संख्या काफी बड़ी होती है, लेकिन तत्व कुछ पैटर्न का पालन करते हैं, तो वर्णन करने के लिए इलिप्सिस का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 से 99 तक की सभी विषम संख्याओं के समुच्चय को (3, 5, 7, ..., 99) के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए हमने आसानी से संख्यात्मक सेटों के विवरण से संपर्क किया, जिनमें से तत्वों की संख्या अनंत है। कभी-कभी उन्हें सभी समान दीर्घवृत्त का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का वर्णन करें: N=(1, 2. 3,…) ।

वे इसके तत्वों के गुणों को इंगित करके संख्यात्मक सेटों के विवरण का भी उपयोग करते हैं। इस मामले में, संकेतन (x| गुण) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संकेतन (n| 8 n+3, n∈N) ऐसी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को परिभाषित करता है, जिन्हें 8 से विभाजित करने पर शेषफल 3 मिलता है। उसी सेट को (11,19, 27, ...) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

विशेष मामलों में, अनंत संख्या में तत्वों वाले संख्यात्मक सेट ज्ञात सेट N , Z , R , आदि हैं। या संख्या अंतराल। और सामान्य तौर पर, संख्यात्मक सेटों को इस प्रकार दर्शाया जाता है एक संस्थाव्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल जो उन्हें बनाते हैं और तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ संख्यात्मक सेट (जिसके बारे में हमने थोड़ा अधिक बात की थी)।

आइए एक उदाहरण दिखाते हैं। मान लें कि संख्या सेट संख्याएँ −10 , −9 , −8.56 , 0 , अंतराल की सभी संख्याएँ [−5, −1.3] और खुली संख्या किरण (7, +∞) की संख्याएँ हैं। समुच्चयों के मिलन की परिभाषा के आधार पर, संकेतित संख्यात्मक समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . इस तरह के अंकन का अर्थ वास्तव में एक समुच्चय है जिसमें समुच्चय (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] और (7, +∞) के सभी तत्व शामिल हैं।

इसी तरह, विभिन्न संख्यात्मक श्रेणियों और व्यक्तिगत संख्याओं के सेट को मिलाकर, किसी भी संख्या सेट (वास्तविक संख्याओं से मिलकर) का वर्णन किया जा सकता है। यहाँ यह स्पष्ट हो जाता है कि अंतराल, अर्ध-अंतराल, एक खंड, एक खुली संख्यात्मक किरण और एक संख्यात्मक किरण के रूप में इस तरह के संख्यात्मक अंतराल क्यों पेश किए गए थे: ये सभी, व्यक्तिगत संख्याओं के सेट के अंकन के साथ मिलकर इसे संभव बनाते हैं। अपने संघ के माध्यम से किसी भी संख्यात्मक सेट का वर्णन करने के लिए।

कृपया ध्यान दें कि एक संख्यात्मक सेट लिखते समय, इसके घटक संख्याओं और संख्यात्मक अंतरालों को आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। यह एक अनिवार्य, लेकिन वांछनीय स्थिति नहीं है, क्योंकि एक क्रमबद्ध संख्यात्मक सेट को एक समन्वय रेखा पर प्रतिनिधित्व और चित्रित करना आसान होता है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी प्रविष्टियां सामान्य तत्वों के साथ संख्यात्मक श्रेणियों का उपयोग नहीं करती हैं, क्योंकि ऐसी प्रविष्टियों को सामान्य तत्वों के बिना संख्यात्मक श्रेणियों के संघ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य तत्वों [−10, 0] और (−5, 3) के साथ संख्यात्मक सेटों का संघ एक अर्ध-अंतराल [−10, 3) है। समान सीमा संख्याओं के साथ संख्यात्मक अंतरालों के संघ पर भी यही बात लागू होती है, उदाहरण के लिए, संघ (3, 5]∪(5, 7] एक समुच्चय (3, 7) है, हम इस पर अलग से ध्यान देंगे जब हम सीखेंगे कि संख्यात्मक सेटों का प्रतिच्छेदन और संघ खोजें।

निर्देशांक रेखा पर संख्या समुच्चयों की छवि

व्यवहार में, संख्यात्मक सेटों की ज्यामितीय छवियों का उपयोग करना सुविधाजनक है - उनकी छवियां . उदाहरण के लिए, जब असमानताओं को हल करना, जिसमें ODZ को ध्यान में रखना आवश्यक है, उनके प्रतिच्छेदन और / या संघ को खोजने के लिए संख्यात्मक सेटों को चित्रित करना आवश्यक है। अतः निर्देशांक रेखा पर संख्यात्मक समुच्चयों के निरूपण की सभी बारीकियों को अच्छी तरह से समझना उपयोगी होगा।

यह ज्ञात है कि निर्देशांक रेखा के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, जिसका अर्थ है कि समन्वय रेखा स्वयं सभी वास्तविक संख्याओं R के सेट का एक ज्यामितीय मॉडल है। इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को चित्रित करने के लिए, इसकी पूरी लंबाई के साथ हैचिंग के साथ एक समन्वय रेखा खींचना आवश्यक है:

और अक्सर वे मूल और एक खंड का संकेत भी नहीं देते हैं:

अब बात करते हैं संख्यात्मक समुच्चयों के प्रतिबिम्ब के बारे में, जो व्यक्तिगत संख्याओं की कुछ परिमित संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, संख्या सेट (−2, −0.5, 1.2) ड्रा करें। इस सेट की ज्यामितीय छवि, जिसमें तीन नंबर -2, -0.5 और 1.2 शामिल हैं, संबंधित निर्देशांक के साथ समन्वय रेखा के तीन बिंदु होंगे:

ध्यान दें कि आमतौर पर अभ्यास की जरूरतों के लिए ड्राइंग को सटीक रूप से करने की आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर एक योजनाबद्ध आरेखण पर्याप्त होता है, जिसका अर्थ एक वैकल्पिक पैमाने होता है, जबकि केवल एक दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति को बनाए रखना महत्वपूर्ण होता है: छोटे निर्देशांक वाला कोई भी बिंदु बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर होना चाहिए। पिछली ड्राइंग योजनाबद्ध रूप से इस तरह दिखेगी:

अलग-अलग, सभी संभावित संख्यात्मक सेटों से, संख्यात्मक अंतराल (अंतराल, अर्ध-अंतराल, किरण, आदि) प्रतिष्ठित हैं, जो उनकी ज्यामितीय छवियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, हमने अनुभाग में विस्तार से जांच की। हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे।

