द्विघात फलन का ग्राफ एक परवलय होता है। द्विघात समीकरण के समाधान (मूल) भुज अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि द्विघात फलन द्वारा वर्णित परवलय x-अक्ष को नहीं काटता है, तो समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। यदि परवलय x-अक्ष को एक बिंदु (परवलय के शीर्ष) पर काटता है, तो समीकरण का एक वास्तविक मूल होता है (यह भी कहा जाता है कि समीकरण के दो संपाती मूल हैं)। यदि परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें होती हैं।

यदि गुणांक एयदि यह सकारात्मक है, तो परवलय शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं; यदि यह नकारात्मक है, तो परवलय शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। यदि गुणांक बी सकारात्मक है, तो परवलय का शीर्ष बाएं आधे तल में स्थित है, यदि नकारात्मक है - दाएं आधे तल में।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

द्विघात समीकरण को हल करने का सूत्र इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है

एएक्स 2+ बीएक्स + सी = 0
एएक्स 2+ बीएक्स=- सी

समीकरण को 4 से गुणा करें ए

4ए 2x2+4 अब x=-4 एसी
4ए 2x2+4 अबएक्स + बी 2 = -4एसी + बी 2
(2एएक्स + बी) 2 = बी 2 -4एसी
2एएक्स + बी= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना

वास्तविक गुणांक वाले एक द्विघात समीकरण में विभेदक D = के मान के आधार पर 0 से 2 वास्तविक मूल हो सकते हैं बी 2 − 4एसी:

• D > 0 के लिए दो मूल हैं, और उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है
• D = 0 के लिए, एक मूल है (दो समान या संपाती मूल), बहुलता 2:

"समीकरणों को हल करना" विषय की निरंतरता में, इस लेख की सामग्री आपको द्विघात समीकरणों से परिचित कराएगी।

आइए हर चीज़ पर विस्तार से विचार करें: द्विघात समीकरण का सार और संकेतन, संबंधित शब्द निर्धारित करें, अपूर्ण और पूर्ण समीकरणों को हल करने की योजना का विश्लेषण करें, जड़ों और विभेदक के सूत्र से परिचित हों, जड़ों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करें, और निश्चित रूप से हम व्यावहारिक उदाहरणों का एक दृश्य समाधान देंगे।

द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

परिभाषा 1

द्विघात समीकरणसमीकरण इस प्रकार लिखा गया है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, कहाँ एक्स– चर, ए , बी और सीजबकि कुछ संख्याएँ हैं एशून्य नहीं है.

अक्सर, द्विघात समीकरणों को दूसरी डिग्री के समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि वास्तव में एक द्विघात समीकरण दूसरी डिग्री का एक बीजगणितीय समीकरण होता है।

आइए दी गई परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दें: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, आदि। द्विघात समीकरण हैं.

परिभाषा 2

संख्या ए , बी तथा सीद्विघात समीकरण के गुणांक हैं ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, जबकि गुणांक एपहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, बी - दूसरा गुणांक, या गुणांक पर एक्स, ए सीएक स्वतंत्र सदस्य कहा जाता है.

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में 6 x 2 - 2 x - 11 = 0उच्चतम गुणांक 6 है, दूसरा गुणांक है − 2 , और मुक्त पद बराबर है − 11 . आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि जब गुणांक बीऔर/या c नकारात्मक हैं, तो शॉर्टहैंड फॉर्म का उपयोग किया जाता है 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, लेकिन नहीं 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

आइए हम इस पहलू को भी स्पष्ट करें: यदि गुणांक एऔर/या बीबराबर 1 या − 1 , तो वे द्विघात समीकरण की रिकॉर्डिंग में स्पष्ट रूप से भाग नहीं ले सकते हैं, जिसे संकेतित संख्यात्मक गुणांकों को रिकॉर्ड करने की विशिष्टताओं द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में y 2 − y + 7 = 0वरिष्ठ गुणांक 1 है और दूसरा गुणांक है − 1 .

घटे हुए और गैर-घटे हुए द्विघात समीकरण

पहले गुणांक के मान के अनुसार द्विघात समीकरणों को कम और गैर-कम में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा 3

कम किया गया द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जहां अग्रणी गुणांक 1 है। अग्रणी गुणांक के अन्य मानों के लिए, द्विघात समीकरण अप्रमाणित है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: द्विघात समीकरण x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 घटाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में अग्रणी गुणांक 1 है।

9 x 2 - x - 2 = 0- अप्राप्त द्विघात समीकरण, जहां पहला गुणांक भिन्न है 1 .

