हमारी सभ्यता के पहले इतिहासकार प्राचीन यूनानी हैं - मिस्र को ज्यामिति की उत्पत्ति के स्थान के रूप में देखें। उनके साथ असहमत होना मुश्किल है, जानना, जिसके साथ अद्भुत सटीकता फिरौन का विशाल मकबरा है। पिरामिड के विमानों का म्यूचुअल लेआउट, उनके अनुपात, दुनिया के किनारों पर अभिविन्यास - ऐसी पूर्णता प्राप्त करने के लिए ज्यामिति की मूल बातें जानने के लिए असंभव होगा।

"ज्यामिति" शब्द का अनुवाद "पृथ्वी माप" के रूप में किया जा सकता है। और "पृथ्वी" शब्द एक ग्रह के रूप में नहीं है - सौर मंडल का हिस्सा, बल्कि एक विमान के रूप में। कृषि के रखरखाव के तहत क्षेत्र का मार्कअप ज्यामितीय आंकड़ों, उनके प्रकार और गुणों पर विज्ञान का सबसे प्रारंभिक आधार होने की संभावना है।

त्रिभुज प्लानिमेट्री का सबसे सरल स्थानिक व्यक्ति है, जिसमें केवल तीन अंक होते हैं - कोने (कम नहीं)। नींव का आधार हो सकता है क्योंकि यह कुछ रहस्यमय और प्राचीन में लटका हुआ है। त्रिभुज के अंदर ओसीओ ओसीओ प्रसिद्ध गुप्त संकेतों में से सबसे पहले, और इसके वितरण की भूगोल और समय सीमा बस अद्भुत कल्पना है। प्राचीन मिस्र, सुमेरियन, एज़्टेक और अन्य सभ्यताओं से दुनिया भर में बिखरे हुए गुप्तता के शौकियों के आधुनिक समुदायों के लिए।

त्रिकोण क्या हैं

एक साधारण बहुमुखी त्रिभुज एक बंद ज्यामितीय आकृति है, जिसमें विभिन्न लंबाई और तीन कोनों के तीन खंड शामिल हैं, जिनमें से कोई भी प्रत्यक्ष नहीं है। उसके अलावा, कई विशेष प्रजातियां हैं।

त्रिभुज एकजुट रूप से 90 डिग्री से कम के सभी कोण हैं। दूसरे शब्दों में, ऐसे त्रिभुज के सभी कोण तेज हैं।

आयताकार त्रिभुज जिस पर श्रवण ने प्रमेय की बहुतायत के कारण रो रहे थे, में 90 डिग्री के मूल्य के साथ एक कोण होता है, क्योंकि इसे प्रत्यक्ष भी कहा जाता है।

बेवकूफ त्रिभुज इस तथ्य से विशेषता है कि उनके कोनों में से एक बेवकूफ है, यानी, इसका मूल्य 90 डिग्री से अधिक है।

समतुल्य त्रिभुज एक ही लंबाई के तीन पक्ष हैं। ऐसा आंकड़ा भी सभी कोणों के बराबर है।

अंत में, तीन तरफ के एक समान त्रिभुज पर, दो खुद के बीच हैं।

विशिष्ट सुविधाएं

एक समान त्रिभुज के गुण अपने मुख्य निर्धारित करते हैं, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंतर दोनों पक्षों की समानता है। इन पार्टियों को कूल्हों (या, अधिक बार, साइड साइड) कहा जाता है, लेकिन तीसरे पक्ष को "बेस" कहा जाता है।

माना आंकड़े ए \u003d बी पर।

एक समान त्रिभुज का दूसरा संकेत साइनस प्रमेय से निम्नानुसार है। चूंकि ए और बी के किनारे उनके विपरीत कोणों की साइन के बराबर हैं:

ए / पाप γ \u003d बी / पाप α, जहां से हमारे पास है: पाप γ \u003d पाप α।

साइनस की समानता से, कोणों की समानता का पालन किया जाता है: γ \u003d α।

इसलिए, एक संतुलन त्रिभुज का दूसरा संकेत आधार के समीप दो कोणों की समानता है।

तीसरा संकेत। त्रिभुज इस तरह के तत्वों को ऊंचाई, द्विभाजक और औसत के रूप में अलग करता है।

यदि समस्या को हल करने की प्रक्रिया में यह पता चला है कि विचाराधीन त्रिभुज में, इनमें से कोई भी तत्व नहीं है: द्विभाजक के साथ ऊंचाई; मेडियन के साथ बिसेक्ट्रिक्स; एक ऊंचाई के साथ मध्ययुगीन - हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज posberbered है।

आकृति के ज्यामितीय गुण

1. एक आइस्ड त्रिभुज की गुण। आकृति की विशिष्ट विशेषताओं में से एक आधार के समीप कोणों की समानता है:

<ВАС = <ВСА.

