बड़ी संख्या का नियम

यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करने के अभ्यास से पता चलता है कि यद्यपि व्यक्तिगत अवलोकनों के परिणाम, यहां तक ​​​​कि समान परिस्थितियों में किए गए भी, काफी भिन्न हो सकते हैं, साथ ही, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में अवलोकनों के औसत परिणाम स्थिर होते हैं और कमजोर रूप से निर्भर होते हैं व्यक्तिगत अवलोकनों के परिणाम. यादृच्छिक घटना की इस उल्लेखनीय संपत्ति का सैद्धांतिक आधार बड़ी संख्या का नियम है। बड़ी संख्या के नियम का सामान्य अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारकों की संयुक्त क्रिया से ऐसा परिणाम प्राप्त होता है जो संयोग से लगभग स्वतंत्र होता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय

लायपुनोव का प्रमेय सामान्य वितरण कानून के व्यापक वितरण की व्याख्या करता है और इसके गठन के तंत्र की व्याख्या करता है। प्रमेय हमें यह बताने की अनुमति देता है कि जब भी बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के परिणामस्वरूप एक यादृच्छिक चर बनता है, जिनमें से भिन्नताएं योग के फैलाव की तुलना में छोटी होती हैं, तो इस यादृच्छिक चर का वितरण कानून बदल जाता है यह लगभग सामान्य कानून बन गया है। और चूंकि यादृच्छिक चर हमेशा अनंत कारणों से उत्पन्न होते हैं और अक्सर उनमें से किसी का भी यादृच्छिक चर के फैलाव के बराबर फैलाव नहीं होता है, व्यवहार में आने वाले अधिकांश यादृच्छिक चर सामान्य वितरण कानून के अधीन होते हैं।

आइए हम इनमें से प्रत्येक समूह के प्रमेयों की सामग्री पर अधिक विस्तार से ध्यान दें

व्यावहारिक शोध में, यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि किन मामलों में यह गारंटी देना संभव है कि किसी घटना की संभावना या तो पर्याप्त रूप से छोटी होगी या वांछित के करीब होगी।

अंतर्गत बड़ी संख्या का नियमऔर इसे प्रस्तावों के एक सेट के रूप में समझा जाता है जो बताता है कि, एक (या शून्य) के करीब कहीं भी संभावना के साथ, एक घटना बहुत बड़ी, अनिश्चित काल तक बढ़ती यादृच्छिक घटनाओं के आधार पर घटित होगी, जिनमें से प्रत्येक का केवल एक छोटा सा प्रभाव होता है यह।

अधिक सटीक रूप से, बड़ी संख्याओं के नियम को प्रस्तावों के एक सेट के रूप में समझा जाता है जो बताता है कि जितना संभव हो सके एकता के करीब होने की संभावना के साथ, एक स्थिर मूल्य से पर्याप्त बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य का विचलन - अंकगणितीय माध्य उनकी गणितीय अपेक्षाएँ - किसी दी गई मनमाने ढंग से छोटी संख्या से अधिक नहीं होंगी।

व्यक्तिगत, अलग-थलग घटनाएँ जो हम प्रकृति और सामाजिक जीवन में देखते हैं, अक्सर यादृच्छिक प्रतीत होती हैं (उदाहरण के लिए, एक पंजीकृत मृत्यु, जन्म लेने वाले बच्चे का लिंग, हवा का तापमान, आदि) इस तथ्य के कारण कि ऐसी घटनाएँ कई कारकों से प्रभावित होती हैं किसी घटना के उद्भव या विकास के सार से संबंधित नहीं। किसी देखी गई घटना पर उनके कुल प्रभाव की भविष्यवाणी करना असंभव है, और वे अलग-अलग घटनाओं में खुद को अलग तरह से प्रकट करते हैं। एक घटना के परिणामों के आधार पर, ऐसी कई घटनाओं में निहित पैटर्न के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

हालाँकि, यह लंबे समय से देखा गया है कि प्रयोग की बड़ी संख्या में पुनरावृत्ति के साथ कुछ संकेतों (किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति, माप परिणाम आदि) की संख्यात्मक विशेषताओं का अंकगणितीय औसत बहुत मामूली उतार-चढ़ाव के अधीन है। औसत में, घटना के सार में निहित एक पैटर्न प्रकट होता प्रतीत होता है; इसमें, व्यक्तिगत कारकों का प्रभाव जो एकल अवलोकनों के परिणामों को यादृच्छिक बनाता है, रद्द कर दिया जाता है। सैद्धांतिक रूप से, औसत के इस व्यवहार को बड़ी संख्या के नियम का उपयोग करके समझाया जा सकता है। यदि यादृच्छिक चर के संबंध में कुछ बहुत सामान्य शर्तें पूरी की जाती हैं, तो अंकगणितीय माध्य की स्थिरता लगभग एक निश्चित घटना होगी। ये स्थितियाँ बड़ी संख्या के कानून की सबसे महत्वपूर्ण सामग्री का निर्माण करती हैं।

इस सिद्धांत के संचालन का पहला उदाहरण एक यादृच्छिक घटना की घटना की आवृत्ति का उसकी संभावना के साथ अभिसरण हो सकता है क्योंकि परीक्षणों की संख्या बढ़ जाती है - बर्नौली के प्रमेय (स्विस गणितज्ञ) में स्थापित एक तथ्य जैकब बर्नौली(1654-1705)। बर्नुल का प्रमेय बड़ी संख्या के नियम के सबसे सरल रूपों में से एक है और अक्सर व्यवहार में इसका उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी नमूने में प्रतिवादी की किसी भी गुणवत्ता की घटना की आवृत्ति को संबंधित संभावना के अनुमान के रूप में लिया जाता है)।

उत्कृष्ट फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनी पॉइसन(1781-1840) ने इस प्रमेय को सामान्यीकृत किया और इसे उस मामले तक विस्तारित किया जब किसी परीक्षण में घटनाओं की संभावना पिछले परीक्षणों के परिणामों की परवाह किए बिना बदल जाती है। वह "बड़ी संख्या का नियम" शब्द का प्रयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे।

महान रूसी गणितज्ञ पफनुति लवोविच चेबीशेव(1821-1894) ने सिद्ध किया कि बड़ी संख्या का नियम किसी भी भिन्नता के साथ परिघटनाओं में लागू होता है और औसत के नियम तक भी विस्तारित होता है।

बड़ी संख्याओं के नियम के प्रमेयों का एक और सामान्यीकरण नामों के साथ जुड़ा हुआ है ए.ए.मार्कोव, एस.एन.बर्नस्टीन, ए.या.खिनचिन और ए.एन.कोलमलगोरोव.

समस्या का सामान्य आधुनिक सूत्रीकरण, बड़ी संख्या के कानून का सूत्रीकरण, इस कानून से संबंधित प्रमेयों को साबित करने के लिए विचारों और तरीकों का विकास रूसी वैज्ञानिकों का है पी. एल. चेबीशेव, ए. ए. मार्कोव और ए. एम. लायपुनोव.

चेबीशेव की असमानता

आइए पहले सहायक प्रमेयों पर विचार करें: चेबीशेव की प्रमेयिका और असमानता, जिसकी सहायता से चेबीशेव रूप में बड़ी संख्या के नियम को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

लेम्मा (चेबीशेव)।

यदि किसी यादृच्छिक चर चर, और हर संख्या A है:

सबूत।यादृच्छिक चर X के वितरण नियम को ज्ञात करें:

(i = 1, 2, ..., ), और हम यादृच्छिक चर के मानों को आरोही क्रम में मानते हैं।

संख्या A के संबंध में, यादृच्छिक चर के मानों को दो समूहों में विभाजित किया गया है: कुछ A से अधिक नहीं हैं, और अन्य A से अधिक हैं। आइए मान लें कि पहले समूह में यादृच्छिक के पहले मान शामिल हैं चर ()।

चूँकि, तब योग के सभी पद गैर-ऋणात्मक हैं। इसलिए, अभिव्यक्ति में पहले शब्दों को त्यागने पर हमें निम्नलिखित असमानता प्राप्त होती है:

क्योंकि

,

वह

क्यू.ई.डी.

समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ यादृच्छिक चर के अलग-अलग वितरण हो सकते हैं। हालाँकि, उनके लिए चेबीशेव की लेम्मा एक या दूसरे परीक्षा परिणाम की संभावना का समान अनुमान देगी। लेम्मा का यह दोष इसकी व्यापकता से संबंधित है: एक ही बार में सभी यादृच्छिक चर के लिए बेहतर अनुमान प्राप्त करना असंभव है।

चेबीशेव की असमानता .

