Na voljo bodo tudi naloge za samostojno rešitev, na katere si lahko ogledate odgovore.

Če sta v problemu predstavljeni tako dolžine vektorjev kot kot med njimi "na srebrnem krožniku", potem sta pogoj problema in njegova rešitev videti takole:

Primer 1. Dani vektorji. Poiščite zmnožek vektorjev, če so njihove dolžine in kot med njimi predstavljene z naslednjimi vrednostmi:

Velja tudi druga definicija, ki je popolnoma enakovredna definiciji 1.

Opredelitev 2... Skalarni produkt vektorjev je število (skalarno), enako zmnožku dolžine enega od teh vektorjev s projekcijo drugega vektorja na os, določeno s prvim od navedenih vektorjev. Formula v skladu z definicijo 2:

Težavo bomo rešili s to formulo po naslednji pomembni teoretični točki.

Določanje pik produkta vektorjev v smislu koordinat

Enako število lahko dobimo, če vektorje, ki jih pomnožimo, podamo z njihovimi koordinatami.

Opredelitev 3. Točkovni produkt vektorjev je število, ki je enako vsoti parnih produktov njihovih koordinat.

Na površini

Če sta dva vektorja in na ravnini definirana z njunima dvema Kartezijanske pravokotne koordinate

potem je skalarni produkt teh vektorjev enak vsoti parnih produktov njihovih koordinat:

.

Primer 2. Poiščite številčno vrednost projekcije vektorja na os, vzporedno z vektorjem.

Rešitev. Točkovni produkt vektorjev najdemo tako, da dodamo parne produkte njihovih koordinat:

Zdaj moramo dobljeni skalarni produkt enačiti z zmnožkom dolžine vektorja in projekcije vektorja na os, vzporedno z vektorjem (v skladu s formulo).

Dolžino vektorja najdemo kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat:

.

Sestavimo enačbo in jo rešimo:

Odgovori. Želena številčna vrednost je minus 8.

V vesolju

Če sta dva vektorja in v prostoru definirana s svojimi tremi kartezičnimi pravokotnimi koordinatami

,

potem je skalarni produkt teh vektorjev enak tudi vsoti parnih produktov njihovih ustreznih koordinat, le da so že tri koordinate:

.

Problem iskanja pik produkta po obravnavani metodi je po razčlenjevanju lastnosti pik produkta. Ker bo pri nalogi treba določiti, kakšen kot tvorijo pomnoženi vektorji.

Lastnosti vektorskih pik

Algebraične lastnosti

1. (premestitev lastnine: velikost njihovega pik produkta se ne spremeni zaradi zamenjave vektorjev, ki se množijo).

2. (kombinacijska lastnost množitelja: pik produkt vektorja, pomnožen z nekim faktorjem in drugim vektorjem, je enak pik produktu teh vektorjev, pomnoženim z istim faktorjem).

3. (porazdelitvena lastnost glede na vsoto vektorjev: pik produkt vsote dveh vektorjev s tretjim vektorjem je enak vsoti pik produktov prvega vektorja s tretjim vektorjem in drugega vektorja s tretjim vektorjem).

4. (skalarni kvadrat vektorja je večji od nič), if je vektor, ki ni nič, in if, je nič vektor.

Geometrijske lastnosti

V definicijah preučevane operacije smo se že dotaknili pojma kota med dvema vektorjema. Čas je, da razjasnimo ta koncept.

Na zgornji sliki sta vidna dva vektorja, ki ju pripeljemo do skupnega izvora. In prva stvar, na katero morate biti pozorni: med temi vektorji sta dva kota - φ 1 in φ 2 ... Kateri od teh kotov se pojavlja v definicijah in lastnostih pik produkta vektorjev? Vsota obravnavanih kotov je 2 π in zato so kosinusi teh kotov enaki. Definicija pik produkta vključuje samo kosinus kota, ne pa tudi vrednosti njegovega izraza. Toda v lastnostih je upoštevan samo en vogal. In to je eden od dveh kotov, ki ne presegata π , torej 180 stopinj. Na sliki je ta kot označen kot φ 1 .

1. Imenujeta se dva vektorja ortogonalno in kot med tema vektorjema je ravna črta (90 stopinj oz π / 2) če pik produkt teh vektorjev je nič :

.

Ortogonalnost v vektorski algebri je pravokotnost dveh vektorjev.

2. Sestavljata dva neničelna vektorja oster vogal (od 0 do 90 stopinj ali, kar je enako - manj π pik produkt je pozitiven .

3. Sestavljata dva neničelna vektorja tupim kotom (od 90 do 180 stopinj ali, kar je enako - več π / 2) če in samo če njihov pik produkt je negativen .

Primer 3. Vektorji so podani v koordinatah:

.

Izračunajte pik produkte vseh parov danih vektorjev. Kakšen kot (oster, raven, tup) tvorijo ti pari vektorjev?

Rešitev. Izračunali bomo tako, da seštejemo produkte ustreznih koordinat.

Prejeto negativno število, tako da vektorji tvorijo tup kot.

Dobili smo pozitivno število, tako da vektorja tvorita oster kot.

Dobili smo nič, tako da vektorji tvorijo pravi kot.

Dobili smo pozitivno število, tako da vektorja tvorita oster kot.

.

Dobili smo pozitivno število, tako da vektorja tvorita oster kot.

Za samopreizkus lahko uporabite spletni kalkulator Dot produkt vektorjev in kosinus kota med njimi .

