Jednoducho povedané, ide o zeleninu varenú vo vode podľa špeciálnej receptúry. Zvážim dve počiatočné zložky (zeleninový šalát a vodu) a konečný výsledok - boršč. Geometricky to môže byť znázornené ako obdĺžnik, v ktorom jedna strana označuje šalát a druhá strana vodu. Súčet týchto dvoch strán bude označovať boršč. Uhlopriečka a plocha takéhoto obdĺžnika „boršč“ sú čisto matematické pojmy a nikdy sa nepoužívajú v receptoch na boršč.

Ako sa z matematického hľadiska zmení šalát a voda na boršč? Ako sa môže súčet dvoch segmentov zmeniť na trigonometriu? Aby sme to pochopili, potrebujeme funkcie lineárnych uhlov.

V učebniciach matematiky nenájdete nič o lineárnych uhlových funkciách. Ale bez nich nemôže existovať matematika. Zákony matematiky, rovnako ako zákony prírody, fungujú, či už vieme, že existujú alebo nie.

Lineárne uhlové funkcie sú zákony sčítania. Pozrite sa, ako sa algebra mení na geometriu a geometria na trigonometriu.

Je možné sa zaobísť bez lineárnych uhlových funkcií? Môžete, pretože matematici sa zaobídu aj bez nich. Trik matematikov spočíva v tom, že nám vždy hovoria len o tých problémoch, ktoré sami vedia vyriešiť, a nikdy nám nehovoria o problémoch, ktoré nevedia vyriešiť. Pozri. Ak poznáme výsledok sčítania a jedného člena, pomocou odčítania nájdeme druhý člen. Všetko. Iné problémy nepoznáme a nie sme schopní ich riešiť. Čo robiť, ak poznáme len výsledok sčítania a nepoznáme oba pojmy? V tomto prípade je potrebné výsledok sčítania rozložiť na dva členy pomocou lineárnych uhlových funkcií. Ďalej si sami vyberáme, čo môže byť jeden člen, a lineárne uhlové funkcie ukazujú, aký by mal byť druhý člen, aby bol výsledok sčítania presne taký, aký potrebujeme. Takýchto dvojíc výrazov môže byť nekonečné množstvo. V bežnom živote nám to ide veľmi dobre bez rozkladu súčtu, stačí nám odčítanie. Ale pri vedeckých štúdiách prírodných zákonov môže byť rozšírenie sumy na pojmy veľmi užitočné.

Ďalší zákon sčítania, o ktorom matematici neradi hovoria (ďalší ich trik), vyžaduje, aby výrazy mali rovnakú mernú jednotku. Pre šalát, vodu a boršč to môžu byť jednotky hmotnosti, objemu, ceny alebo mernej jednotky.

Obrázok ukazuje dve úrovne rozdielu pre matematiku. Prvou úrovňou sú rozdiely v poli čísel, ktoré sú uvedené a, b, c. Toto robia matematici. Druhou úrovňou sú rozdiely v oblasti meracích jednotiek, ktoré sú uvedené v hranatých zátvorkách a sú označené písmenom U. Toto robia fyzici. Môžeme chápať tretiu rovinu – rozdiely v rozsahu popisovaných objektov. Rôzne objekty môžu mať rovnaký počet rovnakých merných jednotiek. Aké dôležité to je, môžeme vidieť na príklade borščovej trigonometrie. Ak k rovnakému zápisu pre merné jednotky rôznych objektov pridáme dolné indexy, môžeme presne povedať, aká matematická veličina opisuje konkrétny objekt a ako sa mení v čase alebo v súvislosti s našimi činmi. list W Vodu označím písmenom SŠalát označím písmenom B- boršč. Tu je návod, ako by vyzerali funkcie lineárneho uhla pre boršč.

