Príkladmi sú systémy exponenciálnych nerovností. Exponenciálne rovnice. Zložitejšie prípady
V tejto lekcii sa budeme zaoberať riešením zložitejších exponenciálnych rovníc, pripomenieme si hlavné teoretické ustanovenia týkajúce sa exponenciálnej funkcie.
1. Definícia a vlastnosti exponenciálnej funkcie, technika riešenia najjednoduchších exponenciálnych rovníc
Pripomeňme si definíciu a základné vlastnosti exponenciálnej funkcie. Práve na vlastnostiach je založené riešenie všetkých exponenciálnych rovníc a nerovníc.
Exponenciálna funkcia- je funkciou tvaru, kde základ stupňa a tu x je nezávislá premenná, argument; y - závislá premenná, funkcia.
Ryža. 1. Graf exponenciálnej funkcie
Graf ukazuje rastúce a klesajúce exponenty, ktoré ilustrujú exponenciálnu funkciu, keď je základňa väčšia ako jedna a menšia ako jedna, ale väčšia ako nula.
Obe krivky prechádzajú bodom (0; 1)
Vlastnosti exponenciálnej funkcie:
Doména: ;
Rozsah hodnôt:;
Funkcia je monotónna, ako sa zvyšuje, tak ako klesá.
Monotónna funkcia preberá každú zo svojich hodnôt pre jednu hodnotu argumentu.
Keď sa argument zväčší z mínus na plus nekonečno, funkcia sa zvýši z nuly nezahrnuté do plus nekonečna. Naopak, keď sa argument zvýši z mínus do plus nekonečna, funkcia sa zníži z nekonečna na nulu, nie vrátane.
2. Riešenie typických exponenciálnych rovníc
Pripomeňme si, ako vyriešiť najjednoduchšie exponenciálne rovnice. Ich riešenie je založené na monotónnosti exponenciálnej funkcie. Takmer všetky zložité exponenciálne rovnice sú redukované na takéto rovnice.
Rovnosť exponentov na rovnakých základoch je spôsobená vlastnosťou exponenciálnej funkcie, konkrétne jej monotónnosťou.
Spôsob riešenia:
Vyrovnajte základy stupňov;
Rovnaké exponenty.
Prejdime k zvažovaniu zložitejších exponenciálnych rovníc, naším cieľom je zredukovať každú z nich na najjednoduchšie.
Oslobodíme sa od koreňa na ľavej strane a privedieme stupne na rovnakú základňu:
Aby sa zložitá exponenciálna rovnica zredukovala na najjednoduchšiu, často sa používajú premenné zmeny.
Využime vlastnosť stupňa:
Predstavujeme náhradu. Nechaj teda 
Výslednú rovnicu vynásobíme dvoma a všetky členy prenesieme na ľavú stranu:
Prvý koreň nevyhovuje rozsahu hodnôt y, preto ho zahodíme. Dostaneme:
Prenesme stupne na rovnaký ukazovateľ:
Predstavujeme náhradu:
Nechaj teda 
... Pri takejto zmene je zrejmé, že y nadobúda striktne kladné hodnoty. Dostaneme:
Vieme, ako vyriešiť takéto kvadratické rovnice, napíšeme odpoveď:
Aby ste sa uistili, že korene sú nájdené správne, môžete skontrolovať podľa Vietovej vety, teda nájsť súčet koreňov a ich súčin a skontrolovať pomocou zodpovedajúcich koeficientov rovnice.
Dostaneme:
3. Technika riešenia homogénnych exponenciálnych rovníc druhého stupňa
Pozrime sa na nasledujúci dôležitý typ exponenciálnych rovníc:
Rovnice tohto typu sa nazývajú homogénne druhého stupňa vzhľadom na funkcie f a g. Na jeho ľavej strane je štvorcová trojčlenka vzhľadom na f s parametrom g alebo štvorcová trojčlenka vzhľadom na g s parametrom f.
Spôsob riešenia:
Táto rovnica môže byť vyriešená ako kvadratická, ale je jednoduchšie to urobiť inak. Je potrebné zvážiť dva prípady:
V prvom prípade dostaneme
V druhom prípade máme právo deliť najvyšším stupňom a dostaneme:
Mali by sme zaviesť zmenu premenných, dostaneme kvadratickú rovnicu pre y:
Všimnite si, že funkcie f a g môžu byť ľubovoľné, ale nás zaujíma prípad, keď ide o exponenciálne funkcie.
4. Príklady riešenia homogénnych rovníc
Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu rovnice:
Keďže exponenciálne funkcie nadobúdajú striktne kladné hodnoty, máme právo rovnicu okamžite deliť bez toho, aby sme brali do úvahy prípad, keď:
Dostaneme:
Predstavujeme náhradu: 
(podľa vlastností exponenciálnej funkcie)
Dostali sme kvadratickú rovnicu:
Určte korene podľa Vietovej vety:
Prvý koreň nespĺňa rozsah hodnôt y, zahodíme ho, dostaneme:
Využijeme vlastnosti stupňa a zredukujeme všetky stupne na jednoduché základy:
Je ľahké vidieť funkcie f a g:
Keďže exponenciálne funkcie nadobúdajú striktne kladné hodnoty, máme právo rovnicu okamžite deliť bez toho, aby sme brali do úvahy prípad kedy.
a x = b je najjednoduchšia exponenciálna rovnica. V ňom a väčší ako nula a a nerovná sa jeden.
Riešenie exponenciálnych rovníc
Z vlastností exponenciálnej funkcie vieme, že jej rozsah hodnôt je obmedzený na kladné reálne čísla. Potom, ak b = 0, rovnica nemá riešenia. Rovnaká situácia nastáva v rovnici, kde b
Teraz predpokladáme, že b> 0. Ak je v exponenciálnej funkcii základ a je väčšia ako jedna, potom sa funkcia bude zvyšovať v celej oblasti definície. Ak je v exponenciálnej funkcii pre základ a nasledujúca podmienka je splnená 0 Na základe toho a použitím koreňovej vety zistíme, že rovnica a x = b má jeden koreň, pre b> 0 a kladný a nerovná sa jednej. Aby ste ho našli, musíte reprezentovať b v tvare b = a c. Zvážte nasledujúci príklad: Vyriešte rovnicu 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Predstavme si 25 ako 5 2, dostaneme: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2. Alebo aký je ekvivalent: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Výslednú kvadratickú rovnicu riešime ktorýmkoľvek zo známych spôsobov. Dostaneme dva korene x = 3 a x = -1. Odpoveď: 3; -1. Vyriešte rovnicu 4 x - 5 * 2 x + 4 = 0. Nahraďte t = 2 x a získajte nasledujúcu kvadratickú rovnicu: t2 - 5 * t + 4 = 0. Teraz vyriešte rovnice 2 x = 1 a 2 x = 4. Odpoveď: 0; 2. Aj riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovníc je založené na vlastnostiach rastúcich a klesajúcich funkcií. Ak je v exponenciálnej funkcii základ a väčší ako jedna, potom funkcia bude narastať v celom definičnom obore. Ak je v exponenciálnej funkcii pre základ a je splnená nasledujúca podmienka 0 Zvážte príklad: vyriešte nerovnosť (0,5) (7 - 3 * x)< 4. Všimnite si, že 4 = (0,5) 2. Potom má nerovnosť tvar (0,5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Získame: 7 - 3 * x> -2. Preto: x<3. Odpoveď: x<3. Ak by v nerovnosti bolo základov viac ako jedna, potom by pri odstraňovaní základne nebolo potrebné znamienko nerovnosti meniť. Exponenciálne rovnice a nerovnice sú tie rovnice a nerovnice, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente. Riešenie exponenciálnych rovníc sa často redukuje na riešenie rovnice a x = a b, kde a> 0 a ≠ 1, x je neznáma. Táto rovnica má jedinečný koreň x = b, pretože platí nasledujúca veta: Veta. Ak a> 0, a ≠ 1 a a x 1 = a x 2, potom x 1 = x 2. Doložme uvažované tvrdenie. Predpokladajme, že neplatí rovnosť x 1 = x 2, t.j. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, potom exponenciálna funkcia y = ax rastie, a preto nerovnosť a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. V oboch prípadoch sme dostali rozpor s podmienkou a x 1 = a x 2. Uvažujme o niekoľkých úlohách. Vyriešte rovnicu 4 ∙ 2 x = 1. Riešenie. Rovnicu zapíšeme v tvare 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0, odkiaľ dostaneme x + 2 = 0, t.j. x = -2. Odpoveď. x = -2. Vyriešte rovnicu 2 3x ∙ 3 x = 576. Riešenie. Keďže 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, rovnicu môžeme zapísať v tvare 8 x ∙ 3 x = 24 2 alebo v tvare 24 x = 24 2. Takže dostaneme x = 2. Odpoveď. x = 2. Vyriešte rovnicu 3 x + 1 - 2 ∙ 3 x - 2 = 25. Riešenie. Vybratím spoločného činiteľa 3 x - 2 zo zátvoriek vľavo dostaneme 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25, pričom 3 x - 2 = 1, t.j. x - 2 = 0, x = 2. Odpoveď. x = 2. Vyriešte rovnicu 3x = 7x. Riešenie. Keďže 7 x ≠ 0, rovnicu možno zapísať v tvare 3 x / 7 x = 1, odkiaľ (3/7) x = 1, x = 0. Odpoveď. x = 0. Vyriešte rovnicu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0. Riešenie. Nahradením 3 x = a sa táto rovnica zredukuje na kvadratickú rovnicu a 2 - 4a - 45 = 0. Pri riešení tejto rovnice nájdeme jej korene: a 1 = 9, a 2 = -5, odkiaľ 3 x = 9, 3 x = -5. Rovnica 3 x = 9 má koreň z 2 a rovnica 3 x = -5 nemá korene, pretože exponenciálna funkcia nemôže nadobúdať záporné hodnoty. Odpoveď. x = 2. Riešenie exponenciálnych nerovností sa často redukuje na riešenie nerovností a x> a b alebo a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции. Uvažujme o niektorých úlohách. Vyriešte 3 x nerovnosť< 81. Riešenie. Nerovnosť zapíšeme v tvare 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, potom funkcia y = 3 x je rastúca. Preto pre x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 . Teda pre x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство Odpoveď. NS< 4.
