Fraktalno slikanje je jedna od metoda umjetničke terapije, najpristupačnija i najefikasnija za korekciju i harmonizaciju psihoemocionalnog i ličnog stanja kako djeteta tako i odrasle osobe. Zasnovan je na odnosu između fine motoričke sposobnosti osoba i njegova mentalno stanje... Metoda fraktalnog crtanja se primjenjuje u individualni rad sa djetetom (ili odraslom osobom) za ispravljanje poremećaja psihoemocionalnog stanja - doživljavanje osjećaja izgubljenosti, period adaptacije, ublažavanje anksioznosti, napetosti, umora.

Skinuti:

Pregled:

Fraktalno crtanje je jedna od metoda umjetničke terapije, najpristupačnija i najefikasnija za korekciju i harmonizaciju psihoemocionalnog i ličnog stanja i kod djeteta i kod odrasle osobe. Metodu fraktalnog crtanja razvila je T. Z Polyuyakhtova 1991. godine na osnovu naučnih i primijenjenih istraživanja B. Mandelbrota,

E. Fandysh, M. Lushera. Zasnovan je na odnosu finih motoričkih sposobnosti osobe i njegovog psihičkog stanja, jer crtež nosi informaciju o stanju duha i tijela.

Korištenje fraktalnog slikanja za ispravljanje emocionalnog stanja

Metoda fraktalnog crtanja može se koristiti u individualnom radu s djetetom (ili odraslom osobom) za ispravljanje poremećaja psihoemocionalnog stanja - doživljavanje osjećaja izgubljenosti, period adaptacije, ublažavanje anksioznosti, napetosti, umora.

fraktal ( lat fractus - zgnječen, slomljen, slomljen) je složena geometrijska figura sa svojstvom "samosličnosti", odnosno sastavljena od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini.

Relativna kontraindikacija za upotrebu tehnike u radu sa decom predškolskog uzrasta je prisustvo minimalne cerebralne disfunkcije (MMD). Djeci sa MMD aktivnog i reaktivnog tipa vrlo je teško da rade jednu stvar duže vrijeme. Bojenje mnogih "prozora" s vremenom počinje da ih iritira, interes za dovršetak zadatka brzo se smanjuje, a ometanje se povećava (ovi se procesi ne mogu razviti dok se mozak ne normalizira).

Korekcijski (ili funkcionalni) crteži se izvode svjesno, linije se crtaju zatvorenim očima, zatim se analizira probni crtež, razjašnjava se problem i razvija se mehanizam za njegovo rješavanje, postoji obavezan izbor boje za bojenje.

Obavezno je završiti 21 crtež u roku od 2-3 sedmice.

Da biste uklonili ozbiljnost problema, preporučuje se postepeno širenje boje naznačene tačke na odgovarajuće srednje ćelije. Zatim premjestite ćelije s neželjenom bojom od centra do perimetra slike. Na primjer, možete koristiti kombinaciju plave, cijan, zelene i narandže cvijeće(ponekad roze), što daje pozitivnu dinamiku za razvoj i rješavanje problema.

Korištenje fraktalne metode u grupnom radu

Fraktalni crtež se može koristiti za proučavanje odnosa u timu (djeca i odrasli), problema kompatibilnosti, psihološke klime.

Metoda fraktalnog slikanja u kombinaciji sa muzikoterapijom može se koristiti kao tehnologija za očuvanje zdravlja za ublažavanje stresa i umora tokom perioda velikog opterećenja.

Aneks 1

Metoda fraktalnog crtanja

Cilj: dijagnostika i korekcija psihoemocionalnog i fiziološkog stanja odraslih i djece (5 godina i više).

Oblik vođenja... Kod djece starijeg predškolskog uzrasta preporučuje se individualni oblik ponašanja, kod odraslih - individualni i grupni oblici.

Potreban materijal: set olovaka u boji (flomastera) što više nijansi boja, list papira (A4).

Upute za prvi (probni) crtež

Upute za dijete

Crtaćemo magične šare. Pripremila sam papir i olovke (za djecu predškolskog uzrasta bolje je koristiti olovke).

♦ Položite list vodoravno.

♦ Uzmite olovku i stavite je bilo gdje na list.

♦ Sada zatvorite oči, odmjerit ću vrijeme, a vi ćete početi crtati kontinuiranu liniju, pokušavajući popuniti što je moguće više lista. Linija treba da bude jasna, dobro povučena. Crtajte mirno, nemojte prikazivati ​​poznate figure (kuće, drveće, cvijeće). Sve jasno? Onda krenimo sa crtanjem. (Za crtanje je predviđeno 30-45 sekundi, zavisno od individualnih karakteristika, brzine crtanja).

♦ Otvorite oči. Kakav zanimljiv uzorak imate, koliko različitih prozora imate na svom crtežu: okrugle, kvadratne. Ostavite bijelu pozadinu slike praznom. Početak i kraj linije će se sabrati ili zaokružiti na najbližu tačku.

♦ Pogledaj sada koliko olovaka imam. Sada ćemo farbati naše prozore. Potrebno je odabrati olovke sa zatvorenim očima.

Susedni prozori odvojeni linijom ne mogu se ispuniti istom bojom. (U slučaju da se u rukama nađe olovka iste boje, tada se mora prefarbati barem jedan prozor. Vrijeme bojenja je neograničeno).

Bilješka. Treba napomenuti da djeca od 5-6 godina crtaju samo velike ćelije. Djeca koja nisu sigurna u sebe, "potočena" ili koja slabo uče, po pravilu crtaju dovoljno velike ćelije i slobodno ih farbaju.

Instrukcije za odrasle

Sjednite, molim vas, kako vam odgovara. Imam papir, olovke, markere, olovke u boji.

♦ Postavite kuglicu olovke bilo gdje na listu. Crtaćemo neprekidnu liniju zatvorenih očiju, pokušajte da popunite što je moguće više lista. Bojićemo 45-60 sekundi. Linija bi trebala biti jasna. Brzina ručke je prosječna. Crtajte s puno horizontalnih, vertikalnih i dijagonalnih sjecišta. Izvodimo kružne, ovalne i druge pokrete koji liče geometrijske figure... Pokušajte izbjeći česta ponavljanja kružnih, u obliku petlje, 8 oblika i geometrijskih oblika. Zatvori oci. Počeli smo da farbamo.

♦ Bijela pozadina slike mora biti savršeno čista. Početak i kraj linije moraju se dovesti ili zaokružiti do najbliže tačke raskrsnice.

