V tej lekciji si bomo ogledali še dve vektorski operaciji: vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takoj povezava, kdo jo potrebuje)... Nič hudega, včasih se zgodi, da za popolno srečo poleg pik produkt vektorjev, traja vedno več. Takšna je vektorska odvisnost. Lahko bi dobili vtis, da gremo v džunglo analitične geometrije. To ni res. V tem oddelku višje matematike je praviloma premalo drv, le da je dovolj za Buratino. Pravzaprav je material zelo pogost in preprost - komaj bolj zapleten od enakega skalarni produkt, tipičnih opravil bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, o čemer se bodo mnogi prepričali ali so se že prepričali, je, DA SE NE ZMOTI V IZRAČUNIH. Ponovite kot urok in srečni boste =)

Če vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, je vseeno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami, poskušal sem zbrati najbolj popolno zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktičnih delih

Kako vam takoj ugoditi? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema ali celo tremi žogicami. Spretno se je izkazalo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili samo prostorski vektorji, ravninski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. zakaj? Tako so se rodila ta dejanja - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Je že lažje!

Ta operacija, na enak način kot pri pik produktu, vključuje dva vektorja... Naj bodo to neminljiva pisma.

Sama akcija označeno na naslednji način:. Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen označevati vektorski produkt vektorjev tako, v oglatih oklepajih s križcem.

In takoj vprašanje: če je v pik produkt vektorjev vpletena sta dva vektorja in tudi tukaj se dva vektorja pomnožita kakšna je razlika? Očitna razlika je najprej v REZULTATU:

Rezultat pik produkta vektorjev je ŠTEVILKA:

Rezultat vektorskega produkta vektorjev je VEKTOR:, torej pomnožimo vektorje in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod tudi ime operacije. V različni izobraževalni literaturi se lahko oznake tudi razlikujejo, uporabil bom črko.

Opredelitev navzkrižnega produkta

Najprej bo definicija s sliko, nato pa komentarji.

Opredelitev: Po vektorskem produktu nekolinearno vektorji, vzeti v tem vrstnem redu, imenovan VECTOR, dolžina kar številčno enako površini paralelograma temelji na teh vektorjih; vektor ortogonalno na vektorje, in je usmerjen tako, da ima osnova pravilno usmerjenost:

Definicijo analiziramo po kosteh, veliko je zanimivih stvari!

Torej lahko izpostavimo naslednje bistvene točke:

1) Izvirni vektorji, označeni z rdečimi puščicami, po definiciji ne kolinearno... Primer kolinearnih vektorjev bo obravnavati nekoliko kasneje.

2) Vektorji so vzeti v strogo določenem vrstnem redu: – "A" se pomnoži z "bh", in ne "bh" do "a". Rezultat vektorskega množenja je VEKTOR, ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in v nasprotni smeri (rdeča barva). To pomeni, da je enakost resnična .

3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatne vektorje) je številčno enaka POVRŠINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram osenčen s črno.

Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina križnega produkta ni enaka površini paralelograma.

Spomnimo se ene od geometrijskih formul: površina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic s sinusom kota med njima... Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:

Poudarjam, da v formuli govorimo o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kaj je praktična poanta? In pomen je, da v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najdemo skozi koncept vektorskega produkta:

Dobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga razdeli na dva enaka trikotnika. Zato lahko površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), najdemo po formuli:

4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor ortogonalen na vektorje, tj. ... Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (crvena puščica) ortogonalen na izvirne vektorje.

5) Vektor je usmerjen tako, da osnova Ima prav orientacijo. V lekciji o prehod na novo osnovo Dovolj podrobno sem govoril o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kakšna je orientacija prostora. Na prste vam bom razložil desno roko... Mentalno združiti kazalec z vektorjem in sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite na dlan. Kot rezultat palec- navzkrižni izdelek bo pogledal navzgor. To je desno usmerjena osnova (na sliki je to). Zdaj spremenite vektorje ( kazalec in srednji prst) na mestih se bo zaradi tega palec razprl, križni izdelek pa bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: kaj je osnova leve orientacije? "Dodeli" istim prstom leva roka vektorjev ter dobimo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja)... Slikovito rečeno, te podlage "zasukajo" ali usmerijo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli obravnavati kot nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, orientacijo prostora spremeni najbolj navadno ogledalo, in če "odsevani predmet potegnete iz ogledala", potem v splošnem primeru ne bo mogoče kombinirati z "originalom". Mimogrede, prinesite tri prste k ogledalu in analizirajte odsev ;-)

... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno osnove, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi orientacije grozne =)

Navzkrižni produkt kolinearnih vektorjev

Definicija je bila podrobno analizirana, še vedno je treba ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, se lahko nahajajo na eni ravni črti in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Področje takega, kot pravijo matematiki, degenerirati paralelogram je nič. Enako sledi iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina nič.