Vyriešte nerovnosť 16 x +4 x - 2> 0. Riešenie. Označíme 4 x = t, potom dostaneme štvorcovú nerovnosť t2 + t - 2> 0. Táto nerovnosť platí pre t< -2 и при t > 1. Keďže t = 4 x, dostaneme dve nerovnosti 4 x< -2, 4 х > 1. Prvá nerovnosť nemá riešenia, pretože 4 x> 0 pre všetky x ∈ R. Druhú nerovnosť zapíšeme v tvare 4 x> 4 0, odkiaľ x> 0. Odpoveď. x> 0. Vyriešte rovnicu (1/3) x = x - 2/3 graficky. Riešenie. 1) Zostrojme grafy funkcií y = (1/3) x a y = x - 2/3. 2) Na základe nášho obrázku môžeme konštatovať, že grafy uvažovaných funkcií sa pretínajú v bode s os x ≈ 1. Verifikácia dokazuje, že x = 1 - koreň tejto rovnice: (1/3) 1 = 1/3 a 1 - 2/3 = 1/3. Inými slovami, našli sme jeden z koreňov rovnice. 3) Nájdime iné korene alebo dokážme, že žiadne neexistujú. Funkcia (1/3) x je klesajúca a funkcia y = x - 2/3 je rastúca. Preto pre x> 1 sú hodnoty prvej funkcie menšie ako 1/3 a druhej viac ako 1/3; pri x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 a x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1. Odpoveď. x = 1. Všimnite si, že z riešenia tejto úlohy najmä vyplýva, že pre x platí nerovnosť (1/3) x> x - 2/3< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1. stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj. Dodatočné materiály Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 11. ročník Definícia. Rovnice v tvare: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, kde $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ sa nazývajú exponenciálne rovnice. Keď si pamätáme vety, ktoré sme študovali v téme „Exponenciálna funkcia“, môžeme zaviesť novú vetu: B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $. C) Pôvodná rovnica je ekvivalentná rovnici: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $. Príklad. Príklad. Dajme dohromady kontrolný zoznam spôsobov riešenia exponenciálnych rovníc: Príklad. Veta. Ak $ a> 1 $, potom exponenciálna nerovnosť $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ je ekvivalentná nerovnosti $ f (x)> g (x) $. Príklad. B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) V našej rovnici je základ na stupni menšom ako 1, potom pri výmene nerovnosti za ekvivalentnú treba zmeniť znamienko. C) Naša nerovnosť je ekvivalentná nerovnosti:
Potom je zrejmé, že s bude riešením rovnice a x = a c.
Túto rovnicu vyriešime ktorýmkoľvek zo známych spôsobov. Dostaneme korene t1 = 1 t2 = 4Riešenie exponenciálnych nerovností
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Lekcia a prezentácia na tému: "Exponenciálne rovnice a exponenciálne nerovnice"
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Interaktívna príručka pre ročníky 9-11 „Trigonometria“
Interaktívna príručka pre ročníky 10-11 "Logaritmy"Stanovenie exponenciálnych rovníc
Chlapci, študovali sme exponenciálne funkcie, naučili sme sa ich vlastnosti a zostavili grafy, analyzovali príklady rovníc, v ktorých sme sa s exponenciálnymi funkciami stretli. Dnes budeme študovať exponenciálne rovnice a nerovnice.
Veta. Exponenciálna rovnica $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, kde $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, je ekvivalentná rovnici $ f (x) = g (x ) $.Príklady exponenciálnych rovníc
Príklad.
Riešte rovnice:
a) 3 $ ^ (3x-3) = 27 $.
b) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
c) 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Riešenie.
a) Dobre vieme, že 27 $ = 3 ^ 3 $.
Prepíšme našu rovnicu: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Použitím vyššie uvedenej vety dostaneme, že naša rovnica sa zredukuje na rovnicu $ 3x-3 = 3 $, vyriešením tejto rovnice dostaneme $ x = 2 $.
Odpoveď: $ x = 2 $.
Potom je možné našu rovnicu prepísať: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0,2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0,2 = $ 0,2.
$ x = 0 $.
Odpoveď: $ x = 0 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ a $ x_2 = -3 $.
Odpoveď: $ x_1 = 6 $ a $ x_2 = -3 $.
Vyriešte rovnicu: $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0,0625)) ^ (x + 1) $.
Riešenie:
Postupne vykonáme sériu akcií a privedieme obe strany našej rovnice na rovnaké základy.
Vykonajte sériu operácií na ľavej strane:
1) $ ((0,25)) ^ (x-0,5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0,5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0,25)) ^ (x-0,5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0, 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0,5 + 0,5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1) (4))) ^ x $.
Prejdime na pravú stranu:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 $ * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Pôvodná rovnica je ekvivalentná rovnici:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2 x $.
$ x = 0 $.
Odpoveď: $ x = 0 $.
Vyriešte rovnicu: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Riešenie:
Prepíšme našu rovnicu: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Urobme zmenu premenných, nech $ a = 3 ^ x $.
V nových premenných bude mať rovnica tvar: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ a $ a_2 = 3 $.
Urobme opačnú zmenu premenných: $ 3 ^ x = -12 $ a $ 3 ^ x = 3 $.
V minulej lekcii sme sa naučili, že exponenciálne výrazy môžu nadobúdať iba kladné hodnoty, zapamätajte si graf. Prvá rovnica teda nemá riešenia, druhá rovnica má jedno riešenie: $ x = 1 $.
Odpoveď: $ x = 1 $.
1. Grafická metóda. Predstavujeme obe strany rovnice vo forme funkcií a zostavujeme ich grafy, nájdeme priesečníky grafov. (Túto metódu sme použili v minulej lekcii).
2. Princíp rovnosti ukazovateľov. Princíp je založený na skutočnosti, že dva výrazy s rovnakými základmi sú rovnaké práve vtedy, ak sú stupne (ukazovatele) týchto základov rovnaké. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Variabilná metóda výmeny. Táto metóda by sa mala použiť, ak rovnica pri zmene premenných zjednodušuje svoj tvar a je oveľa jednoduchšie riešiť.
Vyriešte sústavu rovníc: $ \ begin (prípady) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ koniec (prípady) $.
Riešenie.
Zvážte obe rovnice systému oddelene:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
3 $ ^ (3 roky) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
3 $ ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3 roky = 0 $.
Zvážte druhú rovnicu:
4 $ ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
2 $ ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Použime metódu zmeny premenných, nech $ y = 2 ^ (x + y) $.
Potom bude mať rovnica tvar:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ a $ y_2 = -3 $.
Ak prejdeme k počiatočným premenným, z prvej rovnice dostaneme $ x + y = 2 $. Druhá rovnica nemá riešenia. Potom je náš počiatočný systém rovníc ekvivalentný systému: $ \ begin (prípady) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ koniec (prípady) $.
Odčítaním druhého od prvej rovnice dostaneme: $ \ begin (prípady) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ koniec (prípady) $.
$ \ begin (prípady) y = -1, \\ x = 3. \ koniec (prípady) $.
Odpoveď: $ (3; -1) $.Exponenciálne nerovnosti
Prejdime k nerovnostiam. Pri riešení nerovností je potrebné dbať na základ stupňa. Pri riešení nerovností sú možné dva scenáre vývoja udalostí.
Ak 0 dolárov
Vyriešte nerovnosti:
a) 3 $ ^ (2x + 3) > 81 $.
b) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) c) $ (0,3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0,3) ^ (4x + 15) $ ...
Riešenie.
a) 3 $ ^ (2x + 3) > 81 $.
3 $ ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Naša nerovnosť je ekvivalentná nerovnosti:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.
$ 2x-4> 2 $.
$ x > 3 $.
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Použime metódu intervalového riešenia:
Odpoveď: $ (- ∞; -5] U)
