हर जगह। हर जगह और हर जगह, जहाँ भी आप देखते हैं, ऐसे निर्माण होते हैं:

साक्षर लोगों में ये "निर्माण" अस्पष्ट प्रतिक्रिया का कारण बनते हैं। कम से कम जैसे "क्या यह वास्तव में ऐसा है - ठीक है?"।
सामान्य तौर पर, व्यक्तिगत रूप से, मैं यह नहीं समझ सकता कि बाहरी उद्धरणों को बंद न करने का "फैशन" कहाँ से आया। इस संबंध में जो पहली और एकमात्र सादृश्यता सामने आती है वह कोष्ठकों के साथ सादृश्य है। किसी को संदेह नहीं है कि एक पंक्ति में दो कोष्ठक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए: "पूरे संचलन के लिए भुगतान करें (200 टुकड़े (जिनमें से 100 दोषपूर्ण हैं))"। लेकिन एक पंक्ति में दो उद्धरण स्थापित करने की सामान्यता में, किसी को संदेह हुआ (मुझे आश्चर्य है कि पहला कौन था?) ... और अब बिना किसी अपवाद के सभी ने स्पष्ट विवेक के साथ एलएलसी फर्म पुपकोव एंड कंपनी जैसे निर्माण का उत्पादन शुरू किया।
लेकिन यहां तक ​​​​कि अगर आपने अपने जीवन में नियम नहीं देखा है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी, तो केवल तार्किक रूप से उचित विकल्प (उदाहरण के रूप में कोष्ठक का उपयोग करके) निम्नलिखित होगा: फर्म पुपकोव एंड कंपनी एलएलसी।
तो, नियम ही:
यदि शुरुआत में या उद्धरण के अंत में (वही सीधे भाषण पर लागू होता है) आंतरिक और बाहरी उद्धरण चिह्न होते हैं, तो उन्हें एक पैटर्न में एक दूसरे से अलग होना चाहिए (तथाकथित "क्रिसमस पेड़" और "प्यारा" ), और बाहरी उद्धरण चिह्नों को छोड़ा नहीं जाना चाहिए, उदाहरण के लिए: सी जहाज के किनारों को रेडियो किया गया था: "लेनिनग्राद ने उष्णकटिबंधीय में प्रवेश किया है और अपने पाठ्यक्रम पर जारी है।" ज़ुकोवस्की के बारे में, बेलिंस्की लिखते हैं: "ज़ुकोवस्की के युवाओं के समकालीनों ने उन्हें मुख्य रूप से गाथागीत के लेखक के रूप में देखा, और अपने एक संदेश में बत्युशकोव ने उन्हें" गाथागीत खिलाड़ी "कहा।
© रूसी वर्तनी और विराम चिह्न के नियम। - तुला: ऑटोग्राफ, 1995. - 192 पी।
तदनुसार ... यदि आपके पास "क्रिसमस ट्री" उद्धरण चिह्नों में टाइप करने का अवसर नहीं है, तो आप क्या कर सकते हैं, आपको ऐसे "" आइकन का उपयोग करना होगा। हालाँकि, रूसी उद्धरणों का उपयोग करने की असंभवता (या अनिच्छा) किसी भी तरह से बाहरी उद्धरणों को बंद नहीं करने का कारण है।

इस प्रकार, ऐसा लगता है कि उन्होंने फर्म पुपकोव एंड कंपनी एलएलसी के गलत डिजाइन का पता लगाया। एलएलसी फर्म पुपकोव एंड कंपनी के प्रकार के निर्माण भी हैं।
नियम से, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इस तरह के निर्माण निरक्षर हैं ... (सही: LLC फर्म Pupkov and Co.

हालाँकि!
Milchin's Publisher's and Author's Handbook (2004 संस्करण) में कहा गया है कि ऐसे मामलों में दो डिज़ाइन विकल्पों का उपयोग किया जा सकता है। "हेरिंगबोन्स" और "पंजे" का उपयोग और (तकनीकी साधनों की अनुपस्थिति में) केवल "हेरिंगबोन्स" का उपयोग: दो उद्घाटन और एक समापन।
निर्देशिका "ताज़ा" है और व्यक्तिगत रूप से मेरे यहाँ तुरंत 2 प्रश्न हैं। सबसे पहले, किस आनंद के साथ आप अभी भी एक समापन उद्धरण-हेरिंगबोन का उपयोग कर सकते हैं (ठीक है, यह अतार्किक है, ऊपर देखें), और दूसरी बात, "तकनीकी साधनों की अनुपस्थिति में" वाक्यांश विशेष रूप से ध्यान आकर्षित करता है। वह कैसा है, क्षमा करें? यहां, नोटपैड खोलें और वहां "केवल क्रिसमस ट्री: दो ओपनिंग और एक क्लोजिंग" टाइप करें। कीबोर्ड पर ऐसे कोई अक्षर नहीं होते हैं। क्रिसमस ट्री को प्रिंट करना काम नहीं करता है... संयोजन Shift + 2 चिह्न "(जो, जैसा कि आप जानते हैं, एक उद्धरण भी नहीं है) उत्पन्न करता है। अब Microsoft Word खोलें और Shift + 2 को फिर से दबाएं। प्रोग्राम "को सही करेगा" "(या")। खैर, यह पता चला है कि एक दर्जन से अधिक वर्षों से मौजूद नियम को माइक्रोसॉफ्ट वर्ड के तहत लिया गया और फिर से लिखा गया? जैसे, चूंकि "फर्म" पुपकोव एंड को "फर्म" पुपकोव एंड को "करता है", तो अब इसे स्वीकार्य और सही होने दें ???
ऐसा लगता है। और यदि ऐसा है, तो इस तरह के नवाचार की शुद्धता पर संदेह करने का हर कारण है।

हां, और एक और स्पष्टीकरण ... "तकनीकी साधनों की कमी" के बारे में। तथ्य यह है कि किसी भी विंडोज कंप्यूटर पर "हेरिंगबोन" और "पंजे" दोनों में प्रवेश करने के लिए हमेशा "तकनीकी साधन" होते हैं, इसलिए यह नया "नियम" (मेरे लिए यह उद्धरण में है) शुरू से ही गलत है!