और यह केवल संख्यात्मक सेटों की छवि पर रहने के लिए बनी हुई है, जो कई संख्यात्मक अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं से युक्त सेटों का मिलन है। यहां कुछ भी मुश्किल नहीं है: संघ के अर्थ के अनुसार, इन मामलों में, समन्वय रेखा पर, आपको दिए गए संख्यात्मक सेट के सेट के सभी घटकों को चित्रित करने की आवश्यकता होती है। एक उदाहरण के रूप में, आइए एक संख्या सेट की छवि दिखाते हैं (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (लॉग 2 5, 5)∪(17, +∞) :

और आइए काफी सामान्य मामलों पर ध्यान दें जब चित्रित संख्यात्मक सेट एक या अधिक बिंदुओं के अपवाद के साथ वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट होता है। ऐसे सेट अक्सर x≠5 या x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 आदि जैसी स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं। इन मामलों में, ज्यामितीय रूप से, वे संबंधित बिंदुओं के अपवाद के साथ, संपूर्ण समन्वय रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, इन बिंदुओं को समन्वय रेखा से "छिद्रित" किया जाना चाहिए। उन्हें एक खाली केंद्र के साथ मंडलियों के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टता के लिए, हम शर्तों के अनुरूप एक संख्यात्मक सेट दर्शाते हैं (यह सेट अनिवार्य रूप से है):

संक्षेप। आदर्श रूप से, पिछले पैराग्राफ की जानकारी को संख्यात्मक सेटों की रिकॉर्डिंग और प्रतिनिधित्व के समान दृश्य बनाना चाहिए जैसा कि व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल के दृश्य के रूप में होना चाहिए: एक संख्यात्मक सेट की रिकॉर्डिंग को तुरंत अपनी छवि को समन्वय रेखा पर और छवि से देना चाहिए समन्वय रेखा, हमें अलग-अलग अंतरालों और अलग-अलग संख्याओं वाले सेटों के मिलन के माध्यम से संबंधित संख्यात्मक सेट का आसानी से वर्णन करने के लिए तैयार रहना चाहिए।

ग्रंथ सूची।

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प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनके साथ सब कुछ एक बार शुरू हुआ। और आज ये पहली संख्या है जो एक व्यक्ति को अपने जीवन में मिलती है, जब वह बचपन में अपनी उंगलियों पर गिनना या लाठी गिनना सीखता है।

परिभाषा: प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ कहलाती हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है (1, 2, 3, 4, 5, ...) [संख्या 0 प्राकृत नहीं है। गणित के इतिहास में इसका अपना अलग इतिहास भी है और यह प्राकृत संख्याओं की तुलना में बहुत बाद में प्रकट हुआ।]

सभी प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, 4, 5, ...) के समुच्चय को N अक्षर से प्रदर्शित किया जाता है।

पूर्ण संख्याएं

गिनना सीख लेने के बाद, अगला काम हम संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रिया करना सीखते हैं। आमतौर पर, पहले (लाठी गिनने पर) वे जोड़ और घटाव करना सीखते हैं।

इसके अलावा, सब कुछ स्पष्ट है: किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने पर, हमें हमेशा एक ही प्राकृतिक संख्या मिलती है। लेकिन घटाव में, हम पाते हैं कि हम छोटे से बड़े को नहीं घटा सकते ताकि परिणाम एक प्राकृतिक संख्या हो। (3 − 5 = क्या?) यहीं से ऋणात्मक संख्याओं का विचार आता है। (ऋणात्मक संख्याएँ अब प्राकृतिक नहीं हैं)

ऋणात्मक संख्याओं की घटना के चरण में (और वे भिन्नात्मक की तुलना में बाद में दिखाई दिए)उनके विरोधी भी थे जो उन्हें बकवास मानते थे। (तीन वस्तुओं को उंगलियों पर दिखाया जा सकता है, दस को दिखाया जा सकता है, एक हजार वस्तुओं को सादृश्य द्वारा दर्शाया जा सकता है। और "माइनस थ्री बैग" क्या है? - उस समय, हालांकि संख्याओं का पहले से ही उपयोग किया जाता था, अलगाव में विशिष्ट वस्तुएं, जिनकी संख्या वे निर्दिष्ट करते हैं, आज की तुलना में इन विशिष्ट विषयों के बहुत करीब लोगों के दिमाग में थे।) लेकिन, आपत्तियों की तरह, नकारात्मक संख्याओं के पक्ष में मुख्य तर्क अभ्यास से आया: नकारात्मक संख्याओं ने इसे संभव बनाया। आसानी से कर्ज का ट्रैक रखने के लिए। 3 - 5 = -2 - मेरे पास 3 सिक्के थे, मैंने 5 खर्च किए। इसलिए, मेरे पास न केवल सिक्के हैं, बल्कि मेरे पास 2 सिक्के भी हैं। अगर मैं एक लौटाता हूं, तो ऋण −2+1=−1 में बदल जाएगा, लेकिन इसे ऋणात्मक संख्या के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

परिणामस्वरूप, गणित में ऋणात्मक संख्याएँ दिखाई दीं, और अब हमारे पास अनंत प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, 4, ...) हैं और उनके विपरीत संख्याओं की संख्या समान है (-1, -2, - 3, −4 , ...). आइए उनमें एक और 0 जोड़ दें और इन सभी संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांक कहा जाएगा।

परिभाषा: प्राकृत संख्याएँ, उनके विपरीत और शून्य पूर्णांकों का समुच्चय बनाते हैं। इसे Z अक्षर से दर्शाया जाता है।

किन्हीं दो पूर्णांकों को एक दूसरे से घटाया जा सकता है या परिणामस्वरूप पूर्णांक प्राप्त करने के लिए जोड़ा जा सकता है।

पूर्णांक जोड़ का विचार पहले से ही गुणन की संभावना को जोड़ करने का एक तेज़ तरीका बताता है। यदि हमारे पास 6 किलोग्राम के 7 बैग हैं, तो हम 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (वर्तमान योग में 6 को सात बार जोड़ सकते हैं) जोड़ सकते हैं, या हम केवल यह याद रख सकते हैं कि ऐसा ऑपरेशन हमेशा परिणाम देगा 42. छह सातों के योग की तरह, 7+7+7+7+7+7 भी हमेशा 42 देगा।

