वर्तमान में, स्कूल प्रबंधन में अभिनव दृष्टिकोणों में से एक, जो शिक्षा प्रणाली में उपलब्ध संसाधनों का प्रभावी ढंग से उपयोग करना और नकारात्मक बाहरी और आंतरिक कारकों का सफलतापूर्वक विरोध करना संभव बनाता है, क्लस्टर दृष्टिकोण है। क्लस्टर दृष्टिकोण के अन्य शोधकर्ताओं के अनुभव से भी इस स्थिति की पुष्टि होती है।

1. सेमीकिना ई.एन., ब्लोखिन वी.वी. एक अभिनव परमाणु नेटवर्क प्रायोगिक साइट की अवधारणा "एक शैक्षिक परिसर (क्लस्टर) के भीतर स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के नागरिक-नैतिक और सौंदर्य निर्माण के लिए एक शैक्षिक संस्थान का जीवन"। एम।, 2008।

2. शामोवा टी.आई. शिक्षा में क्लस्टर संगठनात्मक प्रौद्योगिकी का उपयोग करने की संभावनाएं // प्रणालीगत शिक्षाशास्त्र / एड पर निबंध। आर ए लच्छविली। एम।, 2008. एस 231-238।

3. शामोवा टी.आई. शैक्षिक प्रणालियों के विकास के लिए क्लस्टर दृष्टिकोण // क्षेत्र / ओटीवी में प्रभावशीलता, पहुंच और शिक्षा की गुणवत्ता सुनिश्चित करने के लिए शैक्षिक संस्थानों और समाज के संस्थानों की सहभागिता। ईडी। टी.एम. डेविडेंको, टी.आई. शमोव। बेलगॉरॉड, 2006. भाग I. S. 24-29।

4. सेमीकिना ई.एन. छात्र के व्यक्तित्व के नागरिक और नैतिक गठन के लिए एकता मानवीय प्रौद्योगिकियां // सामान्य और अतिरिक्त शिक्षा संस्थानों / एड में बच्चों की आध्यात्मिक और नैतिक शिक्षा के तरीके। आई.पी. वोरोपेवा, जी.एफ. गवरिलचेवा। एम., 2007. एस. 173-192।

5. Ignatova I., Ekimova N. एक शैक्षणिक संस्थान के प्रबंधन में क्लस्टर दृष्टिकोण। Narodnoe obrazovanie। 2009. नंबर 8. एस 62-66।

6. स्कूल और सामाजिक भागीदारों के बीच सहभागिता: क्लस्टर दृष्टिकोण। बेलगॉरॉड, 2008।

11 नवंबर 2009 को प्राप्त किया गया

सेमिकिना ई.एन. शिक्षा और पालन-पोषण में प्रशासनिक संसाधन के रूप में क्लस्टर दृष्टिकोण।

2005 और 2009 के बीच हम एक शैक्षिक मॉडल के वैचारिक और व्यावहारिक पहलुओं के सुधार पर काम कर रहे हैं और अभी भी काम कर रहे हैं "एक सीमा के भीतर स्कूली बच्चे के व्यक्तित्व के नागरिक-नैतिक और सौंदर्यपूर्ण उत्थान के लिए शैक्षिक संस्थान की महत्वपूर्ण गतिविधि" समान शैक्षिक परिसर (क्लस्टर) ”। इस मॉडल के कारण योगदान शैक्षिक वातावरण के लिए क्लस्टर दृष्टिकोण का कार्यान्वयन है। क्लस्टर दृष्टिकोण व्यक्तित्व निर्माण के मुद्दों को हल करने पर विशिष्ट शैक्षिक संस्थानों के प्रबंधन प्रयासों की एकाग्रता सुनिश्चित करता है।

कुंजी शब्द: क्लस्टर दृष्टिकोण; झुंड; स्कूली बच्चे के व्यक्तित्व का नागरिक-नैतिक गठन।

यूडीसी 373.1.02:372.8

समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणित और बीजगणितीय तरीके: मनोवैज्ञानिक और उपचारात्मक प्रवचन

© एम.ए. मत्स्यगिन

लेख एक माध्यमिक विद्यालय के ग्रेड 5-6 में समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति के लाभों के लिए समर्पित है। समस्याओं को हल करने का यह तरीका स्कूली बच्चों की बौद्धिक क्षमताओं को समस्याओं को हल करने के बीजगणितीय तरीके से अधिक विकसित करता है।

कीवर्ड: समस्याओं को हल करने का अंकगणितीय तरीका; समस्याओं को हल करने का बीजगणितीय तरीका; पाठ कार्य; बौद्धिक क्षमताएँ; तर्कसम्मत सोच।

घरेलू शैक्षिक प्रणाली के विकास में मुख्य रुझानों में से एक शिक्षा की विकासात्मक प्रकृति है, जिसे ज्ञान, कौशल और क्षमताओं में महारत हासिल करने की प्रक्रिया से बच्चे की क्षमताओं और स्वतंत्रता को विकसित करने की प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है। आज, "व्यक्ति के आत्मनिर्णय की क्षमता, उसके आत्म-साक्षात्कार के लिए परिस्थितियों का निर्माण" विकसित करने की प्राथमिकता शिक्षा पर कानून का आदर्श बन गई है।

एनआईआई, यानी प्रत्येक शिक्षक की गतिविधि का मानदंड। उसी समय, बच्चे की स्वतंत्र गतिविधि, जिसे उसके विकास का मुख्य कारक माना जाता है, उसकी सोच के विकास, उसकी संज्ञानात्मक क्षमताओं के विकास के स्तर से निर्धारित होती है। गणित निस्संदेह स्कूल के विषयों के बीच सोच और बौद्धिक क्षमताओं के विकास के लिए सबसे महत्वपूर्ण क्षमता है। यह उसका है

सार्वभौमिक चरित्र, और यही स्कूल के अन्य विषयों में इसके प्रवेश का कारण भी है। गणितीय संस्कृति, गणितीय सोच को विकसित करने का सबसे महत्वपूर्ण साधन पाठ्य समस्याएँ हैं।

पाठ कार्यों का मूल्य उनकी व्यावहारिक गतिविधियों में अर्जित ज्ञान को लागू करने की क्षमता तक सीमित नहीं है। समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, बच्चे न केवल गणितीय क्षमताओं का विकास करते हैं, बल्कि सामान्य, बौद्धिक भी होते हैं, जो बदले में, बच्चे के व्यक्तित्व के समग्र विकास के लिए आवश्यक होते हैं, लगभग सभी स्कूली विषयों में बच्चों के शैक्षणिक प्रदर्शन में योगदान करते हैं। इसलिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि छात्रों को विभिन्न तरीकों से पाठ्य समस्या और उसके समाधान की गहरी समझ हो।

इस स्थिति के एक निश्चित घटक की मात्रात्मक विशेषता की पहचान करने की आवश्यकता के साथ सबसे सामान्य प्रकार की शब्द समस्याओं को एक निश्चित स्थिति (स्थितियों) की प्राकृतिक भाषा में वर्णन के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी समस्याओं को हल करने की मुख्य विधियाँ अंकगणित और बीजगणितीय हैं।

हल करने का अंकगणितीय तरीका संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं द्वारा समस्या का उत्तर खोजना है।

बीजगणितीय विधि में एक समीकरण को संकलित करके और फिर उसे हल करके समस्या के प्रश्न का उत्तर प्राप्त करना शामिल है।

60 के दशक के अंत तक घरेलू माध्यमिक विद्यालय में लंबे समय तक समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति प्रभावी थी। 20 वीं सदी यह शिक्षण में व्यावहारिक समस्याओं का उपयोग करने की एक समृद्ध ऐतिहासिक परंपरा द्वारा सुगम किया गया था। प्राचीन काल से, अंकगणितीय समस्याओं को हल करना सीखना नियमों में महारत हासिल करने तक सीमित कर दिया गया है। उदाहरण के लिए, "अंकगणित" में एल.एफ. मैग्निट्स्की (1703), जो गणित पर पहली घरेलू मुद्रित पाठ्यपुस्तक है, अंकगणितीय समस्याओं को कड़ाई से परिभाषित नियमों के लिए दिया गया था, जिनके नाम "ट्रिपल", "पांच", "सप्ताह", आदि थे। यह सख्ती से व्यावहारिक होने के कारण है व्यापार गणना करने की आवश्यकता। कुछ प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए नियमों के मानक सेट को आत्मसात करने के लिए छात्रों की गतिविधि कम हो गई थी, और छात्रों की समाधान तंत्र की समझ बिल्कुल नहीं थी

ज़रूरी। आई.वी. अर्नोल्ड ने 1946 में प्रकाशित अपने लेख में शिक्षा की स्थिति का इस तरह वर्णन किया है: "विद्यार्थियों - एक क्रम या किसी अन्य में - संबंधित" प्रकार "समस्याओं से परिचित होते हैं, और समस्याओं को हल करने के लिए सीखना अक्सर नुस्खा और" प्रशिक्षण "के लिए कम हो जाता है। , मानक निर्णय विधियों की एक छोटी संख्या के छात्रों द्वारा निष्क्रिय संस्मरण और एक संकेत या किसी अन्य द्वारा मान्यता के लिए, उनमें से किसे इस या उस मामले में लागू किया जाना चाहिए।

शिक्षण में इन कमियों के बावजूद, घरेलू शिक्षा में 20 वीं शताब्दी के मध्य तक, अंकगणितीय समस्याओं का उपयोग करने की पद्धति अच्छी तरह से विकसित हो गई थी, कार्यों को व्यवस्थित किया गया था। हालाँकि, 1960 के दशक के अंत में गणितीय शिक्षा के सुधार के दौरान, समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति को फिर भी वरीयता मिली। यह इस तथ्य से भी सुगम था कि अंकगणित की समस्याओं को कई लोग उस समय के जीवन अभ्यास से अपर्याप्त रूप से जुड़े हुए मानते थे। इसके अलावा, प्रचलित राय यह थी कि अंकगणितीय विधि द्वारा समस्याओं को हल करना सीखना अनुचित है और बीजगणितीय पद्धति की महारत में बाधा डालता है। विशेष रूप से, जी.पी. 1960 के दशक की शुरुआत में शेड्रोवित्स्की। लिखते हैं: “... अंकगणितीय उपकरण एक कालानुक्रम है, कृत्रिम, अत्यंत जटिल विधियाँ बीजगणित के सरल उपकरण के साथ प्रकट होने से पहले ही विकसित हो गई थीं। लेकिन फिर, हम बच्चों के सिर इन अनावश्यक तरकीबों से क्यों भरते हैं और इतने सालों तक समय और मेहनत लगाते हैं? .

गणितीय शिक्षा के सुधार के परिणामस्वरूप, ए। वी। शेवकिन नोटों के रूप में, समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति को बड़े पैमाने पर बीजगणितीय द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था: “। बाद के वर्षों में शैक्षिक प्रक्रिया में समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति की भूमिका स्पष्ट रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण थी क्योंकि उन्हें हल करने के अंकगणितीय तरीकों को स्कूल अभ्यास से हटा दिया गया था ... लंबे समय तक "समीकरणों की विधि" एकमात्र ज्ञात विधि बन गई पाठ्य समस्याओं को हल करने के लिए छात्र "।

वर्तमान में, अंकगणितीय पद्धति का उपयोग स्कूल में केवल गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में कक्षा 5-6 तक की सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय पद्धति में संक्रमण होता है: पाठ्यक्रम में केवल एक ही अध्ययन किया जाता है

बीजगणित। हालाँकि, यह अभ्यास पूरी तरह से वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित नहीं है और मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक अनुसंधान में प्रयोगात्मक रूप से इसकी पुष्टि नहीं हुई है। इसके अलावा, वर्तमान में, स्कूली शिक्षा में अंकगणित और बीजगणितीय विधियों के बीच संबंध और छात्रों की सोच के विकास में उनकी भूमिका पर शोधकर्ताओं के बीच कोई सहमति नहीं है।

शोधकर्ता बी.वी. गेदेंको, एम.ए. लावेंटिएव, ए.आई. मार्कुशेविच और अन्य का मानना ​​​​था कि अंकगणितीय समस्याओं को हल करने में बहुत अधिक समय व्यतीत किया गया था, जो कि उनकी राय में, बीजगणितीय विधियों द्वारा हल किया जाना चाहिए। आज, 1960 के दशक की तरह, पद्धतिविज्ञानी इस थीसिस का बचाव करते हैं कि अंकगणितीय विधियों के लिए छात्रों और शिक्षकों से बहुत अधिक व्यर्थ प्रयास की आवश्यकता होती है।

इसलिए, हाल के वर्षों में, मनो-लोगो-शैक्षणिक अध्ययन सामने आए हैं जो "पूर्व-संख्यात्मक अवधि" (वी.वी. डेविडॉव) में अक्षर प्रतीकों को पेश करने की संभावना पर जोर देते हैं, और पहले के बिना समस्याओं को हल करने के बीजगणितीय तरीके को पढ़ाने का अभ्यास भी प्रदान करते हैं। अंकगणितीय पद्धति का अध्ययन (F. G. Bodansky)।

शोधकर्ताओं का एक और हिस्सा (I.K. Andronov, I.P. Boguslavsky, A.N. Levin,

एम.वी. पोटोट्स्की, ए.एस. पचेल्को और अन्य) ने एक अलग दृष्टिकोण साझा किया। समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति को उनके द्वारा सोच के विकास में सर्वोपरि माना गया और तदनुसार, गणित के पाठ्यक्रम की सफल महारत में। यह आधुनिक अभिकथन के अनुरूप है कि न केवल सरल, बल्कि काफी जटिल समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों को बीजगणितीय पद्धति के उपयोग से पहले होना चाहिए। शोधकर्ता एन.ए. मेनचिंस्काया, एम.आई. मोरो, ए.वी. स्क्रीपचेंको का मानना ​​है कि यह अंकगणितीय पद्धति है जो छात्रों को गणितीय निर्भरताओं को खोजने में विश्लेषण, संश्लेषण और अभ्यास करना सिखाती है। वे समस्या की बेहतर समझ और उसके समाधान खोजने की प्रक्रिया के साथ-साथ सामान्य बौद्धिक क्षमताओं के विकास में अंकगणितीय समस्याओं की भूमिका के लिए अंकगणितीय पद्धति के महत्व पर जोर देते हैं।

इस संबंध में एन.एफ. तालिज़िना ने नोट किया है कि "यहां तक ​​​​कि सबसे बुनियादी ज्ञान का गठन इस तरह से व्यवस्थित किया जाना चाहिए कि यह एक साथ सोच, कुछ मानसिक क्षमताओं का गठन हो।

छात्रों की संपत्ति"। निर्णय लेते समय

अंकगणितीय कार्य, शोधकर्ता के अनुसार, ऐसे संज्ञानात्मक कौशल बनते हैं जो अध्ययन किए जा रहे विषय - गणित के दायरे से परे जाते हैं, लेकिन फिर भी इसमें महारत हासिल करने में सफलता सुनिश्चित करते हैं।

बीजगणितीय और अंकगणितीय विधियों का उपयोग करने के लिए इष्टतम तरीकों को विकसित करने की समस्या को शब्द समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में छात्रों की मानसिक गतिविधि की विशेषताओं पर विचार करना आवश्यक है, जो एन.ए. के अध्ययन में परिलक्षित हुआ था। मेनचिंस्काया, एल.वाई.ए. युरत्सेवा और अन्य।

इन शोधकर्ताओं के अनुसार, अंकगणित और बीजगणितीय समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में मानसिक गतिविधि, इन विधियों की विशेषताओं से संबंधित है, अर्थात् विभिन्न गणितीय भाषाओं के उपयोग के साथ। उपयुक्त विधि की पसंद के आधार पर, स्थिति में निहित प्रारंभिक जानकारी को संसाधित करने और बदलने की संभावनाएं बदल जाती हैं।

इस प्रकार, बीजगणितीय विधि वर्णमाला प्रतीकों का उपयोग करके चुने हुए अज्ञात को निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है, एक समीकरण के रूप में कार्य द्वारा निर्धारित संचालन को लिखती है, और समस्या के प्रारंभिक डेटा को एल्गोरिथम परिवर्तन के रूप में बदलने की प्रक्रिया का निर्माण करती है। बीजगणितीय भाव। हल करने की प्रक्रिया में, मध्यवर्ती बीजीय व्यंजकों के शब्दार्थ अर्थ पर विचार नहीं किया जाता है। इसलिए, बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करके, केवल प्रारंभिक डेटा और अंतिम परिणाम को समझने के लिए खुद को सीमित करके समस्या को हल करना संभव है।

हल करने की प्रक्रिया में, छात्र को अक्षर द्वारा इंगित अज्ञात को ध्यान में रखने की आवश्यकता नहीं होती है। परिवर्तनों के प्रत्येक चरण पर प्राप्त समीकरण का अर्थ खोजने की भी आवश्यकता नहीं है। समस्या की स्थिति के विश्लेषण के शुरुआती, चरणों सहित एक बीजगणितीय समाधान अलग-अलग पाया जा सकता है, जबकि बीजगणितीय समाधान की प्रक्रिया में डेटा का संश्लेषण मात्राओं के बीच प्रारंभिक निर्भरता पर आधारित होता है और एक गहरे और व्यापक पर निर्भर नहीं करता है संबंधों का विश्लेषण।

अंकगणितीय विधि को समाधान के प्रत्येक चरण पर सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को समझने की आवश्यकता होती है, समाधान के प्रत्येक चरण को वांछित चरण के साथ और समस्या में समग्र रूप से वर्णित समस्या की स्थिति के साथ सहसंबद्ध करना। पर

इस प्रक्रिया में, समाधान प्रक्रिया के लिए उच्च स्तर के विश्लेषण की आवश्यकता होती है, जिसके दौरान मूल डेटा को नए संबंधों में शामिल किया जाता है, जिससे मूल सूत्रीकरण की तुलना में मात्राओं के अर्थ और उनके बीच संबंधों के बारे में नई जानकारी सामने आती है। अंकगणितीय समस्या को हल करने की प्रक्रिया में संश्लेषण में एक अनुमानी, खोजपूर्ण प्रकृति है, प्रारंभिक डेटा और मध्यवर्ती चरणों में प्राप्त समाधानों के बीच निर्भरता के निरंतर अध्ययन की ओर जाता है। अंकगणितीय तरीके से, डेटा संश्लेषण नए संबंधों की पहचान पर आधारित होता है, यानी समस्या की स्थितियों में सुधार की एक निरंतर प्रक्रिया।

बीजगणितीय और अंकगणितीय विधियों द्वारा समाधान की इन मनोवैज्ञानिक विशेषताओं की पुष्टि L.Ya द्वारा अध्ययन में की गई थी। युर्तसेवा। यह पाया गया कि बीजगणितीय समस्या को हल करने की प्रक्रिया में, वास्तविक स्थिति को गणितीय संबंधों के पर्याप्त विशिष्ट अलगाव के बिना प्रस्तुत किया जा सकता है। इसलिए, एक सफल बीजगणितीय समाधान के बाद भी, इन संबंधों को किए गए कार्यों के संपर्क से बाहर या विकृत माना जाता था।

अंकगणितीय विधि द्वारा किसी समस्या को हल करते समय, सभी परिवर्तनों को समझना, समस्या की स्थिति के साथ प्रत्येक चरण को समग्र रूप से सहसंबद्ध करना, इसके पूर्ण प्रतिनिधित्व और समझ की ओर ले जाता है। हल करने की प्रक्रिया में, इस स्थिति के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं पर प्रकाश डाला गया है - गणितीय संबंध। इस कारण से, समस्या को हल करने के असफल प्रयास भी अंकगणितीय रूप से विश्लेषण और संश्लेषण के स्तर को बढ़ाते हैं। विश्लेषण का एक उच्च स्तर समस्या के अतिरिक्त विश्लेषण की पुष्टि करता है, जो अक्सर छात्रों द्वारा एक ही समस्या को हल करने की अंकगणितीय पद्धति में परिवर्तन के संबंध में एक सफल बीजगणितीय समाधान के बाद किया जाता है।

इस प्रकार, समाधान की अंकगणितीय पद्धति की जटिलता उच्च स्तर के विश्लेषण और संश्लेषण से जुड़ी है, जो इस तरह से समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आवश्यक है। इसलिए, अंकगणितीय तरीके से जटिल समस्याओं का समाधान हाई स्कूल के छात्रों के लिए और प्रत्येक कक्षा के भीतर - गणितीय प्रशिक्षण के बढ़े हुए स्तर वाले छात्रों के लिए अधिक सुलभ है।

