वास्तव में, सूत्र (1) और (2) सुविधाओं की आकस्मिक तालिका के आधार पर सशर्त संभाव्यता का एक संक्षिप्त संकेतन हैं। आइए विचार किए गए उदाहरण पर वापस जाएं (चित्र 1)। मान लीजिए हम सीखते हैं कि एक परिवार एक वाइडस्क्रीन टेलीविजन खरीदने जा रहा है। क्या संभावना है कि यह परिवार वास्तव में ऐसा टीवी खरीदेगा?

चावल। 1. वाइडस्क्रीन टीवी खरीदारों का व्यवहार

इस मामले में, हमें सशर्त संभावना पी की गणना करने की आवश्यकता है (खरीद की गई थी | खरीद की योजना बनाई गई थी)। चूंकि हम जानते हैं कि एक परिवार खरीदारी की योजना बना रहा है, नमूना स्थान में सभी 1000 परिवार शामिल नहीं हैं, बल्कि केवल वे लोग हैं जो एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बना रहे हैं। ऐसे 250 परिवारों में से 200 ने वास्तव में यह टीवी खरीदा। इसलिए, संभावना है कि एक परिवार वास्तव में एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदेगा, यदि उन्होंने योजना बनाई है, तो निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

पी (खरीदी गई | खरीद की योजना बनाई) = वाइडस्क्रीन टीवी की योजना बनाने और खरीदने वाले परिवारों की संख्या / वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बनाने वाले परिवारों की संख्या = 200/250 = 0.8

वही परिणाम सूत्र (2) द्वारा दिया गया है:

घटना कहाँ है एयह है कि परिवार एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बना रहा है, और घटना वी- क्या वह वास्तव में इसे खरीद लेगी। वास्तविक डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

निर्णय वृक्ष

अंजीर में। 1 परिवारों को चार श्रेणियों में बांटा गया है: वे जिन्होंने एक वाइड-स्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बनाई और योजना नहीं बनाई, साथ ही वे जिन्होंने ऐसा टीवी खरीदा और नहीं किया। निर्णय वृक्ष (चित्र 2) का उपयोग करके एक समान वर्गीकरण किया जा सकता है। अंजीर में दिखाया गया पेड़। 2 की दो शाखाएं हैं, जो उन परिवारों के अनुरूप हैं जिन्होंने वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने की योजना बनाई है और जिन परिवारों ने ऐसा नहीं किया है। इनमें से प्रत्येक शाखा दो अतिरिक्त शाखाओं में विभाजित हो जाती है, जो वाइडस्क्रीन टीवी वाले और बिना परिवारों के अनुरूप होती हैं। दो मुख्य शाखाओं के सिरों पर लिखी प्रायिकताएँ घटनाओं की बिना शर्त प्रायिकताएँ हैं एतथा ए'... चार अतिरिक्त शाखाओं के सिरों पर लिखी प्रायिकताएँ घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की सशर्त प्रायिकताएँ हैं एतथा वी... सशर्त संभावनाओं की गणना घटनाओं की संयुक्त संभावना को उनमें से प्रत्येक की बिना शर्त संभावना से विभाजित करके की जाती है।

चावल। 2. निर्णय वृक्ष

उदाहरण के लिए, इस संभावना की गणना करने के लिए कि एक परिवार वाइडस्क्रीन टीवी खरीदेगा यदि उन्होंने ऐसा करने की योजना बनाई है, तो किसी घटना की संभावना निर्धारित की जानी चाहिए। खरीद की योजना बनाई और पूरी हो गई हैऔर फिर इसे घटना की संभावना से विभाजित करें खरीद की योजना बनाई... अंजीर में दिखाए गए निर्णय वृक्ष के माध्यम से चलते हुए। 2, हमें निम्नलिखित (पिछले के समान) उत्तर मिलता है:

सांख्यिकीय स्वतंत्रता

एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदने के उदाहरण में, संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित परिवार ने एक वाइडस्क्रीन टीवी खरीदा है, यह देखते हुए कि उन्होंने ऐसा करने की योजना बनाई है, 200/250 = 0.8 है। याद रखें कि बिना शर्त संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित परिवार ने एक वाइडस्क्रीन टीवी प्राप्त कर लिया है 300/1000 = 0.3 है। इससे एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है। एक प्राथमिक जानकारी जिसे परिवार ने खरीदने की योजना बनाई है, वह खरीद की संभावना को ही प्रभावित करती है।दूसरे शब्दों में, ये दोनों घटनाएँ एक-दूसरे पर निर्भर करती हैं। इस उदाहरण के विपरीत, सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र घटनाएं हैं, जिनकी संभावनाएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। सांख्यिकीय स्वतंत्रता पहचान द्वारा व्यक्त की जाती है: पी (ए | बी) = पी (ए), कहां पी (ए | बी)- एक घटना की संभावना एबशर्ते कि कोई घटना घटी हो वी, पी (ए)- घटना ए की बिना शर्त संभावना।

कृपया ध्यान दें कि घटनाएं एतथा वी पी (ए | बी) = पी (ए)... यदि 2 × 2 के आकार वाली सुविधाओं की आकस्मिक तालिका में, यह शर्त कम से कम घटनाओं के एक संयोजन के लिए संतुष्ट है एतथा वी, यह किसी अन्य संयोजन के लिए सही होगा। हमारे उदाहरण में, घटनाएँ खरीद की योजना बनाईतथा खरीदारी की गईसांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि एक घटना के बारे में जानकारी दूसरे की संभावना को प्रभावित करती है।

एक उदाहरण पर विचार करें जो दिखाता है कि दो घटनाओं की सांख्यिकीय स्वतंत्रता की जांच कैसे करें। आइए उन 300 परिवारों से पूछें जिन्होंने वाइडस्क्रीन टीवी खरीदा है, क्या वे अपनी खरीद से खुश हैं (चित्र 3)। निर्धारित करें कि आपकी खरीदारी और टीवी के प्रकार से आपकी संतुष्टि संबंधित है या नहीं।

चावल। 3. वाइडस्क्रीन टीवी के खरीदारों की संतुष्टि की डिग्री को दर्शाने वाला डेटा

इस डेटा को देखते हुए,

एक ही समय में,

पी (ग्राहक संतुष्ट) = 240/300 = 0.80

इसलिए, संभावना है कि ग्राहक खरीद से संतुष्ट है और परिवार ने एचडीटीवी खरीदा है, और ये घटनाएं सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं क्योंकि वे किसी भी तरह से संबंधित नहीं हैं।

प्रायिकताओं को गुणा करने का नियम

सशर्त संभाव्यता की गणना करने का सूत्र आपको एक संयुक्त घटना की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है ए और बी... समाधान सूत्र (1)

संयुक्त संभावना के बारे में पी (ए और बी), हमें प्रायिकताओं के गुणन के लिए एक सामान्य नियम प्राप्त होता है। घटना की संभावना ए और बीकिसी घटना की प्रायिकता के बराबर एबशर्ते कि कोई घटना घटी हो वी वी:

(३) पी (ए और बी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

एक उदाहरण के रूप में, 80 परिवारों पर विचार करें जिन्होंने एक वाइडस्क्रीन एचडीटीवी टेलीविजन खरीदा (चित्र 3)। तालिका से पता चलता है कि 64 परिवार खरीद से संतुष्ट हैं और 16 नहीं हैं। मान लीजिए कि उनमें से दो परिवारों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। संभावना निर्धारित करें कि दोनों ग्राहक संतुष्ट होंगे। सूत्र (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

पी (ए और बी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

घटना कहाँ है एयह है कि दूसरा परिवार उनकी खरीद से संतुष्ट है, और घटना वी- कि पहला परिवार उनकी खरीद से संतुष्ट है। पहला परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट होने की प्रायिकता 64/80 है। हालांकि, संभावना है कि दूसरा परिवार भी उनकी खरीद से संतुष्ट है, पहले परिवार की प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है। यदि सर्वेक्षण के बाद पहला परिवार नमूने पर वापस नहीं आता है (वापसी के बिना विकल्प), उत्तरदाताओं की संख्या घटकर 79 हो जाती है। यदि पहला परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट था, तो दूसरा परिवार भी संतुष्ट होने की संभावना 63/ है। ७९, चूंकि नमूने में केवल ६३ बचे हैं, इसलिए परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट हैं। इस प्रकार, विशिष्ट डेटा को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित उत्तर प्राप्त होता है:

पी (ए और बी) = (63/79) (64/80) = 0.638।

इसलिए, दोनों परिवारों के अपनी खरीद से खुश होने की प्रायिकता 63.8% है।

मान लीजिए कि सर्वेक्षण के बाद, पहला परिवार नमूना पर लौटता है। इस संभावना का निर्धारण करें कि दोनों परिवार अपनी खरीद से खुश होंगे। इस मामले में, दोनों परिवार अपनी खरीद से संतुष्ट होने की संभावनाएं समान हैं, 64/80 के बराबर। इसलिए, पी (ए और बी) = (64/80) (64/80) = 0.64। इस प्रकार, दोनों परिवारों के अपनी खरीद से खुश होने की प्रायिकता 64.0% है। इस उदाहरण से पता चलता है कि दूसरे परिवार का चुनाव पहले वाले की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, सूत्र (3) में सशर्त संभाव्यता की जगह पी (ए | बी)संभावना पी (ए), हमें स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का सूत्र मिलता है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम।अगर घटनाएं एतथा वीसांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं, किसी घटना की प्रायिकता ए और बीकिसी घटना की प्रायिकता के बराबर एघटना की संभावना से गुणा वी.

(4) पी (ए और बी) = पी (ए) पी (बी)

अगर यह नियम घटनाओं के लिए सही है एतथा वीइसलिए वे सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, दो घटनाओं की सांख्यिकीय स्वतंत्रता निर्धारित करने के दो तरीके हैं:

1. घटनाक्रम एतथा वीसांख्यिकीय रूप से एक दूसरे से स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि पी (ए | बी) = पी (ए).
2. घटनाक्रम एतथा बीसांख्यिकीय रूप से एक दूसरे से स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि पी (ए और बी) = पी (ए) पी (बी).

यदि 2 × 2 के आकार वाली सुविधाओं की आकस्मिक तालिका में, इनमें से कोई एक शर्त घटनाओं के कम से कम एक संयोजन के लिए संतुष्ट है एतथा बी, यह किसी अन्य संयोजन के लिए सही होगा।

एक प्राथमिक घटना की बिना शर्त संभावना

(५) पी (ए) = पी (ए | बी १) पी (बी १) + पी (ए | बी २) पी (बी २) + ... + पी (ए | बी के) पी (बी के)

जहाँ घटनाएँ B 1, B 2,… B k परस्पर अपवर्जी और संपूर्ण हैं।

आइए हम चित्र 1 के उदाहरण द्वारा इस सूत्र के अनुप्रयोग को स्पष्ट करें। सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

पी (ए) = पी (ए | बी 1) पी (बी 1) + पी (ए | बी 2) पी (बी 2)

कहां पी (ए)- संभावना है कि खरीद की योजना बनाई गई थी, पी (बी 1)- खरीदारी किए जाने की प्रायिकता, पी (बी 2)- संभावना है कि खरीद पूरी नहीं हुई है।

बेयस प्रमेय

किसी घटना की सशर्त संभावना इस जानकारी को ध्यान में रखती है कि कोई अन्य घटना हुई है। इस दृष्टिकोण का उपयोग संभाव्यता को परिष्कृत करने के लिए, नई प्राप्त जानकारी को ध्यान में रखते हुए, और इस संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है कि मनाया गया प्रभाव किसी विशिष्ट कारण का परिणाम है। इन संभावनाओं को परिष्कृत करने की प्रक्रिया को बेयस प्रमेय कहा जाता है। इसे पहली बार 18वीं शताब्दी में थॉमस बेयस द्वारा विकसित किया गया था।

मान लीजिए कि ऊपर उल्लिखित कंपनी एक नए टीवी मॉडल के लिए बाजार पर शोध कर रही है। अतीत में, कंपनी द्वारा बनाए गए ४०% टीवी सफल रहे, और ६०% मॉडलों को मान्यता नहीं मिली। एक नए मॉडल की घोषणा करने से पहले, विपणक सावधानीपूर्वक बाजार की खोज करते हैं और मांग पर कब्जा करते हैं। अतीत में, स्वीकृति प्राप्त करने वाले 80% मॉडलों की भविष्यवाणी पहले से की गई थी, जबकि 30% अनुकूल भविष्यवाणियां गलत थीं। नए मॉडल के लिए मार्केटिंग विभाग ने अनुकूल आउटलुक दिया है। क्या संभावना है कि एक नया टीवी मॉडल मांग में होगा?

बेयस प्रमेय को सशर्त संभाव्यता (1) और (2) की परिभाषाओं से प्राप्त किया जा सकता है। संभावना पी (बी | ए) की गणना करने के लिए, सूत्र (2) लें:

और सूत्र (3) से मान P (A और B) के स्थान पर प्रतिस्थापित करें:

पी (ए और बी) = पी (ए | बी) * पी (बी)

P(A) के स्थान पर सूत्र (5) को प्रतिस्थापित करने पर, हम बेयस प्रमेय प्राप्त करते हैं:

जहाँ घटनाएँ B 1, B 2,… B k परस्पर अपवर्जी और संपूर्ण हैं।

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: घटना S - टीवी मांग में है, आयोजन '- टीवी की मांग नहीं है, घटना एफ - अनुकूल पूर्वानुमान, घटना एफ '- प्रतिकूल पूर्वानुमान... मान लीजिए पी (एस) = 0.4, पी (एस ') = 0.6, पी (एफ | एस) = 0.8, पी (एफ | एस') = 0.3। बेयस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक अनुकूल पूर्वानुमान को देखते हुए एक नए टीवी मॉडल की मांग की संभावना 0.64 है। इस प्रकार, अनुकूल पूर्वानुमान दिए जाने पर, मांग न होने की प्रायिकता 1–0.64 = 0.36 है। गणना प्रक्रिया अंजीर में दिखाई गई है। 4.

चावल। 4. (ए) टीवी मांग की संभावना का अनुमान लगाने के लिए बायेसियन गणना; (बी) एक नए टीवी मॉडल की मांग पर शोध करते समय निर्णय वृक्ष

आइए चिकित्सा निदान के लिए बेयस प्रमेय के अनुप्रयोग के एक उदाहरण पर विचार करें। किसी व्यक्ति के किसी विशेष रोग से पीड़ित होने की प्रायिकता 0.03 है। एक चिकित्सा परीक्षण आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि क्या यह मामला है। यदि व्यक्ति वास्तव में बीमार है, तो एक सटीक निदान की संभावना (जो बताती है कि व्यक्ति वास्तव में बीमार होने पर बीमार होता है) 0.9 है। यदि व्यक्ति स्वस्थ है, तो झूठी सकारात्मक निदान की संभावना (जो बताती है कि व्यक्ति स्वस्थ होने पर बीमार है) 0.02 है। मान लीजिए कि एक चिकित्सा परीक्षण सकारात्मक है। क्या संभावना है कि व्यक्ति वास्तव में बीमार है? एक सटीक निदान की संभावना क्या है?

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: घटना डी - व्यक्ति बीमार है, घटना डी '- आदमी स्वस्थ है, घटना टी - सकारात्मक निदान, घटना टी '- नकारात्मक निदान... यह समस्या कथन से निकलता है कि पी (डी) = 0.03, पी (डी ') = 0.97, पी (टी | डी) = 0.90, पी (टी | डी') = 0.02। सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

संभावना है कि एक सकारात्मक निदान के साथ एक व्यक्ति वास्तव में बीमार है 0.582 (चित्र 5 भी देखें)। ध्यान दें कि बेयस सूत्र का हर एक सकारात्मक निदान की संभावना के बराबर है, अर्थात। ०.०४६४.

एक पेशेवर सट्टेबाज को जल्दी और सही तरीके से बाधाओं में पारंगत होना चाहिए गुणांक द्वारा किसी घटना की संभावना का अनुमान लगाएंऔर, यदि आवश्यक हो, करने में सक्षम हो ऑड्स को एक प्रारूप से दूसरे प्रारूप में बदलें... इस मैनुअल में, हम इस बारे में बात करेंगे कि किस प्रकार के गुणांक हैं, साथ ही, उदाहरणों का उपयोग करके, हम विश्लेषण करेंगे कि आप कैसे कर सकते हैं ज्ञात गुणांक द्वारा प्रायिकता की गणना करेंऔर इसके विपरीत।

ऑड्स कितने प्रकार के होते हैं?

तीन मुख्य प्रकार की ऑड्स हैं जो सट्टेबाज खिलाड़ियों को प्रदान करते हैं: दशमलव ऑड्स, भिन्नात्मक बाधाओं(अंग्रेज़ी) और अमेरिकन ऑड्स... यूरोप में सबसे आम ऑड्स दशमलव हैं। अमेरिकी ऑड्स उत्तरी अमेरिका में लोकप्रिय हैं। भिन्नात्मक ऑड्स सबसे पारंपरिक प्रकार हैं, वे तुरंत इस बारे में जानकारी दर्शाते हैं कि एक निश्चित राशि प्राप्त करने के लिए आपको कितना दांव लगाना होगा।

दशमलव ऑड्स

दशमलवया उन्हें भी कहा जाता है यूरोपीय बाधाओं- यह एक संख्या का सामान्य प्रारूप है, जिसे दशमलव अंश द्वारा सौवें की सटीकता के साथ और कभी-कभी हज़ारवें हिस्से तक भी दर्शाया जाता है। दशमलव ऑड्स का एक उदाहरण 1.91 है। दशमलव ऑड्स के मामले में लाभ की गणना करना बहुत सरल है, आपको बस अपनी बेट की राशि को इस ऑड्स से गुणा करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, मैनचेस्टर यूनाइटेड और आर्सेनल के बीच एक मैच में, मैनचेस्टर यूनाइटेड 2.05 ऑड्स पर जीतता है, 3.9 ऑड्स पर ड्रॉ होता है और आर्सेनल 2.95 ऑड्स पर जीतता है। मान लीजिए कि हमें विश्वास है कि युनाइटेड जीतेगा और हम उन पर 1,000 डॉलर का दांव लगाते हैं। तब हमारी संभावित आय की गणना इस प्रकार की जाती है:

2.05 * $1000 = $2050;

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?! इसी तरह, संभावित रिटर्न की गणना तब की जाती है जब ड्रॉ पर दांव लगाया जाता है और आर्सेनल के लिए जीत हासिल की जाती है।

खींचना: 3.9 * $1000 = $3900;
शस्त्रागार जीत: 2.95 * $1000 = $2950;

दशमलव ऑड्स द्वारा किसी घटना की प्रायिकता की गणना कैसे करें?

