Ebben a leckében további két vektorműveletet nézünk meg: vektorok vektorszorzataés vektorok vegyes szorzata (azonnal link, kinek kell)... Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok pontszorzata, egyre több kell. Ilyen a vektorfüggőség. Az embernek az a benyomása lehet, hogy az analitikus geometria dzsungelébe kerülünk. Ez nem igaz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában nincs elég tűzifa, kivéve azt, hogy Buratino számára van elég. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb lesz a tipikus feladat. Az analitikus geometriában a legfontosabb, ahogyan sokan meggyõzõdtek, vagy már meggyõzõdtek, hogy NE KÖVETELJEN EL A SZÁMÍTÁSOKBAN. Ismételje meg varázslatként, és boldog lesz =)

Ha a vektorok valahol távol csillognak, mint a villám a láthatáron, az nem számít, kezdje a leckével Vektorok a bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek visszaszerzésére vagy visszaszerzésére. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem a gyakorlati munkákban gyakran előforduló, minél teljesebb példagyűjteményt összegyűjteni.

Hogyan lehet azonnal a kedvedre járni? Amikor kicsi voltam, tudtam, hogyan kell zsonglőrködni két vagy akár három labdával. Ügyesen kiderült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködnie, hiszen megfontoljuk csak térbeli vektorok, és a két koordinátájú síkvektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók - a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és háromdimenziós térben működik. Máris könnyebb!

Ez a művelet, ugyanúgy, mint a pontszorzatnál, magában foglalja két vektor... Legyenek ezek múlhatatlan betűk.

Maga az akció jelöljük a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok vektorszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok pontszorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? A nyilvánvaló különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN rejlik:

A vektorok pontszorzatának eredménye: SZÁM:

A vektorok vektorszorzata VEKTOR-t eredményez:, azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen ered a művelet neve. A különböző oktatási irodalomban a megnevezések is változhatnak, én a betűt fogom használni.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: vektorszorzat szerint nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, neve VECTOR, hossz amely számszerűen egyenlő a paralelogramma területével ezekre a vektorokra épül; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

A definíciót csontok szerint elemezzük, sok érdekesség van!

Tehát a következő lényeges pontokat lehet kiemelni:

1) Az eredeti vektorok, definíció szerint piros nyilakkal jelölve nem kollineáris... A kollineáris vektorok esetét egy kicsit később célszerű megvizsgálni.

2) A vektorokat felvesszük szigorúan meghatározott sorrendben: – "A" megszorozva "bh"-val, és nem a „bh”-ból „a”. A vektorszorzás eredménye a VEKTOR, amely kékkel van jelölve. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (bíbor színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség igaz .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és így a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketére van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a keresztszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékezzünk az egyik geometriai képletre: a paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak szorzatával a köztük lévő szög szinuszával... Ezért a fentiek alapján érvényes a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor HOSSZÁRÓL van szó, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati lényeg? És a jelentés az, hogy az analitikai geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Lássuk a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) két egyenlő háromszögre osztja. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető:

4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz ... Természetesen az ellentétes irányú vektor (bíbor nyíl) is ortogonális az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapon Megvan jobb orientáció. A leckében kb áttérni egy új alapra Elég részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi a tér tájolása. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz... Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és rózsaszín nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj- a keresztszorzat felfelé néz. Ez a jobboldali alap (az ábrán ez az). Most változtassa meg a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként ennek hatására a hüvelykujj kinyílik, és a kereszttermék már lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Talán kérdésed van: mi az alapja a baloldali orientációnak? "Hozzárendelés" ugyanazokhoz az ujjakhoz bal kéz vektorokat, és megkapja a tér bal oldali bázisát és bal orientációját (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni)... Képletesen szólva ezek az alapok különböző irányokba "csavarják" vagy orientálják a teret. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy absztraktnak tekinteni - például a tér tájolását a leghétköznapibb tükör megváltoztatja, és ha „kihúzza a visszavert tárgyat a szemüvegből”, akkor általános esetben nem lehet majd kombinálni az „eredetivel”. Mellesleg, vidd három ujjad a tükörhöz, és elemezd a visszaverődést ;-)

... milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert borzasztóak egyes oktatók kijelentései az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok keresztszorzata

A definíciót részletesen elemeztük, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesen elhelyezkedhetnek, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe "gyűrődik". Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma nulla. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla.

Így ha, akkor és ... Vegyük észre, hogy maga a keresztszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy az is nulla.

Speciális eset egy vektor vektorszorzata önmagában:

A keresztszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a problémát is elemezzük.