Torej, če, potem in ... Upoštevajte, da je sam navzkrižni produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in zapiše, da je tudi nič.

Poseben primer je vektorski produkt vektorja sam po sebi:

Z navzkrižnim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim pa bomo analizirali tudi ta problem.

Za reševanje praktičnih primerov boste morda potrebovali trigonometrična miza da iz njega poiščete vrednosti sinusa.

No, zakurimo ogenj:

Primer 1

a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če

b) Poišči površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če

Rešitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namenoma sem izenačil začetne podatke v klavzulah pogoja. Ker bo zasnova rešitev drugačna!

a) Po pogoju je treba najti dolžina vektor (vektorski produkt). Po ustrezni formuli:

Odgovori:

Ker je bilo vprašanje o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.

b) Po pogoju je treba najti kvadratni paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini vektorskega produkta:

Odgovori:

Upoštevajte, da odgovor o vektorskem produktu sploh ne pride v poštev, o katerem so nas spraševali območje figure, oziroma je dimenzija kvadratne enote.

Vedno pogledamo, KAJ se zahteva, da bi našli pogoj, in na podlagi tega formuliramo jasno odgovori. Morda se zdi kot dobesednost, vendar je med učitelji dovolj literalistov in naloga z dobrimi možnostmi se bo vrnila v revizijo. Čeprav to ni posebej napeto prigovarjanje - če je odgovor napačen, potem dobimo vtis, da oseba ne razume preprostih stvari in / ali ne razume bistva naloge. Ta trenutek je treba vedno držati pod nadzorom, reševati kakršen koli problem pri višji matematiki, pa tudi pri drugih predmetih.

Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi se lahko še dodatno zataknilo v rešitev, a da bi skrajšal snemanje, nisem. Upam, da to vsi razumejo in da je oznaka iste stvari.

Priljubljen primer rešitve naredi sam:

Primer 2

Poiščite površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Formula za iskanje površine trikotnika skozi križni produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

V praksi je naloga res zelo pogosta, trikotniki vas na splošno lahko mučijo.

Za reševanje drugih težav potrebujemo:

Vektorske lastnosti izdelka

Nekatere lastnosti navzkrižnega izdelka smo že obravnavali, vendar jih bom vključil na ta seznam.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) V drugih virih informacij ta postavka običajno ni označena v lastnostih, je pa v praksi zelo pomembna. Naj bo torej.

2) - nepremičnina je obravnavana tudi zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost... Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.

3) - kombinacija oz asociativno zakoni vektorskega produkta. Konstante se brez težav odstranijo izven vektorskega produkta. Pravzaprav, kaj naj tam počnejo?

4) - distribucija oz distribucijski zakoni vektorskega produkta. Tudi z razširitvijo oklepajev ni težav.

Kot predstavitev si oglejte kratek primer:

Primer 3

Poiščite če

rešitev: Glede na pogoj je spet potrebno najti dolžino križnega produkta. Napišimo svojo sličico:

(1) Po asociativnih zakonih premaknemo konstante izven delitve vektorskega produkta.

(2) Konstanto premaknemo iz modula, medtem ko modul "poje" predznak minus. Dolžina ne more biti negativna.

(3) Kar sledi, je jasno.

Odgovori:

Čas je, da pristavimo drva na ogenj:

Primer 4

Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Rešitev: Površino trikotnika najdemo s formulo ... Ulov je v tem, da sta vektorja "tse" in "de" sama predstavljena kot vsote vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera 3 in 4 lekcije Pik produkt vektorjev... Zaradi jasnosti razdelimo rešitev na tri stopnje:

1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt v smislu vektorskega produkta, pravzaprav izrazite vektor v smislu vektorja... O dolžinah še niti besede!

(1) Nadomestni vektorski izrazi.

(2) Z uporabo distribucijskih zakonov razširimo oklepaje po pravilu množenja polinomov.

(3) Z asociativnimi zakoni premaknemo vse konstante izven vektorskih produktov. Z malo izkušenj lahko dejanja 2 in 3 izvedete hkrati.

(4) Prvi in ​​zadnji člen sta zaradi prijetne lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem izrazu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:

(5) Predstavljamo podobne izraze.