2. एक और संपत्ति पर चर्चा की गई है: एक समेकित त्रिभुज में औसत, द्विभाजक और ऊंचाई मेल खाता है यदि वे अपने कोने से आधार तक बनाए जाते हैं।

3. आधार पर शिखर से आयोजित बिसेक्ट्रिस की समानता:

यदि एई आप के कोण का द्विभाजक है, और सीडी बीसीए कोण का बिसेक्रिस है, तो: एई \u003d डीसी।

4. एक समान त्रिकोण के गुण भी आधार पर कोने से किए गए ऊंचाइयों की समानता प्रदान करते हैं।

यदि आप कोरेता ए और सी से एबीएस त्रिकोण (जहां एवी \u003d सूर्य) की ऊंचाई का निर्माण करते हैं, तो प्राप्त सीडी सेगमेंट और एई बराबर होंगे।

5. आधार पर कोनों से बिताए गए औसत भी बराबर होंगे।

इसलिए, यदि एई और डीसी मध्यस्थ हैं, यानी, एडी \u003d डीबी, और बीई \u003d ईसी, फिर एई \u003d डीसी।

एक दुर्गम त्रिभुज की ऊंचाई

उनके साथ साइड पक्षों और कोनों की समानता विचार के तहत आंकड़े के तत्वों की लंबाई की गणना करने में कुछ विशेषताएं प्रस्तुत करती है।

एक समेकित त्रिभुज में ऊंचाई 2 सममित आयताकार त्रिकोण पर आकृति को विभाजित करती है, जिसमें हाइपोटेनस के साथ किस तरफ होते हैं। इस मामले में ऊंचाई पाइथागोरा प्रमेय जैसे कैट के अनुसार निर्धारित की जाती है।

त्रिभुज तीनों पक्षों के बराबर हो सकता है, फिर इसे समतुल्य कहा जाएगा। समतुल्य त्रिभुज में ऊंचाई उसी तरह निर्धारित की जाती है, केवल गणना के लिए यह केवल एक मूल्य को जानने के लिए पर्याप्त है - इस त्रिकोण के किनारे की लंबाई।

आप ऊंचाई और अन्य तरीके निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, आधार और इसके आसन्न कोण को जानना।

औसत एक पूर्ववर्ती त्रिभुज है

ग्यामितीय विशेषताओं के कारण, त्रिभुज के प्रकार को माना जाता है, स्रोत डेटा के न्यूनतम सेट पर काफी हल किया जाता है। चूंकि एक समेकित त्रिभुज में औसत इसकी ऊंचाई के बराबर होता है, और इसके द्विभाजक, इसकी परिभाषा का एल्गोरिदम इन तत्वों की गणना करने के क्रम से भिन्न नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध पक्ष और शीर्ष पर कोण की परिमाण में मध्ययुगीन की लंबाई निर्धारित करना संभव है।

परिधि का निर्धारण कैसे करें

प्रशंसित आंकड़े प्रश्न में, दोनों पक्ष हमेशा बराबर होते हैं, फिर आधार की लंबाई और परिधि को निर्धारित करने के लिए पार्टियों में से एक की लंबाई जानने के लिए पर्याप्त है।

एक उदाहरण पर विचार करें जब आपको प्रसिद्ध आधार और ऊंचाई पर त्रिभुज की परिधि निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

परिधि आधार के योग और पक्ष की लंबाई के बराबर है। बदले में पार्श्व पक्ष, पाइथागोरा प्रमेय का उपयोग आयताकार hypotenus के रूप में निर्धारित किया जाता है। इसकी लंबाई ऊंचाई के वर्ग और आधा आधार के वर्ग के योग के मूल वर्ग के बराबर है।

एक समान रूप से जंजीर त्रिकोण का वर्ग

यह एक नियम, कठिनाइयों और समान रूप से मुक्त त्रिभुज क्षेत्र की गणना के रूप में नहीं होता है। त्रिभुज के क्षेत्र को निर्धारित करने का सार्वभौमिक नियम इसकी ऊंचाई पर आधार के आधे हिस्से के आधे हिस्से में लागू होता है, निश्चित रूप से, हमारे मामले में। हालांकि, एक समेकित त्रिभुज के गुण फिर से कार्य की सुविधा प्रदान करते हैं।

मान लीजिए कि आधार के समीप ऊंचाई और कोण ज्ञात हैं। आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है। आप इस तरह से ऐसा कर सकते हैं।

चूंकि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री है, तो कोने को निर्धारित करना मुश्किल नहीं है। इसके बाद, साइनस प्रमेय के अनुसार संकलित अनुपात का उपयोग करके, त्रिभुज आधार की लंबाई निर्धारित की जाती है। सबकुछ, आधार और ऊंचाई - क्षेत्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त डेटा - उपलब्ध हैं।

एक संतुलन त्रिभुज के अन्य गुण

एक समेकित त्रिभुज के चारों ओर वर्णित सर्कल के केंद्र की स्थिति वर्टेक्स के कोण की परिमाण पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि एक अयोग्य त्रिभुज तीव्र है, तो सर्कल का केंद्र आकृति के अंदर स्थित है।