किसी यादृच्छिक चर का गणितीय अपेक्षा से विचलन किसी धनात्मक संख्या के निरपेक्ष मान से अधिक होने की संभावना एक अंश से अधिक नहीं है, जिसका अंश यादृच्छिक चर का प्रसरण है, और हर वर्ग है

सबूत।चूँकि यह एक यादृच्छिक चर है जो नकारात्मक मान नहीं लेता है, हम असमानता लागू करते हैं एक यादृच्छिक चर के लिए चेबीशेव की लेम्मा से:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। क्योंकि

,

वह

- चेबीशेव की असमानता का दूसरा रूप

आइए बिना प्रमाण के इस तथ्य को स्वीकार करें कि चेबीशेव की प्रमेयिका और असमानता निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी सत्य हैं।

चेबीशेव की असमानता बड़ी संख्या के कानून के गुणात्मक और मात्रात्मक कथनों को रेखांकित करती है। यह इस संभावना पर ऊपरी सीमा निर्धारित करता है कि किसी यादृच्छिक चर के मान का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन एक निश्चित निर्दिष्ट संख्या से अधिक है। यह उल्लेखनीय है कि चेबीशेव की असमानता एक यादृच्छिक चर के लिए एक घटना की संभावना का अनुमान देती है जिसका वितरण अज्ञात है, केवल इसकी गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात है।

प्रमेय. (चेबीशेव रूप में बड़ी संख्या का नियम)

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर के प्रसरण एक स्थिरांक C द्वारा सीमित हैं, और उनकी संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो संभावना है कि इन यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य का विचलन उनकी गणितीय अपेक्षाओं के अंकगणितीय माध्य से निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होगा। एक दी गई धनात्मक संख्या, चाहे वह कितनी भी छोटी क्यों न हो, यथासंभव एकता के करीब होती है। न ही थी:

.

हम प्रमेय को बिना प्रमाण के स्वीकार करते हैं।

परिणाम 1. यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर में समान, समान, गणितीय अपेक्षाएं हैं, उनके भिन्नताएं एक ही स्थिरांक सी द्वारा सीमित हैं, और उनकी संख्या काफी बड़ी है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि दी गई सकारात्मक संख्या कितनी छोटी है, एकता के कितनी करीब है, संभावना यह है कि औसत का विचलन, इन यादृच्छिक चर का अंकगणित निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होगा।

तथ्य यह है कि समान परिस्थितियों में किए गए मापों की पर्याप्त बड़ी संख्या के परिणामों के अंकगणितीय माध्य को अज्ञात मात्रा के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जाता है, इस प्रमेय द्वारा उचित ठहराया जा सकता है। दरअसल, माप परिणाम यादृच्छिक होते हैं, क्योंकि वे कई यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होते हैं। व्यवस्थित त्रुटियों की अनुपस्थिति का मतलब है कि व्यक्तिगत माप परिणामों की गणितीय अपेक्षाएं समान और बराबर हैं। नतीजतन, बड़ी संख्या के कानून के अनुसार, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप का अंकगणितीय माध्य वांछित मात्रा के वास्तविक मूल्य से व्यावहारिक रूप से उतना ही कम भिन्न होगा।

(याद रखें कि त्रुटियों को व्यवस्थित कहा जाता है यदि वे अधिक या कम स्पष्ट कानून के अनुसार माप परिणाम को एक ही दिशा में विकृत करते हैं। इनमें पर्यवेक्षक की व्यक्तिगत विशेषताओं के कारण अपूर्ण उपकरणों (वाद्य त्रुटियों) के परिणामस्वरूप दिखाई देने वाली त्रुटियां शामिल हैं (व्यक्तिगत त्रुटियाँ) और आदि)

परिणाम 2 . (बर्नौली का प्रमेय।)

यदि प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण में घटना ए की घटना की संभावना स्थिर है, और उनकी संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो घटना की घटना की आवृत्ति इसकी घटना की संभावना से वांछित के रूप में कम भिन्न होने की संभावना मनमाने ढंग से करीब है एकता के लिए:

बर्नौली के प्रमेय में कहा गया है कि यदि किसी घटना की संभावना सभी परीक्षणों में समान है, तो जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, घटना की आवृत्ति घटना की संभावना की ओर बढ़ती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाती है।

व्यवहार में, ऐसे प्रयोगों का सामना करना अपेक्षाकृत दुर्लभ है जिनमें किसी भी प्रयोग में किसी घटना के घटित होने की संभावना स्थिर होती है, अक्सर यह विभिन्न प्रयोगों में भिन्न होती है। पॉइसन प्रमेय इस प्रकार की परीक्षण योजना पर लागू होता है:

परिणाम 3 . (पॉइसन का प्रमेय।)

यदि -वें परीक्षण में किसी घटना के घटित होने की संभावना पिछले परीक्षणों के परिणाम ज्ञात होने पर नहीं बदलती है, और उनकी संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो घटना की घटित होने की संभावना अंकगणित से मनमाने ढंग से बहुत कम भिन्न होती है संभावनाओं का औसत मनमाने ढंग से एकता के करीब है:

पॉइसन के प्रमेय में कहा गया है कि स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में किसी घटना की आवृत्ति उसकी संभावनाओं के अंकगणितीय माध्य की ओर बढ़ती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाती है।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि विचार किया गया कोई भी प्रमेय वांछित संभाव्यता का सटीक या अनुमानित मूल्य नहीं देता है, बल्कि केवल इसकी निचली या ऊपरी सीमा को इंगित करता है। इसलिए, यदि संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का सटीक या कम से कम अनुमानित मूल्य स्थापित करना आवश्यक है, तो इन प्रमेयों की संभावनाएं बहुत सीमित हैं।

बड़े मानों के लिए अनुमानित संभावनाएँ केवल सीमा प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं। उनमें, यादृच्छिक चर पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाए जाते हैं (जैसा कि मामला है, उदाहरण के लिए, ल्यपुनोव के प्रमेय में), या एक निश्चित प्रकार के यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है (उदाहरण के लिए, मोइवरे-लाप्लास इंटीग्रल प्रमेय में)।

चेबीशेव के प्रमेय का सैद्धांतिक महत्व, जो बड़ी संख्या के कानून का एक बहुत ही सामान्य सूत्रीकरण है, महान है। हालाँकि, यदि हम यह तय करते समय इसे लागू करते हैं कि क्या बड़ी संख्या के कानून को स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर लागू करना संभव है, तो यदि उत्तर सकारात्मक है, तो प्रमेय के लिए अक्सर आवश्यकता से कहीं अधिक यादृच्छिक चर की आवश्यकता होगी बड़ी संख्या का नियम प्रभावी होना। चेबीशेव के प्रमेय के इस नुकसान को इसकी सामान्य प्रकृति द्वारा समझाया गया है। इसलिए, ऐसे प्रमेय रखना वांछनीय है जो वांछित संभाव्यता की निचली (या ऊपरी) सीमा को अधिक सटीक रूप से इंगित करेंगे। उन्हें यादृच्छिक चर पर कुछ अतिरिक्त प्रतिबंध लगाकर प्राप्त किया जा सकता है, जो आमतौर पर व्यवहार में आने वाले यादृच्छिक चर के लिए संतुष्ट होते हैं।

बड़ी संख्या के कानून की सामग्री पर नोट्स

यदि यादृच्छिक चर की संख्या काफी बड़ी है और वे कुछ बहुत सामान्य शर्तों को पूरा करते हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उन्हें कैसे वितरित किया जाता है, यह लगभग निश्चित है कि उनका अंकगणितीय माध्य एक स्थिर मूल्य से वांछित के रूप में कम विचलन करता है - उनकी गणितीय अपेक्षाओं का अंकगणितीय माध्य , यानी लगभग स्थिर मान है। यह बड़ी संख्या के नियम से संबंधित प्रमेयों की सामग्री है। नतीजतन, बड़ी संख्या का नियम मौका और आवश्यकता के बीच द्वंद्वात्मक संबंध की अभिव्यक्तियों में से एक है।

बड़ी संख्या के कानून की अभिव्यक्ति के रूप में नई गुणात्मक अवस्थाओं के उद्भव के कई उदाहरण दिए जा सकते हैं, मुख्यतः भौतिक घटनाओं के बीच। आइए उनमें से एक पर विचार करें।

आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, गैसों में अलग-अलग कण होते हैं - अणु जो अराजक गति में होते हैं, और यह कहना असंभव है कि किसी निश्चित समय पर यह कहां होगा और यह या वह अणु किस गति से आगे बढ़ेगा। हालाँकि, अवलोकनों से पता चलता है कि अणुओं का कुल प्रभाव, उदाहरण के लिए गैस का दबाव, पर पड़ता है

बर्तन की दीवार, अद्भुत स्थिरता के साथ प्रकट होती है। यह वार की संख्या और उनमें से प्रत्येक की ताकत से निर्धारित होता है। हालाँकि पहला और दूसरा संयोग की बात है, उपकरण सामान्य परिस्थितियों में गैस के दबाव में उतार-चढ़ाव का पता नहीं लगाते हैं। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि अणुओं की भारी संख्या के कारण, यहां तक ​​कि सबसे छोटी मात्रा में भी

ध्यान देने योग्य मात्रा में दबाव में परिवर्तन व्यावहारिक रूप से असंभव है। नतीजतन, गैस के दबाव की स्थिरता बताने वाला भौतिक नियम बड़ी संख्या के नियम की अभिव्यक्ति है।

दबाव की स्थिरता और गैस की कुछ अन्य विशेषताएं एक समय में पदार्थ की संरचना के आणविक सिद्धांत के खिलाफ एक सम्मोहक तर्क के रूप में कार्य करती थीं। इसके बाद, उन्होंने अपेक्षाकृत कम संख्या में अणुओं को अलग करना सीखा, जिससे यह सुनिश्चित हुआ कि व्यक्तिगत अणुओं का प्रभाव अभी भी बना हुआ है, और इस प्रकार बड़ी संख्या का नियम पर्याप्त सीमा तक प्रकट नहीं हो सका। तब गैस के दबाव में उतार-चढ़ाव का निरीक्षण करना संभव हो गया, जिससे पदार्थ की आणविक संरचना के बारे में परिकल्पना की पुष्टि हुई।