Primer 4. Podani sta dolžini dveh vektorjev in kot med njima:

.

Ugotovite, pri kateri vrednosti števila sta vektorja in ortogonalna (pravokotna).

Rešitev. Vektorje pomnožimo po pravilu množenja polinomov:

Zdaj pa izračunajmo vsak izraz:

.

Sestavimo enačbo (enakost produkta nič), dajmo podobne izraze in rešimo enačbo:

Odgovor: razumemo pomen λ = 1,8, pri čemer so vektorji pravokotni.

Primer 5. Dokaži, da je vektor pravokotno (pravokotno) na vektor

Rešitev. Za preverjanje ortogonalnosti pomnožimo vektorje in kot polinome in namesto tega nadomestimo izraz, podan v izjavi o problemu:

.

Če želite to narediti, morate vsak člen (izraz) prvega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in dodati nastale produkte:

.

Posledično se delež zmanjša na račun. Rezultat je naslednji:

Zaključek: kot rezultat množenja smo dobili nič, zato je dokazana ortogonalnost (pravokotnost) vektorjev.

Rešite težavo sami, nato pa poiščite rešitev

Primer 6. Glede na dolžine vektorjev in in kot med tema vektorjema je π /4 . Ugotovite, pri kateri vrednosti μ vektorji in so medsebojno pravokotni.

Za samopreizkus lahko uporabite spletni kalkulator Dot produkt vektorjev in kosinus kota med njimi .

Matrična predstavitev točkovnega produkta vektorjev in produkta n-dimenzionalnih vektorjev

Včasih je za jasnost koristno predstaviti dva vektorja, ki se množita v obliki matrik. Potem je prvi vektor predstavljen kot matrika vrstic, drugi pa kot matrika stolpcev:

Potem bo skalarni produkt vektorjev produkt teh matrik :

Rezultat je enak tistemu, ki ga dobimo z metodo, ki smo jo že obravnavali. Dobimo eno samo število in produkt matrike vrstice z matriko stolpcev je tudi eno samo število.

Primerno je predstaviti produkt abstraktnih n-dimenzionalnih vektorjev v matrični obliki. Torej, produkt dveh štiridimenzionalnih vektorjev bo produkt matrike vrstice s štirimi elementi in matrike stolpcev prav tako s štirimi elementi, produkt dveh petdimenzionalnih vektorjev bo produkt matrike vrstice s petimi elementi in matrika stolpcev tudi s petimi elementi itd.

Primer 7. Poiščite pik produkte parov vektorjev

,

z uporabo matrične reprezentacije.

Rešitev. Prvi par vektorjev. Prvi vektor predstavljamo kot matriko vrstic, drugega pa kot matriko stolpcev. Točkovni produkt teh vektorjev najdemo kot produkt matrike vrstic z matriko stolpcev:

Podobno predstavljamo drugi par in najdemo:

Kot lahko vidite, so rezultati enaki kot pri istih parih iz primera 2.

Kot med dvema vektorjema

Izpeljava formule za kosinus kota med dvema vektorjema je zelo lepa in jedrnata.

Za izražanje pik produkta vektorjev

(1)

v koordinatni obliki najprej poiščemo skalarni produkt vektorjev enote. Točkovni produkt vektorja sam po sebi po definiciji:

Kar je zapisano v zgornji formuli pomeni: pik produkt vektorja sam po sebi je enak kvadratu njegove dolžine... Kosinus nič je enak ena, zato bo kvadrat vsakega orta enak ena:

Ker vektorji

so parno pravokotni, potem bodo parni produkti enotnih vektorjev enaki nič:

Zdaj pa naredimo množenje vektorskih polinomov:

Na desni strani enakosti nadomestimo vrednosti ustreznih skalarnih produktov enotskih vektorjev:

Dobimo formulo za kosinus kota med dvema vektorjema:

Primer 8. Dane tri točke A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Poiščite vogal.

Rešitev. Poiščite koordinate vektorjev:

,

.

Po formuli za kosinus kota dobimo:

Zato,.

Za samopreizkus lahko uporabite spletni kalkulator Dot produkt vektorjev in kosinus kota med njimi .

Primer 9. Podana sta dva vektorja

Poiščite vsoto, razliko, dolžino, pik zmnožek in kot med njimi.

2.Razlika

Vektorski in pikčasti produkt olajšata izračun kota med vektorji. Naj sta podana dva vektorja $ \ overline (a) $ in $ \ overline (b) $, orientirani kot med katerima je $ \ varphi $. Izračunajte vrednosti $ x = (\ nadrobni črt (a), \ nadrobni črt (b)) $ in $ y = [\ nadrobni črt (a), \ nadrobni črt (b)] $. Potem je $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, kjer je $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, in $ \ varphi $ je zahtevani kot, to pomeni, da ima točka $ (x, y) $ polarni kot, enak $ \ varphi $, zato lahko $ \ varphi $ najdemo kot atan2 (y, x).

Območje trikotnika

Ker navzkrižni produkt vsebuje produkt dveh vektorskih dolžin s kosinusom kota med njima, lahko navzkrižni produkt uporabimo za izračun površine trikotnika ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ čez črto (AB), \ nad črto (AC)] | $.

Točka, ki pripada ravni črti

Naj sta podani točka $ P $ in ravna črta $ AB $ (ki sta podani z dvema točkama $ A $ in $ B $). Preveriti je treba, ali točka pripada premici $ AB $.