Posledično je bil vektor izražen z vektorjem, kar je bilo potrebno doseči:

2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno 3. primeru:

3) Poiščite površino zahtevanega trikotnika:

Faze 2-3 odločitve se lahko zaključijo v eni vrstici.

Odgovori:

Obravnavana težava je precej pogosta v testnih nalogah, tukaj je primer za samostojno rešitev:

Primer 5

Poiščite če

Kratka rešitev in odgovor na koncu vadnice. Poglejmo, kako previdni ste bili pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)

Vektorski produkt vektorjev v koordinatah

podano na ortonormalni osnovi, izraženo s formulo:

Formula je res preprosta: v zgornjo vrstico determinante napišemo koordinatne vektorje, v drugo in tretjo vrstico »damo« koordinate vektorjev in vpišemo v strogem redu- najprej koordinate vektorja "ve", nato koordinate vektorja "double-ve". Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zamenjati:

Primer 10

Preverite, ali so naslednji vektorji prostora kolinearni:
a)
b)

Rešitev: Preverjanje temelji na eni od trditev v tej lekciji: če so vektorji kolinearni, je njihov navzkrižni produkt enak nič (ničelni vektor): .

a) Poiščite navzkrižni produkt:

Tako vektorji niso kolinearni.

b) Poiščite navzkrižni produkt:

Odgovori: a) ni kolinearno, b)

Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.

Ta razdelek ne bo zelo velik, saj ni veliko nalog, kjer se uporablja mešani produkt vektorjev. Pravzaprav bo vse ostalo na definiciji, geometrijskem pomenu in nekaj delujočih formulah.

Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorjev:

Tako so se postavili v vrsto z malim vlakcem in čakajo, komaj čakajo, da jih ugotovijo.

Najprej spet definicija in slika:

Opredelitev: Mešano delo nekoplanarno vektorji, vzeti v tem vrstnem redu se imenuje prostornina paralelepipeda, zgrajena na danih vektorjih, opremljena z znakom »+«, če je osnova desna, in znakom »-«, če je osnova leva.

Dopolnimo risbo. Črte, ki so nam nevidne, so narisane s pikčasto črto:

Poglobimo se v definicijo:

2) Vektorji so vzeti v določenem vrstnem redu, torej permutacija vektorjev v izdelku, kot morda ugibate, ne mine brez posledic.

3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom omenil očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO:. V izobraževalni literaturi je zasnova lahko nekoliko drugačna, navajen sem označevati mešano delo skozi, rezultat izračunov pa s črko "pe".

Po definiciji mešani produkt je prostornina paralelepipeda zgrajena na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako volumnu tega paralelepipeda.

Opomba : risba je shematična.

4) Ne obremenjujmo se na novo s konceptom osnovne in prostorske orientacije. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešano delo je lahko negativno:.

Formula za izračun prostornine paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih, izhaja neposredno iz definicije.

7.1. Opredelitev navzkrižnega produkta

Trije nekomplanarni vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desni trojček, če je od konca tretjega vektorja c najkrajša rotacija od prvega vektorja a do drugega vektorja b v nasprotni smeri urinega kazalca in levo , če je v smeri urinega kazalca (glej sliko . šestnajst).

Vektorski produkt vektorja a z vektorjem b je vektor c, ki:

1. Pravokotno na vektorja a in b, to je c ^ a in c ^ b;

2. Ima dolžino, ki je številčno enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a inb kot na straneh (glej sliko 17), tj.

3. Vektorji a, b in c tvorijo desni trojček.

Navzkrižni produkt je označen z a x b ali [a, b]. Definicija vektorskega produkta neposredno implicira naslednje odnose med vektorji i, j in k(glej sliko 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo npr i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, vendar | i x j| = | i | | J | sin (90 °) = 1;

3) vektorji i, j in k tvorijo desni trojček (glej sliko 16).

7.2. Vektorske lastnosti izdelka

1. Ko se faktorji prerazporedijo, vektorski produkt spremeni predznak; a xb = (b xa) (glej sliko 19).

Vektorja a xb in b sta kolinearna, imata enake module (območje paralelograma ostane nespremenjeno), vendar nasprotni smeri (trojke a, b, a xb in a, b, b x a nasprotne orientacije). to je a xb = -(b xa).

2. Vektorski produkt ima kombinatorno lastnost glede na skalarni faktor, to je l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Naj je l> 0. Vektor l (a xb) je pravokoten na vektorja a in b. Vektor ( l a) x b je tudi pravokotna na vektorje a in b(vektorji a, l in ležijo v isti ravnini). Zato vektorji l(a xb) in ( l a) x b kolinearno. Očitno njune smeri sovpadajo. Imeti enako dolžino:

Torej l(a хb) = l a xb. Podobno je mogoče dokazati za l<0.

