Trigonometrijski funkcije periodično, odnosno ponavlja se nakon određenog perioda. Kao rezultat, dovoljno je proučiti funkciju na ovom intervalu i proširiti otkrivena svojstva na sve ostale periode.

Uputstvo

1. Ako vam je dat primitivan izraz u kojem postoji samo jedna trigonometrijska funkcija (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), a ugao unutar funkcije nije pomnožen ni sa jednim brojem, i sam nije podignut na bilo koji snaga - koristite definiciju. Za izraze koji sadrže sin, cos, sec, cosec, podebljano postavite period na 2P, a ako u jednadžbi postoji tg, ctg, onda P. Recimo, za funkciju y = 2 sinx + 5, period će biti 2P .

2. Ako se ugao x pod znakom trigonometrijske funkcije pomnoži nekim brojem, tada da biste pronašli period ove funkcije, podijelite tipični period ovim brojem. Recimo da vam je data funkcija y = sin 5x. Tipičan period za sinus je 2P, podijelite ga sa 5, dobijete 2P / 5 - ovo je željeni period ovog izraza.

3. Da biste pronašli period trigonometrijske funkcije podignute na stepen, procijenite parnost stepena. Za ravnomjeran stepen, prepolovite period uzorka. Recimo, ako vam je data funkcija y = 3 cos ^ 2x, tada će se tipični period 2P smanjiti za 2 puta, tako da će period biti jednak P. Imajte na umu da su funkcije tg, ctg periodične u bilo kojoj mjeri P .

4. Ako vam je data jednadžba koja sadrži proizvod ili količnik 2 trigonometrijske funkcije, prvo pronađite period za sve njih posebno. Nakon toga pronađite minimalni broj koji bi odgovarao cijelom broju oba perioda. Recimo da je data funkcija y=tgx*cos5x. Za tangentu, period je P, za kosinus 5x, period je 2P/5. Minimalni broj koji je dozvoljen da stane u oba ova perioda je 2P, tako da je željeni period 2P.

5. Ako vam je teško napraviti predloženi način ili sumnjate u rezultat, pokušajte to učiniti po definiciji. Uzmite T kao period funkcije, veći je od nule. Zamijenite izraz (x + T) u jednadžbi umjesto x i riješite rezultirajuću jednakost kao da je T parametar ili broj. Kao rezultat, naći ćete vrijednost trigonometrijske funkcije i moći ćete odabrati najmanji period. Recimo, kao rezultat olakšavanja, dobijete identitet sin (T / 2) = 0. Minimalna vrijednost T pri kojoj se izvodi je 2P, a to će biti rezultat zadatka.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti nakon nekog perioda različitog od nule. Period funkcije je broj čiji dodatak argumentu funkcije ne mijenja vrijednost funkcije.

Trebaće ti

• Poznavanje elementarne matematike i počeci anketiranja.

Uputstvo

1. Označimo period funkcije f(x) brojem K. Naš zadatak je pronaći ovu vrijednost K. Da bismo to učinili, zamislimo da funkcija f(x), koristeći definiciju periodične funkcije, izjednači f (x+K)=f(x).

2. Rješavamo rezultirajuću jednačinu za nepoznato K, kao da je x konstanta. U zavisnosti od vrednosti K, biće nekoliko opcija.

3. Ako je K>0, onda je ovo period vaše funkcije.Ako je K=0, onda funkcija f(x) nije periodična.Ako rješenje jednadžbe f(x+K)=f(x) ne postoji za bilo koji K koji nije jednak nuli, onda se takva funkcija naziva aperiodična i ona također nema period.

Povezani video zapisi

Bilješka!
Sve trigonometrijske funkcije su periodične, a sve polinomske funkcije sa stepenom većim od 2 su aperiodične.

Koristan savjet
Period funkcije koja se sastoji od 2 periodične funkcije je najmanji zajednički višekratnik perioda ovih funkcija.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe koje sadrže trigonometrijske funkcije nepoznatog argumenta (na primjer: 5sinx-3cosx =7). Da biste naučili kako ih riješiti, morate znati neke metode za to.

Uputstvo

1. Rješenje ovakvih jednačina sastoji se od 2 faze.Prva je reformisanje jednadžbe kako bi dobila svoj najjednostavniji oblik. Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe nazivaju se sljedećim: Sinx=a; cosx=a itd.

2. Drugi je rješenje dobivene najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Postoje osnovni načini za rješavanje jednačina ove vrste: Rješavanje na algebarski način. Ova metoda je poznata još iz škole, iz kursa algebre. Inače se naziva metoda zamjene varijable i zamjene. Primjenjujući formule redukcije, transformiramo, vršimo zamjenu, nakon čega nalazimo korijene.

3. Dekompozicija jednačine na faktore. Prvo prenosimo sve pojmove ulijevo i razlažemo ih na faktore.

4. Dovođenje jednačine na homogenu. Jednačine se nazivaju homogenim ako su svi članovi istog stepena, a sinus, kosinus istog ugla.Da biste je riješili, potrebno je: prvo prenijeti sve njene članove s desne strane na lijevu; izbaciti sve uobičajene faktore iz zagrada; izjednačiti faktore i zagrade na nulu; izjednačene zagrade daju homogenu jednačinu nižeg stepena, koju treba podijeliti sa cos (ili sin) na viši stepen; riješiti rezultirajuću algebarsku jednadžbu za tan.

