(एक परिवर्तनशील श्रृंखला की परिभाषा; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के घटक; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के तीन रूप; एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण की समीचीनता; निष्कर्ष जो निर्मित श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं)

एक परिवर्तनशील श्रृंखला गैर-घटते क्रम में व्यवस्थित नमूने के सभी तत्वों का एक क्रम है। वही तत्व दोहराए जाते हैं

भिन्नात्मक - ये मात्रात्मक आधार पर निर्मित श्रृंखलाएँ हैं।

विभिन्न वितरण श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: रूपांतर और आवृत्तियां:

वेरिएंट वितरण की विविधता श्रृंखला में मात्रात्मक विशेषता के संख्यात्मक मान हैं। वे सकारात्मक या नकारात्मक, निरपेक्ष या सापेक्ष हो सकते हैं। इसलिए, जब उद्यमों को आर्थिक गतिविधि के परिणामों के अनुसार समूहीकृत किया जाता है, तो विकल्प सकारात्मक होते हैं - यह लाभ है, और नकारात्मक संख्या - यह एक नुकसान है।

फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है और यह संपूर्ण जनसंख्या के तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है।

फ़्रीक्वेंसी वे फ़्रीक्वेंसी हैं जिन्हें सापेक्ष मूल्यों (इकाइयों या प्रतिशत के अंश) के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का योग एक या 100% के बराबर होता है। बारंबारताओं को बारंबारताओं से बदलने से विभिन्न संख्याओं के प्रेक्षणों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला की तुलना करना संभव हो जाता है।

विविधता श्रृंखला के तीन रूप हैं:क्रमबद्ध श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला।

एक क्रमबद्ध श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग मात्रात्मक डेटा को समूहों में विभाजित करना आसान बनाता है, तुरंत एक विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का पता लगाता है, उन मूल्यों को उजागर करता है जो सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।

विविधता श्रृंखला के अन्य रूप अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों में भिन्नता की प्रकृति के अनुसार संकलित समूह सारणी हैं। भिन्नता की प्रकृति से, असतत (असंतत) और निरंतर संकेत प्रतिष्ठित हैं।

एक असतत श्रृंखला एक ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला है, जिसका निर्माण एक असंतत परिवर्तन (असतत संकेत) वाले संकेतों पर आधारित होता है। उत्तरार्द्ध में टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि शामिल हैं। ये संकेत केवल कुछ निश्चित मानों की सीमित संख्या ले सकते हैं।

एक असतत विविधता श्रृंखला एक तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं। पहला कॉलम विशेषता के विशिष्ट मूल्य को इंगित करता है, और दूसरा - विशेषता के विशिष्ट मूल्य के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या।

यदि किसी चिन्ह में निरंतर परिवर्तन होता है (आय की राशि, कार्य अनुभव, किसी उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत, आदि, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मूल्य ले सकता है), तो इस संकेत के लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाई जानी चाहिए।

यहां समूह तालिका में भी दो स्तंभ हैं। पहला अंतराल "से - से" (विकल्प) में सुविधा के मूल्य को इंगित करता है, दूसरा - अंतराल (आवृत्ति) में शामिल इकाइयों की संख्या।

फ़्रीक्वेंसी (पुनरावृत्ति आवृत्ति) - विशेषता मानों के एक विशेष प्रकार के दोहराव की संख्या, निरूपित fi , और अध्ययन की गई आबादी के आयतन के बराबर आवृत्तियों का योग, निरूपित

जहाँ k विशेषता मान विकल्पों की संख्या है

बहुत बार, तालिका को एक स्तंभ के साथ पूरक किया जाता है जिसमें संचित आवृत्तियों एस की गणना की जाती है, जो दर्शाती है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का एक विशेषता मान इस मान से अधिक नहीं है।

एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूह एक विशेषता के अनुसार बनाए जाते हैं जो अलग-अलग होते हैं और केवल पूर्णांक मान लेते हैं।

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूहीकरण विशेषता, जो समूहीकरण का आधार बनती है, एक निश्चित अंतराल में भिन्नात्मक सहित कोई भी मान ले सकती है।

एक अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की भिन्नता के अंतराल का एक क्रमबद्ध सेट है, जो उनमें से प्रत्येक में गिरने वाली मात्रा के मूल्यों की संगत आवृत्तियों या आवृत्तियों के साथ है।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना समीचीन है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक असतत भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला में प्रकट होती है, अर्थात। असतत सुविधा के लिए विकल्पों की संख्या काफी बड़ी है।

इस श्रृंखला से पहले ही कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक भिन्नता श्रृंखला (माध्यिका) का औसत तत्व माप के सबसे संभावित परिणाम का अनुमान हो सकता है। परिवर्ती श्रेणी का पहला और अंतिम तत्व (अर्थात नमूने का न्यूनतम और अधिकतम तत्व) नमूने के तत्वों के प्रसार को दर्शाता है। कभी-कभी, यदि पहला या अंतिम तत्व शेष नमूने से बहुत अलग होता है, तो उन्हें माप परिणामों से बाहर रखा जाता है, यह देखते हुए कि ये मान किसी प्रकार की सकल विफलता के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए थे, उदाहरण के लिए, प्रौद्योगिकी।

अभ्यास 1

वितरण की विभिन्न श्रृंखला

विविधता श्रृंखलाया वितरण के निकटविशेषता के मूल्यों में वृद्धि (अधिक बार) या घटते (कम अक्सर) के अनुसार जनसंख्या इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण को कहा जाता है और विशेषता के एक या दूसरे मूल्य के साथ इकाइयों की संख्या की गणना की जाती है।

3 . हैं मेहरबानवितरण रेंज:

1) रैंक की गई पंक्ति- यह अध्ययन की गई विशेषता के आरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की एक सूची है; यदि जनसंख्या इकाइयों की संख्या काफी बड़ी है, तो क्रमबद्ध श्रृंखला बोझिल हो जाती है, और ऐसे मामलों में, अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों के अनुसार जनसंख्या इकाइयों को समूहीकृत करके वितरण श्रृंखला का निर्माण किया जाता है (यदि विशेषता एक छोटी संख्या लेती है मूल्यों का, फिर एक असतत श्रृंखला का निर्माण किया जाता है, और अन्यथा, एक अंतराल श्रृंखला);