फॉन्ट में सभी विशेष वर्णों को उस वर्ण की संगत संख्या को जानकर आसानी से टाइप किया जा सकता है। यह Alt को दबाए रखने और NumLock कीबोर्ड पर टाइप करने के लिए पर्याप्त है (NumLock दबाया जाता है, संकेतक लाइट चालू है) संबंधित प्रतीक संख्या:

"Alt + 0132 (बायां पैर)
Alt + 0147 (दाहिना पैर)
« Alt + 0171 (बाएं हेरिंगबोन)
»Alt + 0187 (दाएं हेरिंगबोन)

कोष्ठकों का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर वाले भावों में क्रियाएं की जाती हैं। कोष्ठक के साथ एक अभिव्यक्ति से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान अभिव्यक्ति में पास करना सुविधाजनक है। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

कोष्ठकों का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

एक अन्य बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम प्रारंभिक व्यंजक को कोष्ठक से लिख सकते हैं और कोष्ठक को खोलकर प्राप्त परिणाम को समता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के बजाय कोष्ठक खोलने के बाद
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 प्राप्त होता है। हम इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिख सकते हैं।

और एक और महत्वपूर्ण बात। गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथागत है कि किसी व्यंजक या कोष्ठक में पहले होने पर धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी प्रकार, यदि आप उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (5 + x) देखते हैं - जानते हैं कि कोष्ठक के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और उसके सामने एक प्लस + ​​(+5 + x) है पाँच।

जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक धन है, तो यह धन कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। अभिव्यक्ति 2 + (7 + 3) में कोष्ठक को कोष्ठक प्लस से पहले खोलें, फिर कोष्ठक में संख्याओं के सामने वर्ण नहीं बदलते हैं।

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

घटाते समय कोष्ठक का विस्तार करने का नियम

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण होता है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो शब्द कोष्ठक में थे, वे अपना चिन्ह विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिह्न की अनुपस्थिति एक + चिह्न का अर्थ है।

उदाहरण। व्यंजक 2 में खुला कोष्ठक - (7 + 3)

कोष्ठक से पहले एक माइनस होता है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता होती है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात सकारात्मक है, इसके सामने + चिन्ह माना जाता है।

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और उन संकेतों को बदलते हैं जो कोष्ठक में विपरीत वाले थे।

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना

यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के कारक से गुणा किया जाता है। वहीं, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है और माइनस को प्लस से गुणा करने पर प्लस को माइनस से गुणा करने पर माइनस मिलता है।

इस प्रकार, उत्पादों में कोष्ठक गुणन की वितरण संपत्ति के अनुसार विस्तारित होते हैं।

उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है, यह एक: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम माइनस एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें −(a−b)=−a+b नियम मिलता है। ठीक है, यदि आप c के बजाय कोई अन्य कोष्ठक प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजित करते समय कोष्ठकों का विस्तार करें

यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।

उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

नेस्टेड कोष्ठकों का विस्तार कैसे करें

यदि अभिव्यक्ति में नेस्टेड ब्रैकेट हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से शुरू होने के क्रम में विस्तारित होते हैं।

साथ ही, किसी एक ब्रैकेट को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य ब्रैकेट को स्पर्श न करें, बस उन्हें फिर से लिखना जैसा वे हैं।

उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी

अब हम ऐसे व्यंजकों में कोष्ठक खोलने की ओर बढ़ेंगे जिनमें कोष्ठकों में अभिव्यक्ति को किसी संख्या या व्यंजक से गुणा किया जाता है। आइए हम माइनस साइन से पहले ब्रैकेट खोलने का नियम तैयार करें: माइनस साइन के साथ ब्रैकेट्स को छोड़ दिया जाता है, और ब्रैकेट्स में सभी शब्दों के संकेतों को विपरीत शब्दों से बदल दिया जाता है।

एक प्रकार का अभिव्यक्ति परिवर्तन कोष्ठक विस्तार है। संख्यात्मक, शाब्दिक और परिवर्तनशील भाव कोष्ठकों का उपयोग करके रचे गए हैं, जो उस क्रम को इंगित कर सकते हैं जिसमें क्रियाएं की जाती हैं, एक ऋणात्मक संख्या होती है, आदि। मान लेते हैं कि ऊपर वर्णित व्यंजकों में संख्याओं और चरों के स्थान पर कोई भी व्यंजक हो सकते हैं।

और कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित एक और बिंदु पर ध्यान दें। पिछले पैराग्राफ में, हमने कोष्ठक के विस्तार के बारे में बात की थी। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलने के नियम हैं, जिनकी अब हम समीक्षा करते हैं। यह नियम इस तथ्य से तय होता है कि यह सकारात्मक संख्या को कोष्ठक के बिना लिखने के लिए प्रथागत है, इस मामले में कोष्ठक अनावश्यक हैं। व्यंजक (−3.7)−(−2)+4+(−9) को कोष्ठक के बिना −3.7+2+4−9 के रूप में लिखा जा सकता है।

अंत में, नियम का तीसरा भाग केवल अभिव्यक्ति में बाईं ओर नकारात्मक संख्याओं को लिखने की ख़ासियत के कारण है (जिसका उल्लेख हमने नकारात्मक संख्याओं को लिखने के लिए कोष्ठक अनुभाग में किया है)। आप एक संख्या, ऋण चिह्न और कोष्ठक के कई जोड़े से बने भावों का सामना कर सकते हैं। यदि आप कोष्ठकों का विस्तार करते हैं, आंतरिक से बाहरी की ओर बढ़ रहे हैं, तो समाधान होगा: −(−((−(5)))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

कोष्ठक कैसे खोलें?

यहाँ एक व्याख्या है: −(−2 x) +2 x है, और चूँकि यह व्यंजक पहले आता है, तो +2 x को 2 x के रूप में लिखा जा सकता है, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x और −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. कोष्ठक खोलने के लिखित नियम का पहला भाग ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम से सीधे अनुसरण करता है। इसका दूसरा भाग विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं को गुणा करने के नियम का परिणाम है। आइए अलग-अलग चिह्नों वाली दो संख्याओं के गुणनफल और भागफल में विस्तार करने वाले कोष्ठकों के उदाहरणों पर चलते हैं।

ब्रैकेट खोलना: नियम, उदाहरण, समाधान।

उपरोक्त नियम इन क्रियाओं की पूरी श्रृंखला को ध्यान में रखता है और कोष्ठक खोलने की प्रक्रिया को काफी तेज करता है। यही नियम आपको ऐसे व्यंजकों में कोष्ठक खोलने की अनुमति देता है जो गुणनफल हैं और माइनस चिह्न वाले निजी व्यंजक हैं जो योग और अंतर नहीं हैं।