3. Dva neničelna vektorja a in b kolinearno, če in samo če je njihov navzkrižni produkt enak ničelnemu vektorju, t.j. a || b<=>a xb = 0.

Zlasti i * i = j * j = k * k = 0.

4. Vektorski produkt ima lastnost porazdelitve:

(a + b) xc = a xc + b xc

Sprejeli ga bomo brez dokazov.

7.3. Izraz navzkrižnega produkta v koordinatah

Uporabili bomo tabelo navzkrižnih produktov vektorjev i, j in k:

če smer najkrajše poti od prvega vektorja do drugega sovpada s smerjo puščice, je produkt enak tretjemu vektorju, če ne, se tretji vektor vzame s predznakom minus.

Naj sta podana dva vektorja a = a x i + a y j+ a z k in b = b x jaz+ b y j+ b z k... Poiščimo navzkrižni produkt teh vektorjev in jih pomnožimo kot polinome (glede na lastnosti navzkrižnega produkta):

Dobljeno formulo lahko zapišemo še krajše:

saj desna stran enakosti (7.1) ustreza razširitvi determinante tretjega reda glede na elemente prve vrstice Enakost (7.2) si je enostavno zapomniti.

7.4. Nekatere aplikacije vektorskega dela

Vzpostavljanje kolinearnih vektorjev

Iskanje površine paralelograma in trikotnika

Po definiciji vektorskega produkta vektorjev a in b | a xb | =| a | * | b | sin g, to je S parov = | a x b |. In zato je D S = 1/2 | a x b |.

Določanje momenta sile glede na točko

V točki A naj deluje sila F = AB naj gre O- neka točka v prostoru (glej sliko 20).

Iz fizike je znano, da moment sile F glede na točko O se imenuje vektor M, ki gre skozi točko O in:

1) pravokotno na ravnino, ki poteka skozi točke O, A, B;

2) številčno enako zmnožku sile na ramo

3) tvori desni triplet z vektorjema OA in AB.

Zato je M = OA x F.

Iskanje linearne hitrosti vrtenja

Hitrost v točka M togega telesa, ki se vrti s kotno hitrostjo w okoli fiksne osi, je določena z Eulerjevo formulo v = w хr, kjer je r = ОМ, kjer je О neka fiksna točka osi (glej sliko 21).

Preden podamo koncept vektorskega produkta, se obrnimo na vprašanje orientacije urejenega trojčka vektorjev a →, b →, c → v tridimenzionalnem prostoru.

Za začetek odložimo vektorje a →, b →, c → iz ene točke. Usmeritev trojke a →, b →, c → je lahko desna ali leva, odvisno od smeri samega vektorja c →. Iz smeri, v kateri je izvedena najkrajša rotacija od vektorja a → do b → od konca vektorja c →, bo določena oblika trojke a →, b →, c →.

Če je najkrajša rotacija v nasprotni smeri urinega kazalca, se trojček vektorjev a →, b →, c → imenuje pravče v smeri urinega kazalca - levo.

Nato vzemite dva nekolinearna vektorja a → in b →. Nato prestavimo vektorja A B → = a → in A C → = b → iz točke A. Konstruiramo vektor A D → = c →, ki je hkrati pravokoten tako na A B → kot na A C →. Tako lahko pri konstruiranju samega vektorja A D → = c → naredimo dve stvari in mu damo eno ali nasprotno smer (glej sliko).

Urejena trojka vektorjev a →, b →, c → je lahko, kot smo ugotovili, desna ali leva, odvisno od smeri vektorja.

Iz zgornjega lahko uvedemo definicijo navzkrižnega produkta. Ta definicija je podana za dva vektorja, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora.

Opredelitev 1

Vektorski produkt dveh vektorjev a → in b → tak vektor bomo imenovali v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora, tako da:

• če sta vektorja a → in b → kolinearna, bo enak nič;
• bo pravokoten tako na vektor a → kot na vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• njegova dolžina je določena s formulo: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• trojka vektorjev a →, b →, c → ima enako orientacijo kot dani koordinatni sistem.

Vektorski produkt vektorjev a → in b → ima naslednji zapis: a → × b →.

Vektorske koordinate izdelka

Ker ima vsak vektor določene koordinate v koordinatnem sistemu, lahko vnesete drugo definicijo navzkrižnega produkta, ki vam bo omogočila iskanje njegovih koordinat po danih koordinatah vektorjev.