2) असतत श्रृंखला- यह दो स्तंभों (पंक्तियों) से युक्त एक तालिका है - एक भिन्न विशेषता के विशिष्ट मान एक्स मैंऔर सुविधा के दिए गए मान के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या एफ मैं- आवृत्तियों; असतत श्रृंखला में समूहों की संख्या चर विशेषता के वास्तव में मौजूदा मूल्यों की संख्या से निर्धारित होती है;

3) अंतराल श्रृंखला- यह दो स्तंभों (पंक्तियों) से युक्त एक तालिका है - एक भिन्न चिह्न के अंतराल एक्स मैंऔर किसी दिए गए अंतराल (आवृत्तियों) के भीतर आने वाली जनसंख्या इकाइयों की संख्या, या जनसंख्या की कुल संख्या (आवृत्तियों) में इस संख्या का अनुपात।

किसी दी गई जनसंख्या में व्यक्तिगत विकल्प कितनी बार आते हैं, यह दर्शाने वाली संख्याएँ कहलाती हैं आवृत्तियोंया तराजूभिन्न और लैटिन वर्णमाला के एक छोटे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है एफ. परिवर्ती श्रेणी की बारंबारताओं का कुल योग इस समष्टि के आयतन के बराबर होता है, अर्थात्।

कहाँ पे क- समूहों की संख्या, एनटिप्पणियों की कुल संख्या, या जनसंख्या का आकार है।

फ़्रीक्वेंसी (वज़न) को न केवल निरपेक्ष, बल्कि सापेक्ष संख्याओं में भी व्यक्त किया जाता है - एक इकाई के अंशों में या इस सेट को बनाने वाले वेरिएंट की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में। ऐसे मामलों में, वज़न को कहा जाता है सापेक्ष आवृत्तियोंया आवृत्तियों।विवरण का कुल योग एक के बराबर है

या
,

यदि आवृत्तियों को अवलोकनों की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है पी।आवृत्तियों द्वारा आवृत्तियों का प्रतिस्थापन अनिवार्य नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह उन मामलों में उपयोगी और आवश्यक भी हो जाता है जब एक दूसरे के साथ तुलना करना आवश्यक होता है जो उनके संस्करणों में बहुत भिन्न होते हैं।

इस पर निर्भर करता है कि विशेषता कैसे बदलती है - अलग-अलग या लगातार, एक विस्तृत या संकीर्ण सीमा में - सांख्यिकीय आबादी को वितरित किया जाता है अंतराल रहितया मध्यान्तरभिन्नता रेखाएँ। पहले मामले में, आवृत्तियां सीधे विशेषता के रैंक किए गए मूल्यों को संदर्भित करती हैं, जो अलग-अलग समूहों या भिन्नता श्रृंखला के वर्गों की स्थिति प्राप्त करती हैं, दूसरे में, वे व्यक्तिगत अंतराल या अंतराल से संबंधित आवृत्तियों की गणना करती हैं (से - to), जिसमें इस सेट के लिए न्यूनतम से लेकर अधिकतम विकल्पों तक, विशेषता के समग्र रूपांतर को विभाजित किया गया है। ये रिक्त स्थान, या वर्ग रिक्त स्थान, चौड़ाई के बराबर हो भी सकते हैं और नहीं भी। यहाँ से वे भेद करते हैं समान और असमान अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला।असमान अंतराल श्रृंखला में, वर्ग अंतराल की चौड़ाई में परिवर्तन के साथ बारंबारता वितरण की प्रकृति बदल जाती है। जीव विज्ञान में असमान-अंतराल समूह का प्रयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है। एक नियम के रूप में, बायोमेट्रिक डेटा को समान अंतराल श्रृंखला में वितरित किया जाता है, जो न केवल भिन्नता के पैटर्न की पहचान करने की अनुमति देता है, बल्कि विविधता श्रृंखला के सारांश संख्यात्मक विशेषताओं की गणना और वितरण श्रृंखला की एक दूसरे के साथ तुलना करने की सुविधा भी देता है।

एक समान-अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण शुरू करते समय, वर्ग अंतराल की चौड़ाई को सही ढंग से रेखांकित करना महत्वपूर्ण है। तथ्य यह है कि एक मोटा समूह (जब बहुत व्यापक वर्ग अंतराल निर्धारित किया जाता है) भिन्नता की विशिष्ट विशेषताओं को विकृत करता है और श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की सटीकता में कमी की ओर जाता है। अत्यधिक संकीर्ण अंतराल का चयन करते समय, संख्यात्मक विशेषताओं के सामान्यीकरण की सटीकता बढ़ जाती है, लेकिन श्रृंखला बहुत विस्तारित हो जाती है और भिन्नता की स्पष्ट तस्वीर नहीं देती है।

एक अच्छी तरह से परिभाषित विविधता श्रृंखला प्राप्त करने के लिए और इससे गणना की गई संख्यात्मक विशेषताओं की पर्याप्त सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, विशेषता की भिन्नता (न्यूनतम से अधिकतम विकल्पों की सीमा में) को ऐसे कई समूहों या वर्गों में विभाजित करना आवश्यक है जो दोनों आवश्यकताओं को पूरा करेंगे। एक विविधता श्रृंखला का निर्माण करते समय नियोजित समूहों या वर्गों की संख्या से एक विशेषता की विविधता की सीमा को विभाजित करके इस समस्या को हल किया जाता है:

,

कहाँ पे एच- अंतराल मूल्य; एक्सएम ए एक्स आई एक्सन्यूनतम - कुल में अधिकतम और न्यूनतम मान; कसमूहों की संख्या है।

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, समूहों की इष्टतम संख्या (चरित्र अंतराल) चुनना और अंतराल की लंबाई (सीमा) निर्धारित करना आवश्यक है। चूंकि वितरण श्रृंखला का विश्लेषण विभिन्न अंतरालों में आवृत्तियों की तुलना करता है, इसलिए यह आवश्यक है कि अंतराल की लंबाई स्थिर हो। यदि आपको असमान अंतराल के साथ वितरण की एक अंतराल श्रृंखला से निपटना है, तो तुलनीयता के लिए आपको अंतराल की इकाई के लिए आवृत्ति या आवृत्ति लाने की आवश्यकता है, परिणामी मूल्य कहा जाता है घनत्व ρ , अर्थात्
.