5. Sljedeći način je ići do pola ugla. Recimo, riješite jednačinu: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Pređimo na polovični ugao: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 sin? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , nakon čega sve članove svedemo na jedan dio (inače desno) i rješavamo jednačinu.

6. Pomoćni ugaoni ulaz. Kada zamijenimo cjelobrojnu vrijednost cos(a) ili sin(a). Znak "a" je pomoćni ugao.

7. Način preformatiranja proizvoda u zbroj. Ovdje morate primijeniti odgovarajuće formule. Recimo da je dato: 2 sin x sin 3x = cos 4x Rešimo to pretvaranjem leve strane u zbir, odnosno: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.

8. Konačni način, nazvan multifunkcionalna zamjena. Transformišemo izraz i izvršimo supstituciju, recimo Cos(x/2)=u, nakon čega rešavamo jednačinu sa parametrom u. Prilikom prikupljanja ukupne vrijednosti prevodimo vrijednost u suprotno.

Povezani video zapisi

Ako uzmemo u obzir tačke na kružnici, onda su tačke x, x + 2π, x + 4π, itd. poklapaju jedno s drugim. Dakle, trigonometrijski funkcije na pravoj liniji periodično ponoviti njihovo značenje. Ako je period poznat funkcije, dozvoljeno je izgraditi funkciju na ovom periodu i ponoviti je na drugim.

Uputstvo

1. Period je broj T takav da je f(x) = f(x+T). Da biste pronašli period, riješite odgovarajuću jednačinu, zamjenjujući x i x + T kao argument. U ovom slučaju se koriste dobro poznati periodi za funkcije. Za sinusne i kosinusne funkcije period je 2π, a za tangentu i kotangens π.

2. Neka je data funkcija f(x) = sin^2(10x). Razmotrimo izraz sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Koristite formulu da smanjite stepen: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Zatim dobijete 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ili cos 20x = cos (20x+20T). Znajući da je period kosinusa 2π, 20T = 2π. Dakle, T = π/10. T je minimalni ispravan period, a funkcija će se ponoviti nakon 2T, i nakon 3T, iu drugom smjeru duž ose: -T, -2T, itd.

Koristan savjet
Koristite formule da smanjite stepen funkcije. Ako ste bolje upoznati s periodima nekih funkcija, pokušajte postojeće funkcije svesti na one poznate.

Pronalaženje funkcije za parne i neparne pomaže da se izgradi graf funkcije i shvati priroda njenog ponašanja. Za ovo istraživanje potrebno je da uporedite datu funkciju napisanu za argument “x” i za argument “-x”.

Uputstvo

1. Napišite funkciju koju želite istražiti kao y=y(x).

2. Zamijenite argument funkcije sa "-x". Zamijenite ovaj argument u funkcionalni izraz.

3. Pojednostavite izraz.

4. Dakle, dobili ste istu funkciju napisanu za argumente "x" i "-x". Pogledajte ova dva unosa. Ako je y(-x)=y(x), onda je ovo parna funkcija. Ako je y(-x)=-y(x), onda je ovo neparna funkcija. Ako je nemoguće recimo za funkciju da je y (-x)=y(x) ili y(-x)=-y(x), onda je, po svojstvu parnosti, ovo funkcija univerzalnog oblika. Odnosno, nije ni paran ni neparan.

5. Zapišite svoje rezultate. Sada ih možete koristiti u crtanju grafa funkcije ili u budućoj analitičkoj potrazi za svojstvima funkcije.

6. Također je moguće govoriti o parnim i neparnim funkcijama u slučaju kada je graf funkcije bliže definiran. Recimo da je graf rezultat fizičkog eksperimenta. Ako je graf funkcije simetričan oko y-ose, onda je y(x) parna funkcija. Ako je graf funkcije simetričan oko x-ose, tada je x(y) parna funkcija. x(y) je inverzna funkcija y(x).Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište (0,0), tada je y(x) neparna funkcija. Inverzna funkcija x(y) će također biti neparna.

7. Važno je zapamtiti da koncept parnih i neparnih funkcija ima direktnu vezu sa domenom funkcije. Ako, recimo, parna ili neparna funkcija ne postoji za x=5, onda ne postoji za x=-5, što je nemoguće reći za funkciju opšteg oblika. Prilikom utvrđivanja parnih i neparnih, obratite pažnju na domenu funkcije.

8. Traženje parnih i neparnih funkcija korelira sa pronalaženjem skupa vrijednosti funkcije. Da biste pronašli skup vrijednosti parne funkcije, dovoljno je vidjeti polovicu funkcije, desno ili lijevo od nule. Ako za x>0 parna funkcija y(x) uzima vrijednosti od A do B, tada će uzeti iste vrijednosti za x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 neparna funkcija y(x) uzima raspon vrijednosti od A do B, zatim za x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrijskim" su se nekada počele nazivati ​​funkcije koje su određene ovisnošću oštrih uglova u pravokutnom trokutu o dužinama njegovih stranica. Ove funkcije uključuju, prije svega, sinus i kosinus, a drugo, sekans i kosekans, koji su inverzni ovim funkcijama, njihove tangentne i kotangensne derivate, kao i inverzne funkcije arksinus, arkkosinus, itd. pozitivnije govoriti ne o “rješenju” takvih funkcija, već o njihovom “proračunu”, odnosno o pronalaženju numeričke vrijednosti.