किसी भी अघटीकृत द्विघात समीकरण को उसके दोनों भागों को पहले गुणांक (समतुल्य परिवर्तन) से विभाजित करके कम समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। रूपांतरित समीकरण के मूल वही होंगे जो दिए गए गैर-घटे हुए समीकरण के समान होंगे या फिर उनका कोई मूल ही नहीं होगा।

एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करने से हमें एक कम किए गए द्विघात समीकरण से कम किए गए द्विघात समीकरण में संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने की अनुमति मिल जाएगी।

उदाहरण 1

समीकरण 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 दिया गया है . मूल समीकरण को लघु रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है।

समाधान

उपरोक्त योजना के अनुसार, हम मूल समीकरण के दोनों भागों को अग्रणी गुणांक 6 से विभाजित करते हैं। तब हमें मिलता है: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, और यह वैसा ही है: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0और आगे: (6:6) x 2 + (18:6) x - 7:6 = 0।यहाँ से: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के समतुल्य एक समीकरण प्राप्त होता है।

उत्तर: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

आइए हम द्विघात समीकरण की परिभाषा की ओर मुड़ें। इसमें हमने यह निर्दिष्ट किया है ए ≠ 0. समीकरण के लिए ऐसी ही स्थिति आवश्यक है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0चूँकि, बिल्कुल चौकोर था ए = 0यह अनिवार्य रूप से एक रैखिक समीकरण में परिवर्तित हो जाता है बी एक्स + सी = 0.

ऐसे मामले में जहां गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं (जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से संभव है), द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा 4

अपूर्ण द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0,जहां कम से कम एक गुणांक है बीऔर सी(या दोनों) शून्य है.

पूर्ण द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जिसमें सभी संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

आइए चर्चा करें कि द्विघात समीकरणों के प्रकारों को सटीक रूप से ऐसे नाम क्यों दिए जाते हैं।

b = 0 के लिए, द्विघात समीकरण का रूप लेता है ए एक्स 2 + 0 एक्स + सी = 0, जो वैसा ही है ए एक्स 2 + सी = 0. पर सी = 0द्विघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है ए एक्स 2 + बी एक्स + 0 = 0, जो समतुल्य है ए एक्स 2 + बी एक्स = 0. पर बी = 0और सी = 0समीकरण रूप ले लेगा ए एक्स 2 = 0. हमने जो समीकरण प्राप्त किए हैं वे पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न हैं कि उनके बायीं ओर न तो चर x वाला कोई पद है, न कोई मुक्त पद है, या दोनों एक साथ हैं। दरअसल, इस तथ्य ने इस प्रकार के समीकरणों को नाम दिया - अधूरा।

उदाहरण के लिए, x 2 + 3 x + 4 = 0 और - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 पूर्ण द्विघात समीकरण हैं; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

ऊपर दी गई परिभाषा निम्नलिखित प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को अलग करना संभव बनाती है:

• ए एक्स 2 = 0, गुणांक ऐसे समीकरण के अनुरूप हैं बी = 0और सी = 0 ;
• ए एक्स 2 + सी = 0 के लिए बी = 0;
• a x 2 + b x = 0 के लिए c = 0।

प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के समाधान पर क्रमिक रूप से विचार करें।

समीकरण का हल a x 2 = 0

जैसा कि पहले ही ऊपर बताया गया है, ऐसा समीकरण गुणांकों से मेल खाता है बीऔर सी, शून्य के बराबर. समीकरण ए एक्स 2 = 0को समतुल्य समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है x2 = 0, जो हमें मूल समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है ए, शून्य के बराबर नहीं. स्पष्ट तथ्य यह है कि समीकरण की जड़ x2 = 0शून्य है क्योंकि 0 2 = 0 . इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे डिग्री के गुणों द्वारा समझाया गया है: किसी भी संख्या के लिए पी ,शून्य के बराबर नहीं, असमानता सत्य है पी2 > 0, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कब पी ≠ 0समानता पी2 = 0कभी नहीं पहुंचा जा सकेगा.

परिभाषा 5

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 के लिए, एक ही मूल है एक्स=0.

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें − 3 x 2 = 0. यह समीकरण के समतुल्य है x2 = 0, इसकी एकमात्र जड़ है एक्स=0, तो मूल समीकरण का एक ही मूल है - शून्य।

समाधान का सारांश इस प्रकार है:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0।

समीकरण का हल a x 2 + c = 0

पंक्ति में अगली पंक्ति अपूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान है, जहाँ b \u003d 0, c ≠ 0, अर्थात, रूप के समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0. हम इस समीकरण को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करके, विपरीत चिह्न को बदलकर और समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसी संख्या से विभाजित करके रूपांतरित करते हैं जो शून्य के बराबर नहीं है:

• सहन करना सीदाईं ओर, जो समीकरण देता है ए एक्स 2 = − सी;
• समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें ए, परिणामस्वरूप हमें x = - c a प्राप्त होता है।

हमारे परिवर्तन क्रमशः समतुल्य हैं, परिणामी समीकरण भी मूल समीकरण के समतुल्य है, और यह तथ्य समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। मूल्य क्या हैं से एऔर सीअभिव्यक्ति के मूल्य पर निर्भर करता है - सी ए: इसमें ऋण चिह्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि ए = 1और सी = 2, फिर - सी ए = - 2 1 = - 2) या प्लस चिह्न (उदाहरण के लिए, यदि ए = -2और सी=6, फिर - सी ए = - 6 - 2 = 3); यह शून्य के बराबर नहीं है क्योंकि सी ≠ 0. आइए हम उन स्थितियों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें जब - सी ए< 0 и - c a > 0 .

