Тема уроку:

Логарифми та їх властивості.

Есмаганбетов К.С. Учитель математики.

Мета уроку:

1.Отработка умінь систематизувати, узагальнювати властивості логарифмів; застосовувати їх при спрощенні виразів.

2. Розвиток свідомого сприйняття навчального матеріалу, зорової пам'яті, математичної мови учнів, формувати навички самонавчання, самоорганізації та самооцінки, сприяти розвитку творчої діяльності учнів.

3. Виховання пізнавальної активності, виховати в учнів любов і повагу до предмета, навчити бачити у ній як суворість, складність, а й логічність, простоту і красу.

I.Мозковий штурм:

1) Що таке первісна?

2) Які види інтегралів ви знаєте?

3) Чим відрізняється певний інтеграл від невизначеного?

4) Які рівняння називаються ірраціональними?

5) Скільки існує правил знаходження первообразных?

Запитання:

Робота у групах

• Визначте тему уроку за допомогою анаграми:
• ІМФІРАОЛ І ХІ АВТСЙОВС
• Критерії оцінювання вгадування анаграми (за правильну відповідь-1 бал, за неправильну відповідь-0 бал)

Логарифми та їх властивості

• Логарифмом позитивного числа b на підставі a, Де a>0, a≠1, називається показник ступеня, в яку треба звести число a, щоб отримати b.
• Основне логарифмічне тотожність:
alogab = b,де b>0, a>0
• Якщо основа логарифму дорівнює 10, то такий логарифм називається десятковим.
• Якщо основа логарифму дорівнює числу е, то такий логарифм називається натуральним

Властивості логарифмів

• Логарифм самої основи дорівнює 1:
logaa=1
• Логарифм одиниці з будь-якої основи дорівнює нулю:
loga1=0
• Логарифм добутку двох або кількох позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів співмножників:
loga(bс) = logab + logaс
• Логарифм приватного позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого та дільника:
loga(b/с)= logab - logaс
• Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм її основи:
logaвn = n logab
• Формула переходу від основи b до основи а:
Logaх = logbх/logba

Критерії оцінювання технологічної карти:

• Надавати математичну інформацію ясно та логічно-1 бал;
• Учень показує знання математичних символів-1 бал;

Обчисліть усно:

Критерії оцінювання усного обчислення

• за правильне усне обчислення-1 бал
• за неправильне усне обчислення-0 балів

Фізмінутка

• Дві половинки

loga(x/y) loga x -loga y

Групова робота:

Завдання 1-й групі

Групова робота: Завдання 2-й групі У технологічній карті уроку стрілками з'єднайте формули

• logax +logay

Групова робота: Завдання 3-й групі У технологічній карті уроку закінчіть формули

• за правильне знаходження формул-по1баллу групі;
• За неправильне знаходження формул-0бал.

Індивідуальна письмова робота з диференційованих завдань

	log 26 - log 2 (6/32)
	log 3 5 - log 3 135
	2 log 27 - log 2 49
	log 93+ log 9243

Рішення Індивідуальної роботи з диференційованих завдань

		lg(8∙125) = lg 1000 = 3
	log 26 - log 2 (6/32)	log 2 (6: (6/32)) = log 232 = 5
	log 3 5 - log 3 135	log 3 (5: 135) = log 3 (1:27) = -3
	2 log 27 - log 2 49	log 272 - log 249 = log 2 (49:49) = log 2 1 = 0
	log 93+ log 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Критерії оцінювання індивідуальної письмової роботи

• за правильне вирішення прикладів повністю-5 балів;
• За правильне написання математичних символів-1 бал;

Розробка критеріїв оцінювання результатів роботи:

• Критерії оцінок: за 20 балів та вище – оцінка «5»
• за 16-19 балів та вище – оцінка «4»
• за 9 -15 балів і вище – оцінка «3»

Створення кластерів та їх захист Критерії оцінювання кластерів:

• За правильне створення кластера-1 бал;
• За витонченість оформлення кластера-0,5 бал;
• За хороший захист кластера-1 бал