♦ Sada ćete obojiti svoj crtež. Olovke treba uzimati samo zatvorenih očiju. Zapamtite da susjedne ćelije odvojene linijom ne mogu biti popunjene istom bojom. Mogu se popuniti ako se ćelije dodiruju samo dijagonalno. (Možete obojiti od 1 do 10-15 ćelija jednom bojom. (U slučaju da se u rukama nađe olovka iste boje, tada se mora prefarbati barem jedna ćelija. Olovkom bojite samo najmanje ćelije.).

♦(Na kraju slikanja potrebno je razgovarati o emocionalnom stanju klijenta u procesu crtanja).

Dodatak 2

Dijagnostički kriteriji u analizi slike

Priroda linija

● Jasno povučene linije govore o samouvjerenom, čvrstom karakteru, svrsishodnosti, samostalnosti, tačnosti.

● Ne svuda isti pritisak pri povlačenju linije najčešće karakteriše kreativnu osobu fleksibilnog karaktera, emocionalno labilnu, ponekad nesamouverenu.

● Slabo povučene linije „govore“ o bolnom stanju, primetnom manjku samopouzdanja.

● Oštre, ugao povučene linije uočavaju se kod osobe koja je u stanju emocionalnog stresa i stresa.

● Linije sa glatkim prelazima ukazuju na harmonično, stabilno stanje.

● Raspored linija u koncentričnom krugu ili kružno ponavljanje na crtežu se posmatra sa tendencijom ka opsesivnim stanjima, neurozama.

Veličina i konfiguracija slike

● Mali crtež (ne više od 1/3 površine lista) nalazi se kod ljudi sa niskim samopoštovanjem, sklonih egocentričnosti.

● Prosječna veličina (oko 2/3 površine lista) slike je pokazatelj uravnoteženog karaktera.

● Veliki crtež (mnogo više od 2/3 površine lista) - ukazuje na nestabilno emocionalno stanje, u nekim slučajevima - na nestabilnost koncentracije.

● Pravougaoni oblik perimetra uzorka se primećuje kod pravolinijskih ljudi, često složenog karaktera.

● Crtež sa bizarno izraženim "repovima" oko perimetra - odraz blistave individualnosti, ekscentričnosti, u nekim slučajevima i nestabilnosti karaktera.

Konfiguracija i veličine ćelija

Ćelije u fraktalnoj ilustraciji

Po veličini (veliki, srednji, mali);

Po obliku (trokutasti, u obliku petlje, okrugli, izduženi).

Harmonična kombinacija veličine ćelija na cijeloj površini slike (1/3 velika, 1/3 srednja, 1/3 mala) govori o samopouzdanju, posvećenosti, stabilnosti.

Veliki broj velikih ćelija nalazi se na crtežima ljubazne, otvorene prirode;

srednje ćelije - izvršni, uredni, ponekad pedantni ljudi, u nekim slučajevima nesigurni u sebe, ali uvijek uredni i marljivi.

Preobilje kružnih oblika ukazuje na sklonost kroničnim neurozama i prisutnost opsesivnih stanja; linije u obliku petlje - o petlji osobe.

Glatke, zaobljene ćelije s malim brojem geometrijskih oblika uočavaju se kod razumnih, smirenih ljudi sklonih kreativnosti.

Veliki broj geometrijskih figura govori o izraženoj sklonosti ka analizi, skepticizmu u procjenama, direktnom autoritarnom karakteru i prisutnosti poslovnih kvaliteta.

Oštro ocrtane, ugaone, neravne ćelije ukazuju na emocionalnu nestabilnost, iritaciju, stres.

Mrlje

Velika crna tačka ukazuje na umor, stres.

Velika tamna mrlja simbol je akutnog ličnog problema.

Velike crvene ćelije ukazuju na predispoziciju za opsesivna stanja, anksioznost.

Primjetan broj crvenih mrlja srednje veličine pokazatelj je napetosti, nestabilnosti emocija.

Jedna ili više velikih smeđih ćelija su dugogodišnji problemi međuljudskih odnosa.

Na crtežima ljudi s prirodnom sposobnošću samoregulacije uočen je veliki broj nijansi zelene.

Jedan ili više velikihljubičaste ćelije- marker anksioznosti, agresije, akutnog stresa.

Boja

Čista, bez mrlja i mrlja, bijela pozadina slike - visoka koncentracija pažnje, marljivost.

Namjerno nezasjenjene bijele ćelije pokazatelj su nedovoljne upotrebe prirodnih sposobnosti.

Veliki broj ćelijažuta boja: radoznalost, nezavisan, samozatajan, umjereno tašt.

zelena boja: prirodne osobine samokorekcije, pronicljiv, emocionalno osetljiv, sposoban da sluša i razume sagovornika.

Travnato zelena (bliže močvari): velika fizička izdržljivost.

Kombinacija: zelena + žuta = povećana osjetljivost;

Zelena + žuta + plava = društvenost, unutrašnja harmonija.

plava boja: mir, težnja za stabilnošću, ravnotežom.

Tamnoplava (prevlast): napeto emocionalno stanje koje prelazi u depresiju.

Plava + crvena, smeđa, crna= nesreća emocionalnog okruženja u kojem se osoba nalazi.

Harmonična kombinacija plave+ plava + zelena + narandžasta = daje pozitivnu dinamiku razvoja, mogućnost dugotrajnog problema u životu osobe. Ova kombinacija se često koristi tokom korekcije.

Plava boja: osoba voli svoju porodicu, cijeni udobnost, udobnost; veliki broj ćelija - dodirljivost, ranjivost.

Ljubičasta boja : najčešće pozitivan, s njim je lako komunicirati; velika količina - sujeta koja traži čast; uobičajeno za djecu i adolescente.

Ljubičasta : radoholičari, važno je samoizražavanje.

ljubičasta boja: prisustvo "pomahnitale" nekontrolisane energije, manifestacija agresije (verbalne ili fizičke), često nekontrolisane.

crvena boja: boja alarma. Ako na slici ima puno ove boje, to je signal za uzbunu, autor je u izuzetno nestabilnom, neuravnoteženom stanju. Ako su crvene mrlje srednje veličine i ima ih mnogo, to je znak nestabilnog psiho-emocionalnog stanja, depresivnog raspoloženja. Obično su to trenutni problemi i nevolje, međutim, ako je opća pozadina slike tamna, to ukazuje da osoba ne zna izlaz iz situacije. Ako se organski isprepliće s drugim bojama - prilično skladna osoba, koja se dinamično razvija, ima stabilno životno okruženje.