Gyakorlati példák megoldásához szükség lehet trigonometrikus táblázat hogy megkeressük belőle a szinuszértékeket.

Na, gyújtsunk tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha!

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kiindulási adatokat a feltétel tagmondataiban. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) Feltétel szerint meg kell találni a hosszúság vektor (vektorszorzat). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Mivel a kérdés a hosszra vonatkozott, ezért a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) Feltétel szerint meg kell találni négyzet vektorokra épített paralelogramma. Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a vektorszorzat hosszával:

Válasz:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a vektorszorzatra vonatkozó válasz egyáltalán nem jöhet szóba, erről kérdeztük ábra terület, illetve a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, hogy MIT kell a feltételnek megtalálni, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között van elég literalista, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem különösebben megerőltető nyavalygás – ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem érti az egyszerű dolgokat és/vagy nem érti a feladat lényegét. Ezt a pillanatot mindig kordában kell tartani, megoldva bármilyen feladatot a felsőbb matematikában és más tárgyakban is.

Hová tűnt a nagy "en" betű? Elvileg pluszban bele lehetne ragadni a megoldásba, de a felvétel lerövidítése érdekében nem tettem. Remélem ezt mindenki megérti, és ugyanannak a megjelölése.

Népszerű példa a „csináld magad” megoldásra:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének a keresztszorzaton keresztül történő megtalálásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. Megoldás és válasz a lecke végén.

A gyakorlatban a feladat nagyon gyakori, a háromszögek általában megkínozhatnak.

Más problémák megoldásához szükségünk van:

Vektor termék tulajdonságai

A kereszttermék néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ezeket is felveszem ebbe a listába.

Tetszőleges vektorok és tetszőleges számok esetén a következő tulajdonságok érvényesek:

1) Más információforrásokban ezt az elemet általában nem emelik ki a tulajdonságoknál, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.

2) - fentebb is szó van az ingatlanról, néha ún antikommutativitás... Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) - kombináció vagy asszociációs vektorszorzat törvényei. A konstansok zökkenőmentesen eltávolításra kerülnek a vektorszorzaton kívül. Tényleg, mit csináljanak ott?

4) - elosztás ill elosztó vektorszorzat törvényei. Nincs probléma a zárójelek bővítésével sem.

Bemutatóként vegyünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: A feltétel szerint ismét meg kell találni a keresztszorzat hosszát. Írjuk be a miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint az állandókat a vektorszorzat felosztásán kívülre helyezzük.

(2) A konstanst kimozdítjuk a modulból, miközben a modul "megeszi" a mínuszjelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A következők világosak.

Válasz:

Ideje fát rakni a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: A háromszög területét a képlet határozza meg ... A bökkenő az, hogy a "tse" és "de" vektorok maguk is vektorok összegeként vannak ábrázolva. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára Vektorok pontszorzata... Az egyértelműség kedvéért osszuk fel a megoldást három szakaszra:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzatban fejezzük ki, valójában fejezzük ki a vektort a vektorral... A hosszról még egy szót sem!

(1) Helyettesítő vektor kifejezések.

(2) A disztributív törvények felhasználásával a polinomok szorzási szabálya szerint bővítjük a zárójeleket.

(3) Az asszociatív törvények segítségével az összes állandót a vektorszorzatokon kívülre helyezzük. Kis tapasztalattal a 2. és 3. művelet egyszerre is végrehajtható.

(4) Az első és az utolsó tag egy kellemes tulajdonság miatt egyenlő nullával (nulla vektor). A második tagban a vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként a vektort a vektorban fejeztük ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonlít a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A 2-3. szakasz döntéseit egy sorban lehetett teljesíteni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a tesztdolgozatokban, itt van egy példa egy független megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz az oktatóanyag végén. Lássuk, mennyire volt óvatos az előző példák tanulmányozása során ;-)

Koordináták vektorainak vektorszorzata

ortonormális alapon adják meg, képlettel fejezzük ki:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba a vektorok koordinátáit „rakjuk”, és szigorú sorrendben- először a "ve" vektor koordinátái, majd a "double-ve" vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
a)
b)

Megoldás: Az ellenőrzés a leckében található állítások egyikén alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a keresztszorzatuk egyenlő nullával (nulla vektor): .

a) Keresse meg a keresztszorzatot:

Így a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a keresztszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel nem sok olyan feladat van, ahol vektorok vegyes szorzatát használjuk. Valójában minden a meghatározáson, a geometriai jelentésen és néhány működő képleten fog nyugodni.

A vektorok vegyes szorzata három vektor szorzata:

Szóval sorba álltak egy kisvonattal és várnak, alig várják, hogy kitalálják.