Uputstvo

1. Ako je argument trigonometrijske funkcije nepoznat, tada je dozvoljeno izračunati njenu vrijednost indirektnom metodom na osnovu definicija ovih funkcija. Da biste to učinili, morate znati duljine stranica trokuta, trigonometrijsku funkciju za jedan od uglova koji želite izračunati. Recimo, po definiciji, sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer dužine kraka nasuprot ovom kutu i dužine hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je za pronalaženje sinusa ugla dovoljno znati dužine ove 2 stranice. Slična definicija kaže da je sinus oštrog ugla omjer dužine kraka koji se nalazi uz ovaj kut i dužine hipotenuze. Tangens oštrog ugla može se izračunati tako što se dužina suprotnog kraka podeli sa dužinom susednog, a kotangens zahteva da se dužina susednog kraka podeli sa dužinom suprotnog kraka. Da biste izračunali sekans oštrog ugla, morate pronaći omjer dužine hipotenuze i dužine kraka koji je susjedni traženom kutu, a kosekans je određen omjerom dužine hipotenuze i dužine suprotne noge.

2. Ako se izvodi argument trigonometrijske funkcije, tada nije potrebno znati duljine stranica trokuta - dopušteno je koristiti tablice vrijednosti​​ili kalkulatore trigonometrijskih funkcija. Takav kalkulator je među standardnim programima Windows operativnog sistema. Da biste ga pokrenuli, možete pritisnuti kombinaciju tastera Win + R, uneti komandu calc i kliknuti na dugme OK. U sučelju programa otvorite odjeljak "Prikaz" i odaberite stavku "Inženjering" ili "Naučnik". Kasnije je dozvoljeno uvesti argument trigonometrijske funkcije. Da biste izračunali funkcije sinus, kosinus i tangens, nakon unosa vrijednosti kliknite na odgovarajuće dugme interfejsa (sin, cos, tg), a da biste pronašli njihove recipročne vrednosti arksinusa, arkkosinusa i arktangensa, unapred označite polje za potvrdu Inv.

3. Postoje i alternativne metode. Jedan od njih je da odete na sajt Nigme ili Google pretraživača i unesete željenu funkciju i njen argument (recimo sin 0,47) kao upit za pretragu. Ovi pretraživači imaju ugrađene kalkulatore, pa ćete nakon slanja takvog zahtjeva dobiti vrijednost trigonometrijske funkcije koju ste unijeli.

Povezani video zapisi

Savjet 7: Kako otkriti vrijednost trigonometrijskih funkcija

Trigonometrijske funkcije su se prvo pojavile kao alati za apstraktna matematička izračunavanja zavisnosti veličina oštrih uglova u pravokutnom trokutu od dužina njegovih stranica. Sada se široko koriste u naučnim i tehničkim oblastima ljudske aktivnosti. Za utilitarna izračunavanja trigonometrijskih funkcija iz datih argumenata, dopušteno je koristiti različite alate - nekoliko najpristupačnijih od njih opisano je u nastavku.

Uputstvo

1. Koristite, recimo, program za kalkulator koji je podrazumevano instaliran sa operativnim sistemom. Otvara se odabirom stavke "Kalkulator" u mapi "Uslužni programi" iz pododjeljka "Tipično" koji se nalazi u odjeljku "Svi programi". Ovaj odjeljak možete pronaći otvaranjem glavnog menija operativnog sistema klikom na dugme "Start". Ako koristite verziju Windows 7, tada možete primitivno unijeti riječ "Kalkulator" u polje "Otkrivanje programa i datoteka" glavnog menija, a zatim kliknuti na odgovarajuću vezu u rezultatima pretrage.

2. Unesite vrijednost ugla za koji želite izračunati trigonometrijsku funkciju, a zatim kliknite na dugme koje odgovara ovoj funkciji - sin, cos ili tan. Ako ste zabrinuti zbog inverznih trigonometrijskih funkcija (arksinus, arkkosinus ili arktangens), onda prvo kliknite na dugme označeno sa Inv - ono obrće funkcije dodeljene kontrolnim dugmadima kalkulatora.

3. U ranijim verzijama OS-a (recimo, Windows XP), da biste pristupili trigonometrijskim funkcijama, morate otvoriti odjeljak „Pregled“ u meniju kalkulatora i preferirati liniju „Inženjering“. Osim toga, umjesto dugmeta Inv u interfejsu starih verzija programa, nalazi se potvrdni okvir sa istim natpisom.

4. Možete i bez kalkulatora ako imate pristup internetu. Postoje mnoge usluge na webu koje nude različito organizirane kalkulatore trigonometrijskih funkcija. Jedna posebno zgodna opcija ugrađena je u pretraživač Nigma. Nakon što ste otišli na njegovu glavnu stranicu, primitivno unesite vrijednost koja vas uzbuđuje u polje upita za pretragu - recimo, "lučna tangenta od 30 stepeni". Nakon pritiska na "Otkrij!" pretraživač će izračunati i prikazati rezultat izračuna - 0,482347907101025.