Opredelitev 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora vektorski produkt dveh vektorjev a → = (a x; a y; a z) in b → = (b x; b y; b z) imenujemo vektor c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, kjer je i →, j →, k → so koordinatni vektorji.

Vektorski produkt lahko predstavimo kot determinanto kvadratne matrike tretjega reda, kjer so prva vrstica vektorji enotnih vektorjev i →, j →, k →, druga vrstica vsebuje koordinate vektorja a →, in tretji vsebuje koordinate vektorja b → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu, ta determinanta matrike izgleda takole: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Če to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enakost: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vektorske lastnosti izdelka

Znano je, da je vektorski produkt v koordinatah predstavljen kot determinanta matrike c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, nato pa na podlagi lastnosti determinante matrike prikaže naslednje vektorske lastnosti izdelka:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a →;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ali a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. asociativnost λ a → × b → = λ a → × b → ali a → × (λ b →) = λ a → × b →, kjer je λ poljubno realno število.

Teh lastnosti ni težko dokazati.

Kot primer lahko dokažemo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji je a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z in b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. In če sta dve vrstici matrike preurejeni, se mora vrednost determinante matrike spremeniti v nasprotno, torej a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, kar in dokazuje antikomutativnost vektorskega produkta.

Vektorski izdelek - primeri in rešitve

V večini primerov obstajajo tri vrste nalog.

V nalogah prve vrste so običajno podane dolžine dveh vektorjev in kot med njima, vendar morate najti dolžino navzkrižnega produkta. V tem primeru uporabite naslednjo formulo c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Primer 1

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev a → in b →, če poznate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rešitev

Z določitvijo dolžine vektorskega produkta vektorjev a → in b → bomo rešili ta problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

odgovor: 15 2 2 .

Problemi druge vrste so povezani s koordinatami vektorjev, v njih navzkrižni produkt, njegova dolžina itd. iščejo po znanih koordinatah danih vektorjev a → = (a x; a y; a z) in b → = (b x; b y; b z) .

Za to vrsto naloge lahko rešite veliko možnosti za naloge. Na primer, ne moremo podati koordinat vektorjev a → in b →, temveč njihove razširitve v koordinatnih vektorjih oblike b → = b x i → + b y j → + b z k → in c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → ali pa je mogoče določiti vektorja a → in b → po koordinatah njihove začetne in končne točke.

Razmislite o naslednjih primerih.

Primer 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu sta podana dva vektorja a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Poiščite njihov navzkrižni produkt.

Rešitev

Po drugi definiciji najdemo vektorski produkt dveh vektorjev v danih koordinatah: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Če vektorski produkt zapišemo skozi determinanto matrike, potem je rešitev tega primera videti takole: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Primer 3

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev i → - j → in i → + j → + k →, kjer so i →, j →, k → enotni vektorji pravokotnega kartezijanskega koordinatnega sistema.

Rešitev

Najprej poiščemo koordinate danega vektorskega produkta i → - j → × i → + j → + k → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Znano je, da imata vektorja i → - j → in i → + j → + k → koordinate (1; - 1; 0) oziroma (1; 1; 1). Poiščimo dolžino vektorskega produkta z determinanto matrike, potem imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Zato ima vektorski produkt i → - j → × i → + j → + k → koordinate (- 1; - 1; 2) v danem koordinatnem sistemu.

Dolžino vektorskega produkta najdemo po formuli (glej poglavje o iskanju dolžine vektorja): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Primer 4

V pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu so podane koordinate treh točk A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Poiščite vektor, pravokoten na A B → in A C → hkrati.

Rešitev

Vektorja A B → in A C → imata naslednje koordinate (- 1; 2; 2) oziroma (0; 4; 1). Ko smo našli vektorski produkt vektorjev A B → in A C →, je očitno, da je po definiciji pravokoten vektor tako na A B → kot na A C →, torej je rešitev našega problema. Najdimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k →. - eden od pravokotnih vektorjev.

Problemi tretje vrste so usmerjeni v uporabo lastnosti vektorskega produkta vektorjev. Po uporabi katerega bomo dobili rešitev zadanega problema.