Ak zoberieme časť vody a časť šalátu, razom sa premenia na jednu porciu boršču. Tu vám navrhujem, aby ste si trochu oddýchli od boršču a zaspomínali si na svoje vzdialené detstvo. Pamätáte si, ako nás učili spájať zajačiky a kačice? Bolo potrebné zistiť, koľko zvierat sa ukáže. Čo nás potom naučili robiť? Naučili nás oddeľovať jednotky od čísel a sčítať čísla. Áno, k akémukoľvek inému číslu je možné pridať akékoľvek číslo. Toto je priama cesta k autizmu modernej matematiky – nerozumieme čomu, nie je jasné prečo a veľmi zle chápeme, ako to súvisí s realitou, pretože matematici fungujú len na jednej úrovni. Bude správnejšie naučiť sa prechádzať z jednej meracej jednotky do druhej.

A zajačiky, kačice a malé zvieratká sa dajú spočítať na kusy. Jedna spoločná jednotka merania pre rôzne objekty nám umožňuje ich sčítanie. Toto je detská verzia problému. Pozrime sa na podobný problém pre dospelých. Čo získate, keď pridáte zajačikov a peniaze? Tu sú dve možné riešenia.

Prvá možnosť. Určíme trhovú hodnotu zajačikov a pripočítame ju k dostupnej hotovosti. Dostali sme celkovú hodnotu nášho bohatstva v peniazoch.

Druhá možnosť. K počtu bankoviek, ktoré máme, môžete pridať počet zajačikov. Množstvo hnuteľného majetku dostaneme na kusy.

Ako vidíte, rovnaký zákon sčítania vám umožňuje získať rôzne výsledky. Všetko závisí od toho, čo presne chceme vedieť.

Ale späť k nášmu boršču. Teraz môžeme vidieť, čo sa stane pre rôzne hodnoty uhla funkcií lineárneho uhla.

Uhol je nulový. Máme šalát, ale bez vody. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je tiež nulové. To vôbec neznamená, že nulový boršč sa rovná nule vody. Nulový boršč môže byť aj pri nulovom šaláte (pravom uhle).

Pre mňa osobne je to hlavný matematický dôkaz toho, že . Nula po pridaní číslo nezmení. Je to preto, že samotné sčítanie je nemožné, ak existuje iba jeden výraz a druhý výraz chýba. Môžete sa k tomu vzťahovať ako chcete, ale pamätajte – všetky matematické operácie s nulou vymysleli samotní matematici, takže zahoďte logiku a hlúpo napchajte definície vymyslené matematikmi: „delenie nulou je nemožné“, „akékoľvek číslo vynásobené nulou“ rovná sa nule“ , „za bodom nula“ a iné nezmysly. Stačí si raz zapamätať, že nula nie je číslo, a už nikdy nebudete mať otázku, či je nula prirodzené číslo alebo nie, pretože takáto otázka vo všeobecnosti stráca zmysel: ako možno považovať číslo za číslo, ktoré nie je číslo? . Je to ako pýtať sa, akej farbe pripísať neviditeľnú farbu. Pridanie nuly k číslu je ako maľovanie farbou, ktorá neexistuje. Zamávali suchým štetcom a všetkým povedali, že „máme natreté“. Ale to som trochu odbočil.

Uhol je väčší ako nula, ale menší ako štyridsaťpäť stupňov. Máme veľa šalátu, ale málo vody. V dôsledku toho získame hustý boršč.

Uhol je štyridsaťpäť stupňov. Máme rovnaké množstvo vody a šalátu. Toto je perfektný boršč (nech mi kuchárky odpustia, je to len matematika).

Uhol je väčší ako štyridsaťpäť stupňov, ale menší ako deväťdesiat stupňov. Máme veľa vody a málo šalátu. Získajte tekutý boršč.

Pravý uhol. Máme vodu. Na šalát ostali len spomienky, keďže pokračujeme v meraní uhla od čiary, ktorá kedysi šalát označovala. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je nulové. V takom prípade vydržte a pite vodu, kým je k dispozícii)))

Tu. Niečo také. Môžem tu rozprávať ďalšie príbehy, ktoré tu budú viac než vhodné.

Dvaja priatelia mali svoje podiely v spoločnom obchode. Po vražde jedného z nich prešlo všetko k druhému.

Vznik matematiky na našej planéte.

Všetky tieto príbehy sú rozprávané jazykom matematiky pomocou lineárnych uhlových funkcií. Inokedy vám ukážem skutočné miesto týchto funkcií v štruktúre matematiky. Medzitým sa vráťme k trigonometrii boršču a zvážme projekcie.