अब कल्पना कीजिए कि हमें किसी घटना की प्रायिकता को दशमलव ऑड्स द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसे बुकमेकर ने सेट किया है। यह बहुत ही सरल तरीके से किया जाता है। ऐसा करने के लिए, हम इकाई को इस गुणांक से विभाजित करते हैं।

आइए हमारे पास पहले से मौजूद डेटा लें और प्रत्येक घटना की संभावना की गणना करें:

मैनचेस्टर यूनाइटेड जीत: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
खींचना: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
शस्त्रागार जीत: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

भिन्नात्मक बाधाएं (अंग्रेज़ी)

जैसा कि नाम सुझाव देता है भिन्नात्मक कारकएक साधारण अंश द्वारा दर्शाया गया है। अंग्रेजी ऑड्स का एक उदाहरण 5/2 है। अंश के अंश में एक संख्या होती है जो शुद्ध जीत का संभावित योग होता है, और हर में वह संख्या होती है जो उस राशि को दर्शाती है जिसे इस जीत को प्राप्त करने के लिए शर्त लगाई जानी चाहिए। सीधे शब्दों में कहें, तो हमें $ 5 जीतने के लिए $ 2 डॉलर का दांव लगाना होगा। 3/2 गुणांक का अर्थ है कि $3 की शुद्ध जीत प्राप्त करने के लिए हमें $2 की बेट लगानी होगी।

भिन्नात्मक बाधाओं का उपयोग करके किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें?

भिन्नात्मक गुणांकों द्वारा किसी घटना की प्रायिकता की गणना करना भी मुश्किल नहीं है, आपको बस हर को अंश और हर के योग से विभाजित करने की आवश्यकता है।

भिन्न 5/2 के लिए, हम प्रायिकता की गणना करते हैं: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
भिन्न 3/2 के लिए, प्रायिकता की गणना करें:

अमेरिकन ऑड्स

अमेरिकन ऑड्सयूरोप में अलोकप्रिय, लेकिन बहुत उत्तरी अमेरिका में भी। शायद इस प्रकार की बाधाएं सबसे कठिन हैं, लेकिन यह केवल पहली नज़र में है। वास्तव में, इस प्रकार के गुणांक में कुछ भी जटिल नहीं है। आइए अब इसे क्रम से समझें।

अमेरिकी बाधाओं की मुख्य विशेषता यह है कि वे इस प्रकार हो सकते हैं: सकारात्मकतथा नकारात्मक... अमेरिकी ऑड्स का एक उदाहरण (+150), (-120) है। अमेरिकन ऑड्स (+150) का मतलब है कि $150 कमाने के लिए हमें $100 का दांव लगाना होगा। दूसरे शब्दों में, एक सकारात्मक यूएस गुणांक $ 100 की दर से संभावित शुद्ध आय को दर्शाता है। एक नकारात्मक अमेरिकी ऑड्स उस दांव की राशि को दर्शाता है जिसे $ 100 की शुद्ध जीत प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, गुणांक (- 120) हमें बताता है कि $ 120 की शर्त लगाकर हम $ 100 जीतेंगे।

अमेरिकी बाधाओं का उपयोग करके किसी घटना की संभावना की गणना कैसे करें?

अमेरिकी गुणांक के अनुसार किसी घटना की संभावना की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

(- (एम)) / ((- (एम)) + १००), जहां एम नकारात्मक अमेरिकी गुणांक है;
१०० / (पी + १००), जहां पी एक सकारात्मक अमेरिकी गुणांक है;

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक गुणांक (-120) है, तो संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

(- (एम)) / ((- (एम)) + १००); "एम" के बजाय मूल्य (-120) को प्रतिस्थापित करें;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

इस प्रकार, यूएस ऑड्स (-120) वाली घटना की प्रायिकता 54.5% है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक गुणांक (+150) है, तो संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

१०० / (पी + १००); "पी" के बजाय मूल्य (+150) को प्रतिस्थापित करें;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

इस प्रकार, एक अमेरिकी ऑड्स (+150) वाली घटना की प्रायिकता 40% है।

इसे दशमलव गुणांक में बदलने की प्रायिकता का प्रतिशत कैसे पता करें?

प्रायिकता के ज्ञात प्रतिशत के लिए दशमलव गुणांक की गणना करने के लिए, आपको घटना की प्रायिकता से 100 को प्रतिशत में विभाजित करना होगा। उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की प्रायिकता 55% है, तो इस प्रायिकता का दशमलव गुणांक 1.81 होगा।

100 / 55% = 1,81

इसे भिन्नात्मक गुणांक में अनुवाद करने की प्रायिकता का प्रतिशत कैसे पता करें?

प्रायिकता के ज्ञात प्रतिशत के लिए भिन्नात्मक गुणांक की गणना करने के लिए, आपको प्रतिशत के रूप में घटना की प्रायिकता से 100 को विभाजित करने से एक घटाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास प्रायिकता प्रतिशत 40% है, तो इस प्रायिकता का भिन्नात्मक गुणांक 3/2 होगा।

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
भिन्नात्मक कारक 1.5/1 या 3/2 है।

इसे अमेरिकी गुणांक में अनुवाद करने की संभावना का प्रतिशत कैसे पता चलेगा?

यदि किसी घटना की संभावना 50% से अधिक है, तो गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

- ((वी) / (100 - वी)) * १००, जहां वी संभावना है;

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 80% की घटना की संभावना है, तो इस संभावना का अमेरिकी गुणांक (-400) के बराबर होगा।

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

यदि किसी घटना की संभावना 50% से कम है, तो गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

((१०० - वी) / वी) * १००, जहां वी संभावना है;

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास किसी घटना की 20% संभावना है, तो इस संभावना का अमेरिकी गुणांक (+400) के बराबर होगा।

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

मैं एक गुणांक को दूसरे प्रारूप में कैसे परिवर्तित कर सकता हूं?

ऐसे समय होते हैं जब ऑड्स को एक प्रारूप से दूसरे प्रारूप में बदलना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, हमारे पास 3/2 का एक भिन्नात्मक गुणनखंड है और हमें इसे दशमलव में बदलने की आवश्यकता है। भिन्नात्मक ऑड्स को दशमलव में बदलने के लिए, हम पहले एक भिन्नात्मक ऑड्स वाली घटना की प्रायिकता निर्धारित करते हैं, और फिर इस प्रायिकता को दशमलव ऑड्स में परिवर्तित करते हैं।

3/2 के भिन्नात्मक गुणक वाली घटना की प्रायिकता 40% है।

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

अब किसी घटना की प्रायिकता को दशमलव गुणांक में बदलते हैं, इसके लिए हम 100 को किसी घटना की प्रायिकता को प्रतिशत में विभाजित करते हैं:

100 / 40% = 2.5;

इस प्रकार, भिन्नात्मक ऑड्स 3/2 2.5 के दशमलव ऑड्स के बराबर हैं। इसी तरह, उदाहरण के लिए, अमेरिकी गुणांक को भिन्नात्मक, दशमलव से अमेरिकी, आदि में परिवर्तित किया जाता है। इन सबका सबसे कठिन हिस्सा सिर्फ गणना है।

"दुर्घटनाएं आकस्मिक नहीं हैं" ... ऐसा लगता है जैसे एक दार्शनिक ने कहा, लेकिन वास्तव में यादृच्छिकता का अध्ययन करने के लिए गणित के महान विज्ञान का बहुत कुछ है। गणित में, संयोग सिद्धांत यादृच्छिकता से संबंधित है। कार्यों के सूत्र और उदाहरण, साथ ही इस विज्ञान की मुख्य परिभाषाएँ लेख में प्रस्तुत की जाएंगी।

संभाव्यता सिद्धांत क्या है?

संभाव्यता सिद्धांत गणितीय विषयों में से एक है जो यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करता है।

इसे थोड़ा स्पष्ट करने के लिए, आइए एक छोटा सा उदाहरण दें: यदि आप किसी सिक्के को ऊपर की ओर उछालते हैं, तो वह "सिर" या "पूंछ" गिर सकता है। जब तक सिक्का हवा में है, ये दोनों संभावनाएं संभव हैं। यानी संभावित परिणामों की संभावना 1:1 है। यदि आप 36 कार्डों के साथ एक डेक से बाहर निकालते हैं, तो संभाव्यता को 1:36 के रूप में दर्शाया जाएगा। ऐसा लगता है कि जांच और भविष्यवाणी करने के लिए कुछ भी नहीं है, खासकर गणितीय सूत्रों की मदद से। फिर भी, यदि आप एक निश्चित क्रिया को कई बार दोहराते हैं, तो आप एक निश्चित पैटर्न की पहचान कर सकते हैं और इसके आधार पर, अन्य स्थितियों में घटनाओं के परिणाम की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

उपरोक्त सभी को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, शास्त्रीय अर्थों में संभाव्यता का सिद्धांत संख्यात्मक मान में संभावित घटनाओं में से एक के घटित होने की संभावना का अध्ययन करता है।

इतिहास के पन्नों से

संभाव्यता का सिद्धांत, सूत्र और पहले कार्यों के उदाहरण सुदूर मध्य युग में दिखाई दिए, जब पहली बार कार्ड गेम के परिणाम की भविष्यवाणी करने का प्रयास किया गया था।

प्रारंभ में, संभाव्यता के सिद्धांत का गणित से कोई लेना-देना नहीं था। यह किसी घटना के अनुभवजन्य तथ्यों या गुणों पर आधारित था जिसे व्यवहार में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता था। इस क्षेत्र में गणितीय अनुशासन के रूप में पहला काम 17 वीं शताब्दी में सामने आया। संस्थापक ब्लेज़ पास्कल और पियरे फ़र्मेट थे। लंबे समय तक उन्होंने जुए का अध्ययन किया और कुछ निश्चित पैटर्न देखे, जिनके बारे में उन्होंने जनता को बताने का फैसला किया।

उसी तकनीक का आविष्कार क्रिश्चियन ह्यूजेंस ने किया था, हालांकि वह पास्कल और फ़र्मेट के शोध के परिणामों से परिचित नहीं थे। "संभाव्यता सिद्धांत" की अवधारणा, सूत्र और उदाहरण, जिन्हें अनुशासन के इतिहास में पहला माना जाता है, उनके द्वारा पेश किए गए थे।

जैकब बर्नौली, लाप्लास और पॉइसन के प्रमेय के कार्य भी महत्वपूर्ण हैं। उन्होंने संभाव्यता सिद्धांत को गणितीय अनुशासन की तरह बनाया। संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और बुनियादी कार्यों के उदाहरणों ने कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों के लिए अपना वर्तमान स्वरूप प्राप्त किया। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, संभाव्यता का सिद्धांत गणितीय शाखाओं में से एक बन गया है।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाएँ। घटनाक्रम

इस अनुशासन की मुख्य अवधारणा "घटना" है। घटनाएँ तीन प्रकार की होती हैं:

• विश्वसनीय।जो कुछ भी होगा (सिक्का गिर जाएगा)।
• असंभव।घटनाएँ जो किसी भी स्थिति में नहीं होंगी (सिक्का हवा में लटका रहेगा)।
• यादृच्छिक रूप से।जो होगा या नहीं होगा। वे विभिन्न कारकों से प्रभावित हो सकते हैं, जिनकी भविष्यवाणी करना बहुत मुश्किल है। यदि हम एक सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो यादृच्छिक कारक जो परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं: सिक्के की भौतिक विशेषताएं, इसका आकार, प्रारंभिक स्थिति, फेंकने की शक्ति आदि।

उदाहरणों में सभी घटनाओं को बड़े लैटिन अक्षरों में नामित किया गया है, पी के अपवाद के साथ, जिसकी एक अलग भूमिका है। उदाहरण के लिए:

• ए = "छात्र व्याख्यान में आए।"
• Ā = "छात्र व्याख्यान में नहीं आए।"

व्यावहारिक अभ्यासों में घटनाओं को शब्दों में लिखने की प्रथा है।

घटनाओं की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक अवसर की समानता है। यानी, यदि आप एक सिक्का उछालते हैं, तो शुरुआती गिरावट के सभी प्रकार तब तक संभव हैं जब तक कि वह गिर न जाए। लेकिन घटनाएं भी समान रूप से संभव नहीं हैं। यह तब होता है जब कोई विशेष रूप से परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, "चिह्नित" ताश या पासा जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थानांतरित हो जाता है।

इसके अलावा, घटनाएँ संगत और असंगत हैं। संगत घटनाएँ एक दूसरे को घटित होने से बाहर नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए:

• ए = "एक छात्र व्याख्यान में आया।"
• बी = "छात्र व्याख्यान में आया।"

ये घटनाएं एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, और उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करती है। असंगत घटनाएं इस तथ्य से निर्धारित होती हैं कि एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को बाहर करती है। अगर हम एक ही सिक्के के बारे में बात करते हैं, तो "पूंछ" गिरने से "सिर" एक ही प्रयोग में दिखाई देना असंभव हो जाता है।

घटनाओं पर कार्रवाई

घटनाओं को गुणा और जोड़ा जा सकता है, क्रमशः, तार्किक संयोजक "AND" और "OR" को अनुशासन में पेश किया जाता है।

राशि इस तथ्य से निर्धारित होती है कि या तो घटना ए, या बी, या दो एक ही समय में हो सकती हैं। मामले में जब वे असंगत हैं, तो अंतिम विकल्प असंभव है, या तो ए या बी गिर जाएगा।

घटनाओं के गुणन में एक ही समय में ए और बी की उपस्थिति होती है।

अब आप मूल बातें, संभाव्यता सिद्धांत और सूत्रों को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए कुछ उदाहरण दे सकते हैं। आगे समस्या समाधान के उदाहरण।

अभ्यास 1: फर्म तीन प्रकार के कार्यों के लिए ठेके की प्रतियोगिता में भाग ले रही है। संभावित घटनाएं जो हो सकती हैं:

• ए = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त होगा।"
• ए 1 = "फर्म को पहला अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"
• बी = "फर्म को दूसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• बी 1 = "फर्म को दूसरा अनुबंध नहीं मिलेगा"
• सी = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा।"
• सी 1 = "फर्म को तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

आइए घटनाओं पर क्रियाओं का उपयोग करके निम्नलिखित स्थितियों को व्यक्त करने का प्रयास करें:

• K = "फर्म को सभी अनुबंध प्राप्त होंगे।"

गणितीय रूप में, समीकरण इस तरह दिखेगा: K = ABC।

• एम = "फर्म को एक भी अनुबंध प्राप्त नहीं होगा।"

एम = ए 1 बी 1 सी 1.

कार्य को जटिल बनाना: एच = "फर्म को एक अनुबंध प्राप्त होगा।" चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि फर्म को कौन सा अनुबंध प्राप्त होगा (पहला, दूसरा या तीसरा), संभावित घटनाओं की पूरी श्रृंखला को रिकॉर्ड करना आवश्यक है:

= А 1 ВС 1 AB 1 1 υ А 1 В 1 .

ए 1 ईसा पूर्व 1 घटनाओं की एक श्रृंखला है जहां फर्म को पहला और तीसरा अनुबंध प्राप्त नहीं होता है, लेकिन दूसरा प्राप्त होता है। अन्य संभावित घटनाओं को इसी विधि द्वारा दर्ज किया गया था। अनुशासन में प्रतीक υ "OR" लिंक को दर्शाता है। यदि हम दिए गए उदाहरण का मानवीय भाषा में अनुवाद करते हैं, तो फर्म को या तो तीसरा अनुबंध प्राप्त होगा, या दूसरा, या पहला। इसी तरह, आप "संभाव्यता के सिद्धांत" विषय में अन्य शर्तों को लिख सकते हैं। ऊपर प्रस्तुत समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण आपको इसे स्वयं करने में मदद करेंगे।

दरअसल, संभावना

शायद, इस गणितीय अनुशासन में, किसी घटना की संभावना केंद्रीय अवधारणा है। संभाव्यता की 3 परिभाषाएँ हैं:

• क्लासिक;
• सांख्यिकीय;
• ज्यामितीय।

संभावनाओं के अध्ययन में प्रत्येक का अपना स्थान है। संभाव्यता सिद्धांत, सूत्र और उदाहरण (ग्रेड 9) मुख्य रूप से शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते हैं, जो इस तरह लगता है:

• स्थिति A की प्रायिकता उन परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर होती है जो इसके घटित होने के पक्ष में हैं और सभी संभावित परिणामों की संख्या से।

सूत्र इस तरह दिखता है: पी (ए) = एम / एन।

ए वास्तव में एक घटना है। यदि ए के विपरीत कोई मामला है, तो इसे Ā या ए 1 के रूप में लिखा जा सकता है।

मी संभावित अनुकूल मामलों की संख्या है।

n - सभी घटनाएँ जो हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, A = "हार्ट सूट का एक कार्ड बनाएं।" एक मानक डेक में 36 कार्ड होते हैं, उनमें से 9 दिल होते हैं। तदनुसार, समस्या को हल करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी (ए) = 9/36 = 0.25।

परिणामस्वरूप, डेक से हार्ट-सूट कार्ड निकाले जाने की प्रायिकता 0.25 है।

उच्च गणित की ओर

अब यह थोड़ा ज्ञात हो गया है कि प्रायिकता का सिद्धांत क्या है, स्कूल के पाठ्यक्रम में आने वाले कार्यों को हल करने के सूत्र और उदाहरण। हालांकि, उच्च गणित में संभाव्यता सिद्धांत भी पाया जाता है, जो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है। अक्सर, वे सिद्धांत और जटिल सूत्रों की ज्यामितीय और सांख्यिकीय परिभाषाओं के साथ काम करते हैं।

संभाव्यता का सिद्धांत बहुत दिलचस्प है। संभाव्यता की सांख्यिकीय (या आवृत्ति) परिभाषा के साथ - छोटे से सूत्र और उदाहरण (उच्च गणित) सीखना शुरू करना बेहतर है।

सांख्यिकीय दृष्टिकोण शास्त्रीय दृष्टिकोण का खंडन नहीं करता है, लेकिन इसका थोड़ा विस्तार करता है। यदि पहले मामले में यह निर्धारित करना आवश्यक था कि घटना किस हद तक घटित होगी, तो इस पद्धति में यह इंगित करना आवश्यक है कि यह कितनी बार घटित होगा। यहां हम एक नई अवधारणा "सापेक्ष आवृत्ति" पेश करते हैं, जिसे W n (A) द्वारा दर्शाया जा सकता है। सूत्र क्लासिक से अलग नहीं है:

यदि शास्त्रीय सूत्र की गणना पूर्वानुमान के लिए की जाती है, तो सांख्यिकीय एक - प्रयोग के परिणामों के अनुसार। उदाहरण के लिए, एक छोटा सा असाइनमेंट लें।

तकनीकी नियंत्रण विभाग गुणवत्ता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। 100 उत्पादों में से 3 खराब गुणवत्ता के पाए गए। आप किसी गुणवत्तापूर्ण उत्पाद की बारंबारता की प्रायिकता कैसे ज्ञात करते हैं?