समूहों की इष्टतम संख्या को चुना जाता है ताकि समुच्चय में विशेषता मूल्यों की विविधता पर्याप्त रूप से परिलक्षित हो और साथ ही वितरण की नियमितता, इसका आकार यादृच्छिक आवृत्ति उतार-चढ़ाव से विकृत न हो। यदि बहुत कम समूह हैं, तो भिन्नता का कोई पैटर्न नहीं होगा; यदि बहुत अधिक समूह हैं, तो यादृच्छिक आवृत्ति छलांग वितरण के आकार को विकृत कर देगी।

अक्सर, वितरण श्रृंखला में समूहों की संख्या स्टर्गेस सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

कहाँ पे एन- जनसंख्या का आकार।

एक चित्रमय प्रतिनिधित्व एक वितरण श्रृंखला और उसके गुणों के विश्लेषण में आवश्यक सहायता प्रदान करता है। अंतराल श्रृंखला को एक बार चार्ट द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थित सलाखों के आधार भिन्न विशेषता के मूल्यों के अंतराल होते हैं, और सलाखों की ऊंचाई पैमाने के अनुरूप आवृत्तियां होती हैं निर्देशांक अक्ष। इस प्रकार के आरेख को कहा जाता है हिस्टोग्राम

यदि कोई असतत वितरण श्रृंखला है या मध्य अंतराल का उपयोग किया जाता है, तो ऐसी श्रृंखला के ग्राफिक प्रतिनिधित्व को कहा जाता है बहुभुज, जो निर्देशांक के साथ सीधे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है एक्स मैंतथा एफ मैं .

यदि वर्ग मान एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किए जाते हैं, और संचित आवृत्तियों को कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, इसके बाद बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर, एक ग्राफ प्राप्त किया जाता है जिसे कहा जाता है संचयी।संचित आवृत्तियों को क्रमिक योग द्वारा पाया जाता है, या संचयनप्रथम श्रेणी से भिन्नता श्रृंखला के अंत तक दिशा में आवृत्तियाँ।

उदाहरण. पोल्ट्री फार्म पर 1 वर्ष के लिए 50 अंडे देने वाली मुर्गियों के अंडा उत्पादन के आंकड़े हैं (तालिका 1.1)।

टी ए बी एल ई 1.1

अंडा देने वाली मुर्गी

मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या	अंडा उत्पादन, पीसी।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला बनाना और इसे हिस्टोग्राम, बहुभुज और संचयी के रूप में ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करना आवश्यक है।

यह देखा जा सकता है कि यह विशेषता 1 वर्ष में एक बिछाने वाली मुर्गी से प्राप्त 212 से 245 अंडों तक भिन्न होती है।

हमारे उदाहरण में, स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके, हम समूहों की संख्या निर्धारित करते हैं:

क = 1 + 3,322एलजी 50 = 6,643 ≈ 7.

सूत्र का उपयोग करके अंतराल की लंबाई (सीमा) की गणना करें:

.

आइए 7 समूहों और 5 टुकड़ों के अंतराल के साथ एक अंतराल श्रृंखला बनाएं। अंडे (तालिका 1.2)। तालिका में ग्राफ़ बनाने के लिए, हम अंतराल के मध्य और संचित आवृत्ति की गणना करते हैं।

टी ए बी एल ई 1.2

अंडा उत्पादन के वितरण की अंतराल श्रृंखला

	अंडा उत्पादन के आकार के अनुसार मुर्गियाँ बिछाने का समूह एक्स मैं	मुर्गियाँ बिछाने की संख्या एफ मैं	अंतराल मध्यबिंदु एक्समैं'	संचित आवृत्ति एफ मैं ’

आइए अंडे के उत्पादन के वितरण का एक हिस्टोग्राम बनाएं (चित्र 1.1)।

चावल। 1.1. अंडा उत्पादन वितरण का हिस्टोग्राम

ये हिस्टोग्राम कई लक्षणों के वितरण विशेषता के रूप को दिखाते हैं: विशेषता के औसत अंतराल के मूल्य अधिक सामान्य होते हैं, कम अक्सर विशेषता के चरम (छोटे और बड़े) मूल्य। इस वितरण का रूप सामान्य वितरण कानून के करीब है, जो तब बनता है जब एक चर चर बड़ी संख्या में कारकों से प्रभावित होता है, जिनमें से किसी का भी प्रमुख मूल्य नहीं होता है।

अंडा उत्पादन के वितरण के बहुभुज और संचयी का रूप है (चित्र 1.2 और 1.3)।

चावल। 1.2. अंडा वितरण बहुभुज

चावल। 1.3. अंडा उत्पादन का संचयी वितरण

समस्या समाधान तकनीक में स्प्रेडशीट प्रोसेसर माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल अगला।

1. अंजीर के अनुसार प्रारंभिक डेटा दर्ज करें। 1.4.

2. पंक्ति को रैंक करें।

2.1. कक्ष A2:A51 का चयन करें।

2.2. बटन पर टूलबार पर बायाँ-क्लिक करें<Сортировка по возрастанию > .

3. वितरण की अंतराल श्रृंखला के निर्माण के लिए अंतराल का आकार निर्धारित करें।

3.1. सेल A2 को सेल E53 में कॉपी करें।

3.2. सेल A51 को सेल E54 में कॉपी करें।

3.3. भिन्नता की सीमा की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E55 . में सूत्र दर्ज करें =ई54-ई53.

3.4. विविधता समूहों की संख्या की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E56 . में सूत्र दर्ज करें =1+3.322*LOG10(50).

3.5. सेल E57 में समूहों की गोल संख्या दर्ज करें।

3.6. अंतराल की लंबाई की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E58 . में सूत्र दर्ज करें =ई55/ई57.

3.7. सेल E59 में अंतराल की गोल लंबाई दर्ज करें।

4. एक अंतराल श्रृंखला बनाएँ।

4.1. सेल E53 को सेल B64 में कॉपी करें।

4.2. सेल B65 . में सूत्र दर्ज करें =बी64+$ई$59.

