Jedna od glavnih karakteristika u algebri, kao iu čitavoj matematici, je stepen. Naravno, u 21. vijeku se sve kalkulacije mogu obaviti na online kalkulatoru, ali je za razvoj mozga bolje naučiti kako to učiniti sami.

U ovom članku ćemo se osvrnuti na najviše važna pitanja vezano za ovu definiciju. Naime, hajde da shvatimo šta je to uopšte i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo primjere kako izgleda proračun i koje su osnovne formule. Pogledajmo glavne vrste veličina i kako se one razlikuju od drugih funkcija.

Hajde da shvatimo kako riješiti različite probleme koristeći ovu količinu. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulu stepen, iracionalan, negativan itd.

Online kalkulator eksponencije

Šta je snaga broja

Šta znači izraz „podići broj na stepen“?

Snaga n broja je proizvod faktora veličine n puta za redom.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem stepenu. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 do koraka. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 do koraka. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tabela kvadrata i kocke od 1 do 10.

Tabela stepeni od 1 do 10

Ispod su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne stepene - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. st.	3. faza
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva stepeni

Šta je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.

Naučnici su ustanovili sledeće znakovi karakteristični za sve stepene:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Inače 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Šta ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcionišu.

Ali šta o tome sa sabiranjem i oduzimanjem? To je jednostavno. Prvo se vrši eksponencijacija, a zatim sabiranje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Imajte na umu: pravilo neće vrijediti ako prvo oduzmete: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Ali u ovom slučaju, prvo morate izračunati sabiranje, jer postoje akcije u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi kalkulacije u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim eksponencijalnost;
• zatim izvršiti operacije množenja i dijeljenja;
• nakon sabiranja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stepene:

1. N-ti korijen broja a do m stepena biće zapisan kao: a m / n.
2. Kada se razlomak podiže na stepen: i brojnik i njegov imenilac podliježu ovom postupku.
3. Prilikom konstruisanja dela različiti brojevi na stepen, izraz će odgovarati umnošku ovih brojeva na dati stepen. To jest: (a * b) n = a n * b n .
4. Kada podižete broj na negativan stepen, potrebno je podijeliti 1 brojem u istom stoljeću, ali sa znakom “+”.
5. Ako je nazivnik razlomka na negativan stepen, onda će ovaj izraz biti jednak umnošku brojnika i nazivnika na pozitivan stepen.
6. Bilo koji broj na stepen 0 = 1 i na stepen. 1 = sebi.

Ova pravila su važna u nekim slučajevima, u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti.

Stepen s negativnim eksponentom

Šta učiniti sa minus stepenom, tj. kada je indikator negativan?

Na osnovu svojstava 4 i 5(vidi tačku iznad), ispostavilo se:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

I obrnuto:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Šta ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stepen sa prirodnim indikatorom

Podrazumijeva se kao stepen sa eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...itd.

Dodatno, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...onda će rezultat biti sa znakom “+”. Ako se negativan broj podigne na neparan stepen, onda obrnuto.

Opća svojstva, kao i sve gore opisane specifične karakteristike, također su karakteristične za njih.

Razlomak stepena

Ovaj tip se može napisati kao shema: A m / n. Čitaj kao: n-ti korijen broja A na stepen m.

Možete raditi šta god želite s razlomkom indikatora: smanjite ga, podijelite na dijelove, podignite na drugi stepen itd.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da biste razumjeli suštinu diplome s takvim indikatorom, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A = 1. Rezultat će biti jednak 1. Pošto postoji aksiom - 1 u svim stepenima je jednako jedan;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalnih brojeva;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju je obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uslovima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 – u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 – biće jednako 4.

Tada je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Hajde da rezimiramo - za šta su potrebne ove količine, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, pojednostavljuju život matematičara i programera prilikom rješavanja primjera, jer im omogućavaju da minimiziraju proračune, skraćuju algoritme, sistematiziraju podatke i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjering, dizajn itd.