जोड़ ऑपरेशन के परिणाम निश्चितखुद के साथ संख्या निश्चित 2 से 9 तक की संख्याओं के सभी युग्मों के लिए जितनी बार लिखा जाता है और गुणा तालिका बनाते हैं। 9 से बड़े पूर्णांकों को गुणा करने के लिए, एक कॉलम में एक गुणन नियम का आविष्कार किया जाता है। (जो दशमलव पर भी लागू होता है, और जिसे निम्नलिखित लेखों में से एक में शामिल किया जाएगा।) किन्हीं दो पूर्णांकों को एक दूसरे से गुणा करने पर हमेशा एक पूर्णांक प्राप्त होगा।

परिमेय संख्या

अब विभाजन। घटाव किस प्रकार जोड़ का व्युत्क्रम है, इसके अनुरूप, हम विभाजन के विचार को गुणा के विलोम के रूप में पाते हैं।

जब हमारे पास 6 किलोग्राम के 7 बैग थे, गुणा का उपयोग करके, हमने आसानी से गणना की कि बैग की सामग्री का कुल वजन 42 किलोग्राम है। कल्पना कीजिए कि हमने सभी बैगों की सभी सामग्री को 42 किलोग्राम वजन वाले एक आम ढेर में डाल दिया। और फिर उन्होंने अपना विचार बदल दिया और सामग्री को वापस 7 बैगों में वितरित करना चाहते थे। यदि हम समान रूप से वितरित करें तो एक बैग में कितने किलोग्राम गिरेंगे? - जाहिर है 6.

और अगर हम 42 किलोग्राम को 6 बैग में बांटना चाहते हैं? यहां हम सोचते हैं कि अगर हम 7 किलोग्राम के 6 बैग ढेर में डालते हैं तो कुल 42 किलोग्राम क्या हो सकता है। और इसका मतलब है कि 42 किलोग्राम को 6 बैग में समान रूप से विभाजित करने पर, हमें एक बैग में 7 किलोग्राम मिलता है।

और अगर आप 42 किलोग्राम को समान रूप से 3 बैग में विभाजित करते हैं? और यहाँ भी, हम एक संख्या का चयन करना शुरू करते हैं, जिसे 3 से गुणा करने पर 42 प्राप्त होता है। "तालिका" मानों के लिए, जैसा कि 6 7=42 => 42:6=7 के मामले में, हम विभाजन संक्रिया करते हैं। , बस गुणन तालिका को याद रखना। अधिक जटिल मामलों के लिए, एक कॉलम में विभाजन का उपयोग किया जाता है, जिस पर निम्नलिखित लेखों में से एक में चर्चा की जाएगी। 3 और 42 के मामले में, "चयन" द्वारा याद किया जा सकता है कि 3 · 14 = 42। इसलिए, 42:3=14। प्रत्येक बैग में 14 किलोग्राम होगा।

आइए अब 42 किलोग्राम को समान रूप से 5 बैगों में विभाजित करने का प्रयास करें। 42:5=?
हम देखते हैं कि 5 8=40 (छोटा), और 5 9=45 (कई)। यानी न तो एक बैग में 8 किलोग्राम, न ही 9 किलोग्राम, 5 बैग में से हमें 42 किलोग्राम किसी भी तरह से नहीं मिलेगा। साथ ही, यह स्पष्ट है कि वास्तव में कुछ भी हमें किसी भी राशि (अनाज, उदाहरण के लिए) को 5 बराबर भागों में विभाजित करने से रोकता है।

पूर्णांकों को एक-दूसरे से विभाजित करने की क्रिया का परिणाम आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं होता है। इसलिए हम भिन्न की अवधारणा पर आए। 42:5 \u003d 42/5 \u003d 8 पूर्ण 2/5 (यदि साधारण भिन्नों में गिना जाता है) या 42:5 \u003d 8.4 (यदि दशमलव भिन्नों में गिना जाता है)।

सामान्य और दशमलव अंश

हम कह सकते हैं कि कोई भी साधारण भिन्न m/n (m कोई पूर्णांक है, n कोई भी प्राकृत है) संख्या m को संख्या n से विभाजित करने के परिणाम को लिखने का एक विशेष रूप है। (m को भिन्न का अंश कहा जाता है, n हर है) विभाजित करने का परिणाम, उदाहरण के लिए, संख्या 25 को संख्या 5 से भी एक साधारण भिन्न 25/5 के रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन यह आवश्यक नहीं है, क्योंकि 25 को 5 से विभाजित करने के परिणाम को केवल पूर्णांक 5 के रूप में लिखा जा सकता है। (और 25/5 = 5)। लेकिन संख्या 25 को संख्या 3 से विभाजित करने के परिणाम को अब पूर्णांक के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, इसलिए यहाँ एक भिन्न का उपयोग करना आवश्यक हो जाता है, 25:3=25/3. (आप पूर्णांक भाग 25/3= 8 पूर्ण 1/3 का चयन कर सकते हैं। सामान्य भिन्नों के साथ सामान्य भिन्नों और संक्रियाओं के बारे में अधिक विस्तार से निम्नलिखित लेखों में चर्चा की जाएगी।)

साधारण भिन्न अच्छे होते हैं क्योंकि किन्हीं दो पूर्णांकों को ऐसे भिन्न के रूप में विभाजित करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको केवल भाजक को भिन्न के अंश और भाजक को हर में लिखना होगा। (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53,…) फिर, यदि संभव हो तो, अंश को कम करें और / या पूर्णांक भाग को हाइलाइट करें (साधारण अंशों के साथ ये ऑपरेशन होंगे निम्नलिखित लेखों में विस्तार से चर्चा की गई)। समस्या यह है कि साधारण भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएं (जोड़, घटाव) करना अब पूर्णांकों की तरह सुविधाजनक नहीं है।

लिखने की सुविधा के लिए (एक पंक्ति में) और गणना की सुविधा के लिए (एक कॉलम में गणना की संभावना के साथ, सामान्य पूर्णांक के लिए), साधारण अंशों के अलावा, दशमलव अंशों का भी आविष्कार किया गया था। दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न है जिसे 10, 100, 1000 आदि के हर के साथ एक विशेष तरीके से लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, सार्व भिन्न 7/10 दशमलव भिन्न 0.7 के समान है। (8/100 = 0.08; 2 पूर्णांक 3/10=2.3; 7 पूर्णांक 1/1000 = 7.001)। एक अलग लेख साधारण अंशों को दशमलव में बदलने के लिए समर्पित होगा और इसके विपरीत। दशमलव अंशों के साथ संचालन - अन्य लेख।

किसी भी पूर्ण संख्या को हर 1 के साथ एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। (5=5/1; −765=−765/1)।

परिभाषा: वे सभी संख्याएँ जिन्हें एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q अक्षर से निरूपित किया जाता है।

किन्हीं दो पूर्णांकों को एक दूसरे से भाग देने पर (0 से भाग देने को छोड़कर) हमें हमेशा एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है। साधारण भिन्नों के लिए, जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम हैं, जो आपको किन्हीं दो भिन्नों के साथ संगत संक्रिया करने की अनुमति देते हैं और परिणामस्वरूप एक परिमेय संख्या (अंश या पूर्णांक) भी प्राप्त करते हैं।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय उन समुच्चयों में से पहला समुच्चय है, जिसमें आप इस समुच्चय से आगे बढ़े बिना (अर्थात हमेशा एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं) जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकते हैं (0 से भाग देने के अलावा) एक परिणाम)।

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई अन्य संख्याएँ नहीं हैं, सभी संख्याएँ परिमेय हैं। लेकिन ऐसा भी नहीं है.

