Tema lekcije:

Logaritmi in njihove lastnosti.

Esmaganbetov K.S. Učitelj matematike.

Namen lekcije:

1. Razvoj sposobnosti za sistematizacijo, posploševanje lastnosti logaritmov; uporabite jih pri poenostavljanju izrazov.

2. Razvoj zavestnega zaznavanja učnega gradiva, vizualnega spomina, matematičnega govora učencev, za oblikovanje veščin samoučenja, samoorganizacije in samospoštovanja, za spodbujanje razvoja ustvarjalne dejavnosti učencev.

3. Vzgoja kognitivne dejavnosti, vzbuditi učencem ljubezen in spoštovanje do predmeta, naučiti jih, da v njej ne vidijo le strogosti, kompleksnosti, ampak tudi logike, preprostosti in lepote.

I. Brainstorming:

1) Kaj je antiderivat?

2) Katere vrste integralov poznate?

3) Kakšna je razlika med določenim integralom in nedoločenim?

4) Katere enačbe se imenujejo iracionalne?

5) Koliko pravil obstaja za iskanje antiderivatov?

vprašanja:

Skupinsko delo

• Določite temo lekcije z anagramom:
• IMFIRAOL IN ŽIVO AVTSJOVS
• Merila za ocenjevanje ugibanja anagrama (za pravilen odgovor - 1 točka, za napačen odgovor - 0 točk)

Logaritmi in njihove lastnosti

• Logaritem pozitivnega števila b na bazo a, kjer a>0, a≠1, se imenuje eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo b.
• Osnovna logaritemska identiteta:
alogab = b, kjer je b>0, a>0
• Če je osnova logaritma 10, se takšen logaritem imenuje decimalni logaritem.
• Če je osnova logaritma enaka številu e, se takšen logaritem imenuje naravni

Lastnosti logaritmov

• Logaritem same osnove je 1:
logaa=1
• Logaritem enote na katero koli bazo je nič:
log1=0
• Logaritem zmnožka dveh ali več pozitivnih števil je enak vsoti logaritmov faktorjev:
loga(bc)= logab + logac
• Logaritem pozitivnega količnika je enak razliki med logaritmoma dividende in delitelja:
loga(b/c)= logab - logac
• Logaritem stopnje je enak zmnožku eksponenta in logaritma njegove osnove:
logabn= n logab
• Formula za premikanje od baze b do baze a:
Logax = logbx/logba

Kriteriji za ocenjevanje tehnološke karte:

• Navedite matematične informacije jasno in logično – 1 točka;
• Dijak pokaže znanje matematičnih simbolov – 1 točka;

Izračunaj ustno:

Merila za presojo ustnega računanja

• za pravilen ustni izračun - 1 točka
• za napačen ustni izračun - 0 točk

Fizminutka

• Dve polovici

loga(x/y) loga x -loga y

Skupinsko delo:

Naloga 1. skupine

Skupinsko delo: Naloga 2. skupini V tehnološkem zemljevidu ure s puščicami povežite formule.

• logax+logay

Skupinsko delo: Naloga 3. skupini V tehnološkem zemljevidu ure izpolni formule Vzajemno vrednotenje Merila za medsebojno vrednotenje

• za pravilno iskanje formul - 1 točka za skupino;
• Za napačno iskanje formul - 0 točk.

Individualno pisno delo pri diferenciranih nalogah

	dnevnik 26 - dnevnik 2 (6/32)
	dnevnik 3 5 - dnevnik 3 135
	2 dnevnik 27 - dnevnik 2 49
	dnevnik 93+ dnevnik 9243

Odločitev Individualno delo pri diferenciranih nalogah

		log(8∙125) = log 1000 = 3
	dnevnik 26 - dnevnik 2 (6/32)	log 2 (6: (6/32)) = log 232 = 5
	dnevnik 3 5 - dnevnik 3 135	log 3 (5:135)= log 3 (1:27)= -3
	2 dnevnik 27 - dnevnik 2 49	log 272 - log 249 = log 2 (49:49) = log 2 1 = 0
	dnevnik 93+ dnevnik 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Merila za ocenjevanje posameznega pisnega dela

• za pravilno rešitev primerov v celoti - 5 točk;
• Za pravilno črkovanje matematičnih simbolov - 1 točka;

Razvoj meril za ocenjevanje rezultatov dela:

• Merila za ocenjevanje: za 20 točk in več - ocena "5"
• za 16-19 točk in več - označite "4"
• za 9 -15 točk in več - označite "3"

Ustvarjanje grozdov in njihova zaščita Merila za ocenjevanje grozdov:

