ЩО ТАКЕ ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ

Що таке Золотий Перетин? Що таке Золота Пропорція? Це одне і те ж, просто хто і як більше любить називати.

Спробую в публіцистичній манері, просто, по-життєвому відповісти на питання, які часто задають люди, зокрема слухачі моїх курсів.

Для початку просто корисно знати, що в інтернеті, об'єктивно, запитів на Золотий Перетин в десять разів більше ніж на Золоту Пропорцію, але при цьому є фахівці, які вважають визначення - Золотий Перетин - взагалі помилковим, що викривляє суть даної пропорції і не має права на життя.

Що таке Золотий Перетин або Золота Пропорція простими словами? У примітиві, це ставлення однієї частини, чого небудь, до іншої з коефіцієнтом 1,618 (це 61,8%), або 62% на 38%, грубо прийнято округляти 60% на 40%.

Важливо розуміти, що в Золотий Пропорції «частини» завжди три, третє - це ціле (100%).

Класичне визначення золою Пропорції: менше відноситься до більшого так, як більше відноситься до цілого, з коефіцієнтом 1,618.

Що таке число ФМ? Це і є цей самий коефіцієнт 1,618 між двома частинами. Він показує, на скільки одна частина відрізняється від іншої. Золоте Число - так часто називають цей коефіцієнт.

Золотий Перетин - Пропорція Гармонії Природи. Золотий Перетин в Природі проявиться у всьому, якщо пошукати. Навіть можна сказати, якщо є Золота Пропорція з низкою проявів своїх властивостей, тобто «життя», і є Природна краса.

Формула Золотого Перетини, Золотий Перетин в математиці - це розкриття в цифрах закономірностей проявів відносини частин в Природі. Основні формули проявів Золотого Перетини є навіть в дитячих підручниках.

Гуманітарних пояснень сенсу Золотого Перетини, в глибокому розумінні, значно менше і вони часто овіяні віковими таємницями, але цей час залишилося в минулій епосі, тепер виявлена \u200b\u200bпростота на рівні букваря.

Золотий Перетин Фібоначчі, Золота пропорція Фібоначчі, або Ряд Фібоначчі. це прояв кроків Золотий пропорції в цілих числах, яка стає точної 62% на 38%, або 1,618 - тільки до десятого кроку. По кроку Фібоначчі змінюється вся Природа, ростуть гілочки, листочки, плодяться кролики, комахи і т.д.

Знову уточню, що дитячі підручники барвисто показують це.

Головне треба знати, що починаючи з 0 і 1, все подальші цифри - це сума двох останніх… 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

Оскільки в Природі все починається з двох одиниць, то відповідно до будь-якого числа з ряду треба додавати - 1, наприклад, 21 - це не 21, а 21 +1 (підступне очко і не тільки очко, але і будь-яке число з ряду). Тобто, якщо нам треба 21 яблуко, то з точки зору Природи, по ряду Фібоначчі, їх треба взяти 22 \u003d 21 + 1. Завжди на одну одиницю більше.

Ця, на перший погляд, дивна тонкість, має принципове значення для пошуку «постійних» та «змінних» станів. Наприклад, яка зарплата нас задовольнить, або скільки яблук треба купити, щоб бути задоволеним. Купивши «постійне» кількість (з ряду Фібоначчі) - будеш задоволений, навіть якщо купив менше планованого.

Золотий Перетин Леонардо да Вінчі. Так часто люди ототожнюють генія і пропорцію. Так, це справедливо, хоча, набагато раніше, по ходу історії, різні цивілізації використовували Пропорцію Бога, це і шумери, і єгиптяни ...

Ми звикли, що Золотий Перетин в архітектурі, це доля фахівців, і то рідкісних, або божевільних геніїв. Це помилка. Будь-якій людині, навіть дітям, треба знати елементарні прояви закону Золотого Перетини - базові прийоми природоподобное Технологій, як таблицю множення.

Це дозволить в психології розуміти причинно-наслідкові вчинку в програмному змісті, а також це дозволить легко орієнтуватися в місті на предмет будівель, несучих позитивні стану або за містом, на дачній ділянці на предмет отримання задоволення від перебування на природі і від ведення господарства. Золотий Перетин в Природі і Золотий Перетин в будинку, стануть однаково позитивно впливати на відчуття.