ए = "एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की उपस्थिति।"

डब्ल्यू एन (ए) = 97/100 = 0.97

इस प्रकार, एक गुणवत्ता वाले उत्पाद की आवृत्ति 0.97 है। आपको 97 कहां से मिले? जिन 100 वस्तुओं की जांच की गई, उनमें से 3 खराब गुणवत्ता की पाई गईं। हम १०० में से ३ घटाते हैं, हमें ९७ मिलते हैं, यह गुणवत्ता वाले सामानों की मात्रा है।

कॉम्बिनेटरिक्स के बारे में थोड़ा

संभाव्यता सिद्धांत की एक अन्य विधि को कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है। इसका मूल सिद्धांत यह है कि यदि A का एक निश्चित चुनाव m अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, और B का चुनाव n अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, तो A और B का चुनाव गुणन द्वारा किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, शहर A से शहर B तक जाने वाली 5 सड़कें हैं। शहर B से शहर C तक 4 रास्ते हैं। आप शहर A से शहर C तक कितने रास्तों से जा सकते हैं?

यह आसान है: 5x4 = 20, यानी, आप बिंदु ए से बिंदु सी तक बीस अलग-अलग तरीकों से प्राप्त कर सकते हैं।

आइए कार्य को जटिल करें। सॉलिटेयर में ताश खेलने के कितने तरीके हैं? डेक में 36 कार्ड हैं - यह शुरुआती बिंदु है। तरीकों की संख्या जानने के लिए, आपको शुरुआती बिंदु से एक कार्ड को "घटाना" और गुणा करना होगा।

यानी, 36x35x34x33x32 ... x2x1 = परिणाम कैलकुलेटर स्क्रीन पर फिट नहीं होता है, इसलिए आप इसे केवल 36 के रूप में नामित कर सकते हैं। संकेत "!" एक संख्या के आगे इंगित करता है कि संख्याओं की पूरी श्रृंखला आपस में गुणा की जाती है।

कॉम्बिनेटरिक्स में, क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट और संयोजन जैसी अवधारणाएँ हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना सूत्र है।

एक समुच्चय में तत्वों का एक क्रमित समुच्चय व्यवस्था कहलाता है। प्लेसमेंट दोहराए जा सकते हैं, यानी एक तत्व का कई बार उपयोग किया जा सकता है। और कोई दोहराव नहीं, जब तत्वों को दोहराया नहीं जाता है। n सभी तत्व हैं, m ऐसे तत्व हैं जो प्लेसमेंट में भाग लेते हैं। बिना दोहराव के प्लेसमेंट का फॉर्मूला होगा:

ए एन एम = एन! / (एन-एम)!

n तत्वों के संयोजन जो केवल प्लेसमेंट के क्रम में भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं। गणित में, यह है: P n = n!

n तत्वों का m द्वारा संयोजन ऐसे यौगिक हैं जिनमें यह महत्वपूर्ण है कि वे कौन से तत्व थे और उनकी कुल संख्या क्या थी। सूत्र इस तरह दिखेगा:

ए एन एम = एन! / एम! (एन-एम)!

बर्नौली का सूत्र

संभाव्यता के सिद्धांत के साथ-साथ हर विषय में अपने क्षेत्र में उत्कृष्ट शोधकर्ताओं के काम हैं जिन्होंने इसे एक नए स्तर पर ले लिया है। इन कार्यों में से एक बर्नौली सूत्र है, जो आपको स्वतंत्र परिस्थितियों में होने वाली एक निश्चित घटना की संभावना निर्धारित करने की अनुमति देता है। इससे पता चलता है कि किसी प्रयोग में A का दिखना पहले या बाद के परीक्षणों में उसी घटना के प्रकट होने या न होने पर निर्भर नहीं करता है।

बर्नौली का समीकरण:

पी एन (एम) = सी एन एम × पी एम × क्यू एन-एम।

घटना (ए) की घटना की संभावना (पी) प्रत्येक परीक्षण के लिए अपरिवर्तित है। n प्रयोगों की संख्या में स्थिति ठीक m बार घटित होने की प्रायिकता की गणना ऊपर प्रस्तुत सूत्र द्वारा की जाएगी। तदनुसार, प्रश्न उठता है कि संख्या q का पता कैसे लगाया जाए।

यदि घटना A क्रमशः p संख्या में घटित होती है, तो यह घटित नहीं हो सकती है। एक वह संख्या है जिसका उपयोग किसी अनुशासन में किसी स्थिति के सभी परिणामों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। इसलिए, q एक संख्या है जो घटना के न होने की संभावना को दर्शाती है।

अब आप बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) को जानते हैं। हम आगे समस्याओं (प्रथम स्तर) को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

असाइनमेंट 2:स्टोर विज़िटर 0.2 की संभावना के साथ खरीदारी करेगा। 6 आगंतुकों ने स्वतंत्र रूप से स्टोर में प्रवेश किया। क्या संभावना है कि कोई आगंतुक खरीदारी करेगा?

समाधान: चूंकि यह ज्ञात नहीं है कि कितने आगंतुकों को खरीदारी करनी चाहिए, एक या सभी छह, बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके सभी संभावित संभावनाओं की गणना करना आवश्यक है।

A = "आगंतुक खरीदारी करेगा।"

इस मामले में: p = ०.२ (जैसा कि कार्य में दर्शाया गया है)। तदनुसार, क्यू = 1-0.2 = 0.8।

n = 6 (चूंकि स्टोर में 6 ग्राहक हैं)। संख्या m 0 से बदल जाएगी (कोई ग्राहक खरीदारी नहीं करेगा) से 6 (स्टोर पर आने वाले सभी आगंतुक कुछ खरीदेंगे)। परिणामस्वरूप, हमें समाधान मिलता है:

पी ६ (०) = सी ० ६ × पी ० × क्यू ६ = क्यू ६ = (०.८) ६ = ०.२६२१।

कोई भी खरीदार 0.2621 की संभावना के साथ खरीदारी नहीं करेगा।

बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) का और किस प्रकार उपयोग किया जाता है? समस्या समाधान के उदाहरण (द्वितीय स्तर) नीचे।

उपरोक्त उदाहरण के बाद, प्रश्न उठता है कि C और p कहाँ गए हैं। पी के संबंध में, 0 की शक्ति की संख्या एक के बराबर होगी। सी के लिए, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

सी एन एम = एन! / एम! (एनएम)!

चूँकि पहले उदाहरण में क्रमशः m = 0, C = 1 है, जो सिद्धांत रूप में परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। नए फॉर्मूले का उपयोग करते हुए, आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि दो आगंतुकों द्वारा सामान खरीदने की क्या संभावना है।

पी 6 (2) = सी 6 2 × पी 2 × क्यू 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0.2) 2 × ( ०.८) ४ = १५ × ०.०४ × ०.४०९६ = ०.२४६।

संभाव्यता का सिद्धांत इतना जटिल नहीं है। बर्नौली का सूत्र, जिसके उदाहरण ऊपर प्रस्तुत हैं, इसका प्रत्यक्ष प्रमाण है।

पॉइसन का सूत्र

पॉइसन के समीकरण का उपयोग असंभावित यादृच्छिक स्थितियों की गणना के लिए किया जाता है।

मूल सूत्र:

पी एन (एम) = λ एम / एम! × ई (-λ)।

इसके अलावा, = n x p. यहाँ एक सरल पॉइसन सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) है। हम आगे समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

असाइनमेंट 3: कारखाने ने 100,000 टुकड़ों की मात्रा में भागों का उत्पादन किया। दोषपूर्ण भाग उपस्थिति = 0.00001। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक बैच में 5 खराब पुर्जे होंगे?

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवाह एक अप्रत्याशित घटना है, और इसलिए गणना के लिए पॉइसन के सूत्र (संभाव्यता सिद्धांत) का उपयोग किया जाता है। इस तरह की समस्याओं को हल करने के उदाहरण अनुशासन के अन्य कार्यों से अलग नहीं हैं, हम दिए गए सूत्र में आवश्यक डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

ए = "यादृच्छिक रूप से चयनित हिस्सा खराब हो जाएगा।"

पी = 0.0001 (कार्य की स्थिति के अनुसार)।

n = 100000 (भागों की संख्या)।

मी = 5 (दोषपूर्ण भाग)। हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी 100000 (5) = 10 5/5! एक्स ई -10 = 0.0375।

बर्नौली के सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) की तरह, समाधान के उदाहरण जिनके साथ ऊपर लिखा गया है, पॉइसन के समीकरण में एक अज्ञात ई है। वास्तव में, यह सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

ई -λ = लिम एन -> (1-λ / एन) एन।

हालांकि, ऐसे विशेष टेबल हैं जिनमें ई के लगभग सभी मान होते हैं।

मोइवरे-लाप्लास प्रमेय

यदि बर्नौली योजना में परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, और सभी योजनाओं में घटना ए की घटना की संभावना समान है, तो घटना ए की घटना की संभावना परीक्षणों की एक श्रृंखला में एक निश्चित संख्या में पाई जा सकती है लाप्लास सूत्र:

एन (एम) = 1 / npq x ϕ (एक्स एम)।

एक्स एम = एम-एनपी / √एनपीक्यू।

लैपलेस सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत) को बेहतर ढंग से याद रखने के लिए, समस्याओं के उदाहरण नीचे आपकी सहायता के लिए हैं।

सबसे पहले, हम एक्स एम पाते हैं, डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं (वे सभी ऊपर इंगित किए गए हैं) सूत्र में और 0.025 प्राप्त करते हैं। तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम संख्या ϕ (0.025) पाते हैं, जिसका मान 0.3988 है। अब आप सूत्र में सभी डेटा को स्थानापन्न कर सकते हैं:

आर ८०० (२६७) = १ / (८०० x १/३ x २/३) x ०.३९८८ = ३/४० x ०.३९८८ = ०.०३।

तो संभावना है कि फ्लायर ठीक 267 बार फायर करेगा 0.03 है।

बेयस फॉर्मूला

बेयस का सूत्र (प्रायिकता सिद्धांत), समस्याओं को हल करने के उदाहरण जिनकी मदद से नीचे दिया जाएगा, एक समीकरण है जो किसी घटना की संभावना का वर्णन करता है, जो उन परिस्थितियों के आधार पर होता है जो इससे जुड़ी हो सकती हैं। मूल सूत्र इस तरह दिखता है:

पी (ए | बी) = पी (बी | ए) एक्स पी (ए) / पी (बी)।

ए और बी विशिष्ट घटनाएँ हैं।

पी (ए | बी) - सशर्त संभावना, यानी घटना ए हो सकती है बशर्ते कि घटना बी सच हो।

पी (बी | ए) - घटना बी की सशर्त संभावना।

तो, लघु पाठ्यक्रम "संभाव्यता का सिद्धांत" का अंतिम भाग बेयस सूत्र है, जिसके साथ समस्याओं के समाधान के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

असाइनमेंट 5: हम तीन कंपनियों के फोन गोदाम में लाए। वहीं, पहले प्लांट में बनने वाले फोन का हिस्सा 25%, दूसरे पर - 60%, तीसरे पर - 15% है। यह भी ज्ञात है कि पहले कारखाने में दोषपूर्ण उत्पादों का औसत प्रतिशत 2% है, दूसरे में - 4%, और तीसरे में - 1%। यह प्रायिकता ज्ञात करना आवश्यक है कि यादृच्छिक रूप से चयनित फोन खराब हो जाएगा।

ए = "बेतरतीब ढंग से उठाया गया फोन।"

बी 1 - वह फोन जो पहली फैक्ट्री द्वारा बनाया गया था। तदनुसार, इनपुट बी 2 और बी 3 (दूसरे और तीसरे कारखानों के लिए) होंगे।

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

पी (बी १) = २५% / १००% = ०.२५; पी (बी 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - इस प्रकार हमने प्रत्येक विकल्प की प्रायिकता ज्ञात की।

अब आपको वांछित घटना की सशर्त संभावनाओं को खोजने की जरूरत है, यानी फर्मों में दोषपूर्ण उत्पादों की संभावना:

पी (ए / बी १) = 2% / १००% = ०.०२;

पी (ए / बी 2) = ०.०४;

पी (ए / बी 3) = 0.01।

अब हम डेटा को बेयस फॉर्मूला में प्लग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी (ए) = ०.२५ x ०.२ + ०.६ x ०.४ + ०.१५ x ०.०१ = ०.०३०५।

लेख संभाव्यता के सिद्धांत, सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण प्रस्तुत करता है, लेकिन यह केवल एक विशाल अनुशासन के हिमशैल का सिरा है। और जो कुछ लिखा जा चुका है, उसके बाद यह प्रश्न पूछना तर्कसंगत होगा कि क्या जीवन में संभाव्यता के सिद्धांत की आवश्यकता है। एक सामान्य व्यक्ति के लिए इसका उत्तर देना कठिन है, इसके बारे में उससे पूछना बेहतर है जिसने इसकी मदद से एक से अधिक बार जैकपॉट मारा है।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक काफी व्यापक स्वतंत्र शाखा है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, संभाव्यता के सिद्धांत को बहुत सतही रूप से माना जाता है, हालांकि, परीक्षा और जीआईए में इस विषय पर कार्य होते हैं। हालाँकि, स्कूल के पाठ्यक्रम की समस्याओं को हल करना इतना कठिन नहीं है (कम से कम जहाँ तक अंकगणितीय संक्रियाओं का संबंध है) - यहाँ आपको व्युत्पन्नों की गणना करने, समाकलन लेने और जटिल त्रिकोणमितीय परिवर्तनों को हल करने की आवश्यकता नहीं है - मुख्य बात यह है कि सक्षम होना है अभाज्य संख्याओं और भिन्नों को संभालें।

संभाव्यता सिद्धांत - मूल शब्द

संभाव्यता के सिद्धांत की मुख्य शर्तें परीक्षण, परिणाम और यादृच्छिक घटना हैं। संभाव्यता के सिद्धांत में एक परीक्षण एक प्रयोग है - एक सिक्का उछालें, एक कार्ड बनाएं, लॉट बनाएं - ये सभी परीक्षण हैं। परीक्षण का परिणाम, आपने अनुमान लगाया, परिणाम कहलाता है।

और किसी घटना की यादृच्छिकता क्या है? संभाव्यता के सिद्धांत में, यह माना जाता है कि परीक्षण एक से अधिक बार किया जाता है और कई परिणाम होते हैं। एक परीक्षण के कई परिणामों को एक यादृच्छिक घटना कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्का उछालते हैं, तो दो यादृच्छिक घटनाएँ हो सकती हैं - चित या पट।

एक परिणाम और एक यादृच्छिक घटना की अवधारणाओं को भ्रमित न करें। परिणाम एक परीक्षण का एक परिणाम है। एक यादृच्छिक घटना संभावित परिणामों का एक समूह है। वैसे, एक असंभव घटना के रूप में एक शब्द है। उदाहरण के लिए, मानक गेम डाई पर "नंबर 8" इवेंट संभव नहीं है।

आप संभावना कैसे ढूंढते हैं?

हम सभी मोटे तौर पर समझते हैं कि संभाव्यता क्या है, और अक्सर हम इस शब्द का प्रयोग अपनी शब्दावली में करते हैं। इसके अलावा, हम किसी विशेष घटना की संभावना के बारे में कुछ निष्कर्ष भी निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, यदि खिड़की के बाहर बर्फ है, तो हम सबसे अधिक संभावना कह सकते हैं कि अभी गर्मी नहीं है। हालाँकि, इस धारणा को संख्यात्मक रूप से कैसे व्यक्त किया जा सकता है?

प्रायिकता ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्रस्तुत करने के लिए, हम एक और अवधारणा पेश करते हैं - एक अनुकूल परिणाम, यानी एक ऐसा परिणाम जो किसी विशेष घटना के लिए अनुकूल हो। परिभाषा बल्कि अस्पष्ट है, हालांकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, यह हमेशा स्पष्ट होता है कि कौन सा परिणाम अनुकूल है।

उदाहरण के लिए: कक्षा में 25 लोग हैं, उनमें से तीन कात्या हैं। शिक्षक ओला को ड्यूटी पर नियुक्त करता है, और उसे एक साथी की आवश्यकता होती है। क्या संभावना है कि कट्या भागीदार बनेगी?

इस उदाहरण में, एक अनुकूल परिणाम साथी कात्या है। हम थोड़ी देर बाद इस समस्या का समाधान करेंगे। लेकिन पहले, एक अतिरिक्त परिभाषा की मदद से, हम संभाव्यता को खोजने के लिए एक सूत्र पेश करते हैं।

• पी = ए / एन, जहां पी संभावना है, ए अनुकूल परिणामों की संख्या है, एन परिणामों की कुल संख्या है।

स्कूल की सभी समस्याएं इसी एक फॉर्मूले के इर्द-गिर्द घूमती हैं, और मुख्य कठिनाई आमतौर पर परिणाम खोजने में होती है। कभी-कभी उन्हें ढूंढना आसान होता है, कभी-कभी यह बहुत आसान नहीं होता है।

संभावनाओं को कैसे हल करें?

समस्या १

तो चलिए अब ऊपर बताई गई समस्या को हल करते हैं।

अनुकूल परिणामों की संख्या (शिक्षक कात्या का चयन करेगा) तीन है, क्योंकि कक्षा में तीन कात्या हैं, और कुल मिलाकर 24 परिणाम हैं (25-1, क्योंकि ओलेया पहले ही चुना जा चुका है)। तो संभावना है: पी = 3/24 = 1/8 = 0.125। इस प्रकार, कट्या के ओलेआ के साथी होने की संभावना 12.5% ​​​​है। मुश्किल नहीं है, है ना? आइए कुछ और जटिल देखें।

टास्क 2

सिक्का दो बार फेंका गया, संयोजन की संभावना क्या है: एक सिर और एक पूंछ?