Točka pripada ravni črti $ AB $, če in samo če sta vektorja $ AP $ in $ AB $ kolinearna, to je, če je $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Pripadnost točke žarku

Naj bo dana točka $ P $ in žarek $ AB $ (podan z dvema točkama - začetek žarka $ A $ in točka na žarku $ B $). Preveriti je treba, ali točka pripada žarku $ AB $.

K pogoju, da točka $ P $ pripada premici $ AB $, je treba dodati dodaten pogoj - vektorja $ AP $ in $ AB $ sta sosmerna, torej sta kolinearna in njihov skalarni produkt je nenegativna, to je $ (\ čez črto (AB), \ čez črto (AP )) \ ge 0 $.

Točka pripada odseku črte

Naj sta podana točka $ P $ in odsek $ AB $. Preveriti je treba, ali točka pripada segmentu $ AB $.

V tem primeru mora točka pripadati žarku $ AB $ in žarku $ BA $, zato je treba preveriti naslednje pogoje:

$ [\ čez črto (AP), \ čez črto (AB)] = 0 $,

$ (\ čez črto (AB), \ čez črto (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ čez črto (BA), \ nadvrsto (BP)) \ ge 0 $.

Razdalja od točke do črte

Naj sta podani točka $ P $ in ravna črta $ AB $ (ki sta podani z dvema točkama $ A $ in $ B $). Treba je najti razdaljo od točke premice $ AB $.

Razmislite o trikotniku ABP. Po eni strani je njegovo območje $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ nadrobni črt (AB), \ nadrobni črt (AP)] | $.

Po drugi strani pa je njegovo območje $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, kjer je $ h $ višina, spuščena iz točke $ P $, to je razdalja od $ P $ do $ AB $. Od koder je $ h = | [\ čez črto (AB), \ čez črto (AP)] | / | AB | $.

Razdalja od točke do žarka

Naj bo dana točka $ P $ in žarek $ AB $ (podan z dvema točkama - začetek žarka $ A $ in točka na žarku $ B $). Najti je treba razdaljo od točke do žarka, to je dolžino najkrajšega odseka od točke $ P $ do katere koli točke na žarku.

Ta razdalja je enaka bodisi dolžini $ AP $ bodisi razdalji od točke $ P $ do premice $ AB $. Kateri od primerov se zgodi, je enostavno določiti z relativnim položajem žarka in točke. Če je kot PAB oster, to je $ (\ čez črto (AB), \ nad črto (AP))> 0 $, bo odgovor razdalja od točke $ P $ do premice $ AB $, sicer odgovor bo dolžina odseka $ AB $.

Razdalja od točke do črte

Naj sta podana točka $ P $ in odsek $ AB $. Treba je najti razdaljo od $ P $ do segmenta $ AB $.

Če osnova navpičnice, spuščena iz $ P $ na premico $ AB $, pade na odsek $ AB $, kar je mogoče preveriti s pogoji

$ (\ čez črto (AP), \ čez črto (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ čez črto (BP), \ čez črto (BA)) \ ge 0 $,

potem je odgovor razdalja od točke $ P $ do premice $ AB $. V nasprotnem primeru bo razdalja enaka $ \ min (AP, BP) $.

Opredelitev 1

Skalarni produkt vektorjev je število, ki je enako produktu dina teh vektorjev in kosinusa kota med njima.

Zapis produkta vektorjev a → in b → ima obliko a →, b →. Pretvorimo se v formulo:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → in b → označujeta dolžine vektorjev, a →, b → ^ označujeta kot med danimi vektorji. Če je vsaj en vektor enak nič, torej ima vrednost 0, bo rezultat tudi nič, a →, b → = 0

Ko vektor pomnožimo sam, dobimo kvadrat njegove dolžine:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Opredelitev 2

Skalarno množenje vektorja samo po sebi se imenuje skalarni kvadrat.

Izračunano po formuli:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Zapis a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → kaže, da je npb → a → numerična projekcija a → na b →, npa → a → je projekcija b → na a →.

Formulirajmo definicijo produkta za dva vektorja:

Skalarni produkt dveh vektorjev a → z b → se imenuje produkt dolžine vektorja a → s projekcijo b → po smeri a → oziroma produkt dolžine b → s projekcijo a →.

Pik produkt v koordinatah

Izračun pik produkta se lahko izvede preko koordinat vektorjev v dani ravnini ali v prostoru.

Skalarni produkt dveh vektorjev na ravnini v tridimenzionalnem prostoru se imenuje vsota koordinat danih vektorjev a → in b →.

Pri izračunu skalarnega produkta danih vektorjev a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) v kartezijanskem sistemu uporabite:

a →, b → = a x b x + a y b y,

za tridimenzionalni prostor velja naslednji izraz:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Pravzaprav je to tretja definicija pik produkta.

Dokažimo.

Dokaz 1

Za dokaz uporabljamo a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by za vektorje a → = (ax, ay), b → = (bx, by) na kartezijanski sistem.

Vektorje je treba odložiti

O A → = a → = a x, a y in O B → = b → = b x, b y.

Potem bo dolžina vektorja A B → enaka A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Razmislite o trikotniku O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) je resnična na podlagi kosinusnega izreka.

Iz pogoja je razvidno, da je O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, zato zapišemo formulo za iskanje kota med vektorji drugače

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Potem iz prve definicije sledi, da je b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), torej (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Če uporabimo formulo za izračun dolžine vektorjev, dobimo:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + za 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay po

Dokažimo enakosti:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- oziroma za vektorje tridimenzionalnega prostora.