Тепер пару слів про Золотому Перетині в мистецтві. Добре коли твір мистецтва заворожує. Заворожувати може тільки «життя», проявлена \u200b\u200bв творі, яка включається виключно проявами Золотого Перетини, тобто Пріродоподобія.

Є цікавий приклад прояву Золотого Перетини в фотографії. Варто взяти за Пріродоподобію «правильні» розміри рамки, самої фотографії та зображення, то одна і та ж фотографія, яка тільки що була нудною, раптом заживе привабливою магією.

У підсумку, ще раз повторю, Золота Пропорція - це вимикач або вмикач всієї повноти Пріродоподобія, Гармонії, Краси, Життя - з великих літер: рівноваги, сил, здоров'я, задоволення, прибутковості, щастя і любові. Власне, це і є маркер Любові. Причина цього в тому, що правило Золотий Пропорції відображає мірозданческій принцип Триєдності, але про це я розповім в іншій статті.

Корисні статті:

Золотий перетин - це універсальне прояв структурної гармонії. Воно зустрічається в природі, науці, мистецтві - у всьому, з чим може зіткнутися людина. Познайомившись із золотим правилом, людство більше йому не змінювало.

визначення

Найбільш ємне визначення золотого перетину говорить, що менша частина відноситься до більшої, як велика до всього цілого. Приблизна його величина - +1,6180339887. У округленому відсотковому значенні пропорції частин цілого будуть співвідноситися як 62% на 38%. Це співвідношення діє в формах простору і часу. Стародавні бачили в золотому перетині відображення космічного порядку, а Йоганн Кеплер називав його одним з скарбів геометрії. Сучасна наука розглядає золотий перетин як «асиметричну симетрію», називаючи його в широкому сенсі універсальним правилом відображає структуру і порядок нашого світоустрою.

Історія

Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий обіг Піфагор, Давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьенашёл, що в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого розподілу.

Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямокутників.

Платон (427 ... 347 рр. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу.

Мал. Античний циркуль золотого перетину

У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в «Засадах» Евкліда. У 2-ій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого розподілу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II ст. До н.е.), Папп (III в. Н.е.) і ін. У середньовічній Європі з золотим розподілом познайомилися по арабських перекладах «Начал» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки посвяченим.

Подання про золотих пропорціях мали і на Русі, але вперше науково золотий перетин пояснив монах Лука Пачолі в книзі «Божественна пропорція» (1509), ілюстрації до якої імовірно зробив Леонардо да Вінчі. Пачолі вбачав в золотому перетині божественне триєдність: малий відрізок уособлював Сина, великий - Отця, а ціле - Святий дух. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу в живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі.

Безпосереднім чином з правилом золотого перетину пов'язано ім'я італійського математика Леонардо Фібоначчі. В результаті рішення одним із завдань вчений вийшов на послідовність чисел, відому зараз як ряд Фібоначчі: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. На відношення цієї послідовності до золотої пропорції звернув увагу Кеплер: «Влаштована вона так, що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ». Зараз ряд Фібоначчі це арифметична основа для розрахунків пропорцій золотого перетину у всіх його проявах.

Леонардо Да Вінчі також багато часу присвятив вивченню особливостей золотого перетину, швидше за все саме йому належить і сам термін. Його малюнки стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, доводять, що кожен з отриманих при перетині прямокутників дає співвідношення сторін в золотий розподіл.

Згодом правило золотого перетину перетворилося в академічну рутину, і тільки філософ Адольф Цейзинг в 1855 році повернув йому друге життя. Він довів до абсолюту пропорції золотого перетину, зробивши їх універсальними для всіх явищ навколишнього світу. Втім, його «математичне естетство» викликало багато критики.

природа

Астроном XVI в. Йоганн Кеплер назвав золотий перетин одним з скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як в сторону збільшення (зростаючий ряд), так і в бік зменшення (спадний ряд).

