एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

यदि समस्या में वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण दोनों को "चांदी की थाली पर" प्रस्तुत किया जाता है, तो समस्या की स्थिति और उसका समाधान इस तरह दिखता है:

उदाहरण 1वेक्टर दिए गए हैं। सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए यदि उनकी लंबाई और उनके बीच के कोण को निम्नलिखित मानों द्वारा दर्शाया जाता है:

एक अन्य परिभाषा भी मान्य है, जो पूरी तरह से परिभाषा 1 के बराबर है।

परिभाषा 2. सदिशों का अदिश गुणन एक संख्या (अदिश) होता है जो इन सदिशों में से किसी एक की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है और इन सदिशों में से पहले द्वारा निर्धारित अक्ष पर दूसरे सदिश के प्रक्षेपण के बराबर होता है। परिभाषा 2 के अनुसार सूत्र:

हम अगले महत्वपूर्ण सैद्धांतिक बिंदु के बाद इस सूत्र का उपयोग करके समस्या का समाधान करेंगे।

निर्देशांक के संदर्भ में सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा

वही संख्या प्राप्त की जा सकती है यदि गुणा किए गए वैक्टर उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हों।

परिभाषा 3.सदिशों का डॉट गुणनफल वह संख्या होती है जो उनके संबंधित निर्देशांकों के युग्म के उत्पादों के योग के बराबर होती है।

सतह पर

यदि दो सदिश और समतल में उनके दो . द्वारा परिभाषित किया गया है कार्तीय निर्देशांक

तब इन सदिशों का डॉट गुणनफल उनके संबंधित निर्देशांकों के युग्म के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

.

उदाहरण 2वेक्टर के समानांतर अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण का संख्यात्मक मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम वैक्टर के अदिश उत्पाद को उनके निर्देशांक के जोड़ीदार उत्पादों को जोड़कर पाते हैं:

अब हमें परिणामी अदिश उत्पाद को वेक्टर की लंबाई के उत्पाद और वेक्टर के समानांतर अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण (सूत्र के अनुसार) के बराबर करने की आवश्यकता है।

हम वेक्टर की लंबाई को उसके निर्देशांक के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में पाते हैं:

.

एक समीकरण लिखें और इसे हल करें:

उत्तर। वांछित संख्यात्मक मान माइनस 8 है।

अंतरिक्ष में

यदि दो सदिश और अन्तरिक्ष में उनके तीन कार्तीय आयताकार निर्देशांक द्वारा परिभाषित हैं

,

तो इन वैक्टरों का स्केलर उत्पाद भी उनके संबंधित निर्देशांक के जोड़ीदार उत्पादों के योग के बराबर होता है, केवल पहले से ही तीन निर्देशांक होते हैं:

.

अदिश उत्पाद के गुणों का विश्लेषण करने के बाद, स्केलर उत्पाद को विचारशील तरीके से खोजने का कार्य है। क्योंकि कार्य में यह निर्धारित करना आवश्यक होगा कि गुणा किए गए वैक्टर किस कोण पर बनते हैं।

वेक्टर के डॉट उत्पाद के गुण

बीजीय गुण

1. (क्रमचयी गुणधर्म: उनके अदिश गुणनफल का मान गुणित सदिशों के स्थान बदलने से नहीं बदलता है)।

2. (एक संख्यात्मक कारक के संबंध में साहचर्य संपत्ति: एक सदिश के अदिश गुणन को किसी गुणनखंड से गुणा किया जाता है और दूसरे सदिश का गुणनफल इन सदिशों के अदिश गुणन को उसी गुणनखंड से गुणा करने के बराबर होता है)।

3. (वैक्टर के योग के संबंध में वितरण संपत्ति: तीसरे वेक्टर द्वारा दो वैक्टरों के योग का अदिश उत्पाद तीसरे वेक्टर द्वारा पहले वेक्टर के स्केलर उत्पादों और तीसरे वेक्टर द्वारा दूसरे वेक्टर के योग के बराबर है)।

4. (शून्य से बड़े वेक्टर का अदिश वर्ग) यदि एक शून्येतर सदिश है, और , यदि एक शून्य सदिश है।

ज्यामितीय गुण

अध्ययनाधीन संक्रिया की परिभाषाओं में, हम पहले ही दो सदिशों के बीच के कोण की अवधारणा पर विचार कर चुके हैं। इस अवधारणा को स्पष्ट करने का समय आ गया है।

ऊपर की आकृति में, दो वैक्टर दिखाई दे रहे हैं, जिन्हें एक सामान्य शुरुआत में लाया गया है। और पहली बात जिस पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है: इन वैक्टरों के बीच दो कोण हैं - φ 1 तथा φ 2 . इनमें से कौन सा कोण सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषाओं और गुणों में प्रकट होता है? माना कोणों का योग 2 . है π और इसलिए इन कोणों की कोज्या बराबर हैं। डॉट उत्पाद की परिभाषा में केवल कोण की कोज्या शामिल है, न कि उसके व्यंजक का मान। लेकिन गुणों में एक ही कोना माना गया है। और यह दो कोणों में से एक है जो से अधिक नहीं है π यानी 180 डिग्री। यह कोण चित्र में इस प्रकार दिखाया गया है φ 1 .

1. दो सदिश कहलाते हैं ओर्थोगोनल तथा इन सदिशों के बीच का कोण समकोण है (90 डिग्री या π / 2 ) अगर इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है :

.

वेक्टर बीजगणित में ऑर्थोगोनैलिटी दो वैक्टरों की लंबवतता है।

2. दो शून्येतर सदिश बनते हैं तेज़ कोने (0 से 90 डिग्री तक, या, जो समान है, कम π डॉट उत्पाद सकारात्मक है .

3. दो शून्येतर सदिश बनते हैं अधिक कोण (90 से 180 डिग्री तक, या, जो समान है - अधिक π /2 ) यदि और केवल यदि डॉट उत्पाद नकारात्मक है .

उदाहरण 3निर्देशांक में वेक्टर दिए गए हैं:

.

दिए गए वैक्टर के सभी जोड़े के डॉट उत्पादों की गणना करें। ये सदिश युग्म किस कोण (तीव्र, दाएँ, अधिक) से बनते हैं?

समाधान। हम संबंधित निर्देशांक के उत्पादों को जोड़कर गणना करेंगे।

हमें एक ऋणात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक अधिक कोण बनाते हैं।

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।

हमें शून्य मिला है, इसलिए सदिश एक समकोण बनाते हैं।

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।

.

हमें एक धनात्मक संख्या मिली है, इसलिए सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण की कोज्या .

उदाहरण 4दो सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण को देखते हुए:

.

निर्धारित करें कि संख्या के किस मूल्य पर वैक्टर और ऑर्थोगोनल (लंबवत) हैं।

समाधान। हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार सदिशों को गुणा करते हैं:

आइए अब प्रत्येक पद की गणना करें:

.

