Euklides je prvým matematikom alexandrijskej školy. Jeho hlavné dielo „Začiatky“ (????????, v latinizovanej podobe – „Prvky“) obsahuje prezentáciu planimetrie, stereometrie a množstvo problémov z teórie čísel; v nej zhrnul doterajší vývoj gréckej matematiky a vytvoril základ pre ďalší rozvoj matematiky. Z ďalších prác z matematiky treba spomenúť „O delení postáv“, zachovanú v arabskom preklade, 4 knihy „Kužeľové rezy“, ktorých materiál zahrnul do rovnomenného diela aj Apollonius z Pergy. ako „porizmy“, nápad, ktorý možno získať z „matematickej zbierky“ Pappus z Alexandrie. Euclid je autorom diel o astronómii, optike, hudbe atď.

Životopis

Je zvykom pripisovať najspoľahlivejším informáciám o živote Euklida to málo, čo je uvedené v Komentároch Prokla k prvej knihe Euklidových prvkov. Poznamenávajúc, že ​​„matematici, ktorí písali o histórii“ nepriniesli rozvoj tejto vedy do doby Euklida, Proclus poukazuje na to, že Euklides bol starší ako platónsky kruh, ale mladší ako Archimedes a Eratosthenes a „žil v dobe r. Ptolemaios I. Soter“, „pretože Archimedes, ktorý žil pod vedením Ptolemaia I., spomína Euklida a najmä hovorí, že Ptolemaios sa ho opýtal, či existuje kratší spôsob štúdia geometrie ako Počiatky; a on odpovedal, že neexistuje žiadna kráľovská cesta ku geometrii“

Ďalšie úpravy portrétu Euklida možno získať od Pappa a Stobea. Papp uvádza, že Euklides bol jemný a prívetivý ku všetkým, ktorí mohli čo i len najmenšou mierou prispieť k rozvoju matematických vied, a Stobaeus rozpráva ďalšiu anekdotu o Euklidovi. Po začatí štúdia geometrie a po analýze prvej vety sa jeden mladý muž spýtal Euklida: „A aký úžitok mi prinesie táto veda? Euklides zavolal otroka a povedal: "Dajte mu tri oboly, pretože chce profitovať zo svojich štúdií."

Niektorí moderní spisovatelia interpretujú Proklov výrok – Euklides žil za čias Ptolemaia I. Sotera – tak, že Euklides žil na Ptolemaiovom dvore a bol zakladateľom Musaeion v Alexandrii. Treba však poznamenať, že táto myšlienka vznikla v Európe v 17. storočí, pričom stredovekí autori stotožňovali Euklida so žiakom Sokrata, filozofom Euklidom z Megary. Anonymný arabský rukopis z 12. storočia uvádza:

Podľa jeho filozofických názorov bol Euklides s najväčšou pravdepodobnosťou platónikom.

Princípy Euklida

Hlavné dielo Euklida sa nazýva Počiatky. Knihy s rovnakým názvom, v ktorých boli dôsledne uvedené všetky základné fakty geometrie a teoretickej aritmetiky, zostavili už skôr Hippokrates z Chiosu, Leontes a Theudius. Elements of Euclid však vytlačili všetky tieto diela z používania a viac ako dve tisícročia zostali základnou učebnicou geometrie. Pri vytváraní svojej učebnice Euclid zahrnul veľa z toho, čo vytvorili jeho predchodcovia, pričom tento materiál spracoval a spojil.

Začiatky pozostávajú z trinástich kníh. Pred prvou a niektorými ďalšími knihami je uvedený zoznam definícií. Prvú knihu tiež predchádza zoznam postulátov a axióm. Postuláty spravidla definujú základné konštrukcie (napríklad „vyžaduje sa, aby čiaru bolo možné nakresliť cez ľubovoľné dva body“) a axiómy – všeobecné pravidlá pre odvodenie pri práci s veličinami (napríklad „ak sú dve veličiny rovnaké“. do tretiny sú si medzi sebou rovní“).

Kniha I študuje vlastnosti trojuholníkov a rovnobežníkov; táto kniha je korunovaná slávnou Pytagorovou vetou pre pravouhlé trojuholníky. Kniha II, pochádzajúca z čias Pytagorejcov, je venovaná takzvanej „geometrickej algebre“. Knihy III a IV sa zaoberajú geometriou kružníc, ako aj vpísanými a opísanými mnohouholníkmi; pri práci na týchto knihách mohol Euklides použiť spisy Hippokrata z Chiu. Kniha V predstavuje všeobecnú teóriu proporcií vybudovanú Eudoxom z Knidu a v knihe VI je aplikovaná na teóriu podobných postáv. Knihy VII-IX sú venované teórii čísel a siahajú až k Pytagorejcom; autorom knihy VIII mohol byť Archytas z Tarentu. Tieto knihy sa zaoberajú teorémami o proporciách a geometrických postupnostiach, zavádzajú metódu na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (teraz známy ako Euklidov algoritmus), konštruujú párne dokonalé čísla a dokazujú nekonečnosť množiny prvočísel. V knihe X, ktorá je najobjemnejšou a najkomplexnejšou časťou Počiatkov, je postavená klasifikácia iracionalít; je možné, že jej autorom je Theaetetos z Atén. Kniha XI obsahuje základy stereometrie. V knihe XII sú pomocou metódy vyčerpania dokázané vety o pomeroch plôch kruhov, ako aj objemov pyramíd a kužeľov; Autorom tejto knihy je nepochybne Eudoxus z Knidu. Napokon, XIII. kniha je venovaná konštrukcii piatich pravidelných mnohostenov; predpokladá sa, že niektoré budovy postavil Theaetetus z Atén.

V rukopisoch, ktoré sa k nám dostali, pribudli k týmto trinástim knihám ďalšie dve. Kniha XIV patrí Alexandrijským Hypsiklom (asi 200 pred Kr.), kniha XV vznikla za života Izidora z Milétu, staviteľa kostola sv. Sofie v Konštantínopole (začiatok 6. storočia n. l.).