बड़ी संख्या का कानून विभिन्न प्रकार के बीमा (सभी संभावित अवधियों, संपत्ति, पशुधन, फसल आदि के लिए मानव जीवन का बीमा) का आधार है।

उपभोक्ता वस्तुओं की श्रेणी की योजना बनाते समय, उनके लिए जनसंख्या की मांग को ध्यान में रखा जाता है। यह माँग बड़ी संख्या के नियम के प्रभाव को प्रकट करती है।

सांख्यिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली नमूनाकरण विधि का वैज्ञानिक आधार बड़ी संख्या के नियम में पाया जाता है। उदाहरण के लिए, सामूहिक खेत से खरीद स्थल तक लाए गए गेहूं की गुणवत्ता का आकलन गलती से एक छोटे से माप में पकड़े गए अनाज की गुणवत्ता से किया जाता है। पूरे बैच की तुलना में माप में बहुत अधिक अनाज नहीं है, लेकिन किसी भी स्थिति में, माप इस तरह चुना जाता है कि इसमें पर्याप्त अनाज हो

आवश्यकता को पूरा करने वाली सटीकता के साथ बड़ी संख्या के नियम की अभिव्यक्ति। हमें आने वाले अनाज के पूरे बैच के संदूषण, आर्द्रता और औसत अनाज वजन के संकेतक के रूप में नमूने में संबंधित संकेतक लेने का अधिकार है।

बड़ी संख्या के कानून की सामग्री को गहरा करने के लिए वैज्ञानिकों के आगे के प्रयासों का उद्देश्य यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर इस कानून की प्रयोज्यता के लिए सबसे सामान्य स्थिति प्राप्त करना था। लंबे समय से इस दिशा में कोई बुनियादी सफलता नहीं मिली है। पी. एल. चेबीशेव और ए. ए. मार्कोव के बाद, केवल 1926 में सोवियत शिक्षाविद् ए. एन. कोलमोगोरोव स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर लागू होने के लिए बड़ी संख्या के कानून के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को प्राप्त करने में कामयाब रहे। 1928 में, सोवियत वैज्ञानिक ए. हां. खिनचिन ने दिखाया कि स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए बड़ी संख्याओं के कानून की प्रयोज्यता के लिए एक पर्याप्त शर्त उनकी गणितीय अपेक्षा का अस्तित्व है।

अभ्यास के लिए, निर्भर यादृच्छिक चर पर बड़ी संख्या के कानून की प्रयोज्यता के प्रश्न को पूरी तरह से स्पष्ट करना बेहद महत्वपूर्ण है, क्योंकि प्रकृति और समाज में घटनाएं परस्पर निर्भर हैं और परस्पर एक दूसरे को निर्धारित करती हैं। जिन प्रतिबंधों को लगाए जाने की आवश्यकता है, उन्हें स्पष्ट करने के लिए बहुत काम किया गया है

निर्भर यादृच्छिक चर पर ताकि बड़ी संख्या का नियम उन पर लागू किया जा सके, और सबसे महत्वपूर्ण हैं उत्कृष्ट रूसी वैज्ञानिक ए.ए. मार्कोव और प्रमुख सोवियत वैज्ञानिक एस.एन. बर्नस्टीन और ए. या. खिनचिन।

इन कार्यों का मुख्य परिणाम यह है कि बड़ी संख्याओं के नियम को आश्रित यादृच्छिक चर पर तभी लागू किया जा सकता है जब निकट संख्याओं वाले यादृच्छिक चर के बीच एक मजबूत निर्भरता मौजूद हो, और दूर की संख्याओं वाले यादृच्छिक चर के बीच निर्भरता पर्याप्त रूप से कमजोर हो। इस प्रकार के यादृच्छिक चर के उदाहरण जलवायु की संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। प्रत्येक दिन का मौसम पिछले दिनों के मौसम से स्पष्ट रूप से प्रभावित होता है, और जैसे-जैसे दिन एक-दूसरे से दूर होते जाते हैं, यह प्रभाव स्पष्ट रूप से कमजोर होता जाता है। नतीजतन, बड़ी संख्या के कानून के अनुसार, किसी दिए गए क्षेत्र की जलवायु का दीर्घकालिक औसत तापमान, दबाव और अन्य विशेषताएं व्यावहारिक रूप से उनकी गणितीय अपेक्षाओं के करीब होनी चाहिए। उत्तरार्द्ध क्षेत्र की जलवायु की वस्तुनिष्ठ विशेषताएं हैं।

बड़ी संख्याओं के नियम का प्रयोगात्मक परीक्षण करने के लिए अलग-अलग समय पर निम्नलिखित प्रयोग किये गये।

1. अनुभव बफ़न. सिक्के को 4040 बार उछाला गया है। हथियारों का कोट 2048 बार दिखाई दिया। इसके घटित होने की आवृत्ति 0.50694 = के बराबर निकली

2. अनुभव पियर्सन. सिक्के को 12,000 और 24,000 बार उछाला जाता है। पहले मामले में हथियारों के कोट के गिरने की आवृत्ति 0.5016 थी, दूसरे में - 0.5005।

एच. अनुभव VESTERGAARD. एक कलश से जिसमें समान संख्या में सफेद और काली गेंदें थीं, 10,000 ड्रॉ के बाद 5011 सफेद और 4989 काली गेंदें प्राप्त हुईं (अगली हटाई गई गेंद को कलश में वापस कर दिया गया)। सफेद गेंदों की आवृत्ति 0.50110 = () थी, और काली गेंदों की आवृत्ति 0.49890 थी।

4. अनुभव वी.आई. रोमानोव्स्की. चार सिक्कों को 21,160 बार उछाला गया। हथियारों के कोट और हैश चिह्नों के विभिन्न संयोजनों की आवृत्तियों और आवृत्तियों को निम्नानुसार वितरित किया गया था:

चित और पट की संख्या का संयोजन	आवृत्तियों	आवृत्तियों
		प्रयोगसिद्ध	सैद्धांतिक
4 और 0	1 181	0,05858	0,0625
3 और 1	4909	0,24350	0,2500
2 और 2	7583	0,37614	0,3750
1 और 3	5085	0,25224	0,2500
1 और 4		0,06954	0,0625
कुल	20160	1,0000	1,0000

बड़ी संख्या के नियम के प्रयोगात्मक परीक्षणों के परिणाम हमें विश्वास दिलाते हैं कि प्रयोगात्मक आवृत्तियाँ संभावनाओं के बहुत करीब हैं।

केंद्रीय सीमा प्रमेय

यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि सामान्य रूप से वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर की किसी भी सीमित संख्या का योग भी सामान्य रूप से वितरित होता है।

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित नहीं किए जाते हैं, तो उन पर कुछ बहुत ढीले प्रतिबंध लगाए जा सकते हैं, और उनका योग अभी भी सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा।

यह समस्या मुख्य रूप से रूसी वैज्ञानिकों पी. एल. चेबीशेव और उनके छात्रों ए. ए. मार्कोव और ए. एम. लायपुनोव द्वारा प्रस्तुत और हल की गई थी।

प्रमेय (लायपुनोव)।

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर में सीमित गणितीय अपेक्षाएं और सीमित भिन्नताएं होती हैं , उनकी संख्या काफी बड़ी है, और असीमित वृद्धि के साथ

,

तीसरे क्रम के पूर्ण केंद्रीय क्षण कहां हैं, तो उनके योग में पर्याप्त सटीकता के साथ वितरण होता है

(वास्तव में, हम ल्यपुनोव के प्रमेय को प्रस्तुत नहीं कर रहे हैं, बल्कि इसके परिणामों में से एक को प्रस्तुत कर रहे हैं, क्योंकि यह परिणाम व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए काफी पर्याप्त है। इसलिए, स्थिति, जिसे ल्यपुनोव की स्थिति कहा जाता है, ल्यपुनोव के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए आवश्यक से कहीं अधिक मजबूत आवश्यकता है। )

शर्त का अर्थ यह है कि प्रत्येक पद (यादृच्छिक चर) का प्रभाव उन सभी के कुल प्रभाव की तुलना में छोटा है। प्रकृति और सामाजिक जीवन में घटित होने वाली अनेक यादृच्छिक घटनाएँ ठीक इसी पैटर्न के अनुसार आगे बढ़ती हैं। इस संबंध में, ल्यपुनोव का प्रमेय असाधारण रूप से बहुत महत्वपूर्ण है, और सामान्य वितरण कानून संभाव्यता सिद्धांत में बुनियादी कानूनों में से एक है।

उदाहरण के लिए, उत्पादन किया जाए मापकुछ आकार का. इसके वास्तविक मूल्य (गणितीय अपेक्षा) से देखे गए मूल्यों के विभिन्न विचलन बहुत बड़ी संख्या में कारकों के प्रभाव के परिणामस्वरूप प्राप्त होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक छोटी सी त्रुटि उत्पन्न करता है, और। फिर कुल माप त्रुटि एक यादृच्छिक चर है, जिसे ल्यपुनोव के प्रमेय के अनुसार, सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाना चाहिए।