तो, समग्र परिणामों पर विचार करें। सिक्के कैसे गिर सकते हैं - सिर/सिर, पूंछ/पूंछ, सिर/पूंछ, पूंछ/सिर? इसका मतलब है कि परिणामों की कुल संख्या 4 है। कितने अनुकूल परिणाम हैं? दो - सिर/पूंछ और पूंछ/सिर। इस प्रकार, चित/पूंछ संयोजन प्राप्त करने की प्रायिकता है:

• पी = 2/4 = 0.5 या 50 प्रतिशत।

अब आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। माशा की जेब में 6 सिक्के हैं: दो - 5 रूबल और चार - 10 रूबल। माशा ने 3 सिक्के दूसरी जेब में रख दिए। 5 रूबल के सिक्के अलग-अलग जेबों में समाप्त होने की क्या संभावना है?

सादगी के लिए, आइए सिक्कों को संख्याओं के साथ नामित करें - 1,2 - पांच-रूबल के सिक्के, 3,4,5,6 - दस-रूबल के सिक्के। तो आपकी जेब में सिक्के कैसे हो सकते हैं? कुल मिलाकर 20 संयोजन हैं:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि कुछ संयोजन गायब हो गए हैं, उदाहरण के लिए, २३१, लेकिन हमारे मामले में संयोजन १२३, २३१ और ३२१ समतुल्य हैं।

अब हम गिनते हैं कि हमारे पास कितने अनुकूल परिणाम हैं। उनके लिए हम उन संयोजनों को लेते हैं जिनमें या तो संख्या 1 या संख्या 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 है। उनमें से 12 हैं। इस प्रकार , संभावना है:

• पी = 12/20 = 0.6 या 60%।

यहां प्रस्तुत प्रायिकता सिद्धांत में समस्याएं काफी सीधी हैं, लेकिन यह मत सोचो कि संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक सरल शाखा है। यदि आप एक विश्वविद्यालय में अपनी शिक्षा जारी रखने का निर्णय लेते हैं (मानवीय विशिष्टताओं के अपवाद के साथ), तो आपके पास निश्चित रूप से उच्च गणित में जोड़े होंगे, जहां आपको इस सिद्धांत के अधिक जटिल शब्दों से परिचित कराया जाएगा, और वहां की समस्याएं बहुत अधिक कठिन होंगी। .

अपने ब्लॉग में, गेम डिज़ाइनर जान श्रेइबर द्वारा पाठ्यक्रम "गेम बैलेंस प्रिंसिपल्स" के अगले व्याख्यान का अनुवाद, जिन्होंने मार्वल ट्रेडिंग कार्ड गेम और प्लेबॉय: द मेंशन जैसी परियोजनाओं पर काम किया है।

आज तक, हमने लगभग हर चीज के बारे में बात की है जो नियतात्मक रही है, और पिछले हफ्ते हमने सकर्मक यांत्रिकी पर करीब से नज़र डाली, इसे जितना मैं समझा सकता हूं उतना विस्तार से ले रहा हूं। लेकिन अब तक, हमने कई खेलों के अन्य पहलुओं पर ध्यान नहीं दिया है, अर्थात् गैर-नियतात्मक क्षण - दूसरे शब्दों में, यादृच्छिकता।

खेल डिजाइनरों के लिए यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना बहुत महत्वपूर्ण है। हम ऐसे सिस्टम बनाते हैं जो किसी दिए गए गेम में उपयोगकर्ता के अनुभव को प्रभावित करते हैं, इसलिए हमें यह जानने की जरूरत है कि ये सिस्टम कैसे काम करते हैं। यदि सिस्टम में यादृच्छिकता है, तो आपको इस यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना होगा और यह जानना होगा कि हमें आवश्यक परिणाम प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बदलना है।

पासा

आइए कुछ सरल से शुरू करें - पासा पलटना। जब अधिकांश लोग पासे के बारे में सोचते हैं, तो वे छह-पक्षीय पासे के बारे में सोचते हैं जिसे d6 कहा जाता है। लेकिन अधिकांश गेमर्स ने कई अन्य पासे देखे हैं: चार-तरफा (डी 4), ऑक्टाहेड्रल (डी 8), बारह-तरफा (डी 12), बीस-तरफा (डी 20)। यदि आप एक वास्तविक गीक हैं, तो आपके पास कहीं न कहीं 30-पक्षीय या 100-पक्षीय हड्डियाँ हो सकती हैं।

यदि आप इस शब्दावली से अपरिचित हैं, तो d का अर्थ पासा है, और इसके बाद की संख्या इसके किनारों की संख्या है। यदि कोई संख्या d से पहले आती है, तो यह फेंके जाने वाले पासों की संख्या को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, एकाधिकार में, आप 2d6 रोल करते हैं।

तो, इस मामले में, "पासा" वाक्यांश एक पारंपरिक पदनाम है। बड़ी संख्या में अन्य यादृच्छिक संख्या जनरेटर हैं जो प्लास्टिक के आंकड़ों की तरह नहीं दिखते हैं, लेकिन एक ही कार्य करते हैं - वे 1 से n तक एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करते हैं। एक साधारण सिक्के को डायहेड्रल पासे के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।

मैंने सात-पक्षीय पासे के दो डिज़ाइन देखे: एक पासे जैसा दिखता था, और दूसरा सात-तरफा लकड़ी की पेंसिल जैसा दिखता था। टेट्राहेड्रल ड्रेडेल, जिसे टिटोटम भी कहा जाता है, टेट्राहेड्रल हड्डी का एक एनालॉग है। चुट्स एंड लैडर्स में कताई तीर के साथ खेल का मैदान, जहां परिणाम 1 से 6 तक हो सकता है, एक हेक्स पासे से मेल खाता है।

कंप्यूटर में एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर 1 से 19 तक कोई भी संख्या बना सकता है यदि डिजाइनर ऐसा आदेश देता है, हालांकि कंप्यूटर में 19-पक्षीय पासा नहीं है (सामान्य तौर पर, मैं संख्या प्राप्त करने की संभावना के बारे में अधिक विस्तार से बात करूंगा। अगले सप्ताह कंप्यूटर पर)। ये सभी आइटम अलग दिखते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान हैं: आपके पास कई संभावित परिणामों में से प्रत्येक की समान संभावना है।

पासे में कुछ रोचक गुण होते हैं जिनके बारे में हमें जानना आवश्यक है। सबसे पहले, किसी भी चेहरे के गिरने की संभावना समान है (मैं मान रहा हूं कि आप सही ज्यामितीय आकार का पासा घुमा रहे हैं)। यदि आप रोल का औसत मूल्य जानना चाहते हैं (उन लोगों के लिए जो संभाव्यता के सिद्धांत के शौकीन हैं, इसे गणितीय अपेक्षा के रूप में जाना जाता है), सभी किनारों पर मानों को जोड़ दें और उस संख्या को किनारों की संख्या से विभाजित करें।

एक मानक हेक्सागोनल डाई के लिए सभी चेहरों के मूल्यों का योग 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 है। 21 को चेहरों की संख्या से विभाजित करें और हमें औसत रोल मान मिलता है: 21/6 = 3.5 . यह एक विशेष मामला है क्योंकि हम मानते हैं कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

क्या होगा यदि आपके पास विशेष पासा है? उदाहरण के लिए, मैंने किनारों पर विशेष स्टिकर के साथ हेक्सागोनल पासा वाला एक गेम देखा: 1, 1, 1, 2, 2, 3, इसलिए यह एक अजीब त्रिकोणीय पासा की तरह व्यवहार करता है जिसमें 2 से 1 नंबर प्राप्त करने का बेहतर मौका होता है। और इसके 3 से 2 रोल करने की अधिक संभावना है। इस पासे के लिए औसत रोल वैल्यू क्या है? तो, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6 से विभाजित करें - यह 5/3 या लगभग 1.66 निकलता है। इस प्रकार, यदि आपके पास एक विशेष पासा है और खिलाड़ी तीन पासे रोल करेंगे और फिर परिणाम जोड़ेंगे, तो आप जानते हैं कि उनके रोल का योग लगभग 5 होगा, और आप इस धारणा के आधार पर खेल को संतुलित कर सकते हैं।

पासा और स्वतंत्रता

जैसा कि मैंने कहा, हम इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि प्रत्येक चेहरे के समान रूप से गिरने की संभावना है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितने पासे लुढ़कते हैं। डाई का प्रत्येक रोल स्वतंत्र है - इसका मतलब है कि पिछले रोल बाद के रोल के परिणामों को प्रभावित नहीं करते हैं। पर्याप्त परीक्षणों के साथ, आप निश्चित रूप से संख्याओं की एक श्रृंखला देखेंगे - उदाहरण के लिए, ज्यादातर उच्च या निम्न मूल्यों से बाहर गिरना - या अन्य विशेषताएं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि पासा "गर्म" या "ठंडा" है। हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

यदि आप एक मानक छह-पक्षीय पासे को रोल करते हैं, और संख्या 6 लगातार दो बार दिखाई देती है, तो संभावना है कि अगले रोल के परिणामस्वरूप 6 भी 1/6 है। इस तथ्य से संभावना नहीं बढ़ती है कि पासा है " गरम"। उसी समय, संभावना कम नहीं होती है: यह तर्क देना गलत है कि संख्या 6 पहले ही लगातार दो बार गिर चुकी है, जिसका अर्थ है कि अब एक और चेहरा गिरना चाहिए।

बेशक, यदि आप पासे को बीस बार घुमाते हैं और हर बार 6 की संख्या आती है, तो इक्कीसवीं बार जब आप 6 रोल करते हैं, तो संभावना बहुत अधिक होती है: आपके पास गलत पासा हो सकता है। लेकिन अगर पासा सही है, तो प्रत्येक चेहरे के गिरने की संभावना समान है, अन्य रोल के परिणामों की परवाह किए बिना। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि हम हर बार पासे को बदलते हैं: यदि संख्या 6 लगातार दो बार आती है, तो खेल से गर्म पासे को हटा दें और इसे एक नए से बदल दें। यदि आप में से किसी को इसके बारे में पहले से पता था तो मैं क्षमा चाहता हूं, लेकिन आगे बढ़ने से पहले मुझे इसे स्पष्ट करना होगा।

पासा को कमोबेश यादृच्छिक रूप से कैसे गिराएं

आइए बात करते हैं कि अलग-अलग पासों पर अलग-अलग परिणाम कैसे प्राप्त करें। यदि आप केवल एक या कई बार पासे को घुमाते हैं, तो पासा के अधिक किनारे होने पर खेल अधिक यादृच्छिक लगेगा। जितनी बार आप पासे को घुमाते हैं और जितना अधिक पासा घुमाते हैं, उतने ही अधिक परिणाम औसत के करीब आते हैं।

उदाहरण के लिए, 1d6 + 4 के मामले में (अर्थात, यदि आप एक मानक हेक्स पासे को एक बार रोल करते हैं और परिणाम में 4 जोड़ते हैं), तो औसत 5 से 10 होगा। यदि आप 5d2 रोल करते हैं, तो औसत भी 5 से होगा 10. 5d2 के रोल का परिणाम ज्यादातर 7 और 8 की संख्या में होगा, शायद ही कभी अन्य मान। वही श्रृंखला, समान औसत (दोनों मामलों में 7.5), लेकिन यादृच्छिकता की प्रकृति अलग है।

ज़रा ठहरिये। क्या मैंने यह नहीं कहा कि पासा "गर्म" या "ठंडा" नहीं है? अब मैं कहता हूं, यदि आप बहुत सारे पासे फेंकते हैं, तो रोल के परिणाम औसत के करीब होते हैं। क्यों?

मुझे समझाने दो। यदि आप एक पासे को घुमाते हैं, तो प्रत्येक फलक के गिरने की प्रायिकता समान होती है। इसका अर्थ यह है कि यदि आप एक समयावधि में कई पासे फेंकते हैं, तो प्रत्येक फलक लगभग उतनी ही बार गिरेगा। आप जितना अधिक पासा घुमाएंगे, उतना ही अधिक संचयी परिणाम औसत के करीब आएगा।

ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि छूटी हुई संख्या एक और संख्या "बनती है", जो अभी तक छूटी नहीं है। लेकिन क्योंकि अंत में संख्या ६ (या २०, या अन्य संख्या) की एक छोटी श्रृंखला परिणाम को इतना प्रभावित नहीं करेगी यदि आप पासे को दस हजार बार और घुमाते हैं और मूल रूप से औसत मूल्य गिर जाएगा। अब आपको कुछ बड़ी संख्याएँ मिलेंगी, और बाद में कुछ छोटी - और समय के साथ वे औसत मूल्य के करीब पहुँच जाएँगी।

ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि पिछले रोल पासा को प्रभावित करते हैं (गंभीरता से, पासा प्लास्टिक से बना है, इसमें सोचने के लिए कोई दिमाग नहीं है, "ओह, यह लंबे समय से लुढ़का नहीं है"), लेकिन क्योंकि यह आमतौर पर बड़े के साथ होता है रोल पासा की संख्या।

इस प्रकार, पासे के एक यादृच्छिक रोल के लिए गणना करना काफी आसान है - कम से कम रोल के औसत मूल्य की गणना करें। "कितना यादृच्छिक" कुछ होता है, इसकी गणना करने के तरीके भी हैं और कहते हैं कि 1d6 + 4 को रोल करने के परिणाम 5d2 की तुलना में "अधिक यादृच्छिक" होंगे। 5d2 के लिए, रोल किए गए परिणाम अधिक समान रूप से वितरित किए जाएंगे। ऐसा करने के लिए, आपको मानक विचलन की गणना करने की आवश्यकता है: मूल्य जितना बड़ा होगा, परिणाम उतने ही अधिक यादृच्छिक होंगे। मैं आज इतनी गणना नहीं करना चाहूंगा, इस विषय को बाद में समझाऊंगा।

केवल एक चीज जो मैं आपको याद रखने के लिए कहने जा रहा हूं, वह यह है कि एक सामान्य नियम के रूप में, आप जितना कम पासा घुमाएंगे, उतनी ही अधिक यादृच्छिकता होगी। और इससे भी अधिक, एक पासे के जितने अधिक चेहरे होंगे, उतनी ही अधिक यादृच्छिकता होगी, क्योंकि मूल्य के अधिक संभावित रूप हैं।

गिनती करके प्रायिकता की गणना कैसे करें

आप सोच रहे होंगे: हम एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने की सटीक संभावना की गणना कैसे कर सकते हैं? वास्तव में, यह कई खेलों के लिए काफी महत्वपूर्ण है: यदि आप शुरू में पासा घुमाते हैं, तो सबसे अधिक संभावना है कि कुछ इष्टतम परिणाम हों। उत्तर है: हमें दो मानों को गिनने की आवश्यकता है। पहला, पासे को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या, और दूसरा, अनुकूल परिणामों की संख्या। दूसरे मान को पहले से विभाजित करने पर, आपको वह प्रायिकता प्राप्त होती है जो आप चाहते हैं। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए, अपने परिणाम को 100 से गुणा करें।

के उदाहरण

यहाँ एक बहुत ही सरल उदाहरण है। आप चाहते हैं कि 4 या उससे अधिक का पासा आए और एक बार हेक्सागोनल पासे को रोल करें। परिणामों की अधिकतम संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) है। इनमें से 3 परिणाम (4, 5, 6) अनुकूल हैं। तो, संभावना की गणना करने के लिए, 3 को 6 से विभाजित करें और 0.5 या 50% प्राप्त करें।

यहां एक उदाहरण दिया गया है जो थोड़ा अधिक जटिल है। आप चाहते हैं कि 2d6 रोल पर एक सम संख्या आए। परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है (प्रत्येक पासे के लिए 6 विकल्प, एक पासा दूसरे को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए हम 6 को 6 से गुणा करते हैं और 36 प्राप्त करते हैं)। इस प्रकार के प्रश्न में कठिनाई यह है कि इसे दो बार गिनना आसान है। उदाहरण के लिए, 2d6 रोल पर, 3: 1 + 2 और 2 + 1 के दो परिणाम होते हैं। वे एक जैसे दिखते हैं, लेकिन अंतर यह है कि पहले पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है और दूसरे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है।

आप यह भी सोच सकते हैं कि पासे अलग-अलग रंगों के हैं: उदाहरण के लिए, इस मामले में, एक पासा लाल है और दूसरा नीला है। फिर सम संख्या प्राप्त करने के लिए विकल्पों की संख्या गिनें:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

यह पता चला है कि 36 में से अनुकूल परिणाम के लिए 18 विकल्प हैं - जैसा कि पिछले मामले में, संभावना 0.5 या 50% है। शायद अप्रत्याशित, लेकिन बहुत सटीक।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन

क्या होगा यदि आपके पास गिनने के लिए बहुत सारे पासे हैं? उदाहरण के लिए, आप यह जानना चाहते हैं कि 8d6 के रोल पर 15 या अधिक की राशि के लुढ़कने की क्या संभावना है। आठ पासों के लिए बहुत सारे अलग-अलग परिणाम हैं, और उन्हें मैन्युअल रूप से गिनने में बहुत लंबा समय लगेगा - भले ही हमें पासा रोल की विभिन्न श्रृंखलाओं को समूहित करने के लिए कुछ अच्छा समाधान मिल जाए।

इस मामले में, सबसे आसान तरीका मैन्युअल रूप से गिनना नहीं है, बल्कि कंप्यूटर का उपयोग करना है। कंप्यूटर पर संभावनाओं की गणना करने के दो तरीके हैं। सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए पहली विधि का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन इसमें थोड़ी प्रोग्रामिंग या स्क्रिप्टिंग शामिल है। कंप्यूटर प्रत्येक अवसर को देखेगा, अनुमान लगाएगा और पुनरावृत्तियों की कुल संख्या और वांछित परिणाम से मेल खाने वाले पुनरावृत्तियों की संख्या की गणना करेगा, और फिर उत्तर प्रदान करेगा। आपका कोड कुछ इस तरह दिख सकता है:

यदि आप प्रोग्रामिंग से परिचित नहीं हैं और आपको सटीक, लेकिन अनुमानित उत्तर की आवश्यकता नहीं है, तो आप एक्सेल में इस स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं, जहां आप कई हजार बार 8d6 टॉस करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं। एक्सेल में 1d6 रोल करने के लिए फॉर्मूला का उपयोग करें = तल (रैंड () * 6) +1.