मामले में जब - सी ए< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа पीसमानता पी 2 = - सी ए सत्य नहीं हो सकता।

सब कुछ अलग है जब - c a > 0: वर्गमूल याद रखें, और यह स्पष्ट हो जाएगा कि समीकरण x 2 \u003d - c a का मूल संख्या - c a होगा, क्योंकि - c a 2 \u003d - c a। यह समझना आसान है कि संख्या - - c a - समीकरण x 2 = - c a का मूल भी है: वास्तव में, - - c a 2 = - c a।

समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं होगा. हम इसे विपरीत विधि का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। सबसे पहले, आइए ऊपर पाए गए जड़ों के अंकन को इस प्रकार सेट करें एक्स 1और − x 1. आइए मान लें कि समीकरण x 2 = - c a का भी एक मूल है x2, जो जड़ों से भिन्न है एक्स 1और − x 1. हम जानते हैं कि समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक्सइसकी जड़ें, हम समीकरण को एक निष्पक्ष संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

के लिए एक्स 1और − x 1लिखें: x 1 2 = - c a , और के लिए x2- x 2 2 = - सी ए। संख्यात्मक समानताओं के गुणों के आधार पर, हम एक वास्तविक समानता को दूसरे पद से घटाते हैं, जो हमें मिलेगा: एक्स 1 2 − एक्स 2 2 = 0. अंतिम समानता को फिर से लिखने के लिए संख्या संक्रियाओं के गुणों का उपयोग करें (एक्स 1 - एक्स 2) (एक्स 1 + एक्स 2) = 0. यह ज्ञात है कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक संख्या शून्य हो। जो कहा गया है, उससे यही निष्कर्ष निकलता है x1 − x2 = 0और/या x1 + x2 = 0, जो वही है x2 = x1और/या एक्स 2 = − एक्स 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उत्पन्न हुआ, क्योंकि सबसे पहले इस बात पर सहमति थी कि समीकरण की जड़ x2से मतभेद होना एक्स 1और − x 1. इसलिए, हमने साबित कर दिया है कि समीकरण का x = - c a और x = - - c a के अलावा कोई अन्य मूल नहीं है।

हम उपरोक्त सभी तर्कों का सारांश प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 6

अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0समीकरण x 2 = - c a के समतुल्य है, जो:

• -c a पर जड़ें नहीं होंगी< 0 ;
• दो मूल होंगे x = - c a और x = - - c a जब - c a > 0।

आइए हम समीकरणों को हल करने के उदाहरण दें ए एक्स 2 + सी = 0.

उदाहरण 3

एक द्विघात समीकरण दिया गया है 9 x 2 + 7 = 0.इसका समाधान ढूंढना जरूरी है.

समाधान

हम मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, फिर समीकरण रूप ले लेगा 9 x 2 = - 7.
हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करते हैं 9 , हम x 2 = - 7 9 पर आते हैं। दाईं ओर हम ऋण चिह्न के साथ एक संख्या देखते हैं, जिसका अर्थ है: दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है। फिर मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 + 7 = 0जड़ें नहीं होंगी.

उत्तर:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं है.

उदाहरण 4

समीकरण को हल करना आवश्यक है − x2 + 36 = 0.

समाधान

आइए 36 को दाहिनी ओर ले जाएँ: − x 2 = − 36.
आइए दोनों भागों को विभाजित करें − 1 , हम पाते हैं x2 = 36. दाहिनी ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं एक्स = 36 या एक्स = - 36 .
हम मूल निकालते हैं और अंतिम परिणाम लिखते हैं: एक अधूरा द्विघात समीकरण − x2 + 36 = 0दो जड़ें हैं एक्स=6या एक्स = -6.

उत्तर: एक्स=6या एक्स = -6.

समीकरण का हल a x 2 +b x=0

आइए तीसरे प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करें, जब सी = 0. अपूर्ण द्विघात समीकरण का हल खोजना ए एक्स 2 + बी एक्स = 0, हम गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हैं। आइए हम कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हुए बहुपद का गुणनखंड करें, जो समीकरण के बाईं ओर है एक्स. यह कदम मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण को उसके समकक्ष में बदलना संभव बना देगा एक्स (ए एक्स + बी) = 0. और यह समीकरण, बदले में, समीकरणों के सेट के बराबर है एक्स=0और ए एक्स + बी = 0. समीकरण ए एक्स + बी = 0रैखिक, और इसकी जड़: एक्स = − बी ए.

परिभाषा 7

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स = 0दो जड़ें होंगी एक्स=0और एक्स = − बी ए.

आइए एक उदाहरण के साथ सामग्री को समेकित करें।

उदाहरण 5

समीकरण 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 का हल खोजना आवश्यक है।

समाधान

चलिए बाहर निकालते हैं एक्सकोष्ठक के बाहर और समीकरण प्राप्त करें x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0। यह समीकरण समीकरणों के समतुल्य है एक्स=0और 2 3 x - 2 2 7 = 0। अब आपको परिणामी रैखिक समीकरण को हल करना चाहिए: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3।

संक्षेप में, हम समीकरण का हल इस प्रकार लिखते हैं:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या 2 3 एक्स - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या एक्स = 3 3 7

उत्तर:एक्स = 0 , एक्स = 3 3 7 .