पर बंदूक चलानाबहुत बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारणों के प्रभाव में, प्रक्षेप्य एक निश्चित क्षेत्र में बिखरे हुए हैं। प्रक्षेप्य प्रक्षेपवक्र पर यादृच्छिक प्रभावों को स्वतंत्र माना जा सकता है। सभी कारणों के प्रभाव में कुल परिवर्तन की तुलना में प्रत्येक कारण प्रक्षेप पथ में केवल थोड़ा सा परिवर्तन करता है। इसलिए, हमें उम्मीद करनी चाहिए कि लक्ष्य से प्रक्षेप्य विस्फोट स्थान का विचलन एक सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर होगा।

ल्यपुनोव के प्रमेय के अनुसार, हम उम्मीद कर सकते हैं कि, उदाहरण के लिए, वयस्क पुरुष की ऊंचाईएक सामान्य नियम के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है। यह परिकल्पना, साथ ही पिछले दो उदाहरणों में मानी गई परिकल्पना, टिप्पणियों से अच्छी तरह सहमत है। इसकी पुष्टि करने के लिए, हम 1000 वयस्क पुरुष श्रमिकों की ऊंचाई, पुरुषों की संबंधित सैद्धांतिक संख्या, यानी, पुरुषों की संख्या के आधार पर वितरण प्रस्तुत करते हैं। सामान्य कानून के अनुसार पुरुषों की ऊंचाई के वितरण की धारणा के आधार पर, इन समूहों की ऊंचाई होती है।

ऊंचाई (सेंटिमीटर	पुरुषों की संख्या
	प्रयोगात्मक डेटा	सैद्धांतिक पूर्वानुमान
143-146
146-149
149-152
152-155
155-158
158- 161
161- 164
164-167
167-170
170-173
173-176
176-179
179 -182
182-185
185-188

प्रायोगिक डेटा और सैद्धांतिक डेटा के बीच अधिक सटीक समझौते की उम्मीद करना मुश्किल होगा।

ल्यपुनोव के प्रमेय के परिणामस्वरूप कोई भी आसानी से एक प्रस्ताव साबित कर सकता है जो भविष्य में नमूनाकरण विधि को उचित ठहराने के लिए आवश्यक होगा।

प्रस्ताव।

तीसरे क्रम के पूर्ण केंद्रीय क्षणों वाले समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की पर्याप्त बड़ी संख्या का योग सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है।

संभाव्यता सिद्धांत के सीमा प्रमेय, मोइवरे-लाप्लास प्रमेय किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति की स्थिरता की प्रकृति की व्याख्या करते हैं। यह प्रकृति इस तथ्य में निहित है कि परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ किसी घटना की घटनाओं की संख्या का सीमित वितरण (यदि सभी परीक्षणों में घटना की संभावना समान है) एक सामान्य वितरण है।

यादृच्छिक चर की प्रणाली.

ऊपर माने गए यादृच्छिक चर एक-आयामी थे, अर्थात। एक संख्या द्वारा निर्धारित होते थे, हालाँकि, ऐसे यादृच्छिक चर भी होते हैं जो दो, तीन, आदि द्वारा निर्धारित होते हैं। नंबर. ऐसे यादृच्छिक चरों को द्वि-आयामी, त्रि-आयामी आदि कहा जाता है।

सिस्टम में शामिल यादृच्छिक चर के प्रकार के आधार पर, सिस्टम अलग-अलग, निरंतर या मिश्रित हो सकता है यदि सिस्टम में विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक चर शामिल हैं।

आइए दो यादृच्छिक चरों की प्रणालियों पर करीब से नज़र डालें।

परिभाषा। वितरण का नियमयादृच्छिक चर की प्रणाली एक ऐसा संबंध है जो यादृच्छिक चर की प्रणाली के संभावित मूल्यों के क्षेत्रों और इन क्षेत्रों में दिखाई देने वाली प्रणाली की संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।

उदाहरण। 2 सफेद और तीन काली गेंदों वाले कलश से दो गेंदें निकाली जाती हैं। मान लीजिए कि निकाली गई सफेद गेंदों की संख्या है, और यादृच्छिक चर को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

आइए यादृच्छिक चरों की प्रणाली के लिए एक वितरण तालिका बनाएं:

चूंकि संभावना यह है कि कोई सफेद गेंद नहीं निकाली गई (जिसका अर्थ है कि दो काली गेंदें निकाली गईं), और, फिर

.

संभावना

.

संभावना

संभावना - संभावना है कि कोई सफेद गेंद नहीं निकाली गई (और, इसलिए, दो काली गेंदें निकाली गईं), जबकि, फिर

संभावना - संभावना है कि एक सफेद गेंद निकाली जाती है (और, इसलिए, एक काली), जबकि, तब

संभावना - संभावना है कि दो सफेद गेंदें निकाली गईं (और, इसलिए, कोई काली नहीं), जबकि, फिर

.

इस प्रकार, द्वि-आयामी यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला का रूप है:

परिभाषा। वितरण समारोहदो यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली को दो तर्कों का एक फ़ंक्शन कहा जाता हैएफ( एक्स, य) , दो असमानताओं की संयुक्त पूर्ति की संभावना के बराबरएक्स< एक्स, वाई< य.

आइए हम दो यादृच्छिक चरों की प्रणाली के वितरण फ़ंक्शन के निम्नलिखित गुणों पर ध्यान दें:

1) ;

2) वितरण फ़ंक्शन प्रत्येक तर्क के लिए एक गैर-घटता हुआ फ़ंक्शन है:

3) निम्नलिखित सत्य है:

4)

5) एक यादृच्छिक बिंदु से टकराने की संभावना (एक्स, वाई ) निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले एक मनमाने आयत में, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

दो यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली का वितरण घनत्व।

परिभाषा।संयुक्त वितरण घनत्वद्वि-आयामी यादृच्छिक चर की संभावनाएँ (एक्स, वाई ) को वितरण फ़ंक्शन का दूसरा मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है।

यदि वितरण घनत्व ज्ञात है, तो वितरण फ़ंक्शन सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

द्वि-आयामी वितरण घनत्व गैर-नकारात्मक है और द्वि-आयामी घनत्व की अनंत सीमाओं के साथ दोहरा अभिन्न अंग एक के बराबर है।

संयुक्त वितरण के ज्ञात घनत्व से, कोई द्वि-आयामी यादृच्छिक चर के प्रत्येक घटक का वितरण घनत्व पा सकता है।

; ;

वितरण के सशर्त नियम.

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, संयुक्त वितरण कानून को जानकर, आप सिस्टम में शामिल प्रत्येक यादृच्छिक चर के वितरण कानून आसानी से पा सकते हैं।

हालाँकि, व्यवहार में, विपरीत समस्या का अक्सर सामना करना पड़ता है - यादृच्छिक चर के वितरण के ज्ञात कानूनों का उपयोग करके, उनके संयुक्त वितरण कानून का पता लगाएं।

सामान्य स्थिति में, यह समस्या अघुलनशील है, क्योंकि एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून इस चर के अन्य यादृच्छिक चर के साथ संबंध के बारे में कुछ नहीं कहता है।

इसके अतिरिक्त, यदि यादृच्छिक चर एक-दूसरे पर निर्भर हैं, तो वितरण नियम को घटकों के वितरण के नियमों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि घटकों के बीच संबंध स्थापित करना होगा।

यह सब सशर्त वितरण कानूनों पर विचार करने की आवश्यकता की ओर ले जाता है।

परिभाषा। सिस्टम में शामिल एक यादृच्छिक चर का वितरण, इस शर्त के तहत पाया जाता है कि दूसरे यादृच्छिक चर ने एक निश्चित मान लिया है, कहलाता है सशर्त वितरण कानून.

सशर्त वितरण कानून को वितरण फ़ंक्शन और वितरण घनत्व दोनों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

सशर्त वितरण घनत्व की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

सशर्त वितरण घनत्व में एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व के सभी गुण होते हैं।

सशर्त गणितीय अपेक्षा.

परिभाषा। सशर्त गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर Y पर X = x (x - X का एक निश्चित संभावित मान) सभी संभावित मानों का गुणनफल हैवाई उनकी सशर्त संभावनाओं पर।

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए:

,

कहाँ एफ( य/ एक्स) - यादृच्छिक चर का सशर्त घनत्व Y पर X = x.

सशर्त गणितीय अपेक्षाएम( वाई/ एक्स)= एफ( एक्स) का एक कार्य है एक्सऔर कहा जाता है प्रतिगमन फ़ंक्शन X चालू है वाई.