समस्याओं को हल करने का बीजगणितीय तरीका छात्रों की विभिन्न श्रेणियों के लिए उपलब्ध है, जिनमें निम्न स्तर के गणितीय प्रशिक्षण वाले छात्र भी शामिल हैं। हालाँकि, इस मामले में छात्रों द्वारा किए जाने वाले सोचने के कार्य केवल गणितीय रूप से विकसित व्यक्ति की गतिविधियों के साथ सतही रूप से मेल खा सकते हैं, जबकि उसी समय विकास के उस चरण के अनुरूप होते हैं जिस पर छात्र होता है।

समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति की उपलब्धता को विश्लेषण और संश्लेषण के विभिन्न स्तरों (निम्न सहित) पर इस तरह से सफलतापूर्वक हल करने की संभावना से समझाया गया है। हालाँकि, इस पहुँच का अपना नकारात्मक पक्ष है, क्योंकि यह उच्च स्तर की बौद्धिक गतिविधि के लिए संक्रमण को उत्तेजित नहीं करता है, जिससे गणित में कमजोर छात्रों को पर्याप्त उच्च स्तर की गणितीय सोच का आभास होता है।

इसीलिए, स्कूल में समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करते समय, उन प्रकार की गतिविधियों के साथ छात्रों की गतिविधियों को पूरक करना आवश्यक है जो विश्लेषण और संश्लेषण के अधिक जटिल रूपों में व्यायाम करते हैं, जिनका उपयोग अंकगणितीय समस्या समाधान में किया जाता है।

समस्याओं को हल करने के अंकगणित और बीजगणितीय तरीके छात्रों की मानसिक गतिविधि में एक अलग भूमिका निभाते हैं। बीजगणितीय पद्धति का उपयोग सोच के उन गुणों की भरपाई नहीं करता है जो समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति से बनते हैं। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि समस्याओं को हल करने का गैर-मानक अंकगणितीय तर्क, जिसे हल करने के दौरान छात्रों में अनुमानी, रचनात्मक सोच की क्षमता विकसित होती है।

पूर्वगामी के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि स्कूल में गणित पढ़ाने में समस्याओं को हल करने के बीजगणितीय और अंकगणितीय तरीकों का संयोजन संभवतः छात्रों की बौद्धिक क्षमताओं के विकास में योगदान देगा। इसी समय, अंकगणितीय पद्धति द्वारा समस्याओं का समाधान निम्न ग्रेड तक सीमित नहीं होना चाहिए, जिसमें अपेक्षाकृत सरल शब्द समस्याओं का उपयोग किया जाता है। पारंपरिक बीजगणितीय विधि द्वारा वरिष्ठ ग्रेड में हल की जाने वाली अधिक जटिल समस्याओं को भी ज्यादातर मामलों में अंकगणितीय विधि द्वारा सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है। इसी समस्या का समाधान

ची अंकगणित और बीजगणितीय तरीके आपको प्रत्येक मामले में उनमें से सबसे अधिक तर्कसंगत खोजने की अनुमति देते हैं।

बीजगणित के साथ समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीकों का उपयोग छात्रों के समग्र विकास में योगदान देता है, न केवल तार्किक, बल्कि आलंकारिक सोच, प्राकृतिक भाषा की बेहतर महारत का विकास करता है और इससे गणित और संबंधित विषयों को पढ़ाने की प्रभावशीलता बढ़ जाती है। हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि विभिन्न तरीकों से समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, पाठ विश्लेषण से संबंधित महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनते हैं, समस्या की स्थितियों और मुख्य प्रश्न पर प्रकाश डालते हैं, एक समाधान योजना तैयार करते हैं, एक प्रश्न प्रस्तुत करते हैं और स्थितियों की खोज करते हैं। जिससे आप प्राप्त जानकारी की जाँच करके इसका उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। परिणाम। स्कूल में अध्ययन की अवधि के अंत तक, एक स्नातक के पास अपने शस्त्रागार में समस्याओं को हल करने के विभिन्न तरीकों के साथ-साथ गैर-मानक तरीकों से समस्या का समाधान खोजने का व्यावहारिक अनुभव होना चाहिए।

यह माना जा सकता है कि छात्रों की बौद्धिक क्षमताओं के निर्माण में समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय और बीजगणितीय तरीकों की भूमिका का अध्ययन करने की सबसे बड़ी संभावनाएँ ग्रेड 5-6 हैं, जिसमें मौजूदा कार्यक्रम के अनुसार, एक संक्रमण है बीजगणितीय विधि के लिए अंकगणित। साथ ही, गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में अंकगणितीय समस्याओं के एक छोटे समूह को शामिल करके इन कक्षाओं में शब्द समस्याओं के अभ्यास को बदलकर छात्रों की मानसिक क्षमताओं को बढ़ाने का प्रयास किया जा सकता है। पूर्व-क्रांतिकारी पाठ्यपुस्तकें हमें स्कूली बच्चों की बौद्धिक क्षमताओं को विकसित करने के उद्देश्य से अंकगणितीय समस्याओं की एक प्रणाली विकसित करने के लिए उर्वर सामग्री प्रदान करती हैं। इसके अलावा, झूठे नियम, ट्रिपल नियम और अन्य तरीकों से हल की गई समस्याएं स्कूली बच्चों के लिए दिलचस्प होंगी। इस संबंध में, ऐसे पूर्व-क्रांतिकारी पद्धतिविदों के विचार रुचि रखते हैं, उदाहरण के लिए, डी.डी. गैलानिन। O.A के अनुसार। सविन और ओ.ए. कोलोमनिकोवा: “प्राथमिक विद्यालय में गणित शिक्षण, विकासात्मक शिक्षा, एक गतिविधि दृष्टिकोण और प्रयोगशाला कार्य की मनोवैज्ञानिक नींव - सौ साल पहले ये सभी बाहरी रूप से सामयिक विषय शिक्षाविदों के गहनतम शोध का विषय थे।

हा-बीसवीं सदी की शुरुआत के शोधकर्ता। दिमित्री दिमित्रिच गैलानिन"। आधुनिक परिस्थितियों के अनुकूल अंकगणितीय कार्यों का उपयोग करना, जो सदियों से घरेलू माध्यमिक विद्यालय में उपयोग किया जाता रहा है, और पिछली शताब्दी के आरंभ में शुरू की गई पद्धतिगत विकास पर निर्भर करते हुए, हम न केवल छात्रों के मानसिक संवर्धन को प्राप्त करने का प्रयास करेंगे। गतिविधि, बल्कि सामान्य रूप से मानव जाति की सांस्कृतिक और ऐतिहासिक विरासत और विशेष रूप से रूसी वैज्ञानिक संस्कृति में महारत हासिल करने की प्रक्रिया में बौद्धिक क्षमताओं का विकास, समस्याओं के समाधान की खोज से जुड़ा हुआ है।

उदाहरण के तौर पर, यहाँ दो अंकगणितीय समस्याएँ हैं जो ग्रेड 5-6 में पढ़ने के लिए उपयुक्त हैं।

पहली समस्या को हल करने की तकनीक, जिसका उपयोग प्राचीन चीन में गणित पढ़ाने में किया जाता था, ए.वी. शेवकिन:

“पिंजरे में अज्ञात संख्या में तीतर और खरगोश हैं। यह ज्ञात है कि पूरी कोशिका में 35 सिर और 94 पैर होते हैं। तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।

ए.वी. शेवकिन ने नोट किया कि, स्वाभाविक रूप से। इस समस्या को सफलतापूर्वक बीजगणितीय रूप से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण बनाकर:

4x + 2 ■ (35 - x) = 94, जहाँ x खरगोशों की संख्या है, और इसे हल करना।

हालाँकि, यदि इस समस्या को हल करते समय, हम न केवल सही उत्तर प्राप्त करने का लक्ष्य निर्धारित करते हैं, बल्कि बच्चों में सोच, कल्पना का विकास भी करते हैं, तो ऐसी स्थिति में इस समस्या को हल करने के लिए अंकगणितीय विधि को लागू करने की सलाह दी जाती है।

शिक्षक छात्रों को यह कल्पना करने के लिए आमंत्रित करता है कि पिंजरे के ऊपर एक गाजर रखा गया था जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। इस मामले में, पिंजरे में सभी खरगोश गाजर तक पहुँचने के लिए अपने पिछले पैरों पर खड़े होंगे। इसलिए सवाल: इस समय जमीन पर कितने फुट होंगे?

बच्चे आसानी से देखते हैं कि बाकी पैरों की गिनती नहीं की जाती है (ये खरगोशों के सामने के पंजे हैं)। उनकी संख्या की गणना करना मुश्किल नहीं है: 94 - 70 \u003d 24 फीट।

दिलचस्प तथ्य यह है कि इसी तरह की समस्या गणित की पाठ्यपुस्तक में ग्रेड 5 के लिए आई.आई. द्वारा दी गई है। जुबरेवा और ए.जी. मोर्डकोविच 615वें नंबर पर हैं। लेखक जो विकासात्मक शिक्षा प्रणाली का पालन करते हैं, एल.वी. ज़ंकोव, छात्रों को इसे हल करने की अंकगणितीय विधि (ऊपर चर्चा की गई) और बीजीय एक (चयन विधि द्वारा दो अज्ञात के साथ एक समीकरण को हल करना) दोनों से परिचित कराने की पेशकश करते हैं।

एक अन्य समस्या एलएफ द्वारा "अंकगणित" से समस्या का एक अनुकूलित संस्करण भी है। मैग्निट्स्की (एस.एन. ओलेखनिक द्वारा पुरानी समस्याओं के संग्रह में प्रकाशित): “एक गाँव से दूसरे गाँव में जाने वाले एक राहगीर ने दूसरे राहगीर से पूछा कि उसे कब तक जाना है? उन्हें जवाब मिला कि उन्होंने पहले ही गांवों के बीच की एक तिहाई दूरी तय कर ली है, और 2 मील के बाद यह बिल्कुल आधा रास्ता होगा। राहगीर को अभी कितने मील और जाना है?

समस्या को अंकगणित द्वारा बहुत सरलता से हल किया जाता है, यह देखते हुए कि 2 वर्स्ट गांवों के बीच की दूरी के 1/2 और 1/3 के बीच का अंतर है। यहाँ से हम पाते हैं कि 2 मील कुल दूरी का 1/6 है, इसलिए गाँवों के बीच की दूरी 12 मील है। यात्री ने पहले ही एक तिहाई, यानी 4 मील की दूरी तय कर ली है, और उसके पास अभी भी 8 मील की दूरी तय करनी है। अधिक स्पष्टता के लिए, आप आरेख बना सकते हैं।

अंत में, हम स्कूली गणित पाठ्यक्रम में पाठ्य समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय और बीजगणितीय विधियों के उपयोग पर किए गए अध्ययन से कुछ निष्कर्ष निकालेंगे:

1) समस्याओं को हल करने का बीजगणितीय तरीका, सबसे पहले, अधिकांश (लेकिन सभी नहीं) पाठ समस्याओं को हल करने के लिए एक सुविधाजनक और प्रभावी उपकरण है, जो अमूर्त सोच के विकास में योगदान देता है;

2) अंकगणितीय विधि इस मायने में मूल्यवान है कि यह समस्या की स्थितियों, इसके समाधान की प्रक्रिया को समझने में मदद करती है; न केवल गणितीय सोच, बल्कि सामान्य बौद्धिक क्षमता भी विकसित करता है; स्वतंत्रता और सोच की रचनात्मकता विकसित करता है;

3) गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में, समस्याओं को हल करने के दोनों तरीकों को यथोचित रूप से संयोजित करना आवश्यक है, न कि निम्न ग्रेड द्वारा अंकगणितीय पद्धति के उपयोग तक सीमित;

मील, और मध्य और उच्च विद्यालय में बीजगणितीय के साथ इसका उपयोग करें;

4) प्राथमिक विद्यालय में बीजगणितीय पद्धति को पढ़ाया जा सकता है, लेकिन इसे हल करने के सर्वोत्तम तरीके के रूप में नहीं रखा जाना चाहिए;

5) चूंकि कई समस्याओं को हल करने के कई अंकगणितीय (और यहां तक ​​​​कि बीजगणितीय) तरीके हैं, इसलिए, यदि संभव हो, तो किसी को एक पाठ समस्या का समाधान एक में नहीं, बल्कि कई विशेष तरीकों से खोजना चाहिए। कई विधियों में से सबसे सुंदर समाधान चुनने की सलाह दी जाती है - यह छात्रों को गणितीय घटनाओं के संबंध में सौंदर्य संबंधी भावनाओं को विकसित करने और पाठ्य समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में रुचि बढ़ाने की अनुमति देगा;

6) गणित में मौजूदा स्कूली पाठ्यक्रम की आवश्यकताओं के आधार पर, यह माना जा सकता है कि छात्रों की बौद्धिक क्षमताओं के निर्माण में समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय और बीजगणितीय तरीकों की भूमिका का अध्ययन करने की सबसे बड़ी संभावनाएं ग्रेड 5-6 हैं। जो, मौजूदा कार्यक्रम के अनुसार, अंकगणित से बीजगणितीय तरीके से एक संक्रमण है। यह अंकगणितीय समस्याओं के एक छोटे से सेट को प्रस्तुत करके किया जा सकता है जिसका उपयोग कक्षा 5-6 के शिक्षकों द्वारा किया जाएगा।

1. शिक्षा पर: रूसी संघ का संघीय कानून। एम।, 1999. एस। 9।

2. अर्नोल्ड आई.वी. अंकगणितीय समस्याओं के चयन एवं संकलन के सिद्धांत/गणित की पद्धति के प्रश्न। इज़्वेस्टिया एपीएन आरएसएफएसआर। एम।, 1946. अंक। 6. एस 7-28।

3. शेड्रोविट्स्की जी.पी. सोच की तकनीक // गैर-वाणिज्यिक वैज्ञानिक नींव "विकास संस्थान के नाम पर। जी.पी. शेड्रोविट्स्की"। 2008. आईकेएल: http://www.fondgp.rU/gp/biblio/rus/7 (24.08.2009 को एक्सेस किया गया)।

4. शेवकिन ए.वी. गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में पाठ्य समस्याएं // गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में पाठ समस्याओं की भूमिका। एम., 2006. एस. 12-14।

5. तालिज़िना एन.एफ. शैक्षणिक मनोविज्ञान। एम।, 1998. एस 50।

6. युर्त्सेवा एल.वाई. बीजगणितीय और अंकगणितीय तरीकों से समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में छात्रों की मानसिक गतिविधि की विशेषताएं: लेखक। जिले। ... कैंड। पेड। विज्ञान। एम।, 1971. एस। 1-6।

7. सविना ओ.ए., कोलोम्निकोवा ओ.ए. डी. डी. गैलानिन के पद्धतिगत विचार (150 वीं वर्षगांठ तक

जन्म) // प्राथमिक विद्यालय। 2007. नंबर 10. एस 106-112।

8. जुबेरवा एन.आई., मोर्डकोविच ए.जी. अंक शास्त्र। 5 कोशिकाएँ एम., 2005. एस. 170-171।

9. एस.एन. ओलेहनिक, यू.वी. नेस्टरेंको, और एम.के. पोटापोव, प्राचीन मनोरंजक समस्याएं। एम।, 1988. एस। 15-16।

6 नवंबर 2009 को प्राप्त किया गया

मत्स्यगिन एम.ए. व्यायाम समाधान के अंकगणित और बीजगणितीय तरीके: मनोवैज्ञानिक-उपदेशात्मक प्रवचन।

लेख औसत व्यापक स्कूल के 5-6 ग्रेड में व्यायाम समाधान के अंकगणितीय तरीके के फायदों के लिए समर्पित है। व्यायाम समाधान का ऐसा तरीका स्कूली बच्चों की मानसिक क्षमताओं को व्यायाम समाधान के बीजगणितीय तरीके से अधिक विकसित करता है।

मुख्य शब्द: व्यायाम समाधान का अंकगणितीय तरीका; व्यायाम समाधान का बीजगणितीय तरीका; शाब्दिक अभ्यास; मानसिक क्षमताएं; तर्क सोच।

जूनियर स्कूली बच्चों की एकीकृत शिक्षा में शैक्षिक सामग्री का व्यवस्थितकरण

© एलजेड स्वेतानोवा-चुरुकोवा

लेख युवा छात्रों को पढ़ाने की एकीकृत प्रक्रिया में शैक्षिक सामग्री के व्यवस्थितकरण के प्रकार और कार्यों की परिभाषा के लिए समर्पित है। प्रायोगिक कार्य के आधार पर, प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के ज्ञान में सुधार की संभावनाओं को रेखांकित किया गया है।

कुंजी शब्द: व्यवस्थितकरण; एकीकरण; भेदभाव; शिक्षा; शैक्षिक सामग्री; विशेषज्ञ आकलन।

युवा छात्रों के बीच ज्ञान की एक प्रणाली और एल्गोरिथम मॉडल बनाने की प्रक्रिया, जिसे शिक्षाशास्त्र में आमतौर पर व्यवस्थितकरण कहा जाता है, का पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया गया है। व्यवस्थितकरण से हम एक प्रणाली में अध्ययन की गई वस्तुओं के एकीकरण से जुड़ी शैक्षिक सामग्री के तर्कसंगत प्रसंस्करण को समझते हैं। व्यवस्थितकरण के लिए धन्यवाद, नया अधिग्रहीत ज्ञान व्यक्तित्व के वैचारिक तंत्र में बनता है, जो एक अच्छी तरह से संरचित महामारी संबंधी अखंडता में एकीकृत होता है। शैक्षिक सामग्री का एक पदानुक्रम है, अर्थात्, ज्ञान का एक मूल बनता है, जिसमें माध्यमिक और महत्वहीन की पृष्ठभूमि के खिलाफ शैक्षिक सामग्री के मुख्य, प्रमुख टुकड़े शामिल होते हैं।

छात्रों द्वारा ज्ञान के पूर्ण आत्मसात करने के लिए एक आवश्यक शर्त उनका संचालन, विभिन्न प्रकार के बौद्धिक और व्यावहारिक कार्यों के माध्यम से उनका विभिन्न परिवर्तनशील उपयोग है। नतीजतन, ज्ञान प्रणाली के पीछे तार्किक क्रियाओं की एक प्रणाली है, जिसके माध्यम से शैक्षिक सामग्री की सामग्री का पुनर्निर्माण करना और इसके अधिक परिपूर्ण संगठन को प्राप्त करना संभव है। इस मायने में, हम सामग्री को फाड़ने में सक्षम नहीं हैं

ज्ञान में महारत हासिल करने की प्रक्रिया के परिचालन पक्ष का पक्ष।

व्यवस्थितकरण सामान्यीकरण का कार्य करता है, ज्ञान के उच्चतम संश्लेषण को करता है और संरचनात्मक भागों से मिलकर एक प्रकार की अखंडता के रूप में सामग्री की गहरी समझ के लिए एक संक्रमण है। किसी व्यक्ति द्वारा संचित अनुभव को व्यवस्थित करते समय, इसकी आगमनात्मक और कटौतीत्मक कमी की जाती है। इस तरह जटिल संज्ञानात्मक पारस्परिक संक्रमणों को लागू करना संभव है - सिस्टम-डिफरेंशिएटिंग और सिस्टम-इंटीग्रेटिंग।

सिस्टम-डिफरेंशिएटिंग दृष्टिकोण के साथ, मुख्य ऑपरेशन अपघटन है। इस ऑपरेशन के माध्यम से, संपूर्ण रूप से सिस्टम को सबसिस्टम में, भागों में, प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है। सिस्टम-इंटीग्रेटिंग दृष्टिकोण के साथ, आंदोलन को विपरीत दिशा में किया जाता है - व्यक्तिगत तत्वों से पूरे सिस्टम की संरचना तक। यहां प्रमुख ऑपरेशन रचना है।

ज्ञान के व्यवस्थितकरण की प्रक्रिया में, वास्तविकता की एक सामान्यीकृत प्रति का प्रतिनिधित्व करने वाले शैक्षिक मॉडल की एक प्रणाली का एक अजीबोगरीब गठन किया जाता है। प्रक्रिया के पहले दो चरणों की तुलना में सार-तार्किक गतिविधि का स्तर