Pink color: boja tople energije, preobilje ukazuje na nedostatak pažnje. Takvom djetetu je potrebna briga, pažnja, naklonost. Ružičasta ima terapeutski učinak u procesu korekcije (boja emocionalne podrške).

Grimizno + grimizno = anksioznost, napetost emocionalnog stanja, prisustvo problema. Grimizna boja govori o impulsivnosti i nepredvidljivosti. Kada je u skladnoj normi, personificira žudnju za napretkom i posvećenošću.

Gusti bordo, trešnja:boja snage, agresivne energije.

Narandžasta boja: Vitalna energija. Srednje ćelije - autor je vrlo veseo. Ako je u višku (velike ćelije ili puno srednjih), onda je to signal nesposobnosti osobe da poduzme jasne radnje i prisutnost kompleksa.Odsustvo ove boje na slici ukazuje na pad vitalnosti.

Peščano zlatna boja:boja svete energije je znak duhovnog bogatstva i duhovne širine.

Tamno smeđa boja:može se tvrditi da osoba ima duboko skriveni problem sa kojim se pomirio i (po njegovom mišljenju) ne može da se nosi sa njim.Tamno smeđa + crvena + tamno crvena + ljubičasta + crna = signal akutnog problema, kritičnog stanja (posebno kod djece).

Siva boja: boja prijelaza iz jednog stanja u drugo. Dominantno je znak graničnog stanja, osjećaja nelagode, emocionalne nestabilnosti i sumnje u sebe.

Osoba koja farba velike ćelije u sivo zahtijeva najveću pažnju (možda doktora).Male ćelije boje čelika simboliziraju konkretne promjene u sadašnjosti.

Crna boja: ako su prefarbane vrlo sitne ćelije, autor je inicijativan, aktivan, dinamičan. Veliki broj srednjih i velikih ćelija govori da se čovjek brzo psihički i fizički umori. Ovaj obrazac se uočava na crtežima ljudi u stanju profesionalnog izgaranja.

Za potpuniju i precizniju interpretaciju sadržaja boja crteža (uključujući kombinacije boja), možete koristiti "Enciklopediju znakova i tumačenja u projektivnom crtežu i umjetničkoj terapiji".

Lebedeva L.D., Nikonorova Yu.V., Tarakanova N.A. Enciklopedija znakova i interpretacija u projektivnom crtežu i umjetničkoj terapiji.-Pb.: Reč, 2002.

Državna budžetska obrazovna ustanova

Srednja škola broj 6 Samarske oblasti

gradski okrug Otradny, regija Samara

Strukturna podjela" Kindergarten br. 8"

___________________________________________________________________

Fraktalni crtež kao alat za dijagnostiku i korekciju psihoemocionalnog stanja

Pedagog-psiholog

Filippova E.A.

Fraktali su strukture koje proizlaze iz jednačina teorije haosa i sadrže vlastite redukovane kopije (samosličnost). Odnosno, ako ga podijelite na dijelove, dobit ćete gotovo identičnu minijaturu.

Ljepota fraktala je u tome što njihovu "beskonačnu" složenost formiraju relativno jednostavne linije. Ponavljanje ovih stvara lijepe i jedinstvene uzorke.

Magazin Wired sastavio je najimpresivnije fraktale pronađene na našoj planeti

Slane ravnice

Salt Flats u zaljevu San Francisco se koristi za komercijalnu proizvodnju soli više od jednog stoljeća. Ispod je fotografija najveće slane ravnice na svijetu, slane ravnice Uyuni, koja se nalazi u južnoj Boliviji. Sol crta iznenađujuće konzistentan, ali nasumičan uzorak, što je karakteristika fraktala.

Amoniti

Prije 65 miliona godina, amoniti su bili morski glavonošci koji su gradili spiralne školjke. Zidovi između komora, zvani šavovi, su složene rekurzivne krivulje. Stephen Jay Gould je naveo složenost amonitnih šavova kao primjer da ne postoji evolucijski sve složeniji obrazac i da smo mi samo "veličanstvena nesreća" sami u svemiru. Amonitne školjke također pokazuju logaritamsku spiralu koja se često javlja u prirodi.

Amoniti

Amoniti su bili inspiracija za izgradnju stepeništa katedrale u Barseloni, Španija.

Planine

Planine

Planine su rezultat tektonskih procesa koji potiskuju zemljinu koru prema gore. Rezultat je fraktal.

Ferns

Paprati su tipičan primjer reda koji se ponavlja, a njihov uzorak se može matematički reproducirati u bilo kojoj mjeri. Matematička formula koja opisuje paprati, nazvana po Michaelu Barnsleyu, bila je jedna od prvih koja je pokazala da iako je haos nepredvidiv, ipak slijedi određena pravila zasnovana na nelinearnim ponavljajućim jednadžbama. Drugim riječima, slučajni brojevi Reproducirani mnogo puta koristeći formulu Barnsley Fern, na kraju predstavljaju jedinstveni objekt u obliku paprati.

Oblaci

Ove stratusne oblake snimio je satelit Aqua iznad južnog Atlantika zapadno od obale Afrike. Rekurzivni obrazac je prekinut nizom dijagonalnih udubljenja. Prema NASA-inoj opservatoriji Zemlje, tako jasna granica unutar oblaka je prilično rijetka. Naučnici to tek treba da objasne.

Oblaci

Ispod je prikazano 320 km vrtložnih oblaka, vjerovatno najduži rekurzivni obrazac ikada dokumentovan, tvrdi NASA. Zovu se i von Karmanove vrtložne ulice, po inženjeru i specijalistu za aeronautiku. Oblačne ulice nastaju kada niske oblake probije neki predmet, kao što su krila aviona.

Lišće

Čudno, krčenje šuma duž autoputa je također fraktal. Ispod je fotografija jedne od "ćelavih" regija Amazona u državi Rondonia, u zapadnom Brazilu.

Kanjoni

Lažna slika u boji Canyon des Shay u Arizoni. Služba nacionalnih parkova ga je proglasila jednim od najdužih kontinuirano naseljenih područja u Sjevernoj Americi.