Якщо на прямий довільної довжини, відкласти відрізок m, Поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного і спадного рядів.

Мал. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

Мал. цикорій

Навіть не вдаючись у розрахунки, золотий перетин можна без зусиль виявити в природі. Так, під нього потрапляють співвідношення хвоста і тіла ящірки, відстані між листям на гілці, є золотий перетин і в формі яйця, якщо умовну лінію провести через його найбільш широку частину.

Мал. ящірка живородна

Мал. яйце птиці

Білоруський вчений Едуард Сороко, який вивчав форми золотих поділів в природі, відзначав, що все зростаюче і прагне зайняти своє місце в просторі, наділене пропорціями золотого перетину. На його думку, одна з найцікавіших форм це закручування по спіралі.

ще Архімед, Приділяючи увагу спіралі, вивів на основі її форми рівняння, яке і зараз застосовується в техніці. Пізніше Гете зазначав тяжіння природи до спіральним формам, називаючи спіраль "кривою життя». Сучасними вченими було встановлено, що такі прояви спіральних форм в природі як раковина равлики, розташування насіння соняшнику, візерунки павутини, рух урагану, будова ДНК і навіть структура галактик містять в собі ряд Фібоначчі.

Людина

Модельєри і дизайнери одягу всі розрахунки роблять, виходячи з пропорцій золотого перетину. Людина - це універсальна форма для перевірки законів золотого перетину. Звичайно, від природи далеко не у всіх людей пропорції ідеальні, що створює певні складнощі з підбором одягу.

У щоденнику Леонардо да Вінчі є малюнок вписаного в коло голої людини, що знаходиться в двох накладених один на одного позиціях. Спираючись на дослідження римського архітектора Вітрувія, Леонардо так само намагався встановити пропорції людського тіла. Пізніше французький архітектор Ле Корбюзьє, використовуючи «Вітрувіанська людина» Леонардо, створив власну шкалу «гармонійних пропорцій», вплинула на естетику архітектури XX століття. Адольф Цейзинг, досліджуючи пропорційність людини, виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл, а також безліч античних статуй і вивів, що золотий перетин виражає середньостатистичний закон. В людині йому підпорядковані практично всі частини тіла, але головний показник золотого перетину це поділ тіла точкою пупа.

В результаті вимірювань дослідник встановив, що пропорції чоловічого тіла 13: 8 ближче до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла - 8: 5.

Мистецтво просторових форм

Художник Василь Суриков говорив, «що в композиції є непорушний закон, коли в картині не можна нічого ні прибрати, ні додати, навіть зайву крапку поставити не можна, це справжня математика». Довгий час художники слідчі цим законом інтуїтивно, але після Леонардо да Вінчі процес створення живописного полотна вже не обходиться без рішення геометричних задач. наприклад, Альбрехт Дюрер для визначення точок золотого перетину використовував винайдений ним пропорційний циркуль.

Мистецтвознавець Ф. В. Ковальов, детально вивчивши картину Миколи Ге «Олександр Сергійович Пушкін в селі Михайлівському», зазначає, що кожна деталь полотна будь-то камін, етажерка, крісло або сам поет строго вписані в золоті пропорції. Дослідники золотого перетину невтомно вивчають і заміряють шедеври архітектури, стверджуючи, що вони стали такими, тому що створені за золотим канонам: в їхньому списку Великі піраміди Гізи, Собор Паризької Богоматері, Храм Василя Блаженного, Парфенон.

І сьогодні в будь-якому мистецтві просторових форм намагаються слідувати золотого перетину, так як вони, на думку мистецтвознавців, полегшують сприйняття твору і формують у глядача естетичне відчуття.

Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіті і перетворенні органічних тел. Це він ввів в науковий обіг термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював ряд глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якого-небудь тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, в будові деяких хімічних сполук, в планетарних і космічних системах, в генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як вказано вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.

Золотий перетин і симетрія

Золотий перетин можна розглядати саме по собі, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристаллограф Г.В. Вульф (1863 ... 1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золоте поділ не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії. Відповідно до сучасних уявлень золотий розподіл - це асиметрична симетрія. У науку про симетрії увійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, зростання. Так, в природі статична симетрія представлена \u200b\u200bбудовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається в величинах золотого перетину зростаючого або спадної ряду.