Рефлексія

• 1. Що я знаю про____
• 2. Що я хочу знати _____
• 3. Що я дізнався(ла) ____
• 4. Оціни свою роботу на уроці

Домашнє завдання

1. Скласти синквейн «Логарифми»

2. Завдання за підручником: № 241, № 242

Визначення похідної. Середня лінія. Вивчення функції на монотонність. Закріплення вивченого матеріалу. Обчислити приблизно за допомогою диференціалу. Найменші значення функцій. Похідна та її застосування в алгебрі, геометрії. Розглянута функція. Завдання. Нерівність. Ознаки зростання та зменшення функції. Крапка. Визначення. Знаходження диференціалу. Доказ нерівностей.

"Інтеграл" 11 клас" - Як ти повалений лежав числом звичайним на сторінці. Інтеграл у літературі. Певний інтеграл, ти мені ночами снився. Складіть фразу. Яке щастя я пізнав у виборі первісної. Замятін Євген Іванович (1884-1937). Знайти оригінальні функції. Епіграф. Роман "Ми" (1920 рік). Замін і підстановок ряд привів до вирішення завдання. Ілюстрація до роману "Ми". Інтеграл. Група "Інтеграл". Урок алгебри і розпочав аналіз.

"Застосування логарифмів" - З часів давньогрецького астронома Гіппарха (II ст. до н.е.) використовується поняття "зоряна величина". Як, бачимо, логарифми вторгаються у область психології. З таблиці знайдемо зіркову величину Капели (m1 = +0,2 т) та Денеба (m2 = +1,3 т). Одиниця гучності. Зірки, шум та логарифми. Шкідливий вплив промислових шумів на здоров'я робітників та виробництві праці. Тема: "ЛОГАРИФМИ В АСТРОНОМІЇ". Непером (1550 – 1617) та швейцарцем І. Бюргі (1552 – 1632).

"Функції" алгебра" - Обчислити. Складемо таблицю. Дослідження функцій та побудова їх графіків. Поняття про інтеграл. Функція F називається первісною для функції f. Площа криволінійної трапеції. Функція є першорядною для функції. Обчислимо площу S криволінійної трапеції. "Інтеграл від a до b еф від ікс де ікс". Метод інтервалів. Знайдемо точки перетину графіка з Ох (у = 0). Правила диференціювання. Знайдемо найбільше та найменше значення функції на відрізку.

«Приклади логарифмічних нерівностей» - Готуємось до ЄДІ! Які з функцій зростають, а які спадають? Підсумок уроку. Знайдіть правильне рішення. Зростаюча. Алгебра 11 клас. Завдання: вирішити логарифмічні нерівності, запропоновані в завданнях ЄДІ-2010 Удачі на ЄДІ! Кластер заповнення протягом уроку: Цілі уроку: Знайти область визначення функції. Між числами m і n встановити знак > або<.(m, n >0). Графіки логарифмічних функцій.

«Геометричний сенс похідної функції» - значення похідної функції. Алгоритм складання рівняння дотичної. Геометричний сенс похідної. Рівняння прямої із кутовим коефіцієнтом. Рівняння дотичної. Склади пару. Сікуча. Словник уроку. У мене все вийшло. Правильна математична ідея. Результати обчислення. Граничне становище сіючої. Визначення. Знайдіть кутовий коефіцієнт. Напишіть рівняння щодо графіка функції.

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Шотландський математик

винахідник логарифмів.

У 1590-х роках дійшов ідеї

логарифмічних обчислень

і склав перші таблиці

логарифмів, проте свій знаменитий

працю “Опис дивовижних таблиць логарифмів” опублікував лише 1614 року.

Йому належить визначення логарифмів, пояснення їх властивостей, таблиці логарифмів, синусів, косінусів, тангенсів та застосування логарифмів у сферичній тригонометрії.

З історії логарифмів

• Логарифми з'явилися 350 років тому у зв'язку із потребами обчислювальної практики.

• У ті часи для вирішення завдань астрономії та мореплавання доводилося робити дуже громіздкі обчислення.