4.3. सेल B65 को सेल B66:B70 में कॉपी करें।

4.4. सेल C64 . में सूत्र दर्ज करें =बी65.

4.5. सेल C65 . में सूत्र दर्ज करें =C64+$ई$59.

4.6. सेल C65 को सेल C66:C70 में कॉपी करें।

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.5)।

5. अंतराल आवृत्ति की गणना करें।

5.1. कमांड निष्पादित करें सेवा,डेटा विश्लेषणबाईं माउस बटन के साथ बारी-बारी से क्लिक करके।

5.2. डायलॉग बॉक्स में डेटा विश्लेषणबाईं माउस बटन के साथ सेट करें: विश्लेषण उपकरण<Гистограмма>(चित्र। 1.6)।

5.3. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<ОК>.

5.4. टैब पर दंड आरेखअंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.7.

5.5. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<ОК>.

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.8)।

6. तालिका "वितरण की अंतराल श्रृंखला" भरें।

6.1. सेल B74:B80 को सेल D64:D70 में कॉपी करें।

6.2. आवृत्तियों के योग की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल D64:D70 चुनें और टूलबार पर बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Автосумма > .

6.3. अंतराल के बीच की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E64 . में सूत्र दर्ज करें =(बी64+सी64)/2और सेल E65:E70 पर कॉपी करें।

6.4. संचित आवृत्तियों की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल D64 को सेल F64 में कॉपी करें। कक्ष F65 में, सूत्र =F64+D65 दर्ज करें और इसे कक्षों F66:F70 में कॉपी करें।

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.9)।

7. हिस्टोग्राम संपादित करें।

7.1 "पॉकेट" नाम के आरेख पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब में, बटन पर क्लिक करें<Очистить>.

7.2. चार्ट पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब पर, बटन पर क्लिक करें<Исходные данные>.

7.3. डायलॉग बॉक्स में आरंभिक डेटाएक्स-अक्ष लेबल बदलें। ऐसा करने के लिए, सेल बी 64: सी 70 (छवि 1.10) का चयन करें।

7.5. कुंजी दबाएं .

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.11)।

8. अंडा वितरण बहुभुज बनाएँ।

8.1. बटन पर टूलबार पर बायाँ-क्लिक करें<Мастер диаграмм > .

8.2. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विज़ार्ड (चरण 4 में से 1)सेट करने के लिए बाएँ माउस बटन का उपयोग करें: मानक<График>(चित्र 1.12)।

8.3. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.4. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विजार्ड (4 का चरण 2)अंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.13.

8.5. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.6. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विजार्ड (चरण 3 का 4)चार्ट और अक्ष Y के नाम दर्ज करें (चित्र 1.14)।

8.7. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.8. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विज़ार्ड (चरण 4 का 4)अंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.15.

8.9. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Готово>.

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.16)।

9. चार्ट पर डेटा लेबल डालें।

9.1. चार्ट पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब पर, बटन पर क्लिक करें<Исходные данные>.

9.2. डायलॉग बॉक्स में आरंभिक डेटाएक्स-अक्ष लेबल बदलें। ऐसा करने के लिए, सेल E64:E70 (चित्र। 1.17) का चयन करें।

9.3. कुंजी दबाएं .

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.18)।

वितरण संचयी संचयी आवृत्तियों के आधार पर वितरण बहुभुज के समान बनाया गया है।

विविधता श्रृंखला: परिभाषा, प्रकार, मुख्य विशेषताएं। गणना की विधि
चिकित्सा और सांख्यिकीय अध्ययनों में फैशन, माध्यिका, अंकगणितीय माध्य
(सशर्त उदाहरण पर दिखाएं)।

एक परिवर्तनशील श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के संख्यात्मक मूल्यों की एक श्रृंखला है, जो एक दूसरे से उनके परिमाण में भिन्न होती है और एक निश्चित क्रम (आरोही या अवरोही क्रम में) में व्यवस्थित होती है। श्रृंखला के प्रत्येक संख्यात्मक मान को एक प्रकार (V) कहा जाता है, और संख्याएँ यह दर्शाती हैं कि इस श्रृंखला की संरचना में यह या वह संस्करण कितनी बार होता है, आवृत्ति (p) कहलाती है।

अवलोकन के मामलों की कुल संख्या, जिनमें से भिन्नता श्रृंखला शामिल है, को अक्षर n द्वारा दर्शाया गया है। अध्ययन की गई विशेषताओं के अर्थ में अंतर को भिन्नता कहा जाता है। यदि चर चिह्न में मात्रात्मक माप नहीं है, तो भिन्नता को गुणात्मक कहा जाता है, और वितरण श्रृंखला को गुणकारी कहा जाता है (उदाहरण के लिए, रोग के परिणाम, स्वास्थ्य की स्थिति, आदि द्वारा वितरण)।

यदि एक चर चिह्न में मात्रात्मक अभिव्यक्ति होती है, तो इस तरह की भिन्नता को मात्रात्मक कहा जाता है, और वितरण श्रृंखला को भिन्नता कहा जाता है।

विविधता श्रृंखला को असंतत और निरंतर में विभाजित किया जाता है - मात्रात्मक विशेषता की प्रकृति के अनुसार, सरल और भारित - संस्करण की घटना की आवृत्ति के अनुसार।

एक साधारण विविधता श्रृंखला में, प्रत्येक संस्करण केवल एक बार (p=1) होता है, एक भारित में, एक ही प्रकार कई बार होता है (p>1)। ऐसी श्रृंखला के उदाहरणों पर बाद में पाठ में चर्चा की जाएगी। यदि मात्रात्मक विशेषता निरंतर है, अर्थात। पूर्णांक मानों के बीच मध्यवर्ती भिन्नात्मक मान होते हैं, परिवर्तनशील श्रृंखला को निरंतर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: 10.0 - 11.9

14.0 - 15.9, आदि।

यदि मात्रात्मक चिन्ह असंतत है, अर्थात। इसके व्यक्तिगत मान (विकल्प) एक दूसरे से एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं और इनमें मध्यवर्ती भिन्नात्मक मान नहीं होते हैं, भिन्नता श्रृंखला को असंतत या असतत कहा जाता है।