सर्कल का केंद्र, जो एक मूर्खतापूर्ण त्रिभुज के आसपास वर्णित है, इसके बाहर स्थित है। और, आखिरकार, यदि शीर्ष पर कोण की परिमाण 90 डिग्री है, तो केंद्र आधार के बीच में बिल्कुल झूठ बोलता है, और आधार के माध्यम से ही सर्कल के व्यास को पास करता है।

एक समेकित त्रिभुज के पास वर्णित सर्कल के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए, यह लेटरल पक्ष को शीर्ष पर कोने के आधे कोण की डबल कोसाइन में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

सभी त्रिकोणों में से दो विशेष प्रकार हैं: आयताकार त्रिकोण और एक समान त्रिकोण। इन प्रकार के त्रिकोणों जैसे विशेष क्या हैं? खैर, सबसे पहले, इस तरह के त्रिकोण पहले भाग के ईएमई के कार्यों के मुख्य ऑपरेटिंग "व्यक्ति" हैं। और दूसरी बात, आयताकार और समृद्ध त्रिकोणों के बारे में कार्य अन्य ज्यामिति कार्यों की तुलना में अधिक आसान हो जाते हैं। आपको बस कई नियमों और गुणों को जानने की जरूरत है। आयताकार त्रिकोणों के बारे में सबसे दिलचस्प चर्चा की गई है, और अब एक समान त्रिकोण पर विचार करें। और सबसे पहले, एक समान त्रिभुज क्या है। या, जैसा कि गणित का कहना है, एक संतृप्त त्रिभुज की परिभाषा क्या है?

देखें कि यह कैसा दिखता है:

एक आयताकार त्रिभुज की तरह, एक अप्राप्य त्रिभुज पार्टियों के लिए विशेष नाम है। दो समान पार्टियों को बुलाया जाता है बग़ल में, और तीसरी पार्टी - आधार.

और फिर से तस्वीर पर ध्यान दें:

शायद, और इसी तरह:

तो चौकस रहें: पार्श्व पक्ष दो समान पक्षों में से एक है। एक समान व्यापारिक त्रिकोण में, और आधार तीसरी पार्टी है।

एक संतुलन त्रिभुज इतना अच्छा क्या है? इसे समझने के लिए, चलो ऊंचाई को आधार पर खर्च करें। क्या आपको याद है कि ऊंचाई क्या है?

क्या हुआ? एक ही आइसोबिड त्रिभुज में से एक दो आयताकार हो गया।

यह पहले से ही अच्छा है, लेकिन यह किसी भी "नियुक्त" त्रिकोण में बाहर हो जाएगा।

एक अस्थिर मुक्त त्रिकोण के लिए एक तस्वीर के बीच क्या अंतर है? फिर देखो:

खैर, सबसे पहले, निश्चित रूप से, यह अजीब गणितज्ञ इसे देखता है - आपको निश्चित रूप से साबित करना होगा। और फिर अचानक इन त्रिकोण थोड़ा अलग हैं, और हम उन्हें समान मानेंगे।

लेकिन चिंता न करें: इस मामले में, यह देखने के लिए लगभग उतना ही आसान है।

चलो शुरू करते हैं? ध्यान से देखो, हमारे पास है:

और, इसका मतलब है! क्यों? हां, हम बस, और पाइथागोरा प्रमेय से (एक ही समय में याद रखना)

सुनिश्चित करें? खैर, अब हमारे पास है

और तीन पार्टियों के लिए - त्रिकोणों की समानता का सबसे आसान (तीसरा) संकेत।

खैर, हमारे संतुलन त्रिभुज को दो समान आयताकार में बांटा गया था।

देखो कितना दिलचस्प है? ऐसा पता चला कि:

गणितज्ञों से बात करने के लिए यह प्रथागत है? क्रम में चलो:

(मुझे यहां याद है कि मेडियन वर्टेक्स से आयोजित एक रेखा है, जो आधे, और बिसेक्ट्रिक्स - कोण में पक्ष को विभाजित करती है।)

खैर, यहां हमने चर्चा की कि एक समान त्रिभुज होने पर अच्छा देखा जा सकता है। हमने व्युत्पन्न किया है कि आधार पर एक समेकित त्रिभुज कोनों बराबर है, और ऊंचाई, द्विभासी और औसत, आधार के लिए आयोजित आयोजित किया जाता है।

और अब एक और सवाल उठता है: एक संतुलन त्रिभुज कैसे पता लगाएं? वह है, जैसा कि गणित का कहना है, क्या हैं एक समान त्रिभुज के संकेत?

और यह पता चला है कि आपको इसके विपरीत सभी बयानों को "चालू" करने की आवश्यकता है। तो, ज़ाहिर है, यह हमेशा नहीं होता है, लेकिन एक समान त्रिभुज अभी भी एक महान बात है! "मोड़" के बाद क्या होता है?