• Відомий астроном Йоганн Кеплер першим увів у 1624 році знак логарифму - log. Він застосував логарифми для знаходження орбіти Марса.

• Слово «логарифм» - грецького походження, що в перекладі означає відношення чисел

0, а ≠1 називається показник ступеня, в який треба звести число а щоб отримати b. " width="640"

Визначення

Логарифмом позитивного числа b на підставі a, де а0, а ≠1 називається показник ступеня, в який треба звести число а щоб отримати b.

Обчислити:

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Основне логарифмічне тотожність

За визначенням логарифму

Обчисліть:

3 log 3 18; 3 5log 3 2;

5 log 5 16; 0,3 2log 0,3 6;

10 log 10 2; (1/4) log (1/4) 6;

8 log 2 5; 9 log 3 12 .

3 X X X R Немає жодного х " width="640"

При яких значеннях х існує логарифм

Не існує ні при

якому х

1. Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Логарифм добутку позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів множників. log a (bc) = log a b + log a c

Приклад:

log a

= log a b - log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

0; a ≠ 1; b0; c 0. Приклад: 1 "width="640"

2. Логарифм приватного двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника.

log a

= log a b – log a c,

a 0; a ≠ 1; b0; з 0.

Приклад:

0; b0; r R log a b r = r log a b Приклад a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r

3. Логарифм ступеня з позитивною основою дорівнює показнику ступеня, помноженому на логарифм основи

log a b r = r log a b

Приклад

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Формула переходу від однієї основи

логарифму до іншого, приклади.

А. Дістервег

РОЗВИТОК І ОСВІТА ЖОДНОЇ ЛЮДИНІ НЕ МОЖУТЬ БУТИ ДАНІ АБО ПОВІДОМЛЕНІ. БУДЬ-ЯКИЙ, ХТО БАЖАЄ ДО НИХ ЗАБАЧИТИСЯ, ПОВИНЕН ДОСЯГНУТИ ЦЬОГО ВЛАСНОЮ ДІЯЛЬНІСТЮ, ВЛАСНИМИ СИЛАМИ, ВЛАСНИМИ НАПРУГАМИ .

Визначте тему уроку, розв'язавши рівняння

• 2 х =; 3 х =; 5 х = 1/125; 2 х = 1/4; 2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1/7; 3 х = 1/81

Логарифм та його властивості

Джон Непер, винахідник логарифмів

В 1590 прийшов до ідеї логарифмічних обчислень і склав перші таблиці логарифмів, опублікував працю «Опис дивовижних таблиць логарифмів». У цьому вся праці містилися визначення логарифмів, пояснення їх властивостей. Винайшов логарифмічну лінійку, лічильний інструмент, що використовує таблиці Непера для спрощення обчислень.

Логарифмічна лінійка

В даний час, з появою компактних калькуляторів та комп'ютерів, необхідність використання таблиць

логарифмів та логарифмічних лінійок відпала.

• Логарифмом числа 0 на підставі а 0 і а 1 називається показник ступеня, в яку потрібно звести число а, щоб отримати число в.
• - логарифм із довільною основою.
• Наприклад:а) log 3 81 = 4, оскільки 3 4 = 81; б) log 5125 = 3, оскільки 53 = 125; в) log 0,5 16 = -4, оскільки (0,5) -4 = 16;

Застосування логарифму: Банківські розрахунки, географія, розрахунки у виробництві, біологія, хімія, фізика, астрономія, психологія, соціологія, музика.

Логарифмічна спіраль у природі

Раковина наутілуса

Розміщення насіння на соняшнику

Властивості логарифмів

• log a 1 = 0.
• log a a = 1.
• log a xy = log a x + log a y.
• log a х ∕ у = log a x – log a y.
• log a x p = p log a x
• log a р x = 1 ∕ р log a x

• Якщо основа логарифму дорівнює 10, то логарифм називається десятковим:

• Якщо основа логарифму є 2,7, то логарифм називається натуральним:

• 1. Знайдіть логарифм числа 64 на підставі 4.