Слово, звук і кінострічка

Форми тимчасового мистецтва по-своєму демонструють нам принцип золотого перерізу. Літературознавці, наприклад, звернули увагу, що найбільш популярне кількість рядків у віршах пізнього періоду творчості Пушкіна відповідає ряду Фібоначчі - 5, 8, 13, 21, 34.

Діє правило золотого перетину і в окремо взятих творах російського класика. Так кульмінаційним моментом «Пікової дами» є драматична сцена Германа і графині, що закінчується смертю останньої. У повісті 853 рядки, а кульмінація припадає на 535 рядку (853: 535 \u003d 1,6) - це і є точка золотого перетину.

Радянський музикознавець Е. К. Розенов зазначає разючу точність співвідношень золотого перетину в строгих і вільних формах творів Йоганна Себастьяна Баха, що відповідає вдумливому, зосередженому, технічно вивіреного стилю майстра. Це справедливо і щодо видатних творінь інших композиторів, де на точку золотого перетину звичайно доводиться найбільш яскраве або несподіване музичне рішення.

Кінорежисер Сергій Ейзенштейн сценарій свого фільму «Броненосець Потьомкін» свідомо погоджував з правилом золотого перетину, розділивши стрічку на п'ять частин. У перших трьох розділах дія розгортається на кораблі, а в останніх двох - у Одесі. Перехід на сцени в місті і є золота середина фільму.

Запрошуємо до обговорення теми в нашій групі -

Геометрія - точна і досить складна наука, яка при цьому є своєрідним мистецтвом. Лінії, площині, пропорції - все це допомагає створювати багато дійсно прекрасних речей. І як не дивно, в основі цього лежить саме геометрія в самих різних її формах. У цій статті ми розглянемо одну дуже незвичайну річ, яка безпосередньо пов'язана з цим. Золотий перетин - це саме той геометричних підхід, про який піде мова.

Форма предмета і її сприйняття

Люди найчастіше орієнтуються на форму предмета для того, щоб розпізнавати його серед мільйонів інших. Саме по формі ми визначаємо, що за річ лежить перед нами або стоїть далеко. Ми в першу чергу дізнаємося людей по формі тіла і обличчя. Тому з упевненістю можемо стверджувати, що сама форма, її розміри і вид - одна з найважливіших речей у сприйнятті людини.

Для людей форма чого б то ні було представляє інтерес з двох головних причин: або це диктується життєвою необхідністю, або ж викликається естетичною насолодою від краси. Найкраще зорове сприйняття і відчуття гармонії і краси найчастіше приходить, коли людина спостерігає форму, в побудові якої використовувалися симетрія і особливе співвідношення, яке і називається золотим перетином.

Поняття золотого перетину

Отже, золотий перетин - це золота пропорція, яка також є гармонійним розподілом. Для того щоб пояснити це більш зрозуміло, розглянемо деякі особливості форми. А саме: форма є чимось цілим, ну а ціле, в свою чергу, завжди складається з деяких частин. Ці частини, найімовірніше, мають різні характеристики, по крайней мере різними розмірами. Ну а такі розміри завжди знаходяться в певному співвідношенні як між собою, так і по відношенню до цілого.

Значить, іншими словами, ми можемо стверджувати, що золотий перетин - це співвідношення двох величин, яке має свою формулу. Використання такого співвідношення при створенні форми допомагає зробити її максимально красивою і гармонійною для людського ока.

З давньої історії золотого перетину

Співвідношення золотого перетину часто використовують в самих різних сферах життя прямо сьогодні. Але історія цього поняття йде ще в стародавні часи, коли тільки зароджувалися такі науки, як математика і філософія. Як наукове поняття золотий перетин стало звичним за часів Піфагора, а саме в VI столітті до нашої ери. Але ще до того знання про подібному співвідношенні на практиці використовували в Давньому Єгипті і Вавилоні. Яскравим свідченням цього є піраміди, для побудови яких використовували саме таку золоту пропорцію.

