• apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena sa njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice, koja se spušta od sredine pravilnog mnogougla na 1 od njegovih stranica);
• bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji konvergiraju na vrhu;
• bočna rebra ( AS , BS , CS , D.S. ) - zajedničke strane bočnih strana;
• vrh piramide (v. S) - tačka koja spaja bočne ivice i koja ne leži u ravni osnove;
• visina ( SO ) - segment okomice, koji je povučen kroz vrh piramide do ravni njene osnove (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i osnova okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
• baza (A B C D) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.

svojstva piramide.

1. Kada su sve bočne ivice iste veličine, tada:

• blizu osnove piramide lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
• bočna rebra formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom;
• osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada bočne ivice formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom, ili kada se krug može opisati blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ove kružnice, tada sve bočne ivice piramide imaju iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:

• blizu osnove piramide, lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
• visine bočnih strana su jednake dužine;
• površina bočne površine je ½ umnožaka opsega baze i visine bočne površine.

3. Sfera se može opisati u blizini piramide ako je osnova piramide poligon oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Prema broju uglova osnove piramide dijele se na trouglaste, četverokutne i tako dalje.

Piramida će trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - pentaedar i tako dalje.

Učenici se susreću sa konceptom piramide mnogo prije nego što su počeli proučavati geometriju. Okrivljuju slavna velika egipatska čuda svijeta. Stoga, započevši proučavanje ovog divnog poliedra, većina studenata to već jasno zamišlja. Svi gore navedeni nišani su u ispravnom obliku. Šta se desilo desna piramida, i koja svojstva ima i o čemu će se dalje raspravljati.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji mnogo definicija piramide. Od davnina je veoma popularan.

Na primjer, Euklid ju je definirao kao čvrstu figuru, koja se sastoji od ravnina, koje se, počevši od jedne, konvergiraju u određenoj tački.

Heron je dao precizniju formulaciju. On je insistirao da je to cifra koja ima osnovu i ravni u obliku trokuta, konvergirajući u jednoj tački.

Na osnovu savremene interpretacije, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-ugla i k ravnih trouglastih figura koje imaju jednu zajedničku tačku.

Pogledajmo izbliza, Od kojih elemenata se sastoji?

• k-ugao se smatra osnovom figure;
• 3-kutne figure strše kao strane bočnog dijela;
• gornji dio, iz kojeg potiču bočni elementi, naziva se vrh;
• svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
• ako se prava linija spusti od vrha do ravni figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo zatvoren u unutrašnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu na strani našeg poliedra, možete nacrtati okomicu, nazvanu apotema.

Broj ivica se izračunava pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana ima poliedar poput piramide može se odrediti izrazom k + 1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura čija je osnovna ravan k-ugao sa jednakim stranama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava koji su jedinstveni za nju. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide, koji ograničavaju bočne elemente, imaju jednake numeričke vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokraki trouglovi.
4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je i centralna tačka upisanog i opisanog.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglom.
6. Sve bočne površine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljujući svim navedenim svojstvima, izvođenje proračuna elemenata je znatno pojednostavljeno. Na osnovu navedenih svojstava obraćamo pažnju na dva znaka:

1. U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati jednake uglove sa bazom.
2. Kada se opisuje kružnica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imat će istu dužinu i jednake uglove sa osnovom.

Kvadrat je baziran

Pravilna četvorougaona piramida - poliedar zasnovan na kvadratu.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Na ravni je prikazan kvadrat, ali su zasnovani na svim svojstvima pravilnog četvorougla.

Na primjer, ako je potrebno spojiti stranu kvadrata s njegovom dijagonalom, tada se koristi sljedeća formula: dijagonala je jednaka proizvodu stranice kvadrata i kvadratnog korijena dva.

Na osnovu pravilnog trougla

Pravilna trouglasta piramida je poliedar čija je osnova pravilan trougao.

Ako je osnova pravilan trokut, a bočne ivice jednake su rubovima baze, onda je takav lik nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

• ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
• vrijednost svih unutrašnjih strana je također 60 stepeni;
• svako lice može poslužiti kao osnova;
• nacrtani unutar figure su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko tipova sekcija avion. Često u školskom kursu geometrije rade sa dvoje:

• aksijalni;
• paralelna osnova.

Aksijalni presek se dobija presecanjem poliedra sa ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne ivice i osu. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Rezna ravnina je ograničena linijama presjeka sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi, aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slučaju imamo u kontekstu figuru sličnu bazi.

Na primjer, ako je osnova kvadrat, tada će presjek paralelan s bazom također biti kvadrat, samo manje veličine.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste se znaci i svojstva sličnosti figura, na osnovu Talesove teoreme. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako se ravnina povuče paralelno s bazom, a ona odsiječe gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se za osnove skraćenog poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokraki.

Da bi se odredila visina skraćenog poliedra, potrebno je ucrtati visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju rješavati u školskom predmetu geometrije su određivanje površine i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste površine:

• površina bočnih elemenata;
• cijelu površinu.

Iz samog naslova je jasno o čemu se radi. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate sabrati površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvući formulu za površinu bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog 3-ugla je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
2. Broj bočnih ravni zavisi od tipa k-ugla u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravni. Stoga je potrebno sabrati površine četiri cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a=POS, gdje je POS obim baze. A izraz 1/2 * Rosn je njegov poluperimetar.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka proizvodu poluperimetra osnove i apoteme: Sside = Rosn * L.

Površina pune površine piramide sastoji se od zbira površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = Sside + Sbase.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Volumen pravilne piramide jednak je proizvodu površine osnovne ravni i visine podeljene sa tri: V=1/3*Sbase*H, gde je H visina poliedra.

Šta je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četvorougaone piramide

četvorougaona piramida Poliedar se naziva poliedar čija je osnova kvadrat, a sve bočne strane su identični jednakokraki trouglovi.

Ovaj poliedar ima mnogo različitih svojstava:

• Njegova bočna rebra i susedni diedarski uglovi su jednaki jedan drugom;
• Područja bočnih strana su ista;
• U osnovi pravilne četvorougaone piramide leži kvadrat;
• Visina spuštena sa vrha piramide siječe se s točkom presjeka dijagonala baze.

Sva ova svojstva olakšavaju pronalaženje. Međutim, prilično često, pored njega, potrebno je izračunati volumen poliedra. Da biste to učinili, primijenite formulu za volumen četverokutne piramide:

Odnosno, volumen piramide jednak je jednoj trećini proizvoda visine piramide i površine baze. Pošto je jednak proizvodu njegovih jednakih stranica, odmah unosimo formulu kvadratne površine u izraz zapremine.
Razmotrimo primjer izračunavanja volumena četverokutne piramide.

Neka je data četvorougaona piramida u čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom a = 6 cm. Bočna strana piramide je b = 8 cm. Nađite zapreminu piramide.

Da bismo pronašli zapreminu datog poliedra, potrebna nam je dužina njegove visine. Stoga ćemo ga pronaći primjenom Pitagorine teoreme. Prvo izračunajmo dužinu dijagonale. U plavom trouglu to će biti hipotenuza. Također je vrijedno zapamtiti da su dijagonale kvadrata jednake jedna drugoj i podijeljene na pola u točki presjeka:


Sada iz crvenog trougla nalazimo visinu koja nam je potrebna h. Biće jednako:

Zamijenite tražene vrijednosti i pronađite visinu piramide:

Sada, znajući visinu, možemo zamijeniti sve vrijednosti u formuli za volumen piramide i izračunati potrebnu vrijednost:

Tako smo, poznavajući nekoliko jednostavnih formula, mogli izračunati zapreminu pravilne četvorougaone piramide. Ne zaboravite da se ova vrijednost mjeri u kubičnim jedinicama.

Formule za zapreminu, bočnu površinu i ukupnu površinu piramide

piramide

Razmotrimo proizvoljnu ravan α, proizvoljan konveksni n-ugao A 1 A 2 ... A n , koja se nalazi u ovoj ravni, i tačka S koja ne leži u ravni α .

Definicija 1. Piramida ( n - piramida uglja) nazovimo figuru koju čine segmenti koji povezuju tačku S sa svim tačkama poligona A 1 A 2 ... A n (Sl. 1) .

Napomena 1. Podsjetimo da je poligon A 1 A 2 ... A n sastoji se od zatvorene isprekidane linije A 1 A 2 ... A n i dio ravni koji je njime omeđen.

Definicija 2.

Tetraedri. Pravilni tetraedri

Definicija 5. Proizvoljna trouglasta piramida naziva se tetraedar.

Izjava. Za bilo koju pravilnu trokutastu piramidu, suprotne ivice su po paru okomite.

Dokaz. Razmotrimo pravilnu trouglastu piramidu SABC i par njenih suprotnih ivica, kao što su AC i BS. Neka D označava sredinu ivice AC. Kako su segmenti BD i SD medijane u jednakokračnim trouglovima ABC i ASC , tada su BD i SD okomite na ivicu AC (slika 4).

gde slovo D označava sredinu ivice AC (slika 6).

Po Pitagorinoj teoremi iz trougla BSO nalazimo

Odgovori.

Formule za zapreminu, bočnu i ukupnu površinu piramide

Uvodimo sljedeću notaciju

Onda su sledeće istinite formule za izračunavanje zapremine, površine bočne i pune površine piramide:

Besplatno