Skalarni produkt vektorjev s koordinatami pravi, da je skalarni kvadrat vektorja enak vsoti kvadratov njegovih koordinat v prostoru oziroma na ravnini. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) in (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Točkovni izdelek in njegove lastnosti

Obstajajo lastnosti pik, ki veljajo za a →, b → in c →:

1. komutativnost (a →, b →) = (b →, a →);
2. distributivnost (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. kombinacijska lastnost (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ je poljubno število;
4. skalarni kvadrat je vedno večji od nič (a →, a →) ≥ 0, kjer je (a →, a →) = 0 v primeru, ko je a → nič.

Primer 1

Lastnosti so razložljive zahvaljujoč definiciji pik produkta na ravnini in lastnostim pri seštevanju in množenju realnih števil.

Dokaži lastnost komutativnosti (a →, b →) = (b →, a →). Iz definicije izhaja, da je (a →, b →) = a y b y + a y b y in (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Glede na lastnost komutativnosti sta enakosti a x b x = b x a x in a y b y = b y a y resnični, torej a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Iz tega sledi, da je (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Distributivnost velja za poljubna števila:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

in (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

zato imamo

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Točkovni izdelek s primeri in rešitvami

Vsak problem takšnega načrta je rešen z uporabo lastnosti in formul v zvezi s pikčastim produktom:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y ali (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Oglejmo si nekaj primerov rešitev.

Primer 2

Dolžina a → je 3, dolžina b → je 7. Poiščite zmnožek pik, če je kot 60 stopinj.

Rešitev

Po pogoju imamo vse podatke, zato izračunamo po formuli:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Odgovor: (a →, b →) = 21 2.

Primer 3

Dani vektorji a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Kaj je točkovni produkt.

Rešitev

V tem primeru je upoštevana formula za izračun po koordinatah, saj so navedene v izjavi problema:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Odgovor: (a →, b →) = - 9

Primer 4

Poiščite zmnožek A B → in A C →. Na koordinatni ravnini so podane točke A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Rešitev

Za začetek se izračunajo koordinate vektorjev, saj so koordinate točk podane s pogojem:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Če v formulo nadomestimo z uporabo koordinat, dobimo:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Odgovor: (A B →, A C →) = 28.

Primer 5

Dani vektorji a → = 7 m → + 3 n → in b → = 5 m → + 8 n → poiščite njihov produkt. m → je enako 3 in n → je enako 2 enoti, sta pravokotni.

Rešitev

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Z uporabo distribucijske lastnosti dobimo:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Odvzamemo koeficient za predznak produkta in dobimo:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Z lastnostjo komutativnosti transformiramo:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Kot rezultat dobimo:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Zdaj uporabimo formulo za pikčasti produkt z vnaprej določenim kotom:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Odgovor: (a →, b →) = 411

Če obstaja številčna projekcija.

Primer 6

Poiščite zmnožek a → in b →. Vektor a → ima koordinate a → = (9, 3, - 3), projekcijo b → s koordinatami (- 3, - 1, 1).

Rešitev

Po hipotezi sta vektorja a → in projekcija b → nasprotno usmerjena, ker a → = - 1 3 · npa → b → →, torej projekcija b → ustreza dolžini npa → b → → in z znakom " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Če v formulo nadomestimo, dobimo izraz:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Odgovor: (a →, b →) = - 33.

Težave z znanim pikčastim produktom, kjer je treba najti dolžino vektorja ali numerične projekcije.

Primer 7

Kakšno vrednost naj vzame λ za dani skalarni produkt a → = (1, 0, λ + 1) in b → = (λ, 1, λ) bo enaka -1.

Rešitev

Formula kaže, da je treba najti vsoto produktov koordinat:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Glede na to, da imamo (a →, b →) = - 1.

Da bi našli λ, izračunamo enačbo:

λ 2 + 2 λ = - 1, torej λ = - 1.

Odgovor: λ = - 1.

Fizični pomen pik produkta

Mehanika se ukvarja z aplikacijo pik produkta.

Ko delate A s konstantno silo F → se telo premakne iz točke M v N, lahko najdete produkt dolžin vektorjev F → in MN → s kosinusom kota med njima, kar pomeni, da je delo enako na produkt vektorjev sile in premika:

A = (F →, M N →).

Primer 8

Gibanje materialne točke za 3 metre pod delovanjem sile, ki je enaka 5 nton, je usmerjeno pod kotom 45 stopinj glede na os. Najti.

Rešitev

Ker je delo produkt vektorja sile in premika, to pomeni, da na podlagi pogoja F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, dobimo A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Odgovor: A = 15 2 2.

Primer 9

Materialna točka, ki se giblje od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod silo F → = (3, 1, 2), je opravila delo, ki je enako 13 J. Izračunajte dolžina gibanja.

Rešitev

Za dane koordinate vektorja M N → imamo M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

S formulo za iskanje dela z vektorji F → = (3, 1, 2) in MN → = (3, 3 λ - 1, 7) dobimo A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Po hipotezi je podano, da je A = 13 J, kar pomeni 22 + 3 λ = 13. Zato je λ = - 3, torej M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Če želite poiskati dolžino premika M N →, uporabite formulo in nadomestite vrednosti:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Odgovor: 158.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

predavanje: Vektorske koordinate; pik produkt vektorjev; kot med vektorji

Vektorske koordinate

Torej, kot smo že omenili, so vektorji usmerjen segment, ki ima svoj začetek in konec. Če sta začetek in konec predstavljena z nekaterimi točkami, potem imata na ravnini ali v prostoru svoje koordinate.