Začiatky poskytujú spoločný základ pre následné geometrické traktáty Archimeda, Apollonia a iných antických autorov; tvrdenia v nich preukázané sa považujú za dobre známe. Komentáre k Princípom v staroveku napísali Heron, Porfiry, Pappus, Proclus, Simplicius. Zachoval sa Proclov komentár ku Knihe I, ako aj Pappusov komentár ku Knihe X (v arabskom preklade). Od antických autorov prechádza tradícia komentárov k Arabom a potom do stredovekej Európy.

Pri vzniku a rozvoji vedy New Age zohrali Počiatky aj významnú ideologickú úlohu. Zostali príkladom matematického pojednania, striktne a systematicky vysvetľujúceho hlavné ustanovenia konkrétnej matematickej vedy.

Ďalšie diela Euklida

Z iných Euklidových spisov sa zachovalo:

• Údaje (????????) - o tom, čo je potrebné na nastavenie čísla;
• O delení (???? ????????????) - zachované čiastočne a len v arabskom preklade; udáva rozdelenie geometrických útvarov na časti rovnaké alebo pozostávajúce jedna z druhej v danom pomere;
• Fenomény (?????????) - aplikácie sférickej geometrie v astronómii;
• Optika (??????) - o priamočiarom šírení svetla.

Krátke popisy sú:

• Porizmy (?????????) - o podmienkach, ktoré určujú krivky;
• Kužeľosečky (??????);
• Miesta povrchu (????? ???? ?????????) - o vlastnostiach kužeľosečiek;
• Pseudarius (????????) - o chybách v geometrických dôkazoch;

Euklidovi sa pripisuje aj:

• Katoptrika (????????????) - teória zrkadiel; zachovalo sa spracovanie Theona Alexandrijského;
• Rozdelenie kánonu (???????? ???????) je pojednaním o elementárnej teórii hudby.

Euklides a antická filozofia

Už od čias Pythagorejcov a Platóna sa aritmetika, hudba, geometria a astronómia (takzvané „matematické“ vedy; neskôr Boethius nazývané quadrivia) považovali za príklad systematického myslenia a za počiatočnú fázu štúdia filozofie. . Nie náhodou vznikla legenda, podľa ktorej bol nad vchodom do Platónskej akadémie umiestnený nápis „Nech sem nevstupuje nikto, kto nepozná geometriu“.

Geometrické kresby, na ktorých sa pri kreslení pomocných čiar stáva zrejmá implicitná pravda, slúžia ako ilustrácia pre doktrínu rozpamätávania, ktorú rozvinul Platón v Meno a iných dialógoch. Preto sa návrhy geometrie nazývajú teorémy, pretože na pochopenie ich pravdy je potrebné vnímať kresbu nie jednoduchým zmyslovým videním, ale „očami rozumu“. Akékoľvek nakreslenie vety je nápad: vidíme túto postavu pred sebou a uvažujeme a vyvodzujeme závery pre všetky postavy rovnakého typu naraz.

Istý „platonizmus“ Euklida súvisí aj s tým, že v Platónovom Timaiovi sa uvažuje o náuke o štyroch živloch, ktorým zodpovedajú štyri pravidelné mnohosteny (tetrahedron – oheň, osemsten – vzduch, dvadsaťsten – voda, kocka – zem), piaty mnohosten, dvanásťsten,“ zapadol do údelu postavy vesmíru. V tomto ohľade možno Počiatky považovať za učenie o konštrukcii piatich pravidelných mnohostenov – takzvaných „platónskych telies“, rozmiestnených so všetkými potrebnými priestormi a zväzkami, zavŕšené dôkazom toho, že neexistujú žiadne iné. pravidelné telá, okrem týchto piatich.

Pre aristotelovskú doktrínu dôkazu, vyvinutú v Druhej analýze, Elementy tiež poskytujú bohatý materiál. Geometria v začiatkoch je postavená ako inferenčný systém vedomostí, v ktorom sú všetky vety postupne odvodené jedna za druhou pozdĺž reťazca na základe malého súboru počiatočných tvrdení prijatých bez dôkazu. Podľa Aristotela takéto počiatočné tvrdenia musia existovať, keďže reťaz inferencií musí niekde začať, aby nebola nekonečná. Ďalej sa Euklides pokúša dokázať tvrdenia všeobecnej povahy, čo tiež zodpovedá Aristotelovmu obľúbenému príkladu: „ak je vlastné každému rovnoramennému trojuholníku mať uhly rovné celkovo dvom pravým uhlom, potom je to vlastné nie preto, že by rovnoramenný, ale preto, že ide o trojuholník“ (An. Post. 85b12).

Pseudo-Euklides

Euklidovi sa pripisujú dve dôležité pojednania o teórii starovekej hudby: Harmonický úvod a Rozdelenie kánonu. O skutočnom autorovi týchto diel nie je nič známe. Heinrich Meubom (1555-1625) dodal Harmonický úvod dlhými poznámkami a spolu s oddelením kánonu bol prvý, kto ich autoritatívne pripísal dielam Euklida. Pri následnom podrobnom rozbore týchto traktátov sa zistilo, že prvý má stopy pytagorejskej tradície (napríklad v ňom sa všetky poltóny považujú za rovnocenné) a druhý sa vyznačuje aristotelovským charakterom (napríklad možnosť delenie tónu na polovicu je odmietnuté). Štýl prezentácie „Harmonického úvodu“ sa vyznačuje dogmatizmom a kontinuitou, štýl „Rozdelenie kánonu“ je trochu podobný „Princípom“ Euklida, pretože obsahuje aj vety a dôkazy.

Carl Jahn (1836-1899) bol toho názoru, že pojednanie „Harmonický úvod“ napísal Cleonides, keďže jeho meno je v niektorých rukopisoch. Okrem mien Euklides a Kleonides sú v rukopisoch uvedení ako autori Pappus a Anonym. Väčšina odborných publikácií dáva prednosť označovaniu autora ako Pseudo-Euklides.

Grécke pojednanie Pseudo-Euklides s ruským prekladom a poznámkami G. A. Ivanova vyšlo v Moskve v roku 1894

Životopis

Je zvykom pripisovať najspoľahlivejším informáciám o živote Euklida to málo, čo je uvedené v Komentároch Prokla k prvej knihe. Začaté Euklides. Poznamenávajúc, že ​​„matematici, ktorí písali o histórii“ nepriniesli rozvoj tejto vedy do doby Euklida, Proclus poukazuje na to, že Euklides bol starší ako platónsky kruh, ale mladší ako Archimedes a Eratosthenes a „žil v dobe Ptolemaia. I Soter“, „pretože Archimedes, ktorý žil za Ptolemaia I., spomína Euklida a najmä hovorí, že Ptolemaios sa ho spýtal, či existuje kratší spôsob štúdia geometrie ako Začiatky; a on odpovedal, že neexistuje žiadna kráľovská cesta ku geometrii“

Ďalšie úpravy portrétu Euklida možno získať od Pappa a Stobea. Papp uvádza, že Euklides bol jemný a prívetivý ku všetkým, ktorí mohli čo i len najmenšou mierou prispieť k rozvoju matematických vied, a Stobaeus rozpráva ďalšiu anekdotu o Euklidovi. Po začatí štúdia geometrie a po analýze prvej vety sa jeden mladý muž spýtal Euklida: „A aký úžitok mi prinesie táto veda? Euklides zavolal otroka a povedal: "Dajte mu tri oboly, pretože chce profitovať zo svojich štúdií."

Niektorí moderní spisovatelia interpretujú Proklov výrok – Euklides žil za čias Ptolemaia I. Sotera – tak, že Euklides žil na Ptolemaiovom dvore a bol zakladateľom Alexandrijského múzea. Treba však poznamenať, že táto myšlienka vznikla v Európe v 17. storočí, pričom stredovekí autori stotožňovali Euklida so žiakom Sokrata, filozofom Euklidom z Megary. Anonymný arabský rukopis z 12. storočia uvádza:

Euklides, syn Naukrata, známy pod menom „Geometer“, vedec starých čias, pôvodom Grék, Sýrčan podľa bydliska, pôvodom z Tyru...

Podľa jeho filozofických názorov bol Euklides s najväčšou pravdepodobnosťou platónikom.

Začiatky Euklides

Euklidovo hlavné dielo je tzv Začiatky. Knihy s rovnakým názvom, ktoré postupne uvádzali všetky základné fakty z geometrie a teoretickej aritmetiky, zostavili už skôr Hippokrates z Chiosu, Leontes a Theeudius. ale Začiatky Euklides vytlačil všetky tieto spisy z používania a viac ako dve tisícročia zostal základnou učebnicou geometrie. Pri vytváraní svojej učebnice Euclid zahrnul veľa z toho, čo vytvorili jeho predchodcovia, pričom tento materiál spracoval a spojil.

Začiatky pozostáva z trinástich kníh. Pred prvou a niektorými ďalšími knihami je uvedený zoznam definícií. Prvú knihu tiež predchádza zoznam postulátov a axióm. Postuláty spravidla definujú základné konštrukcie (napríklad „vyžaduje sa, aby čiaru bolo možné nakresliť cez ľubovoľné dva body“) a axiómy – všeobecné pravidlá pre odvodenie pri práci s veličinami (napríklad „ak sú dve veličiny rovnaké“. do tretiny sú si medzi sebou rovní“).

Kniha I študuje vlastnosti trojuholníkov a rovnobežníkov; táto kniha je korunovaná slávnou Pytagorovou vetou pre pravouhlé trojuholníky. Kniha II, pochádzajúca z čias Pytagorejcov, je venovaná takzvanej „geometrickej algebre“. Knihy III a IV sa zaoberajú geometriou kružníc, ako aj vpísanými a opísanými mnohouholníkmi; pri práci na týchto knihách mohol Euklides použiť spisy Hippokrata z Chiu. Kniha V predstavuje všeobecnú teóriu proporcií vybudovanú Eudoxom z Knidu a v knihe VI je aplikovaná na teóriu podobných postáv. Knihy VII-IX sú venované teórii čísel a siahajú až k Pytagorejcom; autorom knihy VIII mohol byť Archytas z Tarentu. Tieto knihy sa zaoberajú teorémami o proporciách a geometrických postupnostiach, zavádzajú metódu na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (teraz známy ako Euklidov algoritmus), vytvárajú párne dokonalé čísla, dokazujú nekonečnosť množiny prvočísel. V knihe X, ktorá je najobjemnejšou a najkomplexnejšou časťou Začaté, je vytvorená klasifikácia iracionalít; je možné, že jej autorom je Theaetetos z Atén. Kniha XI obsahuje základy stereometrie. V knihe XII sú pomocou metódy vyčerpania dokázané vety o pomeroch plôch kružníc, ako aj objemov pyramíd a kužeľov; autorom tejto knihy je nepochybne Eudoxus z Knidu. Napokon, XIII. kniha je venovaná konštrukcii piatich pravidelných mnohostenov; predpokladá sa, že niektoré budovy navrhol Theaetetus z Atén.

V rukopisoch, ktoré sa k nám dostali, pribudli k týmto trinástim knihám ďalšie dve. Kniha XIV patrí Alexandrijským Hypsiklom (asi 200 pred Kr.), kniha XV vznikla za života Izidora z Milétu, staviteľa kostola sv. Sofie v Konštantínopole (začiatok 6. storočia n. l.).

Začiatky poskytnúť spoločný základ pre nasledujúce geometrické pojednania od Archimeda, Apollonia a iných antických autorov; tvrdenia v nich preukázané sa považujú za dobre známe. Komentáre na Začiatky v staroveku to boli Volavka, Porfirius, Pappus, Proclus, Simplicius. Zachoval sa Proclov komentár ku Knihe I, ako aj Pappusov komentár ku Knihe X (v arabskom preklade). Od antických autorov prechádza tradícia komentárov k Arabom a potom do stredovekej Európy.

Pri tvorbe a rozvoji modernej vedy Začiatky zohral aj významnú ideologickú úlohu. Zostali príkladom matematického pojednania, striktne a systematicky vysvetľujúceho hlavné ustanovenia konkrétnej matematickej vedy.

Ďalšie diela Euklida

Socha Euklida v Prírodovednom múzeu Oxfordskej univerzity

Z iných Euklidových spisov sa zachovalo:

• Údaje (δεδομένα ) - o tom, čo je potrebné na nastavenie postavy;
• O delení (περὶ διαιρέσεων ) - zachované čiastočne a len v arabskom preklade; udáva rozdelenie geometrických útvarov na časti rovnaké alebo pozostávajúce jedna z druhej v danom pomere;
• Fenomény (φαινόμενα ) - aplikácie sférickej geometrie v astronómii;
• Optika (ὀπτικά ) - o priamočiarom šírení svetla.

Krátke popisy sú:

• porizmy (πορίσματα ) - o podmienkach, ktoré určujú krivky;
• Kužeľové rezy (κωνικά );
• povrchové miesta (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - o vlastnostiach kužeľosečiek;
• Pseudaria (ψευδαρία ) - o chybách v geometrických dôkazoch;

Euklidovi sa pripisuje aj:

Euklides a antická filozofia

Grécke pojednanie Pseudo-Euklides s ruským prekladom a poznámkami G. A. Ivanova vyšlo v Moskve v roku 1894

Literatúra

Bibliografia

• Maximálny zásobník. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der "Elemente" des Euklid (um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera Minora (16.-20. Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.

Texty a preklady

Staré ruské preklady

• euklidovský prvky z dvanástich neftónskych kníh vybraných a zredukovaných na osem kníh prostredníctvom profesora matematiky A. Farhvarsona. / Za. z lat. I. Šatarová. SPb., 1739. 284 strán.
• Prvky geometrie, to znamená prvé základy vedy o meraní dĺžky, pozostávajúce z osí euklidovský knihy. / Za. z francúzštiny N. Kurganovej. SPb., 1769. 288 s.
• euklidovský Elementy osem kníh, a to: 1., 2., 3., 4., 5., 6., 11. a 12.. / Za. z gréčtiny SPb., . 370 str.
  • 2. vyd. ... K tomu sú pripojené knihy 13 a 14. 1789. 424 strán.
• Euklidovské princípy osem kníh, a to prvých šesť, 11. a 12., obsahujúcich základy geometrie. / Za. F. Petruševskij. SPb., 1819. 480 strán.
• euklidovský začal tri knihy, a to: 7., 8. a 9., obsahujúce všeobecnú teóriu čísel starovekých geometrov. / Za. F. Petruševskij. SPb., 1835. 160 strán.
• Osem kníh o geometrii Euklides. / Za. s ním. žiaci reálnej školy ... Kremenčug, 1877. 172 s.
• Začiatky Euklides. / Zo vstupu. a interpretácie M. E. Vaščenka-Zacharčenka. Kyjev, 1880. XVI., 749 strán.

Moderné vydania Euklidových spisov

• Začiatky Euklida. Za. a comm. D. D. Mordukhai-Boltovsky, vyd. účasť I. N. Veselovského a M. Ya. Vygodského. V 3 zväzkoch (séria „Klasika prírodných vied“). M.: GTTI, 1948-50. 6000 kópií

• Knihy I-VI (1948. 456 strán) na www.math.ru alebo na mccme.ru
• Knihy VII-X (1949, 512 strán) na www.math.ru alebo na mccme.ru
• Knihy XI-XIV (1950. 332 strán) na www.math.ru alebo na mccme.ru

• Euklidova opera Omnia. Ed. I. L. Heiberg a H. Menge. 9 obj. Lipsko: Teubner, 1883-1916.

• Vol. I-IX na www.wilbourhall.org

• Heath T.L. Tretie knihy Euklidových živlov. 3 objemy. Cambridge UP, 1925. Vydania a preklady: grécky (ed. J. L. Heiberg), anglický (ed. Th. L. Heath)
• Euklides. Les prvkov. 4 obj. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Jaskyniarstvo. P.: Presses universitaires de France, 1990-2001.
• Holič A. Euklidovské rozdelenie kánonu: grécke a latinské zdroje // Grécka a latinská hudobná teória. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.

Komentáre

Starožitné komentáre Začaté

• Proclus Diadochus. Komentár k prvej knihe Euklidových živlov. Úvod. Za. a comm. Yu. A. Shichalina. M.: GLK, 1994.
• Proclus Diadochus. Komentár k prvej knihe Euklidových živlov. Postuláty a axiómy. Za. A. I. Shchetnikovová. ΣΧΟΛΗ , problém. 2, 2008, s. 265-276.
• Proclus Diadochus. Komentár k prvej knihe Euklidových živlov. Definície. Za. A. I. Shchetnikovová. Arche: Zborník z kultúrno-logického seminára, problém. 5. M.: RGGU, 2009, s. 261-320.
• Thompson W. Pappusov komentár k Euklidovým prvkom. Cambridge, 1930.

Výskum

O Začiatky Euklides

• Alimov N. G. Hodnota a vzťah v Euklidovi. Historický a matematický výskum, problém. 8, 1955, s. 573-619.
• Bashmakova I. G. Aritmetické knihy „Začiatkov“ Euklida. , problém. 1, 1948, s. 296-328.
• Van der Waerden B. L. Prebúdzajúca sa veda. Moskva: Fizmatgiz, 1959.
• Vygodsky M. Ya. "Začiatky" Euklida. Historický a matematický výskum, problém. 1, 1948, s. 217-295.
• Glebkin V.V. Veda v kontexte kultúry: („Začiatky“ od Euklida a „Jiu zhang suan shu“). Moskva: Interpraks, 1994. 188 strán, 3000 výtlačkov. ISBN 5-85235-097-4
• Kagan VF Euclid, jeho nástupcovia a komentátori. V knihe: Kagan V.F. Základy geometrie. Časť 1. M., 1949, s. 28-110.
• Raik A.E. Desiata kniha Euklidových „Začiatkov“. Historický a matematický výskum, problém. 1, 1948, s. 343-384.
• Rodin A.V. Euklidova matematika vo svetle filozofie Platóna a Aristotela. M.: Nauka, 2003.
• Zeiten G.G. Dejiny matematiky v staroveku a stredoveku. M.-L.: ONTI, 1938.
• Shchetnikov AI Druhá kniha Euklidových „Začiatkov“: jej matematický obsah a štruktúra. Historický a matematický výskum, problém. 12(47), 2007, s. 166-187.
• Shchetnikov AI Diela Platóna a Aristotela ako dôkaz formovania systému matematických definícií a axióm. ΣΧΟΛΗ , problém. 1, 2007, s. 172-194.

• Artmanna B. Euklida „Prvky“ a ich prehistória. Apeiron, v. 24, 1991, str. 1-47.
• Brooker M.I.H., Connors J.R., Slee A.V. Euklides. CD-ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
• Burton H.E. Euklidova optika. J. Opt. soc. amer., v. 35, 1945, s. 357-372.
• Itard J. Lex livres arithmetiques d'Euclide. P.: Hermann, 1961.
• Fowler D.H. Pozvánka na čítanie X. knihy Euklidových prvkov. Historia Mathematica, v. 19, 1992, str. 233-265.
• Knorr W.R. Evolúcia euklidovských prvkov. Dordrecht: Reidel, 1975.
• Mueller I. Filozofia matematiky a deduktívna štruktúra v Euklidových prvkoch. Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
• Schreiber P. Eulid. Lipsko: Teubner, 1987.
• Seidenberg A. Rozvinuli Euklidove prvky, Kniha I, geometriu axiomaticky? Archív pre dejiny exaktných vied, v. 14, 1975, str. 263-295.
• Staal J.F. Euclid a Panini // Filozofia východu a západu 1965. č. 15. S. 99-115.
• Taisbak C.M. divízia a logá. Teória ekvivalentných párov a množín celých čísel, ktorú predložil Euklides v aritmetických knihách Elementov. Odense UP, 1982.
• Taisbak C.M. Farebné štvorce. Sprievodca desiatou knihou Euklidových živlov. Kodaň, Museum Tusculanum Press, 1982.
• Garbiareň P. Grécka geometria. Paríž: Gauthier-Villars, 1887.

O iných Euklidových spisoch

• Zverkina G. A. Recenzia Euklidovho pojednania „Údaje“. Matematika a prax, Matematika a kultúra. M., 2000, s. 174-192.
• Ilyina E. A. O „údajoch“ Euklida. Historický a matematický výskum, problém. 7(42), 2002, str. 201-208.
• Šál M. . // . M., 1883.
• Berggren J.L., Thomas R.S.D. Euclid's Phaenomena: preklad a štúdium helenistického pojednania o sférickej astronómii. NY, Garland, 1996.
• Schmidt R. Euklidoví príjemcovia, bežne nazývaní Dáta. Golden Hind Press, 1988.
• S. Kutateladze

Euklides (asi 300 pred Kr.) je starogrécky matematik, ktorý je autorom prvého pojednania o matematike, ktoré sa datuje do našej doby.

Životná cesta a vedecké úspechy

O Euklidovi nie je veľa biografických informácií. S istotou je známe len to, že jeho vedecká činnosť prebiehala v 3. storočí pred Kristom. pred Kr e v Alexandrii.

Euklides bol prvým matematikom alexandrijskej školy. Hlavná práca vedca známeho ako „Začiatky“ je venovaná stereometrii, planimetrii a otázkam teórie čísel. V skutočnosti Euclid vytvoril základ pre rozvoj matematiky. Zachovalo sa aj jeho dielo „O delení figúr“, 4 knihy „Kužeľové rezy“ a „Porizmy“. Okrem toho Euclid písal o optike, astronómii a hudbe.

„Začiatky“ Euklida boli 2 tisícročia základnou učebnicou geometrie. Pri práci na tejto učebnici Euclid spracoval a spojil materiál svojich predchodcov. Táto učebnica pozostáva z 13 kníh. Charakteristickým rysom učebnice je prítomnosť zoznamu postulátov a axióm. Zvážte obsah „Začiatky“:

• 1. kniha - vlastnosti rovnobežníkov a trojuholníkov (tu bola Pytagorova veta);
• 3. a 4. kniha - geometria kružníc, opísaných a vpísaných mnohouholníkov;
• 5. kniha - teória proporcií;
• 6. kniha - teória podobných obrazcov;
• 7. a 9. kniha - teória čísel, vety o geometrických postupnostiach a proporciách;
• 10. kniha - klasifikácia iracionalít;
• 11. kniha - základy stereometrie;
• 12. kniha - vety o objemoch pyramíd a kužeľov a o pomeroch plôch kružníc;
• 13. kniha - znaky konštrukcie pravidelných mnohostenov.

„Začiatky“ sa stali spoločným základom pre traktáty Archimeda a iných antických autorov. Návrhy, ktoré sú v nich preukázané, sú dobre známe. Okrem toho táto učebnica zohrala nemalú úlohu vo vývoji matematiky v modernej dobe.

Papp uvádza, že staroveký grécky matematik bol jemný a vždy láskavý k tým, ktorí mohli prispieť k rozvoju matematiky.

Stobaeus hovorí, že jedného dňa sa študent spýtal Euklida: "Aký úžitok budem mať z vedy?" V reakcii na to Euklides zavolal otroka a nariadil: "Dajte tomuto mužovi 3 oboly, pretože chce profitovať zo svojich štúdií."

Filozoficky bol prvým teoretikom matematiky platón.

V Euklidovom živote sa stala zábavná príhoda. Jedného dňa chcel kráľ Ptolemaios študovať geometriu a spýtal sa Euklida, či existuje rýchlejšia cesta ako tá, ktorá je opísaná v Elementoch. Na to vedec odpovedal: "V geometrii neexistujú žiadne kráľovské cesty."

Do konca 16. stor Euklidove prvky boli dokonca preložené do čínštiny.