Formule stepena koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.

Broj c je n-ti stepen broja a Kada:

Operacije sa stepenom.

1. Množenjem stepeni sa istom bazom, dodaju se njihovi indikatori:

a m·a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Snaga proizvoda 2 ili više faktori jednak je proizvodu snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:

4. Ako povećate stepen korijena u n jednom i istovremeno ugraditi u n th stepen je radikalni broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena u n istovremeno izvaditi korijen n-ti stepen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stepen sa negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan indikator:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n =a m - n postao pošten kada m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.

Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli sa nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj A do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m-ti stepen ovog broja A.

Podizanje na negativan stepen jedan je od osnovnih elemenata matematike i često se susreće u rješavanju algebarskih problema. U nastavku su detaljna uputstva.

Kako podići na negativnu potenciju - teorija

Kada broj podignemo na običan stepen, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa negativnim razlomkom je suprotno. Opšti oblik prema formuli to će izgledati ovako: a -n = 1/a n. Dakle, da biste broj podigli na negativan stepen, trebate podijeliti jedan sa dati broj, ali u pozitivnom stepenu.

Kako podići na negativan stepen - primjeri na običnim brojevima

Imajući na umu gore navedeno pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Ali zašto su odgovori u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da prilikom izgradnje negativan broj na parni stepen (2, 4, 6, itd.), predznak postaje pozitivan. Da je stepen paran, minus bi ostao:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako podići brojeve od 0 do 1 na negativan stepen

Zapamtite da kada broj između 0 i 1 podignete na pozitivan stepen, vrijednost se smanjuje kako se snaga povećava. Tako, na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (slijed radnji):

• Pretvorite decimalni razlomak 0,5 u razlomak 1/2. Tako je lakše.
  Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podelite 1 sa 1/(2) 2, dobijamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na osnovu 4. i 5. primjera možemo izvući nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), podignut na negativan stepen, nije važno da li je stepen paran ili neparan, vrijednost izraza će biti pozitivna. Štaviše, što je veći stepen, to je veća vrednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 5), podignut na negativan stepen, nije važno da li je stepen paran ili neparan, vrijednost izraza će biti negativna. U ovom slučaju, što je veći stepen, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativan stepen - stepen u obliku razlomka

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a regularan broj, m je brojilac stepena, n je imenilac stepena.

Pogledajmo primjer:
Izračunaj: 8 -1/3

Rješenje (redoslijed radnji):

• Prisjetimo se pravila za podizanje broja na negativan stepen. Dobijamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Obratite pažnju da imenilac ima broj 8 u razlomku. Opšti oblik izračunavanja frakcionog stepena je sledeći: a m/n = n √8 m.
• Dakle, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobijamo kubni korijen od osam, koji je jednak 2. Odavde je 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Lekcija i prezentacija na temu: "Eksponent s negativnim eksponentom. Definicija i primjeri rješavanja problema"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u Internet prodavnici Integral za 8. razred
Priručnik za udžbenik Muravin G.K.    Priručnik za udžbenik autora Alimova Sh.A.

Određivanje stepena sa negativnim eksponentom

Momci, dobri smo u podizanju brojeva na stepene.
Na primjer: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Znamo dobro da je svaki broj na nulti stepen jednak jedan. $a^0=1$, $a≠0$.
Postavlja se pitanje šta se dešava ako broj podignete na negativan stepen? Na primjer, čemu će biti jednak broj $2^(-2)$?
Prvi matematičari koji su postavili ovo pitanje odlučili su da ne vrijedi ponovno izmišljati točak i dobro je da su sva svojstva stupnjeva ostala ista. To jest, kada se množe stepeni sa istom bazom, eksponenti se zbrajaju.
Razmotrimo ovaj slučaj: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Otkrili smo da bi proizvod takvih brojeva trebao dati jedan. Jedinica u proizvodu se dobija množenjem recipročnih brojeva, to jest, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Takvo razmišljanje dovelo je do sljedeće definicije.
Definicija. Ako $n$ – prirodni broj i $a≠0$, tada vrijedi jednakost: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Važan identitet koji se često koristi je: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Konkretno, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Primjeri rješenja

Primjer 1.
Izračunajte: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Rješenje.
Razmotrimo svaki pojam posebno.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Ostaje izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Odgovor: $6\frac(1)(4)$.