इस तथ्य के बावजूद कि कम्प्यूटेशनल गतिविधि बच्चों के लिए रुचिकर है, और समस्या को बालवाड़ी के पाठ्यक्रम में एक महत्वपूर्ण स्थान दिया गया है, कई पुराने प्रीस्कूलर और यहां तक ​​​​कि छोटे छात्र (ग्रेड 1-3 के छात्र) अंकगणितीय समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण कठिनाइयों का अनुभव करते हैं। . जीवन के सातवें वर्ष के लगभग 20% बच्चे एक अंकगणितीय संक्रिया को चुनने और उस पर बहस करने में कठिनाइयों का अनुभव करते हैं। ये बच्चे, अंकगणितीय समस्याओं को हल करते समय, एक अंकगणितीय संक्रिया को चुनने में, मुख्य रूप से बाहरी गैर-आवश्यक "छद्म-गणितीय" कनेक्शन और समस्या कथन में संख्यात्मक डेटा के बीच संबंधों के साथ-साथ स्थिति और समस्या के प्रश्न के बीच निर्देशित होते हैं। . यह मुख्य रूप से अवधारणाओं की सामान्यीकृत सामग्री की उनकी गलतफहमी में प्रकट होता है: "स्थिति", "प्रश्न", "कार्रवाई", साथ ही संकेत (+, -, =), आवश्यक संकेत को सही ढंग से चुनने में असमर्थता, और मामले में अंकगणितीय ऑपरेशन जब स्थिति में दिया जाता है, तो एक विशिष्ट प्रदर्शन एक अंकगणितीय ऑपरेशन के अनुरूप नहीं होता है (आया, जोड़ा, अधिक महंगा - जोड़; दिवंगत, लिया, सस्ता - घटाव)। इसके अलावा, कभी-कभी व्यक्तिगत शिक्षक बच्चों को सटीक रूप से इन छद्म-गणितीय संबंधों की ओर उन्मुख करते हैं। ऐसी स्थितियों में, कम्प्यूटेशनल गतिविधि अपर्याप्त रूप से सचेत रूप से बनती है (M. A. Bantova, N. I. Moro, A. M. Pyshkalo, E. A. Tarkhanova, आदि)।

जाहिर है, बच्चों के ज्ञान के निम्न स्तर का मुख्य कारण गणनात्मक गतिविधि को गिनती से अलग करने के सार में निहित है। गिनती करते समय, बच्चा विशिष्ट सेटों (वस्तुओं, ध्वनियों, गतियों) से निपटता है। वह इन भीड़ को देखता है, सुनता है, महसूस करता है, व्यावहारिक रूप से उनके साथ कार्य करने का अवसर है (लागू करें, लागू करें, सीधे तुलना करें)। कम्प्यूटेशनल गतिविधि के लिए, यह संख्याओं से जुड़ा है। और संख्याएँ अमूर्त अवधारणाएँ हैं। कम्प्यूटेशनल गतिविधि विभिन्न अंकगणितीय परिचालनों पर आधारित होती है, जो सेट के साथ सामान्यीकृत, अमूर्त संचालन भी होते हैं।

सबसे सरल अंकगणितीय समस्या को समझने के लिए इसकी सामग्री का विश्लेषण करने, इसके संख्यात्मक डेटा को निकालने, उनके बीच के संबंधों को समझने और निश्चित रूप से उन कार्यों को समझने की आवश्यकता होती है जो बच्चे को करने चाहिए।

प्रीस्कूलरों के लिए समस्या के प्रश्न को समझना विशेष रूप से कठिन है, जो कार्यों के गणितीय सार को दर्शाता है, हालांकि यह समस्या का प्रश्न है जो बच्चे का ध्यान संख्यात्मक डेटा के बीच संबंध की ओर निर्देशित करता है।

अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए प्रीस्कूलरों को पढ़ाना उन्हें अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़ा - जोड़ा, घटाया - घटाया गया) की सामग्री को समझने की ओर ले जाता है। यह बच्चे की विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक गतिविधि के विकास के एक निश्चित स्तर पर भी संभव है। बच्चों को कम्प्यूटेशनल गतिविधि के प्राथमिक तरीकों को सीखने के लिए, प्रारंभिक कार्य आवश्यक है, जिसका उद्देश्य प्राकृतिक श्रृंखला के आसन्न संख्याओं के बीच संबंध, संख्या की संरचना, समूहों में गिनती आदि के बारे में ज्ञान में महारत हासिल करना है।

कम्प्यूटेशनल गतिविधि के निर्माण में विशेष महत्व एक स्पष्ट व्यवस्थित और चरणबद्ध कार्य है।

योग द्वारा हल करें (एक से तीन जोड़ें)। बच्चे निष्कर्ष निकालते हैं: "चार पक्षी गर्त में उड़ गए।"

“दुकान में पाँच टीवी थे, उनमें से एक बिक गया था। स्टोर में कितने टीवी बचे हैं? इस समस्या को हल करते हुए, शिक्षक अपने कार्यों का तर्क इस प्रकार देना सिखाता है: पाँच टेलीविजन थे, एक बेचा गया था, इसलिए उनमें से एक कम बचा है। यह पता लगाने के लिए कि कितने टीवी बचे हैं, आपको पाँच में से एक घटाना होगा और आपको चार मिलेंगे।

शिक्षक जोड़ और घटाव की क्रियाओं के बारे में बच्चों के विचार बनाता है, साथ ही उन्हें "+" (जोड़ें, जोड़ें), "-" (घटाना, घटाना) और "=" (बराबर, यह बाहर निकलेगा) के संकेतों से परिचित कराता है। ).

इस प्रकार, बच्चा धीरे-धीरे ठोस सेट वाली क्रियाओं से संख्याओं के साथ क्रियाओं की ओर बढ़ता है, यानी वह एक अंकगणितीय समस्या को हल करता है।

पहले से ही दूसरे या तीसरे पाठ में, नाटकीयता और चित्रण कार्यों के साथ, बच्चों को मौखिक (पाठ) कार्यों को हल करने की पेशकश की जा सकती है। कार्य का यह चरण संख्याओं और चिह्नों वाले कार्डों के उपयोग से निकटता से संबंधित है। स्वतंत्र रूप से उनके द्वारा समान कार्यों को संकलित करने में बच्चों के अभ्यास विशेष रूप से उपयोगी हैं। साथ ही, शिक्षक को यह याद रखना चाहिए कि मुख्य बात यह नहीं है कि उत्तर (संख्या का नाम) इतना अधिक नहीं है, जितना कि इसका मार्ग। इसलिए, बच्चे समस्या का समाधान करते हैं: “पहले दिन किंडरगार्टन साइट पर चार पेड़ लगाए गए, और अगले दिन एक और पेड़। दो दिनों में कितने पेड़ लगाए गए? शिक्षक समस्या को हल करते समय बच्चे को सोचना सिखाता है। वह बच्चों से पूछता है: "क्या समस्या है?" - "तथ्य यह है कि बालवाड़ी की साइट पर पेड़ लगाए गए थे।" "पहले दिन कितने पेड़ लगाए गए?" -- "चार"। "दूसरे दिन कितने पेड़ लगाए गए?" - एक पेड़। - "समस्या में क्या पूछा गया है?" - "दो दिनों में साइट पर कितने पेड़ लगाए गए?" - "मैं कैसे पता लगा सकता हूं कि साइट पर कितने पेड़ लगाए गए हैं?" "एक से चार जोड़ें।"

शिक्षक बच्चों को इस तरह के सामान्यीकरण की ओर ले जाता है: एक (एक) को एक संख्या में जोड़ने के लिए, आपको सभी वस्तुओं को गिनने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल अगली संख्या का नाम देने की आवश्यकता है। जब हम एक से चार जोड़ते हैं, तो हम बस अगली संख्या "चार" संख्या को "पाँच" कहते हैं। और जब घटाना हो, एक घटाना हो तो उसके आगे पिछली संख्या का नाम देना चाहिए। इस प्रकार, बच्चों के पास मौजूद ज्ञान के आधार पर, शिक्षक उन्हें एक की संख्या में गिनने (जोड़ने) और एक को घटाने के तरीकों से लैस करता है। नीचे पहले प्रकार के कई कार्य दिए गए हैं।

• 1. एक डाली पर पाँच गौरैया बैठी थीं। एक और गौरैया उनकी ओर उड़ी। शाखा पर कितने पक्षी हैं?
• 2. तान्या और वोवा ने अपनी मां की मदद की। तान्या ने तीन आलू छीले, और वोवा ने एक गाजर छीली। बच्चों ने कितनी सब्जियां साफ कीं?
• 3. एक फूल के बिस्तर पर पांच ट्यूलिप खिले, दूसरे पर एक चपरासी। दोनों फूलों की क्यारियों में मिलाकर कितने फूल खिले?

यदि सीखने के पहले चरण से ही बच्चों को सरल समस्याओं के विश्लेषण की आवश्यकता, महत्व का एहसास हो जाता है, तो बाद में इससे उन्हें जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद मिलेगी। बच्चे की मानसिक गतिविधि की गतिविधि काफी हद तक शिक्षक को सवाल उठाने, उसे सोचने के लिए प्रोत्साहित करने की क्षमता पर निर्भर करती है। तो, शिक्षक बच्चों से पूछता है: “कार्य में क्या सीखना चाहिए? आप प्रश्न का उत्तर कैसे दे सकते हैं? आपको क्यों लगता है कि इसे फोल्ड किया जाना चाहिए? आप एक से चार कैसे जोड़ते हैं?"

काम में अगला चरण "कई इकाइयों द्वारा अधिक - कम" रिश्ते पर नए कार्यों (दूसरे प्रकार के कार्यों) के साथ परिचित बच्चों के साथ जुड़ा हुआ है। इन कार्यों में, समस्या की स्थिति में ही अंकगणितीय संक्रियाएँ की जाती हैं। संबंध "एक से अधिक" के लिए बच्चे को बढ़ाने, गिनने, जोड़ने की आवश्यकता होती है। अभिव्यक्ति "अधिक (कम) एक से" बच्चों ने पहले से ही जीवन के पांचवें और छठे वर्ष के समूहों में आसन्न संख्याओं की तुलना करना सीख लिया है। इसी समय, यह अनुशंसा नहीं की जाती है कि बच्चों का ध्यान "अधिक", "कम", और इससे भी अधिक उन्हें केवल इन शब्दों के आधार पर एक अंकगणितीय ऑपरेशन के विकल्प पर केंद्रित करने के लिए केंद्रित किया जाए। बाद में, "अप्रत्यक्ष, अप्रत्यक्ष" समस्याओं को हल करते समय, बच्चों को फिर से प्रशिक्षित करने की आवश्यकता होती है, और यह अंकगणितीय ऑपरेशन का सही विकल्प बनाने के लिए उन्हें सिखाने से कहीं अधिक कठिन है। दूसरे प्रकार के उदाहरण कार्य नीचे दिए गए हैं।

• 1. माँ ने कार में दो चम्मच शक्कर और एक चम्मच और पिताजी के बड़े प्याले में रख दी। माँ ने पिताजी के प्याले में कितनी चीनी डाली?
• 2. स्टेशन पर चार यात्री ट्रेनें थीं, और एक मालगाड़ी कम थी। स्टेशन पर कितनी मालगाड़ियाँ थीं?
• 3. बच्चों ने बगीचे में टमाटर के तीन बक्से और खीरे के एक कम बक्से को इकट्ठा किया। बच्चों ने खीरे के कितने डिब्बे इकट्ठे किए?

शिक्षा की शुरुआत में, प्रीस्कूलर को ही पेश किया जाता है। प्रत्यक्ष कार्य, जिसमें स्थिति और प्रश्न दोनों ही सुझाव देते हैं कि क्या क्रिया की जानी चाहिए: जोड़ या घटाव।

छह साल के बच्चों को विभिन्न प्रकार के कार्यों की तुलना करने के लिए प्रोत्साहित किया जाना चाहिए, हालांकि यह उनके लिए कठिन है, क्योंकि बच्चे पाठ को नहीं देखते हैं, और दोनों कार्यों को याद रखना चाहिए। तुलना का मुख्य मानदंड प्रश्न है। प्रश्न इस बात पर जोर देता है कि केवल दूसरे सेट की मात्रा, जो एक से अधिक (कम) है, या कुल मात्रा (शेष, अंतर) निर्धारित करने की आवश्यकता है। अंकगणितीय संक्रियाएँ समान हैं, लेकिन लक्ष्य भिन्न है। यही बच्चों की सोच के विकास में योगदान देता है। शिक्षक धीरे-धीरे उन्हें इस समझ में लाता है।

अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए बच्चों को पढ़ाने में एक और भी महत्वपूर्ण और जिम्मेदार चरण उन्हें तीसरे प्रकार की समस्याओं से परिचित कराना है - संख्याओं की अंतर तुलना। इस प्रकार की समस्याओं का समाधान केवल घटाव द्वारा किया जाता है। बच्चों को इस प्रकार के कार्य से परिचित कराते समय, उनका ध्यान मुख्य बात - कार्य में प्रश्न की ओर आकर्षित होता है। प्रश्न "कितने से?" शब्दों से शुरू होता है, अर्थात अंतर को निर्धारित करना हमेशा आवश्यक होता है, संख्यात्मक डेटा के बीच अंतर संबंध। शिक्षक बच्चों को संख्यात्मक डेटा के बीच निर्भरता के संबंध को समझना सिखाता है। कार्य विश्लेषण अधिक विस्तृत होना चाहिए। विश्लेषण के दौरान बच्चों को प्रश्न से समस्या की स्थिति तक जाना चाहिए। यह समझाया जाना चाहिए कि एक अंकगणितीय ऑपरेशन के चुनाव में, मुख्य प्रश्न हमेशा समस्या होता है, समाधान इसकी सामग्री और सूत्रीकरण पर निर्भर करता है। इसलिए, आपको मुद्दे के विश्लेषण के साथ शुरू करना चाहिए। सबसे पहले, बच्चों को बिना किसी प्रश्न के कार्य के साथ प्रस्तुत किया जाता है। उदाहरण के लिए: “बच्चों ने टहलने के लिए चार बड़ी गेंदें और एक छोटी गेंद ली। यह क्या है? क्या इसे अंकगणितीय समस्या कहा जा सकता है?” शिक्षक बच्चों को संबोधित करता है। "नहीं, यह केवल समस्या की एक स्थिति है," बच्चे जवाब देते हैं। "अब इस समस्या पर अपना प्रश्न रखो।"

बच्चों को इस तथ्य की ओर ले जाना चाहिए कि समस्या की इस स्थिति से दो प्रश्न पूछे जा सकते हैं:

• 1. टहलने के लिए कितनी गेंदें ली गईं?
• 2. छोटी गेंदों की तुलना में कितनी बड़ी गेंदें ली गईं?

पहले प्रश्न के अनुसार, जोड़ और दूसरे के अनुसार घटाव किया जाना चाहिए। यह बच्चों को आश्वस्त करता है कि समस्या का विश्लेषण एक प्रश्न से शुरू होना चाहिए। तर्क की रेखा इस प्रकार हो सकती है: यह पता लगाने के लिए कि बच्चे टहलने के लिए कितनी गेंदें ले गए, आपको यह जानने की जरूरत है कि उन्होंने कितनी बड़ी और छोटी गेंदों को अलग-अलग लिया और उनकी कुल संख्या का पता लगाया। दूसरे मामले में, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि दूसरों की तुलना में कितनी अधिक गेंदें हैं, अर्थात अंतर निर्धारित करें। अंतर हमेशा घटाकर पाया जाता है: छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाएं।

तो, तीसरे प्रकार के कार्य शिक्षक को कार्य की संरचना के बारे में ज्ञान को समेकित करने में मदद करते हैं और उपयुक्त अंकगणितीय संचालन को भेद करने और खोजने की क्षमता के बच्चों में विकास में योगदान करते हैं।

इन कक्षाओं में, यांत्रिक रूप से नहीं, बल्कि कम या ज्यादा होशपूर्वक, बच्चे क्रियाएं करते हैं, एक अंकगणितीय ऑपरेशन के विकल्प का तर्क देते हैं। इस प्रकार के कार्यों की तुलना पहले और दूसरे प्रकार के कार्यों से भी की जानी चाहिए।

पूर्वस्कूली उम्र में कंप्यूटिंग गतिविधि में गणित के ऑपरेटिंग सिस्टम से संबंधित जोड़ और घटाव के अंकगणितीय संचालन और संचालन क्रियाओं के विशेष पैटर्न के अधीन बच्चों द्वारा महारत हासिल करना शामिल है।

बच्चों को संख्यात्मक डेटा को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए, संख्याओं वाले कार्ड का उपयोग किया जाता है, और थोड़ी देर बाद, संकेत।

सबसे पहले, कार्यों में संख्यात्मक डेटा को प्राकृतिक श्रृंखला के पहले पांच नंबरों तक सीमित करना बेहतर होता है। ऐसे मामलों में बच्चे, एक नियम के रूप में, आसानी से उत्तर पाते हैं। इन कक्षाओं का मुख्य लक्ष्य गणितीय सार को समझने के लिए समस्या, उसकी संरचना का विश्लेषण करना सिखाना है। बच्चे समस्या के संरचनात्मक घटकों, संख्यात्मक डेटा, अंकगणितीय संक्रियाओं पर बहस करना आदि को उजागर करना सीखते हैं।

इस अवधि के दौरान बच्चों को यह सिखाने पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए कि चित्रों और संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके समस्याओं को कैसे बनाया और हल किया जाए।

तो, शिक्षक बच्चों को संबोधित करता है: "अब हम चित्र में समस्याओं की रचना और समाधान करेंगे।" उसी समय, बच्चों का ध्यान उस चित्र की ओर खींचा जाता है, जिसमें एक नदी को दर्शाया गया है, पाँच बच्चे किनारे पर खेलते हैं, और दो बच्चे नावों में किनारे पर तैरते हैं। चित्र पर विचार करने और प्रश्न का उत्तर देने का प्रस्ताव है: “चित्र में क्या दिखाया गया है? कलाकार किस बारे में बात करना चाहता था? बच्चे कहाँ खेलते हैं? समुद्र तट पर कितने बच्चे हैं? ये बच्चे क्या कर रहे हैं? (नाव में बच्चों की ओर इशारा करते हुए।) कितने हैं? जब वे तट पर आते हैं, तो क्या तट पर उनकी संख्या कम होगी या अधिक होगी? इस तस्वीर के साथ एक समस्या बनाओ।

शिक्षक दो या तीन बच्चों को बुलाता है और उनके द्वारा संकलित कार्यों को सुनता है। फिर वह सबसे सफल समस्या चुनता है, और सभी मिलकर इसे हल करते हैं। "क्या बात है? समुद्र तट पर कितने बच्चे खेल रहे थे? नाव में कितने बच्चे आए? समस्या के समाधान के लिए क्या करने की आवश्यकता है? संख्या "पांच" को "दो" संख्या में कैसे जोड़ा जा सकता है? -- 5+1 + 1=7.