विवेचक, द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

द्विघात समीकरणों का हल खोजने के लिए, एक मूल सूत्र है:

परिभाषा 8

एक्स = - बी ± डी 2 ए, कहां डी = बी 2 − 4 ए सीद्विघात समीकरण का तथाकथित विभेदक है।

x = - b ± D 2 a लिखने का मूलतः मतलब यह है कि x 1 = - b + D 2 a, x 2 = - b - D 2 a।

यह समझना उपयोगी होगा कि संकेतित सूत्र कैसे प्राप्त हुआ और इसे कैसे लागू किया जाए।

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि हमारे सामने एक द्विघात समीकरण को हल करने का कार्य है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0. आइए कई समतुल्य परिवर्तन करें:

• समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करें ए, शून्य से भिन्न, हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: x 2 + b a x + c a = 0;
• परिणामी समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करें:
  एक्स 2 + बी ए एक्स + सी ए = एक्स 2 + 2 बी 2 ए एक्स + बी 2 ए 2 - बी 2 ए 2 + सी ए = = एक्स + बी 2 ए 2 - बी 2 ए 2 + सी ए
  इसके बाद, समीकरण यह रूप लेगा: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = 0;
• अब अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है, चिह्न को विपरीत में बदलना, जिसके बाद हमें मिलता है: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• अंततः, हम अंतिम समानता के दाईं ओर लिखी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करते हैं:
  बी 2 ए 2 - सी ए = बी 2 4 ए 2 - सी ए = बी 2 4 ए 2 - 4 ए सी 4 ए 2 = बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2।

इस प्रकार, हम समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर आ गए हैं, जो मूल समीकरण के बराबर है ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0.

हमने पिछले पैराग्राफ में ऐसे समीकरणों के समाधान (अपूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान) पर चर्चा की थी। पहले से प्राप्त अनुभव समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 की जड़ों के संबंध में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है:

• बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 के लिए< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 = 0 के लिए, समीकरण का रूप x + बी 2 · ए 2 = 0 है, फिर एक्स + बी 2 · ए = 0।

यहाँ से, एकमात्र मूल x = - b 2 · a स्पष्ट है;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, जो समान है जैसे कि x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 या x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, अर्थात। समीकरण की दो जड़ें हैं.

यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (और इसलिए मूल समीकरण) की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति अभिव्यक्ति b 2 - 4 a c के संकेत पर निर्भर करती है दाहिनी ओर 4·ए 2 लिखा है। और इस अभिव्यक्ति का चिह्न अंश, (हर) के चिह्न द्वारा दिया जाता है 4 ए 2सदैव सकारात्मक रहेगा), अर्थात अभिव्यक्ति का संकेत बी 2 − 4 ए सी. यह अभिव्यक्ति बी 2 − 4 ए सीएक नाम दिया गया है - एक द्विघात समीकरण का विभेदक और अक्षर D को इसके पदनाम के रूप में परिभाषित किया गया है। यहां आप विवेचक का सार लिख सकते हैं - इसके मूल्य और चिह्न से, वे निष्कर्ष निकालते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें होंगी, और यदि हां, तो कितनी जड़ें - एक या दो।

आइए समीकरण x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 पर वापस लौटें। आइए विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2।

आइए निष्कर्षों का पुनर्कथन करें:

परिभाषा 9

• पर डी< 0 समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं;
• पर डी=0समीकरण का एक ही मूल है x = - b 2 · a ;
• पर डी > 0समीकरण की दो जड़ें हैं: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 या x \u003d - b 2 a - D 4 a 2। रेडिकल के गुणों के आधार पर, इन जड़ों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x \u003d - b 2 a + D 2 a या - b 2 a - D 2 a। और जब हम मॉड्यूल खोलते हैं और भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हमें मिलता है: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a।

तो, हमारे तर्क का परिणाम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति था:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , विवेचक डीसूत्र द्वारा गणना की गई डी = बी 2 − 4 ए सी.

ये सूत्र इसे संभव बनाते हैं, जब विवेचक शून्य से अधिक होता है, तो दोनों वास्तविक जड़ों को निर्धारित करना संभव हो जाता है। जब विवेचक शून्य है, तो दोनों सूत्रों को लागू करने से द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के रूप में वही मूल मिलेगा। ऐसे मामले में जब विवेचक ऋणात्मक है, द्विघात मूल सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते समय, हमें ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ेगा, जो हमें वास्तविक संख्याओं से परे ले जाएगा। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण में वास्तविक जड़ें नहीं होंगी, लेकिन जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी संभव है, जो हमारे द्वारा प्राप्त समान मूल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

मूल सूत्र का उपयोग करके तुरंत द्विघात समीकरण को हल करना संभव है, लेकिन मूल रूप से यह तब किया जाता है जब जटिल जड़ों को ढूंढना आवश्यक होता है।

अधिकांश मामलों में, खोज आमतौर पर जटिल के लिए नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए होती है। फिर यह इष्टतम है, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, पहले विभेदक निर्धारित करें और सुनिश्चित करें कि यह नकारात्मक नहीं है (अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और फिर गणना करने के लिए आगे बढ़ें जड़ों का मूल्य.