Povezani video zapisi

Trigonometrija je grana matematike za razumijevanje funkcija koje izražavaju različite ovisnosti stranica pravokutnog trokuta o veličinama oštrih uglova u hipotenuzi. Takve funkcije se nazivaju trigonometrijske, a kako bi se olakšao rad s njima, izvedene su trigonometrijske funkcije. identiteta .

Zastupanje identiteta u matematici označava jednakost koja je zadovoljena za bilo koje vrijednosti argumenata funkcija uključenih u nju. Trigonometrijski identiteta- to su jednakosti trigonometrijskih funkcija, potvrđene i prihvaćene radi pojednostavljenja rada sa trigonometrijskim formulama.Trigonometrijska funkcija je elementarna funkcija zavisnosti jednog od krakova pravouglog trokuta od veličine oštrog ugla na hipotenuzi. Često se koristi šest osnovnih trigonometrijskih funkcija: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangenta), ctg (kotangens), sec (sekans) i kosec (kosekans). Ove funkcije se zovu direktne, postoje i inverzne funkcije, recimo, sinus – arksinus, kosinus – arkkosinus, itd. U početku su trigonometrijske funkcije našle odraz u geometriji, nakon toga su se proširile na druge oblasti nauke: fiziku, hemiju, geografiju, optiku. , teorija vjerovatnoće , kao i akustika, teorija muzike, fonetika, kompjuterska grafika i mnoge druge. Sada je teže zamisliti matematičke proračune bez ovih funkcija, iako su se u dalekoj prošlosti koristile samo u astronomiji i arhitekturi. identiteta koriste se za pojednostavljenje rada s dugim trigonometrijskim formulama i njihovo dovođenje u probavljivu formu. Postoji šest osnovnih trigonometrijskih identiteta, oni su povezani sa direktnim trigonometrijskim funkcijama: tg ? = sin?/cos?; sin^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d sin?. Ove identiteta lako potvrditi iz svojstava omjera stranica i uglova u pravokutnom trokutu: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Prvi identitet tg ? = sin?/cos? proizlazi iz omjera strana u trokutu i isključenja stranice c (hipotenuze) kada se sin dijeli sa cos. Na isti način je definiran identitet ctg? = cos ?/sin ?, jer ctg ? = 1/tg ?. Prema Pitagorinoj teoremi, a^2 + b^2 = c^2. Podijelimo ovu jednakost sa c^2, dobićemo drugi identitet: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Treći i četvrti identiteta dobija se deljenjem sa b^2 i a^2, respektivno: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? ili 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?. Peti i šesti glavni identiteta dokazuju se određivanjem zbira oštrih uglova pravouglog trokuta, koji je jednak 90° ili?/2. Teže trigonometrijsko identiteta: formule za sabiranje argumenata, dvostruki i trostruki uglovi, snižavanje stepena, reformisanje zbira ili proizvoda funkcija, kao i formule trigonometrijske zamene, odnosno izrazi glavnih trigonometrijskih funkcija u terminima poluugla tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Potreba za pronalaženjem minimuma značenje matematički funkcije je od stvarnog interesa za rješavanje primijenjenih problema, recimo, u ekonomiji. Ogroman značenje za poduzetničku aktivnost ima minimiziranje gubitaka.

Uputstvo

1. Da bi se pronašao minimum značenje funkcije, potrebno je odrediti pri kojoj vrijednosti argumenta x0 će biti zadovoljena nejednakost y(x0)? y(x), gdje je x? x0. Kao i obično, ovaj problem se rješava u određenom intervalu ili u svakom rasponu vrijednosti funkcije, ako nije postavljeno. Jedan aspekt rješenja je pronalaženje fiksnih tačaka.

2. Stacionarna tačka se zove značenje argument da je derivat funkcije ide na nulu. Prema Fermatovoj teoremi, ako diferencijabilna funkcija uzima ekstremal značenje u nekom trenutku (u ovom slučaju lokalni minimum), tada je ova tačka stacionarna.

3. Minimum značenje funkcija često zauzima tačno u ovoj tački, međutim, može se odrediti ne uvek. Štaviše, nije uvijek moguće tačno reći koliki je minimum funkcije ili prihvata beskonačno malo značenje. Zatim, kao i obično, pronalaze granicu do koje gravitira kada se smanjuje.

4. Da bi se odredio minimum značenje funkcije, potrebno je izvršiti niz radnji koji se sastoji od četiri faze: pronalaženje domena definicije funkcije, stjecanje fiksnih bodova, pregled vrijednosti funkcije na ovim tačkama i na krajevima jaza, detekcija minimuma.

5. Ispostavilo se da neka funkcija y(x) bude data na intervalu sa granicama u tačkama A i B. Pronađite njenu oblast definicije i saznajte da li je interval njen podskup.

6. Izračunaj derivat funkcije. Izjednačite rezultirajući izraz sa nulom i pronađite korijene jednadžbe. Provjerite da li ove stacionarne točke spadaju u interval. Ako ne, onda se u sljedećoj fazi ne uzimaju u obzir.