Vjerovatno ste mnogo puta vidjeli tako impresivne dizajne s mnogo boja i "kovrča"...
Mnogi od njih su izgrađeni uzastopnim kopiranjem pravilnih oblika, od kojih je svaki minijaturna kopija velikog ornamenta.
Ovaj vodič će vas naučiti kako napraviti slične uzorke u Adobe Photoshopu.

Evo krajnjeg rezultata onoga što ćemo uraditi:


Korak 1
Fraktal(lat. fractus - zgnječen) je pojam koji označava geometrijsku figuru sa svojstvom samosličnosti, odnosno sastavljenu od više dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri. U širem smislu, fraktali se shvataju kao skupovi tačaka u euklidskom prostoru koji imaju frakcionu metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju striktno veću od topološke. © Wikipedia
Pa, hajde da počnemo. Prvo kreirajte novi dokument veličine 1600x1200 piksela i postavite vodeće linije (Lenjiri (Ctrl + R)) u centar dokumenta. Zatim ispunite pozadinu kružnim gradijentom # 095261 - # 000000 strogo od centra.


Korak 2
Sada nacrtajmo običan krug... Da, ne šalim se, sve počinje jednostavnim krugom. Nacrtajte ga pomoću Ellipse Tool "a, držeći Shift. Moj je 83x83 piksela u sredini slike. Zatim kreirajte folder fraktalnog sloja i postavite sloj kruga tamo.


Korak 3
Dodajmo malo dubine krugu:

Korak 4
Sada duplirajte sloj kruga (Ctrl + J), promijenite mu veličinu i postavite ga kao što je prikazano na slici ispod:

Bijeli trokut mi služi kao vodič za pomicanje krugova :)
Korak 5
Ovdje počinje najsmješniji dio. Duplirajte sloj sa bazom našeg uzorka (prethodno spojite slojeve sa krugovima) i pritisnite Ctrl + Alt + T da uđete u režim besplatne transformacije.


Korak 6
Držeći Shift, zarotirajte uzorak za nekoliko stupnjeva u smjeru kazaljke na satu i malo ga smanjite. Zatim pomičemo centar transformacije ulijevo i ispod našeg uzorka (smjer ovisi o vašim potrebama). Pritisnemo Enter.

Korak 7
Sada je vrijeme za mali trik s jednom prečicom (Ctrl + Shift + Alt + T). Pritisnemo ovu čarobnu kombinaciju tipki. Šta se desilo? Photoshop je primenio iste opcije transformacije na novi objekat. Ovaj korak ćemo ponoviti nekoliko puta dok ne postignemo željeni rezultat.

Korak 8
Duplirajte folder Fractal i pritisnite Ctrl + E da ga spojite u jedan sloj. Sakrij originalni folder. Dobijeni uzorak postavljamo u donji desni sektor našeg dokumenta.

Korak 9
Odaberite rezultirajući sloj, duplicirajte ga i primijenite slobodnu transformaciju na njega sa pomakom centra transformacije na sredinu dokumenta. Proširite uzorak za 120 stepeni.

Korak 10
Uradite isto za treću stranu. Zatim kreirajte mapu slojeva i tamo stavite sva 3 rezultujuća uzorka. Duplirajte fasciklu i spojite njen sadržaj u jedan sloj (Ctrl + E).

Korak 11
Duplicirajte sloj i transformirajte ga:

Korak 12
Idite na meni Image-Adjustments-Hue/Saturation i postavite sljedeće parametre:

Korak 13
Ponavljamo tačke 11 i 12 (12 sa drugim parametrima):

Korak 14
Ovu tehniku ​​primjenjujemo mnogo puta dok ne postignemo sličan rezultat. Postavite sve rezultirajuće slojeve u novi folder, duplicirajte ga i ponovo spojite njegov sadržaj u jedan sloj (sve kreirano ranije može se sakriti).


Korak 15
Dodajte senku.

Korak 16
Izrađujemo manevre opisane u paragrafu 5 s rezultirajućim ornamentom.




Zaključak
Kao što možete vidjeti, mnogi prekrasni apstraktni dizajni mogu se stvoriti pomoću ove tehnike. Sretno u vašim nastojanjima! :)

Najgenijalnija otkrića u nauci mogu radikalno promijeniti ljudski život. Izmišljena vakcina može spasiti milione ljudi; stvaranje oružja, naprotiv, oduzima ove živote. Sasvim nedavno (na skali ljudske evolucije) naučili smo "ukrotiti" električnu energiju - a sada ne možemo zamisliti život bez svih ovih zgodnih uređaja koji koriste električnu energiju. Ali ima i takvih otkrića kojima malo ko pridaje značaj, iako i ona snažno utiču na naš život.

Jedno od ovih "nevidljivih" otkrića su fraktali. Vjerovatno ste čuli ovu privlačnu riječ, ali znate li šta ona znači i koliko se zanimljivih stvari krije u ovom pojmu?

Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, želju da uči o svijetu oko sebe. I u toj težnji čovjek pokušava da se pridržava logike u svojim prosudbama. Analizirajući procese koji se odvijaju oko njega, pokušava da pronađe konzistentnost onoga što se dešava i da izvede neku pravilnost. Najveći umovi na planeti zauzeti su ovim zadatkom. Grubo govoreći, naučnici traže obrazac tamo gdje ne bi trebao biti. Ipak, čak iu haosu možete pronaći vezu između događaja. A ova veza je fraktalna.

Naša kćerkica, od četiri i po godine, sada je u onoj divnoj dobi kada se broj pitanja "Zašto?" je višestruko veći od broja odgovora koje odrasli imaju vremena da daju. Ne tako davno, ispitujući granu podignutu od zemlje, moja ćerka je iznenada primetila da ova grana, sa grančicama i granama, i sama liči na drvo. I, naravno, uslijedilo je uobičajeno pitanje „Zašto?“ na koje su roditelji morali tražiti jednostavno objašnjenje koje bi dijete moglo razumjeti.

Sličnost jedne grane sa cijelim stablom koju je otkrilo dijete vrlo je točno zapažanje, što još jednom svjedoči o principu rekurzivne samosličnosti u prirodi. Mnogi organski i neorganski oblici u prirodi nastaju na sličan način. Oblaci, morske školjke, puževa "kuća", kora i krošnje drveća, krvožilni sistem i tako dalje - nasumični oblici svih ovih objekata mogu se opisati fraktalnim algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: otac fraktalne geometrije

Sama riječ "fraktal" pojavila se zahvaljujući genijalnom naučniku Benoîtu B. Mandelbrotu.