новий період

Епоха Відродження стала новим подихом для гармонійного розподілу, особливо завдяки Леонардо да Вінчі. Це співвідношення все більше почали використовувати як в таких як геометрія, так і в мистецтві. Учення і художники стали більш глибоко вивчати золотий перетин і створювати книги, які розглядають це питання.

Одна з найважливіших історичних робіт, пов'язаних із золотою пропорцією, - це книга Луки Панчолі під назвою «Божественна пропорція». Історики підозрюють, що ілюстрації цієї книги були виконані самим Леонардо да Вінчі.

золотий пропорції

Математика дає дуже чітке визначення пропорції, яке говорить про те, що вона є рівністю двох співвідношень. Математично це можна виразити таким рівністю: а: b \u003d з: d, де а, b, с, d - це деякі певні значення.

Якщо розглядати пропорцію відрізка, поділеного на дві частини, то можемо зустріти всього декілька ситуацій:

• Відрізок розділений на дві абсолютно рівні частини, а значить, АВ: АС \u003d АВ: ВС, якщо АВ - це точна початку і кінця відрізка, а С - точка, яка і розділяє відрізок на дві рівні частини.
• Відрізок розділений на дві нерівні частини, які можуть перебувати в самому різному співвідношенні між собою, а значить, тут вони абсолютно непропорційні.
• Відрізок розділений так, що АВ: АС \u003d АС: ВС.

Що ж стосується золотого перетину, то це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні між собою частини, коли весь відрізок відноситься до більшої частини, як і сама велика частина відноситься до меншої. Існує й інша формулювання: менший відрізок так відноситься до більшого, як і більший до всього відрізку. В математичному співвідношенні це виглядає наступним чином: а: b \u003d b: з або з: b \u003d b: а. Саме такий вигляд має формула золотого перетину.

Золота пропорція в природі

Золотий перетин, приклади якого ми зараз розглянемо, відноситься до неймовірних явищ в природі. Це дуже гарні приклади того, що математика - це не просто цифри і формули, а наука, яка має більш ніж реальне відображення в природі і нашому житті взагалі.

Для живих організмів одна з головних життєвих завдань - це зростання. Таке прагнення зайняти своє місце в просторі, по суті, здійснюється в декількох формах - зростання вгору, практично горизонтальне расстилание по землі або закручування по спіралі на якійсь опорі. І як би не було це неймовірно, багато рослин ростуть відповідно до золотий пропорцією.

Ще один майже неймовірний факт - це співвідношення в тілі ящірок. Їх тіло виглядає досить приємно для людського ока, і це можливо завдяки тому ж золотому співвідношенню. Якщо бути точніше, то довжина їх хвоста відноситься до довжини всього тіла як 62: 38.

Цікаві факти про правила золотого перетину

Золотий перетин - це воістину неймовірне поняття, а значить, на протязі всієї історії ми можемо зустріти багато дійсно цікавих фактів про такій пропорції. Представляємо вам деякі з них:

Золотий перетин в людському тілі

У цьому розділі потрібно згадати дуже значиму персону, а саме - С. Цейзинга. Це німецький дослідник, який провів величезну роботу в сфері вивчення золотий пропорції. Він опублікував працю під назвою «Естетичні дослідження». У своїй роботі він представив золотий перетин як абсолютне поняття, яке є універсальним для всіх явищ як в природі, так і в мистецтві. Тут можна згадати золотий перетин піраміди поряд з гармонійної пропорцією людського тіла і так далі.

Саме Цейзинг зміг довести, що золотий перетин, по суті, є середнім статистичним законом для людського тіла. Це було показано на практиці, адже під час своєї роботи йому довелося вимірювати дуже багато людських тіл. Історики вважають, що в цьому досвіді брали участь більше двох тисяч людей. За дослідження Цейзинга, головний показник золотого співвідношення - це поділ тіла точкою пупка. Так, чоловіче тіло з середнім співвідношенням 13: 8 трохи ближче до золотого перетину, ніж жіноче, де число золотого перетину становить 8: 5. Також золоту пропорцію можна спостерігати в інших частинах тіла, таких як, наприклад, рука.