उपरोक्त तर्क द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करना संभव बनाता है।

परिभाषा 10

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0, ज़रूरी:

• सूत्र के अनुसार डी = बी 2 − 4 ए सीविवेचक का मान ज्ञात करें;
• डी पर< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 के लिए समीकरण का एकमात्र मूल सूत्र x = - b 2 · a द्वारा ज्ञात करें;
• D > 0 के लिए, सूत्र x = - b ± D 2 · a द्वारा द्विघात समीकरण की दो वास्तविक जड़ें निर्धारित करें।

ध्यान दें कि जब विवेचक शून्य है, तो आप सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग कर सकते हैं, यह सूत्र x = - b 2 · a के समान परिणाम देगा।

उदाहरणों पर विचार करें.

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

हम विवेचक के विभिन्न मूल्यों के लिए उदाहरणों का समाधान प्रस्तुत करते हैं।

उदाहरण 6

समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है एक्स 2 + 2 एक्स - 6 = 0.

समाधान

हम द्विघात समीकरण के संख्यात्मक गुणांक लिखते हैं: a \u003d 1, b \u003d 2 और सी = − 6. अगला, हम एल्गोरिदम के अनुसार कार्य करते हैं, अर्थात। आइए विवेचक की गणना शुरू करें, जिसके लिए हम गुणांक ए, बी को प्रतिस्थापित करते हैं और सीविभेदक सूत्र में: डी = बी 2 - 4 ए सी = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28।

तो, हमें D > 0 मिला, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
उन्हें खोजने के लिए, हम मूल सूत्र x \u003d - b ± D 2 · a का उपयोग करते हैं और, उचित मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1। हम मूल के चिह्न से गुणनखंड निकालकर, उसके बाद भिन्न को घटाकर परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं:

एक्स = - 2 ± 2 7 2

एक्स = - 2 + 2 7 2 या एक्स = - 2 - 2 7 2

एक्स = - 1 + 7 या एक्स = - 1 - 7

उत्तर:एक्स = - 1 + 7 , एक्स = - 1 - 7 .

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक है − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

समाधान

आइए विभेदक को परिभाषित करें: डी = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. विवेचक के इस मान के साथ, मूल समीकरण में केवल एक मूल होगा, जो सूत्र x = - b 2 · a द्वारा निर्धारित होता है।

एक्स = - 28 2 (- 4) एक्स = 3, 5

उत्तर: एक्स = 3, 5.

उदाहरण 8

समीकरण को हल करना आवश्यक है 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

समाधान

इस समीकरण के संख्यात्मक गुणांक होंगे: a = 5, b = 6 और c = 2। विवेचक को खोजने के लिए हम इन मानों का उपयोग करते हैं: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4। परिकलित विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

ऐसे मामले में जब कार्य जटिल जड़ों को इंगित करना है, हम जटिल संख्याओं के साथ संचालन करके मूल सूत्र लागू करते हैं:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 या x = - 6 - 2 i 10,

एक्स = - 3 5 + 1 5 आई या एक्स = - 3 5 - 1 5 आई।

उत्तर:कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं; जटिल जड़ें हैं: - 3 5 + 1 5 आई, - 3 5 - 1 5 आई।

स्कूली पाठ्यक्रम में, एक मानक के रूप में, जटिल जड़ों को देखने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसलिए, यदि निर्णय के दौरान विवेचक को नकारात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो उत्तर तुरंत दर्ज किया जाता है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

सम द्वितीय गुणांक के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a c) एक और अधिक सघन सूत्र प्राप्त करना संभव बनाता है, जिससे आप x (या एक गुणांक के साथ) पर सम गुणांक के साथ द्विघात समीकरणों के समाधान ढूंढ सकते हैं। फॉर्म 2 ए एन का, उदाहरण के लिए, 2 3 या 14 एलएन 5 = 2 7 एलएन 5)। आइए दिखाते हैं कि यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि हमारे सामने द्विघात समीकरण a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 का हल खोजने का कार्य है। हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं: हम विवेचक D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) निर्धारित करते हैं, और फिर मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · सीए ।

मान लीजिए कि अभिव्यक्ति n 2 - a c को D 1 के रूप में दर्शाया गया है (कभी-कभी इसे D "के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ विचारित द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा:

x \u003d - n ± D 1 a, जहाँ D 1 \u003d n 2 - a c।

यह देखना आसान है कि D = 4 · D 1 , या D 1 = D 4 . दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का एक चौथाई है। जाहिर है, डी 1 का चिह्न डी के चिह्न के समान है, जिसका अर्थ है कि डी 1 का चिह्न द्विघात समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के संकेतक के रूप में भी काम कर सकता है।

परिभाषा 11

इस प्रकार, 2 n के दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरण का समाधान खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

• डी 1 = एन 2 - ए सी खोजें;
• डी 1 पर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 के लिए, समीकरण का एकमात्र मूल सूत्र x = - n a द्वारा निर्धारित करें;
• D 1 > 0 के लिए, सूत्र x = - n ± D 1 a का उपयोग करके दो वास्तविक जड़ें निर्धारित करें।