Sam je taj termin skovao sedamdesetih godina prošlog vijeka, pozajmivši riječ fractus iz latinskog, gdje ona doslovno znači "slomljen" ili "zgnječen". Šta je? Danas se riječ "fraktal" najčešće podrazumijeva grafička slika struktura koja je slična samoj sebi u većem obimu.

Matematički temelj za nastanak teorije fraktala postavljen je mnogo godina prije rođenja Benoita Mandelbrota, ali se mogao razviti tek s pojavom računarskih uređaja. Na početku svoje naučne karijere, Benoit je radio u IBM istraživačkom centru. U to vrijeme zaposleni u centru radili su na prenošenju podataka na daljinu. Tokom istraživanja, naučnici su se suočili sa problemom velikih gubitaka usled interferencije buke. Benoit je bio suočen s teškim i vrlo važnim zadatkom - razumjeti kako predvidjeti pojavu smetnji šuma u elektronskim kolima kada je statistička metoda neefikasna.

Gledajući kroz rezultate mjerenja buke, Mandelbrot je skrenuo pažnju na jedan čudan obrazac - grafikoni buke na različitim skalama izgledali su isto. Uočen je identičan obrazac bez obzira da li se radi o grafu buke za jedan dan, sedmicu ili sat. Bilo je potrebno promijeniti skalu grafikona, a slika se svaki put ponavljala.

Tokom svog života, Benoit Mandelbrot je više puta govorio da se nije bavio formulama, već se jednostavno igrao slikama. Ovaj čovjek je razmišljao vrlo slikovito, te je svaki algebarski problem prenio u oblast geometrije, gdje je, po njemu, tačan odgovor uvijek očigledan.

Nije iznenađujuće da je upravo osoba sa tako bogatom prostornom maštom postala otac fraktalne geometrije. Na kraju krajeva, razumijevanje suštine fraktala dolazi upravo kada počnete proučavati crteže i razmišljati o značenju čudnih vrtložnih obrazaca.

Fraktalni crtež nema identične elemente, ali je sličan u bilo kojoj mjeri. Konstruirajte takvu sliku sa visok stepen Ručno detaljiranje je ranije bilo jednostavno nemoguće, bilo je potrebno velika količina kalkulacije. Na primjer, francuski matematičar Pierre Joseph Louis Fatou opisao je ovaj skup više od sedamdeset godina prije otkrića Benoita Mandelbrota. Ako govorimo o principima samosličnosti, onda su oni spomenuti u djelima Leibniza i Georga Cantora.

Jedan od najranijih crteža fraktala bila je grafička interpretacija Mandelbrotovog skupa, koja je nastala istraživanjem Gastona Maurice Julia.

Gaston Julia (uvijek nosi masku - trauma iz Prvog svjetskog rata)

Ovaj francuski matematičar se pitao kako bi skup izgledao ako ga konstruišete na osnovu jednostavne formule koja se ponavlja u petlji povratne informacije... Ako objasnimo "na prste", to znači da za određeni broj pronađemo novu vrijednost po formuli, zatim je ponovo zamenimo u formulu i dobijemo drugu vrijednost. Rezultat je veliki niz brojeva.

Da biste dobili potpunu sliku o takvom skupu, potrebno je izvršiti ogromnu količinu proračuna - stotine, hiljade, milione. Jednostavno je bilo nerealno to učiniti ručno. Ali kada su se moćni računarski uređaji pojavili na raspolaganju matematičarima, mogli su iznova pogledati formule i izraze koji su dugo bili interesantni. Mandelbrot je prvi koristio kompjuter za izračunavanje klasičnog fraktala. Nakon obrade niza koji se sastoji od velikog broja vrijednosti, Benoit je prenio rezultate na graf. Evo šta je dobio.

Nakon toga, ova slika je obojena (na primjer, jedna od metoda bojanja bojom - prema broju iteracija) i postala je jedna od najpopularnijih slika koje je čovjek ikada stvorio.

Kao što kaže drevna izreka koja se pripisuje Heraklitu iz Efeza: "Ne možete dvaput ući u istu rijeku." Najprikladniji je za tumačenje geometrije fraktala. Bez obzira koliko detaljno pogledamo fraktalnu sliku, stalno ćemo vidjeti sličan obrazac.

Oni koji žele vidjeti kako bi slika Mandelbrotovog prostora izgledala uz višestruka povećanja, to mogu učiniti preuzimanjem animiranog GIF-a.

⇡ Lauren Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda

Teorija fraktala ubrzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je usko povezan sa vizualizacijom samosličnih slika, ne čudi što su prvi usvojili algoritme i principe konstrukcije. neobičnih oblika, bilo je umjetnika.

Budući suosnivač legendarnog Pixar Studios Loren C. Carpenter pridružio se kompaniji Boeing Computer Services 1967. godine, koja je bila jedna od divizija poznate korporacije koja se bavila razvojem novih aviona.

1977. kreirao je prezentacije sa prototipovima letećih modela. Laurenine odgovornosti uključivale su razvoj slika projektovanih aviona. Morao je da kreira slike novih modela, prikazujući buduće avione iz različitih uglova. U nekom trenutku, to je palo na pamet budućem osnivaču Pixar Animation Studios kreativna ideja koristite sliku planina kao pozadinu. Danas svaki školarac može riješiti takav problem, ali krajem sedamdesetih godina prošlog stoljeća kompjuteri se nisu mogli nositi sa tako složenim proračunima - nije bilo grafičkih uređivača, a da ne spominjemo aplikacije za trodimenzionalnu grafiku. Godine 1978. Lauren je slučajno u radnji vidjela knjigu Benoita Mandelbrota Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija. U ovoj knjizi njegovu pažnju privukla je činjenica da je Benoit dao mnogo primjera fraktalnih oblika u pravi zivot i tvrdili da se oni mogu opisati matematičkim terminima.

Ovu analogiju matematičar nije slučajno izabrao. Činjenica je da je, čim je objavio svoje istraživanje, morao da se suoči sa naletom kritika. Glavna stvar koju su mu kolege zamjerile je beskorisnost teorije koja se razvija. „Da“, rekli su, „ovo je prelijepe slike, ali ne više. Teorija fraktala nema praktičnu vrijednost.” Bilo je i onih koji su općenito vjerovali da su fraktalni obrasci samo nusproizvod rada "đavoljih mašina", koje su se krajem sedamdesetih mnogima činile kao nešto previše komplicirano i neistraženo da bi im se u potpunosti povjerovalo. Mandelbrot je pokušao pronaći očiglednu primjenu teorije fraktala, ali, uglavnom, nije morao to učiniti. Sljedbenici Benoita Mandelbrota u narednih 25 godina dokazali su ogromne prednosti ove "matematičke radoznalosti", a Lauren Carpenter je bila jedna od prvih koja je primijenila fraktalni metod u praksi.