हृदय गति के बारे में पिछले उदाहरण के डेटा का उपयोग करना

21 छात्रों के लिए, हम एक विविधता श्रृंखला (तालिका 1) का निर्माण करेंगे।

तालिका नंबर एक

पल्स रेट (बीपीएम) द्वारा मेडिकल छात्रों का वितरण

इस प्रकार, एक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाने का अर्थ है व्यवस्थित करना, मौजूदा संख्यात्मक मानों (विकल्प) को सुव्यवस्थित करना, अर्थात। एक निश्चित क्रम में (आरोही या अवरोही क्रम में) उनकी संगत आवृत्तियों के साथ व्यवस्थित करें। विचाराधीन उदाहरण में, विकल्पों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है और उन्हें असंतत (असतत) पूर्णांकों के रूप में व्यक्त किया जाता है, प्रत्येक विकल्प कई बार आता है, अर्थात। हम एक भारित, असंतत या असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के साथ काम कर रहे हैं।

एक नियम के रूप में, यदि हम जिस सांख्यिकीय जनसंख्या का अध्ययन कर रहे हैं, उसमें टिप्पणियों की संख्या 30 से अधिक नहीं है, तो अध्ययन के तहत विशेषता के सभी मूल्यों को बढ़ते क्रम में एक परिवर्तनशील श्रृंखला में व्यवस्थित करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि तालिका में है। 1, या अवरोही क्रम में।

बड़ी संख्या में प्रेक्षणों (n>30) के साथ, होने वाले वेरिएंट की संख्या बहुत बड़ी हो सकती है, इस मामले में एक अंतराल या समूहीकृत विविधता श्रृंखला संकलित की जाती है, जिसमें बाद के प्रसंस्करण को सरल बनाने और वितरण की प्रकृति को स्पष्ट करने के लिए, रूपों को समूहों में जोड़ा जाता है।

आमतौर पर समूह विकल्पों की संख्या 8 से 15 तक होती है।

उनमें से कम से कम 5 होने चाहिए, क्योंकि। अन्यथा, यह बहुत मोटा, अत्यधिक इज़ाफ़ा होगा, जो भिन्नता की समग्र तस्वीर को विकृत करता है और औसत मूल्यों की सटीकता को बहुत प्रभावित करता है। जब समूह विकल्पों की संख्या 20-25 से अधिक होती है, तो औसत मूल्यों की गणना की सटीकता बढ़ जाती है, लेकिन विशेषता भिन्नता की विशेषताएं काफी विकृत हो जाती हैं और गणितीय प्रसंस्करण अधिक जटिल हो जाता है।

समूहीकृत श्रृंखला का संकलन करते समय, इस पर विचार करना आवश्यक है

- भिन्न समूहों को एक विशिष्ट क्रम में रखा जाना चाहिए (आरोही या अवरोही);

- भिन्न समूहों में अंतराल समान होना चाहिए;

-अंतरालों की सीमाओं का मान मेल नहीं खाना चाहिए, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं होगा कि किस समूह में अलग-अलग विकल्पों का श्रेय दिया जाए;

- अंतराल की सीमा निर्धारित करते समय एकत्रित सामग्री की गुणात्मक विशेषताओं को ध्यान में रखना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, वयस्कों के वजन का अध्ययन करते समय, 3-4 किलोग्राम का अंतराल स्वीकार्य है, और पहले महीनों में बच्चों के लिए) जीवन का यह 100 ग्राम से अधिक नहीं होना चाहिए।)

आइए एक समूहबद्ध (अंतराल) श्रृंखला का निर्माण करें जो परीक्षा से पहले 55 मेडिकल छात्रों के लिए पल्स रेट (बीट्स प्रति मिनट की संख्या) पर डेटा की विशेषता है: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

समूहीकृत श्रृंखला बनाने के लिए, आपको चाहिए:

1. अंतराल का मान निर्धारित करें;

2. भिन्नता श्रृंखला के प्रकार के समूहों के मध्य, शुरुआत और अंत का निर्धारण करें।

अंतराल का मान (i) अपेक्षित समूहों (r) की संख्या से निर्धारित होता है, जिसकी संख्या एक विशेष तालिका के अनुसार टिप्पणियों (n) की संख्या के आधार पर निर्धारित की जाती है

अवलोकनों की संख्या के आधार पर समूहों की संख्या:

हमारे मामले में, 55 छात्रों के लिए 8 से 10 समूह बनाना संभव है।

अंतराल (i) का मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है -

मैं = वीमैक्स-वीमिन/आर

हमारे उदाहरण में, अंतराल का मान 82-58/8= 3 है।

यदि अंतराल मान एक भिन्नात्मक संख्या है, तो परिणाम को एक पूर्णांक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

कई प्रकार के औसत हैं:

अंकगणित माध्य,

ज्यामितीय माध्य,

हार्मोनिक माध्य,

मूल माध्य वर्ग,

● मध्यम प्रगतिशील,

माध्यिका

चिकित्सा आंकड़ों में, अंकगणितीय औसत का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है।

अंकगणितीय माध्य (M) एक सामान्यीकरण मान है जो उस विशिष्ट मान को निर्धारित करता है जो संपूर्ण जनसंख्या की विशेषता है। एम की गणना के लिए मुख्य तरीके हैं: अंकगणितीय माध्य विधि और क्षणों की विधि (सशर्त विचलन)।

अंकगणित माध्य विधि का उपयोग सरल अंकगणितीय माध्य और भारित अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए किया जाता है। समांतर माध्य मान की गणना के लिए विधि का चुनाव भिन्नता श्रृंखला के प्रकार पर निर्भर करता है। एक साधारण परिवर्तनशील श्रृंखला के मामले में, जिसमें प्रत्येक प्रकार केवल एक बार होता है, साधारण अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जहां: - अंकगणितीय माध्य मान;

V चर विशेषता (विकल्प) का मान है;

- क्रिया को इंगित करता है - योग;

n प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

अंकगणितीय माध्य की गणना का एक उदाहरण सरल है। 35: 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18 आयु वर्ग के 9 पुरुषों में श्वसन दर (प्रति मिनट सांसों की संख्या)।