7. Pogledajte prazninu za vrstu granica: otvorene, zatvorene, složene ili bezdimenzionalne. Zavisi kako ćete pronaći minimum značenje. Recimo da je segment [A, B] zatvoreni interval. Zamijenite ih u funkciju i izračunajte vrijednosti. Uradite isto sa stacionarnom točkom. Odaberite najmanji zbroj.

8. Sa otvorenim i neograničenim intervalima situacija je nešto teža. Ovdje moramo tražiti jednostrane granice, koje ne daju uvijek jednoznačan rezultat. Recimo, za interval sa jednom zatvorenom i jednom probušenom granicom [A, B) treba pronaći funkciju na x = A i jednostranu granicu lim y na x? B-0.

zadovoljavanje sistema nejednakosti:

b) Razmotrimo skup brojeva na brojevnoj osi koji zadovoljavaju sistem nejednačina:

Pronađite zbir dužina segmenata koji čine ovaj skup.

§ 7. Najjednostavnije formule

U § 3 ustanovili smo sljedeću formulu za oštre uglove α:

			sin2α + cos2α = 1.
				Ista formula			kada,
				kada je α bilo koji			de-
				le, neka je M tačka na trigonometriji
				kalic krug koji odgovara
				broj α (slika 7.1). Onda		M ima ko-
				ordinate x = cos α, y
				Međutim, svaka tačka (x; y) koja leži na
				kružnice jediničnog radijusa sa centrom
				trom na početku, zadovoljavajuće
				rješava jednačinu x2 + y2		1, odakle
				cos2 α + sin2 α = 1, prema potrebi.

Dakle, formula cos2 α + sin2 α = 1 slijedi iz jednačine kružnice. Može se činiti da smo na ovaj način dali novi dokaz ove formule za oštre uglove (u poređenju sa onim navedenim u § 3, gde smo koristili Pitagorinu teoremu). Razlika je, međutim, čisto vanjska: kada se izvodi jednačina kružnice x2 + y2 = 1, koristi se ista Pitagorina teorema.

Za oštre uglove dobili smo i druge formule, na primjer

simbolom, desna strana je uvijek nenegativna, dok lijeva strana može biti negativna. Da bi formula bila istinita za sve α, ona mora biti na kvadratu. Dobijamo jednakost: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Dokažimo da je ova formula tačna za sve α:1

1/(1 + tg2			sin2α			cos2α	Cos2α.
			cos2α			sin2α + cos2α

Problem 7.1. Izvedite sve formule u nastavku iz definicija i formule sin2 α + cos2 α = 1 (neke od njih smo već dokazali):

sin2α + cos2α = 1;

tg2α =

tg2α

sin2α =

tg α ctg α = 1;

cos2α

1 + tg2α

ctg2α

Ctg2

cos2α =

1 + ctg2α

sin2

Ove formule omogućavaju, znajući vrijednost jedne od trigonometrijskih funkcija datog broja, da se skoro pronađu sve ostale

nye. Neka, na primjer, znamo da je sin x = 1/2. Tada je cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, pa je cos x ili 3/2 ili − 3/2. Da bismo saznali kojem je od ova dva broja jednak cos x, potrebne su dodatne informacije.

Problem 7.2. Pokažite na primjerima da su oba gore navedena slučaja moguća.

Problem 7.3. a) Neka je tgx = −1. Nađi sinx. Koliko odgovora ima ovaj problem?

b) Neka, pored uslova iz tačke a), znamo da je sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Za koji je definiran tg α, tj. cos α 6= 0.

Problem 7.4. Neka je sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Pronađite tgx.

Problem 7.5. Neka je tg x = 3, cos x > sin x. Naći cos x, sin x.

Problem 7.6. Neka je tgx = 3/5. Naći sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x

Problem 7.7. Dokažite identitete:

tgα − sinα

c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α =

Problem 7.8. Pojednostavite izraze:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Periodi trigonometrijskih funkcija

Brojevi x, x+2π, x−2π odgovaraju istoj tački na trigonometrijskom krugu (ako prođete dodatnim krugom duž trigonometrijskog kruga, završit ćete tamo gdje ste bili). Ovo implicira sljedeće identitete, o kojima je već bilo riječi u § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.

U vezi sa ovim identitetima već smo koristili termin „period“. Sada dajemo tačne definicije.

Definicija. Broj T 6= 0 naziva se periodom funkcije f ako su jednakosti f(x − T) = f(x + T) = f(x) tačne za sve x (pretpostavlja se da su x + T i x − T su uključeni u domenu funkcije , ako uključuje x). Funkcija se naziva periodičnom ako ima period (barem jedan).

Periodične funkcije prirodno nastaju u opisu oscilatornih procesa. Jedan od ovih procesa je već razmatran u § 5. Evo još primjera:

1) Neka je ϕ = ϕ(t) ugao odstupanja klatna sata od vertikale u trenutku t. Tada je ϕ periodična funkcija od t.

2) Napon („razlika potencijala“, kako bi fizičar rekao) između dvije utičnice u AC utičnici, tj.

da li ga smatrati funkcijom vremena je periodična funkcija1.

3) Da čujemo muzički zvuk. Tada je tlak zraka u datoj tački periodična funkcija vremena.