देखना:
यदि ऊंचाई और मध्ययुगीन मेल खाता है, तो:

यदि ऊंचाई और बिसेक्टर मेल खाता है, तो:


यदि Bisektris और Median मेल खाता है, तो:

खैर, मत भूलना और उपयोग करें:

• यदि एक समान त्रिभुज त्रिभुज है, तो साहसपूर्वक ऊंचाई खर्च करें, दो आयताकार त्रिकोण प्राप्त करें और पहले से ही आयताकार त्रिभुज के बारे में कार्य तय करें।
• यदि दिया गया है दो कोने समान हैं, फिर त्रिकोण पक्का इक्विबोज और ऊंचाई को पूरा किया जा सकता है और .... (जिस घर में जैक बनाया गया है ...)।
• यदि यह पता चला कि ऊंचाई को आधे हिस्से में विभाजित किया गया है, तो त्रिभुज एक परिणामस्वरूप बोनस के साथ एक की अध्यक्षता में है।
• अगर यह पता चला कि फर्श के कोने को विभाजित किया गया ऊंचाई भी एक आईएससीई है!
• यदि बिसेक्टर ने आधे या मध्यस्थ में पक्ष को विभाजित किया - एक कोण, तो यह भी होता है केवल एक समान व्यापारिक त्रिकोण में

आइए देखें कि यह कार्यों में क्या दिखता है।

कार्य 1।(सरल)

त्रिभुज में, पार्टियां बराबर हैं, लेकिन। ढूँढ़ने के लिए।

हमने निर्णय किया:

पहले ड्राइंग।

यहां क्या है - आधार? ज़रूर, ।

याद रखें कि अगर, तो।

अद्यतन चित्र:

द्वारा निरूपित करना। त्रिभुज कोण की मात्रा क्या है? ?

हम प्रयोग करते हैं:

यह है उत्तर: .

यह आसान है? यहां तक \u200b\u200bकि ऊंचाई को भी नहीं करना पड़ा।

कार्य 2। (यह भी बहुत मुश्किल नहीं है, लेकिन आपको विषय दोहराने की जरूरत है)

एक त्रिकोण में ,. ढूँढ़ने के लिए।

हमने निर्णय किया:

त्रिभुज एक समान है! हम ऊंचाई लेते हैं (यह फोकस है, जिसके साथ अब यह तय करेगा)।

अब "जीवन से शिफ्ट", केवल विचार करें।

तो, हम में:

कोसाइन (अच्छी तरह से, या धोखा शीट में देखो ...) के टैब्यूलर मान को याद रखें

यह खोजना बनी हुई है :.

उत्तर: .

ध्यान दें कि हम यहां हैं अत्यधिक आयताकार त्रिकोण और "सारणी" साइनस और कोसाइन से संबंधित ज्ञान। अक्सर, यह होता है: थीम, "एक समेकित त्रिभुज" और कार्यों में बंडलों में जाते हैं, और अन्य विषयों के साथ बहुत दोस्त नहीं हैं।

समद्विबाहु त्रिकोण। औसत स्तर।

इन दो समान पक्ष बुला हुआ बग़ल में, लेकिन अ तीसरा पक्ष एक अप्राप्य त्रिभुज का आधार है।

आकृति को देखें: और - पक्ष, एक दुर्गम त्रिभुज का आधार।

एक ड्राइंग में आओ हम समझेंगे कि यह क्यों आता है। हम बिंदु ऊंचाई से खर्च करते हैं।

तो, वे सभी संबंधित तत्वों के बराबर हैं।

हर एक चीज़! एक गिरने (ऊंचाई) सभी आरोपों द्वारा साबित हुआ था।

और आपको याद है: एक संतृप्त त्रिभुज के बारे में कार्य को हल करने के लिए, यह एक समान त्रिभुज के आधार पर ऊंचाई को कम करने के लिए बहुत उपयोगी होता है और इसे दो बराबर आयताकार त्रिकोणों में विभाजित करता है।

एक समान त्रिभुज के संकेत

विदेशी बयान सत्य हैं:

इनमें से लगभग सभी बयानों को फिर से "एक गिर गया" साबित किया जा सकता है।

1. तो, उन्हें बराबर होने दें और।

मदद। फिर

2. ए) अब कुछ त्रिकोण में चलो ऊंचाई और द्विभाजक संयोग.

2. बी) और यदि ऊंचाई और मध्ययुगीन संयोग? सब कुछ लगभग समान है, कोई कठिन नहीं!

- दो श्रेणियों में

2. बी) लेकिन अगर कोई ऊंचाई नहीं है, जो एक समान त्रिभुज के आधार पर छोड़ा जाता है, फिर मूल रूप से आयताकार त्रिकोण नहीं होते हैं। खराब!