Proučivši knjigu, budući animator ozbiljno je proučavao principe fraktalne geometrije i počeo tražiti način da je implementira u kompjutersku grafiku. Za samo tri dana rada, Lauren je na svom kompjuteru uspeo da prikaže realističnu sliku planinskog sistema. Drugim riječima, uz pomoć formula naslikao je potpuno prepoznatljiv planinski pejzaž.

Princip koji je Lauren koristila da postigne svoj cilj bio je vrlo jednostavan. Sastojao se od podjele veće geometrijske figure na male elemente, a oni su se, pak, dijelili na slične brojke manji.

Koristeći veće trouglove, Carpenter ih je podijelio na četiri manja, a zatim je ponavljao ovu proceduru iznova i iznova dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je uspeo da postane prvi umetnik koji je primenio fraktalni algoritam za konstruisanje slika u kompjuterskoj grafici. Čim se saznalo za obavljeni posao, entuzijasti širom svijeta su prihvatili ideju i počeli koristiti fraktalni algoritam za simulaciju realističnih prirodnih oblika.

Jedna od prvih 3D vizualizacija koristeći fraktalni algoritam

Samo nekoliko godina kasnije, Lauren Carpenter je bila u mogućnosti da svoje razvoje primeni u mnogo većem projektu. Animator je na osnovu njih napravio dvominutni demo video Vol Libre, koji je prikazan na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao sve koji su ga vidjeli, a Lauren je dobila poziv od Lucasfilma.

Animacija je prikazana na računaru VAX-11/780 kompanije Digital Equipment Corporation sa taktom od pet megaherca, a crtanje svakog kadra trajalo je oko pola sata.

Radeći za Lucasfilm Limited, animator je kreirao trodimenzionalne pejzaže na isti način za drugu cjelovečernji film sage Zvjezdane staze... U Khanovom gnjevu, Carpenter je uspio stvoriti cijelu planetu koristeći isti princip modeliranja fraktalne površine.

Danas svi popularne aplikacije za stvaranje trodimenzionalnih pejzaža koristi se sličan princip generiranja prirodnih objekata. Terragen, Bryce, Vue i drugi 3D uređivači se oslanjaju na fraktalni algoritam za modeliranje površina i tekstura.

⇡ Fraktalne antene: manje je bolje

U poslednjih pola veka život je počeo da se brzo menja. Većina nas prihvata dostignuća moderne tehnologije zdravo za gotovo. Vrlo brzo se naviknete na sve što život čini ugodnijim. Rijetko ko postavlja pitanja "Odakle ovo?" i "Kako to funkcionira?" Mikrovalna pećnica zagrije doručak - dobro, odlično, pametni telefon vam omogućava da razgovarate s drugom osobom - odlično. Ovo nam se čini kao očigledna mogućnost.

Ali život bi mogao biti potpuno drugačiji da osoba ne traži objašnjenje za događaje koji se dešavaju. Uzmimo, na primjer, mobilne telefone. Sjećate li se uvlačivih antena na prvim modelima? Oni su se miješali, povećavali veličinu uređaja, na kraju, često se lomili. Vjerujemo da su zauvijek potonuli u zaborav, a dijelom i sami krivi za ovo... fraktale.

Fraktalni crteži fasciniraju svojim šarama. Definitivno podsjećaju na slike svemirskih objekata - magline, jata galaksija i tako dalje. Stoga je sasvim prirodno da kada je Mandelbrot iznio svoju teoriju fraktala, njegovo istraživanje je izazvalo povećan interes među onima koji su proučavali astronomiju. Jedan od ovih amatera po imenu Nathan Cohen, nakon što je prisustvovao predavanju Benoita Mandelbrota u Budimpešti, zapalio se idejom o praktičnoj primjeni stečenog znanja. Istina, učinio je to intuitivno, a slučaj je odigrao važnu ulogu u njegovom otkrivanju. Kao radio-amater, Nathan je nastojao stvoriti antenu sa najvećom mogućom osjetljivošću.

Jedini način da se poboljšaju parametri antene, koji je tada bio poznat, bio je povećanje njenih geometrijskih dimenzija. Međutim, vlasnik kuće u centru Bostona, koju je Nathan iznajmio, bio je oštro protiv postavljanja velikih uređaja na krov. Tada je Nathan počeo eksperimentirati s različitim oblicima antena, pokušavajući postići maksimalni rezultat minimalne dimenzije... Zapaljen idejom fraktalnih oblika, Cohen je, kako kažu, nasumično napravio jedan od najpoznatijih fraktala od žice - "Koch pahuljicu". Švedski matematičar Helge von Koch izmislio je ovu krivu davne 1904. godine. Dobiva se podjelom segmenta na tri dijela i zamjenom srednjeg segmenta jednakostraničnim trouglom bez stranice koja se poklapa s ovim segmentom. Definiciju je malo teško razumjeti, ali sve je jasno i jednostavno na slici.

Postoje i druge varijante "Kochove krivulje", ali približan oblik krivulje ostaje sličan

Kada je Nathan spojio antenu na radio prijemnik, bio je veoma iznenađen - osjetljivost se dramatično povećala. Nakon niza eksperimenata, budući profesor na Univerzitetu u Bostonu shvatio je da antena napravljena od fraktalnog uzorka ima visoku efikasnost i pokriva mnogo šire frekvencijski opseg u poređenju sa klasičnim rešenjima. Osim toga, oblik antene u obliku fraktalne krivulje može značajno smanjiti geometrijske dimenzije. Nathan Cohen je čak smislio teoremu koja dokazuje da je za stvaranje širokopojasne antene dovoljno oblikovati je u samosličnu fraktalnu krivu.

Autor je patentirao svoje otkriće i osnovao Fractal Antenna Systems, firmu za dizajn i razvoj fraktalnih antena, s pravom vjerujući da će u budućnosti, zahvaljujući njegovom otkriću, mobilni telefoni moći da se oslobode glomaznih antena i postanu kompaktniji.