ऐसी स्थिति के लिए एक नाम है जहां आप उत्तर नहीं जानते हैं और बस इसे बार-बार आज़माएं - मोंटे कार्लो सिमुलेशन। संभाव्यता की गणना करते समय उपयोग करने के लिए यह एक अच्छा समाधान है बहुत मुश्किल है। बड़ी बात यह है कि इस मामले में हमें यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि गणितीय गणना कैसे काम करती है, और हम जानते हैं कि उत्तर "बहुत अच्छा" होगा, क्योंकि, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, जितना अधिक रोल, उतना ही अधिक परिणाम सामने आता है। औसत मूल्य।

स्वतंत्र परीक्षणों को कैसे संयोजित करें

यदि आप कई दोहराव वाली लेकिन स्वतंत्र चुनौतियों के बारे में पूछते हैं, तो एक रोल का परिणाम दूसरे रोल के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस स्थिति के लिए एक और सरल व्याख्या है।

किसी आश्रित और स्वतंत्र के बीच अंतर कैसे करें? मूल रूप से, यदि आप पासे के प्रत्येक रोल (या रोल की श्रृंखला) को एक अलग घटना के रूप में अलग कर सकते हैं, तो यह स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, हम 8d6 रोल करते हैं और कुल 15 चाहते हैं। इस घटना को कई स्वतंत्र पासा रोल में विभाजित नहीं किया जा सकता है। परिणाम प्राप्त करने के लिए, आप सभी मानों के योग की गणना करते हैं, इसलिए जो परिणाम एक पासे पर पड़ता है वह उन परिणामों को प्रभावित करता है जो दूसरे पर पड़ना चाहिए।

यहां स्वतंत्र रोल का एक उदाहरण दिया गया है: आप पासे से खेल रहे हैं और आप कई बार छह-तरफा पासा घुमा रहे हैं। आपके लिए खेल में बने रहने के लिए, पहले रोल पर 2 या उससे अधिक का मान रोल करना होगा। दूसरे थ्रो के लिए, 3 या बेहतर। तीसरे को 4 या उच्चतर की आवश्यकता है, चौथे को 5 या उच्चतर की आवश्यकता है, और पांचवें को 6. की आवश्यकता है। यदि सभी पांच थ्रो सफल होते हैं, तो आप जीत जाते हैं। इस मामले में, सभी रोल स्वतंत्र हैं। हां, यदि एक रोल असफल होता है, तो यह पूरे खेल के परिणाम को प्रभावित करेगा, लेकिन एक रोल दूसरे को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका पासा का दूसरा रोल बहुत सफल है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि अगले रोल उतने ही अच्छे होंगे। इसलिए, हम अलग-अलग पासे के प्रत्येक रोल की संभावना पर विचार कर सकते हैं।

यदि आपके पास स्वतंत्र संभावनाएं हैं और यह जानना चाहते हैं कि सभी घटनाएं घटित होंगी, तो आप प्रत्येक व्यक्तिगत संभावना को परिभाषित करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं। दूसरा तरीका: यदि आप कई स्थितियों का वर्णन करने के लिए संयोजन "और" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, कुछ यादृच्छिक घटना और कुछ अन्य स्वतंत्र यादृच्छिक घटना की संभावना क्या है?) - व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उन्हें गुणा करें।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप क्या सोचते हैं - कभी भी स्वतंत्र संभावनाओं को न जोड़ें। यह एक सामान्य गलती है। यह समझने के लिए कि यह गलत क्यों है, ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप एक सिक्का उछाल रहे हैं और आप जानना चाहते हैं कि क्या संभावना है कि लगातार दो बार "सिर" निकलेगा। प्रत्येक पक्ष के गिरने की प्रायिकता 50% है। यदि आप इन दोनों संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो आपको चित आने की 100% संभावना मिलती है, लेकिन हम जानते हैं कि यह सच नहीं है, क्योंकि लगातार दो बार यह शीर्ष आ सकता है। यदि, इसके बजाय, आप दो संभावनाओं को गुणा करते हैं, तो आपको ५०% * ५०% = २५% मिलता है - यह एक पंक्ति में दो बार सिर मारने की संभावना की गणना के लिए सही उत्तर है।

उदाहरण

आइए छह-पक्षीय पासा खेल पर वापस जाएं, जहां आप चाहते हैं कि 2 से बड़ी संख्या पहले आए, फिर 3 से अधिक, और इसी तरह 6 तक। क्या संभावना है कि सभी परिणाम किसी दिए गए में अनुकूल होंगे पांच टॉस की श्रृंखला?

जैसा कि ऊपर कहा गया है, ये स्वतंत्र परीक्षण हैं, इसलिए हम प्रत्येक व्यक्तिगत रोल के लिए संभावनाओं की गणना करते हैं और फिर उन्हें गुणा करते हैं। पहले रोल का परिणाम अनुकूल होने की प्रायिकता 5/6 है। दूसरा 4/6 है। तीसरा 3/6 है। चौथा - 2/6, पाँचवाँ - 1/6। हम सभी परिणामों को एक दूसरे से गुणा करते हैं और हमें लगभग 1.5% प्राप्त होता है। इस गेम में जीत काफी दुर्लभ है, इसलिए यदि आप इस तत्व को अपने गेम में जोड़ते हैं, तो आपको काफी बड़े जैकपॉट की आवश्यकता होगी।

नकार

यहां एक और उपयोगी संकेत दिया गया है: कभी-कभी किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करना मुश्किल होता है, लेकिन यह निर्धारित करना आसान होता है कि कोई घटना घटित नहीं होगी। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक और गेम है: आप 6d6 रोल करते हैं और जीतते हैं यदि आप कम से कम एक बार 6 रोल करते हैं। जीतने की संभावना क्या है?

इस मामले में, विचार करने के लिए कई विकल्प हैं। शायद एक संख्या ६ निकले, अर्थात किसी एक पासे की संख्या ६ होगी, और अन्य में १ से ५ तक की संख्याएँ होंगी, तो ६ विकल्प हैं जिसके लिए पासों में से ६ होगा। दो पासों पर नंबर 6। हड्डियां, या तीन, या इससे भी अधिक, और हर बार आपको एक अलग गिनती करने की आवश्यकता होती है, इसलिए यहां भ्रमित होना आसान है।

लेकिन आइए समस्या को दूसरी तरफ से देखें। यदि कोई भी पासा 6 नंबर नहीं लुढ़कता है तो आप हार जाएंगे। इस मामले में, हमारे पास 6 स्वतंत्र परीक्षण हैं। प्रत्येक पासे के 6 के अलावा किसी अन्य संख्या पर आने की प्रायिकता 5/6 है। उन्हें गुणा करें और आपको लगभग 33% मिलता है। इस प्रकार, हारने की संभावना तीन में से एक है। इसलिए, जीतने की संभावना 67% (या दो से तीन) है।

इस उदाहरण से यह स्पष्ट है: यदि आप इस संभावना पर विचार करते हैं कि घटना नहीं होगी, तो आपको परिणाम को 100% से घटाना होगा। यदि जीतने की संभावना ६७% है, तो हारने की संभावना १००% माइनस ६७%, या ३३% है, और इसके विपरीत। यदि एक संभावना की गणना करना मुश्किल है, लेकिन विपरीत की गणना करना आसान है, तो विपरीत की गणना करें, और फिर उस संख्या को 100% से घटाएं।

एक स्वतंत्र परीक्षण के लिए शर्तों का संयोजन

मैंने ठीक ऊपर कहा था कि आपको कभी भी स्वतंत्र परीक्षणों में संभावनाओं का योग नहीं करना चाहिए। क्या ऐसे कोई मामले हैं जहां आप संभावनाओं को जोड़ सकते हैं? हाँ, एक विशेष स्थिति में।

यदि आप एक ही परीक्षण के कई असंबंधित अनुकूल परिणामों की प्रायिकता की गणना करना चाहते हैं, तो प्रत्येक अनुकूल परिणाम की संभावनाओं को जोड़ें। उदाहरण के लिए, 1d6 पर संख्या 4, 5, या 6 प्राप्त करने की संभावना संख्या 4 प्राप्त करने की संभावना, संख्या 5 प्राप्त करने की संभावना और संख्या 6 प्राप्त करने की संभावना के योग के बराबर है। यह स्थिति इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: यदि आप संभाव्यता के बारे में प्रश्न में संयोजन "या" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक घटना के किसी विशेष परिणाम की संभावना क्या है?) - व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उनका योग करें।

कृपया ध्यान दें: जब आप खेल के सभी संभावित परिणामों की गणना करते हैं, तो उनके घटित होने की संभावनाओं का योग 100% के बराबर होना चाहिए, अन्यथा आपकी गणना गलत तरीके से की गई थी। अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने का यह एक अच्छा तरीका है। उदाहरण के लिए, आपने पोकर में सभी हाथों को मारने की संभावना का विश्लेषण किया। यदि आप प्राप्त होने वाले सभी परिणामों को जोड़ते हैं, तो आपको ठीक १००% (या कम से कम १००% के करीब एक मूल्य: यदि आप एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो एक छोटी गोलाई त्रुटि हो सकती है, लेकिन यदि आप सटीक जोड़ते हैं हाथ से नंबर, यह सब काम करना चाहिए))। यदि योग नहीं जुड़ता है, तो इसका मतलब है कि आपने, सबसे अधिक संभावना है, कुछ संयोजनों को ध्यान में नहीं रखा या कुछ संयोजनों की संभावनाओं की गणना गलत तरीके से की, और गणनाओं को दोबारा जांचने की आवश्यकता है।

असमान संभावनाएं

अब तक, हमने माना है कि पासे का प्रत्येक फलक एक ही आवृत्ति पर गिरता है, क्योंकि पासा इसी तरह काम करता है। लेकिन कभी-कभी आप ऐसी स्थिति का सामना कर सकते हैं जहां अलग-अलग परिणाम संभव हैं और उनके खोने की अलग-अलग संभावनाएं हैं।

उदाहरण के लिए, कार्ड गेम न्यूक्लियर वॉर में ऐड-ऑन में से एक में तीर के साथ एक खेल का मैदान होता है, जिस पर रॉकेट लॉन्च का परिणाम निर्भर करता है। अक्सर, यह सामान्य क्षति का सामना करता है, मजबूत या कमजोर, लेकिन कभी-कभी क्षति दोगुनी या तिगुनी होती है, या रॉकेट लॉन्च पैड पर फट जाता है और आपको चोट पहुंचाता है, या कोई अन्य घटना होती है। च्यूट्स एंड लैडर्स या ए गेम ऑफ लाइफ में एरो बोर्ड के विपरीत, परमाणु युद्ध बोर्ड के परिणाम असमान हैं। खेल के मैदान के कुछ हिस्से बड़े होते हैं और तीर उन पर अधिक बार रुकता है, जबकि अन्य खंड बहुत छोटे होते हैं और तीर शायद ही कभी उन पर रुकता है।

तो, पहली नज़र में, हड्डी कुछ इस तरह दिखती है: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - हम पहले ही इसके बारे में बात कर चुके हैं, यह एक भारित 1d3 जैसा कुछ है। इसलिए, हमें इन सभी वर्गों को समान भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, माप की सबसे छोटी इकाई, भाजक जिससे सब कुछ एक से अधिक है, और फिर d522 (या कुछ अन्य) के रूप में स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां चेहरे का सेट पासे की एक ही स्थिति का प्रतिनिधित्व करेंगे, लेकिन बहुत सारे परिणामों के साथ। यह समस्या को हल करने के तरीकों में से एक है, और यह तकनीकी रूप से व्यवहार्य है, लेकिन एक आसान विकल्प है।

आइए अपने मानक हेक्स पासे पर वापस जाएं। हमने कहा कि एक सामान्य मरने के लिए औसत रोल वैल्यू की गणना करने के लिए, आपको सभी किनारों पर मानों को जोड़ना होगा और उन्हें किनारों की संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन गणना वास्तव में कैसे काम करती है? आप इसे अलग तरह से लगा सकते हैं। एक षट्कोणीय पासे के लिए, प्रत्येक फलक के गिरने की प्रायिकता ठीक 1/6 है। अब हम प्रत्येक पहलू के परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं (इस मामले में, प्रत्येक पहलू के लिए 1/6), और फिर परिणामी मान जोड़ें। तो संक्षेप में (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) , हमें ऊपर की गणना के समान परिणाम (3.5) मिलता है। वास्तव में, हम इसे हर बार गिनते हैं: हम प्रत्येक परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं।

क्या हम परमाणु युद्ध में खेल के मैदान पर एक निशानेबाज के लिए समान गणना कर सकते हैं? बिलकुल हम कर सकते हैं। और अगर हम मिले सभी परिणामों को जोड़ दें, तो हमें औसत मिलता है। हमें बस इतना करना है कि बोर्ड पर तीर के लिए प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करें और परिणाम मूल्य से गुणा करें।

एक और उदाहरण

औसत की गणना करने की उल्लिखित विधि भी उपयुक्त है यदि परिणाम समान रूप से संभावित हैं, लेकिन अलग-अलग फायदे हैं - उदाहरण के लिए, यदि आप पासा रोल करते हैं और दूसरों की तुलना में कुछ किनारों पर अधिक जीतते हैं। उदाहरण के लिए, एक कैसीनो गेम लें: आप 2d6 पर दांव लगाते हैं और रोल करते हैं। यदि सबसे कम मूल्य (2, 3, 4) या उच्चतम मूल्य वाली चार संख्याएं (9, 10, 11, 12) से बाहर हो जाती हैं, तो आप अपनी शर्त के बराबर राशि जीतेंगे। सबसे कम और उच्चतम मूल्य वाली संख्याएं विशेष हैं: यदि कोई 2 या 12 आता है, तो आप अपनी शर्त से दोगुना जीतते हैं। यदि कोई अन्य संख्या (5, 6, 7, 8) गिरती है, तो आप अपनी बाजी हार जाएंगे। यह काफी सरल खेल है। लेकिन जीतने की संभावना क्या है?

आइए गिनती करके शुरू करें कि आप कितनी बार जीत सकते हैं। 2d6 रोल पर परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है। कितने सफल परिणाम हैं?

• 2 के लिए 1 और 12 के लिए 1 विकल्प है।
• 2 विकल्प हैं, जो 3 और 2 विकल्प होंगे, जो 11 होंगे।
• 4 के लिए 3 विकल्प हैं और 10 के लिए 3 विकल्प हैं।
• इसमें 4 विकल्प हैं जिन्हें 9 रोल किया जाएगा।

सभी विकल्पों को मिलाकर, हमें ३६ में से १६ अनुकूल परिणाम मिलते हैं। इसलिए, सामान्य परिस्थितियों में, आप ३६ में से १६ बार जीतेंगे - जीतने की संभावना ५०% से थोड़ी कम है।

लेकिन उन सोलह में से दो मामलों में, आप दोगुना जीतते हैं - यह दो बार जीतने जैसा है। यदि आप इस खेल को 36 बार खेलते हैं, प्रत्येक बार $ 1 की सट्टेबाजी करते हैं, और सभी संभावित परिणाम एक बार आते हैं, तो आप $ 18 जीतते हैं (वास्तव में, आप 16 बार जीतते हैं, लेकिन उनमें से दो को दो जीत के रूप में गिना जाता है)। यदि आप 36 बार खेलते हैं और $18 जीतते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि ऑड्स बराबर हैं?

जल्दी न करो। यदि आप गिनते हैं कि आप कितनी बार हार सकते हैं, तो आपको 20 मिलता है, 18 नहीं। यदि आप 36 बार खेलते हैं, तो हर बार $ 1 की शर्त लगाते हैं, तो आप सभी अच्छे परिणामों पर कुल $ 18 जीतते हैं। लेकिन सभी 20 प्रतिकूल परिणामों पर आपको कुल $20 का नुकसान होगा। नतीजतन, आप थोड़ा पिछड़ जाएंगे: आप प्रत्येक 36 खेलों के लिए औसतन $ 2 नेट खो देते हैं (आप यह भी कह सकते हैं कि आप प्रति दिन औसतन $ 1/18 खो देते हैं)। अब आप देख सकते हैं कि इस मामले में गलती करना और प्रायिकता की गलत गणना करना कितना आसान है।

परिवर्तन

अब तक, हमने यह माना है कि पासा फेंकते समय संख्याओं का क्रम मायने नहीं रखता। 2 + 4 का एक रोल 4 + 2 के रोल के समान होता है। अधिकांश समय हम मैन्युअल रूप से अच्छे परिणामों की संख्या की गणना करते हैं, लेकिन कभी-कभी यह विधि अव्यावहारिक होती है और गणितीय सूत्र का उपयोग करना बेहतर होता है।

इस स्थिति का एक उदाहरण फ़ार्कल पासा खेल से है। प्रत्येक नए दौर के लिए, आप 6d6 रोल करते हैं। यदि आप सभी संभावित परिणाम 1-2-3-4-5-6 (सीधे) प्राप्त करने के लिए पर्याप्त भाग्यशाली हैं, तो आपको एक बड़ा बोनस प्राप्त होगा। ऐसा होने की क्या संभावना है? इस मामले में, इस संयोजन के लिए कई विकल्प हैं।

समाधान इस तरह दिखता है: पासों में से एक (और केवल एक) की संख्या 1 होनी चाहिए। एक पासे पर संख्या 1 के कितने प्रकार हैं? 6 विकल्प हैं, क्योंकि 6 पासे हैं, और उनमें से किसी का भी नंबर 1 हो सकता है। तदनुसार, एक पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। अब बचे हुए पासों में से एक का अंक 2 होना चाहिए। इसके लिए 5 विकल्प हैं। एक और पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। फिर, शेष पासों में से 4 को संख्या 3 मिल सकती है, शेष पासों में से 3 को संख्या 4 और 2 पासे - संख्या 5 प्राप्त हो सकती है। परिणामस्वरूप, आपके पास एक पासा बचता है, जिस पर संख्या 6 गिरनी चाहिए। (बाद के मामले में, पासा एक हड्डी है, और कोई विकल्प नहीं है)।

एक सीधे संयोजन के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए, हम सभी अलग-अलग स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करते हैं: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - इस संयोजन के लिए काफी बड़ी संख्या में विकल्प प्रतीत होते हैं।

सीधे कॉम्बो प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें 6d6 रोल के लिए सभी संभावित परिणामों की संख्या से 720 को विभाजित करने की आवश्यकता है। सभी संभावित परिणामों की संख्या क्या है? प्रत्येक पासे में 6 फलक होते हैं, इसलिए हम 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (पिछले वाले से बहुत अधिक) गुणा करते हैं। लगभग 1.5% की प्रायिकता प्राप्त करने के लिए 720 को 46656 से भाग दें। यदि आप इस गेम को डिजाइन कर रहे थे, तो आपके लिए यह जानना उपयोगी होगा ताकि आप एक उपयुक्त स्कोरिंग सिस्टम बना सकें। अब हम समझते हैं कि अगर आपको सीधा संयोजन मिलता है तो फ़ार्कल में आपको इतना बड़ा बोनस क्यों मिलता है: यह एक दुर्लभ स्थिति है।

नतीजा एक और वजह से भी दिलचस्प है। उदाहरण से पता चलता है कि कम समय में प्रायिकता के अनुरूप परिणाम कितना कम होता है। बेशक, अगर हम कई हजार पासे फेंकते हैं, तो पासे के अलग-अलग चेहरे अक्सर गिर जाते हैं। लेकिन जब हम केवल छह पासे फेंकते हैं, तो ऐसा लगभग कभी नहीं होता है कि हर चेहरा गिर जाए। यह स्पष्ट हो जाता है कि यह उम्मीद करना मूर्खता है कि अब एक ऐसी रेखा होगी जो अभी तक नहीं हुई है, क्योंकि "हमें लंबे समय से 6 नंबर नहीं मिला है"। सुनो, तुम्हारा यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है।

यह हमें आम गलत धारणा की ओर ले जाता है कि सभी परिणाम एक ही आवृत्ति पर थोड़े समय में होते हैं। यदि हम पासे को कई बार घुमाते हैं, तो प्रत्येक किनारे की आवृत्ति समान नहीं होगी।

यदि आपने कभी एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ एक ऑनलाइन गेम पर काम किया है, तो सबसे अधिक संभावना है कि आप एक ऐसी स्थिति में आए हैं जहां एक खिलाड़ी तकनीकी सहायता के लिए एक शिकायत के साथ लिखता है कि यादृच्छिक संख्या जनरेटर यादृच्छिक संख्या नहीं दिखाता है। वह इस निष्कर्ष पर पहुंचा क्योंकि उसने लगातार ४ राक्षसों को मार डाला और ४ बिल्कुल समान पुरस्कार प्राप्त किए, और ये पुरस्कार केवल १०% मामलों में ही गिरना चाहिए, इसलिए, जाहिर है, ऐसा लगभग कभी नहीं होना चाहिए।

आप गणितीय गणना कर रहे हैं। संभावना 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 है, यानी 10 हजार में से 1 परिणाम एक दुर्लभ मामला है। यही खिलाड़ी आपको बताने की कोशिश कर रहा है। क्या इस मामले में कोई समस्या है?