लेकिन एक रास्ता है - सिद्धांत के अगले स्तर में इसे पढ़ें, क्योंकि सबूत अधिक व्यापक है, लेकिन अब उन्हें याद किया जाता है कि यदि औसत और द्विभाजक ने मेल नहीं किया है, तो त्रिभुज भी समान रूप से गठित किया जाएगा, और ऊंचाई अभी भी इन द्विभाजक और औसत के साथ मेल खाता है।

आइए सारांशित करें:

1. यदि त्रिभुज एक पूर्ववर्ती है, तो आधार पर कोने बराबर होते हैं, और ऊंचाई, द्विभाजक और औसत, आधार के लिए किए गए औसत।
2. यदि कुछ त्रिकोण में दो बराबर कोण हैं, या तीन पंक्तियों में से कुछ दो पंक्तियां (द्विभाजक, औसत, ऊंचाई) मेल हैं, तो इस तरह के एक त्रिकोण एक श्रृंखला है।

समद्विबाहु त्रिकोण। संक्षिप्त विवरण और मूल सूत्र

एक समेकित त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो बराबर पक्ष होते हैं।

एक समान त्रिभुज के लक्षण:

1. यदि कुछ त्रिभुज में दो कोनों के बराबर होते हैं, तो यह समान रूप से की जाती है।
2. यदि कुछ त्रिकोण में मेल खाता है:
   लेकिन अ) ऊंचाई और द्विवारक या
   बी) ऊंचाई और मध्ययुगीन या
   में) मंझला और बिस्स्ट्रिस,
   एक तरफ आयोजित, फिर इस तरह के एक त्रिभुज एक की अध्यक्षता है।

जिसमें दोनों पक्ष लंबाई में एक दूसरे के बराबर होते हैं। पक्ष को समान पक्ष कहा जाता है, और अंतिम पक्ष-असमान पक्ष आधार है। परिभाषा के अनुसार, सही त्रिकोण भी एक समान रूप से चालाक है, लेकिन विपरीत कथन गलत है।

शब्दावली

यदि त्रिभुज में दो बराबर पक्ष हैं, तो इन पार्टियों को साइड पार्टियां कहा जाता है, और तीसरी पार्टी आधार है। साइड पक्षों द्वारा गठित कोण कहा जाता है वर्टेक्स कोणऔर एक तरफ के कोनों को नींव कहा जाता है आधार पर कोने.

गुण

• एक समेकित त्रिभुज के बराबर पक्षों के विपरीत, कोनों, एक दूसरे के बराबर होते हैं। इन कोनों से बिसेक्टर, मध्यस्थों और ऊंचाइयों के बराबर भी।
• बेसेक्ट्रिक्स, औसत, ऊंचाई और एक मध्यम लंबवत, आधार के लिए आयोजित, एक दूसरे के साथ मेल खाता है। केंद्रित और वर्णित केंद्र इस पंक्ति पर स्थित हैं।

रहने दो ए। - एक समान त्रिभुज के दो बराबर पक्षों की लंबाई, बी - तीसरे पक्ष की लंबाई, एच - एक दुर्गम त्रिभुज की ऊंचाई

• $ए\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; b\; (2\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; अल्फा)$ (कोसाइन प्रमेय का परिणाम);
• $B\; \backslash u003d\; a\; \backslash \backslash \; sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; beta))$ (कोसाइन प्रमेय का परिणाम);
• $B\; \backslash u003d\; 2a\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; frac\; \backslash \backslash \; beta\; 2$;
• $b\; \backslash u003d\; 2a\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; अल्फा$ (प्रक्षेपण प्रमेय)

अंकित सर्कल का त्रिज्या छह तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, इस पर निर्भर करता है कि एक समान त्रिभुज के दो पैरामीटर ज्ञात हैं:

• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; b2\; \backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; frac\; (2a-b)\; (2a\; +\; b))$
• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (bh)\; (b\; +\; \backslash \backslash \; sqrt\; (4h\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2))$
• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (h)\; (1+\; \backslash \backslash \; frac\; (a)\; (\backslash \backslash \; sqrt\; (a\; ^\; 2-h\; ^\; 2)))$
• $r\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; b2\; \backslash \backslash \; utname\; (tg)\; \backslash \backslash \; Left\; (\backslash \backslash \; Frac\; (\backslash \backslash \; अल्फा)\; (2)\; \backslash \backslash \; अधिकार)$
• $r\; \backslash u003d\; a\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; cos\; (\backslash \backslash \; अल्फा)\; \backslash \backslash \; cdot\; \backslash \backslash \; computname\; (tg)\; \backslash \backslash \; Left\; (\backslash \backslash \; FRAC\; (\backslash \backslash \; अल्फा)\; (2)\; \backslash \backslash \; अधिकार)$

कोने निम्नलिखित तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

• $\backslash \backslash \; अल्फा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (\backslash \backslash \; pi\; -\; \backslash \backslash \; beta)\; 2;$
• $\backslash \backslash \; Beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; pi\; -\; 2\; \backslash \backslash \; अल्फा;$
• $\backslash \backslash \; अल्फा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; arcsin\; \backslash \backslash \; frac\; a\; (2r),\; \backslash \backslash \; beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; arcsin\; \backslash \backslash \; frac\; b\; (2r)$ (साइनस प्रमेय)।
• एक कोण के बिना भी पाया जा सकता है $(\backslash \backslash \; pi)$ तथा $आर$। त्रिभुज को मध्य में आधे, और में विभाजित किया गया है प्राप्त दो बराबर आयताकार त्रिकोण गणना कोण हैं:

$y\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; alpha\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (b)\; (c),\; \backslash \backslash \; arccos\; y\; \backslash u003d\; x$

परिमाप एक समेकित त्रिभुज निम्नलिखित तरीकों से है:

• $पी\; \backslash u003d\; 2\; ए\; +\; बी$ (ए-प्रोरी);
• $पी\; \backslash u003d\; 2\; आर\; (2\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; अल्फा\; +\; \backslash \backslash \; Sin\; \backslash \backslash \; बीटा)$ (साइनस प्रमेय का परिणाम)।

क्षेत्र त्रिभुज निम्नलिखित तरीकों से है:

$S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2bh;$

$एस\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; a\; ^\; 2\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; अल्फा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (b\; ^\; 2)\; (4\; \backslash \backslash \; tan\; \backslash \backslash \; frac\; \backslash \backslash \; बीटा\; 2);$ $S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \backslash \; sqrt\; (\backslash \backslash \; left\; (a\; +\; \backslash \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \backslash \; \_\; ठीक)\; \backslash \backslash \; Left\; (A\; -\; \backslash \backslash \; FRAC\; 1\; 2\; B\; \backslash \backslash \; \_\; ठीक));$ $S\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 2\; 1\; a\; \backslash \backslash \; sqrt\; \backslash \backslash \; beta\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash \backslash \; cos\; \backslash \backslash \; अल्फा\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; frac\; (b\; ^\; 1)\; (2\; \backslash \backslash \; sin\; \backslash \backslash \; frac\; \backslash \backslash \; beta\; 1);$