Először is a definíció és a kép:

Meghatározás: Vegyes munka nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve nak, nek hívják egy paralelepipedon térfogata, a megadott vektorokra épített, „+” jellel ellátva, ha az alap helyes, és „-” jellel, ha a bázis bal.

Végezzük el a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat pontozott vonallal húzzuk:

Merüljünk el a definícióban:

2) A vektorokat felvesszük egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok permutációja a szorzatban, ahogy sejthető, nem múlik el következmények nélkül.

3) Mielőtt kommentálnám a geometriai jelentést, megjegyzek egy nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM:. Az oktatási irodalomban a kialakítás némileg eltérő lehet, én a vegyes átdolgozást, a számítások eredményét pedig "pe" betűvel szoktam jelölni.

Definíció szerint vegyes termék egy paralelepipedon térfogata vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Vagyis a szám egyenlő ennek a paralelepipedonnak a térfogatával.

jegyzet : a rajz sematikus.

4) Ne foglalkozzunk újra az alap- és térorientáció fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet a kötethez adni. Egyszerűen fogalmazva, egy vegyes munka lehet negatív:.

A definícióból közvetlenül következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.

7.1. A keresztszorzat definíciója

Három nem egysíkú a, b és c vektor a jelzett sorrendben egy jobb oldali hármast alkot, ha a c harmadik vektor végétől az első a vektortól a második b vektorig a legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes irányban látható, a bal oldali pedig , ha az óramutató járásával megegyező irányban (lásd a tizenhatodik ábrát).

Egy a vektor vektorszorzata egy b vektorral egy c vektor, amely:

1. Merőleges az a és b vektorra, azaz c ^ a és c ^ b;

2. A hossza számszerűen megegyezik az a és vektorokra épített paralelogramma területévelb mint az oldalakon (lásd a 17. ábrát), azaz.

3. Az a, b és c vektorok jobb oldali hármast alkotnak.

A keresztszorzat jelölése a x b vagy [a, b]. A vektorszorzat meghatározása közvetlenül magában foglalja a következő összefüggéseket az i vektorok között, jés k(lásd 18. ábra):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Bizonyítsuk be például azt i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, de | i x j| = |i | | J | sin (90 °) = 1;

3) i, j és vektorok k jobb oldali hármast alkotunk (lásd 16. ábra).

7.2. Vektor termék tulajdonságai

1. Amikor a tényezőket átrendezzük, a vektorszorzat előjelet vált; a xb = (b xa) (lásd 19. ábra).

Az a xb és b vektorok kollineárisak, azonos modulusúak (a paralelogramma területe változatlan marad), de ellentétes irányú (ellentétes orientációjú a, b, a xb és a, b, b x a hármasok). Azaz egy xb = -(b xa).

2. A vektorszorzat a skalártényezőhöz képest rendelkezik a kombinatív tulajdonsággal, azaz l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Legyen l> 0. Az l (a xb) vektor merőleges az a és b vektorokra. vektor ( l a) x b szintén merőleges az a és vektorokra b(a vektorok, lés ugyanabban a síkban fekszenek). Ezért a vektorok l(a xb) és ( l a) x b kollineáris. Nyilvánvalóan az irányuk egybeesik. Ugyanolyan hosszúak:

Így l(a хb) = l egy xb. Hasonlóan bizonyítható az l<0.

3. Két nem nulla vektor a és b akkor és csak akkor kollineáris, ha a keresztszorzatuk egyenlő a nulla vektorral, azaz a || b<=>a xb = 0.

Konkrétan i * i = j * j = k * k = 0.

4. A vektorszorzat eloszlási tulajdonsággal rendelkezik:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Bizonyíték nélkül elfogadjuk.

7.3. A keresztszorzat kifejezése koordinátákkal

Az i vektorok keresztszorzattáblázatát fogjuk használni, jés k:

ha az első vektortól a másodikig vezető legrövidebb út iránya egybeesik a nyíl irányával, akkor a szorzat egyenlő a harmadik vektorral, ha nem, akkor a harmadik vektort mínusz előjellel vesszük.

Legyen adott két a = a x i + a y vektor j+ a z kés b = b x én+ b y j+ b z k... Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a keresztszorzatát polinomként megszorozva (a keresztszorzat tulajdonságai szerint):

A kapott képletet még rövidebben is felírhatjuk:

mivel a (7.1) egyenlőség jobb oldala a harmadrendű determináns kiterjesztésének felel meg az első sor elemei tekintetében A (7.2) egyenlőség könnyen megjegyezhető.