Про побудову золотого перетину

Насправді, побудова золотого перетину - справа нехитра. Як ми бачимо, ще стародавні люди справлялися з цим досить легко. Що вже говорити про сучасних знаннях і технологіях людства. У цій статті ми не будемо показувати, як подібне можна зробити просто на листку паперу і з олівцем в руках, але з упевненістю заявимо, що це, насправді, можливо. Більш того, зробити це можна далеко не одним способом.

Так як це досить нескладна геометрія, золотий перетин є досить простим для побудови навіть в школі. Тому інформацію про це можна легко знайти в спеціалізованих книгах. Вивчаючи золотий перетин 6 клас повністю здатний зрозуміти принципи його побудови, а значить, навіть діти досить розумні для того, щоб осилити подібне завдання.

Золота пропорція в математиці

Перше знайомство із золотим перетином на практиці починається з простого поділу відрізка прямої все в тих же пропорціях. Найчастіше це реалізується за допомогою лінійки, циркуля і, звичайно ж, олівця.

Відрізки золотий пропорції виражають як нескінченну ірраціональну дріб AE \u003d 0,618 ..., якщо АВ приймається за одиницю, ВЕ \u003d 0,382 ... Для того щоб зробити ці обчислення більш практичними, дуже часто використовують не точні, а наближені значення, а саме - 0 , 62 і 0,38. Якщо ж відрізок АВ приймати за 100 частин, то більша його частина буде дорівнює 62, ну а менша - 38 частинам відповідно.

Головне властивість золотого співвідношення можна виразити рівнянням: х 2 х-1 \u003d 0. При вирішенні ми отримуємо наступні корені: х 1,2 \u003d. Хоча математика і є точною і строгою наукою, як і її розділ - геометрія, але саме такі властивості, як закономірності золотого перетину, наводять таємничість на цю тему.

Гармонія в мистецтві через золотий перетин

Для того щоб підвести підсумки, розглянемо коротко то, про що вже говорили.

В основному під правило золотого співвідношення підпадає багато зразків мистецтва, де дотримується співвідношення близьке до 3/8 і 5/8. Це і є груба формула золотого перетину. У статті вже дуже багато згадувалося про приклади використання перетину, але ми ще раз подивимося на нього через призму стародавнього і сучасного мистецтва. Отже, найяскравіші приклади з давніх часів:

Що стосується вже напевно свідомого використання пропорції, то, починаючи з часів Леонардо да Вінчі, вона увійшла в використання практично у всіх галузях життя - від науки і до мистецтва. Навіть біологія і медицина довели, що золоте співвідношення працює навіть в живих системах і організмах.

Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий обіг Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого деленія.Грекі були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямоугольніков.Платон (427 ... 347 рр. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог "Тімей" присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого деленія.В фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого деленія.В дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в "Засадах" Евкліда. У 2-ій книзі "Почав" дається геометрична побудова золотого розподілу Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II ст. До н.е.), Папп (III в. Н.е.) і ін. У середньовічній Європі з золотим розподілом познайомилися з арабським перекладам "Почав" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу по геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 року в Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її "божественну суть" як вираження божественної триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духу святого).

Леонардо Да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він справляв перетину стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожен раз отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і думав був учинити ".

Судячи по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце в своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перетину. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Йоганн Кеплер назвав золотий перетин одним з скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе "Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ".

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як в сторону збільшення (зростаючий ряд), так і в бік зменшення (спадний ряд).

Якщо на прямий довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M.

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося в академічний канон і, коли з часом в мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, в запалі боротьби "разом з водою виплеснули і дитину". Знову "відкрито" золотий перетин було в середині XIX в. У 1855 р німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". З Цейзинг сталося саме те, що і повинно було неминуче відбутися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції "математичною естетикою".

Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідженню грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається в відрізках прямої і в цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони складають ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до нескінченності в одну і в іншу сторону. Наступна його книга мала назву "Золоте поділ як основний морфологічний закон у природі і мистецтві". У 1876 р в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано ні один твір живопису.
В кінці XIX - початку XX ст. з'явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину в творах мистецтва і архітектури. З розвитком дизайну і технічної естетики чинність закону золотого перетину поширилася на конструювання машин, меблів і т.д.