वास्तविक संख्या

ऐसी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न m / n के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है (जहाँ m एक पूर्णांक है, n एक प्राकृत संख्या है)।

ये संख्याएँ क्या हैं? हमने अभी तक घातांक संक्रिया पर विचार नहीं किया है। उदाहरण के लिए, 4 2 \u003d 4 4 \u003d 16. 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125। जिस तरह गुणा अंकन और जोड़ की गणना का एक अधिक सुविधाजनक रूप है, उसी तरह घातांक एक ही संख्या को एक निश्चित संख्या से गुणा करने के लिए अंकन का एक रूप है।

लेकिन अब ऑपरेशन पर विचार करें, एक शक्ति को बढ़ाने के लिए - जड़ निकालने का विलोम। 16 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 16 है, जो 4 है। 9 का वर्गमूल 3 है। लेकिन 5 या 2 का वर्गमूल, उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। (इस कथन का प्रमाण, अपरिमेय संख्याओं के अन्य उदाहरण और उनका इतिहास, उदाहरण के लिए, विकिपीडिया पर पाया जा सकता है)

ग्रेड 9 में जीआईए में, यह निर्धारित करने का कार्य है कि इसकी प्रविष्टि में जड़ वाली संख्या तर्कसंगत या अपरिमेय है या नहीं। कार्य इस संख्या को एक ऐसे रूप में बदलने का प्रयास करना है जिसमें जड़ न हो (मूल गुणों का उपयोग करके)। यदि मूल को समाप्त नहीं किया जा सकता है, तो संख्या अपरिमेय है।

एक अपरिमेय संख्या का एक अन्य उदाहरण संख्या है, जो ज्यामिति और त्रिकोणमिति से सभी के लिए परिचित है।

परिभाषा: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ एक साथ वास्तविक (या वास्तविक) संख्याएँ कहलाती हैं। सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को R अक्षर से प्रदर्शित किया जाता है।

वास्तविक संख्याओं में, परिमेय संख्याओं के विपरीत, हम किसी रेखा या तल पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को व्यक्त कर सकते हैं।
यदि आप एक सीधी रेखा खींचते हैं और उस पर दो मनमाना बिंदु चुनते हैं, या एक समतल पर दो मनमाना बिंदु चुनते हैं, तो यह पता चल सकता है कि इन बिंदुओं के बीच की सटीक दूरी को परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। (उदाहरण - पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पैर 1 और 1 के साथ एक समकोण त्रिभुज का कर्ण, दो के मूल के बराबर होगा - यानी एक अपरिमेय संख्या। इसमें टेट्राड सेल के विकर्ण की सटीक लंबाई भी शामिल है। (पूर्णांक भुजाओं वाले किसी भी आदर्श वर्ग के विकर्ण की लंबाई)।)
और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में, एक सीधी रेखा पर, समतल या अंतरिक्ष में किसी भी दूरी को संबंधित वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

एक संख्या की अवधारणा। संख्याओं के प्रकार।

संख्या एक अमूर्त है जिसका उपयोग वस्तुओं को मापने के लिए किया जाता है। आदिम समाज में वस्तुओं को गिनने के लिए लोगों की आवश्यकता के संबंध में संख्याएँ उत्पन्न हुईं। समय के साथ, विज्ञान के विकास के साथ, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा बन गई है।

समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं। मुख्य प्रकार की संख्याओं में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।

पूर्णांकों- ये वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती के साथ प्राप्त संख्याएं हैं, या बल्कि, उनकी संख्या ("पहला", "दूसरा", "तीसरा" ...) के साथ। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर . द्वारा निरूपित किया जाता है एन (अंग्रेजी शब्द प्राकृतिक के आधार पर याद किया जा सकता है)। ऐसा कहा जा सकता है की एन ={1,2,3,....}

पूर्ण संख्याएंसमुच्चय (0, 1, -1, 2, -2, ....) से संख्याएँ हैं। इस समुच्चय में तीन भाग होते हैं - प्राकृत संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। पूर्णांकों को एक लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है जेड . ऐसा कहा जा सकता है की जेड ={1,2,3,....}.

परिमेय संख्यावे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। लैटिन अक्षर का प्रयोग परिमेय संख्याओं को दर्शाने के लिए किया जाता है क्यू . सभी प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याएँ परिमेय होती हैं।

वास्तविक (वास्तविक) संख्याएंएक संख्या है जिसका उपयोग निरंतर मात्राओं को मापने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो परिमेय संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ करके प्राप्त की जाती हैं (उदाहरण के लिए, एक मूल निकालना, लघुगणक की गणना करना), लेकिन एक ही समय में परिमेय नहीं हैं।

1. संख्या प्रणाली।

एक संख्या प्रणाली संख्याओं के नामकरण और लिखने का एक तरीका है। संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की विधि के आधार पर, इसे स्थितीय-दशमलव और गैर-स्थिति-रोमन में विभाजित किया गया है।

पीसी 2, 8 और 16 नंबर सिस्टम का उपयोग करता है।

अंतर: 16वीं संख्या प्रणाली में संख्या प्रविष्टि अन्य प्रविष्टि की तुलना में बहुत कम है, अर्थात। कम गहराई की आवश्यकता है।