शिक्षक यह सुनिश्चित करता है कि बच्चे अंकगणितीय संक्रिया को सही ढंग से तैयार करें और एक-एक करके गिनती की विधि समझाएं।

इसी प्रकार, वे अन्य समस्याओं की रचना और समाधान करते हैं। पाठ के अंत में, शिक्षक पूछता है कि बच्चे क्या कर रहे थे, उनके उत्तरों को स्पष्ट करता है: “यह सही है, हमने समस्याओं को बनाना और हल करना सीखा, उपयुक्त क्रिया का चयन करें, संख्या 2 को जोड़ और घटाकर एक के बाद एक गिनें। ”

लगभग उसी तरह, बच्चे एक संख्यात्मक उदाहरण के अनुसार समस्याओं को बनाते और हल करते हैं। एक संख्यात्मक उदाहरण के आधार पर अंकगणितीय समस्याओं को तैयार करने और हल करने के लिए और भी जटिल मानसिक गतिविधि की आवश्यकता होती है, क्योंकि समस्या की सामग्री मनमानी नहीं हो सकती है, लेकिन आरेख के रूप में एक संख्यात्मक उदाहरण पर आधारित है। प्रारंभ में बच्चों का ध्यान क्रिया की ओर ही खींचा जाता है। क्रिया (जोड़ या घटाव) के अनुसार, कार्य में एक शर्त और एक प्रश्न संकलित किया जाता है। लक्ष्य को जटिल करना संभव है - प्रत्येक संख्यात्मक उदाहरण के लिए एक नई समस्या संकलित नहीं की जाती है, और कभी-कभी एक ही उदाहरण के लिए विभिन्न प्रकार की कई समस्याएं संकलित की जाती हैं। यह, बेशक, अधिक कठिन है, लेकिन यह बच्चे के मानसिक विकास के लिए सबसे प्रभावी है।

तो, संख्यात्मक उदाहरण 4 + 2 के अनुसार, बच्चे दो समस्याओं को बनाते हैं और हल करते हैं: पहला - योग (कुल में कितना) खोजने के लिए, दूसरा - अनुपात "कई इकाइयों से अधिक" (2 तक)। उसी समय, बच्चे को संख्यात्मक डेटा के बीच संबंध और निर्भरता के बारे में पता होना चाहिए।

उदाहरण 4-2 के आधार पर बच्चों को तीन काम करने चाहिए: पहला, दूसरा और तीसरा। सबसे पहले, शिक्षक बच्चों को प्रश्नों, सुझावों के साथ मदद करता है: "अब हम एक ऐसा कार्य करेंगे जहाँ "2 कम" शब्द होंगे, और फिर, इसी उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम एक ऐसा कार्य करेंगे जहाँ कोई नहीं होगा ऐसे शब्द, और मात्रा में अंतर (कितना बचा है) निर्धारित करना आवश्यक होगा। और फिर शिक्षक पूछता है: "क्या इस उदाहरण के आधार पर एक नया, पूरी तरह से अलग कार्य बनाना संभव है?" यदि बच्चे खुद को उन्मुख नहीं कर सकते हैं, तो शिक्षक उन्हें संकेत देता है: "एक समस्या बनाएं जहां प्रश्न" कितना अधिक (कम) "" शब्दों से शुरू होगा।

बच्चों के साथ इस तरह की गतिविधियाँ उन्हें मुख्य बात समझने में मदद करती हैं: अंकगणितीय समस्याएं सामग्री में भिन्न हो सकती हैं, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति (समाधान) समान हो सकती हैं। सीखने की इस अवधि के दौरान, गणना की "विस्तृत" विधि, जो बच्चे की मानसिक गतिविधि को सक्रिय करती है, का बहुत महत्व है। पूर्व संध्या पर, शिक्षक बच्चों के साथ इकाइयों की संख्या की मात्रात्मक संरचना को दोहराता है और सुझाव देता है कि संख्या 2 को तुरंत न जोड़ें, लेकिन पहले 1 की गिनती करें, फिर एक और 1। कंप्यूटिंग गतिविधि में एक विस्तृत विधि का समावेश तार्किक के विकास को सुनिश्चित करता है सोच, इस गतिविधि के सार को आत्मसात करने में योगदान करते हुए।

बच्चों द्वारा अंकगणितीय समस्या के बारे में विचार और कुछ अवधारणाएँ बनाने के बाद, संख्यात्मक डेटा के बीच संबंध, स्थिति और समस्या के प्रश्न के बीच, आप सीखने में अगले चरण पर जा सकते हैं - उन्हें प्रत्यक्ष समस्याओं के व्युत्क्रम में परिवर्तन से परिचित कराना वाले। यह समस्या के गणितीय सूत्र, प्रत्येक प्रकार की समस्या की बारीकियों को और भी गहराई से सीखने का अवसर प्रदान करेगा। शिक्षक बच्चों को समझाते हैं कि प्रत्येक सरल अंकगणितीय समस्या को एक नए में परिवर्तित किया जा सकता है यदि वांछित समस्या को नई समस्या के आंकड़ों में से एक के रूप में लिया जाए, और रूपांतरित समस्या के आंकड़ों में से एक को वांछित माना जाए। नई समस्या में।

ऐसी समस्याएँ, जहाँ पहली समस्या में से एक का डेटा दूसरे में खोजा जाता है, और दूसरी समस्या का वांछित पहले के डेटा में शामिल किया जाता है, पारस्परिक रूप से उलटा समस्याएँ कहलाती हैं।

इसलिए, प्रत्येक प्रत्यक्ष अंकगणितीय समस्या से, रूपांतरण द्वारा 2 प्रतिलोम समस्याएँ बनाई जा सकती हैं।

यदि बच्चे, पहले चरणों से समस्याओं को हल करते समय, महत्वपूर्ण कनेक्शन और संबंधों द्वारा निर्देशित होते हैं, तो शब्द "बन गए", बने रहे "और अन्य उन्हें भटकाते नहीं हैं। इन शब्दों के बावजूद, बच्चे सही अंकगणितीय संक्रिया चुनते हैं। इसके अलावा, यह इस स्तर पर है कि शिक्षक को व्यक्तिगत शब्दों और भावों से समस्या को हल करने की पसंद की स्वतंत्रता पर बच्चों का ध्यान आकर्षित करना चाहिए।

सीधे और उलटे कार्यों से परिचित होने से बच्चों की संज्ञानात्मक गतिविधि बढ़ती है, तार्किक रूप से सोचने की उनकी क्षमता विकसित होती है। किसी भी समस्या का समाधान करते समय बच्चों को समस्या के प्रश्न से आगे बढ़ना चाहिए। एक वयस्क बच्चे को अपने कार्यों पर बहस करना सिखाता है, इस मामले में, अंकगणितीय ऑपरेशन की पसंद पर बहस करने के लिए। उसी समय, विचार की ट्रेन योजना के अनुसार जा सकती है: "पता लगाने के लिए ... हमें ज़रूरत है ... क्योंकि ...", आदि।

जीवन के सातवें वर्ष के समूह में, बच्चों को गणना के नए तरीकों से परिचित कराया जा सकता है - समूहों में गिनती के आधार पर। बच्चे, जोड़े, ट्रिपल में गिनना सीख चुके हैं, तुरंत संख्या 2 और फिर 3 जोड़ सकते हैं। हालांकि, इसे जल्दी मत करो। यह महत्वपूर्ण है कि बच्चे मजबूत, काफी जागरूक कौशल और एक के बाद एक गिनने और गिनने की क्षमता विकसित करें।

गणितीय विकास की कार्यप्रणाली पर आधुनिक शोध में, बच्चों में अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए सामान्यीकृत तरीकों के गठन के लिए कुछ सिफारिशें हैं। इन्हीं विधियों में से एक है योजना-सूत्र के अनुसार समस्याओं का समाधान। यह स्थिति N. I. Nepomnyashchaya, L. P. Klyueva, E. A. Tarkhanova, R. L. Nepomnyashchaya के अध्ययनों में प्रमाणित और प्रायोगिक रूप से सत्यापित है। लेखकों द्वारा प्रस्तावित सूत्र भाग और संपूर्ण के बीच संबंधों का एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व है। इस चरण से पहले का कार्य एक वस्तु (वृत्त, वर्ग, कागज की पट्टी) का भागों में व्यावहारिक विभाजन है। बच्चे व्यवहार में क्या करते हैं, शिक्षक तब एक सूत्र योजना (चित्र 29) में दर्शाता है। उसी समय, वह इस प्रकार तर्क देता है: “यदि वृत्त को आधे में विभाजित किया जाता है, तो दो हिस्सों को प्राप्त किया जाएगा। अगर इन हिस्सों को आपस में जोड़ दिया जाए तो फिर से एक पूरा वर्तुल बन जाता है। यदि हम पूरे वृत्त में से एक भाग घटाते हैं, तो हमें इस वृत्त का दूसरा भाग प्राप्त होता है। और अब आइए कुछ समस्याओं को हल करने से पहले कोशिश करें (शब्द "कुछ" रेखांकित किया गया है), यह निर्धारित करने के लिए कि प्रश्न हमें समस्या में क्या उन्मुख करता है: एक भाग या संपूर्ण खोजने के लिए। एक अज्ञात संपूर्ण हमेशा भागों को जोड़कर पाया जाता है, और पूरे का एक हिस्सा घटाकर।

उदाहरण के लिए: “एक पैटर्न बनाने के लिए, लड़की ने 4 नीले और 3 लाल घेरे लिए। लड़की ने कितने घेरे से पैटर्न बनाया? बच्चे इस तरह तर्क करते हैं: “समस्या की स्थिति के अनुसार, चित्र नीले और लाल वृत्तों से बना होता है। ये भाग हैं। आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि पैटर्न कितने मंडलियों से बना है। यह संपूर्ण है। संपूर्ण हमेशा भागों (4 + 3 =) को जोड़कर पाया जाता है।"

उच्च स्तर के बौद्धिक विकास वाले बच्चों के लिए, समस्याग्रस्त (अप्रत्यक्ष) कार्यों की पेशकश की जा सकती है। जीवन के सातवें वर्ष के बच्चों का इस प्रकार के कार्यों से परिचित होना संभव है और उनके मानसिक विकास के लिए बहुत महत्व रखता है। इस आधार पर, भविष्य में, एक अंकगणितीय समस्या का विश्लेषण करने, एक समाधान के पाठ्यक्रम की व्याख्या करने और एक अंकगणितीय संक्रिया का चयन करने के कौशल का निर्माण किया जाएगा। अप्रत्यक्ष कार्य इस मायने में भिन्न होते हैं कि दोनों संख्याएँ उनमें एक ही वस्तु को दर्शाती हैं, और प्रश्न का उद्देश्य किसी अन्य वस्तु की मात्रा निर्धारित करना है। ऐसी समस्याओं को हल करने में कठिनाइयाँ समस्या की संरचना और सामग्री से निर्धारित होती हैं। एक नियम के रूप में, इन कार्यों में ऐसे शब्द होते हैं जो अंकगणितीय ऑपरेशन चुनते समय बच्चे को भटकाते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि समस्या की स्थिति में "अधिक", "पहुंचे", "पुराने", आदि शब्द शामिल हैं, आपको विपरीत क्रिया - घटाव करना चाहिए। बच्चे को सही ढंग से उन्मुख करने के लिए, शिक्षक उसे समस्या का अधिक सावधानी से विश्लेषण करना सिखाता है। एक अंकगणितीय संक्रिया को चुनने के लिए, बच्चे को तर्क करने, तार्किक रूप से सोचने में सक्षम होना चाहिए। अप्रत्यक्ष समस्या का एक उदाहरण: "टोकरी में 5 मशरूम थे, जो मेज पर मौजूद मशरूम से 2 अधिक है। मेज पर कितने मशरूम हैं? अक्सर, बच्चे, गैर-आवश्यक संकेतों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, अर्थात् व्यक्तिगत शब्द (इस मामले में, शब्द "अधिक"), जोड़ ऑपरेशन को पूरा करने की जल्दी में होते हैं, जिससे सकल गणितीय त्रुटि होती है।

शिक्षक ऐसे कार्यों की विशेषताओं पर जोर देता है, यह सुझाव देता है कि वे इस तरह एक साथ तर्क करते हैं: “समस्या की स्थिति में, दोनों संख्याएँ एक वस्तु की विशेषता हैं - टोकरी में मशरूम की संख्या। इसमें 5 मशरूम हैं और इसमें टेबल से 2 अधिक हैं। आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि मेज पर कितने मशरूम हैं। यदि टोकरी में 2 और मशरूम हैं, तो मेज पर 2 कम मशरूम हैं। यह पता लगाने के लिए कि मेज पर उनमें से कितने हैं, 2 को 5 में से घटाएं (5-2 =?)।

कार्यों को संकलित करते समय, शिक्षक को यह याद रखना चाहिए कि कार्य की स्थिति और प्रश्न में शब्दांकन में विविधता लाना महत्वपूर्ण है: कितना अधिक, कठिन, अधिक महंगा, आदि।

अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के साथ-साथ, बच्चों को अंकगणितीय उदाहरण दिए जाते हैं जो उनके कम्प्यूटेशनल कौशल को मजबूत करने में मदद करते हैं। साथ ही, बच्चों को योग के कुछ नियमों से परिचित कराया जाता है।

यह ज्ञात है कि यदि दूसरा पद पहले से कम है तो योग करना हमेशा आसान होता है। हालाँकि, उदाहरण में हमेशा ऐसा नहीं होता है; यह दूसरा तरीका हो सकता है - पहला पद छोटा है और दूसरा बड़ा है (उदाहरण के लिए, 2 + 1 = 1)। इस मामले में, बच्चों को योग के क्रमविनिमेय नियम से परिचित कराने की आवश्यकता है: 2 + 7 = 7 + 2। सबसे पहले, शिक्षक इसे विशिष्ट उदाहरणों के साथ दिखाता है, उदाहरण के लिए, सलाखों पर। साथ ही, वह दो छोटे लोगों की संख्या की रचना के बारे में बच्चों के ज्ञान को अद्यतन करता है। बच्चों ने अच्छी तरह से सीखा कि संख्या 9 को दो छोटी संख्याओं से बनाया जा सकता है: 2 और 7 या, जो समान है, 7 और 2। दृश्य सामग्री के साथ कई उदाहरणों के आधार पर, बच्चे एक सामान्य निष्कर्ष निकालते हैं: यदि किसी बड़ी संख्या में छोटी संख्या जोड़ दी जाए तो योग क्रिया करना आसान हो जाता है, और यदि आप इन संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो उन्हें स्वैप करने पर परिणाम नहीं बदलेगा।

स्कूल वर्ष के दौरान, अंकगणितीय समस्याओं और उदाहरणों (तालिका 1) को हल करने के लिए बच्चों को पढ़ाने पर 10-12 पाठों का संचालन करना पर्याप्त है।

नीचे इन वर्गों की कार्यक्रम सामग्री है।

• 1. अपने आप को "कार्य" की अवधारणा से परिचित कराएं। समस्या में स्थिति और प्रश्न। नाटककरण कार्य, पहले प्रकार के चित्रण कार्य। 5 के भीतर संख्याएँ, संख्याओं में से एक 1 है।
• 2. कार्य की संरचना की अवधारणा को समेकित करना। चित्रों के साथ समस्याओं का समाधान। दूसरे प्रकार के कार्य। संकेत "+", "--", "="। मौखिक कार्य। 5 के भीतर संख्याएँ, संख्याओं में से एक 1 है। आसन्न संख्याओं के बीच संबंध को समझने के आधार पर गणना करना सीखें।
• 3. पहले और दूसरे प्रकार की समस्याओं की तुलना। चित्र के अनुसार, संख्यात्मक आंकड़ों के अनुसार और स्थिति के अनुसार कार्यों का स्व-संकलन।
• 4. 1 से अधिक संख्याओं को जोड़ने और घटाने के कार्य (2 = 1 + 1; 3=1 + 1 + 1)। तीसरे प्रकार के कार्य - संख्याओं के बीच संबंध पर। तीनों प्रकार के कार्यों की तुलना।
• 5. परस्पर विपरीत समस्याएं। अंकगणितीय समस्याओं का परिवर्तन। संख्यात्मक उदाहरण 4 + 2 के अनुसार कार्य करना; 4 - 2 तीनों प्रकार के।
• 6. अंकगणितीय उदाहरणों से परिचित होना। कंप्यूटिंग कौशल का गठन। संख्यात्मक उदाहरण पर कार्यों का संकलन।
• 7. दो छोटी संख्याओं की संख्या के संयोजन के आधार पर 10 के भीतर की समस्याओं को हल करना। अपने कार्यों को सही ठहराने की क्षमता। किसी समस्या को हल करने के लिए रीजनिंग एल्गोरिथम एक प्रश्न से एक स्थिति तक है।
• 8. सूत्र द्वारा समस्याओं का समाधान करना। तर्क का तर्क प्रश्न से लेकर समस्या की स्थिति तक।
• 9. अप्रत्यक्ष कार्य। समस्या कार्य। अंकगणितीय उदाहरण हल करना।
• 10. गैर-मानक कार्य (काव्यात्मक रूप में, चुटकुले आदि)। माप और लौकिक संबंधों के साथ संबंध।
• 11. योग के क्रमविनिमेय नियम पर आधारित योग समस्याओं को हल करना। सूत्र द्वारा समस्याओं का समाधान।
• 12. पहले, दूसरे और तीसरे प्रकार की समस्याओं को हल करना। समस्याओं को हल करने में तर्क का तर्क। कार्य की सामग्री का ग्राफिक प्रतिनिधित्व। स्यूडोमैथ अंकगणितीय संख्यात्मक बच्चा

तो, किंडरगार्टन शिक्षा कार्यक्रम और गणितीय विकास की पद्धति शिक्षण कम्प्यूटेशनल गतिविधि की समस्या पर बहुत ध्यान देती है। हालाँकि, केवल उद्देश्यपूर्ण व्यवस्थित कार्य के परिणामस्वरूप, बच्चे कम्प्यूटेशनल गतिविधि में पर्याप्त रूप से मजबूत और जागरूक ज्ञान और कौशल विकसित करते हैं, और यह स्कूल में गणित में महारत हासिल करने के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त है।

प्रश्न और कार्य

• 1. गिनती और कंप्यूटिंग गतिविधियों की बारीकियों का विस्तार करें, गिनती और कंप्यूटिंग के बीच संबंध को सही ठहराएं।
• 2. प्रत्येक बच्चे के बौद्धिक विकास के स्तर पर उनके अभिविन्यास के संदर्भ में कई वैकल्पिक कार्यक्रमों (या प्रकाशन के विभिन्न वर्षों से कार्यक्रम) का विश्लेषण करें।
• 3. पुराने प्रीस्कूलरों को कंप्यूटिंग गतिविधियों से परिचित कराने के लिए एक तिमाही के लिए एक दीर्घकालिक योजना बनाएं। उनके उदाहरण पर अधिगम की विकासात्मक प्रकृति को सिद्ध कीजिए।
• 4. पूर्वस्कूली बच्चों में कम्प्यूटेशनल गतिविधि के क्रमिक विकास की पद्धति के बारे में आपका क्या दृष्टिकोण है?