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टिप्पणियाँ

एक उन्नत त्रिकोण की विशेषता एक अंश

Dmitrievna, हालांकि वे उससे डरते थे, सेंट पीटर्सबर्ग में एक क्रैकर के रूप में देखा गया था और उसके द्वारा बोले गए शब्दों की वजह से, उन्होंने केवल एक अशिष्ट शब्द देखा और एक फुसफुसाहट को अपने दोस्त को दोहराया गया, यह सुझाव दिया कि इस शब्द में पूरे नमक को कहा गया था इस शब्द में।
प्रिंस वसीली, हाल ही में, विशेष रूप से अक्सर जो उसने कहा था उसे भूल गया, और एक ही चीज़ और वही एक बार बार-बार, जब भी वह अपनी बेटी को देखने के लिए कहा।
- हेलेन, जे "ए संयुक्त राष्ट्र एक वू सख्त है," उसने उससे कहा, उसे एक तरफ खींचकर अपने हाथ को खींच लिया। - जे "एआई ईयू वेंट डी प्रमाणपत्र प्रजिट्स एक ... vous savez। एह बिएन, एमए चेरे एनफेंट, वीओएस सेवज़ क्यू सोम सी? यूआर डी पेरे एसई rejouit do vous savoir ... vous avez tant souffert ... Mais, चेरे enfant ... ne consumez que votre c? उर। सी "ईएसटी टीयूटी सी que je vous dis। [हेलेन, मुझे कुछ कहने की ज़रूरत है। मैंने कुछ प्रकार के बारे में सुना है ... आप जानते हैं। खैर, मेरे प्यारे बच्चे, आप जानते हैं कि आपके पिता का दिल आप खुश हैं ... आप बहुत ज्यादा पीड़ित हैं ... लेकिन, एक प्यारा बच्चा ... कैसे दिल आपको बताता है। यहां मेरी पूरी सलाह है।] - और हमेशा एक ही उत्तेजना छुपा, उसने अपने बेटी के गाल को अपनी गाल दबाया और चले गए।
बिलिबिन, जिन्होंने सबसे बुद्धिमान व्यक्ति और हेलेन के व्यापक मित्र की प्रतिष्ठा खो दी नहीं, उन मित्रों में से एक जो हमेशा शानदार महिलाएं हैं, पुरुषों के मित्र जो कभी प्रेमियों की भूमिका में नहीं जा सकते हैं, बिलीबिन एक बार पेटिट कॉमाइट [छोटे अंतरंग [छोटे अंतरंग [ मग] ने अपने दोस्त को पूरी तरह से देखकर अपने दोस्त को देखा।
"Ecoutez, Bilibine (हेलेन, ऐसे दोस्तों, बिलिबिन के रूप में, हमेशा अंतिम नाम से बुलाया गया है)," और उसने अपने मक्खियों की आस्तीन की आस्तीन के लिए अपने हाथ के साथ अपने सफेद छुआ से छुआ। " - डोइट्स मोई कॉम वेस एनी एस एस? उर, क्यू डोइस जे फेयर? Lequel des deux? [सुनो, बिलिबिन: मुझे बताओ, तुम मेरी बहन कैसे कहोगे, मुझे क्या करना चाहिए? जो दो है?]
बिलिबिन ने भौहें पर त्वचा को इकट्ठा किया और उसके होठों पर मुस्कान के साथ सोचा।
- vous ne me prenez pas en bengges, vous savez, "उन्होंने कहा। - अमी जे "ऐ पेंसेंस एट रेजेंस एक वोट्रे अफेयर। Voyez vous। Si vous epousez le राजकुमार (यह एक जवान आदमी था), - उसने अपनी उंगली थी - vous perdez toujours ला मौका डी" Epouser l "Autre, etre Puis vous Mecontenez ला Cour। (कॉम वेस सेवज़, आईएल या यूईएसई डी पेरेंटे।) मैस सी वोस एपूसेज ले विएक्स कॉमटे, वॉस फाइट्स ले बोनियूर डी एसईएस डर्नियर्स जर्गे, एट पुइस कॉम वेव डू ग्रैंड ... ले प्रिंस एन फाइट प्लस डी Mesalliance en Vous Epousant, [आप मुझे आश्चर्यचकित नहीं करते हैं, आप जानते हैं। एक सच्चे दोस्त की तरह, मैंने आपके व्यवसाय के बारे में लंबे समय से सोचा है। यहां आप देखते हैं: यदि आप राजकुमार में जाते हैं, तो आप स्थायी रूप से होने का मौका बढ़ रहे हैं दूसरे की पत्नी, और इसके अलावा यार्ड असंतुष्ट हो जाएगा। (आप जानते हैं, आखिरकार, रिश्ते को यहां निहित किया गया है।) और यदि आप पुराने ग्राफ के लिए बाहर जाते हैं, तो आप उसके आखिरी दिनों की खुशी हैं, और फिर ... राजकुमार अब वेल्माज़ी की विधवा पर अपमानजनक नहीं होगा।] - और बिलिबिन ने त्वचा को भंग कर दिया।
- वोला अनियनीय अमी! - उसने कहा कि उसने हेलेन को देखा था, एक बार फिर बिलिबा आस्तीन तक उसके हाथ को छुआ। - मैस सी "एस्ट क्यू जे" एइम एल "यून एट एल" ऑट्रे, जेई ने वुड्रिस पास लेर फेयर डी चैग्रीन। Je donnerais ma vie leur bonheur एक टच Deux डालो, [यहाँ एक सच्चा दोस्त है! लेकिन मैं दूसरे से प्यार करता हूं और मैं किसी को भी गायब नहीं करना चाहता। दोनों के लिए मैं जीवन को त्यागने के लिए तैयार रहूंगा।] - उसने कहा।
बिलिबिन ने कहा, यह व्यक्त किया कि यह दुःख भी कुछ भी नहीं कर सकता है।
"Une Matresse Femme! वॉयला सी क्वि एस "एपेल पॉसर कैरेट ला प्रश्न। एले वाउड्रेट एपूसर टॉस लेस ट्रॉइस ए ला फॉइस", ["अच्छी तरह से किया हुआ महिला! यह सवाल रखने के लिए मजबूती से कहा जाता है। वह तीनों की पत्नी बनना चाहती है एक ही समय। "]] - बिलिबिन सोचा।

त्रिभुज, जिसमें दो पक्ष एक दूसरे के बराबर होते हैं, को समान रूप से की जाती है। इन पार्टियों को पक्ष कहा जाता है, और तीसरे पक्ष को आधार कहा जाता है। इस लेख में, हम आपको एक समान त्रिभुज के गुणों के बारे में बताएंगे।

प्रमेय 1।

एक समान त्रिभुज के आधार के पास कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एएनओआरसीई ट्राइंगल, एबी का आधार है। चलो त्रिभुज बीएसी देखें। इन त्रिकोण, पहले संकेत पर, एक दूसरे के बराबर होते हैं। तो वहाँ है, क्योंकि बीसी \u003d एसी, एसी \u003d बीसी, कोण एसीबी \u003d एसीबी कोण। यहां से यह बीएसी \u003d एबीसी कोण का कोण है, क्योंकि ये हमारे बराबर त्रिकोण के संबंधित कोनों हैं। यहां आपके पास एक आइस्ड त्रिभुज के कोणों की संपत्ति है।

प्रमेय 2।

एक समान रूप से जंजीर त्रिभुज में औसत, जो इसकी नींव के लिए आयोजित, ऊंचाई और द्विभाजक भी है

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एएनओएक्सईडी एबीसी त्रिभुज है, जिसका आधार एबी है, और सीडी एक औसत है जिसे हमने अपनी नींव में आयोजित किया था। एसीडी और बीसीडी त्रिकोण में, सीएडी कोण \u003d सीबीडी कोण, एक समान त्रिकोण (प्रमेय 1) के आधार पर उपयुक्त कोण के रूप में। और बीसी के साइड एसी \u003d पक्ष (एक समान त्रिकोण की परिभाषा के अनुसार)। साइड विज्ञापन \u003d साइड बीडी, क्योंकि बिंदु डी एबी सेगमेंट को बराबर भागों में विभाजित करता है। यहां से यह पता चला है कि त्रिभुज एसीडी \u003d बीसीडी त्रिकोण।