7.4. A vektormunka néhány alkalmazása

Kollineáris vektorok létrehozása

Egy paralelogramma és egy háromszög területének meghatározása

A vektorok vektorszorzatának definíciója szerint aés b |a xb | =| a | * | b | sin g, azaz S pár = | a x b |. Ezért D S = 1/2 | a x b |.

Egy ponthoz viszonyított erőnyomaték meghatározása

Legyen erő az A pontban F = AB engedd el O- valami pont a térben (lásd 20. ábra).

A fizikából ismert, hogy erőpillanat F ponthoz képest O vektornak nevezzük M, amely átmegy a ponton Oés:

1) merőleges a pontokon átmenő síkra O, A, B;

2) számszerűen egyenlő a vállonkénti erő szorzatával

3) jobboldali hármast alkot OA és AB vektorokkal.

Ezért M = OA x F.

A lineáris forgási sebesség meghatározása

Sebesség v szögsebességgel forgó merev test M pontja w egy rögzített tengely körül az Euler-képlet v = w хr határozza meg, ahol r = ОМ, ahol О a tengely valamely rögzített pontja (lásd 21. ábra).

Mielőtt megadnánk a vektorszorzat fogalmát, térjünk rá az a →, b →, c → vektorok rendezett hármasának háromdimenziós térbeli orientációjára.

Kezdésnek tegyük félre az a →, b →, c → vektorokat egy pontból. Az a →, b →, c → hármas tájolása lehet jobb vagy bal, attól függően, hogy maga a c → vektor iránya. Abból az irányból, amerre a legrövidebb forgás történik az a → vektorból b → a c → vektor végétől, az a →, b →, c → hármas alakja lesz meghatározva.

Ha a legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes, akkor az a →, b →, c → vektorok hármasát ún. jobb ha az óramutató járásával megegyezően - bal.

Ezután vegyünk két nem kollineáris a → és b → vektort. Ekkor halasszuk el az A B → = a → és A C → = b → vektorokat az A pontból. Megszerkesztünk egy A D → = c → vektort, amely egyszerre merőleges mind A B →-re, mind A C →-re. Így magának az A D → = c → vektornak az elkészítésekor két dolgot tehetünk, vagy az egyik irányt vagy az ellenkezőjét adjuk neki (lásd az ábrát).

Az a →, b →, c → vektorok rendezett hármasa, mint megtudtuk, lehet jobb vagy bal, a vektor irányától függően.

A fentiekből bevezethetjük a kereszttermék definícióját. Ez a meghatározás a háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében meghatározott két vektorra vonatkozik.

1. definíció

Két a → és b → vektor vektorszorzata egy háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadott vektort nevezzük úgy, hogy:

• ha a → és b → vektorok kollineárisak, akkor nulla lesz;
• merőleges lesz mind az a →, mind a b → vektorra, azaz. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• hosszát a következő képlet határozza meg: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• az a →, b →, c → vektorok hármasa az adott koordinátarendszerrel azonos orientációjú.

Az a → és b → vektorok vektorszorzatának jelölése a következő: a → × b →.

Vektor termék koordináták

Mivel minden vektornak vannak bizonyos koordinátái a koordinátarendszerben, megadhatjuk a keresztszorzat második definícióját, amely lehetővé teszi, hogy a vektorok adott koordinátái alapján megtaláljuk a koordinátáit.

2. definíció

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében két vektor a → = (a x; a y; a z) és b → = (b x; b y; b z) vektorszorzata a c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → vektor, ahol i →, j →, k → koordinátavektorok.

A vektorszorzat egy harmadrendű négyzetmátrix determinánsaként ábrázolható, ahol az első sor az i →, j →, k → egységvektorok vektorai, a második sor az a → vektor koordinátáit tartalmazza, a harmadik pedig a b → vektor koordinátáit tartalmazza egy adott derékszögű koordinátarendszerben, a mátrixnak ez a determinánsa így néz ki: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Ezt a determinánst kiterjesztve az első sor elemeire, megkapjuk az egyenlőséget: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vektor termék tulajdonságai

Ismeretes, hogy a koordinátákban megadott vektorszorzatot a c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z mátrix determinánsaként ábrázoljuk, akkor az alapján a mátrix determinánsának tulajdonságai a következőket jeleníti meg vektor termék tulajdonságai:

1. antikommutativitás a → × b → = - b → × a →;
2. disztributivitás a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → vagy a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. asszociativitás λ a → × b → = λ a → × b → vagy a → × (λ b →) = λ a → × b →, ahol λ tetszőleges valós szám.

Ezeket a tulajdonságokat nem nehéz bizonyítani.

Példaként igazolhatjuk egy vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát.