इस नियम के आवेदन के उदाहरणों पर विचार करें। हम इसी नियम देते हैं। ऊपर, हमने −(a) और −(−a) रूप के भावों का पहले ही सामना कर लिया है, जिन्हें कोष्ठक के बिना क्रमशः −a और a के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, -(3)=3, और। ये बताए गए नियम के विशेष मामले हैं। अब आरंभिक कोष्ठकों के उदाहरणों पर विचार करें जब योग या अंतर उनमें संलग्न हों। हम इस नियम के उपयोग के उदाहरण दिखाएंगे। अभिव्यक्ति (b1+b2) को b के रूप में निरूपित करें, जिसके बाद हम पिछले पैराग्राफ से अभिव्यक्ति द्वारा कोष्ठक को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं, हमारे पास (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 ख।

प्रेरण द्वारा, इस कथन को प्रत्येक कोष्ठक में मनमानी संख्या तक बढ़ाया जा सकता है। पिछले पैराग्राफ से नियमों का उपयोग करते हुए परिणामी अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलना बाकी है, परिणामस्वरूप, हमें 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 xy+x 2 x y3 मिलता है।

गणित में कोष्ठकों का खुलना नियम है यदि कोष्ठकों के सामने (+) और (-) हों, तो यह एक बहुत ही आवश्यक नियम है

यह व्यंजक तीन कारकों (2+4), 3 और (5+7 8) का गुणनफल है। कोष्ठक क्रमिक रूप से खोले जाने चाहिए। अब हम एक कोष्ठक को एक संख्या से गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं, हमारे पास ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) है। डिग्रियां, जिनके आधार कोष्ठक में लिखे गए कुछ भाव हैं, प्राकृतिक संकेतकों के साथ कई कोष्ठकों के उत्पाद के रूप में माने जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (a+b+c)2 को रूपांतरित करें। सबसे पहले, हम इसे दो कोष्ठक (a + b + c) (a + b + c) के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, अब हम कोष्ठक को कोष्ठक से गुणा करते हैं, हमें a a + a b + a c + b a + b b+b c+ प्राप्त होता है सी ए + सी बी + सी सी।

हम यह भी कहते हैं कि दो संख्याओं के योग और अंतर को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, न्यूटन द्विपद सूत्र का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। उदाहरण के लिए, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2। गुणा के साथ विभाजन को प्रारंभिक रूप से बदलना कम सुविधाजनक नहीं है, और फिर उत्पाद में कोष्ठक खोलने के लिए उपयुक्त नियम का उपयोग करें।

यह उदाहरणों का उपयोग करके कोष्ठक खोलने के क्रम का पता लगाने के लिए बना हुआ है। अभिव्यक्ति (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7) लें। मूल अभिव्यक्ति में इन परिणामों को प्रतिस्थापित करें: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) । यह केवल कोष्ठकों के उद्घाटन को पूरा करने के लिए बनी हुई है, परिणामस्वरूप हमारे पास −5+3 2:4+6 7 है। इसका मतलब यह है कि समानता के बायीं ओर से दाहिनी ओर जाने पर कोष्ठक खुल जाते हैं।

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में, हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह मानसिक क्रिया की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। चलिए कोष्ठक खोलते हैं और देखते हैं कि संचालन का बदला हुआ क्रम गणनाओं को बहुत सरल कर देगा।

कैसे एक अलग डिग्री में कोष्ठक खोलने के लिए

निदर्शी उदाहरण और नियम। एक उदाहरण पर विचार करें: . आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या को विपरीत चिन्ह के साथ लेकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हैं, तो नियम नहीं बदलता है। टिप्पणी। संकेत केवल शर्तों के सामने उलटे होते हैं। कोष्ठक खोलने के लिए, इस मामले में, हमें वितरण गुण को वापस बुलाने की आवश्यकता है।

कोष्ठक में एकल संख्याएँ

आपकी गलती संकेतों में नहीं है, लेकिन भिन्नों के साथ गलत काम में है? छठी कक्षा में हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं से परिचित हुए। हम उदाहरणों और समीकरणों को कैसे हल करेंगे?

कोष्ठक में कितना है? इन भावों के बारे में क्या कहा जा सकता है? बेशक, पहले और दूसरे उदाहरण का परिणाम समान है, इसलिए आप उनके बीच एक समान चिह्न लगा सकते हैं: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4। तो हमने कोष्ठक के साथ क्या किया?

कोष्ठक खोलने के नियमों के साथ स्लाइड 6 का प्रदर्शन। इस प्रकार, कोष्ठक खोलने के नियम हमें उदाहरणों को हल करने, भावों को सरल बनाने में मदद करेंगे। इसके बाद, छात्रों को जोड़े में काम करने के लिए आमंत्रित किया जाता है: तीर वाले कोष्ठक के बिना संबंधित अभिव्यक्ति के साथ कोष्ठक वाली अभिव्यक्ति को जोड़ना आवश्यक है।

स्लाइड 11 सनी सिटी में एक बार, ज़्नायका और डन्नो ने तर्क दिया कि उनमें से किसने समीकरण को सही ढंग से हल किया। अगला, छात्र स्वतंत्र रूप से कोष्ठक खोलने के नियमों को लागू करते हुए, समीकरण को हल करते हैं। समीकरणों को हल करना "पाठ के उद्देश्य: शैक्षिक (विषय पर ZUN को ठीक करना:" कोष्ठक खोलना।

पाठ का विषय: "कोष्ठक खोलना। इस स्थिति में, आपको पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और फिर परिणाम जोड़ना होगा। सबसे पहले, पहले दो कारकों को लिया जाता है, एक और कोष्ठक में संलग्न किया जाता है, और इन कोष्ठकों के अंदर, पहले से ज्ञात नियमों में से एक के अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं।

रावलन.freezeet.ru

ब्रैकेट खोलना: नियम और उदाहरण (ग्रेड 7)

कोष्ठक का मुख्य कार्य मानों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है संख्यात्मक भाव . उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन अभिव्यक्ति \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में जोड़ की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

हालांकि, अगर हम साथ काम कर रहे हैं बीजगणतीय अभिव्यक्तियुक्त चर- उदाहरण के लिए, इस तरह: \ (2 (x-3) \) - तब कोष्ठक में मान की गणना करना असंभव है, चर हस्तक्षेप करता है। इसलिए, इस मामले में, इसके लिए उपयुक्त नियमों का उपयोग करते हुए कोष्ठक "खोले" गए हैं।

ब्रैकेट विस्तार नियम

यदि ब्रैकेट से पहले एक प्लस चिन्ह है, तो ब्रैकेट को हटा दिया जाता है, इसमें अभिव्यक्ति अपरिवर्तित रहती है। दूसरे शब्दों में:

यहाँ यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथा है कि अभिव्यक्ति में पहले होने पर धन चिह्न नहीं लिखा जाए। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याओं को जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम नहीं लिखते हैं \(+7+3\), लेकिन केवल \(7+3\), इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है . इसी प्रकार, यदि आप उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति \((5+x)\) देखते हैं - उसे जानें ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है.