Sobota 26. októbra 2019

Pozrel som si zaujímavé video o Grandiho rad Jedna mínus jedna plus jedna mínus jedna - Numberphile. Matematici klamú. Vo svojich úvahách nevykonali test rovnosti.

Toto rezonuje s mojou úvahou o .

Pozrime sa bližšie na znaky toho, že nás matematici podvádzajú. Hneď na začiatku úvahy matematici hovoria, že súčet postupnosti ZÁVISÍ od toho, či je počet prvkov v nej párny alebo nie. Toto je OBJEKTÍVNE STANOVENÝ FAKT. Čo bude ďalej?

Potom matematici odčítajú postupnosť od jednoty. K čomu to vedie? To vedie k zmene počtu prvkov v postupnosti – párne číslo sa zmení na nepárne, nepárne na párne. Do postupnosti sme totiž pridali jeden prvok rovný jednej. Napriek všetkej vonkajšej podobnosti sa postupnosť pred transformáciou nerovná postupnosti po transformácii. Aj keď hovoríme o nekonečnej postupnosti, musíme si uvedomiť, že nekonečná postupnosť s nepárnym počtom prvkov sa nerovná nekonečnej postupnosti s párnym počtom prvkov.

Vložením znamienka rovnosti medzi dve postupnosti odlišné v počte prvkov matematici tvrdia, že súčet postupnosti NEZÁVISÍ od počtu prvkov v postupnosti, čo je v rozpore s OBJEKTÍVNE STANOVENÝM FAKTOM. Ďalšie úvahy o súčte nekonečnej postupnosti sú nesprávne, pretože sú založené na falošnej rovnosti.

Ak vidíte, že matematici v priebehu dôkazov umiestňujú zátvorky, preusporiadavajú prvky matematického výrazu, niečo pridávajú alebo uberajú, buďte veľmi opatrní, pravdepodobne sa vás snažia oklamať. Podobne ako zaklínači kariet, aj matematici odvádzajú vašu pozornosť rôznymi manipuláciami s výrazom, aby vám nakoniec poskytli falošný výsledok. Ak nemôžete zopakovať kartový trik bez toho, aby ste poznali tajomstvo podvádzania, potom je v matematike všetko oveľa jednoduchšie: o podvádzaní nemáte ani potuchy, ale opakovanie všetkých manipulácií s matematickým výrazom vám umožní presvedčiť ostatných o tom, správnosť výsledku, ako keď vás presvedčili.

Otázka z publika: A nekonečno (ako počet prvkov v postupnosti S), je párne alebo nepárne? Ako môžete zmeniť paritu niečoho, čo nemá paritu?

Nekonečno pre matematikov je ako Kráľovstvo nebeské pre kňazov - nikto tam nikdy nebol, ale každý presne vie, ako tam všetko funguje))) Súhlasím, po smrti vám bude absolútne ľahostajné, či ste prežili párny alebo nepárny počet dní , ale ... Pridaním jediného dňa na začiatku vášho života dostaneme úplne inú osobu: jeho priezvisko, meno a priezvisko sú úplne rovnaké, len dátum narodenia je úplne iný - narodil sa ako jeden deň pred vami.

A teraz k veci))) Predpokladajme, že konečná postupnosť, ktorá má paritu, túto paritu stratí, keď ide do nekonečna. Potom musí každý konečný segment nekonečnej postupnosti stratiť paritu. Toto nepozorujeme. To, že nevieme s istotou povedať, či je počet prvkov v nekonečnej postupnosti párny alebo nepárny, vôbec neznamená, že parita zmizla. Parita, ak existuje, nemôže zmiznúť v nekonečne bez stopy, ako v obale ostrejšej karty. Pre tento prípad existuje veľmi dobrá analógia.