• Za pravilno ustvarjanje grozda - 1 točka;
• Za eleganco zasnove grozda - 0,5 točke;
• Za dobro zaščito grozda - 1 točka

Odsev

• 1. Kaj vem o ____
• 2. Kaj želim vedeti _____
• 3. Kaj sem se naučil ____
• 4. Oceni svoje delo v razredu_____

Domača naloga

1. Sestavite sinkvino "Logaritme"

2. Naloga po učbeniku: št.241, št.242

Opredelitev izpeljanke. Srednja črta. Preiskava funkcije za monotonost. Dela: Utrjevanje preučenega gradiva. Približno izračunajte z uporabo diferenciala. Najmanjše vrednosti funkcij. Izpeljanka in njena uporaba v algebri, geometriji. Zadevna funkcija. Naloga. Neenakost. Znaki naraščajoče in upadajoče funkcije. Dot. Opredelitev. Iskanje diferenciala. Dokaz neenakosti.

""Integralna" ocena 11" - Kako poraženi ste ležali z običajno številko na strani. Integralno v literaturi. Definitivno integral, začel si me sanjati ponoči. Sestavite besedno zvezo. Kakšno srečo sem poznal pri izbiri primitivca. Zamyatin Evgenij Ivanovič (1884-1937). Poiščite antiderivate za funkcije. Epigraf. Roman "Mi" (1920). Serija zamenjav in zamenjav je pripeljala do rešitve problema. Ilustracija za roman "Mi". Integralno. Integralna skupina. Lekcija algebre in začetek analize.

"Uporaba logaritmov" - Od časa starogrškega astronoma Hiparha (II stoletje pr.n.št.) se uporablja koncept "veličine". Kot vidimo, logaritmi vdrejo v področje psihologije. Iz tabele najdemo velikost Capella (m1 = +0,2m) in Deneba (m2 = +1,3m). Enota za glasnost. Zvezde, šum in logaritmi. Škodljivi učinki industrijskega hrupa na zdravje delavcev in proizvodnjo dela. Tema: "LOGARIFMI V ASTRONOMIJI". Neper (1550 - 1617) in Švicar I. Burgi (1552 - 1632).

"Algebra "Funkcije"" - Izračunaj. Naredimo mizo. Raziskovanje funkcij in gradnja njihovih grafov. Koncept integrala. Funkcijo F imenujemo antiderivat za funkcijo f. Območje ukrivljenega trapeza. Funkcija je antiderivat za funkcijo. Izračunajte površino S krivolinijskega trapeza. "Integral od a do b ef od x de x". intervalna metoda. Poiščite presečišča grafa z Ox (y = 0). Pravila diferenciacije. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.

"Primeri logaritemskih neenakosti" - Priprava na izpit! Katere funkcije se povečujejo in katere se zmanjšujejo? Povzetek lekcije. Poiščite pravo rešitev. Povečanje. Algebra 11. razred. Naloga: reši logaritemske neenakosti, predlagane v nalogah USE-2010. Vso srečo pri USE! Grozd za zapolnitev med lekcijo: Cilji lekcije: Poiščite domeno funkcije. Med številkama m in n postavite znak > oz<.(m, n >0). Grafi logaritemskih funkcij.

"Geometrijski pomen izpeljanke funkcije" - Vrednost izpeljanke funkcije. Algoritem za sestavljanje tangentne enačbe. Geometrijski pomen izpeljanke. Enačba premice z naklonom. Tangentne enačbe. Naredite par. Sekansa. Besednjak lekcije. Dobil sem vse. Pravilna matematična ideja. Rezultati izračuna. Mejni položaj sekante. Opredelitev. Poiščite pobočje. Napišite enačbo za tangento na graf funkcije.

JOHN NEPER (1550-1617)

škotski matematik -

izumitelj logaritmov.

V 1590-ih je prišel na idejo

logaritemski izračuni

in naredil prve mize

logaritme, vendar je slaven

delo "Opis neverjetnih tabel logaritmov" je bilo objavljeno šele leta 1614.

Ima definicijo logaritmov, razlago njihovih lastnosti, tabele logaritmov, sinusov, kosinusov, tangent in aplikacij logaritmov v sferični trigonometriji.

Iz zgodovine logaritmov

• Logaritmi so se pojavili pred 350 leti v povezavi s potrebami računske prakse.

• V tistih časih je bilo treba za reševanje problemov astronomije in navigacije narediti zelo okorne izračune.

• Znameniti astronom Johannes Kepler je leta 1624 prvi uvedel znak logaritma - log. Uporabil je logaritem za iskanje orbite Marsa.