Az antikommutativitás bizonyítéka

Definíció szerint a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z és b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. És ha a mátrix két sorát átrendezzük, akkor a mátrix determinánsának az ellenkezőjére kell változnia, ezért a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, amely és bizonyítja a vektorszorzat antikommutativitását.

Vektor termék - példák és megoldások

A legtöbb esetben háromféle feladat létezik.

Az első típusú feladatoknál általában két vektor hosszát és a köztük lévő szöget adják meg, de meg kell találni a keresztszorzat hosszát. Ebben az esetben használja a következő képletet: c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

1. példa

Határozzuk meg az a → és b → vektorok vektorszorzatának hosszát, ha tudjuk, hogy a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Megoldás

Az a → és b → vektorok vektorszorzatának hosszának meghatározásával megoldjuk ezt a feladatot: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

Válasz: 15 2 2 .

A második típusú feladatok a vektorok koordinátáival állnak kapcsolatban, ezekben a keresztszorzat, annak hossza stb. az adott vektorok ismert koordinátáin keresztül keresnek a → = (a x; a y; a z) és b → = (b x; b y; b z) .

Az ilyen típusú feladatokhoz számos feladatlehetőséget lehet megoldani. Például nem az a → és a b → vektorok koordinátái adhatók meg, hanem azok kiterjesztései az alakú koordinátavektorokban b → = b x i → + b y j → + b z k → és c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, vagy a → és b → vektorok megadhatók kezdő- és végpontjuk koordinátái alapján.

Tekintsük a következő példákat.

2. példa

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben két a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) vektor adott. Keresse meg a keresztterméküket.

Megoldás

A második definíció szerint két vektor vektorszorzatát találjuk meg a megadott koordinátákon: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Ha a vektorszorzatot a mátrix determinánsán keresztül írjuk fel, akkor a példa megoldása így néz ki: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Válasz: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

3. példa

Határozzuk meg az i → - j → és az i → + j → + k → vektorok vektorszorzatának hosszát, ahol i →, j →, k → egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer egységvektorai.

Megoldás

Először keressük meg az adott i → - j → × i → + j → + k → vektorszorzat koordinátáit az adott derékszögű koordinátarendszerben.

Ismeretes, hogy az i → - j → és i → + j → + k → vektorok koordinátái (1; - 1; 0), illetve (1; 1; 1) vannak. Határozzuk meg a vektorszorzat hosszát a mátrix determinánsával, akkor i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Ezért az i → - j → × i → + j → + k → vektorszorzatnak vannak koordinátái (- 1; - 1; 2) az adott koordinátarendszerben.

A vektorszorzat hosszát a következő képlettel találjuk meg (lásd a vektor hosszának meghatározásáról szóló részt): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Válasz: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

4. példa

Egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben három pont A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinátái adottak. Keress egy olyan vektort, amely merőleges A B → és A C → egyidejűleg.

Megoldás

Az A B → és A C → vektorok a következő koordinátákkal rendelkeznek (- 1; 2; 2), illetve (0; 4; 1). Miután megtaláltuk az A B → és A C → vektorok vektorszorzatát, nyilvánvaló, hogy ez definíció szerint merőleges vektor mind A B →-re, mind A C →-re, azaz megoldása a problémánkra. Keressük meg A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

Válasz: - 6 i → + j → - 4 k →. - az egyik merőleges vektor.

A harmadik típusú problémák a vektorok vektorszorzatának tulajdonságaira összpontosítanak. Melynek alkalmazása után kapunk megoldást az adott problémára.

5. példa

Az a → és b → vektorok merőlegesek, hosszuk 3, illetve 4. Határozzuk meg a vektorszorzat hosszát 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Megoldás

Egy vektorszorzat eloszlási tulajdonsága alapján felírhatunk 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Az asszociativitás tulajdonságával a numerikus együtthatókat a vektorszorzatok előjelén kívülre helyezzük az utolsó kifejezésben: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Az a → × a → és a b → × b → vektorszorzat 0, mert a → × a → = a → a → sin 0 = 0 és b → × b → = b → b → sin 0 = 0, majd 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

A vektorszorzat antikommutativitása azt jelenti, hogy - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

A vektorszorzat tulajdonságait felhasználva a 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b → egyenlőséget kapjuk.

Hipotézis szerint az a → és b → vektorok merőlegesek, azaz a köztük lévő szög π 2. Most már csak a talált értékeket kell behelyettesíteni a megfelelő képletekkel: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

Válasz: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

A vektorok vektorszorzatának hossza rendezéssel egyenlő a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Mivel már ismert (az iskolai kurzusból), hogy egy háromszög területe egyenlő a két oldala hosszának a felével, megszorozva az ezen oldalak közötti szög szinuszával. Ezért a vektorszorzat hossza megegyezik a paralelogramma - a megkettőzött háromszög - területével, vagyis az oldalak szorzatával a → és b → vektorok formájában, egy pontból ábrázolva a szinuszával. szög közöttük sin ∠ a →, b →.