Рішення: log 464 = 3, так як 43 = 64.

Відповідь: 3

• 2. Знайдіть число xякщо log 5 x = 2

Рішення: log 5 x = 2, x= 5 2 (за визначенням логарифму), x = 25.

Відповідь : 25.

• 3. Обчислити: log 3 1/81 = x ,

Рішення: log 3 1/81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.

Відповідь: – 4.

• 1. Обчислити: log 6 12 + log 6 3

Рішення:

log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12 * 3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Відповідь : 2.

• 2. Обчислити: log 5250 - log 5 2.

Рішення:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Відповідь : 3.

• 3. Обчислити:

Рішення :

Відповідь: 8.

Логарифм – досить велика тема в курсі алгебри для учнів старших класів середньоосвітньої школи, тому знати лише її визначення, математичну формулу та вміти креслити графік – недостатньо. Протягом усієї історії логарифмічної формули математики з усього світу вивели велику кількість залежностей та теорем, знання яких допоможе учням у подальшій роботі з цією функцією.

Презентація «Властивості логарифмів» дає широке поняття цього визначення, а також дозволяє ознайомитися з усіма найважливішими наслідками цієї функції.

Перша частина презентації стисло дає поняття логарифму, а також демонструє побудову графіка на її основі. Після цього йде визначення, яке необхідно вивчити, що підтверджує значок знака оклику в кутку червоної рамки.

Після відновлення знань з раніше вивченої теми, школярам пропонується ознайомитися з трьома тотожними рівняннями, які може легко довести будь-який учень, який має оперувати такими поняттями, як ступінь числа та основа ступеня.

Третя частина уроку – теоретична. Тут учням демонструються три теореми, які ґрунтуються на різних математичних діях з логарифмами, у тому числі і при роботі з дробами. Кожна теорема виділена синьою рамкою, нижче за яку йде математичний доказ.

Після теоретичної частини презентації учні отримують можливість застосувати свої нові знання на практиці завдяки розгляду рішення одного прикладу.

Завершує презентацію ще одна теорема, а також три приклади вирішення завдань, що ґрунтуються на властивостях логарифмів. Остання, запропонована в уроці, теорема не вимагає вміння доводити її у звичайному шкільному курсі алгебри – учню достатньо заучити, розуміти та вміти застосовувати її при вирішенні тематичних прикладів.

На відміну від звичайного курсу алгебри, який пропонує шкільний підручник, презентація «Властивості логарифмів» має зовсім іншу, зручнішу та ефективнішу структуру, що дозволяє доносити до учня необхідні знання максимально швидко та легко. Презентація розбавляє теоретичну частину практичними прикладами, які переключають увагу школяра на інше заняття, тим самим не завантажуючи його мозок і давай можливість відпочити від зміни розумової діяльності.

Швидкому розумінню рішень запропонованих прикладів сприяє цікава концепція подання інформації, яку дуже важко зустріти у звичайному підручнику з алгебри 11 класу. У завданнях, запропонованих до розгляду презентації, найважливіші дані виділені червоним кольором чи обведені рамкою. Така методика дозволяє як швидше засвоювати найважливішу інформацію, а й навчає учня самостійного пошуку потрібного матеріалу з усього контексту.

Розділ сучасної алгебри «властивості логарифмів» є одним з найважливіших у всьому курсі, тому що він дає фундамент для подальшого, поглибленого вивчення математики, необхідного для сотень сучасних професій, що стосуються найрізноманітніших сфер життя людини. Саме з цієї причини не варто проходити повз цю тему, а якщо учень, з якоїсь причини, пропустив її навчання в школі, то презентація «властивості логарифмів» допоможе йому надолужити упущене повною мірою, завдяки легкому та доступному викладу матеріалу в уроці. .

Презентація «властивості логарифмів» розроблена з таким урахуванням, що працювати з нею буде комфортно і учням та вчителям: вся інформація має закінчений вигляд на окремо взятій сторінці, тому урок можна не лише показувати за допомогою різних сучасних пристроїв, а й просто роздрукувати, якщо школа не має інших можливостей.