उदाहरण।घटक की सशर्त गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिएवाई पर

एक्स = एक्स 1 तालिका द्वारा दिए गए असतत द्वि-आयामी यादृच्छिक चर के लिए =1:

वाई
	एक्स 1 =1	एक्स 2 =3	एक्स 3 =4	x 4 =8
आप 1 =3	0,15	0,06	0,25	0,04
आप 2 =6	0,30	0,10	0,03	0,07

यादृच्छिक चर की एक प्रणाली के सशर्त विचरण और सशर्त क्षण समान रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

आश्रित और स्वतंत्र यादृच्छिक चर।

परिभाषा। यादृच्छिक चर कहलाते हैं स्वतंत्र, यदि उनमें से एक का वितरण कानून दूसरे यादृच्छिक चर के मूल्य पर निर्भर नहीं करता है।

संभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर की निर्भरता की अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के सशर्त वितरण उनके बिना शर्त वितरण के बराबर होते हैं।

आइए हम यादृच्छिक चर की स्वतंत्रता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें निर्धारित करें।

प्रमेय. वाई स्वतंत्र थे, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम का वितरण कार्य ( एक्स, वाई) घटकों के वितरण कार्यों के उत्पाद के बराबर था।

वितरण घनत्व के लिए एक समान प्रमेय तैयार किया जा सकता है:

प्रमेय. यादृच्छिक चर X और के लिए वाई स्वतंत्र थे, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम का संयुक्त वितरण घनत्व ( एक्स, वाई) घटकों के वितरण घनत्व के उत्पाद के बराबर था।

निम्नलिखित सूत्र व्यावहारिक रूप से उपयोग किए जाते हैं:

असतत यादृच्छिक चर के लिए:

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए:

सहसंबंध क्षण यादृच्छिक चर के बीच संबंध को चिह्नित करने का कार्य करता है। यदि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं, तो उनका सहसंबंध क्षण शून्य के बराबर है।

सहसंबंध क्षण का आयाम यादृच्छिक चर X और के आयामों के उत्पाद के बराबर होता हैवाई . यह तथ्य इस संख्यात्मक विशेषता का एक नुकसान है, क्योंकि माप की विभिन्न इकाइयों के साथ, अलग-अलग सहसंबंध क्षण प्राप्त होते हैं, जिससे विभिन्न यादृच्छिक चर के सहसंबंध क्षणों की तुलना करना मुश्किल हो जाता है।

इस कमी को दूर करने के लिए, एक और विशेषता का उपयोग किया जाता है - सहसंबंध गुणांक।

परिभाषा। सहसंबंध गुणांक आर xy यादृच्छिक चर एक्स औरवाई इन मात्राओं के मानक विचलन के उत्पाद के लिए सहसंबंध क्षण का अनुपात कहा जाता है।

सहसंबंध गुणांक एक आयामहीन मात्रा है। स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए, सहसंबंध गुणांक शून्य है।

संपत्ति: दो यादृच्छिक चर X और Y के सहसंबंध क्षण का पूर्ण मान उनके भिन्नताओं के ज्यामितीय माध्य से अधिक नहीं है।

संपत्ति: सहसंबंध गुणांक का पूर्ण मान एक से अधिक नहीं है।

यादृच्छिक चर कहलाते हैं सहसंबद्ध, यदि उनका सहसंबंध क्षण शून्य से भिन्न है, और असहसंबद्ध, यदि उनका सहसंबंध क्षण शून्य है।

यदि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं, तो वे असंबद्ध हैं, लेकिन असंबद्धता से कोई यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकता कि वे स्वतंत्र हैं।

यदि दो मात्राएँ आश्रित हैं, तो वे या तो सहसंबद्ध या असंबद्ध हो सकती हैं।

अक्सर, यादृच्छिक चर की प्रणाली के दिए गए वितरण घनत्व से, कोई इन चर की निर्भरता या स्वतंत्रता निर्धारित कर सकता है।

सहसंबंध गुणांक के साथ-साथ, यादृच्छिक चर की निर्भरता की डिग्री को एक अन्य मात्रा द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसे कहा जाता है सहप्रसरण का गुणांक. सहप्रसरण गुणांक सूत्र द्वारा दिया गया है:

उदाहरण।यादृच्छिक चर X की प्रणाली का वितरण घनत्व दिया गया है औरस्वतंत्र। निःसंदेह, वे भी असंबंधित होंगे।

रेखीय प्रतिगमन।

एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर पर विचार करें (एक्स, वाई), जहां एक्स और वाई आश्रित यादृच्छिक चर हैं।

आइए हम लगभग एक यादृच्छिक चर को दूसरे के फलन के रूप में निरूपित करें। सटीक मिलान संभव नहीं है. हम मान लेंगे कि यह फ़ंक्शन रैखिक है।

इस फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए, केवल स्थिर मान ज्ञात करना शेष है एऔर बी.

परिभाषा। समारोहजी( एक्स) बुलाया सर्वोत्तम सन्निकटनअनियमित परिवर्तनशील वस्तुवाई न्यूनतम वर्ग विधि के अर्थ में, यदि गणितीय अपेक्षा

सबसे छोटा संभव मान लेता है. भी कार्य करेंजी( एक्स) बुलाया माध्य वर्ग प्रतिगमन वाई से एक्स.

प्रमेय. रैखिक माध्य वर्ग प्रतिगमन वाई एक्स पर सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

इस सूत्र में एमएक्स= एम( एक्स यादृच्छिक चर वाईएक यादृच्छिक चर के सापेक्ष एक्स।यह मान किसी यादृच्छिक चर को प्रतिस्थापित करते समय उत्पन्न त्रुटि की भयावहता को दर्शाता हैवाईरैखिक प्रकार्यजी( एक्स) = एएक्स+बी.

यह स्पष्ट है कि यदि आर= ± 1, तो अवशिष्ट विचरण शून्य है, और इसलिए त्रुटि शून्य और यादृच्छिक चर हैवाईएक यादृच्छिक चर के रैखिक फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से दर्शाया गया एक्स।

माध्य वर्ग प्रतिगमन रेखा एक्सपरवाईइसी प्रकार सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:एक्स और वाईएक दूसरे के संबंध में रैखिक प्रतिगमन कार्य हैं, तो वे कहते हैं कि मात्राएँ एक्सऔरवाईजुड़े हुए रैखिक सहसंबंध निर्भरता.

प्रमेय. यदि एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर ( एक्स, वाई) सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, फिर एक्स और वाई एक रैखिक सहसंबंध द्वारा जुड़े हुए हैं।

ई.जी. निकिफोरोवा

बड़ी संख्या का नियमसंभाव्यता सिद्धांत में कहा गया है कि एक निश्चित वितरण से पर्याप्त रूप से बड़े परिमित नमूने का अनुभवजन्य माध्य (अंकगणितीय माध्य) इस वितरण के सैद्धांतिक माध्य (गणितीय अपेक्षा) के करीब है। अभिसरण के प्रकार के आधार पर, बड़ी संख्या के कमजोर कानून के बीच अंतर किया जाता है, जब अभिसरण संभाव्यता में होता है, और बड़ी संख्या के मजबूत कानून के बीच, जब अभिसरण लगभग हर जगह होता है।

परीक्षणों की हमेशा एक सीमित संख्या होती है, जिसमें किसी भी अग्रिम संभावना के साथ, कम होती है 1 किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति उसकी संभाव्यता से यथासंभव कम भिन्न होगी।

बड़ी संख्या के नियम का सामान्य अर्थ: बड़ी संख्या में समान और स्वतंत्र यादृच्छिक कारकों की संयुक्त कार्रवाई से ऐसा परिणाम मिलता है, जो सीमा में, संयोग पर निर्भर नहीं करता है।

परिमित नमूना विश्लेषण के आधार पर संभाव्यता का अनुमान लगाने की विधियाँ इसी संपत्ति पर आधारित हैं। इसका एक स्पष्ट उदाहरण मतदाताओं के नमूने के सर्वेक्षण के आधार पर चुनाव परिणामों का पूर्वानुमान है।