Primer 5

Vektorja a → in b → sta pravokotna in njuni dolžini sta 3 oziroma 4. Poiščite dolžino vektorskega produkta 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Rešitev

Z lastnostjo distributivnosti vektorskega produkta lahko zapišemo 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Z lastnostjo asociativnosti premaknemo številčne koeficiente izven predznaka vektorskih produktov v zadnjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski produkt a → × a → in b → × b → sta 0, ker je a → × a → = a → a → sin 0 = 0 in b → × b → = b → b → sin 0 = 0, nato 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Antikomutativnost vektorskega produkta pomeni - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Z uporabo lastnosti vektorskega produkta dobimo enakost 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Po hipotezi sta vektorja a → in b → pravokotna, to pomeni, da je kot med njima π 2. Zdaj ostane le, da najdene vrednosti zamenjamo v ustrezne formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dolžina vektorskega produkta vektorjev po razvrščanju je enaka a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Ker je že znano (iz šolskega tečaja), da je površina trikotnika enaka polovici zmnožka dolžin njegovih dveh stranic, pomnoženega s sinusom kota med tema stranicama. Zato je dolžina vektorskega produkta enaka površini paralelograma - podvojenega trikotnika, in sicer produkt stranic v obliki vektorjev a → in b →, izrisane iz ene točke, s sinusom kot med njima sin ∠ a →, b →.

To je geometrijski pomen vektorskega produkta.

Fizični pomen vektorskega produkta

V mehaniki, eni od vej fizike, lahko zahvaljujoč vektorskemu produktu določite trenutek sile glede na točko v prostoru.

Opredelitev 3

S trenutkom sile F →, ki deluje na točko B, glede na točko A, mislimo na naslednji vektorski produkt A B → × F →.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

MEŠANI ZMOD TREH VEKTOROV IN NJEGOVE LASTNOSTI

Mešano delo tri vektorje imenujemo število enako. Označeno ... Tu se prva dva vektorja pomnožita vektorsko, nato pa se dobljeni vektor skalarno pomnoži s tretjim vektorjem. Očitno je tak izdelek določena številka.

Upoštevajte lastnosti mešanega izdelka.

1. Geometrijski pomen mešano delo. Mešani produkt 3 vektorjev, do predznaka, je enak prostornini paralelepipeda, zgrajenega na teh vektorjih, kot na robovih, t.j. ...

   Tako in .

   

   Dokaz... Odstranite vektorje iz skupnega izvora in na njih zgradite paralelepiped. Označimo in zabeležimo to. Po definiciji pik produkta

   Če predpostavimo to in označimo z h višino paralelepipeda, najdemo.

   Tako za

   Če, potem in. Zato,.

   Če združimo oba primera, dobimo oz.

   Zlasti iz dokaza te lastnosti sledi, da če je trojček vektorjev pravilen, potem je mešan produkt, in če je levi, potem.

2. Za vse vektorje, enakost

   Dokaz te lastnosti izhaja iz lastnosti 1. Dejansko je enostavno pokazati, da in. Poleg tega se znaka "+" in "-" vzameta hkrati, saj kota med vektorji in in in sta oba ostra ali topa.

3. Po permutaciji poljubnih dveh faktorjev mešani produkt spremeni predznak.

   Dejansko, če upoštevamo mešano delo, potem je npr

4. Mešani produkt, če in samo če je eden od faktorjev nič ali so vektorji koplanarni.

   Dokaz.

   Tako je nujen in zadosten pogoj za komplanarnost 3 vektorjev enakost nič njihovega mešanega produkta. Poleg tega sledi, da trije vektorji tvorijo osnovo v prostoru, če.

   Če so vektorji podani v koordinatni obliki, je mogoče pokazati, da je njihov mešani produkt najden s formulo:

   .

   To pomeni, da je mešani produkt enak determinanti tretjega reda, v kateri prva vrstica vsebuje koordinate prvega vektorja, druga vrstica vsebuje koordinate drugega vektorja in tretja vrstica vsebuje tretji vektor.

   Primeri.

ANALITIČNA GEOMETRIJA V VESOLU

Enačba F (x, y, z)= 0 definira v prostoru Oxyz neka površina, tj. mesto točk, katerih koordinate x, y, z zadovoljiti to enačbo. Ta enačba se imenuje enačba površine in x, y, z- trenutne koordinate.

Vendar pogosto ploskev ni določena z enačbo, temveč kot niz točk v prostoru, ki imajo eno ali drugo lastnost. V tem primeru je treba poiskati enačbo površine na podlagi njenih geometrijskih lastnosti.

LETALO.

NORMALNI RAVNINI VEKTOR.

ENAČBA ZA RAVNINO, KI POTEKA SKOZI DANO TOČKO

Razmislite o poljubni ravnini σ v prostoru. Njegov položaj je določen z določitvijo vektorja, pravokotnega na to ravnino, in neko fiksno točko M 0(x 0, y 0, z 0), ki leži v ravnini σ.

Imenuje se vektor, pravokoten na ravnino σ normalno vektor te ravnine. Naj ima vektor koordinate.