उदाहरण . कोष्ठक खोलकर समान पद दें: \((x-11)+(2+3x)\).
समाधान : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

यदि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, तो जब कोष्ठक को हटा दिया जाता है, तो उसके अंदर के भाव का प्रत्येक सदस्य चिह्न को विपरीत में बदल देता है:

यहां यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि, जबकि यह कोष्ठक में था, एक प्लस चिन्ह था (उन्होंने इसे अभी नहीं लिखा था), और ब्रैकेट को हटाने के बाद, यह प्लस माइनस में बदल गया।

उदाहरण : व्यंजक \(2x-(-7+x)\) को सरल कीजिए।
समाधान : ब्रैकेट के अंदर दो शब्द हैं: \(-7\) और \(x\), और ब्रैकेट से पहले एक माइनस है। इसका मतलब है कि संकेत बदल जाएंगे - और सात अब प्लस के साथ होंगे, और एक्स माइनस के साथ। ब्रैकेट खोलें और शर्तों की तरह लाओ .

उदाहरण। कोष्ठक को बड़ा करें और समान पद \(5-(3x+2)+(2+3x)\) दें।
समाधान : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

यदि कोष्ठक के सामने कोई कारक है, तो कोष्ठक के प्रत्येक सदस्य को उससे गुणा किया जाता है, अर्थात:

उदाहरण। कोष्ठक \(5(3-x)\) को बड़ा करें।
समाधान : हमारे पास कोष्ठक में \(3\) और \(-x\) है, और कोष्ठक के सामने एक पांच है। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच का गुणन चिह्न अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठकों को बड़ा करें \(-2(-3x+5)\).
समाधान : जैसा कि पिछले उदाहरण में, ब्रैकेट वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया गया है।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
समाधान : हमारे पास कोष्ठकों का गुणनफल है और इसे ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरण दर चरण करें।
चरण 1। हम पहले कोष्ठक को हटाते हैं - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ऊपर वर्णित कारक द्वारा ब्रैकेट के उत्पादों का विस्तार करें:
- पहले वाला पहले...

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पद लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि अगर हम c के बजाय एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें \((a-b)=a-b\) नियम मिलता है। और यदि हम माइनस एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें \(-(a-b)=-a+b\) नियम मिलता है। ठीक है, यदि आप c के बजाय कोई अन्य कोष्ठक प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों के अंदर नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए \(7x+2(5-(3x+y))\).

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के नेस्टिंग को ध्यान से समझें - कौन सा किसमें है;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ।

किसी एक कोष्ठक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को स्पर्श न करें, जैसा है वैसा ही इसे फिर से लिखना।
ऊपर दिए गए कार्य को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं।

उदाहरण। कोष्ठक खोलकर \(7x+2(5-(3x+y))\) शब्द दें।
समाधान:

आइए आंतरिक ब्रैकेट (अंदर वाला) खोलकर कार्य प्रारंभ करें। इसे खोलते हुए, हम केवल इस तथ्य से निपट रहे हैं कि यह सीधे इससे संबंधित है - यह ब्रैकेट ही है और इसके सामने माइनस (हरे रंग में हाइलाइट किया गया) है। बाकी सब कुछ (चयनित नहीं) जैसा था वैसा ही फिर से लिखा गया है।

गणित की समस्याओं को ऑनलाइन हल करना

ऑनलाइन कैलकुलेटर।
बहुपद सरलीकरण।
बहुपदों का गुणन।

इस गणित कार्यक्रम के साथ, आप बहुपद को सरल बना सकते हैं।
जबकि कार्यक्रम चल रहा है:
- बहुपदों को गुणा करता है
- एकपदी का योग (एक जैसा देता है)
- कोष्ठक खोलता है
- एक बहुपद को एक घात में उठाता है

बहुपद सरलीकरण कार्यक्रम केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान देता है, अर्थात। समाधान प्रक्रिया प्रदर्शित करता है ताकि आप गणित और/या बीजगणित के अपने ज्ञान की जांच कर सकें।

यह कार्यक्रम सामान्य शिक्षा स्कूलों के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है, माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप बस अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्दी से जल्दी पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपने स्वयं के प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण का संचालन कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

क्योंकि ऐसे बहुत से लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें।

थोड़ा सिद्धांत।

एक एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल। एक बहुपद की अवधारणा

बीजगणित में जिन विभिन्न भावों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदीय योगों का एक महत्वपूर्ण स्थान है। यहाँ ऐसी अभिव्यक्तियों के उदाहरण दिए गए हैं:

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। मोनोमियल को बहुपद भी कहा जाता है, एक मोनोमियल को एक बहुपद के रूप में माना जाता है जिसमें एक सदस्य होता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:

परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेता है। तो, एक द्विपद के पास तीसरी डिग्री होती है, और एक त्रिपद के पास दूसरी डिग्री होती है।

आमतौर पर, एक चर वाले बहुपदों के मानक रूप के पदों को उसके घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी एक बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करना। चूँकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि + चिह्न कोष्ठक के पहले लगाया जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को उन्हीं चिह्नों से लिखा जाता है।

यदि कोष्ठकों के सामने "-" चिन्ह लगा दिया जाए तो कोष्ठकों में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों से लिखा जाता है।

एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)।

गुणन के वितरणात्मक गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में रूपांतरित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

एक एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

योग से गुणा करने के लिए हमने बार-बार इस नियम का प्रयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के उत्पाद का परिवर्तन (सरलीकरण)।

व्यापक रूप से, दो बहुपदों का गुणनफल समान रूप से एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का प्रयोग करें।