Če ima vsaka točka svoje koordinate, potem lahko dobimo koordinate celotnega vektorja.

Recimo, da imamo nek vektor, katerega začetek in konec vektorja imata naslednje oznake in koordinate: A (A x; Ay) in B (B x; By)

Da bi dobili koordinate tega vektorja, je potrebno od koordinat konca vektorja odšteti ustrezne koordinate začetka:

Če želite določiti koordinate vektorja v prostoru, uporabite naslednjo formulo:

Pik produkt vektorjev

Pik produkt lahko definirate na dva načina:

• Geometrijski način. Po njegovem mnenju je pikčasti produkt enak zmnožku vrednosti teh modulov s kosinusom kota med njimi.

• Algebraični pomen. Z vidika algebre je točkovni produkt dveh vektorjev določena količina, ki se dobi kot rezultat vsote produktov ustreznih vektorjev.

Če so vektorji podani v prostoru, potem morate uporabiti podobno formulo:

Lastnosti:

• Če dva enaka vektorja pomnožite skalarno, potem njihov pik produkt ne bo negativen:

• Če se izkaže, da je skalarni produkt dveh enakih vektorjev enak nič, se ti vektorji štejejo za nič:

• Če vektor pomnožimo sam s seboj, bo skalarni produkt enak kvadratu njegovega modula:

• Skalarni produkt ima komunikacijsko lastnost, to je, da se skalarni produkt ne bo spremenil od permutacije vektorjev:

• Skalarni produkt neničel vektorjev je lahko nič le, če sta vektorja pravokotna drug na drugega:

• Za skalarni produkt vektorjev velja zakon premikov v primeru, da enega od vektorjev pomnožimo s številom:

• S pikčastim produktom lahko uporabite tudi distribucijsko lastnost množenja:

Kot med vektorji

Pik produkt vektorjev

Še naprej se ukvarjamo z vektorji. V prvi lekciji Vektorji za lutke preučili smo pojem vektorja, dejanja z vektorji, koordinate vektorja in najpreprostejše naloge z vektorji. Če ste na to stran prvič prišli iz iskalnika, toplo priporočam branje zgornjega uvodnega članka, saj morate za obvladovanje gradiva krmariti po izrazih in zapisih, ki jih uporabljam, imeti osnovno znanje o vektorjih in biti sposobni rešiti osnovne probleme. Ta lekcija je logično nadaljevanje teme, v njej pa bom podrobno analiziral tipične naloge, v katerih se uporablja pik produkt vektorjev. To je ZELO POMEMBNA dejavnost.... Poskusite ne preskočiti primerov, spremlja jih koristen bonus - vaja vam bo pomagala utrditi gradivo, ki ste ga obravnavali, in se dokopali do rešitve pogostih problemov v analitični geometriji.

Seštevanje vektorjev, množenje vektorja s številom... Naivno bi bilo misliti, da matematiki niso izmislili ničesar drugega. Poleg že obravnavanih dejanj obstajajo številne druge operacije z vektorji, in sicer: pik produkt vektorjev, vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev... Skalarni produkt vektorjev nam je znan iz šole, druga dva produkta sta tradicionalno povezana s predmetom višje matematike. Teme so preproste, algoritem reševanja številnih problemov je stereotipen in razumljiv. Edina stvar. Obstaja dostojna količina informacij, zato je nezaželeno, da bi poskušali obvladati, rešiti VSE NAENKRAT. To še posebej velja za čajnike, verjemite mi, avtor se sploh ne želi počutiti kot Chikatilo iz matematike. No, in ne iz matematike seveda tudi =) Bolj pripravljeni učenci lahko gradivo uporabljajo selektivno, v nekem smislu "dobijo" manjkajoče znanje, zate bom neškodljiv grof Drakula =)

Končno odprimo vrata in z navdušenjem poglejmo, kaj se zgodi, ko se dva vektorja srečata ...

Določanje pik produkta vektorjev.
Lastnosti pikčastih izdelkov. Tipične naloge

Koncept dot izdelka

Najprej o kot med vektorji... Mislim, da vsi intuitivno razumejo, kakšen je kot med vektorji, a za vsak slučaj malo bolj podrobno. Razmislite o prostih neničelnih vektorjih in. Če te vektorje odložite iz poljubne točke, dobite sliko, ki si jo mnogi že predstavljajo v mislih:

Priznam, da sem tukaj orisal situacijo le na ravni razumevanja. Če potrebujete strogo definicijo kota med vektorjema, glejte učbenik, za praktične probleme pa je načeloma ne potrebujemo. Tudi TUKAJ IN DALJE bom ponekod zanemaril nič vektorje zaradi njihovega majhnega praktičnega pomena. Rezervacijo sem naredil posebej za napredne obiskovalce spletnega mesta, ki mi lahko očitajo teoretično nepopolnost nekaterih od naslednjih izjav.

lahko sprejme vrednosti od 0 do 180 stopinj (od 0 do radianov) vključno. Analitično je to dejstvo zapisano v obliki dvojne neenakosti: oz (v radianih).

V literaturi je ikona kota pogosto spregledana in napisana preprosto.

Opredelitev: Skalarni produkt dveh vektorjev je ŠTEVILO, ki je enako zmnožku dolžin teh vektorjev s kosinusom kota med njima:

To je že precej stroga definicija.

Osredotočamo se na bistvene informacije:

Oznaka: pik produkt je označen z ali preprosto.

Rezultat operacije je ŠTEVILKA: Vektor se pomnoži z vektorjem, rezultat pa je število. Dejansko, če so dolžine vektorjev številke, je kosinus kota število, potem je njihov produkt bo tudi številka.

Samo nekaj primerov ogrevanja:

Primer 1

rešitev: Uporabljamo formulo ... V tem primeru:

odgovor:

Vrednosti kosinusa lahko najdete v trigonometrična miza... Priporočam, da ga natisnete - potreben bo na skoraj vseh odsekih stolpa in bo zahtevan večkrat.

S čisto matematičnega vidika je pikčasti produkt brez dimenzij, torej je rezultat v tem primeru le številka in to je to. Z vidika fizikalnih problemov ima skalarni produkt vedno določen fizični pomen, torej po rezultatu je treba navesti eno ali drugo fizično enoto. Kanonični primer računanja dela sile lahko najdete v katerem koli učbeniku (formula je natančno pik produkt). Delo sile se torej meri v džulih in odgovor bo na primer zapisan precej natančno.

Primer 2

Poiščite če , kot med vektorjema pa je.

To je primer rešitve naredi sam, odgovor je na koncu vadnice.

Kot med vektorji in vrednostjo dotnega produkta

V primeru 1 se je pikčasti produkt izkazal za pozitiven, v primeru 2 pa za negativen. Ugotovimo, od česa je odvisen predznak pikčastega produkta. Pogledamo našo formulo: ... Dolžine vektorjev, ki niso nič, so vedno pozitivne:, zato je predznak lahko odvisen le od vrednosti kosinusa.

Opomba: Za boljše razumevanje spodnjih informacij je bolje preučiti kosinusni graf v priročniku Grafi funkcij in lastnosti... Oglejte si, kako se kosinus obnaša na segmentu.

Kot smo že omenili, se lahko kot med vektorji spreminja znotraj , možni pa so naslednji primeri:

1) Če injekcija med vektorji začinjeno: (od 0 do 90 stopinj), nato , in pik produkt bo pozitiven sorežiral, potem se šteje, da je kot med njima enak nič, pik produkt pa bo tudi pozitiven. Ker je formula poenostavljena:.

2) Če injekcija med vektorji Top: (od 90 do 180 stopinj), nato , in ustrezno, pik produkt je negativen:. Poseben primer: če vektorji nasprotna smer, potem se upošteva kot med njima razporejen: (180 stopinj). Tudi pikčasti produkt je negativen, saj

Veljajo tudi obratne trditve:

1) Če, potem je kot med tema vektorjema oster. Druga možnost je, da so vektorji sosmerni.

2) Če, potem je kot med danima vektorjema tup. Druga možnost je, da so vektorji nasprotno usmerjeni.

Toda tretji primer je še posebej zanimiv:

3) Če injekcija med vektorji naravnost: (90 stopinj), potem pik produkt je nič:. Velja tudi obratno: če, potem. Izjava je strnjeno oblikovana na naslednji način: Skalarni produkt dveh vektorjev je nič, če in samo če sta ta vektorja ortogonalna... Kratek matematični zapis:

! Opomba : ponovi temelje matematične logike: ikona dvostranske logične posledice se običajno bere "takrat in samo takrat", "če in samo če". Kot lahko vidite, so puščice usmerjene v obe smeri - "od tega sledi to, in obratno - od tega, kar sledi iz tega." Mimogrede, kakšna je razlika od ikone za enosmerno sledenje? Ikona trdi samo to da "to izhaja iz tega", ni pa dejstvo, da je ravno nasprotno. Na primer: vendar ni vsaka žival panter, zato ikone v tem primeru ni mogoče uporabiti. Hkrati namesto ikone lahko uporabite enosmerno ikono. Na primer, pri reševanju problema smo ugotovili, da smo ugotovili, da so vektorji ortogonalni: - tak vnos bo pravilen in še bolj primeren kot .

Tretji primer je zelo praktičen. saj omogoča preverjanje, ali so vektorji ortogonalni ali ne. To težavo bomo rešili v drugem delu lekcije.

Lastnosti pikčastih izdelkov

Vrnimo se na situacijo, ko sta dva vektorja sorežiral... V tem primeru je kot med njima enak nič, formula piknega produkta pa ima obliko:.

Kaj se zgodi, če vektor pomnožimo sam s seboj? Jasno je, da je vektor sosmeren sam s seboj, zato uporabimo zgornjo poenostavljeno formulo:

Številka je poklicana skalarni kvadrat vektor in označen kot.

V to smer, skalarni kvadrat vektorja je enak kvadratu dolžine danega vektorja:

Iz te enakosti lahko dobite formulo za izračun dolžine vektorja:

Čeprav se zdi nejasno, bodo naloge lekcije vse postavile na svoje mesto. Za reševanje težav potrebujemo tudi lastnosti pik.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) - premični oz komutativno skalarni produktni zakon.

2) - distribucijo oz distribucijski skalarni produktni zakon. Preprosto lahko razširite oklepaje.

3) - kombinacija oz asociativno skalarni produktni zakon. Konstanto lahko vzamemo iz pik produkta.

Pogosto vse vrste lastnosti (ki jih je treba tudi dokazati!) študentje dojemajo kot nepotrebne smeti, ki si jih je treba takoj po izpitu le zapomniti in varno pozabiti. Zdi se, da je tukaj pomembno, da vsi že od prvega razreda vedo, da se izdelek ne spremeni zaradi prerazporeditve dejavnikov:. Moram vas opozoriti, da je v višji matematiki s tem pristopom enostavno zlomiti les. Tako na primer lastnost premika ne velja za algebraične matrike... Prav tako ne drži za vektorski produkt vektorjev... Zato je bolje, da se vsaj poglobite v vse lastnosti, na katere naletite na tečaju višje matematike, da bi razumeli, kaj je mogoče in kaj ne.

Primer 3

.

rešitev: Najprej razjasnimo situacijo z vektorjem. Kaj je to sploh? Vsota vektorjev in je dobro definiran vektor, ki je označen z. Geometrijsko interpretacijo dejanj z vektorji najdete v članku Vektorji za lutke... Isti peteršilj z vektorjem je vsota vektorjev in.

Torej, po pogoju je treba najti pik produkt. Teoretično morate uporabiti delovno formulo , težava pa je v tem, da ne poznamo dolžin vektorjev in kota med njimi. Toda pogoj daje podobne parametre za vektorje, zato bomo šli v drugo smer:

(1) Nadomestni vektorski izrazi.

(2) Oklepaje razširjamo po pravilu množenja polinomov, vulgarno vrtoglavico najdete v članku Kompleksne številke oz Integracija frakcijske racionalne funkcije... Ne bom se ponavljal =) Mimogrede, lastnost porazdelitve skalarnega produkta nam omogoča, da razširimo oklepaje. Imamo pravico.

(3) V prvem in zadnjem členu kompaktno zapišemo skalarne kvadrate vektorjev: ... V drugem členu uporabimo permutabilnost skalarnega produkta:.

(4) Podajamo podobne pogoje:.

(5) V prvem členu uporabimo formulo skalarnega kvadrata, ki je bila omenjena nedolgo nazaj. V zadnjem mandatu deluje ista stvar:. Drugi člen razširimo po standardni formuli .

(6) Te pogoje nadomestimo , in PREVIDNO naredite končne izračune.

odgovor:

Negativna vrednost pik produkta navaja dejstvo, da je kot med vektorjema tup.

Naloga je tipična, tukaj je primer za samostojno rešitev:

Primer 4

Poiščite pik produkt vektorjev in, če je to znano .

Zdaj še ena pogosta naloga, samo za novo formulo za dolžino vektorja. Oznake se bodo tukaj nekoliko prekrivale, zato ga bom zaradi jasnosti prepisal z drugo črko:

Primer 5

Poiščite dolžino vektorja if .

Rešitev bo takole:

(1) Navedite vektorski izraz.

(2) Uporabljamo formulo dolžine:, medtem ko celoten izraz deluje kot vektor "ve".

(3) Za kvadrat vsote uporabimo šolsko formulo. Upoštevajte, kako radovedno deluje tukaj: - pravzaprav je kvadrat razlike in v resnici je. Zainteresirani lahko vektorje po mestih prerazporedijo: - enako se je izkazalo do prerazporeditve izrazov.

(4) Ostalo je že znano iz dveh prejšnjih problemov.

odgovor:

Ker govorimo o dolžini, ne pozabite navesti dimenzije - "enote".

Primer 6

Poiščite dolžino vektorja if .

To je primer rešitve naredi sam. Popolna rešitev in odgovor na koncu vadnice.

Še naprej iztiskamo koristne stvari iz pik produkta. Oglejmo si še enkrat našo formulo ... Po pravilu sorazmerja ponastavimo dolžine vektorjev na imenovalec leve strani:

In zamenjali bomo dele:

Kaj je pomen te formule? Če poznate dolžine dveh vektorjev in njihov pikčasti produkt, lahko izračunate kosinus kota med tema vektorjema in s tem sam kot.

Ali je pikčasti produkt številka? Številka. Ali so dolžine vektorjev številke? Številke. Torej je ulomek tudi določeno število. In če je kosinus kota znan: , potem je z inverzno funkcijo enostavno najti sam kot: .

Primer 7

Poiščite kot med vektorjema in, če je to znano.

rešitev: Uporabljamo formulo:

V zadnji fazi izračunov je bila uporabljena tehnika - odprava iracionalnosti v imenovalcu. Da bi odpravili iracionalnost, sem števec in imenovalec pomnožil s.

Torej če , potem:

Vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij lahko najdete po trigonometrična miza... Čeprav se to redko zgodi. Pri problemih analitične geometrije se veliko pogosteje pojavlja nekakšen neroden medved, vrednost kota pa je treba približno poiskati s kalkulatorjem. Pravzaprav bomo takšno sliko videli večkrat.

odgovor:

Še enkrat, ne pozabite navesti dimenzije - radiane in stopinje. Osebno, da bi zavestno "počistil vsa vprašanja", raje navedem tako to kot to (če seveda po pogoju ni treba podati odgovora le v radianih ali samo v stopinjah).

Zdaj se boste lahko sami spopadli s težjo nalogo:

Primer 7 *

Podane so dolžine vektorjev in kot med njimi. Poiščite kot med vektorji,.

Naloga niti ni tako težka kot večstopenjska.
Analizirajmo algoritem rešitve:

1) Glede na pogoj je treba najti kot med vektorjema in zato morate uporabiti formulo .

2) Poiščite pikčasti produkt (glej primera št. 3, 4).

3) Poišči dolžino vektorja in dolžino vektorja (glej primera št. 5, 6).

4) Konec rešitve sovpada s primerom št. 7 - poznamo številko, kar pomeni, da je sam kot enostavno najti:

Kratka rešitev in odgovor na koncu vadnice.