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आइए बड़ी संख्याओं के नियम पर नजर डालें, जो शायद गणित और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे सहज ज्ञान युक्त कानून है। और क्योंकि यह बहुत सी चीज़ों पर लागू होता है, इसलिए कभी-कभी इसका उपयोग किया जाता है और गलत समझा जाता है। पहले मैं इसे सटीकता के लिए परिभाषित कर दूं, और फिर हम अंतर्ज्ञान के बारे में बात करेंगे। आइए एक यादृच्छिक चर लें, उदाहरण के लिए एक्स। मान लें कि हम इसकी गणितीय अपेक्षा या जनसंख्या के लिए औसत जानते हैं। बड़ी संख्या का नियम बस इतना कहता है कि यदि हम एक यादृच्छिक चर के अवलोकनों की nवीं संख्या का उदाहरण लेते हैं और उन सभी अवलोकनों का औसत लेते हैं...आइए एक चर लेते हैं। चलिए इसे सबस्क्रिप्ट n और शीर्ष पर एक बार के साथ X कहते हैं। यह हमारे यादृच्छिक चर के अवलोकनों की nवीं संख्या का अंकगणितीय माध्य है। यहाँ मेरा पहला अवलोकन है. मैं एक बार प्रयोग करता हूं और यह अवलोकन करता हूं, फिर मैं इसे दोबारा करता हूं और यह अवलोकन करता हूं, और मैं इसे फिर से करता हूं और यह प्राप्त करता हूं। मैं इस प्रयोग को nवीं बार करता हूं, और फिर अपने अवलोकनों की संख्या से विभाजित करता हूं। यहाँ मेरा नमूना माध्य है। यहां मेरे द्वारा किए गए सभी अवलोकनों का औसत है। बड़ी संख्याओं का नियम हमें बताता है कि मेरा नमूना माध्य यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य के करीब पहुंच जाएगा। या मैं यह भी लिख सकता हूं कि मेरा नमूना माध्य अनंत की ओर प्रवृत्त nवीं मात्रा के लिए जनसंख्या माध्य के करीब पहुंच जाएगा। मैं "अनुमान" और "अभिसरण" के बीच स्पष्ट अंतर नहीं करूंगा, लेकिन मुझे आशा है कि आप सहज रूप से समझ जाएंगे कि यदि मैं यहां एक काफी बड़ा नमूना लेता हूं, तो मुझे समग्र रूप से जनसंख्या के लिए अपेक्षित मूल्य मिलेगा। मुझे लगता है कि आप में से अधिकांश लोग सहज रूप से समझते हैं कि यदि मैं उदाहरणों के एक बड़े नमूने के साथ पर्याप्त परीक्षण करता हूं, तो अंततः परीक्षण मुझे अपेक्षित मूल्य और संभाव्यता और उस सभी जाज को ध्यान में रखते हुए वे मूल्य देंगे जिनकी मैं अपेक्षा करता हूं। लेकिन मुझे लगता है कि यह अक्सर अस्पष्ट होता है कि ऐसा क्यों होता है। और इससे पहले कि मैं समझाऊं कि ऐसा क्यों है, मैं एक विशिष्ट उदाहरण देता हूं। बड़ी संख्याओं का नियम हमें बताता है कि... मान लीजिए कि हमारे पास एक यादृच्छिक चर X है। यह एक उचित सिक्के के 100 उछालों में चित्त की संख्या के बराबर है। सबसे पहले, हम इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को जानते हैं। यह किसी भी परीक्षण की सफलता की संभावना से गुणा किए गए सिक्के या परीक्षण की संख्या है। तो यह 50 के बराबर है. अर्थात्, बड़ी संख्या का नियम कहता है कि यदि हम एक नमूना लेते हैं, या यदि मैं इन परीक्षणों का औसत निकालता हूँ, तो मुझे मिलेगा। .. पहली बार जब मैं परीक्षण करता हूं, तो मैं एक सिक्के को 100 बार उछालूंगा, या मैं सौ सिक्कों वाला एक बक्सा लूंगा, उसे हिलाऊंगा, और फिर गिनूंगा कि मुझे कितने चित मिले, और मुझे मिलेगा, मान लीजिए , संख्या 55. वह X1 होगा. फिर मैं बॉक्स को दोबारा हिलाता हूं और संख्या 65 प्राप्त करता हूं। फिर से और मुझे 45 मिलता है। और मैं इसे कई बार करता हूं, और फिर इसे परीक्षणों की संख्या से विभाजित करता हूं। बड़ी संख्या का नियम हमें बताता है कि जैसे-जैसे n अनंत की ओर बढ़ेगा, यह औसत (मेरे सभी अवलोकनों का औसत) 50 तक पहुंच जाएगा। अब मैं इस बारे में थोड़ी बात करना चाहूँगा कि ऐसा क्यों होता है। बहुत से लोग मानते हैं कि यदि 100 परीक्षणों के बाद मेरा परिणाम औसत से ऊपर है, तो संभाव्यता के नियमों के अनुसार, अंतर की भरपाई करने के लिए मुझे अधिक या कम चित मिलने चाहिए। बिल्कुल ऐसा नहीं होने वाला है। इसे अक्सर "जुआरी का भ्रम" कहा जाता है। आइए मैं आपको अंतर दिखाता हूं. मैं निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करूंगा. मुझे एक ग्राफ़ बनाने दीजिए. चलो रंग बदलते हैं. यह n है, मेरा x अक्ष n है। यह उन परीक्षणों की संख्या है जो मैं करूँगा। और मेरा Y अक्ष नमूना माध्य होगा। हम जानते हैं कि इस मनमाने चर की गणितीय अपेक्षा 50 है। मुझे इसे चित्रित करने दो. यह 50 है। आइए अपने उदाहरण पर वापस आते हैं। यदि n है... अपने पहले परीक्षण के दौरान मुझे 55 अंक मिले, यह मेरा औसत है। मेरे पास केवल एक डेटा प्रविष्टि बिंदु है। फिर दो परीक्षणों के बाद मुझे 65 मिलते हैं। तो मेरा औसत 65+55 होगा जिसे 2 से विभाजित किया जाएगा। यह 60 है। और मेरा औसत थोड़ा बढ़ गया है। फिर मुझे 45 अंक मिले, जिससे मेरा अंकगणितीय औसत फिर से कम हो गया। मैं 45 का प्लॉट नहीं करने जा रहा हूं। अब मुझे इन सबका औसत निकालने की जरूरत है। 45+65 किसके बराबर होता है? मुझे बिंदु को दर्शाने के लिए इस मान की गणना करने दीजिए। वह 165 को 3 से विभाजित करता है। वह 53 है। नहीं, 55। तो औसत वापस 55 हो जाता है। हम ये परीक्षण जारी रख सकते हैं. जब हमने तीन परीक्षण किए और वह औसत प्राप्त कर लिया, तो बहुत से लोग सोचते हैं कि संभाव्यता देवता यह सुनिश्चित करेंगे कि हमें भविष्य में कम अंक मिले, कि अगले कुछ परीक्षणों में औसत को कम करने के लिए कम अंक होंगे। लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता. भविष्य में संभावना सदैव समान रहती है। मुझे चित मिलने की हमेशा 50% संभावना रहेगी। ऐसा नहीं है कि शुरू में मुझे एक निश्चित संख्या में चित मिले, मेरी अपेक्षा से अधिक, और फिर अचानक मुझे पट आना पड़े। यह जुआरी का भ्रम है. सिर्फ इसलिए कि आपको असंगत रूप से बड़ी संख्या में सिर मिलते हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि किसी बिंदु पर आपको असंगत रूप से बड़ी संख्या में पूंछें मिलनी शुरू हो जाएंगी। यह पूरी तरह से सच नहीं है। बड़ी संख्या का नियम हमें बताता है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। मान लीजिए कि परीक्षणों की एक निश्चित संख्या के बाद, आपका औसत... इसकी संभावना काफी कम है, लेकिन, फिर भी... मान लें कि आपका औसत इस अंक - 70 तक पहुंच गया है। आप सोचते हैं, "वाह, हम अपेक्षित मूल्य से दूर चले गए हैं।" लेकिन बड़ी संख्या का नियम कहता है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितने परीक्षण करते हैं। हमारे सामने अभी भी अनगिनत चुनौतियाँ हैं। इस अनंत संख्या में परीक्षणों की गणितीय अपेक्षा, विशेष रूप से ऐसी स्थिति में, इस प्रकार होगी। जब आप एक सीमित संख्या पर आते हैं जो कुछ बड़े मूल्य को व्यक्त करता है, तो एक अनंत संख्या जो इसके साथ मिलती है वह फिर से अपेक्षित मूल्य की ओर ले जाएगी। बेशक, यह एक बहुत ही ढीली व्याख्या है, लेकिन बड़ी संख्या का नियम हमें यही बताता है। क्या यह महत्वपूर्ण है। यह हमें यह नहीं बताता कि यदि हमें बहुत सारे चित मिलते हैं, तो किसी तरह क्षतिपूर्ति के लिए पट आने की संभावना बढ़ जाएगी। यह कानून हमें बताता है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सीमित संख्या में परीक्षणों का परिणाम क्या होगा, जब तक कि आपके पास अभी भी अनंत संख्या में परीक्षण शेष हैं। और यदि आप उनमें से पर्याप्त करते हैं, तो आप फिर से अपेक्षित मूल्य पर वापस आ जाएंगे। यह एक महत्वपूर्ण मुद्दा है। इसके बारे में सोचो। लेकिन लॉटरी और कैसीनो के अभ्यास में इसका उपयोग हर दिन नहीं किया जाता है, हालांकि यह ज्ञात है कि यदि आप पर्याप्त परीक्षण करते हैं... हम इसकी गणना भी कर सकते हैं... क्या संभावना है कि हम गंभीरता से आदर्श से विचलित हो जाएंगे? लेकिन कैसीनो और लॉटरी हर दिन इस सिद्धांत पर काम करते हैं कि यदि आप स्वाभाविक रूप से, कम समय में, एक छोटे से नमूने के साथ पर्याप्त लोगों को लेते हैं, तो कुछ लोग जैकपॉट जीतेंगे। लेकिन लंबे समय में, कैसीनो उन खेलों के मापदंडों के कारण हमेशा जीतेगा जिन्हें वे आपको खेलने के लिए आमंत्रित करते हैं। यह संभाव्यता का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है जो सहज है। हालाँकि कभी-कभी जब इसे औपचारिक रूप से आपको यादृच्छिक चर के साथ समझाया जाता है, तो यह सब थोड़ा भ्रमित करने वाला लगता है। यह सारा कानून यही कहता है कि जितने अधिक नमूने होंगे, उन नमूनों का अंकगणितीय माध्य उतना ही अधिक वास्तविक माध्य की ओर प्रवृत्त होगा। और अधिक विशिष्ट होने के लिए, आपके नमूने का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के साथ अभिसरण होगा। बस इतना ही। अगले वीडियो में मिलते हैं!