Primjer 2.
Uvesti dati broj kao diplomu prost broj$\frac(1)(729)$.

Rješenje.
Očigledno, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ali 729 nije prost broj koji se završava na 9. Može se pretpostaviti da je ovaj broj potencija tri. Dosljedno podijelite 729 sa 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Izvršeno je šest operacija i to znači: $729=3^6$.
Za naš zadatak:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Odgovor: $3^(-6)$.

Primjer 3. Izrazite izraz kao stepen: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Rješenje. Prva radnja se uvijek izvodi unutar zagrada, zatim množenje $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Odgovor: $a$.

Primjer 4. Dokažite identitet:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Rješenje.
Na lijevoj strani razmatramo svaki faktor u zagradama posebno.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y) ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pređimo na razlomak kojim dijelimo.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Uradimo podjelu.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Dobili smo tačan identitet, što smo trebali dokazati.

Na kraju lekcije još jednom ćemo zapisati pravila za rad sa potencijama, ovdje je eksponent cijeli broj.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1. Izračunajte: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Predstavite dati broj kao stepen prostog broja $\frac(1)(16384)$.
3. Izrazite izraz kao stepen:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Dokažite identitet:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

U ovom materijalu ćemo pogledati šta je stepen broja. Pored osnovnih definicija, formulisaćemo šta su stepene sa prirodnim, celobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrovani primjerima problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, hajde da formulišemo osnovnu definiciju stepena sa prirodnim eksponentom. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Pojasnimo unaprijed da ćemo za sada uzeti realan broj kao bazu (označen slovom a), a prirodni broj kao indikator (označen slovom n).

Definicija 1

Potencija broja a sa prirodnim eksponentom n je proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stepen se piše ovako: a n, a u obliku formule njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza je a, tada se prvi stepen a zapisuje kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je diploma prikladan oblik snimanja velika količina jednaki faktori. Dakle, zapis obrasca 8 8 8 8 može se skratiti na 8 4 . Na sličan način, djelo nam pomaže da izbjegnemo snimanje veliki broj pojmovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; O tome smo već govorili u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati unos diplome? Općenito prihvaćena opcija je “a na stepen n”. Ili možete reći “n-ti stepen a” ili “ant-potencija”. Ako smo, recimo, u primjeru naišli na unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. stepen", "8 na stepen od 12" ili "12. stepen od 8".

Drugi i treći stepen brojeva imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stepen, na primjer, broj 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stepen glasi ovako: 5 3 - ovo je "kocka broja 5" ili "5 kocki." Međutim, možete koristiti i standardnu ​​formulaciju “na drugi/treći stepen” to neće biti greška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer stepena s prirodnim eksponentom: for 5 7 pet će biti osnova, a sedam će biti eksponent.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stepen (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent će biti devet. Obratite pažnju na zagrade: ovaj zapis je napravljen za sve potencije čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu služe zagrade? Oni pomažu da se izbjegnu greške u proračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 I − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva podignut na stepen sa prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotnoj vrijednosti stepena 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačije pravopis snage broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). To jest, 4^9 je isto kao 4 9 . U slučaju da je n višecifreni broj, uzima se u zagradama. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali mi ćemo koristiti notaciju a n kao češći.

Lako je pogoditi kako izračunati vrijednost eksponenta s prirodnim eksponentom iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. Više o tome pisali smo u drugom članku.

Koncept stepena je inverzan od drugog matematički koncept- korijen broja. Ako znamo vrijednost stepena i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stepen ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema, o čemu smo govorili u posebnom materijalu.