Ako funkcija ima period T , tada će periodi ove funkcije također biti brojevi −T , 2T , −2T . . . - jednom riječju, svi brojevi nT , gdje je n cijeli broj koji nije jednak nuli. Zaista, provjerimo, na primjer, da je f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definicija. Najmanji pozitivni period funkcije f je - u skladu sa bukvalnim značenjem riječi - pozitivan broj T takav da je T period od f i nijedan pozitivan broj manji od T nije period od f.

Periodična funkcija ne mora imati najmanji pozitivni period (na primjer, funkcija koja je konstantna ima period bilo kojeg broja općenito i, prema tome, nema najmanji pozitivni period). Mogu se dati i primjeri nekonstantnih periodičnih funkcija koje nemaju najmanji pozitivni period. Ipak, u najzanimljivijim slučajevima periodične funkcije imaju najmanji pozitivan period.

1 Kada kažu "napon u mreži je 220 volti", oni misle na njegovu "rms vrijednost", o čemu ćemo govoriti u § 21. Sam napon se stalno mijenja.

Rice. 8.1. Period tangente i kotangensa.

Konkretno, najmanji pozitivni period i sinusa i kosinusa je 2π. Dokažimo to, na primjer, za funkciju y = sin x. Neka, suprotno onome što kažemo, sinus ima period T takav da je 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Najmanji pozitivni period funkcije koja opisuje oscilacije (kao u našim primjerima 1-3) jednostavno se naziva periodom ovih oscilacija.

Pošto je broj 2π period sinusa i kosinusa, to će biti i period tangente i kotangensa. Međutim, za ove funkcije, 2π nije najmanji period: najmanji pozitivni period tangente i kotangensa je π. Zaista, tačke koje odgovaraju brojevima x i x + π na trigonometrijskom krugu su dijametralno suprotne: od tačke x do tačke x + 2π mora se proći rastojanje π, koje je tačno jednako polovini kruga. Sada, ako koristimo definiciju tangente i kotangensa koristeći ose tangenti i kotangensa, jednakosti tg (x + π) = tg x i ctg (x + π) = ctg x postaju očigledne (slika 8.1). Lako je provjeriti (mi ćemo to predložiti u zadacima) da je π zaista najmanji pozitivni period tangente i kotangensa.

Jedna napomena o terminologiji. Često se riječi "period funkcije" koriste u smislu "najmanjeg pozitivnog perioda". Dakle, ako vas na ispitu pitaju: „Da li je 100π period sinusne funkcije?“, uzmite si vremena s odgovorom, ali pojasnite da li mislite na najmanji pozitivni period ili samo na jedan od perioda.

Trigonometrijske funkcije su tipičan primjer periodičnih funkcija: svaka "ne baš loša" periodična funkcija može se na neki način izraziti u terminima trigonometrijskih funkcija.

Problem 8.1. Pronađite najmanje pozitivne periode funkcija:

				c) y = cos πx;

d) y = cosx + cos(1.01x).

Problem 8.2. Ovisnost napona u mreži naizmjenične struje o vremenu data je formulom U = U0 sin ωt (ovdje je t vrijeme, U je napon, U0 i ω su konstante). Frekvencija naizmjenične struje je 50 Herca (to znači da napon čini 50 oscilacija u sekundi).

a) Pronađite ω, uz pretpostavku da se t mjeri u sekundama;

b) Pronađite (najmanji pozitivni) period U kao funkciju t.

Problem 8.3. a) Dokazati da je najmanji pozitivni period kosinusa 2π;

b) Dokazati da je najmanji pozitivni period tangente π.

Problem 8.4. Neka je najmanji pozitivan period funkcije f jednak T . Dokažite da su svi ostali periodi oblika nT za neke cijele brojeve n.

Problem 8.5. Dokažite da sljedeće funkcije nisu periodične.

>> Periodičnost funkcija y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodičnost funkcija y = sin x, y = cos x

U prethodnim paragrafima koristili smo sedam svojstava funkcije: domena, parna ili neparna, monotonost, ograničenost, maksimalne i minimalne vrijednosti, kontinuitet, opseg funkcija. Ova svojstva smo koristili ili za konstruisanje grafa funkcije (kao što je, na primer, u § 9), ili za čitanje konstruisanog grafa (kao što je, na primer, u § 10). Sada je došao povoljan trenutak da se uvede još jedno (osmo) svojstvo funkcija, koje je savršeno vidljivo na gore konstruiranom grafikoni funkcije y = sin x (vidi sliku 37), y = cos x (vidi sliku 41).

Definicija. Funkcija se naziva periodičnom ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz skupova dvostruki jednakost:

Broj T koji zadovoljava navedeni uvjet naziva se period funkcije y = f (x).
Iz toga slijedi da su, budući da su za bilo koji x, tačne jednakosti:

tada su funkcije y = sin x, y = cos x periodične i broj 2 P služi kao period obe funkcije.
Periodičnost funkcije je obećano osmo svojstvo funkcija.

Sada pogledajte graf funkcije y = sin x (slika 37). Da bismo izgradili sinusoidu, dovoljno je izgraditi jedan od njenih valova (na segmentu, a zatim pomaknuti ovaj val duž x ose za rezultat, koristeći jedan val, izgradit ćemo cijeli graf.