U principu, to se dogodilo. Istina, Nathan je do danas u parnici s velikim korporacijama koje nezakonito koriste njegovo otkriće za proizvodnju kompaktnih komunikacijskih uređaja. Neki poznati proizvođači mobilnih uređaja, kao što je Motorola, već su postigli prijateljski dogovor sa izumiteljem fraktalne antene.

⇡ Fraktalne dimenzije: um ne može razumjeti

Benoit je ovo pitanje posudio od poznatog američkog naučnika Edwarda Kasnera.

Potonji, kao i mnogi drugi poznatih matematičara, volio je komunicirati s djecom, postavljati im pitanja i dobijati neočekivane odgovore. Ponekad je to dovelo do iznenađujućih posljedica. Na primjer, devetogodišnji nećak Edwarda Kasnera izmislio je sada dobro poznatu riječ "googol", što znači jedan iza kojeg slijedi sto nula. Ali vratimo se fraktalima. Američki matematičar volio je da postavlja pitanje kolika je dužina obale Sjedinjenih Država. Nakon što je saslušao mišljenje sagovornika, sam Edvard je rekao tačan odgovor. Ako dužinu na karti mjerite isprekidanim linijama, rezultat će biti netačan, jer obala ima veliki broj neravnina. Šta će se dogoditi ako ga izmjerite što je preciznije moguće? Morat ćete uzeti u obzir dužinu svake nepravilnosti - morat ćete izmjeriti svaki rt, svaki zaljev, stijenu, dužinu stjenovite platforme, kamena na njoj, zrno pijeska, atom i tako dalje. Budući da broj nepravilnosti teži beskonačnosti, izmjerena dužina obalne linije će se povećavati do beskonačnosti sa svakom novom mjerenom nepravilnošću.

Što je mjera manja, to je izmjerena dužina duža

Zanimljivo je da su, slijedeći Edwardove upute, djeca mnogo brže donijela ispravnu odluku nego odrasli, dok su ovi drugi imali problema s tako nevjerovatnim odgovorom.

Koristeći ovaj problem kao primjer, Mandelbrot je predložio korištenje novog pristupa mjerenju. Budući da je obalna linija blizu fraktalne krivulje, to znači da se na nju može primijeniti karakterizirajući parametar - takozvana fraktalna dimenzija.

Svako može razumjeti koja je uobičajena dimenzija. Ako je dimenzija jednaka jedan, dobijamo ravnu liniju, ako je dvije - ravna figura, tri - volumen. Međutim, ovo razumijevanje dimenzionalnosti u matematici ne funkcionira s fraktalnim krivuljama, gdje ovaj parametar ima frakcijsku vrijednost. Fraktalna dimenzija u matematici se konvencionalno može smatrati "neujednačenošću". Što je veća hrapavost krivulje, veća je njena fraktalna dimenzija. Kriva, koja, prema Mandelbrotu, ima fraktalnu dimenziju veću od njene topološke dimenzije, ima približnu dužinu koja ne zavisi od broja merenja.

Danas naučnici pronalaze sve više područja za primjenu teorije fraktala. Uz pomoć fraktala možete analizirati fluktuacije u kotacijama na berzi, istraživati ​​sve vrste prirodnih procesa, kao što su fluktuacije u broju vrsta, ili simulirati dinamiku tokova. Fraktalni algoritmi se mogu koristiti za kompresiju podataka, kao što je komprimiranje slika. I usput, da biste dobili prekrasan fraktal na ekranu vašeg kompjutera, ne morate imati doktorat.

⇡ Fraktal u pretraživaču

Možda je jedan od najlakših načina da dobijete fraktalni uzorak korištenje online vektorskog uređivača talentovanog mladog programera Tobyja Schachmana. Komplet alata ovog jednostavnog grafičkog uređivača zasnovan je na istom principu samosličnosti.

Na raspolaganju imate samo dva jednostavna oblika - četverokut i krug. Možete ih dodati na platno, skalirati (za skaliranje duž jedne od osi, držite pritisnut tipku Shift) i rotirati. Preklapajući se po principu Booleovih operacija sabiranja, ovi najjednostavniji elementi formiraju nove, manje trivijalne forme. Zatim se ovi novi oblici mogu dodati projektu, a program će ponavljati generiranje ovih slika do beskonačnosti. U bilo kojoj fazi rada na fraktalu, možete se vratiti na bilo koju komponentu složenog oblika i urediti njen položaj i geometriju. Uzbudljiva aktivnost posebno kada uzmete u obzir da je jedini alat koji vam je potreban da postanete kreativni pretraživač. Ako ne razumijete princip rada s ovim rekurzivnim uređivačem vektora, savjetujemo vam da pogledate video na službenoj web stranici projekta koji detaljno prikazuje cijeli proces stvaranja fraktala.

⇡ XaoS: fraktali za svaki ukus

Mnogi grafički editor imaju ugrađene alate za kreiranje fraktalnih uzoraka. Međutim, ovi alati su obično sekundarni i ne dozvoljavaju fino podešavanje generiranog fraktalnog uzorka. U onim slučajevima kada je potrebno izgraditi matematički precizan fraktal, u pomoć će priskočiti XaoS cross-platform editor. Ovaj program omogućava ne samo izgradnju sebi slične slike, već i obavljanje raznih manipulacija s njom. Na primjer, u realnom vremenu možete "šetati" po fraktalu mijenjajući njegovu skalu. Animirano kretanje duž fraktala može se sačuvati kao XAF fajl i zatim reproducirati u samom programu.

XaoS može učitati nasumični skup parametara, kao i koristiti različite filtere za naknadnu obradu slike - dodati efekat zamućenog pokreta, glatke oštre prijelaze između fraktalnih tačaka, simulirati 3D sliku itd.

⇡ Fraktalni zumer: kompaktni fraktalni generator

U poređenju sa drugim generatorima slika fraktala, ima nekoliko prednosti. Prvo, vrlo je male veličine i ne zahtijeva instalaciju. Drugo, implementira mogućnost definiranja palete boja slike. Možete odabrati nijanse u RGB, CMYK, HVS i HSL modelima boja.

Također je vrlo zgodno koristiti opciju slučajnog odabira. nijanse boja i funkcija za invertiranje svih boja na slici. Za podešavanje boje postoji funkcija cikličkog nabrajanja nijansi - kada je uključen odgovarajući način rada, program animira sliku, ciklički mijenjajući boje na njoj.