Eksponenti mogu uključivati ​​ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cjelobrojne vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer oni također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Potencija broja s pozitivnim cijelim eksponentom može se predstaviti kao formula: .

U ovom slučaju, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Hajde da razumemo koncept nultog stepena. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo količnika za stepene jednakih baza. Formulisan je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će istinit pod sljedećim uslovima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Poslednji uslov je važan jer izbegava deljenje sa nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, onda dobijamo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 je količnik jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulta snaga bilo kog broja različitog od nule jednaka jedan.

Međutim, takav dokaz se ne odnosi na nulu na nulti stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo moći - svojstvo proizvoda snaga jednakih baza. izgleda ovako: a m · a n = a m + n .

Ako je n jednako 0, onda a m · a 0 = a m(ova jednakost nam takođe dokazuje da a 0 = 1). Ali ako je i jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m · 0 0 = 0 m, To će vrijediti za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije bitno kojoj je tačno vrijednost stepena jednaka 0 0 , odnosno može biti jednako bilo kojem broju, a to neće uticati na tačnost jednakosti. Dakle, zapis oblika 0 0 nema svoje posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stepena (a m) n = a m n pod uslovom da osnova stepena nije nula. Dakle, snaga bilo kog broja različitog od nule sa eksponentom nula je jedan.

Primjer 2

Pogledajmo primjer s određenim brojevima: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i vrijednost 0 0 nedefinisano.

Nakon nultog stepena, samo treba da shvatimo šta je negativan stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo proizvoda potencija sa jednakim bazama koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Hajde da uvedemo uslov: m = − n, tada a ne bi trebalo da bude jednako nuli. Iz toga slijedi a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je n i a−n imamo uzajamno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativnu cjelinu nije ništa više od razlomka 1 a n.

Ova formulacija potvrđuje da za stepen sa celobrojnim negativnim eksponentom važe sva ista svojstva koja ima stepen sa prirodnim eksponentom (pod uslovom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a sa negativnim cijelim eksponentom n može se predstaviti kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n podliježe a ≠ 0 i n je bilo koji prirodan broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U poslednjem delu pasusa pokušaćemo da sve što je rečeno jasno opišemo u jednoj formuli:

Definicija 4

Potencija broja sa prirodnim eksponentom z je: a z = a z, e sa l i z - pozitivan cijeli broj 1, z = 0 i a ≠ 0, (za z = 0 i a = 0 rezultat je 0 0, vrijednosti izraza 0 0 nisu definirane) 1 a z, ako je i z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobija se 0 z, egoz vrijednost je neodređena)

Šta su moći sa racionalnim eksponentom?

Ispitivali smo slučajeve kada eksponent sadrži cijeli broj. Međutim, možete podići broj na stepen čak i kada njegov eksponent sadrži razlomak. Ovo se zove stepen sa racionalnim eksponentom. U ovom odeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i druge moći.

Šta su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele i razlomke, a razlomci se mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Hajde da formulišemo definiciju stepena broja a sa razlomkom eksponenta m / n, gde je n prirodan broj, a m ceo broj.

Imamo neki stepen sa razlomanim eksponentom a m n . Da bi svojstvo snage snage moglo biti istinito, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti tačna.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za date vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom biće tačna pod uslovom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg rasuđivanja je sljedeći: potencija određenog broja a sa razlomnim eksponentom m / n je n-ti korijen broja a na stepen m. Ovo je tačno ako, za date vrednosti m, n i a, izraz a m n ostaje smislen.

1. Možemo ograničiti vrijednost osnove stepena: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti - striktno manje (pošto za m ≤ 0 dobijamo 0 m, ali takav stepen nije definisan). U ovom slučaju, definicija stepena sa frakcijskim eksponentom će izgledati ovako:

Potencija s razlomanim eksponentom m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na stepen m. Ovo se može izraziti formulom:

Za stepen sa nultom bazom, ova odredba je takođe prikladna, ali samo ako je njen eksponent pozitivan broj.