Spýtali ste sa niekedy kukučky sediacej v hodinách, ktorým smerom sa otáča hodinová ručička? Pre ňu sa šípka otáča opačným smerom, ako nazývame "v smere hodinových ručičiek". Môže to znieť paradoxne, ale smer otáčania závisí výlučne od toho, z ktorej strany rotáciu pozorujeme. A tak máme jedno koleso, ktoré sa otáča. Nevieme povedať, ktorým smerom rotácia prebieha, keďže ju môžeme pozorovať z jednej strany roviny rotácie aj z druhej. O tom, že dochádza k rotácii, môžeme len dosvedčiť. Úplná analógia s paritou nekonečnej postupnosti S.

Teraz pridajme druhé rotujúce koleso, ktorého rovina rotácie je rovnobežná s rovinou rotácie prvého rotujúceho kolesa. Stále nevieme presne povedať, ktorým smerom sa tieto kolesá otáčajú, ale s absolútnou istotou vieme povedať, či sa obe kolesá otáčajú rovnakým smerom alebo opačným smerom. Porovnanie dvoch nekonečných sekvencií S a 1-S, pomocou matematiky som ukázal, že tieto postupnosti majú rôznu paritu a dávať medzi ne znamienko rovnosti je chyba. Osobne verím v matematiku, neverím matematikom))) Mimochodom, aby sme úplne pochopili geometriu transformácií nekonečných postupností, je potrebné zaviesť pojem "simultánnosť". Toto bude potrebné nakresliť.

Streda 7. augusta 2019

Na záver rozhovoru o , musíme zvážiť nekonečnú množinu. Z toho vyplýva, že pojem „nekonečno“ pôsobí na matematikov ako boa constrictor na králika. Chvejúca sa hrôza z nekonečna pripravuje matematikov o zdravý rozum. Tu je príklad:

Pôvodný zdroj sa nachádza. Alfa označuje reálne číslo. Znamienko rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch znamená, že ak k nekonečnu pridáte číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, výsledkom bude rovnaké nekonečno. Ak vezmeme ako príklad nekonečnú množinu prirodzených čísel, uvažované príklady možno znázorniť takto:

Aby matematici vizuálne dokázali svoj prípad, prišli s mnohými rôznymi metódami. Osobne sa na všetky tieto metódy pozerám ako na tance šamanov s tamburínami. V podstate všetci prídu na to, že buď nie sú niektoré izby obsadené a usadia sa v nich noví hostia, alebo časť návštevníkov vyhodí na chodbu, aby uvoľnili miesto pre hostí (veľmi ľudsky). Svoj pohľad na takéto rozhodnutia som prezentovala formou fantastického príbehu o Blondínke. Na čom je založená moja úvaha? Presun nekonečného počtu návštevníkov trvá nekonečne dlho. Po tom, ako uvoľníme prvú hosťovskú izbu, bude vždy jeden z návštevníkov chodiť po chodbe zo svojej izby do ďalšej až do konca času. Časový faktor sa samozrejme dá hlúpo ignorovať, ale toto už bude z kategórie „zákon nie je písaný pre hlupákov“. Všetko závisí od toho, čo robíme: prispôsobujeme realitu matematickým teóriám alebo naopak.

Čo je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, ktorý má vždy ľubovoľný počet voľných miest, bez ohľadu na to, koľko izieb je obsadených. Ak sú všetky izby v nekonečnej chodbe „pre návštevy“ obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s izbami pre „hostí“. Takýchto chodieb bude nekonečne veľa. Zároveň má „nekonečný hotel“ nekonečný počet poschodí v nekonečnom množstve budov na nekonečnom počte planét v nekonečnom množstve vesmírov vytvorených nekonečným počtom Bohov. Na druhej strane matematici sa nedokážu vzdialiť od banálnych každodenných problémov: Boh-Alah-Budha je vždy len jeden, hotel je jeden, chodba je len jedna. Matematici sa teda pokúšajú žonglovať s poradovými číslami hotelových izieb a presviedčajú nás, že je možné „strčiť do nešťastia“.

Logiku môjho uvažovania vám predvediem na príklade nekonečnej množiny prirodzených čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: koľko množín prirodzených čísel existuje - jedna alebo veľa? Na túto otázku neexistuje správna odpoveď, keďže sme sami vymysleli čísla, v prírode žiadne čísla nie sú. Áno, príroda vie perfektne počítať, ale na to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú známe. Ako si príroda myslí, to vám poviem inokedy. Keďže sme vymysleli čísla, sami rozhodneme, koľko množín prirodzených čísel existuje. Zvážte obe možnosti, ako sa na skutočného vedca patrí.