बहुपद को बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे पद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी गुणनफल को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय रूपांतरों में कुछ व्यंजकों को दूसरों की तुलना में अधिक बार निपटाया जाना चाहिए। शायद सबसे आम भाव हैं और, यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग और वर्गों का अंतर। आपने देखा है कि इन भावों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, - यह, निश्चित रूप से, केवल योग का वर्ग नहीं है, बल्कि a और b के योग का वर्ग है। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, अक्षर a और b के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

अभिव्यक्तियों को मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित करना (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं:

परिणामी सर्वसमिका बिना मध्यवर्ती गणनाओं के याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती है। लघु मौखिक योग इसमें मदद करते हैं।

- योग का वर्ग वर्गों के योग के बराबर है और उत्पाद का दोगुना है।

- अंतर का वर्ग दोहरे उत्पाद के बिना वर्गों के योग के बराबर है।

- वर्गों का अंतर योग के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों को अपने बाएं हिस्से को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - दाएं हिस्से को बाएं से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित भावों को देखें और समझें कि चर a और b को उनमें क्या बदला गया है। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

पुस्तकें (पाठ्यपुस्तकें) एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई परीक्षणों के सार ऑनलाइन खेल, पहेलियाँ कार्यों का रेखांकन रूसी भाषा का वर्तनी शब्दकोश रूसी भाषा का शब्दकोष रूसी स्कूलों की सूची रूस में माध्यमिक विद्यालयों की सूची रूसी विश्वविद्यालयों की सूची संख्यात्मक अंश प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करना सम्मिश्र संख्याएँ: योग, अंतर, गुणनफल और भागफल दो चर वाले 2 रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ एक द्विघात समीकरण को हल करना एक द्विपद के वर्ग को छाँटना और एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करना असमानताओं को हल करना असमानताओं की प्रणालियों को हल करना एक द्विघात फलन का ग्राफ़ बनाना एक ग्राफ़ बनाना अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति को हल करना त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणकीय समीकरणों को हल करना रेखाओं और विमानों के साथ क्रियाएँ ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल ज्यामितीय आकृतियों की परिधि ज्यामितीय निकायों का आयतन ज्यामितीय निकायों का सतही क्षेत्रफल
यातायात स्थितियों निर्माता
मौसम - समाचार - राशिफल

www.mathsolution.ru

ब्रैकेट विस्तार

हम बीजगणित की मूल बातों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस पाठ में हम सीखेंगे कि कोष्ठक को व्यंजकों में कैसे खोला जाता है। कोष्ठकों का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

कोष्ठक खोलने के लिए, आपको केवल दो नियमों को कंठस्थ करना होगा। नियमित अभ्यास से, आप अपनी आँखें बंद करके कोष्ठक खोल सकते हैं, और जिन नियमों को कंठस्थ करने की आवश्यकता होती है, उन्हें सुरक्षित रूप से भुलाया जा सकता है।

कोष्ठक विस्तार का पहला नियम

निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें:

इस अभिव्यक्ति का मूल्य है 2 . आइए इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलें। कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है अभिव्यक्ति के अर्थ को प्रभावित किए बिना उनसे छुटकारा पाना। अर्थात्, कोष्ठक से छुटकारा पाने के बाद, अभिव्यक्ति का मूल्य 8+(−9+3) अभी भी दो के बराबर होना चाहिए।

पहला कोष्ठक विस्तार नियम इस तरह दिखता है:

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक धन है, तो यह धन कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

तो हम देखते हैं कि अभिव्यक्ति में 8+(−9+3) ब्रैकेट के सामने एक प्लस है। इस प्लस को कोष्ठकों के साथ छोड़ा जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, ब्रैकेट उस प्लस के साथ गायब हो जाएंगे जो उनके सामने खड़ा था। और जो कोष्ठक में था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

8−9+3 . यह अभिव्यक्ति के बराबर है 2 , जैसे पिछले कोष्ठक अभिव्यक्ति के बराबर था 2 .

8+(−9+3) और 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

उदाहरण 2एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 3 + (−1 − 4)

ब्रैकेट्स के सामने एक प्लस है, इसलिए इस प्लस को ब्रैकेट्स के साथ छोड़ दिया गया है। कोष्ठक में जो था वह अपरिवर्तित रहेगा:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

उदाहरण 3एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 2 + (−1)

इस उदाहरण में, कोष्ठक का विस्तार जोड़ के साथ घटाव को बदलने का एक प्रकार का उलटा ऑपरेशन बन गया है। इसका मतलब क्या है?

अभिव्यक्ति में 2−1 घटाव होता है, लेकिन इसे जोड़ से बदला जा सकता है। तब आपको अभिव्यक्ति मिलती है 2+(−1) . लेकिन अगर अभिव्यक्ति में 2+(−1) कोष्ठक खोलें, आपको मूल मिलता है 2−1 .

इसलिए, कुछ परिवर्तनों के बाद अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए पहले ब्रैकेट विस्तार नियम का उपयोग किया जा सकता है। यानी इसे कोष्ठकों से मुक्त करें और इसे आसान बनाएं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति को सरल करते हैं 2ए+ए−5बी+बी .

इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम समान पदों को जोड़ सकते हैं। याद रखें कि समान शर्तों को कम करने के लिए, आपको समान शर्तों के गुणांक जोड़ने और परिणाम को सामान्य अक्षर भाग से गुणा करने की आवश्यकता है:

एक्सप्रेशन मिला 3क+(−4ख). इस व्यंजक में, कोष्ठक खोलिए। कोष्ठक से पहले एक प्लस होता है, इसलिए हम ब्रैकेट खोलने के लिए पहले नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात, हम ब्रैकेट को उन प्लस के साथ छोड़ देते हैं जो इन ब्रैकेट से पहले आता है:

तो अभिव्यक्ति 2ए+ए−5बी+बीकरने के लिए सरलीकृत 3ए−4बी .

एक कोष्ठक खोलने के बाद, दूसरे रास्ते में मिल सकते हैं। हम उन पर पहले की तरह ही नियम लागू करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें:

दो स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठकों का विस्तार करने की आवश्यकता है। इस मामले में, कोष्ठकों का विस्तार करने का पहला नियम लागू होता है, अर्थात्, इन कोष्ठकों से पहले आने वाले धन के साथ-साथ कोष्ठकों को छोड़ना:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

उदाहरण 3एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 6+(−3)+(−2)

दोनों जगहों पर जहां ब्रैकेट हैं, उनके पहले एक प्लस साइन होता है। यहाँ फिर से, पहला कोष्ठक विस्तार नियम लागू होता है:

कभी-कभी कोष्ठक में पहला पद बिना चिन्ह के लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 1+(2+3−4) कोष्ठक में पहला शब्द 2 बिना चिह्न के लिखा हुआ। प्रश्न उठता है कि कोष्ठक और कोष्ठक के सामने के धन को छोड़े जाने के बाद ड्यूस से पहले कौन सा चिन्ह आएगा? उत्तर स्वयं बताता है - ड्यूस के सामने एक प्लस होगा।

वास्तव में, कोष्ठक में होने पर भी, ड्यूस के सामने एक प्लस होता है, लेकिन हम इसे इस तथ्य के कारण नहीं देखते हैं कि यह नीचे लिखा नहीं है। हम पहले ही कह चुके हैं कि सकारात्मक संख्याओं का पूर्ण अंकन कैसा दिखता है +1, +2, +3. लेकिन प्लसस पारंपरिक रूप से लिखे नहीं जाते हैं, यही वजह है कि हम उन सकारात्मक संख्याओं को देखते हैं जिनसे हम परिचित हैं। 1, 2, 3 .

इसलिए, एक व्यंजक में कोष्ठक खोलने के लिए 1+(2+3−4) , आपको हमेशा की तरह इन कोष्ठकों के सामने धन के साथ कोष्ठकों को छोड़ना होगा, लेकिन कोष्ठकों में पहले शब्द को धन चिह्न के साथ लिखें:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

उदाहरण 4एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें −5 + (2 − 3)

कोष्ठकों के सामने एक प्लस होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए पहला नियम लागू करते हैं, अर्थात्, हम कोष्ठकों को उन कोष्ठकों के साथ जोड़ देते हैं जो इन कोष्ठकों से पहले आते हैं। लेकिन पहला शब्द, जो कोष्ठक में धन चिह्न के साथ लिखा गया है:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

उदाहरण 5एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें (−5)

कोष्ठक से पहले एक प्लस है, लेकिन यह इस तथ्य के कारण नहीं लिखा गया है कि इससे पहले कोई अन्य संख्या या भाव नहीं थे। हमारा कार्य कोष्ठकों के विस्तार के लिए पहला नियम लागू करके कोष्ठकों को हटाना है, अर्थात्, इस प्लस के साथ कोष्ठकों को छोड़ना (भले ही यह अदृश्य हो)

उदाहरण 6एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 2ए + (−6ए + बी)

ब्रैकेट्स के सामने एक प्लस है, इसलिए इस प्लस को ब्रैकेट्स के साथ छोड़ दिया गया है। कोष्ठक में जो था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

उदाहरण 7एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

इस अभिव्यक्ति में, दो स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। दोनों वर्गों में, कोष्ठक के सामने एक प्लस होता है, जिसका अर्थ है कि इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है। कोष्ठक में जो था वह अपरिवर्तित लिखा जाएगा:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

कोष्ठक खोलने का दूसरा नियम

अब आइए दूसरे कोष्ठक विस्तार नियम को देखें। इसका उपयोग तब किया जाता है जब कोष्ठक से पहले ऋण होता है।

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण होता है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो शब्द कोष्ठक में थे, वे अपना चिन्ह विपरीत में बदल देते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित व्यंजक में कोष्ठकों का विस्तार करें

हम देखते हैं कि कोष्ठक से पहले एक ऋण है। तो आपको दूसरे विस्तार नियम को लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात्, इन कोष्ठकों के सामने ऋणात्मक कोष्ठकों को छोड़ दें। इस स्थिति में, जो शब्द कोष्ठक में थे, वे अपने चिन्ह को विपरीत में बदल देंगे:

हमें कोष्ठक के बिना एक व्यंजक मिला है 5+2+3 . यह अभिव्यक्ति 10 के बराबर है, ठीक उसी तरह जैसे पिछली अभिव्यक्ति कोष्ठक के साथ 10 के बराबर थी।

इस प्रकार, भावों के बीच 5−(−2−3) और 5+2+3 आप एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

उदाहरण 2एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 6 − (−2 − 5)

कोष्ठकों से पहले एक ऋण होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करते हैं, अर्थात्, हम कोष्ठकों को उन ऋणों के साथ छोड़ देते हैं जो इन कोष्ठकों से पहले आते हैं। इस मामले में, जो शब्द कोष्ठक में थे, उन्हें विपरीत संकेतों के साथ लिखा गया है:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

उदाहरण 3एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 2 − (7 + 3)

कोष्ठक से पहले एक माइनस होता है, इसलिए हम कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करते हैं:

उदाहरण 4एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें −(−3 + 4)

उदाहरण 5एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

दो स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठकों का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले मामले में, आपको कोष्ठक खोलने के लिए दूसरा नियम लागू करने की आवश्यकता है, और जब अभिव्यक्ति की बारी आती है +(−9−2) आपको पहला नियम लागू करने की आवश्यकता है:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

उदाहरण 6एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें −(−a−1)

उदाहरण 7एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें −(4क + 3)

उदाहरण 8एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें ए -(4बी + 3) + 15

उदाहरण 9एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 2अ + (3बी - बी) - (3सी + 5)

दो स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठकों का विस्तार करने की आवश्यकता है। पहले मामले में, आपको कोष्ठक का विस्तार करने के लिए पहला नियम लागू करने की आवश्यकता है, और जब अभिव्यक्ति की बारी आती है −(3ग+5)आपको दूसरा नियम लागू करने की आवश्यकता है:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2ए + 3बी − बी − 3सी − 5

उदाहरण 10एक अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें -ए − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

ऐसे तीन स्थान हैं जहाँ आपको कोष्ठकों का विस्तार करने की आवश्यकता है। सबसे पहले आपको कोष्ठक के विस्तार के लिए दूसरा नियम लागू करना होगा, फिर पहला, और फिर दूसरा:

-ए - (-4ए) + (-6बी) - (-8सी + 15) = -ए + 4ए - 6बी + 8सी - 15

कोष्ठक विस्तार तंत्र

कोष्ठक खोलने के नियम, जिन पर हमने अब विचार किया है, गुणन के वितरण नियम पर आधारित हैं:

वास्तव में उद्घाटन कोष्ठकप्रक्रिया को कॉल करें जब सामान्य कारक को कोष्ठक में प्रत्येक शब्द से गुणा किया जाता है। इस तरह के गुणन के परिणामस्वरूप कोष्ठक गायब हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

इसलिए, यदि आपको किसी संख्या को कोष्ठक में किसी व्यंजक से गुणा करने की आवश्यकता है (या कोष्ठक में किसी व्यंजक को किसी संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है), तो आपको कहने की आवश्यकता है कोष्ठक खोलना.

लेकिन गुणन का वितरण नियम कोष्ठक खोलने के नियमों से किस प्रकार संबंधित है, जिस पर हमने पहले विचार किया था?

तथ्य यह है कि किसी भी ब्रैकेट से पहले एक सामान्य कारक होता है। उदाहरण में 3×(4+5)सामान्य कारक है 3 . और उदाहरण में ए (बी + सी)सामान्य कारक एक चर है एक।

यदि कोष्ठक से पहले कोई संख्या या चर नहीं हैं, तो सामान्य कारक है 1 या −1 , इस पर निर्भर करता है कि कौन सा वर्ण कोष्ठक से पहले आता है। यदि कोष्ठक के सामने एक धन है, तो सामान्य कारक है 1 . यदि कोष्ठक से पहले एक ऋण है, तो सामान्य कारक है −1 .

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें −(3ख−1). कोष्ठक से पहले एक ऋण होता है, इसलिए आपको कोष्ठक खोलने के लिए दूसरे नियम का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, अर्थात कोष्ठक से पहले ऋण के साथ कोष्ठक को छोड़ दें। और जो अभिव्यक्ति कोष्ठक में थी, उसे विपरीत संकेतों के साथ लिखें:

हमने कोष्ठक विस्तार नियम का उपयोग करके कोष्ठकों का विस्तार किया। लेकिन इन्हीं कोष्ठकों को गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके खोला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम पहले कोष्ठकों के सामने सामान्य कारक 1 लिखते हैं, जो नीचे नहीं लिखा गया था:

माइनस जो कोष्ठक के सामने खड़ा होता था, इस इकाई को संदर्भित करता है। अब आप गुणन के वितरण नियम को लागू करके कोष्ठक खोल सकते हैं। इसके लिए सामान्य कारक −1 आपको कोष्ठक में प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

सुविधा के लिए, हम कोष्ठक में अंतर को योग से प्रतिस्थापित करते हैं:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

पिछली बार की तरह, हमें अभिव्यक्ति मिली -3बी+1. सभी इस बात से सहमत होंगे कि इस बार ऐसे सरल उदाहरण को हल करने में अधिक समय लगा। इसलिए, कोष्ठक खोलने के लिए तैयार नियमों का उपयोग करना अधिक उचित है, जिस पर हमने इस पाठ में विचार किया:

लेकिन यह जानकर दुख नहीं होता कि ये नियम कैसे काम करते हैं।

इस पाठ में हमने एक और समान रूपांतरण सीखा। कोष्ठकों को खोलने, सामान्य को कोष्ठकों से बाहर करने और समान शर्तों को लाने के साथ, हल किए जाने वाले कार्यों की सीमा को थोड़ा विस्तारित करना संभव है। उदाहरण के लिए:

यहां आपको दो क्रियाएं करने की आवश्यकता है - पहले कोष्ठक खोलें, और फिर शब्दों को समान करें। तो, क्रम में:

1) कोष्ठक का विस्तार करें:

2) हम समान पद देते हैं:

परिणामी अभिव्यक्ति में −10बी+(−1)आप कोष्ठक खोल सकते हैं:

उदाहरण 2कोष्ठक खोलें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति में समान शब्द जोड़ें:

1) कोष्ठक का विस्तार करें:

2) हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।इस बार, समय और स्थान बचाने के लिए, हम यह नहीं लिखेंगे कि गुणांकों को सामान्य अक्षर भाग से कैसे गुणा किया जाता है

उदाहरण 3सरलीकृत अभिव्यक्ति 8 मी + 3 मीऔर पर इसका मान ज्ञात कीजिए एम = -4

1) पहले अभिव्यक्ति को सरल करते हैं। अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए 8 मी + 3 मी, आप इसमें सामान्य कारक निकाल सकते हैं एमकोष्ठक के लिए:

2) व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए मी (8 + 3)पर एम = -4. इसके लिए, अभिव्यक्ति में मी (8 + 3)एक चर के बजाय एमसंख्या बदलें −4

एम (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

यदि आप टेक्स्ट के मुख्य भाग से संबंधित जानकारी शामिल करना चाहते हैं, लेकिन वह जानकारी किसी वाक्य या पैराग्राफ के मुख्य भाग में फिट नहीं होती है, तो आपको उस जानकारी को कोष्ठक में रखना होगा। इसे कोष्ठक में रखने से इसका महत्व कम हो जाता है ताकि यह पाठ के मुख्य बिंदु से अलग न हो।

• उदाहरण: जे.आर.आर. टोल्किन (द लॉर्ड ऑफ द रिंग्स के लेखक) और सी.एस. लुईस (द क्रॉनिकल्स ऑफ नार्निया के लेखक) इंकलिंग्स नामक साहित्यिक चर्चा समूह के नियमित सदस्य थे।

कोष्ठक में नोट्स।अक्सर, जब आप शब्दों में संख्यात्मक मान लिखते हैं, तो उस मान को संख्याओं में लिखना भी सहायक होता है। आप किसी संख्यात्मक रूप को कोष्ठक में रखकर निर्दिष्ट कर सकते हैं।

• उदाहरण: उसे इस सप्ताह के अंत तक किराए में सात सौ डॉलर ($700) का भुगतान करना है।

लिस्टिंग करते समय संख्याओं या अक्षरों का उपयोग।जब आपको किसी पैराग्राफ या वाक्य के भीतर सूचनाओं की एक श्रृंखला सूचीबद्ध करने की आवश्यकता होती है, तो प्रत्येक पैराग्राफ को क्रमांकित करने से सूची कम भ्रमित हो सकती है। आपको प्रत्येक आइटम के लिए उपयोग किए गए अंकों या अक्षरों को कोष्ठक में रखना चाहिए।

• उदाहरण: एक कंपनी एक नौकरी उम्मीदवार की तलाश कर रही है जो (1) अनुशासित है, (2) फोटो संपादन और सॉफ्टवेयर सुधारों में नवीनतम रुझानों के बारे में जानने के लिए सब कुछ जानता है, और (3) कम से कम पांच साल का पेशेवर अनुभव है। फील्ड।
• उदाहरण: एक कंपनी एक नौकरी उम्मीदवार की तलाश कर रही है जो (ए) अनुशासित है, (बी) फोटो संपादन और सॉफ्टवेयर सुधारों में नवीनतम रुझानों के बारे में जानने के लिए सब कुछ जानता है, और (सी) में कम से कम पांच साल का पेशेवर अनुभव है फील्ड।

बहुवचन पदनाम।पाठ में, आप बहुवचन का जिक्र करते हुए एकवचन में कुछ भी संदर्भित कर सकते हैं। यदि यह ज्ञात है कि पाठक को यह जानने से लाभ होगा कि आप बहुवचन और एकवचन दोनों का अर्थ रखते हैं, तो आप संज्ञा के तुरंत बाद कोष्ठक में उस संज्ञा के लिए उचित बहुवचन अंत करके अपना इरादा इंगित कर सकते हैं, यदि संज्ञा का ऐसा रूप है।

• उदाहरण: इस साल उत्सव के आयोजक बड़ी संख्या में दर्शकों की उम्मीद कर रहे हैं, इसलिए अतिरिक्त टिकट खरीदना सुनिश्चित करें।

लघुरूप अंकन।किसी संगठन, उत्पाद, या अन्य इकाई का नाम लिखते समय, जिसमें आमतौर पर एक प्रसिद्ध संक्षिप्त नाम होता है, आपको पाठ में पहली बार इसका उल्लेख करते समय इकाई का पूरा नाम दर्ज करना होगा। यदि आप किसी प्रसिद्ध संक्षिप्त नाम का उपयोग करके किसी वस्तु को बाद में संदर्भित करने जा रहे हैं, तो आपको उस संक्षिप्त नाम को कोष्ठक में निर्दिष्ट करना होगा ताकि पाठकों को पता चले कि बाद में क्या देखना है।

• उदाहरण: पशु कल्याण लीग (पीएलएल) के कर्मचारी और स्वयंसेवक समुदाय के भीतर पशु क्रूरता और दुर्व्यवहार को कम करने और अंततः समाप्त करने की आशा करते हैं।

महत्वपूर्ण तिथियों का उल्लेख।हालांकि हमेशा आवश्यक नहीं है, कुछ संदर्भों में आपको उस विशिष्ट व्यक्ति की जन्म तिथि और/या मृत्यु तिथि प्रदान करने की आवश्यकता हो सकती है जिसका आप पाठ में उल्लेख कर रहे हैं। ऐसी तिथियों को कोष्ठकों में संलग्न किया जाना चाहिए।

• उदाहरण: जेन ऑस्टेन (1775-1817) को उनकी साहित्यिक कृतियों प्राइड एंड प्रेजुडिस और सेंस एंड सेंसिबिलिटी के लिए जाना जाता है।
• जॉर्ज मार्टिन (बी। 1948) गेम ऑफ थ्रोन्स की हिट श्रृंखला के पीछे का आदमी है।

परिचयात्मक उद्धरणों का उपयोग।जब आप प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से किसी अन्य कार्य का हवाला देते हैं, तो गैर-काल्पनिक साहित्य में परिचयात्मक उद्धरण शामिल किए जाने चाहिए। इन उद्धरणों में ग्रंथ सूची संबंधी जानकारी होती है और इन्हें उधार ली गई जानकारी के तुरंत बाद कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए।

• उदाहरण: शोध से पता चलता है कि माइग्रेन और क्लिनिकल डिप्रेशन (स्मिथ, 2012) के बीच एक संबंध है।
• उदाहरण: शोध से पता चलता है कि माइग्रेन और क्लिनिकल डिप्रेशन (स्मिथ 32) के बीच एक संबंध है।
• पाठ में परिचयात्मक उद्धरणों के सही उपयोग के बारे में अधिक जानकारी के लिए, पाठ में उद्धरणों का उचित उपयोग कैसे करें देखें।

कोष्ठक का मुख्य कार्य मानों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन अभिव्यक्ति \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में जोड़ की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\).
समाधान : \(-(4m+3)=-4m-3\).

उदाहरण। कोष्ठक को बड़ा करें और समान पद \(5-(3x+2)+(2+3x)\) दें।
समाधान : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

उदाहरण। कोष्ठक \(5(3-x)\) को बड़ा करें।
समाधान : हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) हैं, और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच का गुणन चिह्न अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठकों को बड़ा करें \(-2(-3x+5)\).
समाधान : जैसा कि पिछले उदाहरण में, ब्रैकेट वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया गया है।

उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\).
समाधान : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((सी+डी)(ए-बी)=सी (ए-बी)+डी (ए-बी)=सीए-सीबी+डीए-डीबी\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
समाधान : हमारे पास कोष्ठकों का गुणनफल है और इसे ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरण दर चरण करें।
चरण 1. पहले कोष्ठक को हटा दें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ऊपर वर्णित कारक द्वारा ब्रैकेट के उत्पादों का विस्तार करें:
- पहले वाला पहले...

फिर दूसरा।

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पद लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि अगर हम c के बजाय एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें \((a-b)=a-b\) नियम मिलता है। और यदि हम माइनस एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें \(-(a-b)=-a+b\) नियम मिलता है। ठीक है, यदि आप c के बजाय कोई अन्य कोष्ठक प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों के अंदर नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए \(7x+2(5-(3x+y))\).

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के नेस्टिंग को ध्यान से समझें - कौन सा किसमें है;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ।

किसी एक कोष्ठक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को स्पर्श न करें, जैसा है वैसा ही इसे फिर से लिखना।
ऊपर दिए गए कार्य को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं।

उदाहरण। कोष्ठक खोलकर \(7x+2(5-(3x+y))\) शब्द दें।
समाधान:

उदाहरण। कोष्ठकों को खोलकर \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\) शब्द दें।
समाधान :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट, इंटरमीडिएट खोलने की जरूरत है। लेकिन इससे पहले, हम इस दूसरे कोष्ठक में समान शब्दों को भूत करके अभिव्यक्ति को सरल करेंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक के प्रत्येक पद का इससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और लास्ट कोष्टक को ओपन करे। ब्रैकेट माइनस से पहले - इसलिए सभी चिह्न उलट जाते हैं।

ब्रैकेट ओपनिंग गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस स्किल के बिना ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड लाना असंभव है। इसलिए, मैं इस विषय की अच्छी समझ की सलाह देता हूं।