Ez a vektorszorzat geometriai jelentése.

A vektorszorzat fizikai jelentése

A mechanikában, a fizika egyik ágában a vektorszorzatnak köszönhetően meg lehet határozni a térbeli ponthoz viszonyított erőnyomatékot.

3. definíció

A B pontra kifejtett F → erőnyomatékon az A ponthoz viszonyítva az alábbi A B → × F → vektorszorzatot értjük.

Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

HÁROM VEKTOR VEGYES TERMÉKE ÉS TULAJDONSÁGAI

Vegyes munka három vektort egyenlő számnak nevezünk. Jelölve ... Itt az első két vektort vektoriálisan megszorozzuk, majd a kapott vektort skalárisan megszorozzuk a harmadik vektorral. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen termék egy bizonyos szám.

Vegye figyelembe a vegyes termék tulajdonságait.

1. Geometriai jelentés vegyes munka. 3 vektor vegyes szorzata egy előjelig egyenlő az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon térfogatával, mint az éleken, i.e. ...

   Így, és .

   

   Bizonyíték... Tegyük félre a közös origóból származó vektorokat, és építsünk rájuk egy paralelepipedont. Jelöljük és jegyezzük meg. A pontszorzat definíciója szerint

   Feltételezve, hogy ezt jelöljük h a paralelepipedon magasságát találjuk.

   Így a

   Ha, akkor és. Ennélfogva, .

   Mindkét esetet kombinálva kapjuk, ill.

   Ennek a tulajdonságnak a bizonyításából különösen az következik, hogy ha a vektorok hármasa helyes, akkor vegyes szorzat, ha pedig bal, akkor.

2. Bármely vektor esetén az egyenlőség

   Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása az 1. tulajdonságból következik. Valóban könnyű kimutatni, hogy és. Ezenkívül a "+" és a "-" jeleket egyidejűleg veszik, mivel a és és a vektorok közötti szögek hegyesek vagy tompaszögűek.

3. Bármely két tényező permutációja esetén a vegyes szorzat előjelet vált.

   Valóban, ha vegyes művet tekintünk, akkor például, ill

4. Vegyes szorzat akkor és csak akkor, ha az egyik tényező nulla, vagy a vektorok egysíkúak.

   Bizonyíték.

   Így 3 vektor egysíkúságának szükséges és elégséges feltétele a vegyes szorzatuk nullával való egyenlősége. Ezen kívül ebből következik, hogy három vektor alkot bázist a térben, ha.

   Ha a vektorokat koordináta formában adjuk meg, akkor kimutatható, hogy vegyes szorzatukat a következő képlettel találjuk meg:

   .

   Így a vegyes szorzat egyenlő a harmadik rendű determinánssal, amelyben az első sor az első vektor koordinátáit tartalmazza, a második sor a második vektor koordinátáit, a harmadik pedig a harmadik vektort.

   Példák.

ELEMZŐ GEOMETRIA TÉRBEN

Az egyenlet F (x, y, z)= 0 a térben határozza meg Oxyz valamilyen felület, pl. pontok lokusza, amelyek koordinátái x, y, z kielégíti ezt az egyenletet. Ezt az egyenletet a felület egyenletének nevezzük, és x, y, z- aktuális koordináták.

A felületet azonban gyakran nem egyenlet határozza meg, hanem olyan pontok halmaza a térben, amelyeknek van ilyen vagy másik tulajdonságuk. Ebben az esetben meg kell találni a felület egyenletét annak geometriai tulajdonságai alapján.

REPÜLŐGÉP.

NORMÁL SÍK VEKTOR.

EGYENLET AZ ADAT PONTON ÁTHAJTÓ SÍKHOZ

Tekintsünk egy tetszőleges σ síkot a térben. Helyét egy erre a síkra merőleges vektor és valamilyen fix pont megadásával határozzuk meg M 0(x 0, y 0, z 0) a σ síkban fekvő.

A σ síkra merőleges vektort nevezzük Normál ennek a síknak a vektora. Legyenek a vektornak koordinátái.

Vezessük le az adott ponton áthaladó σ sík egyenletét M 0és normális vektorral rendelkezik. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot a σ síkon M (x, y, z)és tekintsünk egy vektort.

Bármilyen pontra MÎ σ egy vektor, ezért skaláris szorzatuk egyenlő nullával. Ennek az egyenlőségnek a feltétele, hogy a lényeg MÎ σ. Ennek a síknak az összes pontjára érvényes, és azonnal megsérül, amint a pont M kívül lesz a σ síkon.