आइए एक समीकरण (उत्पाद की समानता शून्य से) की रचना करें, समान पद दें और समीकरण को हल करें:

उत्तर: हमें मूल्य मिल गया λ = 1.8 जिस पर सदिश लंबकोणीय होते हैं।

उदाहरण 5सिद्ध कीजिए कि सदिश ओर्थोगोनल (लंबवत) वेक्टर के लिए

समाधान। ओर्थोगोनैलिटी की जांच करने के लिए, हम वैक्टर और बहुपद के रूप में गुणा करते हैं, इसके बजाय समस्या की स्थिति में दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं:

.

ऐसा करने के लिए, आपको पहले बहुपद के प्रत्येक पद (अवधि) को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा:

.

नतीजतन, देय अंश कम हो जाता है। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

निष्कर्ष: गुणन के परिणामस्वरूप, हमें शून्य मिला, इसलिए, सदिशों की ओर्थोगोनैलिटी (लंबवत) सिद्ध होती है।

समस्या को स्वयं हल करें और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6वैक्टर की लंबाई को देखते हुए और इन वैक्टरों के बीच का कोण है π /4. निर्धारित करें कि किस मूल्य पर μ वैक्टर और परस्पर लंबवत हैं।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण की कोज्या .

वैक्टर के स्केलर उत्पाद और एन-आयामी वैक्टर के उत्पाद का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

कभी-कभी, स्पष्टता के लिए, मैट्रिक्स के रूप में दो गुणा सदिशों का प्रतिनिधित्व करना फायदेमंद होता है। फिर पहले वेक्टर को एक पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जाता है, और दूसरा - एक कॉलम मैट्रिक्स के रूप में:

तब सदिशों का अदिश गुणनफल होगा इन मैट्रिक्स का उत्पाद :

परिणाम वही होता है जो उस विधि से प्राप्त होता है जिस पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। हमें एक सिंगल नंबर मिला है, और मैट्रिक्स-कॉलम द्वारा मैट्रिक्स-पंक्ति का उत्पाद भी एक सिंगल नंबर है।

मैट्रिक्स रूप में, अमूर्त n-आयामी वैक्टर के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है। इस प्रकार, दो चार-आयामी वैक्टर का उत्पाद एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा जिसमें चार तत्वों के साथ एक कॉलम मैट्रिक्स भी चार तत्वों के साथ होगा, दो पांच-आयामी वैक्टर का उत्पाद पांच तत्वों के साथ एक पंक्ति मैट्रिक्स का उत्पाद होगा एक कॉलम मैट्रिक्स भी पांच तत्वों के साथ, और इसी तरह।

उदाहरण 7वैक्टर के जोड़े के डॉट उत्पाद खोजें

,

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करना

समाधान। वैक्टर की पहली जोड़ी। हम पहले वेक्टर को एक पंक्ति मैट्रिक्स के रूप में और दूसरे को एक कॉलम मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत करते हैं। हम इन वैक्टरों के स्केलर उत्पाद को कॉलम मैट्रिक्स द्वारा पंक्ति मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में पाते हैं:

इसी तरह, हम दूसरी जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं और पाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम वही हैं जो उदाहरण 2 से समान युग्मों के लिए हैं।

दो सदिशों के बीच का कोण

दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र की व्युत्पत्ति बहुत सुंदर और संक्षिप्त है।

वैक्टर के डॉट उत्पाद को व्यक्त करने के लिए

(1)

निर्देशांक रूप में, हम सबसे पहले orts के अदिश गुणनफल का पता लगाते हैं। अपने आप में एक वेक्टर का अदिश उत्पाद परिभाषा के अनुसार है:

उपरोक्त सूत्र में जो लिखा है उसका अर्थ है: एक सदिश का अदिश गुणन उसकी लंबाई के वर्ग के बराबर होता है. शून्य की कोज्या एक के बराबर है, इसलिए प्रत्येक अंक का वर्ग एक के बराबर होगा:

वैक्टर के बाद से

जोड़ीवार लंबवत हैं, तो ऑर्ट्स के जोड़ीदार उत्पाद शून्य के बराबर होंगे:

अब सदिश बहुपदों का गुणन करते हैं:

हम समानता के दाईं ओर ऑर्ट्स के संबंधित स्केलर उत्पादों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

हमें दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त होता है:

उदाहरण 8तीन अंक दिए गए ए(1;1;1), बी(2;2;1), सी(2;1;2).

एक कोण खोजें।

समाधान। हम वैक्टर के निर्देशांक पाते हैं:

,

.

किसी कोण की कोज्या के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिये, ।

स्व-परीक्षण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटर सदिशों का डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण की कोज्या .

उदाहरण 9दो सदिशों को देखते हुए

योग, अंतर, लंबाई, डॉट उत्पाद और उनके बीच के कोण का पता लगाएं।

2. अंतर:

वेक्टर और डॉट उत्पाद वैक्टर के बीच के कोण की गणना करना आसान बनाता है। दो वैक्टर $\overline(a)$ और $\overline(b)$ दिए जाने दें, उनके बीच का उन्मुख कोण $\varphi$ के बराबर है। आइए मूल्यों की गणना करें $x = (\overline(a),\overline(b))$ और $y = [\overline(a),\overline(b)]$। फिर $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, जहां $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ और $\varphi$ वांछित है कोण, यानी बिंदु $(x, y)$ का ध्रुवीय कोण $\varphi$ के बराबर है, और इसलिए $\varphi$ को atan2(y, x) के रूप में पाया जा सकता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

चूंकि वेक्टर उत्पाद में दो वेक्टर लंबाई और उनके बीच के कोण के कोसाइन का उत्पाद होता है, इसलिए वेक्टर उत्पाद का उपयोग त्रिभुज एबीसी के क्षेत्र की गणना के लिए किया जा सकता है:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

एक रेखा से संबंधित बिंदु

मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक रेखा $AB$ (दो बिंदुओं $A$ और $B$ द्वारा दी गई) दी गई है। यह जांचना आवश्यक है कि कोई बिंदु रेखा $AB$ से संबंधित है या नहीं।

एक बिंदु रेखा $AB$ से संबंधित है यदि और केवल यदि सदिश $AP$ और $AB$ संरेख हैं, अर्थात, यदि $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $।

एक बिंदु से एक किरण के संबंध में

मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक किरण $AB$ (दो बिंदुओं द्वारा दिया गया है - किरण $A$ की शुरुआत और किरण $B$ पर एक बिंदु) दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि बिंदु किरण $AB$ से संबंधित है या नहीं।

इस शर्त में एक अतिरिक्त शर्त जोड़ी जानी चाहिए कि बिंदु $P$ लाइन $AB$ से संबंधित है - वैक्टर $AP$ और $AB$ कोडायरेक्शनल हैं, यानी वे कॉललाइनर हैं और उनका स्केलर उत्पाद गैर-ऋणात्मक है, वह है, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

एक खंड से संबंधित बिंदु

मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक खंड $AB$ दिया गया है। यह जांचना आवश्यक है कि बिंदु $AB$ खंड से संबंधित है या नहीं।

इस मामले में, बिंदु किरण $AB$ और किरण $BA$ दोनों से संबंधित होना चाहिए, इसलिए निम्नलिखित स्थितियों की जाँच की जानी चाहिए:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

बिंदु से रेखा की दूरी

मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक रेखा $AB$ (दो बिंदुओं $A$ और $B$ द्वारा दी गई) दी गई है। सीधी रेखा $AB$ के बिंदु से दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

त्रिभुज ABP पर विचार करें। एक ओर, इसका क्षेत्रफल $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ है।

दूसरी ओर, इसका क्षेत्रफल $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ है, जहां $h$ $P$ से ऊंचाई है, यानी $P$ से $ AB तक की दूरी $. जहां से $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$।

बिंदु से बीम की दूरी

मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक किरण $AB$ (दो बिंदुओं द्वारा दिया गया है - किरण $A$ की शुरुआत और किरण $B$ पर एक बिंदु) दिया गया है। बिंदु से किरण तक की दूरी, यानी बिंदु $P$ से किरण के किसी भी बिंदु तक सबसे छोटे खंड की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

यह दूरी या तो लंबाई $AP$ के बराबर है या बिंदु $P$ से लाइन $AB$ तक की दूरी के बराबर है। कौन सा मामला घटित होता है, इसका निर्धारण बीम की सापेक्ष स्थिति और बिंदु द्वारा आसानी से किया जा सकता है। यदि कोण PAB न्यून है, अर्थात $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, तो उत्तर बिंदु $P$ से रेखा $AB$ की दूरी है, अन्यथा उत्तर लंबाई है खंड $AB$।

बिंदु से रेखा की दूरी

मान लीजिए कि एक बिंदु $P$ और एक खंड $AB$ दिया गया है। $P$ से खंड $AB$ तक की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

यदि लंबवत का आधार $P$ से लाइन $AB$ पर गिरा तो $AB$ खंड पर पड़ता है, जिसे शर्तों द्वारा जांचा जा सकता है

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

तो उत्तर बिंदु $P$ से रेखा $AB$ तक की दूरी है। अन्यथा, दूरी $\min(AP, BP)$ के बराबर होगी।

परिभाषा 1

सदिशों के अदिश गुणनफल को इन सदिशों के डायनों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की कोज्या के बराबर संख्या कहा जाता है।

वैक्टर a → और b → के गुणन के लिए संकेतन का रूप a → , b → होता है। आइए सूत्र में परिवर्तित करें:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ । a → और b → सदिशों की लंबाई को निरूपित करते हैं, a → , b → ^ दिए गए सदिशों के बीच के कोण को निरूपित करते हैं। यदि कम से कम एक सदिश शून्य हो, अर्थात उसका मान 0 हो, तो परिणाम शून्य होगा, a → , b → = 0

जब किसी सदिश को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो हमें उसके डाइन का वर्ग प्राप्त होता है:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

परिभाषा 2

किसी सदिश का अपने आप में अदिश गुणन को अदिश वर्ग कहते हैं।

सूत्र के अनुसार गणना:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ ।

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → लिखने से पता चलता है कि npb → a → a → पर b → , npa का एक संख्यात्मक प्रक्षेपण है। → a → - b → का a → पर प्रक्षेपण क्रमशः।

हम दो वैक्टर के लिए उत्पाद की परिभाषा तैयार करते हैं:

दो सदिशों a → by b → के अदिश गुणनफल को सदिश a → की लंबाई का गुणनफल b → के प्रक्षेपण द्वारा a → दिशा द्वारा या b → की लंबाई के गुणनफल को a → के प्रक्षेपण द्वारा कहा जाता है। क्रमश।

निर्देशांक में डॉट उत्पाद

अदिश उत्पाद की गणना किसी दिए गए विमान या अंतरिक्ष में वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से की जा सकती है।

एक तल पर त्रिविमीय समष्टि में दो सदिशों के अदिश गुणन को दिए गए सदिशों a → और b → के निर्देशांकों का योग कहते हैं।

कार्टेशियन सिस्टम में दिए गए वैक्टर a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) के डॉट उत्पाद के तल पर गणना करते समय, उपयोग करें:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

त्रि-आयामी स्थान के लिए, व्यंजक लागू होता है:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z ।

वास्तव में, यह डॉट उत्पाद की तीसरी परिभाषा है।

आइए इसे साबित करें।

सबूत 1

इसे सिद्ध करने के लिए हम कार्तीय पर a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by सदिश a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) का प्रयोग करते हैं। प्रणाली।

वैक्टर को स्थगित कर दिया जाना चाहिए

ओ ए → = ए → = ए एक्स, ए वाई और ओ बी → = बी → = बी एक्स, बी वाई।

तब सदिश A B → की लंबाई A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) के बराबर होगी।

एक त्रिभुज O A B पर विचार करें।

कोज्या प्रमेय के आधार पर A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) सत्य है।

शर्त के अनुसार, यह देखा जा सकता है कि ओ ए = ए →, ओ बी = बी →, ए बी = बी → - ए →, ∠ ए ओ बी = ए →, बी → ^, इसलिए हम वैक्टर के बीच कोण को अलग तरीके से खोजने के लिए सूत्र लिखते हैं।

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) ।

फिर यह पहली परिभाषा से निम्नानुसार है कि b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , इसलिए (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - बी → - ए → 2)।

वैक्टर की लंबाई की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

आइए समानता साबित करें:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- क्रमशः त्रि-आयामी अंतरिक्ष के वैक्टर के लिए।

निर्देशांक वाले सदिशों के अदिश गुणनफल का कहना है कि एक सदिश का अदिश वर्ग अंतरिक्ष में और समतल पर उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) और (a → , a →) = a x 2 + a y 2 ।

डॉट उत्पाद और उसके गुण

डॉट उत्पाद गुण हैं जो a → , b → और c → के लिए लागू होते हैं:

1. क्रमपरिवर्तन (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. वितरणता (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , सी →);
3. साहचर्य गुण (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , b →) = λ (a → , b →), - कोई भी संख्या;
4. अदिश वर्ग हमेशा शून्य से बड़ा होता है (a → , a →) 0 , जहां (a → , a →) = 0 जब a → शून्य हो।

उदाहरण 1

गुणों को समतल में डॉट उत्पाद की परिभाषा और वास्तविक संख्याओं के जोड़ और गुणा के गुणों द्वारा समझाया गया है।

कम्यूटेटिविटी गुण साबित करें (a → , b →) = (b → , a →) । परिभाषा से हमें वह (a → , b →) = a y b y + a y b y और (b → , a →) = b x a x + b y a y मिलता है।

क्रमपरिवर्तन के गुण के अनुसार, समानताएं a x · b x = b x · a x और a y · b y = b y · a y सत्य हैं, इसलिए a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y।

यह इस प्रकार है कि (a → , b →) = (b → , a →) । क्यू.ई.डी.

वितरण किसी भी संख्या के लिए मान्य है:

(ए (1) → + ए (2) → + ... + ए (एन) →, बी →) = (ए (1) →, बी →) + (ए (2) →, बी →) +। . . + (ए (एन) → , बी →)

और (a → , b (1) → + b (2) → + . . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (ए → , बी → (एन)) ,

इसलिए हमारे पास है

(ए (1) → + ए (2) → + ... + ए (एन) →, बी (1) → + बी (2) → + ... + बी (एम) →) = = (ए ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + । . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + । . . + (ए (2) → , बी (एम) →) +। . . + + (ए (एन) →, बी (1) →) + (ए (एन) →, बी (2) →) +। . . + (ए (एन) →, बी (एम) →)

उदाहरण और समाधान के साथ डॉट उत्पाद

इस तरह की योजना की किसी भी समस्या को अदिश उत्पाद के गुणों और सूत्रों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a →;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y या (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (ए → , ए →) = ए → 2।

आइए समाधान के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

a → की लंबाई 3 है, b → की लंबाई 7 है। यदि कोण में 60 डिग्री है तो डॉट उत्पाद खोजें।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास सभी डेटा हैं, इसलिए हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

उत्तर: (a → , b →) = 21 2 ।

उदाहरण 3

दिए गए सदिश a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) । अदिश उत्पाद क्या है।

समाधान

इस उदाहरण में, निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र पर विचार किया जाता है, क्योंकि वे समस्या विवरण में निर्दिष्ट हैं:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

उत्तर: (ए →, बी →) = - 9

उदाहरण 4

A B → और A C → का आंतरिक गुणनफल ज्ञात कीजिए। निर्देशांक तल पर बिंदु A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) दिए गए हैं।

समाधान

आरंभ करने के लिए, वैक्टर के निर्देशांक की गणना की जाती है, क्योंकि बिंदुओं के निर्देशांक शर्त द्वारा दिए जाते हैं:

ए बी → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) ए सी → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

निर्देशांक का उपयोग करके सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(ए बी →, ए सी →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28।

उत्तर: (ए बी →, ए सी →) = 28।

उदाहरण 5

दिए गए सदिश a → = 7 m → + 3 n → तथा b → = 5 m → + 8 n → उनका गुणनफल ज्ञात कीजिए। m → 3 के बराबर है और n → 2 इकाई के बराबर है, वे लंबवत हैं।

समाधान

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) । वितरण संपत्ति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(7 मीटर → + 3 एन →, 5 मीटर → + 8 एन →) = = (7 मीटर →, 5 मीटर →) + (7 मीटर →, 8 एन →) + (3 एन एन →, 5 मीटर →) + (3 n → , 8 n →)

हम गुणांक को उत्पाद के संकेत के बाहर लेते हैं और प्राप्त करते हैं:

(7 मीटर →, 5 मीटर →) + (7 मीटर →, 8 एन →) + (3 एन →, 5 मीटर →) + (3 एन →, 8 एन →) = = 7 5 (एम →, एम →) + 7 8 (एम → , एन →) + 3 5 (एन → , एम →) + 3 8 (एन → , एन →) = = 35 (एम → , एम →) + 56 (एम → , एन →) + 15 (एन → , एम →) + 24 (एन → , एन →)

कम्यूटेटिविटी की संपत्ति से, हम रूपांतरित करते हैं:

35 (एम → , एम →) + 56 (एम → , एन →) + 15 (एन → , एम →) + 24 (एन → , एन →) = = 35 (एम → , एम →) + 56 (एम → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) ।

अब हम शर्त द्वारा निर्दिष्ट कोण के साथ अदिश उत्पाद के लिए सूत्र लागू करते हैं:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos 2 + 24 2 2 = 411।

उत्तर: (ए →, बी →) = 411

यदि कोई संख्यात्मक प्रक्षेपण है।

उदाहरण 6

a → और b → का आंतरिक गुणनफल ज्ञात कीजिए। सदिश a → के निर्देशांक हैं a → = (9 , 3 , - 3) , प्रक्षेपण b → में निर्देशांक (- 3 , - 1 , 1) हैं।

समाधान

शर्त के अनुसार, वैक्टर a → और प्रोजेक्शन b → विपरीत दिशा में हैं, क्योंकि a → = - 1 3 npa → b → → , इसलिए प्रोजेक्शन b → लंबाई npa → b → → से मेल खाती है, और "-" के साथ संकेत:

एन पी ए → बी → → = - एन पी ए → बी → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें व्यंजक प्राप्त होता है:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33।

उत्तर: (a → , b →) = - 33 ।

एक ज्ञात स्केलर उत्पाद के साथ समस्याएं, जहां एक वेक्टर या संख्यात्मक प्रक्षेपण की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है।

उदाहरण 7

किसी दिए गए अदिश उत्पाद के लिए को क्या मान लेना चाहिए a → \u003d (1, 0, + 1) और b → \u003d (λ, 1, ) -1 के बराबर होगा।

समाधान

सूत्र से यह देखा जा सकता है कि निर्देशांक के उत्पादों का योग ज्ञात करना आवश्यक है:

(ए →, बी →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 ।

दिए गए में हमारे पास (a → , b →) = - 1 है।

खोजने के लिए, हम समीकरण की गणना करते हैं:

2 + 2 · = -1 , इसलिए λ = - 1 ।

उत्तर: = - 1 ।

अदिश उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी डॉट उत्पाद के अनुप्रयोग पर विचार करता है।

एक स्थिर बल F → एक गतिमान पिंड के साथ बिंदु M से N तक काम करते समय, आप वैक्टर F → और MN → की लंबाई के उत्पाद को उनके बीच के कोण के कोसाइन के साथ पा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि कार्य बराबर है बल और विस्थापन वैक्टर के उत्पाद के लिए:

ए = (एफ → , एम एन →) ।

उदाहरण 8

5 Nton के बराबर बल की क्रिया के तहत एक भौतिक बिंदु का 3 मीटर विस्थापन अक्ष के सापेक्ष 45 डिग्री के कोण पर निर्देशित होता है। लगता है ।

समाधान

चूँकि कार्य बल सदिश और विस्थापन का गुणनफल है, तो F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° की स्थिति के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2।

उत्तर: ए = 15 2 2।

उदाहरण 9

F → = (3, 1, 2) बल के तहत M (2, - 1, - 3) से N (5, 3 λ - 2, 4) की ओर बढ़ते हुए भौतिक बिंदु ने 13 J के बराबर काम किया। गणना करें आंदोलन की लंबाई।

समाधान

वेक्टर एम एन → के दिए गए निर्देशांक के लिए हमारे पास एम एन → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) है।

सदिश F → = (3 , 1 , 2) और MN → = (3 , 3 - 1, 7) के साथ कार्य खोजने के सूत्र से हम प्राप्त करते हैं A = (F , MN →) = 3 3 + 1 (3 - 1) + 2 7 = 22 + 3λ।

शर्त के अनुसार, यह दिया जाता है कि ए \u003d 13 जे, जिसका अर्थ है 22 + 3 \u003d 13। इसका अर्थ है λ = - 3 , इसलिए M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) ।

यात्रा की लंबाई M N → ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं और मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

एम एन → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158।

उत्तर: 158।

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भाषण: वेक्टर निर्देशांक; वैक्टर का डॉट उत्पाद; वैक्टर के बीच का कोण

वेक्टर निर्देशांक

इसलिए, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है जिसकी अपनी शुरुआत और अंत है। यदि शुरुआत और अंत को कुछ बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है, तो उनके पास समतल या अंतरिक्ष में अपने स्वयं के निर्देशांक होते हैं।

यदि प्रत्येक बिंदु के अपने निर्देशांक हैं, तो हम पूरे वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ सदिश हैं जिनके सदिश के आरंभ और अंत में निम्नलिखित पदनाम और निर्देशांक हैं: A(A x ; Ay) और B(B x ; By)

इस वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए, वेक्टर के अंत के निर्देशांक से संबंधित प्रारंभ निर्देशांक घटाना आवश्यक है:

अंतरिक्ष में एक सदिश का निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

वैक्टर का डॉट उत्पाद

डॉट उत्पाद की अवधारणा को परिभाषित करने के दो तरीके हैं:

• ज्यामितीय तरीका। उनके अनुसार, स्केलर उत्पाद इन मॉड्यूल के मूल्यों के उत्पाद और उनके बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है।

• बीजगणितीय अर्थ। बीजगणित की दृष्टि से, दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक निश्चित मान होता है जो संबंधित सदिशों के गुणनफलों के योग से उत्पन्न होता है।

यदि सदिश अंतरिक्ष में दिए गए हैं, तो आपको एक समान सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

गुण:

• यदि आप दो समान सदिशों को स्केलर रूप से गुणा करते हैं, तो उनका अदिश गुणनफल गैर-ऋणात्मक होगा:

• यदि दो समान सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर निकला, तो इन सदिशों को शून्य माना जाता है:

• यदि एक निश्चित सदिश को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो अदिश गुणन उसके मापांक के वर्ग के बराबर होगा:

• अदिश उत्पाद में एक संचारी गुण होता है, अर्थात अदिश उत्पाद वैक्टर के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलेगा:

• शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन केवल शून्य हो सकता है यदि सदिश एक दूसरे के लंबवत हों:

• वैक्टर के अदिश उत्पाद के लिए, कम्यूटेटिव कानून एक संख्या से वैक्टर में से एक को गुणा करने के मामले में मान्य है:

• डॉट उत्पाद के साथ, आप गुणन के वितरण गुण का भी उपयोग कर सकते हैं:

वैक्टर के बीच का कोण

वैक्टर का डॉट उत्पाद

हम वैक्टर से निपटना जारी रखते हैं। पहले पाठ में डमी के लिए वेक्टरहमने एक वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक और वैक्टर के साथ सबसे सरल समस्याओं पर विचार किया है। यदि आप पहली बार किसी खोज इंजन से इस पृष्ठ पर आए हैं, तो मैं उपरोक्त प्रारंभिक लेख को पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं, क्योंकि सामग्री को आत्मसात करने के लिए, आपको मेरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों और संकेतन में निर्देशित होने की आवश्यकता है, वैक्टर का बुनियादी ज्ञान होना चाहिए। और प्राथमिक समस्याओं को हल करने में सक्षम हो। यह पाठ विषय की तार्किक निरंतरता है, और इसमें मैं विस्तार से विशिष्ट कार्यों का विश्लेषण करूंगा जो वैक्टर के स्केलर उत्पाद का उपयोग करते हैं। यह एक बहुत ही जरूरी काम है।. उदाहरणों को छोड़ने की कोशिश न करें, वे एक उपयोगी बोनस के साथ हैं - अभ्यास आपको कवर की गई सामग्री को समेकित करने और विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सामान्य समस्याओं को हल करने में "अपना हाथ प्राप्त करने" में मदद करेगा।

सदिशों को जोड़ना, सदिश को किसी संख्या से गुणा करना…. यह सोचना भोला होगा कि गणितज्ञ कुछ और नहीं लेकर आए हैं। पहले से विचार की गई कार्रवाइयों के अलावा, वैक्टर के साथ कई अन्य ऑपरेशन भी हैं, अर्थात्: वैक्टर का डॉट उत्पाद, वैक्टर का क्रॉस उत्पादतथा वैक्टर का मिश्रित उत्पाद. वैक्टर के अदिश उत्पाद हमें स्कूल से परिचित हैं, अन्य दो उत्पाद पारंपरिक रूप से उच्च गणित के पाठ्यक्रम से संबंधित हैं। विषय सरल हैं, कई समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म रूढ़िबद्ध और समझने योग्य है। एकमात्र वस्तु। जानकारी की एक अच्छी मात्रा है, इसलिए हर चीज में महारत हासिल करने और एक बार में हल करने की कोशिश करना अवांछनीय है। यह डमी के लिए विशेष रूप से सच है, मेरा विश्वास करो, लेखक बिल्कुल गणित से चिकोटिलो की तरह महसूस नहीं करना चाहता है। खैर, गणित से नहीं, निश्चित रूप से, =) अधिक तैयार छात्र सामग्री का चयन चुनिंदा रूप से कर सकते हैं, एक निश्चित अर्थ में, लापता ज्ञान को "प्राप्त" कर सकते हैं, आपके लिए मैं एक हानिरहित काउंट ड्रैकुला बनूंगा =)

अंत में, आइए थोड़ा दरवाजा खोलें और देखें कि क्या होता है जब दो वैक्टर एक दूसरे से मिलते हैं…।

वैक्टर के अदिश उत्पाद की परिभाषा।
अदिश उत्पाद के गुण। विशिष्ट कार्य

डॉट उत्पाद की अवधारणा

पहले के बारे में वैक्टर के बीच का कोण. मुझे लगता है कि हर कोई सहज रूप से समझता है कि वैक्टर के बीच का कोण क्या है, लेकिन सिर्फ मामले में, थोड़ा और। मुक्त अशून्य वैक्टर पर विचार करें और . यदि हम इन वैक्टरों को एक मनमानी बिंदु से स्थगित करते हैं, तो हमें एक तस्वीर मिलती है जिसे कई पहले ही मानसिक रूप से प्रस्तुत कर चुके हैं:

मैं मानता हूँ, यहाँ मैंने स्थिति का वर्णन केवल समझ के स्तर पर किया है। यदि आपको वैक्टर के बीच कोण की सख्त परिभाषा की आवश्यकता है, तो कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन व्यावहारिक कार्यों के लिए, हमें, सिद्धांत रूप में, इसकी आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा यहाँ और आगे, मैं कभी-कभी शून्य वैक्टर को उनके कम व्यावहारिक महत्व के कारण अनदेखा कर दूंगा। मैंने साइट के उन्नत आगंतुकों के लिए विशेष रूप से आरक्षण किया है, जो निम्नलिखित में से कुछ कथनों की सैद्धांतिक अपूर्णता के लिए मुझे फटकार सकते हैं।

समावेशी 0 से 180 डिग्री (0 से रेडियन तक) के मान ले सकते हैं। विश्लेषणात्मक रूप से, इस तथ्य को दोहरी असमानता के रूप में लिखा गया है: या (रेडियन में)।

साहित्य में, कोण चिह्न को अक्सर छोड़ दिया जाता है और बस लिखा जाता है।

परिभाषा:दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक NUMBER होता है जो इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है:

अब यह काफी सख्त परिभाषा है।

हम आवश्यक जानकारी पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

पद:अदिश उत्पाद को या बस द्वारा दर्शाया जाता है।

ऑपरेशन का परिणाम एक NUMBER . है: एक संख्या प्राप्त करने के लिए किसी सदिश को सदिश से गुणा करें। वास्तव में, यदि सदिशों की लंबाइयाँ संख्याएँ हैं, कोण की कोज्या एक संख्या है, तो उनका गुणनफल संख्या भी होगी।

गर्मजोशी के कुछ उदाहरण:

उदाहरण 1

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

उत्तर:

कोसाइन मान में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. मैं इसे प्रिंट करने की सलाह देता हूं - टॉवर के लगभग सभी वर्गों में इसकी आवश्यकता होगी और कई बार इसकी आवश्यकता होगी।

विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद आयामहीन है, अर्थात, इस मामले में परिणाम, केवल एक संख्या है और बस इतना ही। भौतिकी की समस्याओं के दृष्टिकोण से, अदिश उत्पाद का हमेशा एक निश्चित भौतिक अर्थ होता है, अर्थात, परिणाम के बाद, एक या दूसरी भौतिक इकाई को इंगित किया जाना चाहिए। बल के कार्य की गणना का विहित उदाहरण किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है (सूत्र बिल्कुल एक डॉट उत्पाद है)। एक बल का कार्य जूल में मापा जाता है, इसलिए, उत्तर काफी विशेष रूप से लिखा जाएगा, उदाहरण के लिए,।

उदाहरण 2

खोजें अगर , और सदिशों के बीच का कोण है ।

यह आत्मनिर्णय का एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है।

वैक्टर और डॉट उत्पाद मूल्य के बीच का कोण

उदाहरण 1 में, अदिश गुणनफल धनात्मक निकला, और उदाहरण 2 में, यह ऋणात्मक निकला। आइए जानें कि अदिश उत्पाद का चिन्ह किस पर निर्भर करता है। आइए हमारे सूत्र को देखें: . गैर-शून्य वैक्टर की लंबाई हमेशा सकारात्मक होती है: इसलिए संकेत केवल कोसाइन के मूल्य पर निर्भर हो सकता है।

ध्यान दें: नीचे दी गई जानकारी की बेहतर समझ के लिए, मैनुअल में कोसाइन ग्राफ का अध्ययन करना बेहतर है रेखांकन और कार्य गुण. देखें कि कोसाइन खंड पर कैसे व्यवहार करता है।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, वैक्टर के बीच का कोण भिन्न हो सकता है , और निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) अगर इंजेक्शनवैक्टर के बीच मसालेदार: (0 से 90 डिग्री से), तब , तथा डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा सह-निर्देशन किया, तो उनके बीच का कोण शून्य माना जाता है, और अदिश गुणनफल भी धनात्मक होगा। चूंकि , तब सूत्र सरल हो जाता है: .

2) अगर इंजेक्शनवैक्टर के बीच कुंद: (90 से 180 डिग्री से), तब , और तदनुसार, डॉट उत्पाद नकारात्मक है: . विशेष मामला: यदि वैक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित, तो उनके बीच का कोण माना जाता है तैनात: (180 डिग्री)। अदिश उत्पाद भी ऋणात्मक होता है, क्योंकि

विलोम कथन भी सत्य हैं:

1) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण न्यून है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर कोडायरेक्शनल हैं।

2) यदि , तो इन सदिशों के बीच का कोण अधिक है। वैकल्पिक रूप से, वैक्टर को विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है।

लेकिन तीसरा मामला विशेष रुचि का है:

3) अगर इंजेक्शनवैक्टर के बीच सीधा: (90 डिग्री) तब और डॉट उत्पाद शून्य है: . विलोम भी सत्य है: यदि , तो । कॉम्पैक्ट स्टेटमेंट निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि दिए गए सदिश लंबकोणीय हों. लघु गणित संकेतन:

! ध्यान दें : दोहराना गणितीय तर्क की नींव: दो तरफा तार्किक परिणाम आइकन आमतौर पर "अगर और केवल तब", "अगर और केवल अगर" पढ़ा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीर दोनों दिशाओं में निर्देशित होते हैं - "इससे यह अनुसरण करता है, और इसके विपरीत - इससे यह इस प्रकार है।" वैसे, वन-वे फॉलो आइकन से क्या अंतर है? चिह्न का दावा उतना हीकि "इससे इसका अनुसरण होता है", और इस तथ्य से नहीं कि इसका उल्टा सच है। उदाहरण के लिए: , लेकिन हर जानवर पैंथर नहीं है, इसलिए इस मामले में आइकन का उपयोग नहीं किया जा सकता है। उसी समय, आइकन के बजाय कर सकते हैंएक तरफा आइकन का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, समस्या को हल करते समय, हमने पाया कि हमने निष्कर्ष निकाला है कि वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं: - ऐसा रिकॉर्ड सही होगा, और उससे भी ज्यादा उपयुक्त होगा .

तीसरा मामला बहुत व्यावहारिक महत्व का है।, क्योंकि यह आपको यह जांचने की अनुमति देता है कि सदिश लंबकोणीय हैं या नहीं। हम इस समस्या को पाठ के दूसरे भाग में हल करेंगे।

डॉट उत्पाद गुण

आइए उस स्थिति पर लौटते हैं जब दो वैक्टर सह-निर्देशन किया. इस स्थिति में, उनके बीच का कोण शून्य है, और अदिश उत्पाद सूत्र निम्न रूप लेता है: .

यदि किसी सदिश को स्वयं से गुणा किया जाए तो क्या होता है? यह स्पष्ट है कि वेक्टर स्वयं के साथ सह-निर्देशित है, इसलिए हम उपरोक्त सरलीकृत सूत्र का उपयोग करते हैं:

नंबर कहा जाता है अदिश वर्गवेक्टर, और के रूप में निरूपित हैं।

इस तरह, एक वेक्टर का अदिश वर्ग दिए गए वेक्टर की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है:

इस समानता से, आप एक सदिश की लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

हालांकि यह अस्पष्ट लगता है, लेकिन पाठ के कार्य सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे। समस्याओं को हल करने के लिए हमें भी चाहिए डॉट उत्पाद गुण.

मनमाना वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) - विस्थापित करने योग्य या विनिमेयअदिश उत्पाद कानून।

2) - वितरण या विभाजित करनेवालाअदिश उत्पाद कानून। सीधे शब्दों में कहें, तो आप कोष्ठक खोल सकते हैं।

3) - संयोजन या जोड़नेवालाअदिश उत्पाद कानून। स्थिरांक को अदिश उत्पाद से निकाला जा सकता है।

अक्सर, सभी प्रकार की संपत्तियां (जिन्हें साबित करने की भी आवश्यकता होती है!) छात्रों द्वारा अनावश्यक कचरे के रूप में माना जाता है, जिसे केवल याद रखने और परीक्षा के तुरंत बाद सुरक्षित रूप से भूल जाने की आवश्यकता होती है। ऐसा लगता है कि यहां क्या महत्वपूर्ण है, हर कोई पहली कक्षा से पहले से ही जानता है कि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है:। मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, उच्च गणित में इस तरह के दृष्टिकोण से चीजों को गड़बड़ाना आसान है। इसलिए, उदाहरण के लिए, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी के लिए मान्य नहीं है बीजीय आव्यूह. यह सच नहीं है वैक्टर का क्रॉस उत्पाद. इसलिए, यह समझने के लिए कि क्या किया जा सकता है और क्या नहीं, यह समझने के लिए कि उच्च गणित के दौरान आपको मिलने वाले किसी भी गुण में तल्लीन होना बेहतर है।

उदाहरण 3

.

समाधान:सबसे पहले, आइए वेक्टर के साथ स्थिति को स्पष्ट करें। यह सब किस बारे मे है? सदिशों का योग और एक सुपरिभाषित सदिश है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है। वैक्टर के साथ क्रियाओं की ज्यामितीय व्याख्या लेख में पाई जा सकती है डमी के लिए वेक्टर. एक वेक्टर के साथ एक ही अजमोद वैक्टर का योग है और .

अतः शर्त के अनुसार अदिश गुणनफल ज्ञात करना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, आपको कार्य सूत्र लागू करने की आवश्यकता है , लेकिन परेशानी यह है कि हम वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण को नहीं जानते हैं। लेकिन स्थिति में, वैक्टर के लिए समान पैरामीटर दिए गए हैं, इसलिए हम दूसरी तरफ जाएंगे:

(1) हम सदिशों के व्यंजक प्रतिस्थापित करते हैं।

(2) हम बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं, लेख में एक अशिष्ट जीभ जुड़वा पाया जा सकता है जटिल आंकड़ेया एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्य का एकीकरण. मैं खुद को नहीं दोहराऊंगा =) वैसे, अदिश उत्पाद की वितरण संपत्ति हमें कोष्ठक खोलने की अनुमति देती है। हमें अधिकार है।

(3) पहले और अंतिम शब्दों में, हम वैक्टर के अदिश वर्गों को संक्षेप में लिखते हैं: . दूसरे पद में, हम अदिश उत्पाद की क्रमपरिवर्तनीयता का उपयोग करते हैं: .

(4) यहाँ समान शब्द हैं: .

(5) पहले पद में, हम अदिश वर्ग सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका उल्लेख बहुत पहले नहीं किया गया था। अन्तिम पद में क्रमश: वही कार्य करता है : । दूसरा शब्द मानक सूत्र के अनुसार विस्तारित किया गया है .

(6) इन शर्तों को प्रतिस्थापित करें , और सावधानीपूर्वक अंतिम गणना करें।

उत्तर:

डॉट उत्पाद का ऋणात्मक मान इस तथ्य को बताता है कि सदिशों के बीच का कोण अधिक है।

कार्य विशिष्ट है, यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है:

उदाहरण 4

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए और यदि यह ज्ञात हो कि .

अब एक और सामान्य कार्य, केवल नए वेक्टर लंबाई सूत्र के लिए। यहां पदनाम थोड़ा ओवरलैप करेंगे, इसलिए स्पष्टता के लिए, मैं इसे एक अलग पत्र के साथ फिर से लिखूंगा:

उदाहरण 5

वेक्टर की लंबाई पाएं यदि .

समाधानइस प्रकार होगा:

(1) हम सदिश व्यंजक प्रदान करते हैं।

(2) हम लंबाई सूत्र का उपयोग करते हैं: , जबकि हमारे पास वेक्टर "ve" के रूप में एक पूर्णांक अभिव्यक्ति है।

(3) हम योग के वर्ग के लिए स्कूल के सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि यह यहाँ कैसे काम करता है: - वास्तव में, यह अंतर का वर्ग है, और वास्तव में, ऐसा ही है। जो लोग चाहते हैं वे वैक्टर को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: - यह शर्तों के पुनर्व्यवस्था तक एक ही चीज़ निकला।

(4) निम्नलिखित पिछली दो समस्याओं से पहले से ही परिचित है।

उत्तर:

चूंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए आयाम - "इकाइयों" को इंगित करना न भूलें।

उदाहरण 6

वेक्टर की लंबाई पाएं यदि .

यह स्वयं करें का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

हम अदिश उत्पाद से उपयोगी चीजों को निचोड़ना जारी रखते हैं। आइए हमारे सूत्र को फिर से देखें . अनुपात के नियम से, हम वैक्टर की लंबाई को बाईं ओर के हर पर रीसेट करते हैं:

आइए भागों को स्वैप करें:

इस सूत्र का अर्थ क्या है? यदि दो सदिशों की लंबाई और उनके अदिश गुणनफल ज्ञात हैं, तो इन सदिशों के बीच के कोण की कोज्या की गणना करना संभव है, और फलस्वरूप, स्वयं कोण।

क्या अदिश उत्पाद एक संख्या है? संख्या। क्या वेक्टर लंबाई संख्याएं हैं? अंक। अतः भिन्न भी एक संख्या है। और यदि कोण की कोज्या ज्ञात हो: , फिर व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके कोण को स्वयं खोजना आसान है: .

उदाहरण 7

सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए तथा , यदि यह ज्ञात हो कि ।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

गणना के अंतिम चरण में, एक तकनीक का उपयोग किया गया था - हर में तर्कहीनता का उन्मूलन। अपरिमेयता को समाप्त करने के लिए, मैंने अंश और हर को से गुणा किया।

तो यदि , फिर:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. हालांकि ऐसा कम ही होता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, कुछ अनाड़ी भालू जैसे अधिक बार दिखाई देते हैं, और कोण का मान लगभग एक कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जाना है। जी दरअसल इस तस्वीर को हम बार-बार देखेंगे.

उत्तर:

फिर से, आयाम निर्दिष्ट करना न भूलें - रेडियन और डिग्री। व्यक्तिगत रूप से, जानबूझकर "सभी प्रश्नों को हटाने" के लिए, मैं दोनों को इंगित करना पसंद करता हूं (जब तक, निश्चित रूप से, शर्त के अनुसार, केवल रेडियन में या केवल डिग्री में उत्तर प्रस्तुत करना आवश्यक है)।

अब आप अपने दम पर अधिक कठिन कार्य का सामना करने में सक्षम होंगे:

उदाहरण 7*

वैक्टर की लंबाई और उनके बीच के कोण दिए गए हैं। सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

कार्य इतना कठिन नहीं है जितना कि बहु-मार्ग।
आइए समाधान एल्गोरिदम का विश्लेषण करें:

1) शर्त के अनुसार, सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक है और इसलिए आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है .

2) हम अदिश गुणनफल पाते हैं (उदाहरण संख्या 3, 4 देखें)।

3) वेक्टर की लंबाई और वेक्टर की लंबाई पाएं (उदाहरण संख्या 5, 6 देखें)।

4) समाधान का अंत उदाहरण संख्या 7 से मेल खाता है - हम संख्या जानते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण को स्वयं खोजना आसान है:

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

पाठ का दूसरा खंड उसी डॉट उत्पाद के लिए समर्पित है। निर्देशांक। यह पहले भाग की तुलना में और भी आसान होगा।

वैक्टर का डॉट उत्पाद,
एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में निर्देशांक द्वारा दिया गया

उत्तर:

कहने की जरूरत नहीं है, निर्देशांक से निपटना ज्यादा सुखद है।

उदाहरण 14

सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए और यदि

यह स्वयं करें का उदाहरण है। यहां आप ऑपरेशन की सहयोगीता का उपयोग कर सकते हैं, यानी गिनती न करें, लेकिन तुरंत स्केलर उत्पाद से तीन गुना लें और इसे अंतिम से गुणा करें। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

पैराग्राफ के अंत में, वेक्टर की लंबाई की गणना करने का एक उत्तेजक उदाहरण:

उदाहरण 15

वैक्टर की लंबाई खोजें , अगर

समाधान:फिर से पिछले खंड की विधि खुद ही सुझाती है: लेकिन एक और तरीका है:

आइए वेक्टर खोजें:

और इसकी लंबाई तुच्छ सूत्र के अनुसार :

अदिश उत्पाद यहाँ बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है!

वेक्टर की लंबाई की गणना करते समय यह व्यवसाय से बाहर कैसे होता है:
विराम। वेक्टर की स्पष्ट लंबाई संपत्ति का लाभ क्यों न लें? वेक्टर की लंबाई के बारे में क्या कहा जा सकता है? यह वेक्टर वेक्टर से 5 गुना लंबा है। दिशा विपरीत है, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम लंबाई के बारे में बात कर रहे हैं। जाहिर है, वेक्टर की लंबाई उत्पाद के बराबर होती है मापांकसंख्या प्रति वेक्टर लंबाई:
- मॉड्यूल का चिन्ह संख्या के संभावित माइनस को "खाता है"।

इस तरह:

उत्तर:

निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र

अब हमारे पास वैक्टर के निर्देशांक के संदर्भ में वैक्टर के बीच कोण के कोसाइन के लिए पहले से व्युत्पन्न सूत्र को व्यक्त करने के लिए पूरी जानकारी है:

समतल सदिशों के बीच के कोण की कोज्याऔर , ऑर्थोनॉर्मल आधार में दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
.

अंतरिक्ष सदिशों के बीच के कोण की कोज्या, ऑर्थोनॉर्मल आधार में दिया गया है, सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

उदाहरण 16

एक त्रिभुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। खोजें (शीर्ष कोण)।

समाधान:शर्त के अनुसार, ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन फिर भी:

आवश्यक कोण को हरे चाप से चिह्नित किया गया है। हम कोण के स्कूल पदनाम को तुरंत याद करते हैं: - विशेष ध्यान मध्यमअक्षर - यह उस कोण का शीर्ष है जिसकी हमें आवश्यकता है। संक्षिप्तता के लिए, इसे सरलता से भी लिखा जा सकता है।

ड्राइंग से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि त्रिभुज का कोण वैक्टर के बीच के कोण से मेल खाता है और दूसरे शब्दों में: .

यह सीखना वांछनीय है कि मानसिक रूप से किए गए विश्लेषण को कैसे किया जाए।

आइए वैक्टर खोजें:

आइए अदिश उत्पाद की गणना करें:

और वैक्टर की लंबाई:

कोण की कोज्या:

यह कार्य का यह क्रम है कि मैं डमी को सलाह देता हूं। अधिक उन्नत पाठक "एक पंक्ति में" गणना लिख ​​सकते हैं:

यहां "खराब" कोसाइन मान का एक उदाहरण दिया गया है। परिणामी मान अंतिम नहीं है, इसलिए हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने का कोई मतलब नहीं है।

आइए कोण खोजें:

यदि आप ड्राइंग को देखते हैं, तो परिणाम काफी प्रशंसनीय है। कोण की जांच करने के लिए एक प्रोट्रैक्टर के साथ भी मापा जा सकता है। मॉनिटर कोटिंग को नुकसान न पहुंचाएं =)

उत्तर:

उत्तर में, यह न भूलें कि त्रिभुज के कोण के बारे में पूछा(और वैक्टर के बीच के कोण के बारे में नहीं), सटीक उत्तर इंगित करना न भूलें: और कोण का अनुमानित मान: एक कैलकुलेटर के साथ मिला।

जिन लोगों ने प्रक्रिया का आनंद लिया है, वे कोणों की गणना कर सकते हैं, और सुनिश्चित कर सकते हैं कि विहित समानता सत्य है

उदाहरण 17

एक त्रिभुज अंतरिक्ष में उसके शीर्षों के निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है। भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए तथा

यह स्वयं करें का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर

एक छोटा अंतिम खंड अनुमानों के लिए समर्पित होगा, जिसमें अदिश उत्पाद भी "शामिल" है:

एक वेक्टर पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण। निर्देशांक अक्षों पर वेक्टर प्रक्षेपण।
वेक्टर दिशा कोसाइन

वैक्टर पर विचार करें और:

हम वेक्टर को वेक्टर पर प्रोजेक्ट करते हैं, इसके लिए हम वेक्टर की शुरुआत और अंत से छोड़ देते हैं लंबवतप्रति वेक्टर (हरी बिंदीदार रेखाएं)। कल्पना कीजिए कि प्रकाश की किरणें एक सदिश पर लंबवत रूप से गिर रही हैं। तब खंड (लाल रेखा) वेक्टर की "छाया" होगी। इस मामले में, वेक्टर पर वेक्टर का प्रक्षेपण खंड की लंबाई है। यानी प्रोजेक्शन एक नंबर है।

इस NUMBER को इस प्रकार दर्शाया गया है: , "बड़ा सदिश" एक सदिश को दर्शाता है के जोप्रोजेक्ट, "छोटा सबस्क्रिप्ट वेक्टर" वेक्टर को दर्शाता है परजिसे प्रक्षेपित किया जाता है।

प्रविष्टि स्वयं इस तरह पढ़ती है: "वेक्टर का प्रक्षेपण" ए "वेक्टर पर" होना ""।

क्या होगा यदि वेक्टर "बी" "बहुत छोटा" है? हम वेक्टर "बी" युक्त एक सीधी रेखा खींचते हैं। और वेक्टर "ए" पहले से ही प्रक्षेपित किया जाएगा वेक्टर की दिशा में "होना", बस - वेक्टर "बी" युक्त एक सीधी रेखा पर। ऐसा ही होगा यदि सदिश "ए" को तीसवें राज्य में अलग रखा जाता है - यह अभी भी वेक्टर "बी" वाली रेखा पर आसानी से प्रक्षेपित किया जाएगा।

अगर कोणवैक्टर के बीच मसालेदार(जैसा कि चित्र में है), तब

यदि वैक्टर ओर्थोगोनल, तब (प्रक्षेपण एक ऐसा बिंदु है जिसका आयाम शून्य माना जाता है)।

अगर कोणवैक्टर के बीच कुंद(आकृति में, मानसिक रूप से वेक्टर के तीर को पुनर्व्यवस्थित करें), फिर (समान लंबाई, लेकिन ऋण चिह्न के साथ लिया गया)।

इन सदिशों को एक बिंदु से अलग रखें:

जाहिर है, एक वेक्टर को स्थानांतरित करते समय, इसका प्रक्षेपण नहीं बदलता है