35 वर्ष की आयु के पुरुषों में श्वसन दर का औसत स्तर निर्धारित करने के लिए यह आवश्यक है:

1. सभी विकल्पों को आरोही या अवरोही क्रम में रखते हुए एक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाएँ। हमें एक साधारण परिवर्तनशील श्रृंखला मिली है, क्योंकि भिन्न मान केवल एक बार होते हैं।

एम = ∑V/n = 171/9 = 19 श्वास प्रति मिनट

निष्कर्ष। 35 वर्ष की आयु के पुरुषों में श्वसन दर औसतन 19 श्वास प्रति मिनट होती है।

यदि किसी प्रकार के अलग-अलग मूल्यों को दोहराया जाता है, तो प्रत्येक संस्करण को एक पंक्ति में लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है; यह उस प्रकार के आकार को सूचीबद्ध करने के लिए पर्याप्त है जो (वी) होता है और उनके दोहराव की संख्या को इंगित करने के लिए आगे (पी) ) ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला, जिसमें वेरिएंट, जैसे थे, को उनके अनुरूप आवृत्तियों की संख्या के अनुसार भारित किया जाता है, भारित भिन्नता श्रृंखला कहलाती है, और परिकलित औसत मान अंकगणितीय भारित औसत होता है।

अंकगणितीय भारित औसत सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: M= Vp/n

जहां n आवृत्तियों के योग के बराबर प्रेक्षणों की संख्या है - р।

अंकगणितीय भारित औसत की गणना का एक उदाहरण।

चालू वर्ष की पहली तिमाही के दौरान एक स्थानीय चिकित्सक द्वारा इलाज किए गए तीव्र श्वसन रोगों (एआरआई) के 35 रोगियों में विकलांगता की अवधि (दिनों में) थी: 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6 , 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6 , 7 दिन।

तीव्र श्वसन संक्रमण वाले रोगियों में विकलांगता की औसत अवधि निर्धारित करने की पद्धति इस प्रकार है:

1. आइए एक भारित परिवर्ती श्रंखला का निर्माण करें, क्योंकि अलग-अलग प्रकार के मान कई बार दोहराए जाते हैं। ऐसा करने के लिए, आप सभी विकल्पों को उनकी संगत आवृत्तियों के साथ आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं।

हमारे मामले में, विकल्प आरोही क्रम में हैं।

2. सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय भारित औसत की गणना करें: M = Vp/n = 233/35 = 6.7 दिन

विकलांगता की अवधि के अनुसार तीव्र श्वसन संक्रमण वाले रोगियों का वितरण:

काम के लिए अक्षमता की अवधि (वी)	रोगियों की संख्या (पी)	वीपी
	पी = एन = 35	वीपी = 233

निष्कर्ष। तीव्र श्वसन रोगों वाले रोगियों में विकलांगता की अवधि औसतन 6.7 दिन थी।

मोड (मो) विविधता श्रृंखला में सबसे आम प्रकार है। तालिका में प्रस्तुत वितरण के लिए, मोड 10 के बराबर संस्करण से मेल खाता है, यह दूसरों की तुलना में अधिक बार होता है - 6 बार।

अस्पताल के बिस्तर में रहने की अवधि के अनुसार रोगियों का वितरण (दिनों में)

वी

पी

कभी-कभी बहुलक का सटीक मान निर्धारित करना मुश्किल होता है, क्योंकि अध्ययन किए जा रहे डेटा में कई अवलोकन हो सकते हैं जो "सबसे अधिक बार" होते हैं।

माध्यिका (Me) एक गैर-पैरामीट्रिक संकेतक है जो भिन्नता श्रृंखला को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है: समान संख्या में विकल्प माध्यिका के दोनों किनारों पर स्थित होते हैं।

उदाहरण के लिए, तालिका में दिखाए गए वितरण के लिए, माध्यिका 10 है क्योंकि इस मान के दोनों ओर 14वें विकल्प पर स्थित है, अर्थात्। संख्या 10 इस श्रृंखला में एक केंद्रीय स्थान रखती है और इसका माध्यिका है।

यह देखते हुए कि इस उदाहरण में प्रेक्षणों की संख्या सम (n=34) है, माध्यिका निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है:

मैं = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17

इसका अर्थ है कि श्रृंखला का मध्य सत्रहवें विकल्प पर पड़ता है, जो 10 के माध्यिका से मेल खाता है। तालिका में प्रस्तुत वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य है:

एम = वीपी/एन = 334/34 = 10.1

तो, तालिका से 34 टिप्पणियों के लिए। 8, हमें मिला: Mo=10, Me=10, समांतर माध्य (M) 10.1 है। हमारे उदाहरण में, तीनों संकेतक एक-दूसरे के बराबर या करीब निकले, हालांकि वे पूरी तरह से अलग हैं।

अंकगणित माध्य सभी प्रभावों का परिणामी योग है; सभी विकल्प, बिना किसी अपवाद के, इसके गठन में भाग लेते हैं, जिसमें चरम वाले भी शामिल हैं, जो अक्सर किसी घटना या सेट के लिए असामान्य होते हैं।

मोड और माध्यिका, अंकगणितीय माध्य के विपरीत, चर विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों (चरम वेरिएंट के मान और श्रृंखला के बिखरने की डिग्री) के मूल्य पर निर्भर नहीं करते हैं। अंकगणित माध्य प्रेक्षणों के पूरे द्रव्यमान की विशेषता है, बहुलक और माध्यिका थोक की विशेषता है

मापदण्ड नाम	अर्थ
लेख विषय:	विविधता श्रृंखला
रूब्रिक (विषयगत श्रेणी)	उत्पादन

यादृच्छिक चर के देखे गए मान एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स केबुलाया विकल्प.

आवृत्तिविकल्प एक्समुझे एक नंबर कहा जाता है मैं (मैं=1,…,क) दिखा रहा है कि नमूने में यह विविधता कितनी बार होती है।

आवृत्ति(सापेक्ष आवृत्ति, शेयर) विकल्प एक्स मैं (मैं=1,…,क) को आमतौर पर इसकी आवृत्ति का अनुपात कहा जाता है मैंनमूना आकार के लिए एन.

आवृत्तियों और आवृत्तियों को कहा जाता है तराजू.