Ha a pont sugárvektorával jelöljük M, A pont sugárvektora M 0, akkor az egyenlet alakba is felírható

Ezt az egyenletet ún vektor a sík egyenlete. Írjuk le koordináta formában. Azóta

Tehát megkaptuk az ezen a ponton áthaladó sík egyenletét. A sík egyenletének kialakításához tehát ismerni kell a normálvektor koordinátáit és a síkon elhelyezkedő valamely pont koordinátáit.

Vegye figyelembe, hogy a sík egyenlete az aktuális koordinátákhoz képest elsőfokú egyenlet x, yés z.

Példák.

A SÍK ÁLTALÁNOS EGYENLETE

Megmutatható, hogy bármely elsőfokú egyenlet derékszögű koordinátákhoz képest x, y, z egy bizonyos sík egyenlete. Ezt az egyenletet a következőképpen írják:

Axe + By + Cz + D=0

és felhívott általános egyenlet síkot és a koordinátákat A, B, C itt vannak a sík normálvektorának koordinátái.

Tekintsük az általános egyenlet speciális eseteit. Nézzük meg, hogyan helyezkedik el a sík a koordinátarendszerhez képest, ha az egyenlet egy vagy több együtthatója eltűnik.

A a sík által a tengelyen metszett egyenes hossza Ökör... Hasonlóképpen azt is meg lehet mutatni bés c- a kérdéses sík által levágott szakaszok hosszát a tengelyeken Oyés Oz.

Kényelmes a síkegyenletet egyenes szakaszokban használni síkok készítéséhez.

Ebben a cikkben a két vektor keresztszorzatának koncepciójával fogunk foglalkozni. Megadjuk a szükséges definíciókat, felírunk egy képletet egy vektorszorzat koordinátáinak megtalálásához, felsoroljuk és igazoljuk tulajdonságait. Ezt követően kitérünk két vektor vektorszorzatának geometriai jelentésére, és megfontoljuk a különféle tipikus példák megoldásait.

Oldalnavigáció.

A keresztszorzat definíciója.

Mielőtt definiálnánk egy vektorszorzatot, határozzuk meg a vektorok rendezett hármasának orientációját a háromdimenziós térben.

Tegye félre a vektorokat egy pontból. A vektor irányától függően a hármas lehet jobb vagy bal. Nézzük meg a vektor végéről, hogyan történik a vektortól a legrövidebb elfordulás. Ha a legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik, akkor a vektorok hármasát hívjuk jobb, másképp - bal.

Most veszünk két nem kollineáris vektort és. Tegyük félre a vektorokat és az A pontból. Szerkesszünk meg valamilyen vektort, amely merőleges mind és és és -ra. Nyilvánvaló, hogy egy vektor megalkotásakor két dolgot tehetünk, vagy az egyik irányt, vagy az ellenkezőjét (lásd az ábrát).

A vektor irányától függően a vektorok rendezett hármasa lehet jobb vagy bal.

Így közel járunk a vektorszorzat definíciójához. Két vektorra van megadva, háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében.

Meghatározás.

Két vektor vektorszorzataés a háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadva olyan vektornak nevezzük,

A és vektorok vektorszorzatát a következővel jelöljük.

Vektor termék koordináták.

Most adjuk meg a vektorszorzat második definícióját, amely lehetővé teszi, hogy az adott vektorok koordinátái alapján megtaláljuk a koordinátáit és.

Meghatározás.

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében két vektor keresztszorzata és egy vektor, ahol koordináta vektorok vannak.

Ez a definíció megadja a keresztszorzatot koordináta formában.

Célszerű a vektorszorzatot egy harmadrendű négyzetmátrix determinánsaként ábrázolni, amelynek első sora az egységvektorok, a második sor a vektor koordinátáit, a harmadik pedig a vektor koordinátáit tartalmazza. a vektor egy adott derékszögű koordinátarendszerben:

Ha ezt a determinánst kibővítjük az első sor elemeivel, akkor a vektorszorzat koordinátákban való definíciójából egyenlőséget kapunk (ha szükséges, lásd a cikket):

Meg kell jegyezni, hogy a keresztszorzat koordináta alakja teljes mértékben összhangban van a jelen cikk első bekezdésében megadott meghatározással. Ráadásul a kereszttermék e két meghatározása egyenértékű. Ennek a ténynek a bizonyítékát a cikk végén jelzett könyvben láthatja.

Vektor termék tulajdonságai.