Izpeljimo enačbo ravnine σ, ki poteka skozi dano točko M 0 in ima normalen vektor. Če želite to narediti, vzemite poljubno točko na ravnini σ M (x, y, z) in upoštevaj vektor.

Za katero koli točko MÎ σ je vektor, zato je njihov skalarni produkt enak nič. Ta enakost je pogoj, da je točka MÎ σ. Velja za vse točke te ravnine in je prekršena takoj, ko je točka M bo zunaj ravnine σ.

Če označimo s polmerom vektorja točke M, Je vektor polmera točke M 0, potem lahko enačbo zapišemo tudi v obliki

Ta enačba se imenuje vektor enačba ravnine. Zapišimo ga v koordinatni obliki. Od takrat

Tako smo dobili enačbo ravnine, ki poteka skozi to točko. Torej, da bi sestavili enačbo ravnine, morate poznati koordinate normalnega vektorja in koordinate neke točke, ki leži na ravnini.

Upoštevajte, da je enačba ravnine enačba 1. stopnje glede na trenutne koordinate x, y in z.

Primeri.

SPLOŠNA ENAČBA RAVNINE

Lahko se pokaže, da je katera koli enačba prve stopnje glede na kartezijeve koordinate x, y, z je enačba določene ravnine. Ta enačba je zapisana kot:

Ax + By + Cz + D=0

in poklical splošna enačba ravnino in koordinate A, B, C tukaj so koordinate normalnega vektorja ravnine.

Razmislite o posebnih primerih splošne enačbe. Ugotovimo, kako se ravnina nahaja glede na koordinatni sistem, če eden ali več koeficientov enačbe izgine.

A je dolžina premice, ki jo reza ravnina na osi Ox... Podobno se to lahko pokaže b in c- dolžine segmentov, ki jih zadevna ravnina odreže na oseh oj in Oz.

Za konstruiranje ravnin je priročno uporabiti ravninsko enačbo v odsekih črt.

V tem članku se bomo posvetili konceptu navzkrižnega produkta dveh vektorjev. Podali bomo potrebne definicije, zapisali formulo za iskanje koordinat vektorskega produkta, našteli in utemeljili njegove lastnosti. Nato se bomo podrobneje posvetili geometrijskemu pomenu vektorskega produkta dveh vektorjev in razmislili o rešitvah različnih tipičnih primerov.

Navigacija po straneh.

Opredelitev navzkrižnega produkta.

Preden definiramo vektorski produkt, ugotovimo orientacijo urejenega trojčka vektorjev v tridimenzionalnem prostoru.

Odložite vektorje iz ene točke. Glede na smer vektorja je trojka lahko desna ali leva. Poglejmo s konca vektorja, kako se zgodi najkrajša rotacija od vektorja do. Če se najkrajša rotacija zgodi v nasprotni smeri urinega kazalca, se imenuje triplet vektorjev prav, drugače - levo.

Zdaj vzamemo dva nekolinearna vektorja in. Odstavimo vektorje in iz točke A. Konstruirajmo vektor, pravokoten na oba in in. Očitno lahko pri konstruiranju vektorja naredimo dve stvari, pri čemer mu damo eno ali nasprotno smer (glej sliko).

Glede na smer vektorja je lahko urejena trojka vektorjev desna ali leva.

Tako smo blizu definiciji vektorskega produkta. Podan je za dva vektorja, podana v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora.

Opredelitev.

Vektorski produkt dveh vektorjev in, podan v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora, se imenuje vektor, tako da

Vektorski produkt vektorjev in je označen kot.

Vektorske koordinate izdelka.

Zdaj pa dajmo drugo definicijo vektorskega produkta, ki vam omogoča, da poiščete njegove koordinate po koordinatah danih vektorjev in.

Opredelitev.

V pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora navzkrižni produkt dveh vektorjev in je vektor, kjer so koordinatni vektorji.

Ta definicija nam daje navzkrižni produkt v koordinatni obliki.

Vektorski produkt je priročno predstaviti v obliki determinante kvadratne matrike tretjega reda, katere prva vrstica so vektorji enote, druga vrstica vsebuje koordinate vektorja, tretja pa koordinate vektor v danem pravokotnem koordinatnem sistemu:

Če to determinanto razširimo z elementi prve vrstice, dobimo enakost iz definicije vektorskega produkta v koordinatah (če je potrebno, glej članek):

Opozoriti je treba, da je koordinatna oblika navzkrižnega produkta v celoti skladna z opredelitvijo iz prvega odstavka tega člena. Poleg tega sta ti dve definiciji navzkrižnega produkta enakovredni. Dokaz tega dejstva si lahko ogledate v knjigi, ki je navedena na koncu članka.