ряд Фібоначчі
З історією золотого перетину непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р вийшов у світ його математична праця "Книга про абаці" (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, і т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 \u003d 5; 3 + 5 \u003d 8; 5 + 8 \u003d 13, 8 + 13 \u003d 21; 13 + 21 \u003d 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого ділення. Так, 21: 34 \u003d 0,617, а 34: 55 \u003d 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ...
на початок

Узагальнене золотий перетин
Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному і в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого перерізу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матіясевіч з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ю проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення ряду кібернетичних задач (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал. Одним з досягнень в цій області є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі і узагальнених золотих перетинів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: в першому випадку кожне число є сума попереднього числа з самим собою 2 \u003d 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і " двійковий "ряд, і ряд Фібоначчі? А може бути, ця формула дасть нам нові числові безлічі, що володіють якимись новими унікальними властивостями?

Дійсно, задамося числовим параметром S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через? S (n), то отримаємо загальну формулу? S (n) \u003d? S (n - 1) +? S (n - S - 1).

Очевидно, що при S \u003d \u200b\u200b0 з цієї формули ми одержимо "двійковий" ряд, при S \u003d \u200b\u200b1 - ряд Фібоначчі, при S \u003d \u200b\u200b2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перетину xS + 1 - xS - 1 \u003d 0.

Неважко показати, що при S \u003d \u200b\u200b0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S \u003d \u200b\u200b1 -знайомиться класичне золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються в межі з золотими S-пропорціями! Математики в таких випадках кажуть, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-перетинів в природі, призводить білоруський вчений Е.М. Сороко в книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука і техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення і т. П) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в самоорганізованих сістемах.С допомогою кодів золотої S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій з цілими коеффіціентамі.Прінціпіальное відміну такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що представляють собою золоті S-пропорції, при S\u003e 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять "з голови на ноги" історично сформовану ієрархію відносин між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" числа натуральні; потім їх відносини - числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - на світло з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, в десяткової, пятеричной, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідної першооснови були обрані натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні чісла.Своего роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснови, почала числення якої вибрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже виражаються інші дійсні чісла.В такій системі числення будь-яке натуральне число завжди можна подати у вигляді кінцевої, - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-який з золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому "ірраціональна" арифметика, наділений великою математичною простотою і витонченістю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійкової і "фібоначчійовий" арифметик.

Коли дивимося на гарний пейзаж, ми охоплених все навколо. Потім приділяємо увагу деталям. Річці дзюркотливої \u200b\u200bабо дереву величного. Бачимо поле зелене. Помічаємо, як вітер його обіймає ніжно і журя хитає з боку в бік траву. Чи можемо відчути аромат природи і почути спів птахів ... Все гармонійно, все взаємопов'язано і дає почуття умиротворення, почуття прекрасного. Сприйняття йде поетапно трохи меншими долямі.Куда ви сядете на лаві: на край, на середину або в будь-яке місце? Більшість відповість, що трохи далі від середини. Приблизне число в пропорції лави від вашого тіла до краю буде 1,62. Так і в кінотеатрі, в бібліотеці, - всюди. Інстинктивно створюємо гармонію красу, яку в усьому світі називаю "Золотим перетином".

Золотий перетин в математиці

Ви замислювалися, чи можна визначити міру красі? Виявляється, з математичної точки зору можливо. Проста арифметика дає поняття про абсолютної гармонії, яка і відображається в бездоганній красі, завдяки принципу Золотого перетину. Архітектурні споруди ін. Єгипту і Вавилона першими почали відповідати даним принципом. Але сформулював принцип першим Піфагор. У математиці це поділ відрізка трохи більше половини, а точніше 1,628. Дане співвідношення представляється як φ \u003d 0,618 \u003d 5/8. Маленький відрізок \u003d 0,382 \u003d 3/8, а повністю відрізок приймаємо за одиницю.