एक स्थितीय संख्या प्रणाली में, प्रत्येक अंक संख्या में अपनी स्थिति की परवाह किए बिना अपने निरंतर मूल्य को बरकरार रखता है। स्थितीय संख्या प्रणाली में, प्रत्येक अंक न केवल अपना मान निर्धारित करता है, बल्कि उस स्थिति पर निर्भर करता है जो वह संख्या में व्याप्त है। प्रत्येक संख्या प्रणाली को एक आधार की विशेषता होती है। आधार विभिन्न अंकों की संख्या है जो किसी दिए गए नंबर सिस्टम में संख्याओं को लिखने के लिए उपयोग किया जाता है। आधार दिखाता है कि आसन्न स्थिति में जाने पर एक ही अंक का मान कितनी बार बदलता है। कंप्यूटर 2-नंबर सिस्टम का उपयोग करता है। प्रणाली का आधार कोई भी संख्या हो सकती है। किसी भी स्थिति में संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन 10वीं संख्या प्रणाली के समान नियमों के अनुसार किया जाता है। 2 संख्या प्रणाली के लिए, द्विआधारी अंकगणित का उपयोग किया जाता है, जिसे कंप्यूटर में अंकगणितीय गणना करने के लिए लागू किया जाता है।

बाइनरी जोड़:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

घटाना:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

गुणन:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

कंप्यूटर व्यापक रूप से 8वीं संख्या प्रणाली और 16वीं संख्या प्रणाली का उपयोग करता है। इनका उपयोग बाइनरी नंबरों को छोटा करने के लिए किया जाता है।

2. एक सेट की अवधारणा।

"सेट" की अवधारणा गणित की एक मौलिक अवधारणा है और इसकी कोई परिभाषा नहीं है। किसी भी समुच्चय की पीढ़ी की प्रकृति विविध होती है, विशेष रूप से आसपास की वस्तुएं, वन्य जीवन आदि।

परिभाषा 1: वे वस्तुएँ जिनसे समुच्चय बनता है, कहलाती हैं इस सेट के तत्व. एक सेट को नामित करने के लिए, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग किया जाता है: उदाहरण के लिए, एक्स, वाई, जेड, और घुंघराले कोष्ठक में, अल्पविराम से अलग, इसके तत्व लोअरकेस अक्षरों में लिखे गए हैं, उदाहरण के लिए: (x, y, z) .

एक सेट और उसके तत्वों के पदनाम का एक उदाहरण:

X = (x 1 , x 2 ,…, x n ) n तत्वों से मिलकर बना एक समुच्चय है। यदि कोई तत्व x समुच्चय X से संबंधित है, तो उसे लिखना चाहिए: xОX, अन्यथा तत्व x, समुच्चय X से संबंधित नहीं है, जो लिखा है: xПX। एक सार सेट के तत्व, उदाहरण के लिए, संख्याएं, कार्य, अक्षर, आकार, आदि हो सकते हैं। गणित में किसी भी खंड में समुच्चय की अवधारणा का प्रयोग किया जाता है। विशेष रूप से, वास्तविक संख्याओं के कुछ ठोस सेट दिए जा सकते हैं। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय x असमानताओं को संतुष्ट करता है:

ए एक्स ≤ बी कहा जाता है खंडऔर द्वारा निरूपित किया जाता है;

एक एक्स< b или а < x ≤ b называется आधा खंडऔर दर्शाया गया है: ;

· एक< x < b называется मध्यान्तरऔर (ए, बी) द्वारा निरूपित।

परिभाषा 2: जिस समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित होती है उसे परिमित कहते हैं। उदाहरण। एक्स \u003d (एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3)।

परिभाषा 3: सेट कहा जाता है अनंतयदि इसमें अनंत संख्या में तत्व हैं। उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनंत है। रिकॉर्डिंग उदाहरण। एक्स \u003d (एक्स 1, एक्स 2, ...)

परिभाषा 4: जिस समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता है, उसे रिक्त समुच्चय कहते हैं और इसे चिह्न से प्रदर्शित किया जाता है।

एक सेट की एक विशेषता कार्डिनैलिटी की अवधारणा है। शक्ति इसके तत्वों की संख्या है। समुच्चय Y=(y 1 , y 2 ,...) की कार्डिनैलिटी समुच्चय X=(x 1 , x 2 ,...) के समान है, यदि एक-से-एक पत्राचार है y= f(x ) इन सेटों के तत्वों के बीच। इस तरह के सेट में कार्डिनैलिटी समान होती है या कार्डिनैलिटी के बराबर होती है। खाली सेट में शून्य कार्डिनैलिटी है।

3. सेट निर्दिष्ट करने के तरीके।

यह माना जाता है कि समुच्चय को उसके तत्वों द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात्। सेट दिया गया है,यदि कोई वस्तु कहा जा सकता है कि वह इस समुच्चय की है या नहीं। आप एक सेट को निम्नलिखित तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं:

1) यदि कोई समुच्चय परिमित है, तो उसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। तो, अगर सेट लेकिनतत्वों से मिलकर बनता है 2, 5, 7, 12 , तो वे लिखते हैं ए = (2, 5, 7, 12)।सेट के तत्वों की संख्या लेकिनबराबरी 4 , लिखना एन (ए) = 4।

लेकिन यदि समुच्चय अनंत है, तो इसके तत्वों की गणना नहीं की जा सकती है। गणना द्वारा समुच्चय और बड़ी संख्या में तत्वों के साथ परिमित समुच्चय को परिभाषित करना कठिन है। ऐसे मामलों में, सेट को निर्दिष्ट करने का एक अलग तरीका इस्तेमाल किया जाता है।

2) एक समुच्चय को उसके तत्वों के अभिलक्षणिक गुण निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जा सकता है। विशेषता संपत्ति- यह एक ऐसा गुण है जो समुच्चय से संबंधित प्रत्येक तत्व के पास है, और एक भी ऐसा तत्व नहीं है जो इससे संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, दो अंकों की संख्याओं का एक सेट एक्स पर विचार करें: इस सेट के प्रत्येक तत्व की संपत्ति "दो अंकों की संख्या होना" है। यह विशिष्ट गुण यह तय करना संभव बनाता है कि कोई वस्तु समुच्चय X की है या नहीं। उदाहरण के लिए, संख्या 45 इस सेट में समाहित है, क्योंकि यह दो-मूल्यवान है, और संख्या 4 समुच्चय X से संबंधित नहीं है, क्योंकि यह एक-से-एक है और दो-मूल्यवान नहीं है। ऐसा होता है कि एक और एक ही सेट को उसके तत्वों के विभिन्न विशिष्ट गुणों को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वर्गों के समुच्चय को समान भुजाओं वाले आयतों के समुच्चय के रूप में और समकोण वाले समचतुर्भुजों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

ऐसे मामलों में जहां समुच्चय के तत्वों की विशेषता संपत्ति को प्रतीकात्मक रूप में दर्शाया जा सकता है, एक संगत संकेतन संभव है। अगर सेट परसे कम सभी प्राकृतिक संख्याएं शामिल हैं 10, वे लिखते हैं बी = (एक्स एन | एक्स<10}.