• Beseda "logaritem" je grškega izvora, kar pomeni - razmerje števil

0 in ≠1 je eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo b. "width="640"

Opredelitev

Logaritem pozitivnega števila b na osnovo a, kjer je a0, a ≠1 je eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo b.

Izračunaj:

dnevnik 2 16; dnevnik 2 64; dnevnik 2 2;

dnevnik 2 1 ; dnevnik2(1/2); dnevnik2 (1/8);

dnevnik 3 27; dnevnik 3 81; dnevnik 3 3;

dnevnik 3 1; dnevnik3 (1/9); dnevnik3 (1/3);

dnevnik 1/2 1/32; dnevnik 1/2 4; log 0,5 0,125;

log 0,5 (1/2); log 0,5 1; dnevnik 1/2 2.

Osnovna logaritemska identiteta

Po definiciji logaritma

Izračunaj:

3 log 3 18 ; 3 5 log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 dnevnik 3 12 .

3 X X X R Ne obstaja za noben x " width="640"

Pri kakšnih vrednostih X obstaja logaritem

Ne obstaja na

kaj X

1. Logaritem zmnožka pozitivnih števil je enak vsoti logaritmov faktorjev.

dnevnik a (bc) = dnevnik a b + dnevnik a c

( b

c )

a dnevnik a (b.c.) =

a dnevnik a b

= a dnevnik a b + dnevnik a c

a dnevnik a c

a dnevnik a b

a dnevnik a c

1. Logaritem zmnožka pozitivnih števil je enak vsoti logaritmov faktorjev. log a (bc) = log a b + log a c

Primer:

dnevnik a

= dnevnik a b-log a c

= a dnevnik a b - dnevnik a c

a dnevnik a b

a dnevnik a

a dnevnik a c

b = a dnevnik a b

c = a dnevnik a c

0; a ≠ 1; b0; c 0. Primer: 1 "width="640"

2. Logaritem količnika dveh pozitivnih števil je enak razliki med logaritmoma delnice in delitelja.

dnevnik a

= dnevnik a b-log a c,

a0; a ≠ 1; b0; c 0.

Primer:

0; b0; r R log a b r = r log a b Primer a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r "width="640"

3. Logaritem eksponenta s pozitivno bazo je enak eksponentu, pomnoženemu z logaritmom osnove

dnevnik a b r = rlog a b

Primer

a dnevnik a b =b

(a dnevnik a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Formula za prehod iz ene baze

logaritem drugemu, primeri.

A. Diesterweg

RAZVOJA IN IZOBRAŽENJA NI MOGOČE DATI NOBENI OSEBI ALI KOMUNICIRATI. VSAK, KI SE NJIM ŽELI PRIDRUŽITI, MORA TO DOSEŽITI Z LASTNO AKTIVNOSTJO, LASTNIMI SILAMI, LASTNO NAPETOSTO .

Z reševanjem enačb določite temo lekcije

• 2 x = ; 3 x = ; 5 x = 1/125; 2 x = 1/4; 2 x = 4; 3 x = 81; 7 x = 1/7; 3 x = 1/81

Logaritem in njegove lastnosti

John Napier, izumitelj logaritmov

Leta 1590 je prišel na idejo o logaritmičnih izračunih in sestavil prve tabele logaritmov, objavil delo "Opis neverjetnih tabel logaritmov". To delo je vsebovalo definicijo logaritmov, razlago njihovih lastnosti. Izumil je drsno pravilo, računski instrument, ki uporablja Napierjeve tabele za poenostavitev izračunov.

Drsno pravilo

Trenutno je s prihodom kompaktnih kalkulatorjev in računalnikov potrebna uporaba tabel

logaritmi in drsna pravila so izginili.

• Logaritem števila v 0 na osnovo a 0 in a 1 je eksponent, na katerega morate dvigniti število a, da dobite število b.
• je logaritem s poljubno osnovo.
• Na primer: a) log 3 81 = 4, saj je 3 4 = 81; b) log 5 125 = 3, saj je 5 3 = 125; c) log 0,5 16 = -4, saj je (0,5) -4 = 16;

Uporaba logaritma: Bančništvo, geografija, proizvodni izračuni, biologija, kemija, fizika, astronomija, psihologija, sociologija, glasba.

Logaritemska spirala v naravi

Lupina Nautilus

Lokacija semen na sončnici

Lastnosti logaritmov

• log a 1 = 0.
• log a a = 1.
• log a xy = log a x + log a y.
• log a x ∕ y = log a x - log a y.
• log a x p = p log a x
• log a r x = 1 ∕ r log a x

• Če je osnova logaritma 10, se logaritem imenuje decimalni:

• Če je osnova logaritma e 2,7, se logaritem imenuje naravni:

• 1. Poiščite logaritem osnove 4 od 64.