संचित आवृत्तियह विकल्पों की संख्या को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिनमें से मान दिए गए से कम हैं एक्स:

संचित आवृत्तियह संचित आवृत्ति के अनुपात को नमूना आकार में कॉल करने के लिए प्रथागत है:

विविधता श्रृंखला(सांख्यिकीय श्रृंखला) - यह आरोही क्रम में लिखे गए विकल्पों के अनुक्रम और उनके संबंधित भार को कॉल करने के लिए प्रथागत है।

विविधता श्रृंखला होनी चाहिए अलग(एक असतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का नमूना) और निरंतर (अंतराल)(एक सतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का चयन)।

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का रूप है:

			…
			…

जब विकल्पों की संख्या बड़ी होती है या विशेषता निरंतर होती है (एक यादृच्छिक चर एक निश्चित अंतराल में कोई भी मान ले सकता है), वे हैं मध्यान्तरविविधता श्रृंखला।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाने के लिए, निष्पादित करें समूहीकरणविकल्प - वे अलग-अलग अंतराल में विभाजित हैं:

कभी-कभी अंतरालों की संख्या का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है स्टर्ज सूत्र:

फिर प्रत्येक अंतराल में आने वाले वेरिएंट की संख्या की गणना की जाती है - फ़्रीक्वेंसी मैं(या आवृत्ति मैं/एन) यदि वेरिएंट अंतराल की सीमा पर है, तो यह सही अंतराल से जुड़ा हुआ है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला का रूप है:

विकल्प			…
आवृत्तियों			…

अनुभवजन्य (सांख्यिकीय) वितरण समारोहयह एक फ़ंक्शन को कॉल करने के लिए प्रथागत है जिसका मूल्य बिंदु पर है एक्सउस सापेक्ष आवृत्ति के बराबर है जो वैरिएंट . से कम मान पर लेगी एक्स(के लिए संचयी आवृत्ति एक्स):

आवृत्ति बहुभुजएक पॉलीलाइन कहा जाता है जिसके खंड निर्देशांक के साथ बिंदुओं को जोड़ते हैं ( एक्स 1 ; एन 1), (एक्स 2 ; एन 2), …, (एक्स के; एनके) आवृत्ति बहुभुज, जो वितरण के बहुभुज का एक सांख्यिकीय एनालॉग है।

यह कहने योग्य है कि एक निरंतर परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए, एक बहुभुज बनाया जा सकता है यदि मान एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स केअंतराल के मध्य बिंदु ले लो।

एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला को आमतौर पर ग्राफिक रूप से उपयोग करके दर्शाया जाता है आयतचित्र.

दंड आरेख- एक चरणबद्ध आकृति जिसमें आयताकार होते हैं जिनके आधार आंशिक लंबाई अंतराल होते हैं एच= एक्स मैं +1 – एक्स मैं, मैं= 0,…,क-1, और ऊंचाई अंतराल के आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के बराबर हैं मैं (मैं).

संचयी(संचयी वक्र) - संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) का वक्र। के लिये असतत श्रृंखलाक्यूम्युलेट एक टूटी हुई रेखा है जो बिंदुओं या , को जोड़ती है। के लिये अंतराल श्रृंखलासंचयी बिंदु से शुरू होता है, जिसका भुज पहले अंतराल की शुरुआत के बराबर है, और कोटि शून्य के बराबर संचित आवृत्ति (आवृत्ति) है। इस टूटी हुई रेखा के अन्य बिंदु अंतराल के सिरों के अनुरूप हैं।

विविधता श्रृंखला - अवधारणा और प्रकार। "विविधता श्रृंखला" 2017, 2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।

- वितरण की विविधता श्रृंखला

स्वामित्व के प्रकार के अनुसार 1995 में रूसी संघ में खुदरा व्यापार कारोबार का वितरण, मिलियन रूबल वितरण श्रृंखला के प्रकार व्याख्यान VIII। वितरण श्रृंखला प्राथमिक सांख्यिकीय डेटा के प्रसंस्करण और व्यवस्थितकरण के परिणामस्वरूप, वे प्राप्त करते हैं ....

- विविधता श्रृंखला

सांख्यिकीय डेटा का सबसे सरल परिवर्तन परिमाण द्वारा उनका क्रम है। सामान्य जनसंख्या से नमूना आकार, तत्वों के गैर-घटते क्रम में आदेश दिया गया है, अर्थात। , एक भिन्नता श्रृंखला कहा जाता है:। मामले में जब टिप्पणियों की मात्रा ....

- कार्य 2. अंतराल भिन्नता श्रृंखला

1. कार्य प्रकार के अनुरूप दिए गए नमूने के आधार पर, अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाएं; एक हिस्टोग्राम बनाएं और संचय करें (दो विधियों का उपयोग करें: एक एक्सेल चार्ट सम्मिलित करना और "डेटा विश्लेषण" पैकेज का "हिस्टोग्राम" मोड)। 2. परिणामी हिस्टोग्राम का विश्लेषण करें। ....

- सेम के बीज या उसी उम्र के किसी भी पौधे की पत्तियों की विशेषता की परिवर्तनशीलता की विविधता श्रृंखला संकलित करें। विशेषता परिवर्तनशीलता के पैटर्न प्रकट करें।

जनसंख्या एक प्रजाति की संरचनात्मक इकाई है। आबादी की संख्या। जनसंख्या में उतार-चढ़ाव के कारण। आबादी में और एक ही और विभिन्न प्रजातियों की विभिन्न आबादी के बीच व्यक्तियों का संबंध। 1. किसी प्रजाति की एक महत्वपूर्ण विशेषता समूहों में उसका वितरण है, जनसंख्या में ...

सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला समूहीकरण विशेषता के अनुसार अध्ययन की गई जनसंख्या की इकाइयों को समूहों में व्यवस्थित व्यवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं।

गुणक और भिन्नता वितरण श्रृंखलाएँ हैं।

ठहराव गुणात्मक विशेषताओं के अनुसार निर्मित एक वितरण श्रृंखला है। यह विभिन्न आवश्यक विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या की संरचना की विशेषता है।

मात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण की विविधता श्रृंखला। इसमें अलग-अलग रूपों की आवृत्ति (संख्या) या भिन्नता श्रृंखला के प्रत्येक समूह शामिल हैं। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में विभिन्न विकल्प (सुविधा मान) कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या के आकार को निर्धारित करता है।

समूहों की संख्या निरपेक्ष और सापेक्ष मूल्यों में व्यक्त की जाती है। निरपेक्ष रूप से, यह प्रत्येक चयनित समूह में जनसंख्या इकाइयों की संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है, और सापेक्ष शब्दों में - शेयरों के रूप में, विशिष्ट भार, कुल के प्रतिशत के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

विशेषता की भिन्नता की प्रकृति के आधार पर, असतत और अंतराल भिन्नता वितरण श्रृंखला को प्रतिष्ठित किया जाता है। एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला में, समूह एक विशेषता के अनुसार बनाए जाते हैं जो अलग-अलग रूप से भिन्न होता है और केवल पूर्णांक मान लेता है।

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, समूहीकरण विशेषता, जो समूहीकरण का आधार है, एक निश्चित अंतराल में कोई भी मान ले सकती है।

विविधता श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: आवृत्तियों और रूपांतर।

प्रकार एक चर विशेषता के एक अलग मान को नाम दें, जिसे वह एक वितरण श्रृंखला में लेता है।

आवृत्ति- यह अलग-अलग प्रकार या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है। यदि आवृत्तियों को एक इकाई के अंशों में या कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो वे आवृत्तियां कहलाती हैं।

अंतराल वितरण श्रृंखला के निर्माण के नियम और सिद्धांत सांख्यिकीय समूहों के निर्माण के लिए समान नियमों और सिद्धांतों के अनुसार बनाए गए हैं। यदि वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला समान अंतराल के साथ बनाई गई है, तो आवृत्तियां जनसंख्या इकाइयों के साथ अंतराल को भरने की डिग्री का न्याय करना संभव बनाती हैं। अंतराल के अधिभोग का तुलनात्मक विश्लेषण करने के लिए, एक संकेतक निर्धारित किया जाता है जो वितरण घनत्व को चिह्नित करेगा।

वितरण घनत्वजनसंख्या इकाइयों की संख्या और अंतराल की चौड़ाई का अनुपात है।

परिवर्तन संबंधीमात्रात्मक आधार पर निर्मित वितरण श्रृंखला कहलाती है। किसी भी परिवर्तनशील श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: रूपांतर और आवृत्तियाँ। विकल्पविशेषता के अलग-अलग मान जो इसे भिन्नता श्रृंखला में लेते हैं, पर विचार किया जाता है, अर्थात चर विशेषता का विशिष्ट मान। आवृत्तियों- ये अलग-अलग विकल्पों या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्याएं हैं, यानी ये संख्याएं दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कितनी बार कुछ विकल्प होते हैं। सभी आवृत्तियों का योग संपूर्ण जनसंख्या का आकार, उसका आयतन निर्धारित करता है।

आवृत्तियोंआवृत्तियों को एक इकाई के अंशों में या कुल के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। तदनुसार, आवृत्तियों का योग 1 या 100% के बराबर है।

विशेषता की भिन्नता की प्रकृति के आधार पर, असतत और अंतराल भिन्नता श्रृंखला को प्रतिष्ठित किया जाता है।

जैसा कि ज्ञात है, मात्रात्मक लक्षणों की भिन्नता असतत (असंतत) या निरंतर हो सकती है।

असतत भिन्नता के मामले में, मात्रात्मक विशेषता का मान केवल पूर्णांक मान लेता है। इसलिये, असतत भिन्नता श्रृंखला विशेषताएँअसतत विशेषता के अनुसार जनसंख्या इकाइयों का वितरण। असतत विविधता श्रृंखला का एक उदाहरण तालिका में दिखाए गए अलग-अलग अपार्टमेंट में कमरों की संख्या से परिवारों का वितरण है। 3.12.

तालिका का पहला स्तंभ एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के रूप प्रस्तुत करता है, दूसरे में परिवर्तनशील श्रृंखला की आवृत्तियाँ होती हैं, और तीसरा बारंबारता दिखाता है।

निरंतर भिन्नता के मामले में, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता का मूल्य, कुछ सीमाओं के भीतर, कोई भी मान जो एक दूसरे से मनमाने ढंग से छोटी राशि से भिन्न हो सकता है। इमारत अंतराल भिन्नता श्रृंखलायह समीचीन है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक असतत भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला में प्रकट होती है, अर्थात, असतत विशेषता के वेरिएंट की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है। तालिका में। 3.3 अंतराल भिन्नता श्रृंखला को दर्शाता है।

वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व

वितरण श्रृंखला का विश्लेषण उनके चित्रमय प्रतिनिधित्व के आधार पर किया जा सकता है। जनसंख्या की संरचना को दर्शाने के लिए बार और पाई चार्ट बनाए जाते हैं।

बहुभुज, संचयी, तोरण, हिस्टोग्राम जैसे आरेखों और रेखाओं के साथ प्रयोग किया जाता है। असतत विविधता श्रृंखला प्रदर्शित करते समय, बहुभुज का उपयोग किया जाता है।

बहुभुज- एक टूटा हुआ वक्र, एक आयताकार समन्वय प्रणाली के आधार पर बनाया गया है, जब सुविधा के मूल्यों को एक्स अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और आवृत्तियों को वाई अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

स्मूद कर्व कनेक्टिंग पॉइंट्सअनुभवजन्य वितरण घनत्व है।

संचयी- एक आयताकार समन्वय प्रणाली के आधार पर बनाया गया एक टूटा हुआ वक्र, जब एक्स-अक्ष सुविधा के मूल्यों को प्लॉट करता है, और वाई-अक्ष संचित आवृत्तियों को दिखाता है।

असतत श्रृंखला के लिए, विशेषता के मान स्वयं अक्ष पर और अंतराल श्रृंखला के लिए, अंतराल के बीच में प्लॉट किए जाते हैं।

हिस्टोग्राम के आधार पर, एक अभिन्न अनुभवजन्य वितरण फ़ंक्शन के बाद के निर्माण के साथ संचयी आवृत्ति आरेख बनाना संभव है।