पृष्ठ 1

अंकगणितीय समाधान बल्कि भ्रमित करने वाला है, लेकिन यदि आप बीजगणित की सेवाओं की ओर मुड़ते हैं और एक समीकरण लिखते हैं तो समस्या हल हो जाती है।

एक अंकगणितीय समाधान के साथ, योजना के सभी प्रश्न और उनके उत्तर के रूप में काम करने वाले अंकगणितीय संचालन को लिखा जाना चाहिए, और एक बीजगणितीय समाधान के साथ, अज्ञात को चुनने के उद्देश्य, तैयार किए गए समीकरण और उनका समाधान।

शुल्त्स ने इस समीकरण का एक अंकगणितीय समाधान दिया, स्थिरांक के मनमाने मूल्यों का उपयोग करते हुए, और निष्कर्ष निकाला कि तनु समाधानों के साथ काम करते समय अंशांकन की दक्षता में बहुत वृद्धि होनी चाहिए।

समस्या एक विशुद्ध रूप से अंकगणितीय समाधान को स्वीकार करती है, और यहाँ तक कि भिन्नों पर संक्रियाओं को भी समाप्त किया जा सकता है।

और अब हम इस समस्या का एक अंकगणितीय समाधान देते हैं - एक ऐसा समाधान जिसमें आप बिना समीकरण लिखे भी कर सकते हैं।

अन्य अंकगणितीय समाधान भी संभव हैं।

इस खंड में, कुछ समस्याओं में बीजगणितीय और अंकगणितीय दोनों हल शामिल हैं; अंकगणित के पाठ्यक्रम की समीक्षा करते समय उनका उपयोग किया जा सकता है।

इनमें समस्या को हल करने की योजना के अनुसार अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग शामिल है। अंकगणितीय समाधान का उपयोग अक्सर रासायनिक सूत्रों और समीकरणों के अनुसार, समाधानों की सांद्रता आदि के अनुसार गणना में किया जाता है।

लेकिन यहां हम समस्याओं के केवल अंकगणितीय समाधान प्रस्तुत करते हैं।

हम समस्याओं को बीजगणितीय और अंकगणित में विभाजित नहीं करते हैं, क्योंकि जिन समस्याओं को अंकगणितीय रूप से हल किया जा सकता है उन्हें हमेशा बीजगणितीय रूप से हल किया जा सकता है। इसके विपरीत, समीकरणों की मदद से हल की गई समस्याएं अक्सर सरल अंकगणितीय समाधान की अनुमति देती हैं। समाधान विभाग में, हम कभी-कभी अंकगणितीय, कभी-कभी बीजगणितीय समाधान देते हैं, लेकिन यह किसी भी तरह से समाधान की विधि चुनने में छात्र की पहल को प्रतिबंधित नहीं करना चाहिए।

हम समस्याओं को बीजगणितीय और अंकगणित में विभाजित नहीं करते हैं, क्योंकि जिन समस्याओं को अंकगणितीय रूप से हल किया जा सकता है उन्हें हमेशा बीजगणितीय रूप से हल किया जा सकता है। इसके विपरीत, समीकरणों की मदद से हल की गई समस्याएं अक्सर सरल अंकगणितीय समाधान की अनुमति देती हैं। समाधान विभाग में, हम कभी अंकगणित, कभी बीजगणितीय हल देते हैं, लेकिन इससे किसी भी तरह से समाधान की विधि चुनने में छात्र की पहल में बाधा नहीं आनी चाहिए।

यहाँ एक अप्रत्यक्ष समस्या का उदाहरण दिया गया है: 1 dm3 की मात्रा के साथ तांबे और जस्ता के मिश्र धातु का एक टुकड़ा 8 14 किग्रा का द्रव्यमान है। यहाँ, समस्या की स्थिति से, यह स्पष्ट नहीं है कि कौन से कार्य इसके समाधान की ओर ले जाते हैं। तथाकथित अंकगणितीय समाधान के साथ, अप्रत्यक्ष समस्या को हल करने के लिए एक योजना की रूपरेखा तैयार करने के लिए कभी-कभी बड़ी सरलता दिखानी चाहिए। प्रत्येक नए कार्य के लिए एक नई योजना के निर्माण की आवश्यकता होती है। कैलकुलेटर का काम तर्कहीन रूप से खर्च किया जाता है।

अपने विचार की पुष्टि करने के लिए, पेत्रोव ने ऐसी समस्याओं का आविष्कार किया, जो उनके गैर-शब्द-समानता के कारण, अनुभवी कुशल शिक्षकों को बहुत कठिन बना देती थीं, लेकिन अधिक सक्षम छात्रों द्वारा आसानी से हल की जाती थीं, जो अभी तक अपनी पढ़ाई से खराब नहीं हुए थे। ऐसी समस्याओं में (पेट्रोव ने उनमें से कई की रचना की) मोवरों की आर्टेल की समस्या है। बेशक, अनुभवी शिक्षक इसे एक समीकरण का उपयोग करके आसानी से हल कर सकते थे, लेकिन एक सरल अंकगणितीय समाधान उनके हाथ नहीं लगा। इस बीच, समस्या इतनी सरल है कि इसे हल करने के लिए बीजगणितीय उपकरण का उपयोग करना बिल्कुल भी उचित नहीं है।

यहाँ एक अप्रत्यक्ष समस्या का एक उदाहरण दिया गया है: dm3 की मात्रा के साथ तांबे और जस्ता के मिश्र धातु का एक टुकड़ा 8-14 किलोग्राम वजन का होता है। यहाँ, समस्या की स्थिति से, यह स्पष्ट नहीं है कि कौन से कार्य इसके समाधान की ओर ले जाते हैं। तथाकथित अंकगणितीय समाधान के साथ, अप्रत्यक्ष समस्या को हल करने के लिए योजना की रूपरेखा तैयार करने के लिए कभी-कभी बड़ी सरलता दिखानी चाहिए। प्रत्येक नए कार्य के लिए एक नई योजना के निर्माण की आवश्यकता होती है। कैलकुलेटर का काम तर्कहीन रूप से खर्च किया जाता है।

अनुभव का सामान्यीकरण।

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में पाठ कार्य।

समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके।

सोल्तोवा स्वेतलाना अनातोलिवेना

पहली श्रेणी के गणित शिक्षक

एमओयू उलगिच भौतिकी और गणित लिसेयुम

2017

"... जबकि हम गणित के शिक्षण को जीवन से जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, हमारे लिए शब्द समस्याओं के बिना करना मुश्किल होगा - घरेलू पद्धति के लिए गणित पढ़ाने का एक पारंपरिक साधन।"

ए वी शेवकिन

हम अपने दैनिक जीवन में हर समय "कार्य" शब्द का सामना करते हैं। हम में से प्रत्येक कुछ समस्याओं को हल करता है, जिसे हम कार्य कहते हैं। शब्द के व्यापक अर्थ मेंएक कार्य एक ऐसी स्थिति है जिसके लिए किसी व्यक्ति द्वारा अनुसंधान और निर्णय की आवश्यकता होती है। .

ऐसे कार्य जिनमें वस्तुएं गणितीय होती हैं (प्रमेय, कम्प्यूटेशनल अभ्यास, गुण और अध्ययन की गई गणितीय अवधारणा के संकेत, ज्यामितीय आकृति) को अक्सर कहा जाता हैगणित की समस्याओं . गणितीय समस्याएं जिनमें कम से कम एक वस्तु होती है जो वास्तविक वस्तु होती है, आमतौर पर कहलाती हैमूलपाठ। गणित की प्राथमिक शिक्षा में शब्द समस्याओं की भूमिका बहुत बड़ी है।

पाठ्य समस्याओं को हल करते हुए, छात्र नया गणितीय ज्ञान प्राप्त करते हैं, व्यावहारिक गतिविधियों की तैयारी करते हैं। कार्य उनकी तार्किक सोच के विकास में योगदान करते हैं।

पाठ्य समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं: अंकगणित, बीजगणितीय, ज्यामितीय, तार्किक, व्यावहारिक, आदि। प्रत्येक विधि विभिन्न प्रकार के गणितीय मॉडल पर आधारित है। उदाहरण के लिए, कबबीजगणितीय विधि समस्या को हल करते हुए, समीकरणों या असमानताओं को संकलित किया जाता हैज्यामितिक - चार्ट या ग्राफ बनाए जाते हैं। समस्या का समाधानतार्किक एल्गोरिथ्म के संकलन के साथ विधि शुरू होती है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि चुने हुए तरीके के ढांचे के भीतर लगभग हर समस्या को विभिन्न मॉडलों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। तो, बीजगणितीय विधि का उपयोग करके, एक ही समस्या की आवश्यकता का उत्तर पूरी तरह से अलग-अलग समीकरणों को संकलित और हल करके, तार्किक विधि का उपयोग करके - अलग-अलग एल्गोरिदम का निर्माण करके प्राप्त किया जा सकता है। यह स्पष्ट है कि इन मामलों में हम एक विशिष्ट समस्या को हल करने के विभिन्न तरीकों से भी निपट रहे हैं, जिसे मैं कहता हूंसमाधान।

एक समस्या का समाधान अंकगणितीय विधि - का अर्थ है संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करके समस्या की आवश्यकता का उत्तर ज्ञात करना। कई मामलों में एक ही समस्या को विभिन्न अंकगणितीय विधियों द्वारा हल किया जा सकता है। एक समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल करने के लिए माना जाता है यदि इसके समाधान डेटा और वांछित लोगों के बीच कनेक्शन में भिन्न होते हैं, या इन कनेक्शनों के अनुक्रम में।

गणित के पारंपरिक रूसी स्कूल शिक्षण में पाठ समस्याओं ने हमेशा एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लिया है। एक ओर, सभी सभ्य राज्यों में सीखने की प्रक्रिया में पाठ कार्यों का उपयोग करने की प्रथा प्राचीन बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों और अन्य प्राचीन लिखित स्रोतों से आती है, अर्थात इसकी जड़ें संबंधित हैं। दूसरी ओर, पाठ कार्यों पर शिक्षकों का ध्यान, जो रूस के लिए विशिष्ट था, लगभग विशेष रूप से रूसी घटना है।

समस्याओं पर बहुत अधिक ध्यान देने का एक कारण यह है कि ऐतिहासिक रूप से लंबे समय तक बच्चों को अंकगणित सिखाने का लक्ष्य व्यावहारिक गणनाओं से जुड़े कम्प्यूटेशनल कौशल की एक निश्चित श्रेणी में महारत हासिल करना था। उसी समय, अंकगणित की मुख्य रेखा - संख्याओं की रेखा - अभी तक विकसित नहीं हुई है, और कार्यों के माध्यम से गणना सिखाई गई थी।

रूस में पाठ कार्यों के उपयोग पर बढ़ते ध्यान का दूसरा कारण यह है कि रूस में उन्होंने न केवल गणितीय ज्ञान और तर्क तकनीकों को पाठ कार्यों का उपयोग करके स्थानांतरित करने की पुरानी पद्धति को अपनाया और विकसित किया, बल्कि इससे संबंधित महत्वपूर्ण सामान्य शैक्षिक कौशल बनाना भी सीखा। कार्यों का उपयोग करके पाठ विश्लेषण, समस्या और प्रश्न की स्थितियों पर प्रकाश डालना, एक समाधान योजना तैयार करना, प्रश्न प्रस्तुत करना और उन स्थितियों की खोज करना जिनसे आप प्राप्त परिणाम की जाँच करके इसका उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

50 के दशक के मध्य तकएक्सएक्सवी पाठ कार्यों को अच्छी तरह से व्यवस्थित किया गया था,कार्यों की एक विकसित टाइपोलॉजी विकसित हुई है, जिसमें भागों के लिए कार्य शामिल हैं, उनके योग और अंतर से दो संख्याओं को खोजने के लिए, उनके अनुपात और योग (अंतर) द्वारा, अंशों के लिए, प्रतिशत के लिए, संयुक्त कार्य के लिए, समाधान और मिश्र धातुओं के लिए, प्रत्यक्ष के लिए और उलटा आनुपातिकता और आदि।

इस समय तक, शैक्षिक प्रक्रिया में उनके आवेदन की पद्धति अच्छी तरह से विकसित हो गई थी, लेकिन 60 के दशक के उत्तरार्ध में गणितीय शिक्षा के सुधार के दौरान, उनके प्रति दृष्टिकोण बदल गया। स्कूली विषयों की प्रणाली में अंकगणित की भूमिका और स्थान को संशोधित करना, समीकरणों और कार्यों के पहले परिचय के माध्यम से गणित की वैज्ञानिक प्रस्तुति को बढ़ाने का प्रयास करना, गणितज्ञों और पद्धतिविदों-गणितज्ञों ने माना कि समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों को पढ़ाने में बहुत अधिक समय खर्च किया गया था। .

लेकिन यह शब्द समस्याएं और उन्हें हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके हैं जो बच्चे को बीजगणित में महारत हासिल करने के लिए तैयार करते हैं। और जब ऐसा होता है, तो बीजगणित कुछ (लेकिन सभी नहीं!) समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीकों की तुलना में सरल तरीके सिखाएगा। अन्य अंकगणितीय समाधान छात्र के सक्रिय सामान में रहेंगे। उदाहरण के लिए, यदि किसी छात्र को किसी संख्या को इस अनुपात में विभाजित करना सिखाया जाता है, तो हाई स्कूल में भी वह संख्या 15 को 2:3 के अनुपात में समीकरण का उपयोग करके विभाजित नहीं करेगा, वह अंकगणितीय संक्रियाएँ करेगा:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

मैं यह नोट करना चाहूंगा कि मैं ठीक उस पीढ़ी के स्कूली बच्चों का प्रतिनिधि हूं जो उपरोक्त सुधार में भागीदार थे। मैं 1968 में स्कूल गया और मेरी पहली कक्षा की पाठ्यपुस्तक को अंकगणित कहा गया। यह पता चला है कि हम इससे सीखने वाले आखिरी व्यक्ति थे। दूसरी कक्षा में, यह मेरे लिए आश्चर्यजनक और असामान्य था कि विषय, और, तदनुसार, मेरी पहली कक्षा की गर्लफ्रेंड की पाठ्यपुस्तक को "गणित" कहा जाता था। तीसरी कक्षा में, हमने पहले ही "गणित" का अध्ययन कर लिया था। मध्य कड़ी में, और तदनुसार वरिष्ठ कक्षाओं में, पाठ्य समस्याओं को हल करने का मुख्य तरीका बीजगणितीय था। मैं आज तक 60 के दशक के उत्तरार्ध के सुधारों के प्रभाव को महसूस करता हूं, क्योंकि। माता-पिता, जो बच्चों की शैक्षिक प्रक्रिया में भाग लेते हैं, इस तथ्य के कारण कि उन्होंने एक निश्चित स्टीरियोटाइप विकसित किया है, ने राय बनाई है कि समीकरणों की मदद से समस्याओं को हल किया जाना चाहिए। माँ और पिताजी, अन्य तरीकों को नहीं जानते, लगातार अपने तरीके से घर पर समझाने की कोशिश करते हैं, जो हमेशा फायदेमंद नहीं होता है, यहां तक ​​​​कि कभी-कभी यह केवल शिक्षक के काम को जटिल बनाता है।

किसी भी मामले में समस्याओं को हल करने की बीजगणितीय पद्धति के मूल्य को कम नहीं करना चाहिए, जो सार्वभौमिक है और कभी-कभी अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में एकमात्र है। इसके अलावा, अक्सर यह समीकरण होता है जो क्रियाओं द्वारा हल करने का एक तरीका खोजने के लिए एक संकेत देता है। लेकिन अभ्यास से पता चला है कि इस होनहार का प्रारंभिक अनुप्रयोग, प्रशिक्षण में आगे उपयोग के दृष्टिकोण से, पर्याप्त तैयारी के बिना समस्याओं को हल करने की विधि अप्रभावी है।

ग्रेड 5-6 में, पाठ्य समस्याओं को हल करने की अंकगणितीय पद्धति पर अधिकतम ध्यान दिया जाना चाहिए और समीकरण का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की जल्दी में नहीं होना चाहिए। एक बार एक छात्र ने बीजगणितीय तरीका सीख लिया है, तो उसे "कार्रवाई द्वारा निर्णय" पर वापस लाना लगभग असंभव है। एक समीकरण संकलित करने के बाद, मुख्य बात यह है कि कम्प्यूटेशनल त्रुटि को रोकने के लिए इसे सही ढंग से हल करना है। और यह सोचने की बिल्कुल जरूरत नहीं है कि हल करने के दौरान कौन से अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं, प्रत्येक क्रिया का परिणाम क्या होता है। और अगर हम चरण दर चरण समीकरण के समाधान का पता लगाते हैं, तो हम अंकगणितीय पद्धति के समान क्रियाएं देखेंगे।

बहुत बार आप देख सकते हैं कि बच्चा बीजगणितीय तरीके से समस्या को हल करने के लिए तैयार नहीं है, जब एक अमूर्त चर पेश किया जाता है और वाक्यांश "लेट एक्स ..." प्रकट होता है। यह "X" कहां से आया, इसके आगे कौन से शब्द लिखे जाने चाहिए - इस स्तर पर यह छात्र के लिए स्पष्ट नहीं है। और ऐसा इसलिए होता है क्योंकि इस उम्र के बच्चों ने दृश्य-आलंकारिक सोच विकसित की है। और समीकरण एक सार मॉडल है। हां, और छठी कक्षा की शुरुआत में पांचवीं के बच्चों में समीकरणों को हल करने के लिए कोई उपकरण नहीं हैं। ऐतिहासिक रूप से, लोग उन समस्याओं के समाधान का सामान्यीकरण करके समीकरणों का उपयोग करने लगे जिनमें उन्हें "हिस्सा", "ढेर", आदि जैसी अवधारणाओं के साथ काम करना पड़ता था। बच्चे को उसी तरह जाना चाहिए!

सफल कार्य के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि शिक्षक को पाठ्य समस्या, उसकी संरचना की गहरी समझ हो और वह ऐसी समस्याओं को विभिन्न तरीकों से हल करने में सक्षम हो।

कई साल पहले, मेरे हाथों में ग्रेड 5-8 (एक आधुनिक स्कूल में - ग्रेड 5-9) के शिक्षकों के लिए एक लंबे समय से जारी मैनुअल था "मास्को गणितीय ओलंपियाड का संग्रह (समाधान के साथ)" 1967, जिसके लेखक हैं गैलिना इवानोव्ना जुबेलेविच। इसमें अधिकांश समस्याओं को अंकगणितीय रूप से हल किया जाता है, जिसमें मुझे बहुत दिलचस्पी थी। बाद में, मेरा ध्यान दो पाठ्यपुस्तकों "अंकगणित, 6" और "अंकगणित, 6" द्वारा ए.वी. शेवकिन, और एक शिक्षक की मार्गदर्शिका "5-6 ग्रेड में शिक्षण पाठ समस्या को हल करना" एक ही लेखक द्वारा। ये स्रोत इस विषय पर मेरे काम की शुरुआत थे। प्रस्तावित विचार मुझे बताए गए विषय की मेरी समझ के साथ बहुत प्रासंगिक और अनुरूप लगे, अर्थात्:

1) सीखने के प्रारंभिक चरण में समीकरणों के उपयोग को छोड़ना और समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय विधियों के व्यापक उपयोग पर लौटना;

2) "ऐतिहासिक" समस्याओं का व्यापक उपयोग और उन्हें हल करने के प्राचीन तरीके;

3) विभिन्न विषयों पर छात्रों को कार्यों के एक अराजक प्रस्ताव की अस्वीकृति और सरलतम से सभी छात्रों के लिए सुलभ, जटिल और बहुत जटिल कार्यों की एक श्रृंखला पर विचार करना।

समाधान की विधि के अनुसार शब्द समस्याओं के प्रकार।

पाठ कार्यों को सशर्त रूप से अंकगणित और बीजीय में विभाजित किया जा सकता है। यह अलगाव एक समाधान विधि की पसंद के कारण होता है जो किसी विशेष कार्य के लिए अधिक विशिष्ट (तर्कसंगत) होता है।

स्कूली बच्चों को स्वतंत्र रूप से सोचने, गैर-स्पष्ट जीवन स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए अंकगणितीय समस्याएं महान अवसरों को छुपाती हैं। अंकगणित प्रकृति को समझने का सबसे छोटा तरीका है, क्योंकि यह सबसे सरल, सबसे मौलिक, प्रायोगिक तथ्यों (उदाहरण के लिए, पुनर्गणना) से संबंधित है।

पत्थर "पंक्तियों द्वारा" और "स्तंभों द्वारा" हमेशा एक की ओर जाता है

परिणाम):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

आइए कुछ प्रकार के कार्यों पर विचार करें।

“दो ग्रेड के सामान को एक ही राशि के लिए खरीदा गया था, पहला ग्रेड दूसरे जितना आधा है। उन्हें मिश्रित किया गया और मिश्रण का आधा उच्चतम मूल्य पर बेचा गया, शेष निम्नतम ग्रेड की कीमत पर। बिक्री पर कितने प्रतिशत लाभ या हानि हुई?

यह, संक्षेप में, माप की मनमानी इकाइयों को पेश करके हल की गई एक विशिष्ट समस्या है। हालाँकि, इस स्थिति में भी, समाधान के लिए आवश्यक अज्ञात मात्राओं का संचालन यहाँ स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है।बीजगणितीय चरित्र। इसके साथ ही, अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें, इसके विपरीत, हल करने का अंकगणितीय तरीका बीजगणितीय की तुलना में बहुत सरल होता है। यह दो कारणों पर निर्भर हो सकता है। कुछ मामलों में, ज्ञात से अज्ञात में संक्रमण इतना सरल है कि समीकरणों का निर्माण (अज्ञात से ज्ञात में संक्रमण) अनावश्यक बोझिलता का परिचय देगा जो समाधान प्रक्रिया को धीमा कर देता है। उदाहरण के लिए, निम्न कार्य है:

“एक बार शैतान ने आलसी व्यक्ति के लिए पैसे कमाने की पेशकश की। "जैसे ही आप इस पुल को पार करेंगे," उन्होंने कहा, पैसा दोगुना हो जाएगा। आप जितनी बार चाहें इसे पार कर सकते हैं, लेकिन प्रत्येक संक्रमण के बाद, मुझे इसके लिए 24 कोपेक दें। लोफर सहमत हो गया और ... तीसरे संक्रमण के बाद वह दरिद्र रह गया। पहले उसके पास कितना पैसा था?

दूसरी एक शास्त्रीय समस्या है, जो स्थिति के विरोधाभासी सूत्रीकरण के कारण दिलचस्प है। वर्णित घटनाओं के विपरीत क्रम में, "सिंथेटिक" समाधान के चरण पिछली समस्या के रूप में प्रकट होते हैं।

“अंडे के व्यापारी ने पहले खरीदार को उसकी टोकरी में कुल अंडों का आधा और दूसरा आधा अंडा बेचा; दूसरा खरीदार - आधा शेष और दूसरा आधा अंडा, तीसरा - आधा शेष और दूसरा आधा अंडा, जिसके बाद उसके पास कुछ नहीं बचा। शुरुआत में टोकरी में कितने अंडे थे?

अन्य मामलों में, एक समीकरण के निर्माण के लिए एक प्रकार के तर्क की आवश्यकता होती है, जो अपने आप में लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होता है। शब्द के पूर्ण अर्थ में ये अंकगणितीय समस्याएं हैं: उनका बीजगणितीय समाधान आसान नहीं है, लेकिन अधिक कठिन है, और आमतौर पर अतिरिक्त अज्ञात की शुरूआत से जुड़ा होता है, जिसे तब बाहर रखा जाना चाहिए, और इसी तरह।

इसलिए, यदि, उदाहरण के लिए, समस्या मेंतान्या ने कहा: मेरे पास बहनों की तुलना में 3 और भाई हैं। तान्या के परिवार में बहनों से अधिक कितने भाई हैं? x के माध्यम से भाइयों की संख्या, y के माध्यम से बहनों की संख्या को निरूपित करें, तो समीकरण x - (y - 1) = 3 होगा, लेकिन अगर हमने पहले ही अनुमान लगा लिया है कि हमें y-1 लिखने की आवश्यकता है (बहन ने विचार नहीं किया स्वयं), तो यह पहले से ही स्पष्ट है कि 3 भाई नहीं, बल्कि बहनों से केवल 2 अधिक हैं।

आइए कुछ और उदाहरण लें।

"मैं धारा के विपरीत पैडल मार रहा था और एक पुल के नीचे से गुजरते हुए मेरी टोपी खो गई। 10 मिनट के बाद, मैंने इस पर ध्यान दिया और उसी बल के साथ मुड़कर और रोइंग करते हुए, पुल से 1 किमी नीचे टोपी के साथ पकड़ा। नदी के प्रवाह की गति क्या है?

उपाय: 1 (60:(10+10))=3(किमी/घंटा)

“जब मैं स्टेशन पहुँचा, तो वे आमतौर पर मेरे लिए एक कार भेजते थे। एक घंटा पहले पहुँच कर मैं पैदल ही चला गया और मेरे लिए भेजी गई कार को लेकर सामान्य से 10 मिनट पहले पहुँच गया। मेरे चलने से कार कितनी बार तेज चल रही है?

क्रियाओं द्वारा इस समस्या के समाधान पर विचार करें:

1) 10:2 = 5 (मिनट) - बैठक बिंदु से कार के स्टेशन पर समय पर पहुंचने में बचा समय।

2) 60-5=55 (मिनट) - समान दूरी के लिए पैदल यात्री द्वारा व्यतीत किया गया समय।

3) 55:5=11(बार) कार तेज चल रही है।

“एक नाव पर धारा के अनुकूल एक निश्चित दूरी तैरने में धारा की तुलना में तीन गुना कम समय लगता है। नाव की गति धारा की गति से कितनी गुना अधिक है?

इस समस्या में आपको समय-समय पर दूर जाने का अनुमान लगाना पड़ता है।

ये बहुत अच्छी अंकगणितीय समस्याएं हैं: उन्हें प्रासंगिक विशिष्ट स्थिति की स्पष्ट समझ की आवश्यकता होती है, न कि याद किए गए औपचारिक पैटर्न के अनुसार कार्य करने की।

यहाँ एक अंकगणितीय समस्या का एक और उदाहरण दिया गया है, जिसके समाधान के लिए कोई "क्रिया" करना आवश्यक नहीं है:

« किसी शरारती व्यक्ति ने टार की बोतल से एक चम्मच टार शहद के जार में उड़ेल दिया। मैंने इसे अच्छी तरह मिलाया, और फिर उसी चम्मच मिश्रण को एक जार से टार वाली बोतल में डाल दिया। फिर उसने इसे फिर से किया। और क्या निकला: शहद की बोतल में टार के साथ शहद या शहद के जार में टार? »

समस्या को हल करने के लिए, यह अपने आप से सवाल पूछने के लिए पर्याप्त है: शहद द्वारा विस्थापित की गई बोतल से टार कहां गया?

यह बीजगणित नहीं है, समान शर्तों की कमी नहीं है, और "विपरीत चिह्न के साथ एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरण" नहीं है। यह ठीक उसी तरह का तर्क है जो काल्पनिक से जुड़ा है, लेकिन अध्ययन के तहत मात्राओं के क्षेत्र में काफी वास्तविक महत्व है, जिसका विकास और सुधार अंकगणित के प्रत्यक्ष कार्यों में शामिल है।

अंकगणित और बीजगणितीय समस्याओं के बीच अंतर, जैसा कि यह था, कुछ हद तक धुंधला है, क्योंकि वे मात्रात्मक संकेतों पर निर्भर करते हैं, जिसके मूल्यांकन में कोई असहमत हो सकता है, जैसे कोई "कुछ अनाज" और "एक गुच्छा" के बीच एक रेखा नहीं खींच सकता अनाज ”।

आइए हम पाठ्य समस्याओं के प्रकारों और उन्हें हल करने के तरीकों पर अधिक विस्तार से ध्यान केन्द्रित करें। उन समस्याओं पर विचार करें जिन्हें कई लोग समीकरणों की मदद से हल करते हैं, और साथ ही उनके पास कार्यों के लिए सरल और कभी-कभी बहुत सुंदर समाधान होते हैं।

1. कार्यों को उनके एकाधिक अनुपात और योग या अंतर ("भागों" में) द्वारा ढूँढना।

ऐसी समस्याओं से परिचित होना उन लोगों से शुरू होना चाहिए जहां हम उनके शुद्ध रूप में भागों के बारे में बात कर रहे हैं। उन्हें हल करते समय, दो संख्याओं को उनके अनुपात और योग (अंतर) द्वारा खोजने की समस्याओं को हल करने के लिए एक आधार बनाया जाता है। छात्रों को 1 भाग के लिए एक उपयुक्त मूल्य लेना सीखना चाहिए, यह निर्धारित करना चाहिए कि ऐसे कितने भाग दूसरे मूल्य पर पड़ते हैं, उनका योग (अंतर)।

a) जाम के लिए, स्ट्रॉबेरी के 2 भागों के लिए चीनी के 3 भाग लिए जाते हैं। 3 किलो स्ट्रॉबेरी के लिए कितनी चीनी लेनी चाहिए?

ख) 2700 ग्राम सूखे मेवे खरीदे। सेब 4 भाग, नाशपाती - 3 भाग, आलूबुखारा - 2 भाग बनाते हैं। कितने ग्राम सेब, नाशपाती और आलूबुखारा अलग-अलग?

ग) लड़की अपने द्वारा छोड़े गए पृष्ठों की तुलना में 3 गुना कम पृष्ठ पढ़ती है। यदि वह 42 पृष्ठ कम पढ़ती है तो पुस्तक में कितने पृष्ठ हैं?

इस समस्या का समाधान एक ड्राइंग के साथ शुरू करना उचित है:

1) - 42 पृष्ठों के लिए खाता।

2) - 1 भाग, या इतने पृष्ठ लड़की पढ़ती है।

3) - किताब में।

भविष्य में छात्र अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे।

ग) एस.ए. का कार्य रचिंस्की। मैंने मास्को में, ग्रामीण इलाकों में और सड़क पर एक साल बिताया - और, इसके अलावा, मास्को में सड़क की तुलना में 8 गुना अधिक समय और ग्रामीण इलाकों में मास्को की तुलना में 8 गुना अधिक है। मैंने कितने दिन मास्को और ग्रामीण इलाकों में सड़क पर बिताए?

d) राज्य के खेत में कटाई करते समय, छात्रों ने खीरे की तुलना में 2 गुना अधिक टमाटर और आलू की तुलना में 3 गुना कम काटा। यदि आलू टमाटर से 200 किग्रा अधिक चुना गया तो विद्यार्थियों ने अलग-अलग कितनी सब्जियाँ चुनीं?

ई) दादाजी अपने पोते से कहते हैं: "यहां आपके लिए 130 पागल हैं। उन्हें 2 भागों में विभाजित करें ताकि छोटा हिस्सा, 4 गुना बढ़ जाए, बड़े हिस्से के बराबर हो जाए, जो 3 गुना कम हो जाए।

f) दो संख्याओं का योग 37.75 है। यदि पहले पद को 5 गुना और दूसरे पद को 3 गुना बढ़ा दिया जाए, तो नया योग 154.25 के बराबर हो जाएगा। इन नंबरों को खोजें।

इस संबंध में किसी संख्या के विभाजन पर कार्य इस प्रकार के होते हैं।

2. दो संख्याओं को उनके योग और अंतर से ज्ञात करना।

a) दो पैक में 50 नोटबुक हैं, और पहले पैक में 8 और नोटबुक हैं। प्रत्येक पैक में कितनी नोटबुक हैं?

इस तरह की समस्याओं को हल करना, मैं हमेशा एक रेखाचित्र से शुरू करता हूँ। फिर मैं मूल्यों को बराबर करने का प्रस्ताव करता हूं। लोग दो तरीके पेश करते हैं: पहले पैक से निकालें या दूसरे में जोड़ें। तो मुख्य दो तरीके निर्धारित किए जाते हैं: एक दोगुनी छोटी संख्या या एक दोगुनी बड़ी संख्या के माध्यम से।

जब इन तरीकों पर काम किया जाता है, तो इस तरह की समस्याओं को हल करने का "पुराना" तरीका दिखाना उचित होता है। प्रश्न के बाद "नोटबुक की कुल संख्या को बदले बिना नोटबुक के ढेर को कैसे बराबर किया जा सकता है?" छात्र अनुमान लगाते हैं कि यह कैसे करना है, और निष्कर्ष निकालते हैं: छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको आधे योग में से आधा अंतर घटाना होगा, और एक बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको आधे अंतर को आधे योग में जोड़ना होगा . मजबूत शिक्षार्थी शाब्दिक भावों को परिवर्तित करके इसे सही ठहरा सकते हैं:

इस पद्धति का उपयोग करके, निम्न समस्या को एक चरण में हल किया जाता है:

ख) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 3 है, और उनका आधा अंतर 1 है। छोटी संख्या का मान क्या है?

– छोटी संख्या।

समस्या में समायोजन विधि भी लागू होती है:

ग) 8 बछड़ों और 5 भेड़ों ने 835 किग्रा चारा खाया। इस दौरान प्रत्येक बछड़े को एक भेड़ से 28 किलो अधिक चारा दिया गया। प्रत्येक बछड़ा और प्रत्येक भेड़ ने कितना चारा खाया?

3. "अनुमान" पर कार्य।

इस प्रकार के कार्य वस्तुओं और मात्राओं के साथ इच्छित क्रियाओं से जुड़े होते हैं। पारंपरिक पद्धति में, इस प्रकार की समस्याओं में सबसे प्रसिद्ध समस्याओं के लिए अन्य नाम भी थे: "नीले और लाल कपड़े" के लिए, "ΙΙ तरह का मिश्रण" के लिए। मुझे लगता है कि "अनुमान" समस्याओं में सबसे प्रसिद्ध पुरानी चीनी समस्या है।

क) तीतर और खरगोश एक पिंजरे में बैठे हैं। इनके 35 सिर और 94 पैर माने जाते हैं। तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।

कल्पना कीजिए कि पिंजरे में केवल तीतर बैठे हैं। उनके कितने पैर हैं?

कम पैर क्यों हैं? (सभी तीतर नहीं, उनमें खरगोश भी हैं)। और कितने पैर?

यदि एक तीतर को एक खरगोश से बदल दिया जाए, तो पैरों की संख्या में कितनी वृद्धि होगी? (2 पर)

आप एक और तरीका चुन सकते हैं, यह कल्पना करते हुए कि सभी खरगोश।

गणित की पद्धति के पुराने आचार्यों द्वारा दिए गए और बच्चों में बहुत रुचि पैदा करने वाला एक और तर्क बहुत दिलचस्प है।

- कल्पना कीजिए कि हम उस पिंजरे के ऊपर एक गाजर रखते हैं जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। गाजर तक पहुँचने के लिए सभी खरगोश अपने पिछले पैरों पर खड़े होंगे। इस समय जमीन पर कितने फुट होंगे?
2 35= 70(सं.)
- लेकिन समस्या की स्थिति में 94 पैर दिए जाते हैं, बाकी कहां हैं?

- बाकी गिने नहीं जाते - ये खरगोशों के आगे के पंजे हैं।

- उनमें से कितने?
94 - 70 \u003d 24 (एन।)
- कितने खरगोश?
24:2 = 12
और तीतर?
35 – 12 = 23

तर्क एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करने के बाद, लोग निम्नलिखित समस्याओं को आसानी से हल कर लेते हैं:

बी) 540 रूबल की कुल लागत के साथ मिश्रित 135 पाउंड दो किस्मों की चाय। दोनों ग्रेड के कितने पाउंड अलग-अलग लिए गए, अगर पहली कक्षा के एक पाउंड की कीमत 5 रूबल और दूसरी कक्षा के एक पाउंड की कीमत 3 रूबल है?

ग) 94 रूबल के लिए। नीले और लाल कपड़े के 35 आर्शीन खरीदे। नीले कपड़े के एक अर्शिं के लिए उन्होंने 2 रूबल का भुगतान किया, और लाल कपड़े के एक अर्शिं के लिए उन्होंने 4 रूबल का भुगतान किया। आपने दोनों कपड़ों के कितने अर्शिन अलग-अलग खरीदे?

d) मालिक ने 112 भेड़ें, बूढ़ी और जवान खरीदीं और 49 रूबल का भुगतान किया। 20 अल्टीन। एक बूढ़े मेढ़े के लिए, उसने 15 अल्टीन और 4 पोलुश्का और एक युवा मेढ़े के लिए 10 अल्टीन का भुगतान किया। कितने और कौन से मेढ़े खरीदे गए? Altyn - 3 kopecks, आधा - एक चौथाई kopecks।

I.V द्वारा लेख से समस्या। कारों के बारे में अर्नोल्ड "अंकगणितीय समस्याओं के चयन और संकलन के सिद्धांत" (1946):

इ)“स्टेशन के पास से गुजरते हुए, मैंने स्टेशन पर खड़ी 31 कारों की एक मालगाड़ी देखी और एक ग्रीसर और एक कपलर के बीच बातचीत सुनी। पहले वाले ने कहा: "कुल मिलाकर 105 धुरों की जाँच की जानी थी।" दूसरे ने देखा कि रचना में कई चार-एक्सल कारें थीं - दो-एक्सल वाले से तीन गुना अधिक, बाकी तीन-एक्सल वाले थे। अगले चरण में, मैं कुछ नहीं करने के लिए गणना करना चाहता था कि इस ट्रेन में कितनी कारें थीं। इसे कैसे करना है?"

एक अंकगणितीय समाधान एक बीजगणितीय समाधान की तुलना में सरल है और इसके लिए एक स्पष्ट विचार की आवश्यकता है कि दो-एक्सल और चार-एक्सल कारों को कुछ समूहों (प्रत्येक में 4 कार) में (मात्रात्मक शब्दों में) शामिल किया गया है। तीन-अक्ष वाले सभी वैगनों का काल्पनिक "प्रतिस्थापन" छात्रों के लिए एक आम और पहले से ही प्रसिद्ध तकनीक है।

सहारा हो सकता हैग्राफिक रैखिक कार्य स्थितियों का प्रदर्शन।

4. आंदोलन के लिए कार्य।

ये कार्य पारंपरिक रूप से कठिन हैं। छात्रों के पास अच्छी तरह से बनाई गई अवधारणाएँ होनी चाहिए जैसे कि दृष्टिकोण की गति और हटाने की गति। जब छात्र एक समीकरण का उपयोग करके ऐसी समस्याओं को हल करना सीखते हैं, तो उनके लिए उत्तर प्राप्त करना बहुत आसान हो जाएगा। लेकिन आसान का मतलब बेहतर नहीं है। कई साल पहले, मेरा एक छात्र, जो गणित में काफी मजबूत था, उत्साहपूर्वक एक पाठ में एक समस्या को हल करने के लिए एक अंकगणितीय तरीके की तलाश कर रहा था, ऐसे समय में जब पूरी कक्षा ने एक समीकरण का उपयोग करके इसे हल किया। मुझे उनके शब्द अच्छी तरह याद हैं, जो मुझे बहुत समझ में आते हैं: "मुझे समीकरण में कोई दिलचस्पी नहीं है।"

मैं कई समस्याओं की शर्तें और समाधान दूंगा।

ए) एक पुरानी समस्या। दो ट्रेनें एक ही समय में मास्को से टवर के लिए रवाना हुईं। पहला 39 बरामदे से गुजरा और दूसरे की तुलना में दो घंटे पहले टवर पहुंचा, जो 26 मील की दूरी पर गुजरा। मास्को से टवर तक कितने मील?

समाधान:

1) दूसरी ट्रेन इतनी पीछे थी।

2) - हटाने की दर।

3) पहली ट्रेन रास्ते में थी।

4) मास्को से Tver की दूरी.

बी) दो विमानों ने मास्को से एक ही दिशा में एक साथ उड़ान भरी: एक 350 किमी/घंटा की गति से, दूसरा 280 किमी/घंटा की गति से। दो घंटे बाद, पहले वाले ने गति घटाकर 230 किमी/घंटा कर दी। मास्को से कितनी दूरी पर दूसरा विमान पहले से आगे निकल जाएगा?

समाधान:

1) हटाने की गति।

2) - दूसरा विमान इतना पीछे है।

3) दृष्टिकोण गति।

4) दूसरे विमान को पहले के बराबर आने में कितना समय लगेगा।

5) (किमी) - मास्को के लिए इतनी दूरी पर, दूसरा विमान पहले के साथ पकड़ लेगा।

ग) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 560 किमी है, दो कारें एक-दूसरे की ओर निकलीं और 4 घंटे बाद मिलीं। यदि पहली कार की गति 15% कम कर दी जाती है और दूसरी कार की गति 20% बढ़ा दी जाती है, तो बैठक भी 4 घंटे में होगी प्रत्येक कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए इसे पहली कार की 100% या 1 गति के रूप में लें।

1) दृष्टिकोण गति।

2) - पहले की गति से दूसरे की गति है।

3) पहुँचने की गति से संबंधित है।

4) पहली कार की गति।

5) दूसरी कार की गति.

d) ट्रेन एक टेलीग्राफ पोल को सवा मिनट में और 0.7 किमी लंबे पुल को 50 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की औसत गति और उसकी लंबाई की गणना करें।

समाधान: इस समस्या को हल करते समय, छात्रों को यह समझना चाहिए कि, पुल को पार करने के लिए - पुल की लंबाई और ट्रेन की लंबाई के बराबर रास्ता पार करने के लिए, टेलीग्राफ के खंभे से गुजरने के लिए - लंबाई के बराबर रास्ते से गुजरने के लिए ट्रेन का।

1) ट्रेन पुल की लंबाई के बराबर दूरी तय करती है।

2) ट्रेन की गति है।

3) ट्रेन की लंबाई।

ई) दो पियरों के बीच के रास्ते के मार्ग के लिए एक नाव की तुलना में 40 मिनट अधिक स्टीमर की आवश्यकता होती है। नाव की गति 40 किमी/घंटा है और स्टीमर की गति 30 किमी/घंटा है। मारिनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान: 40 मिनट एच

1) जहाज में देरी।

2) - हटाने की दर

2) - रास्ते में एक नाव थी।

3) पियर्स के बीच की दूरी।

ये विभिन्न प्रकार के आंदोलन कार्यों में से कुछ हैं। उनके उदाहरण का उपयोग करते हुए, मैं यह दिखाना चाहता था कि आप बिना समीकरणों के कैसे कर सकते हैं जब तक कि छात्रों में उन्हें हल करने की क्षमता नहीं बनती। स्वाभाविक रूप से, ऐसे कार्य मजबूत छात्रों की शक्ति के भीतर हैं, लेकिन यह उनके गणितीय विकास के लिए एक शानदार अवसर है।

5. "पूल" के लिए कार्य।

यह एक अन्य प्रकार का कार्य है जो बच्चों में रुचि और कठिनाई दोनों का कारण बनता है। इसे संयुक्त कार्य के लिए कार्य भी कहा जा सकता है, और आंदोलन के कुछ कार्य भी उन पर लागू होते हैं।

इस प्रकार का नाम एक प्रसिद्ध पुरानी समस्या द्वारा दिया गया है:

ए) एथेंस शहर में पानी का एक पिंड था जिसमें 3 पाइप बिछाए गए थे। पाइपों में से एक पूल को 1 बजे भर सकता है, दूसरा, पतला, 2 बजे, तीसरा, और भी पतला, 3 बजे। तो, ज्ञात कीजिए कि तीनों पाइप मिलकर एक घंटे के कितने भाग में पूल को भर देंगे?