Fractal Zoomer može vizualizirati 85 različitih fraktalnih funkcija, a formule su jasno prikazane u meniju programa. U programu postoje filteri za naknadnu obradu slika, iako u malom broju. Svaki dodijeljeni filter može se otkazati u bilo kojem trenutku.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalni editor

Kada se koristi izraz "fraktal", najčešće se misli na ravnu dvodimenzionalnu sliku. Međutim, fraktalna geometrija prevazilazi 2D dimenziju. U prirodi možete pronaći i primjere ravnih fraktalnih oblika, recimo, geometrija munje, i trodimenzionalne volumetrijske figure. Fraktalne površine mogu biti trodimenzionalne i jedna je od vrlo ilustrativnih ilustracija 3D fraktala u Svakodnevni život- glavica kupusa. Fraktali se vjerovatno najbolje vide u Romanescu, hibridu karfiola i brokule.

Takođe možete jesti ovaj fraktal.

Program Mandelbulb3D može kreirati trodimenzionalne objekte sličnog oblika. Da bi dobili 3D površinu koristeći fraktalni algoritam, autori ove aplikacije, Daniel White i Paul Nylander, pretvorili su Mandelbrotov skup u sferne koordinate. Program Mandelbulb3D koji su kreirali je pravi trodimenzionalni uređivač koji modelira fraktalne površine različite forme... Budući da u prirodi često promatramo fraktalne obrasce, umjetno stvoreni fraktalni trodimenzionalni objekt djeluje nevjerovatno realistično, pa čak i "živo".

Može ličiti na biljku, može ličiti na čudnu životinju, planetu ili nešto drugo. Ovaj efekat je poboljšan naprednim algoritmom za renderovanje koji omogućava dobijanje realističnih refleksija, izračunavanje prozirnosti i senki, simulaciju efekta dubine polja i tako dalje. Mandelbulb3D ima ogroman broj postavki i opcija renderiranja. Možete kontrolirati nijanse izvora svjetlosti, odabrati pozadinu i nivo detalja modeliranog objekta.

Fraktalni uređivač Incendia podržava dvostruku anti-aliasing sliku, sadrži biblioteku od pedeset različitih trodimenzionalnih fraktala i ima poseban modul za uređivanje osnovnih oblika.

Aplikacija koristi fraktalne skripte, pomoću kojih možete samostalno opisati nove tipove fraktalnih struktura. Incendia ima uređivače tekstura i materijala, a render engine vam omogućava da koristite volumetrijske efekte magle i razne shadere. Program implementira opciju za čuvanje bafera tokom dugotrajnog renderovanja, podržano je kreiranje animacije.

Incendia vam omogućava da eksportujete svoj fraktalni model u popularne 3D grafičke formate - OBJ i STL. Incendia uključuje mali uslužni program pod nazivom Geometrica, poseban alat za konfiguriranje izvoza fraktalne površine u 3D model. Koristeći ovaj uslužni program, možete odrediti rezoluciju 3D površine, odrediti broj fraktalnih iteracija. Izvezeni modeli se mogu koristiti u 3D projektima kada radite sa 3D uređivačima kao što su Blender, 3ds max i drugi.

V novije vrijeme rad na projektu Incendia je donekle stao. On ovog trenutka autor traži sponzore koji će mu pomoći da razvije program.

Ako nemate dovoljno mašte da nacrtate prekrasan trodimenzionalni fraktal u ovom programu, to nije problem. Koristite biblioteku parametara koja se nalazi u folderu INCENDIA_EX \ parametri. Sa PAR datotekama možete brzo pronaći najneobičnije fraktalne oblike, uključujući i animirane.

⇡ Slušni: kako fraktali pjevaju

Obično ne govorimo o projektima na kojima se tek radi, ali u ovom slučaju moramo napraviti izuzetak, ovo je vrlo neobična aplikacija. Projekat pod nazivom Aural izmislila je ista osoba kao Incendia. Međutim, ovaj put program ne vizualizuje fraktalni skup, već ga ozvučuje, pretvarajući ga u elektronsku muziku. Ideja je vrlo zanimljiva, posebno s obzirom na neobična svojstva fraktala. Aural je audio uređivač koji generiše melodije koristeći fraktalne algoritme, odnosno u stvari je sintisajzer-sekvencer zvuka.

Slijed zvukova koji proizvodi ovaj program je neobičan i ... lijep. Može biti korisno za pisanje modernih ritmova i, po našem mišljenju, posebno je pogodno za kreiranje zvučnih zapisa za screensaver televizijskih i radijskih emisija, kao i pozadinske muzičke "petlje" za kompjuterske igrice... Ramiro još nije dao demo verziju svog programa, ali obećava da kada to uradi, kako bi radio sa Auralom, neće morati da proučava teoriju fraktala – dovoljno je samo da se igra sa parametrima algoritma za generisanje niza nota. Slušajte kako zvuče fraktali itd.

Fraktali: muzička pauza

Zapravo, fraktali vam mogu pomoći da pišete muziku čak i bez softvera. Ali to može učiniti samo neko ko je istinski prožet idejom prirodnog sklada, a pritom se nije pretvorio u nesretnog "šmokljana". Ima smisla uzeti primjer od muzičara po imenu Jonathan Coulton, koji, između ostalog, piše kompozicije za časopis Popular Science. I za razliku od drugih umjetnika, Colton objavljuje sva svoja djela pod Creative Commons Attribution-Nekomercijalna licenca, koja (kada se koristi u nekomercijalne svrhe) omogućava besplatno kopiranje, distribuciju, prijenos djela na druge, kao i njegovu modifikaciju (izrada izvedenih radova) kako biste ga prilagodili svojim zadacima.

Jonathan Colton, naravno, ima pjesmu o fraktalima.

⇡ Zaključak

U svemu što nas okružuje često vidimo haos, ali u stvari to nije slučajnost, već idealan oblik, koji nam fraktali pomažu da razaznamo. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Posložen je vrlo logično, a ako negdje ne vidimo obrazac, to znači da ga trebamo tražiti u drugom razmjeru. Ljudi to sve bolje razumiju, pokušavaju oponašati na mnogo načina. prirodni oblici... Inženjeri dizajniraju školjke zvučnika, kreiraju antene s geometrijom snježne pahulje i tako dalje. Sigurni smo da fraktali još uvijek kriju mnoge tajne, a mnoge od njih ljudi tek trebaju otkriti.