बड़ी संख्या का कमजोर नियम

बड़ी संख्या के कमजोर नियम को जैकब बर्नौली के नाम पर बर्नौली का प्रमेय भी कहा जाता है, जिन्होंने इसे 1713 में सिद्ध किया था।

मान लीजिए कि समान रूप से वितरित और असंबद्ध यादृच्छिक चर का एक अनंत अनुक्रम (अनुक्रमिक गणना) है। अर्थात् उनका सहप्रसरण c o v (X i , X j) = 0 , ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\forall i\not =j). होने देना । आइए हम पहले के नमूना औसत से निरूपित करें एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)सदस्य:

.

तब X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

यानी किसी भी सकारात्मक के लिए ε (\displaystyle \varepsilon)

लिम एन → ∞ पीआर (| एक्स ¯ एन − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

बड़ी संख्या का मजबूत कानून

मान लीजिए कि स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक अनंत अनुक्रम है ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), एक संभाव्यता स्थान पर परिभाषित (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). होने देना E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E). आइए हम इसे निरूपित करें X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n))पहले का नमूना माध्य एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)सदस्य:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

तब X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu )लगभग हमेशा।

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. दाएँ)=1.) .

किसी भी गणितीय कानून की तरह, बड़ी संख्या के कानून को वास्तविक दुनिया में केवल कुछ मान्यताओं के तहत ही लागू किया जा सकता है जिन्हें केवल कुछ हद तक सटीकता के साथ ही पूरा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्रमिक परीक्षण स्थितियों को अक्सर अनिश्चित काल तक और पूर्ण सटीकता के साथ बनाए नहीं रखा जा सकता है। इसके अलावा, बड़ी संख्या का कानून केवल बोलता है असंभवतागणितीय अपेक्षा से औसत मान का महत्वपूर्ण विचलन।

सफल सेल्सपर्सन का रहस्य क्या है? यदि आप किसी भी कंपनी के सर्वश्रेष्ठ सेल्सपर्सन को देखें, तो आप देखेंगे कि उनमें एक बात समान है। उनमें से प्रत्येक अधिक लोगों से मिलता है और कम सफल सेल्सपर्सन की तुलना में अधिक प्रस्तुतियाँ देता है। ये लोग समझते हैं कि बिक्री एक संख्या का खेल है और जितने अधिक लोगों को वे अपने उत्पादों या सेवाओं के बारे में बताएंगे, उतने ही अधिक सौदे वे करेंगे - बस इतना ही। वे समझते हैं कि यदि वे न केवल उन कुछ लोगों के साथ संवाद करते हैं जो निश्चित रूप से उनके लिए हाँ कहेंगे, बल्कि उन लोगों के साथ भी जिनकी उनके प्रस्ताव में रुचि इतनी अधिक नहीं है, तो औसत का नियम उनके पक्ष में काम करेगा।

आपकी आय बिक्री की संख्या पर निर्भर करेगी, लेकिन साथ ही, यह आपके द्वारा की गई प्रस्तुतियों की संख्या के सीधे आनुपातिक होगी। एक बार जब आप औसत के नियम को समझ लेते हैं और उसका अभ्यास कर लेते हैं, तो नया व्यवसाय शुरू करने या नए क्षेत्र में काम करने से जुड़ी चिंता कम होने लगेगी। परिणामस्वरूप, पैसा कमाने की आपकी क्षमता पर नियंत्रण और आत्मविश्वास की भावना बढ़ने लगेगी। यदि आप केवल प्रस्तुतियाँ देते हैं और इस प्रक्रिया में अपने कौशल को निखारते हैं, तो सौदे आएँगे।

सौदों की संख्या के बारे में सोचने के बजाय प्रस्तुतियों की संख्या के बारे में बेहतर सोचें। सुबह उठने या शाम को घर आकर यह सोचने का कोई मतलब नहीं है कि आपका उत्पाद कौन खरीदेगा। इसके बजाय, यह योजना बनाना सबसे अच्छा है कि आपको प्रत्येक दिन कितनी कॉल करने की आवश्यकता है। और फिर, चाहे कुछ भी हो - ये सभी कॉल करें! यह दृष्टिकोण आपके काम को आसान बना देगा - क्योंकि यह एक सरल और विशिष्ट लक्ष्य है। यदि आप जानते हैं कि आपके पास एक विशिष्ट और प्राप्त करने योग्य लक्ष्य है, तो आपके लिए नियोजित संख्या में कॉल करना आसान हो जाएगा। यदि आप इस प्रक्रिया के दौरान कुछ बार "हाँ" सुनते हैं, तो और भी अच्छा!

और यदि "नहीं" है, तो शाम को आप महसूस करेंगे कि आपने वह सब कुछ ईमानदारी से किया जो आप कर सकते थे, और आपको यह सोचकर पीड़ा नहीं होगी कि आपने एक दिन में कितना पैसा कमाया या कितने साथी हासिल किए।

मान लीजिए कि आपकी कंपनी या व्यवसाय में, औसत विक्रेता प्रति चार प्रस्तुतियों में एक सौदा बंद करता है। अब कल्पना करें कि आप एक डेक से कार्ड निकाल रहे हैं। तीन सूटों - हुकुम, हीरे और क्लब - का प्रत्येक कार्ड एक प्रस्तुति है जिसमें आप पेशेवर रूप से एक उत्पाद, सेवा या अवसर प्रस्तुत करते हैं। आप इसे जितना अच्छा कर सकते हैं करते हैं, लेकिन फिर भी आप सौदा बंद नहीं करते हैं। और प्रत्येक हार्ट कार्ड एक ऐसा सौदा है जो आपको धन प्राप्त करने या एक नया साथी प्राप्त करने की अनुमति देता है।

ऐसी स्थिति में, क्या आप डेक से अधिक से अधिक कार्ड नहीं निकालना चाहेंगे? मान लीजिए कि आपको भुगतान करते समय जितने चाहें उतने कार्ड निकालने की पेशकश की जाती है या हर बार जब आप हार्ट कार्ड बनाते हैं तो आपको एक नया साथी देने की पेशकश की जाती है। आप उत्साहपूर्वक कार्ड बनाना शुरू कर देंगे, लेकिन ध्यान ही नहीं देंगे कि जो कार्ड आपने अभी निकाला है वह किस प्रकार उपयुक्त है।

आप जानते हैं कि बावन पत्तों की एक गड्डी में तेरह दिल होते हैं। और दो डेक में छब्बीस हृदय कार्ड हैं, इत्यादि। जब आप हुकुम, हीरे या क्लब बनाएंगे तो क्या आप निराश होंगे? बिल्कुल नहीं! आप केवल यही सोचेंगे कि ऐसी प्रत्येक "मिस" आपको किस चीज़ के करीब लाती है? हृदय कार्ड के लिए!

लेकिन आप जानते हैं कि क्या? ऐसा ऑफर आपको पहले ही दिया जा चुका है. आप जितना चाहें उतना कमाने और अपने जीवन में जितने चाहें उतने दिल खींचने की एक अनोखी स्थिति में हैं। और यदि आप केवल कर्तव्यनिष्ठा से "कार्ड बनाते हैं", अपने कौशल में सुधार करते हैं और थोड़ा हुकुम, हीरे और क्लब सहते हैं, तो आप एक उत्कृष्ट सेल्समैन बन जाएंगे और सफलता प्राप्त करेंगे।

एक चीज़ जो बिक्री को इतना मज़ेदार बनाती है, वह यह है कि हर बार जब आप डेक बदलते हैं, तो कार्ड अलग-अलग तरह से फेंटे जाते हैं। कभी-कभी सभी दिल डेक की शुरुआत में समाप्त हो जाते हैं, और एक भाग्यशाली लकीर के बाद (जब ऐसा लगता है कि हम कभी नहीं हारेंगे!) एक अलग सूट के कार्ड की एक लंबी कतार हमारा इंतजार कर रही है। और अन्य समय में, पहले दिल तक पहुंचने के लिए, आपको अनगिनत हुकुमों, क्लबों और हीरों से गुजरना पड़ता है। और कभी-कभी अलग-अलग सूट के कार्ड सख्ती से क्रम में दिखाई देते हैं। लेकिन किसी भी स्थिति में, बावन पत्तों के प्रत्येक डेक में, किसी न किसी क्रम में, हमेशा तेरह दिल होते हैं। बस कार्डों को तब तक बाहर निकालें जब तक आप उन्हें ढूंढ न लें।

प्रेषक: लेइल्या,  

बड़ी संख्या का नियम

एक सामान्य सिद्धांत, जिसके आधार पर यादृच्छिक कारकों का संयोजन, कुछ बहुत ही सामान्य परिस्थितियों में, संयोग से लगभग स्वतंत्र परिणाम की ओर ले जाता है। परीक्षणों की संख्या बढ़ने पर इसकी संभावना के साथ एक यादृच्छिक घटना की आवृत्ति का अभिसरण (पहली बार देखा गया, जाहिरा तौर पर, जुए में) इस सिद्धांत के संचालन के पहले उदाहरण के रूप में काम कर सकता है।

17वीं और 18वीं शताब्दी के मोड़ पर। जे. बर्नौली ने एक प्रमेय साबित किया जिसमें कहा गया है कि स्वतंत्र परीक्षणों के अनुक्रम में, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित घटना की घटना का मूल्य समान है, निम्नलिखित संबंध सत्य है:

किसी के लिए - पहले परीक्षणों में घटना की घटनाओं की संख्या, - घटनाओं की आवृत्ति। यह बर्नौली का प्रमेयएस पॉइसन द्वारा स्वतंत्र परीक्षणों के अनुक्रम के मामले में विस्तारित किया गया था, जहां घटना ए की घटना की संभावना परीक्षण की संख्या पर निर्भर हो सकती है। मान लीजिए कि kवें परीक्षण के लिए यह प्रायिकता बराबर है और मान लीजिए

तब पॉइसन का प्रमेयबताता है

किसी के लिए इस प्रमेय का पहला कठोर दृष्टिकोण पी. एल. चेबीशेव (1846) द्वारा दिया गया था, जिसकी विधि पॉइसन की विधि से पूरी तरह से अलग है और कुछ चरम विचारों पर आधारित है; एस. पॉइसन ने गॉस के नियम के उपयोग के आधार पर, संकेतित संभाव्यता के लिए एक अनुमानित सूत्र से (2) प्राप्त किया और उस समय अभी तक इसकी सख्ती से पुष्टि नहीं की गई थी। एस. पॉइसन को पहली बार "बड़ी संख्याओं का कानून" शब्द का सामना करना पड़ा, जिसे उन्होंने बर्नौली के प्रमेय का सामान्यीकरण कहा।

बर्नौली और पॉइसन के प्रमेयों का एक स्वाभाविक और सामान्यीकरण तब उत्पन्न होता है जब हम देखते हैं कि यादृच्छिक चर को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

स्वतंत्र यादृच्छिक चर, जहां यदि ए एथ परीक्षण में प्रकट होता है, और - अन्यथा। साथ ही, गणितीय अपेक्षा (गणितीय अपेक्षाओं के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाते हुए) बर्नौली मामले और पॉइसन मामले के लिए पी के बराबर है। दूसरे शब्दों में, दोनों ही मामलों में अंकगणितीय माध्य के विचलन पर विचार किया जाता है एक्स केउनके गणितीय अंकगणितीय माध्य से अपेक्षाएं।

पी. एल. चेबीशेव के काम "औसत मूल्यों पर" (1867) में, यह स्थापित किया गया था कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए संबंध

(किसी के लिए) बहुत सामान्य धारणाओं के तहत सत्य है। पी. एल. चेबीशेव ने माना कि गणितज्ञ। उम्मीदें सभी एक ही स्थिरांक से बंधी हुई हैं, हालांकि उनके प्रमाण से यह स्पष्ट है कि बंधे हुए भिन्नताओं की आवश्यकता पर्याप्त है

या यहां तक ​​कि मांग भी करता है

इस प्रकार, पी. एल. चेबीशेव ने बर्नौली के प्रमेय के व्यापक सामान्यीकरण की संभावना दिखाई। ए. ए. मार्कोव ने आगे सामान्यीकरण की संभावना पर ध्यान दिया और बी.एच.जेड. नाम का उपयोग करने का सुझाव दिया। बर्नौली के प्रमेय के सामान्यीकरण के पूरे सेट के लिए [और विशेष रूप से (3)]। चेबीशेव की विधि गणित के सामान्य गुणों की सटीक स्थापना पर आधारित है। अपेक्षाएँ और तथाकथित के उपयोग पर। चेबीशेव असमानताएँ[संभावना (3) के लिए यह फॉर्म का अनुमान देता है

इस सीमा को निश्चित रूप से, अधिक महत्वपूर्ण प्रतिबंधों के तहत, अधिक सटीक सीमा से बदला जा सकता है, देखें बर्नस्टीन असमानता]. बी.एच.जेड. के विभिन्न रूपों के बाद के साक्ष्य। किसी न किसी हद तक चेबीशेव पद्धति का विकास हुआ है। यादृच्छिक चर के उचित "कटिंग" को लागू करना (उन्हें सहायक चर के साथ प्रतिस्थापित करना अर्थात्:, यदि कुछ निश्चित स्थिरांक हैं), ए. ए. मार्कोव ने बी भाग को बढ़ाया। ऐसे मामलों के लिए जहां शर्तों में भिन्नता मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, उन्होंने दिखाया कि (3) तब होता है, जब कुछ निश्चित स्थिरांकों के लिए और हर कोई और

यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करने के अभ्यास से पता चलता है कि यद्यपि व्यक्तिगत अवलोकनों के परिणाम, यहां तक ​​​​कि समान परिस्थितियों में किए गए भी, काफी भिन्न हो सकते हैं, साथ ही, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में अवलोकनों के औसत परिणाम स्थिर होते हैं और कमजोर रूप से निर्भर होते हैं व्यक्तिगत अवलोकनों के परिणाम.

यादृच्छिक घटना की इस उल्लेखनीय संपत्ति का सैद्धांतिक आधार है बड़ी संख्या का नियम. "बड़ी संख्याओं का नियम" नाम प्रमेयों के एक समूह को जोड़ता है जो बड़ी संख्या में यादृच्छिक घटनाओं के औसत परिणामों की स्थिरता स्थापित करता है और इस स्थिरता का कारण बताता है।

बड़ी संख्या के नियम का सबसे सरल रूप और ऐतिहासिक रूप से इस खंड का पहला प्रमेय है बर्नौली का प्रमेय, जो बताता है कि यदि किसी घटना की संभावना सभी परीक्षणों में समान है, तो जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, घटना की आवृत्ति घटना की संभावना की ओर बढ़ती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाती है।

पॉइसन के प्रमेय में कहा गया है कि स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में किसी घटना की आवृत्ति उसकी संभावनाओं के अंकगणितीय माध्य की ओर बढ़ती है और यादृच्छिक होना बंद हो जाती है।

संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय, प्रमेय मोइवरे-लाप्लासकिसी घटना के घटित होने की आवृत्ति की स्थिरता की प्रकृति की व्याख्या कर सकेंगे। यह प्रकृति इस तथ्य में निहित है कि परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ किसी घटना की घटनाओं की संख्या का सीमित वितरण (यदि सभी परीक्षणों में घटना की संभावना समान है) सामान्य वितरण।

केंद्रीय सीमा प्रमेय व्यापकता की व्याख्या करता है सामान्य कानूनवितरण. प्रमेय में कहा गया है कि जब भी परिमित भिन्नता वाले स्वतंत्र यादृच्छिक चर की एक बड़ी संख्या को जोड़ने के परिणामस्वरूप एक यादृच्छिक चर बनता है, तो इस यादृच्छिक चर का वितरण कानून व्यावहारिक रूप से सामने आता है सामान्यकानून द्वारा.

नीचे दिए गए प्रमेय का शीर्षक है " बड़ी संख्या का नियम" बताता है कि कुछ, काफी सामान्य परिस्थितियों में, यादृच्छिक चर की संख्या में वृद्धि के साथ, उनका अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षाओं के अंकगणितीय माध्य की ओर जाता है और यादृच्छिक होना बंद हो जाता है।

लायपुनोव का प्रमेय व्यापकता की व्याख्या करता है सामान्य कानूनवितरण और इसके गठन के तंत्र की व्याख्या करता है। प्रमेय हमें यह बताने की अनुमति देता है कि जब भी बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के परिणामस्वरूप एक यादृच्छिक चर बनता है, जिनमें से भिन्नताएं योग के भिन्नता की तुलना में छोटी होती हैं, तो इस यादृच्छिक चर का वितरण कानून बदल जाता है व्यावहारिक रूप से बाहर होना सामान्यकानून द्वारा. और चूंकि यादृच्छिक चर हमेशा अनंत कारणों से उत्पन्न होते हैं और अक्सर उनमें से किसी का भी यादृच्छिक चर के फैलाव के बराबर फैलाव नहीं होता है, व्यवहार में आने वाले अधिकांश यादृच्छिक चर सामान्य वितरण कानून के अधीन होते हैं।

बड़ी संख्या के नियम के गुणात्मक एवं मात्रात्मक कथनों पर आधारित हैं चेबीशेव असमानता. यह इस संभावना पर ऊपरी सीमा निर्धारित करता है कि किसी यादृच्छिक चर के मान का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन एक निश्चित निर्दिष्ट संख्या से अधिक है। यह उल्लेखनीय है कि चेबीशेव की असमानता किसी घटना की संभावना का अनुमान देती है एक यादृच्छिक चर के लिए जिसका वितरण अज्ञात है, केवल इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात है।

चेबीशेव की असमानता।यदि एक यादृच्छिक चर x में भिन्नता है, तो किसी भी e > 0 के लिए निम्नलिखित असमानता होती है: , कहाँ एमएक्स और डी x - गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर x का विचरण।

बर्नौली का प्रमेय.मान लीजिए m n, n बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है और p एक व्यक्तिगत परीक्षण में सफलता की संभावना है। तब किसी भी e > 0 के लिए यह सत्य है .

केंद्रीय सीमा प्रमेय।यदि यादृच्छिक चर x 1 , x 2 , …, x n , … जोड़ीवार स्वतंत्र हैं, समान रूप से वितरित हैं और परिमित विचरण हैं, तो n ® के लिए समान रूप से x (- ,) में