यह सब परिस्थितियों पर निर्भर करता है। अब आपके सर्वर पर कितने खिलाड़ी हैं? मान लें कि आपके पास काफी लोकप्रिय गेम है और हर दिन 100,000 लोग इसे खेलते हैं। कितने खिलाड़ी लगातार चार राक्षसों को मारेंगे? शायद सभी, दिन में कई बार, लेकिन मान लें कि उनमें से आधे केवल नीलामी में अलग-अलग वस्तुओं का आदान-प्रदान कर रहे हैं, आरपी सर्वर पर फिर से लिख रहे हैं, या अन्य गेम क्रियाएं कर रहे हैं - इसलिए उनमें से केवल आधे ही राक्षसों का शिकार कर रहे हैं। क्या संभावना है कि किसी को समान इनाम मिलेगा? इस स्थिति में, आप दिन में कम से कम कई बार ऐसा होने की उम्मीद कर सकते हैं।

वैसे, इसीलिए ऐसा लगता है कि हर कुछ हफ्तों में कोई न कोई लॉटरी जीत जाता है, भले ही वह कोई आप या कोई ऐसा व्यक्ति न हो जिसे आप जानते हों। यदि पर्याप्त लोग नियमित रूप से खेलते हैं, तो संभावना है कि कहीं न कहीं कम से कम एक भाग्यशाली व्यक्ति होगा। लेकिन अगर आप खुद लॉटरी खेलते हैं, तो आपके जीतने की संभावना नहीं है, सबसे अधिक संभावना है कि आपको इन्फिनिटी वार्ड में काम करने के लिए आमंत्रित किया जाएगा।

मानचित्र और लत

हमने स्वतंत्र घटनाओं पर चर्चा की है, जैसे पासा फेंकना, और अब हम कई खेलों में यादृच्छिकता का विश्लेषण करने के लिए कई शक्तिशाली उपकरण जानते हैं। जब डेक से कार्ड निकालने की बात आती है तो संभाव्यता की गणना करना थोड़ा मुश्किल होता है, क्योंकि हम जो भी कार्ड निकालते हैं वह डेक में रहने वाले लोगों को प्रभावित करता है।

यदि आपके पास एक मानक 52-कार्ड डेक है, तो आप इसमें से 10 दिल निकालते हैं और आप इस संभावना को जानना चाहते हैं कि अगला कार्ड उसी सूट का होगा - संभावना मूल से बदल गई है, क्योंकि आपने पहले ही एक कार्ड निकाल दिया है डेक से दिलों के सूट की। आपके द्वारा निकाला गया प्रत्येक कार्ड डेक में अगले कार्ड के प्रदर्शित होने की संभावना को बदल देता है। इस मामले में, पिछली घटना अगले को प्रभावित करती है, इसलिए हम इस संभावना को निर्भर कहते हैं।

कृपया ध्यान दें कि जब मैं "कार्ड" कहता हूं तो मेरा मतलब किसी भी गेम मैकेनिक से है जिसमें वस्तुओं का एक सेट होता है और आप किसी एक वस्तु को बदले बिना हटा देते हैं। इस मामले में एक "ताश का डेक" चिप्स के साथ एक बैग का एक एनालॉग है जिसमें से आप एक चिप निकालते हैं, या एक कलश जिसमें से रंगीन गेंदें निकाली जाती हैं (मैंने कभी ऐसे खेल नहीं देखे हैं जिनमें से रंगीन गेंदें ली गई थीं) बाहर, लेकिन संभाव्यता सिद्धांत के शिक्षक इस कारण से इस उदाहरण को पसंद करते हैं)।

निर्भरता गुण

मैं स्पष्ट करना चाहता हूं कि जब कार्ड की बात आती है, तो मैं मानता हूं कि आप कार्ड बनाते हैं, उन्हें देखते हैं, और उन्हें डेक से हटा देते हैं। इनमें से प्रत्येक क्रिया एक महत्वपूर्ण संपत्ति है। अगर मेरे पास 1 से 6 तक की संख्या वाले छह कार्डों का एक डेक होता, तो मैं उन्हें फेरबदल करता और एक कार्ड निकालता, फिर सभी छह कार्डों को फिर से फेरबदल करता - यह छह-तरफा पासा फेंकने के समान होगा, क्योंकि एक परिणाम अगले के लिए प्रभावित नहीं करता है। और अगर मैं कार्ड खींचता हूं और उन्हें प्रतिस्थापित नहीं करता हूं, तो कार्ड 1 को निकालकर, मैं इस संभावना को बढ़ाता हूं कि अगली बार जब मैं नंबर 6 वाला कार्ड बनाऊंगा। संभावना तब तक बढ़ जाएगी जब तक कि मैं अंततः इस कार्ड को बाहर नहीं निकालता या डेक को फेरबदल नहीं करता। .

यह तथ्य भी महत्वपूर्ण है कि हम कार्डों को देख रहे हैं। अगर मैं डेक से एक कार्ड निकालता हूं और उसे नहीं देखता, तो मेरे पास अतिरिक्त जानकारी नहीं होगी और वास्तव में, संभावना नहीं बदलेगी। यह उल्टा लग सकता है। एक कार्ड का एक साधारण फ्लिप जादुई रूप से संभावना को कैसे बदल सकता है? लेकिन यह संभव है क्योंकि आप जो जानते हैं उसके आधार पर आप केवल अज्ञात वस्तुओं की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आप कार्ड के एक मानक डेक को फेरबदल करते हैं, 51 कार्ड प्रकट करते हैं और उनमें से कोई भी क्लबों की रानी नहीं है, तो आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि शेष कार्ड क्लबों की रानी है। यदि आप कार्ड के मानक डेक को फेरबदल करते हैं और 51 कार्डों को देखे बिना निकाल देते हैं, तो शेष कार्ड क्लबों की रानी होने की संभावना अभी भी 1/52 है। प्रत्येक कार्ड को खोलने से आपको अधिक जानकारी प्राप्त होती है।

आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना स्वतंत्र घटनाओं के समान सिद्धांतों का पालन करती है, सिवाय इसके कि यह थोड़ा अधिक जटिल है, क्योंकि जब आप कार्ड खोलते हैं तो संभावनाएं बदल जाती हैं। इस प्रकार, आपको एक ही मान को गुणा करने के बजाय कई अलग-अलग मानों को गुणा करने की आवश्यकता है। वास्तव में, इसका मतलब है कि हमें उन सभी गणनाओं को संयोजित करने की आवश्यकता है जो हमने एक संयोजन में की थीं।

उदाहरण

आप एक मानक 52-कार्ड डेक को फेरबदल करते हैं और दो कार्ड बनाते हैं। क्या संभावना है कि आप एक जोड़ी निकाल लेंगे? इस प्रायिकता की गणना करने के कई तरीके हैं, लेकिन शायद सबसे सरल तरीका इस प्रकार है: क्या प्रायिकता है कि आप एक पत्ता खींचकर एक जोड़ी नहीं बना पाएंगे? यह संभावना शून्य है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा पहला कार्ड बनाते हैं, जब तक कि यह दूसरे से मेल खाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले कौन सा कार्ड निकालते हैं, हमारे पास अभी भी एक जोड़ी निकालने का मौका है। इसलिए, पहला पत्ता निकालने के बाद एक जोड़ी निकालने की प्रायिकता 100% है।

इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा पत्ता पहले जैसा ही होगा? डेक में ५१ कार्ड बचे हैं, और उनमें से ३ पहले कार्ड से मेल खाते हैं (वास्तव में ५२ में से ४ होंगे, लेकिन जब आप पहला कार्ड निकालते हैं, तो आप पहले से ही मेल खाने वाले कार्डों में से एक को हटा देते हैं), इसलिए संभावना है १ /17. तो अगली बार जब टेबल पर आपके सामने वाला लड़का टेक्सास होल्डम खेल रहा हो, तो वह कहता है, "कूल, एक और जोड़ी? मैं आज भाग्यशाली हूं, ”आपको पता चल जाएगा कि वह सबसे अधिक झांसा दे रहा है।

क्या होगा यदि हम दो जोकर जोड़ते हैं, तो हमारे डेक में 54 कार्ड हैं, और हम जानना चाहते हैं कि एक जोड़ी निकालने की संभावना क्या है? पहला कार्ड जोकर हो सकता है, और फिर डेक में केवल एक कार्ड होगा जो मेल खाता है, और तीन नहीं। आप इस मामले में प्रायिकता कैसे ज्ञात करते हैं? हम संभावनाओं को विभाजित करेंगे और प्रत्येक संभावना को गुणा करेंगे।

हमारा पहला कार्ड जोकर या कोई अन्य कार्ड हो सकता है। एक जोकर निकालने की प्रायिकता 2/54 है, किसी अन्य कार्ड को निकालने की प्रायिकता 52/54 है। यदि पहला कार्ड जोकर (2/54) है, तो दूसरा कार्ड पहले के साथ मेल खाने की संभावना 1/53 है। हम मानों को गुणा करते हैं (हम उन्हें गुणा कर सकते हैं क्योंकि ये अलग-अलग घटनाएं हैं और हम चाहते हैं कि दोनों घटनाएं हों) और हमें 1/1431 - प्रतिशत के दसवें हिस्से से भी कम मिलता है।

यदि आप पहले कोई अन्य कार्ड (52/54) बनाते हैं, तो दूसरे कार्ड के साथ संयोग की संभावना 3/53 है। मानों को गुणा करें और 78/1431 (5.5% से थोड़ा अधिक) प्राप्त करें। हम इन दो परिणामों के साथ क्या करते हैं? वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, और हम उनमें से प्रत्येक की प्रायिकता जानना चाहते हैं, इसलिए हम मानों का योग करते हैं। हमें अंतिम परिणाम 79/1431 (अभी भी लगभग 5.5%) मिलता है।

यदि हम उत्तर की सटीकता के बारे में सुनिश्चित होना चाहते हैं, तो हम अन्य सभी संभावित परिणामों की संभावना की गणना कर सकते हैं: जोकर को बाहर निकालना और दूसरे कार्ड को बेमेल करना, या कोई अन्य कार्ड निकालना और दूसरे कार्ड को बेमेल करना। इन संभावनाओं और जीतने की संभावना को जोड़कर, हम बिल्कुल 100% प्राप्त करेंगे। मैं यहां गणितीय गणना नहीं दूंगा, लेकिन आप इसे दोबारा जांचने के लिए गणना करने का प्रयास कर सकते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास

यह हमें एक काफी प्रसिद्ध विरोधाभास में लाता है जो अक्सर कई लोगों को भ्रमित करता है - मोंटी हॉल विरोधाभास। विरोधाभास का नाम टीवी शो लेट्स मेक ए डील के होस्ट के नाम पर रखा गया है। जिन लोगों ने इस टीवी शो को कभी नहीं देखा है, उनके लिए मैं कहूंगा कि यह द प्राइस इज़ राइट के विपरीत था।

द प्राइस इज़ राइट में, होस्ट (पहले होस्ट बॉब बार्कर थे, जो अब ड्रू केरी हैं? जो भी हो) आपका दोस्त है। वह चाहता है कि आप धन या महान पुरस्कार जीतें। वह आपको जीतने का हर मौका देने की कोशिश करता है, बशर्ते आप अनुमान लगा सकें कि प्रायोजकों द्वारा खरीदी गई वस्तुओं की वास्तव में लागत कितनी है।

मोंटी हॉल ने अलग तरह से व्यवहार किया। वह बॉब बार्कर के दुष्ट जुड़वां की तरह था। उनका लक्ष्य आपको राष्ट्रीय टेलीविजन पर एक बेवकूफ की तरह दिखाना था। यदि आप शो में थे, तो वह आपका विरोधी था, आप उसके खिलाफ खेल रहे थे, और जीतने की संभावना उसके पक्ष में थी। मैं बहुत कठोर हो सकता हूं, लेकिन अगर मैं एक हास्यास्पद पोशाक पहनता हूं तो एक शो में आने की अधिक संभावना है, मैं वास्तव में इस तरह के निष्कर्ष पर आता हूं।

शो के सबसे प्रसिद्ध मीम्स में से एक यह था: आपके सामने तीन दरवाजे हैं, दरवाजा नंबर 1, दरवाजा नंबर 2 और दरवाजा नंबर 3। आप किसी एक दरवाजे को मुफ्त में चुन सकते हैं। उनमें से एक के पास एक बड़ा पुरस्कार है - उदाहरण के लिए, एक नई यात्री कार। अन्य दो दरवाजों के पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, दोनों का कोई मूल्य नहीं है। उन्हें आपको अपमानित करना चाहिए, इसलिए उनके पीछे कुछ भी नहीं है, लेकिन कुछ बेवकूफी है, उदाहरण के लिए, एक बकरी या टूथपेस्ट की एक बड़ी ट्यूब - एक नई कार के अलावा कुछ भी।

आप किसी एक दरवाजे को चुनें, मोंटी उसे खोलने ही वाला है, ताकि आप पता लगा सकें कि आप जीते या नहीं... लेकिन रुकिए। इससे पहले कि हम पता करें, आइए उन दरवाजों में से एक पर एक नज़र डालें, जिन्हें आपने नहीं चुना था। मोंटी जानता है कि पुरस्कार किस दरवाजे के पीछे है, और वह हमेशा वह दरवाजा खोल सकता है जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है। "क्या आप दरवाजा नंबर 3 चुनते हैं? तो चलिए दरवाजा नंबर 1 खोलते हैं यह दिखाने के लिए कि इसके पीछे कोई इनाम नहीं था।" और अब, उदारता से, वह आपको दरवाजे संख्या 2 के पीछे के दरवाजे के लिए चयनित दरवाजे संख्या 3 का व्यापार करने का अवसर प्रदान करता है।

इस समय, प्रायिकता का प्रश्न उठता है: क्या यह अवसर आपके जीतने की संभावना को बढ़ाता है, या इसे घटाता है, या यह अपरिवर्तित रहता है? तुम क्या सोचते हो?

सही उत्तर: एक अलग दरवाजा चुनने में सक्षम होने से जीतने की संभावना 1/3 से 2/3 हो जाती है। यह अतार्किक है। यदि आपने पहले इस विरोधाभास का सामना नहीं किया है, तो सबसे अधिक संभावना है कि आप सोच रहे हैं: रुको, यह कैसा है: एक दरवाजा खोलकर, हमने जादुई रूप से संभावना को बदल दिया? जैसा कि हमने मानचित्रों के उदाहरण से देखा, ठीक ऐसा ही तब होता है जब हमें अधिक जानकारी प्राप्त होती है। जाहिर है, जब आप पहली बार चुनते हैं, तो जीतने की संभावना 1/3 होती है। जब एक दरवाजा खुलता है, तो यह पहली पसंद के लिए जीतने की संभावना को बिल्कुल भी नहीं बदलता है: संभावना अभी भी 1/3 है। लेकिन अब दूसरा दरवाजा सही होने की प्रायिकता 2/3 है।

आइए इस उदाहरण को एक अलग नजरिए से देखें। आप दरवाजा चुनें। जीतने की संभावना 1/3 है। मेरा सुझाव है कि आप अन्य दो दरवाजों की अदला-बदली करें, जो कि मोंटी हॉल करता है। बेशक, वह यह दिखाने के लिए एक दरवाजा खोलता है कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, लेकिन वह हमेशा ऐसा कर सकता है, इसलिए यह वास्तव में कुछ भी नहीं बदलता है। बेशक, आप एक अलग दरवाजा चुनना चाहेंगे।

यदि आप प्रश्न के बारे में पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं और अधिक ठोस स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो इस लिंक पर क्लिक करके एक अद्भुत छोटे फ्लैश एप्लिकेशन पर जाएं जो आपको इस विरोधाभास का अधिक विस्तार से पता लगाने की अनुमति देगा। आप लगभग 10 दरवाजों से शुरू करके खेल सकते हैं और फिर धीरे-धीरे तीन दरवाजों वाले खेल की ओर बढ़ सकते हैं। एक सिम्युलेटर भी है जहां आप 3 से 50 तक किसी भी दरवाजे के साथ खेल सकते हैं, या कई हजार सिमुलेशन चला सकते हैं और देख सकते हैं कि आप कितनी बार खेलेंगे।

तीन दरवाजों में से एक चुनें - जीतने की संभावना 1/3 है। अब आपके पास दो रणनीतियां हैं: गलत दरवाजा खोलने के बाद चुनाव बदलें या नहीं। यदि आप अपनी पसंद नहीं बदलते हैं, तो संभावना 1/3 ही रहेगी, क्योंकि चुनाव पहले चरण में ही किया जाता है, और आपको तुरंत अनुमान लगाना होगा। यदि आप बदलते हैं, तो आप जीत सकते हैं यदि आप पहले गलत दरवाजा चुनते हैं (फिर वे एक और गलत दरवाजा खोलते हैं, तो सही रहेगा - निर्णय बदलते हुए, आप इसे ले लें)। शुरुआत में गलत दरवाजे को चुनने की संभावना 2/3 है - इसलिए यह पता चलता है कि अपना मन बदलने से आप जीतने की संभावना को दोगुना कर देते हैं।

उच्च गणित के शिक्षक और खेल संतुलन के विशेषज्ञ मैक्सिम सोलातोव की टिप्पणी - बेशक, श्रेइबर के पास यह नहीं था, लेकिन इसके बिना इस जादुई परिवर्तन को समझना काफी मुश्किल है

और फिर से मोंटी हॉल विरोधाभास के बारे में

शो के लिए, भले ही मोंटी हॉल के प्रतिद्वंद्वी गणित में अच्छे नहीं थे, वह इसे अच्छी तरह से जानता था। यहाँ उसने खेल को थोड़ा बदलने के लिए क्या किया। यदि आपने उस दरवाजे को चुना जिसके पीछे पुरस्कार स्थित था, जिसकी संभावना 1/3 है, तो उसने हमेशा आपको दूसरा दरवाजा चुनने का अवसर दिया। आप एक यात्री कार चुनते हैं और फिर उसे एक बकरी के लिए स्वैप करते हैं और आप बहुत मूर्ख दिखेंगे - जो कि आपको बिल्कुल चाहिए, क्योंकि हॉल एक दुष्ट आदमी है।

लेकिन अगर आप एक दरवाजा चुनते हैं जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं होगा, तो वह आपको केवल आधे मामलों को चुनने की पेशकश करेगा, या वह आपको अपना नया बकरा दिखाएगा, और आप मंच छोड़ देंगे। आइए इस नए गेम का विश्लेषण करें जिसमें मोंटी हॉल तय कर सकता है कि आपको एक अलग दरवाजा चुनने का मौका देना है या नहीं।

मान लीजिए कि वह इस एल्गोरिथम का अनुसरण करता है: यदि आप एक पुरस्कार के साथ एक दरवाजा चुनते हैं, तो वह हमेशा आपको दूसरा दरवाजा चुनने का अवसर प्रदान करता है, अन्यथा वह समान रूप से आपको दूसरा दरवाजा चुनने या आपको एक बकरी देने की पेशकश करेगा। आपके जीतने की संभावना क्या है?

तीन विकल्पों में से एक में, आप तुरंत उस दरवाजे को चुनते हैं जिसके पीछे पुरस्कार स्थित है, और मेजबान आपको दूसरे को चुनने के लिए आमंत्रित करता है।

तीन में से शेष दो विकल्पों में से (आप शुरू में पुरस्कार के बिना दरवाजा चुनते हैं), आधे मामलों में, मेजबान आपको अपना निर्णय बदलने की पेशकश करेगा, और अन्य आधे मामलों में नहीं।

2/3 का आधा 1/3 है, यानी तीन में से एक मामले में आपको एक बकरी मिलेगी, तीन में से एक मामले में आप गलत दरवाजा चुनेंगे और मेजबान आपको दूसरे को चुनने की पेशकश करेगा, और एक में तीन में से आप सही दरवाजा चुनेंगे, लेकिन वह फिर से एक और पेशकश करेगा।

यदि नेता दूसरा दरवाजा चुनने की पेशकश करता है, तो हम पहले से ही जानते हैं कि तीन में से एक मामला, जब वह हमें एक बकरी देता है और हम छोड़ देते हैं, ऐसा नहीं हुआ। यह उपयोगी जानकारी है: इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना बदल गई है। तीन में से दो मामले जब हमारे पास चुनने का अवसर होता है: एक मामले में, इसका मतलब है कि हमने सही अनुमान लगाया, और दूसरे में, हमने गलत अनुमान लगाया, इसलिए, अगर हमें चुनने का अवसर दिया गया था, तो संभावना हमारी जीत का 1/2 है, और गणित की दृष्टि से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप अपनी पसंद के साथ रहते हैं या कोई दूसरा दरवाजा चुनते हैं।

पोकर की तरह, यह एक मनोवैज्ञानिक खेल है, गणितीय नहीं। मोंटी ने आपको एक विकल्प क्यों दिया? वह सोचता है कि आप एक साधारण व्यक्ति हैं जो यह नहीं जानता कि दूसरा दरवाजा चुनना "सही" निर्णय है और आपकी पसंद पर हठ होगा (आखिरकार, ऐसी स्थिति का पता लगाना मनोवैज्ञानिक रूप से अधिक कठिन है जब आपने एक कार चुनी और फिर हार गई यह)?

या क्या वह यह तय करते हुए कि आप स्मार्ट हैं और दूसरा दरवाजा चुनते हैं, आपको यह मौका देता है, क्योंकि वह जानता है कि आपने शुरू में सही अनुमान लगाया था और हुक पर गिर जाएगा? या हो सकता है कि वह खुद के लिए असामान्य हो और आपको अपने लिए कुछ फायदेमंद करने के लिए प्रेरित करता हो, क्योंकि उसने लंबे समय से कार नहीं दी है और निर्माता कहते हैं कि दर्शक ऊब रहे हैं, और बेहतर होगा कि जल्द ही एक बड़ा पुरस्कार दिया जाए। कि रेटिंग में गिरावट नहीं आई?

इस प्रकार, मोंटी कभी-कभी एक विकल्प की पेशकश करने का प्रबंधन करता है, जबकि जीतने की कुल संभावना 1/3 के बराबर रहती है। याद रखें कि 1/3 मौका है कि आप तुरंत हार जाएंगे। संभावना है कि आप इसे तुरंत प्राप्त कर लेंगे 1/3 है, और इनमें से 50% मामलों में आप जीतेंगे (1/3 x 1/2 = 1/6)।

संभावना है कि आप पहले गलत अनुमान लगाएंगे, लेकिन फिर आपके पास दूसरा दरवाजा चुनने का मौका होगा, 1/3 है, और इनमें से आधे मामलों में आप जीतेंगे (1/6 भी)। दो स्वतंत्र जीतने के मौके जोड़ें और आपको 1/3 की संभावना मिलती है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप अपनी पसंद के साथ रहते हैं या एक अलग दरवाजा चुनते हैं - आपके जीतने की कुल संभावना पूरे खेल में 1/3 है।

संभावना उस स्थिति से अधिक नहीं होती है जब आपने दरवाजे का अनुमान लगाया था और प्रस्तुतकर्ता ने आपको केवल यह दिखाया कि इसके पीछे क्या था, दूसरे को चुनने की पेशकश किए बिना। प्रस्ताव का उद्देश्य संभावना को बदलना नहीं है, बल्कि टीवी देखने के लिए निर्णय लेने की प्रक्रिया को और अधिक मजेदार बनाना है।

वैसे, यह एक कारण है कि पोकर इतना दिलचस्प क्यों हो सकता है: राउंड के बीच अधिकांश प्रारूपों में, जब दांव लगाए जाते हैं (उदाहरण के लिए, टेक्सास होल्डम में फ्लॉप, टर्न और रिवर), कार्ड धीरे-धीरे प्रकट होते हैं, और यदि खेल की शुरुआत में आपके पास जीतने का एक मौका है, तो प्रत्येक दौर के दांव के बाद, जब अधिक कार्ड खुले होते हैं, तो यह संभावना बदल जाती है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

यह हमें एक और प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है, जो एक नियम के रूप में, सभी को पहेली बनाता है - लड़का और लड़की का विरोधाभास। केवल एक चीज जो मैं आज के बारे में लिख रहा हूं, वह सीधे तौर पर खेलों से संबंधित नहीं है (हालांकि मुझे लगता है कि मुझे आपको उपयुक्त गेम मैकेनिक्स बनाने के लिए सिर्फ कुहनी मारना है)। यह एक पहेली से अधिक है, लेकिन दिलचस्प है, और इसे हल करने के लिए, आपको सशर्त संभावना को समझने की जरूरत है, जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी।

समस्या: मेरे दो बच्चों के साथ एक दोस्त है, उनमें से कम से कम एक लड़की है। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा भी एक लड़की है? आइए मान लें कि किसी भी परिवार में लड़की और लड़का होने की संभावना 50/50 है, और यह हर बच्चे के लिए सच है।

वास्तव में, कुछ पुरुषों के वीर्य में X या Y गुणसूत्र के साथ अधिक शुक्राणु होते हैं, इसलिए अंतर थोड़ा भिन्न होता है। यदि आप जानते हैं कि एक बच्चा एक लड़की है, तो दूसरी लड़की होने की संभावना थोड़ी अधिक है, इसके अलावा, अन्य स्थितियां भी हैं, उदाहरण के लिए, उभयलिंगीपन। लेकिन इस समस्या को हल करने के लिए, हम इसे ध्यान में नहीं रखेंगे और मान लेंगे कि बच्चे का जन्म एक स्वतंत्र घटना है और लड़का और लड़की का जन्म समान रूप से संभव है।

चूंकि हम 1/2 मौके के बारे में बात कर रहे हैं, सहज रूप से हम उम्मीद करते हैं कि उत्तर 1/2 या 1/4 होगा, या हर दो का कोई अन्य गुणक होगा। लेकिन उत्तर 1/3 है। क्यों?

इस मामले में कठिनाई यह है कि हमारे पास जो जानकारी है वह संभावनाओं की संख्या को कम कर देती है। मान लीजिए माता-पिता तिल स्ट्रीट के प्रशंसक हैं और, बच्चों के लिंग की परवाह किए बिना, उन्होंने उनका नाम ए और बी रखा। सामान्य परिस्थितियों में, चार समान रूप से संभावित संभावनाएं हैं: ए और बी दो लड़के हैं, ए और बी दो लड़कियां हैं, A एक लड़का है और B एक लड़की है। A एक लड़की है और B एक लड़का है। चूंकि हम जानते हैं कि कम से कम एक बच्चा लड़की है, हम इस संभावना को बाहर कर सकते हैं कि ए और बी दो लड़के हैं। इस प्रकार, हम तीन संभावनाओं के साथ बचे हैं - अभी भी समान रूप से संभावित। यदि सभी संभावनाएं समान रूप से संभावित हैं और उनमें से तीन हैं, तो उनमें से प्रत्येक की संभावना 1/3 है। इन तीन विकल्पों में से केवल एक में, दोनों बच्चे लड़कियां हैं, इसलिए उत्तर 1/3 है।

और फिर एक लड़के और एक लड़की के विरोधाभास के बारे में

समस्या का समाधान और भी अतार्किक हो जाता है। कल्पना कीजिए कि मेरे दोस्त के दो बच्चे हैं और उनमें से एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था। मान लीजिए कि सामान्य परिस्थितियों में सप्ताह के सातों दिनों में से किसी एक दिन बच्चे के पैदा होने की संभावना समान रूप से होती है। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा भी एक लड़की है?

आप सोच सकते हैं कि उत्तर अभी भी 1/3 होगा: मंगलवार क्या मायने रखता है? लेकिन इस मामले में भी, अंतर्ज्ञान हमें विफल कर देता है। उत्तर 13/27 है, जो न केवल सहज ज्ञान युक्त है, बल्कि बहुत ही अजीब है। इस मामले में क्या है?

वास्तव में, मंगलवार संभावना बदल देता है क्योंकि हम नहीं जानते कि मंगलवार को कौन सा बच्चा पैदा हुआ था, या शायद दोनों का जन्म मंगलवार को हुआ था। इस मामले में, हम एक ही तर्क का उपयोग करते हैं: हम सभी संभावित संयोजनों की गणना करते हैं जब कम से कम एक बच्चा एक लड़की है जो मंगलवार को पैदा हुई थी। जैसा कि पिछले उदाहरण में है, मान लीजिए कि बच्चों का नाम ए और बी है। संयोजन इस तरह दिखते हैं:

• ए - एक लड़की जो मंगलवार को पैदा हुई थी, बी - एक लड़का (इस स्थिति में 7 संभावनाएं हैं, सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए एक जब लड़का पैदा हो सकता है)।
• बी - एक लड़की जो मंगलवार को पैदा हुई थी, ए - एक लड़का (7 संभावनाएं भी)।
• ए - एक लड़की जो मंगलवार को पैदा हुई थी, बी - एक लड़की जो सप्ताह के एक अलग दिन (6 संभावनाएं) पैदा हुई थी।
• बी - एक लड़की जो मंगलवार को पैदा हुई थी, ए - एक लड़की जो गैर-मंगलवार को पैदा हुई थी (6 संभावनाएं भी)।
• ए और बी - दो लड़कियां जिनका जन्म मंगलवार को हुआ था (1 संभावना, आपको इस पर ध्यान देने की आवश्यकता है ताकि दो बार गिनती न हो)।

हम योग करते हैं और मंगलवार को लड़की होने की कम से कम एक संभावना के साथ बच्चों के जन्म और दिनों के 27 अलग-अलग समान रूप से संभव संयोजन प्राप्त करते हैं। इनमें से 13 अवसर ऐसे हैं जब दो लड़कियों का जन्म होता है। यह भी पूरी तरह से अतार्किक लगता है - ऐसा लगता है कि इस कार्य का आविष्कार केवल सिरदर्द पैदा करने के लिए किया गया था। यदि आप अभी भी हैरान हैं, तो गेम थिओरिस्ट जेस्पर यूल की साइट पर इस प्रश्न की अच्छी व्याख्या है।

यदि आप वर्तमान में किसी गेम पर काम कर रहे हैं

यदि आप जिस गेम को डिजाइन कर रहे हैं उसमें यादृच्छिकता है, तो इसका विश्लेषण करने का यह एक शानदार अवसर है। कुछ ऐसे तत्व का चयन करें जिनका आप विश्लेषण करना चाहते हैं। पहले अपने आप से पूछें कि आप किसी दिए गए तत्व के खेल के संदर्भ में होने की क्या संभावना की उम्मीद करते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक आरपीजी बना रहे हैं और आप सोच रहे हैं कि लड़ाई में एक राक्षस को हराने के लिए खिलाड़ी की कितनी संभावना है, तो अपने आप से पूछें कि जीत का प्रतिशत आपको कितना सही लगता है। आमतौर पर, कंसोल आरपीजी के मामले में, खिलाड़ी हारने पर बहुत परेशान हो जाते हैं, इसलिए बेहतर है कि वे बार-बार हारें - 10% या उससे कम। यदि आप एक आरपीजी डिजाइनर हैं, तो आप शायद मुझसे बेहतर जानते हैं, लेकिन आपको एक बुनियादी विचार होना चाहिए कि संभावना क्या होनी चाहिए।

फिर अपने आप से पूछें कि क्या आपकी संभावनाएं निर्भर हैं (जैसे कार्ड के साथ) या स्वतंत्र (जैसे पासा के साथ)। सभी संभावित परिणामों और उनकी संभावनाओं का विश्लेषण करें। सुनिश्चित करें कि सभी संभावनाओं का योग 100% है। और, ज़ाहिर है, परिणामों की तुलना अपनी अपेक्षाओं से करें। चाहे वह पासा पलटने या कार्ड निकालने जैसा हो जैसा आप चाहते हैं, या आप देख सकते हैं कि मूल्यों को समायोजित करने की आवश्यकता है। और निश्चित रूप से, यदि आप खामियां पाते हैं, तो आप उसी गणना का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि मूल्यों को कितना बदलना है।

होम वर्क

इस सप्ताह आपका "होमवर्क" आपके संभाव्यता कौशल को सुधारने में आपकी मदद करेगा। यहां दो पासा गेम और एक कार्ड गेम है जिसे आप संभाव्यता का उपयोग करके विश्लेषण करेंगे, साथ ही एक अजीब गेम मैकेनिक जिसे मैंने एक बार विकसित किया था जिसे आप मोंटे कार्लो विधि का परीक्षण करने के लिए उपयोग कर सकते हैं।

गेम नंबर 1 - ड्रैगन की हड्डियाँ

यह एक पासा खेल है जिसे हमने एक बार सहयोगियों के साथ आविष्कार किया था (जेब हेवन्स और जेसी किंग के लिए धन्यवाद) - यह जानबूझकर लोगों के दिमाग को अपनी संभावनाओं से निकालता है। यह एक साधारण कैसीनो गेम है जिसे "ड्रैगन बोन्स" कहा जाता है और यह खिलाड़ी और घर के बीच एक जुआ पासा प्रतियोगिता है।

आपको सामान्य 1d6 डाई दी जाती है। खेल का उद्देश्य घर से अधिक संख्या में फेंकना है। टॉम को एक गैर-मानक 1d6 दिया गया है - आपके जैसा ही, लेकिन एक के बजाय उसके एक चेहरे पर - एक ड्रैगन की छवि (इस प्रकार, कैसीनो में एक ड्रैगन-2-3-4-5-6 क्यूब है) . अगर घर को एक अजगर मिलता है, तो वह अपने आप जीत जाता है, और आप हार जाते हैं। यदि दोनों को समान संख्या मिलती है, तो यह एक ड्रा है और आप पासे को फिर से घुमाते हैं। जो सबसे अधिक संख्या फेंकता है वह जीतता है।

बेशक, चीजें पूरी तरह से खिलाड़ी के पक्ष में नहीं जा रही हैं, क्योंकि कैसीनो में ड्रैगन के किनारे के रूप में बढ़त है। लेकिन क्या सच में ऐसा है? यही आपको पता लगाना है। लेकिन पहले अपने अंतर्ज्ञान की जाँच करें।

मान लीजिए कि जीत 2 से 1 है। इसलिए यदि आप जीतते हैं, तो आप अपना दांव लगाते हैं और दोगुना हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप $ 1 की शर्त लगाते हैं और जीतते हैं, तो आप उस डॉलर को रखते हैं और कुल $ 3 के लिए शीर्ष पर 2 और प्राप्त करते हैं। यदि आप हारते हैं, तो आप केवल अपनी शर्त हारते हैं। क्या आप खेलेंगे? क्या आप सहज रूप से महसूस करते हैं कि प्रायिकता 2 से 1 से अधिक है या आप अभी भी सोचते हैं कि यह कम है? दूसरे शब्दों में, औसतन 3 गेम में, क्या आप एक से अधिक बार, या कम, या एक बार जीतने की उम्मीद करते हैं?

एक बार जब आप अपने अंतर्ज्ञान का पता लगा लेते हैं, तो गणित लागू करें। दोनों पासों के लिए केवल 36 संभावित स्थान हैं, इसलिए आप बिना किसी समस्या के उन सभी की गणना कर सकते हैं। यदि आप इस 2-टू-1 वाक्य के बारे में अनिश्चित हैं, तो इस बारे में सोचें: मान लीजिए कि आपने 36 बार खेल खेला है (प्रत्येक बार $ 1 की सट्टेबाजी)। प्रत्येक जीत के लिए आपको $ 2 मिलता है, प्रत्येक हार के लिए आप $ 1 खो देते हैं, और एक ड्रा कुछ भी नहीं बदलता है। अपने सभी संभावित जीत और नुकसान की गणना करें और तय करें कि क्या आप कुछ डॉलर या लाभ खो देंगे। फिर अपने आप से पूछें कि आपका अंतर्ज्ञान कितना सही था। तब एहसास हुआ कि मैं क्या खलनायक हूं।

और, हाँ, यदि आप पहले से ही इस प्रश्न के बारे में सोच चुके हैं - मैं जानबूझकर आपको पासा खेल के वास्तविक यांत्रिकी को विकृत करके भ्रमित कर रहा हूं, लेकिन मुझे यकीन है कि आप इस बाधा को केवल एक अच्छे विचार के साथ दूर कर सकते हैं। इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

गेम # 2 - लक टॉस

यह मौका का एक पासा खेल है जिसे लक रोल कहा जाता है (बर्डकेज भी, क्योंकि कभी-कभी पासा फेंका नहीं जाता है, लेकिन एक बड़े तार पिंजरे में रखा जाता है, जो बिंगो से पिंजरे की याद दिलाता है)। खेल सरल है, सार कुछ इस तरह है: 1 और 6 के बीच की संख्या पर $ 1 डालें, कहें। फिर आप 3d6 रोल करते हैं। आपके नंबर से टकराने वाले प्रत्येक पास के लिए, आपको $ 1 प्राप्त होता है (और अपनी मूल हिस्सेदारी रखें)। यदि आपका नंबर किसी भी पासे पर नहीं दिखता है, तो कैसीनो को आपका डॉलर मिलता है, और आप - कुछ भी नहीं। इसलिए, यदि आप 1 पर दांव लगाते हैं और आपको तीन बार किनारों पर 1 मिलता है, तो आपको $3 मिलता है।

सहज रूप से, इस खेल के समान अवसर प्रतीत होते हैं। प्रत्येक पासा एक व्यक्ति के जीतने का 6 में से 1 मौका है, इसलिए कुल तीन रोल पर आपके जीतने की संभावना 3 से 6 है। हालांकि, निश्चित रूप से, याद रखें कि आप तीन अलग-अलग पासा बना रहे हैं, और आपको केवल तभी जोड़ने की अनुमति है जब हम एक ही पासे के अलग-अलग विजेता संयोजनों के बारे में बात कर रहे हैं। कुछ ऐसा जो आपको गुणा करना होगा।

एक बार जब आप सभी संभावित परिणामों का पता लगा लेते हैं (यह शायद हाथ से एक्सेल में करना आसान होगा, क्योंकि उनमें से 216 हैं), खेल अभी भी अजीब लगता है और पहली नज़र में भी। वास्तव में, कैसीनो में अभी भी जीतने की अधिक संभावनाएं हैं - कितना अधिक? विशेष रूप से, आप खेल के प्रत्येक दौर के लिए औसतन कितने पैसे खोने की उम्मीद करते हैं?

आपको बस सभी 216 परिणामों की जीत और हार को जोड़ना है और फिर 216 से विभाजित करना है, जो बहुत आसान होना चाहिए। लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां आप कई जाल में पड़ सकते हैं, इसलिए मैं कहता हूं: अगर आपको ऐसा लगता है कि इस खेल में जीतने की समान संभावनाएं हैं, तो आपको यह सब गलत लगता है।

गेम # 3 - 5 कार्ड स्टड पोकर

यदि आप पिछले खेलों में वार्म अप कर चुके हैं, तो आइए देखें कि हम इस कार्ड गेम के साथ सशर्त संभाव्यता के बारे में क्या जानते हैं। आइए 52-कार्ड डेक के साथ पोकर की कल्पना करें। आइए 5 कार्ड स्टड की भी कल्पना करें, जहां प्रत्येक खिलाड़ी को केवल 5 कार्ड मिलते हैं। आप एक कार्ड नहीं छोड़ सकते, आप एक नया कार्ड नहीं बना सकते, कोई सामान्य डेक नहीं - आपको केवल 5 कार्ड मिलते हैं।

एक रॉयल फ्लश एक हाथ में 10-जे-क्यू-के-ए है, कुल चार हैं, इसलिए रॉयल फ्लश प्राप्त करने के चार संभावित तरीके हैं। संभावना की गणना करें कि आपको ऐसा एक संयोजन मिलेगा।

मुझे आपको एक बात की चेतावनी देनी चाहिए: याद रखें कि आप इन पांच कार्डों को किसी भी क्रम में बना सकते हैं। यही है, सबसे पहले आप एक इक्का या दस खींच सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। इसलिए गणना करते समय ध्यान रखें कि रॉयल फ्लश प्राप्त करने के वास्तव में चार से अधिक तरीके हैं, यह मानते हुए कि कार्ड क्रम में निपटाए गए थे।

गेम # 4 - आईएमएफ लॉटरी

चौथी समस्या इतनी आसानी से हल नहीं की जा सकती है कि हम आज जिन तरीकों के बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन आप प्रोग्रामिंग या एक्सेल का उपयोग करके आसानी से स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं। इस समस्या के उदाहरण पर आप मोंटे कार्लो पद्धति पर काम कर सकते हैं।

मैंने पहले क्रॉन एक्स गेम का उल्लेख किया था जिस पर मैंने एक बार काम किया था, और एक बहुत ही दिलचस्प कार्ड था - आईएमएफ लॉटरी। यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है: आपने इसे खेल में इस्तेमाल किया। राउंड खत्म होने के बाद, कार्डों का पुनर्वितरण किया गया, और 10% संभावना थी कि कार्ड खेल छोड़ देगा और एक यादृच्छिक खिलाड़ी को प्रत्येक प्रकार के संसाधन की 5 इकाइयाँ प्राप्त होंगी जिसका टोकन इस कार्ड पर मौजूद था। कार्ड को एक भी टोकन के बिना खेल में रखा गया था, लेकिन हर बार जब यह अगले दौर की शुरुआत में खेल में रहा, तो उसे एक टोकन मिला।

इस प्रकार, 10% संभावना थी कि आप इसे खेल में लाएंगे, दौर समाप्त हो जाएगा, कार्ड खेल छोड़ देगा, और किसी को कुछ भी नहीं मिलेगा। यदि ऐसा नहीं होता है (९०% संभावना के साथ), तो १०% संभावना है (वास्तव में ९%, क्योंकि यह ९०% में से १०% है) कि अगले दौर में वह खेल छोड़ देगी और किसी को ५ इकाइयाँ प्राप्त होंगी संसाधनों का। यदि कार्ड एक राउंड के बाद खेल छोड़ देता है (उपलब्ध 81% का 10%, तो संभावना 8.1% है), किसी को 10 इकाइयाँ प्राप्त होंगी, दूसरे राउंड के बाद - 15, दूसरी - 20, और इसी तरह। प्रश्न: इस कार्ड के अंत में खेल छोड़ने पर आपको प्राप्त होने वाले संसाधनों की संख्या का सामान्य अपेक्षित मूल्य क्या है?

आम तौर पर, हम प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करके और सभी परिणामों की संख्या से गुणा करके इस समस्या को हल करने का प्रयास करेंगे। 10% संभावना है कि आपको 0 (0.1 * 0 = 0) मिलेगा। 9% कि आपको 5 यूनिट संसाधन (9% * 5 = 0.45 संसाधन) प्राप्त होंगे। आपको जो मिलता है उसका 8.1% (8.1% * 10 = 0.81 संसाधन - सामान्य तौर पर, अपेक्षित मूल्य)। आदि। और फिर हम इसे सब जोड़ देंगे।

और अब समस्या आपके लिए स्पष्ट है: हमेशा एक मौका होता है कि कार्ड खेल को नहीं छोड़ेगा, यह खेल में हमेशा के लिए बना रह सकता है, अनंत राउंड के लिए, इसलिए सभी संभावनाओं की गणना करने का कोई तरीका नहीं है। आज हमने जो विधियाँ सीखी हैं, वे हमें अनंत पुनरावृत्ति की गणना करने की क्षमता नहीं देती हैं, इसलिए हमें इसे कृत्रिम रूप से बनाना होगा।

यदि आप प्रोग्रामिंग के साथ काफी अच्छे हैं, तो एक प्रोग्राम लिखें जो इस कार्ड का अनुकरण करता है। आपके पास एक समय लूप होना चाहिए जो चर को उसकी मूल शून्य स्थिति में वापस लाता है, एक यादृच्छिक संख्या प्रदर्शित करता है, और 10% संभावना के साथ चर लूप से बाहर निकल जाएगा। अन्यथा, यह चर में 5 जोड़ता है, और लूप दोहराता है। जब यह अंत में लूप से बाहर हो जाता है, तो ट्रायल रन की कुल संख्या को 1 और संसाधनों की कुल संख्या (कितना इस बात पर निर्भर करता है कि वेरिएबल कहाँ से छूट गया है) बढ़ाएँ। फिर वेरिएबल को रीसेट करें और फिर से शुरू करें।

प्रोग्राम को कई हजार बार चलाएं। अंत में, कुल संसाधनों को कुल रन से विभाजित करें - यह आपका अपेक्षित मोंटे कार्लो मूल्य होगा। यह सुनिश्चित करने के लिए प्रोग्राम को कई बार चलाएँ कि आपको मिलने वाली संख्याएँ लगभग समान हैं। यदि भिन्नता अभी भी बड़ी है, तो बाहरी लूप में दोहराव की संख्या तब तक बढ़ाएँ जब तक आपको मैच मिलना शुरू न हो जाए। आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि आपके पास जो भी संख्याएँ होंगी, वे लगभग सही होंगी।

यदि आप प्रोग्रामिंग से अपरिचित हैं (हालाँकि आप परिचित हैं तो भी), यहाँ आपके लिए अपने एक्सेल कौशल का परीक्षण करने के लिए एक छोटा सा अभ्यास है। यदि आप एक गेम डिज़ाइनर हैं, तो ये कौशल कभी भी बेमानी नहीं होंगे।

अभी के लिए, अगर और रैंड फ़ंक्शन काम में आएंगे। रैंड को एक मूल्य की आवश्यकता नहीं है, यह सिर्फ 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक दशमलव संख्या को आउटपुट करता है। आमतौर पर हम इसे फर्श और प्लस और माइनस के साथ जोड़कर पासे के एक रोल का अनुकरण करते हैं, जिसका मैंने पहले उल्लेख किया था। हालांकि, इस मामले में, हम केवल 10% मौका छोड़ते हैं कि कार्ड खेल छोड़ देगा, इसलिए हम सिर्फ यह जांच सकते हैं कि रैंड का मूल्य 0.1 से कम है और अब इससे परेशान नहीं हैं।

अगर तीन अर्थ हैं। क्रम में, एक शर्त जो या तो सत्य है या नहीं, फिर एक मान जो शर्त सत्य होने पर लौटाया जाता है, और एक मान जो स्थिति सत्य नहीं होने पर लौटाया जाता है। तो निम्न फ़ंक्शन 5% समय लौटाएगा, और 0 अन्य 90% समय: = अगर (रैंड ()<0.1,5,0) .

इस कमांड को सेट करने के कई तरीके हैं, लेकिन मैं इस तरह के एक सूत्र का उपयोग उस सेल के लिए करूंगा जो पहले राउंड का प्रतिनिधित्व करता है, मान लें कि यह सेल A1 है: = अगर (रैंड ()<0.1,0,-1) .

यहां मैं एक नकारात्मक चर का उपयोग कर रहा हूं जिसका अर्थ है "इस कार्ड ने खेल नहीं छोड़ा है और अभी तक कोई संसाधन दान नहीं किया है।" इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया है और कार्ड चलन से बाहर है, तो A1 0 है; अन्यथा यह -1 है।

दूसरे दौर का प्रतिनिधित्व करने वाली अगली सेल के लिए: = IF (A1> -1, A1, IF (रैंड ())<0.1,5,-1)) ... इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया है और कार्ड तुरंत खेल छोड़ देता है, तो A1 0 (संसाधनों की संख्या) है और यह सेल बस उस मान को कॉपी कर लेगा। विपरीत स्थिति में, A1 -1 है (कार्ड ने अभी तक खेल नहीं छोड़ा है), और यह सेल बेतरतीब ढंग से चलती रहती है: 10% समय यह संसाधनों की 5 इकाइयों को लौटाएगा, बाकी समय इसका मूल्य स्थिर रहेगा -1 के बराबर हो। यदि हम इस फॉर्मूले को अतिरिक्त सेल पर लागू करते हैं, तो हमें अतिरिक्त राउंड मिलते हैं, और अंत में जो भी सेल आपके सामने आता है, आपको अंतिम परिणाम मिलेगा (या -1 अगर कार्ड ने आपके द्वारा खेले गए सभी राउंड के बाद गेम नहीं छोड़ा है) .

सेल की इस पंक्ति को लें, जो इस कार्ड के साथ एकमात्र राउंड है, और कई सौ (या हजारों) पंक्तियों को कॉपी और पेस्ट करें। हम एक अनंत एक्सेल परीक्षण करने में सक्षम नहीं हो सकते हैं (एक तालिका में सीमित संख्या में सेल हैं), लेकिन कम से कम हम ज्यादातर मामलों को कवर कर सकते हैं। फिर एक सेल चुनें जहां आप सभी राउंड के परिणामों का औसत रखेंगे - एक्सेल कृपया इसके लिए औसत () फ़ंक्शन प्रदान करता है।

विंडोज़ पर, आप सभी यादृच्छिक संख्याओं की गणना करने के लिए कम से कम F9 दबा सकते हैं। पहले की तरह, इसे कई बार करें और देखें कि क्या आपको वही मान मिलते हैं। यदि स्प्रेड बहुत चौड़ा है, तो रनों की संख्या को दोगुना करें और पुनः प्रयास करें।

अनसुलझे कार्य

यदि आपके पास संभाव्यता सिद्धांत में डिग्री है और उपरोक्त समस्याएं आपके लिए बहुत आसान लगती हैं - ये दो समस्याएं हैं जिन्हें मैं वर्षों से परेशान कर रहा हूं, लेकिन अफसोस, मैं उन्हें हल करने के लिए गणित में उतना अच्छा नहीं हूं।

अनसुलझी समस्या # 1: आईएमएफ लॉटरी

पहली अनसुलझी समस्या पिछला होमवर्क असाइनमेंट है। मैं आसानी से मोंटे कार्लो विधि (सी ++ या एक्सेल का उपयोग करके) को लागू कर सकता हूं और इस सवाल के जवाब में आश्वस्त हो सकता हूं कि "खिलाड़ी को कितने संसाधन मिलेंगे", लेकिन मुझे नहीं पता कि गणितीय रूप से सटीक सिद्ध उत्तर कैसे प्रदान किया जाए ( यह एक अंतहीन श्रृंखला है)...

अनसुलझी समस्या # 2: आकृतियों के अनुक्रम

यह समस्या (यह इस ब्लॉग में हल किए गए कार्यों से भी बहुत आगे जाती है) मुझे दस साल से अधिक समय पहले एक परिचित गेमर द्वारा फेंका गया था। वेगास में लाठी खेलते समय, उन्होंने एक दिलचस्प विशेषता पर ध्यान दिया: 8 डेक के लिए जूते से कार्ड निकालते समय, उन्होंने एक पंक्ति में दस आंकड़े देखे (एक टुकड़ा या टुकड़ा कार्ड - 10, जोकर, राजा या रानी, ​​इसलिए उनमें से 16 हैं उन्हें ५२ कार्डों के मानक डेक में या ४१६ कार्डों के लिए जूते में १२८)।

क्या संभावना है कि इस जूते में दस या अधिक आकृतियों का कम से कम एक क्रम हो? आइए मान लें कि उन्हें यादृच्छिक क्रम में ईमानदारी से फेरबदल किया गया था। या, यदि आप इसे बेहतर पसंद करते हैं, तो क्या संभावना है कि दस या अधिक आकृतियों का एक क्रम कहीं भी प्रकट नहीं होता है?

हम कार्य को सरल बना सकते हैं। यहाँ एक 416-भाग अनुक्रम है। प्रत्येक टुकड़ा 0 या 1 है। पूरे क्रम में 128 वाले और 288 शून्य बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं। 128 वाले को 288 शून्य के साथ यादृच्छिक रूप से प्रतिच्छेद करने के कितने तरीके हैं, और इन तरीकों से कितनी बार दस या अधिक लोगों का कम से कम एक समूह होगा?

हर बार, जैसे ही मैंने इस समस्या को हल करना शुरू किया, यह मुझे आसान और स्पष्ट लग रहा था, लेकिन जैसे ही मैंने विवरण में तल्लीन किया, यह अचानक टूट गया और बस असंभव लग रहा था।

इसलिए उत्तर को धुंधला करने में जल्दबाजी न करें: बैठ जाएं, ध्यान से सोचें, परिस्थितियों का अध्ययन करें, वास्तविक संख्याओं को स्थानापन्न करने का प्रयास करें, क्योंकि जिन लोगों के साथ मैंने इस समस्या के बारे में बात की थी (इस क्षेत्र में काम करने वाले कई स्नातक छात्रों सहित) ने इस बारे में प्रतिक्रिया व्यक्त की उसी तरह: "यह पूरी तरह से स्पष्ट है ... ओह, नहीं, रुको, बिल्कुल स्पष्ट नहीं है।" यह वह स्थिति है जब मेरे पास सभी विकल्पों की गणना करने की कोई विधि नहीं है। बेशक, मैं कंप्यूटर एल्गोरिथम के माध्यम से ब्रूट फोर्स विधि का उपयोग करके समस्या को चला सकता था, लेकिन इसे हल करने के गणितीय तरीके को जानना अधिक दिलचस्प होगा।