Rešitev: log 4 64 = 3, ker je 4 3 = 64.

odgovor: 3

• 2. Poiščite številko xče dnevnik 5 x = 2

rešitev: dnevnik 5 x = 2, x= 5 2 (po definiciji logaritma), x = 25.

Odgovori : 25.

• 3. Izračunaj: log 3 1/ 81 = x ,

rešitev: dnevnik 3 1/81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.

odgovor: – 4.

• 1. Izračunaj: log 6 12 + log 6 3

rešitev:

log 6 12 + log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Odgovori : 2.

• 2. Izračunaj: log 5 250 - log 5 2.

rešitev:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Odgovori : 3.

• 3. Izračunaj:

Rešitev :

odgovor: 8.

Logaritem je precej obsežna tema pri predmetu algebra za srednješolce, zato poznavanje le njegove definicije, matematične formule in sposobnost risanja grafa ni dovolj. Skozi zgodovino logaritemske formule so matematiki z vsega sveta izpeljali veliko število odvisnosti in izrekov, katerih poznavanje bo učencem pomagalo pri nadaljnjem delu s to funkcijo.

Predstavitev "Lastnosti logaritmov" daje obsežno razumevanje te definicije, omogoča pa tudi, da se seznanite z vsemi najpomembnejšimi posledicami te funkcije.

V prvem delu predstavitve je na kratko podana pojem logaritma, prikazana pa je tudi konstrukcija grafa na podlagi tega. Nato sledi definicija, ki se jo je treba naučiti, kar potrjuje ikona klicaja v kotu rdečega polja.

Po obnovitvi znanja o predhodno preučeni temi so študenti povabljeni, da se seznanijo s tremi enakimi enačbami, ki jih zlahka dokaže vsak študent, ki mora operirati s pojmi, kot sta stopnja števila in osnova stopnje.

Tretji del lekcije je teoretični. Tu so študentom prikazani trije izreki, ki temeljijo na različnih matematičnih operacijah z logaritmi, tudi pri delu z ulomki. Vsak izrek je označen z modrim poljem, pod katerim je matematični dokaz.

Po opravljenem teoretičnem delu predstavitve dobijo študentje priložnost, da svoja nova znanja uporabijo v praksi, zahvaljujoč obravnavi rešitve enega primera.

Predstavitev se zaključi z drugim izrekom, pa tudi s tremi primeri reševanja problemov na podlagi lastnosti logaritmov. Zadnji izrek, predlagan v lekciji, ne zahteva sposobnosti dokazovanja v običajnem šolskem tečaju algebre - dovolj je, da si ga učenec zapomni, razume in zna uporabiti pri reševanju tematskih primerov.

Za razliko od običajnega tečaja algebre, ki ga ponuja šolski učbenik, ima predstavitev "Lastnosti logaritmov" povsem drugačno, bolj priročno in učinkovito strukturo, ki vam omogoča, da učencu čim hitreje in enostavno prenesete zahtevano znanje. Predstavitev teoretični del razredči s praktičnimi primeri, ki študentovo pozornost preusmerijo na drugo dejavnost, s tem pa ne obremenijo možganov in mu dajo priložnost, da si oddahne od spremembe miselne dejavnosti.

Hitro razumevanje rešitev predlaganih primerov omogoča zanimiv koncept podajanja informacij, ki ga je v običajnem učbeniku algebre za 11. razred zelo težko najti. Pri nalogah, ki so predlagane za obravnavo v predstavitvi, so najpomembnejši podatki označeni z rdečo ali obkroženo. Ta tehnika omogoča ne le hitro asimilacijo najpomembnejših informacij, ampak tudi uči študenta, da samostojno išče potrebno gradivo iz celotnega konteksta.

Odsek sodobne algebre "Lastnosti logaritmov" je eden najpomembnejših v celotnem predmetu, saj predstavlja temelje za nadaljnji, poglobljen študij matematike, ki je potreben za stotine sodobnih poklicev, ki se nanašajo na različna področja človeka. življenje. Zaradi tega ne bi smeli mimo te teme, in če je učenec iz nekega razloga zamudil šolanje, mu bo predstavitev "lastnosti logaritmov" pomagala dohiteti v celoti, zahvaljujoč enostavnemu in dostopna predstavitev snovi pri pouku .

Predstavitev »Lastnosti logaritmov« je zasnovana tako, da bo z njo udobno delati tako učenci kot učitelji: vse informacije imajo na eni strani dokončan videz, zato lekcije ni mogoče prikazati le z različnimi sodobnimi naprave, ampak tudi preprosto natisnjene, če šola nima drugih možnosti.