Pogledajmo sa iste tačke gledišta graf funkcije y = cos x (slika 41). Vidimo da je i ovdje, za crtanje grafika, dovoljno prvo nacrtati jedan val (npr. na segmentu

I onda ga pomaknite duž x-ose
Sumirajući, donosimo sljedeći zaključak.

Ako funkcija y \u003d f (x) ima period T, tada da biste nacrtali graf funkcije, prvo morate nacrtati granu (val, dio) grafa na bilo kojem intervalu dužine T (najčešće uzimaju interval sa krajevima u tačkama, a zatim ovu granu pomeriti duž x ose udesno i ulevo na T, 2T, ZT, itd.
Periodična funkcija ima beskonačno mnogo perioda: ako je T period, onda je 2T period, a 3T je period, a -T je period; općenito, period je bilo koji broj oblika KT, gdje je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Obično, ako je moguće, pokušavaju izdvojiti najmanji pozitivni period, naziva se glavni period.
Dakle, bilo koji broj oblika 2pc, gdje je k = ± 1, ± 2, ± 3, period funkcija y = sinn x, y = cos x; 2p je glavni period obje funkcije.

Primjer. Pronađite glavni period funkcije:

a) Neka je T glavni period funkcije y \u003d sin x. Hajde da stavimo

Da bi broj T bio period funkcije, identitet Ho mora da važi, pošto govorimo o pronalaženju glavnog perioda, dobijamo
b) Neka je T glavni period funkcije y = cos 0,5x. Neka je f(x)=cos 0,5x. Tada je f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5 T).

Da bi broj T bio period funkcije, mora biti zadovoljen identitet cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Dakle, 0,5t = 2pp. Ali, pošto govorimo o pronalaženju glavnog perioda, dobijamo 0,5T = 2 l, T = 4l.

Generalizacija rezultata dobijenih u primjeru je sljedeća izjava: glavni period funkcije

A.G. Mordkovich algebra 10 razred

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa diskusije Integrisane lekcije

Argument x, onda se naziva periodičnim ako postoji broj T takav da je za bilo koji x F(x + T) = F(x). Ovaj broj T naziva se period funkcije.

Može postojati nekoliko perioda. Na primjer, funkcija F = const uzima istu vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta, pa se stoga svaki broj može smatrati njezinim periodom.

Obično zanima najmanji period funkcije koji nije nula. Radi kratkoće, jednostavno se zove tačka.

Klasičan primjer periodičnih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangent. Njihov period je isti i jednak 2π, odnosno sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tako dalje. Međutim, naravno, trigonometrijske funkcije nisu jedine periodične.

Što se tiče jednostavnih, osnovnih funkcija, jedini način da se utvrdi njihova periodičnost ili neperiodičnost je putem proračuna. Ali za složene funkcije već postoje neka jednostavna pravila.

Ako je F(x) s periodom T, i za njega je definiran izvod, onda je i ovaj izvod f(x) = F′(x) periodična funkcija s periodom T. Uostalom, vrijednost izvoda na tačka x jednaka je tangenti tangente grafa njenog antiderivata u ovoj tački na x-osu, a pošto se antiderivat periodično ponavlja, derivacija se takođe mora ponavljati. Na primjer, derivacija funkcije sin(x) je cos(x), i ona je periodična. Uzimajući derivaciju cos(x) dobijate -sin(x). Periodičnost ostaje nepromijenjena.

Međutim, obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njen antiderivat F(x) = const*x + C nije.

Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, onda je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante i k nije jednako nuli - također periodična funkcija, a njegov period je T/k. Na primjer sin(2x) je periodična funkcija i njen period je π. Vizuelno, ovo se može predstaviti na sljedeći način: množenjem x nekim brojem, čini se da kompresujete grafik funkcije horizontalno točno onoliko puta

Ako su F1(x) i F2(x) periodične funkcije, a njihovi periodi su jednaki T1 i T2, respektivno, onda i zbir ovih funkcija može biti periodičan. Međutim, njegov period neće biti prost zbir perioda T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 racionalan broj, tada je zbir funkcija periodičan, a njegov period je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku (LCM) perioda T1 i T2. Na primjer, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihove sume biti LCM (12, 15) = 60.

To se može vizualizirati na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim „širinama koraka“, ali ako je omjer njihovih širina racionalan, tada će prije ili kasnije (tačnije, kroz LCM koraka) ponovo postati jednake, i njihov iznos će započeti novi period.

Međutim, ako je omjer perioda iracionalan, onda ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Na primjer, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak od x podijeljen sa 2) i F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednako 2, a T2 je jednako 2π. Omjer perioda je jednak π - iracionalan broj. Dakle, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Svrha: uopštavanje i sistematizacija znanja učenika na temu „Periodnost funkcija“; formirati vještine primjene svojstava periodične funkcije, pronalaženja najmanjeg pozitivnog perioda funkcije, crtanja periodičnih funkcija; promovirati interesovanje za proučavanje matematike; negovati zapažanje, tačnost.

Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, kartice sa zadacima, slajdovi, satovi, ornamenti, elementi narodnog zanata

“Matematika je ono što ljudi koriste da kontrolišu prirodu i sebe”
A.N. Kolmogorov

Tokom nastave

I. Organizaciona faza.

Provjera spremnosti učenika za nastavu. Prezentacija teme i ciljeva časa.

II. Provjera domaćeg zadatka.

Provjeravamo domaće zadatke prema uzorcima, raspravljamo o najtežim tačkama.

III. Generalizacija i sistematizacija znanja.

1. Oralni frontalni rad.

Teorijska pitanja.

1) Formirajte definiciju perioda funkcije
2) Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=sin(x), y=cos(x)
3). Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=tg(x), y=ctg(x)
4) Koristite krug da dokažete ispravnost odnosa:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako nacrtati periodičnu funkciju?

oralne vježbe.

1) Dokažite sljedeće relacije

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokazati da je ugao od 540º jedan od perioda funkcije y= cos(2x)

3. Dokazati da je ugao od 360º jedan od perioda funkcije y=tg(x)

4. Transformirajte ove izraze tako da uglovi uključeni u njih ne prelaze 90º u apsolutnoj vrijednosti.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Gdje ste se susreli sa riječima PERIOD, PERIODIČNOST?

Odgovori učenika: Period u muzici je konstrukcija u kojoj se iznosi manje ili više cjelovita muzička misao. Geološki period je deo jedne ere i podeljen je na epohe sa periodom od 35 do 90 miliona godina.

Poluživot radioaktivne supstance. Periodični razlomak. Periodične publikacije su štampane publikacije koje se pojavljuju u strogo određenim datumima. Periodični sistem Mendeljejeva.

6. Slike prikazuju dijelove grafova periodičnih funkcija. Definirajte period funkcije. Odredite period funkcije.

Odgovori: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdje ste se u životu susreli sa konstrukcijom ponavljajućih elemenata?

Učenici odgovaraju: Elementi ornamenta, narodna umjetnost.

IV. Kolektivno rješavanje problema.

(Rješavanje problema na slajdovima.)

Razmotrimo jedan od načina proučavanja funkcije za periodičnost.

Ova metoda zaobilazi poteškoće povezane s dokazivanjem da je jedan ili drugi period najmanji, a također nema potrebe doticati pitanja o aritmetičkim operacijama nad periodičnim funkcijama i o periodičnosti složene funkcije. Obrazloženje se zasniva samo na definiciji periodične funkcije i na sljedećoj činjenici: ako je T period funkcije, onda je nT(n? 0) njen period.

Zadatak 1. Pronađite najmanji pozitivni period funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rješenje: Pretpostavimo da je T-period ove funkcije. Tada je f(x+T)=f(x) za sve x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Neka dobijemo x=-0,25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo da su svi periodi razmatrane funkcije (ako postoje) među cijelim brojevima. Odaberite među ovim brojevima najmanji pozitivan broj. Ovo 1 . Hajde da proverimo da li je to zapravo period 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Kako je (T+1)=(T) za bilo koji T, onda je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), tj. 1 - tačka f. Kako je 1 najmanji od svih pozitivnih cijelih brojeva, onda je T=1.

Zadatak 2. Pokazati da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična i pronaći njen glavni period.

Zadatak 3. Pronađite glavni period funkcije

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Pretpostavimo T-period funkcije, zatim za bilo koju X odnos

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ako je x=0 onda

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ako je x=-T, onda

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Zbrajanjem dobijamo:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Odaberimo od svih brojeva "sumnjivih" za period najmanji pozitivan i provjerimo da li je to period za f. Ovaj broj

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Dakle, glavni je period funkcije f.

Zadatak 4. Provjerite je li funkcija f(x)=sin(x) periodična

Neka je T period funkcije f. Zatim za bilo koji x

sin|x+T|=sin|x|

Ako je x=0, onda sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Pretpostavimo. Da je za neko n broj π n tačka

razmatrana funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Ovo implicira da n mora biti i paran i neparan u isto vrijeme, što je nemoguće. Stoga ova funkcija nije periodična.

Zadatak 5. Provjerite je li funkcija periodična

f(x)=

Neka je T onda period f

, dakle sinT=0, T=π n, n € Z. Pretpostavimo da je za neko n broj π n zaista period date funkcije. Tada će i broj 2π n biti tačka

Pošto su brojnici jednaki, jednaki su i imenioci, dakle

Dakle, funkcija f nije periodična.

Grupni rad.

Zadaci za grupu 1.

Zadaci za grupu 2.

Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadaci za grupu 3.

Na kraju rada grupe predstavljaju svoja rješenja.

VI. Sumiranje lekcije.

Refleksija.

Nastavnik daje učenicima kartice sa crtežima i nudi da prefarbaju dio prvog crteža u skladu sa stepenom u kojem su, kako im se čini, savladali metode proučavanja funkcije za periodičnost, a dio drugog crteža , u skladu sa njihovim doprinosom u radu na času.

VII. Zadaća

jedan). Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njen glavni period (ako postoji)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima period T=2 i f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Pronađite vrijednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

književnost/

1. Mordkovich A.G. Algebra i početak analize uz dubinsko proučavanje.
2. Matematika. Priprema za ispit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra i početna analiza za 10-11 razred.