इन त्रिकोणों की समानता से, हमारे पास इसी कोणों की समानता है। यही है, एसीडी \u003d बीसीडी कोण और कोण एडीसी \u003d बीडीसी कोण का कोण। समानता 1 में, यह पता चला है कि सीडी द्विभाजक है। और कोण एडीसी और बीडीसी का कोण आसन्न कोण हैं, और समानता 2 से बाहर आता है कि वे दोनों सीधे हैं। यह पता चला है कि सीडी त्रिभुज की ऊंचाई है। यह एक संतुलन त्रिभुज के औसत की संपत्ति है।

और अब एक समान त्रिभुज के संकेतों के बारे में थोड़ा सा।

प्रमेय 3।

यदि त्रिभुज में दो कोनों एक दूसरे के बराबर होते हैं, तो ऐसा त्रिकोण एक पूर्ववर्ती होता है

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक एबीसी त्रिभुज है, जिसमें कैब \u003d सीबीए कोण का कोण। त्रिकोण के बीच समानता के दूसरे संकेत पर एबीसी त्रिकोण \u003d बीएसी त्रिकोण। तो, क्योंकि ab \u003d ba सीबीए कोण \u003d कैब कोण, कैब कोण \u003d सीबीए कोण। त्रिकोणों की समानता से, हमारे पास त्रिभुज के संबंधित पक्षों की समानता है - एसी \u003d बीसी। तब यह पता चला है कि एबीसी त्रिभुज एक पूर्ववर्ती है।

प्रमेय 4।

यदि किसी भी त्रिभुज में, उसका मध्ययुगीन भी इसकी ऊंचाई है, तो ऐसा त्रिकोण एक पूर्ववर्ती है

प्रमेय का प्रमाण।

एबीसी त्रिकोण में, हम एक सीडी मंझला आयोजित करेंगे। यह एक ऊंचाई भी होगी। आयताकार त्रिभुज एसीडी \u003d बीसीडी आयताकार त्रिभुज, चूंकि सीडी उनके लिए उनके लिए आम है, और सीएटीएटी एडी \u003d बीडी कैथलेट। यह इस प्रकार है कि उनके hypotenuses एक दूसरे के बराबर हैं, समान त्रिकोण के संबंधित भागों के रूप में। इसका मतलब है कि एबी \u003d बीसी।

प्रमेय 5।

यदि त्रिभुज के तीन पक्ष एक और त्रिकोण के तीन पक्षों के बराबर हैं, तो ये त्रिकोण समान हैं

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक एबीसी त्रिकोण है और एक त्रिकोण ए 1 बी 1 सी 1 वे हैं जिनमें एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1, बीसी \u003d बी 1 सी 1। प्रतिद्वंद्वी से इस प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें।

मान लीजिए कि ये त्रिकोण एक-दूसरे के बराबर नहीं हैं। यहां से, हमारे पास यह है कि बीएसी कोण बी 1 ए 1 सी 1 के कोने के बराबर नहीं है, एबीसी कोण एएन 1 बी 1 सी 1 कोण के बराबर नहीं है, एसीबी कोण एक ही समय में ए 1 सी 2 बी 1 कोण के बराबर नहीं है। अन्यथा, ये त्रिकोण ऊंचे संकेत के बराबर होंगे।

मान लीजिए कि त्रिभुज ए 1 बी 1 सी 2 \u003d एबीसी त्रिकोण। त्रिभुज में, वर्टेक्स सी 2 एक आधा विमान में प्रत्यक्ष ए 1 बी 1 के सापेक्ष वर्टेक्स सी 1 के साथ निहित है। हमने सुझाव दिया कि शिखर सी 2 और सी 1 मेल नहीं खाता है। मान लीजिए कि बिंदु डी सी 1 सी 2 सेगमेंट का मध्य है। तो हमारे पास एक समान त्रिभुज B1C1C2 और A1C1C2 है, जिसमें एक आम बेस सी 1 सी 2 है। यह पता चला है कि उनके औसत बी 1 डी और ए 1 डी भी उनकी ऊंचाई हैं। और इसका मतलब है कि सीधे बी 1 डी और प्रत्यक्ष सी 1 सी 2 के लिए लंबवत ए 1 डी।

बी 1 डी और ए 1 डी के अलग-अलग अंक बी 1 और ए 1 हैं, और तदनुसार, वे मेल नहीं खा सकते हैं। लेकिन आखिरकार, बिंदु डी डायरेक्ट सी 1 सी 2 के माध्यम से, हम सीधे उसके लिए लंबवत खर्च कर सकते हैं। हमारे पास एक विरोधाभास है।

अब आप जानते हैं कि एक समान त्रिभुज के गुण क्या हैं!