Možnosť jedna. „Dajme nám“ jednu množinu prirodzených čísel, ktorá pokojne leží na poličke. Berieme túto sadu z police. To je všetko, na poličke nezostali žiadne ďalšie prirodzené čísla a nie je ich ani kde vziať. Do tejto sady nemôžeme pridať jeden, pretože ho už máme. Čo ak naozaj chcete? Žiaden problém. Môžeme zobrať jednotku z už odobratej sady a vrátiť ju do police. Potom môžeme z police vybrať jednotku a pridať ju k tomu, čo nám zostalo. Výsledkom je, že opäť dostaneme nekonečnú množinu prirodzených čísel. Všetky naše manipulácie môžete napísať takto:

Zapísal som operácie v algebraickom zápise a zápise teórie množín s podrobným zoznamom prvkov množiny. Dolný index naznačuje, že máme jednu a jedinú množinu prirodzených čísel. Ukazuje sa, že množina prirodzených čísel zostane nezmenená iba vtedy, ak sa od nej jedno odčíta a rovnaké sa pridá.

Možnosť dva. Na poličke máme veľa rôznych nekonečných množín prirodzených čísel. Zdôrazňujem – INÉ, napriek tomu, že sú prakticky na nerozoznanie. Berieme jednu z týchto sád. Potom vezmeme jedno z inej množiny prirodzených čísel a pridáme ho k množine, ktorú sme už zobrali. Môžeme dokonca sčítať dve sady prirodzených čísel. Tu je to, čo dostaneme:

Dolné indexy „jeden“ a „dva“ označujú, že tieto prvky patrili do rôznych súborov. Áno, ak pridáte jednu do nekonečnej množiny, výsledkom bude tiež nekonečná množina, ale nebude rovnaká ako pôvodná množina. Ak sa k jednej nekonečnej množine pridá ďalšia nekonečná množina, výsledkom je nová nekonečná množina pozostávajúca z prvkov prvých dvoch množín.

Množina prirodzených čísel sa používa na počítanie rovnako ako pravítko na meranie. Teraz si predstavte, že ste pridali jeden centimeter na pravítko. Toto už bude iný riadok, ktorý sa nebude rovnať pôvodnému.

Môžete prijať alebo neprijať moje odôvodnenie - je to vaša vec. Ale ak niekedy narazíte na matematické problémy, zvážte, či nie ste na ceste falošného uvažovania, šliapaného generáciami matematikov. Hodiny matematiky v nás totiž v prvom rade vytvárajú ustálený stereotyp myslenia a až potom nám pridávajú rozumové schopnosti (alebo naopak oberajú o slobodné myslenie).

pozg.ru

Nedeľa 4. augusta 2019

Písal som dodatok k článku o a videl som tento úžasný text na Wikipédii:

Čítame: „...bohatý teoretický základ babylonskej matematiky nemal holistický charakter a bol zredukovaný na súbor rôznorodých techník, bez spoločného systému a dôkazovej základne.“

Wow! Akí sme šikovní a ako dobre vieme vidieť nedostatky druhých. Je pre nás slabé pozerať sa na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázujúc vyššie uvedený text, osobne som dostal nasledovné:

Bohatý teoretický základ modernej matematiky nemá holistický charakter a je redukovaný na súbor nesúrodých sekcií, bez spoločného systému a dôkazovej základne.

Nebudem chodiť ďaleko, aby som potvrdil svoje slová – má jazyk a konvencie, ktoré sú odlišné od jazyka a konvencií mnohých iných odvetví matematiky. Rovnaké názvy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať rôzny význam. Najzrejmejším omylom modernej matematiky chcem venovať celý cyklus publikácií. Do skorého videnia.

Sobota 3. augusta 2019

Ako rozdeliť množinu na podmnožiny? Ak to chcete urobiť, musíte zadať novú mernú jednotku, ktorá sa nachádza v niektorých prvkoch vybranej sady. Zvážte príklad.