दूसरी विधि अधिक सामान्य है और आपको परिमित और अनंत दोनों सेट निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है।

4. संख्यात्मक सेट।

संख्यात्मक - एक सेट जिसके तत्व संख्याएँ हैं। वास्तविक संख्या अक्ष R पर संख्यात्मक सेट दिए गए हैं। इस अक्ष पर, पैमाने का चयन करें और मूल और दिशा को इंगित करें। सबसे आम संख्या सेट:

- प्राकृतिक संख्याओं का सेट;

- पूर्णांकों का सेट;

- परिमेय या भिन्नात्मक संख्याओं का समूह;

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

5. सेट की शक्ति। परिमित और अनंत समुच्चयों के उदाहरण दीजिए।

सेट को इक्विपोटेंट, समतुल्य कहा जाता है, यदि उनके बीच एक-से-एक या एक-से-एक पत्राचार होता है, अर्थात ऐसा जोड़ीदार पत्राचार। जब एक समुच्चय का प्रत्येक अवयव दूसरे समुच्चय के एक अवयव से संबद्ध होता है और इसके विपरीत, जबकि एक समुच्चय के विभिन्न अवयव दूसरे समुच्चय के विभिन्न अवयवों से संबद्ध होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए तीस लोगों के छात्रों का एक समूह लेते हैं और परीक्षा टिकट जारी करते हैं, प्रत्येक छात्र को एक टिकट जिसमें तीस टिकट होते हैं, 30 छात्रों का ऐसा जोड़ीवार पत्राचार और 30 टिकट एक-से-एक होंगे।

दो समुच्चय जो एक ही तीसरे समुच्चय के तुल्य हैं तुल्य हैं। यदि समुच्चय M और N तुल्य हैं, तो इनमें से प्रत्येक समुच्चय M और N के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय भी समतुल्य हैं।

किसी दिए गए समुच्चय का उपसमुच्चय एक समुच्चय होता है, जिसका प्रत्येक अवयव दिए गए समुच्चय का एक अवयव होता है। तो कारों का सेट और ट्रकों का सेट कारों के सेट का सबसेट होगा।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की शक्ति को सातत्य की शक्ति कहा जाता है और इसे "एलेफ" अक्षर से दर्शाया जाता है। א . सबसे छोटा अनंत क्षेत्र प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की कार्डिनैलिटी है। सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय की घात सामान्यतः निरूपित की जाती है (एलेफ-शून्य)।

शक्तियों को अक्सर कार्डिनल नंबर कहा जाता है। इस अवधारणा को जर्मन गणितज्ञ जी. कांटोर ने पेश किया था। यदि समुच्चय को सांकेतिक अक्षरों M, N द्वारा निरूपित किया जाता है, तो कार्डिनल संख्याओं को m, n द्वारा दर्शाया जाता है। जी. कांटोर ने सिद्ध किया कि किसी दिए गए समुच्चय M के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय की कार्डिनैलिटी समुच्चय M से ही अधिक है।

वह समुच्चय जो सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के तुल्य हो, गणनीय समुच्चय कहलाता है।

6. निर्दिष्ट सेट के सबसेट।

यदि हम अपने समुच्चय में से अनेक तत्वों का चयन करते हैं और उन्हें अलग-अलग समूहित करते हैं, तो यह हमारे समुच्चय का उपसमुच्चय होगा। ऐसे कई संयोजन हैं जिनसे एक उपसमुच्चय प्राप्त किया जा सकता है, संयोजनों की संख्या केवल मूल सेट में तत्वों की संख्या पर निर्भर करती है।

हमारे पास दो समुच्चय A और B हैं। यदि समुच्चय B का प्रत्येक अवयव समुच्चय A का एक अवयव है, तो समुच्चय B, A का उपसमुच्चय कहलाता है। निरूपित: B ⊂ A. उदाहरण।

समुच्चय A=1;2;3 के कितने उपसमुच्चय हैं।

समाधान। हमारे सेट के तत्वों से युक्त सबसेट। तब हमारे पास सबसेट में तत्वों की संख्या के लिए 4 विकल्प हैं:

उपसमुच्चय में 1 तत्व, 2, 3 तत्व हो सकते हैं और खाली हो सकते हैं। आइए अपने तत्वों को क्रमिक रूप से लिखें।

1 तत्व का सबसेट: 1,2,3

2 तत्वों का एक सबसेट: 1,2,1,3,2,3।

3 तत्वों का सबसेट:1;2;3

हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि खाली समुच्चय भी हमारे समुच्चय का उपसमुच्चय है। तब हम पाते हैं कि हमारे पास 3+3+1+1=8 उपसमुच्चय हैं।

7. सेट पर संचालन।

कुछ संक्रियाओं को सेटों पर किया जा सकता है, कुछ मामलों में बीजगणित में वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं के समान। इसलिए, हम समुच्चय के बीजगणित के बारे में बात कर सकते हैं।

संगठन(कनेक्शन) सेट का लेकिनतथा परएक सेट कहा जाता है (प्रतीकात्मक रूप से इसे द्वारा दर्शाया जाता है), जिसमें उन सभी तत्वों का समावेश होता है जो कम से कम एक सेट से संबंधित होते हैं लेकिनया पर. के रूप में वह एक्ससमुच्चयों का संघ इस प्रकार लिखा जाता है

प्रविष्टि में लिखा है: "एकीकरण लेकिनतथा पर" या " लेकिनके साथ संयुक्त पर».

सेट पर संचालन ग्राफिक रूप से यूलर सर्कल का उपयोग करके चित्रित किया जाता है (कभी-कभी "वेन-यूलर आरेख" शब्द का उपयोग किया जाता है)। यदि समुच्चय के सभी अवयव लेकिनसर्कल के भीतर केंद्रित किया जाएगा लेकिन, और सेट के तत्व पर- एक घेरे के भीतर पर, तो यूलर सर्कल का उपयोग करके संघ संचालन को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है

उदाहरण 1. सेट का संघ लेकिन= (0, 2, 4, 6, 8) सम अंक और समुच्चय पर= (1, 3, 5, 7, 9) विषम अंक सभी दशमलव अंकों का = = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) का समुच्चय है।

8. सेट का ग्राफिक प्रतिनिधित्व। यूलर-वेन आरेख।

यूलर-वेन आरेख समुच्चयों के ज्यामितीय निरूपण हैं। आरेख का निर्माण सार्वभौमिक सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले एक बड़े आयत की छवि में होता है यू, और इसके अंदर - सेट का प्रतिनिधित्व करने वाले मंडल (या कुछ अन्य बंद आंकड़े)। समस्या में आवश्यक सबसे सामान्य मामले में आंकड़े प्रतिच्छेद करते हैं और तदनुसार लेबल किए जाने चाहिए। आरेख के विभिन्न क्षेत्रों में स्थित बिंदुओं को संगत समुच्चय के अवयव माना जा सकता है। निर्मित आरेख के साथ, नवगठित सेटों को इंगित करने के लिए कुछ क्षेत्रों को छायांकित करना संभव है।

सेट संचालन को मौजूदा से नए सेट प्राप्त करने के लिए माना जाता है।

परिभाषा। संगठनसमुच्चय ए और बी उन सभी तत्वों से मिलकर बना समुच्चय कहलाता है जो समुच्चय ए, बी में से कम से कम एक से संबंधित है (चित्र 1):

परिभाषा। चौराहासमुच्चय A और B को समुच्चय कहा जाता है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व होते हैं जो समुच्चय A और समुच्चय B दोनों से एक साथ संबंधित होते हैं (चित्र 2):

परिभाषा। अंतरसमुच्चय ए और बी उन सभी और केवल ए के उन तत्वों का समुच्चय है जो बी में शामिल नहीं हैं (चित्र 3):

परिभाषा। सममित अंतरसेट A और B इन समुच्चयों के तत्वों का समुच्चय है जो या तो केवल समुच्चय A से संबंधित हैं, या केवल समुच्चय B से संबंधित हैं (चित्र 4):

सेट का कार्टेशियन (या प्रत्यक्ष) उत्पादएतथा बीफॉर्म के जोड़े का ऐसा परिणामी सेट ( एक्स,आप) इस तरह से बनाया गया है कि सेट से पहला तत्व ए, और युग्म का दूसरा अवयव समुच्चय से है बी. सामान्य संकेतन:

ए× बी={(एक्स,आप)|एक्स∈ए,आप∈बी}

तीन या अधिक सेटों के उत्पादों का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है:

ए× बी× सी={(एक्स,आप,जेड)|एक्स∈ए,आप∈बी,जेड∈सी}

प्रपत्र के उत्पाद ए× ए,ए× ए× ए,ए× ए× ए× एआदि। डिग्री के रूप में लिखने की प्रथा है: ए 2 ,ए 3 ,ए 4 (डिग्री का आधार गुणक है, संकेतक उत्पादों की संख्या है)। वे इस तरह की प्रविष्टि को "कार्टेशियन स्क्वायर" (घन, आदि) के रूप में पढ़ते हैं। मुख्य सेट के लिए अन्य पठन विकल्प हैं। उदाहरण के लिए, R एनइसे "एर एन्नो" के रूप में पढ़ने की प्रथा है।

गुण

कार्टेशियन उत्पाद के कई गुणों पर विचार करें:

1. अगर ए,बीपरिमित समुच्चय हैं, तब ए× बी- अंतिम। और इसके विपरीत, यदि गुणक समुच्चयों में से एक अनंत है, तो उनके गुणनफल का परिणाम अनंत समुच्चय होता है।

2. कार्तीय गुणन में तत्वों की संख्या गुणक समुच्चयों के तत्वों की संख्या के गुणनफल के बराबर होती है (यदि वे निश्चित रूप से परिमित हैं): | ए× बी|=|ए|⋅|बी| .

3. एक एनपीओ ≠(एक) पी- पहले मामले में, कार्टेशियन उत्पाद के परिणाम को आयामों के मैट्रिक्स के रूप में मानने की सलाह दी जाती है 1× एनपी, दूसरे में - आकार के मैट्रिक्स के रूप में एन× पी .

4. क्रमविनिमेय कानून पूरा नहीं होता है, क्योंकि कार्टेशियन उत्पाद के परिणाम के तत्वों के जोड़े का आदेश दिया गया है: ए× बी≠बी× ए .

5. एसोसिएशन कानून पूरा नहीं हुआ है: ( ए× बी)× सी≠ए×( बी× सी) .

6. सेट पर बुनियादी संचालन के संबंध में वितरण है: ( ए∗बी)× सी=(ए× सी)∗(बी× सी),∗∈{∩,∪,∖}

10. एक उच्चारण की अवधारणा। प्राथमिक और यौगिक कथन।

बयानएक कथन या घोषणात्मक वाक्य है जिसे सत्य (T-1) या असत्य (L-0) कहा जा सकता है, लेकिन एक ही समय में दोनों नहीं।

उदाहरण के लिए, "आज बारिश हो रही है", "इवानोव ने भौतिकी में प्रयोगशाला का काम नंबर 2 पूरा किया।"

यदि हमारे पास कई प्रारंभिक कथन हैं, तो उनमें से का उपयोग करके तार्किक संघ या कणों हम नए कथन बना सकते हैं जिनका सत्य मूल्य केवल मूल कथनों के सत्य मूल्यों और नए कथन के निर्माण में भाग लेने वाले विशिष्ट संयोजनों और कणों पर निर्भर करता है। शब्द और भाव "और", "या", "नहीं", "अगर ... तो", "इसलिए", "यदि और केवल तब" ऐसे संयोजनों के उदाहरण हैं। मूल कथन कहलाते हैं सरल , और कुछ तार्किक संघों की सहायता से उनसे निर्मित नए कथन - घटक . बेशक, "सरल" शब्द का मूल कथनों के सार या संरचना से कोई लेना-देना नहीं है, जो स्वयं काफी जटिल हो सकते हैं। इस संदर्भ में, "सरल" शब्द "मूल" शब्द का पर्याय है। महत्वपूर्ण बात यह है कि सरल प्रस्तावों के सत्य मूल्यों को जाना या दिया जाना चाहिए; किसी भी मामले में, उनकी किसी भी तरह से चर्चा नहीं की जाती है।

यद्यपि "आज गुरुवार नहीं है" जैसा कथन दो अलग-अलग सरल कथनों से नहीं बना है, निर्माण की एकरूपता के लिए इसे एक यौगिक भी माना जाता है, क्योंकि इसका सत्य मूल्य दूसरे कथन के सत्य मूल्य से निर्धारित होता है "आज गुरुवार है "

उदाहरण 2निम्नलिखित कथनों को यौगिक कथनों के रूप में माना जाता है:

मैंने मोस्कोवस्की कोम्सोमोलेट्स पढ़ा और मैंने कोमर्सेंट पढ़ा।

अगर उसने कहा है, तो यह सच है।

सूर्य कोई तारा नहीं है।

अगर धूप है और तापमान 25 0 से अधिक है, तो मैं ट्रेन या कार से पहुंचूंगा

यौगिक उच्चारणों में शामिल सरल उच्चारण स्वयं पूरी तरह से मनमाना हो सकते हैं। विशेष रूप से, वे स्वयं समग्र हो सकते हैं। नीचे वर्णित मूल प्रकार के यौगिक कथनों को उन सरल कथनों से स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया गया है जो उन्हें बनाते हैं।

11. बयानों पर संचालन।

1. निषेध संचालन।

कथन की अस्वीकृति लेकिन (पढ़ता है "नहीं लेकिन"," यह सच नहीं है कि लेकिन"), जो सच है जब लेकिनझूठा और झूठा जब लेकिन- सच।

नकारात्मक बयान लेकिनतथा बुलाया विलोम।

2. संयोजन संचालन.

संयोजकबयान लेकिनतथा परकथन कहा जाता है ए बी(पढ़ना " लेकिनतथा पर”), जिसका सही अर्थ निर्धारित किया जाता है यदि और केवल यदि दोनों कथन लेकिनतथा परसच।

प्रस्तावों के संयोजन को तार्किक उत्पाद कहा जाता है और इसे अक्सर निरूपित किया जाता है एबी.

बयान दें लेकिन- "मार्च में, हवा का तापमान 0करने के लिए + 7 सी» और कह पर- "विटेबस्क में बारिश हो रही है।" फिर ए बीइस प्रकार होगा: "मार्च में, से हवा का तापमान 0करने के लिए + 7 सीऔर विटेबस्क में बारिश हो रही है।" यदि कथन हैं तो यह संयोजन सत्य होगा लेकिनतथा परसच। अगर यह पता चला कि तापमान कम था 0या विटेबस्क में वर्षा नहीं हुई थी, तब ए बीझूठा होगा।

3 . विच्छेदन संचालन.

अलगावबयान लेकिनतथा परकथन कहा जाता है ए बी (लेकिनया पर), जो सत्य है यदि और केवल यदि कम से कम एक कथन सत्य और असत्य है - जब दोनों कथन असत्य हों।

प्रस्तावों के संयोजन को तार्किक योग भी कहा जाता है ए + बी।

कथन " 4<5 या 4=5 ' सच हैं। बयान के बाद से " 4<5 "सत्य है, और कथन" 4=5 ' असत्य है, तो ए बीसत्य कथन है 4 5 ».

4 . निहितार्थ संचालन.

निहितार्थबयान लेकिनतथा परकथन कहा जाता है ए बी("यदि लेकिन, फिर पर", "से लेकिनचाहिए पर”), जिसका मान गलत है अगर और केवल अगर लेकिनसच, और परअसत्य।

निहितार्थ में ए बीबयान लेकिनबुलाया नींव,या भेज रहा है, और बयान पर – परिणाम,या निष्कर्ष।

12. कथनों की सत्यता की तालिकाएँ।

एक सत्य तालिका एक तालिका है जो तार्किक फ़ंक्शन में शामिल तार्किक चर के सभी संभावित सेटों और फ़ंक्शन के मूल्यों के बीच एक पत्राचार स्थापित करती है।

ट्रुथ टेबल का उपयोग इसके लिए किया जाता है:

जटिल बयानों की सच्चाई की गणना करना;

बयानों की तुल्यता स्थापित करना;

टॉटोलॉजी की परिभाषा।

पूर्णांकों

प्राकृतिक संख्या परिभाषा सकारात्मक पूर्णांक हैं। प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग वस्तुओं को गिनने और कई अन्य उद्देश्यों के लिए किया जाता है। यहाँ संख्याएँ हैं:

यह संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है।
शून्य एक प्राकृत संख्या है? नहीं, शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है।
प्राकृतिक संख्याएँ कितनी होती हैं? प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? एक सबसे छोटी प्राकृत संख्या है।
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? इसे निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।

प्राकृत संख्याओं का योग एक प्राकृत संख्या है। अतः प्राकृत संख्याओं का योग a और b:

प्राकृत संख्याओं का गुणनफल एक प्राकृत संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्या a और b का गुणनफल:

c हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है।

प्राकृत संख्याओं का अंतर हमेशा एक प्राकृत संख्या नहीं होती है। यदि मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है, तो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा ऐसा नहीं है।

प्राकृत संख्याओं का भागफल सदैव एक प्राकृत संख्या नहीं होती है। यदि प्राकृत संख्याओं के लिए a और b

जहाँ c एक प्राकृत संख्या है, इसका अर्थ है कि a, b से समान रूप से विभाज्य है। इस उदाहरण में, a भाज्य है, b भाजक है, c भागफल है।

एक प्राकृत संख्या का भाजक वह प्राकृत संख्या है जिससे पहली संख्या समान रूप से विभाज्य होती है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

साधारण प्राकृत संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। यहां हमारा मतलब पूरी तरह से विभाजित है। उदाहरण, संख्या 2; 3; 5; 7 केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। ये सरल प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

एक को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है।

वे संख्याएँ जो एक से बड़ी हों और जो अभाज्य न हों, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। संयुक्त संख्याओं के उदाहरण:

एक को समग्र संख्या नहीं माना जाता है।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में एक, अभाज्य संख्याएँ और भाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर N से निरूपित किया जाता है।

प्राकृत संख्याओं के योग और गुणन के गुण:

जोड़ की क्रमविनिमेय संपत्ति

जोड़ की साहचर्य संपत्ति

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी);

गुणन का क्रमविनिमेय गुण

गुणन की साहचर्य संपत्ति

(एबी) सी = ए (बीसी);

गुणन का वितरण गुण

ए (बी + सी) = एबी + एसी;

पूर्ण संख्याएं

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं, उदाहरण के लिए:

1; -2; -3; -4;...

पूर्णांकों के समुच्चय को लैटिन अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है।

परिमेय संख्या

परिमेय संख्याएँ पूर्णांक और भिन्न होती हैं।

किसी भी परिमेय संख्या को आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि कोई भी पूर्णांक एक आवर्त भिन्न होता है जिसका आवर्त शून्य होता है।

किसी भी परिमेय संख्या को भिन्न m/n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। आइए पिछले उदाहरण से संख्या 3,(6) को ऐसे भिन्न के रूप में निरूपित करें।