Vektorske lastnosti izdelka.

Ker je navzkrižni produkt v koordinatah mogoče predstaviti v obliki matrične determinante, je naslednje enostavno utemeljiti na podlagi vektorske lastnosti izdelka:

Za primer dokažimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta.

Po definiciji in ... Vemo, da se vrednost determinante matrike obrne, če se zamenjata dve vrstici, torej , kar dokazuje lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta.

Vektorski izdelek - primeri in rešitve.

V osnovi obstajajo tri vrste nalog.

V nalogah prvega tipa sta podani dolžini dveh vektorjev in kot med njima, pri čemer je treba najti dolžino vektorskega produkta. V tem primeru se uporablja formula .

Primer.

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev in, če je znano .

Rešitev.

Iz definicije vemo, da je dolžina vektorskega produkta vektorjev in enaka produktu dolžin vektorjev in sinusa kota med njimi, torej .

odgovor:

.

Problemi druge vrste so povezani s koordinatami vektorjev, v katerih se preko koordinat danih vektorjev išče križni produkt, njegova dolžina ali kaj drugega. in .

Tukaj je možnih veliko različnih možnosti. Na primer, ne morete določiti koordinate vektorjev in, temveč njihovo razširitev v koordinatnih vektorjih v obliki in, ali vektorji in jih je mogoče določiti s koordinatami njihove začetne in končne točke.

Poglejmo tipične primere.

Primer.

Dva vektorja sta podana v pravokotnem koordinatnem sistemu ... Poiščite njihov navzkrižni produkt.

Rešitev.

Po drugi definiciji je navzkrižni produkt dveh vektorjev v koordinatah zapisan kot:

Do enakega rezultata bi prišli, če bi navzkrižni produkt zapisali v smislu determinante

odgovor:

.

Primer.

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev in, kje sta vektorja enote pravokotnega kartezijanskega koordinatnega sistema.

Rešitev.

Najprej poiščemo koordinate vektorskega produkta v danem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Ker imajo vektorji in koordinate in ustrezno (če je potrebno, glejte koordinate vektorja v pravokotnem koordinatnem sistemu), potem imamo po drugi definiciji navzkrižnega produkta

Se pravi navzkrižni produkt ima koordinate v danem koordinatnem sistemu.

Dolžino vektorskega produkta najdemo kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat (to formulo za dolžino vektorja smo dobili v razdelku o iskanju dolžine vektorja):

odgovor:

.

Primer.

Koordinate treh točk so podane v pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu. Poiščite vektor, ki je pravokoten in hkrati.

Rešitev.

Vektorji in imajo koordinate in oziroma (glej članek o iskanju koordinat vektorja preko koordinat točk). Če najdemo vektorski produkt vektorjev in, potem je po definiciji vektor, pravokoten na k in k, torej je rešitev našega problema. Najdi

odgovor:

- eden od pravokotnih vektorjev.

Pri nalogah tretje vrste se preverja spretnost uporabe lastnosti vektorskega produkta vektorjev. Po uporabi lastnosti se uporabijo ustrezne formule.

Primer.

Vektorja in sta pravokotni in njuni dolžini sta 3 oziroma 4. Poiščite dolžino križnega produkta .

Rešitev.

Z lastnostjo distributivnosti vektorskega produkta lahko zapišemo

Zaradi kombinacijske lastnosti izločimo številčne koeficiente izven predznaka vektorskih produktov v zadnjem izrazu:

Vektorski produkti in so enaki nič, saj in , potem .

Ker je navzkrižni produkt antikomutativen, potem.

Tako smo z uporabo lastnosti vektorskega produkta prišli do enakosti .

Po pogoju sta vektorja in pravokotna, to pomeni, da je kot med njima enak. To pomeni, da imamo vse podatke, da najdemo zahtevano dolžino

odgovor:

.

Geometrijski pomen vektorskega produkta.

Po definiciji je dolžina vektorskega produkta vektorjev ... In iz srednješolskega tečaja geometrije vemo, da je površina trikotnika polovica produkta dolžin obeh stranic trikotnika s sinusom kota med njima. Posledično je dolžina vektorskega produkta enaka dvakratni površini trikotnika z vektorji in stranicami, če so odmaknjeni od ene točke. Z drugimi besedami, dolžina vektorskega produkta vektorjev in je enaka površini paralelograma s stranicami in kotom med njimi. To je geometrijski pomen vektorskega produkta.