Drugi del lekcije se osredotoča na isti pikčasti produkt. Koordinate. Še lažje bo kot v prvem delu.

pik produkt vektorjev,
podane s koordinatami v ortonormalni osnovi

odgovor:

Ni treba posebej poudarjati, da je ukvarjanje s koordinatami veliko bolj prijetno.

Primer 14

Poiščite pik produkt vektorjev in če

To je primer rešitve naredi sam. Tukaj lahko uporabite asociativnost operacije, torej ne štejte, ampak takoj premaknite trojko iz skalarnega produkta in pomnožite z njo nazadnje. Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Na koncu odstavka provokativen primer izračuna dolžine vektorja:

Primer 15

Poiščite dolžine vektorjev , če

rešitev: spet se nakazuje način prejšnjega razdelka:, vendar obstaja še en način:

Poiščite vektor:

In njegova dolžina po trivialni formuli :

Točkovni produkt tukaj sploh ne pride v poštev!

Kot izven poslovanja je pri izračunu dolžine vektorja:
Ustavi se. Zakaj ne bi izkoristili očitne lastnosti dolžine vektorja? Kaj pa dolžina vektorja? Ta vektor je 5-krat daljši od vektorja. Smer je nasprotna, a je vseeno, saj se govori o dolžini. Očitno je dolžina vektorja enaka produktu modulštevila na dolžino vektorja:
- znak modula "poje" možni minus števila.

V to smer:

odgovor:

Formula za kosinus kota med vektorji, ki so podani s koordinatami

Zdaj imamo popolne informacije, da izrazimo prej izpeljano formulo za kosinus kota med vektorji v smislu koordinat vektorjev:

Kosinus kota med vektorjema ravnine in podano v ortonormalni osnovi, izraženo s formulo:
.

Kosinus kota med vektorji prostora podano na ortonormalni osnovi, izraženo s formulo:

Primer 16

Podana so tri oglišča trikotnika. Najdi (kot oglišča).

rešitev: Glede na pogoj risanja ni treba izvesti, a vseeno:

Zahtevani kot je označen z zelenim lokom. Takoj se spomnimo šolske oznake kota: - posebna pozornost na povprečnočrka - to je vrh vogala, ki ga potrebujemo. Zaradi kratkosti bi ga lahko napisali tudi preprosto.

Iz risbe je povsem očitno, da kot trikotnika sovpada s kotom med vektorjema in z drugimi besedami: .

Zaželeno je, da se naučite, kako miselno izvajati analizo.

Poiščite vektorje:

Izračunajmo pik produkt:

In dolžine vektorjev:

Kosinus kota:

To je vrstni red dokončanja naloge, ki ga priporočam čajnikom. Naprednejši bralci lahko napišejo izračune "v eni vrstici":

Tukaj je primer "slabe" vrednosti kosinusa. Dobljena vrednost ni končna, zato se nima smisla znebiti iracionalnosti v imenovalcu.

Poiščimo sam kotiček:

Če pogledate risbo, je rezultat precej verjeten. Za preverjanje lahko kot izmerimo tudi s kotomerjem. Ne poškodujte pokrova monitorja =)

odgovor:

V odgovoru na to ne pozabite vprašal o kotu trikotnika(in ne o kotu med vektorji), ne pozabite navesti natančnega odgovora: in približne vrednosti kota: najdemo s kalkulatorjem.

Tisti, ki so uživali v postopku, lahko izračunajo kote in se prepričajo, da je kanonična enakost resnična

Primer 17

Trikotnik je v prostoru definiran s koordinatami njegovih oglišč. Poiščite kot med stranicama in

To je primer rešitve naredi sam. Popolna rešitev in odgovor na koncu vadnice

Kratek zaključni del bo namenjen projekcijam, v katerih je tudi skalarni produkt "pomešan":

Vektorska projekcija. Projekcija vektorja na koordinatne osi.
Smerni kosinus vektorja

Upoštevajte vektorje in:

Vektor projiciramo na vektor, zato izpustimo začetek in konec vektorja pravokotnice na vektor (zelene pikčaste črte). Predstavljajte si svetlobne žarke, ki padajo pravokotno na vektor. Potem bo segment (rdeča črta) "senca" vektorja. V tem primeru je projekcija vektorja na vektor DOLŽINA segmenta. Se pravi, PROJEKCIJA JE ŠTEVILKA.

Ta ŠTEVILKA je označena na naslednji način: "veliki vektor" označuje vektor KATERI projekta, "small subscript vector" označuje vektor NA ki se načrtuje.

Sam zapis se glasi takole: "projekcija vektorja" a "na vektor" bh "".

Kaj se zgodi, če je vektor "bs" "prekratek"? Narišemo ravno črto, ki vsebuje vektor "be". In vektor "a" bo že projiciran v smeri vektorja "bh", preprosto - na ravni črti, ki vsebuje vektor "be". Enako se bo zgodilo, če se vektor "a" odloži v tridesetem kraljestvu - še vedno bo zlahka projiciran na ravno črto, ki vsebuje vektor "bh".

Če je kot med vektorji začinjeno(kot na sliki), potem

Če vektorji ortogonalno, potem (projekcija je točka, katere dimenzije so predpostavljene nič).

Če je kot med vektorji Top(na sliki miselno prerazporedite puščico vektorja), nato (iste dolžine, vendar vzeto z znakom minus).

Odložimo te vektorje z ene točke:

Očitno se, ko se vektor premika, njegova projekcija ne spremeni.