Mivel a koordinátákban megadott keresztszorzat mátrixdetermináns formájában is ábrázolható, a következők könnyen igazolhatók a vektor szorzat tulajdonságai:

Példaként bizonyítsuk be egy vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát.

Definíció szerint és ... Tudjuk, hogy a mátrix determinánsának értéke megfordul, ha két sort felcserélünk, ezért , ami bizonyítja a vektorszorzat antikommutativitásának tulajdonságát.

Vektor termék - példák és megoldások.

Alapvetően háromféle feladat létezik.

Az első típusú feladatokban két vektor hossza és a közöttük lévő szög adott, és meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Ebben az esetben a képletet használják .

Példa.

Határozzuk meg a vektorok vektorszorzatának hosszát és ha ismert .

Megoldás.

A definícióból tudjuk, hogy a vektorok vektorszorzatának hossza és egyenlő a vektorok hosszának és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával, ezért .

Válasz:

.

A második típusú problémák a vektorok koordinátáihoz kapcsolódnak, amelyekben adott vektorok koordinátáin keresztül keresik a keresztszorzatot, annak hosszát vagy valami mást. és .

Itt nagyon sokféle lehetőség lehetséges. Például nem a és vektorok koordinátái adhatók meg, hanem azok kiterjesztése a forma koordináta vektoraiban és, vagy vektorok és kezdő- és végpontjuk koordinátáival határozhatók meg.

Nézzünk tipikus példákat.

Példa.

Egy négyszögletes koordinátarendszerben két vektort adunk meg ... Keresse meg a keresztterméküket.

Megoldás.

A második definíció szerint két koordinátavektor keresztszorzatát a következőképpen írjuk fel:

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha a keresztszorzatot a determinánssal írnánk fel

Válasz:

.

Példa.

Határozzuk meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, és hol vannak egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer egységvektorai.

Megoldás.

Először keressük meg a vektorszorzat koordinátáit adott derékszögű koordinátarendszerben.

Mivel a és vektorok koordinátái vannak, és ennek megfelelően (ha szükséges, lásd egy vektor koordinátáit téglalap alakú koordinátarendszerben), akkor a keresztszorzat második definíciójával megkapjuk

Vagyis a kereszttermék adott koordinátarendszerben vannak koordinátái.

A vektorszorzat hosszát a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökeként kapjuk meg (a vektor hosszának képletét a vektor hosszának meghatározása című részben kaptuk meg):

Válasz:

.

Példa.

Három pont koordinátáit derékszögű derékszögű koordinátarendszerben adjuk meg. Keress egy olyan vektort, amely merőleges és ugyanakkor.

Megoldás.

A vektoroknak és koordinátái vannak, illetve (lásd a cikket a vektor koordinátáinak megtalálásáról a pontok koordinátáin keresztül). Ha megtaláljuk a vektorok vektorszorzatát és, akkor ez definíció szerint egy k-ra és k-ra is merőleges vektor, vagyis ez a probléma megoldása. Megtalál

Válasz:

- az egyik merőleges vektor.

A harmadik típusú feladatokban a vektorok vektorszorzatának tulajdonságainak felhasználási készségét tesztelik. A tulajdonságok alkalmazása után a megfelelő képleteket alkalmazzuk.

Példa.

A és vektorok merőlegesek, és hosszuk 3, illetve 4. Határozza meg a keresztszorzat hosszát! .

Megoldás.

Egy vektorszorzat eloszlási tulajdonsága alapján írhatunk

A kombinációs tulajdonság miatt az utolsó kifejezésben a vektorszorzatok előjelén kívüli numerikus együtthatókat vesszük ki:

A és vektorszorzatok egyenlők nullával, mivel és , azután .

Mivel a keresztszorzat antikommutatív, akkor.

Tehát a vektorszorzat tulajdonságait felhasználva eljutottunk az egyenlőséghez .

Feltétel szerint a és vektorok merőlegesek, azaz a köztük lévő szög egyenlő. Vagyis minden adatunk megvan ahhoz, hogy megtaláljuk a szükséges hosszúságot

Válasz:

.

A vektorszorzat geometriai jelentése.

Definíció szerint a vektorok vektorszorzatának hossza az ... Egy középiskolai geometria kurzusból pedig tudjuk, hogy egy háromszög területe a háromszög két oldala hosszának a fele a köztük lévő szög szinuszával. Következésképpen a vektorszorzat hossza megegyezik a vektorokkal és oldalakkal rendelkező háromszög területének kétszeresével, ha azokat egy pontból félretesszük. Más szóval, a vektorok vektorszorzatának hossza és egyenlő egy paralelogramma területével, amelynek oldalai és a köztük lévő szög egyenlő. Ez a vektorszorzat geometriai jelentése.