Nech máme veľa ALE pozostávajúci zo štyroch ľudí. Tento súbor je tvorený na základe "ľudí" Označme prvky tohto súboru prostredníctvom písmena a, dolný index s číslom bude označovať poradové číslo každej osoby v tomto súbore. Predstavme si novú mernú jednotku „sexuálna charakteristika“ a označme ju písmenom b. Keďže sexuálne vlastnosti sú vlastné všetkým ľuďom, znásobujeme každý prvok súboru ALE o pohlaví b. Všimnite si, že naša množina „ľudia“ sa teraz stala množinou „ľudia s pohlavím“. Potom môžeme rozdeliť pohlavné znaky na mužské bm a dámske bw rodové charakteristiky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jednu z týchto sexuálnych charakteristík, nezáleží na tom, ktorá je mužská alebo ženská. Ak je v človeku prítomný, tak ho vynásobíme jednou, ak taký znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A potom aplikujeme obvyklú školskú matematiku. Pozrite sa, čo sa stalo.

Po vynásobení, redukciách a preskupeniach sme dostali dve podmnožiny: mužskú podmnožinu bm a podskupina žien bw. Približne rovnakým spôsobom uvažujú matematici, keď aplikujú teóriu množín v praxi. Ale nepúšťajú nás do detailov, ale dávajú nám konečný výsledok – „veľa ľudí pozostáva z podskupiny mužov a podskupiny žien“. Prirodzene, môžete mať otázku, ako správne aplikovať matematiku vo vyššie uvedených transformáciách? Dovolím si vás ubezpečiť, že v skutočnosti sú transformácie urobené správne, stačí poznať matematické opodstatnenie aritmetiky, Booleovej algebry a iných úsekov matematiky. Čo to je? Inokedy vám o tom poviem.

Čo sa týka nadmnožín, je možné spojiť dve sady do jednej nadmnožiny výberom mernej jednotky, ktorá je prítomná v prvkoch týchto dvoch sád.

Ako vidíte, jednotky merania a bežná matematika robia z teórie množín minulosť. Znakom toho, že s teóriou množín nie je všetko v poriadku, je to, že matematici prišli s vlastným jazykom a notáciou pre teóriu množín. Matematici robili to, čo kedysi robili šamani. Len šamani vedia „správne“ uplatniť svoje „vedomosti“. Tieto „vedomosti“ nás učia.

Na záver vám chcem ukázať, ako matematici manipulujú
Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp v každom okamihu spočíva na rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Postup ukážem na príklade. Vyberáme "červenú tuhú látku v pupienku" - to je náš "celok". Zároveň vidíme, že tieto veci sú s mašľou a sú bez mašle. Potom z "celku" vyberieme časť a zostavíme "s mašličkou". Takto sa šamani živia spájaním svojej teórie množín s realitou.

Teraz urobme malý trik. Zoberme si "pevné v pupienke s lukom" a zjednoťme tieto "celé" podľa farby, pričom vyberieme červené prvky. Dostali sme veľa „červenej“. Teraz záludná otázka: sú prijaté súpravy „s mašľou“ a „červenou“ tou istou súpravou alebo dvoma rôznymi súpravami? Odpoveď poznajú len šamani. Presnejšie, oni sami nič nevedia, ale ako sa hovorí, tak je.

Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória množín je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Aké je to tajomstvo? Vytvorili sme sadu "červený pevný pupienok s mašľou". Formovanie prebiehalo podľa štyroch rôznych merných jednotiek: farba (červená), sila (plná), drsnosť (v hrboľke), ozdoby (s mašličkou). Iba súbor meracích jednotiek umožňuje adekvátne opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. Takto to vyzerá.

Písmeno "a" s rôznymi indexmi označuje rôzne jednotky merania. V zátvorkách sú zvýraznené merné jednotky, podľa ktorých je „celok“ priradený v predbežnej fáze. Jednotka merania, podľa ktorej je zostava vytvorená, sa vyberie zo zátvoriek. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok sady. Ako vidíte, ak použijeme jednotky na vytvorenie množiny, potom výsledok nezávisí od poradia našich akcií. A toto je matematika a nie tance šamanov s tamburínami. Šamani môžu „intuitívne“ dospieť k rovnakému výsledku, argumentujúc „samozrejmosťou“, pretože merné jednotky nie sú zahrnuté v ich „vedeckom“ arzenáli.

Pomocou meracích jednotiek je veľmi jednoduché rozbiť jednu alebo spojiť niekoľko sád do jednej nadmnožiny. Pozrime sa bližšie na algebru tohto procesu.

Ak je problém daný dĺžkami dvoch strán trojuholníka a uhlom medzi nimi, môžete použiť vzorec pre oblasť trojuholníka cez sínus.

Príklad výpočtu plochy trojuholníka pomocou sínusu. Dané strany a = 3, b = 4 a uhol γ = 30°. Sínus uhla 30° je 0,5

Plocha trojuholníka bude 3 m2. cm.

Môžu existovať aj iné podmienky. Ak je uvedená dĺžka jednej strany a uhly, musíte najskôr vypočítať chýbajúci uhol. Pretože súčet všetkých uhlov trojuholníka je 180°, potom:

Plocha sa bude rovnať polovici štvorca strany vynásobenej zlomkom. V čitateli je súčin sínusov susedných uhlov a v menovateli je sínus opačného uhla. Teraz vypočítame plochu pomocou nasledujúcich vzorcov:

Napríklad trojuholník so stranou a=3 a uhlami γ=60°, β=60°. Vypočítajte tretí uhol:
Nahradenie údajov do vzorca
Dostaneme, že plocha trojuholníka je 3,87 metrov štvorcových. cm.

II. Plocha trojuholníka z hľadiska kosínusu

Ak chcete nájsť oblasť trojuholníka, musíte poznať dĺžky všetkých strán. Pomocou kosínusovej vety môžete nájsť neznáme strany a až potom použiť .
Podľa kosínusového zákona sa druhá mocnina neznámej strany trojuholníka rovná súčtu druhých mocnín zostávajúcich strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi.

Z vety odvodíme vzorce na zistenie dĺžky neznámej strany:

Ak viete, ako nájsť chýbajúcu stranu, majúc dve strany a uhol medzi nimi, môžete ľahko vypočítať plochu. Vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska kosínusu vám pomôže rýchlo a ľahko nájsť riešenie rôznych problémov.

Príklad výpočtu vzorca pre oblasť trojuholníka cez kosínus
Je daný trojuholník so známymi stranami a = 3, b = 4 a uhlom γ= 45°. Najprv nájdime chýbajúcu časť. s. Podľa kosínusu 45°=0,7. Aby sme to dosiahli, dosadíme údaje do rovnice odvodenej z kosínusovej vety.
Teraz pomocou vzorca nájdeme

Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho strán a sínusu uhla medzi nimi.

dôkaz:

Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC. Nech je v ňom strana BC = a, strana CA = b a S je plocha tohto trojuholníka. Je potrebné to dokázať S = (1/2)*a*b*sin(C).

Na začiatok zavedieme pravouhlý súradnicový systém a počiatok umiestnime do bodu C. Umiestnime náš súradnicový systém tak, aby bod B ležal v kladnom smere osi Cx a bod A by mal kladnú súradnicu.

Ak je všetko vykonané správne, mali by ste dostať nasledujúci obrázok.

Plochu daného trojuholníka možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: S = (1/2)*a*h, kde h je výška trojuholníka. V našom prípade sa výška trojuholníka h rovná ordináte bodu A, to znamená h \u003d b * sin (C).

Vzhľadom na získané výsledky je možné vzorec pre oblasť trojuholníka prepísať takto: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Riešenie problémov

Úloha 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC, ak a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, uhol A = 60 stupňov b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, uhol B= 45 stupňov c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, uhol C = 48 stupňov.

Podľa vyššie dokázanej vety sa plocha S trojuholníka ABC rovná:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Urobme výpočty:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48° cm^2.

Hodnotu sínusu uhla vypočítame na kalkulačke alebo použijeme hodnoty z tabuľky hodnôt trigonometrických uhlov. odpoveď:

a) 12*√6 cm^2.

c) približne 36,41 cm2.