Pozývame vás, aby ste sa zoznámili s takým veľkým matematikom, akým je Euclid. Biografia, zhrnutie jeho hlavnej práce a niektoré zaujímavé fakty o tomto vedcovi sú uvedené v našom článku. Euclid (roky života - 365-300 pred Kristom) - matematik patriaci do helénskej éry. Pôsobil v Alexandrii pod vedením Ptolemaia I. Sotera. Existujú dve hlavné verzie toho, kde sa narodil. Podľa prvého - v Aténach, podľa druhého - v Týre (Sýria).

Biografia Euklida: zaujímavé fakty

Nie veľa o živote. Existuje posolstvo patriace Pappusovi z Alexandrie. Tento muž bol matematik, ktorý žil v 2. polovici 3. storočia nášho letopočtu. Poznamenal, že vedec, ktorý nás zaujíma, bol láskavý a jemný ku všetkým, ktorí mohli nejakým spôsobom prispieť k rozvoju určitých matematických vied.

Existuje aj legenda, ktorú uvádza Archimedes. Jeho hlavnou postavou je Euclid. Krátky životopis pre deti zvyčajne obsahuje túto legendu, pretože je veľmi zvedavá a dokáže u malých čitateľov vzbudiť záujem o tohto matematika. Hovorí sa, že kráľ Ptolemaios chcel študovať geometriu. Ukázalo sa však, že to nie je jednoduché. Potom kráľ zavolal učeného Euklida a spýtal sa ho, či existuje nejaký jednoduchý spôsob, ako pochopiť túto vedu. Ale Euclid odpovedal, že neexistuje žiadna kráľovská cesta ku geometrii. Takže tento výraz, ktorý sa stal okrídleným, sa k nám dostal vo forme legendy.

Na začiatku 3. storočia pred Kr. e. založil Alexandrijské múzeum a Euklides. S týmito dvoma inštitúciami, ktoré boli aj vzdelávacími centrami, sa viaže stručný životopis a jeho objavy.

Euclid - študent Platóna

Tento vedec prešiel akadémiou založenou Platónom (jeho portrét je uvedený nižšie). Naučil sa hlavnú filozofickú myšlienku tohto mysliteľa, ktorou bolo, že existuje nezávislý svet myšlienok. Dá sa s istotou povedať, že Euklides, ktorého životopis je skúpy na detaily, bol vo filozofii platónikom. Takýto postoj posilnil vedca v pochopení, že všetko, čo vytvoril a uviedol vo svojich „Princípoch“, má večnú existenciu.

Mysliteľ, ktorý nás zaujíma, sa narodil o 205 rokov neskôr ako Pytagoras, o 63 rokov neskôr - Platón, o 33 rokov neskôr - Eudoxus, o 19 rokov neskôr - Aristoteles. S ich filozofickými a matematickými prácami sa zoznámil buď samostatne, alebo cez sprostredkovateľov.

Spojenie „Začiatkov“ Euklida s prácami iných vedcov

Proclus Diadochus, novoplatónsky filozof (roky života - 412-485), autor komentárov k "Princípom", navrhol, aby toto dielo odrážalo kozmológiu Platóna a "Pytagorovu doktrínu ...". Euklides vo svojom diele načrtol teóriu zlatého rezu (knihy 2, 6 a 13) a (kniha 13). Keďže bol prívržencom platonizmu, vedec pochopil, že jeho „začiatky“ prispievajú k Platónovej kozmológii a k ​​myšlienkam, ktoré vyvinuli jeho predchodcovia o numerickej harmónii, ktorá charakterizuje vesmír.

Nejeden Proclus Diadoch ocenil platónske telesá a (roky života - 1571-1630) sa o ne aj zaujímal. Tento nemecký astronóm poznamenal, že v geometrii existujú 2 poklady - toto je zlatý rez (delenie segmentu v strednom a extrémnom pomere) a Pytagorova veta. Hodnotu posledného z nich porovnal so zlatom a prvý s drahým kameňom. Johannes Kepler použil platónske pevné látky pri vytváraní svojej kozmologickej hypotézy.

Význam "Začaté"

Kniha „Začiatky“ je hlavným dielom, ktoré Euclid vytvoril. Biografia tohto vedca je, samozrejme, poznačená ďalšími prácami, o ktorých si povieme na konci článku. Treba poznamenať, že diela s názvom „Začiatky“, v ktorých sú uvedené všetky najdôležitejšie fakty teoretickej aritmetiky a geometrie, boli zostavené jeho predchodcami. Jedným z nich je Hippokrates z Chiosu, matematik, ktorý žil v 5. storočí pred Kristom. e. Knihy s týmto názvom napísali aj Theudius (2. polovica 4. storočia pred Kristom) a Leontes (4. storočie pred Kristom). Avšak s príchodom euklidovských „začiatkov“ boli všetky tieto diela vytlačené z používania. Kniha Euklides je základnou učebnicou geometrie už viac ako 2000 rokov. Vedec, ktorý vytvoril svoju prácu, využil mnohé z úspechov svojich predchodcov. Euclid spracoval dostupné informácie a spojil materiál.

Autor vo svojej knihe zhrnul vývoj matematiky v starovekom Grécku a vytvoril pevný základ pre ďalšie objavy. To je význam hlavného Euklidovho diela pre svetovú filozofiu, matematiku a celú vedu vôbec. Bolo by nesprávne domnievať sa, že spočíva v posilňovaní mystiky Platóna a Pytagora v ich pseudovesmíre.

Mnoho vedcov ocenilo Euklidove prvky, vrátane Alberta Einsteina. Podotkol, že ide o úžasné dielo, ktoré dodalo ľudskej mysli sebavedomie potrebné pre ďalšie aktivity. Einstein povedal, že človek, ktorý v mladosti neobdivoval tento výtvor, sa nenarodil pre teoretické bádanie.

Axiomatická metóda

Osobitne by sme si mali všimnúť význam práce vedca, ktorý nás zaujíma, v brilantnej ukážke v jeho „Princípoch“. Táto metóda v modernej matematike je najserióznejšia z metód používaných na podloženie teórií. V mechanike tiež nachádza široké uplatnenie. Veľký vedec Newton postavil Princípy prírodnej filozofie podľa modelu diela, ktoré vytvoril Euklides.

Hlavné ustanovenia „Začiatkov“

V knihe "Elements" je euklidovská geometria systematicky vysvetlená. Jeho súradnicový systém je založený na pojmoch ako rovina, čiara, bod, pohyb. Vzťahy, ktoré sú v ňom použité sú nasledovné: „bod leží na priamke ležiacej v rovine“ a „bod sa nachádza medzi dvoma ďalšími bodmi“.

Systém ustanovení euklidovskej geometrie, prezentovaný v modernej prezentácii, je zvyčajne rozdelený do 5 skupín axióm: pohyb, poriadok, kontinuita, kombinácia a rovnobežnosť Euklida.

V trinástich knihách „Začiatkov“ vedec predstavil aj aritmetiku, stereometriu, planimetriu, vzťahy podľa Eudoxa. Treba poznamenať, že prezentácia v tejto práci je prísne deduktívna. Definície začínajú každú knihu Euklida a v prvej z nich nasledujú axiómy a postuláty. Potom sú tu vety, ktoré sa delia na problémy (kde treba niečo postaviť) a vety (kde treba niečo dokázať).

Chyba v Euklidovej matematike

Hlavnou nevýhodou je, že axiomatika tohto vedca nie je úplná. Chýbajú axiómy pohybu, kontinuity a poriadku. Preto musel vedec často dôverovať oku a uchýliť sa k intuícii. Knihy 14 a 15 sú neskoršími dodatkami k dielu napísanému Euklidom. Jeho životopis je len veľmi stručný, preto sa nedá s istotou povedať, či prvých 13 kníh vytvoril jeden človek alebo sú ovocím kolektívnej práce školy vedenej vedcom.

Ďalší rozvoj vedy

Vznik euklidovskej geometrie je spojený so vznikom vizuálnych reprezentácií sveta okolo nás (lúče svetla, natiahnuté vlákna ako ilustrácia priamych čiar atď.). Ďalej sa prehĺbili, vďaka čomu vzniklo abstraktnejšie chápanie takej vedy, ako je geometria. N. I. Lobačevskij (roky života - 1792-1856) - ruský matematik, ktorý urobil dôležitý objav. Poznamenal, že existuje geometria, ktorá sa líši od euklidovskej. To zmenilo spôsob, akým vedci uvažujú o vesmíre. Ukázalo sa, že v žiadnom prípade nie sú a priori. Inými slovami, geometria uvedená v Euklidových prvkoch nemôže byť považovaná za jedinú, ktorá popisuje vlastnosti priestoru, ktorý nás obklopuje. Rozvoj prírodných vied (predovšetkým astronómie a fyziky) ukázal, že svoju štruktúru opisuje len s určitou presnosťou. Navyše sa nedá aplikovať na celý priestor ako celok. Euklidovská geometria je prvým priblížením k pochopeniu a popisu jej štruktúry.

Mimochodom, osud Lobačevského bol tragický. Pre odvážne myšlienky ho vo vedeckom svete neprijali. Boj tohto vedca však nebol márny. O triumf Lobačevského ideí sa postaral Gauss, ktorého korešpondencia vyšla v 60. rokoch 19. storočia. Medzi listami boli nadšené recenzie vedca o geometrii Lobachevského.

Ďalšie Euklidove spisy

V našej dobe je veľmi zaujímavá biografia Euklida ako vedca. V matematike urobil dôležité objavy. Potvrdzuje to aj skutočnosť, že od roku 1482 prešla kniha „Začiatky“ už viac ako päťsto vydaniami v rôznych jazykoch sveta. Životopis matematika Euklida je však poznačený vznikom nielen tejto knihy. Vlastní množstvo diel z optiky, astronómie, logiky, hudby. Jednou z nich je kniha „Data“, ktorá popisuje podmienky, ktoré umožňujú považovať ten či onen matematický maximálny obraz za „daný“. Ďalším dielom Euklida je kniha o optike, ktorá obsahuje informácie o perspektíve. Vedec, ktorý nás zaujíma, napísal esej o katoptrii (v tejto práci načrtol teóriu deformácií, ktoré sa vyskytujú v zrkadlách). Existuje aj kniha od Euklida s názvom „Rozdelenie postáv“. Dielo z matematiky „Ach, bohužiaľ, sa nezachovalo.

Takže ste stretli takého skvelého vedca ako Euclid. Dúfame, že jeho krátka biografia bola pre vás užitočná.

(OK. 365 — 300 pred Kr e.)

O živote tohto vedca nie je známe takmer nič. O ňom sa k nám dostalo len niekoľko legiend. Prvý komentátor „Začiatkov“ Proclus (5. storočie n. l.) nedokázal uviesť, kde a kedy sa Euklides narodil a zomrel. Podľa Prokla „tento učený muž“ žil v dobe vlády Ptolemaia I. Niektoré životopisné údaje sa zachovali na stránkach arabského rukopisu z 12. storočia: Sýrčan, rodák z Tyru.

Jedna z legiend hovorí, že kráľ Ptolemaios sa rozhodol študovať geometriu. Ukázalo sa však, že to nie je také ľahké. Potom zavolal Euklidovi a požiadal ho, aby mu ukázal jednoduchú cestu k matematike. „K geometrii nevedie žiadna kráľovská cesta,“ odpovedal mu vedec. Takže vo forme legendy sa tento výraz, ktorý sa stal populárnym, dostal aj k nám.

Kráľ Ptolemaios I., aby oslávil svoj štát, prilákal do krajiny vedcov a básnikov a vytvoril pre nich chrám múz - Museion. Boli tam študovne, botanická a zoologická záhrada, astronomická pracovňa, astronomická veža, miestnosti pre samotárske práce a hlavne veľkolepá knižnica. Medzi pozvanými vedcami bol aj Euclid, ktorý založil matematickú školu v Alexandrii, hlavnom meste Egypta, a napísal svoje zásadné dielo pre jej študentov.

Práve v Alexandrii založil Euclid matematickú školu a napísal veľké dielo o geometrii, zjednotené pod všeobecným názvom „Prvky“ - hlavné dielo jeho života. Predpokladá sa, že bol napísaný okolo roku 325 pred Kristom.

Predchodcovia Euklida – Thales, Pytagoras, Aristoteles a ďalší urobili pre rozvoj geometrie veľa. Ale to všetko boli samostatné fragmenty, nie jediná logická schéma.

Súčasníkov aj nasledovníkov Euklida priťahovala systematická a logická povaha prezentovaných informácií. „Začiatky“ pozostávajú z trinástich kníh, zostavených podľa jedinej logickej schémy. Každá z trinástich kníh začína definíciou pojmov (bod, čiara, rovina, obrazec atď.), ktoré sa v nej používajú, a potom sa na základe malého počtu základných ustanovení (5 axióm a 5 postulátov) prijal bez dôkazu, celý systém je postavená geometria.

Vtedajší rozvoj vedy neznamenal existenciu metód praktickej matematiky. Knihy I-IV sa zaoberali geometriou a ich obsah sa vracal k dielam pytagorejskej školy. V knihe V bola vyvinutá doktrína proporcií, ktorá susedila s Eudoxom z Knidu. Knihy VII-IX obsahovali doktrínu čísel, predstavujúcu vývoj pytagorejských primárnych zdrojov. Knihy X-XII obsahujú definície oblastí v rovine a priestore (stereometria), teóriu iracionality (najmä v knihe X); kniha XIII obsahuje štúdie o pravidelných telách, siahajúce až k Theaetetovi.

Euklidove „prvky“ sú prezentáciou tejto geometrie, ktorá je dodnes známa pod názvom euklidovská geometria. Popisuje metrické vlastnosti priestoru, ktorý moderná veda nazýva euklidovský priestor. Euklidovský priestor je arénou fyzikálnych javov klasickej fyziky, ktorej základy položili Galileo a Newton. Tento priestor je prázdny, neohraničený, izotropný, má tri rozmery. Euklides dal matematickú istotu atomistickej myšlienke prázdneho priestoru, v ktorom sa atómy pohybujú. Euklidovým najjednoduchším geometrickým objektom je bod, ktorý definuje ako niečo, čo nemá časti. Inými slovami, bod je nedeliteľný atóm priestoru.

Nekonečnosť priestoru je charakterizovaná tromi postulátmi:

"Priamka môže byť nakreslená z akéhokoľvek bodu do akéhokoľvek bodu."
"Ohraničená priamka môže byť plynule predĺžená pozdĺž priamky."
"Z každého stredu a každého riešenia možno opísať kruh."

Učenie o rovnobežkách a známy piaty postulát („Ak čiara padajúca na dve čiary tvorí vnútro a na jednej strane uhly menej ako dve čiary, potom sa tieto dve čiary predĺžené na neurčito stretnú na strane, kde sú uhly menšie ako dve čiary“ ) definovať vlastnosti euklidovského priestoru a jeho geometriu, odlišnú od neeuklidovských geometrií.

O „Princípoch“ sa zvyčajne hovorí, že po Biblii je to najobľúbenejšia písomná pamiatka staroveku. Kniha má veľmi zaujímavú históriu. Dvetisíc rokov to bola referenčná kniha pre školákov, ktorá sa používala ako základný kurz geometrie. Prvky boli mimoriadne obľúbené a veľa kópií z nich vytvorili pracovití pisári v rôznych mestách a krajinách. Neskôr sa Počiatky preniesli z papyrusu na pergamen a potom na papier.V priebehu štyroch storočí vyšli Počiatky 2500-krát: v priemere vychádzalo 6-7 vydaní ročne. Až do 20. storočia bola kniha považovaná za hlavnú učebnicu geometrie nielen pre školy, ale aj pre univerzity.

„Prvky“ Euklida dôkladne študovali Arabi a neskôr európski vedci. Boli preložené do hlavných svetových jazykov. Prvé originály boli vytlačené v roku 1533 v Bazileji Je zvláštne, že prvý preklad do angličtiny z roku 1570 vytvoril Henry Billingway, londýnsky obchodník Euclid vlastní čiastočne zachované, čiastočne rekonštruované neskoršie matematické diela Bol to on, kto zaviedol algoritmus na získanie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch ľubovoľných prirodzených čísel a algoritmus nazývaný "Eratosthenov počet" na nájdenie prvočísel z daného čísla.

Euklides položil základy geometrickej optiky, ktorú načrtol v dielach „Optika“ a „Katoptrik“. Základným konceptom geometrickej optiky je priamočiary svetelný lúč. Euclid tvrdil, že svetelný lúč pochádza z oka (teória vizuálnych lúčov), čo nie je podstatné pre geometrické konštrukcie. Pozná zákon odrazu a zaostrovacie pôsobenie konkávneho sférického zrkadla, aj keď ešte nevie určiť presnú polohu ohniska.V každom prípade sa v dejinách fyziky udomácnilo meno Euklida ako zakladateľa geometrickej optiky. svoje správne miesto.

V Euklidovi nájdeme aj popis monochordu, jednostrunového nástroja na určenie výšky tónu struny a jej častí. Verí sa, že Pythagoras vynašiel monochord a Euclid ho iba opísal („Rozdelenie kánonu“, III. storočie pred Kristom). Euklides so svojou charakteristickou vášňou prevzal číselný systém intervalových vzťahov. Pre rozvoj hudby bol významný vynález monochordu. Postupne sa namiesto jednej šnúrky začali používať dve-tri. To bol začiatok vytvorenia klávesových nástrojov, najprv čembala, potom klavíra a matematika sa stala hlavnou príčinou vzhľadu týchto hudobných nástrojov.

Samozrejme, všetky črty euklidovského priestoru neboli objavené okamžite, ale ako výsledok stáročnej práce vedeckého myslenia, no východiskom tejto práce boli „Začiatky“ Euklida. Znalosť základov euklidovskej geometrie je teraz nevyhnutným prvkom všeobecného vzdelávania na celom svete.