А: B \u003d B: C і C: B \u003d B: A

Від принципу золотого перетину відштовхувалися і великі письменники, архітектори, скульптори, музиканти, - люди мистецтва, і християни, які малюють піктограми (п'ятикутні зірки і т.д.) з його елементами в храмах, рятуючись від нечисті, і люди, які вивчають точні науки, вирішальна проблеми кібернетики.

Золотий перетин в природі і явищах.

Все на землі набуваючи форму росте вгору, в сторону або по спіралі. Останньому пильно приділив увагу Архімед, склавши рівняння. По ряду Фібоначчі влаштована шишка, черепашка, ананас, соняшник, ураган, павутина, молекула ДНК, яйце, бабка, ящірка ...

Тіціріус довів, що вся наша Всесвіт, космос, галактичний простір, - все сплановано виходячи з Золотого принципу. Абсолютно у всьому живому і не живому можна прочитати вищу красу.

Золотий перетин в людині.

Кістки продумані природою теж згідно пропорції 5/8. Це і виключає застереження людей про "кістки широкі". Більшість частин тіла в співвідношеннях застосовуються до рівняння. Якщо все частинки тіла підкоряються Золотий формулою, тоді зовнішні дані будуть вельми привабливі і ідеально складені.

Відрізок від плечей до верху голови і її розміру \u003d 1: 1 .618
Відрізок від пупа до верху голови і від плечей до верху голови \u003d 1: 1 .618
Відрізок від пупа до колін і від них до ступень ніг \u003d 1: 1 .618
Відрізок від підборіддя до крайньої точки на верхній губі і від неї до носа \u003d 1: 1 .618


Усе відстані особи дають загальне уявлення про ідеальні пропорції, що привертають погляд.
Пальці, долоню, теж підкоряються закону. Необхідно ще відзначити, що відрізок розставлених рук з тулубом дорівнює росту людини. Так що там, всі органи, кров, молекули, відповідають Золотий формулою. Справжня гармонія всередині і зовні нашого простору.

Параметри з фізичної сторони оточуючих факторів.

Гучність звуку. Найвища точка звуку, що викликає некомфортне відчуття і біль у вушній раковині \u003d 130 децибелам. Це число можна розділити пропорцією 1,618, тоді виходить, що звук людського крику буде \u003d 80 децибел.
Тим же методом рухаючись далі отримуємо 50 децибел, що характерно для нормальної гучності мови людини. І останній звук, який отримаємо завдяки формулі - приємний звук шепоту \u003d 2,618.
За даним принципом можна визначити оптимально-комфортне, мінімальне і максимальне число температури, тиску, вологості. Проста арифметика гармонії закладена у всьому нашому оточенні.

Золотий перетин в мистецтві.

В архітектурі найвідоміші будівлі і споруди: єгипетські піраміди, піраміди Майя в Мексиці, Нотр-дам де Парі, Парфенон грецький, Петровський палац, та інші.

У музиці: Аренский, Бетховен, Гаван, Моцарт, Шопен, Шуберт, і інші.

У живописі: майже всі картини знаменитих художників написані згідно перетину: різнобічний Леонардо да Вінчі і неповторний Мікеланджело, такі рідні в писанні Шишкін з Суриковим, ідеал найчистішого мистецтва - іспанець Рафаель, і подарував ідеал жіночої краси - італієць Боттічеллі, і багато-багато інших.

У поезії: упорядкована мова Олександра Сергійовича Пушкіна, особливо "Євгеній Онєгін" і вірш "Швець", поезія чудових Шота Руставелі та Лермонтова, і багатьох інших великих майстрів слова.

У скульптурі: статуя Аполлона Бельведерського, Зевса Олімпійського, прекрасної Афіни і граціозною Нефертіті, і інші скульптури і статуї.

У фотографії використовується "правило третьої". Принцип такий: композиція ділиться на 3 рівні частини по вертикалі і по горизонталі, ключові моменти розташовуються або на лініях перетину (горизонт), або в точках перетинів (об'єкті). Таким чином пропорції рівні 3/8 і 5/8.
У відповідно до Золотого перетину є багато вивертів, які варто розібрати детально. Їх опишу докладно в наступній.