Potencija sa baznom nulom i razlomanim pozitivnim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom da je m pozitivan cijeli broj, a n prirodan broj.

Za negativan omjer m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zapazimo jednu tačku. Pošto smo uveli uslov da je a veće ili jednako nuli, na kraju smo odbacili neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad ipak ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke m. Dakle, tačni unosi su (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je razmatranje odvojeno korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim ćemo morati da uvedemo još jedan uslov: stepen a, u čijem eksponentu se nalazi svodivi obični razlomak, smatra se stepenom a, u čijem eksponentu se nalazi odgovarajući nesvodljivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , onda ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti proračune.

Ako je n – neparan broj, a vrijednost m je pozitivna, a je bilo koji nenegativan broj, tada a m n ima smisla. Uslov da a nije negativan je neophodan jer se korijen parnog stepena ne može izvući iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparni korijen se može uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve gore navedene definicije u jednom unosu:

Ovdje m/n znači nesvodljivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodan broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični svodljivi razlomak m · k n · k stepen se može zamijeniti sa m n .

Potencija broja a sa nesvodljivim razlomkom eksponentom m / n – može se izraziti kao m n u sljedećim slučajevima: - za bilo koje realno a, cijeli brojevi pozitivne vrijednosti m i neparne prirodne vrijednosti n. Primjer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za bilo koje realno a različito od nule, negativne cjelobrojne vrijednosti m i neparne vrijednosti n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za bilo koji nenegativni a, pozitivan cijeli broj m i paran n, na primjer, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m i paran n, na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

U slučaju drugih vrijednosti, stepen sa razlomačnim eksponentom nije određen. Primjeri takvih stupnjeva: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Objasnimo sada važnost uvjeta o kojem smo gore govorili: zašto zamijeniti razlomak sa reducibilnim eksponentom razlomkom s nesvodljivim eksponentom. Da to nismo uradili, imali bismo sljedeće situacije, recimo, 6/10 = 3/5. Tada bi trebalo biti tačno (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , i (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stepena sa razlomačnim eksponentom, koju smo prvi predstavili, pogodnija je za upotrebu u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, snaga pozitivnog broja a sa razlomkom eksponenta m/n je definirana kao 0 m n = 0 m n = 0. U slučaju negativnog a unos a m n nema smisla. Snaga nule za pozitivne frakcione eksponente m/n je definisan kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne frakcione eksponente ne definišemo stepen nule.

U zaključcima, napominjemo da se bilo koji frakcijski indikator može napisati u obliku mješoviti broj, a u obliku decimalnog razlomka: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Prilikom izračunavanja, bolje je zamijeniti eksponent obična frakcija i nastavite koristiti definiciju stepena sa razlomkom eksponenta. Za gornje primjere dobijamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Šta su moći sa iracionalnim i realnim eksponentima?

Šta su realni brojevi? Njihov skup uključuje i racionalne i iracionalne brojeve. Stoga, da bismo razumjeli šta je stepen sa realnim eksponentom, moramo definisati stepene sa racionalnim i iracionalnim eksponentima. Racionalne smo već spomenuli gore. Hajde da se pozabavimo iracionalnim indikatorima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1,67175331. . . , Onda

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati sa nizom stupnjeva a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se sjetimo onoga što smo ranije rekli o dizanju brojeva na racionalne stepene, onda možemo sami izračunati vrijednosti tih potencija.

Uzmimo za primjer a = 3, tada a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Niz stepena se može svesti na broj, koji će biti vrijednost stepena sa bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stepen sa iracionalnim eksponentom oblika 3 1, 67175331. . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a sa iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a. Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalan broj a. Stepen sa nultom bazom takođe se može definisati za pozitivne iracionalne eksponente, sa 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ali to se ne može učiniti za negativne, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Na primjer, jedinica podignuta na bilo koju iracionalnu snagu ostaje jedinica, a 1 2, 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter