Théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités.
Événements dépendants et indépendants

Le titre fait peur, mais c'est en fait très simple. Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités d'événements, ainsi qu'analyser des tâches typiques qui, avec tâche pour la définition classique de la probabilité rencontrerez certainement ou, plus probablement, vous êtes déjà rencontré sur votre chemin. Pour étudier efficacement les matériaux de cet article, vous devez connaître et comprendre les termes de base théorie des probabilités et être capable d'effectuer des opérations arithmétiques simples. Comme vous pouvez le voir, très peu est nécessaire, et donc un gros plus dans l'actif est presque garanti. Mais d'un autre côté, je mets à nouveau en garde contre une attitude superficielle vis-à-vis des exemples pratiques - il y a aussi suffisamment de subtilités. Bonne chance:

Le théorème d'addition pour les probabilités d'événements incompatibles: la probabilité d'occurrence de l'un des deux incompatibleévénements ou (peu importe ce que), est égal à la somme des probabilités de ces événements :

Un fait similaire est également vrai pour un plus grand nombre d'événements incompatibles, par exemple, pour trois événements incompatibles et :

Théorème du rêve =) Cependant, un tel rêve est sujet à preuve, que l'on peut trouver, par exemple, dans le manuel de V.E. Gmurman.

Faisons connaissance avec de nouveaux concepts inédits :

Événements dépendants et indépendants

Commençons par les événements indépendants. Les événements sont indépendant si la probabilité d'occurrence n'importe lequel d'entre eux ne dépend pas de l'apparition/non-apparition d'autres événements de l'ensemble considéré (dans toutes les combinaisons possibles). ... Mais qu'est-ce qu'il y a pour broyer des phrases courantes:

Le théorème de la multiplication des probabilités d'événements indépendants: la probabilité d'occurrence conjointe d'événements indépendants et est égale au produit des probabilités de ces événements :

Revenons à l'exemple le plus simple de la 1ère leçon, dans lequel deux pièces sont lancées et les événements suivants :

- les têtes tomberont sur la 1ère pièce ;
- Têtes sur la 2ème pièce.

Trouvons la probabilité de l'événement (les têtes apparaîtront sur la 1ère pièce et L'aigle apparaîtra sur la 2ème pièce - rappelez-vous comment lire produit d'événements!) . La probabilité d'obtenir face sur une pièce ne dépend pas du résultat du lancer d'une autre pièce, par conséquent, les événements et sont indépendants.

De la même manière:
est la probabilité que la 1ère pièce tombe face et sur la 2e queue ;
est la probabilité que face apparaisse sur la 1ère pièce et sur la 2e queue ;
est la probabilité que la 1ère pièce tombe sur pile et sur le 2e aigle.

Notez que les événements forment groupe complet et la somme de leurs probabilités est égale à un : .

Le théorème de multiplication s'étend évidemment à un plus grand nombre d'événements indépendants, ainsi, par exemple, si les événements sont indépendants, alors la probabilité de leur occurrence conjointe est : . Pratiquons avec des exemples précis :

Tâche 3

Chacune des trois boîtes contient 10 pièces. Dans la première boîte, il y a 8 pièces standard, dans la seconde - 7, dans la troisième - 9. Une pièce est retirée au hasard de chaque boîte. Trouvez la probabilité que toutes les pièces soient standard.

Solution: la probabilité d'extraire une pièce standard ou non standard de n'importe quelle boîte ne dépend pas des pièces qui seront extraites d'autres boîtes, donc le problème concerne des événements indépendants. Considérez les événements indépendants suivants :

– une pièce standard est retirée de la 1ère case ;
– une pièce standard est retirée de la 2ème case ;
– Une pièce standard a été retirée du 3e tiroir.

Selon la définition classique :
sont les probabilités correspondantes.

Événement qui nous intéresse (La pièce standard sera prélevée du 1er tiroir et de la 2ème norme et de la 3ème norme) est exprimé par le produit.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

est la probabilité qu'une pièce standard soit extraite de trois boîtes.

Réponse: 0,504

Après des exercices toniques avec des boîtes, des urnes non moins intéressantes nous attendent :

Tâche 4

Trois urnes contiennent 6 boules blanches et 4 boules noires. Une boule est tirée au hasard dans chaque urne. Trouvez la probabilité que : a) les trois boules soient blanches ; b) les trois balles seront de la même couleur.

Sur la base des informations reçues, devinez comment traiter l'élément "être" ;-) Un exemple de solution approximative est conçu dans un style académique avec une description détaillée de tous les événements.

Événements dépendants. L'événement s'appelle dépendant si sa probabilité dépend d'un ou plusieurs événements qui se sont déjà produits. Vous n'avez pas besoin d'aller loin pour trouver des exemples - rendez-vous simplement au magasin le plus proche :

- Demain à 19h00 du pain frais sera en vente.

La probabilité de cet événement dépend de nombreux autres événements : si du pain frais sera livré demain, s'il sera vendu avant 19h ou non, etc. Selon diverses circonstances, cet événement peut être à la fois fiable et impossible. L'événement est donc dépendant.

Du pain... et, comme le réclamaient les Romains, des cirques :

- à l'examen, l'étudiant recevra un ticket simple.

Si vous n'allez pas le tout premier, l'événement sera dépendant, car sa probabilité dépendra des billets que les camarades de classe ont déjà tirés.

Comment déterminer la dépendance/indépendance des événements ?

Parfois, cela est directement indiqué dans l'état du problème, mais le plus souvent, vous devez effectuer une analyse indépendante. Il n'y a pas de ligne directrice sans ambiguïté ici, et le fait de la dépendance ou de l'indépendance des événements découle du raisonnement logique naturel.

Pour ne pas tout jeter d'un coup, tâches pour les événements dépendants Je vais mettre en évidence la prochaine leçon, mais pour l'instant, nous allons considérer le groupe de théorèmes le plus courant dans la pratique :

Problèmes sur les théorèmes d'addition pour les probabilités incohérentes
et multiplier les probabilités d'événements indépendants

Ce tandem, selon mon évaluation subjective, travaille dans environ 80% des tâches sur le sujet considéré. Un hit des hits et un vrai classique de la théorie des probabilités :

Tâche 5

Deux tireurs ont tiré chacun un coup sur la cible. La probabilité de toucher pour le premier tireur est de 0,8, pour le second - 0,6. Trouvez la probabilité que :

a) un seul tireur atteindra la cible ;
b) au moins un des tireurs atteindra la cible.

Solution: La probabilité de réussite/échec d'un tireur est évidemment indépendante de la performance de l'autre tireur.

Considérez les événements :
– Le 1er tireur atteindra la cible ;
– Le 2ème tireur atteindra la cible.

Par état : .

Trouvons les probabilités d'événements opposés - que les flèches correspondantes manqueront :

a) Considérez l'événement : - un seul tireur touche la cible. Cet événement se compose de deux résultats incompatibles :

Le 1er tireur touchera et 2e raté
ou
1er manquera et 2ème frappera.

Sur la langue algèbres d'événements ce fait peut s'écrire :

D'abord, nous utilisons le théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles, puis - le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

est la probabilité qu'il n'y ait qu'un seul résultat.

b) Considérez l'événement : - au moins un des tireurs atteindra la cible.

Tout d'abord, RÉFLÉCHISSONS - que signifie la condition "AU MOINS UN" ? Dans ce cas, cela signifie que soit le 1er tireur touchera (le 2ème manquera) ou 2e (1er raté) ou les deux flèches à la fois - un total de 3 résultats incompatibles.

Première méthode: étant donné la probabilité préparée de l'élément précédent, il convient de représenter l'événement comme la somme des événements disjoints suivants :

on obtiendra (un événement consistant tour à tour en 2 résultats incompatibles) ou
Si les deux flèches se rencontrent, nous désignons cet événement par la lettre .

De cette façon:

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
est la probabilité que le 1er tireur touche et Le 2e tireur touchera.

D'après le théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles :
est la probabilité d'au moins un coup sur la cible.

Deuxième méthode: considérez l'événement inverse : – les deux tireurs rateront.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Par conséquent:

Portez une attention particulière à la deuxième méthode - en général, elle est plus rationnelle.

De plus, il existe une troisième manière alternative de résoudre, basée sur le théorème de la sommation des événements conjoints, qui était silencieux ci-dessus.

! Si vous lisez le matériel pour la première fois, afin d'éviter toute confusion, il est préférable de sauter le paragraphe suivant.

Troisième méthode : les événements sont conjoints, ce qui signifie que leur somme exprime l'événement « au moins un tireur touche la cible » (voir Fig. algèbre des événements). Par théorème d'addition des probabilités d'événements conjoints et le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Vérifions : événements et (respectivement 0, 1 et 2 résultats) forment un groupe complet, donc la somme de leurs probabilités doit être égale à un :
, ce qui était à vérifier.

Réponse:

Avec une étude approfondie de la théorie des probabilités, vous rencontrerez des dizaines de tâches au contenu militariste et, ce qui est typique, après cela, vous ne voudrez plus tirer sur personne - les tâches sont presque un cadeau. Pourquoi ne pas rendre le modèle encore plus simple ? Raccourcissons l'entrée :

Solution: selon la condition : , est la probabilité de toucher les tireurs correspondants. Alors leurs probabilités de rater sont :

a) D'après les théorèmes d'addition des probabilités d'événements incompatibles et de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
est la probabilité qu'un seul tireur atteigne la cible.

b) D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
est la probabilité que les deux tireurs manquent.

Alors : est la probabilité qu'au moins un des tireurs atteigne la cible.

Réponse:

En pratique, vous pouvez utiliser n'importe quelle option de conception. Bien sûr, beaucoup plus souvent, ils vont dans le sens le plus court, mais il ne faut pas oublier la 1ère méthode - bien qu'elle soit plus longue, elle est plus significative - elle y est plus claire, quoi, pourquoi et pourquoi s'additionne et se multiplie. Dans certains cas, un style hybride est approprié, lorsqu'il convient de n'indiquer que certains événements en majuscules.

Tâches similaires pour une solution indépendante :

Tâche 6

Deux capteurs fonctionnant indépendamment sont installés pour l'alarme incendie. Les probabilités que le capteur fonctionne pendant un incendie sont respectivement de 0,5 et 0,7 pour les premier et second capteurs. Trouver la probabilité que dans un incendie :

a) les deux capteurs tomberont en panne ;
b) les deux capteurs fonctionneront.
c) en utilisant théorème d'addition pour les probabilités d'événements formant un groupe complet, trouvez la probabilité qu'un seul capteur fonctionne pendant un incendie. Vérifier le résultat par calcul direct de cette probabilité (en utilisant les théorèmes d'addition et de multiplication).

Ici, l'indépendance du fonctionnement des appareils est directement énoncée dans la condition, ce qui, soit dit en passant, est une clarification importante. L'exemple de solution est conçu dans un style académique.

Que se passe-t-il si, dans un problème similaire, les mêmes probabilités sont données, par exemple 0,9 et 0,9 ? Vous devez décider exactement la même chose! (ce qui, en fait, a déjà été démontré dans l'exemple avec deux pièces)

Tâche 7

La probabilité d'atteindre la cible par le premier tireur d'un seul coup est de 0,8. La probabilité que la cible ne soit pas touchée après que les premier et deuxième tireurs aient tiré un coup est de 0,08. Quelle est la probabilité d'atteindre la cible par le second tireur d'un seul coup ?

Et ceci est un petit puzzle, qui est encadré de manière courte. La condition peut être reformulée de manière plus concise, mais je ne refaireai pas l'original - en pratique, je dois me plonger dans des fabrications plus ornées.

Rencontrez-le - c'est lui qui a coupé une quantité incommensurable de détails pour vous =):

Tâche 8

Un travailleur exploite trois machines. La probabilité que pendant le quart de travail la première machine nécessite un réglage est de 0,3, la seconde - 0,75, la troisième - 0,4. Trouvez la probabilité que pendant le quart de travail :

a) toutes les machines nécessiteront un réglage ;
b) une seule machine nécessitera un réglage ;
c) au moins une machine nécessitera un réglage.

Solution: étant donné que la condition ne dit rien sur un seul processus technologique, le fonctionnement de chaque machine doit être considéré comme indépendant du fonctionnement des autres machines.

Par analogie avec la tâche n ° 5, vous pouvez ici prendre en considération des événements consistant dans le fait que les machines correspondantes nécessiteront un réglage pendant le quart de travail, noter les probabilités , trouver les probabilités d'événements opposés, etc. Mais avec trois objets, je n'ai pas vraiment envie de rédiger la tâche comme ça - ça va s'avérer long et fastidieux. Par conséquent, il est nettement plus rentable d'utiliser le style "rapide" ici :

Par condition : - la probabilité que pendant le quart de travail les machines correspondantes nécessitent un réglage. Ensuite, les probabilités qu'ils ne nécessitent pas d'attention sont :

Un des lecteurs a trouvé une faute de frappe sympa ici, je ne vais même pas la corriger =)

a) D'après le théorème de la multiplication des probabilités d'événements indépendants :
est la probabilité que, pendant le quart de travail, les trois machines nécessitent un réglage.

b) L'événement « Durant le quart de travail, une seule machine nécessitera un réglage » consiste en trois résultats incompatibles :

1) 1ère machine nécessitera attention et 2ème appareil ne nécessitera pas et 3ème appareil ne nécessitera pas
ou:
2) 1ère machine ne nécessitera pas attention et 2ème appareil nécessitera et 3ème appareil ne nécessitera pas
ou:
3) 1ère machine ne nécessitera pas attention et 2ème appareil ne nécessitera pas et 3ème appareil nécessitera.

D'après les théorèmes d'addition des probabilités d'incompatibilités et de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

- la probabilité qu'au cours du poste une seule machine nécessite un réglage.

Je pense qu'à présent, vous devriez comprendre d'où vient l'expression

c) Calculez la probabilité que les machines ne nécessitent pas de réglage, puis la probabilité de l'événement inverse :
– le fait qu'au moins une machine nécessitera un réglage.

Réponse:

L'élément "ve" peut également être résolu par la somme , où est la probabilité que pendant le quart de travail, seules deux machines nécessitent un réglage. Cet événement, à son tour, comprend 3 résultats incompatibles, qui sont signés par analogie avec l'item "be". Essayez de trouver vous-même la probabilité de vérifier l'ensemble du problème à l'aide de l'égalité.

Tâche 9

Trois canons ont tiré une salve sur la cible. La probabilité de toucher avec un seul coup du premier pistolet est de 0,7, du second - 0,6, du troisième - 0,8. Trouvez la probabilité que : 1) au moins un projectile atteigne la cible ; 2) seuls deux projectiles atteindront la cible ; 3) la cible sera touchée au moins deux fois.

Solution et réponse à la fin de la leçon.

Et encore une fois à propos des coïncidences: dans le cas où, par condition, deux ou même toutes les valeurs des probabilités initiales coïncident (par exemple, 0,7; 0,7 et 0,7), alors exactement le même algorithme de solution doit être suivi.

En conclusion de l'article, nous analyserons une autre énigme courante :

Tâche 10

Le tireur touche la cible avec la même probabilité à chaque tir. Quelle est cette probabilité si la probabilité d'au moins un coup sûr sur trois coups est de 0,973.

Solution: désigne par - la probabilité d'atteindre la cible à chaque tir.
et à travers - la probabilité d'un échec à chaque tir.

Écrivons les événements :
- avec 3 tirs, le tireur touchera la cible au moins une fois ;
- le tireur ratera 3 fois.

Selon la condition, alors la probabilité de l'événement opposé :

D'autre part, d'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

De cette façon:

- la probabilité d'un raté à chaque tir.

Par conséquent:
est la probabilité de toucher chaque coup.

Réponse: 0,7

Simple et élégant.

Dans le problème considéré, des questions supplémentaires peuvent être posées sur la probabilité d'un seul coup, de seulement deux coups et de la probabilité de trois coups sur la cible. Le schéma de solution sera exactement le même que dans les deux exemples précédents :

Cependant, la différence de fond fondamentale est qu'il existe tests indépendants répétés, qui sont exécutés séquentiellement, indépendamment les uns des autres et avec la même probabilité de résultats.

La dépendance des événements est comprise dans probabiliste sens, pas fonctionnellement. Cela signifie que l'apparition de l'un des événements dépendants ne peut pas juger sans ambiguïté l'apparition de l'autre. La dépendance probabiliste signifie que l'occurrence de l'un des événements dépendants ne modifie que la probabilité d'occurrence de l'autre. Si la probabilité ne change pas, alors les événements sont considérés comme indépendants.

Définition: Let - espace de probabilité arbitraire, - certains événements aléatoires. Ils disent ça un événement UNE ne dépend pas de l'événement V , si sa probabilité conditionnelle est la même que sa probabilité inconditionnelle :

.

Si , alors on dit que l'événement UNE dépendant de l'événement V.

Le concept d'indépendance est symétrique, c'est-à-dire que si un événement UNE ne dépend pas de l'événement V, alors l'événement V ne dépend pas de l'événement UNE. En effet, laissez . Puis . Par conséquent, ils disent simplement que les événements UNE et V indépendant.

La définition symétrique suivante de l'indépendance des événements découle de la règle de multiplication des probabilités.

Définition: Événements UNE et V, définis sur le même espace de probabilité sont appelés indépendant, si

Si , puis les événements UNE et V appelé dépendant.

Notez que cette définition est également valable lorsque ou .

Propriétés des événements indépendants.

1. Si les événements UNE et V sont indépendants, alors les paires d'événements suivantes sont également indépendantes : .

▲ Prouvons, par exemple, l'indépendance des événements . Imaginez un événement UNE comme: . Puisque les événements sont incompatibles, alors , et en raison de l'indépendance des événements UNE et V on comprend ça. Par conséquent, ce qui signifie l'indépendance. ■

2. Si l'événement UNE ne dépend pas des événements EN 1 et EN 2, incompatibles () , cet événement UNE ne dépend pas du montant.

▲ En effet, en utilisant l'axiome d'additivité de probabilité et d'indépendance de l'événement UNE des événements EN 1 et EN 2, on a:

Relation entre les concepts d'indépendance et d'incompatibilité.

Laisser UNE et V- tous les événements qui ont une probabilité non nulle : , donc . Si les événements UNE et V sont incohérents (), et donc l'égalité ne peut jamais avoir lieu. De cette façon, les événements incompatibles dépendent.

Lorsque plus de deux événements sont considérés simultanément, leur indépendance par paire ne caractérise pas suffisamment le lien entre les événements de l'ensemble du groupe. Dans ce cas, le concept d'indépendance dans l'agrégat est introduit.

Définition: Les événements définis sur le même espace de probabilité sont appelés collectivement indépendant, si pour tout 2 millions de livres sterling et toute combinaison d'indices tient l'égalité :

À m = 2 l'indépendance dans l'agrégat implique l'indépendance par paire des événements. L'inverse n'est pas vrai.

Exemple. (Bernstein S.N.)

Une expérience aléatoire consiste à lancer un tétraèdre régulier (tétraèdre). Il y a un visage qui est tombé de haut en bas. Les faces du tétraèdre sont colorées comme suit : 1ère face - blanche, 2ème face - noire,
3 faces - rouge, 4 faces - contient toutes les couleurs.

Considérez les événements :

UNE= (Décrochage de couleur blanche); B= (décrochage noir);

C= (décrochage rouge).

Puis ;

Dès lors, les événements UNE, V et AVEC sont deux à deux indépendants.

Mais, .

Par conséquent, les événements UNE, V et AVEC collectivement, ils ne sont pas indépendants.

En pratique, en règle générale, l'indépendance des événements ne s'établit pas en la vérifiant par définition, mais inversement : les événements sont considérés comme indépendants de certaines considérations extérieures ou compte tenu des circonstances d'une expérience aléatoire, et l'indépendance sert à trouver la probabilités de produire des événements.

Théorème (multiplications de probabilités pour des événements indépendants).

Si des événements définis sur un même espace de probabilité sont indépendants dans l'agrégat, alors la probabilité de leur produit est égale au produit des probabilités :

▲ La preuve du théorème découle de la définition de l'indépendance des événements dans l'agrégat ou du théorème général de multiplication de probabilité, en tenant compte du fait que dans ce cas

Exemple 1 (exemple typique pour trouver des probabilités conditionnelles, le concept d'indépendance, le théorème d'addition de probabilité).

Le circuit électrique se compose de trois éléments fonctionnant indépendamment. Les probabilités de défaillance de chacun des éléments sont respectivement égales à .

1) Trouvez la probabilité de défaillance du circuit.

2) Le circuit est connu pour avoir échoué.

Quelle est la probabilité qu'il échoue :

a) 1er élément ; b) 3ème élément ?

Solution. Considérer les événements = (Échec kème élément), et l'événement UNE= (Échec du schéma). Puis l'événement UNE se présente sous la forme :

.

1) Puisque les événements et ne sont pas incompatibles, alors l'axiome d'additivité de probabilité P3) n'est pas applicable et pour trouver la probabilité il faut utiliser le théorème général d'addition de probabilité, selon lequel

Événements aléatoires dépendants et indépendants.
Formules de base pour l'addition et la multiplication des probabilités

Les concepts de dépendance et d'indépendance des événements aléatoires. Probabilite conditionnelle. Formules d'addition et de multiplication des probabilités pour les événements aléatoires dépendants et indépendants. Formule de probabilité totale et formule de Bayes.

Théorèmes d'addition

Trouvons la probabilité de la somme des événements et (sous l'hypothèse de leur compatibilité ou de leur incohérence).

Théorème 2.1. La probabilité de la somme d'un nombre fini d'événements incompatibles est égale à la somme de leurs probabilités :

Exemple 1 La probabilité qu'une paire de chaussures pour homme de pointure 44 soit vendue dans un magasin est de 0,12 ; 45e - 0,04 ; 46e et plus - 0,01. Trouvez la probabilité qu'une paire de chaussures pour hommes d'au moins la pointure 44 soit vendue.

Solution. L'événement souhaité se produira si une paire de chaussures de taille 44 (événement) ou de taille 45 (événement) ou au moins de taille 46 (événement) est vendue, c'est-à-dire que l'événement est la somme des événements. Les événements , et sont incompatibles. Donc, d'après le théorème sur la somme des probabilités, on obtient

Exemple 2 Dans les conditions de l'exemple 1, trouvez la probabilité que la prochaine paire de chaussures inférieure à la pointure 44 soit vendue.

Solution. Les événements "une autre paire de chaussures de taille inférieure à la taille 44 sera vendue" et "une paire de chaussures de taille non inférieure à la taille 44 sera vendue" sont opposés. Par conséquent, selon la formule (1.2), la probabilité d'occurrence de l'événement souhaité

car , comme dans l'exemple 1.

Le théorème 2.1 d'addition des probabilités n'est valable que pour les événements incompatibles. L'utiliser pour trouver la probabilité d'événements conjoints peut conduire à des conclusions incorrectes et parfois absurdes, comme le montre clairement l'exemple suivant. Laissez Electra Ltd exécuter la commande à temps avec une probabilité de 0,7. Quelle est la probabilité que l'entreprise réalise au moins une commande sur trois dans les délais ? Les événements consistant dans le fait que l'entreprise exécutera les première, deuxième et troisième commandes dans les délais seront respectivement indiqués. Si nous appliquons le théorème 2.1 de l'addition des probabilités pour trouver la probabilité souhaitée, alors nous obtenons . La probabilité de l'événement s'est avérée supérieure à un, ce qui est impossible. C'est parce que les événements sont conjoints. En effet, l'exécution de la première commande dans les délais n'exclut pas l'exécution des deux autres commandes dans les délais.

Formulons un théorème d'addition de probabilité dans le cas de deux événements conjoints (la probabilité de leur occurrence conjointe sera prise en compte).

Théorème 2.2. La probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces deux événements sans la probabilité de leur occurrence conjointe :

Événements dépendants et indépendants. Probabilite conditionnelle

Distinguez les événements dépendants des événements indépendants. Deux événements sont dits indépendants si la survenance de l'un ne modifie pas la probabilité de survenance de l'autre. Par exemple, si deux lignes automatiques fonctionnent dans un atelier, qui ne sont pas interconnectées selon les conditions de production, alors les arrêts de ces lignes sont des événements indépendants.

Exemple 3 La pièce est lancée deux fois. La probabilité d'apparition des "blasons" dans la première épreuve (événement ) ne dépend pas de l'apparition ou non des "blasons" dans la seconde épreuve (événement ). À son tour, la probabilité d'apparition des "blasons" dans le deuxième test ne dépend pas du résultat du premier test. Ainsi, événements et indépendants.

Plusieurs événements sont appelés collectivement indépendant, si l'un d'eux ne dépend d'aucun autre événement et d'aucune combinaison des autres.

Les événements s'appellent dépendant, si l'un d'eux affecte la probabilité d'occurrence de l'autre. Par exemple, deux usines de production sont reliées par un même cycle technologique. Ensuite, la probabilité de défaillance de l'un d'eux dépend de l'état de l'autre. La probabilité d'un événement, calculée en supposant la survenance d'un autre événement, est appelée probabilite conditionnelleévénements et est désigné par .

La condition d'indépendance d'un événement par rapport à un événement s'écrit dans la forme, et la condition de sa dépendance - dans la forme. Prenons un exemple de calcul de la probabilité conditionnelle d'un événement.

Exemple 4 Il y a 5 incisives dans la boite : deux usées et trois neuves. Deux extractions consécutives d'incisives sont réalisées. Déterminer la probabilité conditionnelle de l'apparition d'un couteau usé lors de la deuxième extraction, à condition que le couteau retiré pour la première fois ne soit pas remis dans la boîte.

Solution. Désignons l'extraction d'un couteau usé dans le premier cas, et - l'extraction d'un nouveau. Puis . Étant donné que la fraise retirée n'est pas remise dans la boîte, le rapport entre le nombre de fraises usées et neuves change. Par conséquent, la probabilité de retirer un couteau usé dans le second cas dépend de l'événement qui s'est produit auparavant.

Désignons l'événement qui signifie l'extraction de la fraise usée dans le second cas. Les probabilités pour cet événement sont :

Par conséquent, la probabilité d'un événement dépend du fait que l'événement s'est produit ou non.

Formules de multiplication de probabilité

Soit les événements et soient indépendants, et les probabilités de ces événements sont connues. Trouver la probabilité de combiner les événements et .

Théorème 2.3. La probabilité de survenance conjointe de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements :

Corollaire 2.1. La probabilité de survenance conjointe de plusieurs événements indépendants dans l'agrégat est égale au produit des probabilités de ces événements :

Exemple 5 Trois boîtes contiennent 10 pièces chacune. Dans la première boîte - 8 pièces standard, dans la seconde - 7, dans la troisième - 9. Une pièce est tirée au hasard de chaque boîte. Trouvez la probabilité que les trois parties retirées soient standard.

Solution. La probabilité qu'une partie standard (événement ) soit extraite de la première case, . La probabilité qu'une partie standard (événement ) soit extraite de la deuxième case, . La probabilité qu'une partie standard (événement ) soit extraite de la troisième case, . Puisque les événements , et sont indépendants dans l'agrégat, alors la probabilité souhaitée (selon le théorème de multiplication)

Que les événements et soient dépendants, et que les probabilités et soient connues. Trouvons la probabilité du produit de ces événements, c'est-à-dire la probabilité que l'événement et l'événement apparaissent.

Théorème 2.4. La probabilité de survenance conjointe de deux événements dépendants est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée sous l'hypothèse que le premier événement s'est déjà produit :

Corollaire 2.2. La probabilité de survenance conjointe de plusieurs événements dépendants est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par les probabilités conditionnelles de tous les autres, et la probabilité de chaque événement suivant est calculée en supposant que tous les événements précédents sont déjà apparus .

Exemple 6 Une urne contient 5 boules blanches, 4 noires et 3 bleues. Chaque épreuve consiste à tirer une boule au hasard sans la remettre dans l'urne. Trouvez la probabilité qu'au premier test une boule blanche apparaisse (événement ), au deuxième - noir (événement ) et au troisième - bleu (événement ).

Solution. Probabilité d'apparition d'une boule blanche au premier essai. La probabilité qu'une boule noire apparaisse au deuxième essai, calculée en supposant qu'une boule blanche est apparue au premier essai, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle . La probabilité qu'une boule bleue apparaisse au troisième essai, calculée en supposant qu'une boule blanche est apparue au premier essai et une noire au deuxième essai, . Probabilité souhaitée

Formule de probabilité totale

Théorème 2.5. Si un événement ne se produit que si l'un des événements se produit, formant un groupe complet d'événements incompatibles, alors la probabilité de l'événement est égale à la somme des produits des probabilités de chacun des événements par la probabilité conditionnelle correspondante de l'événement :

Dans ce cas, les événements sont appelés hypothèses et les probabilités sont appelées a priori. Cette formule s'appelle la formule de probabilité totale.

Exemple 7 La chaîne de montage reçoit des pièces de trois machines. Les performances de la machine ne sont pas les mêmes. Sur la première machine, 50% de toutes les pièces sont produites, sur la seconde - 30%, sur la troisième - 20%. La probabilité d'un assemblage de qualité lors de l'utilisation d'une pièce fabriquée sur la première, la deuxième et la troisième machine, respectivement, est de 0,98, 0,95 et 0,8. Déterminez la probabilité que l'assemblage sortant du convoyeur soit de haute qualité.

Solution. Désignons un événement qui signifie l'adéquation du nœud assemblé ; , et - événements signifiant que les pièces sont fabriquées respectivement sur la première, la deuxième et la troisième machine. Puis

Probabilité souhaitée

Formule de Bayes

Cette formule est utilisée pour résoudre des problèmes pratiques lorsqu'un événement qui apparaît avec l'un des événements qui forment un groupe complet d'événements s'est produit et qu'une réévaluation quantitative des probabilités des hypothèses est requise. Les probabilités a priori (avant l'expérience) sont connues. Il est nécessaire de calculer des probabilités a posteriori (après expérience), c'est-à-dire qu'il est essentiellement nécessaire de trouver des probabilités conditionnelles . Pour une hypothèse, la formule de Bayes ressemble à ceci.

Énoncé général du problème : les probabilités de certains événements sont connues, mais les probabilités d'autres événements associés à ces événements doivent être calculées. Dans ces problèmes, il est nécessaire d'effectuer des opérations sur les probabilités telles que l'addition et la multiplication des probabilités.

Par exemple, deux coups de feu ont été tirés pendant la chasse. Événement UNE- frapper un canard dès le premier coup, événement B- touché dès le deuxième coup. Alors la somme des événements UNE et B- coup du premier ou du deuxième coup ou de deux coups.

Tâches d'un type différent. Plusieurs événements sont donnés, par exemple, une pièce de monnaie est lancée trois fois. Il est nécessaire de trouver la probabilité que soit les trois fois les armoiries tombent, soit que les armoiries tombent au moins une fois. C'est un problème de multiplication.

Ajout de probabilités d'événements incompatibles

L'addition de probabilité est utilisée lorsqu'il est nécessaire de calculer la probabilité d'une combinaison ou d'une somme logique d'événements aléatoires.

Somme des événements UNE et B désigner UNE + B ou UNE ∪ B. La somme de deux événements est un événement qui se produit si et seulement si au moins un des événements se produit. Cela signifie que UNE + B- un événement qui se produit si et seulement si un événement se produit pendant l'observation UNE ou événement B, ou en même temps UNE et B.

Si les événements UNE et B sont incompatibles entre eux et leurs probabilités sont données, la probabilité que l'un de ces événements se produise à la suite d'un essai est calculée en utilisant l'addition des probabilités.

Le théorème de l'addition des probabilités. La probabilité que l'un des deux événements mutuellement incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :

Par exemple, deux coups de feu ont été tirés pendant la chasse. Événement UNE– frapper un canard dès le premier coup, événement V– coup du deuxième coup, événement ( UNE+ V) - coup du premier ou du deuxième coup ou de deux coups. Donc si deux événements UNE et V sont des événements incompatibles, alors UNE+ V- la survenance d'au moins un de ces événements ou de deux événements.

Exemple 1 Une boîte contient 30 boules de même taille : 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Calculez la probabilité qu'une balle colorée (pas blanche) soit prise sans regarder.

Solution. Supposons que l'événement UNE– « la boule rouge est prise », et l'événement V- "La boule bleue est prise." Ensuite, l'événement est "une balle colorée (pas blanche) est prise". Trouver la probabilité d'un événement UNE:

et événements V:

Événements UNE et V- mutuellement incompatibles, car si une balle est prise, les balles de couleurs différentes ne peuvent pas être prises. On utilise donc l'addition des probabilités :

Le théorème d'addition des probabilités pour plusieurs événements incompatibles. Si les événements constituent l'ensemble complet des événements, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1 :

La somme des probabilités d'événements opposés est également égale à 1 :

Les événements opposés forment un ensemble complet d'événements et la probabilité d'un ensemble complet d'événements est de 1.

Les probabilités d'événements opposés sont généralement indiquées en minuscules. p et q. En particulier,

d'où découlent les formules suivantes pour la probabilité d'événements opposés :

Exemple 2 La cible dans le tableau de bord est divisée en 3 zones. La probabilité qu'un certain tireur tire sur une cible dans la première zone est de 0,15, dans la deuxième zone - 0,23, dans la troisième zone - 0,17. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible et la probabilité que le tireur rate la cible.

Solution : Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible :

Trouvez la probabilité que le tireur rate la cible :

Tâches plus difficiles dans lesquelles vous devez appliquer à la fois l'addition et la multiplication des probabilités - sur la page "Diverses tâches pour l'addition et la multiplication des probabilités" .

Addition de probabilités d'événements mutuellement conjoints

Deux événements aléatoires sont dits conjoints si l'occurrence d'un événement n'empêche pas l'occurrence d'un deuxième événement dans la même observation. Par exemple, lors d'un lancer de dé, l'événement UNE est considéré comme l'occurrence du nombre 4, et l'événement V- en laissant tomber un nombre pair. Puisque le nombre 4 est un nombre pair, les deux événements sont compatibles. En pratique, il existe des tâches pour calculer les probabilités d'occurrence de l'un des événements mutuellement conjoints.

Le théorème d'addition des probabilités pour les événements conjoints. La probabilité que l'un des événements conjoints se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements, à laquelle on soustrait la probabilité d'occurrence commune des deux événements, c'est-à-dire le produit des probabilités. La formule des probabilités d'événements conjoints est la suivante :

Parce que les événements UNE et V compatible, événement UNE+ V se produit si l'un des trois événements possibles se produit : ou UN B. D'après le théorème d'addition des événements incompatibles, on calcule comme suit :

Événement UNE se produit si l'un des deux événements incompatibles se produit : ou UN B. Or, la probabilité d'occurrence d'un événement parmi plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de tous ces événements :

De la même manière:

En substituant les expressions (6) et (7) dans l'expression (5), on obtient la formule de probabilité pour les événements conjoints :

Lors de l'utilisation de la formule (8), il convient de tenir compte du fait que les événements UNE et V Peut être:

• mutuellement indépendants ;
• mutuellement dépendants.

Formule de probabilité pour des événements mutuellement indépendants :

Formule de probabilité pour les événements interdépendants :

Si les événements UNE et V sont incohérents, alors leur coïncidence est un cas impossible et, par conséquent, P(UN B) = 0. La quatrième formule de probabilité pour les événements incompatibles est la suivante :

Exemple 3 En course automobile, lors de la conduite dans la première voiture, la probabilité de gagner, lors de la conduite dans la deuxième voiture. Trouver:

• la probabilité que les deux voitures gagnent ;
• la probabilité qu'au moins une voiture gagne ;

1) La probabilité que la première voiture gagne ne dépend pas du résultat de la deuxième voiture, donc les événements UNE(première voiture gagne) et V(deuxième voiture gagne) - événements indépendants. Trouvez la probabilité que les deux voitures gagnent :

2) Trouvez la probabilité qu'une des deux voitures gagne :

Tâches plus difficiles dans lesquelles vous devez appliquer à la fois l'addition et la multiplication des probabilités - sur la page "Diverses tâches pour l'addition et la multiplication des probabilités" .

Résolvez vous-même le problème de l'addition des probabilités, puis examinez la solution

Exemple 4 Deux pièces sont lancées. Événement UNE- perte des armoiries sur la première pièce. Événement B- perte des armoiries sur la deuxième pièce. Trouver la probabilité d'un événement C = UNE + B .

Multiplication de probabilité

La multiplication des probabilités est utilisée lorsque la probabilité d'un produit logique d'événements doit être calculée.

Dans ce cas, les événements aléatoires doivent être indépendants. Deux événements sont dits indépendants l'un de l'autre si l'occurrence d'un événement n'affecte pas la probabilité d'occurrence du second événement.

Théorème de multiplication de probabilité pour des événements indépendants. La probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants UNE et V est égal au produit des probabilités de ces événements et est calculé par la formule :

Exemple 5 La pièce est lancée trois fois de suite. Trouvez la probabilité que les armoiries tombent les trois fois.

Solution. La probabilité que les armoiries tombent au premier lancer de pièce, la deuxième fois et la troisième fois. Trouvez la probabilité que les armoiries tombent les trois fois :

Résolvez vous-même les problèmes de multiplication des probabilités, puis examinez la solution

Exemple 6 Il y a une boîte avec neuf balles de tennis neuves. Trois balles sont prises pour le jeu, après le jeu elles sont remises. Lors du choix des balles, ils ne font pas de distinction entre les balles jouées et non jouées. Quelle est la probabilité qu'après trois jeux il n'y ait plus de balles non jouées dans la surface ?

Exemple 7 32 lettres de l'alphabet russe sont écrites sur des cartes d'alphabet découpées. Cinq cartes sont tirées au hasard, l'une après l'autre, et placées sur la table dans l'ordre où elles apparaissent. Trouvez la probabilité que les lettres forment le mot "fin".

Exemple 8 D'un jeu complet de cartes (52 feuilles), quatre cartes sont retirées à la fois. Trouvez la probabilité que ces quatre cartes soient de la même couleur.

Exemple 9 Même problème que dans l'exemple 8, mais chaque carte après avoir été piochée est remise dans la pioche.

Tâches plus complexes, dans lesquelles vous devez appliquer à la fois l'addition et la multiplication des probabilités, ainsi que calculer le produit de plusieurs événements, sur la page "Diverses tâches d'addition et de multiplication des probabilités" .

La probabilité qu'au moins un des événements mutuellement indépendants se produise peut être calculée en soustrayant le produit des probabilités d'événements opposés de 1, c'est-à-dire par la formule.

Événements indépendants

Dans l'application pratique des méthodes de prise de décision probabilistes-statistiques, le concept d'indépendance est constamment utilisé. Par exemple, lors de l'application de méthodes statistiques de gestion de la qualité des produits, on parle de mesures indépendantes des valeurs des paramètres contrôlés pour les unités de production incluses dans l'échantillon, de l'indépendance de l'apparition de défauts d'un type par rapport à l'apparition de défauts d'un autre type, etc. L'indépendance des événements aléatoires est comprise dans les modèles probabilistes dans le sens suivant.

Définition 2.Événements UNE et V sont dits indépendants si P(AB) = P(A) P(B). Plusieurs événements UNE, V, AVEC,… sont dits indépendants si la probabilité de leur réalisation conjointe est égale au produit des probabilités de chacun d'eux séparément : R(abc…) = R(UNE)R(V)R(AVEC)…

Cette définition correspond à la notion intuitive d'indépendance : l'occurrence ou la non-occurrence d'un événement ne doit pas affecter l'occurrence ou la non-occurrence d'un autre. Parfois, le rapport R(UN B) = R(UNE) R(V|UNE) = P(B)P(UNE|B), valable P(UNE)P(B) > 0, également appelé théorème de multiplication de probabilité.

Déclaration 1. Laissez les événements UNE et V indépendant. Alors les événements et sont indépendants, les événements et V indépendant, événements UNE et indépendant (voici l'événement ci-contre UNE, et - un événement opposé V).

En effet, il découle de la propriété c) dans (3) que pour les événements AVEC et ré, dont le produit est vide, P(C+ ré) = P(C) + P(ré). Depuis le carrefour UN B et V est vide, mais il y a une union V, ensuite P(AB) + P(B) = P(B). Puisque A et B sont indépendants, alors P(B) = P(B) - P(AB) = P(B) - P(A)P(B) = P(B)(1 - P(A)). Notons maintenant que les relations (1) et (2) impliquent que P() = 1 - P(A). Veux dire, P(B) = P()P(B).

Dérivation d'égalité P(A) = P(A)P() ne diffère du précédent que par le remplacement partout UNE sur le V, une V sur le UNE.

Pour prouver son indépendance et Profitons du fait que les événements AB, B, A, n'ont pas d'éléments communs deux à deux, mais au total ils constituent tout l'espace des événements élémentaires. D'où, R(AB) + P(B) + P(A) + P() = 1. En utilisant les relations ci-dessus, on obtient que P(B)= 1 -R(AB) - P(B)( 1 - P(A)) - P(A)( 1 - P(B))=( 1 – PENNSYLVANIE))( 1 – P(B)) = P()P(), qui devait être prouvé.

Exemple 3 Considérez l'expérience de lancer un dé avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 écrits sur les côtés. Nous supposons que tous les visages ont la même chance d'être au sommet. Construisons l'espace de probabilité correspondant. Montrons que les événements « au-dessus est un visage avec un nombre pair » et « au-dessus est un visage avec un nombre divisible par 3 » sont indépendants.

Analyse d'un exemple. L'espace des résultats élémentaires est composé de 6 éléments : « au-dessus – face avec 1 », « au-dessus – face avec 2 »,…, « au-dessus – face avec 6 ». L'événement "en haut - face avec un nombre pair" se compose de trois événements élémentaires - lorsque 2, 4 ou 6 est en haut. L'événement "en haut - face avec un nombre divisible par 3" se compose de deux événements élémentaires - lorsque 3 ou 6 est en haut, toutes les faces ont la même chance d'être en haut, alors tous les événements élémentaires doivent avoir la même probabilité. Puisqu'il y a 6 événements élémentaires au total, chacun d'eux a une probabilité de 1/6. Par définition 1, l'événement « en haut est un visage avec un nombre pair » a une probabilité de 1/2, et l'événement « en haut est un visage avec un nombre divisible par 3 » a une probabilité de 1/3. Le produit de ces événements consiste en un événement élémentaire "au-dessus - du bord avec 6", et a donc une probabilité de 1/6. Puisque 1/6 = ½ x 1/3, les événements en question sont indépendants selon la définition de l'indépendance.