Úloha 2. Plocha trojuholníka ABC je 60 cm^2. Nájdite stranu AB, ak AC = 15 cm, uhol A = 30˚.

Nech S je oblasť trojuholníka ABC. Podľa vety o ploche trojuholníka máme:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Dosaďte do nej hodnoty, ktoré máme:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Odtiaľ vyjadríme dĺžku strany AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Veta o ploche trojuholníka

Veta 1

Plocha trojuholníka je polovica súčinu dvoch strán krát sínus uhla medzi týmito stranami.

Dôkaz.

Dajme nám ľubovoľný trojuholník $ABC$. Označme dĺžky strán tohto trojuholníka ako $BC=a$, $AC=b$. Zavedme kartézsky súradnicový systém tak, že bod $C=(0,0)$, bod $B$ leží na pravej poloosi $Ox$ a bod $A$ leží v prvom kvadrante súradníc. Nakreslite výšku $h$ z bodu $A$ (obr. 1).

Obrázok 1. Ilustrácia 1. vety

Výška $h$ sa teda rovná súradnici bodu $A$

Sínusová veta

Veta 2

Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov.

Dôkaz.

Dajme nám ľubovoľný trojuholník $ABC$. Dĺžky strán tohto trojuholníka označme ako $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (obr. 2).

Obrázok 2

Dokážme to

Podľa vety 1 máme

Keď ich priradíme do párov, dostaneme to

Kosínusová veta

Veta 3

Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán trojuholníka bez zdvojnásobenia súčinu týchto strán krát kosínus uhla medzi týmito stranami.

Dôkaz.

Dajme nám ľubovoľný trojuholník $ABC$. Označte dĺžky jeho strán ako $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Zavedme kartézsky súradnicový systém tak, že bod $A=(0,0)$, bod $B$ leží na kladnej poloosi $Ox$ a bod $C$ leží v prvom kvadrante súradníc (obr. 3).

Obrázok 3

Dokážme to

V tomto súradnicovom systéme to dostaneme

Nájdite dĺžku strany $BC$ pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi bodmi

Príklad problému s použitím týchto viet

Príklad 1

Dokážte, že priemer kružnice opísanej ľubovoľného trojuholníka sa rovná pomeru ktorejkoľvek strany trojuholníka k sínusu uhla oproti tejto strane.

Riešenie.

Dajme nám ľubovoľný trojuholník $ABC$. $R$ - polomer kružnice opísanej. Nakreslite priemer $BD$ (obr. 4).

Dá sa zistiť, ak poznáte základňu a výšku. Celá jednoduchosť schémy spočíva v tom, že výška rozdeľuje základňu a na dve časti a 1 a 2 a samotný trojuholník na dva pravouhlé trojuholníky, ktorých plocha sa získa a. Potom bude plocha celého trojuholníka súčtom dvoch označených oblastí a ak zo zátvorky odoberieme polovicu výšky, celkovo dostaneme späť základňu:

Náročnejšia metóda na výpočty je Heronov vzorec, na ktorý potrebujete poznať všetky tri strany. Pre tento vzorec musíte najprv vypočítať semiperimeter trojuholníka: Samotný Heronov vzorec zahŕňa druhú odmocninu polobvodu, vynásobenú jeho rozdielom na každej strane.

Nasledujúca metóda, relevantná aj pre akýkoľvek trojuholník, vám umožňuje nájsť oblasť trojuholníka cez dve strany a uhol medzi nimi. Dôkazom toho je vzorec s výškou - výšku nakreslíme na ktorúkoľvek zo známych strán a cez sínus uhla α dostaneme, že h=a⋅sinα . Ak chcete vypočítať plochu, vynásobte polovicu výšky druhou stranou.

Ďalším spôsobom je nájsť oblasť trojuholníka s 2 uhlami a stranu medzi nimi. Dôkaz tohto vzorca je pomerne jednoduchý a možno ho jasne vidieť z diagramu.

Znížime výšku z hornej časti tretieho rohu na známu stranu a výsledné segmenty nazveme x, resp. Z pravouhlých trojuholníkov je zrejmé, že prvý segment x sa rovná súčinu