उदाहरण 9

द्विघात समीकरण 5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 को हल करना आवश्यक है।

समाधान

दिए गए समीकरण के दूसरे गुणांक को 2 · (− 3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। फिर हम दिए गए द्विघात समीकरण को 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं, जहां a = 5, n = - 3 और c = - 32 है।

आइए विवेचक के चौथे भाग की गणना करें: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169। परिणामी मान धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। हम उन्हें जड़ों के संगत सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं:

एक्स = - एन ± डी 1 ए , एक्स = - - 3 ± 169 5 , एक्स = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 या x = 3 - 13 5

एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके गणना करना संभव होगा, लेकिन इस मामले में समाधान अधिक बोझिल होगा।

उत्तर:एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2।

द्विघात समीकरणों के स्वरूप का सरलीकरण

कभी-कभी मूल समीकरण के रूप को अनुकूलित करना संभव होता है, जो जड़ों की गणना करने की प्रक्रिया को सरल बना देगा।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 स्पष्ट रूप से 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 की तुलना में हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।

अधिकतर, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण उसके दोनों भागों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर हमने समीकरण 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 का एक सरलीकृत रिकॉर्ड दिखाया है, जो इसके दोनों भागों को 100 से विभाजित करके प्राप्त किया गया है।

ऐसा परिवर्तन तब संभव है जब द्विघात समीकरण के गुणांक अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ न हों। फिर, आमतौर पर, समीकरण के दोनों भागों को उसके गुणांकों के निरपेक्ष मानों के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है।

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 का उपयोग करते हैं। आइए हम इसके गुणांकों के निरपेक्ष मानों के जीसीडी को परिभाषित करें: जीसीडी (12 , 42 , 48) = जीसीडी(जीसीडी (12 , 42) , 48) = जीसीडी (6 , 48) = 6 . आइए मूल द्विघात समीकरण के दोनों भागों को 6 से विभाजित करें और समतुल्य द्विघात समीकरण 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 प्राप्त करें।

द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करने से भिन्नात्मक गुणांक आमतौर पर समाप्त हो जाते हैं। इस स्थिति में, इसके गुणांकों के हरों के लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 के प्रत्येक भाग को LCM (6, 3, 1) = 6 से गुणा किया जाए, तो इसे सरल रूप में x 2 + लिखा जाएगा। 4 एक्स - 18 = 0 .

अंत में, हम देखते हैं कि लगभग हमेशा द्विघात समीकरण के पहले गुणांक पर ऋण से छुटकारा मिलता है, समीकरण के प्रत्येक पद के संकेतों को बदलना, जो दोनों भागों को − 1 से गुणा (या विभाजित) करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 से, आप इसके सरलीकृत संस्करण 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 पर जा सकते हैं।

मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरणों के मूलों के लिए पहले से ज्ञात सूत्र x = - b ± D 2 · a समीकरण के मूलों को उसके संख्यात्मक गुणांकों के रूप में व्यक्त करता है। इस सूत्र के आधार पर, हमारे पास मूलों और गुणांकों के बीच अन्य निर्भरताएँ निर्धारित करने का अवसर है।

विएटा प्रमेय के सूत्र सबसे प्रसिद्ध और लागू हैं:

x 1 + x 2 = - b a और x 2 = c a।

विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाला दूसरा गुणांक होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 के रूप से, यह तुरंत निर्धारित करना संभव है कि इसकी जड़ों का योग 7 3 है, और जड़ों का उत्पाद 22 3 है।

आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध भी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2।

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मुझे आशा है कि इस लेख का अध्ययन करने के बाद, आप सीखेंगे कि पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें कैसे खोजें।

विवेचक की सहायता से केवल पूर्ण द्विघात समीकरण ही हल किए जाते हैं; अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है, जो आपको "अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना" लेख में मिलेगा।

किस द्विघात समीकरण को पूर्ण कहा जाता है? यह ax 2 + b x + c = 0 के रूप के समीकरण, जहां गुणांक ए, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, संपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको विवेचक डी की गणना करने की आवश्यकता है।

डी = बी 2 - 4एसी।

विवेचक के पास क्या मूल्य है, इसके आधार पर हम उत्तर लिखेंगे।

यदि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है (D< 0),то корней нет.

यदि विवेचक शून्य है, तो x \u003d (-b) / 2a। जब विवेचक एक धनात्मक संख्या (D > 0) हो,

तब x 1 = (-b - √D)/2a, और x 2 = (-b + √D)/2a।

उदाहरण के लिए। प्रश्न हल करें एक्स 2– 4x + 4= 0.

डी = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

उत्तर: 2.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + एक्स + 3 = 0.

डी = 1 2 - 4 2 3 = - 23

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + 5x - 7 = 0.

डी = 5 2 - 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3.5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

उत्तर:-3.5; 1.

तो आइए चित्र 1 में दी गई योजना के अनुसार पूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान की कल्पना करें।

इन सूत्रों का उपयोग किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। आपको बस सावधान रहने की जरूरत है समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा गया था

ए एक्स 2 + बीएक्स + सी,अन्यथा आप गलती कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 + 2x 2 = 0 लिखते समय, आप गलती से यह तय कर सकते हैं कि

ए = 1, बी = 3 और सी = 2. फिर

डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 और फिर समीकरण के दो मूल हैं। और ये सच नहीं है. (ऊपर उदाहरण 2 समाधान देखें)।

इसलिए, यदि समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में नहीं लिखा जाता है, तो पहले पूर्ण द्विघात समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा जाना चाहिए (पहले स्थान पर सबसे बड़े घातांक वाला एकपदी होना चाहिए, अर्थात) ए एक्स 2 , फिर कम के साथ – बीएक्स, और फिर मुक्त अवधि साथ।

उपरोक्त द्विघात समीकरण और दूसरे पद के लिए सम गुणांक वाले द्विघात समीकरण को हल करते समय, अन्य सूत्रों का भी उपयोग किया जा सकता है। आइये इन सूत्रों से परिचित होते हैं। यदि दूसरे पद के साथ पूर्ण द्विघात समीकरण में गुणांक सम (बी = 2k) है, तो चित्र 2 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल किया जा सकता है।

यदि गुणांक पर हो तो पूर्ण द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है एक्स 2 एकता के बराबर होता है और समीकरण रूप लेता है एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. ऐसे समीकरण को हल करने के लिए दिया जा सकता है, या समीकरण के सभी गुणांकों को गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है एपर खड़ा है एक्स 2 .

चित्र 3 कम किए गए वर्ग के समाधान का एक आरेख दिखाता है
समीकरण. इस आलेख में चर्चा किए गए सूत्रों के अनुप्रयोग के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

3एक्स 2 + 6x - 6 = 0.

आइए चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

डी = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = -1 - √ 3

x 2 = (-6 + 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1 + √ (3))) / 6 = -1 + √ 3

उत्तर: -1 - √3; –1 + √3

आप देख सकते हैं कि इस समीकरण में x पर गुणांक एक सम संख्या है, अर्थात b = 6 या b = 2k, जहाँ से k = 3. तो आइए चित्र आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें डी 1 = 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(डी 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

उत्तर: -1 - √3; –1 + √3. यह देखते हुए कि इस द्विघात समीकरण में सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं और विभाजित करने पर, हमें लघु द्विघात समीकरण x 2 + 2x - 2 = 0 प्राप्त होता है। हम इस समीकरण को लघु द्विघात समीकरण के सूत्रों का उपयोग करके हल करते हैं।
समीकरण चित्र 3.

डी 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(डी 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 = (-2 + 2 √ 3) / 2 = (2 (-1 + √ (3))) / 2 = - 1 + √ 3

उत्तर: -1 - √3; –1 + √3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने पर हमें एक ही उत्तर मिला। इसलिए, चित्र 1 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों में अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप हमेशा किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

द्विघात समीकरणया एक अज्ञात के साथ दूसरी डिग्री का समीकरण एक समीकरण है, जिसे परिवर्तनों के बाद निम्नलिखित रूप में घटाया जा सकता है:

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 - द्विघात समीकरण

कहाँ एक्सअज्ञात है, और ए, बीऔर सी- समीकरण के गुणांक. द्विघात समीकरणों में एप्रथम गुणांक कहलाता है ( ए ≠ 0), बीदूसरा गुणांक कहा जाता है, और सीज्ञात या स्वतंत्र सदस्य कहलाता है।

समीकरण:

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0

बुलाया पूराद्विघात समीकरण। यदि गुणांकों में से एक बीया सीशून्य है, या ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हैं, तो समीकरण को अपूर्ण द्विघात समीकरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

कम किया गया द्विघात समीकरण

संपूर्ण द्विघात समीकरण को उसके सभी पदों को विभाजित करके अधिक सुविधाजनक रूप में बदला जा सकता है ए, अर्थात्, पहले गुणांक के लिए:

समीकरण एक्स 2 + पिक्सल + क्यू= 0 को लघु द्विघात समीकरण कहा जाता है। इसलिए, कोई भी द्विघात समीकरण जिसमें पहला गुणांक 1 के बराबर है, कम कहा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण:

एक्स 2 + 10एक्स - 5 = 0

घटाया गया है, और समीकरण:

3एक्स 2 + 9एक्स - 12 = 0

उपरोक्त समीकरण को उसके सभी पदों को -3 से विभाजित करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

एक्स 2 - 3एक्स + 4 = 0

द्विघात समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको इसे निम्नलिखित में से किसी एक रूप में लाना होगा:

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0

कुल्हाड़ी 2 + 2केएक्स + सी = 0

एक्स 2 + पिक्सल + क्यू = 0

प्रत्येक प्रकार के समीकरण का मूल ज्ञात करने का अपना सूत्र होता है:

समीकरण पर ध्यान दें:

कुल्हाड़ी 2 + 2केएक्स + सी = 0

यह परिवर्तित समीकरण है कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी= 0, जिसमें गुणांक बी- यहां तक ​​कि, जो इसे टाइप 2 द्वारा प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है क. इसलिए, इस समीकरण के मूल ज्ञात करने के सूत्र को 2 प्रतिस्थापित करके सरल बनाया जा सकता है कके बजाय बी:

उदाहरण 1प्रश्न हल करें:

3एक्स 2 + 7एक्स + 2 = 0

चूँकि समीकरण में दूसरा गुणांक एक सम संख्या नहीं है, और पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है, हम पहले सूत्र का उपयोग करके मूलों की तलाश करेंगे, जिसे द्विघात समीकरण की जड़ें खोजने के लिए सामान्य सूत्र कहा जाता है। सर्वप्रथम

ए = 3, बी = 7, सी = 2

अब, समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, हम केवल गुणांकों के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक्स 1 =	-2	= -	1	, एक्स 2 =	-12	= -2
	6		3		6

उत्तर: -	1	, -2.
	3

उदाहरण 2:

एक्स 2 - 4एक्स - 60 = 0

आइए निर्धारित करें कि गुणांक किसके बराबर हैं:

ए = 1, बी = -4, सी = -60

चूँकि समीकरण में दूसरा गुणांक एक सम संख्या है, हम सम दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे:

एक्स 1 = 2 + 8 = 10, एक्स 2 = 2 - 8 = -6

उत्तर: 10, -6.

उदाहरण 3

य 2 + 11य = य - 25

आइए समीकरण को सामान्य रूप में लाएं:

य 2 + 11य = य - 25

य 2 + 11य - य + 25 = 0

य 2 + 10य + 25 = 0

आइए निर्धारित करें कि गुणांक किसके बराबर हैं:

ए = 1, पी = 10, क्यू = 25

चूँकि पहला गुणांक 1 के बराबर है, हम उपरोक्त समीकरणों के लिए सम दूसरे गुणांक वाले सूत्र का उपयोग करके मूलों की तलाश करेंगे:

उत्तर: -5.

उदाहरण 4

एक्स 2 - 7एक्स + 6 = 0

आइए निर्धारित करें कि गुणांक किसके बराबर हैं:

ए = 1, पी = -7, क्यू = 6

चूँकि पहला गुणांक 1 के बराबर है, हम विषम दूसरे गुणांक वाले दिए गए समीकरणों के सूत्र का उपयोग करके मूलों की तलाश करेंगे:

एक्स 1 = (7 + 5) : 2 = 6, एक्स 2 = (7 - 5) : 2 = 1

अभी-अभी। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार. पहले चरण में

दिए गए समीकरण को मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात देखने के लिए:

यदि समीकरण आपको पहले से ही इस रूप में दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात सही है

सभी गुणांक निर्धारित करें ए, बीऔर सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र।

मूल चिन्ह के नीचे वाले भाव को कहते हैं विभेदक . जैसा कि आप देख सकते हैं, x खोजने के लिए, हम

उपयोग केवल ए, बी और सी. वे। से संभावना द्विघात समीकरण. बस ध्यान से डालें

मान ए, बी और सीइस सूत्र में और गिनें। के साथ प्रतिस्थापित करें उनकासंकेत!

उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी = -4.

मानों को प्रतिस्थापित करें और लिखें:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यह उत्तर है.

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बीऔर साथ. बल्कि, प्रतिस्थापन के साथ

जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मान। यहां विस्तृत सूत्र सहेजा गया है

विशिष्ट संख्याओं के साथ. यदि गणना में समस्या हो तो करें!

मान लीजिए हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहाँ ए = -6; बी = -5; सी = -1

हम सभी चिह्नों और कोष्ठकों के साथ कुछ भी खोए बिना, हर चीज़ को विस्तार से, सावधानीपूर्वक चित्रित करते हैं:

अक्सर द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं।

पहला रिसेप्शन. पहले आलसी मत बनो द्विघात समीकरण को हल करनाइसे मानक रूप में लाएँ।

इसका अर्थ क्या है?

मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिला देंगे ए, बी और सी.

उदाहरण सही ढंग से बनाएं. पहले, x वर्ग, फिर बिना वर्ग, फिर एक स्वतंत्र सदस्य। इस कदर:

माइनस से छुटकारा पाएं. कैसे? हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप सुरक्षित रूप से जड़ों के लिए सूत्र लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण पूरा कर सकते हैं।

आप स्वयं निर्णय लें. आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत.अपनी जड़ों की जाँच करें! द्वारा विएटा का प्रमेय.

दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अर्थात यदि गुणांक

x2+bx+c=0,

तबएक्स 1 एक्स 2 =सी

x1 +x2 =−बी

जिसमें पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए a≠1:

एक्स 2+बीएक्स+सी=0,

पूरे समीकरण को इससे विभाजित करें ए:

→ →

कहाँ एक्स 1और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें.

स्वागत तीसरा. यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! गुणा

एक सामान्य हर के लिए समीकरण.

निष्कर्ष। व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने कोई ऋणात्मक गुणांक है, तो हम सभी को गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं

-1 के लिए समीकरण.

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत से गुणा करके भिन्नों को समाप्त कर देते हैं

कारक।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसका गुणांक एक के बराबर है, समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है