समाधान:

1) (v./h) - ΙΙ पाइप पाइप के माध्यम से भरने की गति।

2) (v./h) - ΙΙΙ पाइप के माध्यम से गति भरना।

3) (v./h) - कुल गति।

4) (ज) - जलाशय में 3 पाइप भरेंगे।

आप बच्चों को एक और दिलचस्प समाधान दे सकते हैं:

6 घंटे में, 6 जलाशय Ι पाइप के माध्यम से, 3 जलाशय ΙΙ पाइप के माध्यम से, 2 जलाशय ΙΙΙ पाइप के माध्यम से भरे जाते हैं। सभी पाइप 6 घंटे में 11 जलाशयों को भर देंगे, जिन्हें भरने के लिए क्रमशः एक जलाशय की आवश्यकता होगी एच।

निम्नलिखित समस्या का एक समान समाधान है:

b) शेर भेड़ को एक घंटे में खा गया, और भेड़िया भेड़ को दो घंटे में खा गया, और कुत्ते ने भेड़ को तीन घंटे में खा लिया। कोई फर्क नहीं पड़ता कि तीनों ने - एक शेर, एक भेड़िया और एक कुत्ता - उस भेड़ को खा लिया, गिनें। (17वीं सदी की गणितीय पांडुलिपियां)।

ग) एक आदमी 14 दिनों में एक प्याला पीएगा, और अपनी पत्नी के साथ वह 10 दिनों में एक ही प्याला पीएगा, और यह जानते हुए कि उसकी पत्नी विशेष रूप से कितने दिनों में एक ही प्याला पिएगी। (अंकगणित से मैग्निट्स्की द्वारा)

समाधान:

1) (ज) - एक दिन एक साथ पियें।

) (ज) - पति एक दिन पीता है।

3) (ज) - पत्नी एक दिन पीती है।

4) (डी।) - पत्नी को पीने का प्याला पीने की आवश्यकता होगी।

d) एक पुरानी समस्या। एक जंगली बत्तख सात दिनों तक दक्षिण सागर से उत्तरी सागर तक उड़ती रहती है। जंगली हंस 9 दिनों के लिए उत्तरी समुद्र से दक्षिणी समुद्र तक उड़ता है। अब जंगली बत्तख और जंगली हंस एक ही समय में उड़ते हैं। वे कितने दिनों में मिलेंगे? (समान समाधान)

ई) दो पैदल चलने वालों ने एक ही समय में ए और बी को एक दूसरे की ओर छोड़ दिया। वे जाने के 40 मिनट बाद मिले, और बैठक के 32 मिनट बाद, पहला व्यक्ति B पर पहुंचा। B को छोड़ने के कितने घंटे बाद दूसरा व्यक्ति A पर पहुंचा? (ज) - मिलकर काम करेंगे।

7) - बजरा उतारने की आवश्यकता होगी।

6. न्यूटन की समस्या।

बच्चों के लिए विशेष रुचि घास खाने वाली गायों की समस्या है।समस्या पहले सामान्य अंकगणित में प्रकाशित हुई थी।I. न्यूटन, लेकिन तब से इसने अपनी प्रासंगिकता नहीं खोई है और एक हैसुंदर अंकगणितीय समस्याओं में से एक, जो, हालांकि इसे एक समीकरण बनाकर हल किया जा सकता है, बहुत अधिक सुंदर है - इसे क्रमिक तर्क की मदद से करना। मुझे यह देखना था कि कैसे हाई स्कूल के छात्रों ने कई चर पेश करते हुए इस पर पहेली बनाई, और साथ ही, पाँचवीं कक्षा के छात्रों ने आसानी से समाधान का पता लगा लिया, अगर उन्हें समाधान के विचार के साथ संकेत दिया गया।

7) (पी।) - प्रति दिन खाया जाएगा, और यह गायों की संख्या है।

उत्तर: 20 गाय।

इस पत्र में, उदाहरण दिए गए हैं और बड़ी संख्या में शाब्दिक समस्याओं में से केवल कुछ का ही विश्लेषण किया गया है।

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि समस्याओं को हल करने के विभिन्न तरीकों का स्वागत करना आवश्यक है। बिल्कुलविभिन्न आयु समूहों के छात्रों के लिए विभिन्न तरीकों से समस्याओं को हल करना एक अत्यंत रोमांचक गतिविधि है। रुचि, जिज्ञासा, रचनात्मकता, सफल होने की इच्छा - ये गतिविधि के आकर्षक पहलू हैं।यदि कोई छात्र गणित के पाठों में पाठ कार्यों का सामना करता है, अर्थात वह अपने निर्णय की तार्किक श्रृंखला का पता लगा सकता है और उसकी व्याख्या कर सकता है, सभी मात्राओं का विवरण दे सकता है, तो वह भौतिकी और रसायन विज्ञान की समस्याओं को भी सफलतापूर्वक हल कर सकता है, वह तुलना और विश्लेषण कर सकता है , स्कूल के सभी शैक्षणिक विषयों में जानकारी को रूपांतरित करें।

साहित्य।

1. अर्नोल्ड आई.वी. अंकगणितीय समस्याओं के चयन और संकलन के सिद्धांत // इज़्वेस्टिया एपीएन आरएसएफएसआर। 1946. - अंक। 6 - एस 8-28।

2. Zubelevich G. I. मास्को गणितीय ओलंपियाड की समस्याओं का संग्रह। - एम .: ज्ञानोदय, 1971।

3. शेवकिन ए। वी। ग्रेड 5-6 में पाठ समस्याओं को हल करना सीखना। - एम .: गल्स प्लस, 1998।

4 . शेवकिन ए.वी. पाठ्यक्रम की सामग्री "गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में पाठ की समस्याएं": व्याख्यान 1-4। - एम।: पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", 2006. 88 पी।

कम कीमतों पर संघीय राज्य शैक्षिक मानक के अनुसार शिक्षकों के लिए दूरस्थ शिक्षा

वेबिनार, व्यावसायिक विकास पाठ्यक्रम, पेशेवर पुनर्प्रशिक्षण और व्यावसायिक प्रशिक्षण। कम कीमतों। 7900 से अधिक शैक्षिक कार्यक्रम। पाठ्यक्रम, पुनर्प्रशिक्षण और व्यावसायिक प्रशिक्षण के लिए राज्य डिप्लोमा। वेबिनार में भाग लेने के लिए प्रमाण पत्र। मुफ्त वेबिनार। लाइसेंस।

इन कार्यों का विश्लेषण करना, गणित के दृष्टिकोण से कार्यों में क्या सामान्य है, क्या अंतर है, इसका अवलोकन करना, समस्याओं को हल करने का असाधारण तरीका खोजना, समस्याओं को हल करने के तरीकों का गुल्लक बनाना, एक समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल करना सीखें . , समूह कार्य के लिए और व्यक्तिगत कार्य के लिए कार्य।

"सिम्युलेटर प्रशिक्षण मैनुअल के लिए कार्य"

सिम्युलेटर: "समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके"

"योग और अंतर द्वारा संख्याओं की तुलना"।

दो टोकरियों में 80 मशरूम हैं। पहली टोकरी में दूसरी की तुलना में 10 मशरूम कम हैं। प्रत्येक टोकरी में कितने मशरूम हैं?

सिलाई स्टूडियो को 480 मीटर डेनिम और ड्रेप प्राप्त हुआ। डेनिम को ड्रेप से 140 मीटर ज्यादा मिला। अटेलियर को कितने मीटर डेनिम मिला?

टीवी टॉवर मॉडल में दो ब्लॉक होते हैं। निचला ब्लॉक ऊपरी वाले से 130 सेमी छोटा है। यदि मीनार की ऊँचाई 4 मीटर 70 सेमी है, तो ऊपरी और निचले ब्लॉकों की ऊँचाई कितनी है?

दो बक्सों में 16 किलो कुकीज़ हैं। प्रत्येक बॉक्स में बिस्कुट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक में 4 किग्रा अधिक बिस्कुट हैं।

एलएन टॉल्स्टॉय द्वारा "अंकगणित" से एक समस्या।

क) दो आदमियों के पास 35 भेड़ें हैं। एक के पास दूसरे से 9 भेड़ अधिक हैं। प्रत्येक के पास कितनी भेड़ें हैं?

ख) दो आदमियों के पास 40 भेड़ें हैं, और एक के पास दूसरे की तुलना में 6 भेड़ें कम हैं। प्रत्येक आदमी के पास कितनी भेड़ें हैं?

गैरेज में 23 कारें और साइडकार थीं। कारों और मोटरसाइकिलों में 87 पहिए होते हैं। यदि वे प्रत्येक साइडकार में एक अतिरिक्त टायर लगाते हैं तो गैरेज में कितनी मोटरसाइकिलें हैं?

यूलर हलकों।

घर में 120 निवासी हैं, उनमें से कुछ के पास कुत्ते और बिल्लियाँ हैं। चित्र एक वृत्त दिखाता है साथ कुत्तों, एक चक्र के साथ किरायेदारों को दर्शाता है को – बिल्लियों के साथ निवासी। कितने निवासियों के पास कुत्ते और बिल्लियाँ दोनों हैं? कितने निवासियों के पास केवल कुत्ते हैं? कितने निवासियों के पास केवल बिल्लियाँ हैं? कितने निवासियों के पास न तो कुत्ते हैं और न ही बिल्लियाँ?

52 स्कूली बच्चों में से 23 वॉलीबॉल में और 35 बास्केटबॉल में और 16 वॉलीबॉल और बास्केटबॉल दोनों में शामिल हैं। बाकी इनमें से किसी भी खेल का अभ्यास नहीं करते हैं। कितने विद्यार्थी इनमें से कोई भी खेल नहीं खेलते हैं?

चित्र एक वृत्त दिखाता है ए अंग्रेजी जानने वाले सभी विश्वविद्यालय कर्मचारियों को एक वृत्त के रूप में दर्शाता है एच - जो जर्मन और सर्कल जानते हैं एफ - फ्रेंच। विश्वविद्यालय के कितने कर्मचारी जानते हैं: क) 3 भाषाएँ; बी) अंग्रेजी और जर्मन; सी) फ्रेंच? कितने विश्वविद्यालय कर्मचारी? उनमें से कितने फ्रेंच नहीं बोलते हैं?

अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में 120 लोगों ने भाग लिया। इनमें से 60 रूसी बोलते हैं, 48 अंग्रेजी बोलते हैं, 32 जर्मन बोलते हैं, 21 रूसी और जर्मन बोलते हैं, 19 अंग्रेजी और जर्मन बोलते हैं, 15 रूसी और अंग्रेजी बोलते हैं, और 10 लोग तीनों भाषाएं बोलते हैं। सम्मेलन के कितने प्रतिभागी इनमें से कोई भी भाषा नहीं बोलते हैं?

गाना बजानेवालों में 82 छात्र गाते हैं और नृत्य करते हैं, 32 छात्र नृत्य और लयबद्ध जिमनास्टिक के लिए जाते हैं, और 78 छात्र गाना बजानेवालों में गाते हैं और लयबद्ध जिमनास्टिक करते हैं। कितने छात्र गाना बजानेवालों में गाते हैं, नृत्य और लयबद्ध जिमनास्टिक अलग-अलग करते हैं, अगर यह ज्ञात है कि प्रत्येक छात्र केवल एक ही काम करता है?

हमारे घर में रहने वाला हर परिवार या तो अखबार या पत्रिका या दोनों की सदस्यता लेता है। 75 परिवार अखबार की सदस्यता लेते हैं, और 27 परिवार पत्रिका की सदस्यता लेते हैं, और केवल 13 परिवार पत्रिका और समाचार पत्र दोनों की सदस्यता लेते हैं। हमारे घर में कितने परिवार रहते हैं?

"डेटा समकारी विधि"।

3 छोटे और 4 बड़े गुलदस्ते में 29 फूल और 5 छोटे और 4 बड़े गुलदस्ते में 35 फूल हैं। प्रत्येक गुलदस्ते में अलग-अलग कितने फूल हैं?

2 चॉकलेट बार का द्रव्यमान - बड़ा और छोटा - 120 ग्राम, और 3 बड़ा और 2 छोटा - 320 ग्राम प्रत्येक बार का द्रव्यमान क्या है?

5 सेब और 3 नाशपाती का वजन 810 ग्राम और 3 सेब और 5 नाशपाती का वजन 870 ग्राम है। एक सेब का वजन कितना है? एक नाशपाती?

चार बत्तख के बच्चे और पांच बत्तख का वजन 4 किग्रा 100 ग्राम, पांच बत्तख का बच्चा और चार गोशाला का वजन 4 किग्रा है। एक बत्तख का वजन कितना होता है?

एक घोड़े और दो गायों के लिए प्रतिदिन 34 किलो घास दी जाती है, और दो घोड़ों और एक गाय के लिए - 35 किलो घास। एक घोड़े को कितनी घास और एक गाय को कितनी घास दी जाती है?

3 लाल पासों और 6 नीले पासों की कीमत 165tg है। इसके अलावा, पाँच लाल दो नीले वाले की तुलना में 95 टेंग अधिक महंगे हैं। प्रत्येक क्यूब की लागत कितनी है?

2 स्केचबुक और 3 स्टैम्प एल्बम की कुल लागत 160 रूबल है, और 3 स्केचबुक की कीमत 45 रूबल है। दो से अधिक स्टैम्प एल्बम।

"गिनता है"।

शेरोज़ा ने अपनी माँ को उनके जन्मदिन के लिए फूलों (गुलाब, ट्यूलिप या कार्नेशन्स) का एक गुलदस्ता देने का फैसला किया और उन्हें या तो फूलदान या जग में रख दिया। वह ऐसा कितने तरीकों से कर सकता है?

अंक 0, 1, 3, 5 से कितनी तीन अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि संख्या प्रविष्टि में अंकों की पुनरावृत्ति न हो?

बुधवार को 5 वीं कक्षा में पाँच पाठ होते हैं: गणित, शारीरिक शिक्षा, इतिहास, रूसी भाषा और प्राकृतिक विज्ञान। बुधवार के लिए आप कितने अलग-अलग कार्यक्रम बना सकते हैं?

"पदार्थों के मिश्रण की समस्याओं को हल करने का पुराना तरीका।"

तेल कैसे मिलाएं?एक निश्चित व्यक्ति के पास बिक्री के लिए दो प्रकार के तेल थे: एक की कीमत 10 रिव्निया प्रति बाल्टी, दूसरी 6 रिव्निया प्रति बाल्टी। वह इन दोनों तेलों को मिलाकर 7 रिव्निया प्रति बाल्टी की कीमत पर तेल बनाना चाहता था। 7 hryvnias मूल्य की एक बाल्टी तेल प्राप्त करने के लिए आपको इन दो तेलों के किन भागों की आवश्यकता है?

210 रुपये प्रति किलोग्राम की कीमत पर 21 किलोग्राम मिश्रण बनाने के लिए 260 रुपये प्रति 1 किलोग्राम की दर से और 190 रुपये प्रति 1 किलोग्राम की कीमत पर कितना कारमेल लिया जाना चाहिए?

किसी के पास चाय की तीन किस्में हैं - सीलोन 5 रिव्निया प्रति पाउंड, भारतीय 8 रिव्निया प्रति पाउंड और चीनी 12 रिव्निया प्रति पाउंड। 6 रिव्निया प्रति पाउंड की चाय पाने के लिए इन तीन किस्मों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए?

किसी के पास अलग-अलग नमूनों की चांदी है: एक 12वां नमूना है, दूसरा 10वां नमूना है, तीसरा 6वां नमूना है। 9वें टेस्ट का 1 पौंड चांदी पाने के लिए कितना चांदी लेना चाहिए?

व्यापारी ने 540 रूबल के लिए काले और नीले कपड़े के 138 आर्शीन खरीदे। सवाल यह है कि अगर नीले वाले की कीमत 5 रूबल है, तो उसने कितने आर्शिन खरीदे। प्रति आर्शिन, और काला - 3 रूबल।?

विभिन्न कार्य।

नए साल के तोहफे के लिए 87 किलो फल खरीदे गए, और संतरे से 17 किलो सेब अधिक थे। तुमने कितने सेब और कितने संतरे खरीदे?

नए साल के पेड़ पर पेट्रुष्का की वेशभूषा की तुलना में बर्फ के टुकड़े की कार्निवाल वेशभूषा में 3 गुना अधिक बच्चे थे। अगर 12 बच्चे कम होते तो कितने बच्चों को पेट्रुष्का के रूप में कपड़े पहनाए जाते?

माशा को कोल्या की तुलना में 2 गुना कम नए साल की बधाई मिली। यदि कुल मिलाकर 27 थे, तो प्रत्येक को कितनी बधाई मिली? (9 और 18)।

नए साल के इनाम के लिए 28 किलो मिठाई खरीदी गई। मिठाई "निगल" 2 भाग थे, "संग्रहालय" - 3 भाग, "कैमोमाइल" - 2 भाग। आपने प्रत्येक किस्म की कितनी मिठाइयाँ खरीदीं? (8, 8, 12)।

स्टॉक में 2004 किलो आटा है। क्या इसे 9 किलो वजन और 18 किलो वजन वाले बैग में रखा जा सकता है?

ऑल फॉर टी स्टोर में 5 अलग-अलग कप और 3 अलग-अलग तश्तरी हैं। एक कप और तश्तरी को कितने तरीकों से खरीदा जा सकता है?

एक घोड़ा 2 दिन में, एक गाय 3 में, एक भेड़ 6 दिनों में एक घास का ढेर खा जाती है। यदि वे इसे एक साथ खाते हैं तो कितने दिनों में एक घास का ढेर खाएंगे?

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"आरिफ सपा पाठ सारांश"

"पाठ्य समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके"।

गणित के एक छात्र के लिए तीन या चार अलग-अलग समस्याओं को हल करने की तुलना में एक ही समस्या को तीन अलग-अलग तरीकों से हल करना अक्सर अधिक उपयोगी होता है। एक समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करके, आप तुलना करके पता लगा सकते हैं कि कौन सा छोटा और अधिक कुशल है। इस तरह अनुभव बनता है।

डब्ल्यू डब्ल्यू सॉयर

पाठ का उद्देश्य: पिछले पाठों में प्राप्त ज्ञान का उपयोग विभिन्न तरीकों से परीक्षण समस्याओं को हल करने के लिए कल्पना, अंतर्ज्ञान, कल्पना, सरलता दिखाएं।

पाठ के उद्देश्य: शैक्षिक: इन समस्याओं का विश्लेषण करना, गणितज्ञ के दृष्टिकोण से कार्यों में क्या सामान्य है, क्या अंतर है, इसका अवलोकन करना, समस्याओं को हल करने का एक असाधारण तरीका खोजना, समस्या समाधान तकनीकों का एक संग्रह बनाना, एक समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखें .

शिक्षात्मक: आत्म-साक्षात्कार की आवश्यकता महसूस करना, एक निश्चित भूमिका निभाने की स्थिति में होना।

शैक्षिक:व्यक्तिगत गुण विकसित करें, एक संवादात्मक संस्कृति बनाएं।

शिक्षा के साधन: एक विषय के तहत समूहीकृत कार्यों का एक सिम्युलेटर "समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय तरीके", एक समूह में काम करने के लिए और व्यक्तिगत काम के लिए कार्य।

कक्षाओं के दौरान।

I. संगठनात्मक क्षण

हैलो दोस्तों। बैठ जाओ। आज हमारे पास "पाठ समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीके" विषय पर एक पाठ है।

द्वितीय। ज्ञान अद्यतन।

गणित प्राचीन और महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक है। कई गणितीय ज्ञान का उपयोग प्राचीन काल में - हजारों साल पहले लोगों द्वारा किया जाता था। वे व्यापारियों और बिल्डरों, योद्धाओं और सर्वेक्षणकर्ताओं, पुजारियों और यात्रियों के लिए आवश्यक थे।

और आज कोई भी जीवन में गणित के अच्छे ज्ञान के बिना कुछ नहीं कर सकता है। गणित की अच्छी समझ का आधार गणना करने, सोचने, तर्क करने और समस्याओं का सफल समाधान खोजने की क्षमता है।

आज हम पाठ समस्याओं को हल करने के लिए अंकगणितीय तरीकों पर विचार करेंगे, हम उन पुरानी समस्याओं का विश्लेषण करेंगे जो विभिन्न देशों और समयों से हमारे पास आई हैं, समानता के लिए समस्याएं, योग और अंतर से तुलना करने के लिए, और अन्य।

पाठ का उद्देश्य आपको सुंदरता, धन और विविधता की अद्भुत दुनिया में शामिल करना है - दिलचस्प कार्यों की दुनिया। और, इसलिए, कुछ अंकगणितीय विधियों को पेश करने के लिए जो बहुत ही सुरुचिपूर्ण और शिक्षाप्रद समाधान की ओर ले जाती हैं।

कार्य लगभग हमेशा एक खोज है, कुछ गुणों और संबंधों का प्रकटीकरण, और इसे हल करने के साधन अंतर्ज्ञान और अनुमान, गणित के तरीकों का ज्ञान और महारत है।

गणित में मुख्य के रूप में, समस्याओं को हल करने के अंकगणितीय और बीजगणितीय तरीकों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

अंकगणितीय विधि द्वारा किसी समस्या को हल करने का अर्थ है संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करके समस्या की आवश्यकता का उत्तर ज्ञात करना।

बीजगणितीय विधि से समस्या के प्रश्न का उत्तर समीकरण को संकलित करने तथा हल करने के फलस्वरूप प्राप्त होता है।

यह कोई रहस्य नहीं है कि एक व्यक्ति जिसके पास अलग-अलग उपकरण हैं और प्रदर्शन किए गए कार्य की प्रकृति के आधार पर उन्हें लागू करता है, उस व्यक्ति की तुलना में बहुत बेहतर परिणाम प्राप्त करता है जिसके पास केवल एक सार्वभौमिक उपकरण है।

समस्याओं को हल करने के लिए कई अंकगणितीय विधियाँ और अमानक विधियाँ हैं। आज मैं आपको उनमें से कुछ से मिलवाना चाहता हूं।

1. पाठ्य समस्याओं को हल करने की विधि "योग और अंतर से संख्याओं की तुलना करना।"

काम : दादी ने शरद ऋतु में अपनी झोपड़ी से 51 किलो गाजर और गोभी एकत्र की। गोभी गाजर से 15 किलो ज्यादा थी। दादी माँ ने कितने किलो गाजर और कितने किलो गोभी इकट्ठी की?

इस वर्ग की समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथम के बिंदुओं के अनुरूप प्रश्न।

1. ज्ञात कीजिए कि प्रश्न में किन राशियों की चर्चा की गई है

दादी माँ ने कितनी गाजर और पत्तागोभी इकट्ठी की, एक साथ और अलग-अलग।

2. समस्या में किन मात्राओं को खोजने की आवश्यकता है, इसके मूल्यों को इंगित करें।

दादी माँ ने कितने किलो गाजर और कितने किलो गोभी इकट्ठी की?

3. समस्या में मात्राओं के बीच के संबंध को नाम दें।

समस्या राशियों के योग और अंतर से संबंधित है।

4. राशियों के मानों के योग और अंतर को नाम दें।

योग 51 किग्रा है, अंतर 15 किग्रा है।

5. मानों को बराबर करके, छोटे मान का दोहरा मान ज्ञात करें (मानों के योग से अंतर घटाएं)।

51 - 15 \u003d 36 (किलो) - गाजर की मात्रा का दोगुना।

6. दोगुने मूल्य को जानने के बाद, एक छोटे मूल्य का मूल्य ज्ञात करें (दोगुने मूल्य को दो से विभाजित करें)।

36: 2 = 18 (किलो) - गाजर।

7. मान के अंतर और छोटे मान के मान का उपयोग करके बड़े मान का मान ज्ञात कीजिए।

18 + 15 = 33 (किलो) - गोभी। उत्तर: 18 किग्रा, 33 किग्रा। काम।पिंजरे में तीतर और खरगोश हैं। कुल 6 सिर और 20 पैर हैं। एक पिंजरे में कितने खरगोश और कितने तीतर ?
विधि 1. चयन विधि:
2 तीतर, 4 खरगोश।
जाँच करें: 2 + 4 = 6 (चित्त); 4 4 + 2 2 = 20 (फीट)।
यह एक चयन विधि है ("पिक अप" शब्द से)। इस समाधान पद्धति के फायदे और नुकसान (यदि संख्या बड़ी है तो यह चुनना मुश्किल है) इस प्रकार, अधिक सुविधाजनक समाधान विधियों की तलाश करने के लिए एक प्रोत्साहन है।
चर्चा के परिणाम: छोटी संख्या के साथ काम करते समय चयन विधि सुविधाजनक होती है; जैसे-जैसे मूल्य बढ़ता है, यह तर्कहीन और श्रमसाध्य हो जाता है।
विधि 2. विकल्पों की पूर्ण गणना।

तालिका बनाई जा रही है:

उत्तर: 4 खरगोश, 2 तीतर।
इस विधि का नाम "पूर्ण" है। चर्चा के परिणाम: संपूर्ण खोज विधि सुविधाजनक है, लेकिन बड़े मूल्यों के लिए यह काफी श्रमसाध्य है।
विधि 3. धारणा विधि।

आइए एक पुरानी चीनी समस्या लें:

पिंजरे में अज्ञात संख्या में तीतर और खरगोश हैं। यह ज्ञात है कि पूरी कोशिका में 35 सिर और 94 पैर होते हैं। तीतरों की संख्या और खरगोशों की संख्या ज्ञात कीजिए।(2600 ईसा पूर्व में संकलित चीनी गणितीय पुस्तक "किउ-चांग" से समस्या)।

यहाँ गणित के पुराने आचार्यों के बीच पाया जाने वाला एक संवाद है। - आइए कल्पना करें कि हम एक गाजर को एक पिंजरे में रखते हैं जिसमें तीतर और खरगोश बैठे हैं। गाजर तक पहुँचने के लिए सभी खरगोश अपने पिछले पैरों पर खड़े होंगे। इस समय जमीन पर कितने फुट होंगे?

लेकिन समस्या की स्थिति में 94 पैर दिए जाते हैं, बाकी कहां हैं?

बाकी पैरों की गिनती नहीं की जाती - ये खरगोशों के आगे के पैर हैं।

कितने हैं?

24 (94 – 70 = 24)

कितने खरगोश?

12 (24: 2 = 12)

और तीतर?

23 (35- 12 = 23)

इस विधि का नाम "कमी अनुमान विधि" है। इस नाम को स्वयं समझाने की कोशिश करें (पिंजरे में बैठने वालों के 2 या 4 पैर होते हैं, और हमने माना कि सभी के पास इनमें से सबसे छोटी संख्या है - 2 पैर)।

उसी समस्या को हल करने का दूसरा तरीका। - आइए इस समस्या को हल करने का प्रयास करें - "अधिक अनुमान लगाने की विधि": आइए कल्पना करें कि तीतर के दो और पैर हैं, तो सभी पैर होंगे 35 x 4 =140।

लेकिन समस्या की स्थिति के अनुसार 94 पैर ही होते हैं, यानी। 140 – 94= 46 अतिरिक्त टांगे, ये किसके हैं?ये तीतर के पैर हैं, इनके पैरों की एक अतिरिक्त जोड़ी है। साधन, तीतरइच्छा 46: 2 = 23, फिर खरगोश 35 -23 = 12.
चर्चा के परिणाम: अनुमान विधि है दो विकल्प- द्वारा कमी और अधिकता; पिछले तरीकों की तुलना में, यह अधिक सुविधाजनक है क्योंकि यह कम श्रमसाध्य है।
काम। ऊंटों का एक काफिला रेगिस्तान में धीरे-धीरे चलता है, कुल मिलाकर 40 ऊंट होते हैं. अगर आप इन ऊंटों के सभी कूबड़ गिनें तो आपको 57 कूबड़ मिलते हैं. इस कारवां में कितने एक कूबड़ वाले ऊँट हैं?1 रास्ता। एक समीकरण के साथ हल करें।

प्रति ऊँट कूबड़ की संख्या ऊँट की संख्या कुल कूबड़

2 एक्स 2 एक्स

1 40 - एक्स 40 - एक्स 57

2 एक्स + 40 - एक्स = 57

एक्स + 40 = 57

एक्स = 57 -40

एक्स = 17

2 रास्ते।

ऊंट के कितने कूबड़ हो सकते हैं?

(दो या एक हो सकते हैं)

आइए प्रत्येक ऊंट को एक कूबड़ पर एक फूल दें।

- आपको कितने फूल चाहिए? (40 ऊंट - 40 फूल)

- बिना फूलों के कितने कूबड़ रह जाएंगे?

(वहां 57-40=17 . यह दूसरा कूबड़दो कूबड़ वाले ऊंट)।

कितने दो कूबड़ वाले ऊंट? (17)

कितने एक कूबड़ वाला ऊँट? (40-17=23)

समस्या का उत्तर क्या है? ( 17 और 23 ऊंट)।

काम।गैरेज में साइडकार के साथ कार और मोटरसाइकिलें थीं, कुल मिलाकर 18। कारों और मोटरसाइकिलों में 65 पहिए थे। यदि कार में 4 पहिए हैं और मोटरसाइकिल में 3 पहिए हैं, तो गैराज में साइडकार वाली कितनी मोटरसाइकिलें थीं?

1 रास्ता। समीकरण का उपयोग करना:

कुल पहियों की 1 संख्या के लिए पहियों की संख्या

मैश। 4एक्स 4 एक्स

मोट। 3 18 -एक्स 3(18 - एक्स ) 65

4 एक्स + 3(18 - एक्स ) = 65

4 एक्स + 5 4 -3 एक्स =65

एक्स = 65 - 54

एक्स = 11, 18 – 11 = 7.

आइए समस्या को सुधारें : लुटेरे गैरेज में आए, जहां 18 कारें और साइडकार वाली मोटरसाइकिलें थीं, प्रत्येक कार और प्रत्येक मोटरसाइकिल से तीन पहिए निकालकर उन्हें ले गए। अगर 65 थे तो गैरेज में कितने पहिए बचे थे? क्या वे कार या मोटरसाइकिल से संबंधित हैं?

3 × 18 = 54 - लुटेरे इतने पहिए ले गए,

65- 54 \u003d 11 - कितने पहिए बचे हैं (गैरेज में कारें),

18 - 11 \u003d 7 - मोटरसाइकिलें।

उत्तर: 7 मोटरसाइकिलें।

अपने आप:

गैरेज में 23 कारें और साइडकार थीं। कारों और मोटरसाइकिलों में 87 पहिए होते हैं। यदि वे प्रत्येक साइडकार में एक अतिरिक्त टायर लगाते हैं तो गैरेज में कितनी मोटरसाइकिलें हैं?

- कार और मोटरसाइकिल में एक साथ कितने पहिए होते हैं? (4×23=92)

आपने प्रत्येक घुमक्कड़ में कितने अतिरिक्त पहिए लगाए? (92 - 87= 5)

- गैरेज में कितनी कारें हैं? (23 - 5=18)।

काम।हमारी कक्षा में आप अंग्रेजी या फ्रेंच (वैकल्पिक) पढ़ सकते हैं। यह ज्ञात है कि 20 छात्र अंग्रेजी पढ़ते हैं, और 17 छात्र फ्रेंच पढ़ते हैं। कक्षा में 32 छात्र हैं। कितने छात्र दोनों भाषाओं का अध्ययन करते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच दोनों?

चलो दो वृत्त बनाते हैं। एक में हम अंग्रेजी सीखने वाले छात्रों की संख्या दर्ज करेंगे, दूसरे में फ्रेंच सीखने वाले छात्रों की संख्या। चूंकि समस्या की स्थिति के अनुसार वहां छात्र पढ़ रहे हैंदोनों भाषाएँ: अंग्रेजी और फ्रेंच दोनों, तब मंडलियों का एक सामान्य भाग होगा।इस समस्या की स्थिति को समझना इतना आसान नहीं है। यदि आप 20 और 17 जोड़ते हैं, तो आप 32 से अधिक प्राप्त करते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि हमने यहां कुछ स्कूली बच्चों की दो बार गिनती की - अर्थात्, जो दोनों भाषाओं का अध्ययन करते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच दोनों। तो (20 + 17) - 32 = 5 छात्र दोनों भाषाएँ सीखते हैं: अंग्रेजी और फ्रेंच दोनों।

अंग्रेज़ी फ्रैंक।

20 खाते 17 खाते

(20 + 17) - 32 = 5 (छात्र)।

समस्या को हल करने के लिए हमने जिस योजना का उपयोग किया, उसके समान योजनाएँ गणित में कहलाती हैं यूलर के मंडल (या आरेख)। लियोनहार्ड यूलर (1736) स्विट्जरलैंड में पैदा हुआ था। लेकिन कई सालों तक वह रूस में रहे और काम किया।

काम।हमारे घर में रहने वाला हर परिवार या तो अखबार या पत्रिका या दोनों की सदस्यता लेता है। 75 परिवार अखबार की सदस्यता लेते हैं, और 27 परिवार पत्रिका की सदस्यता लेते हैं, और केवल 13 परिवार पत्रिका और समाचार पत्र दोनों की सदस्यता लेते हैं। हमारे घर में कितने परिवार रहते हैं?

समाचार पत्रों की पत्रिकाएँ

तस्वीर से पता चलता है कि घर में 89 परिवार रहते हैं।

काम।अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में 120 लोगों ने भाग लिया। इनमें से 60 रूसी बोलते हैं, 48 अंग्रेजी बोलते हैं, 32 जर्मन बोलते हैं, 21 रूसी और जर्मन बोलते हैं, 19 अंग्रेजी और जर्मन बोलते हैं, 15 रूसी और अंग्रेजी बोलते हैं, और 10 लोग तीनों भाषाएं बोलते हैं। सम्मेलन के कितने प्रतिभागी इनमें से कोई भी भाषा नहीं बोलते हैं?

रूसी 15 अंग्रेजी

21 10 19

जर्मन

हलः 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) = 25 (लोग)।

काम। तीन बिल्ली के बच्चे और दो पिल्लों का वजन 2 किलो 600 ग्राम है, और दो बिल्ली के बच्चे और तीन पिल्लों का वजन 2 किलो 900 ग्राम है। एक पिल्ले का वजन कितना होता है?

3 बिल्ली के बच्चे और 2 पिल्ले - 2 किग्रा 600 ग्राम

2 बिल्ली के बच्चे और 3 पिल्ले - 2 किग्रा 900 ग्राम।

यह इस स्थिति से निकलता है कि 5 बिल्ली के बच्चे और 5 पिल्लों का वजन 5 किलो 500 ग्राम है। तो, 1 बिल्ली का बच्चा और 1 पिल्ले का वजन 1 किलो 100 ग्राम है

2 बिल्लियाँ और 2 पिल्ले। वजन 2 किलो 200 ग्राम

शर्तों की तुलना करें -

2 बिल्ली के बच्चे + 3 पिल्लों = 2 किग्रा 900 ग्राम

2 बिल्ली के बच्चे + 2 पिल्ले = 2 किलो 200 ग्राम, हम देखते हैं कि पिल्ला का वजन 700 ग्राम है।

काम।एक घोड़े और दो गायों के लिए प्रतिदिन 34 किलो घास दी जाती है, और दो घोड़ों और एक गाय के लिए - 35 किलो घास। एक घोड़े को कितनी घास और एक गाय को कितनी घास दी जाती है?

आइए समस्या की संक्षिप्त स्थिति लिखें:

1 घोड़ा और 2 गाय -34 किग्रा।

2 घोड़े और 1 गाय -35 किग्रा।

क्या यह जानना संभव है कि 3 घोड़ों और 3 गायों के लिए कितनी घास की आवश्यकता है?

(3 घोड़ों और 3 गायों के लिए - 34+35=69 किलो)

क्या यह जानना संभव है कि एक घोड़े और एक गाय के लिए कितनी घास की आवश्यकता होती है? (69: 3 - 23किग्रा)

एक घोड़े के लिए कितनी घास की जरूरत होती है? (35-23=12 किग्रा)

एक गाय के लिए कितनी घास की आवश्यकता होती है? (23 -13 =11 किग्रा)

उत्तर: 12 किग्रा और 11 किग्रा।

काम।मदीना ने स्कूल के कैफेटेरिया में नाश्ता करने का फैसला किया। मेनू को देखो और मुझे बताओ कि वह पेय और कन्फेक्शन को कितने तरीकों से चुन सकती है?

	हलवाई की दुकान
	चीज़केक

मान लेते हैं कि मदीना की पसंद का पेय चाय है। वह चाय के लिए कौन सा कन्फेक्शनरी चुन सकती है? (चाय - चीज़केक, चाय - कुकीज़, चाय - रोल)

कितने तरीके? (3)

और अगर खाद? (3 भी)

तो आप कैसे जानते हैं कि मदीना अपना लंच चुनने के लिए कितने तरीकों का इस्तेमाल कर सकती हैं? (3+3+3=9)

सच कहा आपने। लेकिन इस तरह की समस्या को हल करना हमारे लिए आसान बनाने के लिए हम ग्राफ़ का उपयोग करेंगे। गणित में "ग्राफ़" शब्द का अर्थ एक चित्र है जहाँ कई बिंदु खींचे जाते हैं, जिनमें से कुछ रेखाओं से जुड़े होते हैं। आइए ड्रिंक्स और कन्फेक्शनरी को डॉट्स से निरूपित करें और उन व्यंजनों के जोड़े को कनेक्ट करें जो मदीना चुनती हैं।

चाय दूध खाद

चीज़केक कुकीज़ रोटी

अब आइए लाइनों की संख्या गिनें। उनमें से 9 हैं इसलिए व्यंजन चुनने के 9 तरीके हैं I

काम।शेरोज़ा ने अपनी माँ को उनके जन्मदिन के लिए फूलों (गुलाब, ट्यूलिप या कार्नेशन्स) का एक गुलदस्ता देने का फैसला किया और उन्हें या तो फूलदान या जग में रख दिया। वह ऐसा कितने तरीकों से कर सकता है?

आप कितने तरीके सोचते हैं? (3)

क्यों? (रंग 3)

हाँ। लेकिन अलग-अलग व्यंजन भी हैं: या तो फूलदान या जग। आइए कार्य को रेखांकन करने का प्रयास करें।

फूलदान जग

गुलाब ट्यूलिप कार्नेशन्स

रेखाएँ गिनें। कितने? (6)

तो, सेरेझा को कितने तरीके चुनने हैं? (6)

पाठ का सारांश।

आज हमने कई समस्याओं का समाधान किया है। लेकिन काम पूरा नहीं हुआ है, इसे जारी रखने की इच्छा है, और मुझे उम्मीद है कि इससे आपको शब्द समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में मदद मिलेगी।

यह ज्ञात है कि समस्या समाधान एक व्यावहारिक कला है, जैसे तैरना या पियानो बजाना। इसे केवल अच्छे उदाहरणों का अनुकरण करके, निरंतर अभ्यास करके ही सीखा जा सकता है।

ये केवल सबसे सरल समस्याएं हैं, जटिल अभी भी भविष्य के अध्ययन का विषय हैं। लेकिन अभी भी उनमें से बहुत अधिक हैं जिन्हें हम हल कर सकते हैं। और यदि पाठ के अंत में आप "शैक्षणिक सामग्री के पन्नों के पीछे" समस्याओं को हल कर सकते हैं, तो हम मान सकते हैं कि मैंने अपना कार्य पूरा कर लिया है।

गणित का ज्ञान जीवन की एक निश्चित समस्या को हल करने में मदद करता है। जीवन में, आपको नियमित रूप से कुछ मुद्दों को हल करना होगा, इसके लिए आपको बौद्धिक क्षमताओं को विकसित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए आंतरिक क्षमता विकसित होती है, स्थिति की भविष्यवाणी करने, भविष्यवाणी करने और गैर-मानक निर्णय लेने की क्षमता विकसित होती है।

मैं पाठ को इन शब्दों के साथ समाप्त करना चाहता हूं: "हर अच्छी तरह से हल की गई गणितीय समस्या मानसिक आनंद देती है।" (जी। हेसे)।

क्या आप इस बात से सहमत हैं?

गृहकार्य.

घर पर ऐसा कार्य होगा: हल की गई समस्याओं के ग्रंथों का उपयोग, एक मॉडल के रूप में, हमने जिन तरीकों का अध्ययन किया है, उनमें समस्या संख्या 8, 17, 26 को हल करें।